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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS

CURSO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Prof. Fernando Ribeiro da Silva

Maio 2000

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ÍNDICE

CAPÍTULO I INTRODUÇÃO 1

1.1 POSICIONAMENTO 1 1.2 DESENVOLVIMENTO 1 1.3 PERSPECTIVAS 2

CAPÍTULO II CONCEITOS BÁSICOS EM VIBRAÇÕES 3

2.1 INTRODUÇÃO 3 2.2 VIBRAÇÕES LIVRES 3

2.2.1 Relações Constitutivas 3 2.2.2 Sistemas Equivalentes 3 2.2.3 Equações Diferenciais de Movimento 4 2.2.4 Decremento Logarítmico 6

2.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS 7

2.3.1 Excitações Harmônicas 7 2.3.2 Coeficiente de Transmissibilidade 9 2.3.3 Movimento de Base 10 2.3.4 Excitações Periódicas 12 2.3.5 Impulso 13 2.3.6 Degrau 14 2.3.7 Pulso 15

2.4 PROBLEMAS 17

CAPÍTULO III SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE 22

3.1 INTRODUÇÃO 22 3.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 22 3.3 VIBRAÇÕES LIVRES - MODOS DE VIBRAR 23 3.4 ORTOGONALIDADE DOS MODOS 26 3.5 BATIMENTO 27 3.6 EXCITAÇÕES HARMÔNICAS 28 3.7 SISTEMAS COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL 30

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3.8 REDUÇÃO DE ORDEM EM MODELOS LINEARES 31 3.9 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAGRANGE PARA

SISTEMAS CONTÍNUOS 32

3.9.1 Elemento Estrutural de Barra 33 3.9.2 Elemento Estrutural de Viga Plana 35

3.10 PROBLEMAS 37

CAPÍTULO IV SISTEMAS CONTÍNUOS 44

4.1 INTRODUÇÃO 44 4.2 CABOS 44 4.3 VIGAS EM FLEXÃO 46 4.4 PROBLEMAS 49

CAPÍTULO V PROBLEMAS PRÁTICOS EM VIBRAÇÕES DE ESTRUTURA 50

5.1 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR PESSOAS 50

5.1.1 Critérios de Análise 50 5.1.2 Efeitos Sobre o Ser Humano 51 5.1.3 Sensitividade do Ser Humano à Vibrações 52

5.2 PISOS SOB EFEITO DO CAMINHAR DE PESSOAS 55 5.3 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR MÁQUINAS 56

5.3.1 Características Estruturais 57 5.3.2 Valores Toleráveis 58

5.4 VIBRAÇÕES INDUZIDAS EM PRÉDIOS PELA AÇÃO DO VENTO 58

5.4.1 Características Estruturais 59 5.4.2 Valores Toleráveis 60

5.5 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR TRÁFEGO DE VEÍCULOS 60

5.5.1 Características Estruturais 61 5.5.2 Valores Toleráveis 61

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 62 APÊNDICE A PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL 64

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1 POSICIONAMENTO Os problemas de Vibrações Mecânicas pertencem, rigorosamente a uma área maior denominada Dinâmica de Sistemas. Sendo uma matéria que trata basicamente de movimentos de corpos sujeitos a efeitos externos dependentes do tempo, existe uma preocupação em verificar-se sob que circunstâncias este movimento torna-se indesejável, gerando amplitudes de alguma forma prejudiciais ao bom funcionamento do sistema. Outra preocupação inerente a este tema é a influência dos movimentos de sistema sobre o Ser Humano, gerando desconforto ou insegurança que venha a interferir no desempenho de suas atividades. Devido a grande diversidade de problemas, muitas das vezes é difícil definir-se normas para o bom funcionamento de um sistema, entretanto sob certa ótica do problema existem padrões recomendados para seu funcionamento, o que pode nortear as decisões dos projetos estruturais de seus componentes. A análise dinâmica de estruturas faz parte do problema de Vibrações Mecânicas, onde utiliza-se os conceitos da dinâmica de sistemas para abordar problemas onde a principal preocupação está na determinação de amplitudes de deslocamentos, velocidades e acelerações que possam ser danosa ao seu comportamento. O completo entendimento do comportamento de sistemas tem sido realizado nas última duas década através de técnicas generalizadas que permitem a modelagem de sistemas multidisciplinares, tendo em vista ser esta a natureza dos sistemas mais complexos. Estes procedimentos ainda apresentam certas dificuldades nos casos de sistemas onde meios contínuos estejam presentes, pois, isoladamente técnicas como a dos Elementos Finitos já permitem uma modelagem bastante precisa e representativa destes meios Entretanto ao acoplar-se sistemas discretos e contínuos estas técnicas ainda apresentam dificuldades de utilização. Vale destacar como técnica generalizada modular e operacional, a técnica dos Grafos de Ligação, onde os subsistemas são modelados isoladamente para uma posterior justaposição formando o sistema completo. Os fundamentos e procedimentos desta técnica são descritos por Karnopp, Margolis e Rosenberg (1990). Um exemplo de modelagem utilizando esta técnica ao problema de cargas móveis sobre estruturas é apresentado no trabalho de Margolis (1976). O desenvolvimento de uma sistemática para a representação, modelagem e simulação de sistemas mecânicos discretos interagindo com uma estrutura previamente discretizada pelo Método dos Elementos Finitos é apresentada por Da Silva (1994). Exemplos de aplicação deste procedimento podem ser obtidos em Andrade (1995), Alvarez (1995) e Rocha (1998). 1.2 DESENVOLVIMENTO Estas notas pretendem nortear seus leitores ao estudo de vibrações mecânicas, culminando com algumas considerações sobre problemas de cunho prático onde algumas normas sinalizam ao analista da dinâmica de estruturas com orientações no sentido de garantir um funcionamento satisfatório de seu projeto. Os conceitos básicos de Vibrações Mecânicas são apresentados no segundo capítulo onde são apresentados os elementos necessários para compreensão dos fenômenos ocorrentes na dinâmica de sistemas em vibrações. O terceiro capítulo amplia os conceitos relacionados aos sistemas de um grau de liberdade para sistemas com múltiplos graus de liberdade, incluindo os relacionados à modelagem de sistemas estruturais, onde um meio contínuo é previamente discretizado em um número finito de graus de liberdade.

2

O quarto capítulo apresenta a modelagem de sistemas contínuos através de suas equações de governo e mostra a dificuldade de obter-se soluções analíticas quando a estrutura é relativamente complexa. O quinto capítulo discute em linhas bastante gerais os problemas de vibrações induzidas por pessoas, induzidas por máquinas, pela ação do vento e por tráfego de veículos. 1.3 PERSPECTIVAS Não é difícil perceber que a tendência de evolução das análises dos problemas de vibrações caminha no sentido de abordagens gerais e unificadas de sistemas multidisciplinares, onde elementos elétricos, mecânicos, hidráulicos e térmicos, dentre outros estejam interagindo dinamicamente. Procedimentos de abordagem que permitam a modelagem de componentes utilizando-se várias técnicas específicas já consagradas devem ser definidos no sentido de aliar-se suas boas características isoladas com a operacionalidade necessária para a análise de problemas complexos.

3

CAPÍTULO II

CONCEITOS BÁSICOS EM VIBRAÇÕES

2.1 INTRODUÇÃO O problema básico de vibrações consiste na determinação do comportamento dinâmico de um sistema mecânico, quando submetido a forçamentos impostos ao sistema na forma de energias (potencial e/ou cinética), ou na forma de excitações externas das mais variadas formas. No primeiro caso, caracteriza-se um problema de valor inicial, onde a partir de condições iniciais de deslocamentos e velocidades, obtém-se, a solução das equações de equilíbrio dinâmico, sujeito a vibração livre. No segundo caso, submete-se o sistema a excitações que podem ser determinísticas (harmônicas ou não harmônicas) ou aleatórias. As excitações harmônicas são de grande interesse tendo em vista que a resposta do sistema é função de suas características intrínsecas, como por exemplo, suas freqüências naturais e frações de amortecimento. As excitações aleatórias formam um item a parte tendo em vista seu caracter estatístico, e as excitações ditas não harmônicas são importantes para a caracterização do sistema quanto a entradas que podem identificar o sistema quanto a suas propriedades dinâmicas, como, tempo de resposta, tipo de respostas, etc. Neste capítulo apresenta-se as respostas do sistema de um grau de liberdade para entradas na forma de energia e forçamentos do tipo harmônico e não harmônico, procurando mostrar que esse sistema pode ser representativo de um sistema equivalente com vários elementos mecânicos. É apresentada também a resposta no domínio da freqüência onde mostra-se a importância em conhecer-se o espectro de freqüências do sistema para assim poder-se identificar efeitos como ressonância, que podem ser extremamente danosos. 2.2 VIBRAÇÕES LIVRES Analisando-se o comportamento de um sistema nas condições de uma entrada energética na forma de condições iniciais, pode-se determinar suas características dinâmicas em função de seus parâmetros. Assim, este problema torna-se importante na medida em que permite caracterizar-se o sistema em função de suas respostas. 2.2.1 Relações Constitutivas Dentre as etapas de caracterização de um sistema está a determinação das relações constitutivas de seus elementos constituintes. Assim, é necessário caracterizar-se a natureza de seus elementos armazenadores e dissipadores de energia, isto é, determinar as relações entre entrada e saída dos elementos flexíveis, dissipadores e inerciais. Considerando-se os elementos com comportamento linear pode-se definir estas relações entre entrada e saída para os elementos discretos mola, amortecedor e inércia conforme as relações indicadas na Fig. 2.1. 2.2.2 Sistemas Equivalentes Embora rigorosamente os sistemas mecânicos possuam movimentos tridimensionais, em um grande número de problemas interessa apenas seu movimento em relação a uma das dimensões. Também boa parte dos sistemas comportam-se como tendo apenas um grau de liberdade de importância na análise, o

4

que torna o problema de vibrações bastante simplificado. Assim, torna-se necessária a determinação de um sistema equivalente ao massa-mola-amortecedor clássico, cuja análise será feita posteriormente.

Figura 2.1 Elementos Mecânicos Básicos. Para os conjuntos de molas e amortecedores calcula-se a constante equivalente considerando sua substituição por um único elemento que naquela posição produzirá o mesmo efeito que o sistema combinado. A inércia equivalente pode ser calculada a partir de uma compatibilidade de deslocamentos existente no sistema. Dentre esses sistemas equivalentes destacam-se as situações apresentadas na Tabela 1.1.

Tabela 1.1 Sistemas Equivalentes

Sistema Modelo Físico Elemento Equivalente

Molas em Paralelo

k k keq = +1 2

Molas em Série

kk k

k keq = +1 2

1 2

Viga Engastada

k EILeq =

33

Viga Biapoiada

k EI

Leq =48

3

2.2.3 Equações Diferenciais de Movimento No estudo de vibrações em sistemas, a configuração de equilíbrio estático é normalmente considerada como referência, assim, no caso dos dimensionamentos ou verificações de deslocamentos absolutos dos elementos, deve-se superpor a resposta a deslocamentos estáticos, como por exemplo o efeito do peso próprio das inércias dos elementos do sistemas. Basicamente pode-se representar o sistema massa-mola-amortecedor conforme ilustrado na Fig. 2.2, onde mostra-se o deslocamento dinâmico ocorrendo a partir de uma configuração de equilíbrio estático.

5

Figura 2.2 Sistema Massa-Mola-Amortecedor Clássico. Aplicando-se a segunda lei de Newton ao sistema obtém-se sua equação dinâmica.

m x b x kx F t•• •

+ + = ( ) (2.1) cuja solução, x(t), é a resposta do deslocamento da massa no domínio do tempo a um dado forçamento F(t). O problema de Vibração Livre considera que o forçamento é nulo e que o movimento da massa é obtido pela imposição de condições iniciais impostas ao sistema. A resposta, neste caso é determinada a partir da equação diferencial homogênea,

m x b x kx•• •

+ + = 0 (2.2) A solução desta equação depende fortemente dos parâmetros m, b e k do sistema, podendo apresentar um movimento oscilatório ou não. Reescrevendo a Eq. 2.2 como

x x xn n

•• •

+ + =2 02ζω ω (2.3) onde os parâmetros podem ser definidos por:

ζ =b

bcr

(fração de amortecimento)

e ω nkm

= (freqüência natural),

sua solução pode ser obtida assumindo-se uma solução do tipo exponencial com a forma:

x t Aest( ) = (2.4) Dependendo do valor de s a solução pode apresentar a forma oscilatória ou não. Substituindo a Eq. 2.4 em 2.3, obtém-se os seguintes valores para s:

( )s n= − ± −ζ ζ ω2 1 (2.5)

o que caracteriza as seguintes soluções: 1) Para ζ < 1 tem-se s complexo conjugado o que resulta em um movimento oscilatório (subcrítico) da

forma:

6

x t Ae tnt

d( ) cos( )= −−ζω ω φ (2.6) 2) Para ζ = 1 tem-se um único valor real negativo de s o que caracteriza o chamado movimento crítico e a

solução tem a forma:

x t A A t e nt( ) ( )= + −1 2

ω (2.7) 3) Para ζ > 1 tem-se o movimento não oscilatório (supercrítico) onde s assume dois valores reais negativos

e a solução pode ser expressa por:

x t A e A en nt t( ) = +

− − −

− + −

1

1

2

12 2ζ ζ ω ζ ζ ω (2.8)

Nos três casos, as constantes A, φ, A1 e A2 dependem de condições iniciais impostas ao sistema e ωd é a freqüência natural amortecida, definida por:

ω ω ζd n= −1 2 (2.9) A Fig. 2.3 mostra as respostas típicas referentes às Eqs. 2.6, 2.7 e 2.8.

(a) (b) (c)

Figura 2.3 Vibrações Livres para sistema Massa-Mola-Amortecedor.

Cond. Iniciais: x0 > 0, x•

> 0. a) ζ < 1, b) ζ = 1 e c) ζ > 1. Observa-se pela Fig. 2.3a e pela Eq. 2.6, que quando ζ → 0, a resposta tende a uma harmônica com amplitude constante, caracterizando o oscilador simples. 2.2.4 Decremento Logarítmico Um dos grandes problemas na identificação de parâmetros de um sistema é a determinação da constante de amortecimento. Dentre os vários procedimentos para determiná-la pode-se citar a avaliação experimental do Decremento Logarítmico, que consiste na análise da resposta de um sistema subamortecido. O Decremento Logarítmico é definido pelo logaritmo da relação entre duas amplitudes sucessivas na resposta de um sistema em vibrações livres. Assim, seja o sinal de resposta do sistema da Fig. 2.4.

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Figura 2.4 Resposta de um Sistema subamortecido. Pela definição o decremento logarítmico é expresso por:

δ = lnxx

1

2

(2.10)

Substituindo-se os valores de x1 e x2 para um tempo qualquer na Eq. 2.6 pode-se chegar à relação entre δ e ζ, que pode ser expressa por:

δ πζ

ζ=

−

21 2

(2.11)

Assim, ao determinar-se δ experimentalmente, substitui-se na Eq. 2.11 e calcula-se a fração de amortecimento ζ. Como em geral a obtenção gráfica da resposta do sistema (Fig. 2.4) não é precisa, sugere-se a determinação de δ a partir da relação entre o primeiro pico e o de ordem n+1, o que resulta na expressão:

δ =+

1 1

1nx

xn

ln (2.12)

onde n é o número de ciclos do sinal. 2.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS As excitações externas sobre um sistema podem ser de duas naturezas distintas: um forçamento (forças inerciais, ações aerodinâmicas, etc.) e/ou deslocamentos prescritos (excitações de base - como terremotos, ação das irregularidades de pista sobre um veículo, etc.). Os resultados mais importantes no problema de vibrações forçadas são aqueles que caracterizam um efeito permanente sobre o sistema, e que por esta razão são associados ao chamado Regime Permanente do sistema. 2.3.1 Excitações Harmônicas Dentre as várias solicitações sobre o sistema, uma das mais importantes respostas é a que indica a relação entre entrada e saída quando a entrada é uma força harmônica. Este tipo de forçamento é de grande importância devido ao comportamento dinâmico de sistemas que, sob certas situações, geram efeitos danosos como ressonâncias mecânicas. Considerando a equação dinâmica do problema, Eq. 2.1, pode-se expressar um forçamento harmônico na forma complexa por:

8

F t F ei t( ) = 0

ω (2.13) caracterizado por uma força com amplitude constante F0 e freqüência de excitação ω em radianos por segundo. Procurando-se a resposta permanente para o sistema, pode-se ensaiar uma solução na forma:

x t X i ei t( ) ( )= ω ω (2.14) onde X(iω) é a sua amplitude que depende da freqüência de excitação. Substituindo-se as Eqs.2.14 e 2.13 na 2.1 obtém-se o valor de X(iω) expresso por:

X ix

i

ext

n n

( )ω

ζ ωω

ωω

=

+ −

1 2

2 (2.15)

permitindo que a resposta x(t) seja colocada na forma:

x t x G i eesti t( ) ( ) ( )= −ω ω φ (2.16)

onde xext é o deslocamento estático correspondente ao forçamento (xext = F0/k),

G i

n n

( )ωωω

ζ ωω

=

−

+

1

1 22 2 2

(2.17)

é o Fator de Amplificação e φ é o ângulo de fase entre entrada e saída. A Eq. 2.17 mostra que existe uma dependência da amplitude de saída com a freqüência de entrada, o que pode ser um complicador para o sistema, tendo em vista a possibilidade de ocorrerem altos deslocamentos para baixas amplitudes das excitações. A Fig. 2.5 ilustra esta dependência, apresentando várias curvas da função G(iω) em função da relação ω/ωn considerando vários valores para a fração de amortecimento.

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Figura 2.5 Fator de Amplificação para vários valores da Fração de amortecimento. O ângulo de fase φ pode ser obtido pela Eq. 2.18 cuja representação gráfica é mostrada na Fig. 2.6, onde pode-se observar que as respostas em fase com as entradas ocorrem prioritariamente para baixas relações entre freqüência de excitação e freqüência natural e baixos valores da fração de amortecimento.

tg n

n

( )φζ ωω

ωω

=

−

2

12 (2.18)

Figura 2.6 Ângulo de Fase. 2.3.2 Coeficiente de Transmissibilidade Uma das importantes informações oriundas desse sistema é o conhecimento dos esforços transmitidos para os elementos de sustentação do sistema. Estes esforços são provenientes dos elementos mola e amortecedor e podem ser calculados pela soma direta das forças atuantes nesses elementos.

F F Ftr mola amort= + (2.19)

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Considerando a resposta x(t) expressa pela Eq. 2.16, pode-se obter a relação entre as amplitudes das forças transmitida e aplicada. Esta relação caracteriza um fator chamado Fator de Transmissibilidade, e pode ser expresso por:

FTFF

G itr

n

= = +

0

2 1 2

1 2ζ ωω

ω

/

( (2.20)

O gráfico representativo do Fator de Transmissibilidade é mostrado na Fig. 2.7, onde pode-se observar que para valores altos da fração de amortecimento a força transmitida aos elementos de apoio do sistema (fundações), é igual ou inferior (para altas freqüências) ao módulo do forçamento dinâmico. O ângulo de fase para a força transmitida é também expresso pela Eq. 2.18.

Figura 2.7 Fator de Transmissibilidade. 2.3.3 Movimento de Base Dentre os problemas típicos relacionados à entradas na forma de deslocamentos prescritos sobre o sistema, destaca-se o movimento de base que, na realidade fundamenta todo o princípio de funcionamento dos transdutores para medidas de vibrações. Neste caso o sistema sofre a influência de um deslocamento harmônico y(t) conforme ilustrado na Fig. 2.8.

Figura 2.8 Excitação de Base. A equação diferencial de movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton que após manipulações matemáticas conduz a:

x x x y yn n n n

•• • •

+ + = +2 22 2ζω ω ζω ω (2.21)

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Considerando uma excitação de base harmônica do tipo

y t Y ei t( ) = 0ω (2.22)

pode-se determinar a relação entre amplitudes de entrada (Y0) e saída (X0 = X(iω)) que será também expressa pela Eq. 2.20. Nos transdutores de medidas de vibrações é importante a determinação do movimento relativo entre a saída e a entrada do sistema, assim, pode-se reescrever a Eq. 2.21 em função do movimento relativo.

z z z yn n

•• • ••

+ + =2 2ζω ω (2.23) Nesta equação z(t) = x(t) - y(t), é o movimento relativo da massa em relação à excitação de base. Considerando uma entrada harmônica expressa pela Eq. 2.22 e uma saída na forma:

z t Z i ei t( ) ( ) ( )= −0 ω ω φ (2.24)

pode-se obter a relação entre amplitudes de saída e entrada em função da freqüência da excitação de base, que pode ser expressa por:

)(2

0

0 ωωω iG

YZ

n

= (2.25)

O gráfico do ganho do sistema é apresentado na Fig. 2.9 para alguns valores da fração de amortecimento.

Figura 2.9 Ganho do Medidor de Vibrações. A Eq. 2.25 e o gráfico da Fig. 2.9 permitem analisar-se sob que condições a resposta de um medidor de vibrações representa com fidelidade uma variável do sistema. Na condição em que ω << ωn , a amplitude da resposta do sistema tende a

12

Z Yn

0 2 021

=ω

ω

Isto é, na medida em que Z0 reflete o nível de aceleração da entrada a menos de um ganho de 1/ω n2 , este

sistema funciona como um Acelerômetro. Na condição em que ω >>ωn o ganho do sistema tende a 1, logo

Z Y0 0= indicando que o sistema seria um bom medidor de deslocamentos. Percebe-se, assim, que os sistemas de medições tem um comportamento dinâmico e que por isto devem ser utilizados dentro de certas faixas de freqüências, caso contrário, os valores obtidos nas medidas não refletirão o comportamento do sistema a ser analisado. 2.3.4 Excitações Periódicas A dificuldade natural de modelar-se um sistema também está presente na modelagem de seu carregamento. Da boa modelagem do carregamento depende a boa interpretação dos resultados oriundos da análise. Em alguns sistemas a excitação não pode ser representada por uma simples função harmônica mas sim um conjunto de harmônicos que caracterizem o carregamento no domínio do tempo. Assim, torna-se necessária uma manipulação matemática do sinal no sentido de representa-lo por um conjunto de funções harmônicas simples, cuja superposição aproxime adequadamente a função real. Para isto, pode-se utilizar as séries de Fourier que é, a ferramenta mais adequada para obter-se os principais harmônicos presentes em um sinal representativo do forçamento. Pela série de Fourier, um forçamento periódico qualquer, como o mostrado na Fig. 2.10, pode ser representado pela função aproximada:

Figura 2.10 Função Periódica.

F t a a n t b n tnn

N

n( ) ( cos sen )= + +=∑1

2 0 01

0ω ω (2.26)

onde F(t) é a função forçamento, a0, an e bn são os coeficientes de Fourier, N é o número de harmônicos participantes da função e ω0 = 2π/T é a freqüência associada ao maior período (T) do sinal. Os coeficientes de Fourier podem ser definidos por:

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aT

F t dtT

0 0

2= ∫ ( )

aT

F t n t dtn

T= ∫

200

( ) cos ω (2.27)

bT

F t n t dtn

T= ∫

200

( ) sen ω

Conhecendo-se a função forçamento e determinando-se o número de harmônicos necessários para uma adequada representação da função pode-se avaliar a resposta do sistema para cada harmônico, isoladamente, e em seguida superpor-se as soluções, encontrando-se assim, o comportamento do sistema. Assim, um sistema básico poderia ser solicitado por uma força periódica representada por

F(t) = Fnc(t) + Fnx(t), onde Fnc(t) seriam as n componentes em coseno do forçamento e Fnx(t) seriam as n componentes em seno do forçamento. Cada harmônico contribuirá com uma parcela na resposta do sistema que poderia ser expressa por:

ktnsenbtnainGatx nn

N

nnnn

1))()(cos()(21)( 0

1000

−+−+= ∑

=

φωφωω

onde os ganhos e os ângulos de fase são dados respectivamente por:

G inn n

n

n n

( )ωωω

ζωω

0

0

2 2

0

2

1

1 2

=

−

+

(2.28)

tg

n

nn

n

n

( )φζ

ωω

ωω

=

−

2

1

0

0

2 (2.29)

2.3.5 Impulso A função Impulso é utilizada em sistemas mecânicos para a determinação de suas propriedades intrínsecas, como freqüência natural e fração de amortecimento, gerando uma curva de resposta onde possa ser determinado, por exemplo, o decremento logarítmico. A definição do Impulso pode ser expressa por:

δ

δ

( ) /

( )

t a p t a

t a dt

− = =

− =−∞

+∞

∫

0

1 (2.30)

14

Graficamente esta função pode ser representada conforme indicado na Fig. 2.11.

Figura 2.11 Função Impulso Unitário. Considerando-se a equação diferencial referente a um pulso unitário ocorrendo no tempo t=0, tem-se:

m g b g kg t•• •

+ + = δ ( ) (2.31) Pode-se mostrar, procedendo-se à operação limite para ε→0 que o forçamento por um impulso eqüivale a uma condição inicial de velocidade dada por:

gm

•

=01

o que torna a resposta do sistema igual à do sistema sob vibração livre com condição inicial de velocidade, isto é,

g tm

e td

td

n( ) sen= −1ω

ωζω (2.32)

2.3.6 Degrau A aplicação de uma Função Degrau ao sistema propicia uma análise do seu transiente ao ser aplicada uma carga constante. Nos sistemas subamortecidos esta resposta também propicia uma curva que permite determinar-se o decremento logaritmo, entretanto, o mais importante deste tipo de carregamento está na identificação de sobrecargas sobre o sistema no chamado Regime Transiente. A definição do Degrau pode ser expressa matematicamente por:

u t ap t ap t a

( )//

− =<>

01

(2.33)

Sua representação gráfica é mostrada na Fig. 2.12.

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Figura 2.12 Função Degrau Unitário. Pode-se também mostrar que a resposta a essa solicitação corresponde à integral da resposta ao impulso, isto é,

s t g dk

e t tt t

dn

dd

d( ) ( ) cos sen= = − +

−∞

−∫ ξ ξ ωζωω

ωζω1 1 (2.34)

Um gráfico característico desta resposta é mostrado na Fig. 2.13.

Figura 2.13 Resposta do Sistema Massa-Mola-Amortecedor a uma Função Degrau. 2.3.7 Pulso A função pulso é empregada em situações onde o sistema sofre um carregamento brusco, do tipo choque, onde a força é alta e ocorre em um tempo pequeno. Em muitos problemas práticos a hipótese de uma função em meia senóide é satisfatória para caracterizar esse carregamento. Um exemplo de modelagem dessa carga é mostrado na Fig. 2.14 e a correspondente resposta de um sistema sujeito àquela carga é ilustrada na Fig. 2.15.

Figura 2.14 Pulso

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Figura 2.15 Resposta a um carregamento na forma de pulso. O equacionamento da resposta do sistema para uma função pulso pode ser facilmente obtida considerando-se que durante o pulso o carregamento é senoidal e após o pulso a resposta é de um sistema em vibração livre com condições iniciais que podem ser determinadas a partir da equação referida ao trecho com forçamento. É também importante observar pela Fig. 2.15 que o pulso faz com que o sistema responda com altas amplitudes durante o seu tempo de duração, o que pode ser danoso para os componentes do sistema. Obviamente esta resposta depende tanto da duração e da amplitude do pulso, como também da freqüência natural e da fração de amortecimento do sistema.

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2.4 PROBLEMAS 2-1 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura em 40%. Para isto foi proposta a mudança do apoio O da barra rígida. Determine a nova posição deste apoio. Considere a = 1,0 m.

Probl. 2-1

2-2 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura em 40%. Para isto foram propostas duas alternativas: 1) Alteração no diâmetro do eixo. 2) Modificação do comprimento da barra rígida. Determine as novas dimensões para os dois casos. Considere d = 2,0 cm e L'= 40 cm.

Probl. 2-2

2-3 Um container de 10000 kg é suspenso por um guindaste a uma velocidade de 1,0 m/s quando repentinamente o motor de acionamento pára. Considere que o cabo de sustentação seja elástico com uma rigidez de 500 kN/m. a) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do instante em que o

movimento do motor de acionamento é interrompido. b) Construa o gráfico da aceleração vibratória em função do tempo e calcule seu valor máximo e o

período de vibração do container. 2.4 Um container de 10000 kg é suspenso por um guindaste a uma velocidade de 1,0 m/s quando repentinamente o motor de acionamento pára. Considere que o cabo de sustentação seja elástico com uma rigidez de 500 kN/m e que o sistema possua uma fração de amortecimento de 1%.

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c) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do instante em que o movimento do motor de acionamento é interrompido.

d) Calcule a força máxima a ser suportada pelo cabo considerando que o amortecimento do sistema seja desprezível.

Probl. 2-3/2-4 2-5. O sistema mecânico da figura apresenta uma amplitude de resposta de 0,8 cm quando excitado com uma força F(t)=10sen(6t) (N). Deseja-se reduzir esta amplitude para 0,5cm e para isto foram adotadas duas soluções: (a) Retirar o amortecedor e alterar a constante elástica da mola e (b) Alterar a constante de amortecimento. Determine estas novas constantes.

Probl. 2-5

2-6. Um motor de 200 kg deve ser instalado sobre uma fundação elástica representada por uma viga biapopiada. Considerando que o desbalanceamento interno do motor gere uma força excitadora constante de 100 N, determine as dimensões da seção reta quadrada da viga de forma que a amplitude do movimento vibratório não ultrapasse a 4,0 mm. Considere o módulo de elasticidade do material E= 70 GPa e a rotação do motor em 200rpm.. Despreze os efeitos de amortecimento da viga.

Probl. 2-6 2.7 Um motor de velocidade variável com massa de 40 kg possui um desbalanceamento que pode ser representado por uma massa de 5 kg com uma excentricidade de 4,0 cm. Procurando-se manter a amplitude

50 cm50 cm

19

de seu deslocamento abaixo de 0,5 cm, assentou-se o motor em um isolante de borracha com rigidez de 100000 N/m e fração de amortecimento de 2%. Determine a maior velocidade do motor, em rpm, para atender às condições acima.

Probl. 2-7

2-8 Uma viga de aço engastada com 5 m de comprimento sustenta um motor elétrico de 75 kg e 1200 rpm em sua extremidade livre. A força desbalanceadora Fo=5000N. Determine as dimensões da seção reta da viga considerando que sua amplitude não deve ultrapassar a 0,5 cm. Considere E=200 GPa. 2-9 O motor mostrado na figura tem um giro de 100 rpm e é montado sobre uma fundação elástica conforme indicado. Considerando os dados fornecidos determine: (a) A amplitude da aceleração do motor e (b) uma nova constante elástica para as molas de modo a reduzir-se essa amplitude para 80% da original.

Probl. 2-9 2-10 O motor do sistema mecânico mostrado na figura é acoplado a um redutor através de um eixo de aço flexível com diâmetro de 2,0 cm. Considerando os demais eixos como rígidos e as inércias mostradas na figura, determine a equação de movimento angular θ3(t) para uma variação angular de saída do motor expressa por θ(t)=0,04 sen(20t) rad.

Probl. 2-10 2-11 O motor do sistema mecânico mostrado na figura é acoplado a um redutor através de um eixo de aço flexível com diâmetro de 2,0 cm. Considerando os demais eixos como rígidos e as inércias mostradas na figura, determine a equação de movimento angular θ5(t) para uma variação angular de saída do motor expressa por θ(t)=0,04 sen(20t) rad.

m 100 kg k 40000 N/m L 1,0 m I 6,75 cm4 E 200 GPa

Gaço 70 GPa r1 5,0 cm t 0,8 cm r2 2,0 cm ρ 7850kg/m3 r3 5,0 cm

20

Probl. 2-11 2-12 O sistema mostrado na figura representa uma polia acoplada a um eixo apoiado sobre mancais flexíveis. Apresente dois modelos matemáticos (equações diferenciais de governo) que representem os efeitos de vibrações ocorrentes no sistema. Um modelo considerando o eixo como rígido e outro como flexível. Considerar apenas o efeito de vibrações na direção vertical.

Probl. 2-12 2-13 Um veículo trafega por uma pista senoidal com as características mostradas na figura. Considerando apenas seu movimento de translação vertical (“bounce”), determine a aceleração vertical máxima do veículo ao trafegar com velocidade constante de 10 km/h e 50 km/h. Dados: m=800 kg, b=20000 N/m/s, k=80000 N/m.

Probl. 2-13

2-14 O motor elétrico mostrado na figura com massa de 22 kg é montado no meio de uma viga biapoiada de aço com seção reta retangular com comprimento de 1,0 m, largura de 0,2 m e altura de 10 mm. A amplitude da força vertical harmônica desbalanceadora é de 55 N a 58 Hz. Deseja-se reduzir a amplitude da aceleração do motor em 20% pela introdução de um amortecedor. Determine a fração de amortecimento resultante do sistema.

Gaço 70 GPa n 2,0 cm t 0,8 cm r3 5,0 cm ρ 7850kg/m3 r4 2,0 cm r1 5,0 cm r5 8,0 cm

Dados: Eixo: L, d, ρ, A e E Polia: r, t e ρ Mancais: k

21

Probl. 2-14 2-15 O teste de impacto de um veículo (crash test) consiste de uma situação onde um veículo com massa de 800 kg atinge um anteparo rígido a uma velocidade de 60 km/h. Com o objetivo de quantificar-se o valor da força de impacto, considerou-se um modelo onde o veículo é representado por uma única massa e sua rigidez frontal é representada por uma única mola com uma rigidez k=2000N/cm. Baseado neste modelo, calcule a força máxima de impacto e a aceleração máxima que o veículo sofrerá durante o impacto. Despreze qualquer efeito dissipativo.

Probl. 2-15 2-16 Um dos eixos de uma máquina suporta um esforço torcional que é transmitido através de uma polia conforme indicado na figura. O eixo é fabricado de aço (G=70 GPa), tem um diâmetro de 2,0 cm e um comprimento de 80 cm. Desejando-se diminuir em 20% o nível de vibração torcional (deslocamento angular), foi sugerida a alteração do diâmetro do eixo. Determine esse novo diâmetro considerando que o eixo apresente um amortecimento estrutural de 5% de seu amortecimento crítico. Considere que a polia tenha uma massa de 2,0 kg e um raio de12 cm.

Probl. 2-16

CAPÍTULO III

SISTEMAS COM MÚLTIPLOS

22

GRAUS DE LIBERDADE

3.1 INTRODUÇÃO Os sistemas mecânicos constituídos por vários elementos armazenadores e dissipadores de energia possuem em geral vários graus de liberdade, isto é, para cada elemento inercial do sistema pode-se atribuir uma liberdade de movimento e consequentemente o equacionamento é determinado em função desse movimento. Relativamente às análises, o sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser considerado como uma extensão do sistema com um grau de liberdade, isto é, deve-se realizar um estudo do seu comportamento no domínio do tempo e da freqüência. Tendo em vista a possibilidade de acoplamentos entre os vários movimentos referidos aos elementos inerciais, aparece naturalmente um acoplamento entre os graus de liberdade, o que sugere um tratamento matricial para os casos de sistemas lineares. As análises no domínio do tempo devem ser realizadas de forma a determinar-se os deslocamentos, velocidades e/ou acelerações referidas a cada grau de liberdade do sistema. Entretanto, para sistemas com elevado número de graus de liberdade, recorre-se a aproximações onde realiza-se uma análise prévia dos chamados modos de vibrar do sistema, para posteriormente determinar-se a resposta no tempo em função dos modos selecionados para compor a solução. Este procedimento é denominado Método de Superposição Modal. As análises no domínio da freqüência são em alguns casos mais importantes do que a resposta no tempo, tendo em vista as informações sobre o comportamento do sistema relativamente às freqüências de excitação do sistema. Conforme apresentado no Capítulo II, as respostas no domínio da freqüência envolvem a determinação das relações entre entradas e saídas do sistema. Assim, para um sistema com múltiplos graus de liberdade tem se uma relação saída/entrada para cada grau de liberdade, associado a cada entrada. Estes conceitos serão abordados nos próximos itens onde procura-se apresentar o tratamento a ser utilizado posteriormente nas análises de meios contínuos discretizados através de procedimentos computacionais da análise estrutural como o Método dos Elementos Finitos. 3.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO Os sistemas com múltiplos graus de liberdade apresentam a característica de acoplamento dos movimentos a serem considerados. Esses acoplamentos ficam bem representados pelos termos cruzados das matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema. Assim, seja o sistema de duas massas mostrado na Figura 3.1.

23

Figura 3.1 Sistema com Dois Graus de Liberdade. Utilizando a segunda lei de Newton para cada uma das inércias pode-se chegar à equação diferencial matricial representativa do sistema.

M x B x Kx F•• •

+ + = (3.1)

Nesta equação M, B e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, x é o vetor deslocamento das massas e F o vetor forçamento. A Equação (3.1) é uma equação geral da dinâmica onde as matrizes e os vetores têm a ordem correspondente ao número de graus de liberdade do sistema. Em relação ao sistema mostrado na Figura 3.1, as matrizes M, B e K e os vetores x e F seriam definidos por:

Mm

m=

1

2

00

; Bb b b

b b b=

+ −− +

1 2 2

2 2 3

; Kk b k

k k k=

+ −− +

1 2 2

2 2 3

(3.2)

xxx

=

1

2

; FFF

=

1

2

Em sua forma mais geral as matrizes da Equação (3.1) apresentam as seguintes características: 1) A matriz de massa não é necessariamente diagonal; 2) A matriz de rigidez é quase sempre simétrica apresentando termos na diagonal incondicionalmente positivos. 3) Neste exemplo a matriz de amortecimento apresenta a mesma topologia da matriz de rigidez, embora isto não seja uma regra geral. 3.3 VIBRAÇÕES LIVRES - MODOS DE VIBRAR A solução da Equação (3.1) pode ser obtida de várias formas, dependendo do tipo de forçamento. Nem sempre existe uma solução fechada para o problema, e, neste caso adotaria-se um procedimento computacional para a integração das referidas equações. Outra forma de obter-se a solução do sistema de Equações (3.1) seria a partir da decomposição modal, que consiste em obter-se a resposta do sistema em função de seus modos de vibrar. Na grande maioria dos problemas estruturais, esses modos são obtidos com a solução do problema de vibração livre, considerando amortecimento nulo, tendo em vista o baixo amortecimento estrutural. Nos casos onde o amortecimento não possa ser desprezado, recorre-se à definição da matriz de amortecimento como proporcional às matrizes de massa e rigidez, o que também permite obter-se a solução a partir dos modos da estrutura. Assim, nos casos de amortecimento nulo e sistema sem forçamento, a equação diferencial de governo fica:

24

M x Kx••

+ = 0 (3.3)

Sua solução é obtida a partir da consideração de uma resposta do tipo:

x t ue t( ) = λ (3.4) onde o vetor u representa uma relação de amplitudes entre x1 e x2 e λ é igual ao quadrado da frequência associada ao vetor u. Substituindo a Equação (3.4) em (3.3) chega-se a:

( )K M u+ =λ2 0 (3.5) Este é um problema típico de autovalores e autovetores onde o vetor λ é um autovalor correspondente a uma freqüência natural e u é um autovetor cujas componentes representam uma relação entre x1 e x2. A solução da Equação (3.5) é obtida fazendo-se:

( )det K M+ =λ2 0 (3.6)

que resultará em um polinômio chamado Polinômio Característico ou Equação Característica, cujo resultado no caso do exemplo, conduzirá a duas raízes imaginárias puras, o que caracteriza uma oscilação harmônica. Estas raízes são exatamente as duas freqüências naturais do sistema. Para cada uma das freqüências naturais obtém-se um autovetor correspondente pela substituição de seu valor na Equação (3.5). É importante observar que o resultado desta substituição é um sistema de duas equações linearmente dependentes, o que mostra que na realidade obtém-se uma relação entre x1 e x2.e não seus valores explícitos. Particularmente nos problemas onde o amortecimento é nulo, o autovalor será sempre um imaginário puro com a forma λ = iω, assim, costuma-se representar a Equação (3.5) como:

( )K M u− =ω 2 0 (3.7) A determinação dos autovalores seria assim, obtida pela imposição:

( )det K M− =ω 2 0 (3.8)

Para o exemplo de duas massas da Figura 3.1 a Equação (3.8) fornece as duas frequências naturais do sistema, que podem ser expressas por:

ω 1 21 22 2 11

1 2

1 22 2 11

1 2

2

11 22 12

1 2

12

4, =+

±+

−

−m k m km m

m k m km m

k k km m

(3.9)

Os dois modos de vibrar podem ser determinados por:

25

uxx

kk m1

1

2 1

12

22 12

21

=

=

−−

ω e u

xx

kk m2

1

2 2

12

22 22

21

=

=

−−

ω (3.10)

Estes autovetores formam uma base para a solução do problema de vibração livre, que pode ser representada por:

x t C u t C u t( ) cos( ) cos( )= − + −1 1 1 2 2 2 2 2ω φ ω φ (3.11) onde as constantes C1, φ1, C2 e φ2 são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais de movimento das massas 1 e 2. Exemplo: Supondo no exemplo que m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k e k3 = 2k (Figura 3.2), tem-se as seguintes freqüências naturais:

Figura 3.2 Determinação de modos e freqüências naturais do exemplo da Figura 3.1.

ω ω1 2 1 5811= =km

e km

,

Os modos de vibrar podem ser definidos dentro das seguintes proporções para x1 e x2:

u e u1 2

11

105

=

=

−

.

A interpretação física desses modos também é mostrada na Figura 3.2.

26

3.4 ORTOGONALIDADE DOS MODOS O conceito de ortogonalidade nos problemas de vibrações são adequados às soluções que se deseja para o problema. Assim, a ortogonalidade entre dois vetores representativos dos modos será obtida em relação à matriz de massa, isto é, dois autovetores serão considerados ortogonais em relação à matriz de massa se:

u Mu p i j

u Mu m p i jiT

j

iT

j i

= ≠

= =

0 /

/ (3.12)

A conseqüência das condições (3.12) é que um autovetor ortogonal à matriz de massa será também ortogonal em relação à matriz de rigidez. Esta condição permitirá o desacoplamento do sistema de equações a partir da definição de um novo sistema de coordenadas (graus de liberdade generalizados) descrito por:

x Uq= (3.13) onde U é a chamada Matriz Modal, e é obtida pela colocação dos autovetores em colunas, isto é,

[ ]U u u un= 1 2 L (3.14) Substituindo-se a relação (3.13) na Equação (3.3) e prémultiplicando-se por UT, obtém-se:

M q K q_ _••

+ = 0 (3.15) onde

M U MU e K U KUT T−

= =_

(3.16) Tendo em vista a ortogonalidade dos autovetores, a Equação (3.15) fica desacoplada e a solução para o vetor q(t) pode ser obtida facilmente, pois cada equação do sistema (3.15) representa um oscilador simples. Obtidos os q(t), pode-se calcular x(t) pela Equação (3.13), que resultará na Equação (3.11), considerando tantos modos quantos forem os graus de liberdade do sistema. 3.5 BATIMENTO Dependendo da proximidade entre freqüências naturais, o sistema pode apresentar o fenômeno de Batimento que caracteriza uma “sintonia” de movimentos associados a dois ou mais graus de liberdade, para os quais as energias potencial e cinética se alternam. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado no problema de dois pêndulos interligados por um elemento flexível, conforme ilustrado na Figura 3.3.

27

Figura 3.3 Pêndulos acoplados por um elemento flexível. As equações diferenciais deste sistema podem ser colocadas na forma matricial como:

mlml

mgl ka kaka mgl ka

2

21

2

2 2

2 21

2

00

00

+

+ −− +

=

••

••θ

θ

θθ

(3.17)

A solução analítica desse sistema de equações, considerando-se uma condições inicial θ1 = θ0 e as demais condições nulas, pode ser representada por:

θ θω ω ω ω

θ θω ω ω ω

1 02 1 2 1

2 02 1 2 1

2 2

2 2

( ) cos cos

( ) sen sen

t t t

t t t

=−

+

=−

+

(3.18)

onde ω1 e ω2 são as freqüências naturais do sistema expressas por:

ω ω1 2

2

22= = +gl

e gl

kaml

(3.19)

A resposta desse sistema é apresentada graficamente na Figura 3.4, onde percebe-se a alternância entre energia potencial e cinética entre os dois pêndulos.

28

Figura 3.4 Resposta do Sistema da Figura 3.3. 3.6 EXCITAÇÕES HARMÔNICAS A resposta permanente de sistemas com múltiplos graus de liberdade na presença de excitações harmônicas pode ser obtida analiticamente para uma grande parte de sistemas mecânicos. Entretanto quando o número de graus de liberdade é elevado é inevitável o uso de procedimentos computacionais, onde o sistema é aproximado de forma a facilitar a integração das equações diferenciais. Utilizando novamente a Equação (3.1) para um sistema com dois graus de liberdade, pode-se considerar o forçamento F(t) expresso por uma harmônica e considerar as relações de saída/entrada para analisar-se sua resposta em função da freqüência de excitação.

M x B x Kx F t•• •

+ + = ( ) (3.20) Considerando-se o vetor forçamento com componentes de mesma freqüência pode-se escrever:

F t F eF t F e

i t

i t1 1

2 2

( )( )

=

=

ω

ω (3.21)

Buscando-se uma resposta no regime permanente, pode ensaiar a solução:

x t X i ex t X i e

i t

i t1 1

2 2

( ) ( )( ) ( )

=

=

ω

ω

ω

ω (3.22)

Substituindo-se as Equações (3.21) e (3.22) na (3.20), tem-se as relações entre saída e entrada do sistema que, neste caso caracterizam quatro ganhos determinados por:

XX Z Z Z

Z ZZ Z

FF

1

2 11 22 12

22 12

12 11

1

2

1

= −

−−

(3.23)

29

A Equação (3.23) mostra de, a princípio deve-se analisar todas as possíveis relações saída/entrada no sistema, de forma a caracterizar-se realmente se em algum ponto do sistema existem efeitos que o danifiquem. Exemplo: Considere, por exemplo, o sistema da Figura (3.1) sem amortecimento e apenas com uma força F1(t) e com os seguintes parâmetros: m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k e k3 = 2k. Neste caso as amplitudes dos deslocamentos das massas 1 e 2 podem ser expressos por:

Xk m F

k m k m k

Xk F

k m k m k

122

22 1

112

1 222

2 122

212 1

112

1 222

2 122

=−

− − −

=−

− − −

( )( )( )

( )( )

ωω ω

ω ω

Estas respostas são mostradas graficamente na Figura (3.5)

Figura 3.5 Resposta do sistema com dois graus de liberdade.

30

Pela figura 3.5 pode-se observar na resposta de X1 que existe uma freqüência correspondente a uma saída nula para o sistema. Esta característica mostra o conceito utilizado em absorvedores mecânicos, onde por introdução de um subsistema massa-mola a um sistema que opere com grandes amplitudes de vibração pode-se minimizar seus efeitos. Esta condição e conseguida através da escolha de parâmetros tais que, a freqüência de operação do sistema seja relacionada com as propriedades do subsistema de forma a atender a Equação:

ω opkm

= 22

2

(3.24)

Esta freqüência é chamada de freqüência do absorvedor. Também nesta freqüência o segundo gráfico da Figura 3.5 mostra que X2 (deslocamento do absorvedor) será diferente de zero, porém não muito alta, o que torna o projeto do absorvedor viável. 3.7 SISTEMAS COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL Em muitos sistemas o efeito de amortecimento não pode ser desprezado e deve ser considerado como elemento modificador da resposta do sistema. Entretanto em alguns sistemas mecânicos, principalmente nos sistemas estruturais onde o amortecimento é baixo, é possível considerar-se a matriz de amortecimento como proporcional às matrizes de massa e rigidez, isto é,

B M K= +α β (3.25) onde α e β são fatores de proporcionalidade baseados em experimentos. Nesta situação pode-se utilizar a decomposição modal do sistema utilizando-se a transformação de coordenadas expressa pela Equação (3.13), o que conduzirá ao desacoplamento do sistema.

M x B x Kx F t•• •

+ + = ( ) (3.26)

Utilizando-se a Equação (3.13) e pré-multiplicando-se toda a equação por UT chega-se a:

M q B q K q Q t_ _ _

( )•• •

+ + = (3.27) onde

M U M U B M K K U KU e Q U F tT T T− −

= = + = =; ; ( )_ _ _

α β (3.28) O sistema de Equações (3.27) é desacoplado e pode ser resolvido a partir de soluções de sistemas com um grau de liberdade. Em seguida utilizando a Equação (3.13) pode-se recuperar os valores das coordenadas físicas. 3.8 REDUÇÃO DE ORDEM EM MODELOS LINEARES

31

Outra possibilidade de solução de um sistema de equações dinâmicas para modelos lineares é a chamada Redução de Ordem, onde a partir de algumas considerações iniciais sobre os efeitos inerciais, pode-se reduzir drasticamente o número de equações do sistema. A idéia básica é a de determinar-se uma transformação sobre as matrizes características do modelo no sentido de reduzir-se sua ordem, sem prejuízo no cálculo de seu comportamento. Esta transformação seria expressa a partir de uma seleção de efeitos inerciais pouco influentes no modelo. Esta sistemática é válida para sistemas estruturais onde as inércias referidas a alguns graus de liberdade são de valores significativamente menores do que para outros, podendo assim ser eliminadas ou aglutinadas a outros graus de liberdade. Seja um modelo estrutural sem dissipação representado pelas matrizes de massa e rigidez, oriundas de uma metodologia como a do Método dos Elementos Finitos. Sua equação diferencial de governo é classicamente colocada na forma:

M x Kx F t••

+ = ( ) (3.29) Seja também uma transformação sobre o vetor x no sentido de reduzir-se sua ordem e que possa ser expressa por:

x T x=−

(3.30) Substituindo-se a Equação (3.30) em (3.29) e pré-multiplicando-se toda a equação por TT, obtém-se:

M x K x F t_ _ _ _ _

( )••

+ = (3.31) onde

M T MT K T KT e F t T F tT T T_ _ _

; ( ) ( )= = = (3.32) A Equação (3.31) representará, assim, um sistema reduzido se a transformação T for tal que “selecione” os graus de liberdade com inércias significantes e transforme as matrizes M e K de forma a incorporarem esses efeitos nos elementos referentes aos graus de liberdade remanescentes. Duas possibilidades podem ocorrer: 1) O modelo possui graus de liberdade sem massa. Neste caso pode-se proceder a uma manipulação das matrizes de massa e rigidez de forma a expressar-se os graus de liberdade sem massa em função dos com massa e assim, o sistema fica “idealmente reduzido”, sem qualquer prejuízo na solução. Matricialmente, pode-se escrever:

M xx

K KK K

xx

FF

11 1

2

11 12

21 22

1

2

1

2

00 0

+

=

••

•• (3.33)

32

A segunda equação matricial é estática, de forma que pode-se expressar x2 em função de x1.

x K F K K x2 221

2 221

21 1= −− − (3.34) Substituindo-se a Equação (3.34) na primeira equação matricial tem-se:

M x K x F t_ _ _ _ _

( )••

+ = (3.35) onde

M M K K K K K F F K K F e x x_ _ _ _

; ;= = − = − =− −11 11 12 22

121 1 12 22

12 1 (3.36)

As operações acima correspondem a uma matriz transformação T expressa por:

TI

K K=

−

−

221

21

(3.37)

2) O modelo possui graus de liberdade com massa desprezível Neste caso considera-se como válidas as transformações da Equação (3.32), obtendo-se a mesma matriz de rigidez transformada do caso anterior e a matriz de massa fica:

M M M K K K K M K K M K KT T_= − − +− − − −

11 12 221

21 21 221

21 21 221

22 221

21 (3.38) A utilização desta redução será tão precisa quanto menor os valores das inércias referidas aos graus de liberdade condensados. É importante observar que, com esta transformação viola-se uma condição de equilíbrio dinâmico. 3.9 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS CONTÍNUOS A determinação das equações de governo em sistemas com parâmetros concentrados apresenta uma crescente dificuldade na medida em que os corpos possuam forças interativas entre si. Uma procedimento que minimiza esta dificuldade é proposto por Lagrange, que apresenta uma formulação energética onde atende-se às condições de equilíbrio dinâmico dos corpos desde que seja possível formular-se as expressões energéticas envolvidas no problema. Assim, ao se determinar as energias cinética e potencial em relação às coordenadas generalizadas do sistema, pode-se obter as equações de governo utilizando a Equação de Lagrange, que pode ser expressa por (Craig, 1981):

ddt

T

q

Tq

Vq

Qi

i ii

∂

∂

∂∂

∂∂•

− + = (3.39)

33

onde T é a Energia Cinética do Sistema (Expressa em função das coordenadas generalizadas q,

V é a Energia Potencial Elástica e Q são as forças generalizadas. A aplicação dessa equação a sistemas contínuos é bastante conveniente tendo em vista a facilidade de equacionamento, principalmente quando se trata de um sistema estrutural. A determinação da Energia Potencial em termos das coordenadas generalizadas do sistema conduzirá à obtenção da sua matriz de rigidez, enquanto que a Energia Cinética conduzirá à obtenção da matriz de massa consistente. O vetor representativo das forças generalizadas será obtido pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. 3.9.1 Elemento Estrutural de Barra Considere inicialmente um elemento prismático com movimento uniaxial e propriedades físicas e geométricas conhecidas.

Figura 3.6 Elemento prismático com deslocamentos uniaxiais. A energia de deformação elástica associada ao deslocamento u(x,t), pode ser expressa por:

V EA ux

dxL

=

∫

12

2∂∂

(3.40)

Considerando-se o campo de deslocamentos u(x,t) representado por um somatório de produtos de duas funções, uma função exclusiva de x e outra em função exclusiva do tempo, tem-se:

u x t x u ti ii

n

( , ) ( ) ( )==∑ψ

1

(3.41)

Substituindo-se a Equação (3.41) em (3.40), obtém-se uma expressão que permite determinar-se um elemento kij correspondente à forma discretizada da energia potencial elástica, isto é,

V k u ui

ij i jj

= ∑ ∑12

(3.42)

onde kij será o termo ij de uma matriz de rigidez representativa do meio contínuo e definido por:

k EAx x

dxiji j

L= ∫

∂ψ∂

∂ψ∂

(3.43)

34

As funções ψi são em geral polinômios que devem atender às condições de contorno do domínio. A energia cinética da barra pode ser determinada a partir da expressão:

T Aut

dxL

=

∫

12

2

ρ∂∂

(3.44)

Analogamente, substituindo-se a aproximação de u(x,t) na Equação (3.44) chega-se a:

T m u ui

ij i jj

= ∑ ∑• •1

2 (3.45)

onde mij é um elemento genérico da matriz de massa consistente e definido por:

m A dxij i jL= ∫ ρ ψ ψ (3.46)

O vetor com as forças generalizadas pode ser definido a partir do Princípio dos Trabalhos Virtuais e será expresso por:

Q p x t dxi iL= ∫ ( , )ψ (3.47)

Exemplo: Seja determinar-se o modelo dinâmico de uma barra com três graus de liberdade, conforme indicado na Figura 3.7.

Figura 3.7 Barra com Três graus de liberdade. As condições de contorno do domínio são tais que:

p/x=0 → u(0,t) = u1 → ψ1 = 1, ψ2 = 0 e ψ3 = 0 p/x=L → u(L,t) = u2 → ψ1 = 0, ψ2 = 1 e ψ3 = 0 p/x=2L → u(2L,t) = u3 → ψ1 = 0, ψ2 = 0 e ψ3 = 1

Com três condições de contorno a serem atendidas por cada uma das funções ψi, pode-se definir polinômios de 2a ordem. Determina-se assim os seguintes polinômios:

35

ψ

ψ

ψ

1

2

2

2

3

2

1 32

12

2

12

12

( )

( )

( )

x xL

xL

x xL

xL

x xL

xL

= −

+

=

−

= −

+

A solução para o campo u(x,t) será expressa por:

u x t x u t x u t x u ti i( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +ψ ψ ψ2 2 3 3 Substituindo-se os polinômios nas Equações (3.43) e (3.46) obtém-se as matrizes de massa e rigidez do sistema, que no caso de vibração livre gera o seguinte modelo:

ρALuuu

EAL

uuu

6

2 1 01 4 10 1 2

1 1 01 2 1

0 1 1

000

1

2

3

1

2

3

+−

− −−

=

••

••

••

O modelo dinâmico acima deve ser integrado considerando as condições iniciais do sistema. Com a resposta para os deslocamentos nodais u’s, pode-se substituir na expressão do campo u(x,t) e obter o deslocamento de quaisquer pontos do meio contínuo. 3.9.2 Elemento Estrutural de Viga Plana O elemento de viga plana possui deslocamentos transversais e rotações no plano da viga. As características inerciais mij e o vetor de carregamento generalizado Qi são calculados da mesma forma que o elemento de barra, ou seja utilizando-se as Equações (3.46). e (3.47). A matriz de rigidez será determinada a partir de desenvolvimento similar ao anterior, porém utilizando-se a energia potencial elástica de uma viga, que pode ser expressa por:

V EI ux

dxL

=

∫

12

2

2

2∂∂

(3.48)

Utilizando-se o mesmo desenvolvimento anterior chega-se à determinação dos elementos da matriz de rigidez kij.

k EIx x

dxiji j

L= ∫

∂ ψ∂

∂ ψ∂

2

2

2

2 (3.49)

Considerando um elemento típico de viga plana com quatro graus de liberdade, conforme ilustrado na Figura 3.8, pode-se determinar os polinômios de terceira ordem relacionados a este elemento.

36

Figura 3.8 Elemento de Viga Plana.

ψ

ψ

ψ

ψ

1

2 3

2

2 3

3

2 3

4

2 3

1 3 2

2

3 2

( )

( )

( )

( )

x xL

xL

x x L xL

L xL

x xL

xL

x L xL

L xL

= −

+

= −

+

=

+

= −

+

(3.50)

Substituindo-se esses polinômios nas Equações (3.43) e (3.46) obtém-se as matrizes de rigidez e massa relacionadas a este elemento.

K EIL

L LL L L L

L LL L L L

=

−−

− − −−

3

2 2

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

6 2 6 4

(3.51)

m ALL L

L L L LL L

L L L L

=

−−−

− − −

ρ420

156 22 54 1322 4 13 354 13 156 2213 3 22 4

2 2

2 2

37

3.10 PROBLEMAS 3-1. Determine as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema abaixo.

Probl. 3-1 3-2. Determine as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema mostrado na figura.

Probl. 3-2

3-3. Discretizando o sistema abaixo com dois elementos de viga plana, determine:

a) As equações diferenciais de movimento; b) Suas freqüências e modos naturais; c) As equações diferenciais em coordenadas generalizadas desacopladas.

Dados: E=70GPa; L=1,0m; I=2 x 10-8 m4; ρ=7850kg/m3; A=2 x 10-4 m2

Probl. 3-3 3-4. Determine as freqüências e modos naturais do sistema da figura, assumindo que o cabo passa sobre a roldana sem deslizar. Dados m = mo = 1,0 kg; k1 = k2 = 1 N/m e r = 0,5 m.

L L

38

Probl. 3-4

3.5 Para o sistema mostrado na figura determine: a) Suas equações diferenciais de movimento, b) O conjunto de autovetores que ortonormaliza sua matriz de massa e c) As equações de movimento na forma ortonormalizada.

Probl. 3-5

3.6 Determinar as freqüências e modos naturais do sistema mecânico ilustrado na figura.

Probl. 3-6

3-7. Para o sistema de parâmetros concentrados ilustrado na figura determine:

a) Suas equações diferenciais de movimento; b) As freqüências e modos naturais do sistema, representando-os.

39

Probl. 3-7

3-8 Apresente as equações com as quais podemos determinar os modos de vibrar e as freqüências naturais do motor apoiado sobre elementos flexíveis mostrado na figura abaixo. Determine numericamente as matrizes de massa e rigidez do sistema.

Probl. 3-8 3-9 Determine as freqüências naturais e os modos de vibrar do sistema constituído por dois eixos e quatro engrenagens mostrado na figura. Considere r3=2r2.

Probl. 3-9

3-10 Um motor é instalado conforme ilustrado na figura abaixo. Considerando que o material de apoio do motor sobre a barra rígida tenha uma rigidez de 2000 N/m e que o amortecedor viscoso colocado na extremidade valha 1000 Ns/m, Obtenha as equações de movimento do sistema. Considere que as massas do motor e da barra valem 50 kg e 10 kg., respectivamente. A força desbalanceadora do motor é de 50 N a 40 Hz. 3-11 Substituindo-se o amortecedor da extremidade da barra do sistema do problema 3-10 por uma mola com 1000 N/m de rigidez, mantendo-se todos os demais componentes, determine as freqüências e modos naturais do sistema.

Dados: Coordenadas. do cg G(10,10,10) m=10 kg k=10000 N/m

Dados:

J1 0,2 x 10-2 kgm2 J2 0,1 x 10-2 kgm2 J3 0,2 x 10-2 kgm2 J4 0,4 x 10-2 kgm2 k1 4000 Nm/rad k2 2000 Nm/rad

40

Probls. 3-10/3-11

3-12 Determine as freqüências e os modos naturais do sistema mostrado na figura pelo efeito da torção dos eixos. Considere: k1 = 2 Nm/rad, k2 = 0,5 Nm/rad, J1 = 1 kgm2, J2 = 1,2 kgm2 e J3 = 1,5 kgm2.

Probl. 3-12

*3-13 Para o sistema estrutural mostrado na figura determine:

a) Os modos e freqüências naturais, b) A resposta do sistema para os forçamentos constante e harmônico.

Observações:

1) Considere um modelo discretizado com pelo menos dois elementos para cada trecho da estrutura. 2) Faça simulações do sistema com e sem amortecimento estrutural. 3) Considere freqüências próximas e distantes da freqüência do 2o modo de vibração da estrutura. 4) Compare a resposta para forçamento constante com os resultados fornecidos pela resistência dos

materiais.

Probl. 3-13 *3-14 Considerando a estrutura apresentada na figura, desenvolva um modelo matemático utilizando os elementos estruturais de viga, barra e eixo. Utilize aproximadamente 8 graus de liberdade e faça as seguintes análises: a) Determinação do sistema de equações diferenciais de governo, b) Análise de freqüências e modos de vibrar;

41

c) Resposta no domínio do tempo para forçamento constante [F(t)=F0] e senoidal [F(t)=F0sen(ωt)]; d) Faça uma redução de ordem do modelo condensando os graus de liberdade de rotação na flexão; e) Determine as freqüências naturais do modelo reduzido e compare com as obtidas no item b e f) Introduza um amortecimento modal global no modelo reduzido e no modelo original e compare os

resultados obtidos para um carregamento constante. Compare os resultados com os preconizados pela Resistência dos Materiais.

Observações:

Para efeito de simulação, considere freqüências próximas e distantes da freqüência do 2o modo de vibração da estrutura.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Probl. 3-14

*3-15 Para os sistemas mecânicos indicados na figura, faça as seguintes análises: • Modos e Freqüências Naturais. • Simulação no domínio do tempo para várias condições de Entrada • Respostas em função da variação dos parâmetros

42

(a) Veículo com suspensões independentes.

(b) Motocicleta plana.

(c) Motor a combustão de quatro tempos sobre cochins.

(d) Motor de velocidade variável sobre fundação elástica.

(e)Veículo Plano com Reboque.

Probl. 3-15

Os problemas 3-16 até 3-19 devem apresentar:

1) Desenvolvimento detalhado do modelo matemático. 2) Relação com os valores numéricos adotados para os parâmetros. 3) Simulação com as respostas de algumas das variáveis do sistema. 4) Análise das freqüências e modos naturais de vibração.

*3-16 Analisar o comportamento de um absorvedor mecânico de vibrações através da simulação e analise de seu modelo matemático.

Probl. 3-16

43

*3-17 Analisar o comportamento de um veículo através da simulação e analise de seu modelo matemático, considerando o movimento como plano e com dois graus de liberdade.

Probl. 3-17

*3-18 Analisar o comportamento do redutor de velocidades mostrado na figura através da simulação e analise de seu modelo matemático. Considere que a rotação do motor gere uma perturbação no ângulo de saída expressa por θ(t)=θ0 sen(ωt).

Probl. 3-18 *3-19 Analisar o comportamento do sistema mecânico com eixo e polias mostrado na figura através da simulação e analise de seu modelo matemático. Considere que a rotação do motor gere uma perturbação no ângulo de saída expressa por θ(t)=θ0 sen(ωt).

Probl. 3-19

* Problemas que requerem solução numérica.

44

CAPÍTULO IV

SISTEMAS CONTÍNUOS

4.1 INTRODUÇÃO O estudo analítico de sistemas contínuos é restrito a elementos estruturais simples, onde a partir de sua equação diferencial parcial de governo consegue-se uma solução fechada. Esta solução torna-se mais complexa na medida em que as condições de contorno dificultem a obtenção da equação característica do sistema. O procedimento apresentado na literatura limita-se aos casos de cabos, barras, vigas e eixos como elementos isolados. O equacionamento dos elementos de cabos, barras e eixos são similares, resultando em uma equação diferencial parcial de segunda ordem no tempo e no espaço, enquanto para vigas, dadas as relações entre deslocamentos e solicitações, a equação diferencial parcial é de quarta ordem no espaço e segunda no tempo. 4.2 CABOS O cabo é um elemento resistente apenas a cargas trativas pelo efeito de solicitações transversais. Assim, seja o cabo biapoiado solicitado transversalmente por uma carga distribuída conforme ilustrado na Figura 4.1.

Figura 4.1 Cabo carregado transversalmente. Aplicando as equações de equilíbrio dinâmico a um pequeno elemento do cabo, obtém-se a equação diferencial parcial de governo:

∂∂

∂∂

ρ ∂∂x

T yx

f x t yt

+ =( , )

2

2 (4.1)

válida para todo o domínio do cabo. E sujeita às seguintes condições de contorno:

p/x = 0 → y(o,t) = 0 p/x = L → y(L,t) = 0

A equação (4.1) está também sujeita a duas condições iniciais, para caracterizar o início de seu movimento.

45

Considerando uma solução por separação de variáveis, pode-se proceder à solução de duas equações independentes, uma no domínio do tempo e outra no domínio do espaço. Seja y(x,t) expresso por:

y x t Y x F t( , ) ( ) ( )= (4.2) Substituindo-se esta equação em (4.1) pode-se escrever duas equações diferenciais ordinárias.

d Fdt

F2

22 0+ =ω (4.3)

e

ddx

T dYdx

Y

+ =ω ρ2 0 (4.4)

A Equação (4.3) é conhecida do problema básico de vibrações de um oscilador simples, apresentando como resultado uma função harmônica que pode ser expressa por:

F t C t( ) cos( )= −ω φ (4.5) onde as constantes C e φ dependem de condições iniciais. A solução da Equação (4.4) depende dos elementos variantes com a posição, quais sejam a tração T do cabo e a densidade ρ. Como a equação de governo considera apenas os casos onde o cabo apresenta pequenos deslocamentos y(x,t), é razoável a hipótese de tração constante (cabo tenso) e densidade constante, o que conduz à uma equação diferencial na forma

d Ydx

Y2

22 0+ =β (4.6)

onde β é uma constante definida por:

β ω ρ22

=T

(4.7)

A solução da Equação (4.6) é portanto uma harmônica sujeita às condições de contorno de apoio nas extremidades.

Y x A x B x( ) sen cos= +β β (4.8) Substituindo-se as condições de contorno tem-se a equação característica do problema, qual seja,

senβx = 0 (4.9) Esta equação conduz às freqüências naturais do cabo que podem ser expressas por:

ω πρn n TL

= 2 (4.10)

46

Assim, as autofunções do problema ficam definidas pela Equação (4.8) como:

Y x A xn n n( ) sen= β (4.11) Também aqui a amplitude A não está definida, mas sim a forma dos deslocamentos do cabo para os diversos modos de vibrar. Uma informação regular na literatura é a das autofunções normalizadas, que consiste na definição das amplitudes An obedecendo ao processo de normalização, qual seja,

ρY dxnL

2 1=∫ (4.12)

que, após a substituição de Yn(x) dado pela Equação (4.11) permite calcular-se o valor dos An e as autofunções podem ser expressas por:

Y xL

xn n( ) sen=2ρ

β (4.13)

A Figura 4.2 ilustra os três primeiros modos do cabo com suas freqüências naturais.

ω πρ1 2=TL

ω πρ2 22=TL

ω πρ3 23=TL

Figura 4.2 Modos e Freqüências naturais de um cabo biapoiado.

4.3 VIGAS EM FLEXÃO No problema de vigas em flexão onde o efeito preponderante é o momento fletor, e considerando-se as hipóteses de Benouille-Euler, pode-se determinar sua equação de governo considerando os esforços atuantes em uma parte elementar da viga.

Figura 4.3 Viga em Flexão.

47

−

+ =

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2xEI x y x t

xf x t m x y x t

t( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )

(4.14)

A Equação (4.14) está sujeita a quatro condições de contorno e duas condições iniciais. Uma manipulação desta equação, considerando o deslocamento transversal y(x,t) expresso pela Equação (4.2), permite uma separação de variáveis para o problema de vibrações livres, onde a função dependente do tempo é idêntica à Equação (4.3). e a função do espaço pode ser colocada como:

ddx

EI x d Ydx

m x Y2

2

2

22( ) ( )

= ω (4.15)

Esta equação pode ser resolvida considerando a rigidez EI e a massa por unidade de comprimento m constantes, escrevendo:

d Ydx

Y4

44 0− =β (4.16)

onde

β ω42

=m

EI (4.17)

A solução geral da Equação (4.16) tem a forma:

Y X C x C x C x C x( ) sen cos senh cosh= + + +1 2 3 4β β β β (4.18) onde as constantes C’s serão determinadas a partir de condições de contorno. Exemplo: Considerando o caso de uma viga biapoiada tem-se as seguintes condições de contorno a serem atendidas:

Y Y L

d Ydx

e d Ydx

L

( ) ; ( ) ;

( ) ( )

0 0 0

0 0 02

2

2

2

= =

= =

(4.18)

Neste caso as constantes C’s levam às seguintes condições:

C2 = 0; C4 = 0; C3 = 0 e C1senβx = 0 assim, da última condição obtém-se a equação característica do problema.

sen βx = 0 (4.19) que é idêntica à condição obtida para o cabo. As freqüências naturais, portanto, podem ser obtidas a partir da Equação (4.17) e expressas por:

48

ω πn n EImL

= ( )24 (4.20)

e as autofunções normalizadas ficam:

Y xmL

n xLn ( ) sen=

2 π (4.21)

A forma dos modos são similares aos apresentados na Figura 4.2.

49

4.4 PROBLEMAS 4-1. Determine os modos de vibrar e as freqüências naturais de uma viga biapoiada utilizando um único elemento de viga plana. Compare os resultados com os preconizados pelas formulações analíticas. Considere E=80 GPa, I=1,5 x 10-5 m4 e l = 2,0 m. 4-2 Determine os modos de vibrar e as freqüências naturais de uma viga rotulada-livre sob flexão considerando uma discretização com um único elemento de viga. Compare os resultados obtidos com os preconizados pela solução analítica. Dados: E=70 GPa, A=2x10-2 m2, ρ=7850 kg/m3, L=2,0 m e I=4x10-4 m4. 4-3 Determine as freqüências e modos naturais para as duas vigas mostradas na figura considerando uma discretização do meio contínuo com um único elemento de viga. Compare as freqüências obtidas com as preconizadas pela solução analítica.

Probl. 4-3

50

CAPÍTULO V

PROBLEMAS PRÁTICOS EM VIBRAÇÕES DE ESTRUTURAS

5.1 VIBRACÕES INDUZIDAS POR PESSOAS As análises de vibrações induzidas por pessoas referem-se em geral aos seguintes tipos de solicitações: caminhadas, corridas, saltos e danças. As estruturas afetadas por este tipo de excitação são predominantemente pontes de pedestres, entretanto, existem problemas similares associados com escadas, embora estruturalmente sejam bem mais rígidas, possuindo freqüências naturais bem acima das relacionadas às excitações. Grande parte dos problemas desta natureza são provenientes da vibração forçada induzida pelas freqüências das passadas dos pedestres. O valor médio da freqüência dessas passadas é de 2 Hz com um desvio padrão de 0,175 Hz. Isto significa que 50% dos pedestres caminham a uma freqüência entre 1,9 e 2,1 Hz, ou que 95% dos pedestres caminham entre 1,65 e 2,35 Hz. Dependendo do vão da ponte, somente um número finito de passos agem sobre a ponte, o que caracteriza um problema transiente para a ponte, sem maiores conseqüências, em termos de seu comportamento, entretanto, algumas pontes devem comportar a passagem de corredores cuja freqüência de excitação pode estar acima de 3,5 Hz. A freqüência do segundo e terceiro harmônicos de uma caminhada normal, entre 4 e 6 Hz pode ser importante, particularmente para estruturas com freqüências naturais próximas A tabela abaixo apresenta uma média de valores para freqüências de excitação induzidas por pessoas em estruturas.

Tabela 5.1 Faixas de Freqüências induzidas por pessoas.

Tipos de Atividades Tipos de Estrutura Designação Faixa de Freqüências

Caminhada 1,6 - 2,4 Pontes, Escadas, Pisos de Escritório Corrida 2,0 - 3.5 Pontes de Pedestres Saltos 1,8 - 4,3 Ginásio de Esportes Danças 1,5 - 30 Salões de Dança, Salas de Concertos

5.1.1 Critérios de Análise Frequências Naturais A principal condição a ser evitada é a coincidência da freqüência média da caminhada com a freqüência natural da estrutura. A Figura 5.1 mostra um conjunto de dados referentes a 67 pontes para pedestres e a banda de freqüências de caminhadas de 95% das pessoas.

51

Figura 5.1 Freqüências naturais em função do Vão livre.

Fazendo-se uma média dos dados, pode-se obter uma relação aproximada relacionando-se a freqüência fundamental f1 em Hz e o vão livre L em m.

f L10 73336= −. , (5.1)

Esta relação apresenta uma razoável concordância com os dados da Figura 5.1. Relações mais específicas podem ser obtidas para materiais como concreto e aço.

Concreto f LAco f L

10 77

10 73

3935

=

=

−

−

,

, (5.2)

Deve ser lembrado que pontes com pequenos vãos apresentando freqüências fundamentais como múltiplo da freqüência da caminhada pode apresentar problemas por excitarem modos superiores da estrutura. A Tabela 5.1 mostra os resultados de dados experimentais obtidos para a fração de amortecimento desse tipo de estrutura.

Tabela 5.1 Valores da fração de amortecimento para pontes de pedestres.

Tipo de Construção Mínimo Médio Máximo Concreto Reforçado 0,008 0,013 0,020 Concreto Pré-Tensionado 0,005 0,010 0,017 Materiais Compositos 0,003 0,006 - Aço 0,002 0,004 -

Rigidez A rigidez de pontes para pedestres (força dividida pelo deslocamento no ponto médio do vão), é um fator que pode ser avaliado com alguma precisão. A rigidez para estruturas de aço são, em geral, menores do que para concreto. Uma faixa de valores típicos está entre 2 e 30 kN/mm. Experimentos mostram que se um valor limite de aceleração de 0,7 m/s2 for considerado aceitável, então deve haver problemas de vibrações se a rigidez for maior do que 8 kN/mm. 5.1.2 Efeitos Sobre o Ser Humano Para dar uma idéia dos níveis significativos de aceleração devido ao movimento vertical sobre pedestres, experimentos mostram que uma resposta severa pode ser esperada a 2 Hz para uma aceleração de 0,7 m/s2. Um problema freqüente em estruturas é que seu movimento causa uma desconfiança sobre a

52

segurança, deixando o pedestre inseguro para utilizá-la. Nestes casos o perigo de colapso estrutural é pouco provável; as deformações envolvidas são freqüentemente 10 a 100 vezes menores do que aquelas que poderiam iniciar o dano. Pode-se citar duas normas de projeto que levam em conta a resposta para o pedestre devido a vibrações em pontes: BS 5400 78 e ONT 83. A Primeira fornece um limite de operacionalidade expressa pela aceleração sobre o pedestre expressa por:

0 5 10 5, ,f (m/s2)

onde a primeira freqüência fundamental f1 deve ser menor do que 5 Hz. A Norma Ontorio [ONT 83] é mais conservativa e baseia-se em um grande número de experimentos sobre limites de tolerância do ser humano, considerando com operacional o limite de aceleração expresso por:

0 2 5 10 1 8, ,f (m/s2)

5.1.3 Sensitividade do Ser Humano à Vibrações O corpo humano pode sentir deslocamentos por efeito de vibrações da ordem de 0,001 mm. Entretanto, a reação à vibrações depende das circunstâncias em que ocorrem. Por exemplo, o desconforto é diferente quando uma pessoa está sentada na cadeira de um escritório ou dirigindo um carro. A intensidade de percepção depende dos seguintes fatores: - Amplitudes de Deslocamentos, Velocidades e Acelerações - Tempo de Exposição - Freqüências de Vibrações A intensidade de percepção tem sido pesquisada por muitos autores e seus resultados geralmente estão em acordo com os dados apresentados na Tabela 5.2. Em termos gerais, na faixa de 1 a 10 Hz a percepção é proporcional à aceleração, enquanto que na faixa de 10 a 100 Hz a percepção é proporcional à velocidade.

Tabela 5.2 Percepção Humana para excitações harmônicas verticais. (Pessoa de Pé)

Descrição Faixa de Freqüências

1-10 Hz Pico Aceleração (mm/s2)

Faixa de Freqüências 10-100 Hz

Pico Velocidade (mm/s)

Perceptível 34 0,5 Claramente Perceptível

100 1,3

Desconfortável 550 6,8 Intolerável 1800 13,8

Normas As duas normas bastante empregadas que analisam a percepção humana são a ISO 2631 e a DIN 4150. Norma ISO 2631

53

O padrão internacional ISO se aplica a vibrações nas direções vertical e horizontal e trata tanto com vibrações aleatórias e choques, como também com vibrações harmônicas. A faixa de freqüências coberta é de 1 a 80 Hz, e os critérios são expressos em relação à medida de acelerações efetivas (rms).

aT

a t dtef

T= ∫

1 2

0( ) (5.3)

onde T é o período para o qual a aceleração efetiva é medida. O valor da amplitude de acelerações para um sinal senoidal puro representa 0,707 vezes o valor de pico. A ISO 2631/1 distingue três diferentes níveis de desconforto humano: - O “Limite de Redução de Conforto” que se aplica a perturbações nas atividades de comer, ler ou de escrever; - O “Limite de Redução da Proficiência por Fadiga”, que se aplica ao nível para o qual a vibração causa fadiga por trabalho e conseqüente redução de eficiência. Este limite é aproximadamente três vezes maior do que o Limite de Redução de Conforto; O Limite de Exposição”, que define o índice de vibração máxima tolerável em relação à saúde e segurança, e é colocado a seis vezes o Limite de Redução de Conforto. Os critérios básicos são colocados na forma gráfica para vibrações longitudinais (Verticais) e transversais (Horizontais). A Figura 5.2 mostra o conjunto de curvas associadas ao caso de vibração longitudinal. Diferentes critérios são aplicados a diferentes tempos de exposição, conforme indicado pelas curvas.

Figura 5.2 Limites de Vibrações Longitudinais pelo efeito de Proficiência por Fadiga. O Limite de Exposição é obtido multiplicando-se por 2, enquanto que o Limite de Redução de Conforto pela divisão por 3,15.

A Figura 5.3 mostra o comportamento conjunto de curvas para vibrações transversais. Para um critério de aceitação de vibrações em prédios a ISO 2631/2 fornece as curvas básicas para as quais são sugeridos vários multiplicadores dependendo da localização, duração e hora do dia. Norma DIN 4150/2

54

A norma alemã DIN 4150/2 trata dos efeitos de fontes de vibrações externas sobre pessoas em prédios residenciais. A faixa de freqüências está entre 1 e 80 Hz e a mudança na percepção de acelerações para velocidades ocorre em aproximadamente 8 Hz. Os valores medidos da amplitude vibração e da freqüência são utilizados para calcular um fator de percepção KB definido por:

KB d ff

=+

0 81 0 032

2

2

,,

(5.4)

onde d é a amplitude de deslocamento em mm f é a freqüência principal de vibração.

Figura 5.3 Limites de Vibrações Transversais por Fadiga. KB tem a dimensão de velocidade em mm/s. Este valor é então comparado com os valores considerados aceitáveis de acordo com a Tabela 5.3.

Tabela 5.3 Valores de KB Aceitáveis para Prédios Residenciais.

Valor Aceitável de KB Tipo de Prédio Tempo Contínuos ou

Repetidos Pouco

Freqüentes

Residencial Rural dia noite

0,2 (0,15*) 0,15 (0,1*)

4 0,15

Pequeno na cidade e Misto Residencial

dia noite

0,3 (0,2*) 0,2

8 0,2

Pequeno Negócio e Escritório

dia noite

0,4 0,3

12 0,3

Industrial dia noite

0,6 0,4

12 0,4

* Estes valores devem ser combinados se o prédio for excitado horizontalmente a freqüências acima de 5Hz.

5.2 PISOS SOB EFEITO DO CAMINHAR DE PESSOAS

55

Frequências Naturais Pisos em prédios podem ter grandes vãos, especialmente em escritórios abertos, resultando em baixas freqüências naturais, chegando à faixa de 4 a 6 Hz. Corredores e conexões entre escadas e elevadores podem também gerar baixas freqüências. A experiência tem mostrado que principalmente estruturas compostas (aço e concreto), com freqüência natural na faixa de 7 a 8 Hz podem ser propensas a desconfortáveis efeitos de vibrações pelo efeito do caminhar. Valores Toleráveis Os valores toleráveis são aqueles aplicáveis aos ocupantes do prédio. A experiência tem mostrado que uma solicitação intermitente (10 a 30 ciclos) com pico de 0,5% g é aceitável para uma ocupação regular. Em casos onde requer-se um alto grau de concentração um limite de 0,2% g deve ser atendido. A Figura 5.4 apresenta os limites de aceitação para pisos segundo dois critérios (Impacto do calcanhar e Vibrações Contínuas)

Figura 5.4 Limites Aceitáveis para vibrações de pisos devido a caminhadas de ocupantes em escritórios e residências

5.3 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR MÁQUINAS

56

Uma máquina gera distintas forças dinâmicas, dependendo de seu propósito, condições de operação, condições de manutenção, detalhes de projetos, etc. Essas forças dependem principalmente do tipo de movimento das partes da máquina (rotações, oscilações ou impacto). De acordo com sua função no tempo, as forças dinâmicas desenvolvidas pela máquina podem ser periódicas ou não periódicas. Uma excitação periódica pode muitas vezes ser harmônica. Uma excitação não periódica pode ser de natureza transiente ou impulsiva. A Figura 5.5 apresenta algumas formas possíveis de forças geradas por máquinas.

Figura 5.5 Tipos de Forçamentos gerados por Máquinas.

A Figura 5.6 mostra a resposta nos domínios do tempo e da freqüência para teares, onde pode-se perceber a importância de conhecer-se os harmônicos participantes do forçamento.

Figura 5.6 Forças verticais para vários tipos de teares com predominantes partes oscilantes.

a) Resposta no domínio do Tempo; b) Espectro de Freqüências.

5.3.1 Características Estruturais

57

Frequências Naturais Uma coincidência entre a freqüência fundamental da estrutura ou elemento estrutural e a de operação da máquina deve ser evitada. Devido a larga faixa de freqüências de excitação e tipos de estruturas, não é possível definir uma faixa adequada geral para freqüências estruturais. Entretanto nos casos de estruturas relativamente rígidas, suas freqüências fundamentais provavelmente não ultrapassarão da faixa entre 25 e 30 Hz. Amortecimento Valores típicos da fração de amortecimento viscoso equivalente para pisos que suportam máquinas em prédios industriais são fornecidos na Tabela 5.4

Tabela 5.4 Valores típicos da Fração de Amortecimento para pisos industriais.

Tipo de Construção Mínimo Médio Máximo Concreto Reforçado 0,010 0,017 0,025 Concreto Pré-Tensionado 0,007 0,013 0,020 Materiais Compositos 0,004 0,007 0,012 Aço 0,003 0,005 0,008

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5.3.2 Valores Toleráveis Os forçamentos gerados por máquinas levam a estrutura a níveis de deslocamentos, velocidades e acelerações que podem ser danosos tanto à estrutura quanto às pessoas que operam as máquinas. A Figura 5.7 apresenta os níveis de velocidades efetivas para diferentes máquinas de acordo com a recomendação alemã VDI 2056.

Figura 5.7 Níveis de velocidades efetivas para operação de diferentes máquinas. 5.4 VIBRAÇÕES INDUZIDAS EM PRÉDIOS PELA AÇÃO DO VENTO Embora os efeitos do vento em estruturas sejam em geral de natureza dinâmica, nem todas as estruturas reagem com significante efeito vibratório. Uma classificação de sensibilidade à vibração (“flexível”) e insensibilidade a este efeito (“rigida”) é possível pela definição de certos limites. Um possível critério é fornecido pela norma Européia [EC 9/1990], que considera a estrutura rígida se a reação dinâmica ao efeito de rajadas ou turbulências, não exceder a 10% da reação à cargas estáticas. A Figura 5.8 mostra os limites correspondentes para prédios com diferentes alturas, larguras e valores de amortecimentos, onde o conceito de vento estatístico foi utilizado e a frequência fundamental determinada por procedimentos adequados, resultando na expressão aproximada:

fhe =

0 4 100 1 6

,,

(5.5)

onde h é a altura expressa em m.

59

Figura 5.8 Linha divisória entre uma estrutura ‘flexível’ e ‘rígida’.

Desta figura pode-se concluir que estruturas de altura h maior do que cerca de 50 m podem ser consideradas como ‘flexíveis’. 5.4.1 Características Estruturais Frequências Naturais A freqüência fundamental da estrutura deve ser calculada apropriadamente por códigos computacionais disponíveis que possam considerar todas as inércias presentes ao longo da altura do prédio, portanto qualquer aproximação de caracter generalista pode incorrer em graves erros. Entretanto, testes realizados com vários prédios mostram que a Equação (5.6), abaixo pode fornecer uma boa indicação de valor dessa freqüência.

fhe =46

(5.6)

onde fe é a freqüência em Hz e h a altura em m. Amortecimento Prédios altos apresentam amortecimento estrutural relativamente grande, principalmente devido a distribuição de massas em seu interior. A Tabela 5.5 apresenta valores sugeridos para a Fração de Amortecimento baseado na norma ISO TC 98/SC 3/WG 2.

Tabela 5.5 Valores Típicos da Fração de Amortecimento para prédios.

Tipo de Construção

Fração de Amortecimento Estrutural ζ

Mínimo Médio Máximo

Prédios Altos (h>100m) Concreto Reforçado Aço

0,010 0,007

0,015 0,010

0,020 0,013

Prédios com h~50m Concreto Reforçado Aço

0,020 0,015

0,025 0,020

0,030 0,025

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5.4.2 Valores Toleráveis Na Figura 5.9, para vibrações em prédios induzidas por ventos de baixa frequência, a percepção de pessoas é fornecida em termos de valores limites de acelerações em função da frequência. Os seguintes valores de acelerações podem ser utilizados: Imperceptível: Menor do que 0,005 g Perceptível Entre 0,005 e 0,015 g Inconveniente Entre 0,015 e 0,05 g Muito Inconveniente Entre 0,05 e 0,15 g Intolerável Maior do que 0,15

Figura 5.9 Percepção Humana de vibrações de prédios pelo efeito de ventos. 5.5 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR TRÁFEGO DE VEÍCULOS Veículos aplicam forças dinâmicas diretamente ao pavimento e são transmitidas para estruturas subterrâneas e para estruturas adjacentes à via conforme ilustrado na Figura 5.10. Um veículo é um sistema dinamicamente complexo que interage com o pavimento e estruturas subterrâneas. A amplitude e frequência das vibrações induzidas dependem fortemente dos seguintes parâmetros: - massa do veículo - velocidade do veículo - comportamento dinâmico do veículo - características dos pneus - irregularidades do pavimento da via (asfalto, camada de concreto) - rigidez da via - propriedades do subsolo - distância entre a via e a estrutura afetada.

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Figura 5.10 Excitação dinâmica produzida por veículos. a)Excitação de estruturas subterrâneas e prédios adjacentes,

b) Sistema dinâmico do veículo, pavimento e subsolo. 5.5.1 Características Estruturais Estrutura subterrâneas ou adjacentes a vias podem ser afetadas por excitações dinâmicas. Consideráveis efeitos de ressonância podem ocorrer nos andares altos dessas estruturas (com um fator de amplificação de 5 ou mais). Pisos com frequências naturais na faixa de 8 a 25 Hz são particularmente sensitivos a essas excitações. Também o mobiliário colocados sobre pisos podem apresentar efeitos de ressonância. A fração de amortecimento nesses pisos são usualmente da ordem de 0,01 a 0,02 e, portanto, podem ocorrer amplificações do sinal de vibração que só decaem após um espaço de tempo relativamente logo. 5.5.2 Valores Toleráveis Os valores toleráveis para as estruturas são determinados por normas como a ISO 2631 e a DIN 4150.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Literatura

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utilizando os Grafos de Ligação e o Método dos Elementos Finitos, Tese de Mestrado, IME, 1995. 3) BEARDS, C.F., “Engineering Vibration Analysis to Control Systems”, Halsted Press, 1996. 4) BIGGS, J.M., Introduction to Structural Dynamics. Mc-Graw Hill, 1964. 5) BOLOTIN, V.V., The Dynamic Stability of Elastic Systems. Holden-Day. 1964. 6) CHATTERJEE, P.K., DATTA, T.K. and SURANA, C.S., Vibration of Continuous Bridges Under

Moving Vehicles. Journal of Sound and Vibration, 169(5), pp. 619-632, 1994 7) CLOUGH, R. W. and PENZIEN, J., Dynamics of Structures. McGraw-Hill. 1975. 8) COOK, R. D., Finite Element Modeling for Stress Analysis. John Wiley & Sons.1995. 9) CRAIG, R. R. J., Structural Dynamics. An Introduction to Computer Methods. John Wiley & Sons.

1981. 10) DA SILVA, F.R., Procedimentos para a Análise Estrutral Dinâmica através da Técnica Generalizada

dos Grafos de Ligação, Tese de Doutorado, COPPE-UFRJ, 1994. 11) DIMAROGONAS, A. D. and HADDAD, S. , Vibration for Engineers. Prentice Hall. 1992. 12) FERTIS, D.G., Mechanical and Structural Vibrations. John Wiley & Sons, 1995. 13) HART, G., Proceedings of the Second Specialty Conference on Dynamic Response of Structures:

Experimentation, Observation, Prediction and Control. American Society of Civil Engineers. 1980. 14) HARRIS, C. M., Shock and Vibration Handbook. McGraw-Hill. 1988. 15) KARNOPP, D.C., MARGOLIS, D.L. and ROSENBERG, R.C., System Dynamics. A Unified

Approach. John Wiley, 1990. 16) KELLY,S.G., Fundamentals of Mechanical Vibrations. McGraw-Hill.1993. 17) LALANNE, M., BERTHIER, P. & hAGOPIAN, J.D., Mechanical Vibrations for Engineers. John

Willey. 1983. 18) LEE, H.P., Dynamic Response of a Beam with Intermediate Point Constraints Subject to a Moving

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63

21) MARGOLIS, D., Finite Mode Bond Graph Representation of VEhicle-Guideway Interaction

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2, 1978. DIN 4150/1 ‘Vibrations in Bilding: Principles, Predetermination and Measurement of the Amplitude

of Oscillations’.Deutshes Institut fur Normung, !975. DIN 4150/2 ‘Vibrations in Bilding: Influence on Persons in Buildings’. Deutshes Institut fur

Normung, !975. EC 9 Äction on Buildings’. EUROCODE NO 9, Part 8 (Wind Load), 1990. ISO 2631/1 Evaluation of Human Exposure to Whole-body Vibvration: General Requirements’. ISO

2631, Part 1, International Standards Organisation, Geneva, 1985. ISO 2631/2 Evaluation of Human Exposure to Whole-body Vibvration: Continuous and Shock-

induced Vibration in Buildings (1 to 80 Hz)’.. ISO 2631, Part 2, International Standards Organisation, Geneva, 1985.

ISO/TC98/SC3/WG2 ‘Wind Loading (Static and Dynamic)’. International Standard Organisation,

1991. ONT 83 Ontario Highway Bridge Design Code. Ontario Ministry of Transportation, Toronto,

1983. VDI 2056 Effects of Mechanical Vibrations on Machines’. Verein Deutshcer Ingenieure, 1964.

64

APENDICE A

PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL

1) Editar em código ASCII um arquivo com a definição do modelo em linguagem de programação, utilizando a seguinte sintaxe:

Definição de Parâmetros: Nome=Valor; Definição de Matrizes: Nome=[ 11 12 13;21 22 23;31 32 33]; Matrizes constituídas por submatrizes Nome=[nome1 nome2;nome3 nome4]; Matrizes Pré-definidas: Indentidade:

Nome=eye(3); Nula: Nome=zeros(3,2); Inversão de Matrizes: Nome=inv(a); Transposta de uma Matriz: Nome=a’; Definição de um Vetor com incrementos Constantes: t=[.001:0.1:10]; Integração de um sistema de Equações Lineares lsim(a,b,c,d,u,t)

onde o modelo deve ser definido por: X aX bUY cX dU

•

= += +

U tem tantas colunas quanto o número de entradas e tantas linhas quantos forem os tempos definidos no vetor t.

Determinação de autovalores e autovetores [vet,val]=eig(a,b);

onde o problema é colocado na forma: (a-val*b)*vet=0 Montagem de leis recursivas: For i=1:n a(i)=b(i)+k*b(i)*b(i); end Definição de funções trigonométricas: Nome=sin(w*t); Nome=cos(w*t);

2) Para execução entrar no programa computacional e digitar o nome do arquivo em

código ASCII.

65

ANÁLISE DE VIBRAÇÕES ESTRUTURAIS

1) Analisar o sistema estrutural da figura, representativo de um prédio com quatro andares, sujeito a uma excitação harmônica na terceira laje. Utilizar o código computacional, com os valores dos parâmetros definidos na figura. Fazer simulações variando a freqüência de excitação, incluindo valores próximos às freqüências naturais da estrutura.

2) Determinar os modos e freqüências naturais de uma viga bi-engastada e comparar os

resultados com os preconizados pela solução analítica.

66

RESULTADOS DA ANÁLISE DE VIBRAÇÕES EXEMPLO NO 1 • FREQÜENCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAR

AUTOVALORES (Freqüências Naturais)

1o 30,0767 2o 86,6025 3o 132,6828 4o 162,7595

AUTOVETORES (Modos de Vibrar)

1o Modo 0,6565 0,5774 0,4285 0,2280

2o Modo -0,5774 0,0000 0,5774 0,5774

3o Modo -0,4285 0,5774 0,2280 -0,6565

4o Modo 0,2280 -0,5774 0,6565 -0,4285

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• SIMULAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO

Resposta de X2 para uma freqüência de 209,43 rad/s (12566 rmp)

Resposta de X2 para uma freqüência de 30,09 rad/s (1805 rpm) (Freqüência fundamental)

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• SIMULAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO

Resposta de X2 para uma freqüência de 86,60 rad/s (5196 rpm) (2a Freqüência natural da estrutura)

Resposta de X2 para uma freqüência de 132,76 rad/s (7966 rpm) (3a Freqüência natural da estrutura)