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Matemática Financeira
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente
UBERLÂNDIA-MG
2013
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente
Matemática Financeira
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
1 INTRODUÇÃO O problema econômico decorre da escassez, ou seja, do fato de que as necessidades das
pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta de bens é limitada. Ao longo do
processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as necessidades
foi solucionado através da especialização e através do processo de trocas que é a moeda.
Assim o preço passou a ser o denominador comum de medida para o valor dos bens e a
moeda um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital.
Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro.
Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse acumulação, o estoque
de bens poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo.
A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus
bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência
temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este
prêmio para que não haja consumo é o juro.
O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a remuneração do
capital aplicado. Isto é, o juro é o pagamento pelo uso de poder aquisitivo por um
determinado período de tempo. Associa-se então o juro à preferência temporal das
pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Nestas condições, a
taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se refere à taxa.
A MF trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, com o
objetivo básico de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída
de $ de caixa em diferentes momentos.
1.1 TAXA DE JUROS A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do
fator capital utilizado durante certo período de tempo.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.)
e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa
unitária.
Taxa Percentual: refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada
centésima parte do capital.
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Exemplo: Capital aplicado de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao
final deste período:
Juro = R$ 1.000,00 x 20 100
Juro = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00
O Capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração
total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.
Taxa Unitária: centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade
de capital em certo período de tempo.
No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20
(20%/100) por unidade de capital aplicada.
Juro = R$ 1.000,00 x 20 100
Juro = R$ 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão
da notação em percentual por 100. Para transformação inversa, basta multiplicar a taxa
unitária por 100.
Exemplos:
Taxa Percentual Taxa Unitária 2,5% 0,025 9% 0,09
26% 0,26 97% 0,97
151% 1,51 1300% 13,0
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a
taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos exercícios estão sempre
indicados pela taxa percentual.
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1.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA A MF se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários ao
longo do tempo.
Estes movimentos são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas
e saídas de caixa definido como Fluxo de Caixa.
A linha horizontal registra a escala do tempo. O ponto zero indica momento inicial, e os
demais pontos representam os períodos de tempo (datas).
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de
dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.
1.3 REGRAS BÁSICAS Nas fórmulas de MF, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.
Se uma aplicação, por exemplo, foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros
definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos.
É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro para o
intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for
considerado mais apropriado para os cálculos.
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem
ser efetuados através das regras de juros simples e de juros compostos.
1.4 CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e
sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Podem-se identificar dois
regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).
Regime de Capitalização Simples – os juros crescem de forma linear ao longo do tempo.
Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação
ou empréstimo), não se registrando juros sobre os saldos acumulados, ou seja, juros
sobre juros.
Entradas de Caixa (+) + + + + +
Saídas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (Tempo)
de Caixa (-) -
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Exemplo: admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos pagando-se a
juros simples á razão de 10% ao ano.
Observe abaixo a evolução desta operação:
Regime de Capitalização Composta – incorpora ao capital somente os juros referentes a
cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.
É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica no qual os juros
incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não
unicamente sobre o capital inicial).
Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de $ 1.000,00 deve ser paga em juros
compostos à taxa de 10% ao ano, têm-se os resultados ilustrados no quadro a seguir:
Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao Crescimento anual
de cada ano para cada ano final de cada ano do saldo devedor
Ínicio do 1º ano - 1.000,00 -Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00 Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00 Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00 Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00 Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00
Ano
Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao
de cada ano para cada ano final de cada ano
Ínicio do 1º ano - 1.000,00 Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00 Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00 Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,10 Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,51
Ano
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2 JUROS SIMPLES
2.1 FÓRMULAS
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:
J = C x i x n
Onde:
J = valor dos juros expressos em unidades monetárias
C = capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária.
n = período de tempo
Esta formula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros
mediante simples dedução algébrica:
C = J i = J n = J
i x n C x n C x i
EXEMPLOS
1- Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre.
Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
C = R$ 80.000,00 J = C x i x n
i = 2,5% ao mês (0,025) J = 80.000,00 x 0,025 x 3
n = 3 meses J = $ 6.000,00
J = ?
2- Um negociante tomou um empréstimo pagando taxa de juros simples de 6% ao mês
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos
juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
C = ?
i = 6% ao mês (0,06)
n = 9 meses
J = R$ 270.000,00
C = j
i x n
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C= 270.000,00 = 270.000,00 = R$ 500.000,00
0,06 x 9 0,54
3- Um capital de R$ 40.000,00 fica aplicado num fundo de poupança por 11 meses,
produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de
juros oferecida por esta operação.
C = R$ 40.000,00
i = ?
n = 11 meses
J = R$ 9.680,00
i = j
C x n
C= 9.680,00 = 9.680,00 = 0,022 ou 2,2% ao mês
40.000,00 x 11 440.000,00
4- Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês
produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcule o
prazo da aplicação.
C = R$ 250.000,00
i = 1,8% ao mês (0,018)
n = ?
J = R$ 27.000,00
n = j
C x i
n = 27.000,00 = 27.000,00 = 6 meses
250.000,00 x 0,018 4.500,00
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Exercícios
1. Qual valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 10.000,00, pelo prazo
de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.875,00.
Determinar a taxa correspondente.
3. Uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $
8.250,00. Qual a taxa anual Correspondente a essa aplicação?
4. Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00,
à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.
5. Qual o capital que, a taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em 12 meses?
6. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 1.000,00 aplicados á uma taxa de
juros de 15% ao ano, durante 12 meses.
2.2 MONTANTE E CAPITAL
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa de juro por determinado tempo,
produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples
por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado
dos juros, isto é:
M = C + J
Sabemos que: J = C x i x n
Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra, e colocando-se C em
evidência:
M = C + C x i x n
M = C (1+ i x n)
Desta maneira, para acharmos o valor de C nesta fórmula, fazemos a seguinte
transformação algébrica:
C = M
(1+ i x n)
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A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor faturo) dos
juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma
data futura, determinando o montante. O Inverso, ou seja, 1/ (1 + i x n) é denominado
de fator de atualização (ou de valor presente). Ao se aplicar o fator sobre um valor
expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual.
1- Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 á taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.
Determinar o valor acumulado ao final deste período.
C = R$ 18.000,00 M = C ( 1 + i x n)
i = 1,5% ao mês (0,015) M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8)
n = 8 meses M = 18.000,00 x 1,12
M = ? M = R$ 20.160,00
2- Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um
desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje.
Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
M = R$ 900.000,00
i = 7% ao mês (0,07)
n = 4 meses
C = ?
C = M
(1+ i x n)
C= 900.000,00 = 900.000,00 = R$ 703.125,00
(1 + 0,07 x 4) 1,28
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Exercícios
1. Calcular o montante de $ 85.000,00 aplicado por 7 meses à taxa linear de 2,5% ao
mês.
2. Uma nota promissória de valor nominal de $ 140.000,00 é resgatada dois meses
antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de
juros simples é de 1,9% ao mês?
3. Se uma pessoa necessitar de $100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela
depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 1% ao mês?
4. Uma pessoa aplicou $ 12.000 numa instituição financeira resgatando, após 7meses,
o montante de $13.008,00. Qual a taxa de juros mensal que o aplicador recebeu?
5. Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime
linear renderá $1.940,00?
6. Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de
aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% a.m., calcular o valor do
montante.
2.3 TAXA PROPORCIONAL E EQUIVALENTE
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que
toda operação envolve dois prazos:
• prazo a que refere-se a taxa de juros
• prazo de capitalização (ocorrência) dos juros
Por exemplo: vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de
24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual.
A seguir deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer
que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos
considerados são coincidentes.
Mas em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. Outro exemplo:
A Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a
qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual
proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de
capitalização: mês.
Mas conforme abordamos anteriormente, é necessário expressar estes prazos
diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para
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o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser
expresso na unidade de tempo da taxa de juros.
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é
processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa
linear ou nominal.
Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação
e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de
capitalização).
Exemplos:
1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente
(ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá
sobre o capital a cada mês será:
Taxa Proporcional = 18% = 1,5% ao mês
12
2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:
a) 60% ao ano
i = 60% x 6 = 30% a. s.
12
b) 9% ao trimestre
i = 9% x 6 = 18% a. s.
3
3) Calcular a taxa anual proporcional a:
a) 6% ao mês
i = 6% x 12 = 72% ao ano
b) 10% ao bimestre
i = 10% x 6 = 60% ao ano.
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital
e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
Por exemplo: em juros simples um capital de R$ 500.000,00, se aplicado pelo prazo de
um ano a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre, produz o mesmo montante linear de juros.
Isto é:
• J (2,5% a.m.) = R$ 500.00,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00
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• J (15% a.s.) = R$ 500.00,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas
como equivalentes.
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas
equivalentes são consideradas a mesma coisa.
Exercícios
1. Calcular a taxa mensal proporcional de:
a) 14,4% ao ano
b) 6,8% ao trimestre
c) 11,4% ao semestre
d) 110,4% ao ano
2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:
a) 120% ao ano
b) 3,2% ao quadrimestre
c) 1,5% ao mês
3. Determinar a taxa de juros anual proporcional à seguintes taxas:
a) 2,5% ao mês
b) 56% ao quadrimestre
c) 12,5% para 5 meses
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS SIMPLES
1) Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00, $ 4.200,00 e $
7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa
de juros simples de mercado é de 4,5% a.m. Determinar o valor da dívida se o
devedor liquidar os pagamentos no dia de hoje.
2) Uma calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições: $ 128,00 de
entrada, $ 192,00 em 30 dias e $ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa
linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à
vista.
3) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e
três meses, produz um montante de $ 600.000,00.
4) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma
taxa de 2% ao mês, no regime de juros simples.
5) Uma loja oferece um computador por $3.000,00 a vista ou por 20% do valor a vista
como entrada e mais um pagamento de $ 2.760,00 após 6 meses. Qual a taxa mensal
de juros cobrada?
6) Uma pessoa contrai um empréstimo de $ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês.
Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante de $ 92.325,00 e
contrai nova dívida no valor de $40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais
baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de
$49.600,00.
Calcule:
a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos.
b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.
7) João emprestou $20.000,00 de Carlos para paga-los após 2 anos. A taxa ajustada foi
de 30% a.a. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da
dívida João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a.?
8) Se tenho um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui 2 anos
e a taxa de juros correntes é de 28%a.a., qual é o valor atual deste título nas
seguintes condições:
a) Hoje.
b) daqui um ano.
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c) 4 meses antes do seu vencimento.
9) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um
empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?
10) Uma aplicação de $ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros
simples de 26% a.a. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de
18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?
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3 JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são
acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Esse
montante, por sua vez passará render juros no período seguinte formando um novo
montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros
formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Esse processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples,
onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros
formados em períodos anteriores.
3.1 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros
periodicamente.
Aqui usaremos as siglas PV (Valor Presente), que corresponde ao Capital estudado em
Juros Simples, e FV (Valor Futuro) correspondente ao Montante.
Fórmulas:
FV= PV (1 + i)n e PV= FV
(1 + i)n
onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros compostos, e 1/(1 +
i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros compostos.
Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença
entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela
seguinte expressão:
J = FV – PV
Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se PV em evidência:
J = PV [(1 + i)n - 1]
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EXEMPLOS
1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela
depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao
mês?
FV = $ 27.500,00
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% a.m.
PV = ?
Utilizando a HP-12C:
27500 CHS FV
1,7 i
12 n
PV
22.463,70
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de
8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
PV = $ 12.000,00
n = 8 meses
i = 3,5% a.m.
FV = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = 12.000,00 (1 + 0,035)8
FV = 12.000,00 x 1,316809 = $15.801,71
PV= FV
(1 + i)n
PV= 27.500,00 = 27.500,00
(1 + 0,017)12 (1,017)12
PV= 27.500,00 = $ 22.463,70
1,224197
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Utilizando a HP-12C:
12000 CHS PV
3,5 i
8 n
FV
15.801,71
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que
produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre.
PV = $40.000,00
FV = $43.894,63
n = 4 meses
i = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = (1 + i)n
PV
43.894,63 = (1 + i)4
40.000,00
1,097366 = (1 + i) 4 1,097366 = (1 + i) 4
1 + i = 1,0235 i = 0,0235 ou 2,35% a.m.
Utilizando a HP-12C:
40000 CHS PV
43894,63 FV
4 n
i
2,35%
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4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, á taxa composta de
juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o
prazo da operação.
PV = 22.000,00
FV = 26.596,40
i = 2,4% a.m.
n = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = (1 + i)n
PV
26.596,40 = (1,024)n
22.000,00
1,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos, tem-se:
log 1,208927273 = n x log 1,024
n = log 1,208927273 = 0,189733415
log 1,024 0,023716527
n = 8 meses
Utilizando a HP-12C:
220000 CHS PV
26.596,40 FV
2,4 i
n
8
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19
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à
taxa composta de 4,5% ao mês.
J =?
PV = 88.000,00
n = 5 meses
i = 4,5% a.m.
J = PV [(1 + i) n – 1]
J = 88.000 [(1,045) 5 – 1]
J = 88.000 (0,246182) = $ 21.664,02
Exercícios
1. Determinar o Valor Futuro, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um
capital de $ 100.000,00, à taxa de 3,75% ao mês.
2. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de 58.000,00
daqui a 12 trimestres, quanto deverá aplicar neste título?
3. Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de
$500.000.
4. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 que produz um
montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses.
5. Calcular o juro de uma aplicação de $300.000 nas seguintes condições de prazo e
taxa, i = 2,5% a.m. e n = 1 semestre.
3.2 TAXAS EQUIVALENTES
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa
proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas
proporcionais.
São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo
capital ao final de certo período de tempo.
Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em
qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.
n = 3 meses
FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00
FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00
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O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros
compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros.
Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a taxa equivalente:
i quero = [(1 + i)quero/tenho – 1] x 100
Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes:
i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100
i anual = [(1,02)12 – 1] x 100
i anual = [1,2682 – 1] x 100
i anual = 0,2682 x 100
i anual = 26,82%
Utilizando a HP-12C:
1,02 enter
360 (quero) enter
30 (tenho) divide
y x
1 –
100 x
Exercícios
1. Capitalizar as seguintes taxas:
a) 2,3% ao mês para um ano
b) 0,14% ao dia para 23 dias
c) 7,45% ao trimestre para um ano
d) 6,75% ao semestre para um ano
e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano
f) 1,8% ao mês para um trimestre
2. Calcular a taxa composta a 34% ao ano para os seguintes prazos:
a) 1 mês
b) 1 quadrimestre
c) 1 semestre
d) 5 meses
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2.3 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos relativos a operações
financeiras. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida.
Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em
termos anuais. Assim, por exemplo:
• 12% ao ano, com capitalização mensal;
• 24% ao ano, com capitalização semestral;
• 10% ao ano, com capitalização trimestral;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente;
A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios.
Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao
ganho/custo financeiro do negócio.
TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita,
que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. E essa taxa é
sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas
nominais são:
• 12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m.
• 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s.
• 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% ao trimestre
• 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos
financeiros, no regime de juros compostos.
A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal
que lhe deu origem, pois esta equivalência é sempre feita no regime de juros compostos.
Fórmula Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1
• 12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a.
• 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a.
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• 10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a.
• 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.
Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal a
base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.
Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 = (1 + 0,06/12)12 –1 = (1,005)12 = 6,17% a.a.
Exercícios
1- Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o
custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
a) mensal
b) trimestral
c) semestral
1- Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual:
a) 9% a.a. capitalizados mensalmente
b) 14% a.a. capitalizados trimestralmente
c) 15% a.a. capitalizados semestralmente
d) 12% a.a. capitalizados anualmente
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS COMPOSTOS
1) Um sítio é posto a venda por $50.000,00 de entrada e $100.000,00 em 1 ano. Como
opção o vendedor pede $124.000,00 á vista. Se a taxa de juros de mercado é de
2,5% a.m., qual a melhor alternativa?
2) Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000 que será liquidado, de uma só
vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre,
calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.
3) Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a $ 500,00 rende juros de
15% ao ano. Sendo seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate.
4) Admita que uma pessoa irá necessitar de $33.000,00 em 11 meses e $47.000,00 em
14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de investimento que
oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 17% a.a.?
5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de
$820.000 no final de 1 ano e três meses. Calcular o valor dos juros.
6) Um investidor aplicou a quantia de R$150.000,00 em um título de renda fixa
resgatável no final do prazo de 12 meses. A taxa de juros composta aplicada ao título é 4% ao mês. O valor de resgate do título no final do 12º mês é: a) R$ 222.000,00. b) R$ 240.154,83. c) R$ 294.230,77. d) R$ 306.000,00.
7) Uma dívida apresenta as seguintes condições de pagamento: $ 6.200,00 vencíveis
em certa data e $ 9.600,00 vencíveis 4 meses após. O devedor propõe uma
renegociação da dívida nas seguintes condições: $3.000,00 após 3 meses do
vencimento do primeiro pagamento original; $4.500,00 daí a 3 meses e o restante 5
meses depois deste último pagamento. Para uma taxa efetiva de juros de 2,9% a.m.,
calcular o saldo a pagar.
8) Capitalizar as seguintes taxas:
a) 2,3% ao mês para um semestre
b) 0,19% ao dia para um trimestre
c) 7,45% ao trimestre para um mês
9) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 que produz um
montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses.
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10) Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de
$500.000.
4 DESCONTOS
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título
em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da
operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto
pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor
atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento.
Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto,
sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples
como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em
operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de
longo prazo.
4.1 DESCONTO SIMPLES
4.1.1 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um
compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal.
Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro)
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)
n: Número de períodos antes do vencimento
i: Taxa de desconto
Dr: Valor do desconto
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Temos: Vr = N
1 + i x n
Tem-se: Dr = N – Vr
Dr = N - N Dr = N (1+ i x n) – N
1 + i x n 1 + i x n
Dr = N x i x n
1 + i x n
Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um
dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n).
O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou Valor
Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n:
Dr = C x i x n
Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o Valor
Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente.
O valor descontado de acordo com a definição, é dado por:
Vr = N – Dr
Vr = N - N x i x n
Dr = N (1+ i x n) – N x i x n
1 + i x n 1 + i x n
Vr = N
1 + i x n
OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR DESCONTADO É O
PRÓPRIO VALOR ATUAL.
Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e
quanto vai obter?
Temos: N = 5.500,00
n = 3 meses
i = 40% a.a. / 3,3333% a.m.
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Calcular:
a) O desconto:
Dr = N x i x n
1 + i x n
Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3 5.500,00 x 0,10 550,00
1 + 0,033 x 3 1 + 0,10 1,10
Dr = $ 500,00
b) Valor Descontado
Vr = 5.500,00 – 500,00 = $ 5.000,00
ou
Vr = N 5.500,00 5.500,00 $ 5.000,00
1 + i x n 1 + 0,10 1,10
Exercícios
1. Determinar o desconto racional das hipóteses seguintes:
a) Valor Nominal: $ 10.000,00 / Taxa: 23% a.a. / Prazo: 3 meses
b) Valor Nominal: $ 7.500,00 / Taxa: 29% a.a. / Prazo: 100 dias
2. Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos:
a) Valor Nominal: $ 20.000,00 / Taxa: 15,9% a.a. / Prazo: 50 dias
b) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 21% a.a. / Prazo: 125 dias
3. Quanto devo pagar por um título no valor nominal de $ 15.000,00 com vencimento
em 150 dias se quero ganhar 36% a.a.?
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4.1.2 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” É aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valo nominal do
compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.
Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre
o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o
critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao
tomador de recursos.
Dc: desconto comercial
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:
Dc = N x i x n
E o valor descontado comercial:
Vc = N – Dc Vc = N - N x i x n
Vc = N (1 – i x n)
Exemplo: Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00
é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento.
a) Desconto Comercial
Dc = N x i x n
Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00
b) Valor Descontado Comercial
Vc = N (1 – i x n)
Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3)
Vc = 5.500,00 x 0,9
Vc = $ 4.950,00
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $
5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto
utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante.
Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3
meses, a taxa de juros da operação é:
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i = 550,00 = 0,111 ao trimestre
4.950,00
ou i = 0,044 ao ano
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de
desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.
EXERCÍCIOS
1. Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes:
a) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 37% a.a. / Prazo: 250 dias
b) Valor Nominal: $ 18.000,00 / Taxa: 35% a.a. / Prazo: 3 meses
2. Se o desconto comercial for de $ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a taxa
considerada for de 27% a.a. e o prazo de antecedência 100 dias?
3. Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa de
26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu
valor nominal ?
4. O valor atual de um título é de $ 23.600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a.
e o prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: Qual o desconto comercial?
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DESCONTO SIMPLES
1. Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à
taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual
racional recebido foi de $ 1.921,95?
2. Valor nominal de uma promissória com vencimento em 15/11/2003 é de $ 2.700,00.
Se o dinheiro valer 36% a.a. e a promissória for saldada dia 19/08/2003, de quanto
será o desconto por dentro obtido? Qual o valor atual?
3. Se a taxa de juros corrente for de 30% a.a., qual será o valor atual comercial se o
desconto de um título no valor de $ 18.000,00 ocorrer 90 dias antes de seu
vencimento?
5 FLUXO DE CAIXA (ANUIDADES) Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se
estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.
É bastante comum, na prática defrontar-se com operações financeiras que se
representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de
diferentes tipos costumam envolver uma seqüência de desembolsos periódicos de caixa.
De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamento/recebimentos de aluguéis, de
prestações oriundas de compras a prazo, etc.
Existem dois modelos de fluxo de caixa:
• Uniforme – que representa uma característica de formação - padrão. É entendido
como o modelo - padrão de uma sucessão de pagamentos e recebimentos.
• Não - convencionais
Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo para as
demais variáveis empregadas a mesma simbologia adotada anteriormente (PV, FV, n, i).
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5.1 UNIFORME (MODELO – PADRÃO) Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos exigindo cada
um deles um tratamento específico em termos de formulações.
Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base nas seguintes
Classificações:
Postecipados
1. Período de Ocorrência Antecipados
Diferidos
2. Periodicidade Periódicos
Não periódicos
3. Duração Limitados (Finitos)
Indeterminados (Indefinidos)
4. Valores Constantes
Variáveis
O modelo – padrão de um fluxo de caixa, é verificado quando os termos de uma
sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes
classificações:
a) Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a
ocorrer ao final do primeiro pagamento.
b) Limitados: o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o
número de termos (pagamentos e recebimentos).
c) Constantes – indica que os valores dos termos que compõe o fluxo de caixa são
iguais entre si.
d) Periódicos: é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si.
Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante.
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da forma seguinte:
PV PMT
0 n (tempo)1 2 3 n - 1
PMT PMT PMTPMT
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5.1.1 VALOR PRESENTE
O Valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme discutido no item
precedente, para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório de valores
presentes de cada um de seus valores.
Reportando-se à representação gráfica do fluxo - padrão apresentado, tem-se:
Logo:
PV = PMT + PMT + PMT + ......... PMT + PMT
(1+i) (1+1)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n
Fórmula Valor Presente Fluxo de Caixa Uniforme:
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n
i
Exemplo: Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e
consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço
compensa adquirir o bem à vista?
PMT = $ 4.000,00
i = 2,6% a.m.
n = 7
PV = ?
PV = PMT x 1 – (1+i) –n 4.000,00 x 1 – (1,026)-7
i 0,026
PV = 4.000,00 x 6,325294 = $ 25.301,17
PMTPV
0 n (tempo)
PMT PMT PMT PMT
1 2 3 n - 1
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Utilizando a HP-12C:
4000 CHS PMT
2,6 i
7 n
PV
25.301,17
5.1.2 VALOR FUTURO
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de
cada um dos termos da série de pagamentos/recebimentos. Graficamente tem-se a
seguinte representação:
O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa.
Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão:
FV = PMT + PMT x (1+i) + PMT x (1+i)2 + PMT x (1+i)3 +...+ PMT x (1+i)n-1
Fórmula Valor Futuro (Montante) de um Fluxo de Caixa uniforme
FV = PMT x (1 + i)n -1
i
PMT
FV
0 n (tempo)1 2 3 n - 1
PMT PMT PMT PMT
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Exemplo: Calcular o Valor Futuro (montante) acumulado ao final do 7º mês de uma
seqüência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta
de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.
n = 7
i = 2,1% a.m.
PMT = $800,00
FV = ?
FV = PMT x (1+i)n -1 800,00 x (1,021)7 - 1
i 0,021
FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41
Utilizando a HP-12C:
800 CHS PMT
2,1 i
7 n
FV
5.965,41
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Exercícios
1. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente $100,00, conforme
prazos e taxas a seguir:
a) 24 meses – 1% a.m.
b) 10 trimestres – 15% a.t.
c) 20 semestres – 20% a.s.
2. Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de $
500,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% a.m., até que
preço vale a pena comprar o terreno à vista?
3. Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $
10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos:
a) Taxa Juros: 2,5% a.m. / Prazo: 12 meses
b) Taxa Juros: 3% a.m. / Prazo: 12 meses
4. Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por R$ 250.000,00 a vista ou em
4 prestações trimestrais de $ 77.600,00. Qual a melhor opção de compra, uma vez
que a taxa de juros correntes é de 10% a.t.
5. Um sítio é posto a venda por $ 300.000,00 a vista, ou a prazo nas seguintes
condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% a.m. Qual o valor
das prestações?
6. Uma loja de eletrodomésticos oferece o seguinte plano na venda de um refrigerador:
a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55
b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01
Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual a melhor alternativa?
7. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua sistemática no
financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte:
1,2% x 12 meses = 14,4% a.a.
10.000 x (1,144) = $ 11.440,00
11.440 : 12 = $ 953,33
Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de $ 953,33. A taxa de juros é realmente de
1,2% a.m.? Se não for, qual seria então o valor da prestação nesta taxa?
8. Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 será pago um título de um clube de
campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% a.m.?
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35
9. Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se
processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00. Considerar que a instituição
paga 2,5% a.m. sobre o saldo credor.
10. Certo executivo, pretendendo viajar durante 12 meses, resolve fazer 6 depósitos
mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais
de $ 20.000,00, durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá 1 mês
após o último depósito. Se a financeira paga 3% a.m., de quanto devem ser os
depósitos?
11. Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina.
As seguintes opções estão sendo analisadas: Opção 1 Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da liberação do empréstimo. Opção 2 Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra. Com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que: a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$69.350,93. b) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$68.000,00. c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$70.747,20. d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao BancoX é igual a R$70.666,67.
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36
5.2 NÃO CONVENCIONAIS
PERÍODO DE OCORRÊNCIA
� Diferimento (Carência)
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro
período, conforme ilustrado no gráfico.
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro
período.
A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação
desenvolvida do modelo – padrão. Deve ser ressaltado que nesse caso n representa o
número de termos da série, e não o seu prazo total.
A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser
expresso na data zero, ou seja:
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n x ( 1+i) -c
i
Exemplo:
Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número
de termos igual a 7 (n = 7), e a carência de 2 períodos ( c = 2).
Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados:
0 1 n (tempo)
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
2 3 4 5 6 7
Carência
0 1 9 (tempo)
100,00
8
Carência ( C=2)
100,00 100,00 100,00
2 3 4 5 6 7
100,00 100,00100,00
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Valor Presente:
PV = 100,00 x 1 – (1,022)-7 x (1,022) –2
0,022
PV = 100 x 6,4225 x 0,957410 = $614,90
Valor Futuro:
FV = 100,00 x (1,022)7 – 1
0,022
FV = 100,00 x 7.4793 = $747,93
VALORES
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes, se os fluxos de
caixa apresentarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais
entre si.
Para os fluxos não - convencionais, os valores de caixa apresentam-se desiguais e
portanto seu valor presente calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de
seus termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos montantes
de cada um dos termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a data futura.
Por exemplo: admita o seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros de 4% a.a.,
durante 5 anos:
Valor Presente:
PV = 80,00 + 126,00 + 194,00 + 340,00 + 570,00
(1,04) (1,04)² (1,04)3 (1,04)4 (1,04)5
PV = 76,92 + 116,49 + 172,46 + 290,63 + 468,50
PV = $ 1.125,00
570,00
0 1 5 (tempo)2 3 4
80,00 126,00 194,00 340,00
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Valor Futuro:
FV = 570,00 + 340,00(1,04) + 194,00(1,04)² + 126,00(1,04)3 + 80,00(1,04)4
FV = 570,00 + 353,60 + 209,83 + 141,73 + 93,59
FV = $1.368,80
ou FV = 1.125,00 x (1,04)5 = $1.368,80
Na HP 12c – Valor Presente
0 g Cfo
80 g Cfj
126 gCfj
194 gCfj
340gCfj
570 gCfj
4 i
f PV
1.125,01
Na HP 12c – Valor Futuro
1.125,01 CHS PV
4 i
5 n
FV
1.368,75
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39
PERIODICIDADE
� Não periódicos
Se os termos se verificarem em intervalos irregulares (diferentes entre si), tem–se o que
se denomina de fluxos de caixa não - periódicos.
O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico, onde os valores não se
verificam uniformemente em termos de periodicidade.
Tanto o calculo do valor presente, como do valor futuro, devem ser processados,
respectivamente, pela somatória da atualização e capitalização de cada um dos termos.
Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico:
Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se:
Valor Presente:
PV = 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00
(1,019)³ (1,019)4 (1,019)8 (1,019)10
PV = 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 +
82,84
PV = 456,12
Valor Futuro:
FV = 100,00 + 100,00(1,019)2 + 100,00(1,019)6 + 100,00(1,019)7 + 100,00(1,019)10
FV = 100,00 + 103,84 + 119,96 + 114,08 + 120,71
FV = $550,58
ou FV = 456,12 x (1,019)10 = $550,58
0 1 10 (tempo)6
3 períodos 2 períodos 4 períodos
4
PMT PMT PMT 100,00
0 10
100,00100,00
3 4 8
100,00100,00 100,00
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Na HP 12c – Valor Presente
100 g Cfo
0 g Cfj
2 gNj
100gCfj
100 gCfj
0 gCfj
3 gNj
100 g Cfj
0 gCfj
100 g Cfj
1,9 i
f PV
456,12
Na HP 12c – Valor Futuro
456,12 CHS PV
1,9 i
10 n
FV
550,58
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EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
1- Um financiamento no valor de $ 6.800,00 é concedido para pagamento em 10
prestações mensais e iguais com 2 meses de carência. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de
juros, calcular o valor de cada pagamento mensal.
2- Em um anúncio de uma loja de vendas a crédito informa-se que, pela compra de
certo televisor, o cliente pagará 12 prestações mensais de $ 119,96, vencendo a primeira
prestação no fim do 6º mês. Qual será o preço a vista deste aparelho, se a taxa de juros
for de 3% a.m.?
3- De quanto deve ser a prestação mensal de um eletrodoméstico, cujo preço a vista é
de R$ 5.000,00, se a primeira prestação ocorrer 3 meses após a compra? Considerar a
taxa de 2% a.m. e um total de 22 prestações.
4- Pedro vende a seu amigo um carro usado, permitindo que este lhe pague conforme
puder no prazo de uma ano, sendo cobrados juros de 1% a.m. sobre o saldo devedor.
João recebe os seguintes pagamentos: $5.000,00 de entrada, $4.000,00 a 1 mês,
$6.000,00 a 2 meses, $1.000,00 a 3 meses e $3.000,00 a 4 meses. Qual é o valor do
carro a vista, uma vez que todos estes pagamentos saldaram toda a dívida?
5- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de
juros de 2,9% ao mês: 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $
4.200,00, $ 5.300,00, $ 7.700,00, $ 10.900,00 e $ 15.000,00.
6- Em uma instituição que paga 2,5% a.m. foram feitos 6 depósitos mensais, que pela
ordem cronológica foram: $ 300,00, $ 100,00, $ 50,00, $ 500,00, $200,00 e $ 400,00.
Qual o montante após o último depósito?
7- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de
juros de 2,9% ao mês: 6 prestações iguais de $ 1.200,00 cada, com vencimentos,
respectivamente, no 3º mês, 7º mês, 11º mês, 25º mês, 28º mês e 33º mês
8- Um terreno é vendido mediante entrada de $ 10.000,00 e 3 parcelas, sendo a primeira
de $ 2.000,00 para 3 meses, a Segunda de $ 6.000,00 para 8 meses e a última de $
20.000,00 para 12 meses. Sabendo-se que a taxa vigente no mercado é de 35% a.a., qual
o preço a vista do terreno?
9- Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga 2% a.m. sobre o
saldo credor, depositando $15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira
$7.000,00. Nos dois meses seguintes, deposita, sendo $1.000,00 no primeiro e
$2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o correntista efetua um saque
de $5.000,00. Qual é o saldo desta conta, um ano após sua abertura?
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10- Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara nas seguintes
condições:
$ 20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de $ 1.000,00 e, após estas,
mais 6 parcelas semestrais de $ 4.000,00
Qual o preço a vista da chácara, uma vez que a taxa de mercado é de 3% ao mês?
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6 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Os Sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do
principal e encargos financeiros.
Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona
dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência. Na carência,
não há pagamento do principal, sendo amortizado somente os juros.
6.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da
forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do
capital.
Vamos definir os principais termos empregados nas operações de empréstimos e
financiamento.
Encargos (Despesas) Financeiros – representam os juros da operação, caracterizando-
se como custo para o devedor e retorno para o credor.
Amortização – a amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal
(capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas.
Saldo devedor – representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.
Prestação – é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos
em determinado período de tempo. Assim:
Prestação = Amortização + Encargos financeiros
Carência – corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o
pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, portanto, o tomador
do empréstimo só paga os juros. É possível também que as partes concordem em que os
juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente. Neste
caso, não haverá desembolso de juros durante a carência.
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44
6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem como
característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes)
em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a
divisão do capital emprestado pelo número de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.
Admita que um empréstimo de $100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5
anos, em 10 prestações semestrais e taxa de 30% a.a. . Desconsiderando inicialmente a
existência de um prazo de carência, pode-se elaborar a seguinte planilha financeira para
a operação de empréstimo.
Conforme foi comentado, o SAC determina que a restituição do principal (capital
emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização,
devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o principal ($100.000,00)
e o número fixado de prestações (10 semestres), ou seja:
Amortização = Valor do Empréstimo = $100.000,00 = $10.000,00/semestre
nº de prestações 10
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam
valores aritmeticamente decrescentes. Para o final do primeiro semestre, os encargos
financeiros somam: 14,0175% x 100.000,00 = $14.017,50; para o final do segundo
semestre: 14,0175% x 90.000,00 = $12.615,75 e assim por diante.
Somando-se, para cada período, o valor da amortização do principal com os respectivos
encargos financeiros , tem-se o valor da prestação semestral do financiamento. Assim,
para o primeiro semestre a prestação atinge:$10.000,00 + $14.017,50 = $24.017,50;
P eríodo S aldo A m ort iz aç ão Juros P res taç ãoS em es tres Devedor
0 $100.000,001 $90.000,00 $10.000,00 $14.017,50 $24.017,502 $80.000,00 $10.000,00 $12.615,75 $22.615,753 $70.000,00 $10.000,00 $11.214,00 $21.214,004 $60.000,00 $10.000,00 $9.812,25 $19.812,255 $50.000,00 $10.000,00 $8.410,50 $18.410,506 $40.000,00 $10.000,00 $7.008,75 $17.008,757 $30.000,00 $10.000,00 $5.607,00 $15.607,008 $20.000,00 $10.000,00 $4.205,25 $14.205,259 $10.000,00 $10.000,00 $2.803,50 $12.803,50
10 $0,00 $10.000,00 $1.401,75 $11.401,75To ta l $100.000,00 $77.096,25 $177.096,25
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para o segundo semestre: $10.000,00 + $12.615,75 = $22.615,75; e assim
sucessivamente.
6.1.1 SAC com Carência
Conforme foi comentado, a ilustração desenvolvida não previu a existência de prazo de
carência para a amortização do empréstimo. Ao se supor uma carência de 2 anos
(contada a partir do final do primeiro semestre), podemos ter a seguinte situação:
Aqui os juros são pagos durante a carência estipulada. Assim, ao final dos quatro
primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros,
atinge $14.017,50, ou seja, 14,0175% x $100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo
sido encerrada a carência de 2 anos (4 semestres), inicia-se a amortização (devolução)
do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante,
idêntico ao desenvolvido anteriormente.
6.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF)
O sistema de Amortização Francês (SAF), amplamente adotado no mercado financeiro
do Brasil, estipula, que ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais,
periódicas e sucessivas.
Equivalem, em outras palavras, ao modelo - padrão de fluxos de caixa.
P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã oS e m e s t res D e ved o r
0 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 2 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 3 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 4 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 5 9 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 2 4 .0 1 7 ,5 0 6 8 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 2 .6 1 5 ,7 5 2 2 .6 1 5 ,7 5 7 7 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 1 .2 1 4 ,0 0 2 1 .2 1 4 ,0 0 8 6 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 9 .8 1 2 ,2 5 1 9 .8 1 2 ,2 5 9 5 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 8 .4 1 0 ,5 0 1 8 .4 1 0 ,5 0
1 0 4 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 7 .0 0 8 ,7 5 1 7 .0 0 8 ,7 5 1 1 3 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 5 .6 0 7 ,0 0 1 5 .6 0 7 ,0 0 1 2 2 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 4 .2 0 5 ,2 5 1 4 .2 0 5 ,2 5 1 3 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 2 .8 0 3 ,5 0 1 2 .8 0 3 ,5 0 1 4 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 .4 0 1 ,7 5 1 1 .4 0 1 ,7 5
T o ta l 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 1 3 3 .1 6 6 ,2 5 2 3 3 .1 6 6 ,2 5
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Os juros por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de
amortização assumem valores crescentes. A soma destas parcelas permanece sempre
igual ao valor da prestação.
Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema francês, vamos
considerar o exemplo proposto anteriormente. O quadro a seguir, identifica a planilha
financeira deste sistema, a qual é mais bem elaborada partindo-se da última coluna para
a primeira. Isto é, calcula-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada
período, os juros e, por diferença, as parcelas de amortização e o respectivo saldo
devedor.
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação a fórmula de valor presente
do modelo-padrão:
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n
i
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:
100.000,00 = PMT x 1 – (1,140175)-10
0,140175
100.000,00 = PMT x 5,212555
PMT = 100.0000,00 = $19.184,45/semestre
5,212555
P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã oS e m e s t res D e ved o r
0 $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 01 $ 9 4 .8 3 3 ,0 5 $ 5 .1 6 6 ,9 5 $ 1 4 .0 1 7 ,5 0 $ 1 9 .1 8 4 ,4 52 $ 8 8 .9 4 1 ,8 2 $ 5 .8 9 1 ,2 3 $ 1 3 .2 9 3 ,2 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 53 $ 8 2 .2 2 4 ,8 0 $ 6 .7 1 7 ,0 3 $ 1 2 .4 6 7 ,4 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 54 $ 7 4 .5 6 6 ,2 1 $ 7 .6 5 8 ,5 9 $ 1 1 .5 2 5 ,8 6 $ 1 9 .1 8 4 ,4 55 $ 6 5 .8 3 4 ,0 8 $ 8 .7 3 2 ,1 3 $ 1 0 .4 5 2 ,3 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 56 $ 5 5 .8 7 7 ,9 2 $ 9 .9 5 6 ,1 6 $ 9 .2 2 8 ,2 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 57 $ 4 4 .5 2 6 ,1 6 $ 1 1 .3 5 1 ,7 6 $ 7 .8 3 2 ,6 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 58 $ 3 1 .5 8 3 ,1 6 $ 1 2 .9 4 3 ,0 0 $ 6 .2 4 1 ,4 5 $ 1 9 .1 8 4 ,4 59 $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 1 4 .7 5 7 ,2 8 $ 4 .4 2 7 ,1 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
1 0 ($ 0 ,0 0 ) $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 2 .3 5 8 ,5 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5T o ta l $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 $ 9 1 .8 4 4 ,4 9 $ 1 9 1 .8 4 4 ,4 9
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Os demais valores da planilha são mensurados de forma seqüencial em cada um dos
períodos. Assim, para o primeiro semestre, tem-se:
• Juros (calculado sobre o saldo devedor imediatamente anterior):
14,0175% x $100.000,00 = $14.017,50
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos juros
acumulados para o período):
$19.184,45 - $14.017,50 = $5.166,95
• Saldo devedor (Saldo anterior no momento zero – Parcela de amortização do
semestre):
$100.000,00 - $5.166,95 = $94.833,05
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:
• Juros: 14,0175% x 94.833,05 = $13.293,22
• Amortização: $19.184,45 - $13.293,22 = $5.891,23
• Saldo Devedor: $94.833,05 - $5.891,23 = $88.941,82
e assim por diante.
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6.2.1 SAF (Com carência)
Identicamente aos demais sistemas, no SAF podem verificar-se períodos de carência,
nos quais os encargos financeiros são pagos durante a carência.
O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no período, conforme ilustrado
no quadro acima, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência),
diferenciando-se unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres (carência).
Nestes períodos estão previstos somente pagamentos de $14.017,50 referentes aos juros
do principal não amortizado (14,0175% x $100.000,00). Para os demais semestres, o
raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores
constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes.
Período Saldo Amortização Juros PrestaçãoSemestres Devedor
0 $100.000,00 $0,001 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,502 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,503 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,504 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,505 $94.833,05 $5.166,95 $14.017,50 $19.184,456 $88.941,82 $5.891,23 $13.293,22 $19.184,457 $82.224,80 $6.717,03 $12.467,42 $19.184,458 $74.566,21 $7.658,59 $11.525,86 $19.184,459 $65.834,08 $8.732,13 $10.452,32 $19.184,45
10 $55.877,92 $9.956,16 $9.228,29 $19.184,4511 $44.526,16 $11.351,76 $7.832,69 $19.184,4512 $31.583,16 $12.943,00 $6.241,45 $19.184,4513 $16.825,88 $14.757,28 $4.427,17 $19.184,4514 ($0,00) $16.825,88 $2.358,57 $19.184,45
Total 100.000,00 147.914,49 247.914,49
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49
Exercícios
1) Um empréstimo no valor de $420.000,00 foi concedido a uma empresa nas
seguintes condições:
• Taxa de juros: 5% a.t.
• Amortização: pagamentos trimestrais
• Prazo de Amortização: 3 anos.
Pede-se: elaborar a planilha financeira para amortização pelo sistema SAC.
a) Sem carência
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
TOTAL
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50
b) Com carência de 2 trimestres
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51
2) Com base no exercício número 1, monte uma planilha financeira usando o sistema
de amortização francês, admitindo que:
a) Sem carência
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52
b) Com carência de 2 trimestres
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53
3) Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para ser liquidado em 8
pagamentos mensais pelo sistema SAC. A operação é realizada com uma carência de 3
meses, sendo somente os juros pagos neste período. Para uma taxa efetiva de juros de
2,5% ao mês, elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento.
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54
4) Um equipamento no valor de $1.200.000,00 está sendo financiado por um banco
pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações
anuais são efetuadas pelo sistema francês. O banco concede ainda uma carência de 2
anos para início dos pagamentos, sendo os juros cobrados neste intervalo de tempo.
Elaborar a planilha financeira deste empréstimo.