apostila_curso_inverno_2013_calculo_v1.2.pdf

7/23/2019 apostila_curso_inverno_2013_calculo_v1.2.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/apostilacursoinverno2013calculov12pdf 1/76



Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Curso de Inverno - 2013: Introducao ao Calculo

CURSO DE INVERNO:

INTRODUC AO AO CALCULO

Cronograma do curso e ministrantes:05/08/2013 - Funcoes I (secoes 1.1 a 1.4) - Ariel Werle06/08/2013 - Funcoes II (secoes 1.5 a 1.7) - Rafael Heleno07/08/2013 - Funcoes III (secoes 1.8 e 1.9) - Paloma Boeck Souza09/08/2013 - Limites I (secoes 2.1 a 2.3) - Bruno Clasen Hames10/08/2013 - Limites II (secoes 2.4 a 2.6) - Carlos Eduardo KrassinskiSoares

Coordenacao:Felipe dos Passos.

Supervisao:Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano TragtenbergDepartamento de Fısica - UFSC

Powered by LATEX

v 1.2 01/08/2013



Sumario

1 Funcoes 5

1.1 Conceito, domınio, imagem e grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Paridade das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Funcao par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


1.3 Monotonicidade de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Tipos especiais de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3 Funcao modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.4 Funcao Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.5 Funcao Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.6 Funcao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


1.5 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais . . . . . . . . . . . . 23

1.5.2 Operacoes entre funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.6 Tipos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Funcao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Funcao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.3 Funcao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


1.8 Funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


1.8.3 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


3



4 SUM ARIO

1.9 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.9.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9.2 Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 44


1.10 Respostas dos exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Limites de funcoes e funcoes contınuas 51

2.1 Limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


2.3 Indeterminacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.1 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


2.4.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


2.5 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.1 Primeiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.2 Segundo limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.3 Terceiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


2.6 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


2.7 Respostas dos exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



Capıtulo 1

Funcoes

1.1 Conceito, domınio, imagem e grafico

Vamos apresentar aqui um dos conceitos mais importantes da Matematica. E

um conceito que faz parte do “vocabulario” basico da Matematica.

Definic˜ ao - Dados dois conjuntos A e B nao vazios, chama-se funcao (ou aplicacao)

de A em B, representada por f : A → B; y = f (x), a qualquer relacao binaria

que associa a cada elemento de A um unico elemento de B .

Portanto, para que uma relacao de A em B seja uma funcao, exige-se que

a cada x

∈ A esteja associado um unico y

∈ B, podendo, entretanto existir

y ∈ B que nao esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto

A.

Observac˜ ao I - Na notacao y = f (x), entendemos que y e imagem de x pela funcao

f , ou seja, y esta associado a x atraves da funcao f .

Exemplo 1 - Seja a funcao f (x) = 4x + 3, entao f (2) = 4.2 + 3 = 11, portanto, 11

e imagem de 2 pela funcao f ; f (5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 e imagem de

5 pela funcao f , f (0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

5



6 CAP ITULO 1. FUNC ˜ OES

Para definir uma funcao, necessitamos de dois conjuntos (Domınio e Con-

tradomınio) e de uma f ormula ou uma lei que relacione cada elemento do domınio

a um e somente um elemento do contradomınio.

Quando D(f ) ⊂ R (domınio contido no conjunto dos reais) e CD(f ) ⊂ R

(contradomınio contido nos reais), sendo R o conjunto dos numeros reais, dize-

mos que a funcao f e uma funcao real de variavel real. Na pratica, costumamos

considerar uma funcao real de variavel real como sendo apenas a lei y = f (x) que

a define, sendo o conjunto dos valores possıveis para x, chamado de domınio e o

conjunto dos valores possıveis para y, chamado de conjunto imagem da funcao.

Assim, por exemplo, para a funcao definida por y = 1

x, temos que o seu domınio

e D(f ) = R∗, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que n ao

existe divisao por zero), e o seu conjunto imagem e tambem R∗, ja que se y = 1

x,

entao x =

1

y , portanto y tambem nao pode ser zero. O sımbolo ⊂ le-se “contidoem”.

Dada uma funcao f : A → B definida por y = f (x), podemos representar os

pares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas

cartesianas. O grafico obtido sera o grafico da funcao f .

Assim, por exemplo, sendo dado o grafico cartesiano de uma funcao f , podemos

dizer que:

a) A projecao da curva sobre o eixo dos x nos da o domınio da funcao.

b) A projecao da curva sobre o eixo dos y nos da o conjunto imagem da funcao.

c) Toda reta vertical que passa por um ponto do domınio da funcao, intercepta o

grafico da funcao em no maximo um ponto.

Isso pode ser verificado na Figura 1.1.

Exemplo 2 - Dada a funcao f : {−3, 2, 0,√

5} → R, definida pela formula f (x) =

2x2 + 1. Determine a sua imagem.

Neste exercıcio, o domınio e dado, ele vale D = {−3, 2, 0,√

5} e o con-

tradomınio sao todos numeros reais. Como ja estudamos, a imagem de um

numero e o elemento pertencente ao contradomınio que esta relacionado a este

numero, e para achar este numero devemos aplicar sua lei de formacao.

- a imagem do −3 e tambem representada por f (−3), e f (−3) = 2(−3)2 + 1,

entao f (−3) = 19;

- f (2) = 2(2)2 + 1, entao f (2) = 9;

- f (0) = 2(0)2 + 1, entao f (0) = 1;

- f (√

5) = 2(√

5)2 + 1, entao f (√

5) = 11.



1.2. PARIDADE DAS FUNC ˜ OES 7

Figura 1.1: Grafico da funcao f (x).

Agora que ja achamos as imagens de todos pontos do domınio, podemos dizer

que o conjunto imagem desta funcao e I m = {19, 9, 1, 11}.

1.1.1 Exercıcios Propostos

1. Determine o domınio e imagem da funcao real y = 5

x + 4.

2. Determine o domınio e imagem da funcao f (x) =√

2x + 6.

3. Dada a funcao f (x) =

√ 2x + 5

x − 2 , determine seu domınio.

1.2 Paridade das funcoes

1.2.1 Funcao par

A funcao y = f (x) e par, quando ∀ x ∈ D(f ), f (−x) = f (x), ou seja, para todo

elemento do seu domınio, f (x) = f (−x). Portanto, numa funcao par, elementos

simetricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia desse fato e que os graficos

cartesianos das funcoes pares sao curvas simetricas em relacao ao eixo dos y ou eixo

das ordenadas. O sımbolo ∀ le-se “para todo”.




Exemplo 4 - y = x4 + 1 e uma funcao par, pois f (x) = f (−x), para todo x. Por

exemplo, f (2) = 24 + 1 = 17 e f (−2) = (−2)4 + 1 = 17.

1.2.2 Funcao ımpar

A funcao y = f (x) e ımpar, quando ∀ x ∈ D(f ), f (−x) = −f (x), ou seja, para

todo elemento do seu domınio, f (−x) = −f (x). Portanto, numa funcao ımpar,

elementos simetricos possuem imagens simetricas. Uma consequencia desse fato e

que os graficos cartesianos das funcoes ımpares sao curvas simetricas em relacao ao

ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

Observac˜ ao II - Se uma funcao y = f (x) nao e par nem ımpar, diz-se que ela nao

possui paridade.



1.3. MONOTONICIDADE DE FUNC ˜ OES 9

O grafico abaixo, representa uma funcao que nao possui paridade, pois a curva nao

e simetrica em relacao ao eixo dos y e, nao e simetrica em relacao a origem.


4. Determine quais das funcoes abaixo sao pares, ımpares ou sem paridade.

a) senx b) cos x c) tan x

d) x e) x2 f) x2 + 78

g) x5 + x4 h) (senx)2 + (cos x)2 i) tan x + senx

j) x2 + cos x k) x2 + 3

x4 + 22 l)

senx

xm) |x3 + x5|

1.3 Monotonicidade de funcoes

Define se a funcao e crescente ou decrescente.

Definic˜ ao - Sejam (A, >) e (B, >) conjuntos ordenados. Entao

1. f e estritamente crescente quando

∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (x) > f (y)).

2. f e estritamente decrescente quando

∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (y) > f (x)).

3. f e monotona nao-decrescente quando

∀ x, y

∈A, (x y =

⇒f (x) f (y)).

4. f e monotona nao-crescente quando

∀ x, y ∈ A, (x y =⇒ f (y) f (x)).

1.4 Tipos especiais de funcoes

1.4.1 Funcao constante

Uma funcao e dita constante quando e do tipo f (x) = k , onde k nao depende

de x.




Alguns exemplos de funcoes constantes sao as funcoes f (x) = 5 e f (x) = −3.

Observac˜ ao III - O grafico de uma funcao constante e uma reta paralela ao eixo

dos x.

1.4.2 Funcao polinomial

As funcoes polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau

de uma funcao polinomial corresponde ao valor do maior expoente da vari avel do

polinomio, ou seja, e o valor de n da funcao

P (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn =n

i=0

aixi,

∀ n

= 0.

Sejam f (x) e g(x) polinomios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes

leis:

a) O grau de f (x).g(x) e a soma do grau de f (x) e do grau de g(x).

b) Se f (x) e g(x) tem grau diferente, entao o grau de f (x) + g(x) e igual ao maior

dos dois.

c) Se f (x) e g(x) tem o mesmo grau, entao o grau de f (x) + g(x) e menor ou igual

ao grau de f (x).

Funcoes polinomiais de primeiro grau

Uma funcao e dita do 1º grau, quando e do tipo y = ax+b, onde a = 0. Sao exemplos

de funcoes do 1º grau f (x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12, e f (x) = −3x + 1, onde

a = −3 e b = 1.

Propriedade 1 - O grafico de uma funcao do 1º grau e sempre uma reta.



1.4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNC ˜ OES 11

Propriedade 2 - Na funcao f (x) = ax + b, se b = 0, f e dita funcao linear e se

b = 0, f e dita funcao afim.

Propriedade 3 - O grafico intercepta o eixo dos x na raiz da equacao f (x) = 0 e,

portanto, no ponto de abcissa x = − ba

.

Propriedade 4 - O grafico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b e chamado

coeficiente linear.

Propriedade 5 - O numero a e chamado coeficiente angular da reta e fornece a

inclinacao da mesma.

Propriedade 6 - Se a > 0, entao f e crescente.

Propriedade 7 - Se a < 0, entao f e decrescente.

Exemplo 5 - Determine a funcao f (x) = ax + b, sabendo-se que f (2) = 5 e f (3) =−10.

Podemos escrever

5 = 2.a + b

−10 = 3.a + b

Fazendo a subtracao da relacao de cima pela de baixo, temos

5 − (−10) = 2a + b − (3a + b)

15 = −a, logo,

a = −15

Substituindo o valor de a em uma das duas equacoes, temos

5 = 2(−15) + b

b = 35

Escolhemos a primeira equacao para esta substituicao, mas poderıamos es-

colher a segunda que resultado seria o mesmo. Encontrados os valores de a e

b, temos a funcao procurada

y = −15x + 35.




Funcoes polinomiais de segundo grau

Uma funcao e dita do 2º grau quando e do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com a = 0.

Sao exemplos de funcoes do segundo grau as funcoes f (x) = x2

−2x +1, com a = 1,

b = −2, c = 1, e y = −x2, com a = −1, b = 0, c = 0.

Graficamente a funcao do 2º grau y = ax2 + bx + c e sempre uma parabola de

eixo de simetria vertical. Suas raızes sao encontradas utilizando-se da Formula de

Bhaskara

x = −b ± √

b2 − 4ac

2a

Propriedade 1 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de mınimo.

Propriedade 2 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de maximo.

Propriedade 3 - O vertice da parabola e o ponto V (xv, yv) onde

xv = − b

2a

yv = − D

4a, onde D = b2 − 4ac.

Propriedade 4 - A parabola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x e

x, que sao as raızes da equacao ax2 + bx + c = 0.

Observac˜ ao I - A parabola pode nao interceptar o eixo dos x. Nesse caso, a

parabola nao tera raızes para y = 0.

Propriedade 5 - A parabola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).

Propriedade 6 - ymax = − D

4a, (a < 0)

Propriedade 7 - ymin = − D

4a, (a > 0)

Propriedade 8 - Forma fatorada: sejam x1 e x2 as raızes de f (x) = ax2+bx+c, entao

ela pode ser escrita na forma fatorada da seguinte forma y = a(x−x1)(x−x2).

Exemplo 6 - Esboce o grafico da funcao f (x) = x2 − x − 2.




Vamos primeiro calcular as raızes usando Bhaskara. Os coeficientes sao:

a = 1, b = −1 e c = −2. Colocando na formula de Bhaskara, temos

x = −(−1) ± (−1)2

− 4· 1· (−2)2· 1

= 1 ± √ 1 + 82

x = 1 ± 3

2

x =

1 + 3

2 = 2

x = 1 − 3

2 = −1

As duas raızes sao 2 e –1, entao ja sabemos os pontos por onde a parabola

corta o eixo x. No grafico, fica

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Elevale –2, entao o grafico da parabola com certeza corta o eixo y no ponto –2.

Vamos marca-lo

Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b

sabemos que logo apos o ponto de corte com y ela tem que descer. Tracando

o esboco, temos o seguinte




Curiosidade - Como chegar na F´ ormula de Bhaskara

A ideia e completar o trinomio ax2 +bx+ c de modo a fatora-lo num quadrado

perfeito. Assim, inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a e em seguida

somamos b2 aos dois lados da igualdade

ax2

+ bx + c = 0

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac

(2ax + b)2 = b2 − 4ac

2ax + b = ±√ b2 − 4ac

2ax = −b ± √ b2 − 4ac

x = −b ± √

b2 − 4ac

2a

1.4.3 Funcao modulo

O conceito de modulo de um numero real esta associado a ideia de distancia de um

ponto da reta a origem. Como existe uma correspondencia biunıvoca entre os

pontos da reta e os numeros reais, pensar na distancia de um ponto a origem ou

pensar no modulo de um numero e exatamente a mesma coisa.

Assim, |5| = | − 5| = 5, pois o numero 5 esta a uma distancia de 5 unidades da

origem, e −5 tambem esta a 5 unidades da origem. De modo geral podemos dizer




que

se a > 0, |a| = a

se a < 0, |a| = −a

se a = 0, |a| = 0

Definimos entao uma funcao que, a cada numero real x associa o modulo de x,

ou seja, a distancia de x a origem. Temos assim

f (x)

x se x 0

−x se x < 0

O grafico dessa funcao tem o seguinte aspecto

Pois, para os valores positivos ou zero da variavel independente x, o valor da

variavel dependente y e o mesmo que x, pois |x| = x; para valores negativos de

x o valor de y e −x, pois |x| = −x. Dessa forma, o grafico e constituıdo de duas

semi-retas de mesma origem. Outra maneira interessante de olhar para o grafico de

y = |x| e considerar que ele coincide com a reta y = x para valores de x positivos

ou zero, enquanto que para valores negativos de x tomamos a semi-reta “rebatida”,

pois, nesse caso, |x| = −x. Esta semi-reta “rebatida”, evidentemente, e simetrica

da original em relacao ao eixo horizontal.




Essa ultima consideracao nos permite rapidamente entender como sera o grafico

de y = |f (x)| para uma dada funcao f conhecida. De fato

|f (x)| =

f (x) se f (x) 0

−f (x) se f (x) < 0.

Portanto, seu grafico esta sujeito as seguintes caracterısticas

a) Coincide com o grafico de f para todos os valores da variavel independente x

nos quais a variavel dependente e positiva ou zero.

b) E o desenho da funcao “rebatido”, ou seja, simetrico com relacao ao eixo hor-

izontal do grafico de f para todos os valores da variavel independente x nos

quais a variavel dependente e negativa.

Dada uma funcao f , podemos pensar na funcao g(x) = f (|x|). De fato, pela

definicao da funcao valor absoluto de um numero real, a funcao g pode ser en-

tendida como sendo

f (x) =

f (x) se x 0

f (−x) se x < 0




Observemos que para a construcao desse novo grafico so sao considerados os valores

de f em que a variavel x e nao negativa. Isto e, para x assumindo valores positivos

ou zero, a funcao g coincide com a funcao f , e para x assumindo valores negativos,

a funcao g e igual a funcao f calculada no oposto de x. Assim

A parte do grafico de f em que x e negativo e irrelevante para a construcao do

grafico de g, ou seja, o grafico de g apresenta simetria em relacao ao eixo vertical.

1.4.4 Funcao Racional

Uma funcao racional e da forma

f (x) = p(x)

q (x)

onde p e q sao polinomios.

O domınio de uma funcao racional e o conjunto de todos os numeros reais, com

excecao daqueles que anulam o denominador (as raızes de q ).

O grafico de uma funcao racional tem assıntotas verticais nestes pontos em que o

denominador se anula, quando isso ocorre. Tambem pode ter assıntotas horizontais,

que ocorrem se f (x) se aproxima de um valor finito quando x → ±∞.

O comportamento de uma funcao quando x → ±∞ e chamado limite no infinito.

“Assıntotas” sao retas das quais o grafico aproxima-se cada vez mais, sem nunca

toca-las.

Consideremos a funcao racional f , definida por

f (x) = x2 − 4

x2 − 1

O grafico dessa funcao fica




4 3 2 1 0 1 2 3 4

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nota-se que o valor x = 1 e x = −1 nao estao contidos no domınio da funcao.

1.4.5 Funcao Periodica

A funcao f : A → R sera considerada periodica se houver p ∈ R∗ tal que f (x + p) =

f (x) para todo x em A.

Se f (x + p) = f (x) para todo x em A, temos

f (x) = f (x + p) = f (x + 2 p) = . . . = f (x + kp) x ∈ A e k ∈ Z∗.

Se f : A → R for considerada uma funcao periodica, o menor valor positivo de p

sera denominado perıodo de f , o qual indicamos por P (f ).




1.4.6 Funcao limitada

A funcao f : A → R sera considerada limitada superiormente se houver b ∈ R tal

que f (x) b, para todo x em A.

A funcao f : A → R sera considerada limitada inferiormente se houver a ∈ Rtal que f (x) a, para todo x em A.

A funcao f : A → R sera considerada limitada, se f for limitada inferior e

superiormente, isto e, ∀

x ∈

A, f : A →

R e limitada se, e somente se, existe

a, b ∈ R onde a f (x) b.

A funcao f : A → R sera considerada limitada no grafico cartesiano se ele estiver

inteiramente dentro de uma faixa horizontal.





5. (UNIFOR) A funcao f , do 1º grau, e definida por f (x) = 3x + k. O valor de

k para que o grafico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 e:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. (EDSON QUEIROZ - CE) O grafico abaixo representa a funcao de R em R

dada por f (x) = ax + b (a, b ∈ R). De acordo com o grafico conclui-se que:




a) a < 0 e b > 0

b) a < 0 e b < 0

c) a > 0 e b > 0

d) a > 0 e b < 0

e) a > 0 e b = 0

7. Calcule a raiz da funcao y = 5

3x − 7

8.

8. (UNIFORM) O grafico da funcao f , de R em R, definida por f (x) = x2 +3x−10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distancia AB e igual a:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

9. (CEFET - BA) O grafico da funcao y = ax2 + bx + c tem uma so interseccao

com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Entao, os valores de a e b obedecem

a relacao:

a) b2 = 4a

b) −b2 = 4a

c) b = 2a

d) a2 = −4a

e) a2 = 4b

10. (ULBRA) Assinale a equacao que representa uma parabola voltada para

baixo, tangente ao eixo das abscissas:

a) y = x2

b) y = x2 − 4x + 4

c) y = −x2 + 4x − 4

d) y = −x2 + 5x − 6

e) y = x − 3




11. (UEL) A funcao real f , de variavel real, dada por f (x) = −x2 + 12x +20, tem

um valor:

a) mınimo, igual a −16, para x = 6.b) mınimo, igual a 16, para x = −12.

c) maximo, igual a 56, para x = 6.

d) maximo, igual a 72, para x = 12.

e) maximo, igual a 240, para x = 20.

12. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diaria de x pecas, e dado por

L(x) = 100(10 − x)(x − 4). O lucro maximo, por dia, e obtido com a venda

de:

a) 7 pecas

b) 10 pecas

c) 14 pecas

d) 50 pecas

e) 100 pecas

13. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a funcao real f (x) = −2x2 +

4x + 12, o valor maximo desta funcao e:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 12

e) 14

14. (ACAFE) Seja a funcao f (x) = −x2 − 2x + 3 de domınio [−2, 2]. O conjunto

imagem e:

a) [0, 3]

b) [−5, 4]

c) ] − 3, 4]

d) [−3, 1]

e) [−5, 3]

15. Dada a funcao |x–2| = 3, ache os valores possıveis para x.

16. Dada a funcao |x2–3| = 13, ache os valores possıveis para x.

17. Dada a funcao |x + 3| = 2x − 5, ache os valores possıveis para x.



1.5. OPERAC ˜ OES COM FUNC ˜ OES 23

1.5 Operacoes com funcoes

Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir os numeros reais de forma a en-

contrar novos numeros reais. Analogamente, tambem podemos fazer estas operacoescom funcoes de forma a encontrar novas funcoes. Estas operacoes serao definidas a

seguir.

1.5.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais

Aplicando certas operacoes entre uma funcao e um numero real podemos en-

contrar novas funcoes cujos graficos estao relacionados entre si por deslocamentos,

expansao ou reflexao. Isto nos capacita a fazer facilmente o esboco de muitos graficos

de funcoes.

a) Translac˜ oes - Consideremos inicialmente, as translacoes, que sao deslocamentosdo grafico de uma funcao em k unidades (para cima, para baixo, para a direita

ou para a esquerda).

Seja f (x) uma funcao e k um numero real positivo (k > 0). Podemos produzir

uma nova funcao g(x) pela soma de f (x) com k, onde g(x) = f (x) + k. O

grafico de g(x) sera igual ao grafico de f (x) deslocado para cima em k unidades

(uma vez que cada coordenada f (x) fica acrescida pelo mesmo numero k). Ou

seja, g(x) e uma translacao vertical de f (x) em k unidades para cima. Da

mesma forma, se fizermos h(x) = f (x − k), entao o valor de h em x e igual

ao valor de f em x

−k. Portanto, o grafico de h(x) = f (x

−k) sera igual

ao grafico de f (x) deslocado em k unidades para a direita (uma translacao

horizontal).

As diferentes translacoes (horizontais e verticais) estao resumidas e exempli-

ficadas na Figura 1.2.

Translacoes horizontais e verticais: Seja f (x) uma funcao e k um

numero real positivo (k > 0)

Translac˜ ao Vertical:

g(x) = f (x) + k, desloca o grafico de y = f (x) em k unidades para cima.

g(x) = f (x)

−k, desloca o grafico de y = f (x) em k unidades para baixo.

Translac˜ ao Horizontal:

g(x) = f (x + k), desloca o grafico de y = f (x) em k unidades para a

esquerda.

g(x) = f (x−k), desloca o grafico de y = f (x) em k unidades para a direita.

Exemplo 7 - Dado y = x, use o grafico desta funcao e as transformacoes para obter

os graficos de y1 = x + 2 e y2 = x − 2.

Sabendo que o grafico da funcao y = x e uma reta com inclinacao de 45°

com o eixo x. Desenhando todos os graficos no mesmo sistema de coorde-




Figura 1.2: Exemplificacoes de novas funcoes g(x) obtidas por translacoes horizontais e

verticais do grafico de f (x).

nadas, basta observarmos que y1 = y + 2, ou seja, o grafico de y1 e igual ao

grafico de y deslocado em 2 unidades para cima. Analogamente, observa-se

que y2 = y − 2, ou seja, o grafico de y2 e igual ao grafico de y deslocado em 2

unidades para baixo. Estes graficos estao representados na Figura 1.3.

Exemplo 8 - Dado y = x2, use o grafico desta funcao e as transformacoes para

obter os graficos de y1 = (x − 5)2 e y2 = (x + 5)2.

Sabendo que o grafico da funcao y = x2 e uma parabola com concavidadepara cima, e que os graficos de y1 e y2 tratam de deslocamentos horizontais,

desenhando todos os graficos no mesmo sistema de coordenadas, observarmos

que o grafico de y1 sera deslocado em 5 unidades para direita. Analogamente,

observa-se que y2 sera o grafico de y deslocado em 5 unidades para a esquerda.

Estes graficos estao representados na Figura 1.4.

b) Expans˜ oes e Compress˜ oes - Seja f (x) uma funcao e k um numero real positivo




Figura 1.3: Exemplo de translacao vertical: Graficos de y, y1 e y2.

(k > 0). Podemos produzir uma nova funcao g(x) pela multiplicacao de f (x)

por k, onde g(x) = k· f (x). O grafico de g(x) sera igual ao grafico de f (x)

expandido por um fator k na direcao vertical (pois cada coordenada de f (x)

fica multiplicada pelo mesmo numero k). Podemos tambem produzir uma

nova funcao h(x) da seguinte forma: h(x) = f (x.k). Neste caso, o grafico de

h(x) sera igual ao grafico de f (x) comprimido horizontalmente por um fator

k, pois o valor de h em x sera igual ao valor de f em x.k.

As diferentes expansoes e compressoes estao resumidas a seguir.

Expansoes e Compressoes horizontais e verticais: Seja f (x) uma

funcao e k um numero real positivo (k > 0)

Expans˜ ao:

g(x) = k .f (x), expande verticalmente o grafico de y = f (x) por um fator

k.

g(x) = f (xk ), expande horizontalmente o grafico de y = f (x) por um fator

k.

Compress˜ ao:

g(x) = ( 1k ).f (x), comprime verticalmente o grafico de y = f (x) por um

fator k .

g(x) = f (k.x), comprime horizontalmente o grafico de y = f (x) por um

fator k .




Figura 1.4: Exemplo de translacao horizontal: Graficos de y, y1 e y2.

Exemplo 9 - Dada a funcao cosseno (y = cos x). A Figura 1.5 ilustra as trans-

formacoes de expansao e compressao aplicadas a esta funcao com k = 2. Por

exemplo, para obter o grafico de y = 2. cos x, multiplicamos todas as coorde-

nadas y do grafico de cos x por 2. Isso significa que o grafico de y = 2. cos x e

igual ao grafico de y = cos x expandido verticalmente por um fator 2.

c) Reflex˜ oes - Seja f (x) uma funcao. O grafico de g(x) = −f (x) e o grafico de f (x)

refletido em torno do eixo x, pois o ponto (x, y) sera substituıdo pelo ponto

(x, −y). De forma analoga o grafico de h(x) = f (−x) sera igual ao grafico

de f (x) refletido em torno do eixo y. Estas regras estao resumidas abaixo e

exemplificadas na Figura 1.6.

Reflexoes: Seja f (x) uma funcao.

g(x) = −f (x), reflete o grafico de y = f (x) em torno do eixo x.

g(x) = f (−x), reflete o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .

1.5.2 Operacoes entre funcoes

Alem das operacoes entre funcoes e numeros reais, tambem podemos fazer

operacoes entre duas funcoes de maneira a formar novas funcoes. Assim, dado duas




Figura 1.5: Exemplificacoes de expansoes e compressoes do grafico de y = cosx.

funcoes, f (x) e g(x), podemos combina-las para formar novas funcoes atraves da

soma, subtracao, multiplicacao, divisao e composicao destas funcoes (f + g, f − g,

f.g, f /g, f ◦ g). Estas novas funcoes serao definidas a seguir.

a) Soma e Diferenca - Dadas as funcoes f e g, sua soma (f + g) e diferenca (f −

g)

sao assim definidas:

i) soma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

ii) diferenca (f − g)(x) = f (x) − g(x)

o domınio das novas funcoes f + g e f − g e a interseccao dos domınios de f

e g. Ou seja, se o domınio de f e A e o domınio de g e B, entao o domınio

de (f + g) e a interseccao A ∩ B, pois tanto f (x) quanto g(x) devem estar

definidas.

b) Produto (multiplicac˜ ao) - Dadas as funcoes f e g, seu produto e assim definido:

(f.g)(x) = f (x).g(x).

O domınio de f .g e a interseccao dos domınios de f e g (A ∩ B).

c) Quociente (divis˜ ao) - Dadas as funcoes f e g , seu quociente e assim definido:

f

g(x) =

f (x)

g(x).

O domınio de f /g e a interseccao dos domınios de f e g, excluindo-se os pontos

onde g(x) = 0, pois nao podemos fazer a divisao por zero. Assim o domınio

de f /g e {x ∈ A ∩ B | g (x) = 0}.




Figura 1.6: Reflexoes do grafico de f (x).

Exemplo 10 - Sejam f (x) =√

4

−x e

√ x

−2. As funcoes soma, diferenca, produto

e quociente de f com g sao:

(f + g)(x) =√

4 − x +√

x − 2

(f − g)(x) =√

4 − x − √ x − 2

(f.g)(x) =√

4 − x· √ x − 2 =

(4 − x)(x − 2)

(f /g)(x) =

√ 4 − x√ x − 2

=

4 − x

x − 2.

Como o domınio de f e D(f ) = (−∞, 4] e o domınio de g e D(g) = [2, +∞),entao o domınio de f + g, f − g e f .g e interseccao dos domınios de f e g , ou

seja, e [2, 4]. O domınio de f/g e (2, 4], onde o ponto 2 foi excluıdo porque

g(x) = 0 quando x = 2.

d) Composic˜ ao - Alem das operacoes basicas (soma, subtracao, multiplicacao e di-

visao), existe ainda uma outra maneira de combinar duas funcoes para obter

uma nova funcao, a composicao de funcoes. Dadas duas funcoes f e g, a

funcao composta de g com f , denotada por g ◦ f (“ g bola f ”), e definida por:




(g ◦ f )(x) = g(f (x))

O domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os pontos x no domınio de f

tais que f (x) esta no domınio de g. Simbolicamente temos D(g ◦ f ) = {x ∈D(f )/f (x) ∈ D(g)}.

Podemos tambem representar a funcao composta pelo diagrama abaixo (Figura

1.7).

Figura 1.7: Diagrama representando a operacao de composicao de funcoes. (Imagem

retirada de func˜ ao composta . In Infopedia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011.

[Consult. 2011-07-11]).

Exemplo 11 - Sejam f (x) = x2 e g(x) = x − 1, encontre as funcoes compostas f ◦ g

e g

◦f .

Temos,

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = [g(x)]2 = (x − 1)2

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) − 1 = x2 − 1

Observacao: Note que no exemplo acima f ◦ g = g ◦ f . Isto acontece em geral,

ou seja, a composicao de funcoes nao e comutativa.

Exemplo 12 - Sejam f (x) = 2x − 5 e g (x) =√

x. Encontre cada uma das funcoes

abaixo e seus respectivos domınios.

a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

Primeiro precisamos conhecer os domınios de f e g. O domınio de f e D(f ) =

(−∞, +∞) e o domınio de g e D(g) = [0, +∞).




a) (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = 2· g(x) − 5 = 2√

x − 5

O domınio de f ◦ g e o conjunto de todos os valores de x no domınio

de g tal que g (x) esteja no domınio de f , ou seja

D(f ◦g) = {x ∈ D(g) = [0, +∞)/g(x) ∈ D(f ) = (−∞, +∞)} = [0, +∞).

b) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =

f (x) =√

2x − 5

D(g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) = (−∞, +∞)/f (x) ∈ D(g) = [ 0, +∞)} =

[5/2, +∞)

Pois, f (x) = 2x − 5 deve estar dentro do domınio de g , ou seja, f (x) =

2x−

5 0, o que significa que 2x 5, entao x 5

2.

c) (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = 2· f (x) − 5 = 2(2x − 5) − 5 = 4x − 10 − 5 = 4x − 15

D(f ◦ f ) = (−∞, +∞).

d) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) =

g(x) = √

x = 4√

x

D(g ◦ g) = [0, +∞).


18. Suponha que seja dado o grafico de y = f (x). Escreva as equacoes para as

novas funcoes g(x), cujos graficos sejam obtidos a partir do grafico de f (x),

da seguinte forma:

a) deslocamento de 3 unidades para cima;

b) deslocamento de 5 unidades para baixo;

c) reflexao em torno do eixo y ;

d) deslocamento de 4 unidades para a esquerda;

e) expansao vertical por um fator de 2;

f) reflexao em torno do eixo x;

g) compressao vertical por um fator de 6.

19. Explique como obter, a partir do grafico de y = f (x), os graficos a seguir.

a) y = 6f (x) b) y = −f (x)

c) y = −6f (x) d) y = 6f (x) − 2

20. Trace o grafico de f para os 3 valores de c em um mesmo sistema de coorde-

nadas (utilize translacoes, reflexoes e expansoes).



1.6. TIPOS DE FUNC ˜ OES 31

a) f (x) = 3x + c com c = 0; c = 2 e c = −1

b) f (x) = 3(x − c) com c = 0, c = 2 e c = −1

21. Esboce o grafico da funcao f (x) = x2 + 6x + 10. (Dica: tente completaro quadrado e escrever esta funcao atraves de operacoes da funcao x2 com

numeros reais adequados).

22. Dado f (x) = x3 + 2x2 e g(x) = 3x2 − 1.Encontre f + g, f − g, f.g e f /g e

defina seus domınios.

23. Dado f (x) =√

x − 1 e g(x) = 1

x. Encontre f .g e f /g e defina seus domınios.

24. Sejam f (x) =√

x e g(x) =√

2 − x. Encontre cada uma das funcoes abaixo e

seus respectivos domınios.

a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

25. E possıvel fazer a composicao de tres ou mais funcoes. Por exemplo a funcao

composta f ◦ g ◦ h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, entao g e

depois f , como a seguir: ( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))). Sabendo disso, encontre

f ◦ g ◦ h dado f (x) = x

x + 1, g(x) = x10 e h(x) = x + 3.

26. Ate agora usamos a composicao para construir novas funcoes mais complicadas

a partir de funcoes mais simples. Em calculo, frequentemente e util decompor

uma funcao mais complicada em outra mais simples. Sabendo que f = g ◦ h,

decomponha f e encontre a funcao h, dado

a) f (x) = x2 + 1, g(x) = x + 1

b) f (x) = 3x + 1, g(x) = x + 1

27. Sabendo que f = g ◦ h, decomponha f e encontre a funcao g sabendo que

f (x) =√

x + 2 e h(x) = x + 2.

1.6 Tipos de funcoes

1.6.1 Funcao sobrejetoraE aquela cujo conjunto imagem e igual ao contradomınio.




1.6.2 Funcao injetora

Uma funcao y = f (x) e injetora quando elementos distintos do seu domınio possuem

imagens distintas, isto e, x1

= x2

⇒f (x1)

= f (x2).

1.6.3 Funcao bijetora

Uma funcao e dita bijetora, quando e ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

Exemplo 13 - Considere tres funcoes f , g e h, tais que:

A funcao f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.

A funcao g atribui a cada paıs, a sua capital.

A funcao h atribui a cada numero natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funcoes dadas, sao injetoras:

a) f , g e h

b) f e h

c) g e h

d) apenas h

e) nenhuma delas.

Sabemos que numa funcao injetora, elementos distintos do domınio, possuem

imagens distintas, ou seja,

x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2).

Logo, podemos concluir que:

f nao e injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g

e injetora, pois nao existem dois paıses distintos com a mesma capital. h e



1.7. FUNC ˜ AO INVERSA 33

injetora, pois dois numeros naturais distintos possuem os seus dobros tambem

distintos. Assim e que concluımos que a alternativa correta e a de letra c).

1.7 Funcao inversa

Suponha que um cientista esteja analisando a producao de mel de uma colmeia.

Ele coleta dados desta producao com o tempo, registrando a producao de mel, em

litros, a cada intervalo de 1 hora. A Tabela 1.1 fornece alguns dos dados desta

experiencia. A producao de mel P e uma funcao do tempo t: P = f (t).

Tabela 1.1: Producao de mel como funcao do tempo.

t (h) P (l)

0 101 12

2 16

3 22

4 30

5 42

Suponha agora, que outro cientista analisando a mesma colmeia, queira analisar

o tempo necessario para que a producao de mel atinja certos nıveis em litros. Ou

seja, este outro cientista esta pensando em t como uma funcao de P (olhando a

Tabela 1.1 ao contrario). Essa funcao, chamada funcao inversa de f , e denotada

por f −1, e deve ser lida assim: “inversa de f ”. Logo, o tempo t e uma funcao do

volume de mel P : t = f −1(P ).

A funcao inversa e uma funcao em que trocamos as variaveis dependentes com as

variaveis independentes da funcao. No entanto, nem todas as funcoes admitem in-

versa, ou seja, existem restricoes para a existencia da funcao inversa. Para entender

estas restricoes, temos que pensar sobre o que e a funcao inversa e das definicoes da

funcao sobrejetora, injetora e bijetora. Se f (x) = y, isto significa que f transforma

x em y, entao a sua inversa, f −1 transforma y de volta em x. Ou seja, a relacao

entre o domınio e a imagem da funcao f e invertida para a funcao f −1.

domınio de f −1 = imagem de f

imagem de f −1 = domınio de f

Esta relacao so pode ser invertida se a funcao for bijetora, pois neste caso seu

contradomınio e igual ao seu conjunto imagem (sobrejetora), permitindo a troca

entre o domınio e a imagem; e elementos distintos do seu domınio possuem imagens

distintas (injetora), permitindo que f −1 seja definida de forma unica.

Graficamente, podemos determinar se uma funcao e injetora e, portanto, se

podera admitir inversa, caso tambem seja sobrejetora, atraves do teste da reta




horizontal. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o grafico

da funcao em apenas um ponto para que a fun cao seja injetora, pois, se uma reta

horizontal intercepta o grafico de f em mais de um ponto, entao, isto significa que,

existem numeros x1 e x2 tais que f (x1) = f (x2). Ou seja, neste caso f nao e uma

funcao injetora (Figura 1.8).

Figura 1.8: Exemplificacao do teste da reta horizontal para uma fun cao f nao injetora,

pois a reta intercepta mais de um ponto do grafico de f . (Imagem retirada da referencia:

Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

Na Figura 1.9, temos um diagrama de flechas, onde pode-se observar que a

funcao f admite inversa pois e bijetora, enquanto a funcao g nao admite inversa

(mais de um elemento distinto do seu domınio (3 e 2) possui a mesma imagem (4)).

Figura 1.9: Diagrama de flechas das funcoes f (bijetora) e g (nao bijetora). (Imagem

retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

Agora que sabemos o que sao funcoes inversas, vamos ver agora como calcular

estas funcoes. Se tivermos uma funcao y = f (x) (f e bijetora) e formos capazes de



1.7. FUNC ˜ AO INVERSA 35

isolar x nessa equacao escrevendo-o em funcao de y, entao encontramos x = f −1(y).

Se quisermos voltar a chamar a variavel independente de x, devemos trocar x por

y na expressao encontrada e chegamos a equacao y = f −1(x).

Para fazermos o grafico da funcao inversa basta tracarmos a reta y = x e obser-

varmos a simetria. O grafico de f −1 e obtido refletindo o grafico de f em torno da

reta y = x, como ilustrado na Figura 1.10.

Figura 1.10: Exemplificacao da simetria em torno da reta y = x dos graficos de f e

f −1. (Imagem retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage

Learning, 2010.)

Exemplo 14 - Encontre a funcao inversa de f (x) = x3 + 5.

(1º passo) escrevemos y = f (x)

y = x3 + 5;

(2º passo) isolamos x na equacao, escrevendo-o em termos de y

x3 = y − 5 =⇒ x = (y − 5)1/3;

(3º passo) para expressar f −1 como uma funcao de x, trocamos x por y.

A equacao resultante e y = f −1(x) (funcao inversa de f ).

f −1(x) = (x − 5)1/3.

Exemplo 15 - Encontre a funcao inversa de f (x) = 3x + 2

(1º passo) y = 3x + 2;

(2º passo) x = y − 2

3 ;

(3º passo) f −1(x) = x − 2

3 .





28. a) O que e uma funcao bijetora? b) A partir do grafico, como dizer se uma

funcao e injetora?

29. Se f for uma funcao injetora tal que f (2) = 9, quanto e f −1(9)?

30. Verifique se a funcao f admite inversa (dica: verifique se a funcao e bijetora).

a) x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1,5 2,0 3,6 5,3 2,8 2,0

b) x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1 2 4 8 16 32

c) f (x) = 1

2(x + 5)

d) g(x) = |x|

31. Dado f (x) =√

10 − 3x. Encontre a formula para a funcao inversa f −1(x).

32. Dado f (x) = 4x − 1

2x + 3 . Encontre a formula para a funcao inversa f −1(x).

33. Dado as funcoes abaixo encontre as formulas das funcoes inversas.

a) 2x + 3

b)√

4x

c) x2 + 1

1.8 Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Veremos agora outros dois tipos de funcoes que fazem parte da nossa vida diaria.

Estamos falando da funcao exponencial e da funcao logarıtmica.

1.8.1 Funcao Exponencial

A funcao exponencial ocorre frequentemente em modelos matematicos que des-

crevem processos da natureza e da sociedade. Esta e utilizada na descricao do

crescimento populacional, e tambem no fenomeno de decaimento radioativo.

Potenciacao

Se a e um numero real e n e inteiro e positivo, a expressao an representa o produto

de n fatores iguais a a, ou seja:

an = a × a × a . . . × a n

, (1.1)

nessa expressao a e denominado base e n o expoente.



1.8. FUNC ˜ OES EXPONENCIAIS E LOGAR ITMICAS 37

Sendo n um numero inteiro e positivo define-se:

a−n = 1

an

= 1

an . (1.2)

Sendo a um numero real positivo, e m e n numero inteiros e positivos, define-se:

an/m = m√

an (1.3)

Propriedades - Regras basicas da potenciacao

1. ax+y = axay

2. ax−y = ax

ay

3. (ax)y = axy

4. (ab)x = axbx

Funcao Exponencial

A funcao f : R → R e dada por f (x) = ax com a = 1 e a > 0 e denominada

funcao exponencial de base a e definida para todo x ∈ R. Sao exemplos de funcoes

exponenciais

f (x) = 2x, f (x) = 1

3x

, f (x) = 3x .

O numero e

Dentre todas as bases possıveis para a funcao exponencial, existe uma que e

mais conveniente para aplicacao em calculo. Na escolha de uma base a pesa muito

a forma como a funcao y = ax cruza o eixo y. Portanto devemos analisar a inclinacao

da reta tangente neste ponto. A reta tangente a uma curva e aquela intercepta a

curva em um unico ponto. Quando escolhemos a base e, a inclinacao desta reta e

exatamente 1. O valor correto de e ate a quinta casa decimal.

e = 2, 71828 (1.4)

Grafico

O comportamento da funcao exponencial e caraterizado pela sua base. A funcao

e decrescente quando a base esta entre (0, 1) e crescente quando esta e maior do que a

unidade. Na Figura (1.11) apresentamos o grafico de algumas funcoes exponenciais.

Note que todas as curvas se interceptam no par ordenado (0, 1), nao importando

qual seja a base.




Figura 1.11: Funcao exponencial.


Resolva os seguintes exercıcios.

34. Esboce o grafico da funcao y = 3 − 2x e determine seu domınio e imagem.

35. Esboce o grafico da funcao y = 12e−x−1 e estabeleca o seu domınio e imagem.

36. Sob condicoes ideais sabe-se que uma certa populacao de bacterias dobra a

cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bacterias. Encontre (a)

a populacao apos 15 horas, (b) a populacao apos t horas. (c) A populacao

apos 20 horas.

37. Um isotopo de sodio 24Na, tem uma vida media de 15 horas. Uma mostra

desse isotopo tem massa 2g. Encontre (a) a quantidade remanescente apos 60

horas. (b) A quantidade remanescente apos t horas. (c) Estime a quantidade

remanescente apos 4 dias.

1.8.3 Funcao Logarıtmica

A funcao inversa da funcao exponencial e a funcao logarıtmica. A funcao e

definida como

f (x) = loga x, a > 0, a = 1 (1.5)

A funcao logaritmo e definida pra x ∈ (0, ∞) e tem imagem I m(f ) = R. Quando

a base do logaritmo e e, chamamos logaritmo natural.

loge x = ln x (1.6)

Propriedades - As funcoes logarıtmicas tem as seguintes propriedades

1. loga(b· c) = loga b + logac



1.8. FUNC ˜ OES EXPONENCIAIS E LOGAR ITMICAS 39

2. loga

b

c

= loga b − logac

3. loga(bn) = n loga b

Na Figura (1.12) apresentamos o grafico da funcao logarıtmica na base e (grafico

de ln x).

Figura 1.12: Funcao logarıtmica de base e.

Exemplo 14 - Vamos encontrar o valor do logarıtmo de base 10 de 100 (log10

100,

que por convensao tambem e escrito da forma log 100).

Podemos escrever log 100 = y. Das operacoes com logarıtmo temos

100 = 10y

102 = 10y, donde encontramos que

y = 2, ou seja,

log 100 = 2.


Resolva os seguintes exercıcios.

38. Resolva a equacao e5−3x = 10.

39. Calcule log8 5.

40. Esboce o grafico da funcao y = ln(x − 2) − 1.

41. Se a populacao de bacterias em um experimento comeca com 100 e dobra a

cada tres horas. (a) Encontre o numero de bacterias apos t horas. (b) Encontre

a funcao inversa e explique o seu significado. (c) Quando a populacao atingira

50 000 bacterias?




Figura 1.13: Representacao de um arco de circunferencia.

1.9 Funcoes trigonometricas

O estudo dos angulos e as relacoes angulares em figuras planas ou tridimensionais

e conhecida como trigonometria. As funcoes trigonometricas sao mais faceis de

serem definidas utilizando um cırculo unitario, como mostra a Figura (1.14). Porem,

antes de comecarmos o estudo das relacoes trigonometricas, precisamos entender o

significado de graus e sua relacao com radianos.

Relacao entre graus e radianos

Podemos entender por grau ou radiano como sendo a unidade de medida polar

de um arco de circunferencia, ou seja, e a unidade do angulo existente entre dois

eixos que definem um arco de circunferencia. A Figura 1.13 mostra a representacao

de um arco de circunferencia, onde R e o raio da circunferencia, L e o arco e θ e o

angulo entre os dois eixos.

Escrevemos a medida do angulo θ em graus (°) ou radianos (rad). Quando damos

uma volta completa na circunferencia, andamos 360°. Assim, 14 da circunferencia

equivale a 90° ou um angulo reto.

Equivalente a medida em graus, podemos escrever medidas de angulos em radi-

anos. A relacao entre graus e radianos pode ser dada por

π rad = 180°

que equivale ao angulo de metade de uma circunferencia. Dessa relacao, temos

tambem que uma volta completa 360° = 2π rad.

Relacoes trigonometricas

Com a relacao acima em mente, podemos definir agora as relacoes trigonometricas.



1.9. FUNC ˜ OES TRIGONOM ETRICAS 41

Figura 1.14: Cırculo de raio unitario.

Definic˜ ao - Seja θ o angulo medido no sentido anti-horario a partir do eixo x, ao

longo do cırculo. Entao o cos θ e coordenada horizontal do fim do arco de

cırculo e sua componente vertical o senθ. A razao entre senθ e cos θ e definido

como tan θ. As definicoes no cırculo implicam que as funcoes trigonometricas

sao periodicas com perıodo 2π.

Um triangulo retangulo tem tres lados, os quais sao identificados como hipotenusa,

cateto adjacente a um dado angulo θ e cateto oposto ao angulo. Quando a hipotenusa

e igual a um, como mostrado na Figura (1.14), senθ e cos θ sao iguais aos lados

oposto e adjacente respectivamente. Portanto, do teorema de Pitagoras podemos

tirar a identidade trigonometrica fundamental

1 = sen2θ + cos2 θ . (1.7)

1.9.1 Funcoes Trigonometricas

A definicao das funcoes trigonometricas atraves do cırculo de raio unitario forneceuma interpretacao geometrica para cada uma das funcoes trigonometricas. Entre-

tanto podemos tambem fazer a definicao algebrica destas funcoes. Alem disso, ver-

emos que para cada funcao trigonometrica existe uma correspondente que e igual a

1 sobre a funcao.

Funcao seno e cossecante

A funcao seno e definida como

f (x) = senx , D(f ) = R , I (f ) = [−1, 1] . (1.8)




Figura 1.15: Representacao grafica da cossecante (cosseca ou csca) como escrito no

padrao ingles) e da secante (sec a), onde θ = a).

Na Figura 1.14 podemos ver como a funcao sen e definida atraves do cırculo

trigonometrico. Por sua vez, definimos a funcao cossecante como

f (x) = cossecx = 1

senx , D(f ) = {x ∈ R | x = nπ},

com n ∈ Z , I (f ) = {R | 1 < |x|}. (1.9)

A definicao geometrica da cossecante e dada pela distancia entre y = 0 ate o

ponto de interseccao entre uma reta (ponto U na Figura 1.15), que passa pelo ponto

onde uma reta que sai do centro e intersecciona a circunferencia trigonometrica

fazendo um angulo θ com a horizontal (ponto M na Figura 1.15), e o eixo y. O

angulo entre tal reta e o eixo y e o mesmo que a reta que passa pelo centro faz com

o eixo x (ver Figura 1.15 onde θ = a).

Na Figura (1.16) mostramos o grafico da funcao seno e cossecante.

Funcao cosseno e secante

Definimos a funcao cosseno para dado f (x) tal que

f (x) = cos x , D(f ) = R , I (f ) = [−1, 1] . (1.10)

A funcao secante e definida como

f (x) = sec x = 1

cos x, D(f ) = {x ∈ R | x = n π

2 },

com n ∈ Z , I (f ) = {R | 1 < |x|} .

(1.11)




Figura 1.16: funcao senx linha cheia e funcao cossecx linha pontilhada.

A definicao geometrica da secante e dada pela distancia entre x = 0 ate o ponto

de interseccao entre uma reta (ponto V na Figura 1.15), que passa pelo ponto onde

outra reta que sai do centro O intersecciona a circunferencia trigonometrica fazendo

um angulo θ com a horizontal (ponto M na Figura 1.15), e o eixo x (ver Figura 1.15

onde θ = a).

Na Figura (1.17) apresentamos o grafico das funcoes cosseno e secante.

Figura 1.17: Funcao cosx e secx.

Funcao tangente e cotangente

Seguindo com as definicoes vamos examinar a tangente e a cotangente. Definimos

uma funcao f (x) tal que




Figura 1.18: Representacao trigonometrica da tangente (esquerda) e da cotangente

(direita).

f (x) = tgx , D(f ) = {x ∈ R | x = π2 + nπ} ,

com n ∈ Z , I (f ) = R .(1.12)

A definicao geometrica da tangente e dada pela reta que toca o cırculo trigonometrico

e e perpendicular ao eixo x. A medida da tangente e tomada por sua projecao sobre

o eixo y para cada angulo θ. Na Figura 1.18 temos a representacao de alguns valores

da tangente para valores de θ dados.

Por sua vez, a funcao cotangente e definida a partir de

f (x) = cotgx = 1

tgx , D(f ) = {x ∈ R | x = nπ} ,

com n ∈ Z , I (f ) = R .

(1.13)

A definicao geometrica da cotangente e dada pela reta que toca o cırculo trigonometrico

e e perpendicular ao eixo y , como mostrado na Figura 1.18.

A Figura 1.19 mostra o grafico das funcoes tangente e cotangente para os valores

de x.

1.9.2 Funcoes Trigonometricas Inversas

Quando tentamos encontrar as funcoes inversas trigonometricas, temos uma

dificuldade. Como as funcoes trigonometricas nao sao injetivas, elas nao tem funcoes

inversas. A dificuldade e superada restringindo-se o domınio dessas funcoes de forma

a torna-las injetoras. As funcoes inversas sao chamadas arcsen, arccos e arctan. A




Figura 1.19: Funcao tgx linha cheia e funcao cotgx.

inversa da funcao seno e a funcao arcsen

f (x) = arcsenx , D(f ) = [−1.1], I (f ) =−π

2, π

2

(1.14)

A inversa da funcao cosseno e definida de modo similar

f (x) = arccos x , D(f ) = [−1.1], I (f ) = [0, π] (1.15)

A funcao tangente pode ser tomada no intervalo−π

2, π2

. Assim a funcao inversa

da tangente e definida como f (x) = arctgx. Diferentemente das funcoes arcsen e

arccos em que o domınio e definido no intervalo [−1, 1], a funcao arctg tem domınioem todo o conjunto dos reais.

f (x) = arctgx , D(f ) = R, I (f ) =−π

2, π

2

(1.16)

A Figura (1.20) mostra as tres funcoes trigonometricas inversas.


Resolva os seguintes exercıcios

42. Se cos θ = 25 e 0 < θ < π

2 , determine as outras funcoes para este angulo.

43. Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2π] tal que senx = sen2x.

44. Esboce o grafico das seguintes funcoes em um perıodo: y = 4sen(x), y =

1 + senx, y = sen(x − π2 ), y = cos(x − π

2 ), y = 2sen(x4 ). Determine seu

domınio e imagem.

45. Determine o perıodo das funcoes: y = sen6x, y = sen(x3 ), y = 5sen4x, y =

4sen(2x + π6 ).

46. Calcule: arcsen(12), arccos√

32

e tg

arcsen(13)

.




Figura 1.20: Funcoes trigonometricas inversas arccos x linha cheia, arcsenx linhatracejada vermelha e arctgx linha tracejada azul.

1.10 Respostas dos exercıcios propostos

1. D = {x ∈ R / x = −4}; Im{y ∈ R / y = 0}

2. D = {x ∈ R / x −3}; Im{y ∈ R / y > 0}

3. D =

x ∈ R / x −52 e x = 2

4. a) ımpar b) par c) ımpar d) ımpar e) par f) par g) sem paridade h)

par i) ımpar j) par k) par l) par m) par

5. e)

6. a)

7. x = 21

40

8. c)

9. a)

10. c)

11. c)

12. a)

13. e)

14. b)

15. −1 e 5

16. ±4



1.10. RESPOSTAS DOS EXERC ICIOS PROPOSTOS 47

17. 8

18. a) g(x) = f (x) + 3 b) g (x) = f (x) − 5 c) g(x) = f (−x)

d) g(x) = f (x + 4) e) g(x) = 2f (x) f) g(x) = −f (x)

g) g (x) = 1

6f (x)

19. a) expansao vertical do grafico de f (x) por um fator 6;

b) reflexao em torno do eixo x do grafico de f (x);

c) expansao vertical do grafico de f (x) por um fator 6 seguida de uma reflexao

em torno do eixo x;

d) deslocamento vertical em 2 unidades para baixo do grafico de f (x) seguido

de uma expansao vertical por um fator 6.

20. a) b)

21.

22. (f + g)(x) = x3 + 5x2 − 1, D = (−∞, +∞)

(f − g)(x) = x3 − x2 + 1, D = (−∞, +∞)

(f.g)(x) = 3x5 + 6x4 − x3 − 2x2, D = (−∞, +∞)

f

g

(x) =

x3 + 2x2

3x2 − 1 , D =

x | x = ± 1√

3




23. (f.g)(x) =

√ x − 1

x , D = [1, +∞)

(f /g)(x) = x√

x−

1, D = [1, +∞

)

24.a) (f ◦ g)(x) = (2 − x)1/4, D(f ◦ g) = (−∞, 2]

b) (g ◦ f )(x) =

2 − √ x, D(g ◦ f ) = [0, 4]

c) (f ◦ f )(x) = x1/4, D(f ◦ f ) = [0, +∞)

d) (g ◦ g)(x) =

2 − √ 2 − x, D(g ◦ g) = [−2, 2]

25. (f ◦ g ◦ h)(x) = (x + 3)10

(x + 3)10 + 1

26. a) x2 b) 3x

27. √

x

28. a) Uma funcao f e chamada de funcao bijetora quando ela e injetora (nunca

assume o mesmo valor duas vezes) e sobrejetora (seu conjunto imagem e igual

ao seu contradomınio).

b) O grafico deve satisfazer ao teste da reta horizontal, ou seja, qualquer reta

horizontal deve interceptar o grafico da funcao no maximo em um ponto desta.

29. 2

30. a) nao b) sim c) sim d) nao

31. f −1(x) = −1

3x2 +

10

3

32. f −1(x) = 3x + 1

4 − 2x

33. a) f −1(x) = x − 3

2

b) f −1(x) = x2

4

c) 2x2

−2

34. D = R; I = (−∞, 3)

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4



1.10. RESPOSTAS DOS EXERC ICIOS PROPOSTOS 49

35. D = R; I = (0, +∞)

4 2 0 2

4

0

2

4

6

8

1 0

36. a) N = 3200 bacterias b) N (t) = 2t

3 · 100 c) N = 10159 bacterias

37. a) M = 0, 125 g b) M (t) = 21−t/15(g) c) M = 0.0236830714 g

38. x = 0.899138302

39. 0.773976032

40.

2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

6

5

4

3

2

1

0

1

41. a) N (t) = 2t

3 · 100

b) t = 3· log2

N

100

. Agora temos o tempo em funcao do numero de bacterias.

c) Apos t 26, 9 horas.

42. senθ =

√ 21

5 ; tgθ =

√ 21

2

43.

0, π

3, π, 2π

44.

0

π

2

π 3 π

2

2 π

5 π

2

3 π

7 π

2

4 π

9 π

2

5 π

1 1 π

2

6 π

1 3 π

2

7 π

1 5 π

2

8 π

4

3

2

1

0

1

2

3

4

4 s e n ( x )

1 + s e n ( x

)

s e n ( x −

π

2

)

c o s ( x −

π

2

)

2 s e n (

x

4

)




45. π

3, 6π,

π

2, π

46. π

6,

π

6, 0, 35...



Capıtulo 2

Limites de funcoes e funcoes

contınuas

2.1 Limites de funcoes1

Desejamos saber o que acontece com os valores de uma funcao f (x) quando x

se aproxima de um dado ponto a.

Por exemplo, se

f (x) = 2x − 3

o que acontece com os valores de f (x) quando x assume valores proximos de 4?

Se h(t) representa a altura de uma arvore no instante t, o que acontece com osvalores h(t) quando t assume valores arbitrariamente grandes?

Observe a tabela abaixo para a funcao f (x) = 2x − 3.

x 3.8 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.2

f (x) 4.6 4.8 4.98 5 5.02 5.2 5.4

Vemos nesta tabela que quanto mais proximo de 4 tomamos o ponto x, mais o

valor f (x) se aproxima de 5. Diremos que o limite de f (x) quando x tende a 4 e 5.

Na verdade podemos fazer com que f (x) se aproxime de valores proximos de 5

quanto desejarmos, somente aproximando os valores de x o suficiente do valor 4.Por exemplo, se desejamos aproximar x de tal modo que a diferenca em f (x)

seja menor que 0.03, isto e

|f (x) − 5|< 0.03,

Para verificar isso, vamos ver como a desigualdade acima se comporta. Substi-

tuindo acima f (x) = 2x − 3, temos

1As Secoes 2.1, 2.2 e 2.3 foram baseadas no livro Kuelkamp, Nilo - C alculo I, 2ª ed. 2001,

Editora da UFSC. Portanto, qualquer semelhanca nao e mera coincidencia.

51



52 CAP ITULO 2. LIMITES DE FUNC ˜ OES E FUNC ˜ OES CONT INUAS

|2x − 3 − 5|< 0.03

ou seja,

|2x − 8|< 0.03

2|x − 4|< 0.03

Isso equivale a

|x − 4|< 0.015

Disso, podemos dizer que, para aproximar f (x) mais proximos que 0.03 de 5,

devemos deixar x mais proximo que 0.015 do valor x = 4. Ou seja,

f (x) − 0.03 < 5 < f (x) + 0.03 desde que x − 0.015 < 4 < x + 0.015. (2.1)

Se agora trocarmos os numeros 0.03 e 0.15 por dois numeros positivos ε e δ ,

respectivamente, na expressao 2.1, temos

f (x) − ε < 5 < f (x) + ε desde que x − δ < 4 < x + δ. (2.2)

Assim, podemos escrever

|f (x)

−5

|< ε, (2.3)

e

|x − 4| < δ. (2.4)

Novamente, substituindo f (x) = 2x − 3 na expressao 2.3, encontramos

|x − 4|< ε

2.

Comparando a expressao acima com a expressao com a expressao 2.4, vemos

que

δ

≤

ε

2

,

ou seja, para f (x) = 2x − 3, aproximando x de 4 por um valor δ = ε

2, aproximamos

f (x) de 5 por um valor ε. Podemos escrever isso de outra forma do seguinte modo

|x − 4|< δ ⇒ |f (x) − 5| < ε,

ou equivalente,

x ∈ (4 − δ, 4 + δ ) ⇒ f (x) ∈ ( 5 − ε, 5 + ε).

Podemos representar o que foi discutido acima na forma grafica.



2.1. LIMITES DE FUNC ˜ OES 53

0 1

2 3 4 5

x

0

1

2

3

4

5

6

f

(

x

)

=

2

x

−

3

5 + ε

5 − ε

4 + δ

4 − δ

5 − ε

A partir desse exemplo, obtemos a seguinte definicao.

Definic˜ ao - Seja a funcao f definida no intervalo I, com a ∈ I. Dizemos que f (x)

tem limite L quando x tenda para a, se dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ I e 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

Simbolicamente, podemos escrever a definicao acima da forma

limx→a

f (x) = L.




x

a

a + δ

a − δ

L

L + ε

L − ε

f ( x )

Exemplo 1 - Seja f (x) = 4x2+5. Usando a definicao vamos mostrar que limx→0

f (x) =

5.

Queremos encontrar ε > 0 para que obtenhamos δ > 0, tal que

0 < |x − 0| < δ ⇒ |f (x) − 5| < ε.Para determinar um tal δ , partimos da desigualdade desejada e a transformamos

sucessivamente em outras, a ela equivalentes, ate que se torne facil de descobrir uma

condicao sobre |x − 0| que assegure a validade daquelas desigualdades.

Desejamos obter

|f (x) − 5| < ε.

Para isso, substituımos f (x) = 4x2 + 5 na expressao acima

|4x2 + 5 − 5| < ε

|4x2| < ε

4|x2| < ε

x2 < ε

4

|x| <

√ ε

2

|x − 0| <

√ ε

2 .




Dessa forma, podemos ver que

0 < |x − 0| <

√ ε

2

assegura que

|f (x) − 5| < ε.

Portanto, podemos tomar δ =

√ ε

2 , ou qualquer outro numero positivo menor do

que

√ ε

2 para que obtenhamos valores tao proximos de L= 5 quanto desejarmos.

Por exemplo, se queremos que o limite se aproxime de 5 mais que 1

100, tomamos

ε = 1

100 , ou qualquer numero positivo menor que esse, e calculamos o valor de δ

δ = 1

1002

=

1

102

= 1

20;

se queremos que os valores de f (x) se aproximem mais de 5 que ε = 1

10000,

δ =

1

100002

=

1

1002

= 1

200,

e assim por diante.

A seguir, veremos as propriedades dos limites que nos ajudam a calcular limites

sem precisar recorrer a forma usada no Exemplo 1. Cada propriedade e alicercada

por um teorema. As demonstracoes dos teoremas podem ser encontradas no livro

Kuelkamp, Nilo - C´ alculo I .

Propriedade 1 - (Unicidade do limite) Se limx→a

f (x) = L e limx→a

f (x) = M, entao L

= M.

Propriedade 2 - Se f (x) = c ∀ x ∈ R, entao para qualquer a ∈ R temos limx→a

f (x) =

c.

Propriedade 3 - Se limx→a

f (x) = L > M, entao existe δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M.


f (x) = 0 e g (x) e limitada no intervalo I−{a}, onde I e o

intervalo que contem o ponto a, entao limx→a

f (x).g(x) = 0.

Exemplo 2 - Sejam f (x) = x2 − 1 e g(x) = x3 + 3 3√

x2 − 500, mostre que

limx→1

f (x).g(x) = 0.

Vamos calcular limx→1

f (x)

limx→1

(x2 − 1) = 12 − 1 = 0




da propriedade 4 temos portanto que limx→1

f (x).g(x) = 0, o que iremos conferir

a seguir

limx→1(x2

− 1)(x3

+ 3 3

√ x2 − 500) == lim

x→1(x5 + 3x2 3

√ x2 − 500x2 − x3 − 3

3√

x2 + 500) =

= 0

Portanto, a solucao satisfaz a nossa demonstracao e a propriedade 4.


f (x) = L e limx→a

g(x) = M, entao:

a) limx→a

[f (x) ± g(x)] = L ± M.

b) Para qualquer c ∈ R, temos

limx→a

c.f (x) = c.L

c) limx→a

f (x).g(x) = L.M.

d) limx→a

f (x)

g(x) =

L

M desde que M = 0.

Observac˜ ao I - Decorre do item (c) que

limx→a

f (x)· f (x) = L· L = L2 = limx→a

[f (x)]2 =

limx→a

f (x)2

limx→a

f (x)· f (x)· f (x) = L· L· L = L3 = limx→a

[f (x)]3 =

limx→a

f (x)3

donde decorre a forma generalizada

limx→a

[f (x)· f (x)· f (x) . . . f (x) n×

] = limx→a

[f (x)]n =

limx→a

f (x)n

,

para qualquer n.

Exemplo 3 - Dadas f (x) = 2x + 7 e g(x) = x2 − 3, calcule os limites abaixo usando

a propriedade 5.

1. limx→−1

f (x)

limx

→−1(2x + 7) = 5.

2. limx→−1 g(x)

limx→−1

(x2 − 3) = −2.

3. limx→−1

(x2 + 2x + 4)

Usando a propriedade 5.a), temos

limx→−1

(x2 + 2x + 4) = limx→−1

[(2x + 7) + (x2 − 3)]

= limx→−1

f (x) + limx→−1

g(x)

= 5 − 2

= 3

.




4. limx→−1

(6 − 2x2)

Podemos usar a propriedade 5.b):

limx→−1

(6

−2x2) = lim

x→−1−2(x2

−3)

= −2· limx→−1

g(x)

= 4

.

5. limx→−1

2

3x3 +

7

3x2 − 2x − 7

Usaremos as propriedades 5.b) e 5.c) no calculo deste limite

limx→−1

2

3x3 +

7

3x2 − 2x − 7

= lim

x→−11

3(2x3 + 7x2 − 6x − 21)

= limx→−1

1

3(2x + 7)(x2 − 3)

= limx→−1

1

3f (x)· g(x)

= 13· 5· (−2)

= −10

3

.

6. limx→−1

(x3 + x2 − 3x − 3)

(2x2 + 9x + 7)

limx→−1

(x3 + x2 − 3x − 3)

(2x2 + 9x + 7) = lim

x→−1(x2 − 3)(x + 1)

(2x + 7)(x + 1)

= limx→−1

(x2 − 3)

(2x + 7)

= limx→−1

g(x)

f (x)

= −

2

5= −2

5onde usamos a propriedade 5.d).

Propriedade 6 - Sejam a, b ∈ R, 0 < b = 1 e n ∈ N. Entao temos

a) limx→a

senx = sena

b) limx→a

cos x = cos a

c) limx→a

bx = ba

d) limx→a

logb x = logb a

e) limx→a

n√

x = n√

a, ∀ n se a 0

n ımpar se a < 0.


f (x) = b e limy→b

g(y) = L, entao limx→a

(g◦f )(x) = L, desde

que L = g(b). Em outras palavras

limx→a

g(f (x)) = g(limx→a

f (x)).

Exemplo 4 - Seja f (x) = x2 + 1 e g(x) =√

x, entao

limx→1

f (x) = limx→1

(x2 + 1) = 2




e

limx→2

g(x) = limx→2

√ x = √ 2

portanto, da propriedade 7, temos

limx→1

(g◦f )(x) =√

2.

Propriedade 8 - Sejam b ∈ R, 0 < b = 1 e n ∈ N. Se limx→a

f (x) = L, entao

a) limx→a

senf (x) = senL

b) limx→a

cos f (x) = cosL

c) limx→a bf (x) = bL

d) limx→a

logb f (x) = logb L, desde que L > 0

e) limx→a

n

f (x) =

n√

L

∀ n se L 0

n ımpar se L < 0.

Propriedade 9 - Se f (x) h(x) g(x) para todo x num intervalo aberto I − {a},

e se limx→a

g(x) = limx→a

f (x) = L, entao limx→a

h(x) = L.

Exemplo 5 - Calcular os limites.

1. limx→1

x2 + 5x − 1

2x − 12

limx→1

x2 + 5x − 1

2x − 12 =

12 + 5· 1 − 1

2· 1 − 12 =

5

−10 = −1

2

2. limx→π

(x2 + cos x)

limx→π

(x2 + cos x) = limx→π

x2 + limx→π

cos x = π2 + cos π = π2 − 1

3. limx→−2(x3 − 2x)4

Da observacao I, temos

limx→−2

(x3 − 2x)4 =

limx→−2

(x3 − 2x)

4= [(−2)3 − 2· (−2)]4

= (−8 + 4)4

= (−4)4

= 256.




4. limx→−3

3 x4 + 9x3 + 10x2

−x + 5

= 3

(−3)4 + 9(−3)3 + 10(−3)2 − (−3) + 5

= 3√ −64 = −4.

5. limx→π/2

x· senx

x + 1

=

π

2· sen

π

2π

2 + 1

=

π

2· 1

π + 2

2

= π

π + 2.

6. limx→5

ln(x3 − 3x2 − 30)

= ln(53 − 3· 52 − 30)

= ln 20 = ln(5· 22) = ln5 + ln 22 = ln 5 + 2 ln 2.

7. limx→−2

2x2+3x+5

= 2(−2)2+3(−2)+5 = 23 = 8.

2.1.1 Exercıcios propostos

1. Seja f (x) = 4x2 − 11x + 6

x − 2 . Para cara ε dado, determine δ tal que |f (x)−5| <

ε sempre que 0 < |x − 2| < δ .

a) ε = 4 b) ε = 2

c) ε = 1 d) ε = 0, 08

Sugest˜ ao: Simplifique a fracao que define f por x − 2.

2. Calcule os limites.

a) limx→−1

(3x2 − 7x − 4) b) limx→6

x2 − 12x + 36

x − 5

c) limx→−2

5x2 + 3x + 2 d) lim

x→−3log(x4 − 3x + 10)

e) limx→π

cos x· sen(x + π) f) limx→−π

esenx




2.2 Limites laterais

Ate agora, analisamos o comportamento de f (x) quando x se aproxima de a tanto

por um lado como pelo outro sem fazer distincao, ou seja, sem determinar se x seaproxima de a pela esquerda (para valores de x menores que a ou x : −∞ → a) ou

pela direita (para valores de x maiores que a ou x : +∞ → a). Agora analisaremos

esses dois casos separadamente.

Definic˜ ao - Seja f : (a, b) → R uma funcao.

Diremos que f (x) tem limite L quando x tende para a pela direita

limx→a+

f (x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

Diremos que f (x) tem limite L quando x tende para b pela esquerda

limx→b−

f (x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e b − δ < x < b ⇒ |f (x) − L| < ε.

limx→a+

f (x) = L limx→b−

f (x) = L

As propriedades vistas para limites tambem valem para o limites laterais e tem

demonstracoes analogas.

Exemplo 5 - Consideremos a funcao

f (x) =

x2, se x < 2

1, se x = 2

4 − x, se x > 2

.

Entao temos



2.2. LIMITES LATERAIS 61

limx→2−

f (x) = limx→2−

x2 = 4

e

limx→2+

f (x) = limx→2−

(4 − x) = 2.

Observe que f (2) = 1, ou seja, f (2) = 4 e f (2) = 2. Portanto os limites

laterais sao ambos diferentes do valor no ponto x = 2.

Propriedade 10 - Seja a ∈ I, onde I e um intervalo aberto e, seja f (x) tal que

f : I − {a} → R uma funcao. Entao f (x) tem limite L quando x tende a a se,

e somente se, f (x) possuir limite L quando x tende a a pela esquerda e pela

direita, ou seja,

limx→a

f (x) = L⇐⇒

limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x) = L

Exemplo 6 - Seja

f (x) =

x3 + 1, se x < 1

3, se x = 1

x + 1, se x > 1

.

Entao temos

limx→1+

f (x) = limx→1+

(x + 1) = 2

e

limx→1−

f (x) = limx→1−

(x3 + 1) = 2

Assim, pela propriedade 10 temos que limx→1

f (x) = 2.

[Observe que f (1) = 3 = 2 = limx→1±

f (x).]

Exemplo 7 - Seja a funcao

f (x) =

x2 − 2x, se x 3

4 − x, se x > 3.

Entao,limx→3+

f (x) = limx→3+

(4 − x) = 1

e

limx→3−

f (x) = limx→3−

(x2 − 2x) = 3.

Vemos que limx→3+

f (x) = limx→3−

f (x). Assim, pela propriedade 10, nao existe

limite de f (x) quando x tende a 3, ou seja,

limx→3

f (x) = .





3. Para cada funcao a seguir, calcule limx→a+

f (x), limx→a−

f (x) e limx→a

f (x) caso este

exista.

a)f (x) =

3 − x2 se x < 0

2x se x 0

a = 0

b) f (x) =

x2 − 3x − 4

x − 4a = 4

c)f (x) =

x2 − 4x − 1 se x < 2

2 − x se x > 2

a = 2

d)f (x) =

2x + 3 se x < −1

−x se x > −1

0 se x = −1

a = −1

2.3 Indeterminacoes

Vamos agora calcular o limite limx→1

2x3 − 2

1 − xVemos que neste caso nao podemos aplicar a propriedade 5, ja que o denomi-

nador possui limite 0. Resolvemos agora esse limite de uma maneira diferente

limx→1

2x3 − 21 − x

= limx→1

2(x3 − 1)−(x − 1)

= limx→1

−2(x2 + x + 1)(x − 1)

(x − 1)

= limx→1

−2(x2 + x + 1)

= −2.3

= −6

No calculo de limites de funcoes, podemos encontrar outras expressoes cujos valores

nao sao imediatamente determinados. Ao todo, sao sete os sımbolos de indeter-

minacao:

0

0 , ∞∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ e ∞0

Durante o calculo de limites, sempre que chegarmos a um destes sımbolos, pre-

cisamos buscar uma alternativa para obter o valor do limite. Quando fazemos isto,

estamos fazendo o levantamento da indeterminac˜ ao.

Exemplo 8 - Calcule os limites.

1. limx→3

x − 3

x2 − 9.

Temos aqui uma indeterminacao do tipo 0

0 e usamos da fatoracao para



2.3. INDETERMINAC ˜ OES 63

levanta-la. Assim procedendo, temos

limx

→3

x − 3

x2

−9

= limx

→3

x − 3

(x + 3)(x−

3)

= limx→3

1x + 3

= 1

6

2. limx→1

x3 − 4x2 + 3x

x2 + 3x − 4 .

Este problema e analogo ao anterior. Para obter a fatoracao dividire-

mos numerador e denominador por x − a, onde a = 1. Fazendo isso,

obtemos

limx→1

x3 − 4x2 + 3x

x2 + 3x − 4 = lim

x→1

(x − 1)(x2 − 3x)

(x − 1)(x + 4)

= limx→1

x2 − 3x

x + 4

= −2

5

.

3. limx→4

√ x − 2

x − 4 .

Para resolver essa indeterminacao, o produto notavel a2 − b2 = (a +

b)(a − b) pode nos ajudar quando o aplicamos ao denominador

limx→4

√ x − 2

x − 4 = lim

x→4

(√

x − 2)

(x − 4) · (

√ x + 2)

(√

x + 2)

= limx→4

x − 4

(x − 4)(√

x + 2)

= limx→4

1√ x + 2

= 1

4.

4. limx

→−8

3√

x + 2

x + 8 .

Neste problema, faremos a substituicao de variavel y = 3√

x, donde ob-

servamos que x = y3. Portanto, quando x → −8 temos y → −2. Assim

limx→−8

3√

x + 2

x + 8 = lim

y→−2y + 2

y3 + 8

= limy→−2

y + 2

(y + 2)(y2 − 2y + 4)

= limy→−2

1

y2 − 2y + 4

= 1

12.




5. limx→1

4√

x − 16√

x − 1.

Para extrair as raızes deste problema, faremos uma substituicao de variaveis

do tipo x = yn, onde a potencia n deve ser um numero que e divisıvel

tanto por 4 como por 6. O primeiro numero dentro dessa condicao e 12,

logo x = y12, onde y > 0. Assim, quando x → 1 temos y → 1, de modo

que

limx→1

4√

x − 16√

x − 1 = lim

y→1

4

y12 − 16

y12 − 1

= limy→1

y3 − 1

y2 − 1

= limy→1

(y − 1)(y2 + y + 1)

(y − 1)(y + 1)

= limy→1

(y2 + y + 1)

(y + 1)

= 3

2.

6. limt→−1

2t3 + 3t2 − 1

3t2 + 5t + 2 .

limt→−1

2t3 + 3t2 − 1

3t2 + 5t + 2 = lim

t→−1(2t2 + t − 1)(t + 1)

(3t + 2)(t + 1)

= limt→−1

(2t2 + t − 1)

(3t + 2)

= 0−1= 0

.



2.4. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 65

2.3.1 Exercıcios propostos

4. Calcule os limites.

a) limx→2

x2 + 5x

−14

x − 2 b) limx→3

x2

−6x + 9

x − 3

c) limx→−2

2x2 + x − 6

x + 2 d) lim

x→−35x3 + 23x2 + 24x

x2 − x − 12

e) limx→−1

x3 + 65x2 + 63x − 1

x + 1 f) lim

x→2

x4 − 3x2 − 4

x − 2

g) limx→4

2x3 − 13x2 + 17x + 12

x2 − 6x + 8 h) lim

x→1

x5 − x3 − 5x2 + 5

x2 + x − 2

i) limh→0

(a + h)2

−a2

h j) limh→0

(a + h)3

−a3

h

k) limt→1

t4 − 1

t − 1 l) lim

t→1

t5 − 1

t − 1

m) limx→0

√ 16 − x − 4

x n) lim

x→27

3√

x − 3

x − 27

o) limx→9

x2 − 9x√ x − 3

p) limx→1

3√

x − 1√ x − 1

q) limx→1

4√

x3

−1

6√ x − 1 r) limx→32

5√

x

−2

x − 32

s) limx→5

2(x − 3) − 2

x − 5 t) lim

h→0

h

a − √ a2 + h

, (a > 0)

u) limx→0

√ a + h − √

a

h , (a > 0) v) lim

h→0

3√

a + h − 3√

a

h

2.4 Limites no infinito e limites infinitos

2.4.1 Limites no infinito

Nas secoes anteriores deste capıtulo analisamos o comportamento de uma funcao

f (x) quando x se aproxima de um ponto a. Nesta secao voltaremos nossa atencao

para duas situacoes.

A primeira consiste na analise do comportamento de uma funcao f (x) quando

x assume valores positivos arbitrariamente grandes, ou valores negativos de modulo

arbitrariamente grande.

A segunda e um caso em que o limite da funcao nao existe, pois seu valor nao se

aproxima de numero algum. E o caso em que a funcao assume valores (positivos ou




negativos) de modulo arbitrariamente grande. Quando esses valores sao positivos,

dizemos que a funcao tende a +∞, e quando sao negativos, dizemos que a funcao

tende a −∞. Observe que −∞ e +∞ nao sao numeros; sao sımbolos usados para

indicar o que acontece com os valores assumidos pela funcao.

Vamos analisar a funcao f (x) = 1

x.

x −100000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000

f (x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

Vemos que para x positivo muito grande (x → +∞), esta funcao tende a zero

(f (x) → 0), o mesmo sendo verificado para x negativo de modulo muito grande,

(x → −∞). Assim, podemos dizer que

limx→±∞

1

x = 0.

Definic˜ ao - Seja a funcao f (x) definida no intervalo (a, +∞). Entao,

limx→+∞

f (x) = L

toda vez que o numero L satisfizer a condicao de que, para qualquer ε > 0,existe A > 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x > A.

Definic˜ ao - Seja a funcao f (x) definida no intervalo (−∞, b). Entao,

limx→−∞

f (x) = L

toda vez que o numero L satisfizer a condicao de que, para qualquer ε > 0,

existe B < 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x < B .

Teorema - Se n e um numero inteiro positivo, entao




limx→+∞

1

xn = 0 e lim

x→−∞1

xn = 0.

Exemplo 9 - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x→

+∞

.

a) f (x) = x2 − 1

x2 + 1

limx→+∞

x2 − 1

x2 + 1 = lim

x→+∞

x2

x2 − 1

x2

x2

x2 +

1

x2

= limx→+∞

1 − 1

x2

1 + 1

x2

= 1

b) f (x) = 4x4 − x2

3x4 + x3

limx→+∞

4x4 − x2

3x4 + x3 = lim

x→+∞

4x4

x4 − x2

x4

3x4

x4 +

x3

x4

= limx→+∞

4 − 1

x2

3 + 1

x

= 4

3

Exemplo 10 - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x → −∞.

a) f (x) = 1 + ex

limx→−∞

(1 + ex) = limx→−∞

1 + limx→−∞

ex

= 1 + 0

= 1

b) f (x) =

x

x + 1

ex

limx→−∞

xx + 1

ex

= limx→−∞

xx + 1

. limx→−∞

ex

= limx→−∞

x

xx

x +

1

x

. lim

x→−∞ex

= limx→−∞

1

1 + 1

x

. lim

x→−∞ex

= 1· 0

= 0





5. Calcule o limite de f (x) = x3

2x3 + 7x se x → +∞.

6. Calcule o limite de f (x) = xx + 1

+ e−x2

se x → −∞.

2.4.3 Limites infinitos

Vamos agora analisar a seguinte funcao f (x) = 1

x.

x −100000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000

f (x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

Quando tomamos x indo a zero pela direita (x → 0+), esta funcao tende a +∞ (f (x) →+∞). Ja quando x vai a zero pela esquerda (x → 0−), a funcao tende a −∞ (f (x) →−∞). Assim

limx→0+

1

x

= +∞ e lim

x→0−

1

x

= −∞.

Definic˜ ao - Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,

possivelmente, em x = a, dizemos que

limx→a

f (x) = +∞

se para qualquer A > 0, existe δ > 0 tal que f (x) > A sempre que 0 <

|x − a| < δ .

Definic˜ ao - Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,

possivelmente, em x = a, dizemos que

limx→a

f (x) = −∞




se para qualquer B < 0, existe δ > 0 tal que f (x) < B sempre que 0 <

|x − a| < δ .

Alem dos limites infinitos definidos acima, podemos considerar ainda os limiteslaterais infinitos e os limites infinitos no infinito.

limx→a±

f (x) → ±∞ e limx→±∞

f (x) → ±∞.

Teorema - Se n e um numero inteiro positivo qualquer, entao

limx→0+

1

xn = +∞ e lim

x→0−

1

xn =

+∞ para n par

−∞ para n ımpar.

Exemplo 11 - Resolva os seguintes limites.

a) limx→π

2−

tan x

limx→π

2−

tan x → limx→π

2−

senx

cos x

→ +∞b) lim

x→+∞(x2 + x − 1)

limx→+∞

(x2 + x − 1) = limx→+∞

x2(1 + 1

x − 1

x2)

→ +∞

c) limx→−∞(5x

3

+ 2x

2

− 3x + 8)

limx→−∞

(5x3 + 2x2 − 3x + 8) = limx→−∞

x3(5 + 2

x − 3

x2 +

8

x3)

→ −∞

d) limx→4−

x + 2

x2 − 2x − 8

limx→4−

x + 2

x2 − 2x − 8 = lim

x→4−

x + 2

(x + 2)(x − 4)

= limx→4−

1

(x − 4); com

x − 4 = u

4− − 4 = 0− , temos

= limu→0−

1

u→ −∞


7. Resolva os limites.

a) limx→−∞

(−3x3 + 5x)

b) limx→1−

3 + x

x2 + 2x − 3




2.5 Limites fundamentais

Muitas vezes, para calcular limites, pode ser util reduzir o problema ao calculo

de limites fundamentais, que estudaremos a seguir.

2.5.1 Primeiro limite fundamental

Vamos analisar a funcao f (x) = senx

x .

x senx senx

x1 0,8414709 0,841470

0,1 0,0998334 0,998334

0,01 0,0099998 0,999983

0,001 0,0009999 0,999999

que graficamente fica

Vemos acima o que provou-se anteriormente, ou seja, que limx→0

senx

x = 1.

Exemplo 12 - Calcule os limites usando o primeiro limite fundamental.

a) limx

→0

sen4x

x

limx→0

sen4x

x = lim

x→0

4sen4x

4x

= limu→0

4senu

u= 4· 1

= 4

onde fizemos a substituicao 4x = u.

b) limx→0

2 − 2cos2 x

x2



2.5. LIMITES FUNDAMENTAIS 71

limx→0

2 − 2cos2 x

x2 = lim

x→0

2 − 2(1 − cos2 x)

x2

= limx→0

2sen2x

x2

= 2· limx→0

senxx

2= 2· 12

= 2

2.5.2 Segundo limite fundamental

Tomaremos agora a funcao f (x) =

1 +

1

x

x

. Calculando o valor de f (x) para

alguns valores de x, temos a tabela abaixo.

x

1 +

1

x

x

1 2

10 2,59374

100 2,70481

1000 2,71692

10 000 2,71814

O grafico de f (x) tem a forma abaixo.

Para valores de x muito grandes (x → ±∞), esta funcao se aproxima de e, que e um

numero irracional chamado constante de Euler (e = 2, 71828...). Como foi visto,

sabemos que limx→∞

1 +

1

x

x

= e.

Exemplo 13 - Calcule o limite limx→∞

1 +

3

x

x

.

Faremos a substituicao 3

x =

1

u, que nos da x = 3u.




limx→∞

1 +

3

x

x

= limu→∞

1 +

1

u

3u

= limu→∞1 +

1

uu

3

=

limu→∞

1 +

1

u

u3= e3

2.5.3 Terceiro limite fundamental

Veremos agora o limite limx→0

bx − 1

x = ln b, (0 < b = 1).

Para calcular esse limite, faremos uma mudanca de variavel, tendo em vista que,

quando x tende a zero, bx tende a 1. Entao, para x pequeno bx e aproximadamente

1 + 1u onde u e um numero grande. Logo, bx − 1 e aproximadamente 1

u . Agora e

preciso isolar x, para encontrar o limite fundamental

bx = 1 + 1

u =

u + 1

u1

bx =

u

u + 1

ln b−x = ln

u

u + 1

−x ln b = ln

u

u + 1

x = − 1

ln b ln

u

u + 1

=

1

ln b ln

u

u + 1

−1=

1

ln b ln

1 +

1

u

Feito isso, temos que para x

→0, u

→ ∞. Assim

limx→0

bx − 1

x = lim

u→∞

1 + 1

u − 1

1

ln b ln

1 +

1

u

= lim

u→∞ln b

u ln

1 +

1

u

= lim

u→∞ln b

ln

1 +

1

u

u

= ln b

ln limu→∞1 +

1

uu

=

ln b

ln e= ln b

Exemplo 14 - Calcule os seguintes limites usando o terceiro limite fundamental.

a) limx→0+

ln(x + 1)

x

Faremos a substituicao ln(x + 1) = u =⇒ x = eu − 1 o que nos da

que para x → 0 temos u → 0. Assim



2.5. LIMITES FUNDAMENTAIS 73

limx→0+

ln(x + 1)

x = lim

u→0

u

eu − 1

= limu→0eu

−1

u −1

=

limu→0

eu − 1

u

−1= (ln e)−1

= 1


8. Calcule o limite limx→0

tan x

x usando o primeiro limite fundamental.

9. Calcule o limite limx→∞

1 +

2

x

1−xusando o segundo limite fundamental.

10. Calcule o seguinte limite limx→0+

4x − 1

2x usando o terceiro limite fundamental.




2.6 Funcoes contınuas

Vejamos as seguintes funcoes.

a) f (x) = x3 − x2 − x + 2 b) f (x) = − ln(x − 1)2 + 1

c) f (x) = tan x d) f (x) = x + 2 se x= 2

1 se x = 2

Olhando para o grafico, tente achar suas peculiaridades.

Perceba que o grafico a) evolui de forma “suave” e sem “buracos”, no entanto

o grafico b) apresenta um buraco para x = 1, ou seja, uma descontinuidade

para este valor de x. A funcao apresentada no grafico c) tambem apresenta

descontinuidades, para os valores de x =

n − 1

2

π, com n ∈ Z, a funcao tan x e

descontınua. A funcao do grafico d) tambem apresenta uma descontinuidade para

x = 2. Em suma, se para construir o grafico de uma funcao for necessario tirarmos

a caneta do papel, entao esta funcao apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Definic˜ ao - se limx

→a

f (x) = f (a) a funcao e contınua no ponto a .

Propriedades - Se f , g : X → R forem funcoes contınuas em a ∈ X e se c for uma

constante, entao as seguintes funcoes tambem sao contınuas

1. f + g

2. f − g

3. c.f

4. f · g

5. f

g (desde que g(a) = 0)



2.6. FUNC ˜ OES CONT INUAS 75


11. Analise a funcao do grafico a seguir e indique quais os pontos de descon-

tinuidade e os intervalos em que a funcao e contınua.

12. Encontre os valores de x para os quais as seguintes funcoes sao descontınuas.

a) f (x) = 3x

(x − 2)2 b) f (x) = e1/x

2

c) f (x) = ln(x2 − 1) d) f (x) = 3x

(x − 2)2e 1

x2




2.7 Respostas dos exercıcios propostos

1. a) δ = 1 b) δ = 0, 5 c) δ = 0, 25 d) δ = 0, 02

2. a) 6 b) 0 c) 4 d) 2 e) 0 f) 1

3. a) 0; 3; b) 5; 5; 5 c) 0; −5; d) 1; 1;1

4.a) 9 b) 0 c) −7 d) −3 e) −64 f) 20

g) 9

2 h) −8

3 i) 2a j) 3a2 k) 4 l) 5

m) −1

8 n)

1

9 o) 54 p)

2

3 q)

9

2 r)

1

80

s) 1

2 t) −2a u)

1

2√

a v)

1

3a2/3

5. 1

2

6. 1

7. a) +∞b) −∞

8. 1

9. e−2

10. ln2

11. Pontos de descontinuidade: x = {−2, −1, 1, 2, 3}Intervalos: (−∞, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, 3), [3, +∞)

12. a) x = 2 b) x = 0 c) x ∈ [−1, 1] d) x = {0, 2}

Documents

apostila_curso_inverno_2013_calculo_v1.2.pdf