1

APOSTILA 3: ALGORITMOS  DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO; IDEIAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO 

ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO 

Continuamos  o  trabalho  desenvolvido  nos  dois  primeiros  encontros,  propondo  uma  reflexão  sobre  os 

algoritmos da multiplicação e da divisão. Reiteramos a importância de os alunos dominarem os princípios do Sistema 

de Numeração Decimal (SND) para a compreensão dos algoritmos das operações fundamentais.  

Sempre vale  lembrar que os algoritmos devem ser utilizados para a obtenção de  resultados de operações 

que não são obtidos com o recurso ao cálculo mental.  Assim, não faz nenhum sentido “armar a conta” para obter o 

resultado de 2 × 100 ou de 34 × 2, onde não há trocas a fazer. Ressaltamos que, seja para a realização de cálculos 

mentais ou para a utilização de algoritmos é  indispensável que os alunos dominem os fatos básicos das operações 

fundamentais (tabuada). 

O  jogo  é  um  ótimo  recurso  para  que  os  alunos  vivenciem  de  forma  intuitiva  as  ações  envolvidas  nos 

algoritmos.  Essa  vivência  facilita  a  compreensão  das  ações  que  compõem  cada  algoritmo. Mas,  não  podemos 

esquecer que é com as atividades de exploração do jogo que os alunos têm a oportunidade de refletir sobre as idéias 

e conceitos nele envolvidos. 

 Atividade 1:   

11ªª  eettaappaa::  Multiplicação de número de apenas um algarismo por outro que represente dezenas exatas  Ex.: 2 x 70 

Resolva representando com material dourado e na reta numérica: a) 2 x 70 = 

 

  Atividade 2:    Junto com seus colegas, escreva uma  regra para multiplicações do tipo: 3 x 40,  5 x 30 e 2 x 70. 

    

22ªª   eettaappaa::   Multiplicação  de  um  número  composto  por  apenas  um  algarismo  multiplicado  por  outro composto por dois ou mais algarismos que não formam dezenas exatas   multiplicações sem troca – Ex.: 24 x 2, 32 x 3, 43 x 2 e 134 x 2 

  multiplicações com troca – Ex.: 24 x 3, 35 x 3, 143 x 4 e 256 x 2   

 Atividade 3:  Use a menor quantidade possível de notas de 1 (ou moedas), de 10 e de 100 reais para representar a solução da situação abaixo. Mostre com desenhos no quadro abaixo como você pensou.            João comprou 3 camisas iguais de 47 reais cada. Qual o preço total das camisas?     

Professor, sempre que possível recorra e explore o cálculo mental. 

2

Contas simples, como da atividade anterior, podem ser feitas mentalmente por meio da seguinte decomposição: 

3 x 47 = 3 x ( .......... + ..........)        Decomposição do número 47. 

3 x 47 = 3 x .......... + 3 x ..........     Propriedade distributiva. 

3 x 47 = .......... +  ..........                Resolução das multiplicações. 

3 x 47 = ..........                                Adição 

 Atividade 4:  O JOGO DAS MULTIPLICAÇÕES  Jogadores: 3 a 6 alunos (individualmente ou em duplas)  Material: um dado com duas faces com a palavra Dobrar, duas com a palavra Triplicar e duas com a palavra Quadruplicar (modelo ao final da apostila), material dourado e um quadro de ordens em papel pardo, como o representado ao lado.      

Regra: Todos os jogadores (ou duplas) tiram na sorte a ordem de jogar. Na primeira rodada, cada jogador (ou dupla), na sua vez, representa na primeira linha em branco do quadro o 

número 12, com o material dourado, colocando uma barra na ordem das dezenas e dois cubinhos nas unidades. Depois,  joga  o  dado  e  executa,  no  quadro,  a  ordem  tirada  na  face  sorteada,  acrescentando  as  peças 

necessárias para Dobrar, Triplicar ou Quadruplicar o número de peças já existentes, ordem por ordem, a partir das unidades.  

A seguir,  junta todas as peças na última  linha do quadro, sempre partindo das unidades e  fazendo as trocas necessárias: 

Dez unidades por uma dezena  Dez dezenas por uma centena 

Então, o jogador (ou a dupla) retira do quadro as peças resultantes, guardando‐as para si, e passa a vez para os próximos jogadores (ou duplas) executarem, na sua vez de jogar, as mesmas etapas anteriores, fechando a primeira rodada. 

Joga‐se mais uma vez, seguindo os passos acima, mas com uma diferença: cada  jogador  (ou dupla) começa colocando na primeira linha em branco do quadro as peças com que terminou a rodada anterior. 

Vence quem terminar essa rodada com as peças de maior valor.  Observação para o professor: Somente na segunda rodada poderá ocorrer a necessidade de realização de trocas.   Atividade de exploração 

 A turma de Rafael também jogou o JOGO DAS MULTIPLICAÇÕES.  

1) Na 1a rodada, ele tirou a face “Quadruplicar”. 

a) Desenhe no quadro a seguir as peças que ele teve que acrescentar.   

C  D  U 

  

    

 

    

 

    

 

  

C  D  U       

          

Professor, observe que estamos nos valendo da idéia da multiplicação 

como adição de parcelas iguais. 

3

b)  Agora,  reúna  as  peças  de  Rafael  no quadro  ao  lado,  ordem  por  ordem,  a partir das unidades e  fazendo as  trocas necessárias. 

    c)  Ao  juntar  as  peças,  foi  preciso  fazer  alguma  troca?  ............  Por  quê?  .............................. ............................................................................................................................................................................................  c) Quanto é o quádruplo de 12? ............................................................................................. 

 2)  Rafael  começou  a  2a  rodada representando o número 48 no quadro. Depois,  jogou o dado e  acrescentou  as peças  que  deveria,  ficando  com  as   peças mostradas no quadro ao lado.: 

Responda: a)  Que  face  ele  tirou  no  dado? 

................................................................. 

b) Desenhe no quadro ao  lado as peças que  ficaram  depois  que  Rafael  as juntou, fazendo as trocas necessárias. 

  

b) Foi  preciso  fazer  alguma  troca? 

............ Por quê? ...................................  d) Quanto é o dobro de 48? ........................................... 

  3) Luíza começou a 2a rodada com o número 36 e tirou a face Triplicar. Veja a representação das suas peças, antes e depois dela juntá‐las, fazendo as trocas necessárias: 

 

C  D  U  

   

   

        

 

C  D  U 

    

 

   

C  D  U 

    

 

 

C  D  U  

    

        

     

C  D  U 

    

 

 

‐ Antes de juntar: 

   ‐ Depois  de  juntar  efazer as trocas: 

4

Responda: a) Quanto é o triplo de 6 unidades?  ......................................................................................  b) Por que no final só ficaram 8 unidades na coluna das unidades? ..................................... 

................................................................................................................................................ 

c) Quanto é o triplo de 3 dezenas? ........................................ 

d) Por que no final não ficou nenhuma dezena na coluna das dezenas? .............................. 

................................................................................................................................................ 

................................................................................................................................................  e) Quanto é o triplo de 36? ........................................ 

 

Atividade 5:  Represente com notas de 1, 10 ou 100 reais a seguinte multiplicação 2 x 368.  

CENTENAS  DEZENAS  UNIDADES 

     

     

     

 Atividade 6:  Para Refletir: As contas abaixo apresentam o mesmo nível de dificuldade? Discuta com seus colegas e justifique sua resposta. 

     

33ªª  eettaappaa::  Multiplicação entre números formados por dois algarismos   dezenas exatas multiplicando dezenas exatas – Ex.: 10 x 30 

 Atividade 7:  Represente com material dourado ou com notas e dê o resultado:         

   2  3    1 4 1    2 0 7    1 2 8     x 4       x 6       x 3       x 5 

                  

a) 10 x 30 =  b) 20 x 30 = 

5

 Atividade 8:  Complete a tabela abaixo:  

   x   10   20  30  40   50   60   70    80   90 10       20                   30                   

  Junto com seu professor e colegas, escreva uma regra para multiplicação de dezenas exatas: ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................  

33ªª  eettaappaa::  Multiplicação entre números formados por dois algarismos   Multiplicação de um número de dois algarismos diferentes de zero por outro de dois algarismos diferentes

de zero – Ex.: 23 x 14 

 Atividade 9:  Dona Lucia quer revestir o pátio  de sua casa com peças de modo a ter duas cores, como mostra o mural a figura abaixo.  Que conta podemos fazer para calcular o número de azulejos: a) da parte cinza claro?   c) da parte cinza escuro?    c) de todo o pátio? 

   Atividade 10:  Também podemos calcular o número de   desse mural dividindo‐o em outras figuras  menores. Mostre três maneiras de fazer isso, por meio de desenho em papel quadriculado, com as respectivas expressões numéricas. Depois discuta com seus colegas e professor as diversas soluções encontradas.  Atividade 11:  Você acabou de ver no item anterior, maneiras diferentes de resolver a multiplicação   13 x 15. Agora, usando a propriedade distributiva encontre outra forma de resolver essa multiplicação. .......................................................................................................................................................  Atividade 12:  Complete as tabelas abaixo:        Em cada tabela, compare os resultados das duas primeiras linhas com os da terceira. O que você pode concluir? .................................................................................................................................................................................. 

           

       

                             

                             

                             

                             

       

                             

                             

                             

       

       

                             

x 10 20 30 40 50 60 70 10 2 12

x 30 40 50 60 70 80 90 10 5 15

6

Agora vamos resolver a multiplicação 13 x 15, armando a conta:  

1º passo    2º passo    3º passo             1  5       1 5      1 5  x 1  3    x  1 3     x  1 3    4  5    (3 x 15)     4 5     4 5      1 5 0    (10 x 15)  +1 5 0       1 9 5 

    

Atividade 13:  Complete a seguinte multiplicação:     2  8   x 2  3                  primeiro, multiplicamos ........ por ........ 

+             depois, multiplicamos ........ por ........ 

             O que você deve fazer por último? ............................. 

 ALGORITMO DA DIVISÃO 

        Atividade 14:  Jogo do Parte e Reparte 

Objetivos:  Desenvolver a ideia de distribuir da divisão.  Desenvolver a noção de maior resto possível em uma divisão. (Durante o  jogo, o professor deve perguntar 

aos alunos qual o maior ponto que pode ser obtido, naquela rodada, e por quê.) 

Regra:  Formar grupos de 4 ou 5 alunos.  O primeiro jogador da rodada pega um punhado qualquer de grãos.  Joga o dado e distribui igualmente os grãos pelo número de grupos sorteado no dado.  Todos registram na tabela os resultados obtidos por esse jogador.  A rodada continua com os outros jogadores procedendo, na sua vez, da mesma maneira, mas mantendo o 

número de grupos sorteado pelo primeiro jogador.  Vence o jogo quem teve a maior soma dos restos obtidos em todas as rodadas. 

Tabela de registro 

 Nome dos jogadores 

Nº de grupos formados 

Nº de grãos em cada grupo 

Resto Desenho da arrumação do vencedor 

da rodada 

1a R O D A D A 

     

   

       

   

       

Primeiro, calculamos 3 x 15.

Depois, calculamos 10 x 15.

Finalmente, somamos os produtos obtidos.

7

 Nome dos jogadores 

Nº de grupos formados 

Nº de grãos em cada grupo 

Resto Desenho da arrumação do vencedor 

da rodada 

2a  R O D A D A 

         

   

       

   

       

Jogadores           1ª rodada     2ª rodada           

Soma dos restos           

Vencedor(a): .......................................................   Atividade de exploração 

O grupo de Juliana jogou Parte e Reparte. Responda:  1) Na primeira rodada, Ana jogou o dado e quando distribuiu igualmente os grãos obteve 5 como resto. Que número Ana sorteou no dado? Justifique sua resposta. ............................................................................................................ .................................................................................................................................................................................. 2) Na segunda rodada, Gabriel jogou o dado e quando distribuiu igualmente os grãos obteve 3 como resto. Que número Gabriel sorteou no dado? Justifique sua resposta. ................................................................................................... .................................................................................................................................................................................. 3) Em uma rodada, quando Carolina jogou o dado o a face que saiu voltada para cima exibia o número 3. Que restos ela pode ter encontrado? ............................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 4) Observe no quadro abaixo o resultado do grupo de Juliana em uma rodada e complete aos dados que faltam .   

Nome dos jogadores Nº de grupos formados 

Nº de grãos em cada grupo  Resto  Total de grãos 

Juliana  5  4  1  ? 

Ana  5  6  4  ? 

Carolina  5  2  ?  13 

Gabriel  5  ?  0  15  HHáá  ddiiffeerreenntteess  ffoorrmmaass  ddee  ssee  eeffeettuuaarr  uummaa  ddiivviissããoo..  TTeemmooss  oo  pprroocceessssoo  ddaass  ssuubbttrraaççõõeess  ssuucceessssiivvaass,,  oo  pprroocceessssoo  lloonnggoo  ee  oo  aabbrreevviiaaddoo..  ÉÉ  iimmppoorrttaannttee  qquuee  ooss  aalluunnooss  eeffeettuueemm  ddiivviissõõeess  uussaannddoo  oo  pprroocceessssoo  ccoomm  oo  qquuaall  ssee  sseenntteemm  mmaaiiss  sseegguurrooss..  1ª Etapa: Processo das subtrações sucessivas  

O processo das  subtrações  sucessivas  é uma opção para  se  chegar  ao  algoritmo da divisão.  Ele  tem  como ponto de partida a relação que existe entre a subtração e a divisão.  

Se  trabalharmos  bem  todas  as  etapas  do  processo  das  subtrações  sucessivas,  de  modo  que  a  criança compreenda cada uma delas, ela acabará conseguindo efetuar estas etapas de memória, abreviando o processo  envolvido no algoritmo da divisão.  

8

Atividade 15: Pedro  tem 18  carrinhos  e ele quer  guardá‐los em  caixas  colocando 3  carrinhos em  cada  caixa. De quantas caixas Pedro irá precisar?  

Que idéia da divisão aborda o problema acima? ..................................................................................................... Para resolver essa situação os alunos devem retirar 3 carrinhos de cada vez do grupo de 18 carrinhos até não 

mais  poderem  retirar.  Pode  ser  utilizado  material  de  contagem  para  representar  os  carrinhos.  O  resultado corresponde a quantas vezes é possível retirar grupos de três carrinhos do grupo de 18 carrinhos. 

Numa primeira  apresentação do  algoritmo pelo processo das divisões  sucessivas,  registre  com  seus  alunos cada uma das vezes que  retiraram um grupo de 3  carrinhos,  fazendo perguntas que  relacionem a ação  sobre os objetos e o registro.  

Como descobriremos quantos objetos você retirou, se você retirou 1 grupo?  Quantos objetos você tirou?   Que devo fazer para saber com quantos objetos você ficou?   Posso continuar tirando grupos de três, agora que tenho 15 objetos?   Repita as perguntas até se esgotarem todas as possibilidades de se retirar grupos de três, 

observe as quantidades restantes e faça o registro no algoritmo depois de cada pergunta; não o apresente pronto como está apresentado ao lado. 

Agora que você não pode mais tirar nenhum grupo de 3 responda: quantas vezes você tirou grupos de três?  

Que conta você fez para achar essa quantidade?    

 

    O processo de subtrações sucessivas pode ser abreviado, fazendo‐se a estimativa da quantidade de grupos que 

podem ser retirados de cada vez.  Depois que o aluno tiver compreendido o processo, perguntar: Será que posso tirar mais de um grupo de três 

cada vez? Quantos grupos podemos tirar? Suponhamos que os alunos tenham respondido 4. Então, pergunte:                 

Quantas vezes você tirou grupos de 3?   Que conta você deve fazer para saber quantos carrinhos você retirou?   Que conta você tem que fazer para saber quantos carrinhos sobraram?    Quantos carrinhos sobraram?   Com essa quantidade você ainda pode retirar um grupo de 3? Pode tirar mais de um 

grupo?  Então, quantas vezes mais você vai retirar um grupo de 3?   Que operação você deve fazer para saber quantos objetos foram retirados?  Que operação você deve fazer para saber quantos carrinhos sobraram?   Quantos carrinhos você tem agora?  É possível fazer novos grupos de 3?   Que conta você deve fazer para calcular o número total de vezes que você retirou grupos de 3, de 18 

carrinhos?   

Lembretes:  Pelo processo das subtrações sucessivas  fica mais  fácil concluir que o resto nunca pode ser  igual ou maior que o divisor, pois, caso contrário, ainda poderia fazer mais uma subtração.  No processo das subtrações sucessivas, exploramos a decomposição do quociente em diversas parcelas, que  são  adicionadas  ao  final  do  processo.  Ao  invés  de  explorar  qualquer  decomposição,  devemos  incentivar  os alunos  a estimar um primeiro  resultado  como 100 ou 200 ou 300,  isto é, utilizando a decomposição de um  número (quociente) pelo sistema decimal de numeração. 

    18   3      ‐3   1     15         ‐3   1     12         ‐3   1       9         ‐3   1       6        ‐3   1       3        ‐3   1       0 6

    18 3  ‐ 12   4       6         ‐6   2       0   6 

Número de grupos de 3 carrinhos 

Número de grupos de 3 carrinhos 

9

 Atividade 16 ‐ Joana arrumará 86 brindes em saquinhos para uma festa. Quantos saquinhos com 5 brindes em cada um ela formará?  

 Resolva esta situação‐problema utilizando o processo das subtrações sucessivas.   

 2ª Etapa ‐ Usando o sistema decimal de numeração – Processo longo  

  Casos em que o divisor tem apenas 1 algarismo 

 Caso I ‐ Cada algarismo do dividendo é múltiplo do divisor.  Atividade 17 ‐ Antônia vai arrumar sua coleção de cartão postal em envelopes. Ela possui 42 cartões postais e quer guardá‐los em 2 envelopes. Quantos cartões ela colocará em cada envelope?  Vamos calcular 42 ÷ 2.  

Atenção! Antes de iniciar o algoritmo, incentive os alunos a dizer quantos algarismos terá o quociente (estimativa), a partir da análise do dividendo e do divisor.  

Vamos, então, representar 42 com Material Dourado e desenhar no caderno:  

D  U  2

  

 

D  U 

 

  

Depois fazer o algoritmo pelo processo longo. Veja o quadro abaixo como conversar com os alunos sobre cada procedimento. 

    

Como fazemos:  

   

     

Como lemos: 4 dezenas distribuídas em 2 grupos iguais: ficam  2 dezenas em cada grupo. 

Multiplicamos 2 dezenas por 2  que dá 4 dezenas e subtraímos de 4 dezenas. Vemos que não sobram dezenas. 

Agora vamos dividir as unidades (“baixar” o 2). 

2 unidades distribuídas em  2 grupos iguais fica 1 unidade em cada grupo e não sobra unidade. 

 Resposta: Em cada envelope Antônia irá guardar ........  cartões. 

Pergunte aos alunos:  Quatro barras divididas por 2 é igual a.... Quantas barras colocamos no quociente? 

Dois cubinhos divididos por 2 é igual a ..., Quantos cubinhos colocamos no quociente? 

Concluir escrevendo o quociente. É importante que os alunos realizem a operação usando material concreto, em seguida desenhem como ficou a arrumação e por fim registrem com algarismos.

D   U   4    2  2               D  U              2 

D   U   4    2  2  

       ‐ 4           D  U          0   2       2 

D   U   4    2  2  

       ‐ 4           D   U          0   2       2   1         ‐     2               0 

10

Caso II ‐ Divisões nas quais é necessário fazer trocas.  a) Das dezenas para as unidades  Atividade 18:  74 ÷ 3                b) Das centenas para as dezenas 

 Atividade 19:  Represente com material dourado e com algarismos a operação  648 ÷ 4. 

c) Das centenas para as dezenas e das dezenas para as unidades simultaneamente.  

Atividade 20:  Em uma papelaria o vendedor vai arrumar 897 cadernos em pacotes de 7 cadernos cada um. Quantos pacotes ele formará? Sobrarão cadernos?   

Antes de usar este  algoritmo,  represente  a  situação  com material dourado,  registre‐a numa  folha e  faça  a divisão 897 ÷ 7 pelo processo de subtrações sucessivas.  Caso III ‐ Quociente não apresenta todas as ordens do dividendo. 

             Atividade 7:     372 ÷ 7  

  

   Caso IV ‐ Quociente apresenta zero em uma das suas ordens. 

        Atividade 21:    a) 412 ÷ 4                   b)  841 ÷  

• Não é possível distribuir 3 centenas em 7 partes iguais e encontrar centenas em cada parte. Então, trocamos as 3 centenas por dezenas, ficando com 30 dezenas. Somando essas 30 dezenas com as 7 dezenas que estavam soltas, ficamos com 37 dezenas. • Dividendo 37 dezenas em 7 partes iguais, ficamos com 5 dezenas em cada parte e sobram 2 dezenas. • Trocando essas 2 dezenas por unidades, ficamos com 20 unidades. Somando‐as às 2 unidades soltas, temos 22 unidades. • Repartindo as 22 unidades em 7 partes iguais, ficamos com 3 unidades em cada parte e sobra uma unidade solta. • Assim, o resultado de 372 ÷ 7 é 53 e resto 1. • Não é necessário escrever o zero na ordem das centenas no quociente. Sua escrita tem por finalidade auxiliar os alunos no registro das etapas do algoritmo.  

Dividindo 7 barras por 3, obtemos 2 barras. Subtraímos, então, 6 barras de 7  e sobra 1 barra. 

Trocando 1 barra por 10 cubinhos e somando aos 4 cubinhos que havia, ficamos com 14 cubinhos. 

Dividindo 14 cubinhos em 3 partes iguais, ficamos com 4 cubinhos em cada parte. Subtraímos 12 cubinhos de 14 e sobram 2 cubinhos. 

3 

D 

U

D  U 

7  4 

Registrando com algarismos: 

11

 

Lembretes:   É fundamental que, antes dos algoritmos, o professor trabalhe o cálculo mental e a estimativa.  Antes de cada algoritmo, solicitar aos alunos que façam estimativas dos resultados que irão encontrar.  Sempre que passar de um nível de dificuldade para outro, o professor deve trabalhar com material concreto 

e sua representação e retornar ao processo das subtrações sucessivas para depois apresentar o algoritmo.  O Quadro de Ordens deve  ser usado até que os alunos  tenham compreendido bem a  técnica operatória. 

Alguns professores estimulam seus alunos a passarem do registro no Quadro de Ordens diretamente para o processo abreviado; no entanto muitos alunos ainda precisam fazer divisões pelo processo longo. 

ÉÉ  iimmppoorrttaannttee  iinniicciiaarr  oo  eennssiinnoo  ddooss  aallggoorriittmmooss  ppoorr  mmeeiioo  ddee  ssiittuuaaççõõeess‐‐pprroobblleemmaa,,  ppooiiss  ddee  nnaaddaa  aaddiiaannttaa  uussaarr  uummaa  ttééccnniiccaa  ooppeerraattóórriiaa  ccoorrrreettaammeennttee  ssee  nnããoo  ssee  ssaabbee  qquuaannddoo  uuttiilliizzáá‐‐llaa..  EEmm  ccaaddaa  uummaa  ddeellaass,,  vvaallee  ddiissccuuttiirr  qquuee  iiddééiiaa  ddaa  ddiivviissããoo  eessttáá  eennvvoollvviiddaa.. 

VVaarriiaarr  oo  mmaatteerriiaall  ccoonnccrreettoo,,  iissttoo  aajjuuddaa  oo  aalluunnoo  aa  ccoommpprreeeennddeerr  oo  pprroocceessssoo  sseemm  ffiixxaarr  nnoo  mmaatteerriiaall..  OO   pprroocceessssoo   ddee   aabbaannddoonnaarr   ooss   rreeccuurrssooss   ddee   aappooiioo   ddeevvee   sseerr   ggrraadduuaall..   ÉÉ   iimmppoorrttaannttee   rreessppeeiittaarr   oo   rriittmmoo   ddee   ccaaddaa  

aalluunnoo..  EEmm  ttooddaa  ddiivviissããoo  tteemm‐‐ssee::    ddiivviiddeennddoo  ==  ddiivviissoorr  ××  qquuoocciieennttee  ++  rreessttoo  

   Casos em que o divisor tem mais de um algarismo 

 Esta etapa exige a habilidade de fazer estimativas, caso contrário, o trabalho será muito cansativo, podendo 

desestimular o aluno ao uso do processo.  Antes de usar este algoritmo, os alunos deverão representar a situação com material dourado, registrá‐la 

numa folha e fazer a divisão pelo processo de subtrações sucessivas.  Atividade 22: No supermercado Bem Barato, as 228 caixas de suco estão arrumadas em       prateleiras com 12 caixas em cada uma. Quantas prateleiras foram usadas para arrumar essas caixas?   Vamos fazer a divisão 228 ÷ 12                              

  

          

  

  

Perguntar aos alunos:  2 centenas não podem ser distribuídas em 12 grupos  iguais, de modo que encontremos no resultado centenas. Assim, no quociente, não haverá centenas  (o  algarismo  dessa  ordem,  no  quociente  será  0  e  poderá  ser escrito para facilitar a compreensão dos alunos).  Trocando  2  centenas  em  dezenas  teremos  20  dezenas.  Como  já tínhamos 2 dezenas, vamos então dividir 22 dezenas em 12 grupos iguais. Fazendo tentativas podemos descobrir o número que podemos colocar no quociente: 12 x 1 = 12   é pouco, mas 12 x 2 = 24   é muito!  Então fica 1 dezena em cada grupo e sobram 10 dezenas.

As  10  dezenas  que  sobraram  são  equivalentes  a  100  unidades  que, somadas às 8 unidades já existentes, resultam 108 unidades.  Dividimos então as 108 unidades em 12 grupos iguais.  Vamos fazer tentativas para descobrir o número que podemos colocar no quociente: 

                          12 x 8 = 96                           12 x 9 = 108                   

Ficam 9 unidades em cada grupo e não sobra nenhuma unidade. 

Resposta: Foram utilizadas 19 prateleiras. 

12

 Atividade 23: No Supermercado Popular existem 1 236 caixas de suco,  arrumadas em prateleiras com 12 caixas em cada uma. Quantas prateleiras são utilizadas?  

Faça a divisão usando o processo longo.  3ª Etapa: Usando o sistema de numeração decimal – Processo abreviado  

O processo abreviado tem a mesma estrutura e as mesmas operações do processo longo. A única diferença é que todas as operações são  feitas mentalmente ou em  local separado. Por esse motivo, a estimativa adquire uma importância maior ainda. 

 FAZENDO ESTIMATIVA DO QUOCIENTE 

Atividade 24: Considere a seguinte divisão: 480 ÷18  

Vamos fazer tentativas para encontrar o quociente mais próximo:      10 x 18 = 180    20 x 18 = 360        30 x 18 = 540       Atividade 25: Faça, agora, estimativas para os quocientes das divisões abaixo. Em seguida, faça a verificação usando a calculadora. 

 a) 520 ÷13 =                      b) 1 200 ÷ 43 =   

O Processo abreviado  

Devemos iniciar o processo abreviado com uma conta simples. Por exemplo, 42 ÷ 2. É importante que os alunos participem ativamente do processo. Assim, à medida que for fazendo no quadro, 

pergunte aos alunos:     

           Atividade 26: Vejamos outro exemplo: 813 ÷ 4. 

      

     

   D U      4  2  2   0  2  D  U        0  2  1 

C   D  U   8   1   3  4 8  C    D  U 0   1   3            1 

2     0  3 

O quociente é um número entre 20 e 30.

8 centenas divididas por 4 é igual a 2 centenas.  Como 4 x 2 centenas = 8 centenas, para 8 centenas não falta nada.  Agora, vamos dividir 1 dezena por 4. Não encontramos dezenas para quociente, então escrevemos zero nessa ordem no quociente.  Como ainda temos 1 dezena, vamos trocá‐la por 10 unidades, que juntando com as 3 unidades que já havia, ficamos com 13 unidades.  Dividindo 13 unidades por 4 temos 3 unidades no quociente.   Como 4 x 3 unidades = 12 unidades, para 13 unidades falta 1 unidade.   Portanto, o quociente é 203 e o resto é 1.  

4 dezenas divididas por 2 é igual a...( 2 dezenas) Como 2 x 2 dezenas = 4 dezenas, para 4 dezenas não falta nada, isto é, 4 – 4 = 0.    Agora, vamos dividir 2 unidades por 2 , que dá 1 unidade.   Como 2 x 1 unidade = 2 unidades, para 2 unidades não falta nada, ou seja,  o resto é zero. 

13

Lembretes  No processo breve as subtrações são feitas “de cabeça”. Para que o aluno faça isto com facilidade é necessário que tenha um bom conhecimento das técnicas de cálculo mental da subtração.  Para  fazer  a  subtração,  é  comum  usarmos  a  idéia  de  “quanto  falta  para”,  ou  seja,  fazer  uso  da  ação  de completar.  Depois que o aluno tiver compreendido e fixado bem a divisão por um algarismo (processo longo e abreviado), é que o professor deverá introduzir a divisão por dois algarismos pelos processos longo e abreviado.  O algoritmo abreviado exige uma técnica operatória bem diferente do algoritmo  longo. Essa técnica apura a capacidade  do  aluno  em  desenvolver  cálculos mentalmente  e,  por  isso,  deve  ser  trabalhada  com  bastante cuidado, em etapas com níveis de dificuldade crescente. 

 Atividade 27: Jogo da Poupança  Material 

Uma roleta  Notinhas de 1, de 10 e de 100 reais.  Um dado de oito  faces numeradas de 2 a 9  (ou 8  fichas numeradas para sorteio, ou 1 dado comum com 6 números entre 2 e 9, à escolha do professor).  Uma ficha de registro para cada participante. 

 Número de participantes: de 4 a 6  Objetivo: poupar a quantia que sobrar após dividir a quantia sorteada na roleta pelo número de grupos indicado no dado. Quem vence: o jogador que poupar mais até a última rodada.  Como jogar: Arrumar as notas no centro da mesa em três montes, de acordo com seus valores. O primeiro jogador rodará a roleta três vezes seguidas para saber quantas notas de 100, 10 e 1deverá pegar nos montes. Depois, lançará o dado para saber em quantos grupos dividirá a quantia que pegou. A divisão deverá começar sempre pelas notas de 100.  Alguns exemplos: a) 6 notas de 100 para dividir por 3 grupos: ficarão 2 notas de 100 em cada grupo. b) 4 notas de 100 para dividir em 3 grupos: ficará 1 nota de 100 em cada grupo e sobrará 1 nota de 100. c) 2 notas de 100 para dividir em 3 grupos: não será possível a divisão, sobrando as 2 notas de 100.  

As notas de 100 que sobrarem, como nos exemplos b e c, deverão ser trocadas por notas de 10. A seguir, será a vez de dividir, igualmente, as notas de 10 entre os grupos. Se sobrarem notas de 10, estas deverão ser trocadas por notas de 1.  

Para encerrar sua  jogada, o primeiro  jogador dividirá as notas de 1. A quantia que sobrar será o valor que o jogador guardará na poupança, nessa  rodada. Em  seguida ele devolverá  todas as notas aos montes do centro da mesa, e será a vez do próximo participante jogar. Este rodará a roleta para ver a quantia que pegará da mesa, mas o dado não deverá ser  jogado, pois o número de grupos deverá ser o mesmo para todos os  jogadores numa mesma rodada. 

Os resultados de cada jogador deverão ser anotados por todos os participantes em uma ficha como a do modelo abaixo. 

  1ª R O D A D A 

Nome dos participantes 

Notas sorteadas Número de grupos 

Notas por grupos  Quantia poupada 100  10  1  100  10  1 

       

                 

                 

                 

       

   (Matemática na Vida e na Escola, 3ª série, Editora do Brasil, 2005) 

14

 Exploração do jogo:  1) Observe os resultados obtidos pelos outros jogadores na 1ª rodada.  

   Nome dos 

participantes Notas sorteadas  Número de 

grupos Notas por grupo  Quantia 

poupada 100  10  1  100  10  1 Leandro  2  2  9  5  0  4  5  4 Rafael  5  1  6 5 1 0 3  1 Vanessa  7  8  1  5  1  5  6  1 Taís  3  4  0  5  0  6  8  0 

 Agora, responda: a) Que quantia Rafael pegou? b) Rafael formou 5 grupos com a mesma quantia. Que quantia ficou em cada grupo? c) Quem dividiu a maior quantia? d) Quem ficou com a maior quantia em cada grupo? e) Quem dividiu a menor quantia?  f) Quem ficou com a menor quantia em cada grupo? g) Quem conseguiu poupar mais reais? h) Que quantia da tabela pode ser dividida exatamente em 5 grupos iguais? Explique como você descobriu. I) Discuta com seus colegas e com o professor:   Por que Leandro e Taís não ficaram com notas de 100 nos grupos formados? 

j) Qual a menor quantia que um  jogador deve sortear para poder dividi‐la em 5 grupos, de modo que cada grupo fique com uma nota de 100?  2) Na 2ª rodada, o número sorteado no dado de oito faces foi 7.  

Observe, abaixo, a quantia sorteada pelos jogadores.    Agora, responda: 

a) Quais jogadores não ficarão com notas de 100 em cada grupo formado? Por quê? b) Qual a maior quantidade de reais que se pode poupar nessa rodada?  c) Que quantidade de notas de 1 Rafael deveria ter sorteado para obter o maior número de pontos possível 

nessa rodada?  

Exemplos de itens de Testes de Avaliação em Larga Escala   

Descritor 18: Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.  1. Marque o resultado de 156 ÷ 6. 

(A) 21               (B) 25               (C) 26               (D) 259                                                                                                                                       (SME Rio) 

2. Efetuando a multiplicação 3 207 × 25, obtemos: (A) 80 175 (B) 80 225               (C) 80 575               (D) 81 175                                                                                                                                                                     (SME Rio) 

   

 

Leandro: 372  Rafael: 75 Vanessa: 861 Taís: 714 

15

 MÚLTIPLOS E DIVISORES 

 Material Cuisinaire  O conjunto pedagógico conhecido como material Cuisenaire foi criado pelo professor belga Georges Hottelet 

Cuisenaire,  que o  apresentou  em  seu  livro Os  números  em  cor:  novo  processo  de  cálculo  pelo método  ativo, aplicável  a  todas  as  séries  da  escola  primária,  em  1952.  O  material  Cuisenaire  compõe‐se  de  barrinhas  de madeira, em forma de prisma, com altura que varia de 1 cm a 10 cm, nas seguintes cores e quantidades: 

  

        

   As cores foram escolhidas de modo a formar "famílias":  família vermelha (vermelho, roxo, marrom):  2, 4, 8;  família amarela (amarelo, laranja): 5 e 10;  família azul (verde claro, verde‐escuro, azul): 3, 6, 9;  a cor branca (contida em todas as demais) representa o 1, divisor de todos os números;  a cor preta  (não contida em nenhuma outra)  representa o 7, número primo, e não  forma "família" com nenhuma das demais cores da coleção. 

(Marilia e Mauro Toledo, Didática da Matemática: com Dois e Dois ‐ a Construção da Matemática.)  Os  autores  citados  acima  ressaltam  as  dificuldades  que  podem  ser  geradas  se  for  exigida  das  crianças  a 

memorização dos valores de cada barra. Por isso, a tabela dos valores deve ficar sempre acessível em sala.  O fato de uma grandeza contínua representar um número reforça a idéia de número como medida. Cada valor 

de uma barrinha  é  “quantas  vezes  a  barrinha  1  cabe nessa barrinha”.  Em  alguns materiais  essa  verificação  é facilitada por marcas feitas nas barrinhas.  

 Atividade 28: O Jogo da Troca  1ª Etapa:   Distribuir, aleatoriamente, para cada grupo, um conjunto de réguas, de modo que cada membro do grupo receba o mesmo número delas.   Depois de distribuídas as réguas, cada pessoa a  jogar deve trocar uma de suas réguas por outras réguas de outra cor, mas mantendo sempre o mesmo comprimento da régua trocada, sem recorrer a outra pessoa. Por exemplo: Na sua vez de jogar, Joana quer trocar uma régua verde‐escuro por réguas verde‐claro. Como cada régua verde‐claro cabe 2 vezes na régua verde‐escuro, Joana terá que ter 2 réguas verde‐claro. Se ela fizer a troca, ganha 1 ponto e guarda a peça trocada e as correspondentes. Se não puder trocar nenhuma de suas réguas, ela passa e não ganha nenhum ponto. Outro jogador começa a jogar.   O jogo acaba quando nenhum jogador puder fazer nenhuma troca.  Vence em cada grupo quem fizer mais pontos.  Exploração:  Perguntas do tipo das seguintes (de acordo com o nível da turma): Que réguas servem para trocar qualquer das outras? Se eu tiver uma régua amarela, que réguas eu devo ter para trocá‐la? (Mais de uma resposta). Que réguas podem ser trocadas por réguas vermelhas? (noção de divisor). 

 Cor  

Número que representa 

Quantidade de barras 

Cor  

Número que representa 

Quantidadede barras 

 Branca  1  100   Verde escura  6  16  Vermelha  2  50   Preta  7 14 Verde clara  3  36   Marrom  8  12  Roxa  4  28   Azul  9  12  Amarela  5  20   Laranja  10  10 

16

2ª Etapa:  Cada jogador representa em papel quadriculado a régua que escolheu para trocar e as correspondentes e escreve sentenças matemáticas associadas à troca feita. Por exemplo, a troca da Joana pode ser representada por: 6 ÷ 3 = 2, 2 x 3 = 6, 3 + 3 = 6 ou 6 – 3 = 3.   O grupo que escrever mais sentenças corretas vence o jogo entre os grupos. 

Atividade 29: Complete adequadamente cada sentença com as expressões apresentadas nos quadros abaixo.    a) 12 ................................  24. c) 1 ................................  16.    e) 5 ................................  10. b) 6 ................................ 3.    d) 0 ................................  19.    f) 10 ................................  5.  Atividade 30: Complete a sequência dos dez primeiros múltiplos de 4. 

0    4    8    12                           

 Atividade 31: Escreva todos os divisores de 24. ............................................................................................................  Atividade 32: No quadro abaixo, risque todos os múltiplos de  2, faça um x em todos os múltiplos de 3 e circule todos os múltiplos de 4. 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 

20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 

 Responda: a) O número 6 recebeu mais de uma marca? Por quê? .................................................................................................. ........................................................................................................................................................................... b) Identifique outros três números que receberam apenas duas marcas. ......................... De que número esses números são múltiplos comuns? ...................................................................................................................................... c) O número 12 recebeu quantas marcas? .......... Que outros números receberam o mesmo número de marcas que o 12?....................... De que número esses números são múltiplos comuns? ..................................................................  Atividade 33: Complete cada linha do quadro com o que se pede: Divisores de 16   Divisores de 8   Divisores de 4   Divisores de 2   Agora, responda: a) Algum número apareceu em todas as linhas? Em caso afirmativo, qual? ................................................................... b) O que você observou nessa tabela em relação aos divisores desses números? .......................................................... ............................................................................................................................................................................................  

FORMAS GEOMÉTRICAS  

Nosso  objetivo  com  o  trabalho  aqui  proposto,  é  que  os  alunos  sejam  capazes  de  reconhecer  figuras geométricas mais comuns por sua aparência global e que, assim, consigam distinguir uma pirâmide de um prisma e um cubo de um paralelepípedo ou um quadrado de um retângulo e de um losango, por exemplo.  

Para  formar um conceito, é  importante a criança observar uma variedade de objetos e explicitar aspectos em que cada um deles se parece com o que se quer conceituar ou em que diferem dele. Por exemplo, um lápis com ponta pode se parecer com o cilindro, mas difere dele pela ponta. Por sua vez, a ponta se parece com o cone. A partir da percepção de características comuns e diferenças entre as figuras é que os alunos constroem conceitos  fundamentais para o aprendizado geométrico. 

é múltiplo de  é divisor de

17

 De  acordo  com  van Hiele,  “os  alunos  progridem  segundo  uma  sequência  de  níveis  de  compreensão  de conceitos, enquanto eles aprendem geometria. 

O  progresso  de  um  nível  para  o  seguinte  se  dá  através  de  atividades  adequadas,  e  cuidadosamente ordenadas pelo professor,” 

Ainda  segundo van Hiele, o nível básico do desenvolvimento do  raciocínio geométrico  se caracteriza pelo “reconhecimento,  comparação  e  nomenclatura  das  figuras  geométricas  por  sua  aparência  global”.  (Nasser, L.;Sant’Anna; Neide F. P. (coord.).  Geometria segundo a Teoria de Van Hiele, 2ª ed.. rev. –Rio de Janeiro,  IM/UFRJ, 2010.  Atividade 34: Peça aos alunos, na aula anterior, que levem para a sala de aula caixas e outros objetos com formas variadas. Você também deve levar alguns, procurando priorizar os que pareçam com sólidos geométricos. Cada grupo de alunos deve classificá‐los livremente. Depois de discutir os critérios adotados, peça que classifiquem os objetos de acordo com a semelhança que apresentem com os sólidos geométricos mais usuais: cubo, esfera, cilindro, cone, prisma, pirâmide, paralelepípedo retângulo (bloco retangular). Cada grupo deverá escrever duas semelhanças e duas diferenças entre cada objeto e o sólido correspondente.  Atividade 35: Explore com a turma as características de cada sólido: vértices, arestas, faces, seu número, suas formas, suas posições, encontros, etc., os que são formados apenas por partes planas (os poliedros) e os que têm alguma parte não plana (os não poliedros). Proponha que as crianças, com os olhos fechados passem as mãos pela superfície dos sólidos, para perceber os que têm partes da superfície arredondadas e partes planas. Estimule‐os a enumerar objetos que tenham essas formas na sala de aula, na escola, nas ruas, etc.    

Lembre que:  − todos os objetos são sólidos – chamados sólidos geométricos são apenas padrões que 

ajudam a explorar e usar os outros;  − todo cubo é paralelepípedo retângulo; − todo paralelepípedo retângulo é prisma. 

Desmontando‐se algumas caixas que têm essas formas, pode‐se confirmar essas observações. Também é importante que os alunos montem sólidos a partir de planificações. Aproveite a planificação do dado (cubo) ao final da apostila e explore‐a, examinando a forma das faces, e sua igualdade. 

 Atividade 36: No tópico referente a múltiplos e divisores foi dito que as barrinhas do material Cuisinaire têm a forma de um prisma. Quais das figuras abaixo também têm a forma de um prisma?           Atividade 37: Escreva nomes de objetos que lembram a forma: a) da esfera. .................................................................................................................................................................... 

b) do círculo. .................................................................................................................................................................... 

c) da circunferência. ......................................................................................................................................................... 

 

18

Atividade 38: Jogo “Quem tem põe”  Número de alunos: 5  Material ‐ 7 sólidos numa sacola (1 de cada um dos tipos planificados e uma esfera) e   6 cartões (1 com cada figura plana). Ver final da apostila.  Desenvolvimento:   Os jogadores devem estar dispostos em volta da mesa, e o monte de cartões com as figuras planas viradas para baixo, no centro dela.   Cada criança sorteia um sólido da sacola.  Uma das crianças vira o primeiro cartão e, se tiver um sólido com uma das faces que se ajuste a essa figura, coloca‐o sobre ela e fica com o cartão. Se o seu sólido não tiver uma face com a forma representada no cartão, este é colocado à parte.  Outra criança vira outro cartão do monte e tudo se repete.  Quando todos os cartões já tiverem sido virados, cada criança contabiliza seus pontos (o número de cartões que pegou).  Podem‐se fazer outras rodadas, sorteando, a cada uma, os sólidos e explorando com perguntas: 

− Que sólido é mais vantajoso tirar? − Em que sólido é mais fácil reconhecer a figura? − Há figuras que aparecem em mais de um sólido?  

Atividade 39: “Juntando as pecinhas”.  Número de alunos: 5  Material: 14 peças do modelo A para cada grupo, 6 folhas de papel pardo, 1 figura do modelo B colada em cartão de cor.              Desenvolvimento:    O professor deve explicar para a turma que as peças são iguais (os alunos podem verificar isso por superposição) e que se pode juntar essas peças, de duas em duas, para formar figuras com 6 quadrados, como a do exemplo (figura B).   A seguir, cada grupo deve formar o maior número possível de figuras diferentes (e diferentes da do exemplo), juntando as peças de duas em duas.  Cada grupo deve montar as figuras e colá‐las em um papel pardo. Ao fim de certo tempo (determinado pelo professor), todos os grupos colam seu cartaz no quadro e há a contagem do número de cada grupo.   Nessa contagem é importante a discussão sobre a “igualdade” de figuras que são obtidas uma da outra por meio de uma rotação ou reflexão (duas figuras “iguais” contam como uma).  O grupo que fizer mais figuras ganha o jogo. Se houver empate, o professor pode propor o desafio a seguir.  

A B

19

Atividade 40: Desafio complementar ao jogo “Juntando as Pecinhas”  Mostre um cartaz com as figuras abaixo e pergunte:  ‐ Qual dessas figuras não pode ser composta com as duas peças disponíveis?  ‐ Entre todas as figuras formadas, qual(is) pode(m) ser uma planificação do cubo?                       Atividade 41: Pinte os quadriláteros de azul, os triângulos de vermelho e os círculos de verde e complete a tabela abaixo com os números de cada figura.  O que você observou?   Depois, crie um desenho bem bonito com várias dessas figuras.  

Triângulos Quadriláteros Círculos

1 2

4

5

3

6

7

8

9

11

10

20

Exemplos de itens de Testes de Avaliação em Larga Escala   

Descritor 2: Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações. 

1. Observe o bumbo que Beto gosta de tocar. Ele tem a forma de um cilindro. Qual é o molde do cilindro?  (A) (B) (C) (D)

 

                                                     (Prova Brasil)  

Descritor 3: Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de lados, pelos tipos de ângulos.  2. Mariana colou diferentes figuras numa página de seu caderno de Matemática, como mostra o desenho abaixo.             Essas figuras têm em comum 

(A) o mesmo tamanho. (B) o mesmo número de lados. (C) a forma de quadrado. (D) a forma de retângulo.                                                                                                                 (Prova Brasil)  

 Dado do Jogo

das Multiplicações