Apostila de Trigonometria

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Apostila de Trigonometria com exercícios.

Text of Apostila de Trigonometria

  • Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA)

    (Fevereiro 2005)

    Trigonometria

    Captulo I. Um pouco de Histria

    A palavra trigonometria tem origem na Grcia da palavra trigonos (tringulo) + metrm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de tringulos.

    Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria est exclusivamente ligada resoluo de situaes de medio de terrenos ou determinao de medidas sobre a superfcie da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento cientfico, impossvel separar a Trigonometria da Astronomia. Da que o seu desenvolvimento como cincia exata viesse a exigir medies e clculos de grande preciso. neste contexto que o astrnomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonomtrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medies, prever eclipses, fazer calendrios e na navegao.

    A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo, Ptolomeu.

    No sc.III, os indianos e os rabes deram nova dimenso trigonometria ao introduzirem a trigonometria esfrica. A Trigonometria tem como objetivo principal o estudo das relaes entre lados e ngulos de um tringulo e constitui instrumento indispensvel na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegao, cartografia e da topografia. O estabelecimento de certas relaes que hoje chamamos frmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemticos hindus, do sc. V ao sc. XII. De entre eles destaca-se Aryabhata (sc.VI), um astrnomo indiano, tendo j nesta altura associado o seno de um ngulo ao centro medida da corda correspondente e elaborado tambm uma tbua de valores do seno. Matemticos rabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razes trigonomtricas em tringulos retngulos e estabeleceram, para qualquer tringulo, o chamado teorema ou lei dos senos.

    A trigonometria comea a afirmar-se como cincia autnoma a partir do sc.XI quando Al-Biurine rene todas as demonstraes, quer de origem grega, quer de origem indiana, at ento conhecidas e usadas em Trigonometria. Deve-se ainda aos rabes a introduo desta cincia na Europa Ocidental. Na Europa, a instituio da Trigonometria como cincia autnoma em relao Astronomia, iniciada atravs da traduo e publicao dos manuscritos clssicos, bem como da elaborao de uma introduo completa Trigonometria, e ficou a dever-se a Johaness Mller, um astrnomo prussiano, mais conhecido por Regiomontano(1436-1476).A obra de Regiomontano continha, por exemplo, a "Lei dos senos" aplicada a tringulos esfricos. No sc.XVI, Franois Vite (1540-1603) estabeleceu vrias relaes trigonomtricas tendo-as associado s solues de equaes do 3grau - a ligao da trigonometria lgebra. Vite introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ngulos de tringulos no retngulos. Neper e Briggs usaram o clculo logartmico para estabelecerem novas frmulas trigonomtricas (sc.XVII). No sc.XIX, a trigonometria atinge o seu ponto mximo, ficando ligada anlise atravs das sries. Hoje, a trigonometria usa-se em muitas situaes, nomeadamente na fsica.

    1

  • Captulo II. O Tringulo Retngulo

    O tringulo retngulo construdo utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construo muitos teoremas importantssimos foram construdos e um dos mais importantes o chamado Teorema de Pitgoras.

    + = 90

    II.1 O Teorema de Pitgoras

    Esse talvez seja o principal teorema que expressa uma relao mtrica para os lados de um tringulo retngulo.

    O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retngulo igual soma dos quadrados das medidas dos catetos.

    a 2 = b 2 + c 2

    Veja que na figura ao lado, h uma srie de semelhanas de tringulos.

    BEA CAE ABC . Com isso conseguimos algumas relaes entre elas:

    h =

    b h = bc . Tambm temos que: a m = b b 2 = a 2 am (I) c a a b a

    Uma terceira relao dada por m = h m = ch . Como h = bc , temos que: c b b a

    c bc c 2 m = . = . Substituindo o valor de m na equao (I) vem:

    b a a

    a 2

    = b 2 + c 2 Teorema de Pitgoras

    2

  • II-) Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo

    Tendo como base o tringulo retngulo da fig.1, podemos definir algumas relaes que envolvem os ngulos do tringulo retngulo. So elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonomtricas da seguinte forma:

    sen = cat. oposto cos = cat. ajacente tan = cat. oposto hipotenusa hipotenusa cat. ajacente

    Da figura: ngulos sen cos tan

    sen = c cos = b tan = c

    a a b

    sen = b

    cos = c

    tan = b

    a a c

    Repare que para quaisquer e sen = cos e sen = cos assim, tiramos uma das relaes mais importantes da Trigonometria:

    sen = cos(90 )

    O seno de um ngulo igual ao cosseno do seu complementar

    Existem alguns ngulos notveis e necessrio que todo pr-vestibulando conhea o seno o cosseno e a tangente desses arcos. Veja a tabela abaixo:

    ngulos 0 30 45 60 90 seno 0 1 2 3 1 2 2 2

    cosseno 1 3 2 1 0 2 2 2

    tangente 0 3 3

    1 3

    3

  • Nvel I

    P1-) Dados as figuras abaixo, determine o que se pede: P6-) (FUVEST) Na figura a seguir o ngulo do vrtice B reto, quanto vale x?

    C

    x

    A 30 D 60

    10 cm B

    P7-) Calcule o valor da expresso abaixo: (sen 2 1).(sen 2 2).(sen 2 3)....(sen 2 89).(sen 2 90) I = (cos 2 0).(cos 2 1).(cos 2 2)...(cos 2 88).(cos 2 89)

    a) o valor de AE; b) o valor de CE; P8-) Dado o tringulo retngulo ABC. O valor de x + y : c) o valor de DE; d) o valor de sen , cos , tg ; e) o valor de sen , cos , tg ;

    P2-) Dados os grupos de trs nmeros abaixo, diga quais desses no podem representar lados de tringulos retngulos.

    a-) 2,3 e 4 b-) 3, 4 e 5 c-) 6, 7 e 8 d-) 1, 3 e 2 e-) 2, 60 , 8 f-) 6, 8, 10 a) 5 3 b) 5 + 3 c) 5(1 3)

    d) 5(1 + 3) e) 3 3 P3-) Uma mulher sobe numa mesa quando v um rato no

    cho. A altura da mesa de 50 cm e a altura da mulher de 1,50 m. O rato se encontra parado, rindo da cara dela, 5 P9-) Uma roda de bicicleta tem 40cm de dimtero. Quantas metros da mesa. Calcule a distncia dos olhos da mulher ao voltas completas ela d em 1km ? rato.

    Gabarito

    P4-) Um poste de luz de 5 metros de altura produz uma P1)(a) 10 3 (b) 109 (c) 20 3 (d) sen = 10 109 sombra no cho de 8 metros. Qual a distncia da ponta do 3 3 109 poste ponta da sombra deste no cho? 3 109 10 3 109 10 109

    cos = tg = (e) sen = cos = P5-) A figura mostra a posio de um avio observado a 109 3 109 109 3 partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes 1 tg = 10 Km um do outro. Sabe-se que, nesse instante, o avio dista, P2) a, c P3) d = 29 P4) d = 89 respectivamente, 88 km e 9km, dos pontos A e B. Nessas P5) H = 6 2 P6) x = 5 3 P7)1 condies, determine a altura do avio, em relao ao solo, P8) d P9) 795 no instante considerado.

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  • Captulo III. Crculo Trigonomtrico

    A circunferncia trigonomtrica de extrema importncia para o nosso estudo da Trigonometria, pois baseado nela que todos os teoremas sero deduzidos.

    Trata-se de uma circunferncia com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, como mostrado na figura abaixo:

    Os eixos dividem a circunferncia em 4 partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horrio o

    sentido positivo na circunferncia trigonomtrica.

    III.1 ngulo central

    Qualque