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APOSTILA DE MATEMTICA
APOSTILA DE MATEMTICA
PARA AUXILIAR ADMINISTRATIVO NOSSA CAIXA Contedo:
1. Nmeros inteiros, racionais e reais; problemas de contagem
2. Sistema legal de medidas
3. Razes e propores; diviso proporcional; regras de trs simples e compostas; porcentagens
4. Equaes e inequaes de 1 e 2 graus; sistemas lineares
5. Funes; grficos
6. Seqncias numricas
7. Funes exponenciais e logartimicas
8. Noes de probabilidade e estatstica
9. Juros simples e compostos: capitalizao e descontos
10. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente
11. Rendas uniformes e variveis
12. Planos de amortizao de emprstimos e financiamentos
13. Clculo financeiro: custo real efetivo de operaes de financiamento, emprstimo e investimento
14. Avaliao de alternativas de investimento
15. Taxas de retorno
1
NMEROS INTEIROS - OPERAES E PROPRIEDADES
Neste captulo ser feita uma reviso dos aspectos mais importantes sobre as operaes de adio,
subtrao, multiplicao e diviso com nmeros inteiros.
ADIO
Os termos da adio so chamados parcelas e o resultado da operao de adio denominado soma ou
total.
1 parcela + 2 parcela = soma ou total
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adio:
a + b = b + a
O zero elemento neutro da adio:
0+a=a+0=a
SUBTRAO
O primeiro termo de uma subtrao chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da
operao de subtrao denominado resto ou diferena.
minuendo - subtraendo = resto ou diferena
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtrao:
a - b b - a (sempre que a b)
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto ser adicionado de k.
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto ser subtrado de k.
A subtrao a operao inversa da adio:
M-S = RR+S = M
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto sempre igual ao dobro do minuendo.
M+S+R=2 x M
Valor absoluto
O valor absoluto de um nmero inteiro indica a distncia deste nmero at o zero quando consideramos a
representao dele na reta numrica.
Ateno:
O valor absoluto de um nmero nunca negativo, pois representa uma distncia.
A representao do valor absoluto de um nmero n I n I. (L-se "valor absoluto de n" ou "mdulo
de n".)
Nmeros simtricos
Dois nmeros a e b so ditos simtricos ou opostos quando:
a+b=0
Exemplos:
-3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.
O oposto de 5 -5.
O simtrico de 6 -6.
O oposto de zero o prprio zero.
Dois nmeros simtricos sempre tm o mesmo mdulo.
Exemplo:
I-3I=3 e I3I=3
2
Operaes com nmeros inteiros (Z)
Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmeros inteiros sempre resulta tambm um nmero
inteiro. Dizemos ento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o
conjunto Z fechado para qualquer uma destas trs operaes.
As divises, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tm resultado inteiro.
Assim, dizemos que estas trs operaes no esto bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que
Z no fechado para qualquer uma destas trs operaes.
Adies e subtraes com nmeros inteiros
Existe um processo que simplifica o clculo de adies e subtraes com nmeros inteiros. Observe os
exemplos seguintes:
Exemplo1:
Calcular o valor da seguinte expresso:
10 -7-9+15 -3+4
Soluo:
Faremos duas somas separadas
- uma s com os nmeros positivos:
10+ 15+4=+29
- outra s com os nmeros negativos:
(-7)+(-9)+(-3)= -19
Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados.
+29 -19=+10
Ateno!
preciso dar sempre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto!
Exemplo2:
Calcular o valor da seguinte expresso:
-10+4 -7 8 +3 -2
1 passo: Achar os totais (+) e (-):
(+): +4 + 3 = +7
(-): -10 -7 -8 -2= -27
2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo:
-27+7=-20
MULTIPLICAO
Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado da operao de multiplicao
denominado produto.
1 fator x 2 fator = produto
O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser
chamado multiplicador .
A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao:
a x b = b x a
O nmero 1 elemento neutro da multiplicao:
1 x a = a x 1 = a
Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto ser adicionado de k vezes o outro
fator:
a x b = c (a + k)x b = c+(k x b)
Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto ser multiplicado por k.
a x b = c (a x k)x b = k x c
Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adio ou subtrao qualquer:
a x(b c) = (a x b) (a x c)
3
DIVISO INTEIRA
Na diviso inteira de N por D0, existir um nico par de inteiros, Q e R, tais que:
Q x D + R = N e 0 R < IDI (onde IDI o valor absoluto de D)
A segunda condio significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.
Os quatro nmeros envolvidos na diviso inteira so assim denominados:
N o dividendo; D o divisor (sempre diferente de zero);
Q o quociente; R o resto (nunca negativo).
Exemplos:
1) Na diviso inteira de 60 por 7 o dividendo 60, o divisor 7, o quociente 8 e o resto 4.
8 x 7 + 4= 60 e 0 4 < I7I
2) Na diviso inteira de -60 por 7 o dividendo -60, o divisor 7, o quociente -9 e o resto 3.
-9 x 7 + 3= -60 e 0 3 < I7I
Quando ocorrer R = 0 na diviso de N por D, teremos Q x D = N e diremos que a diviso exata indicando-a
como ND = Q.
Quando a diviso de N por D for exata diremos que N divisvel por D e D divisor de N ou,
equivalentemente, que N mltiplo de D e D fator de N.
O zero divisvel por qualquer nmero no nulo:
D 0 0 D = 0.
Todo nmero inteiro divisvel por 1: N, N 1 = N.
Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma diviso por uma constante k0, o quociente (Q) no
ser alterado mas o resto (R) ficar multiplicado por k, se R x k < D, ou ser igual ao resto da diviso de R x k
por D, se R x k D.
Multiplicaes e divises com nmeros inteiros
Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros preciso observar os sinais dos dois termos da
operao:
Exemplos:
SINAIS IGUAIS(+) SINAIS OPOSTOS(-)
(+5) x (+2) = +10 (+5) x (-2) = -10
(-5) x (-2) = +10 (-5) x (+2) = -10
(+8) - (+2) = +4 (+8) - (-2) = -4
(-8) - (-2) = +4 (-8) - (+2) = -4
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela,
o que ocorrer com o total?
Soluo:
Seja t o total da adio inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades:
t+8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o to tal reduzido de 5 unidades:
t+8-5 = t+3
Portanto o total ficar acrescido de 3 unidades.
2. Numa subtrao, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto igual a 264. Qual o valor do
minuendo?
Soluo:
Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtrao qualquer, sempre verdade que:
m - s = rs + r =m
(a soma de s com r nos d m)
4
Ao somarmos os trs termos da subtrao, m+s+r, observamos que a adio das duas ltimas parcelas,
s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:
m+(s + r)= m + m =2m
O total ser sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos:
m+s+r=264
2m = 264
m =2642= 132
Resp.: O minuendo ser 132.
3. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente 5 e o resto o maior possvel. Qual o dividendo?
Soluo:
Se o divisor 12, ento o maior resto possvel 11, pois o resto no pode superar nem igualar-se ao
divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos:
n = (quociente) x (divisor) + (resto)
n=5x12+11
n=60+11
n=71
O dividendo procurado 71.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Numa adio com trs parcelas, o total era 58. Somando-se 13 primeira parcela, 21 segunda e
subtraindo-se 10 da terceira, qual ser o novo total?
2. Numa subtrao a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do
minuendo?
3. O produto de dois nmeros 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria
aumentado de 155 unidades. Quais so os dois fatores?
4. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade
menor que o divisor. Qual o valor do dividendo?
5. Certo prmio ser distribudo entre trs vendedores de modo que o primeiro receber R$ 325,00; o segundo
receber R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receber R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo
juntos. Qual o valor total do prmio repartido entre os trs vendedores?
6. Um dicionrio tem 950 pginas; cada pgina dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha
tem, em mdia, 35 letras. Quantas letras h nesse dicionrio?
7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por ms. Quanto ela economizar em
um ano se ela trabalhar, em mdia, 23 dias por ms?
8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e
vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?
9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em trs montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos
e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada
menina?
10. Marta, Marisa e Yara tm, juntas, R$ 275,00. Marisa tem R$ 15,00 mais do que Yara e Marta possui R$
20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das trs meninas?
11. Do salrio de R$ 3.302,00, Seu Jos transferiu uma parte para uma conta de poupana. J a caminho de
casa, Seu Jos considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00
do seu salrio em conta corrente. De quanto foi o depsito feito?
12. Renato e Flvia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flvia,
eles ficariam com o mesmo nmero de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?
NMEROS RACIONAIS OPERAES E PROPRIEDADES
5
CONCEITO
Dados dois nmeros inteiros a e b, com b 0, denominamos nmero racional a todo nmero
b
a
x , tal que
x x b=a.
* Z b e Z a com a b x
b
a
x
REPRESENTAO FRACIONRIA
Denominamos representao fracionria ou simplesmente frao expresso de um nmero racional a
na forma
b
a
.
REPRESENTAO DECIMAL DE UM NMERO RACIONAL
A representao decimal de um nmero racional poder resultar em um do trs casos seguintes:
Inteiro
Neste caso, a frao correspondente ao inteiro denominada frao aparente.
0
13
0
1
9
-9
7
2
14
Expanso Decimal Finita
Neste caso, h sempre uma quantidade finita de algarismos na representao decimal.
375 0
8
3
25 1
4
5
5 1
2
3
, , ,
Expanso Decimal Infinita Peridica
Esta representao tambm conhecida como dzima peridica pois, nela, sempre ocorre alguma seqncia
finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqncia denominada perodo.
... , ... , 1666 0
6
1
333 0
3
1
DETERMINAO DE UMA FRAO GERATRIZ
Todos os nmeros com expanso decimal finita ou infinita e peridica sempre so nmeros racionais. Isto
significa que sempre existem fraes capazes de represent-los. Estas fraes so denominadas fraes
geratrizes.
Como determinar uma frao geratriz
1 Caso - Nmeros com expanso decimal finita
A quantidade de algarismos depois da vrgula dar o nmero de "zeros" do denominador:
100
816
8,16
1000
35
1000
0035 035 0
10
524 52,4
,
2 Caso - Dzimas Peridicas
Seja a,bc...nppp... uma dzima peridica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a , b ,
c...n , no fazem parte do perodo p.
A frao
0 900 99
ab...n - np abc...
... ...
ser uma geratriz da dzima peridica a,bc...nppp... se:
1- o nmero de `noves' no denominador for igual quantidade de algarismos do perodo;
2- houver um `zero' no denominador para cada algarismo aperidico (bc...n)aps a vrgula.
6
Exemplo:
perodo: 32 (dois "noves" no denominador) atraso de 1 casa (1 "zero" no denominador)
parte no-peridica: 58 frao geratriz:
990
774 5
990
58 - 5832 .
perodo: 4 (1 "nove" no denominador) atraso de duas casas (2 "zeros")
parte no-peridica: 073 frao geratriz:
900
661
900
73 734
900
073 0734
perodo: 034 (trs "noves" no denominador) no houve atraso do perodo
(no haver "zeros" no denominador)
parte no-peridica: 6
frao geratriz:
999
6 6034
perodo: 52 (dois "noves") no houve atraso do perodo (no haver "zeros" no denominador)
parte no-peridica: 0
frao geratriz:
99
52
99
0 052
NMEROS MISTOS
Dados trs nmeros inteiros n, a, e b, com n 0 e 0 < a < b, denomina-se nmero misto representao de
um nmero racional escrito sob a forma
b
a
n
b
a
n
Se numa diviso inteira no exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, ento, pode-se
representar o seu resultado por um nmero misto.
Exemplo:
A diviso inteira de 30 por 7 no exata, dando quociente 4 e resto 2. Ento, pode-se escrever:
7
2
4
7
30
ADIO E SUBTRAO DE FRAES
Com Denominadores Iguais
Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores.
20
1
20
7 5 3
20
7
20
5
20
3
Com Denominadores Diferentes
Substituem-se as fraes dadas por outras, equivalentes, cujo denominador ser o MMC dos denominadores
dados:
12
5
12
6 9 2
12
6
12
9
12
2
2
1
4
3
6
1 12 2) m.m.c(6,4,
12
7
12
6 3 10
12
6
12
3
12
10
2
1
4
1
6
5
MULTIPLICAO DE FRAES
Para multiplicar duas ou mais fraes deve-se:
1) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador;
2) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.
7
15
2
3x1x5
x2x1 1
5
1 x
1
2 x
3
1
5
1 x 2 x
3
1
60
7
120
14
6x5x4
x2x7 1
4
7
x
5
2
x
6
1
20
1
120
6
5x4x6
x3x1 2
6
1
x
4
3
x
5
2
2 por simplific.
6 por simplific.
DIVISO ENVOLVENDO FRAES
Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dos nmeros envolvidos uma frao, devemos
multiplicar o primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).
30
1
6x5
x1 1
5
1
x
6
1
5
6
1
3
10
1x3
x5 2
3
5 x
1
2
5
3 2
12
5
3x4
x5 1
4
5
x
3
1
5
4
3
1
6
1
1
6
7
12
14
x4 3
x7 2
4
7
x
3
2
7
4
3
2 2 por simplif.
Ateno:
No faa contas com dzimas peridicas.
Troque todas as dzimas peridicas por fraes geratrizes antes de fazer qualquer conta.
Exemplo:
Calcular:
7 2
20
54
2
9 x
10
6
9
2
10
6
? 222 0 6 0
,
... , ,
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Calcular os resultados das expresses abaixo:
a)
5
2
3
2
1
8
b)
4
3
2
6
5
15
c)
5
4
x
3
1
2
d)
4
3
1
2
1
Solues:
a)
10
9
11
10
4
10
5
11
5
2
2
1
11
5
2
2
1
3 8
5
2
3
2
1
8
b)
12
1
13
12
9
12
10
13
4
3
6
5
2 15
4
3
2
6
5
15
8
c)
15
13
1
15
13
1
15
28
3x5
x4 7
5
4 x
3
7
5
4 x
3
1 x3 2
5
4 x
3
1 2
d)
7
2
14
4
7
4
x
2
1
4
7
2
1
4
3 x4 1
2
1
4
3 1
2
1
por2 simplif.
2. Determinar a frao geratriz de 0,272727... .
Soluo:
11
3
9 99
9 27
99
27
272727 0
... ,
3. Quanto valem dois teros de 360?
Soluo:
240
3
360 x 2
360 x
3
2
360
3
2
de
Ento, dois teros de 360 so 240.
4. Se trs quartos de x valem 360, ento quanto vale x?
Soluo:
480
3
360 x 4
x 360 x 4 x 3
360
4
x 3 360 de
4
3
x
Ento, x vale 480.
5. Determinar uma frao que corresponda a dois teros de quatro quintos.
Soluo:
15
8
5 x 3
4 x 2
5
4
x
3
2
5
4
de
3
2
Ento, uma frao correspondente ser
15
8
.
6. Cnthia gastou em compras trs quintos da quantia que levava e ainda lhe sobraram R$ 90,00. Quanto levava
Cnthia, inicialmente?
Soluo:
O problema menciona quintos da quantia que Cnthia levava. Pode-se indicar a quantia inicial por 5x (pois 5x
tem quintos exatos).
90,00 : sobram
3x 5x de
5
3
gastos
5x
(Inicial)
Assim, tem-se:
} } }
45 x
90 2x
90 3x 5x
resto gasto inicial
9
Como a quantia inicial foi representada por 5x, tem-se:
5x = 5 x 45 = 225,00
Cnthia levava, inicialmente, R$ 225,00.
7. Um rapaz separou 1/10 do que possua para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda,
R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha?
Soluo:
Seja 10x a quantia inicial (pois tem dcimos e tem quintos exatos)
} }
60 x
180 3x
180 6x - x 10x
180,00 : restante
6x 10x de
5
3
: roupas
x 10x de
10
1 : sapatos
x 10
resto gastos inicial
8 7 6
Portanto, o valor inicial era:
10x = 10 x 60 = 600,00 reais
O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00.
8. De um reservatrio, inicialmente cheio, retirou-se
4
1
do volume e, em seguida, mais 21 litros. Restaram, ento
5
2
do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatrio?
Soluo:
Seja 20x o volume do reservatrio (pois tem quartos e quintos exatos).
} } resto retiradas inicial
8x 21 - 5x 20x
8x 20x de
5
2
: resto
litros 21 : retirada 2
5x 20x de
4
1 : retirada 1
20x
8 7 6
isolando os termos em "x" tem-se:
20x-5x-8x=21
7x=21
x=3
Como a capacidade do reservatrio foi representada por 20x, tem-se:
20x = 20 x 3 = 60 litros
9. Rogrio gastou
3
2
do que tinha e, em seguida,
4
1
do resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto
Rogrio possua inicialmente?
10
Soluo:
Seja 12x a quantia inicial de Rogrio:
3
2
de 12x
4
1
de 4x
12x 4x 3x = 300,00 (resto)
(-8x) (-x)
3x = 300
x = 100
Logo, a quantia inicial de Rogrio era:
12x = 12 x 100 = 1.200 reais
Rogrio possua, inicialmente, R$ 1.200,00.
10. Um estojo custa
3
2
a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada
objeto?
Soluo:
Como o preo do estojo foi indicado para dois teros a mais que o preo da caneta, faremos:
caneta: 3x
estojo: 5x 2x 3x 3x de
3
2
3x
Juntos eles valem R$ 16,00:
} }
2 x
16 8x
16 5x 3x
estojo caneta
Ento:
a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reais
o estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais
11. Um pai distribui certo nmero de balas entre suas trs filhas de tal modo que a do meio recebe
3
1
do total, a
mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas
balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas?
Soluo:
Seja o total de balas representado por 3x:
25 : nova mais a
2 x : velha mais a
x 3x de
3
1
: meio do a
x 3
total
Juntando todas as balas tem-se:
3x=x+x+2=25
11
isolando "x" na igualdade tem-se:
3x-x-x=2+25
x=27
Logo, o total de balas : 3x = 3 x 27 = 81 balas.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Efetue as expresses abaixo.
a)
4
3
3
2
2
1
b)
2
1
4
5
1
2
3
1
5
2. Efetue as multiplicaes abaixo.
a)
16
15
x
5
2
b)
2
1
2 x
3
1
1
3. Efetue as divises abaixo.
a)
7
6
4
3
b)
3
1
1
2
1
2
4. Julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F).
( ) 0,321321321...=
333
107
( ) 0,00333 ...=
300
1
( ) 12,37777...=
45
557
90
114 1
.
5. Quanto valem trs quintos de 1.500 ?
6. Se cinco oitavos de x so 350, ento, qual o valor de x?
7. Que frao restar de x se subtrairmos trs stimos do seu valor?
8. Se subtrairmos trs stimos do valor de x e, em seguida, retirarmos metade do restante, que frao restar
de x ?
9. Determine o valor da expresso 6,666... x 0,6.
10. Determine o valor da expresso 0,5 0,16666... .
11. Um garoto possui
3
2
da altura de seu pai que correspondem a
3
4
da altura de seu irmo mais moo. Qual a
altura deste ltimo se a altura do pai 180 cm?
12. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez
5
3
do percurso. No segundo dia, andou
3
1
do restante.
Quanto falta para completar a jornada se o percurso completo de 750 km?
13. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em trs partes, sendo a primeira igual tera parte e a segunda igual
metade do total, ento a terceira parte ser de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz?
14. A idade de Antnio
6
1
da idade de Benedito, Csar tem metade da idade de Antnio e Dilson tem tantos
anos quantos Csar e Antnio juntos. Quais so as idades de cada um deles se a soma das quatro idades 54
anos?
12
15. A soma de trs nmeros 110. Determinar o maior deles sabendo que o segundo um tero do primeiro e
que o terceiro
8
3
da soma dos dois primeiros.
16. Dividir R$ 270,00 em trs partes tais que a segunda seja um tero da primeira e a terceira seja igual soma
de um duodcimo da primeira com um quarto da segunda.
17. Determine o preo de custo de uma mercadoria sabendo que haveria um lucro de
5
1
do preo de custo se ela
fosse vendida por R$ 60,00.
18. Um comerciante gastou
5
1
do que tinha em sua conta corrente. Em seguida, gastou
7
2
do restante ficando
ainda com um saldo de R$ 2.000,00. Considerando que havia inicialmente na conta corrente
6
5
do total que o
comerciante possua entre uma conta de poupana e a conta corrente, determine o valor que havia na conta de
poupana.
19. Se adicionarmos a tera parte de um nmero sua metade o resultado obtido ser 3 unidades menor que o
nmero inicial. Qual este nmero?
20. Mrcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da cala que usava.
Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a stima parte do que havia no bolso direito
restariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso?
CONJUNTO DOS NMEROS REAIS
O conjunto dos nmeros reais compreende todos os nmeros que permitam representao na forma
decimal, peridica ou no peridica. Isto compreende todos os nmeros inteiros, todos os nmeros racionais e
mais os nmeros com representao decimal no peridica.
So exemplos de nmeros reais:
2 = 2,000...
1/5 = 0,2000...
4/9 = 0,444...
= 3,141592653...
2 =1,414213...
Nmeros Irracionais
Alguns nmeros tm representao decimal infinita e aperidica no sendo, portanto, nmeros racionais. A estes
nmeros denominamos nmeros irracionais.
Nmeros Irracionais:
tm representao decimal...
... infinita
e
... aperidica.
O conjunto dos nmeros irracionais usualmente representado por I.
So exemplos de nmeros irracionais:
= 3,14159265358979323846...
e = 2,71828182846...
2 = 1,41421356237...
A operao de radiciao produz, freqentemente, nmeros irracionais. A raiz de um nmero natural qualquer, ou
resultar tambm nmero natural ou ser um nmero irracional.
irracional nmero um 10
irracional nmero um 12
: Exemplos
irracional nm.
ou
natural nm.
natural nm.
3
n
13
Representao dos Nmeros por Pontos da Reta
Podemos representar todos os nmeros reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numrica.
Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o nmero zero.
0
R
Depois, marcam-se os demais nmeros inteiros, mantendo sempre a mesma distncia entre dois inteiros
consecutivos quaisquer, sendo:
os positivos, direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita;
e os negativos esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;
Todos os demais nmeros reais no inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre dois
nmeros inteiros.
Observe, por exemplo, onde esto localizados os nmeros : e 3/5 2,
2 =-1,41421356237...
3/5 = 0,6
= 3,1415926535...
Intervalos de Nmeros Reais
comum designarmos por intervalo a qualquer subconjunto de R que corresponda a segmentos ou a semiretas
ou a qualquer reunio entre segmentos ou semi-retas da reta dos nmeros reais.
Exemplos:
a) Representao Grfica:
Notao de Conjuntos: 2 x 5 - / x R
Notao de Intervalos: [-5; 2]
b) Representao Grfica:
Notao de Conjuntos: 2 x 5 - / x R
Notao de Intervalos: [-5; 2[
c) Representao Grfica:
Notao de Conjuntos: 2 x 5 - / x R
Notao de Intervalos: ]-5; 2]
d) Representao Grfica:
Notao de Conjuntos: 2 x 5 - / x R
Notao de Intervalos: ]- ; 2]
e) Representao Grfica:
Notao de Conjuntos: -5 / x x R
Notao de Intervalos: ]-5; + [
Observe:
Na notao de intervalos, o colchete que est do lado de - ou de + fica sempre voltado para fora.
14
RAZES E PROPORES
Chama-se razo d e d o i s n m e r o s , dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero,
ao quociente do primeiro pelo segundo.
Assim, a razo entre os nmeros a e b pode ser dita "razo de a para b" e representada como:
b : a ou
b
a
Onde a chamado antecedente enquanto b chamado conseqente da razo dada.
Ao representar uma razo freqentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que
possvel, torn-los inteiros.
Exemplos:
A razo entre 0,25 e 2 :
8 para 1
8
1
2
1
4
1
2
4
1
2
25 0
,
5 para 2
5
2
5
12
6
1
12
5
6
1
:
12
5
e
6
1
entre razo A
1 para 30
1
30
1
5
6
5
1
6
:
5
1
e 6 razo A
Proporo a expresso que indica uma igualdade entre duas ou mais razes.
A proporo
d
c
b
a
pode ser lida como "a est para b assim como c est para d' e representada como
a: b: c: d. Nesta proporo, os nmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so os meios.
Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios.
Quarta proporcional de trs nmeros dados a, b e c nesta ordem, o nmero x que completa com
os outros trs uma proporo tal que:
x
c
b
a
Exemplo:
Determinar a quarta proporcional dos nmeros 3 , 4 e 6 nesta ordem.
Soluo:
8 x 6 x 4 x 3
x
6
4
3
Proporo contnua aquela que tem meios iguais.
Exemplo:
A proporo 9 : 6 : : 6 : 4 contnua pois tem os seus meios iguais a 6.
Numa proporo contnua temos:
O valor comum dos meios chamado mdia proporcional (ou mdia geomtrica) dos
extremos. Ex.: 4 a mdia proporcional entre 2 e 8, pois 2:4::4:8
O ltimo termo chamado terceira proporcional. Ex.: 5 a terceira proporcional dos
nmeros 20 e 10, pois
20:10::10:5
15
Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs ou mais razes.
Exemplo:
10
5
8
4
6
3
4
2
Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1.
Exemplo:
1
6
10
x
5
3
ento dizemos que "3 est para 5 na razo inversa de 10 para 6" ou ento que "3/5 est
na razo inversa de 10/6" ou ainda que "3/5 e 10/6 so razes inversas".
Quando duas razes so inversas, qualquer uma delas forma uma proporo com o inverso da
outra.
Exemplo:
3/5 e 10/6 so razes inversas. Ento, 3/5 faz proporo com 6/10 (que o inverso de 10/6)
enquanto 10/6 faz proporo com 5/3 (que o in verso de 3/5).
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Numa prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais.
Qual a razo do nmero de questes certas para o de erradas?
Resoluo:
Das 50 questes, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco. Logo, o nmero de questes erradas :
50-35-5= 10
Assim, a razo do nmero de questes certas (35) para o de erradas (10) 2. para 7 ou
2
7
10
35
2. Calcular dois nmeros positivos na proporo de 2 para 5 sabendo que a diferena do maior para o menor
42.
Resoluo:
Sejam x o menor e y o maior dos nmeros procurados.
A proporo nos mostra que x est para 2 assim como y est para 5.
Ento, podemos dizer que:
x tem 2 partes ....................... (x = 2p)
enquanto y tem 5 partes ......... (y = 5p)
Mas como a diferena y -x deve valer 42, teremos:
{ { 14 p
3
42
p 42 p 3 42 2p 5p
x y
Agora que descobrimos que cada parte vale 14 (p = 14), podemos concluir que:
o valor de x 28 (14) 2 2p x
o valor de y 70 (14) 5 5p y
3. Na proporo mltipla
6
z
5
y
3
x
, determinar os valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z = 112.
Resoluo:
A proporo mltipla nos mostra que:
x tem 3 partes .......................... (x = 3p)
enquanto y tem 5 partes.......... (y = 5p)
e z tem 6 partes ..................... (z = 6p)
16
Como a soma das trs partes vale 112, temos:
3p+5p +6p= 112
14p = 112
p = 112 14
p = 8
Agora que descobrimos que cada parte vale 8, podemos concluir que:
o valor de x 24 (8) 3 3p x
o valor de y 40 (8) 5 5p y
o valor de z 48 (8) 6 6p z
4. Sabendo que a est para b assim como 8 est para 5 e que 3a - 2b = 140, calcular a e b.
Resoluo:
Pela proporo apresentada, a tem 8 partes enquanto b tem 5 partes:
a=8p e b=5p
ento teremos: 3a = 3 x (8p) = 24p e
2b = 2 x (5p) = 10p
portanto: 3a - 2b = 140 24p - 10p = 140 14p= 140 p= 10
como p = 10 temos: a = 8p = 8 x 10 = 80 e
b = 5p = 5 x 10 = 50
5. Dois nmeros positivos esto entre si assim como 3 est para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seus
quadrados igual a 100.
Resoluo:
Se os nmeros esto entre si na proporo de 3 para 4, ento um deles 3p e o outro 4p.
Deste modo, a soma dos quadrados fica sendo:
(3p)2 + (4p) 2 = 100
9p2 + 16p2 = 100
25p2 = 100
p2 =4p = 2 (pois os nmeros so positivos)
Portanto, os dois nmeros so:
3p=3x2=6
e
4p=4x2=8
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Calcule a quarta proporcional dos nmeros dados:
a) 2;5 e 10
b) 3;4 e 5
c)
4
1
e
3
1
2
1
;
2. Calcule a terceira proporcional dos nmeros dados:
a) 3 e 6
b) 4 e 12
c)
4
1
e
2
1
3. Calcule a mdia proporcional entre os nmeros dados:
a) 3 e 12
b) 6 e 24
c) 128 e
2
1
17
4. Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que a soma deles 48.
5. Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades.
6. A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72.
7. A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12
unidades.
8. Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do segundo
resulta igual a 100.
9. Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o quntuplo do primeiro supera o segundo em
48 unidades.
10. Dois nmeros positivos encontram-se na proporo de 11 para 13. Determine-os sabendo que a soma de seus
quadrados resulta igual a 29.000.
11. Dois nmeros negativos encontram-se na proporo de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do
primeiro supera o quadrado do segundo em 360.
12. Dois nmeros inteiros encontram-se na proporo de 3 para 5. Determine-os sabendo que o produto deles
igual a 60.
13. Encontre os trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7, sabendo que a soma dos dois menores igual a 132.
14. Encontre os trs nmeros proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferena entre o maior deles e o menor igual
a 40.
15. Trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7 so tais que a diferena do maior para o menor supera em 7 unidades a
diferena entre os dois maiores. Quais so estes nmeros?
16. Trs nmeros so tais que o primeiro est para o segundo assim como 2 est para 5 enquanto a razo do
terceiro para o primeiro 7/2. Quais so estes nmeros, se a soma dos dois menores igual a 49?
17. Para usar certo tipo de tinta concentrada, necessrio dilu-Ia em gua na proporo de 3 : 2 (proporo de
tinta concentrada para gua). Sabendo que oram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de
tinta sero obtidos aps a diluio na proporo recomendada?
18. Trs nmeros so proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quntuplo do primeiro, mais o
triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles?
19. Dois nmeros esto entre si na razo inversa de 4 para 5. Determine-os sabendo que a soma deles 36.
20. A diferena entre dois nmeros 22. Encontre estes nmeros, sabendo que eles esto entre si na razo
inversa de 5 para 7.
DIVISO PROPORCIONAL
Grandezas diretamente proporcionais
Dada a sucesso de valores (a1, a2, a 3, a4, ... ), dizemos que estes valores so diretamente proporcionais aos
correspondentes valores da sucesso (b1, b2, b 3, b 4, ...) quando forem iguais as razes entre cada valor de uma
das sucesses e o valor correspondente da outra.
.....
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
O resultado constante das razes obtidas de duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais
chamado de fator de proporcionalidade.
Exemplo:
Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, so diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30
respectivamente, pois as razes
30
15
e
20
10
14
7
12
6
, , so todas iguais, sendo igual a
2
1
o fator de proporcionalidade
da primeira para a segunda.
18
Como se pode observar, as sucesses de nmeros diretamente proporcionais formam propores mltiplas
(j vistas no captulo de razes e propores). Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicas estudadas
no captulo sobre propores para resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores so
inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucesso b1, b2, b3, b4, ... ), todos tambm
diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucesses e o valor
correspondente da outra.
Exemplo:
Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os
produtos 2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.
Relao entre proporo inversa e proporo direta
Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentes de zero. Se os nmeros de uma so inversamente
proporcionais aos nmeros da outra, ento os nmeros de uma delas sero diretamente proporcionais
aos inversos dos nmeros da outra.
Esta relao nos permite trabalhar com sucesses de nmeros inversamente proporcionais como se
fossem diretamente proporcionais.
Diviso em portes proporcionais
1caso: Diviso em partes diretamente proporcionais
Dividir um nmero N em partes diretamente proporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrar os
nmeros A, B, C, ..., tais que
N ... C B A
c
C
b
B
a
A
...
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Dividir o nmero 72 em trs partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5.
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:
A=3p, B=4p, C=5p e A+B+C=72
portanto: 3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6
valor de A3p = 3 x 6 = 18
valor de B 4p = 4 x 6 = 24
valor de C 5p = 5 x 6 = 30
Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.
2. Dividir o nmero 46 em partes diretamente proporcionais aos nmeros . ,
4
3
e
3
2
2
1
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos:
12
9
e
12
8
12
6
,
Desprezar os denominadores (iguais) no afetar os resultados finais, pois a proporo ser
mantida e ainda simplificar nossos clculos.
Ento, poderemos dividir 46 em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9 (os numeradores).
Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos:
A=6p, B=8p, C=9p
A+B+C=466p+8p+9p = 4623p = 46p=2
19
Assim, conclumos que: A = 6p = 6 x 2 = 12,
B = 8p = 8 x 2 = 16 e
C = 9p = 9 x 2 = 18
As partes procuradas so 12, 16e 18.
3. Dividir o nmero 45 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 200, 300 e 400.
Inicialmente dividiremos todos os nmeros dados por 100. Isto no alterar a proporo com as
partes procuradas, mas simplificar os nossos clculos.
(200, 300, 400) 100 = (2, 3, 4)
Ento poderemos dividir 45 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4.
Indicando as partes procuradas por:
A = 2p, B = 3p e C= 4p
A+B+C=452p+3p+4p=459p = 45p=5
Assim, conclumos que: A = 2p = 2 x 5 = 10,
B = 3p = 3 x 5 = 15 e
C = 4p = 4 x 5 = 20
2 caso: Diviso em partes inversamente proporcionais
Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significa
encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que
a x A = b x B = c x C =...
e
A+B+C+...= N
4. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 12.
Usando a relao entre proporo inversa e proporo direta vista na pgina 70, podemos afirmar que as
partes procuradas sero diretamente proporcionais a . ,
12
1
e
4
1
3
1
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos:
12
1
e
12
3
12
4
,
Desprezar os denominadores (iguais) manter as propores e ainda simplificar nossos clculos.
Ento, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores).
Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos:
A = 4p, B = 3p, C = 1p
A + B + C = 72 4p + 3p + 1p = 72 8p = 72 P = 9
Assim, conclumos que: A = 4p = 4 x 9 = 36,
B = 3p = 3 x 9 = 27 e
C = 1p = 1 x 9 = 9.
Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9.
3 caso: Diviso composta direta
Chamamos de diviso composta direta diviso de um nmero em partes que devem ser diretamente
proporcionais a duas ou mais sucesses de nmeros dados, cada uma.
Para efetuarmos a diviso composta direta, devemos:
1) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser o produto dos valores correspondentes das
sucesses dadas;
2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucesso
encontrada.
20
5. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e
tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, respectivamente.
Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:
A ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p
B ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9p
C ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p
A+B+C=2708p + 9p + 10p =270
27p = 270p = 10
A = 8p = 8 x 10 = 80
B = 9p = 9 x 10 = 90
C=10p = 10 x 10 = 100
Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100.
4 caso: Diviso composta mista
Chamamos de diviso composta mista diviso de um nmero em partes que devem ser
diretamente proporcionais aos valores de uma sucesso dada e inversamente proporcionais aos
valores de uma outra sucesso dada.
Para efetuarmos uma diviso composta mista, devemos
1) inverter os valores da sucesso que indica proporo inversa, recaindo assim num caso de
diviso composta direta;
2) aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divises compostas diretas.
6. Dividir o nmero 690 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros l, 2
e 3 e inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4, respectivamente.
Invertendo os valores da sucesso que indica proporo inversa, obtemos:
4
1
e
3
1
2
1
,
Reduzindo as fraes a um denominador comum, teremos:
3 e 4 6
12
3
e
12
4
12
6
, ,
Ento, indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:
A ser proporcional a 1 e 6 1 x 6 = 6 A = 6p
B ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 13=8p
C ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 C = 9p
A + B +C = 690 6p + 8p + 9p =690
23p=690p=30
A =6p = 6 x 30 =180, B = 8p = 8 x 30 =240 e
C = 9p = 9 x 30 =270
Portanto, as trs partes procuradas so: 180, 240 e 270.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (15, X, Y, Z) e (3, 8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais.
2. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais.
3. Determine X e Y de modo que as sucesses (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais.
4. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente proporcionais.
5. Determine X e Y de modo que as sucesses (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam inversamente proporcionais.
6. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.
21
7. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40.
8. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 8. e
5
2
; 2 , 1
9. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.
11. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a .
8
7
e
5
4
,
3
2
12. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6.
13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.
14. Repartir uma herana de R$ 460.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos de cada uma e
na razo inversa das idades delas. As trs pessoas tm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas
so 24, 32 e 45 anos.
15. Dois irmos repartiram uma herana em partes diretamente proporcionais s suas idades. Sabendo que cada
um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual a
idade de cada um deles?
REGRA DE TRS
Chamamos de regras de trs ao processo de clculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou
mais grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Quando o problema envolve somente duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trs
simples.
Exemplos:
Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, ento, quanto custaro 6 bilhetes?
As grandezas so: o nmero de bilhetes e o preo dos bilhetes.
Um automvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilmetros ele percorrer em 4 horas?
As grandezas so: distncia percorrida e tempo necessrio.
Poderemos chamar a regra de trs simples de direta ou inversa, dependendo da relao existente entre as
duas grandezas envolvidas no problema.
Quando o problema envolve mais de duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trs
composta.
Exemplo:
Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constrem 300m de uma cerca, quantos homens sero necessrios
para construir mais 600rn desta cerca em 8 dias?
A grandezas so: o nmero de homens, a durao do trabalho e o comprimento da parte construda.
Para resolver um problema qualquer de regra de trs devemos inicialmente determinar que tipo de relao
de proporo existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas.
Relao de proporo direto
Duas grandezas variveis mantm relao de proporo direta quando aumentando uma delas para duas,
trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra tambm aumenta respectivamente para duas, trs, quatro, etc.
vezes o seu valor.
Exemplo:
Considere as duas grandezas variveis:
(comprimento de um tecido) (preo de venda da pea)
1 metro............. custa........................ R$ 10,00
2 metros ...........custam .....................R$ 20,00
3 metros .......... custam..................... R$ 30,00
4 metros .......... custam..................... R$ 40,00
22
Observamos que quando o comprimento do tecido tornou-se o dobro, o triplo etc., o preo de venda da
pea tambm aumentou na mesma proporo. Portanto as grandezas "comprimento do tecido" e "preo
de venda da pea" so diretamente proporcionais .
Relao de proporo inversa
Duas grandezas variveis mantm relao de proporo inversa quando aumentando uma delas para duas,
trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminuir respectivamente para metade, um tero, um quarto,
etc. do seu valor.
Exemplo:
Considere as duas grandezas variveis:
Velocidade de Tempo de durao
um automvel da viagem
A 20 km/h ........ a viagem dura ........ 6 horas
A 40 km/h........ a viagem dura ....... 3 horas
A 60 km/h........ a viagem dura ....... 2 horas
Observamos que quando a velocidade tornou-se o dobro, o triplo do que era, o tempo de durao da
viagem tornou-se correspondentemente a metade , a tera parte do que era. Portanto, as grandezas
"velocidade " e "tempo de durao da viagem" so inversamente proporcionais.
Cuidado!
No basta que o aumento de uma das grandezas implique no aumento da outra. preciso que exista
proporo.
Por exemplo, aumentando o lado de um quadrado, a rea do mesmo tambm aumenta. Mas no h
proporo, pois ao dobrarmos o valor do lado, a rea no dobra e sim quadruplica!
Grandezas proporcionais a vrias outras
Uma grandeza varivel proporcional a vrias outras se for diretamente ou inversamente proporcional a
cada uma dessas outras, quando as demais no variam.
Exemplo:
O tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente proporcional ao comprimento
do trecho considerado e inversamente proporcional ao nmero de operrios que nele trabalham.
Observe:
1) Vamos fixar o comprimento do trecho feito.
Em 30 dias, 10 operrios fazem 6 km.
Em 15 dias, 20 operrios tambm fazem 6 km.
Em 10 dias, 30 operrios tambm fazem 6 km.
Aqui, observa-se que o tempo inversamente proporcional ao nmero de operrios.
2) Agora vamos fixar o nmero de operrios.
30 operrios, em 10 dias, fazem 6 km.
30 operrios, em 20 dias, faro 12 km.
30 operrios, em 30 dias, faro 18 km.
Agora, vemos que o tempo diretamente proporcional ao comprimento do trecho feito.
PROPRIEDADE
Se uma grandeza for diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras,
ento, a razo entre dois dos seus valores ser igual:
ao produto das razes dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais a ela...
... multiplicado pelo produto das razes inversas dos valores correspondentes das grandezas inversamente
proporcionais a ela.
Exemplo:
Vimos no exemplo anterior que o tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente
proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao nmero de operrios
que nele trabalham. Vimos tambm, entre outros, os seguintes valores correspondentes:
23
(Tempo (Comprimento do (Nmero de
necessrio) trecho construdo) operrios)
30 dias 6 km 10
20 dias 12 km 30
Aplicando a propriedade vista acima, teremos:
) igualdade! a (verifique
10
30
x
12
6
20
30
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto custaro 33 metros do mesmo tecido?
Soluo:
O problema envolve duas grandezas, quantidade de tecido comprada e preo total da compra. Podemos,
ento, montar a seguinte tabela com duas colunas, uma para cada grandeza:
Quant. de tecido Preo total
(em metros) (em R$)
5 .................................... 30,00
33 ...................................... x
Na coluna onde a incgnita x aparece, vamos colocar uma flecha:
Quant. de tecido Preo total
(em metros) (em R$)
5 ..................................30,00
33 .................................... x
Note que a flecha foi apontada para o R$ 30,00 que o valor inicial do x indicando que se a quantidade de
tecido comprado no fosse alterada, o preo total da compra, x, continuaria sendo R$ 30,00.
Agora devemos avaliar o modo como a variao na quantidade de tecido afetar o preo total:
- Quanto mais tecido comprssemos, proporcionalmente maior seria o preo total da compra. Assim as
grandezas preo total e quantidade de tecido so diretamente proporcionais.
Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flecha
na coluna da quantidade de tecido no mesmo sentido da flecha do x.
Quant. de tecido Preo total
(em metros) (em R$)
5 .................................. 30,00
33 .................................... x
A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era R$ 30,00:
inicialmente tinha-se x = 30
A outra flecha (a da quantidade de tecido) indica uma frao, apontando sempre do numerador para o
denominador. Como neste exemplo a flecha aponta do 33 para o 5 a frao .
5
33
Esta frao nos d a variao
causada em x (o preo) pela mudana da outra grandeza (a quantidade de tecido comprado).
Multiplicando o valor inicial de x por esta frao podemos armar a igualdade que nos dar o valor final de x:
198 x
5
33
30x x
Portanto, os 33 metros de tecido custaro R$ 198,00.
2. Em 180 dias 24 operrios constroem uma casa. Quantos operrios sero necessrios para fazer uma casa
igual em 120 dias?
24
Soluo:
O problema envolve duas grandezas, tempo de construo e nmero de operrios necessrios.
Montaremos, ento uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza:
Tempo (em dias) N de operrios
180 .................................. 24
120................................... x
Na coluna onde a incgnita x aparece, vamos colocar uma flecha apontada para o valor inicial do x que 24:
Tempo (em dias) N de operrios
180 .................................. 24
120................................... x
Lembre-se que esta flecha est indicando que se o tempo de construo permanecesse o mesmo, o nmero de
operrios necessrios, x, continuaria sendo 24.
Agora, devemos avaliar o modo como a variao no tempo de construo afetar o nmero de operrios
necessrios:
- Quanto menos tempo houver para realizar a obra, proporcionalmente maior ser o nmero de operrios
necessrios. Assim as grandezas tempo de construo e nmero de operrios so inversamente
proporcionais.
Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flecha
na coluna da quantidade de tecido no sentido inverso ao da flecha do x.
Tempo (em dias) ............ N de operrios
180 ............................... 24
120................................. x
A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era 24:
inicialmente, tinha-se x = 24
Como no exerccio anterior, a outra flecha indica uma frao que nos d a variao causada em x (o nmero de
operrios) pela mudana da outra grandeza (o tempo) apontando sempre do numerador para o denominador.
Como neste exemplo a flecha aponta do 180 para o 120 frao .
120
180
Multiplicando o valor inicial de x por esta frao, armamos a seguinte igualdade que nos dar o valor final de x:
36 x
120
180
24x x
Portanto, sero necessrios 36 operrios para fazer a casa em 120 dias.
3. Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calas. Em quantos dias 12 costureiras podero fazer 600
calas iguais s primeiras?
Soluo:
O problema envolve trs grandezas, tempo necessrio para fazer o trabalho, nmero de costureiras
empregadas e quantidade de calas produzidas.
Podemos, ento, montar uma tabela com trs colunas, uma para cada grandeza:
Tempo N de Quantidade
(em dias) costureiras de calas
12 16 960
x 12 600
Para orientar as flechas das outras duas grandezas preciso compar-las uma de cada vez com a grandeza do
x e de tal forma que, em cada comparao, consideraremos como se as demais grandezas permanecessem
constantes.
- Quanto menos costureiras forem empregadas maior ser o tempo necessrio para fazer um mesmo servio.
Portanto, nmero de costureiras inversamente proporcional ao tempo.
25
- Quanto menor a quantidade de calas a serem feitas menor tambm ser o tempo necessrio para produzi-Ias
com uma mesma equipe. Portanto, a quantidade de calas produzidas e o tempo necessrio para faz-las so
diretamente proporcionais.
Tempo N de Quantidade
(em dias) costureiras de calas
12 16 960
x 12 600
A flecha do x, como sempre, est indicando o seu valor inicial (x = 12).
As outras duas flechas indicam fraes que nos do as variaes causadas em x (o tempo) pelas mudanas das
outras grandezas (o nmero de costureiras e a quantidade de calas). Lembre-se de que elas apontam sempre do
numerador para o denominador.
Multiplicando o valor inicial de x por estas fraes, temos a igualdade que nos dar o valor final de x:
10 x
900
600
x
12
16
x 12 x
Portanto, sero necessrios 10 dias para fazer o servio nas novas condies do problema.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados.
( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra tambm aumenta na
mesma proporo.
( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma
proporo.
( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma
proporo.
( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra tambm diminui na
mesma proporo.
2. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados.
( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao duplicarmos o valor de A, o valor de B tambm duplica ento A e B
so grandezas diretamente proporcionais.
( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao reduzirmos para um tero o valor de A, o valor de B tambm reduzse
para um tero, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais.
( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao triplicarmos o valor de A, o valor de B fica reduzido para um tero do
que era, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais.
( ) Se A uma grandeza inversamente proporcional grandeza B, ento B diretamente proporcional a A.
( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao aumentarmos o valor de A em x unidades, o valor de B tambm
aumenta em x unidades ento A e B so grandezas diretamente proporcionais.
3. Determine, em cada caso, se a relao entre as grandezas de proporo direta (D) ou inversa ( I ).
a) O nmero de mquinas funcionando e a quantidade de peas que elas produzem durante um ms. ( )
b) O nmero de operrios trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km. ( )
c) A velocidade de um nibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Braslia a So Paulo.( )
d) A velocidade de um nibus e a distncia percorrida por ele em trs horas. ( )
e) A quantidade de rao e o nmero de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana.
( )
f) O tamanho de um tanque e o tempo necessrio para ench-lo. ( )
g) O nmero de linhas por pgina e o total de pginas de um livro. ( )
h) A eficincia de um grupo de operrios e o tempo necessrio para executarem certo servio. ( )
i) A dificuldade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( )
j) A facilidade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( )
k) O nmero de horas trabalhadas por dia e a quantidade de trabalho feito em uma semana. ( )
I) O nmero de horas trabalhadas por dia e o nmero de dias necessrio para fazer certo trabalho. ( )
4. (CESPE/96-MPU-Assistente) comum em nosso cotidiano surgirem situaes-problema que envolvem
relaes entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comida,
a quantidade de p necessria para o caf, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma
rua, etc., est-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporo. Em relao s
propores, julgue os itens abaixo.
( ) A quantidade de tinta necessria para fazer uma pintura depende diretamente da rea da regio a ser
pintada.
( ) O nmero de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prdio so grandezas inversamente
proporcionais.
( ) A medida do lado de um tringulo equiltero e o seu permetro so grandezas diretamente proporcionais.
26
( ) O nmero de ganhadores de um nico prmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador
so grandezas inversamente proporcionais.
( ) A velocidade desenvolvida por um automvel e o tempo gasto para percorrer certa distncia so
grandezas diretamente proporcionais.
5. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custaro 5 kg deste queijo?
6. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?
7. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz
com casca sero necessrios para produzir 300 kg de arroz sem casca?
8. Em 8 dias 5 pintores pintam um prdio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam
necessrios para pintar o mesmo prdio?
9. Um veculo trafegando com uma velocidade mdia de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas.
Quanto tempo levaria um outro veculo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade mdia
de 80 km/h?
10. Uma roda-d'gua d 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas ter dado em uma hora e meia?
11. Duas rodas dentadas esto engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes.
Quantas voltas ter dado a menor quando a maior der 10 voltas?
12. Qual a altura de um edifcio que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical de
1,5m projeta uma sombra de 0,5m?
13. Se um relgio adianta 18 minutos por dia, quanto ter adiantado ao longo de 4h 40min?
14. Um relgio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa s 7h da manh de um certo dia.
Qual ser a hora certa quando, neste mesmo dia, este relgio estiver marcando 15h 5min?
15. Um comerciante comprou duas peas de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 enquanto a
outra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida?
16. Um navio tinha vveres para uma viagem de 15 dias. Trs dias aps o incio da viagem, contudo, o capito do
navio recebe a notcia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atras-la em mais 4 dias. Para
quanto ter de ser reduzida a rao de cada tripulante?
17. Um rato est 30 metros frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m. Qual
a distncia que o gato ter de percorrer para alcanar o rato?
18. Um gato est 72m frente de um co que o persegue. Enquanto o gato corre 7m, o co corre 9rn. Quantos
metros o co dever percorrer para diminuir a metade da tera parte da distncia que o separa do gato?
19. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato d dois pulos, o rato d 3, mas, cada pulo do gato vale dois pulos
do rato. Se a distncia entre eles, inicialmente, de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato ter dado at alcanar
o rato?
20. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comero uma
dzia e meia de sardinhas?
21. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios que trabalhavam 7 horas por dia, ento
quantos dias sero necessrios para terminar o trabalho, sabendo que 4 operrios foram dispensados e que
o restante agora trabalha 6 horas por dia?
22. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvo. Se esta equipe for aumentada para
20 mineiros, em quanto tempo sero extrados 7 toneladas de carvo?
23. Dois cavalos, cujos valores so considerados como diretamente proporcionais s suas foras de trabalho
e inversamente proporcionais s suas idades, tm o primeiro, 3 anos e 9 meses e o segundo, 5 anos e 4
meses de idade. Se o primeiro, que tem 3/4 da fora do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve ser o
preo de venda do segundo?
24. Se 27 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato
retangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operrios sero necessrios para
construir um outro parque, tambm retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 18
dias e trabalhando 8 horas por dia?
27
25. Uma turma de 15 operrios pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto,
fizeram somente 1/3 da obra. Com quantos operrios a turma original dever ser reforada para que a obra
seja concluda no tempo fixado?
EQUAES DO 1 GRAU
Denominamos equaes do primeiro grau s equaes redutveis forma:
ax + b = 0 (com a 0)
Exemplos:
5x + 10 = 0
5x + 2 = 2x+21
Raiz de uma Equao
Raiz de uma equao qualquer valor para x que satisfaa a equao.
Resolver uma equao significa encontrar o conjunto de todas as suas razes.
As equaes do 1 grau tm sempre uma nica raiz real. Pode-se encontrar a raiz, de uma equao do
primeiro grau isolando a varivel.
Exemplos:
Para encontrar a raiz de 5x + 10 = 0, fazemos:
5x + 10 = 0
5x = -10
x =(-10) 5
x = -2
raiz: -2
Para resolver a equao 5x + 2 = 2x + 23, fazemos:
5x + 2 = 2x + 23
5x - 2x = 23 2
3x = 21
x = 21 3
x = 7
raiz: 7
EXERCCIOS PROPOSTOS
Nos exerccios 1 a 10, resolva as equaes do 1 grau.
1. 5x + 8 = 2x - 25
2. 3x - 42 = 7x - 78
3. -3(3x - 42) = 2(7x - 52)
4.
2
1
5
x 1
2
x
5.
3
9 - x 5
2
6 - 3x
6.
2
1
3
2 x
2
3 x
7. 0
2
1
3
x - 2
6
x 1
8.
4
1 - x
x 1
2
x 3
9.
6
5 - x
3
4 - 2x
4
2 4x
2
1 - 3x
10.
3
1 - x
2
1
2
x 1 3
3
1 - x 2
28
SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS VARIVEIS
Um sistema de equaes com duas variveis, x e y, um conjunto de equaes do tipo
ax + by = c (a, b, c R)
ou de equaes redutveis a esta forma.
Exemplo:
9 3y 3x
1 3y - x 2
Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y satisfazem
a todas as equaes do sistema ao mesmo tempo.
Exemplo:
No sistema indicado no exemplo anterior, o nico par ordenado capaz de satisfazer s duas equaes
simultaneamente
(x; y) = (2; 1)
Ou seja, x = 2 e y = 1
Resoluo algbrica
Dentre os vrios mtodos de resoluo algbrica aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois:
mtodo da adio
mtodo da substituio
Para exemplific-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois mtodos:
(II)
(I)
12 2y 3x
7 y x 2
A) Mtodo da Adio
1 passo: Multiplicamos as equaes por nmeros escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em
uma das variveis.
No caso, poderemos multiplicar a equao (I) por -2:
(II)
(I)
12 2y 3x
14 - 2y - 4x -
14 - 2y - 4 - 7 y 2x x(-2)
Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos.
2 passo: Somamos membro a membro as equaes encontradas:
2 - 0 1x -
12 2y 3x
14 - 2y - 4x -
A varivel y foi cancelada restando apenas a varivel x na ltima equao.
3 passo: Resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel:
-1x = -2
x = 2
29
4 passo: O valor da varivel encontrada substitudo numa das equaes iniciais que contenha
tambm a outra varivel e, ento, resolvemos a equao resultante:
2x + y = 7
2(2) + y = 7
4 + y = 7
y = 7 -4
y = 3
5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:
S = {(2; 3)}
B) Mtodo da Substituio
1 passo: Isolamos uma das variveis em uma das equaes dadas:
12 2y 3x
2x - 7 y 7 y 2x
2 passo: a varivel isolada substituda na outra equao e, ento, resolvemos a equao
resultante que tem somente uma varivel:
3x +2y = 12
3x + 2(7 - 2x) = 12
3x +14 - 4x = 12
3x 4x = 12- 14
-1x = -2
x=2
3 passo: Levamos o valor encontrado para a equao que tem a varivel isolada e calculamos
o valor desta:
y = 7 -2x
y = 7 -2 (2)
y = 7 -4
y = 3
4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:
S = {(2; 3)}
Sistema indeterminado
Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo
0 = 0
ou
3 = 3
ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre verdadeira, o sistema ter infinitas solues e
diremos que ele possvel mas indeterminado.
Sistema impossvel
Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo
0 = 3
ou
2 = 5
ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre falsa, o sistema no ter qualquer soluo e
diremos que ele impossvel.
O conjunto-soluo de um sistema impossvel vazio.
30
Resoluo grfica
Vamos considerar um sistema do 1 grau com duas variveis e duas equaes:
reta. uma representa
sistema do equao Cada (s) p ny mx
(r) c by ax
Cada ponto comum s retas do sistema corresponde a uma soluo. Ento, as pergunta-chaves so:
As retas do sistema tm algum ponto em comum?
Quantos?
Graficamente, existiro trs situaes possveis:
1) Retas Concorrentes
Se as retas forem concorrentes o sistema ter uma nica soluo. Ser um sistema possvel e determinado.
2) Retas Paralelas Coincidentes
Se as retas forem coincidentes o sistema ter infinitas solues. Ser um sistema possvel mas
indeterminado.
3) Retas Paralelas Distintas
Se as retas forem paralelas e distintas o sistema no ter qualquer soluo. Ser um sistema
impossvel.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Resolva os seguintes sistemas:
1 y - x
5 y x
a)
31
3 2y - x
7 2y x
b)
5 y - x
11 2y x
c)
1 - 3y - 2x
11 y 2x
d)
7 y - 2x
1 2y x
e)
6 y - 2x
4 - 3y x
f)
3 5y - 4x
13 7y - 3x
g)
16 2y - 3x
17 5y 2x
h)
2. Dividir o numero 85 em duas partes, tais que a maior exceda a menor em 21 unidades.
3. Dois nmeros so tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos sero iguais.
O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminudo de 2 unidades. Quais so estes
nmeros?
4. Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos para cada resposta
errada. Em 20 perguntas, minha equipe s conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas ela acertou?
5. Somando-se 8 ao numerador, uma frao fica eqivalendo a 1. Se, em vez disso, somssemos 7 ao
denominador, a frao ficaria equivalente a
2
1
. Qual a frao original?
6. Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os ps seriam, ao todo, 94.
Quantos coelhos e quantas galinhas esto no quintal?
7. Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o nmero de professores presentes ficou igual ao
triplo do nmero de professoras. Se, juntamente com o professor, entrasse tambm uma professora, o nmero
destas seria a metade do nmero de professores (homens). Quantos professores (homens e mulheres) estavam
na sala aps a chegada do professor Oliveira?
8. A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um nmero 9. Somado com 27, totaliza outro nmero,
representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual este nmero?
9. Um colgio tem 525 alunos, entre moas e rapazes. A soma dos quocientes do nmero de rapazes por 25 e do
nmero de moas por 30 igual a 20. Quantos so os rapazes e quantas so as moas do colgio?
10. Jos Antnio tem o dobro da idade que Antonio Jos tinha quando Jos Antnio tinha a idade que Antonio
Jos tem. Quando Antnio Jos tiver a idade que Jos Antnio tem, a soma das idades deles ser 63 anos.
Quantos anos tem cada um deles?
EQUAES DO 2 GRAU
Denominamos equao do 2 grau a toda equao da forma
ax2 + bx + e = 0, (a 0)
ou qualquer equao redutvel a esta forma.
Exemplos:
a) x2 - 5x + 6 = 0
b)3x2 + 2 = 0
c)-3x2 + 27 = 0
32
Resolver uma equao do 2 grau significa determinar valores da incgnita que tornem a equao verdadeira.
Cada valor nestas condies ser ento chamado raiz da equao.
Resoluo Algbrica
A determinao algbrica das razes de uma equao na forma ax2 + bx + c = 0, com a 0, pode ser obtida
com a frmula de Bskara:
2a
b -
x
onde = b2 - 4ac (discriminante da equao)
O sinal do discriminante, , determina a quantidade de razes da equao do segundo grau:
> 0duas razes reais e distintas;
= 0uma nica raiz real (duas razes iguais);
< 0nenhuma raiz real.
Determinao de Razes Usando a Somo e o Produto
Freqentemente, as razes das equaes quadrticas com que nos deparamos so nmeros racionais ou at
inteiros.
Nestes casos, podemos usar um "atalho" para determinar as razes, comparando o produto e a soma das
mesmas, como ilustraremos a seguir.
1 caso - Razes Inteiras
Vamos determinar as razes das equaes nos exemplos abaixo:
razes) das (produto 24
3
72
a
c P
razes) das (soma 10
3
30
a
b - S
0 72 - 30x 3x - 2
a)
Comearemos pelo produto, fazendo uma lista ordenada de todos os produtos possveis e iniciando sempre
pelos menores fatores:
P = 24
deste lado 1 24
ficam os 2 12
menores 3 8
4 6
Depois daremos os sinais aos fatores, do seguinte modo:
1 - o Sinal da Soma Sempre na Segunda coluna;
2 - na primeira coluna usaremos:
mesmo sinal de S - se P positivo.
sinal oposto de S - se P negativo.
P = 24
mesmo sinal + 1 +24 Sinal da Soma na
de S, pois + 2 +12 Segunda Coluna
P=(+) + 3 +8 S=(+)
+ 4 +6
33
Finalmente, procuramos em qual das linhas se encontra o par que nos d a soma correta (S = 10),
pois a estaro as razes:
P = 24
+ 1 + 24
+ 2 + 12
+ 3 + 8
Este par faz S = 10 + 4 + 6 As razes so +4 e +6
24
2
48
a
c P
14 -
2
28 -
a
b - S
0 48 28x 2x 2
b)
Fazendo a lista dos produtos e colocando os sinais, teremos:
P = 24
- 1 - 24
Mesmo sinal, - 2 - 12 Sinal da Soma na
de S, pois - 3 - 8 Segunda Coluna
P = (+) - 4 - 6 S = (-)
A segunda linha nos deu a soma correta (S =-14).
Portanto:
As razes so -2 e -12.
24 -
5 -
120
a
c P
5
5 -
25 -
a
b - S
0 120 25x 5x - 2
c)
Fazendo a lista dos produtos e colocando os sinais:
P = -24
- 1 + 24
Sinal oposto - 2 + 12 Sinal da Soma na
de S, pois - 3 + 8 Segunda Coluna
P = (-) - 4 + 6 S = (+)
A terceira linha nos deu a soma correta (S = 5).
Logo:
As razes so -3 e +8.
2 caso - Razes Fracionrias (usando Soma e Produto!)
a) -12x2 + x + 6 = 0
Se voc j estudou este assunto anteriormente, provavelmente ouviu dizer que casos como este eram
"impossveis" ou "muito difceis" de se resolver por soma e produto. Mas no bem assim.
Na verdade at bem fcil. Veja como:
Mtodo "Locikiano"
Primeiro, devemos sempre trabalhar com o coeficiente principal (a) positivo.
Isto feito multiplicando a equao por -1, que no altera as razes:
0 6 - x - 12x 0 6 x 12x - 2 x(-1) 2
34
Agora "passaremos" o coeficiente principal (a = 12) para o termo independente, multiplicando-os e
conseguindo uma nova equao:
4 48 4 47 6 equao nova
2 72 - 12x(-6) 2 0 - x x 0 - x - x 72 6 12
Nesta equao nova, procuraremos as razes:
72 -
1
72
a
c P
1
1
1
a
b - S
0 72 - x - x2
P = -72
- 1 + 72
- 2 + 36
- 3 + 24
- 4 + 18
- 6 + 12
- 8 + 9 razes da equao
nova: -8 e +9.
Finalmente, obteremos as razes da equao original dividindo as razes da equao nova por a ( a =
12
9
e
12
-8
que, simplificadas, do:
4
3
e
3
-2
Ento, as razes da equao -12x2 + x + 6 = 0 so:
4
3
e
3
-2
b) 2 x2+9x-5=0
1) "Passando" o coeficiente principal (que j positivo)
0 - 9x x 0 - 9x x
equao nova
2 10 2x(-5) 2
4 4 8 4 4 7 6
10 5 2
2) Resolvendo a nova equao: x2 + 9x - 10 = 0
P = -10
+1 -10 razes da equao
+2 -5 nova: +1 e -10
3) Dividindo as razes encontradas por a = +2:
2
-10
e
2
1
, ou sejam:
2
1
e 5
Ento as razes de 2x2 + 9x - 5 = 0 so:
2
1 e 5
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Resolva as seguintes equaes incompletas do segundo grau:
a) x2 - 25 = 0
b) 3x2 - 108 = 0
c)5x2 980 = 0
d) x2 - 1.225 = 0
e) 2x2 - 16 = 0
f)-3x2 + 60 = 0
2. Resolva as seguintes equaes incompletas do segundo grau:
a) x2 6x = 0
b) x2 + 6x = 0
35
c) 2x2 - 3x = 0
d)-5x2 + 7x = 0
e)19x2 - 15x = 0
f) 0,5x2 + 3x = 0
3. Resolva as seguintes equaes completas do segundo grau.
a) x2 - 13x + 12 = 0
b) x2 - 8x + 12 = 0
c) x2 + 7x + 12 = 0
d) x2 - 20x + 36 = 0
e) x2 + 15x + 36 = 0
f) x2 - 11x - 12 = 0
g) x2 + 11x - 12 = 0
h) x2 - x - 12 = 0
i) x2 + x - 12 = 0
j) x2 - 9x - 36 = 0
k ) - x2 + 8x + 20 = 0
l) -x2 + x + 20 = 0
m) -x2 + x + 12 = 0
n) -x2 - 35x + 36 = 0
0) -x2 + 37x -36 = 0
4. Resolva as seguintes equaes completas do segundo grau.
a) 2x2 + 3x - 2 = 0
b) 15x2 - 8x + 1 = 0
c) 3x2 + 4x + 1 = 0
d) 2x2 - 5x + 2 = 0
5. Verifique se -2 raiz da equao 2x2 - 5x - 18 = 0.
6. Calcular m na equao mx2 - 3x + (m - 1) = 0, de modo que uma de suas razes seja igual a 1.
7. Determine m na equao 2x2 - mx + x + 8 = 0, de modo que a soma de suas razes seja igual a 5.
8. Determine m tal que as razes de 4x2 + (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais.
9. Determine dois nmeros cuja soma seja -2 e o produto seja -15.
10. Decompor o nmero 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110.
11. A soma de um nmero natural com o seu quadrado igual a 72. Determine este nmero.
12. A soma de certo nmero inteiro com o seu inverso igual a 50/7. Qual esse nmero?
13. Determine dois nmeros inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.
14. Determine dois nmeros pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120.
15. A diferena entre o quadrado e o triplo de um mesmo nmero natural igual a 54. Determine esse nmero.
FUNES
Definies
Dados dois conjuntos no vazios, A e B, chama-se funo de A em B a qualquer relao tal que a cada um dos
elementos do conjunto A corresponda sempre um nico elemento do conjunto B.
Indicamos que uma relao uma funo de A em B, escrevendo : AB. O conjunto A o domnio da
funo e o conjunto B o contradomnio.
Domnio de - D( ) = A
Contradomnio de - CD( ) = B
Numa funo AB, chamamos de conjunto Imagem da funo ao conjunto de todos os elementos de B
(contradomnio) que tiveram alguma correspondncia com valores de A (domnio).
Lei de uma funo
Para o nosso estudo interessam apenas as funes definidas para conjuntos numricos, cujas relaes sejam
definidas por operaes aritmticas.
36
Exemplos:
1 - A funo : N N* definida por f(x) = 3x +2 associa a cada x N o nmero 3x +2 N* chamado imagem
do elemento x.
A imagem do elemento x = 5 ser 17, pois 3(5) + 2 = 17
e anotamos f(5) = 17.
2 - A funo ZN* definida por f(x) = 3x2 + 2 associa a cada x Z o nmero 3x2 +2N* chamado imagem
do elemento x.
A imagem do elemento x = -2 ser 14, pois 3(-2) 2 + 2 =3 X 4 + 2 = 14
e anotamos f(-2) = 14.
Grfico de uma funo
Considere todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence ao domnio da funo e y a imagem de x
pela funo .
O grfico cartesiano de uma funo numrica a representao grfica onde cada um desses pares ordenados
mostrado como um ponto do plano cartesiano.
Discutiremos os detalhes dos grficos de funes no estudo das funes do 1 e do 2 graus.
Funo do 1 Grau
Denominamos funo do primeiro grau a qualquer funo f: RR, tal que:
f(x) = ax + b (com a 0)
O grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b.
O valor constante b da expresso ax + b chamado coeficiente linear.
O coeficiente a da expresso ax + b chamado coeficiente angular e est associado ao grau de inclinao
que a reta do grfico ter (na verdade o valor de a igual tangente de um certo ngulo que a reta do
grfico forma com o eixo horizontal).
Se a > 0 a funo ser crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, maior ser tambm o valor
correspondente de y e o grfico vai ficando mais alto para a direita.
Se a < 0 a funo ser decrescente, o u seja, quanto m a i o r for o valor de x, menor ser o valor
correspondente de y e o grfico vai ficando mais baixo para a direita.
37
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. O grfico da funo f(x) = 3x - 9 encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x igual a
a) -9
b) -3
c) 0
d) 3
e) 9
2. O grfico da funo f(x) = -2x -14 encontra o eixo das ordenadas (vertical) quando y igual a
a) -14
b) -7
c) 0
d) 7
e) 14
3. A funo do primeiro grau f(x) = ax + 8 crescente e encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x
igual a - 4. Ento o valor de a :
a) -4
b) -2
c) 2
d) 4
e) 8
4. Considere que a funo do primeiro grau definida por f(x) = ax + 10 seja crescente. Assinale a opo que indica
um valor impossvel para a raiz desta funo.
a) -25
b) 4
c) -3
d) 2
e) 4
5. (CESCEM) Para que os pares (1; 3) e (3; -1) pertenam ao grfico da funo dada por f (x) = ax + b, o valor de
b - a deve ser:
a) 7
b) 5
c) 3
d) -3
e) -7
6. Uma funo real f do 1 grau tal que f (0) = 1 + f (1) e f (-1) = 2 - f (0). Ento, f (3) :
a) -3
b)
2
5
-
c) 1
d) 0
e)
2
7
7. Para que a funo do 1 grau dada por f (x) = (2 - 3k) x + 2 seja crescente devemos ter:
a)
3
2
k
b)
3
2
k
c)
3
2
k
d)
3
2
- k
e)
3
2
- k
8. (UnB/95-STJ) Um passageiro recebe de uma companhia area a seguinte informao em relao bagagem a
ser despachada: por passageiro, permitido despachar gratuitamente uma bagagem de at 20kg; para qualquer
quantidade que ultrapasse os 20kg, ser paga a quantia de R$ 8,00 por quilo excedente. Sendo P o valor pago
pelo despacho da bagagem, em reais, e M a massa da bagagem, em kg, em que M > 20, ento:
a) P = 8M
b) P = 8M - 20
38
c) P = 20 - 8M
d) P = 8(M - 20)
e) P = 8(M + 20)
FUNO DO 2 GRAU
Denominamos funo do segundo grau a qualquer funo f: RR, tal que:
f(x) = ax2 + bx + c(com 0)
Os grficos das funes do 2 grau so sempre parbolas.
O que exatamente uma parbola? As parbolas so curvas especiais construdas de uma tal maneira que cada
um dos infinitos pontos que formam a parbola ficam mesma distncia de uma certa reta (reta diretriz da parbola)
e de um certo ponto (foco da parbola) que est fora da reta diretriz.
Na funo f(x) = ax2 + bx + c, o valor ac 4 - b 2 chamado discriminante da expresso quadrtica.
Dependendo do sinal do discriminante () e tambm do sinal de a, teremos uma das seis situaes descritas
abaixo, que mostram a posio da parbola em relao ao eixo horizontal:
1- Se > 0 h duas razes reais e a parbola encontrar o eixo horizontal (x) em dois pontos distintos (que
so as razes de ax2 + bx + c = 0).
2- Se = 0 h uma s raiz real e a parbola encontrar o eixo horizontal em um nico ponto (que a nica
raiz de ax2 + bx + c = 0).
3 - Se < 0 no h razes reais e o grfico no encontrar o eixo horizontal.
Vrtice da Parbola
O vrtice de uma parbola um ponto da parbola com vrias caractersticas interessantes. Ele ser o ponto mais
alto (ponto de mximo) ou o ponto mais baixo (ponto de mnimo) da parbola. Alm disto, o vrtice da parbola
divide a parbola em duas partes, sendo uma crescente e outra decrescente.
39
Coordenadas do Vrtice
As coordenadas do vrtice podem ser obtidas com as seguintes expresses:
4a
- y
2a
-b x
v
v
Uma forma alternativa de se conseguir estas coordenadas fazendo:
1 - Conhecidas as razes da funo, o x do vrtice pode ser calculado como a mdia aritmtica das razes da
funo.
2
r r
x 2 1
v
2 - Conhecido o valor de x, pode-se calcular o y do vrtice como o valor que a funo assume para x = x y:
yv = a(xv)2 + b(xv) + c
O vrtice da parbola ser:
- ponto de mnimo sempre que a > 0;
- ponto de mximo sempre que a < 0.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. A funo do segundo grau f(x) =x2 + bx + c encontra o eixo horizontal para x = 2 e para x = 5. Ento os
valores de b e de c so, respectivamente:
a) -7 e -10
b) 7 e 10
c) -7 e 10
d) 7 e -10
e) 10 e 7
2. O grfico de f(x) = x2 + bx + 9 encontra o eixo das abscissas em um nico ponto. Ento o valor de b :
a) 36
b) 6
c) 36
d) 6
e) - 6
3. As razes de f(x) = 2x2 + bx + c tm sinais opostos. Logo:
a) b2 - 8c igual a zero.
b) b2 - 8c negativo.
c) c < 0.
d) b < 0.
e) b < c.
4. As razes de f(x) =-3x2 + bx + c so positivas e distintas. Logo:
a) b2 - 8c igual a zero.
b) b2 - 8c negativo.
c) c > 0.
d) b > 0.
e) b < c.
INEQUAES DO 1 E DO 2 GRAUS
Resolver uma inequao num dado conjunto numrico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os
valores de U que tornam verdadeira a inequao. Este subconjunto de U chamado conjunto-soluo ou
conjunto-verdade da inequao.
Inequaes do 1 grau
Denominamos inequaes do primeiro grau s inequaes redutveis a uma das seguintes formas:
ax + b < 0
ax + b < 0
ax + b > 0
40
ax + b > 0
ax + b 0
(todas com a 0)
Obs.: sempre possvel multiplicar os dois lados de uma inequao por -1 para obter a > 0, lembrando que ao
multiplicar a inequao por -1 os sinais > e < sero sempre trocados um pelo outro.
Sendo a > 0, teremos:
ax + b < 0 x < -b/a
ax + b 0 x -b/a
ax + b > 0 x > -b/a
ax + b 0 x -b/a
ax + b 0 x -b/a
EXERCCIOS PROPOSTOS
Nos exerccios 1 a 10, resolva as inequaes do 1 grau no universo dos nmeros reais:
1. 2x +16 < 0
2. -5x+10 0
3. 3x + 4 2x+5
4. 9x + 4 > 11x -3
