Apostila de Matemática Básica - 1

8/6/2019 Apostila de Matemática Básica - 1

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Programa CIEE de Educação a Distância

1

MATEMÁTICA BÁSICA I

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................ 02

Aula 1 – Números naturais ................................................................................... 03

Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC .............................................................. 10

Aula 3 – Números inteiros e racionais .................................................................. 15

Aula 4 – Sistema de numeração decimal ............................................................. 25

Aula 5 – Medidas de comprimento e área ............................................................ 29

Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume .................................. 37

Referências .......................................................................................................... 44




2

INTRODUÇÃO

Seja bem-vindo ao curso de Matemática Básica I. Nele, compartilharemos muitas

informações interessantes e fundamentais para utilização em qualquer situação,

seja em casa, na rua, no mercado, na feira, na escola, no estágio etc.

Este curso foi elaborado para que você se sinta mais preparado para resolver

situações que exigem o uso da matemática, em qualquer situação!

A ideia inicial é revisar alguns conceitos fundamentais para que você tenha um bom

embasamento e consiga acompanhar com facilidade as aulas seguintes.




AULA 1 – NÚMEROS NATURAIS

Muitas vezes nem percebemos, mas os números estão presentes em muitas

situações do dia a dia, na identificação da nossa casa, na placa do carro, no

telefone, em horas, no dia do mês, nos documentos, entre outros...

Esses números são conhecidos como números naturais e será o primeiro assunto

que abordaremos no curso.

Observe o bilhete abaixo:

Percebeu que em um simples bilhete tivemos que utilizar por três vezes os números

naturais?

Ao fazer referência às horas, na identificação do portão e o número do telefone. E já

que estamos falando sobre números naturais devemos lembrar que a sequência

desses números é infinita, acompanhe a sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13,...

Com base nos números naturais podemos realizar uma série de atividades

utilizando as quatro operações básicas, para revê-las vamos acompanhar um pouco

da história de Matheus, um jovem de 20 anos, está na faculdade e estagia em uma

empresa na área de Arquitetura. Para realização do trabalho de hoje, teve de

Bom dia Matheus!

Não se esqueça do nosso encontro referente ao trabalho da Professora

Lúcia, hoje às 17 horas, em frente ao 3º portão da universidade.

Até lá!

Beijos

Mariana

Qualquer problema me ligue 234-5678




comprar alguns materiais: esquadro, régua, compasso, papéis, lápis e canetas

hidrográficas e utilizou nesse processo as quatro operações básicas, observe que o

valor total da compra realizada pelo Matheus foi de R$ 27,00. Para chegar a esse

valor foi utilizada a primeira operação fundamental na Matemática: a adição.

Acompanhe o cálculo:

Esquadro R$ 2,98

Régua R$ 0,79

Compasso R$ 7,99

Papéis R$ 3,86

Lápis R$ 1,55

Canetas hidrográficas R$ 9,83

TOTAL R$ 27,00

Suponhamos que Matheus pensasse melhor e resolvesse não ficar com o

compasso. Por meio da subtração é possível chegar ao resultado. Veja:

Total da compra R$ 27,00

Compasso R$ 7,99

TOTAL R$ 19,01

Ainda utilizando o mesmo exemplo, imagine que Matheus estivesse somente com o

cartão de crédito para pagar a conta e por isso resolveu dividir em 3 vezes,

utilizando o conceito de divisão, então vamos ao cálculo:

Total da compra R$ 27,00 3 quantidade de parcelas

TOTAL R$ 9,00

O exemplo apresentado é de uma divisão exata, mas uma divisão nem sempre é

exata, é o que chamamos de divisão com resto. Acompanhe o exemplo:

118 5

18 23

resto 3

+

-




Para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior ou igual ao

divisor, além disso, fique atento, pois não existe divisão por zero.

Imagine que Matheus quisesse acrescentar à sua compra mais dois compassos e

três lápis. Nesse caso teremos de usar a multiplicação. Acompanhe:

Compasso R$ 7,99 x 2 = R$ 15,98

Lápis R$ 1,55 x 3 = R$ 4,65

Total das compras extras R$ 20,63

Cálculo final

Compra inicial R$ 27,00

Compra extra R$ 20,63

Total R$ 47,63

Continuando nosso estudo, observe que o guarda-roupa de Matheus possui 4

portas, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas. Utilizando o conceito de

potenciação, como poderemos saber a quantidade total de camisetas que Matheus

possui.

armário fechado

+

+



Armário aberto

Lembrando que potenciação

número “n” de vezes, ou seja

Relembrando que o guarda-r

camisetas em cada uma dela

Logo, Matheus possui 64 cam

Acompanhe algumas dicas.

• toda potência de base difere

-30 = 1

-60 = 1

-80 = 1


é a multiplicação repetida de “a” por ele

:

ou

2³ = 2x2x2 = 8

34 = 3x3x3x3x= 81

upa de Matheus possui 4 módulos, com 4

, utilizando o conceito de potenciação ficar

43 = 4 x 4 x 4 = 64

isetas. Simples, não?

nte de zero com expoente zero é igual a 1,

Disposição da

em uma das

módulos

gavetas

camisetas

mesmo um

gavetas e 4

ia assim:

veja:

camisetas

g avetas.




7

• toda potência com expoente 1 é igual à própria base, acompanhe:

-171 = 17

- 281 = 28

- 2 1 = 2

• para realizar a leitura de potências, acompanhe algumas regras:

62: lê-se seis elevado ao quadrado;

73: lê- se sete elevado ao cubo;

24: lê-se: dois elevado à quarta potência;

810: lê-se: oito elevado à décima potência;

1520:lê-se quinze elevado à vigésima potência, assim, com todos os demais

expoentes.

Temos também o conceito de radiciação que é bem parecido com a potenciação. A

radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para acharmos a raiz

quadrada, cúbica, quinta potência de um número, a pergunta que se deve fazer é:

qual número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes

resulta no número que temos.

Acompanhe este exemplo: Qual número que multiplicado por ele mesmo uma

determinada quantidade de vezes resultam nos números 8 e 256?

A resposta é 2 e 4, pois 2 x 2 x 2 = 8 e 4 x 4 x 4 x 4= 256.

Então, podemos dizer que 23 = 8 e 44 = 256.

Outro conceito importante é a raiz quadrada. Para compreendê-lo melhor, vamos

utilizar algo prático. Observe esse quadro, que interessante: é um quebra-cabeça!

Se contarmos as peças na horizontal e as peças na vertical, descobrimos 13 de

cada lado, observe:




Para descobrir a quantidade de peças do quebra-cabeça, basta realizar o seguinte

cálculo:

√ ? = 13

132 = ?

132 = 169

√ 169 = 13

Logo, se contarmos o quebra-cabeça encontraremos 169 peças. O conceito

utilizado foi o da raiz quadrada. Quando descobrimos que o número 13 ao quadrado

é igual a 169, encontramos a raiz quadrada de 169.

Para saber a quantidade de peças que há em cubo mágico, devemos utilizar o

mesmo conceito utilizado para contar as peças do quebra-cabeça, porém com um

detalhe importante, ao invés de utilizarmos a raiz quadrada, utilizaremos a raiz

cúbica. Imagine que cada lado do cubo mágico possui 3 peças.

13 peças

13 peças




Quantas peças temos ao todo neste cubo mágico?

√ ? = 33 = 3 . 3 . 3 = 27

Logo = √27 = 3

Por meio do cálculo identificamos que o cubo tem 27 peças. A operação usada para

encontrar a raiz quadrada ou cúbica é a radiciação, que estudamos há pouco. Veja:

• √ 25 = 5 pois 5² = 5 X 5 = 25

• √ 36 = 6 pois 62 = 6 x 6 = 36

• √ 8 = 2 pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

• √64 = 4 pois 43 = 4 x 4 x 4 = 64

3

3

3

3

3

3




Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC

Seja bem-vindo à 2ª aula do curso! Iniciaremos o estudo pelos números primos, que

nada mais são que números que possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele

próprio. Para encontrá-los de maneira organizada e precisa utilizaremos o Crivo de

Eratóstenes.

1º) Escreva os números naturais de 1 a 50.

2º) Elimine o número 1 e os múltiplos de 2, exceto ele mesmo.

3º) Elimine os múltiplos de 3, exceto ele mesmo.

4º) Elimine os múltiplos de 5 e 7, exceto eles mesmos.

Os números que sobraram são os números primos.

Os números podem ser decompostos em fatores primos. Você sabe o que isso

significa?

Isso quer dizer que um número pode ser decomposto com utilização de dois ou

mais fatores e existem várias formas de se fazer isso, observe:

180 = 2 x 90

ou

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

O que você vê são dois modos de fatorações do número 180.

Você ainda pode escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de potência,

veja:

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

180 = 22 x 32 x 5

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...




É isso mesmo! Com base nessas informações podemos realizar cálculos por meio

do MMC – Mínimo Múltiplo Comum e do MDC – Máximo Divisor Comum.

Exatamente, mas antes é importante saber sobre os múltiplos de um número

natural. Se um número é divisível por outro número qualquer e diferente de zero,

dizemos que ele é múltiplo desse número. Acompanhe o exemplo:

Importante saber que um número pode ter infinitos múltiplos e que o zero é múltiplode qualquer número natural.

Agora que já sabemos como calcular o múltiplo de um número ficará bem mais fácil

compreender o MMC e o MDC.

Acompanhe o exemplo: no final do ano passado, Dona Carolina colheu 15 goiabas

e 20 mangas das árvores que tem em seu quintal. Na época, ela gostaria de

organizá-las em sacos plásticos sem misturar os tipos de fruta, ocupando o mínimode sacos possível. Quantas frutas Dona Carolina deveria ter colocado em cada

saco?

Para que as frutas ocupem a menor quantidade de sacos plásticos, precisamos

encontrar a quantidade máxima de frutas que devem ser colocadas em cada um

deles. Existem duas maneiras de encontrarmos o resultado.

Por meio do cálculo do MDC – Máximo Divisor Comum de 15 e 20.

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

MDC (15, 20) = 5

24 é um número divisível por 3, logo 24 é múltiplo de 3.

Ele também é múltiplo de 1, 2, 4, 6, 8, 12 e o próprio 24.




O máximo divisor comum de (15, 20) é o número 5, pois é o único fator comum que

aparece no cálculo. Se existisse outro fator comum maior que o número 5, esse

fator seria o máximo divisor comum.

D é a abreviatura de divisores. No exemplo apresentado, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

Por meio da decomposição em fatores primos.

15, 20 2

15, 10 2

15, 5 3

5, 5 5 fator comum

1, 15 é o fator comum, pois foi o único número primo que decompôs simultaneamente os números 15 e 20.

Muito bom! Por meio do MDC ou pela decomposição em fatores primos, chegamos

à resposta do problema de Dona Carolina que deveria ter colocado 5 frutas em

cada saco plástico.

Agora, acompanhe o cálculo do MDC (420, 700) pela decomposição em fatores

primos.

420, 700 2 fator comum


105, 175 3


7, 35 5

7, 7 7 fator comum

1, 1

Feita a decomposição, multiplique os fatores primos comuns: 2 . 2 . 5 . 7 = 140, logo

o MDC (420, 700) é 140.




Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:

420 = 22 x 3 x 5 x 7

700 = 22 x 52 x 7

Continuando nosso estudo, lanço outro desafio.

Imagine que um eclipse só pode ser visto da região nordeste do Brasil a cada 9

anos e outro a cada 7 anos. Se eles foram vistos este ano, daqui a quantos anos os

veremos novamente ao mesmo tempo?

Primeiro precisamos verificar em que intervalo de tempo os dois eclipses serão

vistos simultaneamente e existem duas formas de chegarmos ao resultado.

Um dos caminhos para resolver o problema é identificando os múltiplos comuns de

9 e 7, selecionando o menor deles, com exceção do 0.

M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...}

M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...}

MMC (9, 7) = 63

M é a abreviatura de múltiplos. No exemplo apresentado, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,

63...

Outra estratégia é por meio da decomposição em fatores primos.

9, 7 3

3, 7 3

1, 7 7

1, 1

MMC (9, 7) = 3 . 3 . 7 = 63

O resultado do MMC será obtido por meio da multiplicação de todos os fatores primos.




14

Nesse caso, usando o MMC ou a decomposição de fatores primos, concluímos que

o eclipse acontecerá daqui a 63 anos.

CURIOSIDADE

Existem alguns números que são primos entre si, pois o resultado do MDC é igual a

1, por exemplo os números 35 e 24. Faça o cálculo e comprove!




15

Aula 3 – Números inteiros e racionais

Os números Inteiros são frequentemente utilizados em nosso dia a dia, já que são

constituídos pelos números naturais {0, 1, 2...} e seus opostos {0, - 1, - 2...}. Quer

ver um exemplo?

Toda geladeira ou freezer são controlados por temperatura que pode ser positiva ou

negativa. Determinadas câmaras frigoríficas chegam a registrar - 45º C,

dependendo do tipo de alimento armazenado.

Importante lembrar que quando a temperatura é positiva (acima de 0) não

precisamos colocar o sinal de +, já que é opcional.

Também usamos esse conceito em relação aos extratos bancários, por exemplo,

imagine que foi debitado R$ 235,00 de sua conta, esse débito é representado pelo

sinal de – (menos), aparecendo da seguinte forma em sua conta: - 235,00.

Outro dado interessante é que não utilizamos nenhum sinal para representar o

número 0 (zero) já que ele não é nem positivo nem negativo.

Por meio dos números inteiros, podemos realizar várias operações, acompanhe:

Adição de inteiros

Veja o que fazer com os sinais na adição com números Inteiros.

Sinal dosnúmeros

Operações entre osnúmeros

Sinal doResultado

+ +SOMA

+- - -

Na adição, podemos encontrar duas situações:

• parcelas com o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal,

somamos os valores e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles:




16

(+ 6) + (+ 4) = + 10

(– 4) + (– 10) = – 14

• parcelas com sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais

diferentes, devemos subtrair os valores e atribuir ao resultado o sinal do número de

maior valor.

(– 16) + (+ 8) = - 8

Subtração de inteiros

Veja o que fazer com os sinais na subtração com números Inteiros.

Sinal dosnúmeros

Operações entre osnúmeros

Sinal doResultado

+ -SUBTRAÇÃO

VALE O SINALDO MAIOR- +

A subtração dos números inteiros acontece da seguinte forma:

• com sinais diferentes: subtraímos os números e conservamos o sinal do maior.

Acompanhe os exemplos:

- 10 + 12 = 2

Como o maior número é positivo o resultado também será.- 34 + 12 = - 22 Como o maior número é negativo o resultado também será.

• com sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.

Ex.: - 23 - 9= - 32

+ 7 + 4 = +11

Multiplicação de inteiros

Entenda os sinais na multiplicação de inteiros.

Sinal dosnúmeros

Operação entre osnúmeros

Sinal doresultado

+ +- -

MULTIPLICAÇÃO+

+ -- + -




17

Veja os exemplos:

10 x 70 = 700 (sinais iguais → produto positivo)

10 x - 70 = - 700 (sinais diferentes → produto negativo)

Divisão de inteiros

Na divisão são usadas as mesmas regras de sinais da multiplicação.

Sinal dosnúmeros

Operação entre osnúmeros

Sinal doresultado

+ +- -

MULTIPLICAÇÃO+

+ -- +

-

Veja alguns exemplos:

- 50 ÷ - 2 = 25 (sinais iguais → produto positivo)

50 ÷ - 2 = - 25 (sinais diferentes → produto negativo)

É possível utilizarmos o conceito de potenciação e radiciação com números

inteiros?

Sim! A única diferença é que encontramos números negativos nas operações.Estudamos há pouco que 53 = 5 x 5 x 5 = 125, mas qual é o resultado da potência -

53 ?

Primeiramente precisamos ter em mente duas regras:

- quando a base é positiva a potência também é positiva.

- quando a base é negativa temos duas possibilidades:

1ª) Expoente par = potência positiva72 = 7 x 7 = 49

(-4)² = (- 4).(-4) = 16

(-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64




2ª) Expoente ímpar = potência negativa

(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = - 8

(-5)5 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = - 3125

(-3)³ = (-3).(-3).(-3) = - 27

Obs.: todo número elevado a zero é igual a um.

30 = 1

(-1000) 0 = 1

Já na radiciação podemos encontrar situações como ³√-8 , onde o radicando é

negativo. Nesse caso, temos duas situações:

1) Se o índice for ímpar, teremos uma raiz negativa:

³√-8 = - 2 pois (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) =

5√-243 = -3 pois (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -243

2) Se o índice for par, não existirá raiz, acompanhe:

√-4 = ?

Nesse caso não existe raiz, pois não existe nenhum número que elevado ao

quadrado seja igual a -4.

Você deve estar se perguntando, se o 22 é igual a 4, será que (- 2)2 não resolveria o

problema?

Vamos realizar o cálculo detalhadamente, veja: (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = + 4. Notou? O

resultado obtido foi +4 e não -4 como o problema pede, justamente por isso, não

(+4) . (-2) =

-8



existe raiz. Outro exemplo q

número multiplicado 4 vezes

Agora, falaremos de um assu

a dia: os números racionais!

Dona Carolina preparará u

sobre a mesa.

Para fazer a calda do bolo D

sobre a mesa há 3 barras de

Para fazer o bolo ela preci

representá-la por meio dos n

indicar a quantidade de partetotal de partes que será utiliz

Programa CIEE de Educação a Distância e não possui raiz é 4√-16 , pois não exi

ue resulta em -16.

nto muito interessante que está presente e

bolo, por isso alguns ingredientes estã

A capacidade desta garrafa de

litro, porém neste mo

aproximadamente 330ml.

Se dividirmos a garrafa em

iguais, somente uma estará

Nesse caso podemos dizer qu

tem 1/3 de leite.

ona Carolina utilizará chocolate ao leite. O

chocolate divididas em 4 partes.

sará de 10 partes dessas barras. Com

úmeros racionais? Nesse caso, o denomi

de cada barra de chocolate e o numeraddo, logo o resultado ficaria assim: 10

.4

te nenhum

nosso dia

o dispostos

leite é de 1

ento há

três partes

completa.

e a garrafa

bserve que

o podemos

nador deve

r o número




20

Legal! Uma coisa importante que devemos nos atentar é em relação à

nomenclatura. Observe que na fração o número de cima é chamado numerador e o

número debaixo de denominador.

Imagine uma pizza cortada em quatro pedaços. Imagine que Matheus tenha comido

1 pedaço, logo ele comeu ¼ da pizza. Se mais ninguém comer, sobrará ¾ da pizza.

Agora, imagine que a mesma pizza tenha sido cortada em 8 partes, se Matheus

comer dois pedaços, ele comerá 2/8. Se mais ninguém comer, sobrará 6/8 da pizza.

Note que apesar de apresentar valores diferentes, Matheus comeu a mesma

quantidade de pizza. Isso é o que chamamos de frações equivalentes.

Observe outros exemplos:

Logo ½ equivale a 2/4 que equivale a 3/6.

Para saber qual fração é equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o

numerador e o denominador pelo mesmo número. Acompanhe:

Fração Multiplicaçãoou divisão

Mesmonúmero

Resultado Status

23 x 2 46 4 é equivalente a 26 393

: 331

3 é equivalente a 91 3

Também podemos simplificar as frações, ou seja, dividir o seu numerador e o seu

denominador pelo mesmo número natural até que não tenha mais possibilidades de

se dividir, chega-se a uma fração chamada irredutível. Veja o exemplo:




1216

: 2 =68

: 2 =34

Fração irredutível

As frações também podem ser comparadas. Para testar seus conhecimentos,

identifique a fração que julga menor.

a) b)

A alternativa “a” ¼ é menor que a alternativa “b” ¾, pois quando os denominadores

são iguais, a menor fração é a que tiver menor numerador.

Teste mais um pouco os seus conhecimentos, identificando a fração que julgamaior.

a) b)

Resposta: a alternativa “a” ¼ é maior do que a alternativa “b” 1/8, pois quando os

numeradores são iguais, a maior fração é a que tiver menor denominador.

Você acabou de comparar frações com denominadores ou numeradores iguais,

veja:

1 e 3 1 e 1

4 4 4 8

Você sabe como funciona o sistema de comparação de frações quando osnumeradores e denominadores são diferentes, por exemplo, 2/3 e 5/7?

Nesse caso precisamos primeiramente encontrar o denominador comum entre eles,

para isso utilizaremos o MMC.

Denominadores iguais.

O maior numerador indicará a

fração maior.

Numeradores iguais.

O menor denominador indicará

a fração maior.




3, 7 3

1, 7 7

1, 1

MMC (3, 7) = 3 . 7 = 21

O resultado do MMC corresponderá aos denominadores comuns das frações

apresentadas. Agora, acompanhe passo a passo o procedimento:

1º) Divida o resultado do MMC pelo denominador das frações que se deseja

comparar:

2 5

21 / 3 = 7 21 / 7 = 3

2º) Multiplique o resultado da divisão pelo numerador e denominador:

2X 7 =

14 5X 3 =

153 21 7 21

3º) Compare os resultados apresentados:

2 equivale a 14 5 equivale a 153 21 7 21

Logo, a fração 5 é maior que 2.7 3

Adição e subtração de frações:

Frações com denominadores iguais: conserve o denominador e some ou subtraia

os numeradores.

1 + 2 = 3 5 - 3 = 24 4 4 2 2 2

Frações com denominadores diferentes: primeiramente devemos encontrar as

frações equivalentes e os denominadores iguais, por meio do MMC. Após o cálculo,

seguimos utilizando o mesmo procedimento para denominadores iguais.




2 + 5 =3 2

3, 2 3

1, 2 2

1, 1

MMC (3, 2) = 3 . 2 = 6

2 56 / 3 = 2 6 / 2 = 3

2

X 2 =

4 5

X 3 =

15

3 6 2 6

4 + 15 = 196 6 6

Multiplicação de frações

Para multiplicar números fracionários, você deve multiplicar numerador por

numerador, e denominador por denominador, acompanhe:

6 x 5 = 303 2 6

Divisão de frações

Na divisão de números fracionários, você deve multiplicar a primeira fração pelo

inverso da segunda, veja:

8 : 4 = 8 x 3 = 24 = 23 3 3 4 12

Potência de frações

Potenciação de fração é quando se eleva a um determinado expoente o numerador

e o denominador de um número fracionário.

5 = 5² = 25 3 = 3² = 93 3² 9 4 4² 16

² ²




24

Radiciação de fração

É quando aplicamos a raiz quadrada ao numerador e ao denominador de um

número fracionário.

81 = 81 = 964 64 8



Aula 4 – Sistema de numer

Observe os produtos abaixo:

2 litros de amaciante para

1 litro de água sanitá

Note os preços desses produ

e recebem o nome de decima

No sistema de numeração

unidades. Nesse caso, quand

• por 10, temos o décim

• por 100, temos o centé

• por 1000, temos o

sucessivamente.

Observe no quadro a represe

decimais.

FraçãoDecimal

110

1100

11000 1

NúmerosDecimais 0,1 0,01 0,001 0


ção decimal

roupas 1 sabão em barra

ria 2 caixas de sabão em

tos. Todos os números apresentados poss

is.

decimal os agrupamentos são feitos de

o dividimos um número inteiro:

desse número: 1/10 = 0,1

simo desse número: 1/100 = 0,01

ilésimo desse número: 1/1000 = 0,001

ntação de frações decimais através de núm

10000

510

5100

51000

510000

11710

117100

,0001 0,5 0,05 0,005 0,0005 11,7 1,1

R$ 3,90

SABÃO

EM PÓR$ 2,50

pó

uem vírgula

10 em 10

, e assim,

eros

1171000

11710000

0,117 0,0117

R$ 0,80

$ 10,95




Note que a quantidade de zeros da fração decimal corresponde as casas após a

vírgula (contadas da direita para a esquerda) que número decimal deverá conter.

Verifique que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Agora, acompanhe algumas transformações de decimais em frações decimais. Note

que a quantidade de “zeros”, indica a quantidade de números após a vírgula. Veja:

0,1 = 110

0,2 = 210

0,01 = 1100

0,35 = 35100

0,001 = 11000

0,425 = 4251000

Agora, veja a operação inversa, transformar frações decimais em números

decimais. Para isso, escrevemos o numerador. A vírgula deve ser colocada da

direita para a esquerda tantas casas quanto forem os zeros do denominador.

a) 35 = 3,5 uma casa após a vírgula

10 um zero

b) 47 = 0,47 duas casas após a vírgula100 dois zeros

c) 42 = 0,042 três casas após a vírgula1000 três zeros




Adição e subtração de decimais

Para realizar a adição ou subtração de decimais, temos duas possibilidades,

acompanhe os exemplos.

A multiplicação de decimais pode ser realizada de duas formas.

Cálculo I

Coloque dezena embaixo de dezena,

unidade embaixo de unidade, vírgula

embaixo de vírgula, e assim por

diante. As casas vazias podem ser

completadas com zeros.

0,45 + 2,32 = 0,45

+2,32

2,77

2,3 + 12,47 = 02,30

Cálculo II

Transforme os números em frações

decimais, adicione ou subtraia os

valores e depois o retorne para

decimal.

0,45 + 2,32 = 45 + 232 =

100 100

277 = 2,77 duas casas após a vírgula

100 dois zeros

Cálculo I

Multiplique os fatores como se não

houvesse vírgula, verifique quantas

casas decimais há nos fatores e as

coloque no produto.

4,2 1 casa decimal

x2,5 1 casa decimal

210

_84 +

10,50 2 casas decimais

Cálculo II

Transforme em frações decimais,

multiplique e depois volte para

decimais.

4,2 . 2,5 = 42 . 25 = 1050 = 10,50

10 10 100




Divisão de decimais

Agora, acompanhe o procedimento para divisão de decimais, para isso

realizaremos a seguinte divisão: 22,5 / 0,15.

Quando houver resto podemos dar continuidade na divisão até a casa decimal que

nos interessar. Acompanhe o cálculo de 458/7.

Procedimento para o cálculo:

1º) igualar as casas decimais 22,50 / 0,15

2º) eliminar a vírgula 2250 / 15

3º) dividir normalmente

2250 15

75 150

00

Procedimento para o cálculo:

1º) calcule a parte inteira:

458 7

38 653

2º) Agora calcule a primeira casa decimal, para isso coloque a vírgula no quociente e

um zero no décimo do dividendo, sem alterá-lo;

458,0 7

38 65,4

302

3º) Acrescente a quantidade de zeros necessária para o cálculo desejado:




29

Aula 5 – Medidas de comprimento e área

Nessa aula estudaremos medidas de comprimento e área, mas antes, você sabia

que a necessidade de medir surgiu ainda na antiguidade, nas mais antigas

civilizações, e por um longo período cada região desenvolveu seu próprio sistema

de medida. Porém, com tantas maneiras diferentes de medir, o comércio entre as

cidades ficava prejudicado, pois havia imprecisão nas medidas, uma vez que uns

mediam com os pés, outros com as mãos e outros com o cúbito (medida de

distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Justamente por isso foi criado

um sistema único de medida para cada grandeza.

Assim, em 1791, representantes de vários países se reuniram para discutir a

adoção de um sistema único de medidas, foi então que surgiu o sistema métrico

decimal, portanto ficou determinado que o metro seria a unidade padrão para medir

comprimentos.

Matheus chegou da escola com duas atividades: descobrir a distância da sua casa

até o trabalho de seu pai e o comprimento da frente do terreno da sua casa.

Ele descobriu que há 12 km no percurso realizado pelo seu pai e que a frente da

sua casa tem 5 metros.

Observe que somente nesse exercício algumas medidas foram apresentadas, o

quilômetro (km) e o metro (m). Agora vamos estudar os múltiplos e submúltiplos do

metro.

Observe o esquema:

Múltiplos UnidadePadrão Submúltiplos

Unidade quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

Símbolo km hm dam m dm cm mm

Relaçãocom o metro

1.000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01 m 0,001 m



Note que o metro tem s

hectômetro(hm) e decâmetro

grandes distâncias e corresp

os submúltiplos compreende

(mm) e são usados para me

0,001 metro respectivamente.

Você sabia que...

• para medidas milimétrica

10-6 m e angstrom (Å) =

• para distâncias astronôm

raio de luz em um an

quinhentos bilhões de qui

• pé, polegada, milha e jar

decimal e são utilizadas e

Observe no quadro as iguald

1 pé

1 pol1 jard1 mil1 mil

Observe o esquema utili

comprimento. Note que ca

imediatamente inferior e da u

transformações, basta multipl

um pouco!

Programa CIEE de Educação a Distância us múltiplos e submúltiplos. O quilô

(dam) são múltiplos do metro e usados

ondem a 1.000, 100 e 10 metros respecti

o decímetro (dm), o centímetro (cm) e

ir pequenos comprimentos. Eles possuem

s, em que se exige precisão, utiliza-se: m

10-10 m;

icas utiliza-se o “ano-luz” (distância percor

e equivale a, aproximadamente, nove

lômetros: Ano-luz = 9,5 · 1012 km;

a são unidades não pertencentes ao sist

m países de língua inglesa.

des.

30,48 cm

gada 2,54 cma equivale a 91,44 cma terrestre 1.609 ma marítima 1.852 m

ado para transformar unidades de

da unidade corresponde a 10 vezes

nidade imediatamente superior, ou seja, p

icar ou dividir sucessivamente por 10. Va

etro (km),

ara medir

amente. Já

o milímetro

0,1; 0,01 e

ícron () =

rida por um

trilhões e

ma métrico

edida de

a unidade

ra fazer as

os praticar




Para transformar 14,284 hm (hectômetro) em metros (m) devemos multiplicar,

acompanhe.

X 10 X 10 14,284 1428,4

km hm dam m dm cm mm

Logo, 14,284 hectômetros correspondem a 1428,4 metros.

Para transformar 1,262 dam em cm devemos multiplicar.

X 10 X 10 X 10

1,262 1262


Logo, 1,262 decâmetros correspondem a 1262 centímetros.

Já para transformar 166,5m em dam devemos dividir:


16,65 166,5

: 10

Logo, 166,5 metros correspondem a 16,65 decâmetros.

E para finalizar, para transformar 866 m e km devemos dividir:

886 : 10 : 10 : 10 = 0,886


0,886 886

: 10 : 10 : 10




Logo, 886 metros correspondem a 0,886 quilômetro.

Agora, observe que na casa do Sr. Maurício (pai de

Matheus) foi colocada uma cerca de madeira. Qual cálculo

devemos realizar para saber quantos metros de cerca ele

precisou para fazer esse trabalho?

Para realizar esse cálculo foi preciso somar as medidas dos lados do terreno,

portanto foi realizado o cálculo do “Perímetro”.

Imagine que o terreno da casa possui as seguintes medidas:

Como havia falado, devemos somar as medidas

de cada lado para encontrarmos o perímetro do

terreno: 5 m + 5 m + 10 m + 10 m = 30 m. Logo,

Maurício precisou de 30 metros de cerca para

colocar em volta do terreno.

Agora imagine que o terreno possui as seguintes medidas:

Nesse caso também somamos os lados do terreno: 8,5 m + 8,5 m + 8,5 m +11,5 m

+ 13,5 m = 50 m., portanto o perímetro do terreno é de 50 metros.

5 m

5 m

10 m10 m

8,5 m

11,5 m

13,5 m8,5 m

8,5 m




Importante saber que quando realizamos a soma das medidas de todos os lados,

estamos calculando o perímetro de um polígono, ou seja, uma superfície plana

limitada por linhas retas ou lados.

Nesta figura temos lados com medidas em centímetro (cm) e decâmetro (dm).

Nesse caso, como devemos calcular o perímetro?

Em primeiro lugar, você deve transformar as medidas para a mesma unidade,

utilizando a tabela de conversão estudada há pouco, portanto 0,2 dm = (0,2 . 10) cm

= 2 cm. Agora, somamos as medidas dos lados: 2 cm + 2 cm + 3 cm = 7 cm. Logo o

perímetro desse polígono é de 7 cm.

Outro assunto interessante que estudaremos nessa aula é unidade de medida desuperfície ou unidade de área, o metro quadrado. Para estudá-la imagine que Sr.

Maurício queira pintar a parede da sala de sua casa, para determinar a quantidade

de tinta, ele precisará medir as superfícies para encontrar a área da parede.

12

X6

72

Logo, o Sr. Maurício terá de comprar tinta para pintar uma parede de 72m 2 de área.

12 m

6 m

3 cm

0,2 dm

2 cm




Note que vimos um novo sistema de medida, o metro quadrado (m2). Agora,

acompanhe a explicação: se dividirmos a parede do Sr. Maurício em quadrados que

medem 1 metro de cada lado, veremos que ao todo temos 72 quadrados, observe:

De acordo com o Sistema Internacional de Unidades o metro quadrado é a

unidade padrão de medida para superfícies. O quadrado com todos os lados

medindo 1 metro corresponde a 1 metro quadrado.

O metro quadrado também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro o

símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado.

MúltiplosUnidadepadrão

Submúltiplos

Unidade quilômetroquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

Símbolo km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Relação como metro

quadrado1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,00001 m2

12 m

1m

6 m




Observe que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade imediatamente

inferior da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações,

basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 100. Vamos praticar um pouco!

Acompanhe as transformações de algumas medidas.

6 km2 em m2

6 km2 = ( 6 x 1.000.000) m2 = 6.000.000 m2

ou

6 km2 = ( 6 x 100 x 100 x 100) m2 = 6.000.000 m2

Acompanhe outro cálculo.

20 mm2 em m2

20 mm2 = (20 : 0,00001) m2 = 20 x 1 m2 = 20 m2 = 0,00002 m2

1.000.000 1.000.000

ou

20 mm2 = (20 : 100 : 100 : 100) m2 = 0,00002 m2

O cálculo de áreas rurais é um pouco diferente, para esses casos utilizamos o

hectare, representado pelo símbolo ha ou 1hm2 (hectômetro), que equivale a dez

mil metros quadrados (10.000 m2). Imagine que figura representa um terreno

medindo 1hm de cada lado, logo o terreno possui 1 hectare.

1

100

km2

hm2

dam2

m2 x100 x100 x100

X 1.000.000

m2

dm2

cm2

mm2 : 100 : 100 : 100

: 1.000.000




Existe outro sistema de medida para áreas rurais?

Existe sim, o are, representado pelo símbolo a ou 1dam2 (decâmetro), que

equivale a cem metros quadrados (100 m2). Imagine que a figura representa um

terreno medindo 1dam de cada lado, logo teremos um terreno com 1 are.

Existem ainda outras unidades populares de medidas agrárias, tais como:

Alqueire paulistaQue equivaleà área de...

24.200m2 Alqueire mineiro ou goiano 48.400mAlqueire do norte ou baiano 27.225m

1hm2 =

1 ha1hm

1hm

1hm

1hm

1 dam2 =

1 are1dam

1dam

1dam

1dam




Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume

Bem-vindo à nossa ultima aula, um momento ideal para refletirmos sobre a

importância do tempo em nossas vidas. Você alguma vez na vida já se deparou

com frases do tipo: faz tempo que você está me esperando? Quanto demora a

viagem até lá? Já faz tempo que o jogo começou? Qual a duração do curso?

Pois bem, essas perguntas são respondidas com base em uma unidade padrão de

medida de tempo, e a unidade escolhida como padrão pelo Sistema Internacional

(SI) é o segundo.

Por falar em tempo, observe que Matheus está tomando banho para ir à escola. Ele

iniciou o banho às 6h30min e agora já são 6h45min.

Note que quando falamos de tempo, utilizamos suas unidades de medida: o

segundo(s), o minuto(min) e a hora(h). O segundo é a unidade padrão, porém,

dependendo da situação, outras unidades podem ser usadas, como por exemplo,

para fazer a indicação de 60 minutos, usamos 1 hora, ou ainda para indicar 60

segundos, usamos 1 minuto.

Mas como podemos transformar horas em minutos?

Você deve multiplicar a quantidade de horas por 60. Para transformar 5 horas em

minutos, multiplique 5 por 60 e o resultado será 300. Logo, 5 horas correspondem a

300 minutos.

Para transformar segundos em minutos devemos dividir a quantidade de segundopor 60. Para transformar 155 segundos em minutos, divida 155 por 60 e o cálculo

será:

155 60

segundos 35 2 minutos




38

Logo, 155 segundos correspondem a 2 minutos e 35 segundos.

Atenção!

Nunca escreva 3,20min. para representar 3h20min. Lembre-se, o sistema de

medida de tempo não é decimal.

Agora, conheça outras medidas de tempo.

Mês comercial = 30 dias

Ano comercial = 360 dias

Ano normal = 365 dias

Ano bissexto = 366 dias

Semana = 7 dias

Quinzena = 15 dias

Bimestre = 2 meses

Trimestre = 3 meses

Quadrimestre = 4 meses

Quinquênio= 5 anos

Década = 10 anos

Século = 100 anos

Milênio = 1.000 anos

Agora que já conhece toda a família do Sr. Maurício, incluindo Dona Carolina e

Matheus, partiremos para o próximo assunto. Observe as imagens:

Sr. Maurício – 75 Kg.

Dona Carolina – 63 Kg.

Matheus – 52 Kg.

Nesse caso, estamos nos referindo às unidades de medida de massa: o

quilograma (kg), o grama(g) e o miligrama (mg).

Agora, conheça os múltiplos e submúltiplos das unidades de medida de massa com

ajuda do esquema. Observe que a unidade padrão é o grama. As unidades da

esquerda são utilizadas para medir grandes massas e as unidades da esquerda são

para medir pequenas massas.




quilogramakg

hectogramaHg

decagramadag

gramag

decigramadg

centigramacg

miligramamg

As unidades de massa podem ser transformadas de quilos para gramas, por

exemplo. Observe o esquema e acompanhe os exemplos.

Observe a transformação de 2 quilogramas em gramas.

2 kg = 2.000 g

Agora acompanhe a transformação de 120.000 miligramas em hectogramas.

1,2 hg = 120.000 mg

Note que quando transformamos uma unidade de massa da esquerda para direita,

devemos multiplicar por 10 e quando transformamos da direita para a esquerda

dividimos por 10.

ATENÇÃO:

• cada unidade de massa é dez vezes maior que a unidade imediatamente

inferior;

• o grama pertence ao gênero masculino, portanto devemos dizer duzentos gramas de algo e não duzentas gramas, nesse último caso estamos

relacionando grama à vegetação;

• também são usadas outras unidades de medida de massa:

- tonelada = t que equivale a 1.000kg;

- arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg.

kg hg dag g dg cg mg

X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

kg hg dag g

X 10 X 10 X 10

dghg dag g

: 10 : 10 : 10

cg mg

: 10 : 10



Agora , observe os produtos

Xampu

As unidades de medidas de

litro (l) e o mililitro (ml).

Em nosso dia a dia, as unida

estamos fazendo uma receita

capacidade que terá a caixa

bebida seja em lata ou garraf

deve estar se lembrando ago

A unidade padrão de medidaseus múltiplos e submúltiplos,

Múltiplos

Unidadequilolitro hectolitro

Símbolokl hl

Relaçãocom olitro

1.000 l 100 l

Para transformar unidades

utilizado para transformar u

Acompanhe alguns exemplos

Programa CIEE de Educação a Distância as capacidades de cada um deles.

Desinfetante

capacidade mais utilizadas em nosso dia

des de medida de capacidade são muito u

, precisamos de alguns ml de leite. Ao es

d’água que vamos colocar em casa, ao c

a, entre tantas outras situações que você

a.

de capacidade é o litro. Na tabela são a, além do símbolo e sua relação com o litro.

UnidadePadrão

Subm

decalitro litro decilitro cen

dal l dl

10 l 1 l 0,1 l 0,

e medida de capacidade, usa-se o me

nidades de medidas de comprimento e

.

500 ml

a dia são o

ilizadas, se

olhermos a

mprar uma

om certeza

resentados

ltiplos

tilitro mililitro

l ml

1 l 0,001 l

mo critério

de massa.

1 l




Veja a transformação de 3,5 litros em mililitros.

3,5 l 3.500 ml

Agora, veja a transformação de 200 mililitros em litro.

0,2 l 200 ml

Muito bem! Até o momento estudamos as medidas de tempo, massa e capacidade.

Agora, estudaremos as medidas de volume, mas antes observe as figuras abaixo:

paralelepípedo cubo

Essas figuras correspondem a um paralelepípedo retângulo e a um cubo. O cálculo

do volume desses elementos é diferenciado e é isso que vamos conhecer a partir

de agora.

Para que se possa determinar a quantidade de cimento que um caminhão comporta

ou a quantidade de areia que se pode colocar dentro de um balde, precisamos

calcular seus respectivos volumes, ou seja medir a quantidade de espaço que o

cimento ocupa no caminhão e a quantidade de espaço que a areia ocupa no balde.Portanto, volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo.

Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de volume 1

= e, depois, contamos quantos formam um paralelepípedo.

l dl cl ml

X 10 X 10 X 10

l dl cl ml

: 10 : 10 : 10




Contado os cubos, notamos que esse paralelepípedo é formado por 12 . Logo,

seu volume é 12.

Para realizar o cálculo do volume de um paralelepípedo você deve considerar as

unidades de medida volume (v), comprimento (a), largura (b) e altura (c) e o cálculo

é realizado por meio da seguinte equação: V = a . b . c

Observe o exemplo do paralelepípedo que estudamos há pouco e acompanhe o

cálculo do volume.

Como havíamos falado, o volume desse paralelepípedo é 12. Para calcular o

volume do cubo utilize a equação: V = l . l . l = l 3, sendo que V indica volume e l

representa cada lado. Observe no esquema.

2

2

3

3 = quantidade de cubos no

comprimento

2 = quantidade de cubos na largura

2 = quantidade de cubos na altura

2

2

3

comprimento (a)

largura (b)

altura (c)

= volume

= volume

lado (l)

lado (l)

lado (l)




Outro assunto importante relacionado ao volume é o metro cúbico (m3), que nada

mais é do que a unidade padrão de medida de volume. Ela corresponde ao cubo e

aresta de medida igual a 1m. Conheça os múltiplos e os submúltiplos do metro

cúbico m3.

Múltiplos Unidade Padrão Submúltiplos

Unidade quilômetro cúbico hectômetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Relação commetro cúbico 1.000.000.000m3 1.000.000m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3

Atenção! Capacidade é um volume e pode ser medido com a unidade metro cúbico.

Como em todas as unidades de medida vistas até aqui, vamos transformar 3 metros

cúbicos em centímetro cúbico.

3 3.000.000

Logo 3m3 corresponde a 3.000.000 cm3.

Já para transformar 4.000 milímetros cúbicos (mm3) em metro cúbico (m3).

0,000004 4.000

Logo 4.000 mm3 corresponde a 0,000004 m3.

Esperamos que a partir de agora, você não veja mais a matemática como um

monstro que só veio para atrapalhar. Assim como qualquer outra disciplina, basta

força de vontade e muita prática! Não perca mais tempo, exercite agora mesmo o

que aprendeu até aqui. Até breve!

mm3 m

3

: 1000 : 1000 : 1000

dm3

cm3

m3

x 1000 x 1000

dm3

cm3




Referências

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_______________ Mínimo Múltiplo Comum. http://www.somatematica.com.br/funda

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de_convers%C3%A3o_de_unidades Data de acesso: 18/11/08

WWW.JULIOBASTTISTI.COM.BR. Matemática para Concursos– 10ª Partehtt // j li b tti ti b /t t i i /j t / t ti 010

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Apostila de Matemática Básica - 1