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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.
AUTOR: DR. ANTONIO IVÁN RUIZ CHAVECO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.
Para fazer possível a descrição matemática de um fenômeno real qualquer,
inevitavelmente terá que ser simplificado idealizá-lo, fazendo ressaltar e tomando em
conta só os fatores mais substanciais que atuam sobre este e desprezando os
menos consideráveis. Então surge indevidamente o problema sobre se foram
corretamente escolhidas ou não as hipóteses de simplificação.
A modelagem de muitos desses processos naturais e das Ciências em geral é feita
aplicando equações diferenciais, sejam estas do grau que forem em
correspondência com o problema que se queira estudar, o qual pode ser ou não por
médio de funções elementares, e em muitas ocasiões só podem-se descrever as
características das soluções e não escrever ela de forma implícita ou explicitamente.
Uma equação diferencial é uma relação funcional do tipo:
0),...,",',,( )( =nyyyyxF
Onde x é a variável independente e )(,...,",', nyyyy representam à função
desconhecida e suas derivadas.
Se n=1 tem-se a equação de primeira ordem seguinte:
F(x,y,y’)=0.
Tem ocasiões que essa equação pode ser resolvida com relação à derivada, a qual
se escreveria como a seguir:
y’=f(x,y) (1)
Uma solução da equação (1) é uma função y=y(x), que transforma a equação (1) em
uma identidade,
y’(x)=f(x,y(x)), igualdade que é satisfeita para todos os valores de x onde existem as
soluções da equação.
Exempo1: A função kxcey = é solução da equação y’=ky para todo x real, pois
y’(x)=kxcke =ky(x).
Para cada valor de Rc ∈ , temos uma solução da equação, mas se desejamos a
solução que passa por um ponto dado ),( 00 yx do plano coordenado, nomeado plano
de fases, determina-se à solução que satisfaz essa condição, por exemplo, do
problema anterior a solução que satisfaz a condição y(0)=10, é kxey 10= .
Teorema1: Se a função f(x,y) é contínua na região D, a equação (1) tem solução
para todo (x,y) nessa região.
Pode ser que a solução seja única, mas dada uma condição inicial ),( 00 yx pode ter
mais de uma solução que passe por esse ponto, por isso é necessário conhecer as
condições de unicidade do problema.
Teorema de existência e unicidade.
A classe das equações diferenciais integráveis em quadratura é sumamente limitada;
por isso, já desde os tempos de Euler, obtiveram grande importância os métodos
aproximados na teoria de equações diferenciais. Na atualidade graça ao rápido
desenvolvimento da técnica de cálculo os métodos aproximado adquirem um valor
incomparavelmente maior.
Agora a minou resulta conveniente utilizar métodos aproximados com o uso de
calculadoras eletrônicas até nos casos em que a equação integra-se em quadratura.
Com grande freqüência a demonstração de teoremas de existência da solução da
também um método para a determinação exata ou aproximada da solução, o que
aumenta ainda mais a importância dos teoremas de existência.
A demonstração da existência das soluções de uma equação de primeira ordem da a
fundamentação do método de Euler de integração aproximada. Este método consiste
em que a curva integral buscada da equação diferencial,
),( yxfdx
dy = ,
que passa pelo ponto ( )00, yx , se substitui por uma quebrada construída por segmento
lineares cada um dos quais é tangente à curva integral em um dos seus pontos
fronteira. Nesse caso busca-se o valor da solução y=y(x) no ponto x=b, se 0xb > , o
segmento bxx ≤≤0 divide-se em n partes iguais pelos pontos nxxx ,...,, 10 , onde bxn = .
O comprimento de cada segmento hxx ii =−+1 chama-se passo do cálculo. O valor
aproximado da solução no ponto ix , é denotado por iy .
Para calcular 1y se substitui no intervalo 10 xxx ≤≤ a curva integral buscada pelo
segmento de sua tangente no ponto ( )00, yx Pelo tanto,
001 'hyyy += ,
onde ),(' 000 yxfy = . Em forma análoga calcula-se,
112 'hyyy += , onde ),(' 111 yxfy = ;
11 ' −− += iii hyyy , onde ),(' 111 −−− = iii yxfy , com i=3,4,...,n.
Se 0xb < , o esquema de cálculo se mantém, mas o passo h é negativo.
É natural esperar que quando 0→h as quebradas de Euler se aproximem da gráfica
da curva integral buscada. Pelo tanto, ao diminuir o passo h o método de Euler da um
valor a cada vez mais exato da solução buscada no ponto b.
Teorema 2 (teorema de existência e unicidade): Se na equação,
),( yxfdx
dy = (1),
a função f(x,y) é contínua no retângulo D:
( ) },/,{ 00002 byybyaxxaxRyxD +≤≤−+≤≤−∈= ,
E satisfaz em D a condição de Lipschitz:
2121 ),(),( yyNyxfyxf −≤− ,
Onde N é uma constante, então existe uma única solução )(xyy = ,
HxxHx +≤≤− 00 da equação (1), que satisfaz a condição 00)( yxy = , onde,
<NM
baH
1,,min , ( )yxfM ,max= em D.
Observação: A condição de Lipschitz,
2121 ),(),( yyNyxfyxf −≤− ,
pode ser substituída por uma outra mais fácil de comprovar: a existência da derivada
parcial limitada ),(' yxf y na região D.
Em efeito, se em D,
Nyxf y ≤),(' ,
então, ao aplicar o teorema do valor médio, obtém-se,
2121 .),('),(),( yyxfyxfyxf y −≤− ξ ,
onde ξ é um valor entre 21eyy , pelo tanto o ponte ( )ξ,x encontra-se em D.; por isso,
se, Nyxf y ≤),(' , então, 2121 ),(),( yyNyxfyxf −≤− .
Demonstração do teorema1: Substituindo a equação diferencial
),( yxfdx
dy = ,
Coma condição inicial
00)( yxy = ,
Pela equação integral equivalente,
∫+=x
x
dttytfyy0
))(,(0 (2)
Para construir a quebrada de Euler )(xyy n= que parte do ponto ( )00, yx com um
passo n
Hhn = no segmento Hxxx +≤≤ 00 , o processo é dividido em três etapas:
1) A seqüência )(xyy n= é uniformemente convergente.
2) A função nyxy lim)( = é a solução da equação integral (2).
3) A solução )(xy é única.
Para demonstrar a etapa (1), se expressa a equação (1) da forma,
)())(,(' xxyxfy nnn η+= 1+≤≤ kk xxx (3)
onde,
( ) ( ))(,,)( xyxfyxfx nkkn −=η ,
Em virtude da continuidade uniforme de f(x,y) em D, tem-se que
nn x εη <)( (4)
onde 0→nε quando ∞→n .
Integrando (3) com relação a x entre 0x e x, e tendo em conta que 00 )( yxyn = , tem-
se:
∫ ∫++=x
x
x
x
nnn dttdttytfyxy0 0
)())(,()( 0 η (5)
Considerando um m>0, devido a validez de 4 para qualquer n, tem-se.
∫ ∫ +++ ++=x
x
x
x
mnmnmn dttdttytfyxy0 0
)())(,()( 0 η (6)
Tomando o módulo da diferença entre (5) e (4), obtém-se,
( )∫ ∫ −+−=− +++
x
x
x
x
nmnnmnnmn dtttdttytftytfyxy0 0
)]()([])(,))(,([)( ηη (7)
A partir de (7) tendo em consideração (4) e a condição de Lipschitz quando
Hxxx +≤≤ 00 , conclui-se que :
( ) HdttytyNxyxy nmn
x
x
nmnnmnHxxx
.)()(max)()(max0
00
εε ++−≤− ++++≤≤ ∫
De onde se conclui que,
( )ε
εε<
−+
≤− +++≤≤ NH
Hxyxy nmn
nmnHxxx 1
)()(max00
Para todo 0>ε , e todo )(1 εNn > , assim chega-se a que )(xyn é uniformemente
convergente em Hxxx +≤≤ 00 , e converge )(xy , onde )(xy é uma função
contínua.
Para demonstrar a etapa (2), se passa ao limite na equação (5) quando ∞→n :
∫ ∫∞→∞→∞→++=
x
x
x
x
nn
nn
nn
dttdttytfyxy0 0
)(lim))(,(lim)(lim 0 η (8)
Em virtude da convergência uniforme de )(xyn para )(xy , e a continuidade uniforme
de f(x,y) em D, a seqüência ( ))(, xyxf n converge uniformemente para ( ))(, xyxf . Assim
pode-se passar ao limite dentro da integral na expressão (8), e assim conclui-se que:
∫+=x
x
dttytfyxy0
))(,()( 0 .
Para provar a etapa (3), suponha-se que existem duas soluções )(1 xy e )(2 xy da
equação (2) tais que,
0)()(max 2100
≠−+≤≤
xyxyHxxx
.
Assim ter-se-ia que,
∫+=x
x
dttytfyxy0
))(,()( 101
E
∫+=x
x
dttytfyxy0
))(,()( 202
Para todo, Hxxx +≤≤ 00 , e restando membro a membro, e aplicando a condição de
Lipschitz se tem,
)()(max
)()(max)()(max
2100
00000
xyxyNH
dttytyNxyxy
Hxxxx
x
x
nmnHxxx
nmnHxxx
−≤
−≤−
+≤≤
++≤≤++≤≤ ∫ (9)
Isso é uma contradição com que 0)()(max 2100
≠−+≤≤
xyxyHxxx
, posto que pela hipótese
do teorema N
H1< , e de (9) se deduz que 1≥NH . De isso se chega a que
0)()(max 2100
=−+≤≤
xyxyHxxx
E assim ambas as soluções coincidem, ficando assim demonstrado o teorema.
Equações em variáveis separáveis.
Uma equação em varáveis separáveis é uma equação da forma:
f(y)dy=g(x)dx (3)
como temos a igualdade entre dois diferenciais suas integrais se diferenciam em
uma constante, assim temos que:
∫ ∫ += Cdxxgdyyf )()(
Exemplo 2: Seja a equação xdx+ydy=o então sua solução é,
Cyx =+ 2/2/ 22 , C ≥ 0
É evidente que a constante tem que ser não negativa, pois no membro esquerdo
temos uma soma de quadrados.
A continuação verá equações que podem ser reduzidas a variáveis separáveis.
1.- A equação da forma y’=f(ax+by), a y b reais, se reduz a variáveis separáveis por
médio da substituição:
z=a x+by⇒z’=a+by’⇒z’=a+bf(z)
a que é uma equação em varáveis separáveis.
Exemplo 3: Seja a equação y’=2x+y.
z=2x+y⇒z’=2+y’=2+z⇒ dxz
dz =+2
⇒ 2−= xCez
2.- A equação homogênea de primeira ordem
)('x
yfy =
Pode ser reduzida a varáveis separáveis com a transformação
x
yz = ⇒ )(zfz
dx
dzx =+
Que é uma equação em varáveis separáveis.
Exemplo 4: Seja a equação
+=x
ytg
x
y
dx
dy.
Esta equação com a transformação anterior adota a forma:
x
dxdz
senz
z =cos⇒ Cx
x
ysen =
, C∈R.
Exercícios:
Resolver as seguintes equações:
1. y
e
dx
dy x
ln
2
=
2. ( ) ( ) 011 22 =+−+ dyxyyx , y(0)=1
3. ,4 xtdt
dx = x(0)=2
4. ( )( )42 −−= ρρρϕρ
d
d
5. tgydx-cotgxdy=0
6. (12x+5y)dx+(5x+2y)=0
7. 22 yxy
dx
dyx ++=
8. 0cos
=− dxyex
dy x
9. 0cos2
2
=− dxx
esenydy
x
10. 04 2 =+− dxyxydx , y(1)=1
11. 041 22 =−−+ dxydyx
12. ( )( )dxyyyxxydy 231 23 +−+=
13. 01
ln =+− dxy
xydy
14. 2x+y)dy=(4x+2y)dx
15. ( ) 022 =−−+ xydydxyxyx
Equações lineares de primeira ordem.
Chama-se equação linear de primeira ordem a uma equação linear com respeito à
função desconhecida e a sua derivada. É dizer uma equação da forma:
y’+p(x)y=f(x) (4)
onde p(x) e f(x) são funções contínuas na região de integração.
Se f(x)=0 para todo x, a equação chama-se linear homogênea .
Para determinar a solução da equação (4) integramos a equação homogênea:
y’+p(x)y=0 (5)
e buscamos uma solução particular da equação de (4), e a soma delas é a solução
geral da equação (4).
Exemplo 4: Seja a equação 2' xx
yy =− .
0=−x
y
dx
dy ⇒
x
dx
y
dy = ⇒ cxyh =
Para determinar a solução particular aplicaremos o método de variação da
constante, é dizer,
xxcyp )(= ⇒ )()('' xcxxcy p +=
E substituindo na equação obtemos:
2)(' xxxc = ⇒c(x)= 2/3x ⇒ += cxy 2/3x .
Equação de Bernoulli.
A equação de Bernoulli constitui um exemplo de equação reduzível a linear, essa
equação tem a forma:
nyxfyxpy )()(' =+ , n 1,0≠ .
Para se reduzir a linear, dividamos a equação por ny , assim temos:
)()(' 1 xfyxpyy nn =+ −−
Equação que queda reduzida a linear só com a transformação nyz −= 1
.
Exemplo 4: Seja a equação y
x
x
y
dx
dy
22
2
=− .
Multiplicando por 2y obtemos a equação,
22
2'2 x
x
yyy =−
Equação que se reduze a linear por médio da transformação, 2yz = , chegando á
equação,
2' xx
zz =−
cuja solução é,
2
3xcxz += , e assim,
2
32 x
cxy += .
Exercícios.
16. y’+2xy=x, y(0)=-3.
17. xy’+y=2x, y(1)=1.
18. 2
1
yxdx
dy
+= , y(-2)=0
19. xeyy 3' =+
20. 223' xyxy +=
21. 1'2 =+xyyx
22. xdy=(xsenx-y)dx
23. 2
1'
yyxy =+
24. ( )1' 3 −= xyyy
25. xyyyx =+ 22 '
26. 2' yeyy x=−
27. ( ) 21' xyyxxy =+−
28. 42 32' yxyyx =− , y(1)=1/2.
29. 2'2
y
x
x
yy −= , y(1)=1.
Equação exata.
Uma equação da forma:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (6)
é uma equação diferencial exata se existe uma função U(x,y) tal que :
dU=M(x,y)dx+N(x,y)dy (7)
assim a equação toma a forma, dU(x,y)=0, e sua integral é:U(x,y(x))=C.
Considerando que a função U é duas vezes continuamente diferençável, e tendo em
conta que:
dyy
Udx
x
UdU
∂∂+
∂∂= (8)
Chega-se a que, uma condição necessária e suficiente para que a equação (6) seja
exata, é que:
x
N
y
M
∂∂=
∂∂
, para todo (x,y) na região de integração.
De (6) e (8) tem-se que;
),( yxMx
U =∂∂
, e ),( yxNy
U =∂∂
(9)
Integrando a primeira equação de (9) em relação a x, considerando ( )00, yx na
região de integração D, se obtém:
∫ +=x
x
yCdxyxMyxU0
)(),(),(
Derivando esta expressão em relação a y tem-se:
∫ +∂
∂=∂∂ x
x
yCdxy
M
y
U
0
)('
Fazendo uso da condição necessária e suficiente se chega a que,
∫=y
y
dyyxNyC0
),()( 0 ,
Assim concluímos que a solução está dada por:
CdyyxNdxyxMx
x
y
y
=+∫ ∫0 0
),(),( 0 (10)
Exemplo 4: Seja a equação ( ) ( ) 031 2 =+−+++ dyyxdxyx .
Tem-se que x
N
y
M
∂∂==
∂∂
1 , então é exata, aplicando a fórmula (10), temos que:
∫ ∫ =+−+++x
x
y
y
Cdyyxdxyx0 0
)3()1( 20 ,
Chega-se a:
1
32
332
Cyy
xxyx =+−++ .
Há ocasiões em que a equação (6) não é exata, mas existe uma função ),( yxµ ,
chamada fator integrante tal que:
0=+ NdyMdx µµ ,
É exata, então,
x
N
y
M
∂∂=
∂∂ µµ
,
Assim obtém-se que:
y
M
x
NN
xM
y ∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂ µµ lnln
(11)
Como se pode ver a equação (11) é muito difícil de resolver, mas, para casos
particulares se pode ser integrada sem muita dificuldade. Se )(xµµ = , a equação
(11) tem a forma:
y
M
x
NN
dx
d
∂∂−
∂∂=− µln
.
Exemplo 4: A equação Linear y’+p(x)y=f(x). Pode ser integrada buscando um fator
integrante que só dependa de x, ou seja:
[p(x)y-f(x)]dx+dy=0.
Se )(xµµ = , então,
)(ln
xpdx
d −=− µ⇒
∫=dxxp
e)(µ .
Assim a equação linear adota a forma
[p(x)y-f(x)]∫ dxxp
e)(
dx+∫ dxxp
e)(
dy=0,
Que como se pode comprovar é exata.
Exemplo 5: Seja a equação xx
yy 3' =− .
Aqui se têm que ∫=
−x
dx
eµ ⇒ µ =1/x. A equação então adota a forma:
032
=+
−−x
dydxx
x
y
A qual é uma equação exata, assim temos que:
∫∫ =+
+−y
y
x
x
Cx
dydx
x
y
00 02
3
E a solução é;
13 Cxx
y =− ,
Então
21 3xxcy +=
Observação: Para toda equação integrável em quadratura existe um fator
integrante, mas na maior parte das ocasiões é muito difícil determinar esse fator
integrante.
Exercícios:
Resolver as seguintes equações:
30. (2x-1)dx+(3y+7)dy=0
31. (5x+4y)dx+(4x-8 3y )dy=0
32. ( ) ( ) 0cos23 223 =++−− dyxyxydxxsenxyy
33. ( ) ( ) 01lnln =++− − dyyxdxeyy x
34. 262 xyxe
dx
dyx x +−=
35. 03
13
1 =
+−+
+− dyxy
dxyx
36. (tgx-senxseny)dx+cosxcosydy=0
37. ( ) xyxdx
dyyx 44221 32 +=−−
38. 2x-y)dx-(x+6y)dy=0
39. dyxdxx
yx )ln1(ln1 −=
++
40. 02
2
2
=− dyy
xdx
y
x
41. ( ) ( ) 1)0(,02 ==++++ ydyyexdxye yx
42. ( ) ( ) 1)1(,12 22 =−+++ ydyxxydxyx 3
Aplicações das equações diferenciais de primeira or dem.
Existem múltiplos exemplos de aplicações das equações diferenciais de primeira
ordem, ente elas o desenvolvimento de capital, crescimento de colônias de
bactérias, estúdio de ortogonalidade de curvas, etc. Só veremos a modo de exemplo
as curvas ortogonais e o crescimento de colônias de bactérias.
È conhecido que dadas duas retas 1r e 2r não paralelas aos eixos coordenados são
perpendiculares se e somente se, seus coeficientes angulares satisfazem a relação:
1. 21 −=mm .
Duas curvas 1C e 2C são ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas
tangentes forem perpendiculares no ponto de interseção.
Exemplo 6: Sejam as curvas definidas por 3xy = e .43 22 =+ yx elas são
ortogonais nos pontos de interseção.
Solução: Não é difícil ver que os pontos (1,1) e (-1,-1) são os pontos de interseção
dessas curvas. A inclinação da reta tangente à parábola é 23' xy = , logo,
y’(1)=y’(-1)=3.
Entretanto, a inclinação da reta tangente à elipse é y
x
dx
dy
3−= , assim temos que as
tangentes nos pontos indicados têm as seguintes inclinações:
y’(1,1)=y’(-1,-1)=-1/3.
Assim temos que se cumpre à condição, portanto as curvas são ortogonais.
Quando todas as curvas de uma família G(x,y,c)=0 interceptam ortogonalmente
todas as curvas de outra família H(x,y,c)=0, então dizemos que as famílias são
trajetórias ortogonais uma da outra.
Exemplo 7: Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas y=c/x.
A derivada da família de hipérboles é:
Substituindo c=xy obtém-se,
x
y
dx
dy −=
A equação diferencial da família ortogonal é:
y
x
dx
dy =
Separando as variáveis e integrando obtemos:
cxy =− 22
Como se percebe é outra família de hipérbole.
2'
x
cy −=
Em muitos problemas de natureza real envolvendo crescimentos ou decrescimento
de populações aparece o problema de valor inicial seguinte:
00 )(, xtxkxdx
dy ==
Onde em dependência do sinal de k, pode ser um crescimento ou um decrescimento
da população, sustância que se desintegra, capital, etc.
Exemplo 7: Em uma população de certa comunidade se tem um crescimento a uma
taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a
população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará?
Solução: N(t)-população no momento t. Assim temo o problema:
0)0(, NNkNdt
dN ==
A solução desse problema tem a forma:
kteNtN 0)( =
Como para t=5 a população duplicou, temos que,
⇒ 5 2=ke ⇒
5 2ln=k
Assim temos que para que a população se triplique teríamos,
5 2ln003 teNN = ⇒ 523
t
= ⇒ 52ln
3ln
=t .
Exemplo 8: Segundo dados do IBGE a população no município de Tabatinga nos
censos dos anos de 1991 e 2000 foi respectivamente de 27. 923 e 37.919 habitantes
respectivamente. Aqui se tem que a taxa de crescimento da população foi de um
3.5%. Com esta taxa, qual deveria ser a população no ano 2010?
Solução: N(t)-população no momento t. Assim temo o problema:
0)0(, NNkNdt
dN ==
A solução desse problema tem a forma:
kteNtN 0)( =
keNN 5002 =
Onde 919.370 =N , e 100
5.3=k , como t=10, tem-se que,
311.53)10( =N , o que não esta longe do que reportou o censo do 2010 que foi
52.279 habitantes.
Aplicações nas comunidades indígenas.
Um dos instrumentos usados pelos indígenas é a zara batana o qual tem
mostrado muita efetividade na casaria.
Exemplo 9: Um índio com uma zarabatana quer atingir um macaco pendurado num
galho e coloca-se embaixo dele verticalmente, o índio aplica uma pressão
manométrica constante de P=5 kPa por detrás do dardo,o qual pesa w= 0.5N e tem
um área lateral de contato com aparte interna da zarabatana de A=1500mm2, a
separação do dardo e a zarabatana é de h= 0.01mm. A superfície interna da
zarabatana esta seca, o ar e o vapor da respiração do índio atuam como fluido
lubrificador entre o dardo e a zarabatana.
Esta mistura tem uma viscosidade de
µ =3.10-5 Ns/m2
Calcular:
a) A variação da Velocidade(V) com relação a Z, como função.
dV/dZ= f (P, D ,W A, h, V )
Quando se dispara o dardo acima verticalmente.
Solução.
Dados:
V = velocidade do dardo no instante t.
Z = altura do dardo no instante t.
t = 0, Z = 0 (boca do índio), a=dV/dt,V=dZ/dt, a aceleração e V- velocidade do dardo.
Para formar a equação diferencial precisamos da lei de viscosidade de Newton
idF dV
dA dyµ= ,
Fi – Força de resistência lateral do fluido a movimento do dardo.
Veja no gráfico
Da lei da viscosidade de Newton obtemos a força Fi de resistência pelo o fluido
viscoso.
i
dV VdF dA dA
dy hµ µ= =
De onde integrando
i
VF A
hµ=
por outra parte i
FP
A= , F –força produto da pressão manométrica,
2 2( / 2 )i iA r D hπ π= = −
Aplicando a segunda lei de Newton e transformando convenientemente obtemos
i
dVdV dV dZ dVdZF F W ma m m m m V
dtdt dZ dt dZdZ
− − = = = = =
onde isolamos dV
dZ
2/ ( / 2 ) /i i iF F W PA VA h W P D h VA h WdV
dZ mV mV mV
µ π µ− − − − − − −= = =
b) Calcular o comprimento necessário da zarabatana, sim deseja que a velocidade
do dardo na saída atinja 15 m/s.
Temos no anterior uma equação de variáveis separáveis com relação a V e Z,
obtemos.
2( / 2 )i
mVdVdZ
AP D h W V
hπ µ
=− − −
,
integrando ambos os lados
15
20 0( / 2 )
l
i
mVdVdZ
AP D h W V
hπ µ
=− −
∫ ∫ ,
onde l é a longitude da zarabatana
De onde obtemos resolvendo as integrais uma expressão para calcular o l
Resposta l=1.88m
Exercícios:
Encontre as trajetórias ortogonais das famílias de curvas seguintes:
43. y=C/x
44. 2Cxy =
44. xCey −=
45. ( )2Cxy −=
46. xC
y+
= 1
47. Em uma cultura, há inicialmente 0N bactérias. Uma hora depois (t=1) o número
de bactérias passa a ser 2
3 0N. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número
de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de
bactérias triplique.
48. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em
qualquer tempo.Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos.
Qual será a população em 30 anos.
49. Segundo dados de IBGE a população de Tabatinga no ano 2010 é de 52.279
habitantes, isso representou uma taxa de crescimento com relação ao censo anterior
de um 3.4%. Com essa taxa de crescimento qual será a população no ano 2020?
Quantos anos demorarão em atingir uma população 100.000 habitantes?
50. Segundo dados de IBGE a população do Alto Solimões no ano 2010 é de
214.411 habitantes se a taxa de crescimento fosse a mesma de Tabatinga, qual será
a população no ano 2020? Quantos anos demorarão em atingir uma população de
um milhão de habitantes?
Equações lineares de ordem superior.
Muitos problemas da Ciência e a Técnica são modelados por equações de ordem
superior, em particular as equações lineares têm um role muito importante nas
aplicações fundamentalmente na Física.
Uma equação linear de ordem n tem a forma:
)()(...)( )1(1
)( xfyxpyxpy nnn =+++ −
(12)
Onde )(),(),...,(1 xfxpxp n são funções contínua na região de integração da equação,
[a,b]. Então para qualquer ),(0 bax ∈ tal que:
(13)
Existe uma única solução de (12) que satisfaz a condição inicial (13).
Se f(x)=0 para todo x, então a equação (12) diz-se homogênea, a qual tem a forma:
0)(...)( )1(1
)( =+++ − yxpyxpy nnn
(14)
0)1(
0)1(
0000 )(,...,')(',)( −− === nn yxyyxyyxy
Considerando um operador diferencial linear L tal que:
yxpyxpyyL nnn )(...)(][ )1(
1)( +++= −
A equação (14) toma a forma:
L[y]=0 (15)
Propriedades.
1.- Se myy ,...,1 são soluções de (15), então ∑=
m
iii yc
1 é solução de (15).
D; L[∑=
m
iii yc
1
]= 0][1
=∑=
m
iii yLc .
É evidente que y(x)=0 é solução de (15), isso unida a que se satisfaz a propriedade
(1) implica que o o conjunto das soluções de (15) é um espaço vetorial de
dimensão n. Assim para ter qualquer solução de (15) só precisamos de uma base
de esse espaço.
2.- Se y=u+iv é solução então u e v são soluções de (15).
D; 0=L[u+iv]=L[u]+iL[v] ⇒L[u]=0 e L[v]=0.
3.- Se nyy ,...,1 , são linearmente independente, então ∑=
=n
iiih ycy
1
é a solução
geral de (15), é dizer toda solução de (15) expressa-se dessa forma.
nyy ,...,1 -sistema fundamental de soluções.
Seja a equação linear homogênea com coeficientes constantes,
0...)1(1
)( =+++ − yayay nnn
(16)
Onde ),...,1(, niai = são constantes, neste caso sem muita dificuldade podem
ser determinadas as n soluções LI da equação (16), as quais serão determinadas
da forma kxey = , dado que temos uma combinação linear de uma função e sua s
derivadas. Substituindo kxey = na equação (16), obtém-se:
.0...11 =+++ − kx
nkxnkxn eaekaek
Como 0≠kxe , pode-se cortar essa expressão uma vez posta em evidencia, e
assim queda a equação,
0...11 =+++ −
nnn akak (17)
A equação (17) denomina-se equação característica da equação (17), e ela permite
uma vez determinados os valores de k obter as n soluções LI.
Caso I) Se nkkk ,...,, 21 são n raízes reais diferentes de (17), então,
,
São as n soluções LI da equação (16).
Exemplo 8: Seja a equação: y”-3y’+2y=0.
A equação característica é,
0232 =+− kk
E suas raízes são 12 11 == ekk , assim a solução geral será;
xxh ececy 2
21 += .
Caso II) Si existem as raízes ibaibekak −=+= 21 , da equação (17) então,
( )isenbxbxe ax +cos , é solução da equação (16), e assim a parte real
bxe ax cos e a parte imaginária senbxeax são também soluções de (16). E são
as duas soluções LI correspondente a essa dupla de valores próprios.
Exemplo 9: Seja a equação: y”+4y=0.
Como as raízes da equação característica,
042 =+k , são 2i e -2i, tem que, a solução geral da equação é:
xsencxcyh 22cos 21 +=
Caso III) Se 1k é uma raiz da equação (17) de multiplicidade m, então essas m
soluções de (16) LI têm a forma:
xkxkxk neee ,...,, 21
xkmxkxk exxee 111 1,...,, −
Exemplo 10: Seja a equação y”+2y’+y=0.
A equação característica tem a forma,
0122 =++ kk ⇒ ( ) 01 2 =+k ,
tem-se a raiz k=-1 de multiplicidade 2. Assim a solução geral é,
xxh xececy −− += 21 .
Exercícios:
Determine a solução geral das equações seguintes:
51. y”+9y=0
52. y’’’+y’=0
53. y’’’+2y’’+y’=0
54. y”-7y’+12y=0
55. y’’’+10y’’+25y’=0
56. y’’+2y’+2y=0
57. y’’’+3y’’=0
Determine a solução que satisfaz a condição indicada:
58. y’’-y=0, y(0)=0, y’(0)=2.
59. y”-4y’+4y=0, y(0)=0, y’(0)=8
60. y’’-4y’+9y=0, y(0)2, y’(0)=0
61. 0=− yy IV , y(0)=1, y’(0)=0y’’(0)=0y”’(0)=0
Método dos coeficientes indeterminados.
Dada la equação linear não homogênea com coeficientes constantes seguinte,
)(...)1(1
)( xfyayay nnn =+++ −
(18)
ou o que é o mesmo
L[y]=f(x)
Teorema: Se hy é solução de (16) e py é solução de (18), então y= hy + py é
solução de (18).
D: Aplicando o operador a ambos os membros, temos que.
L[y]=L[ hy + py ]=L[ hy ]+L[ py ]=f(x).
O método dos coeficientes indeterminado consiste em expressar por médio de
coeficientes paramétricos a solução particular py da equação (18), parâmetros
que são determinados de modo que tal função satisfaça a equação. Esse processo
é feito em correspondência com a função f(x), de acordo a como seja essa equação
assim será a solução da equação aparecendo assim quatro casos diferentes:
Caso I.- Se f(x) é um polinômio da forma,
mmnm
m axaxaxaxpxf ++++== −−
11
10 ...)()(
Se k=0 é raiz da equação característica de multiplicidade r, então a solução
particular tem a forma,
]...[)( 11
10 mmnmr
mr
p bxbxbxbxxqxy ++++== −−
Exemplo 10: Seja a equação, y’’-y=x+1.
A solução da equação homogênea é, xx
h xececy −+= 21 , onde 1 e -1 são as
raízes da equação característica, assim temos que py =ax+b, pois f(x) é um
polinômio de grau um e o zero não é raiz da equação característica.
Avaliando na equação temos que
(0)+(ax+b)=x+1⇒a=1, e b=1, então py =x+1.
Caso II.- Se x
m expxf α)()( = , e α é raiz da equação característica de
multiplicidade r, então,
xm
rp exqxy α)(=
Exemplo 11: Seja a equação y’’+3y’+2y= xe−
Aqui temos que xx
h xececy −− += 22
1 , como que α =-1 é raiz da equação
característica de multiplicidade r=1, temos que :
xp axey −= ⇒
xxp aeaxey −− +−=' ⇒
xxp aeaxey −− −= 2''
[xx aeaxe −− − 2 ]+3[
xx aeaxe −− +− ]+2[xaxe−
]=xe−⇒a=1.
Assim, x
p xey −= .
Caso III.- Se ])(cos)([)( xsenxtxxpxf sm ββ += , e iβ é raiz da equação
característica de multiplicidade r, então a solução particular da equação (18) tem a
forma :
])(cos)([ xsenxgxxqxy kkr
p ββ +=
Onde k=Max{m,s}, indica o grado de tais polinômios.
Exemplo 11: Seja a equação y’’-4y=cosx.
As raízes da equação características são 2 e -2, assim,
xxh ececy 2
22
1−+=
E a solução particular tem a forma:
bsenxxay p += cos
Derivando e substituindo na equação, temos que,
-[acosx+bsenx]-[acosx+bsenx]=cosx
Assim temos que: a=-1/5, e b=0 ⇒ xy p cos5/1−= .
IV.- Se ])(cos)([)( xsenxtxxpexf smx ββα += , e iβα + é raiz da equação
característica de multiplicidade r, então a solução particular tem a forma:
])(cos)([ xsenxtxxpexy kkxr
p ββα +=
Onde k=Max{m,s}, indica o grado de tais polinômios.
Exemplo 11: Seja a equação y’’-y’= senxex.
A solução geral da equação homogênea é:
xh eccy 21 +=
Como que 1+i não é raiz da equação característica, a solução particular tem a forma:
]cos[ bsenxxaey xp +=
Derivando e substituindo na equação temos que,
]cos[2 xbsenxex +− -[ ]cos[ bsenxxaex + + ]cos[ xbsenxex +− ]=
senxex
Igualando os coeficientes de expressões semelhantes temos que:
=+−=−−
0
1
ba
ba⇒a=b=-1/2.
Conclui-se então que
][cos21
senxxey xp +−= .
Teorema: Se iy é solução da equação )(][ xfyL i= (i=1,...,m), então y=∑=
m
iiy
1
é
solução da equação ∑=
=m
iifyL
1
][ .
Exercícios: Resolver as seguintes equações não homogêneas.
62. y’’’-y’=2x.
63. y’’’-y= xe x +2 .
64. y’’+y=cosx.
65. y’’+2y’+y= xe x cos .
66. y’’’+4y’’+4y’= senxe x.
67. y’’+6y’+9y=9.
68. y’’’+8y=cosx+2.
69. y’’+4y= senxex.
70. y’’’-3y’’+2y’=2x+1.
Método de variação das constantes.
Este é o método mais geral que existe para a determinação de uma solução
particular da equação (18), inclusive aplicável a equações com coeficientes variáveis
uma vez conhecido um sistema fundamental de soluções para a equação
homogênea.
Se ∑=
=n
iiih ycy
1é a solução geral da equação homogênea (16), então se pode
determinar uma solução particular da forma:
∑=
=n
iiip yxcy
1
)(
E dizer, considerando as )(xcc ii = , não como constantes senão como funções de
x, as quais são determinadas de modo que py satisfaz a equação (18), assim para
sua determinação forma-se um sistema que permite lhe calcular.
∑=
=n
iiip yxcy
1
)( = hyxC ).( , o que é o mesmo o produto escalar desses vetores.
Derivando py temos que py' = hyxC ).(' + hyxC ').( , se consideramos que py'
tenha a forma que corresponde aos ic constantes, então teríamos
hyxC ).(' =0 (19)-1.
E py ' = hyxC ').( , derivando novamente esta expressão temos que,
py' = hyxC ').(' + hyxC '').( , se fizermos novamente a suposição anterior, temos
que
py' = hyxC '').( , e se teria a condição.
hyxC ').(' =0 (19)-2
Continuando o processo se teria
hnyxC )1().(' −
=0 (19)-(n-1)
E a n-ésima condição sai de considerar py solução de (18), e assim temos que
hnyxC )().(' =f(x) (19)-(n)
E o sistema é :
=
=
==
−
)().('
0).('
...................
0').('
0).('
)(
)1(
xfyxC
yxC
yxC
yxC
nh
nh
h
h
(19)
Esses produtos escalares podem-se expressar em forma desenvolvida, por exemplo:
hyxC ).(' =∑=
n
iii yc
1
' .
Exemplo 11: Seja a equação y’’+y=1/cosx.
Como se pode ver esta não é uma das equações do tipo tratado no método de
coeficientes indeterminados. A solução geral da equação homogênea é:
senxcxcyh 21 cos +=
Buscaremos a solução particular da forma,
senxxcxxcy p )(cos)( 21 +=
Assim o sistema para determinar as ic tem a forma;
=+−
=+
xxxcsenxxc
senxxcxxc
cos1
cos)(')('
0)('cos)('
21
21
De sua solução tem-se que xxc =)(2 , e xxc cosln)(1 = , e assim a
solução particular é a seguinte,
xsenxxxy p += coscosln
E a solução geral da equação não homogênea é:
senxcxcy 21 cos += + xsenxxx +coscosln .
Exercícios: Resolver as seguintes equações não homogêneas:
71. y’’’+5y’’=4
72. y’’+y=cotx
73. y’’+4y=2/cos2x
74. y’’+9y=3/sen3x
75. y’’’+4y’=cot2x
76. y’’-4y=2x
77. y’’’-2y’’=10
78. y’’’+y’’=4x
Sistemas de equações diferenciais.
Dado o sistema de equações diferenciais linear,
)(...'
...................................................
)(...'
)(...'
2211
222221212
112121111
xfxaxaxax
xfxaxaxax
tfxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
++++=
++++=++++=
(20)
En forma vetorial este sistema pode ser escrito da forma
X’=AX +F(X) (21)
Onde
A=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.
....
.
.
21
22221
11211
nx
x
x
X.2
1
=
nf
f
f
F.2
1
=
Para o estudo do sistema não homogêneo (21) procederemos de um jeito
semilhante a como fizermos no caso da equação de ordem superior, para isso
determinaremos inicialmente a solução geral do sistema homogêneo:
X’=AX (22)
Propriedades.
1) Se X eY são soluções de (22), então X+Y é soluão de (22).
D: (X+Y)’=X’+Y’=(AX)+(AY)=A(X+Y).
2) Se X é solução de (22), então mX, para qualquer m real é solução de (22).
D: (mX)’=mX’=m(AX)=A(mX).
As propriedades (1) e (2) permitem garantir que o conjunto das soluções de (22)
constitue um espaço vetorial.
Este espaço tem dimenção n, e uma base é dizer n soluções LI, se denomina
sistema fundamental de soluções.
3) Se ,,...,, 21 nXXX é um sistema fundamental de soluções, então
∑=
=n
iiih XcX
1
É a solução geral do sistema (22).
4) Se X=U+iV é solução de (22), então U e V são soluções de (22).
D: Temos que, X’=0, então (U+iV)’=U’+iV’, então U’=0 e V’=0.
Determinaremos as soluções LI do sistema (22) da forma
ktheX =
Aqui temo que h é um vetor constante da forma
nh
h
h
h.2
1
= e k é um número real.
Substituindo X na equação 22) temos:
(A-kI)h=0 (23)
kaaa
akaa
aaka
nnnn
n
n
−
−−
.
....
.
.
21
22221
11211
=0 (24)
A equação (24) chama-se equação característica do sistema (22), isso indica que os
valores de k são os valores proprios y os vetores h que satisfazem (23) são os
vetores próprios da matriz A.
Para o caso de duas equações com duas funções incógnitas o sistema (22) tem a
forma:
+=+=
dycxy
byaxx
'
' (24)
Neste caso a equação característica tem a forma:
0=−
−kdc
bka (25)
E a equação para determinar os vetores próprios é,
02
1 =
−−
h
h
kdc
bka
Aqui temos os seguintes casos:
Caso I: Se 21 kk ≠ são duas soluções reais da equação (25), então a solução
geral de (3) tem a forma:
tktk ehcehcX 21
2211 +=
Pois tkeh 1
1 e tkeh 2
2 constituem um sistema fundamental de soluções, pois são
dois soluções LI do sistema (24).
Aqui temo que 0)( 11 =− hIkA , 0)( 22 =− hIkA
Caso II ) Se 21 kk = solução real da equação (25), então a solução geral de (3) tem
a forma:
tktk ethhcehcX 21 )( 12211 ++=
Aqui temo que 0)( 11 =− hIkA , 121 )( hhIkA =−
Caso III) Se qipk +=1 , qipk −=2 , tem-se aqui que h=u+iv, e,
)cos(
)cos(
2**
1
21
senqtcqtcey
senqtcqtcexpt
pt
+=
+=
Pois,
qticoqte iqt sen+=
Exemplo 1: Determine a solução do sistema:
x’=2y, y’=-2x, x(0)=1, y(0)=-1
Solução: a) 02
2=
−−−
k
k042 =+⇒ k ⇒ ik 2±= .
Assim 022
22
2
1 =
−−−
h
h
i
i⇒ 022 21 =+− hih para 11 =h temos
que ih =2 , e teremos que
+−+
=
+=
=
titsen
tisent
itisent
ieX it
2cos2
22cos1)22(cos
12.
E teríamos
+
−=
=
t
tsenC
tsen
tC
y
xX
2cos
2
2
2cos21 .
Para determinar a solução que satisfaz a condição x(0)=1, y(0)=-1, é preciso
determinar os valores de 1C e 2C , sob essa condição.
tctsency
tsenctcx
2cos2
22cos
21
21
+−=+=
De x(0)=1, y(0)=-1, temos que ,
1C =1, e 2C =-1, e assim,
ttseny
tsentx
2cos2
22cos
−−=−=
Exemplo 2: Determine a solução do sistema:
x’=2x+6y, y’=x+y
Exemplo 3: Determine a solução do sistema:
x’=3x-y, y’=x+y
Exercícios:
Achar a solução geral dos seguintes sistemas:
79.
+==
yxy
yx
3'
2'
80.
+=+=
yxy
yxx
4'
5'
81.
−−=+=
yxy
yxx
'
2'
82.
−=+=yxy
yxx
'
2'
II.-Resolver os seguintes problemas de valores inic iais:
83.
+=+−=yxy
yxx
'
3' x(0)=1, y(0)=0
84.
+=−−=
yxy
yxx
2'
' x(0)=0, y(0)=2
85.
−−=+=
yxy
yxx
2'
23' x(0)=0, y(0)=1
Sistema linear não homogêneo.
Para a determinação da solução geral do sistema não homogêneo (22), precisamos
da solução geral do sistema homogêneo (21) e uma solução particular de (22), pois
aqui tem lugar o seguinte resultado que fala da soma de uma solução de (21) e uma
solução de (22).
Teorema: Se 1X é solução de (21) e 2X é solução de (22), então
21 XXX += é solução de (21).
D: Derivando a expressão correspondente a X, temos,
FAXFAXXXX =++=+= 2121 '''
Para determinar a solução particular de (21) aplicaremos o método mais geral
que existe para a determinação de uma solução particular, este é o método de
variação das constantes, o qual consiste no seguinte procedimento. Se
2211 hhh XCXCX += é a solução geral da equação (22), buscaremos pX
da forma:
2211 )()( hhp XtCXtCX +=
Onde )(1 tC e )(2 tC , são determinadas de modo que pX seja solução de
(21). Derivando pX , e considerando os sistemas (21) e (22), temos que:
FXtCXtC hh =+ 2211 )(')(' (26)
O sistema (26) tem solução única, pois o determinante do sistema esta determinado
pelo sistema fundamental de soluções o qual é diferente de zero.
Exemplo: Seja o sistema
+=
−=
txy
yx
cos
1'
'
.
01
1=
−−−
k
k012 =+⇒ k ⇒ ik ±=
01
1
2
1 =
−−−
h
h
i
i⇒ 021 =− ihh para 12 =h temos ih =1
++−
=
+=
=
isentt
tisentiisentt
ieX it
cos
cos
1)(cos
1
+
−=
=
sent
tC
t
sentC
y
xX
cos
cos 21
x h =- 1C sent+ 2C cost
y h = sentCtC 21 cos +
Assim tem-se que,
{ senttcttcyttcsenttcx pp )(cos)(,cos)()( 2121 +=+−=
E o sistema para determinar )(1 tC e )(2 tC esta dado por:
{t
senttcttcttcsenttccos
1)('cos)(',0cos)(')(' 2121 =+=+−
De aqui temos que ttC =)(1 e ttC cosln)(2 −= , logo
−=
−−=
sentttty
tttsentx
p
p
coslncos
coscosln
Exercícios:
Determinar a solução geral dos seguintes sistemas:
86.
−=++=
yxy
yxx
'
22'
87.
+=+−=
yxy
tyx
2'
'
88.
=+−=
xy
tgtyx
'
'
89.
−=+=xy
tsenyx
2'
22'
90.
−=+=
3'
2'
xy
yx
Achar a solução que satisfaz a condição indicada:
91.
=+=
xy
eyx t
'
' x(0)=1, y(0)=1
92.
−=
+=
xysent
yx
'
1'
x(0)=1, y(0)=2
93. Um móvel é posto em movimento, a partir de uma posição inicial s(0)=0, com
uma velocidade inicial v(0)=0. Se a variação da posição e a velocidade é dada pelo
sistema:
s’=2s+v
v’=s+2v,
Se o espaço mede-se em Km e o tempo em horas, determine a posição e a
velocidade no momento T=10h.
Bibliografia :
1. Burtom, T and Grimmer, R. “On continuability of solutions of second order differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc. No. 29, 1971.
2. Burtom, T and Grimmer, R. “On the asimtotic behaviour of solutions of x”+a(t)f(x)=0”. Proc. Amer. Math. Soc. No. 29, 1971.
3. Burtom, T and Townsend, C. “Stability regions of the forced Lienard equatin” . J London Math. Soc., 1971.
4. Bibikov, Y. N. “Convergence in Lienard`s equation with a forcing term”. Vestnik . No. 7. 1976.
5. Simmon, G.F. “Differential Equatins with applications and history notes”. Ed. Mc. Granw-Hill. México. 1977.
6. Kaplan, W. “Ordinary Differential Equations”. Ginn and Company. 1968.
