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FIU- APOSTILA DE ESTTSTICA/2016 1

NMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS

Nmeros Aproximados

Como sabemos, os nmeros resultam de uma mensurao, a qual s pode

ser exata quando assume a forma de contagem ou enumerao, em nmeros

naturais, de coisas ou unidades mnimas indivisveis. Em tais casos, a

varivel pode assumir somente valores discretos ou descontnuos. Outras mensuraes se do numa escala contnua, que pode, teoricamente, ser

indefinidamente subdividida. Na prtica, porm, h sempre um limite para a

preciso com a qual a mensurao pode ser feita, o que nos leva a concluir

que o valor verdadeiro nunca conhecido. Na verdade, os valores

observados so discretos e aproximados. Assim que, se o comprimento

de um parafuso, medidos em centmetros, foi dado por 4,6 cm, devemos

considerar que o valor exato desse comprimento ser algum valor entre 4,55

cm e 4,65 cm devido ao fato de a preciso adotada na medida ser apenas de

dcimos de centmetros. Em nossos estudos, faremos uso da seguinte

conveno: a preciso da medida ser automaticamente indicada pelo

nmero de decimais com que se escrevem os valores da varivel. Assim, um valor 4,60 indica que a varivel em questo foi medida com a preciso de

centsimos, no sendo exatamente o mesmo que 4,6, valor correspondente a

uma preciso de dcimos.

Arredondamento de dados

Muitas vezes, necessrio ou conveniente suprir unidades inferiores s de

determinada ordem. Esta tcnica denominada arredondamento de dados.

De acordo com a resoluo 866/66 da Fundao IBGE, o arredondamento

feito da seguinte maneira:

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 0, 1, 2, 3 ou 4 fica

inalterado o ltimo algarismo a permanecer.

Exemplo: 53,24 passa a ser 53,2

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 6, 7, 8 ou 9, aumenta-

se de uma unidade o algarismo a permanecer.

Exemplo: 42,87 passa a ser 42,9

25,08 passa a ser 25,1



Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 5, h duas solues:

a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero,

aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer.

Exemplos: 2,352 passa a ser 2,4

25,6501 passa a ser 25,7

76,250002 passa a ser 76,3

b) Se o 5 for o ltimo algarismo ou se ao 5 se seguirem zeros, o ltimo

algarismo a ser conservado s ser aumentado de uma unidade se for

mpar.

Exemplos: 24,75 passa a ser 24,8


24,75000 passa a ser 24,8

24,6500 passa a 24,6

NOTA: No devemos nunca fazer arredondamentos sucessivos.

Exemplo: 17,3452 passa a 17,3 e no a 17,35, a 17,4.

Exerccio: Arredonde cada um dos dados abaixo, deixando-os com apenas

uma casa decimal:

a) 2,38

b) 24,65

c) 0,351

d) 4,24

e) 328,35

f) 2,97

g) 6,829

h) 5,550

i) 89,99


1 ESTATSTICA

1.1 Introduo

Exprimindo por meio de nmeros as observaes que se fazem de elementos

com, pelo menos, uma caracterstica comum (por exemplo: os alunos do

sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados

referentes a esses elementos.

Pode-se dizer que a Estatstica uma parte da Matemtica Aplicada que

fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e

interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de

decises.

A coleta, a organizao e a descrio dos dados esto a cargo da Estatstica

Descritiva, enquanto a anlise e a interpretao desses dados ficam a cargo

da Estatstica Indutiva.

O aspecto essencial da Estatstica o de proporcionar mtodos indutivos,

que permitam concluses que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Assim, a anlise e a interpretao dos dados estatsticos tornam possvel o

diagnstico de uma empresa (por exemplo, de uma faculdade), o

conhecimento de seus problemas (condies de funcionamento,

produtividade), a formulao de solues apropriadas e um planejamento

objetivo de ao.

1.2 Fases do mtodo estatstico

1.2.1 Coleta de dados

Primeiramente necessrio um cuidadoso planejamento e uma

devida determinao das caractersticas mensurveis do fenmeno

coletivamente tpico que se quer pesquisar, em seguida inicia-se a coleta

de dados.


Crtica dos dados: obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente

criticados, procura de possveis falhas e imperfeies, a fim de no

incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que possam influir

sensivelmente nos resultados.

Apurao dos dados: a soma e o processamento dos dados obtidos e a

disposio mediante critrios de classificao. Pode ser manual,

eletromecnica ou eletrotcnica.

Exposio ou apresentao dos dados: os dados podem ser apresentados

sob forma adequada (tabela ou grficos) tornando a leitura mais fcil.

Anlise dos resultados: o objetivo da Estatstica tirar concluses sobre o

todo (populao) a partir de informaes por parte representativa do todo

(amostra). Assim, realizadas as fazes anteriores (Estatstica Descritiva), faz-

se uma anlise dos resultados obtidos, atravs dos mtodos da Estatstica

Indutiva, que tem por base a induo, e retirado desses resultados

concluses e previses.

2 POPULAO E AMOSTRA

2.1 Variveis

A cada resultado corresponde um nmero de resultados possveis. Assim por

exemplo:

- Para o fenmeno sexo so dois os resultados possveis: sexo masculino

e sexo feminino;

- Para o fenmeno nmero de filho h um nmero de resultados

possveis expresso atravs dos nmeros naturais: 0, 1, 2, ..., n;


- Para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois os

resultados podem tomar um nmero infinito de valores numricos dentro

de um determinado intervalo.

Varivel , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um

fenmeno.

Dados os exemplos acima, podemos ter os seguintes tipos de variveis:

a) Qualitativa quando seus valores so expressos por atributos:

sexo (masculino ou feminino), cor de pele, etc.

b) Quantitativa quando seus valores so expressos em nmeros:

salrio dos operrios, idade dos alunos de uma

faculdade, etc.

Uma varivel quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois

limites recebe o nome de varivel contnua; uma varivel que s pode

assumir valores pertencentes a um conjunto enumervel recebe o nome de

varivel discreta.

Exemplo:

1. O nmero de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos

valores do conjunto N = {0, 1, 2,..., n}, mas nunca valores como 2,5 ou

3,78. Logo, uma varivel discreta.

2. Os pesos desses mesmos alunos podem assumir valores como 72 kg ou

72,5 kg, dependendo do valor da preciso da medida. Logo, uma

varivel contnua.

De modo geral, as medies do origem as variveis contnuas e as

contagens ou enumeraes, a variveis discretas. Designamos as variveis

por letras latinas, em geral as ltimas: x, y e z.


Exemplo:

x {2, 3, 4,5}.

Exerccio

1. Classifique as variveis em qualitativas ou quantitativas (contnuas

ou descontnuas):

a) Universo: alunos de uma escola. Varivel: cor dos cabelos:

b) Universo: casais residentes em uma cidade. Varivel: nmero de

filhos.

c) Universo: as jogadas de um dado. Varivel: o ponto obtido em cada

jogada.

d) Universo: peas produzidas por certa mquina. Varivel: nmeros

de peas produzidas por hora.

e) Universo: peas produzidas por certa mquina. Varivel: dimetro

externo.

2. Diga quais das populaes abaixo so discretas e quais so

contnuas:

a) Populao: alunos de uma cidade. Varivel: cor dos olhos.

b) P: estao meteorolgica de uma cidade. V: precipitao

pluviomtrica, durante 1 ano.

c) P: Bolsa de Valores de So Paulo. V: nmero de aes negociveis.

d) P: funcionrios de uma empresa. V: salrios.

e) P: pregos produzidos por uma mquina. V: comprimento.

f) P: casais residentes em uma cidade. V: sexo dos filhos.

g) P: propriedades agrcolas do Brasil. V: produo de algodo.

h)


2.2 Populao e amostra

Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma caracterstica comum

denominamos populao estatstica ou universo estatstico. Assim, os

estudantes, por exemplo, constituem uma populao, pois apresentam pelo

menos uma caracterstica comum: so os que estudam. Uma amostra um

subconjunto finito de uma populao.

Amostragem: existe uma tcnica especial amostragem para recolher

amostras, que garante, tanto quanto possvel, o caso na escolha. Dessa

forma, o que garante amostra o carter de representatividade, e isto

muito importante, pois, como vimos, nossas concluses relativas

populao vo estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa

populao.

A seguir, so apresentadas as trs principais tcnicas de amostragem.

AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATRIA SIMPLES: este tipo de

amostragem equivalente a um sorteio lotrico. Na prtica, a amostragem

casual pode ser realizada numerando-se a populao de 1 a n e sorteando-se,

a seguir, por meio de um dispositivo aleatrio qualquer, k nmeros dessa

seqncia, os quais correspondero aos elementos pertencentes amostra.

AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: muitas vezes a

populao se divide em subpopulaes estratos. Como provvel que a

varivel em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento

heterogneo, convm que o sorteio dos elementos da amostra leve em

considerao tais estratos. exatamente isso que fazemos quando

empregamos a amostragem proporcional estratificada, que alm de

considerar a existncia dos estratos, obtm os elementos da amostra

proporcional ao nmero de elementos dos mesmos.


Exerccio: Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1 srie, 32 na

2, 30 na 3, 28 na 4, 35 na 5, 32 na 6, 31 na 7 e 27 na 8. Obtenha uma

amostra de 40 alunos e preencha o quadro a seguir.

AMOSTRAGEM SISTEMTICA: quando os elementos da populao j se

acham ordenados, no h necessidade de construir o sistema de referncia.

So exemplos os pronturios mdicos de um hospital, os prdios de uma

rua, as linhas de produo, etc. nestes casos, a seleo dos elementos que

constituiro a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo

pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos sistemtica.

3 SRIES ESTATSTICAS

3.1 Tabelas

Um dos objetivos da Estatstica sintetizar os valores que uma ou mais

variveis podem assumir, para que tenhamos uma viso global da variao

dessa ou dessas variveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando

esses valores em tabelas ou grficos, que iro nos fornecer rpidas e

seguras informaes a respeito das variveis em estudo, nos permitido

determinaes administrativas e pedaggicas mais coerentes e cientficas.

Tabela um quadro que resume um conjunto de observaes.

Uma tabela compe-se de:

a) Corpo conjunto de linhas e colunas que contm informaes sobre a

varivel em estudo;

b) Cabealho parte superior da tabela que especifica o contedo das

colunas;

c) Coluna indicadora parte da tabela que especifica o contedo das linhas;


d) Linhas retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal,

de dados que se escrevem nos seus cruzamentos com as colunas;

e) Casa ou clula espao destinado a um s nmero;

f) Ttulo conjunto de informaes localizado no topo da tabela.

H ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que so a

fonte, as notas e as chamadas, colocadas de preferncia, no seu rodap.

Exemplo:

PRODUO DE CAF

BRASIL 1991-1995

FONTE: IBGE

De acordo com a Resoluo 886 da Fundao IBGE, nas casas ou clulas

devemos colocar:

Um trao horizontal (-) quando o valor zero, no s quanto natureza

das coisas, como quanto ao resultado do inqurito;

Trs pontos (...) quando no temos os dados;

Um ponto de interrogao (?) quando temos dvida exatido de

determinado valor;

Zero (0) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade

utilizada. Se os valores so expressos em numerais decimais, precisamos

ANOS PRODUO

(1.000 t)

1991 2.535

1992 2.666

1993 2.122

1994 3.750

1995 2.007


acrescentar parte decimal um nmero correspondente de zeros (0,0;

0,00; 0,000; ...).

3.2 Sries Estatsticas

Denominamos srie estatstica toda tabela que apresenta a distribuio de

um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da

espcie. Da podemos inferir que numa srie estatstica observamos a

existncia de trs elementos ou fatores: o tempo, o espao e a espcie.

Conforme varie um dos elementos da srie, podemos classific-la em

histrica, geogrfica e especfica.

SRIES HISTRICAS, CRONOLGICAS, TEMPORAIS OU MARCHAS

Descrevem os valores da varivel, em determinado local, discriminados

segundo intervalos de tempo variveis.

SRIES GEIGRFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE LOCALIZAO

Descrevem os valores da varivel, em determinado instante, discriminados

segundo regies.

SRIES ESPECFICAS OU CATEGRICAS

Descrevem os valores da varivel, em determinado tempo e local,

discriminados segundo especificaes ou categorias.

3.3 Sries Conjugadas

TABELA DE DUPLA ENTRADA: muitas vezes temos necessidades de

apresentar, em uma nica tabela, a variao de valores de mais de uma

varivel, isto , fazer uma conjugao de duas ou mais sries. Conjugando

duas sries em uma nica tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em

uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificao: uma

horizontal (linha) e uma vertical (coluna).


TERMINAIS TELEFNICOS EM SERVIO

1991 - 1993

REGIES 1991 1992 1993

NORTE 342.938 375.658 403.494

NORDESTE 1.287.813 1.379.101 1.486.649

SUDESTE 6.234.501 6.729.467 7.231.634

SUL 1.497.315 1.608.989 1.746.232

CENTRO -

OESTE

713.357 778.925 884.822

FONTE: Ministrio das Comunicaes.

A conjugao, no exemplo, foi srie geogrfica-srie histrica, que d

origem srie geogrfico- histrica ou geogrfico-temporal.

3.4 Distribuio de frequncia

Por se tratar de um conceito estatstico de suma importncia, merecer no

captulo 5 um tratamento especial.

Exerccio: Classifique as sries:


3.5 Dados absolutos e dados relativos

Os dados estatsticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra

manipulao seno a contagem ou medida, so chamados dados absolutos.

A leitura dos dados absolutos sempre enfadonha e inexpressiva; embora

esses dados traduzam um resultado exato e fiel, no tm a virtude de

ressaltar de imediato as suas concluses numricas. Da o uso

imprescindvel que faz a Estatstica dos dados relativos.

Dados relativos o resultado de comparaes por quociente (razes) que se

estabelecem entre dados absolutos e tm por finalidade realar ou facilitar as

comparaes entre quantidades. Traduzem-se os dados relativos, em geral,

por meio de porcentagens, ndices, coeficientes e taxas.

AS PORCENTAGENS

Considere a srie:


MATRCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A 1995

CATEGORIAS NMEROS DE ALUNOS

1 grau 19.286

2 grau 1.681

3 grau 234

Total 21.201

Dados fictcios

Calculemos as porcentagens dos alunos de cada grau:

1 grau = 90,96 = 91,0

2 grau = 7,92 = 7,9

3 grau = 1,10 = 1,1

Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na srie em estudo:


DA CIDADE A 1995

CATEGORIAS NMEROS DE ALUNOS %

1 grau 19.286 91,0

2 grau 1.681 7,9

3 grau 234 1,1

Total 21.201 100,0

Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade

A, 91 esto matriculados no 1 grau, 8, aproximadamente, no 2 grau e 1 no

3 grau.


O emprego da porcentagem de grande valia quando nosso intuito

destacar a participao da parte no todo.

Consideremos, agora, a srie:


DA CIDADE A E B 1995


CIDADE A CIDADE B

1 grau 19.286 38.660

2 grau 1.681 3.399

3 grau 234 424

Total 21.201 42.483

Dados fictcios

Qual das cidades tem, comparativamente, maior nmero de alunos em cada

grau?


DA CIDADE A E B 1995


CIDADE A % CIDADE B %

1 grau 19.286 38.660

2 grau 1.681 3.399

3 grau 234 424

Total 21.201 100,0 42.483 100,0

NOTAS:

Do mesmo modo que tomamos 100 por base de comparao, tambm

podemos tomar outro nmero qualquer, entre os quais destacamos o


nmero 1. claro que, supondo o total igual a 1, os dados relativos das

parcelas sero todos menores que 1.

Quando usamos 100 por base, os dados so arredondados at a primeira casa

decimal; e quando tomamos 1 por base, at a terceira casa decimal.

Exerccio: Complete a tabela abaixo:

4 GRFICOS ESTATSTICOS

4.1 Grfico Estatstico e diagramas

O grfico estatstico uma forma de apresentao dos dados estatsticos,

cujo objetivo o de produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma

impresso mais rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos

falam mais rpido compreenso que as sries.

Os diagramas so grficos geomtricos de, no mximo, duas dimenses;

para sua construo, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.


GRFICO EM LINHA OU EM CURVA

Considere a seguinte srie:


GRFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS

PRODUO BRASILEIRA DE CARVO

DE CARVO MINERAL BRUTO

1989 - 92

ANOS QTDE PRODUZIDA

(1.000 t)

1989 18.196

1990 11.168

1991 10.468

1992 9.241

FONTE: Ministrio da Agricultura

FONTE: Ministrio da Agricultura


GRFICOS DE SETORES


Exerccios:

1. Represente a srie abaixo usando o grfico de linha:

COMRCIO EXTERIOR

BRASIL - 1984 - 93

ANOS QUANTIDADE (1.000 t)

EXPORTAO IMPORTAO

1984 141.737 53.988

1985 146.351 48.870

1986 133.832 60.597

1987 142.378 61.975

1988 169.666 58.085

1989 177.033 57.293

1990 168.095 57.184

1991 165.974 63.278

1992 167.295 68.059

1993 182.561 77.813

FONTE: Min. Indstria, Comrcio e Turismo

2. Represente a tabela usando o grfico em colunas:

PRODUO BRASILEIRA

DE PETRLEO BRUTO

1991 - 93

ANOS Quantidade (1.000 m)

1991 36.180,40

1992 36.410,50

1993 37.164,30

FONTE: Petrobrs


3. Usando o grfico de barras, represente a tabela:

PRODUO DE OVOS

DE GALINHA

BRASIL - 1992

REGIES Quantidade

(1.000 dzias)

Norte 57.297

Nordeste 414.804

Sudeste 984.659

Sul 615.978

Centro-Oeste 126.345

FONTE: IBGE

4. Represente a tabela por meio de grfico de setor:

REA TERRESTRE

BRASIL

REGIES RELATIVA

(%)

Norte 45,25

Nordeste 18,28

Sudeste 10,85

Sul 6,76 Centro-Oeste 18,86

Total 100,00

FONTE: Petrobrs

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