Apostila de Matemática Aplicada as Ciências Naturais II (01)

Universidade do Estado do Par UEPA Prof. Msc Francisco M de O Junior Disciplina Matemtica Aplicada as Cincias Naturais II Email: [email protected] Pgina 1

Universidade do Estado do Par - UEPA Professor Msc Francisco Junior Curso Licenciatura em Cincias Naturais com Habilitao em Biologia Disciplina Matemtica Aplicada as Cincias Naturais II

PRIMITIVA DE UMA FUNO Seja f uma funo definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I uma funo F definida em I, tal que

)()(' xfxF = , para todo x I.

Ex.: 1) 221

)( xxF = a primitiva da funo xxf =)( em , pois, para todo x , temos

xxxF =

= '21

)(' 2

Sendo a funo F uma primitiva da funo f em I, ento para toda constante k , kxF +)( tambm uma primitiva de f , pois

[ ] )(')( xfkxF =+ . Da, segue que as primitivas de f em I so as funes da forma kxF +)( , com k constante. Dizemos, ento que

kxFy += )( uma famlia das primitivas de f em I. O simbolismo usado para representar uma famlia de primitivas pode ser compreendido pensando-se na diferencial dy como uma poro infinitesimal de y e imaginando que y a soma de todos esses infinitsimos. Leibniz usou uma letra s estilizada, escrita , para tais somatrios, tal que

= dyy deve simbolizar a ideia de que y a soma de todas as suas diferenciais individuais. Johann Bernoulli, um contemporneo de Leibniz, sugeriu que o processo de reunir infinitsimos de forma a se ter uma quantidade inteira ou completa, deva ser chamada de integral ao invs de somatrio. A ideia de Bernoulli foi aceita, da o smbolo referido como sinal de integral.

+= kxFdxxf )()( , onde k chamada de constante de integrao.


Regras bsicas para a integrao

a) ( ) )()( xfdxxfdxd

= b) += kxfdxxf )()(' c) += kxdx

d) ++

=+

knx

dxxn

n

1

1

, para 1n e racional.

e) 1x xe dx e k

= + .

f) xxdx sencos =

g) = xxdx cossen Tcnicas de Integrao

Como j foi exposto, integrar uma funo consiste em determinar uma famlia de primitivas dessa funo. As tcnicas de integrao so mtodos utilizados para a determinao dessas primitivas. As tcnicas de integrao consistem em arrumar o integrando de forma que se possa aplicar alguma das regras de integrao. Existem vrias tcnicas de integrao, como por exemplo mudana de varivel, integrao por partes, integrao por fraes parciais, substituio trigonomtrica e outras.

Destacaremos trs dessas tcnicas que so mudana de varivel, integrao por partes e integrao por fraes parciais. Mudana de Varivel Teorema Sejam ],[: baf e ],[: dcg , tais que ],[]),([ badcg seja diferencivel. Ento, temos que

=d

c

bg

agdssgsgfdssf )('))(()(

)(

)(

.

Demonstrao: Denotemos por F a primitiva de f , ento temos pelo Teorema Fundamental do Clculo que

))(())(()()(

)(

agFbgFdssfbg

ag= .


Da, aplicado a regra da cadeia, obtemos

)('))(()('))(('))(( sgsgfsgsgFsgFdsd

== ,

de onde segue que ))(( sgF uma primitiva de )('))(( sgsgf . Aplicando novamente o Teorema Fundamental do Clculo encontramos que

=d

cagFbgFdssgsgf ))(())(()('))(( ,

ou seja,

=d

c

bg

agdssgsgfdssf )('))(()(

)(

)(

.

O teorema anterior nos diz que uma integral pode ser simplificada da seguinte forma

=b

a

bg

agxgdxgfdxxgxgf

)(

)(

))(())(()('))(( .

Podemos chegar a esta expresso denotando )(xgu = , ento, diferenciando u , temos dxxgdu )('= . Da, substituindo na integral anterior, obtemos

=b

a

bg

agduufdxxgxgf

)(

)(

)()('))(( .

Exemplo 1: Encontre a primitiva das seguintes funes:

a) 232 )2()( = xxxf b) xexf 3)( =

c) 1)( 2 += xxxf d) xxf 3cos)( =

Exerccios 1) Calcule as seguintes integrais:

a) + dxxx )1( 43 b) dxxex 2 c) + dxxx )1sen( 2

d)

dxe

xxx33

12


Integrao Por Partes Esta tcnica baseada na frmula da derivada de um produto

dxdg

fgdxdf

fgdxd

+=)( ,

ou em termos de diferenciais temos

fdggdffgd +=)( , o que implica que

.)( fdgfgdgdf = Agora, integrado esta ltima equao obtemos

= dxfgxgxfgdxf ')()(' .

Utilizamos a tcnica de integrao por partes frequentemente para calcular integrais

(primitivas) de funes de alguns tipos como

xxxf k cos)( = , xxxf k sen)( = , xexf x cos)( = , xexf x sen)( = , xkexxf =)( . Exemplo: 1) Calcule as integrais das seguintes funes: a) xxexf =)( b) xexxf 2)( = c) xxxf cos)( = d) xexf x sen)( = Exerccios 1) Calcule:

a) xdxx sen2

b) xdxex cos c) dxxe x2


Integral Definida ou Integral de Riemann A definio da integral definida, tambm conhecida como integral de Riemann, est motivada pelo clculo de reas limitadas por curvas. A ideia aproximar a rea de uma curva atravs de reas de retngulos. Assim, obtemos as chamadas somas de Riemann. Estas somas so chamadas de somas superiores quando os retngulos aproximam por excesso a rea da curva e de somas inferiores quando os retngulos esto por de baixo da curva. O nfimo das somas superiores define a integral superior e o supremo das somas inferiores define a integral inferior. Uma funo dita integrvel quando a integral superior igual a integral inferior.

y )(xfy =

Por exemplo, a rea delimitada por uma funo )(xfy = , acima do eixo x , e o eixo x , com x variando de a at b , pode ter seu valor aproximado pela soma da rea de pequenos retngulos inscritos no intervalo ],[ ba , de modo que quanto maior o nmero de retngulos menor ser o erro cometido pela aproximao. Denotemos por ix a base e de

)( ixf a altura de cada retngulo; observe que iii xxx = +1 . Na medida em que aumentamos o nmero de pontos ix no intervalo ],[ ba a soma das reas dos retngulos se aproxima cada vez mais da rea da funo )(xfy = .

a b x a b x

y y

Soma Inferior Soma Superior

a b x


Denotemos por nS a soma das reas dos retngulos inscritos no intervalo ],[ ba , ou seja,

=

=n

iiin xxfS

1)( ,

esta soma chamada de Soma de Riemann. Agora, fazendo n no somatrio, isto ,

1lim lim ( )

n

n i in n iS f x x

=

= , obtemos o valor da rea da curva definida pela funo )(xfy = no intervalo ],[ ba . Indiquemos por

1( ) lim ( )

b n

i in ia

f x dx f x x

=

=

a integral definida ou integral de Riemann da funo )(xfy = no intervalo ],[ ba . Baseado no exposto acima, podemos dar a seguinte definio para integral definida: Sejam f uma funo definida no intervalo ],[ ba e P uma partio qualquer de

],[ ba . A integral definida de f de a at b , denotada por

b

a

dxxf )( ,

dada por

0 1( ) lim ( )

b n

i imx x ia

f x dx f c x

=

= , desde que este limite exista.

Se b

a

dxxf )( existe, dizemos que f integrvel em ],[ ba .

Se f integrvel em ],[ ba , ento

==b

a

b

a

b

a

dssfdttfdxxf )()()( ,

ou seja, podemos usar qualquer smbolo para representar a varivel independente. Por definio temos

(a) Se a b< , ento

=b

a

a

b

dxxfdxxf )()( ,

se a integral direita existir.


(b) Se a b= e )(af existe, ento =a

a

dxxf 0)( .

Propriedades Sejam f e g funes integrveis em [a ,b] e k uma constante. Ento (a) gf + integrvel em [a ,b] e

[ ] +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

(b) kf integrvel e

( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx= .

(c) Se 0)( xf em [a ,b], ento

b

a

dxxf 0)(

(d) Se ] [bac , e f integrvel em [a ,c] e em [c ,b], ento

+=b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( .

Teorema Fundamental do Clculo Sejam f uma funo integrvel em [a ,b] e F uma primitiva de f em [a ,b], ento

=b

a

aFbFdxxf )()()( .

Exemplos: 1) Calcule as integrais:

a) ( ) +3

1

3 532 dxxx b) 2

13

1 dxx

c) 2

0 2cos

dxx d) 1

0

dxe x


Lista de Exerccios I 1) Calcular as seguintes integrais indefinidas:

a) 4dxx

b) 33

16t dtt

+

c) ( )22 3x dx d) 3x x dx

e) 5 5 3 2

2

4 2 5 3x x x x x dxx

+ + +

f) 13

x x dxx

+

g) 122 4 2

tt e sen t dt

+

2) Calcular as integrais definidas:

a) dx3

0 21 e) dxxx +

2

0

2 )54( i) dxxx +4

1

23 2 )2(

b) dx4

0

f) dxx

3

0

4

325 j) dxx

4

0

sen

c) dxx +5

1

)3( g) dxx

0

1 52 l) dxe x

1

1

2

d) dxx

3

13

1 h) dxx3

0

m) dxx

0

3sen

n) ( )3

0

2 3sen x dx


3) Calcular as seguintes integrais aplicando mudana de varivel:

a) 3 2

2

3 23 6 2x x x dx

x x + +

b) dxx

x

+

55

55

c) dxx + 32

3

d) dxx

x

221

e) dtt

t + 42 2

f) dxx

x

21

g) dxxx

x

++

+3 2231

34

h) d

aa

cossen

4) Calcular as integrais abaixo aplicando integrao por partes.

a) dxxx 2sen b) cos 2x x dx c) uduu 2sec d) sen 3y ydy e) dxex x2 f) tdte t 2sen

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Equaes Diferenciais Ordinrias Toda equao cujas incgnitas so funes e que contm pelo menos uma derivada ou diferencial destas funes, denomina-se de equao diferencial. Exemplos 1) ' 2 0y xy =

2) sendy y xdx

+ =

3) 0xdy ydx =

4) 2

2

d y y xdx

+ =

5) 2 33 2 4

3 2 41d y d y d yx y y xdx dx dx

= +

6) 2 2

2 2 0Z Z

x y

+ =

7) 2ttu a u= Classificao A funo y denominada de incgnita de uma varivel independente x . Quando existe apenas uma varivel independente, a equao denominada ordinria e quando h mais de uma varivel independente, a equao diferencial denominada parcial. Ordem A ordem de uma equao diferencial determinada pela ordem da derivada de mais alta ordem na equao. Grau Supondo-se a equao escrita sob a forma racional inteira em relao s derivadas, o grau da equao o maior dos expoentes a que est elevada a derivada de mais alta ordem contida na equao. Exemplos 1) ' 2 0y xy = (1 ordem e 1 grau)

2) 2

2

d y y xdx

+ = (2 ordem e 1 grau)

3) 2 33 2 4

3 2 41d y d y d yx y y xdx dx dx

= +

(4 ordem e 3 grau)

4) 2 2

2 2 0Z Z

x y

+ =

(2 ordem e 1 grau)

Resoluo Resolver ou integrar uma equao diferencial determinar uma funo que, juntamente com suas derivadas, verificam a equao, ou seja, obter uma funo de variveis livres que, substituda na equao, transforme-a numa identidade.


Exemplo

( )( )

2

2 1

2 1

2 1

22

dy xdxdy x dx

dy x dx

xy x c

= +

= +

= +

= + +

Existem vrios tipos de soluo de uma equao diferencial. a) Soluo Geral

a soluo da equao que contm tantas constantes arbitrrias quantas forem as unidades da ordem da equao. Dessa forma, uma equao de 1 ordem apresenta apenas uma constante arbitrria em sua soluo geral. Uma equao de 2 ordem apresenta duas constantes arbitrrias e assim por diante. b) Soluo Particular a soluo da equao deduzida da soluo geral, atribuindo-se valores particulares s constantes arbitrrias. c) Soluo Singular a soluo da equao que no pode ser deduzida da soluo geral. Sendo assim, apenas alguns tipos de equaes apresentam essa soluo. Curvas Integrais Geometricamente, a soluo de uma equao diferencial representa uma famlia de curvas que recebem o nome de curvas integrais. Essa soluo denomina-se primitiva ou integral da equao diferencial.

2y x x c= + +

2y x c= +

Francisco JuniorCross-Out

Francisco JuniorCross-Out


Equaes Diferencias de 1 Ordem e de 1 Grau A equao diferencial de 1 ordem de 1 grau tem a forma

( , )dy F x ydx

= ou ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ,

onde as funes M e N so contnuas em ( ), + . Equaes de Variveis Separadas Uma equao do tipo 0Mdx Ndy+ = , onde M e N podem ser: a) funes de apenas uma varivel b) produtos com fatores de uma s varivel c) constantes denominada equao de variveis separveis. Exemplos

1) 2 5dy xdx

=

2) ( 1) 0xdx y dy+ = Exerccios 1) Determine a soluo geral das seguintes equaes diferenciais:

a) 3 12

dy xdx y

=

b) ( ) ( )2 1 0y dx x dy+ =


c) 4 0xxdx dyy

=

d) cos 0dy y xdx

+ =


Equaes Diferenciais Lineares de 1 Ordem Toda equao diferencial das formas

( ) ( )dy p x y q xdx

+ = ou ' ( ) ( )y p x y q x+ =

chamada de equao linear. Quando ( ) 0q x = , a equao chamada de homognea. Sua soluo dada por

( ) ( )( ) ( )

p x dx p x dxy x e e q x dx c

= + .

1) Determine a soluo geral das equaes lineares de 1 ordem: a) ' 2y xy x+ = Observe que ( ) 2P x x= e ( )Q x x= . Da, precisamos calcular ( )P x dx e

( ) ( )P x dxQ x e dx . Temos ( )

2

2

2

22,

P x dx xdx

x

x

=

=

=

e

( ) ( ) 2 .P x dx xQ x e dx xe dx = Fazendo uma mudana de varivel da forma 2u x= , temos 2du xdx= , ou seja,

2du xdx= . Assim,

( ) ( )2

1 ,2

P x dx u

u

duQ x e dx e

e

=

=

ou seja,

( ) ( ) 212

P x dx xQ x e dx e = . Da, a soluo geral

2 2

2

12

1 .2

x x

x

y e e c

y ce

= +

= +

b) 2dyx y xdx

+ = (Resposta: cy xx

= + )


c) 3xdy y edx

+ = (Resposta: 314

x xy e ce= + )

Exerccios 1) Determine a soluo geral das seguintes equaes lineares de 1 ordem:

a) 0dy ydx x

= Resp.: kyx

=

b) 2dy y xdx x

= Resp.: 2 2 lny x x x kx= +

c) dy y tg x sen xdx

= Resp.: 2

2sen xy sen x k

= +

d) cot 0dy y xdx x x

+ = Resp.: ( )1 lny sen x kx = +

2) Determine a soluo geral das seguintes equaes diferenciais lineares de 1 ordem: a) ' 3 0y y+ =

b) 2 0dy xydx

=

c) ' 3y y x =

d) 05' = yy e) 63' = yy f) xxyy =2'

g) 44

' xyx

y =+

h) xyy sen' =+


Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem com Coeficientes Constantes Toda equao diferencial das formas

'' ' ( )y ay by f x+ + = ou 2

2 ( )d y dya by f xdx dx

+ + = , (1)

onde a e b so constantes e f uma funo de x , chamada equao diferencial linear de 2 ordem com coeficientes constante. No caso em que ( ) 0f x = , a equao chamada de homognea. A soluo de uma equao no homognea, ou seja, ( ) 0f x , obtida atravs da soma das solues homognea, hy , e particular, py , isto , h py y y= + .

A soluo da equao homognea, hy , obtida atravs da equao denominada de caracterstica, que encontrada substituindo ''y por 2r , 'y por r e y por 1 na equao homognea, '' ' 0y ay by+ + = , onde r so as razes da equao do 2 grau

2 0r ar b+ + = . Temos trs casos possveis para a soluo da equao caracterstica

2 0r ar b+ + = , que so: ( )i 1r e 2r reais e distintos, ou seja, 1 2r r . Neste caso, a soluo da equao homognea obtida por 1 21 2

r x r xy C e C e= + , onde 1C e 2C so constantes reais arbitrrias. ( )ii 1r e 2r reais e iguais, ou seja, 1 2r r= . Neste caso, a soluo da equao homognea obtida por 1 11 2

r xr x xy C e C e= + , onde 1C e 2C so constantes reais arbitrrias. ( )iii 1r e 2r so nmeros complexos, da forma 1r i = + e 2r i = . Neste caso, a soluo da equao homognea obtida por ( cos )xy e A x Bsen x = + , onde A e B so constantes reais arbitrrias. Exemplos: 1) Determine a soluo das seguintes equaes homogneas: a) 02'3" =+ yyy b) 09" =+ yy c) 6 " ' 0y y y+ = d) 018'9"2 =+ yyy

e) 018'4" =++ yyy f) 0'" =++ yyy g) '53" yyy =+

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Determinar a soluo da equao homognea j sabemos. O problema, agora, como determinar a soluo particular. Existem alguns mtodos para se determinar a soluo particular de uma equao linear de 2 ordem com coeficientes constantes e no homognea, como, por exemplo, o mtodo dos coeficientes a determinar e o mtodo das variaes dos parmetros, tambm conhecido como mtodo de Lagrange.. Apresentaremos, aqui, o mtodo das variaes dos parmetros que mais eficiente que o mtodo dos coeficientes a determinar. O mtodo das variaes dos parmetros leva em considerao a soluo obtida a partir da equao linear homognea associada e trata a constante obtida como uma possvel funo do parmetro x .

Suponhamos que a soluo homognea seja da forma 1 21 2r x r xy C e C e= + .

Consideremos 1 1( )C u x= e 2 2 ( )C u x= , ou seja, no mais como constantes e sim como funes de x . Suponhamos, agora, que uma soluo particular possa ser escrita sob a forma

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x= + ,

com 11( )r xy x e= e 22 ( )

r xy x e= , onde para essa expresso ser soluo da equao (1), sero impostas algumas condies sobre 1u e 2u . Estas condies nos levam ao sistema de condicionamento

1 1 2 2

1 1 2 2

' ' 0' ' ' ' ( )

u y u yu y u y f x

+ = + =

.

Para resolver esse sistema, podemos aplicar o mtodo de Cramer. O determinante desse sistema ser o Wronskiano das funes 1y e 2y , ou seja,

1 2

1 2' 'y y

y y,

que por hiptese diferente de zero. Exemplos: 1) Determine a soluo das seguintes equaes diferenciais lineares: a) '' 3 ' 2 xy y y e sen x + = b) '' 2 xy y xe =

c) 2

2 4xd y y e

dy =


Problema de Valor Inicial Em geral, estamos interessados na soluo de uma equao diferencial sujeita a determinadas condies prescritas, condies estas que so impostas soluo desconhecida ( )y y x= e as suas derivadas. Em algum intervalo I contendo 0x , o problema

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

10 0 0 1 0 2 0 1

: , , ', '', ''', ,

: , ' , '' , ,

nn

n

nn

d yResolver f x y y y y ydx

Sujeita a y x y y x y y x y y x y

=

= = = =

onde 0 1 2 1, , , , ny y y y so constantes reais especificadas, chamado de problema de valor inicial PVI. Os valores de ( )y x e suas 1n derivadas em um nico ponto 0x so chamados de condies iniciais. PVI de 1 Ordem O PVI de 1 ordem quando temos

( ): ,dyResolver f x ydx

=

( )0 0:Sujeita a y x y= . (Condies iniciais) Exemplos:

1) ( )' 16 00 2

y yy+ =

= 2) 2 2( 1) ( ) 0, (1) 1.x dx y y dy com y+ + = =

Ns estamos interessados apenas nos problemas de valor inicial de equaes lineares de 1 e 2 ordem. Resolver um PVI linear de 1 ordem consiste em resolver a equao linear de 1 ordem e substituir na soluo geral a condio inicial para determinar o valor da constante de integrao, e em seguida substituir este valor na soluo geral. Exemplos: 1) Resolva os seguintes PVI lineares de primeira ordem:

a) ( )' 16 00 1

y yy+ =

=

Soluo: ( ) 16P x = , logo ( ) 16 16P x dx dx x= = . Da, a soluo geral


( ) 16xy x ce= . Agora, da condio inicial temos que quando 0x = , implica que 1.y = Substituindo estes valores na soluo geral, obtemos

( ) 16 00

0

11 11 .

y ce

cecc

=

== =

Sendo assim, a soluo deste PVI ( ) 16xy x e= .

b) ( )' 2 , 0 3y xy x com y+ = = (Resposta: 21 72 2

xy e= )

c) ( )2 , 1 0dyx y x com ydx

+ = = (Resposta: 1 , 0y x para xx

= < < )


Alguns Modelos Matemticos de E.D.O. de 1 Ordem Em cincias, engenharia, economia e at mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenmeno em termos matemticos. Essa descrio comea com

(i) Identificando as variveis que so responsveis por mudanas do sistema, e (ii) Um conjunto de hipteses razoveis sobre o sistema.

As hipteses tambm incluem algumas leis empricas que so aplicveis ao sistema. A estrutura matemtica de todas essas hipteses, ou o modelo matemtico do sistema, muitas vezes uma equao diferencial ou um sistema de equaes diferenciais. Esperamos que um modelo matemtico razovel do sistema tenha uma soluo que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema. Problema de Variao de Temperatura Suponhamos que ( )T t denote a temperatura de um corpo no instante t e que a

temperatura do meio ambiente seja constante, igual a mT . Se dtdT representa a taxa de

variao da temperatura do corpo, ento a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variao de temperatura de um corpo em resfriamento proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio, ou seja,

( )c mdT kdt

T T=

dtdT = taxa de variao de temperatura

cT = temperatura inicial do corpo mT = temperatura do meio

k = constante positiva de proporcionalidade t = tempo Problema de Crescimento e Decrescimento O problema de valor inicial

dN kNdt

= , 0 0( )x t N= ,

em que k uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias envolvendo crescimento e decrescimento. A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa.

dtdN = taxa de variao da quantidade de substncia ou populao

)(tN = quantidade substncia ou populao k = constante de proporcionalidade


t = tempo Meia-Vida Em fsica, a meia-vida uma medida da estabilidade de uma substncia radioativa. A meia-vida simplesmente o tempo necessrio para a metade dos tomos em uma quantidade inicial 0N desintegrar-se ou transformar-se em tomos de um outro elemento. Quanto maior for a meia-vida de uma substncia, mais estvel ela ser. Por exemplo, a meia-vida do rdio altamente radioativo, Ra-226, mais ou menos 1.700 anos, ou seja, em 1.700 anos a metade de uma dada quantidade de Ra-226 transformada em radnio, Rn-222. O istopo de urnio que ocorre mais frequentemente, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4,5 bilhes de anos. Em cerca de 4,5 bilhes de anos a metade de uma certa quantidade 0N de U-238 transformada em chumbo, Pb-206. Datao Por Carbono Por volta de 1950, o qumico Willard Libby inventou um mtodo de usar o carbono radioativo como um meio para determinar a idade aproximada dos fsseis. A teoria da datao por carbono baseia-se no fato de que o istopo carbono 14 produzido na atmosfera pela ao da radiao csmica sobre o nitrognio. A razo quantidade de C-14 em relao ao carbono comum na atmosfera parece ser uma constante e, consequentemente, a quantidade proporcional de istopo presente em todos os organismos vivos a mesma na atmosfera. Quando um organismo morre, a absoro de C-14 por meio da respirao ou alimentao, cessa. Assim, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fssil com a razo constante encontrada na atmosfera, possvel obter uma estimativa razovel da idade do fssil. O mtodo baseia-se no conhecimento de que a meia-vida do radioativo C-14 aproximadamente 5.600 anos. Por seu trabalho Libby ganhou o Prmio Nobel de qumica em 1960. O mtodo de Libby tem sido usado para datar mveis de madeira em tmulos egpcios, o tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmtico sudrio de Turim. Queda dos Corpos com Resistncia do Ar A equao diferencial para a velocidade v de uma massa m sujeita resistncia do ar proporcional velocidade instantnea

dvm mg kvdt

= ou gvmk

dtdv

=+ ,

onde k uma constante de proporcionalidade positiva. Lembrado que dtdvmF = , podemos

escrever kvmgF = .

F = fora resultante sobre o corpo g = gravidade v = velocidade do corpo k = constante de proporcionalidade m = massa do corpo kv = fora de resistncia do ar


Se 0=k , temos

gdtdv

=

dtdv = taxa de variao da velocidade

Se 0>k , temos

lmgk

v =

lv = velocidade limite Obs: Resistncia do ar proporcional a velocidade Circuitos Eltricos Circuito RL Para um circuito em srie contendo apenas um resistor e um indutor (Circuito RL), a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor ( ( )L di dt ) e no resistor ( )iR igual voltagem aplicada no circuito ( )( )E t

Assim, a equao diferencial linear para a corrente ( )i t ,

( )diL Ri E tdt+ = ou di R Ei

dt L L+ = ,

onde ( )i t = quantidade de corrente (em Ampres), R = resistncia (em ohms), L =indutncia (em henryes) e E = fora eletromotriz (em volts).


Circuito RC J a queda de voltagem em um capacitor com capacitncia C dada por ( )q t C , onde q a carga no capacitor.

Assim sendo, para este circuito em srie, a segunda lei de Kirchhoff nos d

( )1Ri q E tC

+ = ,

onde a corrente i e a carga q esto relacionadas por dqidt

= . Dessa forma, substituindo i

por dqdt

na equao, obtemos a equao diferencial linear

REq

RCdtdq

=+1 ,

onde q = quantidade de carga (em coulombs), C = capacitncia (em fards), R =resistncia (em ohms) e E = fora eletromotriz (em volts).


Lista de Exerccios II 1) Determine a soluo geral das seguintes equaes diferenciais ordinrias: a) 02 = dyyxdx b) 32' xyy = c) yy 5'=

d) 11

' 4 ++

=yx

y

e) 0= ydydxex f) 0)61( 5 =+ dyydxex x

2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 2 2( 1) ( ) 0, (1) 1.x dx y y dy com y+ + = = b) 0, (0) 2.sen x dx ydy com y+ = =

c) 2 5( 1) 0, (0) 0.xx e dx y dy com y+ = =

3) Encontre a soluo geral das seguintes equaes lineares de 1 ordem: a) 05' = yy b) 63' = yy c) xxyy =2'

d) 44

' xyx

y =+

e) xyy sen' =+ 4) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 1)(,sen' ==+ ycomxyy b) 1)0(,22' 3 ==+ ycomxxyy

c) 0)1(,2

' ==+ ycomxyx

y

d) 5)(,06' ==+ ycomxyy


Lista de Exerccios III 1) Determine a soluo geral das seguintes equaes: a) 02'3" =+ yyy b) 09" =+ yy c) 0"6 =+ yyy d) 018'9"2 =+ yyy e) 018'4" =++ yyy f) 0'" =++ yyy g) '53" yyy =+ h) .0,0')1(" 2 =++ acomayyaay

2) Resolva as seguintes equaes diferenciais no homogneas: a) xyyy sen22'3" =+ b) xeyyy =+ 32'3" c) 1284" 2 += xxyy d) xeyy 244" = e) xeyyy 234'4" =+ f) xyy cos3'4" =+ g) xyy 2cos54" =

3) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 1)0('0)0(;05'2" ===++ yeyyyy b) 1)0('1)0(;06'" === yeyyyy c) 0)0('2)0(;02'2" === yeyyyy d) 0)0('1)0(;cos2'2" ===+ yeytyyy e) 1)0('2)0(;4'2" ===++ yeyeyyy t f) 1)0('0)0(;sen5'2" ===++ yeyteyyy t g) 5)0('3)0(;1'" ==+=++ yeyeyyy t


Lista de Exerccios IV 1) Um corpo temperatura inicial de 50 F colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente de 100 F. Se aps 5 minutos a temperatura do corpo de 60 F, determine: a) O tempo necessrio para a temperatura do corpo atingir 75 F; b) A temperatura do corpo aps 20 minutos. 2) Quando um bolo tirado do forno, sua temperatura de 0300 F . Trs minuto depois, sua temperatura 0200 F . Quanto tempo levar para o bolo resfriar at a temperatura ambiente de 070 F . 3) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido temperatura constante de 30 F. Se, aps 10 minutos, a temperatura do corpo de 0 F e aps 20 minutos de 15 F, determine a temperatura inicial desconhecida. 4) Sabe-se que uma cultura de bactrias cresce a uma taxa proporcional quantidade presente. Aps 1 hora, observam-se 1000 ncleos de bactrias na cultura, e aps 4 horas, 3000 ncleos. Determine: a) Uma expresso para o nmero de ncleos presentes na cultura no tempo arbitrrio t ; b) O nmero de ncleos inicialmente existentes na cultura. 5)Sabe-se que a populao de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nmero de pessoas no instante t . Se a populao dobrou em 5 anos, quanto tempo levar para triplicar-se? 6) A populao de uma cidade cresce a uma taxa proporcional populao presente em um instante t . A populao inicial de 500 cresce em 15% em 10 anos. Qual ser a populao em 30 anos? 7) Um reator regenerador converte urnio 238 relativamente estvel no istopo de plutnio 239. Depois de 15 anos determinou-se que 0,043% da quantidade inicial 0N de plutnio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse istopo, se a taxa de desintegrao for proporcional quantidade remanescente. 8) O istopo radioativo de chumbo, Pb-209, decai a uma taxa proporcional quantidade presente no instante t e tem uma meia-vida de 3,3 horas. Se houver 1 grama de chumbo inicialmente, quanto tempo levar para que 90% do chumbo decaia? 9) Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substncia radioativa. Aps seis horas, a massa decresceu em 3%. Supondo que a taxa de decaimento proporcional quantidade de substncia no instante t , determine a quantidade remanescente aps 24 horas. 10) Determine a meia-vida da substncia radioativa descrita no problema 9. 11) Foi encontrado um osso fossilizado que contm um milsimo da quantidade original de C-14. Determine a idade do fssil.


12) Arquelogos usaram pedaos de madeira queimada ou carvo encontrados em um stio para datar pinturas pr-histricas e desenhos nas paredes e no teto de uma caverna em Lascaux, Frana. Determine a idade aproximada de um pedao de madeira, se tivesse sido descoberto que 85,5% C-14 havia decado. 13) O sudrio de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem crucificado, que muitos acreditam ser de Jesus Cristo de Nazar. Em 1988, o Vaticano deu permisso para datar por carbono o sudrio. Trs laboratrios cientficos e independentes analisaram o tecido e concluram que o sudrio tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com seu aparecimento histrico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original de C-14 remanescente no tecido em 1988. 14) Um circuito RL tem fora eletromotriz (fem) de 5 volts, resistncia de 50 ohms e indutncia de 1 henry. A corrente inicial zero. Determine a corrente no circuito no instante t . 15) Uma fora eletromotriz

( )120, 0 20

0 , 20se t

E tse t

= >

aplicada a um circuito em srie RL no qual a indutncia de 20 henrys e a resistncia de 2 ohms. Ache a corrente ( )i t se ( )0 0i = . 16) Um circuito RC tem fem (em volts) dada por t2cos400 , resistncia de 100 ohms, e capacitncia de 210 farad . Inicialmente, no existe carga no capacitor. Determine a corrente no circuito no instante t . Bibliografia

1. GONALVES, MRIAN BUSS; FLEMMING, DIVA MARLIA. Clculo A. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

2. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001. V.1 3. ABUNAHMAN, S. A.. Equaes Diferenciais. LTC 4. ZILL, D. G.. Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem. 1 ed. So

Paulo: Pioneira Thomson, 2003.

Professor Msc Francisco JuniorDisciplina Matemtica Aplicada as Cincias Naturais IIRegras bsicas para a integraoTcnicas de IntegraoMudana de VarivelIntegrao Por PartesIntegral Definida ou Integral de Riemann

Por definio temosPropriedadesTeorema Fundamental do Clculo

Alguns Modelos Matemticos de E.D.O. de 1 OrdemProblema de Variao de TemperaturaProblema de Crescimento e DecrescimentoMeia-VidaQueda dos Corpos com Resistncia do ArCircuitos Eltricos

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Apostila de Matemática Aplicada as Ciências Naturais II (01)