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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

(I) Funções de duas ou mais variáveis;

(II) Limites;

(III) Continuidade.

(I) Funções de duas ou mais variáveis.

No Cálculo I estudamos funções de uma variável,do tipo y=f(x) em que o

domínio era uma reta, apenas. Agora, no Cálculo II , estudaremos funções do tipo

z=f(x,y),w= f(x,y,z), etc.

Função de 2 variáveis: Neste caso, temos que o domínio da função passa a ser uma

área, e o gráfico de z=f(x,y) passa a ser uma superfície, onde a imagem vai do valor

mínimo até o valor máximo que z assume.

Exemplo:

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥² − 𝑦²

Como uma raiz quadrada não pode ser negativa (nos reais), temos que:

9 − 𝑥² − 𝑦² ≥ 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥² + 𝑦² ≤ 9

Vemos, portanto que o domínio é dado pela área contida dentro de um disco de raio 3.

Gráfico:

𝑧 = 9 − 𝑥² − 𝑦² → 𝑧² + 𝑦² + 𝑥² = 9

Essa é a equação de uma esfera de raio 3, no entanto, z deve ser positivo para estar contido no

domínio,logo o gráfico será apenas a parte positiva da equação da esfera (semiesfera de raio

3).

Semiesfera de raio 3

Imagem: Ao observar o gráfico, vemos que z varia de 0 até 3, logo a imagem será:

𝐷𝑜𝑚(𝑧) = [0,3]

Obs: Funções de 3 variáveis:

Neste caso, o domínio da função w=f(x,y,z) seria uma superfície, e o gráfico seria algo na 4ª

dimensão, não sendo possível de desenhar. Mesmo assim, ainda é possível descobrir a sua

imagem algebricamente.

Obs 2: Para funções com mais de 3 variáveis não é possível esboçar o domínio nem o gráfico

da função, por isso, essas são mais difíceis de serem estudadas.

Exemplo (3 variáveis):

𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = log(25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)

Domínio: (ℝ³)

0 ≤ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² < 25

Logo, percebemos que o domínio será uma esfera maciça, de raio menor do que 5 (sendo a

casca esférica que sobrepõe a esfera fora do domínio).

Imagem: Vemos que o gráfico (eixo w) teria uma variação de ln(0) = - ∞ até ln25 = 2ln5,

portanto temos:

𝐼𝑚 𝑊 = [−∞, 2𝑙𝑛5]

O gráfico dessa função não é possível esboçar.

Curvas de Nível

As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=K, onde K é

uma constante. Em outras palavras, é como “cortar” o gráfico da função em diferentes alturas

e depois planificar as imagens encontradas.

Exemplo:

Esboce as curvas de nível da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥² − 𝑦² para K=0,1,2 e 3.

K=0 ,temos z=0 9 − 𝑥² − 𝑦² = 0 → 9 = 𝑥² + 𝑦²

Circunferência de raio 3

K=1, temos z=1 9 − 𝑥2 − 𝑦² = 1 → 𝑥² + 𝑦² = 8

Circunferência de raio 2 2

K=2, temos z=2 9 − 𝑥2 − 𝑦² = 4 → 𝑥² + 𝑦² = 5

Circunferência de raio 5

K=3, temos z=3 9 − 𝑥² − 𝑦² = 9 → 𝑥² + 𝑦² = 0

Ponto (x,y)=(0,0)

Curvas de nível da função f(x,y).

Exercícios Recomendados:

1)(Stewart)Determine e esboce o domínio da função f(x,y)=ln(9-x²-9y²).

2) (Stewart)Determine o domínio da função f(x,y)= 𝑦−𝑥²

1−𝑥².

3)(Stewart)Esboce o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y.

Gabarito :

1-{(x,y)|1

9𝑥² + 𝑦² < 1},(-∞, 𝑙𝑛9) 2-{(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥2 ,𝑥 ≠ ±1

3-

(II) Limites

Em uma função de duas variáveis, para o limite lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0) 𝐹(𝑥, 𝑦) existir, os sublimites

(limites calculados em todas as direções possíveis) devem existir e devem ser todos iguais.

Exemplo:

Mostre que não existe o limite: lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑥𝑦

𝑥²+𝑦².

Para mostrar que não existe limite basta encontrar dois sublimites diferentes.

Temos:

𝐷𝑜𝑚 𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = ℝ² − {(0,0)}

Fazendo o sublimite na direção do eixo y, (x=0), temos:

lim𝑥→0

𝑥𝑦

𝑥² + 𝑦²=

0

𝑦2= 0

Fazendo o sublimite na direção da reta y=x, temos:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦

𝑥² + 𝑦²=

𝑥²

2𝑥²=

1

2

Portanto, como encontramos dois sublimites diferentes, podemos concluir que o limite

não existe.

Outra maneira de provar que o limite não existe é usando noção de “grau”.

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑥𝑦

𝑥²+𝑦²

Como os graus do numerador e do denominador são iguais, já devemos suspeitar que o

limite não existe. Para confirmar, fazemos a substituição y=mx .

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦

𝑥² + 𝑦²=

𝑚𝑥2

1 + 𝑚2 𝑥²=

𝑚

1 + 𝑚2

Como m pode variar, vemos que existem infinitos sublimites , que dependem da inclinação

da reta y=mx. Logo, podemos concluir que o limite não existe.

Existem outras aplicações para utilizar o conceito de grau, um deles é substituir o valor de

uma variável em relação a outra para igualar o grau e provar que o limite não existe.

Exemplo:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑦9600𝑥4

𝑦10000 + 𝑥100

Notamos que, para igualar o grau, podemos fazer a substituição 𝑥 = 𝑚𝑦100

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑦9600𝑥4

𝑦10000 + 𝑥100= lim

𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑦9600𝑚4𝑦400

𝑦10000 + 𝑚100𝑦10000=

𝑚4

1 + 𝑚100

Como m é uma variável, vemos que existem infinitos sublimites, logo, o limite em questão

não existe.

Podemos perceber então, que é muito mais difícil a existência do limite de uma função de

duas variáveis do que quando trabalhávamos com funções de uma variável. No entanto,

utilizando separações de funções e Teorema do Confronte é possível provar a existência

do limite em algumas funções.

Exemplo 1:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦²

Como o grau do numerador é maior que do denominador, a intuição nos diz que a parte

de cima da equação tende a zero mais rápido, logo o limite seria 0. Mas como provar isso?

Vamos separar a função em y. 𝑥²

𝑥²+𝑦². Podemos perceber que

𝑥²

𝑥²+𝑦² será sempre maior ou

igual a zero e menor ou igual a 1. (Função limitada).

0 ≤𝑥²

𝑥² + 𝑦²≤ 1

Grau 2

Grau 3

Grau 2

Logo, lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑦.𝑥2

𝑥2+𝑦²= 0

0 entre 0 e 1

Obs: Sempre que a função for separável, dessa forma o limite existe.

Exemplo 2:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑥2 + |𝑦|

Vamos separar a função em: x . cos(x) . 𝑦

𝑥2+|𝑦|

Mas, −1 ≤ cos x ≤ 1 e 0 ≤𝑦

𝑥2+|𝑦|≤ 1

Logo, essas duas funções são limitadas, e:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0) 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑦

𝑥2+|𝑦|=0

Tende a 0 limitado limitado

(III) Continuidade

Dizemos que uma função f(x,y) é contínua num ponto (a,b) ∈ Domínio se

lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) existe e

Teorema: As funções principais conhecidas (Polinômios, senos e cossenos,

exponenciais , logaritmos...) são contínuas em todos os pontos do seu domínio,

assim como a composição dessas funções.

Ex.:F(x,y)= sen(x²+y²) é continua em ℝ² pois é formada pela composição seno e

polinômio.

Exemplo:

Calcule os pontos de continuidade da função:

𝑥²𝑦

𝑥4+𝑦² 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)

F(x,y)= 0 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0)

Domínio da Função = ℝ²

Podemos perceber que a função é contínua em todos os pontos diferentes de

(0,0),pois essa função é formada pela composição de dois polinômios. Agora

devemos descobrir se a função também e contínua no ponto (0,0).

Para isso ocorrer, devemos ter que :

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥²𝑦

𝑥4 + 𝑦²= 𝐹 0,0 = 0

Mas, usando a substituição y=mx² temos que:

lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑥²𝑦

𝑥4 + 𝑦²= lim

𝑥 ,𝑦 →(0,0)

𝑚𝑥4

1 + 𝑚2 𝑥4=

𝑚

1 + 𝑚²

lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑎 ,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)

Como temos infinitos sublimites, não existe limite, e portanto a função não é

contínua no ponto (0,0).

Logo, os pontos de continuidade são: ℝ²-(0,0).

Exercícios Recomendados:

1) Diga o valor de a, se possível, de modo que a seguinte função seja contínua na

origem:

F(x,y) = 3𝑥𝑦 ²

𝑥²+𝑦², 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)

𝑎, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0)

2) Calcule lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑥 .𝑠𝑒𝑛 (𝑦)

𝑥²+|𝑦|

3) Calcule os seguintes limites (se existirem):

a) lim 𝑥 ,𝑦 →(1,0) log(1+𝑥2

𝑥2+𝑥𝑦)

b) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑥𝑦4

𝑥2+𝑦8

c) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)𝑦²+𝑥2

𝑥²+𝑦²+1−1

d) lim 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 →(0,0,0)𝑥𝑧+𝑦𝑧

𝑥²+𝑦²+𝑧²

4) (UFRJ-2014.1-Modificada)

Diga se existem os seguintes limites abaixo:

5) (UFRJ-2013.2)

6) (UFRJ-2012.2)

Gabarito:

1- 0 | 2- 0 |3- a) 0 b) ∄ c)2 d) ∄ | 4- Existe.Não existe | 5- a | 6- a) Não b) Não

Bons Estudos!!

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