Apostila Vetores

1C A P T U L O

Vetores

Sem dvida voc j se deparou com a notao de vetores em seus estudos de clculo, assim como na fsica e na engenharia. Para a maioria de vocs, ento, este captulo uma reviso de tpicos familiares, como os produtos escalar e vetorial. Entretanto, na Seo 1.6, consideraremos uma abstrao do conceito de vetores.

Descrio do captulo

1.1 Vetores em duas dimenses

1.2 Vetores em trs dimenses

1.3 Produto escalar

1.4 Produto vetorial

1.5 Retas e planos em trs dimenses

1.6 Espaos vetoriais

1.7 Processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt

Exerccios de reviso

20 CAPTULO 1 Vetores

1.1 Vetores em duas dimenses

Introduo Em cincias, na matemtica e na engenharia, distinguimos duas quantidades importantes: escalares e vetores. Um escalar simplesmente uma quan-tidade ou um nmero real que tem magnitude. Por exemplo, comprimento, tempe-ratura e presso sangnea so representados por nmeros tais como 80 m, 20oC e a razo sistlica/diastlica 120/80. Um vetor, por outro lado, usualmente descrito como uma quantidade que tem tanto magnitude como direo.

Vetores geomtricos Geometricamente, um vetor pode ser representado por um segmento de reta direcionado isto , por uma seta sendo denotado por um smbolo em negrito ou um smbolo com uma seta sobre ele, por exemplo, v, ou . Exem-plos de quantidades vetoriais mostradas na Figura 1.1 so o peso w, a velocidade v e a fora de atrito Ff.

(b)

v

(c)(a)

w w

Ff

Figura 1.1 Exemplos de quantidades vetoriais.

Notao e terminologia Um vetor cujo ponto inicial (ou extremidade) for A e cujo ponto terminal (ou ponta) for B escrito como . A magnitude do vetor

. Dois vetores com a mesma magnitude e a mesma direo so ditos ser iguais. Portanto, na Figura 1.2, temos . Vetores so livres, o que significa que um vetor pode ser movido de uma posio para a outra desde que sua magnitude e dire-o no sejam modificadas. O negativo de um vetor , escrito , um vetor que tem a mesma magnitude que , porm tem direo oposta. Se k 0 for um escalar, o mltiplo escalar de um vetor, k , um vetor |k| vezes maior que . Se k 0, ento k tem a mesma direo que o vetor ; se k 0, ento k tem a direo oposta de . Quando k 0, dizemos 0 0, que o vetor zero.* Dois vetores so paralelos se e somente se eles forem mltiplos escalares no-nulos um do outro. Veja a Figura 1.3.

Adio e subtrao Dois vetores podem ser considerados como tendo um ponto inicial comum, como A na Figura 1.4(a). Dessa forma, se os vetores no-paralelos e forem os lados de um paralelogramo como indica a Figura 1.4(b), dizemos que o vetor que a diagonal principal, ou , a soma de e . Escrevemos

A diferena entre dois vetores e definida como

* A questo sobre qual a direo de 0 usualmente respondida dizendo que o vetor zero pode assu-mir qualquer direo. Mais objetivamente, 0 necessrio para que haja a lgebra vetorial.

B D

CD

AB

A C

|CD| = 3|AB| = 3

Figura 1.2 Os vetores so iguais.

AB 3

2AB 1

4 AB

AB

Figura 1.3 Vetores paralelos.

A

AB

C

B

(a)

A

AB

C

B

(b)

D

AD = AB + AC

AC

AC

Figura 1.4 Vetor a soma de e .

1.1 Vetores em Duas Dimenses 21

Como pode ser visto na Figura 1.5(a), a diferena pode ser interpreta-da como a diagonal principal do paralelogramo com lados e . Entretanto, como ilustrado na Figura 1.5(b), podemos tambm interpretar a mesma diferena vetorial como o terceiro lado de um tringulo com lados e . Nessa segunda interpretao, observe que a diferena vetorial aponta em direo ao ponto terminal do vetor a partir do qual estamos subtraindo o segundo vetor. Se

, ento

Vetores em um plano coordenado Para descrever um vetor analiticamente, va-mos supor para o restante dessa seo que os vetores que estamos considerando se estendem em um plano coordenado de duas dimenses ou bidimensional. Represen-taremos o conjunto de todos os vetores no plano por R2. O vetor indicado na Figura 1.6, com ponto inicial a origem O e ponto terminal P(x1,y1), denominado vetor posio do ponto P, sendo escrito

Componentes Em geral, um vetor a em R2 qualquer par ordenado de nmeros reais,

Os nmeros a1 e a2 so ditos ser as componentes do vetor a.Conforme veremos no primeiro exemplo, o vetor a no necessariamente um

vetor posio.

Exemplo 1 Vetor posioO deslocamento entre o ponto (x,y) e (x 4, y 3) na Figura 1.7(a) escrito 4,3. Como se v na Figura 1.7(b), o vetor posio de 4,3 o vetor que provm da origem e termina no ponto P(4,3).

A adio e subtrao de vetores, multiplicao de vetores por escalares, e assim por diante, so definidas em termos de suas componentes.

Adio, multiplicao escalar e igualdade

Considere a a1,a2 e b b1,b2 vetores em R2. (i) Adio: a b a1 b1, a2 b2 (1) (ii) Multiplicao escalar: ka ka1, ka2 (2) (iii) Igualdade: a b se e somente se a1 b1, a2 b2 (3)

D E F I N I O 1 . 1

Subtrao Utilizando (2), definimos o negativo de um vetor b como

Podemos definir a subtrao, ou a diferena, de dois vetores como

(4)

(a)

B

AC

AB

A

B

C

(b)

CB = AB AC

AC

ACAC

AB + ( AC)

Figura 1.5 Vetor a diferena de e .

y

x

OP

O

P(x1, y1)

Figura 1.6 Vetor posio.

y

x

a

(a)y

x

a

O(b)

P(4, 3)

(x, y)

(x + 4, y + 3)

Figura 1.7 Vetores em (a) e (b) so iguais.


Na Figura 1.8(a), mostramos a soma de dois vetores e . Na Figura 1.8(b), o vetor , com ponto inicial P1 e ponto terminal P2, a diferena dos vetores posio

Conforme ilustrado na Figura 1.8(b), o vetor pode ser desenhado comeando do ponto terminal de e terminando no ponto terminal de , ou como o vetor posi-o cujas coordenadas do ponto terminal (x2 x1, y2 y1). Relembre, e so considerados iguais, pois eles tm a mesma magnitude e a mesma direo.

Exemplo 2 Adio e subtrao de dois vetoresSe a 1,4 e b 6,3, calcule a b, a b e 2a 3b.

Soluo Utilizamos (1), (2) e (4).

Propriedades A definio de componente de um vetor pode ser utilizada para verificar cada uma das seguintes propriedades dos vetores em R2.

Propriedades dos vetores

(i) a b b a (Lei comutativa) (ii) a (b c) (a b) c (Lei associativa) (iii) a 0 a (Identidade aditiva) (iv) a (a) 0 (Inverso aditiva) (v) k(a b) ka kb, k um escalar (vi) (k1 k2)a k1a k2a, k1 e k2 escalares (vii) k1(k2a) (k1k2)a, k1 e k2 escalares (viii) 1a a (ix) 0a 0 (Vetor zero)O vetor zero 0 nas propriedades (iii), (iv) e (ix) definido como

Magnitude A magnitude, comprimento ou norma de um vetor a representada por ||a||. Motivados pelo Teorema de Pitgoras e pela Figura 1.9, definimos a magni-tude de um vetor

como sendo

Evidentemente, ||a|| 0 para qualquer vetor a, e ||a|| 0 se e somente se a 0. Por exemplo, se a 6,2, ento

Vetores unitrios Um vetor que tem magnitude 1 denominado vetor unitrio. Po-demos obter um vetor unitrio u na mesma direo de um vetor no-nulo a multiplicando a pelo recproco da sua magnitude. O vetor u (1/||a||)a um vetor unitrio, pois

y

xO

y

xO

OP

(a)

(b)

P(x1 + x2, y1 + y2)

P1(x1, y1)

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

P2(x2, y2)

OP1

OP1

OP2

OP2

OP1 + OP2

P(x2 x1, y2 y1)P1P2

Figura 1.8 Em (b), e so o mesmo vetor.

x

y

aa2

a1

Figura 1.9 Um tringulo reto.


Exemplo 3 Vetores unitrios

Dado a 2,1, forme um vetor unitrio na mesma direo de a e um vetor unitrio na direo oposta de a.

Soluo A magnitude do vetor a . Logo, um vetor unitrio na mesma direo de a o mltiplo escalar

Um vetor unitrio na direo oposta de a o negativo de u:

Se a e b forem vetores e c1 e c2 forem escalares, ento a expresso c1a c2b de-nominada combinao linear de a e b. Conforme ser visto a seguir, qualquer vetor em R2 pode ser escrito como uma combinao linear de dois vetores especiais.

Os vetores i e j Sob o ponto de vista de (1) e (2), qualquer vetor a a1,a2, pode ser escrito como uma soma:

(5)Aos vetores unitrios 1,0 e 0,1 so dados usualmente os smbolos i e j. Veja a Figura 1.10(a). Assim, se

ento (5) se torna (6)Os vetores unitrios i e j so ditos formar uma base para o sistema de vetores de duas dimenses, pois qualquer vetor a pode ser escrito unicamente como uma combinao linear de i e j. Se a a1i a2j for um vetor posio, ento a Figura 1.10(b) mostra que a a soma dos vetores a1i e a2j, que tm a origem como um ponto inicial comum e que se estendem nos eixos x e y, respectivamente. O escalar a1 chamado de componente horizontal de a, e o escalar a2 chamado de com-ponente vertical de a.

Exemplo 4 Operaes vetoriais utilizando i e j

(a) 4,7 4i 7j(b) (2i 5j) (8i 13j) 10i 8j(c) ||i j|| (d) 10(3i j) 30i 10j(e) a 6i 4j e b 9i 6j so paralelos, pois b um mltiplo escalar de a. Vemos

que .

Exemplo 5 Grficos de soma vetorial / diferena vetorial

Considere a 4i 2j e b 2i 5j. Faa o grfico de a b e a b.

x

y

a

(b)

y

x

(a)

j

i

a1j

a1i

Figura 1.10 i e j formam uma base para R2.


Soluo Os grficos de a b 2i 7j e a b 6i 3j esto indicados nas Figuras 1.11(a) e 1.11(b), respectivamente.

y

ax

b

(a)

y

a

x

b

(b)

a + ba b

a b

Figura 1.11 Soma a b em (a); diferena a b em (b).

EXERCCIOS 1.1 As respostas de problemas mpares selecionados esto na pgina 285.

Nos Problemas 1-8, calcule (a) 3a, (b) a b, (c) a b, (d) || a b|| e (e) || ab||. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Nos Problemas 9-14, calcule (a) 4a 2b e (b) 3a 5b. 9.

10. 11.

12. 13.

14.

Nos Problemas 15-18, obtenha os vetores . Faa o grfico de e do seu vetor posio correspondente.

15. 16.

17. 18.

19. Obtenha o ponto terminal do vetor 4i 8j conside-rando que o seu ponto inicial seja (3,10).

20. Obtenha o ponto terminal do vetor 5,1 consi-derando que o seu ponto inicial seja 4,7.

21. Determine quais dos seguintes vetores so paralelos a a 4i 6j.

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

22. Determine um escalar c de modo que a 3i cj e b i 9j sejam paralelos.

Nos Problemas 23 e 24, calcule a (b c) para os vetores indicados. 23.

24.

Nos Problemas 25-28, obtenha um vetor unitrio (a) na mesma direo de a, e (b) na direo oposta de a. 25. 26.

27. 28.

Nos Problemas 29 e 30, a 2,8 e b 3,4. Obtenha um vetor unitrio na mesma direo dos vetores indicados. 29. 30.

Nos Problemas 31 e 32, determine um vetor b que seja paralelo ao vetor especificado e tenha a magnitude indicada. 31. 32.

33. Determine um vetor na direo oposta de a 4,10, porm maior.

34. Considerando a 1,1 e b 1,0, determine um vetor na mesma direo de a b, porm 5 vezes maior.


Nos Problemas 35 e 36, utilize a figura dada para ilustrar o vetor indicado 35. 36.

a

b

Figura 1.12 Vetores para o Problema 35.

a c

b


Nos Problemas 37 e 38, expresse o vetor x em termos dos vetores a e b. 37. 38.

a

b

x

Figura 1.14 Vetor x no Problema 37.

x

b

a

ponto mdio de x

Figura 1.15 Vetor x no Pro-blema 38.

Nos Problemas 39 e 40, utilize a figura dada para demonstrar o resultado indicado. 39. a b c 0 40. a b c d 0

a

c b


a

b

c

d


Nos Problemas 41 e 42, expresse o vetor a 2i 3j como uma combinao linear dos vetores b e c indicados. 41.

42.

Um vetor dito ser tangente a uma curva em um ponto se ele for paralelo reta tangente no ponto. Nos Problemas 43 e 44, atribua um vetor tangente unitrio curva dada no ponto indicado. 43. 44.

45. Enquanto caminha, o p de uma pessoa atinge o solo com uma fora F em um ngulo em relao vertical. Na Figura 1.18, o vetor F est dividido em componentes ve-toriais Fg, paralela ao solo, e Fn, perpendicular ao solo. Para que o p no deslize, a fora Fg tem que ser contra-balanada pela fora de oposio Ff do atrito, ou seja, Ff Fg.

(a) Use o fato que ||Ff || ||Fn||, onde o coeficiente de atrito, para mostrar que tg . O p no deslizar para ngulos menores ou iguais a .

(b) Dado que 0,6 para um salto de borracha em con-tato com uma calada de asfalto, obtenha o ngulo de no-deslizamento.

F

Ff Fg

Fn

Figura 1.18 Vetor F no Problema 45.

46. Um semforo de 600 N sustentado por dois cabos est em equilbrio. Conforme ilustrado na Figura 1.19(b), seja o peso do semforo representado por w e as foras nos dois cabos indicadas por F1 e F2. A partir da Figura 1.19(c), temos que uma condio de equilbrio

(6)Veja o Problema 39. Se

use (7) para determinar as magnitudes de F1 e F2. [Sugesto: Releia (iii) da Definio 1.1.]

(a)

w

O

(b)

w

(c)

15 20

F1

F1

F2

F2

Figura 1.19 Trs vetores foras no Problema 46.


47. Uma carga eltrica Q est uniformemente distribuda ao longo do eixo y entre y a e y a.Veja a Figura 1.20. A fora total exercida sobre a carga q no eixo x pela carga Q F Fxi Fyj, onde

e

Determine F.

x

yQ

a

L q

a

Figura 1.20 Carga no eixo x no Problema 47.

48. Utilizando vetores, mostre que as diagonais de um paralelo-gramo dividem umas s outras ao meio. [Sugesto: Seja M o ponto mdio de uma diagonal e N o ponto mdio da outra.]

49. Utilizando vetores, mostre que o segmento de reta entre os pontos mdios de dois lados de um tringulo paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento.

50. Um avio comea o vo a partir de um aeroporto localizado na origem O e voa 150 km na direo 20o do norte a leste para a cidade A. A partir de A, o avio ento voa 200 km na direo 23o oeste a norte para a cidade B. A partir de B, o avio voa 240 km na direo 10o sul a oeste para a cidade C. Expresse a localizao da cidade C como um vetor r con-forme indicado na Figura 1.21. Determine a distncia de O para C.

y

B

A

xO

r

C

O

N

L

S

23

10

20

Figura 1.21 Avio no Problema 50.

1.2 Vetores em trs dimenses

Introduo No plano, ou espao de duas dimenses, uma forma de se descrever a posio de um ponto P designar a ele coordenadas relativas a dois eixos mutu-amente ortogonais ou perpendiculares, eixos denominados x e y. Se P for o ponto de interseo da reta x a (perpendicular ao eixo x) e da reta y b (perpendicular ao eixo y), ento o par ordenado (a, b) dito ser as coordenadas retangulares ou cartesianas do ponto. Veja a Figura 1.22. Nessa seo, estenderemos as noes de coordenadas cartesianas e vetores para trs dimenses.

Sistema de coordenadas retangulares em trs dimenses Em trs dimenses ou 3D, um sistema de coordenadas retangulares construdo utilizando-se trs eixos mu-tuamente ortogonais. O ponto no qual esses eixos se cruzam chamado de origem O. Esses eixos, apresentados na Figura 1.23(a), so rotulados de acordo com a chamada

y

xO

x = a

y = b P(a, b)

Figura 1.22 Coordenadas retangulares em duas dimenses.

y

x

z

planox = a

planoy = b

b

ac

(b)

planoz = c

y

z

x

O

(a) mo direita

P(a, b, c)

Figura 1.23 Coordenadas retangulares em trs dimenses.

1.2 Vetores em Trs Dimenses 27

regra da mo direita: se os dedos da mo direita, apontando na direo do eixo |x| positivo, forem curvados em direo ao eixo y positivo, ento o dedo polegar apontar na direo de um novo eixo perpendicular ao plano dos eixos x e y. Esse novo eixo rotulado como eixo z. As linhas tracejadas na Figura 1.23(a) representam os eixos negativos. Agora, se

forem planos perpendiculares aos eixos a, y e z, respectivamente, ento o ponto P no qual esses planos se cruzam podem ser representados por um triplo ordenado de nmeros (a, b, c) que so as coordenadas retangulares ou cartesianas do ponto. Os nmeros a, b e c so, respectivamente, as coordenadas x, y e z de P(a, b, c). Veja a Figura 1.23(b).

Octantes Cada par de eixos coordenados determina um plano coordenado. Conforme indicado na Figura 1.24, os eixos x e y determinam o plano xy, os eixos z e z determinam o plano xz, e assim por diante. Os planos coordenados dividem as trs dimenses em oito partes conhecidas como octantes. O octante no qual todas as trs coordenadas de um ponto so positivas denominado primeiro octante. No existe nenhuma conveno para nomear os outros sete octantes.

A tabela a seguir resume as coordenadas de um ponto em um eixo coordenado ou em um plano coordenado. Como pode ser visto na tabela, podemos tambm descre-ver, por exemplo, o plano xy pela equao simples z 0. De modo similar, o plano xz y 0 e o plano yz x 0.

Eixos Coordenadas Plano Coordenadas

x (a, 0, 0) xy (a, b, 0)y (0, b, 0) xz (a, 0, c)z (0, 0, c) yz (0, b, c)

Exemplo 1 Grficos de trs pontosTrace o grfico dos pontos (4, 5, 6), (3,3,1) e (2,2, 0).

Soluo Dos trs pontos apresentados na Figura 1.25, somente (4, 5, 6) est no primeiro octante. O ponto (2,2, 0) est no plano xy.

Frmula da distncia Para obter a distncia entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) em trs dimenses, consideraremos primeiro suas projees no plano xy. Confor-me visto na Figura 1.26, a distncia entre (x1, y1, 0) e (x2, y2, 0) decorre da frmula da dis-tncia usual no plano, sendo . Se as coordenadas de P3 forem (x2, y2, z1), ento o Teorema de Pitgoras aplicado ao tringulo reto P1P2P3 resulta em

ou (1)

Exemplo 2 Distncia entre dois pontosDetermine a distncia entre (2,3, 6) e (1,7, 4).

Soluo Escolhendo P2 como sendo (2,3, 6) e P1 como (1,7, 4), a frmula (1) nos d

Frmula do ponto mdio A frmula para obteno do ponto mdio de um seg-mento de reta entre dois pontos em duas dimenses se aplica de modo anlogo s

z

x

y

plano xz

plano xy

plano yz

Figura 1.24 Octantes.

y

z

x

(2, 2, 0)

(4, 5, 6)

(3, 3, 1)

Figura 1.25 Pontos no Exemplo 1.

z

x

d

y

|z2 z1|P1

P2

P3

(x2 x1)2 + (y2 y1)2

Figura 1.26 Distncia d entre dois pontos em trs dimenses.


trs dimenses. Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) forem dois pontos distintos, ento as coordenadas do ponto mdio do segmento de reta entre eles so

(2)

Exemplo 3 Coordenadas de um ponto mdioDetermine as coordenadas do ponto mdio de um segmento de reta entre os dois pontos no Exemplo 2.

Soluo A partir de (2), obtemos

Vetores em trs dimenses Um vetor em trs dimenses em qualquer triplo ordenado de nmeros reais

onde a1, a2 e a3 so as componentes do vetor. O conjunto de todos os vetores em trs dimenses ser representado pelo smbolo R3. O vetor posio de um ponto P(x1, y1, z1) no espao o vetor x1, y1, z1 cujo ponto inicial a origem O e cujo ponto terminal P. Veja a Figura 1.27.

As definies das componentes de adio, subtrao, multiplicao escalar e as-sim por diante so generalizaes naturais daquelas dadas para os vetores em R2.

Definies das componentes em trs dimenses

Sejam a a1, a2, a3 e b b1, b2, b3 vetores em R3. (i) Adio: a b a1 b1, a2 b2, a3 b3 (ii) Multiplicao escalar: ka ka1, ka2, ka3 (iii) Igualdade: a b se e somente se a1 b1, a2 b2, a3 b3 (iv) Negativo:b (1)b b1,b2,b3 (v) Subtrao: a b a (b) a1b1, a2b2, a3b3 (vi) Vetor zero: 0 0, 0, 0 (vii) Magnitude:

D E F I N I O 1 . 2

Se e forem os vetores posio dos pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2), ento o vetor dado por

(2)Como em duas dimenses, podem ser traados como um vetor cujo ponto inicial P1 e cujo ponto terminal P2, ou como um vetor posio com ponto terminal

Veja a Figura 1.28.

Exemplo 4 Vetor entre dois pontosDetermine o vetor considerando que os pontos P1 e P2 so dados por P1(4, 6,2) e P2(1, 8, 3).

x

z

y

OP

O

P(x1, y1, z1)

Figura 1.27 Vetor posio.

x

y

P

OPO

z

OP2OP1

P1(x1, y1, z1)P1P2

P2(x2, y2, z2)

Figura 1.28 e so o mesmo vetor.

1.2 Vetores em Trs Dimenses 29

Soluo Se os vetores posio dos pontos so 4, 6,2 e 1, 8, 3, ento a partir de (3) temos

Exemplo 5 Magnitude de um vetorA partir do item (vii) da Definio 1.2, temos que um vetor unitrio, pois

Os vetores i, j, k Vimos na seo anterior que os vetores unitrios i 1, 0 e j 0, 1 so uma base para o sistema de vetores de duas dimenses em que qualquer vetor a em duas dimenses pode ser escrito como uma combinao linear de i e j: a a1i a2j. Uma base para o sistema de vetores de trs dimenses dada pelo conjunto de vetores unitrios

Qualquer vetor a a1, a2, a3 em trs dimenses pode ser escrito como uma combi-nao linear de i, j e k:

isto , Os vetores i, j e k so ilustrados na Figura 1.29(a). Na Figura 1.29(b), vemos que um vetor posio a a1i a2j a3k a soma dos vetores a1i, a2j e a3k que se estendem ao longo dos eixos coordenados e tm a origem como um ponto inicial comum.

Exemplo 6 Vetor expressado em termos de i, j e kO vetor a 7,5, 13 o mesmo que a 7i 5j 13k.

Quando a terceira dimenso considerada, qualquer vetor no plano xy des-crito equivalentemente como um vetor tridimensional que se estende no plano coordenado z 0. Apesar dos vetores a1, a2 e a1, a2, 0 serem tecnicamente diferentes, ignoraremos a distino. Por isso, por exemplo, indicaremos 1, 0 e 1, 0, 0 pelo mesmo smbolo i. Porm, para evitar qualquer confuso possvel, daqui em diante sempre consideraremos um vetor como um vetor tridimensional, e os smbolos i e j representaro somente 1, 0, 0 e 0, 1, 0, respectivamente. De modo similar, um vetor no plano xy ou no plano xz tem que ter uma componente zero. No plano yz, um vetor

No plano xz, um vetor

Exemplo 7 Vetor no plano xz

(a) O vetor a 5i 3k est no plano coordenado xz.(b)

x

y

(b)

a

z

k

ij

(a)x

z

y

a3k

a2ja1i

Figura 1.29 i, j e k formam uma base para R3.


Exemplo 8 Combinao linearSe a 3i 4j 8k e b i 4k, obtenha 5a 2b.

Soluo Tratamos b como um vetor tridimensional e escrevemos, para enfatizar, b i 0j 4k. De

obtemos

Nos Problemas 1-6, faa o grfico do ponto indicado. Use os mesmos eixos coordenados. 1. 2.

3. 4.

5. 6.

Nos Problemas 7-10, descreva geometricamente todos os pontos P(x, y, z) que satisfazem a condio indicada. 7. 8.

9. 10.

11. Determine as coordenadas dos vrtices do paraleleppedo retangular cujos lados so os planos coordenados e os pla-nos x 2, y 5, z 8.

12. Na Figura 1.30, dois vrtices de um paraleleppedo retangu-lar com lados paralelos aos planos coordenados esto indica-dos. Determine as coordenadas dos seis vrtices restantes.

y

x

z (1, 6, 7)

(3, 3, 4)

Figura 1.30 Paraleleppedo retangular no Problema 12.

13. Considere o ponto P(2, 5, 4).(a) Se retas forem traadas a partir de P perpendiculares

aos planos coordenados, quais so as coordenadas do ponto na base de cada reta perpendicular?

(b) Se uma reta for traada a partir de P para o plano z 2, quais so as coordenadas do ponto na base da reta perpendicular?

(c) Obtenha o ponto no plano x 3 que est mais prximo de P.

14. Determine uma equao de um plano paralelo a um plano coordenado que contenha os pares de pontos indicados.

(a) (b) (c)

Nos Problemas 15-20, descreva o local dos pontos P(x, y, z) que satisfazem a(s) equao(es) dadas. 15. 16.

17.

18.

19. 20.

Nos Problemas 21 e 22, obtenha a distncia entre os pontos in-dicados. 21. 22.

23. Determine a distncia do ponto (7,3,4) para (a) o plano yz e (b) o eixo x.

24. Determine a distncia do ponto (6, 2,3) para (a) o plano xz e (b) a origem.

Nos Problemas 25-28, os trs pontos indicados formam tringu-los. Determine quais tringulos so issceles e quais so trin-gulos retos. 25.

26.

27.

28.

Nos Problemas 29 e 30, use a frmula da distncia para demons-trar que os pontos indicados so colineares. 29.

30.

Nos Problemas 31 e 32, resolva em relao incgnita. 31.

32.


1.3 Produto Escalar 31

Nos Problemas 33 e 34, determine as coordenadas do ponto m-dio do segmento de reta entre os pontos indicados. 33. 34.

35. As coordenadas do ponto mdio do segmento de reta entre P1(x1, y1, z1) e P2(2, 3, 6) so (1,4, 8). Determine as co-ordenadas de P1.

36. Seja P3 o ponto mdio do segmento de reta entre P1(3, 4, 1) e P2(5, 8, 3). Determine as coordenadas do ponto mdio do segmento de reta (a) entre P1 e P3 e (b) entre P3 e P2.

Nos Problemas 37-40, determine o vetor . 37.

38.

39.

40.

Nos Problemas 41-48, a 1,3, 2, b 1, 1, 1 e c 2, 6, 9. Determine o vetor ou escalar indicado. 41. 42.

43. 44.

45. 46.

47.

48.

49. Determine um vetor unitrio na direo oposta de a 10,5, 10.

50. Determine um vetor unitrio na mesma direo de a i 3j 2k.

51. Determine um vetor b que tenha comprimento 4 vezes maior que a i j k na mesma direo de a.

52. Determine um vetor b no qual que seja paralelo a a 6, 3,2 mas que tenha a direo oposta.

53. Utilizando os vetores a e b mostrados na Figura 1.31, esbo-ce o vetor mdio .

y

x

z a

b


1.3 Produto escalar

Introduo Nesta e na prxima seo, consideraremos dois tipos de produtos entre vetores que se originaram do estudo de mecnica, eletricidade e magnetismo. O primeiro desses produtos conhecido como produto escalar ou produto interno.

Uma definio O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e comumente representado por a b.

Produto escalar de dois vetoresO produto escalar de dois vetores a e b o escalar

(1)onde o ngulo entre os vetores de modo que 0 .

D E F I N I O 1 . 3

A Figura 1.32 ilustra o ngulo em trs casos. Se os vetores a e b no forem paralelos, ento o menor dos dois possveis ngulos entre eles.

Exemplo 1 Produto escalar utilizando (1)A partir de (1), obtemos

(2)pois ||i|| ||j|| ||k|| 1, e em cada caso cos 1.

b

a

(a)

(b)b

a

(c)

ba

Figura 1.32 ngulo em (1).


Forma em componentes do produto escalar O produto escalar pode ser escrito em termos das componentes de dois vetores. Suponha que seja o ngulo entre os vetores a a1i a2j a3k e b b1i b2j b3k. Ento o vetor

o terceiro lado do tringulo indicado na Figura 1.33. Pela lei dos co-senos, podemos escrever

(3)Utilizando (b2 a2)2 (b3 a3)2, podemos simplificar o lado direito da segunda equao em (3) para a1b1 a2b2 a3b3. Como o lado esquerdo dessa equao a definio do produto escalar, obtemos uma forma alternativa do produto escalar:

(4)Em outras palavras, o produto escalar de dois vetores a soma dos produtos das suas componentes correspondentes.

Exemplo 2 Produto Escalar Utilizando (4)

Se a 10i 2j 6k e 4j 3k, ento decorre de (4) que

Propriedades O produto escalar possui as seguintes propriedades.

Propriedades do produto escalar

(i) se ou (ii) (lei comutativa) (iii) (lei distributiva) (iv) k um escalar (v) (vi)

Cada uma dessas propriedades, com a possvel exceo de (iii), deve ser bvia a partir de (1). Observe que (vi) diz que a magnitude de um vetor

pode ser escrita em termos do produto escalar:

Podemos utilizar (4) para demonstrar (iii). Se a a1i a2j a3k, b b1i b2j b3k, e c c1i c2j c3k, ento a partir de (4) temos

Vetores ortogonais Se a e b forem vetores no-zero, ento a Definio 1.3 im-plica que

(i) a b 0 se e somente se for agudo, (ii) a b 0 se e somente se for obtuso, e (iii) a b 0 se e somente se cos 0.

a

b

c

Figura 1.33 Vetor c utilizado para obter (4).


Porm, no ltimo caso, o nico nmero em [0, ] para o qual cos 0 /2. Quando /2, dizemos que os vetores so perpendiculares ou ortogonais. As-sim, somos levados ao seguinte resultado:

Critrio para vetores ortogonaisDois vetores no-zero a e b so ortogonais se e somente se a b 0.

T E O R E M A 1 . 1

Como 0 b 0 para todo vetor b, o vetor zero ortogonal em relao a todo vetor.

Exemplo 3 i, j e k so vetores ortogonais

Decorre imediatamente do Teorema 1.1 e do fato do produto escalar ser comutativo que

(5)

Exemplo 4 Vetores ortogonais

Se a 3i j 4k e b 2i 14j 5k, ento

A partir do Teorema 1.1, conclumos que a e b so ortogonais.

ngulo entre dois vetores Igualando as duas formas do produto escalar, (1) e (4), podemos determinar o ngulo entre dois vetores a partir de

(6)

Exemplo 5 ngulos entre dois vetores

Determine o ngulo entre a 2i 3j k e b i 5j k.Soluo De , vemos de (6) que

e assim 0,77 radianos ou 44,9o.

Co-senos direcionais Para um vetor no-zero a a1i a2j a3k em trs di-menses, os ngulos , e entre a e os vetores unitrios i, j e k, respectivamente, so denominados ngulos direcionais de a. Veja a Figura 1.34. Agora, de (6),

que se simplifica para

a

kj

i

z

x

y

Figura 1.34 ngulos direcionais , e .


Dizemos que cos , cos e cos so os co-senos direcionais de a. Os co-senos di-recionais de um vetor a no-zero so simplesmente as componentes do vetor unitrio (1/||a||)a:

Como a magnitude de (1/||a||)a 1, segue-se da ltima equao que

Exemplo 6 ngulos/co-senos direcionaisObtenha os co-senos direcionais e ngulos direcionais do vetor a 2i 5j 4k.

Soluo A partir de , temos que os co-senos direcionais so

Os ngulos direcionais so

radianos ou

radiano ou

radiano ou

Observe no Exemplo 6 que

Componente de a em b A lei distributiva e (5) nos permitem expressar as com-ponentes de um vetor a a1i a2j a3k em termos do produto escalar:

(7)Simbolicamente, escrevemos as componentes de a como

(8)Veremos agora que os resultados indicados em (8) nos levam a obter a componente de a em um vetor arbitrrio b. Observe que em pelo menos um dos dois casos ilus-trados na Figura 1.35,

(9)Na Figura 1.35(b), compba 0, pois /2 . Agora, escrevendo (9) como

vemos que

(10)

Em outras palavras, para obter a componente de a em um vetor b, fazemos o produto escalar de a na direo de b.

Exemplo 7 Componente de um vetor em outro vetorConsidere a 2i 3j 4k e b i j 2k. Determine compba e compab.

a

b

(a)

b

a

(b)

||a|| cos

||a|| cos

Figura 1.35 Componente de a em b.


Soluo Primeiro formamos um vetor unitrio na direo de b:

Assim, a partir de (10) temos

Modificando (10), temos

Portanto,

e

Interpretao fsica do produto escalar Quando uma fora constante de mag-nitude F move um objeto por uma distncia d na mesma direo da fora, o trabalho realizado simplesmente W Fd. Entretanto, se uma fora constante F aplicada em um corpo atua em um ngulo em relao direo do movimento, ento o trabalho feito por F definido como sendo o produto da componente de F na direo do des-locamento e a distncia ||d|| deslocada pelo corpo:

Veja a Figura 1.36. Decorre da Definio 1.3 que se F causar um deslocamento d de um corpo, ento o trabalho realizado ser

(11)

Exemplo 8 Trabalho realizado por uma fora constanteDetermine o trabalho realizado por uma fora constante F 2i 4j considerando que o seu ponto de aplicao em um bloco se move de P1(1,1) para P2(4,6). Considere que ||F|| seja medida em newtons e ||d|| seja medido em metros.

Soluo O deslocamento do bloco dado por

Decorre de (11) que o trabalho realizado

Projeo de a sobre b Conforme ilustrado na Figura 1.37, a projeo de um vetor a em qualquer uma das direes determinadas por i, j, k simplesmente o vetor formado pela multiplicao da componente de a na direo especificada pelo vetor unitrio naquela direo; por exemplo,

e assim por diante. A Figura 1.38 mostra o caso geral da projeo de a sobre b:

(12)

Exemplo 9 Projeo de um vetor em outro vetorDetermine a projeo de a 4i j sobre o vetor b 2i 3j. Faa o grfico.

F

d

||F|| cos

Figura 1.36 Trabalho realizado por uma fora F.

y

x

z

a

k

ij

projka

projja

projia

Figura 1.37 Projeo de a sobre i, j e k.

a

b

b1vetorunitrio

projba||b||

Figura 1.38 Projeo de a sobre b.


Nos Problemas 1 e 2, determine a b considerando que o menor ngulo entre a e b seja conforme indicado. 1.

2.

Nos Problemas 3-14, a 2,3, 4, b 1, 2, 5 e c 3, 6,1. Obtenha o escalar ou vetor indicado. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. Determine quais pares dos seguintes vetores so ortogonais:(a) (b) (c) (d) (e) (f)

16. Determine um escalar c de modo que os vetores indicados sejam ortogonais.(a) (b)

17. Determine um vetor v x1, y1, 1 que seja ortogonal tanto a a 3, 1,1 quanto a b 3, 2, 2.

18. Um rombo um paralelogramo com ngulo oblquo com todos os quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para mostrar que as diagonais de um rombo so perpendiculares.

19. Verifique que o vetor

ortogonal em relao ao vetor a.

20. Determine um escalar c de modo que o ngulo entre a i cj e b i j seja 45o.

Nos Problemas 21-24, determine o ngulo entre os vetores in-dicados. 21.

22.

23.

24.

Nos Problemas 25-28, determine os co-senos direcionais e os n-gulos direcionais do vetor indicado. 25. 26.

27. 28.

29. Determine o ngulo entre a diagonal do cubo ilustrado na Figura 1.40 e a aresta AB. Obtenha o ngulo entre a dia-gonal AD do cubo e a diagonal .

z

D

C B

Ay

x

Figura 1.40 Diagonal no Problema 29.

30. Mostre que se dois vetores no-zero a e b so ortogonais, ento seus co-senos direcionais satisfazem

31. Um avio est a 4 km de altura, 5 km ao sul e 7 km a leste de um aeroporto. Veja a Figura 1.41. Determine os ngulos direcionais do avio.

Soluo Primeiro, determinamos a componente de a e b. Como , ob-temos a partir de (10) que

Assim, de (11),

O grfico desse vetor est indicado na Figura 1.39.

b

a

y

x

+2213

i 3313

j

Figura 1.39 Projeo de a sobre b no Exemplo 9.



paracima

aeroporto5

S 7

4 E

Figura 1.41 Avio no Problema 31.

32. Determine um vetor unitrio cujos ngulos direcionais, rela-tivos aos trs eixos coordenados, so iguais.

Nos Problemas 33-36, a 1,1, 3 e b 2, 6, 3. Determine o nmero indicado. 33. 34.

35. 36.

Nos Problemas 37 e 38, obtenha a componente do vetor indicado na direo a partir da origem at o ponto indicado. 37.

38.

Nos Problemas 39-42, obtenha projba. 39.

40.

41.

42.

Nos Problemas 43 e 44, a 4i 3j e b i j. Determine o vetor indicado. 43. 44.

45. Um tren puxado verticalmente sobre o gelo por uma corda conectada sua parte dianteira. Uma fora de 20 N atuando com um ngulo de 60o em relao horizontal des-loca o tren 100 m. Calcule o trabalho realizado.

46. Determine o trabalho realizado considerando que o ponto no qual a fora constante F 4i 3j 5k aplicada em um ob-jeto se desloca de P1(3, 1,2) para P2(2, 4, 6). Considere que ||F|| seja medido em newtons e ||d|| seja medido em metros.

47. Um bloco com peso w puxado ao longo de uma superfcie horizontal sem atrito por uma fora constante F de magnitu-de 30 N na direo dada por um vetor d. Veja a Figura 1.42. Considere que ||d|| seja medido em metros.

F

w d

Figura 1.42 Bloco no Problema 47.

(a) Qual o trabalho realizado pelo peso w?(b) Qual o trabalho realizado pela fora F se d 4i 3j?

48. Uma fora constante F de magnitude 3 N aplicada ao bloco ilustrado na Figura 1.43. F tem a mesma direo do vetor a 3i 4j. Determine o trabalho realizado na direo do mo-vimento considerando que o bloco se mova de P1(3,1) para P2(9,3). Considere que a distncia seja medida em metros.

Fy

x

Figura 1.43 Bloco no Problema 48.

49. Na molcula de metano CH4, os tomos de hidrognio esto posicionados nos quatro vrtices de um tetraedro retangular. Veja a Figura 1.44. A distncia entre o centro de um tomo de hidrognio e o centro de um tomo de carbono 1,10 an-gstroms (1 angstrom 1010 metros), e o ngulo da ligao hidrognio-carbono-hidrognio 109,5o. Utilizando apenas mtodos vetoriais, determine a distncia entre dois tomos de hidrognio.

H H

H

C

H

Figura 1.44 Molcula no Problema 49.

50. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: |a b| ||a|| ||b||.

51. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade do tringulo: ||a b|| ||a|| ||b||. [Sugesto: Considere a pro-priedade (vi) do produto escalar.]

52. Prove que o vetor n ai bj perpendicular reta cuja equao ax by c 0. [Sugesto: Considere P1(x1, y1) e P2(x2, y2) pontos distintos na reta.]

53. Utilize o resultado do Problema 52 e a Figura 1.45 para mos-trar que a distncia d a partir de um ponto P1(x1, y1) at uma reta ax by c 0 .

y

x

d

n

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

ax + by + c = 0

Figura 1.45 Distncia d no Problema 53.


1.4 Produto vetorial

Introduo Ao contrrio do produto escalar, que tem como resultado um escalar ou um nmero, o prximo produto especial de dois vetores a e b outro vetor, sendo chamado de produto vetorial.

Uma definio O produto vetorial dos vetores a e b denotado por a b.

Produto vetorial de dois vetoresO produto vetorial de dois vetores a e b em R3 o vetor

(1)onde o ngulo existente entre os vetores de modo que 0 , e n um vetor unitrio perpendicular ao plano de a e b com a direo indicada pela regra da mo direita.

D E F I N I O 1 . 4

Conforme visto na Figura 1.46(a), se os dedos da mo direita apontarem ao longo do vetor a e ento se curvarem em direo ao vetor b, o dedo polegar dar a direo de n, e conseqentemente a b. Na Figura 1.46(b), a regra da mo direita mostra a direo b a.

n

a b mo direita

(a)

mo direita

b

a

n

(b)

b a

a b

Figura 1.46 Regra da mo direita.

Exemplo 1 Torque como produto vetorialEm fsica, a fora F que atua na extremidade de um vetor posio r, como ilustrado na Figura 1.47, dita produzir um torque definido por r F. Por exemplo, se ||F|| 20 N, ||r|| 3,5 m e 30o, ento a partir de (1) |||| (3,5)(20)sen 30o 35 N.m. Se F e r estiverem no plano da pgina, a regra da mo direita implica em que a direo de seja para fora e perpendicular pgina (em direo ao leitor).

Conforme pode ser visto na Figura 1.48, quando uma fora F aplicada a uma chave de parafuso, a magnitude do torque uma medida do efeito de rotao sobre o ponto do eixo P, e o vetor est direcionado ao longo do eixo do parafuso. Nesse caso, aponta para dentro da pgina.

Propriedades O produto vetorial tem as seguintes propriedades.

Propriedades do produto vetorial

(i) (ii) (iii) (Leis distributivas) (iv) (v) k um escalar (vi)

F

r

x

y

||F|| sen

Figura 1.47 Vetores no Exemplo 1.

rF

P

Figura 1.48 Vetores no Exemplo 1.

1.4 Produto Vetorial 39

(vii) (viii)

A propriedade (vi) decorre de (1), pois 0. As propriedades (vii) e (viii) esto relacionadas ao fato de que a b perpendicular ao plano contendo a e b. A proprie-dade (ii) deve ser intuitivamente clara com base na Figura 1.46.

Vetores paralelos Quando o ngulo entre dois vetores no-zero 0 ou , ento sen 0, e assim temos que ter a b 0. Isso enunciado formalmente no prximo teorema.

Critrio para vetores paralelosDois vetores no-zero a e b so paralelos se e somente se a b 0.

T E O R E M A 1 . 2

Exemplo 2 Vetores paralelos

(a) A partir da propriedade (vi) temos

(2)

(b) Se a 2i j k e b 6i 3j 3k 3a, ento a e b so paralelos. Portanto, do Teorema 1.2, a b 0. Observe que esse resultado tambm decorre da com-binao das propriedades (v) e (vi). A partir de (1), se a i, b j, ento

(3)

Porm, como um vetor unitrio perpendicular ao plano que contm i e j com a direo dada pela regra da mo direita k, segue-se de (3) que n k. Em outras palavras, i j k.

Exemplo 3 Um mnemnico

Os produtos vetoriais de qualquer par de vetores no conjunto i, j, k podem ser obtidos pelo mnemnico circular ilustrado na Figura 1.49, isto ,

(4)

Definio alternativa do produto vetorial Como fizemos para o produto escalar, podemos utilizar a lei distributiva (iii) para obter uma forma alternativa do produto vetorial:

(5)A partir dos resultados em (2) e (4), (5) se simplifica para

(6)

x

k

i

jy

z

Figura 1.49 Mnemnico no Exemplo 3.


Observamos que as componentes do vetor em (6) podem ser escritas como determi-nantes de ordem 2:

(7)

Por sua vez, (7) pode ser escrita como um determinante de ordem 3:

(8)

A expresso no lado direito de (8) no realmente um determinante, pois suas entra-das no so todas escalares; (8) simplesmente uma forma de lembrar a complicada expresso em (6).

Exemplo 4 Produto vetorial

Considere a 4i 2j 5k e b 3i j k. Determine a b.Soluo A partir de (8), temos

A forma do produto vetorial dada em (7) nos permite demonstrar algumas das

propriedades (i)(viii). Por exemplo, para demonstrar (ii) escrevemos

Deixamos a demonstrao da propriedade (iii) como um exerccio.

Produtos especiais O chamado produto escalar triplo de vetores a, b e c a (b c). Agora,

Conseqentemente, temos

(9)

Alm disso, a partir das propriedades dos determinantes, temos

1.4 Produto Vetorial 41

O produto vetorial triplo de trs vetores a, b e c a (b c). Deixa-se como um exerccio mostrar que

(10)

reas e volume Dois vetores no-zero e no-paralelos a e b podem ser conside-rados como sendo os lados de um paralelogramo. A rea A de um paralelogramo A (base)(altura). A partir da Figura 1.50(a), vemos que A ||b||(||a|| sen ) ||a||||b||sen .ou

(11)Da mesma forma, a partir da Figura 1.50(b), vemos que a rea de um tringulo com lados a e b

(12)

De modo similar, se os vetores a, b e c no se estenderem no mesmo plano, ento o volume do paraleleppedo com arestas a, b e c indicado na Figura 1.51

ou

(13)Em decorrncia do ltimo resultado, o produto escalar triplo algumas vezes denota-do como produto caixa de a, b e c.

Exemplo 5 rea de um tringuloCalcule a rea de um tringulo determinado pelos pontos P1(1, 1, 1), P2(2, 3, 4) e P3(3, 0,1).

Soluo Os vetores e podem ser tomados como dois lados de um tri-ngulo. Como i 2j 3k e i 3j 5k, temos

A partir de (12), vemos que a rea

Vetores coplanares Vetores que se estendem no mesmo plano so ditos ser co-planares. Vimos que se os vetores a, b e c no forem coplanares, ento necessaria-mente a (b c) 0, pois o volume de um paraleleppedo com arestas a, b e c tem volume diferente de zero. De modo equivalente, isso significa que se a (b c) 0, ento os vetores a, b e c so coplanares. Como o oposto dessa ltima afirmativa tambm verdadeiro, temos

se e somente se a, b e c forem coplanares

a

b

||b||

||a||

(a)a

b(b)

h = ||a|| sen

Figura 1.50 rea de um paralelogramo em (a); rea de um tringulo em (b).

a

c

b

b c

|compb ca|

Figura 1.51 Volume de um paralele-ppedo.


Nos Problemas 1-10, determine a b. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Nos Problemas 11 e 12, determine . 11.

12.

Nos Problemas 13 e 14, determine um vetor que seja perpendi-cular a ambos a e b. 13.

14.

Nos Problemas 15 e 16, verifique que a (a b) 0 e b (a b) 0. 15.

16.

Nos Problemas 17 e 18, (a) calcule b c seguido de a (b c). (b) Verifique os resultados do item (a) por meio de (10) dessa seo. 17. 18.

Nos Problemas 19-36, obtenha o escalar ou vetor indicados sem utilizar (8), (9) ou (10). 19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

Nos Problemas 37-44, a b 4i 3j 6k e c 2i 4j k. Determine o escalar ou vetor indicados. 37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

Nos Problemas 45 e 46, (a) verifique que o quadriltero dado um paralelogramo e (b) determine a rea do paralelogramo. 45. z

y

x

(1, 3, 4) (0, 0, 4)

(2, 0, 0) (1, 3, 0)

Figura 1.52 Paralelogramo no Problema 45. 46.

(2, 0, 2)

(2, 0, 3)

(1, 4, 2)

(3, 4, 1)x

y

z

Figura 1.53 Paralelogramo no Problema 46.

Nos Problemas 47-50, calcule a rea do tringulo determinado pelos pontos indicados. 47.

Observaes

Ao se trabalhar com vetores, deve-se ter cuidado para no misturar os smbolos e com os smbolos para multiplicao ordinria, e ser especialmente cuidadoso com o uso ou falta de uso dos parnteses. Por exemplo, expresses tais como

no so significativas ou bem-definidas.


1.5 Retas e Planos em Trs Dimenses 43

48.

49.

50.

Nos Problemas 51 e 52, calcule o volume do paraleleppedo para o qual os vetores indicados tm trs arestas. 51.

52.

53. Determine se os vetores a 4i 6j, b 2i 6j 6k e so coplanares.

54. Determine se os quatro pontos P1(1, 1,2), P2(4, 0,3), P3(1,5, 10) e P4(7, 2, 4) se estendem no mesmo plano.

55. Conforme apresentado na Figura 1.54, o vetor a se estende no plano xy e o vetor b se estende ao longo do eixo z positi-vo. Suas magnitudes so ||a|| 6,4 e ||b|| 5.(a) Use a Definio 1.4 para determinar ||a b||.(b) Utilize a regra da mo direita para obter a direo de a

b.(c) Utilize o item (b) para expressar a b em termos dos

vetores unitrios i, j, k.

b

ax

y

z

60


56. Dois vetores a e b se estendem no plano xz de modo que o ngulo entre eles 120o. Se e ||b|| 8, deter-mine todos os valores possveis de a b.

57. Um reticulado tridimensional uma coleo de combinaes inteiras de trs bases de vetores no-coplanares a, b e c. Em cristalografia, um reticulado pode especificar a localizao de tomos em um cristal. Estudos de difrao por raios-X de cristais utilizam o reticulado recproco que tem bases

(a) Um determinado reticulado tem bases de vetores a i, b j e . Determine bases de vetores para o reticulado recproco.

(b) A clula unitria do reticulado recproco o paraleleppedo com arestas A, B e C, enquanto a clula unitria do reticu-lado original o paraleleppedo com arestas a, b e c. Mos-tre que o volume da clula unitria do reticulado recproco o recproco do volume da clula unitria do reticulado original. [Sugesto: Comece com B C e utilize (10).]

58. Use (7) para demonstrar a propriedade (iii) do produto ve-torial.

59. Prove a (b c) (a c)b (a b)c. 60. Prove que a (b c) (a b) c vlido ou no. 61. Prove a (b c) (a b) c 62. Prove a (b c) b (c a) c (a b) 0. 63. Prove a identidade de Lagrange:

64. a b a c implica b c? 65. Mostre que (a b) (a b) 2b a.

1.5 Retas e planos em trs dimenses

Introduo Nessa seo, discutiremos como obter diversas equaes de retas e planos em trs dimenses.

Retas: equao vetorial Como no plano, quaisquer dois pontos distintos em trs dimenses determinam somente uma reta entre eles. Para obter uma equao atravs de P1(x1, y1, z1) e P1(x2, y2, z2), vamos assumir que P(x, y, z) qualquer ponto na reta. Na Figura 1.55, se r , r1 e r2 , vemos que o vetor a r2 r1 paralelo ao vetor r r2 . Assim,

(1)Se escrevermos

(2)ento (1) implica uma equao vetorial para a reta igual a

O vetor a denominado vetor direo da linha.Como r r1 tambm paralelo a , uma equao vetorial alternativa para a reta

r r1 ta. De fato, r r1 t(a) e r r1 t(ka), k um escalar no-zero, so tambm equaes para .

r

x

y

a

z

a

O

P1(x1, y1, z1)P2(x2, y2, z2)

P(x, y, z)

r r2r2

r1

Figura 1.55 Reta atravs de pontos distintos em trs dimenses.

Forma alternativa da equao vetorial


Exemplo 1 Equao vetorial de uma retaDetermine uma equao vetorial para a reta atravs de (2,1, 8) e (5, 6,3).

Soluo Definimos a 2 5, 1 6, 8 (3) 3, 7, 11. As equaes a seguir so trs possveis equaes vetoriais para a linha:

(3)

(4)

(5)

Equaes paramtricas Escrevendo (2) como

e igualando os componentes, obtemos

(6)As equaes em (6) so denominadas equaes paramtricas para a linha atravs de P1 e P2. Como o parmetro t aumenta de a , podemos imaginar o ponto P(x, y, z) tra-ando a reta inteira. Se o parmetro t estiver restrito a um intervalo fechado[t0, t1], ento P(x, y, z) traa um segmento de reta iniciando no ponto correspondente a t0 e terminan-do no ponto correspondente a t1. Por exemplo, na Figura 1.55, se 1 t 0, ento P(x, y, z) traa o segmento de reta iniciando em P1(x1, y1, z1) e terminando em P2(x2, y2, z2).

Exemplo 2 Equaes paramtricas de uma retaObtenha equaes paramtricas para a reta no Exemplo 1.

Soluo De (3), segue-se que

(7)Um conjunto alternativo de equaes paramtricas pode ser obtido a partir de (5):

(8) Note que o valor t 0 em (7) resulta em (2,1, 8), enquanto que em (8) t 1

tem que ser utilizado para obter o mesmo ponto.

Exemplo 3 Vetor paralelo a uma retaDetermine um vetor a que seja paralelo linha cujas equaes paramtricas so x 4 9t, y 14 5t, z 1 3t.

Soluo Os coeficientes (ou um mltiplo constante no-zero dos coeficientes) do parmetro em cada equao so as componentes de um vetor que paralelo a reta. Assim, a 9i 5j 3k paralelo a , sendo portanto um vetor direo da reta.

Equaes simtricas De (6), observe que podemos evidenciar o parmetro es-crevendo

desde que os trs nmeros a1, a2 e a3 sejam no-zero. As equaes resultantes

(9)

so ditas ser equaes simtricas para a reta atravs de P1 e P2.


Exemplo 4 Equaes simtricas de uma reta

Determine equaes simtricas para a reta atravs de (4, 10,6) e (7, 9, 2).Soluo Definimos a1 7 4 3, a2 9 10 1 e a3 2 (6) 8. De-

corre de (9) que as equaes simtricas para a reta so

Se um dos nmeros a1, a2 e a3 for zero em (6), utilizamos as duas equaes res-tantes para eliminar o parmetro t. Por exemplo, se a1 0, a2 0, a3 0, ento (6) resulta em

Nesse caso,

so equaes simtricas para a reta.

Exemplo 5 Equaes simtricas de uma reta

Determine equaes simtricas para a reta atravs de (5, 3, 1) e (2, 1, 1).Soluo Definimos a1 5 2 3, a2 3 1 2 e a3 1 1 0. A partir da

discusso anterior, decorre que as equaes simtricas para a reta so

Em outras palavras, as equaes simtricas descrevem uma reta no plano z 1.

Uma reta no espao tambm determinada especificando-se um ponto P1(x1, y1, z1) e um vetor direo no-zero a. Atravs do ponto P1, passa somente uma reta paralela ao vetor indicado. Se P(x, y, z) for um ponto na reta apresentada na Figura 1.56, ento, como antes,

Exemplo 6 Reta paralela a um vetor

Escreva equaes simtricas, paramtricas e vetoriais para a reta atravs de (4, 6,3) e paralela a a 5i 10j 2k.

Soluo Com a1 5, a2 10 e a3 2, temos imediatamente

Planos: equao vetorial A Figura 1.57(a) ilustra o fato de que atravs de um dado ponto P1(x1, y1, z1) passa um nmero infinito de planos. Entretanto, como indicado na Figura 1.57(b), se um ponto P1 e um vetor n forem especificados, existe somente um plano contendo P1 com n normal ou perpendicular ao pla-no. Alm disso, se P(x, y, z) for qualquer ponto em , e , ento,

x

a

y

az

O

P(x, y, z)P1(x1, y1, z1)

Figura 1.56 Reta determinada por um ponto P e um vetor a.


como indicado na Figura 1.57(c), r r1 est no plano. Segue-se que uma equao vetorial do plano

(10)

)b()a(

n

nn

(c)

P1(x1, y1, z1)r r1

P(x, y, z)

P1

Figura 1.57 Vetor n perpendicular ao plano.

Equao cartesiana Especificamente, se o vetor normal for n ai bj ck, ento (10) resulta em uma equao cartesiana do plano contendo P1(x1, y1, z1):

(11)

Exemplo 7 Plano perpendicular a um vetorDetermine uma equao do plano que contenha o ponto (4,1, 3) e seja perpendicu-lar ao vetor n 2i 8j 5k.

Soluo Decorre imediatamente de (11) que a equao

A equao (11) pode sempre ser escrita como ax by cz d 0 identifi-cando-se d ax1 by1 cz1. De modo oposto, demonstraremos agora que qualquer equao linear

nem todos zero

(12) um plano.

Plano com vetor normalO grfico de qualquer equao ax by cz d 0, a, b, c nem todos zero, um plano com o vetor normal n ai bj ck.

T E O R E M A 1 . 3

Demonstrao Suponha que x0, y0 e z0 sejam nmeros que satisfaam a equao dada. Assim, ax0 by0 cz0 d 0 implica d ax0 by0 cz0. Substituir esse ltimo valor de d na equao original resulta, aps simplificao, em a(x x0) b(y y0) c(z z0) 0 ou, em termos de vetores,

Essa ltima equao implica que ai bj ck normal ao plano contendo o ponto (x0, y0, z0) e o vetor (x x0)i (y y0)j (z z0)k.

Exemplo 8 Um vetor normal a um planoUm vetor normal ao plano 3x 4y 10z 8 0 n 3i 4j 10k.

claro, um mltiplo escalar no-zero de um vetor normal ainda perpendicular ao plano.


Trs pontos no-colineares P1, P2 e P3 tambm determinam um plano.* Para ob-ter uma equao do plano, necessitamos apenas formar dois vetores entre dois pares de pontos. Conforme destacado na Figura 1.58, o produto vetorial dos vetores um vetor normal ao plano contendo esses vetores. Se P(x, y, z) representar qualquer ponto no plano e r , r1 , r2 , r3 , ento r r1 (ou r r2 ou r r3) est no plano. Portanto,

(13) uma equao vetorial do plano. No memorize a ltima frmula. O procedimento o mesmo que em (10) com a exceo de que o vetor n normal ao plano obtido por meio do produto vetorial.

Exemplo 9 Trs pontos que determinam um planoDetermine uma equao do plano que contm (1, 0,1), (3, 1, 4) e (2,2, 0).

Soluo Precisamos de trs vetores. Juntando-se os pontos da esquerda resulta nos vetores da direita. A ordem na qual subtramos irrelevante.

Agora,

um vetor normal ao plano contendo os pontos dados. Conseqentemente, uma equa-o vetorial do plano (u v) w 0. A ltima equao resulta em

Grficos O grfico de (12) com um ou mesmo duas variveis ausentes ainda um plano. Por exemplo, vimos na Seo 1.2 que os grficos de

onde x0, y0, z0 so constantes, so planos perpendiculares em relao aos eixos x, y e z, respectivamente. Em geral, pra traar o grfico de um plano, devemos tentar determinar

(i) as intersees x, y e z e, se necessrio, (ii) o trao do plano em cada plano coordenado.

Um trao de um plano em um plano coordenado a reta de interseo do plano com um plano coordenado.

Exemplo 10 Grfico de um planoTrace o grfico da equao 2x 3y 6z 18.

Soluo

As intersees x, y e z so 9, 6 e 3, respectivamente. Como apresentado na Figura 1.59, utilizamos os pontos (9, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3) para traar o grfico do plano no primeiro octante.

* Se voc j se sentou em uma mesa de quatro pernas que balana, voc poderia considerar substitu-la por uma mesa de trs pernas.

P

(r2 r1) (r3 r1)

r3 r1

r2 r1r r1

P2

P3

P1

Figura 1.58 Vetores r2 r1 e r3 r1 es-to no plano, e o produto vetorial deles normal ao plano.

y

x

z

2x + 3y + 6z = 18

Figura 1.59 Plano no Exemplo 10.


Exemplo 11 Grfico de um plano

Trace o grfico da equao 6x 4y 12.

Soluo Em duas dimenses, o grfico da equao uma reta com a interseo de x em 2 e a interseo de y em 3. Entretanto, em trs dimenses, essa reta o trao de um plano no plano coordenado xy. Como z no especificado, ele pode ser qual-quer nmero real. Em outras palavras, (x, y, z) um ponto no plano desde que x e y estejam relacionados pela equao indicada. Conforme mostrado na Figura 1.60, o grfico um plano paralelo ao eixo z.

Exemplo 12 Grfico de um plano

Trace o grfico da equao x y z 0.

Soluo Observe primeiro que o plano passa pela origem (0, 0, 0). Agora, o trao do plano no plano xz (y 0) z x, enquanto seu trao no plano yz (x 0) z y. Traar essas duas retas resulta no grfico indicado na Figura 1.61.

Dois planos e que no so paralelos tem que se interceptar em uma rela . Veja a Figura 1.62. O Exemplo 13 ilustrar uma forma de se obter equaes param-tricas para a reta de interseo. No Exemplo 14, veremos como determinar um ponto de interseo (x0, y0, z0) de um plano e uma reta . Veja a Figura 1.63.

Exemplo 13 Reta de interseo de dois planos

Determine equaes paramtricas para a reta de interseo de

Soluo Em um sistema de duas equaes e trs incgnitas, escolhemos uma varivel arbitrariamente, por exemplo, z t, e resolvemos em relao a x e a y a partir de

Prosseguindo, obtemos x 14 7t, y 9 6t, z t. Essas so equaes param-tricas para a reta de interseo dos planos dados.

Exemplo 14 Ponto de interseo de uma reta e um plano

Determine o ponto de interseo do plano 3x 2y z 5 e a reta x 1 t, y 2 2t, z 4t.

Soluo Se (x0, y0, z0) representa o ponto de interseo, ento temos que ter 3x0 2y0 z0 5 e x0 1 t0, y0 2 2t0, z0 4t0, para algum nmero t0. Substi-tuindo as ltimas equaes na equao do plano, temos

A partir das equaes paramtricas para a reta, obtemos ento x0 3, y0 10 e z0 16. O ponto de interseo (3,10,16).

z

y

x

6x + 4y = 12


x

y

z

x + y z = 0


1

2

Figura 1.62 Planos se interceptam em uma reta.

(x0, y0, z0)

Figura 1.63 Ponto de interseo de um plano e uma reta.


Nos Problemas 1-6, determine uma equao vetorial para a reta atravs dos pontos indicados. 1. 2.

3. 4.

5. 6.

Nos Problemas 7-12, determine equaes paramtricas para a reta atravs dos pontos indicados. 7. 8.

9. 10.

11. 12.

Nos Problemas 13-18, determine equaes simtricas para a reta atravs dos pontos indicados. 13. 14.

15. 16.

17. 18.

Nos Problemas 19-22, determine equaes paramtricas e simtri-cas para a reta atravs do ponto indicado paralelo ao vetor dado. 19.

20.

21.

22.

23. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (6, 4,2) que seja paralela reta x/2 (1 y)/3 (z 5)/6.

24. Determine equaes simtricas para a reta atravs de (4,11,7) que seja paralela reta x 2 5t, y 1 , z 9 2t.

25. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (2,2, 15) que seja paralela ao plano xz e ao plano xy.

26. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (1, 2, 8) que seja (a) paralela ao eixo y e (b) perpendicular ao plano xy.

27. Mostre que as retas dadas por r t1, 1, 1 e r 6, 6, 6 t3,3,3 so as mesmas.

28. Considere e retas com vetores direo a e b, respec-tivamente. e sero ortogonais se a e b forem ortogo-nais, e paralelas se a e b forem paralelas. Determine quais das seguintes retas so ortogonais e quais so paralelas.(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Nos Problemas 29 e 30, determine os pontos de interseo da reta indicada e os trs planos coordenados. 29.

30.

Nos Problemas 31-34, determine se as retas dadas se intercep-tam. Em caso positivo, calcule o ponto de interseo. 31.

32.

33.

34.

O ngulo entre duas retas e o ngulo entre seus vetores direo a e b. Nos Problemas 35 e 36, determine o ngulo entre as retas indicadas. 35.

36.

Nos Problemas 37 e 38, as retas dadas se estendem no mesmo plano. Determine equaes paramtricas para a reta atravs do ponto indicado que seja perpendicular a esse plano. 37.

38.

Nos Problemas 39-44, determine uma equao do plano que con-tenha o ponto indicado e seja perpendicular ao vetor dado. 39.

40.

41.

42.

43.

44.

Nos Problemas 45-50, determine, se possvel, uma equao de um plano que contenha os pontos indicados. 45.

46.

47.



48.

49.

50.

Nos Problemas 51-60, determine uma equao do plano que sa-tisfaa as seguintes condies. 51. Contenha (2, 3,5) e seja paralelo a x y 4z 1 52. Contenha a origem e seja paralelo a 5x y z 6 53. Contenha (3, 6, 12) e seja paralelo ao plano xy 54. Contenha (7,5, 18) e seja perpendicular ao eixo y 55. Contenha as retas x 1 3t, y 1 t, z 2 t; x 4

4s, y 2s, z 3 s 56. Contenha as retas

57. Contenha as retas paralelas: x 1 t, y 1 2t, z 3 t; x 3 s, y 2s, z 2 s

58. Contenha o ponto (4, 0,6) e a reta x 3t, y 2t, z 2t 59. Contenha (2, 4, 8) e seja perpendicular reta x 10 3t, y

5 t, z 6 60. Contenha (1, 1, 1) e seja perpendicular reta atravs de (2,

6,3) e (1, 0,2) 61. Considere e planos com vetores normais n1 e n2, res-

pectivamente. e sero ortogonais se n1 e n2 forem orto-gonais, e paralelos se n1 e n2 forem paralelos. Determine quais dos seguintes planos so ortogonais e quais so paralelos.(a) (b) (c) (d) (e) (f)

62. Determine equaes paramtricas para a reta que contm (4, 1, 7) e seja perpendicular ao plano 7x 2y 3z 1.

63. Determine quais dos seguintes planos so perpendiculares reta x 4 6t, y 1 9t, z 2 3t.(a) (b) (c) (d)

64. Determine quais dos seguintes planos so paralelos reta (1 x)/2 (y 2)/4 z 5.(a) (b) (c) (d)

Nos Problemas 65-68, obtenha equaes paramtricas para a reta de interseo dos planos indicados. 65. 66.

67. 68.

Nos Problemas 69-72, obtenha o ponto de interseo do plano e da reta indicados. 69.

70.

71.

72.

Nos Problemas 73 e 74, obtenha equaes paramtricas para a reta atravs do ponto indicado que seja paralelo aos planos dados. 73.

74.

Nos Problemas 75 e 76, obtenha uma equao do plano que con-tm a reta dada e seja ortogonal ao plano indicado. 75.

76.

Nos Problemas 77-82, trace o grfico da equao indicada. 77. 78.

79. 80.

81. 82.

1.6 Espaos vetoriais

Introduo Nas sees anteriores, trabalhamos com pontos e vetores em espaos de duas e trs dimenses. Matemticos no sculo dezenove, de forma especial os matem-ticos ingleses Arthur Cayley (1821 1895) e James Joseph Sylvester (1814 1897) e o matemtico irlands William Rowan Hamilton (1805 1865), perceberam que os con-ceitos de ponto e vetor poderiam ser generalizados. Mostrou-se que os vetores poderiam ser descritos ou definidos por propriedades analticas ao invs de propriedades geom-tricas. Tal fato se constituiu em um avano verdadeiramente significativo na histria da matemtica. No h necessidade de pararmos em trs dimenses; qudruplos a1, a2, a3, a4, quntuplos a1, a2, a3, a4, a5 e enuplas a1, a2,..., an ordenados de nmeros reais po-dem ser pensados tanto como vetores quanto pares ordenados a1, a2 e triplos ordenados a1, a2, a3, a nica diferena estando no fato de perdermos nossa habilidade de visualizar diretamente segmentos de reta ou setas em espaos de 4, 5 ou n dimenses.

Espao n Em termos formais, um vetor em um espao n qualquer enupla a a1, a2,..., an de nmeros reais denominados de componentes de a. O conjunto

1.6 Espaos Vetoriais 51

de todos vetores em um espao n representado por Rn. Os conceitos de adio veto-rial, multiplicao escalar, igualdade e assim por diante, listados na Definio 1.2, se aplicam a Rn de modo natural. Por exemplo, se a a1, a2,..., an e b b1, b2,..., bn, ento a adio e a multiplicao escalar no espao n so definidas por

(1)O vetor zero em Rn 0, 0...,0. O conceito de comprimento de um vetor a a1, a2,..., an no espao n apenas uma extenso daquele conceito em duas e trs dimenses:

O comprimento de um vetor tambm denominado de norma. Um vetor unitrio um vetor cuja norma 1. Para um vetor no-zero a, o processo de construo de um vetor unitrio u multiplicando-se a pelo recproco da sua norma, isto , ,

referido como normalizao de a. Por exemplo, se a 3, 1, 2,1, ento ||a|| , e um vetor unitrio

O produto interno padro, tambm conhecido como produto interno eucli-diano ou produto escalar, de dois vetores de ordem n a a1, a2,..., an e b b1, b2,..., bn o nmero real definido por

(2)Dois vetores no-zero a e b em Rn so ditos ser ortogonais se e somente se a b 0. Por exemplo, a 3, 4, 1,6 e so ortogonais em R4 pois a b 3 1 4 1 1 (6) 1 0.

Espao vetorial Podemos ir alm da notao de um vetor como uma enupla orde-nada em Rn. Um vetor pode ser definido como qualquer coisa que queiramos que seja: uma enupla ordenada, um nmero, um conjunto de nmeros ou mesmo uma funo. Porm, estamos particularmente interessados em vetores que sejam elementos em um tipo especial de conjunto chamado espao vetorial. Dois tipos de objetos, vetores e es-calares, e duas operaes algbricas anlogas quelas indicadas em (1) so fundamen-tais notao do espao vetorial. Para um conjunto de vetores, queremos ser capazes de adicionar dois vetores nesse conjunto e obter outro vetor no mesmo conjunto, e que-remos multiplicar um vetor por um escalar e obter um vetor no mesmo conjunto. Para que um conjunto de objetos esteja em um espao vetorial, necessrio que o conjunto possua essas duas operaes algbricas junto com determinadas outras propriedades. Essas propriedades, os axiomas de um espao vetorial, so apresentadas a seguir.

Espao vetorialConsidere V como sendo um conjunto de elementos no qual duas operaes deno-minadas adio vetorial e multiplicao escalar esto definidas. Assim, V dito ser um espao vetorial se as dez propriedades a seguir so satisfeitas.

Axiomas para adio vetorial: (i) Se x e y esto em V, ento x y est em V. (ii) Para todo x, y em V, x y y x. (Lei comutativa) (iii) Para todo x, y, z em V, x (y z) (x y) z. (Lei associativa) (iv) Existe um nico vetor 0 em V tal que 0 x x 0 0. (vetor zero) (v) Para cada x em V, existe um vetor x tal que x (x) (x) x 0. (Negativo de um vetor)

D E F I N I O 1 . 5


Axiomas para a multiplicao escalar: (vi) Se k for qualquer escalar e x estiver em V, ento kx estar em V (vii) k(x y) kx ky (Lei distributiva) (viii) (k1 k2)x k1x k2x (Lei distributiva) (ix) k1(k2x) (k1k2)x (x) 1x x

Nesta breve introduo para a simplificao de vetores, tomaremos os escalares na Definio 1.5 como sendo nmeros reais. Nesse caso, V referido como um es-pao vetorial real, apesar de no insistirmos nesse termo. Quando se permite que os escalares sejam nmeros complexos, obtemos um espao vetorial complexo. Como as propriedades (i)-(viii) na pgina 22 so os prottipos para os axiomas na Definio 1.5, claro que R2 um espao vetorial. Alm disso, como os vetores em R3 e Rn tm essas mesmas propriedades, conclumos que R3 e Rn so tambm espaos vetoriais. Os axiomas (i) e (vi) so chamados de axiomas de fechamento, e dizemos que um espao vetorial V est fechado sob adio vetorial e multiplicao escalar. Observe, tambm, que conceitos tais como comprimento e produto interno no so parte da estrutura axiomtica de um espao vetorial.

Exemplo 1 Checagem dos axiomas de fechamentoDetermine se os conjuntos (a) V {1} e (b) V {0} sob adio e multiplicao ordinrias por nmeros reais so espaos vetoriais.

Soluo (a) Para esse sistema constitudo por um elemento, muitos dos axiomas dados na Definio 1.5 so violados. Em particular, os axiomas (i) e (vi) de fecha-mento no so satisfeitos. Nem a soma 1 1 2, nem o mltiplo escalar k 1 k, para k 1, esto em V. Portanto, V no um espao vetorial.

(b) Nesse caso, os axiomas de fechamento so satisfeitos, pois 0 0 0 e k 0 0 para qualquer nmero real k. Os axiomas comutativo e associativo so satisfeitos, pois 0 0 0 0 e 0 (0 0) (0 0) 0. Dessa maneira, e fcil verificar que os axiomas restantes so tambm satisfeitos. Portanto, V um espao vetorial.

O espao vetorial V {0} muitas vezes chamado de espao vetorial trivial ou zero.

Se essa for a sua primeira experincia com o conceito de um vetor simplifica-do, ento aconselhamos que voc no leve os nomes adio vetorial e multiplicao escalar to ao p da letra. Essas operaes so definidas e voc tem que aceit-las apesar de elas no serem semelhantes compreenso usual de adio e multiplicao ordinrias em, digamos, R, R2, R3 ou Rn. Por exemplo, a adio de dois vetores x e y poderia ser x y. Com esse aviso prvio, considere o prximo exemplo.

Exemplo 2 Um exemplo de um espao vetorialConsidere o conjunto V de nmeros reais positivos. Se x e y denotarem nmeros reais positivos, ento escrevemos vetores em V como x x e y y. Agora a adio de vetores definida por

e a multiplicao escalar definida por

Determine se V um espao vetorial.


Soluo Avaliaremos todos os dez axiomas. (i) Para x x 0 e y y 0, x y xy 0. Assim, a soma x y est em

V; V est fechado sob adio. (ii) Como a multiplicao de nmeros reais positivos comutativa, temos para

todo x x e y y em V, x y xy yx y x. Assim, a adio comutativa.

(iii) Para todo x x, y y, z z em V,x (y z) x(yz) (xy)z (x y) z.

Dessa forma, a adio associativa. (iv) Como 1 x 1x x x e x 1 x1 x x, o vetor zero 0 1 1. (v) Se definirmos , ento

Portanto, o negativo de um vetor seu recproco. (vi) Se k for qualquer escalar e x x 0 for qualquer vetor, ento kx xk

0. Conseqentemente, V est fechado sob multiplicao escalar. (vii) Se k for qualquer escalar, ento

(viii) Para escalares k1 e k2,

(ix) Para escalares k1 e k2,

(x) 1x x1 x x.Como todos os axiomas da Definio 1.5 foram satisfeitos, conclumos que V um espao vetorial.

A seguir so indicados alguns espaos vetoriais importantes mencionamos al-guns deles anteriormente. As operaes de adio vetorial e multiplicao escalar so as operaes usuais associadas com o conjunto.

O conjunto R de nmeros reaisO conjunto R2 de pares ordenadosO conjunto R3 de triplos ordenadosO conjunto Rn de enuplas ordenadasO conjunto Pn de polinmios de grau menor ou igual a nO conjunto P de todos os polinmiosO conjunto de funes reais f definidas por todo o eixo realO conjunto C[a, b] de funes reais f contnuas no intervalo fechado a x bO conjunto C(,) de funes reais f contnuas por todo o eixo realO conjunto Cn[a, b] de todas as funes reais f para as quais f, f , f ,..., f (n) existem e so contnuas no intervalo [a, b]

Subespao Pode ocorrer de um subconjunto de vetores W de um espao vetorial V ser por si s um espao vetorial.

SubespaoSe um subconjunto W de um espao vetorial V for por si s um espao vetorial su-jeito s operaes de adio vetorial e multiplicao escalar definidas em V, ento W denominado um subespao de V.

D E F I N I O 1 . 6


Todo espao vetorial V tem ao menos dois subespaos: o prprio V e o subespao zero{0}; {0} um subespao, pois o vetor zero tem que ser um elemento em todo espao vetorial.

Para mostrar que um subconjunto W de um espao vetorial V um subespa-o, no necessrio demonstrar que todos os dez axiomas da Definio 1.5 so sa-tisfeitos. Como todos os vetores em W esto tambm em V, esses vetores tem que satisfazer axiomas tais como (ii) e (iii). Em outras palavras, W herda a maioria das propriedades de um espao vetorial a partir de V. Como indica o prximo teorema, precisamos somente checar os dois axiomas de fechamento para demonstrar que um subconjunto W um subespao de V.

Critrio para um subespaoUm subconjunto no-vazio W de um espao vetorial V um subconjunto de V se e somente se W for fechado sob adio vetorial e multiplicao escalar definidas em V: (i) Se x e y estiverem em W, ento x y estar em W. (ii) Se x estiver em W e k for qualquer escalar, ento kx estar em W.

T E O R E M A 1 . 4

Exemplo 3 Um subespaoSuponha f e g funes reais contnuas definidas por todo o eixo real. Ento sabemos do clculo que f g e kf, para qualquer nmero real k, so funes contnuas e reais. A partir disso, podemos concluir que C(,) um subespao do espao vetorial de funes reais definidas por todo o eixo real.

Exemplo 4 Um subespaoO conjunto Pn de polinmios de grau menor ou igual a n um subespao de C(,), o conjunto de funes reais contnuas por todo o eixo real.

sempre uma boa idia ter visualizaes concretas de espaos e subespaos vetoriais. Os subespaos do espao vetorial R3 de vetores tridimensionais podem ser facilmente visualizados pensando-se o vetor como um ponto (a1, a2, a3). Obviamen-te, {0} e R3 por si s so subespaos; outros subespaos so todas as retas passando pela origem e todos os planos passando pela origem. As retas e planos tem que passar atravs da origem, pois o vetor zero 0 (0, 0, 0) tem que ser um elemento em cada subespao.

Independncia linearUm conjunto de vetores {x1, x2,..., xn} dito ser linearmente independente se as nicas constantes que satisfazem a equao

(3)forem k1 k2 ... kn 0. Se o conjunto de vetores no for linearmente indepen-dente, ento ele dito ser linearmente dependente.

D E F I N I O 1 . 7

Em R3, os vetores i 1, 0, 0, j 0, 1, 0 e k 0, 0, 1 so linearmente inde-pendentes, pois a equao k1i k2j k3k 0 igual a

Pela igualdade de vetores, (ii) da Definio 1.2, conclumos que k1 0, k2 0 e k3 0. Na Definio 1.7, dependncia linear significa que existem constantes k1, k2,..., kn nem todas zero, de modo que k1x1 k2x2 ... knxn 0. Por exemplo, em R

3 os


vetores a 1,1,1, b 2,1,4 e c 5,2,7 so linearmente dependentes, pois (3) satisfeito quando k1 k2 1 e k3 1:

Observamos que dois vetores so linearmente independentes se nenhum deles for um mltiplo constante do outro.

Base Qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinao linear dos vetores linearmente independentes i, j e k. Na Seo 1.2, dizemos que esses vetores formam uma base para o sistema de vetores tridimensionais.

Base para um espao vetorialConsidere um conjunto de vetores B {x1, x2,..., xn} em um espao vetorial V. Se o conjunto B for linearmente independente e se todo vetor em V puder ser escrito como uma combinao linear desses vetores, ento B dito ser uma base para V.

D E F I N I O 1 . 8

Bases padro Apesar de no sermos capazes de demonstrar isso nesse curso, todo espao vetorial possui uma base. O espao vetorial Pn de todos os polinmios de grau menor ou igual a n tem a base {1, x, x2,..., xn}, pois qualquer vetor (polin-mio) p(x) de grau n ou menor pode ser escrito como a combinao linear p(x) cnxn ... c2x

2 c1x c0. Um espao vetorial pode ter muitas bases. Mencionamos

anteriormente que o conjunto de vetores {i, j, k} uma base para R3. Porm, pode-se demonstrar que {u1, u2, u3}, onde

um conjunto linearmente independente (veja o Problema 23 nos Exerccios 1.6) e, alm disso, mesmo o vetor a a1, a2, a3 pode ser escrito como uma combinao linear a c1u1 c2u2 c3u3. Portanto, o conjunto de vetores outra base para R3. De fato, qualquer conjunto de trs vetores linearmente independentes uma base para aquele espao. Entretanto, o conjunto {i, j, k} referido como a base padro para R3. A base padro para o espao Pn , obviamente, {1, x, x2,..., xn}. Para o espao vetorial Rn, a base padro consiste dos n vetores

(4)Se B for uma base para um espao vetorial V, ento para todo vetor v em V existem escalares ci, i 1, 2,..., n de modo que

(5)Os escalares ci, i 1, 2,..., n na combinao linear (5) so chamados de coordenadas de v relativas base B. Em Rn, a notao da enupla a1, a2,..., an para um vetor a sig-nifica que nmeros reais a1, a2,..., an so as coordenadas de a relativas base padro com eis na ordem exata indicada em (4).

Dimenso Se um espao vetorial V tem uma base B constituda por n vetores, ento pode-se demonstrar que toda base para aquele espao tem que conter n vetores. Isso nos leva prxima definio.

Dimenso de um espao vetorialO nmero de vetores em uma base B para um espao vetorial V dito ser a dimen-so do espao.

D E F I N I O 1 . 9

Exemplo 5 Dimenses de alguns espaos vetoriais

(a) Em concordncia com a nossa intuio, as dimenses dos espaos vetoriais R, R2, R3 e Rn so, respectivamente, 1, 2, 3 e n.

Leia diversas vezes a ltima sentena.


(b) Como existem n 1 vetores na base padro B {1, x, x2,..., xn}, as dimenses do espao vetorial Pn de polinmios de grau menor ou igual a n n 1.

(c) Ao espao vetorial zero {0} dada considerao especial. Esse espao contm somente 0, e como {0} um conjunto linearmente dependente, ele no uma base. Nesse caso, comum tomarmos o conjunto vazio como a base e definirmos a dimenso de {0} como zero. Se a base de um espao vetorial contiver um nmero finito de vetores, ento

dizemos que o espao vetorial de dimenso finita, do contrrio de dimenso infinita. A funo espao Cn(I) de n vezes funes diferenciveis contnuas em um intervalo I um exemplo de um espao vetorial de dimenso infinita.

Equaes diferenciais lineares Considere a equao diferencial linear homog-nea de ordem n

(6)

em um intervalo I no qual os coeficientes sejam contnuos e an(x) 0 para todo x no intervalo. Uma soluo y1 de (6) necessariamente um vetor no espao vetorial Cn(I). Alm disso, que se y1 e y2 so solues de (6), ento a soma y1 y2 e qualquer mltiplo constante ky1 so tambm solues. Como o conjunto soluo fechado sob adio e multiplicao escalar, decorre do Teorema 1.4 que o conjunto soluo de (6) um subespao de Cn(I). Por conseguinte, o conjunto soluo de (6) merece ser chamado de espao soluo da equao diferencial. Sabemos tambm que se {y1, y2,..., yn} so solues linearmente independentes de (6), ento sua soluo geral da equao diferencial a combinao linear

Relembre que qualquer soluo da equao pode ser determinada a partir dessa so-luo geral pela especializao das constantes c1, c2,..., cn. Portanto, o conjunto de solues linearmente independente {y1, y2,..., yn} uma base para o espao soluo. A dimenso desse espao soluo n.

Exemplo 6 Dimenso de um espao soluoA soluo geral da equao diferencial linear homognea de segunda ordem y 25y 0 y c1cos 5x c2sen 5x. Uma base para o espao soluo constituda pelos vetores linearmente independentes {cos 5x, sen 5x}. O espao soluo bidimensional.

O conjunto de solues de uma equao diferencial linear no-homognea no um espao vetorial. Diversos axiomas de um espao vetorial no so satisfeitos; prin-cipalmente, o conjunto de solues no contm um vetor zero. Em outras palavras, y 0 no uma soluo de uma equao diferencial linear no-homognea.

Span Considerando que S representa qualquer conjunto de vetores {x1, x2,..., xn}em um espao vetorial V, ento o conjunto de todas as combinaes lineares dos vetores x1, x2,..., xn em S,

onde os ki, i 1, 2,..., n so escalares, chamado de span dos vetores e escrito Span(S) ou Span(x1, x2,..., xn). Deixa-se como um exerccio demonstrar que o Span(S) um subespao do espao vetorial V. Veja o Problema 33 nos Exerccios 1.6. Span(S) dito ser um subespao gerado pelos vetores x1, x2,..., xn. Se V Span(S), ento di-zemos que S um conjunto de span (ou conjunto gerador) para o espao vetorial V, ou que S gera (spans) V. Por exemplo, cada um dos trs conjuntos


so conjuntos geradores para o espao vetorial R3. Observe, porm, que os primeiros dois conjuntos so linearmente dependentes, enquanto o terceiro conjunto depen-dente. Com esses novos conceitos, podemos reformular as Definies 1.8 e 1.9 da seguinte maneira:

Um conjunto S de vetores {x1, x2,..., xn} em um espao vetorial V uma base para V se S for linearmente independente e for um conjunto de span para V. O nmero de vetores nesse conjunto de span S a dimenso do espao V.

Observaes

(i) Suponha que V seja um espao vetorial real arbitrrio. Se existir um produto interno definido em V, no necessrio que ele se assemelhe ao produto interno padro ou eucli-diano definido em Rn. Representaremos um produto interno que no seja o produto inter-no euclidiano pelo smbolo (u, v). Veja os Problemas 30, 31 e 38(b) nos Exerccios 1.6.(ii) Um espao vetorial V no qual um produto interno foi definido denominado um espao produto interno. Um espao vetorial V pode ter mais do que um produto interno definido nele. Por exemplo, um produto interno no-euclidiano definido em R2 (u, v) u1v1 4u2v2, onde u u1, u2 e v v1, v2. Veja os Problemas 37 e 38(a) nos Exerccios 1.6.(iii) Grande parte do nosso trabalho nos ltimos captulos desse texto ocorreu em um espao vetorial de dimenso infinita. Como tal, precisamos estender a definio de independncia linear de um conjunto finito de vetores S {x1, x2,..., xn} dado na Definio 1.7 para um conjunto infinito:

Um conjunto infinito de vetores S {x1, x2,...} dito ser linearmente independen-te se todo subconjunto finito do conjunto S for linearmente independente. Se o con-junto S no for linearmente independente, ento ele linearmente dependente.

Notamos que se S contiver um subconjunto linearmente dependente, ento todo o conjunto S linearmente dependente.

O espao vetorial P de todos os polinmios tem a base padro B {1, x, x2,...}. O conjunto infinito B linearmente independente.

Nos Problemas 1-10, determine se o conjunto indicado um es-pao vetorial. Se no for, apresente pelo menos um axioma que no seja satisfeito. A menos que seja dito o contrrio, considere que a adio vetorial e a multiplicao escalar so as operaes ordinrias definidas no conjunto. 1. O conjunto de vetores a1, a2, onde a1 0, a2 0 2. O conjunto de vetores a1, a2, onde a2 3a1 1 3. O conjunto de vetores a1, a2, multiplicao escalar defini-

da por ka1, a2 ka1, 0 4. O conjunto de vetores a1, a2, onde a1 a2 0 5. O conjunto de vetores a1, a2, 0 6. O conjunto de vetores a1, a2, adio e multiplicao esca-

lar definidas por

7. O conjunto de nmeros reais, adio definida por x y xy

8. O conjunto de nmeros complexos a bi, onde i2 1, adio e multiplicao escalar definidas por

9. O conjunto de nmeros reais , adio e multipli-cao escalar definidas por

10. O conjunto de todos os polinmios de grau 2

EXERCCIOS 1.6 As respostas de problemas mpares selecionados esto nas pginas 286-287.


Nos Problemas 11-16, determine se o conjunto indicado ou no um subespao do espao vetorial C(, ). 11. Todas as funes f de modo que f(1) 0 12. Todas as funes f de modo que f(0) 1 13. Todas as funes no-negativas f 14. Todas as funes f de modo que f(x) f(x) 15. Todas as funes diferenciveis f 16. Todas as funes f da forma f(x) c1ex c2xex

Nos Problemas 17-20, determine se o conjunto indicado ou no um subespao do espao vetorial indicado. 17. Polinmios da forma p(x) c3x3 c1x; P3 18. Polinmios p que so divisveis por x 2; P2 19. Todos os vetores unitrios; R3

20. Funes f de modo que 0 21. Em trs dimenses, uma reta atravs da origem pode ser es-

crita como S {(x, y, z)|x at, y bt, z ct, a, b, c nme-ros reais}. Com adio e multiplicao escalar igual para os vetores x, y, z, mostre que S um subespao de R3.

22. Em trs dimenses, um plano atravs da origem pode ser es-crito como S {(x, y, z)|ax by cz 0, a, b, c nmeros reais}. Mostre que S um subespao de R3.

23. Os vetores u1 1, 0, 0, u2 1, 1, 0 e u3 1, 1, 1 for-mam uma base para o espao vetorial R3.(a) Mostre que u1, u2 e u3 so linearmente independentes.(b) Escreva o vetor a 3,4, 8 como uma combinao

linear de u1, u2 e u3. 24. Os vetores p1(x) x 1, p2(x) x 1 formam uma base

para o espao vetorial P1.(a) Mostre que p1(x) e p2(x) so linearmente independentes.(b) Escreva o vetor p(x) 5x 2 como uma combinao

linear de p1(x) e p2(x).

Nos Problemas 25-28, determine se os vetores indicados so li-nearmente independentes ou linearmente dependentes. 25.

26.

27.

28.

29. Explique por que um vetor em C[0,3] mas no um vetor em C[3,0].

30. Um espao vetorial V no qual um produto escalar ou interno foi definido chamado um espao produto interno. Um produto interno para o espao vetorial C[a,b] dado por

Em C[0, 2], calcule (x, sen x). 31. A norma de um vetor um espao produto interno definido

em termos do produto interno. Para o produto interno indi-cado no Problema 30, a norma de um vetor definida por

. Em C[0, 2], calcule ||x|| e ||sen x||. 32. Determine uma base para o espao soluo de

33. Seja {x1, x2,..., xn}qualquer conjunto de vetores em um espa-o vetorial V. Mostre que Span(x1, x2,..., xn) um subespao de V.

Problemas para discusso 34. Discuta: R2 um subespao de R3? R2 e R3 so subespaos

de R4? 35. No Problema 9, voc deve ter demonstrado que o conjunto

M22 de nmeros reais 2 2

ou matrizes, um espao vetorial com adio vetorial e multiplicao escalar definidas naquele problema. Determi-ne uma base para M22. Qual a dimenso de M22?

36. Considere um conjunto ortogonal finito de vetores no-zero {v1, v2,..., vk} em Rn. Discuta: esse conjunto linearmente independente ou dependente?

37. Se u, v e w so vetores em um espao vetorial V, ento os axiomas de um produto interno (u, v) so:

(i) (ii) k um escalar (iii) se e se (iv)

Mostre que (u, v) u1v1 4u2v2, onde u u1, u2 e v v1, v2, um produto interno em R2.

38. (a) Determine um par de vetores no-zero u e v em R2 que no seja ortogonal em relao ao produto interno pa-dro ou euclidiano u v, mas seja ortogonal em relao ao produto interno (u, v) no Problema 37.

(b) Determine um par de funes no-zero f e g em C[0, 2] que sejam ortogonais em relao ao produto inter-no (f, g) indicado no Problema 30.

1.7 Processo de Ortogonalizao de Gram-Schmidt 59

1.7 Processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt

Introduo Na Seo 1.6, vimos que um espao vetorial V pode ter diferentes bases. Relembrando, as caractersticas definidoras de qualquer base B {x1, x2,..., xn} de um espao vetorial V so:

o conjunto B linearmente independente, eo conjunto B gera (spans) o espao.

Nesse contexto, a

Documents

Apostila Vetores