Apostila Mec Flu -2008

Fenmenos de Transporte

Prof a. Mara Nilza Estanislau Reis 1 semestre 2008

Fenmenos de Transporte 01/2008

Disciplina: Fenmenos de Transporte Cursos: Prof a.: Engenharia de Controle e Automao Engenharia Eltrica Mara Nilza Estanislau Reis 1 semestre 2008

Objetivos:Aprender os princpios bsicos da Mecnica dos Fluidos e da Transferncia de Calor; Analisar as distribuies de presso em fluidos em repouso; Analisar as distribuies de fora em corpos e superfcies submersas; Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; Analisar as maneiras atravs das quais o calor transmitido.

Ementa:Mecnica dos Fluidos: Propriedades Fsicas; Equaes Gerais da Esttica, Cinemtica e Dinmica dos Fluidos; Clculos de Presses Hidrostticas, de Foras sobre Superfcies Submersas e de Perda de Carga; Medio de Viscosidade, Presso e Velocidade. Transferncia de Calor: Conduo, Conveco, Radiao, Aplicaes. Transferncia de Massa: Difuso, Coeficiente de Transferncia de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicaes.

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ndice1. Introduo a Mecnica dos Fluidos.................................................................. 1.1. Definio............................................................................................. 1.2. Objetivo............................................................................................... 1.3. Aplicao............................................................................................. 2. Definio de um Fluido..................................................................................... 2.1. Introduo........................................................................................... 2.2. A Hiptese do Contnuo...................................................................... 2.3. Princpio da Aderncia........................................................................ 3. Mtodos de Anlise........................................................................................... 3.1. Sistema................................................................................................ 3.2. Volume de Controle............................................................................ 4. Dimenses e Unidades...................................................................................... 4.1. Introduo............................................................................................ 4.2. Sistemas de Dimenses....................................................................... 4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 5. Propriedades Fsicas dos Fluidos...................................................................... 5.1. Peso Especfico.................................................................................... 5.2. Volume Especfico.............................................................................. 5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 5.4. Massa Especfica ou Densidade Absoluta........................................... 5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico.................................................. 5.5.1. Condies Isotrmicas............................................................. 5.5.2. Condies Adiabticas............................................................ 5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 6. Campo de Velocidade....................................................................................... 7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 7.1. Regime Permanente............................................................................. 7.2. Regime Transiente............................................................................... 7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 12 12 12 12 12 12 13 13 14 14 14 14 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 19 19 20 21 21 21 21 21 21

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8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 8.3. Linhas de Tempo, Trajetrias, Linhas de Emisso e Corrente............ 8.4. Campos de Tenso............................................................................... 9. Viscosidade....................................................................................................... 9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()............................................. 9.2. Viscosidade Cinemtica: ()............................................................... 9.3. Nmero de Reynolds: (Re) ................................................................. 9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 10. Presso............................................................................................................ 10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 11. Fluidoesttica.................................................................................................. 11.1. A Equao Bsica da Esttica dos Fluidos........................................ 11.2. Presso Manomtrica........................................................................ 11.3. Presso Absoluta............................................................................... 11.4. O Barmetro de Mercrio................................................................. 11.5. Aplicao para a Manometria............................................................ 11.6. Tipos de Manmetros........................................................................ 11.6.1. Manmetros de lquido.......................................................... 11.6.2. Manmetros metlicos.......................................................... 12. Equilbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 12.1. Princpio de Arquimedes................................................................... 13. Fluidodinmica................................................................................................ 13.1. Sistema.............................................................................................. 13.2. Volume de Controle.......................................................................... 13.3. A Relao Entre as Derivadas do Sistema e a Formulao Para Volume de Controle................................................................................... 13.4. Equao da Continuidade (de Conservao da Massa) Para um Volume de Controle Arbitrrio.................................................................. 13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 13.4.2. Vazo Mssica e Vazo Volumtrica.................................... 13.5. 1a Lei da Termodinmica Aplicada ao Volume de Controle............. 13.6. Equao de Bernoulli........................................................................ 13.6.1. A Equao de Bernoulli Para Fluidos Ideais.........................

22 23 26 27 27 29 29 30 32 34 34 35 37 38 38 39 41 41 43 43 44 47 47 48 48 49 50 51 53 55 57

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13.6.1.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli...... 13.6.2. Aplicaes da Equao de Bernoulli..................................... 13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 13.6.2.2. Medidores de Vazo............................................... 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 13.6.2.2.3. Placa de Orifcio...................................... 13.6.2.2.4. Presso de Estagnao............................. 13.7. Equao de Bernoulli Para Fluidos Reais Perda de Carga............. 13.7.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli Para Fluidos Reais.................................................................................................. 13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 13.7.2.1. Perdas de Carga Contnuas..................................... 13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 13.8. Potncia Fornecida por uma Bomba................................................. 14. Transferncia de Calor.................................................................................... 14.1. Introduo.......................................................................................... 14.2. Modos de Transferncia de Calor..................................................... 14.2.1. Conduo............................................................................ 14.2.2. Conveco.......................................................................... 14.2.3. Radiao............................................................................. 14.3. Leis Bsicas da Transferncia de Calor............................................. 14.3.1. Conduo............................................................................ 14.3.2. Conveco.......................................................................... 14.3.3. Radiao............................................................................. 15. Conduo........................................................................................................ 15.1. Introduo Conduo...................................................................... 15.2. Propriedades Trmicas da Matria.................................................... 15.3. Conservao de Energia em um Volume de Controle....................... 15.4. Equao da Difuso de Calor............................................................ 15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 15.4.2. Coordenadas Cilndricas..................................................... 15.4.3. Coordenadas Esfricas.......................................................

57 59 59 60 62 63 65 68 68 69 70 70 74 81 86 86 86 86 87 87 88 89 92 93 96 96 97 98 101 101 104 104

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15.4.4. Condies de Contorno e Condio Inicial........................ 15.5. Conduo Unidimensional em Regime Permanente......................... 15.5.1. Parede Simples.................................................................. 15.5.2. Resistncia Trmica........................................................... 15.5.3. Parede Composta................................................................ 15.5.4. Parede Composta: Srie-Paralelo....................................... 15.5.5. Resistncia de contato........................................................ 15.6. Conduo Unidimensional em Regime Permanente Sistemas Radiais Cilindro....................................................................................... 15.6.1. Distribuio de Temperatura.............................................. 15.6.2. Parede Cilndrica Composta............................................... 15.6.3. Espessura Crtica de Isolamento......................................... 15.7. Conduo Unidimensional em Regime Permanente Sistemas Radiais Esfera............................................................... 15.8. Conduo com Gerao de Energia Trmica........................ 15.8.1 Conduo com Gerao de Energia Trmica Parede Plana....................................................................... 15.8.2 Conduo com Gerao de Energia Trmica Sistemas Radiais................................................................. 16. Transferncia de Calor em Superfcies Expandidas Aletas......................... 16.1. Introduo.......................................................................................... 16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 16.3. Balano de Energia para uma Aleta.................................................. 16.4. Aletas com rea da seo transversal constante................................ 16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 17. Conduo Transiente....................................................................................... 17.1. Introduo.......................................................................................... 17.2. Mtodo da Capacitncia Global........................................................ 18. Conveco....................................................................................................... 18.1. Fundamentos da Conveco.............................................................. 18.2. As Camadas Limites da Conveco.................................................. 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinmica......................................... 18.2.2. As Camadas Limites de Concentrao..................................

105 108 108 109 113 116 116 119 119 122 125 129 130 130 133 134 134 136 137 138 143 146 146 146 148 148 160 151 152

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18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 18.4. A Camada Limite Trmica................................................................ EXERCCIOS RECOMENDADOS..................................................................... REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................. Apndice A........................................................................................................... Apndice B............................................................................................................

153 156 158 159 160 164

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FigurasFigura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante. Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao de uma Fora de Cisalhamento Constante. Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro. Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo. Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto. Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional. Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido. Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds. Figura 11 - Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos. Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente. Figura 13 Fluida em Repouso. Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal. Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico. Figura 16 Exemplo do Clculo das Presses Absoluta e Manomtrica. Figura 17 O Barmetro de Mercrio. Figura 18 Variao de Presso em uma Coluna de Mltiplos Fluidos. Figura 19 Ilustrao do exemplo acima, vasos comunicantes. Figura 20 Manmetro de Lquido. Figura 21 Manmetro de Lquido. Figura 22 Manmetro de Lquido. Figura 23 Tubo de Bourdon. Figura 24 Manmetro de Diafragma. Figura 25 Corpo Imerso em um Fluido Esttico. Figura 26 Clculo do Metacentro de um Corpo Submerso. Figura 27 Conjunto Pisto-Cilindro. Figura 28 Escoamento de um Fluido atravs de um Tubo. Figura 29 Escoamento Unidimensional. Figura 30 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento 13 14 14 20 22 22 28 30 31 33 34 35 37 38 39 39 40 41 42 42 43 43 43 47 48 48 52 58 12 13

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Unidimensional em um Duto. Figura 31 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. Figura 32 Escoamento Interno atravs de um Bocal Genrico mostrando o volume de controle usado para anlise. Figura 33 Tubo de Venturi. Figura 34 Medio de presso esttica Tubo de Pitot. Figura 35 Tubo de Pitot com fluido manomtrico. Figura 36 (a) Geometria de orifcio e localizao de tomadas de presso Placa de orifcio. (b) Placa de Orifcio. Figura 37 Medies simultneas das presses de estagnao e esttica. Figura 38 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento de um Fluido Real. Figura 39 - baco de Moody. Figura 40 Determinao da Rugosidade Relativa. Figura 41 Valores aproximados de k. Figura 42 Comprimentos Equivalentes para Tubulaes de Ferro fundido e Ao. Figura 43- Reduo de rea Bocal. Figura 44 Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. Figura 45 Vlvula de gaveta. Figura 46 Vlvula Globo. Figura 47 Vlvula de Reteno. Figura 48 Elevao de um Fluido com uma Bomba. Figura 49 Conjunto elevatrio referente ao exemplo acima. Figura 50 - Transferncia de calor. Figura 51 Associao da transferncia de calor por conduo difuso da energia provocada pela atividade molecular. Figura 52 Processos de transferncia convectiva de calor. (a) Conveco natural. (b) Conveco forada. Figura 53 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. Figura 54 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. Figura 55 Transferncia de Calor em uma Parede Plana. 59 60 62 63 64 66 68 69 72 73 74 75 77 78 79 80 80 81 83 86 87 87 88 88 89

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Figura 56 Transferncia Convectiva de Calor. Figura 57 Troca Radiativa Lquida entre duas Superfcies. Figura 58 Faixas de Condutividade trmica para vrios estados da matria. Figura 59 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). Figura 60 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilndricas). Figura 61 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esfricas). Figura 62 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. Figura 63 Circuito Trmico. Figura 64 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. Figura 65 Circuito trmico equivalente. Figura 66 Parede Composta. Figura 67 Circuitos Trmicos Equivalentes numa Parede Composta. Figura 68 - Queda de temperatura devido resistncia trmica de contato. Figura 69 Transferncia de Calor atravs de um Cilindro Oco. Figura 70 Transferncia de Calor Atravs de uma Parede Cilndrica Composta. Figura 71 Ilustrao do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. Figura 72 Parede Cilndrica Composta. Figura 73 Comportamento das Resistncias Trmicas com r2. Figura 74 Transferncia de Calor atravs de uma Casca Esfrica. Figura 75 Conduo em uma parede plana com gerao uniforme de calor. (a) Condies de contorno assimtricas. (b) Condies de contorno assimtricas. (c) Superfcie adiabtica no plano intermedirio. Figura 76 Transferncia de Calor em uma superfcie expandida. Figura 77 Superfcie da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor. Figura 78 Colocao de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor. Figura 79 Trocadores de Calor com tubos aletados. Figura 80 Configuraes de Aletas. Figura 81 Balano de Energia em uma Superfcie Expandida. Figura 82 Aletas com rea da Seo Transversal Constante. Figura 83 Eficincia de aletas.

91 94 97 102 104 105 108 111 113 114 116 116 117 119 121 124 125 128 129 131 134 132 132 133 133 134 139 144

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Figura 84 Montagem Representativa das Aletas a) Retang. b) Anulares. Figura 85 Resfriamento de uma pea metlica quente. Figura 86 Distribuio transiente de temperatura correspondente a diferentes nmeros de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por conveco. Figura 87 - Transferncia convectiva de Calor. Figura 88 Escoamento sobre uma Placa Plana. Figura 89 - A camada limite fluidodinmica. Figura 90 - Perfil de concentrao na camada limite. Figura 91 Camada Limite. Figura 92 Camada Limite Trmica. Figura A1 Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos Figura A2 Viscosidade Cinemtica de Alguns Fluidos Presso Atm.

146 147 148 148 149 151 152 153 156 166 167

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TabelasTabela 1 Sistemas de Unidades. Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia. Tabela 3 Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. Tabela 4 Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. Tabela 5 Coeficientes de Perda de Carga para Contrao e Expanso. Tabela 6 Coeficiente de Perda de Carga para Reduo Suave da Seo. Tabela 7 Comprimento Equivalente Adimensional para Vlvulas e Conexes Tabela 8 Valores de h (W/m.K) Tabela 9 Equaes de Taxa Tabela 10 Lei de Fourier para os trs sistemas de coordenadas Tabela 11 Resistncia trmica de contato em (a) Interfaces Metlicas sob condies de vcuo e (b) Interface de Alumnio com diferentes fluidos interfaciais Tabela 12 Resistncia Trmica de interfaces slido/slido representativas Tabela 13 Propriedade de Fluidos Gasosos 118 163 118 15 16 71 76 76 77 78 92 96 96

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1. Introduo a Mecnica dos Fluidos1.1. Definio: a cincia que estuda o comportamento fsico dos fluidos e as leis que regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoesttica) e em movimento (Fluidodinmica). 1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido o meio produtor de trabalho. 1.3. Aplicao: mquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves, automveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilao de residncias, edifcios comerciais, sistemas de tubulaes, corpos flutuantes, medicina, etc.

2. Definio de um Fluido2.1. Introduo: uma sustncia que se deforma continuamente sob a aplicao de uma tenso de cisalhamento (fora tangencial), no importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos compreendem as fases lquida e gasosa (ou de vapor) das formas fsicas nas quais a matria existe.

Figura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante. A distino entre um fluido e o estado slido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Ao ser aplicada uma fora tangencial F (fig.2a) sobre um slido fixado entre as duas placas, o bloco sofre uma deformao e se estabiliza no novo formato. No regime elstico do material, ao cessar a aplicao da fora, o slido retorna forma original. Repetindo a experincia para um fluido, ele se deformar continuamente, enquanto existir uma fora tangencial atuando sobre ele (fig.2b).

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Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao de uma Fora de Cisalhamento Constante. 1a Situao: Figura 2a Mantida a Ft constante o slido deformar-se- at alcanar uma posio de equilbrio esttico. 2a Situao: Figura 2b Sob a ao da Ft deforma-se continuamente, no se alcanando uma posio de equilbrio esttico. 2.2. A Hiptese do Contnuo: Como o espao mdio entre as molculas que compem o fluido bastante inferior s dimenses fsicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como uma substncia que pode ser dividida ao infinito. 2.3. Princpio da Aderncia: Os pontos de um fluido em contato com uma superfcie slida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais esto em contato; no h deslizamento naquelas fronteiras. (fig.3)

Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas Infinitas.

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3. Mtodos de anlise3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificvel; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente volta; no h transferncia de massa atravs das mesmas, calor e trabalho podero cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .

Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro. 3.2. Volume de controle: volume do espao atravs do qual o fluido escoa (arbitrrio), a fronteira geomtrica chamada superfcie de controle, conforme mostrado na fig. 5.

Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo.

4. Dimenses e unidades4.1. Introduo Dimenses: so grandezas mensurveis (quantidades fsicas: podem ser primrias (bsicas) e secundrias (derivadas)). Unidades: so nomes arbitrrios dados s dimenses. 4.2. Sistemas de Dimenses Lei da Homogeneidade dimensional: Todos os termos de uma expresso matemtica, que, traduz um fenmeno fsico, devem possuir a mesma dimenso. Exemplo: x = x 0 + V0 + 1 at 2 2

(L ) = (L ) + (L t t )+ 1 2 L t 2 t 214

(

)


4.3. Sistema de Unidades Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). Pases diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronizao. Foram definidas 7 grandezas bsicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente eltrica, quantidade de matria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as grandezas eltricas). No entanto, alguns pases ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Britnico, as grandezas bsicas so fora, comprimento, temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundria. SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente eltrica), quantidade de matria e intensidade luminosa. Tcnico ingls: F(fora), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). Tabela 1 Sistemas de Unidades.SISTEMA DE UNIDADES SI ABSOLUTO TCNICO INGLS INGLS TCNICO Kg g utm slug lbm m cm m ft ft s s s s s K K K R R A mol MASSA COMPRI- TEMPO TEMPE- CORRENTE MENTO QTE DE INTENSIDADE LUMINOSA cd RATURA ELTRICA MATRIA

Fora: Fora: Massa

1N = 1kg

m s2cm s2s2 ft

1dina = 1g

1slug = 1lbf

No Apndice B so apresentados os fatores de converso entre os sistemas para as diferentes grandezas.

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A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia. Fator Multiplicativo 109 106 103

Prefixo Giga Mega Kilo Deci Centi Mili Micro Nano Pico

Smbolo G M k d c m n p

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

5. Propriedades fsicas dos fluidos5.1. Peso especifico: () o peso do fluido contido em uma unidade de volume. : Peso especfico [F/L3] =W

W: Peso da substncia [F] : Volume do fluido [L3 ]

=

mg m = g = g

Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) DIM: [F / L3]

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5.2. Volume especfico: () Inverso da massa especfica. : Volume especfico [L3/M]= 1 = m

: Massa especfica ou densidade absoluta [M/L3]

Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) DIM: [L3/ M] 5.3. Densidade relativa: (,d ou SG) Razo entre a massa especfica de uma substncia e a massa especfica de uma substncia de referncia. Para lquidos, o fluido de referncia a gua e, para os gases, o ar. Quando se trabalha com densidades relativas de slidos, comum que a substncia de referncia seja a gua. : Densidade relativa [adimensional] = d = SG = ref

: Massa especfica ou densidade absoluta [M/L3] ref.: Massa especfica ou densidade absoluta da substncia de referncia [M/L3]

=d = SG=

fluido fluido padro

=

fluido fluido padrao

DIM: [1]

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5.4. Massa especfica ou densidade absoluta: ( ) Tambm conhecida como densidade absoluta, a quantidade de massa do fluido contida em uma unidade de volume. : Massa especfica [M/L3]=m

m: Massa do fluido [M] : Volume do fluido [L3 ]

Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) DIM: [M / L3] A densidade dos gases variam bastante quando so alteradas sua presso, e/ou sua temperatura. Ao contrrio, a densidade dos lquidos apresenta pequenas variaes com alteraes de presso e temperatura, so, em sua maioria, considerados incompressveis. Na Tab. A.1 (Apndice A), so apresentados valores de massa especfica para alguns fluidos, a 20C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variao da massa especfica da gua e do ar com a temperatura, para a presso de 1 atm.

5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico: () Razo entre uma variao de presso e a correspondente variao de volume por unidade de volume. : Mdulo de elasticidade volumtrico = P /

P: Variao de presso [F/L2] : Variao de Volume [L3 ] : Volume [L3 ]

O sinal negativo indica que um aumento de presso corresponde a uma reduo de volume. Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2) DIM: [F / L2]

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Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substncia a medida da variao relativa de volume decorrente de aplicao de presso. O mdulo de compressibilidade de lquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compresso. 5.5.1. Condies isotrmicas: T = constante P.V. = constanteV 1 P2 = V 2 P1

P1V1 = P2V2

P.dV + V.dP = 0 P.dV = - V.dPdV dP = V P =P

5.5.2. Condies adiabticas: P.Vk = constante k = Cp / Cv P1.V1k = P2.V2k Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 P.k.dV + V.dP = 0dV dP = V kP = kP

5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) Inverso do mdulo de elasticidade volumtrico.C=1

C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] : Mdulo de elasticidade volumtrico

[F/L2] Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) DIM: [L2/F] 19


6. Campo de velocidadeEntre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume de fluido mostrado na Fig. 6.

Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto. A velocidade instantnea do fluido no ponto C igual velocidade instantnea do volume infinitesimal que passa pelo ponto C no instante de tempo em questo. r O campo de velocidade, V , funo das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representao do campo de velocidades dada por:r r V = V ( x, y , z , t )

r O vetor velocidade, V , pode ser expresso em termos de suas trs componentes

escalares. Chamando estas componentes nas direes x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode ser escrito como:r j V = ui + v + wk ,

onde: u = u (x, y, z, t ), v = v(x, y, z, t ) e w = w (x, y, z, t )

Exemplo:Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine: (a) As dimenses de cada campo de velocidade (b) Se est em regime permanente ou no

(1)

(2)

r V = ae bx i r V = ax 2i + bx j

[

]

20


(3) (4) (5)

r V = axi bx j r V = (ax + t )i by 2 jr 1 V = a (x 2 + y 2 ) 2 1

( z )k3

Resoluo:r r r r (1) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V V (t ) . r r r r (2) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V V (t ) . r r r r (3) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime permanente V V (t ) . r r r r (4) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime no permanente V = V (t ) . r r r r (5) Tridimensional V = V ( x, y, z ) , regime no permanente V = V (t ) .

7. Regime permanente e transiente7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,

no variam com o tempo. A definio matemtica do movimento permanente : = 0 , onde representa uma propriedade qualquer do fluido. t

7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o mdulo e o sentido do

vetor velocidade so constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, atravs de toda a extenso do campo.

8. Escoamentos uni, bi, tridimensional.Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o nmero de coordenadas necessrias para se definir seu campo de velocidades.8.1. Escoamento unidimensional:

Exemplo: Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seo transversal constante mostrado na Fig. 7.

21


Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. A partir de uma certa distncia da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equao: r 2 u = u max 1 R Como o campo de velocidades depende apenas da distncia radial r, o escoamento unidimensional.8.2. Escoamento bidimensional:

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal considerado infinito na direo do eixo dos z, o campo das velocidades ser idntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqentemente, o campo de velocidades funo somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento , portanto, bidimensional.

Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional.

22


8.3. Linhas de tempo, trajetrias, linhas de emisso e linhas de corrente:

Na anlise de problemas de mecnica dos fluidos, freqentemente vantajoso obter uma representao visual de campo de escoamento. Tal representao provida de linhas de tempo, de trajeto, de emisso e de corrente. Se num campo de escoamento uma quantidade de partculas fluidas adjacentes forem marcadas num dado instante, elas formaro uma linha no fluido naquele instante, esta linha chamada de linha de tempo. Uma linha de trajeto o caminho ou trajetria traada por uma partcula fluida em movimento. Para torn-la visvel, temos que identificar uma partcula fluida, num dado instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposio prolongada do seu movimento subseqente. A linha traada pela partcula uma trajetria. Por outro lado, poderamos preferir concentrar a ateno em um lugar fixo do espao e identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partculas fluidas que passam por aquele ponto. Aps um curto perodo, teramos uma certa quantidade de partculas fluidas identificveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espao. A linha em que une as partculas fluidas, num ponto fixo no espao, definida como linha de emisso. As linhas de corrente so aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num dado instante, so tangentes direo do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de corrente so tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, no pode haver escoamento atravs delas. No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com o tempo e, em conseqncia, as linhas de corrente no variam de um instante a outro. Isto implica que uma partcula localizada numa determinada linha de corrente permanecer sobre a mesma. Alm disso, partculas consecutivas passando atravs de um ponto fixo do espao estaro sobre a mesma linha de corrente e, subseqentemente permanecero nela. Ento num escoamento permanente, trajetrias e linhas de emisso e de corrente so linhas idnticas no campo de escoamento. A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente. Neste caso, as trajetrias, as linhas de emisso e as linhas de corrente no coincidem.

23


Exemplo:Considere o campo de escoamento V = axt i b j , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As coordenadas so medidas em metros. Para a partcula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no instante t = 0, trace a trajetria durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta trajetria com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3 segundos.Resoluo:

Partindo do princpio u =u = axt = dx , dtx t

dx dy e v= , ento: dt dt

dx x = at.dt 0 x0

1 2 at 2 x 1 ln = at 2 e x = x0 e 2 x = 3e 0,1t x 2 0

dy =b, e tambm, v = dtx = 3e 0,1t y = 1 + 3t2

y0

dy = bdt ,0

y

t

y = y0 + bt y = 1 + 3t

Regio a ser plotada no plano xy.dy v = . dx s u

Temos que Logo:

dy b = . dx axt

Aplicando equaes diferenciais temos:

y0

dy =

y

x0

at

x

b dx b x ou y = y0 + ln . x at x0

Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, y = 1 +Para t=1

15 x ln . t 3

x y = 1 + 15 ln 3 x y = 1 + 7,5 ln 3 x y = 1 + 5 ln 3

t=2 t=3

24


Exemplo:O campo de velocidade V = ax i by j , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ngulo reto. Obtenha uma equao para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).Resoluo:

A inclinao das linhas de corrente no plano xy dado por: dy v = dx u Para V = ax i by j , faamos u = ax e v = -by, logo: dy v b. y = = dx u a.x

Para resolvermos esta equao diferencial, separamos as variveis e integramos:

dy b dx = y a x

b ln y = ln x + c c = constante aln y = ln x b a

+ ln c ln c = constante

25


Portanto: y = cx

b a

Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b so fixas. As linhas de corrente so obtidas definindo valores diferentes para a constante de integrao c.

Como a = b = 1 sec-1, ento

a = 1 , e a equao das linhas de corrente dada por: b

y = cx 1 =

c c ou x = x y

Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.

A equao y =

c a equao da hiprbole. x

As curvas esto mostradas para diferentes valores de c.

8.4. Campo de Tenso

Tanto foras de superfcie quanto foras de campo so encontradas no estudo da mecnica dos meios contnuos. As foras de superfcies atuam nas fronteiras de um meio atravs de um contato direto. As foras desenvolvidas sem contato fsico e distribudas por todo o volume do fluido so denominadas foras de campo. As foras gravitacionais e eletromagnticas so exemplos de foras de campo. A fora gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, dada por gdV , onde a massa especfica (massa por unidade de volume) e g a acelerao local da gravidade. Segue-se que a fora de campo gravitacional g por unidade de volume eg por unidade de massa.

O conceito de tenso nos d uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as foras atuantes na fronteiras do meio so transmitidas atravs deles. Ento campo de

26


tenses seria a regio atravs da qual as foras atuantes seriam transmitidas atravs de toda extenso do material. Como a fora e a rea so ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de tenso no ser vetorial. O campo de tenses normalmente chamado de campo

tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como umtensor de 2 ordem. Dividindo a magnitude de cada componente da fora pela a rea , Ax , e tomando o limite quando Ax se aproxima de zero, definimos as trs componentes da tenso mostradas abaixo: xx = lim

A x 0

Fx Ax

xy =

lim

F y A x

xy =

lim

A x 0

A x 0

Fz Ax

Utilizamos o ndice duplo para designar tenses. O primeiro ndice (neste caso x) indica o plano no qual a tenso atua (neste caso a superfcie perpendicular ao eixo x). O segundo ndice indica a direo na qual a tenso atua. Tambm necessrio adotar uma conveno de sinais para a tenso. Uma componente da tenso positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua so ambos positivos ou ambos negativos.

9. Viscosidade9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()

Propriedade que determina o grau de resistncia do fluido fora de cisalhamento, ou seja, a dificuldade do fluido em escoar. Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se a velocidade constante (u), sob a influncia de uma fora aplicada Fx.

27


Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido.A tenso tangencial ou tenso de cisalhamento do elemento fluido dada por: yx = lim Fx dFx = Ay 0 Ay dAy

A taxa de deformao igual a: d = t 0 t dtlim

A distncia entre os pontos M e M dada por:l = Vt

(a) (b)

Para pequenos ngulos, l = y Igualando-se (a) e (b),

d du u = = t y dt dyPara fluidos Newtonianos, a tenso tangencial proporcional taxa de deformao, ou:

yx

du du yx = . dy dy

A constante de proporcionalidade a viscosidade absoluta ou dinmica do fluido, . DIM: [F.t / L2= M/L.t] Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) Os fluidos mais comuns, como a gua, o ar e a gasolina, so newtonianos em condies normais.

28


Se considerarmos as deformaes de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina e gua, verificaremos que eles iro se deformar as taxas diferentes sob a ao da mesma tenso de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistncia deformao muito maior do que a gua. Dizemos, ento, que ela muito mais viscosa. A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os lquidos apresentam comportamento inverso.9.2. Viscosidade Cinemtica: ()

Razo entre a viscosidade dinmica e a massa especfica.

: Viscosidade cinemtica [L2/t]=

: Viscosidade dinmica [Ft/L2] : Massa especfica ou densidade absoluta[M/L3]

DIM: [L2/t] Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) Uma unidade comum para a viscosidade cinemtica o Stokes, sendo 1 Stokes = 1cm2/s.9.3. Nmero de Reynolds: (Re)

Nmero adimensional, obtido pela razo entre as foras de inrcia e as foras viscosas. Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. Re: Nmero de Reynolds [adimensional]

: Massa especfica ou densidade absoluta[M/L3]Re =

V * L*

V*: Velocidade do fluido [L/t] L*: Comprimento caracterstico [L]

29


= Viscosidade dinmica [F.t/L2]DIM: [1] O nmero de Reynolds o adimensional mais importante da Mecnica dos Fluidos. Ele determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transio do escoamento laminar para turbulento 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor 5x105. Devese ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, velocidade e ao comprimento caracterstico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* a velocidade mdia no interior do tubo e L*, o seu dimetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* a velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa.

Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds.Como a viscosidade absoluta da glicerina 1500 vezes superior viscosidade da gua, para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo dimetro, tenham comportamentos semelhantes (mesmo nmero de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da gua.9.4. Tipos de escoamento:

-

Escoamento laminar ( em tubulaes Re 2300 ) Escoamento turbulento (Re > 4000)

30


Mecnica dos Fluidos Fluido no viscoso = 0 Compressvel Incompressvel Ma < 0,3 Laminar Re 2300 Fluido viscoso 0 Turbulento Re > 4000

Figura 11 Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos.O escoamento compressvel ou incompressvel definido a partir de um parmetro chamado nmero de Mach, que definido como sendo a razo da velocidade do escoamento ( V ) pela velocidade do som (S) do meio.

Ma =

V S

Exemplo:Um eixo com dimetro externo de 18 mm gira a 20 rotaes por segundo dentro de um mancal de sustentao estacionrio de 60 mm de comprimento. Uma pelcula de leo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessrio para girar o eixo de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do leo que se encontra na folga anular, em (Pa.s) Resoluo: Para calcular a viscosidade do leo devemos utilizar a frmula de tenso de cisalhamento:

= .

du dy

Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamos trabalhar:

31


W = 20rps 1rot 2. .r 20rot 20.2. .r 125,6rad / s umax = r = 1,13 m s

ou umax = r umax = umax

.n d

30 2 .d .n = 60

Devemos calcular agora a rea de contato entre o fluido e o material:A = .D.L A = 18.10 3.60.10 3 A = 3,39.10 6 m 2

Pelo torque, podemos tirar a fora:

= F .r F= r 0,0036 F= 9.10 3 F = 0,4 N

Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinmico fazendo analogia fora:

= =

F dy A du

0,4.0,2.10 3 du umax , onde = 3 dy y 3,39.10 .1,13 N .s = 0,0208 2 m

10. PressoFora exercida em uma unidade de rea. P: Presso [F/L2]P= F A

F: Fora [F] A: rea [L2]

Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) DIM: [F / L2]

32


A presso uma varivel dinmica muito importante na Mecnica dos Fluidos. Um escoamento s possvel se houver um gradiente de presso. Para gases ideais, a presso pode ser relacionada densidade e temperatura atravs da seguinte expresso:P = nR T

Onde: n: quantidade de matria [mol]R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K

F .L DIM: mol.k .T T: temperatura absoluta do gs [T] Se, ao invs do nmero de moles, for considerada a massa m do gs, a equao pode ser reescrita na forma:P = mRT

Onde R a constante especfica de cada gs, relacionada constante universal dos gases atravs da massa molecular do gs MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.R MM

R=

A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinmicas de gases comuns na condio padro ou standard. A presso atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada da maneira mostrada a seguir:

Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente.

33


A presso na superfcie do fluido igual a P0. A fora na superfcie do fluido dada por P0 A A fora exercida pela coluna de fluido devida ao seu peso:F fluido = mg = g = ( Ah )g = Agh

A fora na base do recipiente , ento, obtida como a soma da fora na superfcie do fluido e do peso da coluna de fluido:F = Fsup erfcie + F fluido F = P0 A + ghA

A presso na base do recipiente dada pela razo entre a fora e a rea da base:P= P= F Fsup erfcie + F fluido = A A P0 A + Agh = P0 + gh A

Para condies pr-fixadas, P0, e g so constantes. Assim, a presso funo apenas da altura da coluna de lquido h.10.1. Lei de Pascal:

No interior de um fluido em repouso, a presso constante em cada ponto.

Figura 13 Fluido em Repouso.

11. Fluidoesttica a parte da Mecnica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. A condio de velocidade nula do fluido denominada condio hidrosttica. Em um problema de hidrosttica, o objetivo principal , em geral, a determinao da distribuio de foras ou presses em um elemento fluido.

34


11.1. A equao bsica da esttica dos fluidos:

Dois tipos genricos de foras podem ser aplicados a um fluido: foras de corpo e foras de superfcie. As foras de corpo, tambm chamadas de foras de campo, so as foras desenvolvidas sem contato fsico com o fluido, distribudas por todo o seu volume. o caso das foras gravitacionais e eletromagnticas. De uma maneira geral, a nica fora de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecnica dos Fluidos a fora gravitacional, ou o peso. As foras de superfcie so aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, atravs do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, s podero estar presentes foras normais superfcie (por definio, o fluido a substncia incapaz de resistir a foras de cisalhamento sem se deformar). A nica fora de superfcie a ser considerada , portanto, a fora de presso. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimenses dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 14.z

dz

y x dy

dx

Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal.A fora total atuando no elemento dada por:r r r r r dF = dFC + dFS = dm.g + dFS

A fora lquida de presso dada pela soma da fora de presso em cada uma das faces do elemento. A fora de presso atuando na face esquerda do elemento :r P dy dx.dz dFL = p j y 2

A fora de presso na face direita dada por:r P dy dx.dz dFR = p + j y 2

( )

35


A fora lquida de presso dada pela soma das foras de presso em todas as faces do elemento,r P dy P dx P dx dx.dz dFS = p j dy.dz i + p dy.dzi + p + y 2 x 2 x 2 P dz P dy P dz dx.dz + p +p+ j dx.dyk + p + dx.dy k z 2 y 2 z 2

( )

( )

( )

r P P P dFS = x i y j z k dx.dy.dz

A fora total dada, portanto, por:r r r r P P P dF = dm.g + dFS = dm.g + x i y j z k dx.dy.dz

Comodm = .d = .dx.dy.dz ,r r P P P r dF = .dx.dy.dz..g + x i y j z k dx.dy.dz = ( .g P )d

A 2 Lei de Newton estabelece que:r r dF = dm.a

Para um elemento fluido em repouso, a acelerao deve ser nula e o somatrio de todas as foras deve ser zero. Assim,r ( . g P ) = 0

Esta uma equao vetorial, que pode ser decomposta em trs equaes escalares,P + g x = 0 x P + g y = 0 y P + g z = 0 z

Para simplificar a equao, conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z r apontado para cima ( g = gk ) , as equaes podem ser reescritas como:P =0 x P =0 y P =0 z

Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre dois pontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles (Fig.15). 36


Concluses:

1. No h variao de presso na direo horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, esto submetidos mesma presso; 2. A presso varia na direo vertical, sendo esta variao devida ao peso da coluna fluida (Equao Fundamental da Hidrosttica); 3. No limite para z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou seja, a presso em um ponto de um fluido esttico independente da orientao (Lei de Pascal). Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre dois pontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles Equao Fundamental da Hidrosttica (Fig.15).

Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico.PB = PC + gh

Os valores de presso devem ser estabelecidos em relao a um nvel de referncia. As maneiras de se expressar a presso variam, portanto, com o nvel de referncia adotado. Quando o nvel de referncia zero (vcuo), as presses so denominadas absolutas. Quando o nvel de referncia a presso atmosfrica local, as presses sodenominadas presses manomtricas ou efetivas. 11.2. Presso Manomtrica:

Presso medida tomando-se como referncia o valor da presso atmosfrica (Patm). Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg

37


A presso manomtrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. Se P>Patm, Pman > 0 Se P rcr, qualquer adio de isolamento aumenta a resistncia trmica total e, portanto, diminue a perda de calor. Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistncia trmica total atravs da aplicao de uma camada de isolamento trmico existe somente para o caso de tubos ou fios de pequeno dimetro e para coeficientes de transferncia de calor por conveco pequenos, onde usualmente r > rcr. A existncia de um raio crtico exige que a rea de transferncia de calor varie na direo da transferncia, como o caso da conduo radial em um cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a rea normal direo da transferncia de calor constante , no havendo uma espessura crtica para o isolamento trmico (a resistncia total sempre aumenta com o aumento da espessura da camada de isolamento). Como a derivada segunda de qr em relao a r2 negativa, qr tem o seu valor mximo em r = rc. O comportamento da resistncia total inverso, como mostrado na Fig. 73.

127


Figura 73 Comportamento das Resistncias Trmicas com r2.

Exemplo:1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, usado para transportar uma substncia refrigerante que est a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T ao redor do tubo. Existe uma espessura tima associada aplicao de uma camada de isolamento trmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K? Resoluo: A resistncia transferncia de calor entre o fluido refrigerante e o ar denominada pela conduo de calor atravs da camada de isolamento trmico e pela conveco no ar. Sendo que, a resistncia trmica total por unidade de comprimento do tubo :r ln r 1 R 'tot = i + 2 .k 2rh

E a taxa de transferncia de calor por unidade de comprimento do tubo ser:T Ti R'tot

q' =

Uma espessura tima para o isolamento trmico est associada ao valor de r que minimiza o valor de q ou maximiza o valor de Rtot. Tal valor pode ser obtido a partir de:r= k h

128


Uma vez que o resultado da resistncia trmica total sempre positivo, r =

k o h

raio de isolamento para o qual a resistncia trmica mnima, e no um mximo. Logo uma espessura tima para a camada de isolamento trmico no existe. Porm faz sentido pensar em raio crtico de isolamento.rcr = k h

Abaixo do qual q aumenta com o aumento de r acima do qual q diminue com o aumento de r. Calculando em termos de raio crtico:rcr = k h 5

W m 2 .K rcr = W 0,055 m.K rcr = 0,011m

15.7. Conduo Unidimensional em Regime Permanente Sistemas Radiais EsferaSeja uma esfera oca cuja superfcie interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a superfcie externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferncia de calor unidimensional, em regime permanente, sem gerao interna no interior da esfera.

Figura 74 Transferncia de Calor atravs de uma Casca Esfrica.

129


Partindo-se da equao da conduo do calor em coordenadas esfricas, pode-se obter o perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir da, obtm-se a taxa de calor, dada por:qr =4k (Ts1 Ts 2 ) 1 1 r r 2 1

Assim, a resistncia condutiva dada por:R cond = 1 4k 1 1 r r 2 1

15.8. Conduo com Gerao de Energia TrmicaIremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior do meio, tm sobre a distribuio de temperatura nesse meio. importante ter ateno para no confundir gerao de energia com armazenamento de energia.

15.8.1. Conduo com Gerao de Energia Trmica Parede PlanaSeja a parede plana da Fig.75, onde existe gerao uniforme de energia trmica por unidade de volume (q constante) e as superfcies so mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para uma condutividade trmica constante k, a forma apropriada da equao do calor:d 2T q' + =0 dx 2 k

Aplicando as condies de contorno e todos os parmetros, obtemos a distribuio de temperatura correspondente:T ( x) = T T q' L2 x2 T x T 1 2 + sup, 2 sup,1 + sup,1 sup, 2 2k 2 2 L L

O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equao acima. Note, contudo, que com a gerao interna de calor o fluxo de calor no mais independente de x.

130


Figura 75 Conduo em uma parede plana com gerao uniforme de calor.(a) Condies de contorno assimtricas.(b) Condies de contorno assimtricas.(c) Superfcie adiabtica no plano intermedirio.O resultado anterior simplificado quando as duas superfcies so mantidas a uma mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura mxima, neste caso, encontra-se no plano intermedirio:

T (0) = T0 =

q' L2 + Tsup 2k

Exemplo:1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do& material A possui uma gerao de calor uniforme q = 1,5.106 W m3

, condutividade

trmica k A = 75 W

K

e espessura de LA=50 mm. A camada do material B no apresenta

gerao de calor, tem condutividade trmica k B = 150 W

K

e espessura

LB = 20 mm.

A superfcie interna da parede (material A) est perfeitamente isolada, enquanto a sua superfcie externa (material B) resfriada por uma corrente de gua com T = 30C e

131


h = 1000 W

m2 K

. Determine a temperatura To da superfcie isolada e a temperatura T2

da superfcie resfriada. Resoluo: A temperatura na superfcie externa T2 pode ser obtida atravs de um balano de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo assim obteremos T2:q .L A T2 = T + h T2 = 30 C + T2 = 105 C 1,5.106 W .0,05m m3 W 1000 2 m .K.

Para determinar a temperatura na superfcie isolada termicamente temos:q .(LA ) + T1 To = 2.k A2 .

Onde T1 ser determinado visando o circuito trmico equivalente do processo:T1 = T + (R"cond , B + R"conv ).q" LB R"cond , B = k B R" = 1 conv h 0,02m 1 + T1 = 30 C + W W 1000 2 150 m.K m .K T1 = 115 C .1,5.106.0,05m

Determinando agora To, substituindo o valor acima na equao.

, obteremos:

q .(LA ) To = + T1 2.k A2

W 2 .(0,05m ) 3 m To = + 115 C W 2.75 m.K To = 140 C 1,5.106

132


15.8.2 Conduo com Gerao de Energia Trmica Sistemas RadiaisA gerao de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um cilindro slido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente eltrica. Em condies de regime estacionrio, a taxa na qual o calor gerado no interior do cilindro deve ser igual taxa de calor transferido por conveco da superfcie do cilindro para o fluido em movimento. Essa condio permite que a temperatura da superfcie seja mantida a um valor fixo Ts . Sendo assim temos a distribuio de temperatura como:T( r ) q .r = 0 4k. 2 2 1 r + Ts 2 r0

Para relacionar a temperatura da superfcie Ts , com a temperatura do fluido, T , tanto o balano de energia na superfcie quanto o balano de energia total podem ser utilizados.

Exemplo:1) Em um basto cilndrico e longo, com 200 mm de dimetro e condutividade trmica de 0,5 W/m.K, h a gerao de volumtrica uniforme de calor a uma taxa de 24000 W/m3. O basto est encapsulado por uma camada cilndrica com dimetro externo igual a 400 mm, de um material com condutividade trmica de 4 W/m.K. A superfcie externa desta camada est exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27C com um coeficiente de conveco de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o basto e a camada cilndrica, e na superfcie externa em contato com o ar.

Resoluo: Para determinar a temperatura da superfcie externa em contato com o ar devemos utilizar um balano global de energia. Sendo assim obteremos:Tsup q .r = T + 2.h 24000 W .200.10 3 m m3 W 2.25 2 m .K.

Tsup = 27 + 273 K + Tsup = 396 K

133


Para determinar agora a temperatura na interface entre o basto e a camada cilndrica devemos utilizar a frmula que rege a distribuio de temperatura em relao ao raio:T( r )2 1 r + Tsup r2 0 2 W 24000 3 . 200.10 3 m 3 2 m + 396 K 1 100.10 = 3 2 W 200.10 4. 4 m.K = 441 K .

q .r = 0 4k

2

T( r ) T( r )

(

)

( (

) )

16. Transferncia de Calor em Superfcies Expandidas Aletas16.1. IntroduoAleta um elemento slido que transfere energia por conduo dentro de suas fronteiras e por conveco (e/ou radiao) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas so utilizadas para aumentar a taxa de transferncia de calor entre um corpo slido e um fluido adjacente.

Figura 76 Transferncia de Calor em uma superfcie expandida.O aumento da taxa de transferncia de calor de uma superfcie a temperatura constante para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito atravs do aumento do coeficiente de conveco h ou atravs da reduo da temperatura do fluido T.

134


Figura 77 Superfcie da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor.Quando no possvel aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a rea de troca de calor, atravs da utilizao de aletas (Figura 78), que so elementos slidos que transferem energia por conduo dentro de suas fronteiras e por conveco (e/ou radiao) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas so utilizadas para aumentar a taxa de transferncia de calor entre um corpo slido e um fluido adjacente.

Figura 78 Colocao de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor.Esquemas Tpicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados

135


Figura 79 Trocadores de Calor com tubos aletados.16.2. Tipos de AletasA Figura 80 ilustra diferentes configuraes de aletas.

Plana, de seo reta uniforme

Plana, de seo transversal no uniforme

Anular

Piniforme (pino)

Figura 80 Configuraes de Aletas.136


16.3. Balano de Energia para uma AletaHipteses: Conduo unidimensional de calor Regime permanente Condutividade trmica da aleta constante Radiao trmica desprezvel Sem gerao de calor Coeficiente de conveco uniforme

Atravs de um balano de energia, pode-se obter a equao da conduo de calor. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seo reta varivel (Fig. 81),

Figura 81 Balano de Energia em uma Superfcie Expandida.Neste caso, vale:Calor transferido por conduo para dentro do elemento em x por unidade de tempo Calor transferido por conduo para fora do elemento em (x +dx) por unidade de tempo, Calor transferido por conveco da superfcie entre x e (x + dx) por unidade de tempo

=

+

qx = qx + dx + dqconv

onde

q x = Energia transferida por conduo para o volume infinitesimal q x + dx = Energia transferida por conduo do volume infinitesimal dq conv = Energia perdida por conveco para o fluido

137


A taxa de calor por conduo na posio x determinada pela Lei de Fourier:q x = kAc dT dx

onde: Ac a rea da seo reta da aleta na posio x considerada. Fazendo-se uma expanso em srie de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por conduo na posio (x+dx)q x + dx = q x + q dx x

q x + dx = kAc

dT d dT + kAc dx dx dx dx

q x + dx = kAc

dT d dT k Ac dx dx dx dx

A taxa de calor por conveco transmitida do elemento infinitesimal para o fluido dada pela Lei de Resfriamento de Newton:dqconv = hdAs (T T )

onde: dAs a rea superficial infinitesimal do elemento. Substituindo-se as equaes de taxa na equao do balano de energia, kAc dT dT d dT = kAc k Ac dx + hdAs (T T ) dx dx dx dx

d dT h Ac dx dAs (T T ) = 0 dx dx k

como a rea da seo reta Ac pode variar com x,dT dAc d 2T h dAs (T T ) = 0 + Ac 2 dx dx k dx dx d 2T 1 dAc dT 1 h dAs (T T ) = 0 + dx 2 Ac dx dx Ac k dx

Forma geral da equao da energia, em condies unidimensionais, em uma superfcie expandida.

16.4. Aletas com rea da seo transversal constanteQuando a rea da seo transversal da aleta uniforme (Fig. 82), a equao anterior pode ser simplificada. 138


Cada aleta est ligada na base a uma superfcie T (0) = Tb e imersa num fluido na temperatura T.

Figura 82 Aletas com rea da Seo Transversal Constante.dAc =0 dx

Ac = constante As = Px

dAs =P dx

d 2T hP (T T ) = 0 dx 2 kAc

Definindo-se a varivel (Excesso de Temperatura) = T Td dT = dx dx

d 2 d 2T = dx 2 dx 2

d 2 hP =0 dx 2 kAc

Definindo-se:m2 = hP kAc

d 2 m 2 = 0 2 dx

Esta uma equao diferencial de segunda ordem, homognea, com coeficientes constantes. A soluo geral tem a forma:

( x ) = C1e mx + C2e mx

139


Para resolver esta equao, falta definir as condies de contorno apropriadas. Uma destas condies pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) Temperatura constante na base da aletaT (x = 0) = Tb

(x = 0) = Tb T = b

A segunda condio de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser especificadas quatro condies diferentes, cada uma correspondendo uma situao fsica e levando a uma soluo diferente.

A. Transferncia convectiva de calor

A taxa de calor que chega extremidade da aleta por conduo dissipada por conveco. Fazendo-se um balano de energia,hAc (T ( L) T ) = kAc dT dx

x=L

ou

h ( L ) = k

d dx

x=L

Aplicando-se as condies de contorno, chega-se a: ( x) cosh [m( L x)] + ( h / mk ) senh [m( L x)] = b cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

A taxa de calor pode ser determinada atravs da aplicao da lei de Fourierq f = qb = kAc dT dx = kAcx =0

d dx

x =0

ouq f = hPkAc . b senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

Para simplificar a soluo, define-se:M =

(

hPkAc . b ,

)

Assim, a equao para a taxa de calor pode ser dada por:

140


qf = M

senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

B. Ponta da aleta adiabtica (considerando que a perda de calor por conveco na extremidade da aleta desprezvel)dT dx =0x=L

oud dx =0x=L

Neste caso, ( x ) cosh [m( L x)] = b cosh( mL )

q f = M .tgh ( mL )

C. Temperatura Fixa (x = L ) = L

( x) ( L / b ) senh(mx) + senh[m( L x)] = b senh(mL)qf = M cosh( mL ) ( L / b ) senh( mL )

D. Aleta muito longa

Neste caso, quando L , L 0 .

( x) = e mx bqf = M

Exemplo:1) Uma barra cilndrica de dimetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade mantida a 100C. A superfcie da base est exposta ao ar ambiente a 25C, com um coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra construda em ao inoxidvel, com condutividade trmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua perda trmica para a condio de transferncia convectiva de calor. 141


Resoluo: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a frmula para transferncia convectiva de calor:( x) b h cosh[m( L x)] + . senh[m.( L x)] m.k = h cosh(m.L) + . senh(m.L) m.k

Calculando alguns parmetros para obter o resultado:Ac =

.d 24

=

3,14.(25.10 3 ) 2 = 4,9.10 4 m 2 4P = 2..r = 7,9.10 2 m

m=

h.P 10.7,9.10 2 = = 10,73m kAc 14.4,9.10 4

M = h.P. Ac .k . b = 10.7,9.10 2.4,9.10 4.14 .(TB T ) = 5,52W

Calculando agora a temperatura da barra em x=L ( x = L) = b ( x = L)75 h cosh[m( L L)] + . senh[m.( L L)] m.k h cosh(m.L) + . senh(m.L) m.k 1 = 10 cosh(10,73.0,25) + 10,73.14 . senh(10,73.0,25)

( x = L ) = 9,58K ( x = L ) = T( x = L ) TT( x = L ) = 9,58 + 25 = 34,58 K

Calculando agora a perda trmica para a condio proposta: h senh(m.L) + . cosh(m.L) m.k qr = M . h cosh(m.L) + . senh(m.L) m.k 10 senh(10,73.0,25) + 10,73.14 . cosh(10,73.0,25) qr = 5,52. 10 cosh(10,73.0,25) + 10,73.14 . senh(10,73.0,25) qr = 5,47W

142


16.5. Desempenho da AletaAs aletas so utilizadas para se aumentar a taxa de transferncia de calor de uma superfcie devido ao aumento da rea. No entanto, a aleta impe uma resistncia trmica conduo na superfcie original. Deve ser feita uma anlise sobre o desempenho da aleta.

Efetividade: Razo entre a taxa de transferncia de calor pela aleta e a taxa detransferncia de calor que existiria sem a presena da aleta. A utilizao de aletas somente se justifica se f 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um material de condutividade trmica elevada. Aumenta quando aumenta a razo entre o permetro e a rea da seo reta.f = qf hAc ,b b

onde: Ac,b a rea da seo reta da aleta, na base. Para aletas com seo reta uniforme,Ac ,b = Ac

Pode-se definir a resistncia da aleta por:

Rt , f =

bqf1 hAc ,b

Utilizando-se a resistncia conveco na base:

R t ,b =

A efetividade pode ser definida, ento, porf = Rt ,b Rt , f

Eficincia: Razo entre a taxa de transferncia de calor pela aleta e a taxa mxima detransferncia de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da base.f = qf q max = qf hA f b

onde: Af = rea superficial da aleta Para uma aleta com a extremidade adiabtica (caso B):

143


f =

hPkA c . b . tanh( mL ) hPL b

=

tanh( mL ) , mL

m=

hP kA c

Este resultado pode ser utilizado para os casos em que h transferncia de calor pela extremidade da aleta:

f =

tanh(mLc ) , mLc

Lc = L +

t D ou Lc = L + 2 4

Figura 83 Eficincia de aletas.

144


Eficincia Global da Superfcie: A eficincia da aleta f caracteriza o desempenho deuma nica aleta. A eficincia global da superfcie g caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfcie da base sobre a qual este conjunto est montado.

o =

qt qt = q max hAt b

onde: qt = taxa total de transferncia de calor At = rea total exposta

At = NA f + AbAb = rea da superfcie exposta rea das aletas Af = rea superficial de cada aleta N = nmero total de aletas A taxa de transferncia de calor mxima ocorreria se toda a superfcie da aleta, assim com a base exposta, fosse mantida a Tb . A taxa total de transferncia de calor por conveco das aletas e da superfcie exposta (sem aletas) para o fluido dada por:

q t = N f hA f b + hAb bonde f a eficincia de uma aleta. NA f (1 f b qt = h N f A f + ( At NA f ) b = hAt 1 At

[

]

Assim,

o = 1

NA f At

(1 f )

145


Figura 84 Montagem Representativa das Aletas a) Retangulares b) Anulares.Nas superfcies aletadas, S representa o passo das aletas.

17. Conduo Transiente17.1. IntroduoConduo transiente ocorre em vrias aplicaes da engenharia e pode ser tratada por diferentes mtodos. De incio, deve ser calculado o nmero de Biot, que relaciona a resistncia conduo no slido e a resistncia conveco na superfcie slidolquido. Se o nmero de Biot for muito menor que a unidade, o mtodo da capacitncia global pode ser aplicado. Caso contrrio, efeitos espaciais ocorrem, e outros mtodos so usados.

17.2. Mtodo da Capacitncia GlobalConsidere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que resfriado por imerso em um lquido de temperatura T < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a temperatura do slido decrescer at que eventualmente atinja T. A essncia deste mtodo a considerao de que a temperatura do slido espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Esta hiptese satisfatria quando a resistncia conduo dentro do material for muito menor que a resistncia conveco na interface slido-lquido. Neste caso, a equao de conduo de calor no pode ser empregada, e a temperatura transiente determinada por um balano global de energia no slido. 146


Aplicando o balano de energia ao slido:

& & E s = Ea

Figura 85 Resfriamento de uma pea metlica quente. hAs (T T ) = c T t

Definindo: Resulta: Onde: Integrando: chAs ln

= T Tc dhAs dt =

chAs

i

d

= dt0

t

i = Ti Ti = t ou hA T T = exp s t = i Ti T c

Validade do Mtodo da Capacitncia Global Sob condies de regime permanente, o balano de energia na superfcie do slido se reduz a:

kA (Ts,1 Ts ,2 ) = hA(Ts ,2 T ) LRearranjando:

Ts ,1 Ts , 2 Ts , 2 T

=

L / kA Rcond hL = = Bi 1 / hA Rconv k

147


Se Bi CA, NA = hm(CA,s - CA,) onde: NA: fluxo molar da espcie A (Kmol/s.m) Hm: coeficiente local de transferncia de massa por conveco (m/s) CA,s: concentrao molar de A na superfcie (Kmol/m) CA,: concentrao molar de A no fluido (Kmol/m) A taxa total de transferncia de massa pode ser escrita na forma

NA = hm As (CA ,S CA , )onde hm : coeficiente local de transferncia de massa por conveco (m/s) De modo anlogo transferncia de calor, o coeficiente mdio relacionado ao coeficiente local por

hm =

1 As

dAs

h dAm

s

A transferncia de uma espcie qumica tambm pode ser expressa em termos da massa, atravs do fluxo mssico nA (Kg/s.m) ou da taxa de transferncia de massa nA (Kg/s). Multiplicando-se a equao para o fluxo molar pela massa molecular de A,

n" A = hm (A ,S A , ) n A = h m A s ( A , S A , )18.2. As Camadas Limites da Conveco

150


18.2.1. A Camada Limite HidrodinmicaSeja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89.u y CORRENTE u

(x)CAMADA LIMITE HIDRODINMICA

x

Figura 89 - A camada limite fluidodinmica.Quando as partculas do fluido entram em contato com a superfcie, elas passam a ter velocidade nula (condio de no deslizamento). Estas partculas atuam no retardamento do movimento das partculas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no retardamento do movimento das partculas da prxima camada e assim sucessivamente, at uma distncia y = , onde o efeito de retardamento se torna desprezvel. A velocidade u aumenta at atingir o valor da corrente livre, u. 1) 2) 3) 4) A espessura da camada limite, , definida como o valor de y para o qual u = 0,99 u; O perfil de velocidade na camada limite a maneira com que u varia com y atravs da camada limite; Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tenses de cisalhamento so elevados; fora da camada limite, so desprezveis; Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do conceito de camada limite:Cf = s2 u 2

onde:

s

= tenso de cisalhamento na superfcie (N/m2)

= massa especfica do fluido (kg/m3) u = velocidade do fluido na corrente livre (m/s)

151


5) Para uma fluido Newtoniano

s =

u y

,y =0

Com = viscosidade dinmica do fluido (kg/m. s).

18.2.2. As Camadas Limites de ConcentraoA camada limite de concentrao determina a transferncia de massa por conveco em uma parede. Se uma mistura de duas espcies qumicas A e B escoa sobre uma superfcie e a concentrao da espcie A na superfcie diferente da concentrao na corrente livre, uma camada limite de concentrao ir se desenvolver. Ela a regio do fluido onde existem gradientes de concentrao, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual

CA , S CA CA , s CA , O perfil de concentrao na camada limite similar ao perfil de temperatura na camada limite trmica (Fig. 90).

Figura 90 - Perfil de concentrao na camada limite.Em um escoamento sobre uma superfcie com diferena de temperatura e concentrao entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinmica, trmica e de concentrao no se desenvolvem simultaneamente, ou seja, no possuem a mesma espessura

( t c ) .O objetivo da definio das camadas limite a simplificao das equaes que governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinmica, 152


u >> v u u v v = , , y x y xNo interior da camada limite trmica, T T >> y x Desta maneira, as equaes podem ser simplificadas e a soluo do problema se torna mais fcil.

18.3. Escoamento Laminar e TurbulentoOs problemas de conveco consistem, basicamente, na determinao dos coeficientes de conveco. Com eles, pode-se ento determinar as taxas de transferncia de calor. Em geral, so obtidas equaes empricas para o clculo dos adimensionais e, atravs de sua definio, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlaes dependem da geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a conveco natural ou forada, etc. Para o tratamento de qualquer problema de conveco relevante determinar se a camada limite laminar ou turbulenta, j que tanto o atrito superficial como as taxas de transferncia de calor por conveco dependem das condies da camada.

Figura 91 Camada Limite.Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento caracterstico para o qual so definidos os adimensionais a distncia x a partir da origem.

153


A transio para a turbulncia, no interior de tubos, acontecia para nmeros de Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 Rex,c 3 106. Um valor representativo Rex,c = 5 105, ou seja, o nmero de Reynolds crtico (ou de transio) dado por:

Re x =onde:

.u . x

e

Re x ,c =

.u . xc

Rex,c = no de Reynolds crtico (incio de transio do regime laminar para turbulento) Nmero de Reynolds - a relao entre as foras de inrcia e as foras viscosas:

Re L =

VL VL =

Nmero de Prandtl - a relao entre a difusividade de momento e a difusividade trmica relaciona a distribuio de temperatura distribuio de velocidade:

Pr =

c pk

=

Para escoamentos laminares t Pr n . Para gases t , metais lquidos >> t , e para leos 5x105)

turb = 0,37 Re

u .x = 0,37

1 / 5

x 1 / 5 .x

Quando as camadas limite laminar e turbulenta so comparadas, percebe-se que a turbulenta cresce muito mais rpido, j que sua espessura varia com x4/5, enquanto no escoamento laminar, a espessura varia com x1/2. Para escoamentos turbulentos,

tO nmero d Nusselt local dado por

Nux = 0,0296 Re4 / 5 Pr1 / 3 , vlida para 0,6

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Apostila Mec Flu -2008