Apostila de Circuitos Eletricos

5/23/2018 Apostila de Circuitos Eletricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELTRICOS I

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INDICEUNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - ............................................... 3

1.1. Circuitos Concentrados ..................................................................................................... 3

1.2. Elementos Concentrados .................................................................................................. 3

1.3. Sentido de referncia ......................................................................................................... 4

1.3.1. Sentido de referncia para tenso de brao ............................................................... 4

1.3.2. Sentido de referncia para corrente de brao ............................................................ 5

1.3.3. Sentido de referncia associado ................................................................................. 5

1.4. Corrente Eltrica e Tenso ............................................................................................. 6

1.5. Leis de Kircchoff ................................................................................................................. 7

1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff .................................................................................... 71.5.2 Leis das Tenses de Kircchoff ....................................................................................... 8

UNIDADE 2ELEMENTOS DE CIRCUITOS - ................................................................................. 14

2.1. Resistores ......................................................................................................................... 14

2.2. Fontes Independentes de tenso e corrente ................................................................... 16

2.3. Equivalente Thevenin e Norton........................................................................................ 18

2.4. Diviso de corrente .......................................................................................................... 18

2.5. Diviso de tenso ............................................................................................................. 20

2.6. Ligao Y - (estrelatringulo) ..................................................................................... 23

2.7. Formas de ondas tpicas ................................................................................................... 27

2.8. Capacitores ....................................................................................................................... 32

2.9. Indutores .......................................................................................................................... 35

2.10. Potncia e Energia .......................................................................................................... 41

2.11. Componentes fsicos x elementos de circuitos .............................................................. 45

UNIDADE 3CIRCUITOS SIMPLES - ............................................................................................. 48

3.1. Ligao srie de elementos .............................................................................................. 48

3.2. Ligao paralela de elementos ......................................................................................... 53

UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - .................................................. 63

4.1. Definies e propriedades dos circuitos .......................................................................... 63

4.2. Anlise nodal .................................................................................................................... 63

4.3. Anlise nodal com fontes de tenso ou fontes dependentes no circuito........................ 66

4.4. Anlise por malhas ........................................................................................................... 69


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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ............................................................................................ 74

5.1. Teorema de Thevenin....................................................................................................... 74

5.2. Teorema de Norton .......................................................................................................... 76

5.3. Teorema da superposio ................................................................................................ 77

5.4. Teorema da mxima transferncia de potncia .............................................................. 80

UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1 ORDEM.................................................................................... 85

6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem ............................................... 85

6.1.1. Resposta a excitao zero ......................................................................................... 85

6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................... 91

6.1.3. Resposta completa: Transitrio + Regime permanente............................................ 97

6.1.4. Resposta ao Degrau Unitrio .................................................................................... 98UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2 ORDEM.................................................................................. 104

7.1. Resposta a Excitao Zero ............................................................................................. 104

7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................... 104

7.1.2. Circuito RLC srie ..................................................................................................... 111

7.2. Resposta ao Estado Zero ............................................................................................... 114

7.2.1. Excitao por fonte de corrente constante ............................................................. 114

7.2.2. Excitao por fonte de tenso constante ................................................................ 116

7.3. Resposta Completa ........................................................................................................ 117

UNIDADE 8 - APLICAO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................... 120

9. AULAS PRTICAS ............................................................................................................... 122

9.1 1 AULA PRTICACIRCUITOS I ................................................................................ 122

9.2 2 AULA PRTICACIRCUITOS I ............................................................................... 129

10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 132


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UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF -

1.1. Circuitos Concentrados

qualquer ligao de elemento concentrado, de tal forma que as dimenses sejam

pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqncia de interesse. Se

esta relao existir, so vlidas as leis de Kircchoff.

EXEMPLO

a) Circuito de udio

b) Circuitos de computador

- No um circuito concentrado-

1.2. Elementos Concentrados

A corrente eltrica circula atravs de um elemento e a diferena de potencial

entre os terminais do mesmo bem definida. A partir destas consideraes, obtemos

um elemento concentrado.

quantidades bem definidas Principais elementos concentrados

Com dois terminais:


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Com mais de dois terminais:

1.3. Sentido de referncia

1.3.1. Sentido de referncia para tenso de brao

Dada a polaridade da tenso, por conveno, a tenso de brao num instante t positiva sempre que o potencial eltrico no ponto A for maior que o potencial no

ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referncia.

DEFINIES

Brao - Elemento concentrado de dois terminais; NsSo os terminais dos braos; Tenso de braoTenso entre ns; Corrente de braoCorrente que flui entre os braos


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1.3.2. Sentido de referncia para corrente de brao

Dado o sentido de referncia para a corrente de brao, por conveno, ela

positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas eltricas entrar num terminal(+) e sair num (-).

1.3.3. Sentido de referncia associado

Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal

negativo (-), a potncia entregue ao circuito POSITIVA.

*P(+), P(-)

P(+), *P(-)

EXEMPLO:


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1.4. Corrente Eltrica e Tenso

Corrente eltricaA proporo bsica de um circuito a de mover ou transferir cargas de um

percurso fechado especfico. Este movimento de cargas a corrente eltrica denotada

pelas letras:

Formalmente a corrente a taxa de variao de carga no tempo

Tenso eltricaAs cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se

quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m.

Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tenso sobre um

elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga atravs dos

terminais de um elemento.

EXEMPLO:


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1.5. Leis de Kircchoff

1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff

Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus ns, em qualquer

instante de tempo, a soma algbrica de todas as correntes de brao que chegam a um

n e saem desse n zero.

Conveno

Corrente chegando no n

negativa (-)

Corrente saindo do n positiva (+)

EXEMPLO:


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1.5.2 Leis das Tenses de Kircchoff

Para qualquer circuito eltrico concentrado, para qualquer um de seus

percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algbrica das tenses de

brao ao redor de qualquer malha fechada zero.

OBS.:

1) Percurso fechado - o caminho percorrido a partir de um n passando poroutros ns e voltando ao mesmo n inicial.

2) Malha Fechada um percurso fechado que no contm braos no seuinterior.

NOTAS

A LCK, impe uma dependncia linear entre as correntes de brao e as equaes solineares e homogneas;

A LCK, se aplica a qualquer circuito eltrico concentrado, isto , independe da naturezado elemento;

A LCK expressa a conservao da carga em todos os ns. No h nem acmulo nemperda de carga.


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EXEMPLO

Usa-se o sentido horrio para percorrer o percurso fechado

EXEMPLOS

1) Algumas das correntes de brao do circuito abaixo so conhecidas, taiscomo: . possvel determinar todas ascorrentes de brao restantes?

NOTAS

A LTK, impe uma dependncia linear entre as tenses de brao de uma malha; A LTK, se aplica a qualquer circuito eltrico concentrado, no importando se os

elementos do circuitos so lineares, no-lineares, ativas, passivos, etc...

A LTK independente da natureza dos elementos.


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2) Suponhamos que no exemplo 1, ns empregamos sentido de referncia

associado para a tenso e corrente de brao, com as seguintes tenses: . possvel determinar as demais tenses de brao?


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Como no podem ser calculados, impossvel de se resolver pois o nmero deincgnitas maior que o nmero de variveis.


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EXERCCIOS

1) No circuito abaixo usando os sentidos de referncia associados para as direesde referncia das variveis de brao

a) Aplicar a LCK aos ns 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao n 4 uma conseqncia das outras 3 equaes.

b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursosfechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equaes so

conseqncia das 3 equaes de malhas.

2) Calcule


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3) Dado o circuito onde

. Determine as outras tenses de brao possveis.

4) Com o mesmo circuito anterior, onde . Determine as outras correntes de brao possveis.


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UNIDADE 2ELEMENTOS DE CIRCUITOS -

2.1. Resistores

Um elemento com dois terminais, que possuem resistncia, chamado de resistor e

se, a qualquer tempo a sua tenso e sua corrente satisfazem uma relao definidacomo uma curva no plano . Alm disso, necessrio que exista uma relao entre acorrente instantnea e a tenso instantnea.

Smbolo:

Classificao:o Linear: resistoro No linear: diodo, mosfet, etc.o No varivel no tempo

Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo.

Resistor invarivel no tempo e linear: um elemento com dois terminais cujacaracterstica uma reta passando pela origem no plano .


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Unidades:o

o o o

Casos particulares:a) Circuito aberto: chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tenso nos seus

terminais (tenso de brao), e corrente (corrente de brao) igual a zero.


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b) Curto circuito: chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente

de brao), sua tenso (tenso de brao) igual a zero.

2.2. Fontes Independentes de tenso e corrente

a) Fonte de tenso:

Um elemento de dois terminais chamado de fonte de tenso ideal ou independente,

se ele mantm uma tenso especificada nos terminais do circuito ao qual est ligado,independente da corrente atravs do circuito (carga).

Potncia (+): absorvida

Potncia (-): fornecida

conveniente usar direes de referncia para a tenso e a corrente de uma fonteindependente.


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OBS.:A fonte de tenso real pode ficar em circuito aberto, mas no em curto, pois a corrente

vai a .

b) Fonte de corrente: o elemento de dois terminais que mantm uma corrente especificada em seus

terminais, independente da tenso aplicada.

OBS.:A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas no pode ficar em circuito aberto,

pois sua tenso vai a .


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2.3. Equivalente Thevenin e Norton

Equivalente Thevenin fonte de tenso Equivalente Norton fonte de corrente

A equivalncia s vlida nos terminais, ou seja, produz a mesma tenso e correntenos terminais. As potncias envolvidas no interior do circuito no so equivalentes.

A relao entre os equivalentes Thevenin e Norton dada por: 2.4. Diviso de corrente

Seja o circuito com dois terminais abaixo:


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Aplicando:Lei das Correntes de Kircchoff (LCK):

Lei das Tenses de Kircchoff (LTK):

Pela Lei de Ohm:

Resolvendo para V:

Logo:


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Circuito com resistores em paralelo:

2.5. Diviso de tensoSeja o circuito abaixo:

Aplicando:LTK:

LCK:

Pela Lei de Ohm:

Resolvendo para I:


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Logo:

Para um circuito com

resistores em srie:


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Exerccios:

1) Calcule a vista pela fonte e encontre :

2) Uma carga requer e absorve . Se apenas uma fonte de est disponvel,calcule o valor da resistncia a ser colocada em paralelo com a carga.

3) Calcule a vista pela fonte e calcule .

4) Encontre os valores de

.


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5) Calcule e a potncia entregue pela fonte.

6) Calcule

e a potncia entregue pela fonte.

2.6. Ligao Y - (estrelatringulo)

OBS.: Para esta relao ser vlida, necessrio que seja respeitada a posio dos resistores no

circuito, caso contrrio, a transformao no valer.


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a) Transformao de Y -:

Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para tringulo (),

usamos as seguintes relaes de resistncias:

b) Transformao de - Y:Quando temos o circuito em tringulo (), e necessitamos t ransformar para estrela (Y)

usamos as seguintes relaes de resistncias:

Dica: Para facilitar a transformao e a localizao dos resistores corretamente,desenha-se o Y dentro do , assim possvel ter uma visualizao exata da posio dos

resistores.

Exerccios:

1) Determinar a resistncia equivalente entre

.

a)


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b)

c)

d)


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2) Quando , a potncia ser de . Determine e o valor de .

3) Determine as correntes indicadas:

4) Calcule

:


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5) Calcule :

6) Calcule aplicando as LTK e LCK:

2.7. Formas de ondas tpicas

a) Constante: , para qualquer tempo .

b) Funo seno (ou cosseno):


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Onde:

c) Funo degrau unitrio: definida como:

d) Funo degrau unitrio defasado:


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e) Funo de pulso:

OBS.: a rea de um pulso sempre . para todo .


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f) Funo impulso unitrio:

Relao entre (t) e u(t):


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g) Funo rampa unitria:

Relao entre

e

Exerccios:

a) Faa os seguintes grficos:a) b) c) d)

e)

f) g) h) i) j) k) l)


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2.8. Capacitores

Um elemento de dois terminais chamado capacitor se, a qualquer instante de

sua

carga e sua tenso satisfazem uma relao definida por uma curva Esta curva chamada de curva caracterstica do capacitor.

Smbolo:

Classificao:o Linearo No linear: capacitncia em MOSFETs, diodos, etc.o Varivel com o tempoo Invariante no tempo

Capacitores lineares e invariveis no tempo:


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Unidades:

Parmetros:a) Carga no capacitor: b) Corrente no capacitor:

c) Tenso no capacitor:

Caractersticas do capacitor:a) Se a tenso num capacitor no variar com o tempo, ento a corrente nele ser

nula.

Como a tenso no varia com o tempo a derivada em relao ao tempo ser nula:

Obs.:Um capacitor um circuito aberto para corrente contnua.


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Ex.: Capacitor carregado .

b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente atravs deleseja nula.

Ex.:Capacitor carregado com tenso constante.

c) impossvel alterar instantaneamente a tenso nos terminais de um capacitor,pois a corrente tenderia ao infinito.

Temos que:

Se alterarmos a tenso, instantaneamente, temos:

d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu

campo eltrico.

e) Um capacitor carregado equivalente a ligao srie de um capacitordescarregado em

e uma fonte constante

.

a condio inicial de tenso no capacitor em .

a tenso no capacitor se, em .


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2.9. Indutores

Smbolo:

Comparao do indutor com o capacitor:


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Parmetros:

Classificao:

Linear

No linear

Invariante no tempo

Varivel no tempo

A grande maioria dos indutores so no lineares, mas, dependendo da aplicao,

podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Ento, se o indutor for projetado para trabalhar

nesta regio, teremos um indutor linear.

Obs.:Se no h variao de corrente, a tenso nos terminais do indutor zero.

No variando , zero, portanto .


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Obs.:Um indutor, para corrente contnua um curto circuito.

a) Energia armazenada:

b) Quando a chave aberta, a corrente I0cai a zero num tempo muito curto, fazendocom que haja uma sobre tenso na chave.


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Exerccios:

1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tenso nos seguintes casos:

2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nosseguintes casos:


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3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor a seguinte, calcule e esboce aforma de onda da tenso:

4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tenso no indutor para osseguintes casos:

5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para osseguintes casos:


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6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboar a forma de onda de na fonte decorrente.

7) Seja o circuito abaixo, calcule


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8) A corrente no capacitor dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com

. Calcular e esboar a forma de onda de

para

e a potncia

instantnea e mdia entregue pela fonte.

2.10. Potncia e Energia

no armazena energia, mas dissipa. armazena energia em seu campo eltrico.

armazena energia em seu campo magntico.

Corrente que entra igual a corrente que sai.

a) Potncia instantnea: b) Energia: a integral da potncia instantnea a partir de at .


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c) Potncia mdia e ativa:

Obs.: A expresso s vlida para corrente cotnua. Para correntealternada, a potncia mdia em um resistor, por exemplo, dado por Desenvolvendo:

=

Indutor:


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Obs.:Num sistema peridico, portanto .Obs.:O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor.

Exerccios:

1) Seja o seguinte circuito:

Esboce a tenso, potncia instantnea e mdia para:

c)

d)


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2) Calcular e esboar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tenso dadapor:


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2.11. Componentes fsicos x elementos de circuitos

Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos so indispensveis na anlise

e sntese de circuitos fsicos.

a) Faixa de operao:Qualquer elemento ou componente fsico especificado pela faixade operao, como:

Ex.: Um resistor de , , pode ter circulando no mximo a seguinte corrente:

Ento, a tenso mxima aplicada dever ser:

b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, sosensveis temperatura. Esta variao de temperatura acarreta na variao dos

parmetros dos dispositivos.

c) Efeito parasita:


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Nos transformadores, alm da resistncia do fio, existe uma indutncia de disperso.

d) Valores tpicos dos componentes fsicos: Resistores: , valores mltiplos de: Capacitores: . Indutores: .

Exerccios:

1) Seja o circuito abaixo:

Esboar a tenso, potncia instantnea e mdia em cada elemento, nos seguintes

casos:

c)


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d)

2) Repetir o exerccio anterior para o seguinte circuito:


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UNIDADE 3CIRCUITOS SIMPLES -

3.1. Ligao srie de elementos

a) Resistores

LTK:

LCK:

Obs.: so percorridos pela mesma corrente.

Caracterstica da curva :


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b) Fontes de tenso:Considerando fontes de tenso em srie:

LTK:

LCK: Todas as fontes de tenso so percorridas pela mesma corrente.

c) Fontes de corrente:Considerando n fontes de corrente em srie:

LTK:


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Para no violar a LCK, esta ligao s possvel se as fontes de correntes forem iguais.

d) Capacitores:Considerando n capacitores ligados em srie:

LTK:

LCK:

Obs.: Todos os capacitores so percorridos pela mesma corrente.


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e) Indutores:Considerando n indutores em srie:

LTK:

LCK:

Obs.: Todos os indutores so percorridos pela mesma corrente.

f) Resistor e fonte de tenso:


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LTK:

Equao Caracterstica

Se so conhecidos, a equao relaciona tenso e corrente.

Para:

g) Resistor e diodo:


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Para:

3.2. Ligao paralela de elementos

a) Resistores:

LCK:

LTK:

Como

so submetidos mesma tenso, temos:


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Para resistores:

Obs.: A sempre menor do que a menor das resistncias ligadas em paralelo.


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b) Fontes de corrente:

LCK:

LTK:

Obs.:Todas as fontes esto submetidas a mesma .

c) Fontes de tenso:


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LCK:

LTK:

Obs.: Para a ligao das fontes de tenso em paralelo todas as fontes devem ser iguais.

Princpio de paralelismo de transformadores: no secundrio.d) Indutores:

LCK:

LTK:

Todos os indutores esto submetidos a mesma tenso, ento temos:


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e) Capacitores:

LCK:

LTK:

Todos os capacitores esto submetidos ao mesmo potencial, ento temos:


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f) Resistor e fonte de corrente:

LTK:

LCK:

Para:


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g) Resistor e diodo:

Para:

h) Resistor, diodo e fontes de corrente:

Se:


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Se:

Obs.: Caso singular:

Concluses:

1) Para ligao de elementos em srie, a corrente a mesma em todos os elementos e atenso a soma algbrica das tenses em cada elemento.

2) Numa ligao de elementos em paralelo, vlido o princpio da dualidade, aplicadono item 1.


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Exerccios:

1) Determine as resistncias equivalentes e a corrente em cada resistor.

2) Determine :a)


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b)

3) Para os circuitos abaixo:

a) Determine a caracterstica nos pontos .b) Descrever a caracterstica no plano .c) Obter o equivalente Thevenin.d) Obter o equivalente Norton.

4) Descrever analtica e graficamente a caracterstica do circuito abaixo:


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UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO -

4.1. Definies e propriedades dos circuitos

Componentes: podem ser: Lineares

No lineares

Variantes no tempo

Invariantes no tempo.

Circuitos com:

Componentes lineares circuitos lineares

Componentes lineares invariantes circuitos lineares e invariantes no tempo.

4.2. Anlise nodal

Nesta seo consideremos mtodos de anlise de circuitos nos quais as tenses so

incgnitas.

Temos:


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Passos para a anlise nodal:

a. Contar o nmero de nsPela LTK o somatrio das tenses em qualquer percurso fechado zero. A LTK

obriga uma dependncia linear entre as tenses de brao.

b. Escolher uma referncia (nesse caso, )Como o foi adotado como referncia ,temos:

Em geral, escolhemos um n como referncia e chamamos as tenses dos outros ns

em relao a esta referncia.

Conclumos que em um circuito com ns, teremos equaes e incgnitas.Exemplos:

1)

Pela LCK:


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Logo:

2)

Logo:


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Obs.: Para circuitos que no tenham fontes de tenso ou fontes dependentes, o determinante

pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutncia do circuito.

Caractersticas da matriz condutncia:

simtrica em relao diagonal principal quando no circuito s tiver fontes decorrente.

Os elementos da diagonal so positivos e os outros negativos.

4.3. Anlise nodal com fontes de tenso ou fontes dependentes no circuito

Evitamos o uso do ramo com fonte de tenso, tratando os ns 2 e 3 como super n.

Super n: Como o somatrio das correntes que chegam no n 2 e 3 so zero, quando

tratarmos de corrente, o n 2 e 3 ser um super n.


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LCK:

Logo:

Equao do super n: como temos trs incgnitas e dois ns (duas equaes so

obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equao para termos o nmero de equaes

igual ao nmero de incgnitas.

Procedimentos prticos para a anlise nodal:

a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes eelementos.

b) Se o circuito possuir n ns, escolher um como referncia e escrever as tenses dos ns em ralao a referncia.c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz

condutncia.d) Se o circuito possuir fontes de tenso, substitua-a por um curto circuito criando um

super n.


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Exerccios:

1) Encontrar as tenses nos ns

2) No circuito abaixo, usar anlise nodal para determinar

3) Substituir a fonte de

por uma fonte de corrente dependente com seta para cima

com valor de , onde ib a corrente dirigida para baixo na condutncia de Determine 4) Substituir a fonte de por uma fonte de tenso de com referncia positiva

dirigida para cima. Determine

5) Substituir a fonte de

por uma fonte de tenso dependente, referncia positiva

dirigida para baixo e definida como Determine


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4.4. Anlise por malhas

S possvel se o circuito for uma superfcie plana.

Somente malhas, no percursos fechados.

n malhas, n equaes

Corrente de malha no sentido horrio.

Na malha que estamos trabalhando, a corrente positiva em relao s outras.

Exemplos:

1)

LTK:

Logo:


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2)

3)

Como criamos uma super malha, temos 3 incgnitas e somente 2 equaes. Para

conseguirmos a terceira equao, teremos que conseguir atravs da fonte de corrente.


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4)

5)

6) Use a anlise de malhas para determinar


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7) Use anlise de malhas para determinar




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Procedimentos prticos para anlise de malhas:

a) S aplicada a uma rede de circuito planar.b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horrio, aplicando a LTK.c) Emprega-se valores de resistncia ao invs de condutncia.d) Se o circuito tiver apenas fonte de tenso, a matriz resultante (matriz resistncia)

simtrica em relao diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o restodos elementos negativos.

e) Se o circuito houver fontes de corrente:1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin.2) Fonte de corrente em srie com resistor, substituir por um circuito aberto.


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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES -

5.1. Teorema de Thevenin

Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer nmero de fontes pode ser

substituda em parte ou totalmente por uma nica fonte de tenso em srie com uma

resistncia de Thevenin, onde a tenso em circuito aberto e a aresistncia equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuitozeradas.

Obs.:As fontes de tenso so substitudas por um curto circuito.

Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo:


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Primeiramente, substitumos a fonte de tenso por um curto circuito. Depois calculamos o

Atravs da anlise por malhas podemos achar o valor de

Ento:


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5.2. Teorema de Norton

Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer nmero de fontes pode ser

substituda em parte ou totalmente por uma nica fonte de corrente em paralelo com uma

resistncia de Norton, onde a fonte de corrente a corrente nos terminais em curtocircuito e

a resistncia vista pelos terminais

com todas as fontes zeradas.

Obs.:As fontes de corrente so substitudas por um circuito aberto.

Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo:

Curto circuitando os terminais , temos a resistncia equivalente


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Com isso, podemos calcular o

5.3. Teorema da superposio

Para redes lineares vlido o princpio da superposio, que estabelece: A resposta de

I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente

de corrente ou tenso, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se

algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ao de cada uma das fontes

atuando isoladamente, isto , estando as demais fontes zeradas.

Obs.:Cuidar as polaridades das fontes de tenso e de corrente.


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Exemplo 3:

1) Para fonte de a fonte de um curto e a de um circuito aberto.

Logo:

2) Para a fonte de a fonte de um curto e a de um circuitoaberto.


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Logo:

3) Para a fonte de a fonte de e so um curto circuito.

Temos ento:


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5.4. Teorema da mxima transferncia de potncia

Um teorema muito til sobre a potncia pode ser desenvolvido com referncia a uma

fonte de tenso ou corrente.

A potncia fornecida para :

Sendo:

Portanto:

Para obter a mxima transferncia de potncia, faz-se:


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Para verificar se a funo de mximo ou de mnimo:

Portanto:

Exerccios:

1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos:a)


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b)

c)

d)


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e)

2) Determine

aplicando anlise nodal:

3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando anlise nodal:


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4) Determine Ix usando:a) Anlise nodal.b) Anlise de malhas.

5) Determine empregando o princpio da superposio e a potncia gerada pelasfontes.


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UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1 ORDEM

6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem

Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta

poder ser tenso, corrente ou a combinao das duas. Alm disso, os circuitos de primeira

ordem so caracterizados por possurem apenas um elemento capaz de armazenar energia,

podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto ir resultar, em

uma equao diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, j que est sendo

considerados circuitos lineares invariantes no tempo.A resposta destas grandezas no circuito

ser devido a:

Fontes independentes, que so as entradas ou excitaes; Condies iniciais do circuito.

6.1.1. Resposta a excitao zero

Ocorrer num circuito que no possui entradas ou excitaes. O comportamento de tal

circuito ser funo somente das condies iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito

no instante de tempo t=0.Estudaremos ento dois circuitos de primeira ordem:

Circuito RC Circuito RL

6.1.1.1. Circuito RC (Resistor- Capacitor)

Figura 6.1- Circuito RC

Para t


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Durante este processo a energia no capacitor ser dissipada no resistor na forma de

calor.

Analisando o circuito para t 0:

Figura 6.2- Circuito RC para t 0

LTK: LCK: As duas equaes de braos dos dois elementos sero:

Capacitor

Quando Vc(t) 0 Resistor

Temos, portanto, quatro equaes para quatro incgnitas. Supondo que queiramos a

tenso no capacitor como resposta:

A expresso das correntes ser:


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Observando a equao das correntes chegamos podemos observar que esta ser uma

equao diferencial, linear, de primeira ordem, homognea, com os coeficientes constantes.

Ento chegamos que a soluo para a equao das correntes dada pela seguinte equao:

Onde: K1 uma constante determinada pelas condies iniciais do circuito; a freqncia de amortecimento dada pela expresso:

RC==constante de tempo

No instante de tempo temos que:

OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rpido ser a descarga.

A resposta geral ser da seguinte forma:

Pelas equaes obtidas pela LKCobtemos:

Logo:

Com as expresses da , , e obteremos os seguintes grficos:


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Figura 6.3Grfico da corrente no capacitor.

Figura 6.4- Grfico da corrente no resistor.

Figura 6.5Grfico da tenso no capacitor.

A figura 6.5(grfico da tenso do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a

descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva caracterstica uma

exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condies:

A ordem da curva em a condio inicial; A constante de tempo depender exclusivamente dos parmetros do circuito (R, L, C)

e da forma como os mesmos esto conectados.


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Figura 6.6- Grfico da tenso do capacitor.

6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor)

Figura 6.7Circuito RL

Para , a chave S1est ao terminal be o indutor est carregado com a corrente ; Para , S1 conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente no pode ficar

em circuito aberto;

O indutor fica conectado ao resistor (R)e a fonte de corrente fica curto circuitada e a

energia armazenada no campo magntico do indutor dissipada no resistor na forma de calor.

Analisando o circuito para (figura 6.8)

Figura 6.8Circuito RL para


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LTK

LCK

Portando obtemos

A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente at zero.

Durante este processo, a energia armazenada no campo magntico do indutor dissipada na

forma de calor pelo resistor.

As equaes de braos sero:

Indutor

Resistor

Como queremos como resposta e sabemos que:

Ento obtemos

Onde esta equao corresponde a uma equao diferencial linear, homognea, de

primeira ordem com os coeficientes constantes ento a soluo para a equao ser da

seguinte forma:


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Onde:

K1 uma constante determinada pelas condies iniciais do circuito;No instante de tempo

temos que:

a freqncia de amortecimento dada pela expresso:

= = constante de tempoOBS.:Todos estes clculos valem somente para

Com a anlise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor:

Figura 6.9- Grfico da corrente no indutor.

6.1.2. Resposta ao estado zero

6.1.2.1. Circuito RC

Para , S1 fechada. Obtemos ento;


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Figura 6.10Circuito Rc em resposta ao estado zero

Em

, S1 abre, e a fonte de corrente conectada ao circuito

;

Para

Aps um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos:

Figura 6.11Circuito RC com S1 aberta.

,Pois

Pela LTK:

A partir disto, obteremos as seguintes consideraes:

Com a fonte de corrente, a tenso no capacitor no varia instantaneamente; parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto:

Em


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Ou seja, a corrente fluir toda pelo capacitor

medida que cresce, cresce, aplicando uma e diminuindo a

LCK:

Quando deixarmos o circuito ligado, cresce at um valor e fica estvel

O capacitor carregado um circuito aberto e toda a corrente Ipassar pelo resistor.Isto ocorrer quando:

Considerando a tenso do capacitor como a resposta almejada, temos:

Quando analisamos o circuito para , a tenso no capacitor permanece nula, e a

corrente no resistor tambm. A corrente flui ento somente pelo capacitor. Logo aps, com a

corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tenso .

Ento teremos um , e tende a crescer diminuindo assim, ,pois:


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OBS.:

Para , o capacitor estar carregado, e ser considerado um circuito abertoquando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor.

Quando isto ocorrer, o capacitor ser um circuito aberto.

Note que para determinarmos a resposta da tenso do capacitor ao estado zero,

dependemos dos parmetros do circuito e ainda da funo de entrada que no nosso caso ser

. Esta resposta denominada soluo em regime permanente (soluo particular)e

representa a soluo do circuito para um tempo infinitamente grande e conhecidacomo soluo em regime permanente, ou soluo para o estado zero do circuito. Ento aexpresso para a soluo particular ser determinada exclusivamente a partir da forma da

funo de entrada ().Com estas consideraes podemos definir que a soluo geral para a equao da

tenso no capacitor ser do tipo:

Onde a depende alm dos parmetros do circuito, das condies iniciaisno circuito no instante de tempo Onde determinado pelas condies iniciais.J a que depender dos parmetros do circuito e ainda da funo de

excitao de entrada.

A partir disto podemos obter a equao da soluo geral pela seguinte expresso:

Mas para obtermos ser realizado pela expresso geral:

,


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E as correntes sero dadas pelas equaes

Logo

Podemos obter ento a corrente no resistor . Sabemos que: Ento

Figura 6.12- Grfico da corrente e da tenso do capacitor.

6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal

Considerando o circuito abaixo ao qual excitado por uma fonte de corrente


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Figura 6.13Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal.

Onde

Amplitude;

Frequencia angular

;

= FaseA soluo geral para o circuito ser da seguinte forma:

Onde a soluo homognea ser

E a soluo particular

Onde as constantese so as constantes a serem determinadas

Soluo geral

Para determinar , faz-se:

,


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6.1.3. Resposta completa: Transitrio + Regime permanente

Figura 6.14Circuito RC para resposta completa.

Para , a chave curto-circuita a fonte; Em , vale a seguinte equao:

Para : Temos aqui a resposta excitao e ao estado zero onde:

Resposta a excitao zero; Resposta ao estado zero.Soluo para

:

Soluo para :

Soluo geral:

Onde: Resposta completa


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Resposta excitao zero

Resposta ao estado zero

Isolando

Depender das condies iniciais e repetina aplicao daexcitao que em tende a desaparecer e por causa disto, chamado de TRANSITORIO;

Esta parcela continua conforme o transitrio vai se esgotando, sendo, portanto,

chamado de regime permanente e ligado a forma de onda da excitao

.

Figura 6.15Grfico da tenso em resposta completa.

6.1.4. Resposta ao Degrau Unitrio

Para

,

;

Para , .


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Figura 6.16Analogia entre a funo degrau e uma chave no circuito.

Obs.: anlogo a uma chave que atua em t=0Exemplo:

Figura 6.17Exemplo do circuito utilizando a funo degrau.

Para ,

Para ,LTK:


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Soluo homognea:

Soluo particular ( )O indutor carregado um curto circuito

Para ,

Para , Para


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EXERCCIOS

1) Determine

2)

3)

4)


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5)

6)

7)

8) Determine


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9) Determine para o circuito abaixo

10)Obter .


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UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2 ORDEM

7.1. Resposta a Excitao Zero

7.1.1. Circuito RLC paralelo

figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo

Pelas equaes de brao podemos obter:

Resistor

Capacitor

Indutor

Aplicando a LTK Pela LCK temos

Com isso, podemos perceber que temos 6incgnitas, duas em cada equao


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Derivando e dividindo por C obtemos:

Por convenincia, vamos definir dois parmetros:

Constante de amortecimento:

Freqncia angular ressonante:

Substituindo na equao

Substituindo

por Schegamos na equao caracterstica

Razes:

Os zeros do polinmio, ou suas razes, so chamadas de freqncias naturaisdo circuito;

As razes deste polinmio nos dizem o tipo de comportamento do circuito;De acordo com os valores de

e de

, teremos quatro tipos de comportamento

Circuito superamortecido; Circuito criticamente amortecido;

Por quem definimos e ?Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos d

uma resposta exponencial, hora senoidal


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Circuito subamortecido; Circuito sem perdas.

7.1.1.1 Circuito superamortecido ( )As freqncias naturais so razes reais e negativas, cuja resposta o somatrio de

duas exponenciais.

Onde K1 e K2 so determinadas pelas condies iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a

partir da resposta quando t=0

Derivando


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7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido ( )As freqncias naturais so reais, negativas e iguas.

Resposta:

- Surge devido descarga de corrente do indutor sobre o capacitor aumentando suatenso.7.1.1.3 Circuito Subamortecido ( )

As freqncias naturais so razes imaginrias, complexas, conjugadas.


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Cuja resposta :

Onde e dependem das condies iniciais

7.1.1.4 Circuito sem perdas (

)

As freqncias naturais so imaginrias.


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Resposta

Exemplo:

Dado o circuito abaixo determinar para a resposta excitaozero para cada caso.

a)

b) c)


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a)

Clculo de e

- Circuito superamortecido

Clculo das freqncias naturais Determinao de K1 e K2

A tenso no capacitor para

Derivando em

Como

, temos


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Logo

7.1.2. Circuito RLC srie

Figura 7.2- Circuito RLC srie

LTK LCK


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Derivando a equao e dividindo por L

Substituindo por S

Equao caracterstica

As razes deste polinmio nos do o comportamento do circuito, em relao ao

amortecimento.

Razes

Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de e so os valores quedeterminam o tipo de amortecimento do sistema. Circuito superamortecido ( )

Circuito criticamente amortecido ( )

Circuito subamortecido ( )

Circuito criticamente amortecido ( )


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EXERCCIOS

1) Seja o circuito

Determine

e esboar a forma de onda.

2) Seja o circuito

Determine paraa) b) c) d) 3) Seja o circuito

Determine

4) Repita o exerccio 2 para


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5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendoaberta em . Calcular a tenso a partir deste instante

7.2. Resposta ao Estado Zero

7.2.1. Excitao por fonte de corrente constante

Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente LTK

LCK

Polinmio

Soluo geral


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Onde

so os quatro casos de amortecimento e

para t

tendendo para o infinito, regime permanente.

Supondo que o sistema seja superamortecido a pode ser expressa por

J a igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor um curtocircuito, ento a tenso no capacitor ser igual a zero.

Soluo Geral

Determinao das constantes K1 e K2

, logo

Derivando em funo do tempo para

Onde S1 e S2so as razes do polinmio

EXEMPLO


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7.2.2. Excitao por fonte de tenso constante

Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tenso

LTK

LCK

Derivando e dividindo por L

Soluo geral

Como

Ento toda tenso da fonte aplicada no indutor


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7.3. Resposta Completa

determinada pela resposta transitria mais a resposta em regime permanente.

Figura 7.5- Circuito RLC srie

LTK

LCK

A equao de segundo grau que descreve este circuito

Como logo um sistema superamortecido.

Pela equao caracterstica


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Determinao de K1 e K2Como

Derivando para

Portanto

Logo

Resposta completa

EXERCCIOS

1) Considere , refaa o exerccio anterior para 2) Encontre


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3) Determine

4) Determine


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UNIDADE 8 - APLICAO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 7.6- Circuito RL

Equao

Aplicando Laplace

Resolvendo por fraes parciais

Pela tabela das transformadas de Laplace temos:


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EXERCCIOS

1) Resolver por Laplace

2) Refazer o exerccio anterior com


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9. AULAS PRTICAS9.1 1 AULA PRTICACIRCUITOS I

Tempo de descarga do capacitor

A principal caracterstica do capacitor a propriedade de armazenar energia na

forma de campo eltrico. Ao aplicarmos em um capacitor uma tenso contnua, esse

se carrega com uma tenso cujo valor depende do intervalo de tempo em que

se desenvolver o processo.

Figura 1

No circuito da figura 1, uma fonte de tenso de 30 volts ligada em srie com um

capacitor para t


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Tarefa pratica 1

Completar a tabela abaixo utilizando a montagem descrita na figura 1 respondendo

as questes abaixo:

a) Calcule o tempo de descarga do capacitor para cada valor de capacitncia;

b) Esboce a curva de descarga para as trs capacitncias (Vxt);

Valor de

capacitor

Tempo de

descarga

calculado*Tempo de

descarga no

experimento

*

Esboo

da curva

*Interprete como tenso final 1.2 V

c) Compare e discuta a diferena entre os valores de tempo obtidos nos trs casos.

Explique o por qu.

10.Qual o valor de resistncia escolhido pelo grupo? Qual a influncia deste valorna experincia?


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Retificadores

Um exemplo da utilizao de capacitores como filtro na sada de pontes

retificadoras de onda completa (Figura 2).

Figura 2- Ponte retificadora de onda completa com filtro capacitivo.

Tarefa prtica 2.

2.1. Montar o circuito da figura 3, retificador de onda completa, e desenhar a

forma de onda de tenso obtida na sada da ponte retificadora utilizando o

osciloscpio.


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Figura 3- Ponte retificadora de onda completa

2.2. Montar o circuito da figura 2, retificador de onda completa com filtro

capacitivo, e desenhar a forma de onda de tenso obtida na sada da ponte

retificadora alternando a capacitncia. Utilize o osciloscpio.

Valor de

capacitor

Esbooda curva

a) Qual a diferena da forma de onda da tenso com e sem capacitor?


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b) O valor do capacitor interfere na forma de onda de sada? Por qu?

Utilizao do capacitor como filtro

Devido ao seu comportamento quando submetido a tenses em determinadas

freqncias o capacitor muito utilizado em circuito de filtros. Um exemplo simples da

utilizao dele como filtro na alimentao de microcontroladores.


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Figura 5 - Retirada da folha de especificao do microcontrolador KA2 da

Freescale

Fora utilizao para filtro de rudos em alta freqncia, o capacitor utilizado

para sinais conhecidos tais como onda quadrada, dente de serra, senoidal, pois

dependendo da freqncia da onda conseguem-se sinais especficos e teis para a

eletrnica em geral.

Tarefa de casa

Repita a tarefa um, utilizando um indutor em srie com uma fonte de corrente.

Utilize um simulador de circuitos, por exemplo, LTspice

(http://www.ufsm.br/materiais) . Obtenha o grfico da corrente em funo do tempo

(

) para trs valores diferentes de indutncia.
http://www.ufsm.br/materiaishttp://www.ufsm.br/materiais


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Osciloscpio

BotesBotes de seleo: utilizados para interagir com as opes dos menus do

osciloscpio;

Regulador de nveis de medida: utilizado para selecionar as faixas de escala do

osciloscpio no momento em que se faz a anlise da medida obtida;

Medidas: Seleciona quais medidas que iro ser mostradas no momento de

aquisio da medida;

Auto set: Calcula e mostra a escala adequada forma de onda;

Run/Pause: Pausa e continua o processo de leitura;

Trigger menu: seleciona se ir ser feita uma interpretao da amplitude do sinal ou

da diferenas de tempos (utiliza o boto 1 para regulagem);

SEC/Div: Seleciona a base para a escala de tempo;

VOLTS/Div: Seleciona a base para a escala de tenso.

Modo de utilizao do osciloscpio:Ligue a ponteira do osciloscpio no local aonde deve ser feita a medida;

Ligue o osciloscpio;

Selecione auto set;

Selecione a base de tempo ideal da amostra (depende do valor do capacitor e do

resistor) selecionando no boto 7;

Selecione a base de tenso ideal da amostra ( ) selecionando no boto 8;

Selecione Trigger Menu (6) e selecione a analise no tempo;

Selecione medidas, escolha os valores de aquisio e utilize o boto 2 para leitura

dos dados no tempo quando a curva estiver parada (5).


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9.2 2 AULA PRTICACIRCUITOS I

Circuito RLC

1. Introduo terica:

O circuito RLC, onde: R resistncia, L indutncia e C capacitncia, um circuito

eltrico oscilante.

Pela lei das malhas de Kircchoff temos:

(1)

Assim:

Substituindo na equao (1), temos:

+ Derivando a equao e dividindo por L, temos: Temos ento:

e


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Tipo de amortecimento Superamortecido ( Criticamente amortecido ( Sub-amortecido (

Sem perdas

2. LaboratrioA partir do circuito abaixo obter:

Variando a capacitncia obtenha os trs tipos de amortecimento.

Dados

Rinterna da fonte 50 ()

Rdcada 40 ()


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Frequncia 80 (Hz)

Tenso de alimentao ____ (V)

Indutor ____ (H)

a) Sub-amortecidoC =

0 =

=

GRFICO

b) Super amortecidoC =

0 =

=

GRFICO

c) Criticamente amortecidoC =

0 =

=

GRFICO


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10. BIBLIOGRAFIA

[1] - JOHNSON, D. E.; Hilburn, J. R. Fundamentos de Anlise de Circuitos Eltricos. ed.

4, p. 542, LTC, 2001.

[2] - ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Eltricos. v. 1, p. 286, Edgard Blncher, 2002.

[3] - MARIOTTO, P. A. Anlise de Circuitos Eltricos. p. 400, Prentice Hall, 2002.

COLABORADORESPrograma de Educao Tutorial de Engenharia Eltrica (PET-EE)

O que o programa?

O PET desenvolvido por grupos de estudantes, com tutoria de um docente,

organizados a partir de cursos de graduao das Instituies de Ensino Superior do pas, sendo

um grupo por curso orientados pelo princpio da indissociabilidade entre ensino, pesquisa e

extenso e da educao tutorial. A Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) possui

atualmente dez grupos PET ativos, os quais buscam atuar constantemente tanto na

comunidade acadmica quanto fora dos limites do campus da UFSM, promovendo atividades

integradas de ensino, pesquisa e extenso.

Os principais objetivos do programa so: contribuir para a elevao da qualidade de

formao acadmica dos alunos de graduao; estimular a formao de profissionais e

docentes de elevada qualificao tcnica, cientfica, tecnolgica e acadmica; formular novas

estratgias de desenvolvimento e modernizao do ensino superior no pas; e estimular o

esprito crtico, bem como a atuao profissional pautada pela tica, pela cidadania e pela

funo social da educao superior.

Atividades do grupoPrograma de Apoio as Disciplinas (PAD)

O PAD foi criado para estimular a utilizao de laboratrios e a motivao dos alunos e

professores atravs da soluo de problemas prticos e auxlio na elaborao de atividades

prticas. Atravs do PAD o PET-EE vem contribuindo com a organizao de planos de aulas ematerial didtico de apoio para realizao de aulas prticas e utilizao dos laboratrios.

Assim, busca-se atuar, positivamente, de forma direta na graduao, onde alunos e

professores trabalham em conjunto para o crescimento, desenvolvimento e integrao do

curso como um todo.

Reviso 1

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