FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI TALO BOLOGNA FATEC-IB APOSTILA DE NIVELAMENTO EM MATEMTICA PROF. Me. NLIO NEVES LIMA Goinia GO 2011SUMRIO CONJUNTOS NUMRICOS ............................................... 3 Lista de Exerccios 1 ............................................................. 7 Lista de Exerccios 2 ............................................................. 9 Lista de Exerccios 3 ........................................................... 11 FUNO ............................................................................ 12 Lista de Exerccios 4 ........................................................... 22 FUNES ESPECIAIS ..................................................... 26 Lista de exerccios 5 ........................................................... 33 MATRIZES ........................................................................ 38 Lista de exerccios 6 ........................................................... 45 3 CONJUNTOS NUMRICOS O Conjunto dos Nmeros Naturais:N . Osprimeirosnmerosconhecidospelahumanidadesooschamadosnaturais.Temosento o conjunto N ={1,2,3,}. O conjunto dos nmeros naturais possui alguns subconjuntos importantes: O conjunto dos nmeros naturais pares: pN ={2,4,6,}. O conjunto dos nmeros naturais mpares: iN ={1,3,5,}. O conjunto dos nmeros primos:P ={2,3,5,}. Dizemos que um nmero naturalp um nmero primo se, e somente se, 1 epso os seus nicos divisores. O Conjunto dos Nmeros Inteiros:Z . Osnmeros-1,-2,-3,sochamadosinteirosnegativos.Auniodoconjuntodos nmerosnaturaiscomosinteirosnegativoseozero(0)defineoconjuntodosnmeros inteiros que denotamos por Z ={,-3,-2,-1,0,1,2,3,}. Todos os elementos deNpertencem tambm aZ , o que equivale a dizer queZ N . O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos notveis: O conjunto dos nmeros inteirosno nulos: *Z ={,-2,-1,1,2,}. O conjunto dos nmeros inteiros no negativos: +Z ={0,1,2,}. O conjunto dos nmeros inteiros positivos: *+Z ={1,2,3,}. O conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z ={,-2,-1,0}. O conjunto dos nmeros negativos: *Z ={,-3,-2,-1}. O Conjunto dos Nmeros Racionais:Q. Osnmerosdaforma nm,0 n ,Z n m , ,sochamadosdefraeseformamo conjunto dos nmeros racionais. Denotamos: } 0 , , , ; { = = n Z n mnmx x Q . Representao Decimal das Fraes Umnmero chamado de nmero decimal quando ele compostode duaspartes:uma parte inteira e uma parte decimal, separadas uma da outra por uma vrgula. 4 Tomemosumnmeroracional nm,0 n ,Z n m , ,talquemnomltiploden . Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador. Nessa diviso podem ocorrer dois casos: i)Nmero decimal finito: onmerodecimalobtidopossui,apsavrgula,umnmerofinitodealgarismos(no nulos): EXEMPLO: 4 , 052= 16 , 050080= . Tais nmeros so chamados decimais exatos. ii)Nmero decimal infinito peridico: onumeraldecimalobtidopossui,apsavrgula,infinitosalgarismos(nemtodosnulos), que serepetem periodicamente: EXEMPLO: K 333 , 031= K 04545 , 0221= . Taisnmerosracionaissochamadosdecimaisperidicosoudzimasperidicas;e, cada um deles, os nmeros que se repetem formam a parte peridica, ou perodo da dzima.

Dizemosqueumadzimaperidicasimplesquandooseuperodovemlogoapsa vrgula. Exemplo:3 , 1 333 , 1 = K . Dizemosqueumadzimaperidicacompostaquandoentreavrgulaeoperodoexiste umapartequenoserepeteindefinidamente,chamadadeparteno-peridica.Exemplo: 3 2 , 3 2333 , 3 = K . Quandoumafraoequivalenteaumadzimaperidica,afraochamadageratrizda dzima. Representao Fracionria dos Nmeros Decimais Dado um nmero racional escrito na forma decimal, vamos escrev-lo na forma de frao. i)Nmero decimal exato: EXEMPLO: 1033 , 0 =10288 , 2 = . ii)Dzima peridica: Devemos determinar a frao geratriz. 5 EXEMPLO:K 333 , 0SejaK 333 , 0 = xlogo,

313 10 = = x x x . Porcentagem Dada a importncia das fraes centesimais (fraes com denominador igual a 100), elas costumam ser representadas pelo smbolo % que substitui o denominador 100. EXEMPLO 1:% 1210012= . EXEMPLO 2: Quanto por cento de 700 representa 315?

Utilizando a regra de trs, temos: 100%700 x 315 Portanto,% 45 = x . O Conjunto dos Nmeros Irracionais: Finalmente encontramos nmeros que no podem ser representados na forma nm,0 n , Z n m , ,taiscomoK 7320508 , 1 3 = ,K 141592 , 3 = .Estesnmerosformamo conjunto dos nmeros irracionais. O Conjunto dos Nmeros Reais:R . Dauniodoconjuntodosnmerosracionaiscomoconjuntodosnmerosirracionais resulta o conjunto dos nmeros reais, que denotamos porR . Notemos que: R Q Z N . Intervalos Dados dois nmeros reais a,b, comb a < , definimos: i)intervalo aberto:} ; { ) , ( b x a R x b a < < = ; ii)intervalo fechado: } ; { ] , [ b x a R x b a = ; iii)intervalo fechado esquerda:} ; { ) , [ b x a R x b a < = ; iv)intervalo fechado direita: } ; { ] , ( b x a R x b a < = . Potenciao Dadoumnmerorealqualquera eumnmeronaturaln ,aexpresso na chama-se potncia e representa uma multiplicao denfatores iguais ao nmeroa , ou seja: 43 42 1Knvezesna a a a a . . . . = . Chamamosade base,nde expoente e o resultado da operao nade potncia. 6 Propriedades SejamR b a , eN n m , . i)10= a , onde a0; ii) 0 0n= ; iii) 1,onde0;nna aa= iv). ;m n m na a a+=v),onde0;m n mna a a a = vi)( . ) . ;n n na b a b =vii)( ) ,onde0;n n na b a b b = viii) ( )..nm m na a = Radiciao Toda expresso matemtica da forma on, com oR+ c n N, onJc n 2, denominado radical aritmtico. Chamamosa de radicando,nde ndice e o resultadoda operao na de raiz n-sima dea . Propriedades Sejam ,e, ,onde, 2 a b R m n N m n+ . i) n na ; ii) mn mna a = ; iii) . n m n ma a = ; iv). .n n na b a b = ; v), onde0.n n na b a b b = 7 Lista de Exerccios 1 1)DadosA={2,4,6,8,10,12}eB={3,6,9,12,15,18}eC={5,10,15,20,25,30}, determine: a)ABb)ACc)ABCd)A(BC) e)(AB) (AC)f)A (BC)g)(AB) (BC) 2)Considere ABC o conjunto universo e sombreie, em cada item, o conjunto dado: a)(AB)-C b)(AC) (BC) c)(AB)C d)(ABC)c 8 e)B-(AC) 3)ConsiderenoconjuntouniversoU={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}ossubconjuntos A={2,3,5,7} e B={1,3,5,7,9}. Determine: a)Ac b)Bc c)(AB) cd)AcBc e)(AB) c 4)UmconjuntoAtem13elementos,ABtem15elementoseABtem8 elementos. Quantos elementos tem B? 5)Numaescolade48alunos,cadaalunoapresentouumtrabalhosobre Informtica,tendosidoindicadosdoislivrossobreoassunto.OlivroAfoi consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. Pergunta-se: a)Quantos alunos consultaram os dois livros? b)Quantos alunos consultaram apenas o livro A? 6)Uma prova era constituda de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dosproblemas,260acertaramosegundoproblema,100alunosacertaramos dois e 210 erraram o primeiro.a)Quantos alunos fizeram a prova? b)Quantos alunos erraram as duas questes? c)Quantos alunos acertaram somente o segundo problema? 7)Feita uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes costumam ler o resultado foioseguinte:40alunospreferemarevistaA,35preferemarevistaBe12 preferemtantoAquantoB.Seouniversodapesquisafoide100alunos, responda: a)Quantos lem apenas a revista A? b)Quantos lem apenas a revista B? c)Quantos no lem nenhuma das revistas? 8)Num colgio, onde estudam 250 alunos, houve, no final do ano, recuperao nas disciplinasMatemticaePortugus.10alunosfizeramrecuperaodasduas matrias,42fizeramrecuperaodePortuguse187alunosnoficaramde recuperao. Qual o nmero de alunos em recuperao em apenas uma matria? 9)Numapesquisademercadoforamentrevistadas61pessoassobresuas prefernciasemrelaoatrsjornaisA,BeC.Oresultadodapesquisa precisamente: 44 pessoas lem o jornal A; 37 pessoas lem o jornal B; 32 pessoas lem os jornais A e C; 28 pessoas lem os jornais A e B; 26 pessoas lem os jornais B e C; 20 pessoas lem os jornais A, B e C; 7pessoas no lem jornal. Com base nesse resultado, quantas pessoas lem o jornal C? 9 Lista de Exerccios 2 1) Encontre o valor das seguintes expresses numricas: a) 2 - [4 . (7 - 12) - 5] R: 27 b) - 2 + [(- 4).(- 7 + 12) + 5]R-17 c) 13-[(-1).(4 - 5)-2.(- 1)]R: 10 d) (3 2 . 9) (- 5)R: 3 e) [4 2 . (3 - 7)] (- 2) 5R: -11 f) 1 - [7 - (4 3 . 2).(- 1 - 1)] . 5R: -14 g) 2 - [6 (156 3)0 + 1] 31 R: -19 h) (5 2 . 4) 33 - (5 - 2) . 34R: -1458 i) 2 +31+ 3 +21 - 5 - 61 R: 2/3 j) ||

\|3121 + ||

\|7274 - 211R: 17/42 k) 1 +21.45.32.||

\|5225R: 15/8 l) 511312 R: 25/12 m) 212135+R: 4/15 n) ||

\| + 2341511011R: 3 o) 7121.2527.711274131((

||

\| + ||

\| R: 1 p) 1331212 . 7 1||

\|+R: 5/48 q)( ) 8 4 50 32 + R:2 r) 38 9136 + R: -29/5 2) Em certo ms, um pedreiro trabalha 180 horas normais e 10 horas extras. Se o salrio deR$10,40porhoranormaletemumacrscimode20%nashorasextras,quantoo pedreiro ir receber?R: 1996,8 3)UmtrabalhadorganhaR$1.850,00porms.Elegasta1/5deseusalrioem alimentao. Quanto lhe sobra para outras despesas?R: 1480,00 10 4)UmapesquisadoIBOPEouviu1.200telespectadoresparasabercomoestavaa audinciassegundas-feiras,s20horas.Oresultadofoioseguinte:5/12viamaTV Globo, 11/30 viam ao SBT, 7/60 viam a TV Record e os demais estavam com os aparelhos desligados. Quantos telespectadores no viam televiso nesse horrio?R: 120 5)Dos40alunosdeumaclasse,30%nosabemjogarxadrez.Quantosalunosno sabem esse jogo?R: 12 6)Trspessoasforamencarregadasdevenderos200ingressosparaumafesta.A primeirarecebeu90ingressos,asegunda,60eaterceira,50.Seaprimeiraconseguiu vender80%dosseusingressos,asegunda40%eaterceira60%,quantosingressosno foram vendidos?R: 74 7)Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60kg decerto cereal,ao preo de R$ 48,00 o saco. Obteve, por ter pago vista, um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte de R$ 5,00. Revendendo o cereal a R$ 1,10 o quilograma, qual ser o seu lucro?R: 56,2 8) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8%sobre o preo marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preo original dessa mercadoria?9) Determine o valor da expresso dada: a) 3227 b)73) 128 ( c)433216 8 +d)7112 3) 3 2 ( e) 2391||

\| f) 233225646427||

\|||

\|

g)2312136 27||

\| + 10) Simplifique, usando as propriedades de potenciao: a) (3)(32 ) b)|||

\|3255) c)( )2523d) |||

\||||

\|32322 4e) 342|||

\| f) ( )43722e e (| | (| ( \ 11)D a representao decimal dos seguintes nmeros racionais: a) 87 b) 135c) 41 d) 71112)Determine a geratriz ba dos seguintes decimais peridicos: a)0,555...b)0,166...c) 0,2424...d)1,12577... 13)Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: a) { } 3 1 ; < < x R x b) { } 7 2 ; < x R x c) ] 2 , ( d) { } 4 ; < x R x e) ] 2 / 1 , 3 [ f) ] 6 , 0 [14)Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede: a)A= ] 4 , 2 [ e B= ] 6 , 3 [ : AB, AB, A-B, B-A, Ac e Bc. b)A={ } 4 ; < x R xe B={ } 1 ; < x R x : AB, AB, A-B, B-A, Ac e Bc. c)A= ] 1 , 2 ( eB= ] 0 , 3 [ :AB,AB,A-B,B-A,AceBc. 11 Lista de Exerccios 3 1)Resolva, no universo real, as seguintes equaes do 1o grau: a)5( 2) 4 6R: 16 x x = +b)4(4 ) 2( 1)R: 7 x x = c)2 6R: 3 x = d)3( 5) 2R: 17/3 x =2)Resolva, no universo real, as seguintes equaes: a) 1 1 R: 5/74 3 6x x + =b) 1 24 R: 67/85 3x x + + =c) 3 2 21 R: 14/54 3x x + + =d) 2 1 1 R: -16 3 4x x x + + =e) 10 125R: 36/533 2x xx+ =3)Resolva, no universo real, as seguintes equaes do 2o grau: a) 25 4 0R: {1,4} x x + =b) 27 12 0R: {3,4} x x + =c) 26 8 0R: {2,4} x x + =d) 24 4 0R: {2} x x + =e) 23 0R: {} x x + =f) 25 0R: {0,5} x x =g) 225 0R: {-5,5} x =h) 22 8 0R: {-2,2} x =4)Resolva os sistemas a seguir: a) 13 2 8x yx y = + =b)3 03 5 8x yx y+ = + = c) 2 3 64x yx y = =d)3 2 55 3 2x yx y+ = = e) 2 4 34 8 2x yx y+ = + =f)4( 1) 2 54x yx y+ = + + = g) 3 2 42x yx y x+ = + + =h)723 13xyx y x+ =+ = + 12 FUNO INTRODUO O conceito de funo um dos mais importantes da Matemtica e ocupa lugar de destaque em vrios eixos temticos dela, bem como de outras reas do conhecimento. NOO INTUITIVA Analise a seguinte situao: Nmeros de litros de gasolina e preo a pagar. Considereatabelaaseguirquerelacionaonmerodelitrosdegasolinacompradoseo preo a pagar por eles: Nmero de litrosPreo a pagar (R$) 12,60 25,20 37,80 410,40 513,00 40104,00 Observe que opreo a pagar dado em funo do nmero de litros comprados, ou seja, o preo a pagar depende do nmero de litros comprados. Preo a pagar = R$ 2,60 vezes o nmero de litros comprados. NOO DE FUNO VIA CONJUNTOS ConsidereosconjuntosA={-2,-1,0,1,2}eB={-8,-6,-4,-3,0,3,6,7}.Devemosassociarcada elemento de A a seu triplo em B. x A y B -2-6 -1-3 00 13 26 Observe que: i)todos os elementos de A tm correspondente em B; ii)a cada elemento de A corresponde um nico elemento de B. Nesse caso, temos uma funo de A em B. 13 Vejamos a seguir dois exemplos em que no temos uma funo de A em B: 1)Sejam A={-4,-2,0,2,4} e B={0,2,4,6,8}, associamos elementos de A ao seu igual em B: x A y B -4 -2 00 22 44 ObservequehelementosemAquenotmcorrespondentesemB.Nessecaso,no temos uma funo de A em B. 2)SejamA={0,4}eB={2,3,5},relacionamosAeBdaseguinteforma:cada elemento de A menor que um elemento de B. x A y B 02 03 05 45 NotemosumafunodeAemB,poisaoelemento0deAcorrespondemtrs elementos de B. DEFINIO Sejam A e B subconjuntos no vazios de R. Uma funof :AB uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um nico elemento de B. O conjunto A chamado dedomniodef edenotadoporD( f ).Bchamadodecontradomniodef e denotado por CD( f ). NOTAO: f :AB x a ) (x f y = O conjunto imagemo conjuntode todosos valores dey , que so imagem dexpela funof . NOTAO: Im( f )={ y B;) (x f y = , ondex D( f )}. 14 EXEMPLO: Sejam A={1,2,3,4} e B={2,3,4,5}. f :AB x a1 ) ( + = x x f uma funo de A em B. Neste caso, D( f )=A e Im( f )=B. CONTRA-EXEMPLO: Sejam A={1,2,3,4} e B={2,3,4,5}. g :AB x a 1 ) ( = x x g no uma funo de A em B. ESTUDO DO DOMNIO DE UMA FUNO REAL i) Sejaf : R Rx a 2) ( x x f = Ento, D( f )=Re Im( f )=[0,+). ii) Sejaxx f1) ( = , ento D( f )=R -{0} e Im( f )=R -{0}. iii) Sejax x f = ) ( , ento D( f )= +Re Im( f )= +R . GRFICO DE UMA FUNO Sejafuma funo. O grfico de f o conjunto de todos os pontos)) ( , ( x f xde um plano cartesiano, ondex D( f ). EXEMPLO: O grfico da funo1 2 ) ( + = x x fconsisteem todos os pares) 1 2 , ( + x xdo plano. A figura a seguir, nos mostra o grfico desta funo. x ) (x f-2-3 -1-1 01 13 25 15 EXEMPLO: O grfico da funo 2) ( x x f =consisteem todos os pares) , (2x xdo plano. A figura a seguir, nos mostra o grfico desta funo. x ) (x f-24 -11 00 11 24 EXEMPLO: O grfico da funo xx f 3 ) ( =consisteem todos os pares) 3 , (xxdo plano. A figura a seguir, nos mostra o grfico desta funo. x ) (x f-21/9 -11/3 01 13 29 16 DETERMINAODODOMNIOEDAIMAGEMDEUMAFUNO CONHECENDO-SE O GRFICO Observando o grfico de uma funo no plano cartesiano podemos, s vezes, determinar o domnio e o conjunto imagem da funo, projetando o grfico nos eixos: FUNO PAR E FUNO MPAR DEFINIO:Umafuno f parse,esomentese,) ( ) ( x f x f = ,paraqualquer ) ( f D x . Isto , o grfico def simtrico em relao ao eixoy . 17 EXEMPLO: A funo 2) ( x x f = par. Veja o grfico seguir: DEFINIO:Umafuno f mparse,esomentese,) ( ) ( x f x f = ,paraqualquer ) ( f D x . Isto , o grfico def simtrico em relao origem. EXEMPLO: A funo 3) ( x x f = mpar. Veja o grfico a seguir: 18 FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTE EXEMPLO: Considere a funo xx f 3 ) ( =cujo grfico dado a seguir: Pelogrfico,observamosque,quantomaiorforovalordex ,maiorserovalor correspondente) (x f y =. Em casos como este, dizemos que a funo crescente. EXEMPLO: Considere a funo xx f ||

\|=31) (cujo grfico dado a seguir: Observamospelogrficoque,quantomaiorforovalordex ,menorserovalor correspondente) (x f y =. Em casos como este, dizemos que a funo decrescente. EXEMPLO: Seja a funo 2) ( x x f =e consideraremos o seu grfico. 19 Pelo grfico, podemos observar que: i)nointervalo} 0 ; { x R x ,afunodecrescente,pois,quantomaiorforo valor dex , menor ser o valor correspondente) (x f y = ; ii)no intervalo} 0 ; { x R x , afuno crescente, pois, quanto maior for o valor dex , maior ser o valor correspondente) (x f y = . DEFINIO: Considere 1xe 2x A ) ( f D ,dizemos que: i)f uma funo crescente em A, quando para 2 1x x aa funob ax x f + = ) ( crescente. Quando0 < aa funob ax x f + = ) ( decrescente. O grfico da funob ax x f + = ) ( uma reta no paralela aos eixos coordenados. O domnio deb ax x f + = ) (R f D = ) ( . O conjunto imagem R f = ) Im( . EXEMPLOS: i) 3 2 ) ( + = x x f uma funo afim crescente; ii)1 3 ) ( + = x x f uma funo afim decrescente. Veja representao grfica a seguir: 27 FUNO POLINOMIAL DO 2O GRAU OU FUNO QUADRTICA A funo R R f :definida porc bx ax x f + + =2) ( ,0 a chamada funo polinomial do 20 grau ou funo quadrtica . Seu domnio R f D = ) ( . O grfico de uma funo quadrtica uma parbola. Se o coeficiente de 2xfor positivo, a parbolatemaconcavidadevoltadaparacima.Seocoeficientede 2x fornegativo,a parbola tem a concavidade voltada para baixo. A interseo do eixo de simetria com a parbola um ponto chamado vrtice e dado por ( )||

\| =a aby xv v4,2, . A interseo da parbola com o eixo dosxdefine os zeros ou razes da funo. No quadro seguinte caracterizamos as trs possibilidades. 0 42> = ac b 0 42= = ac b 0 42< = ac baparbolainterceptaoeixo dosx emdoispontos distintos. aparbolainterceptaoeixo dosxem um nico ponto. aparbolanointerceptao eixo dosx . 28 EXEMPLOS: i i) 2 3 ) (2+ + = x x x f ; ii)1 ) (2+ = x x f . Veja representao grfica a seguir: ALGUMAS FUNES ELEMENTARES FUNO EXPONENCIAL Chamamos de funo exponencial de basea , a funofdeRemRque associa a cada xreal o nmero real xa , sendoaum nmero real,1 0 < a , ou seja: f : R Rx a xa x f = ) ( . O domnio da funo exponencial R f D = ) ( . A imagem ) , 0 ( ) Im( + = f . O grfico de xa x f = ) ( dado a seguir: 29 LOGARITMO DEFINIO: Se, , R b a 1 0 < ae0 > b , ento b a x bxa= = log , onde: a : base do logaritmo; b : logaritmando; x : logaritmo. PROPRIEDADES IMEDIATAS: Se1 0 < ae0 , > c b , temos: i)0 1 log =a; ii)1 log = aa;de iii)b aba=log; iv)c b c ba a= = log log . OBSERVAO: 1)x x10log log =(logaritmo decimal); 2)x xelog ln =(logaritmo natural ou neperiano). PROPRIEDADES OPERATRIAS Se1 , 0 < d a ,N n e0 , > c b , temos: temos: i) c b c ba a alog log ) . ( log + = ; ii)c bcba a alog log log =||

\|; iii)b n banalog log = ; iv) abbddalogloglog = . 30 FUNO LOGARTMICA Dadoumnmeroreal) 1 0 ( < a a chamamosfunologartmicadebasea afunode *+R emR que associa a cadaxo nmeroxalog , isto : f :*+R Rx ax x falog ) ( = . As funes f de*+R emRdefinida porx x falog ) ( = ) 1 0 ( < aeg deRem*+Rdefinida por xa x g = ) ( ) 1 0 ( < a , so inversas uma da outra. Temos *) (+= R f DeR f = ) Im( . O grfico dex x falog ) ( = dado a seguir: FUNES TRIGONOMTRICAS FUNO SENO Definimosafunosenocomoafunof deR emR queacadaR x faz corresponder o nmero realx y sen = , isto , f : R R x ax x f sen ) ( = . O domnio da funo seno Re o conjunto imagem o intervalo] 1 , 1 [ . A funox y sen = peridica e seu perodo 2 . Emalgunsintervalosx y sen = crescenteeemoutrosdecrescente.Porexemplo,nos intervalos ((

2, 0 e ((

2 ,23afunosenocrescente.Jnointervalo ((

23,2 ela decrescente. Alm disso, a funo seno uma funo mpar. O grfico da funox x f sen ) ( = , denominado senide, pode ser visto a seguir: 31 FUNO COSSENO Definimosafunocossenocomoafunof deR emR queacadaR x faz corresponder o nmero realx y cos = , isto , f : R R x ax x f cos ) ( = . O domnio da funo cosseno Re o conjunto imagem o intervalo] 1 , 1 [ . A funox y cos = peridica e seu perodo 2 . Emalgunsintervalosx y cos = crescenteeemoutrosdecrescente.Porexemplo,no intervalo[ ] , 0 afunocossenodecrescente.Jnointervalo[ ] 2 , elacrescente. Alm disso, a funo cosseno uma funo par. O grfico da funox x f cos ) ( = , denominado cossenide, pode ser visto a seguir: FUNES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE Estas funes so definidas em termos de seno e cosseno. As funes tangente e secanteso, respectivamente,denotadas pelossmbolostgesece definidas por: 32 xxtgxcossen=e xxcos1sec =para todos os nmeros reaisxtais que0 cos x , isto , o domnio das funes tangente e secante dado por )` + = = Z n n x R x D tg D ,2, (sec) ) ( . As funes cotangente e cossecante so, respectivamente, denotadas pelos smbolos cotge cosece definidas por: xxgxsencoscot =e xecxsen1cos =para todos os nmeros reaisxtais que0 sen x , isto , o domnio das funes cotangente e cossecante dado por{ } Z n n x R x ec D g D = = , , ) (cos ) (cot . Osgrficosdessasfunespodemservistosaseguir.Podemosobservarqueasfunes tangenteecotangentesoperidicasdeperodo equeasfunessecanteecossecante so peridicas de perodo 2 . 33 Lista de exerccios 5 1)Escreva a funo afimb ax x f + = ) ( , sabendo que: a)5 ) 1 ( = fe7 ) 3 ( = f R.:2 3 ) ( + = x x fb)7 ) 1 ( = fe1 ) 2 ( = f R.:5 2 ) ( + = x x f2)UmmotoristadetxicobraR$3,20debandeiradamaisR$0,80porquilmetro rodado.Sabendoqueopreoapagardadoemfunodonmerox dequilmetros rodados. a)Qual a lei da funo afim representada por essa situao?b)Represente geometricamente a funo dada anteriormente. 3)O preo do aluguel de um carro popular dado pela tabela a seguir: 100kmTaxa fixa de R$ 50,00 300kmTaxa fixa de R$ 63,00 500 kmTaxa fixa de R$ 75,00 Emtodososcasos,paga-seR$0,37porquilmetroexcedenterodado.Escrevaaleida funo para cada caso, chamando dexo nmero de quilmetros excedentes rodados. 4)Obtenha a funob ax x f + = ) ( , cuja reta, que seu grfico, passa pelos pontos: a)(-1,1) e (2,0)R.: 3231) ( + = x x fb)(3,0) e (0,4)R.:434) ( + = x x f5)Determine o valor dem para que o grfico da funo3 2 ) ( + = m x x fa)intercepte o eixoyno ponto (0,5);R.:8 = mb)intercepte o eixoxno ponto (3,0).R.:3 = m6)Determine o valor dem para que a funom x x x f = 4 4 ) (2 tenha razes reais e iguais. R.: -1 7)Para que valores reais deka funo1 6 ) (2+ = x kx x fadmite razes reais e distintas?R.:9 < k8)Para que valores reais deka funo4 2 ) 1 ( ) (2+ = x x k x fno admite razes reais?R.: 45> k9)Determine a) Im( fe o valor mximo ou mnimo para2 4 ) (2 + = x x x f . R.:} 6 ; { ) Im( = y R y fe o valor mnimo: -6. 10)Determine de modo que o valor mnimo da funo 2 6 ) 1 ( ) (2 + = x x k x f seja 5.R.:4 = k 11)Umabola lanada ao ar. Suponha que sua alturah , em metros,tsegundos aps o lanamento, seja6 42+ + = t t h . Determine: a)o instante em que a bola atinge a sua altura mxima;R.: 2s b)a altura mxima atingida pela bola;R.: 10m c)o grfico deh . 34 12)Dado5 6 ) (2+ = x x x f , pede-se: a)os pontos em que seu grfico corta o eixox ; b)o ponto em que seu grfico corta o eixoy ; c)as coordenadas do vrtice de seu grfico; d)o grfico da funo. 13)Resolva as seguintes equaes: a)81 3 =xb) 1 3 12 22 +=x x c)5 52=xd)1 61 22=+ x x e)3 9 =x f) 2 315125++||

\|=xx g)4 ) 2 ( =x x h)27 813 1= x i)0 3 3 . 4 9 = + x x j) 5 22 2 4 = + x x k)162 3 . 22= x l)160 2 . 542= x. 14)Chama-semontanteM aquantiaqueumapessoadevereceberapsaplicarum capitalC , a juros compostos, a taxai durante um tempot . O montante pode ser calculado pela frmula ti C M ) 1 ( + = . SuponhaqueocapitalaplicadodeR$200.000,00aumataxade12%aoanodurante3 anos, qual o montante no final da aplicao?R.: R$280.985,60 15)Esboce o grfico das seguintes funes: a) xx f ||

\|=31) ( b) xx f 3 ) ( =c) | |2 ) (xx f = d) xe x f = ) (16)Calcule: a)27 log3b)5 , 0 log2c)25 , 0 log2 d)125 log5e)8 log2f)7 log7 g)10000 log h)32 log4i)1 log4 R.: 3; -1, -2; 3; 3/2; 1; 4; 5/4 e 0 respectivamente. 17)Determinexnas igualdades: a)x = 64 log2b)x3log 1 = c)0 log = xd)3 126 log =xe)625 log 2x= f)27 log9= xR.: 6; 1/3; 1; 3126 ; 25 e 3/2 respectivamente. 35 18)Determine o domnio das seguintes funes: a)) 1 2 ( log2+ = x y b) 31log2+=xxyc)) 16 ( log24 = x y d)) 3 ( log10 = x ye)) 4 5 ( log221 + = x x yR.: )` > =21; ) ( x R x f D ; { } 1 3 ; ) ( > < = oux x R x f D ; { } 4 4 ; ) ( > < = oux x R x f D ;{ } 3 ; ) ( > = x R x f De{ } 4 1 ; ) ( < < = x R x f Drespectivamente. 19)Escreva8 log5 usando logaritmos na base 4. 20)Dados11 log = ma e6 log = na, qual o valor de( )2 3log n ma?R.: 45 21)Sea = 2 logeb = 3 log , expresse72 logem funo deaeb .R.:b a 2 3 + 22) Expresse8 log2 usando logaritmos na base 10.R.: 2 log8 log 23)Calcule o valor da expresso81 log . 5 log25 3R.: 2 24)Dados30 , 0 2 log = ,48 , 0 3 log =e70 , 0 5 log = , calcule: a)20 logb)0002 , 0 log c)30000 logd)3 , 0 log e)500 log f)00005 , 0 logg)18 log h)45 logi)72 logj)5 , 7 log k)250 log l)25 , 1 logR.:1,30;-3,70;4,48;-0,52;2,70;-4,30;1,26;1,66;1,86;0,88;2,40e0,10 respectivamente. 25)Dados30 , 0 2 log = ,48 , 0 3 log =e70 , 0 5 log = , resolva a equao0 12 5 . 7 52= + x x R.: S={0,69;0,86} 26)Resolva a equao0 27 = xe , dados43 , 0 log = ee48 , 0 3 log = . R.: S={3,34} 27)Esboce o grfico das seguinte funes: a)x y2log = b)x y21log = c) ||

\|=2log2xy 36 28)Resolva as seguintes equaes: a)2 log ) 3 ( log2 2= + x x R.: S={4} b)3 ) 6 ( log2= x R.: S={14} c)) 2 ( log 1 ) 1 3 ( log323 + = x x x R.: S={5} d)2 4 log1= xR.: S={3} e)1 log log log3 27 9 = + x x x R.: S={729} 29)Umapessoaestdistante80mdabasedeumprdioevopontomaisaltodo prdiosobumngulode16oemrelaohorizontal.Qualaalturadoprdio?Dado: tg16o=0,28.R.: aproximadamente 22,40 m 30)UmaviolevantavoemB,esobfazendoumnguloconstantede15ocoma horizontal. A que altura estar e qual a distncia percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? Dados: sen15o=0,26 e tg15o=0,27. R.: A altura de 540 m e a distncia percorrida de 2076,9 m. 31)Umaescadaapoiadaemumaparede,numpontodistante4mdosolo,formacom essa parede um ngulo de 60o. Qual o comprimento da escada em m?R.: 8 m. 32)Expresse: a)300o em radb) 4 rad em graus c)60o em radd) 910 rad em graus e) 53 rad em grausf)12o em rad. R.: 35 rad, 45o, 3 rad, 200o, 108o e 15 rad respectivamente. 33)D o domnio, a imagem, o perodo e construa o grfico das funes: a) ||

\|=2sen ) (xx f b)x x f 2 sen 2 ) ( + =c)x x f cos 3 ) ( = d)x x f cos 2 ) ( = 34)Verifique as seguintes identidades: a)) (cos cos cot sec tgx x ecx gx x + = + ; b)x ec x x ec x2 2 2 2cos sec cos sec = + ; c) xxecx gxcos 1sencos cot+ = ; d)x tg x2 21 sec + = . 37 35)Sabendo que 41sen = x , com< < x2, determine: a)x cos b)tgx 36)Sendo2 = tgx , com 23 < < x , achar o valor de: a)x cos b)x sec c)x sen 38 MATRIZES Obs: Este material terico sobre matrizes foi retirado do site: http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em reas como Economia, Engenharia, Matemtica, Fsica, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de trs alunos em uma etapa: QumicaInglsLiteraturaEspanhol A8798 B6676 C4859 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o nmero que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de nmerosdispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parnteses ou colchetes: Em tabelas assim dispostas, os nmeros so os elementos. As linhas so enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nmeros naturais diferentes de 0) so denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos: uma matriz do tipo 2 x 3 uma matriz do tipo 2 x 2

Notao geral 39 Costuma-se representar as matrizes por letras maisculas e seus elementos por letras minsculas, acompanhadas por dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 o elemento da 2 linha e da 3 coluna. Na matriz, temos: Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. Denominaes especiais Algumas matrizes, por suas caractersticas, recebem denominaes especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma nica linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo nmero de linhas e colunas; dizemos que a matriz de ordem n. Por exemplo, a matriz do tipo 2 x 2, isto , quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundria. A principal formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundria, temos i + j = n + 1. 40 Veja: Observe a matriz a seguir: a11 = -1 elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a31= 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 ( 3+ 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos so nulos; representada por 0m x n. Por exemplo,.

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos; representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Assim, para uma matriz identidade.

41 Matriz transposta: matriz Atobtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m. Note que a 1 linha de A corresponde 1 coluna de At e a 2 linha de A corresponde 2 coluna de At. Matriz simtrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, simtrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo,.

Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so iguais: .

Operaes envolvendo matrizes Adio Dadas as matrizes, chamamos de soma dessas matrizes a matriz, tal que Cij = aij + bij , para todo: A + B = C Exemplos:

42 Observao: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adio: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtrao Dadas as matrizes, chamamos de diferena entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B ) Observe:

Multiplicao de um nmero real por uma matriz Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A uma matriz Bdo tipo m x n obtida pela multiplicao de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x.A Observe o seguinte exemplo:

Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y nmeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . (yA) = (xy) . A b) distributiva de um nmero real em relao adio de matrizes: x . (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relao adio de dois nmeros reais: (x + y) . A = xA + yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A Multiplicao de matrizes O produto de uma matriz por outra no determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x pe B = ( bij) p x n a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna B. Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtm cadaCij: 1 linha e 1 coluna 43 1 linha e 2 coluna 2 linha e 1 coluna 2 linha e 2 coluna Assim,. Observe que: Portanto,.A, ou seja, para a multiplicao de matrizes no vale a propriedade comutativa. Vejamos outro exemplo com as matrizes:

44 Da definio, temos que a matriz produto A . B s existe se o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de B: A matriz produto ter o nmero de linhas de A (m) e o nmero de colunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , ento ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, ento no existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, ento ( A . B ) 4 x 1 Propriedades Verificadas as condies de existncia para a multiplicao de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relao adio: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, no vale para a multiplicao de matrizes. No vale tambm o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n no implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , ento A' matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 . 45 Lista de exerccios 6 1)Dada a matriz ((((

0 5 13 2 58 0 2, calcule: a) 31 23 11a a a + + b) 32 21.a a c) 33 13a a +2)Construa as matrizes: a) 2 3) (=ija A , tal quej i aij+ = ; b) 3 2) (=ija A , tal que22+ = i aij; c) 2 4) (=ija A , tal que10 ) (2 + = j i aij; d) 3 3) (=ija A , tal que = +=j ij i j iaij, 10,; e) 3 3) (=ija A , tal que > = +