ApostilaMatemáticaSoftinest Versão 2009x

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA UNOESC - JOAÇABA

ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE

INVESTIMENTOS

Prof. Titular : Eng. JÚLIO CÉSAR RIBEIRO LYRA

UNOESC – Joaçaba Prof. Júlio C. R. Lyra

Curso : Engenharias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

CURSO : Engenharia O material apostilado deste curso é para uso exclusivamente didático, sem intenção comercial. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida ou transmitida, sob qualquer forma – fotocópia, gravação – ou por qualquer meio – eletrônico, mecânico – sem a permissão da UNOESC - Joaçaba e do autor do material.

Docente responsável pela disciplina:

Professor Engenheiro JÚLIO CÉSAR RIBEIRO LYRA E-mail: [email protected]

Fone Comercial: 3551-2035

L 992m LYRA, Júlio César Ribeiro. Matemática financeira e Análise de Investimentos : com uso do software softinvest. 20 ed. revisada Joaçaba: UNOESC, 2008. 167 p. (Apostila) Bibliografia

1. matemática financeira 2. análise de investimentos

cód.: 511-8



SUMÁRIO

1. JUROS ............................................................................................................. 05

2. MODALIDADES DE JUROS ........................................................................... 08

3. TEMPO ............................................................................................................ 09

4. FLUXO DE CAIXA ........................................................................................... 10

5. EQUIVALÊNCIA .............................................................................................. 11

6. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E FV........................................... 13 7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE FV E PV........................................... 15 8. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT (SEM ENTRADA) E FV........... 17 9. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE FV E PMT (SEM ENTRADA)........... 23

10. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT (SEM ENTRADA) E PV........... 25 11. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E PMT (SEM ENTRADA) .......... 27

12. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E PMT (COM ENTRADA).......... 29

13. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT (COM ENTRADA) E PV.......... 31 14. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS..................................................................... 33

15. SÉRIES PERPÉTUAS (CÁLCULO DA APOSENTADORIA E RENDA INIFINITAS) 37

16. JUROS EFETIVOS E NOMINATIVOS ............................................................ 43

CONVERSÃO DE JUROS EFETIVOS PARA JUROS EFETIVOS......... 44

CONVERSÃO DE JUROS NOMINAIS EM EFETIVOS........................... 51

17. JUROS ANTECIPADOS .................................................................................. 53

DESCONTO DE DUPLICATAS ............................................................. 53

ANTECIPAÇÃO DE CHEQUES ............................................................ 55

18. DESCONTO SE PAGO À VISTA .................................................................... 57

19. JUROS EM OPERAÇÕES COM CARTÃO DE CRÉDITO .............................. 61

20. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS ................................................ 64

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE) .............................. 64

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................. 70

SISTEMA MISTO .................................................................................... 76

SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO ........................................ 79

SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO ..................................................... 83

21 – INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 22 – EXERCÍCIOS DE REVISÃO...............................................................................

89

97 23 – TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE ............................................................. 106



24. ANÁLISE DE INVESTIMENTO ........................................................................ 107

MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ................................. 107

MÉTODO DO VALOR PRESENTE ...................................................... 111

MÉTODO DA SÉRIE EQUIVALENTE (VAUE/CAUE)........................... 121

MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO ................................... 131

25. DETERMINÇÃO DO VOLUME DE VENDAS................................................... 135

26. DEPRECIAÇÃO E IMPOSTO DE RENDA ...................................................... 143

DEPRECIAÇÃO ...................................................................................... 143

IMPOSTO DE RENDA ............................................................................ 145

27. SUBSTITUIÇÃO ECONÔMICA DE EQUIPAMENTOS.................................... 150

REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIAS ..................................................................... 166

APÊNDICE.............................................................................................................. 167



1. JUROS

JUROS: Custo do dinheiro aponta taxa anual de 19,06%. SÃO PAULO, 10 de outubro de 2001 - O custo do dinheiro no interbancário abriu com tomadores a 2,0770% e doadores a 2,0780%. Nas primeiras transações do mercado aberto, a taxa anual era de 19,06%. (Gazeta Mercantil, 2006).

1.1. O QUE SÃO JUROS? PARA O INVESTIDOR : REMUNERAÇÃO DO CAPITAL PARA O TOMADOR DE EMPRÉSTIMO : CUSTO DO CAPITAL 1.2. O QUE DETERMINA O VALOR DOS JUROS ?

a) Liquidez: O pagamento pela oportunidade de poder di spor de um capital durante determinado tempo. Por exemplo, quando aplicamos certa quantia na poupança estamos nos desprovendo dela pelo período de, no mínimo, um mês, portanto não poderemos utilizá-la neste período. Os juros são, neste caso, o pagamento pelas oportunidades que poderão estar sendo perdidas de maior rentabilidade neste período. Este parâmetro de juros pode também ser chamado de liquidez. Quanto maior for a liquidez , maiores serão as facilidades de fazer dinheiro a curto prazo, portanto menores serão os juros. Exemplos semelhantes ocorrem em outras aplicações, tais como: “Debêntures”, “CDB” e “Referenciados DI”. A Figura 1 apresenta uma relação entre prazo de empréstimo (de maior e menor liquidez) com a taxa de juros. Como pode ser observado, quanto maior for o prazo (menor liquidez), maiores serão as taxas de juros.

2,2% a.m. 2,55% a.m. 2,7% a.m. 2,9% a.m. Valor do Empréstimo 12 prestações 24 prestações 36 prestações 48 prestações

R$ 1.000,00 R$ 95,72 R$ 56,22 R$ 43,78 R$ 38,85 R$ 3.000,00 R$ 287,17 R$ 168,67 R$ 131,33 R$ 116,55 R$ 5.000,00 R$ 478,62 R$ 281,11 R$ 218,88 R$ 194,25

Figura 1: Exemplo ilustrativo de liquidez de empréstimo financeiro com relação a taxa de

juros. Fonte: Informativo Banco Santander, 2o semestre de 2006

b) Solidez: O pagamento pelo risco do empréstimo de um capital . Quanto maior o risco envolvido do empréstimo não ser pago, maiores serão os valores das taxas de juros. Este parâmetro de juros pode também ser chamado de solidez. Quanto maior for a solidez , menores serão os riscos e portanto menores serão as taxas de juros. Por exemplo, os juros das aplicações em “ações” são superiores aos juros das aplicações em poupança ou mesmo CDB, pois seu risco é bem superior. A Figura 2 apresenta claramente está diferença entre rentabilidade (taxa de juros) e risco.



Figura 2: Exemplo ilustrativo da relações entre Segurança (Solidez), Liquidez e Rentabilidade. Fonte: CARTA OURO. Publicação do Banco do Brasil. Março-Abril/2002. Ano V. N0 6

c) Volume monetário investido ou emprestado. Toda aplicação financeira

é baseada em remuneração e quanto maior o valor investido, maiores são os valores das taxas de juros a serem pagas, em um mesmo tipo de aplicação. Por exemplo, as aplicações em Referenciados DI, as taxas de juros são

diferenciadas dependendo do valor aplicado, vide exemplo Figura 3.

Referenciado DI Aplicação Inicial Mínima Rentabilidade anual Max DI 100.000 15,38% Super Sênior DI 20.000 13,68% Super Classic DI 2.500 12,01% Figura 3: Exemplo ilustrativo da rentabilidade em função do valor monetário investido. Fonte: Informativo Banco Santander, 15/02/05

1.3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS JUROS Na vida quotidiana:

a) Nas compras a crédito: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista, toma um empréstimo na loja e efetua sua compra. Nesta operação estão embutidos juros e correções (atualmente, no comércio, na faixa de 6% a 8% ao mês).



b) Nos cheques especiais: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista e utiliza-se do limite do cheque especial (atualmente, pagam-se juros na faixa de 6% a 15% ao mês).

c) Na compra da casa própria: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro

suficiente para pagamento à vista e financia o restante em banco (atualmente, pagam-se juros na faixa de 6% a 10% ao ano)

Na administração de empresas:

a) Desconto de duplicatas: quando a empresa não dispõe de dinheiro para compra de produtos e matérias-primas, ela emite uma nota promissória (duplicata) comprometendo-se a pagar mais tarde (no desconto da duplicata).

b) Compras a prazo: quando a empresa não dispõe de dinheiro para

compra à vista (matéria-prima e produtos) e a efetua a prazo, paga juros às fornecedoras.

c) Vendas a prazo: quando a empresa vende seus produtos com

recebimentos a prazo. d) Obtenção de empréstimos: quando a empresa não dispõe de dinheiro

para capital de giro ou investimentos e toma um empréstimo em uma entidade financeira (bancos).



2. MODALIDADES DE JUROS

a) Juros Simples: quando são cobrados juros simples, apenas o principal rende juros, isto é, os juros são diretamente proporcionais ao capital empregado.

J = i . PV. n Saldo Devedor = PV ( 1 + i.n )

Onde: J = juros i = taxa de juros PV = principal ou capital na data de hoje n = número de períodos SD = saldo devedor Exemplo: Paulo comprou um produto por R$ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa de juros simples de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo destes cinco meses? Solução:

Mês Total Devido a 5% a.m. 0 1 2 3 4 5

100,00 100,00 .(1+0,05.1) = 105,00 100,00 .(1+ 0,05.2) = 110,00 100,00.(1+0,05.3) = 115,00 100,00.(1+0,05.4) = 120,00 100,00.(1+0,05.5) = 125,00

b) Juros Compostos: Após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal e passam a render juros também.

J = i .SD Saldo Devedor = PV ( 1 +i ) n

J = juros i = taxa de juros PV = principal ou capital na data de hoje n = número de períodos SD = saldo devedor

Exemplo: Paulo comprou um produto por R$ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa de juros compostos de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo destes cinco meses? Solução:

Juros Total Devido a 5% a.m. 0 1 2 3 4 5

100,00 100,00.(1 + 0,05)1 = 105,00 100,00.(1 + 0,05)2 = 110,25 100,00.(1 + 0,05)3 = 115,76 100,00.(1 + 0,05)4 = 121,55 100,00.(1 + 0,05)5 = 127,63



3. TEMPO

“Imaginemos uma situação na qual eu já saiba hoje, que dentro de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de R$ 1.200,00. Entretanto, eu disponho deste dinheiro hoje mesmo. Será que é indiferente a mim efetuar este pagamento hoje (adiantado) ou dentro de um ano ? A resposta é não!! Se eu efetuar este pagamento hoje, terei que desembolsar R$ 1.200,00. Se eu deixar para pagar dentro de um ano (no vencimento) posso investir os R$ 1.200,00 a prazo fixo (que supomos dar 20% ao ano ) - isto me garante ter R$ 1.200,00 daqui a um ano para efetuar o pagamento e lucrar daqui a um ano R$ 240,00 que são os juros incorporados. Se, no mesmo exemplo, o problema for aproveitar um desconto especial e pagar R$1.000,00 hoje ou R$ 1.200,00 dentro de um ano , sou indiferente a qualquer das possibilidades. Entretanto, prefiro pagar R$ 999,00 hoje do que R$ 1.200,00 dentro de um ano . Prefiro pagar R$ 1.200,00 dentro de um ano do que R$ 1.001,00 hoje ” (Ehrlich, 1983).

Vemos, portanto, que o dinheiro não tem o mesmo valor ao longo do tempo (mesmo não existindo inflação).

Portanto, todas as quantias de dinheiro referem-se a uma data e

somente poderão ser transferidas para uma outra data considerando os juros envolvidos nesta transferência. Será, pois, proibido somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referirem a mesma data.



4. FLUXO DE CAIXA

A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste em uma

escala horizontal em que são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas, com setas para cima, as entradas e com setas para baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o período de capitalização de juros considerado.

Convenções Adotaremos as convenções a seguir descritas, que procuram auxiliar a memorização da simbologia. PV = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por

Valor Presente ou Valor Atual (ou hoje ou à vista). A representação gráfica é a seguinte:

0 1 2 3 n

PV

FV = quantia existente ou equivalente em um instante futuro em relação ao

inicial e conhecida por Valor Futuro (ou montante ou saldo devedor). A representação gráfica é a seguinte:

1 2 3 n

FV

i = taxa de juros por período de capitalização; n = número de períodos de capitalização. PMT = valor de cada contribuição considerada em uma série uniforme de

dispêndios (prestações ou parcelas iguais ) ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1,2,3,...,n chamados Períodos de Capitalização.

A representação gráfica é a seguinte:

0 1 2 3 n

PMT



5. EQUIVALÊNCIA

Definição : vários capitais são ditos equivalentes quando os seus valores,

transformados para a mesma data , com a mesma taxa de juros (custo de oportunidade), são iguais (Hummel, 1986).

Exemplo 01 : considere-se um empréstimo de R$ 1.000,00 hoje , a uma taxa

de juros compostos de 10% ao ano , sendo os juros capitalizados, anualmente . No final do quinto ano , na data prevista para o pagamento do empréstimo de uma só vez, ter-se-á de pagar R$ 1.610,00. Diz-se então que, a uma taxa de 10% ao ano , após cinco anos, a quantia de R$ 1.610,00 é equivalente à quantia de R$ 1.000,00 no momento zero (ou seja, hoje) (Hummel, 1986).

Exemplo 02 : considere que você deseja fazer um empréstimo de

R$10.000,00, para compra de veículo em uma concessionária, a uma taxa de juros de 10% ao ano . A concessionária lhe oferece então quatro formas de pagamento: plano I, II, III e IV , veja quadro abaixo. Pergunta-se: há diferença em escolher um ou outro plano, do ponto de vista econômico? (Hummel, 1986).

Ano Investimento Plano I 1 Plano II 2 Plano III 3 Plano IV 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R$ 10.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00

R$ 11.000,00

R$ 2.000,00 R$ 1.900,00 R$ 1.800,00 R$ 1.700,00 R$ 1.600,00 R$ 1.500,00 R$ 1.400,00 R$ 1.300,00 R$ 1.200,00 R$ 1.100,00

R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45 R$ 1.627,45

R$ 25.937,42 Solução :

Se analisarmos o quadro anterior, observaremos que todos os planos de I a IV a uma taxa de 10% ao ano, são equivalentes . Isto porque todos são planos que possibilitam, a esta taxa, o pagamento de uma dívida de

1 O plano I: corresponde, no sistema de amortização de dívidas, ao Sistema de Americano, que

será visto mais detalhadamente a frente. 2 O plano II: corresponde, no sistema de amortização de dívidas, ao Sistema de Amortização

Constante –SAC. 3 O plano III: corresponde, no sistema de amortização de dívidas, ao Sistema de Prestações

Constantes – PRICE. 4 O plano IV: corresponde, no sistema de amortização de dívidas, ao Sistema de Pagamento Único.



R$10.000,00, hoje . Portanto, pode-se dizer que é indiferente pagar um ou outro plano.

Analisando, no entanto, o quadro abaixo, observamos que há diferentes

taxas de juros ; as séries de pagamentos anteriores correspondem a diferentes valores quando trazidas para o presente, ou seja, não são equivalentes , exceto para a taxa de juros de 10%, a qual foi inicialmente calculada.

Taxa de Juros

Plano I Plano II Plano III Plano IV

0% 5% 10% 15% 20%

20.000 13.861 10.000 7.491 5.808

15.500 12.278 10.000 8.340 7.096

16.270 12.563 10.000 8.166 6.821

25.937 15.923 10.000 6.411 4.189



6. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E FV

6.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje) e o valor futuro (ou seja, quanto terei ou deverei ao final de um determinado período). 6.2 - Representação Gráfica:

6.3 - Fórmula : FV = PV ( 1+ i ) n

6.4 – Perguntas: quanto terei ao final de um determinado período se aplicar uma

certa quantia hoje ? Qual é o valor devido (montante) ao final de um determinado

período se devo uma certa quantia hoje ?

6.5 - Exemplo: Lúcia deseja comprar um

aparelho de som, cujo preço à vista é de

R$400,00. No entanto Lúcia não dispõe

deste dinheiro, mas poderá fazer um

crediário para pagá-lo, em uma única

parcela, daqui a quatro meses. A taxa de

juros compostos do crediário é de 8% a.m.

Pergunta-se, quanto Lúcia terá de pagar ao

final de quatro meses ?

Valor à vista: R$ 400,00

Taxa de juros 8% a.m.

Solução :

a) Resolvendo utilizando fórmula

FV = montante devido

FV = ( )408,01400 + = R$ 544,20 daqui a 4 meses



b) Resolvendo utilizando o softinvest

Ação : Entre em “Equivalência ” e “V.futuro ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “

Sem parcela uniforme e entre com os demais valores. Após entrar com todos os

valores tecle F10

Observação : veja que o programa monta o fluxo de caixa na parte inferior

Exercício 01: Tânia conseguiu um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que

cobra 5% ao mês de taxa de juros compostos. Quanto deverá pagar se o prazo do

empréstimo for de cinco meses ? Resposta: R$ 12.762,82 daqui a 5 meses.

Exercício 02: Aplico R$ 12.000,00, por 10 anos a uma taxa de juros de 12% a.a.

Quanto terei após os 10 anos ? Resposta: R$ 37.270,18 daqui a 10 anos.

Exercício 03: Em 01/01/88 se investiu-se R$100.000,00 a 6% a.a. Quanto se terá

em 01/01/98? Resposta: R$ 179.084,77 em 10 anos.

Exercício 04: Uma empresa levanta um empréstimo de R$200.000,00 para a

compra de um novo conjunto de máquinas. Os termos do empréstimo estipulam o

pagamento do principal e de todos os juros acumulados, no fim de um período de

cinco anos . A taxa de juros capitalizados anualmente é de 10% ao ano . Qual é o

valor devido pela empresa, no final do empréstimo? Resposta: R$322.102,00 daqui

a 5 anos.



7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE FV E PV

7.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor futuro (ou seja, quanto terei ou deverei ao final de um determinado período) e o valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje). 7.2 - Representação Gráfica:

7.3 - Fórmula : PV = ( )ni

FV

+1

7.4 – Perguntas: quanto terei de receber hoje da antecipação do recebimento de

um valor futuro, ao final de um determinado período ? Qual é o valor devido hoje se

desejo antecipar uma divida ?

7.5 - Exemplo: Vera deseja quitar uma dívida

da comprar de um aparelho celular cujo

preço, ao final de 5 meses, é de R$700,00. A

taxa de juros compostos do crediário é de

2% a.m. Pergunta-se: quanto Vera terá de

pagar se desejar liquidar o empréstimo hoje?

Solução :

a) Resolvendo utilizando a fórmula

PV = valor atual a ser pago hoje

PV = ( )502,01

700

+= R$634,01 hoje

Valor R$ 700,00 daqui a 5 meses Taxa de Juros: 2% a.m.




Ação : Entre em “Equivalência ” e “V. presente “ e “Juros :” Composto e “Fluxo : “


valores tecle F10

Exercício 01: Se eu quiser ter R$100.000,00 em 20 anos , quanto deverei aplicar

agora , considerando-se uma taxa de juros de 10 % a.a.?

Resposta: R$14.864,36 hoje.

Exercício 02: Quer-se depositar uma quantia a 8% a.a. a fim de se obter, 13 anos

mais tarde, a quantia de R$5.000,00. Quanto se deverá depositar hoje?


Exercício 03: Se eu quiser ter R$400.000,00 em 5 anos , quanto deverei aplicar

agora, considerando-se uma taxa de juros de 10% a.a.?


Exercício 04: Fernanda tem uma dívida de R$1.000,00 a ser paga daqui a 4 meses ,

a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. No entanto, ela recebeu hoje uma

quantia de R$900,00. Ela conseguirá quitar a dívida hoje?

Resposta: Sim, poderá quitar a dívida.



8. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT E FV SEM ENTRADA

8.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor de parcelas fixas (a serem pagas ou recebidas), postecipadas (sem entrada) e o valor futuro (ou seja, quanto deverei ou terei ao final de um determinado período). 8.2 - Representação Gráfica:

0 n1

Quero

Tenho

FV = Saldo devedor

PMT = Empréstimos

8.3 - Fórmula : FV = ( )[ ]i

iPMT n ..1..1..... −+

8.4 – Perguntas: quanto terei de receber no futuro decorrente do valor acumulado

de parcelas fixas ? Qual é o montante devido, ao final de um determinado período,

decorrente de parcelas uniformes a serem pagas ?

8.5 - Exemplo: Luiz deseja quitar uma dívida

da compra de uma estante cujas prestações

são no valor R$ 250,00 mensais. Faltam ainda

pagar 5 (0+5) prestações . A taxa de juros

compostos do crediário é de 2% a.m.

Pergunta-se: quanto Luiz terá de pagar se

desejar liquidar o empréstimo ao final de 5

meses ?

Solução :


FV = montante devido

FV = ( )( )

02,0

.102,01250 5 −+= R$ 1.301,01 daqui a 5 meses

Taxa de juros: 2% a.m. Valor das prestações: R$ 250,00




Ação : Entre em “Equivalência ” e “V.futuro ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “

Postecipado e entre com os demais valores. Após entrar com todos os valores tecle

F10

Exercício 01: Marcos fez um crediário para a compra de algumas camisas cujas

prestações são no valor R$50,00 mensais. Faltam ainda pagar 3 (0+3) prestações .

A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. Estando, no momento,

impossibilitado de pagar as prestações da dívida, Marcos foi à loja e perguntou se

poderia renegociar a dívida e pagar todas as prestações acumuladas daqui a três

meses (sem juros de mora ). Qual é o valor da dívida acumulada destas três últimas

prestações? Resposta: R$162,32 daqui a 3 meses.

Exercício 02: Antônio fez um crediário para a compra de um televisor cujas

prestações são no valor R$40,00 mensais. Faltam ainda pagar 7 (0+7) prestações .

A taxa de juros compostos do crediário é de 9% a.m.. Se Antônio quiser quitar

toda a dívida de uma só vez daqui a 7 meses , quanto ele terá que pagar? Resposta:

R$368,02 daqui a 7 meses.

Exercício 03: Rosana e Marcos, preocupados com o futuro de seu filho, depositam

mensalmente uma quantia de R$500,00, em fundo de aplicações que rende 3,5%

a.m.. Quanto eles terão ao final de 48 (0+48) meses ?

Resposta: R$60.194,13 daqui a 4 anos.



Exercício 04: Verificar se os valores anunciados no artigo “Não deixe seu dinheiro ir

por água abaixo”5 estão corretos.

Do tostão ao milhão

Para reunir R$ 1 milhão aos 60 anos, é preciso apli car mensalmente...

Idade atual Taxa anual de 8% Taxa anual de 10% Taxa anual de 12%

25 anos R$ 466,73 R$ 294,22 R$ 183,18

35 anos R$ 1.100,12 R$ 810,82 R$ 593,05

45 anos R$ 2.962,03 R$ 2.509,76 R$ 2.121,08

50 anos R$ 5.551,72 R$ 5.003,41 R$ 4.505,92

Obs.: Considerar parcela postecipada .

Resolvendo um dos casos: suponha que a idade atual do cliente seja de 35 anos e

que sua idade de saída, do plano de contribuições, seja de 60 anos, pode-se

concluir que ele vai contribuir por 25 anos, ou seja, 300 meses . Também, suponha

que a taxa de juros seja de 8%a.a. equivale a 0,64340%a.m., e a contribuição

mensal seja de R$ 1.100,12, conforme anunciado no folder.

Ação 01: Converter a taxa de juros efetiva anual para efetiva mensal, pois os

depósitos são mensais. Para efetuar esta ação deve-se entrar em “Taxas ” e Tipo:

“Efetiva ” e período atual: “Anual ” e Converter p/: “Mensal “. Após entrar com todos

os valores tecle F10.

Ação 02: Entre em “Equivalência ” e “V.futuro ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

5 “Não deixe eu dinheiro ir por água abaixo”. Revista Isto É. No1848. 13/03/2005. (uso para fins didáticos).



Exercício 05: Verificar se os valores anunciados no folder6 estão corretos.

Obs.: Considerar parcela postecipada , ou seja, sem entrada e desconto de 5%

ao mês sobre as parcelas a título de taxa de carregamento, conforme anunciado no folder.





6 Folder Publicitário da entidade financeira SANTADER. 2007 (uso somente para fins didáticos).





F10. Obs.: R$ 85,00 x 95% = R$ 80,75 (Valor retirando a taxa de carregamento)

Exercício 06: Verificar se os valores anunciados no folder7 estão corretos.

Obs: Considerar parcela antecipada , ou seja, com entrada e desconto de 8,6% ao

mês sobre as parcelas a título de taxa de carregamento.

7 Folder Publicitário de uma certa entidade financeira 2006 (uso somente para fins didáticos).



Resolvendo um dos casos: suponha que a idade atual do cliente seja de 35 anos e

que sua idade de saída, do plano de contribuições, seja de 60 anos, pode-se

concluir que ele vai contribuir por 25 anos, ou seja, 300 meses . Também, suponha

que a taxa de juros seja de 12%a.a. equivale a 0,95%a.m., e a contribuição mensal

seja de R$ 73,10 (já descontado 8,62%).






Antecipado e entre com os demais valores. Após entrar com todos os valores tecle

F10



9. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE FV E PMT SEM ENTRADA

9.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor futuro (ou seja, quanto desejo ter) e o valor das prestações fixas, sem entrada (ou seja, quanto se deve pagar mensalmente para quitar este montante) 9.2 - Representação Gráfica:

0 n1

Quero

Tenho

PMT= Valor das

aplicações

FV = Montante

9.3 - Fórmula : PMT = ( )[ ]..1..1..

..

−+ ni

iFV

9.4 – Perguntas: quanto devo depositar por determinado período (por exemplo

mensalmente) para ter um certo montante (valor futuro) ? Qual é o valor das

prestações fixas a serem pagas por determinado período para ter certa quantia no

futuro?

9.5 – Exemplo: Ricardo deseja amortizar

uma dívida da compra de uma casa cujo

valor restante a ser pago daqui a 5 meses

será R$4.000,00. O valor da taxa de juros é

4% a.m. Pergunta-se: quanto Ricardo terá

que pagar de prestações iguais , a cada fim

de mês, durante 5 (0+5) meses, para quitar

esta dívida?

Solução :


PMT = valor das prestações a serem pagas

PMT = ( )[ ]..1..04,01..

04,0*000.45 −+

= R$ 738,51 por mês

Taxa de Juros: 4% a.m.

Valor de Entrada: R$ 30.000,00 Valor Restante: R$ 4.000,00 daqui

a 5 meses




Ação : Entre em “Equivalência ” e “P.uniforme ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Exercício 01: Verônica deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter

um montante equivalente a R$5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 24 (0+24)

meses . Sabendo-se que ela vai depositar na caderneta de poupança que tem a

remuneração média esperada de 1%a.m., quanto ela deverá depositar mensalmente

para obter o valor desejado?

Resposta: R$185,37 por mês.

Exercício 02: Fábio deseja ter um montante igual a R$12.000,00 para financiar seus

estudos na universidade, daqui a 48 (0+48) meses . Quanto ele deve depositar

mensalmente em fundo de aplicações (por exemplo, FIX 30) para obter esta

quantia? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 3,5 % a.m.

Resposta: R$99,68 por mês.

Exercício 03: André tem uma dívida de R$1.200,00 a ser paga daqui a 18

(0+18)meses . No entanto, ele deseja depositar mensalmente uma certa quantia

para criar um fundo de reserva para quitar a dívida. Pergunta-se: quanto André

deverá depositar mensalmente em parcelas iguais, a cada fim de mês, para obter o

montante desejado? O fundo de aplicações remunera a uma taxa de 2,5% a.m.

Resposta: R$ 53,60 por mês.



10. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT E PV SEM ENTRADA

10.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor das parcelas fixas a serem pagas ou recebidas e o valor presente (ou seja, quanto deverei pagar ou receber hoje) 10.2 - Representação Gráfica:

10.3 - Fórmula : PV = ( )[ ]( ) n

n

ii

iPMT

..1..

..1..1....

+−+

10.4 – Perguntas: quanto terei de pagar hoje referente a antecipação de uma dívida

que seria paga em parcelas fixas ? Quanto devo receber hoje referente a

antecipação de rendas fixas futuras ?

10.5 – Exemplo: Vânia deseja quitar uma dívida

da compra de uma geladeira cujas prestações

são no valor de R$100,00 mensais. Faltam ainda

pagar 5 (0+5) prestações . A taxa de juros

compostos do crediário é de 7% a.m. Quanto

Vânia terá de pagar se desejar liquidar o

empréstimo hoje ?

Solução:

a) Resolvendo utilizando fórmula

PV = valor atual da dívida

PV = ( )( )

( )5

5

07,0107,0

.107,01100

+−+

= R$ 410,02 hoje

Taxa de Juros: 7% a.m. Valor das Prestações:

R$100,00




Ação : Entre em “Equivalência ” e “V.presente ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Exercício 01: Fabíola fez um crediário para a compra de uma geladeira cujas

prestações são no valor de R$50,00 mensais. Faltam ainda pagar 6 (0+6)

prestações . A taxa de juros compostos do crediário é de 9% a.m.. No entanto,

Fabíola deseja pagar a dívida hoje. Qual é o valor devido hoje?

Resposta: R$224,30 hoje.

Exercício 02: Letícia deseja comprar uma blusa cujas prestações são no valor de

R$10,00 mensais, sendo 5 prestações iguais sem entrada (0+5) , se for comprada

no crediário. A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. No entanto,

Letícia deseja pagar à vista. Qual é o valor da blusa à vista?

Resposta: R$39,93 à vista.

Exercício 03: Marcela paga ao final de cada mês a importância de R$400,00 pela

compra de uma casa, pelo Sistema Financeiro Nacional de Habitação. Sabendo-se

que faltam ainda pagar 15 (0+15) prestações e que a taxa do financiamento é de 2%

a.m., qual é o valor total devido hoje, para que ela possa quitar a dívida?




11. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E PMT: SEM ENTRADA (30 DIAS)

11.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje) e o valor das parcelas fixas, sem entrada (30 dias). 11.2 - Representação Gráfica:

11.3 - Fórmula : PMT = ( )[ ]( )[ ]1..1..

....1......

−++n

n

i

iiPV

11.4 – Perguntas: quanto terei de pagar em parcelas fixas, sem entrada (1a Parcela

daqui a 30 dias) por determinado período referente ao aquisição de um bem hoje ?

Quanto poderei retirar em parcelas fixas por determinado período decorrente de uma

aplicação efetuada hoje ?

11.5 – Exemplo: Salete deseja amortizar o

pagamento da dívida da comprar de uma

secadora de roupas cujo valor à vista é de

R$400,00. A taxa de juros compostos do

crediário é de 6% a.m. Quanto Salete terá de

pagar mensalmente, sem entrada , se

desejar parcelar a dívida em quatro vezes

(0+4)?

Solução :

a ) Resolvendo utilizando a fórmula

PMT = valor das prestações a serem pagas

Valor à vista: R$ 400,00 Taxa de juros: 6% a.m.



PMT = ( )( )

( )( )106,01

.06,006,014004

4

−++

= R$ 115, 44 mensais


Ação : Entre em “Equivalência ” e “P.uniforme ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Exercício 01: Luciano deseja comprar um apartamento a prazo, pelo Sistema

Financeiro Nacional de Habitação, cujo valor à vista é de R$40.000,00. A taxa de

juros compostos do crediário é de 2% a.m. Quanto Luciano terá de pagar

mensalmente, sem entrada , se desejar parcelar a dívida em 48 vezes (0+48)?

Resposta: R$1.304,07 mensais.

Exercício 02: Ivo deseja comprar um sapato em 4 prestações iguais mensais sem

entrada (0+4) . A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. Se o sapato

custa à vista R$120,00, qual é o valor das prestações ?

Resposta: R$36,23 mensais

Exercício 03: José deseja comprar um freezer em 12 prestações iguais mensais

sem entrada (0+12) . A taxa de juros compostos do crediário é de 6% a.m.. Se o

freezer custa à vista R$800,00, qual é o valor das prestações?

Resposta: R$95,42 mensais.



12. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PV E PMT: COM ENTRADA (1A PARCELA HOJE)

12.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje) e o valor das parcelas fixas, com entrada (1a

Parcela Hoje) 12.2 - Representação Gráfica:

Dado PV Determinar PMT – com entrada

0 1 2 3 n

PV

1 2 3 n

PMT

n -1

12.3 - Fórmula : PMT = ( )[ ]( ) 11

..1.... 1

−++ −

n

n

i

iiPV

12.4 – Perguntas: quanto terei de pagar em parcelas fixas, com entrada (1a parcela

hoje) por determinado período referente ao aquisição de um bem hoje ? Quanto

poderei retirar em parcelas fixas por determinado período decorrente de uma

aplicação efetuada hoje ?

12.5 – Exemplo: Salete deseja amortizar o

pagamento de uma dívida da compra de

uma secadora de roupas cujo valor à vista

é de R$400,00. A taxa de juros

compostos do crediário é de 6% a.m.

Quanto Salete terá de pagar mensalmente,

com entrada , se desejar parcelar a dívida

em quatro vezes (1+3)?

Solução :

a ) Resolvendo utilizando fórmula

PMT = valor das prestações a serem pagas com entrada

PMT = ( )( )

( )( )106,01

.06,006,014004

3

−++

= R$ 108,90 mensais

Valor à Vista: R$ 400,00 Taxa de Juros: 6% a.m.




Ação : Entre em “Equivalência ” e “P.uniforme “ e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Exercício 01: Luciano deseja comprar um apartamento a prazo, pelo Sistema

Financeiro Nacional de Habitação, cujo valor à vista é de R$40.000,00. A taxa de

juros compostos do crediário é de 2% a.m. Quanto Luciano terá de pagar

mensalmente, com entrada , se desejar parcelar a dívida em 49 vezes (1+48)?

Resposta: R$1.262,90 mensais.

Exercício 02: Maria deseja comprar um sapato em 5 prestações iguais mensais

com entrada (1+4) . A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. Se o

sapato custa à vista R$120,00, qual é o valor das prestações?

Resposta: R$27,83 mensais.



13. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE PMT E PV COM ENTRADA

13.1 - Objetivo : determinar a relação de equivalência entre o valor das parcelas fixas, com entrada (1a Parcela Hoje) e o valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje) 13.2 - Representação Gráfica:

Dado PMT – Com Entrada Determinar PV

1 2 3 n

PMT

n -1

0 1 2 3 n

PV

13.3 - Fórmula : PV = ( )[ ]( ) 1..1..

..1..1....−+

−+n

n

ii

iPMT

13.4 – Perguntas: quanto deverei pagar hoje referente a antecipação de parcelas

fixas, com entrada (1a parcela hoje) ? Quanto poderei receber hoje referente a

antecipação de parcelas fixas, com entrada ?

13.5 – Exemplo: Vânia deseja saber qual o

valor à vista de uma geladeira cujas prestações

são no valor R$ 100,00 mensais, com uma

entrada , em 5 prestações (1+4). A taxa de

juros compostos do crediário é de 7% a.m.

Quanto será o valor pago à vista por Vânia?

Solução :

a ) Resolvendo utilizando a fórmula

PV = valor atual da dívida

PV = ( )( )

( )4

5

07,0107,0

.107,01100

+−+

= R$ 438,72 hoje

5 (1+4) prestações de R$ 100,00

Taxa de Juros: 7% a.m.




Ação : Entre em “Equivalência ” e “V.presente ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Exercício 01: Luciana deseja comprar uma mesa cujas prestações são no valor

R$100,00 mensais, 6 prestações iguais com entrada (1+5) , se for comprada no

crediário. A taxa de juros compostos do crediário é de 6% a.m.. No entanto,

Luciana deseja pagar à vista. Qual é o valor da mesa à vista?


Exercício 02: Andréa deseja comprar uma blusa, cujas prestações são no valor

R$10,00 mensais, 6 prestações iguais com entrada (1+5) , se for comprada no

crediário. A taxa de juros compostos do crediário é de 8% a.m.. No entanto,

Andréa deseja pagar à vista. Qual é o valor da blusa à vista?


Exercício 03: Marcelo paga ao final de cada mês a importância de R$ 400,00 pela

compra de uma casa, através do Sistema Financeiro Nacional de Habitação.

Sabendo-se que faltam ainda pagar 10 prestações (sendo uma hoje e 09 a

posteriori) e que a taxa do financiamento é de 3% a.m., qual é o valor total devido

hoje, para que ela possa quitar a dívida?




14. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM OPERAÇÕES FINANCEIRAS : COM PARCELAS ANTECIPADAS (COM ENTRADA) E POSTECIPADAS (30 DIAS)

14.1 - Objetivo : determinar a taxa de juros em operações financeiras, correspondente ao conhecimento do valor presente (ou seja, quanto eu tenho ou devo hoje) e das parcelas (prestações) fixas

14.2 – Fórmulas : PV = ( )[ ]( ) n

n

ii

iPMT

..1..

..1..1....

+−+ (para operações sem entrada)

PV = ( )[ ]( ) 1..1..

..1..1....−+

−+n

n

ii

iPMT (para operações com entrada)

14.3 – Perguntas: qual é a taxa de juros embutida em operações de compra a crédito? Qual é a taxa de juros embutida em operações de financiamento ?

14.4 - Exemplo (com entrada) : Pedro

comprou uma geladeira em seis

prestações constantes mensais, no valor

R$247,11 cada, (1+5) com uma de

entrada . Se tivesse pago à vista o preço

seria de R$1.246,91. Qual é a taxa de

juros embutida nesta compra a prazo?

Ação : Entre em “Equivalência ” e “T.juros : ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Observação : No cálculo da taxa de juros o sinal dos valores presente e parcela

uniforme têm que serem diferentes.

Preço à vista: R$ 1.246,91 ou

em 6 (1+5) prestações de R$ 247,11



Exercício 01: Jairo comprou um computador em quatro prestações constantes

mensais, no valor de R$419,33 cada, (1+3) com uma de entrada . Se tivesse pago à

vista o preço seria de R$1.500,00. Qual é o valor da taxa de juros embutida nesta

compra a prazo?

Resposta: 8,00% a.m.

Exemplo 02: Luiz comprou uma geladeira em dez prestações constantes mensais,

no valor de R$140,47 cada, (1+9) com uma de entrada . Se tivesse pago à vista o

preço seria de R$1.000,00. Qual é o valor da taxa de juros embutida nesta compra a

prazo?


Exemplo 03: Vera comprou uma moto em sete prestações constantes mensais, no

valor de R$591,48 cada, (1+6) com uma de entrada . Se tivesse pago à vista, o

preço seria de R$3.500,00. Qual é o valor da taxa de juros embutida nesta compra a

prazo?


Exercício 04: Homero comprou um mesa em três prestações constantes mensais,

no valor de R$73,11 cada, (1+2) com uma de entrada . Se tivesse pago à vista, o

preço seria de R$200,00. Qual é o valor da taxa de juros embutida nesta compra a

prazo?


Exercício 05: Vicente comprou um livro em cinco prestações constantes mensais,

no valor de R$88,00 cada, (1+4) com uma de entrada . Se tivesse pago à vista, o

preço seria de R$400,00. Qual é o valor da taxa de juros embutido nesta compra a

prazo?




14.5 – Exemplo (sem entrada): Pedro

comprou um televisor em cinco prestações

constantes mensais, no valor de R$ 71,18

cada, (0+5) sem entrada (1 pagamento

daqui a 30 dias) . Se tivesse pago à vista, o

preço seria de R$288,00. Qual é a taxa de


Ação : Entre em “Equivalência ” e “T.juros :” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Observação : No cálculo da taxa de juros o sinal dos valores presente e parcela

uniforme têm que serem diferentes.

Exercício 01: Vânia comprou um refrigerador em três prestações constantes

mensais, no valor de R$146,52 cada, (0+3) sem entrada (1 pagamento daqui a 30

dias) . Se tivesse pago à vista, o preço seria de R$399,00. Qual é o valor da taxa de



Exemplo 02: Pedro comprou um aparelho de som em dez prestações constantes





Preço à vista: R$ 288,00 ou

em 5 (0+5) prestações de R$ 71,18 (1 pagto 30 dias)



Exemplo 03: Vera comprou um roupeiro em sete prestações constantes mensais,

no valor de R$32,07 cada, (0+7) sem entrada (1 pagamento daqui a 30 dias) . Se

tivesse pago à vista, o preço seria de R$179,00. Qual é o valor da taxa de juros

embutida nesta compra a prazo?


Exercício 04: André comprou um mesa em cinco prestações constantes mensais,

no valor de R$52,76 cada, (0+5) sem entrada (1 pagamento daqui a 30 dias) . Se

tivesse pago à vista, o preço seria de R$200,00. Qual é o valor da taxa de juros

embutida nesta compra a prazo?


Exercício 05: Vicente comprou um vídeo cassete em quatro prestações constantes



juros embutido nesta compra a prazo?

Resposta: 5,00% a.m. Exercício 06: Determinar os juros cobrados nas operações de crediário do anúncio

publicitário de uma determinada loja.

Respostas: TV 29”: 1,61%a.m. considerando parcelas sem entrada 1,77%a.m. considerando parcelas com en trada Motocicleta: 0,68%a.m. considerando parcelas sem en trada 0,70%a.m considerando parcela s com entrada Gol, Celta e Palio: 0,57%a.m. considerando parcelas sem entrada 0,59%a.m. consideran do parcelas com entrada



15. SÉRIES PERPÉTUAS (CÁLCULO DA APOSENTADORIA E

RENDAS INFINITAS)

15.1 - Objetivos : determinar o valor das retiradas infinitas (perpétuas) decorrente do acúmulo de parcelas fixas depositadas por um determinado período; determinar o valor presente (atual) de uma série de pagamentos ou receitas infinitas. 15.2 - Representação Gráfica:

Dado PV Determinar PMT – Perpétuas

0 1 2 3 n

PV

0 1 2 3

PMT

∞

15.3 - Fórmula : PV = i

PMT ou ( )iPVPMT ..=

Onde: PV = valor presente da dívida PMT = série de pagamentos uniformes (mensalidades) i = taxa referencial de juros

15.4 – Perguntas: qual é o valor de retiradas fixas decorrentes de um plano de

aposentadoria ? Qual é o valor atual de ações com rendimentos fixos ?

15.5 – Cálculo da APOSENTADORIA Exemplo : Marcos deseja contribuir mensalmente com a quantia de

R$100,00, por um período de 30 anos (360 meses). Se a taxa de remuneração é

0,5% a.m.+T.R., para este fundo de aposentadoria, qual o valor das retiradas

mensais, após este prazo (30 anos), sem afetar o capital acumulado ? Observação:

a primeira contribuição é feita no ato do contrato.



Ação: Entre em “Equivalência ” e “V.futuro : ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10

Observação : O cálculo das parcelas é efetuado multiplicando o Valor futuro pela

taxa de juros

7,504%)5,0.(76,953.100 ==PMT

Resposta: Retiradas mensais de R$ 504,77 Exercício 01: Plano de aposentadoria BrasilPrev – Individual8

Idade de Saída 60 anos para o Benefício de Aposentadoria Idade Atual do

Participante Contribuição Mensal

de R$ 100,00 Contribuição Mensal

de R$ 150,00 Contribuição Mensal

de R$ 200,00 25 anos 1007,76 30 anos 40 anos 498,63 45 anos As taxas de juros para os respectivos anos dos participantes são: 25 anos: 0,5730%a.m.; 30 anos: 0,58275% a.m.; 40 anos: 0,6100% a.m.; 45 anos: 0,62850% a.m. Determine os valores das retiradas para cada tipo de contribuição. Por exemplo, idade atual de 40 anos (240 meses de contribuição) e

contribuição mensal de R$150,00.

8 Uso para fins meramente didáticos.



63,498%)61,0.(36,742.81 ==PMT

Resposta: Retiradas mensais de R$ 498,63 Exercício 02: Luiz deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 150,00, por um período de 30 anos , para um fundo de aposentadoria. Se a taxa de remuneração é 0,68% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria, qual é o valor das retiradas mensais, após este prazo (30 anos ), para que não seja afetado o capital acumulado ? Observação: a primeira contribuição ocorre no ato do contrato. Resposta: R$ 1.581,14 Exercício 03 : Você deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 250,00, por um período de 20 anos , para um fundo de aposentadoria. Se a taxa de remuneração é 0,65% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria, qual é o valor das retiradas mensais, após este prazo (20 anos ) para que não se afete o capital acumulado ? Observação: a primeira contribuição ocorre no ato do contrato. Resposta: R$ 939,78 15.6 – Outras aplicações de série perpétuas 15.6.1 – Cálculo de Valor de ações Perguntas: Qual é o valor atual de ações? Qual é a taxa de rentabilidade de ações? Qual é dividendo ou renda de ações?

Fórmula: entabilidaddeTaxa

DividendoAçãodaValor

Re......... =

Exemplo : (Provão, Administração/2003) A Madeireira Porto Feliz S.A. pagou, recentemente, um dividendo de R$3,00 por ação. Os investidores exigem um retorno de 20% ao ano em investimentos semelhantes. Por ser uma empresa madura, em um setor fortemente regulamentado, espera-se que não haja crescimento de dividendos indefinidamente. Assim, o valor atual da ação da empresa é (A) R$0,60 (B) R$3,00



(C) R$6,00 (D) R$15,00 (E) R$30,00 15.6.2 – Cálculo de Rendas Perpétuas Pergunta: Qual é o valor de retirada infinitas sem afetar o capital?

Fórmula: entabilidaddeTaxa

PerpétuandasAplicaçãodaValor

Re....

..Re..... =

Exemplo : (Provão, Administração/2000)

0 1 2 3

PMT

∞

O Sr. João da Silva, Presidente do Grupo Internacional, decidiu criar uma

fundação para custear os estudos de pós-graduação do aluno de Administração que conquistou a melhor nota no Provão 2000. Estima-se que custará R$ 10.000,00 por ano o curso de pós-graduação desse aluno. Considerando que a bolsa deverá ser oferecida todos os anos, sempre para o aluno com melhor resultado no Provão, e que os recursos sejam aplicados à taxa de 10% a.a., o valor da doação deverá ser, em reais, conforme o gráfico acima, de: (A) 1 000,00 (B) 10 000,00 (C) 100 000,00 (D) 1 000 000,00 (E) 10 000 000,00 15.6.3 – Cálculo de Rentabilidade de Patrimônio

Rentabilidade do patrimônio – É o principal indicador de excelência empresarial, porque mede o retorno do investimento para os acionistas. Resulta da divisão dos lucros líquidos, legal e ajustado, pelos respectivos patrimônios líquidos, legal e ajustado. O produto é multiplicado por 100 para ser expresso em porcentagem. Para o cálculo, consideram-se como patrimônio os dividendos distribuídos no exercício e os juros sobre o capital próprio. (fonte: http://app.exame.abril.com.br)



Fórmula:LíquidoPatrimônio

LíquidoLucroentabilidaddeTaxa

..

..Re.... =

Exercício : Rentabilidade do patrimônio – Determinar a rentabilidade do patrimônio da empresa WEG INDÚSTRIAS9, no ano de 2005.

Posição entre as 500 maiores privadas 102

Posição entre as 500 maiores empresas 115

Vendas (US$ milhões) 1.095,7

Crescimento em vendas (%) 7,4

Lucro líquido ajustado (US$ milhões) 105,4

Lucro líquido legal (US$ milhões) 118,5

Patrimônio líquido ajustado (US$} milhões) 383,0

Patrimônio líquido legal (US$ milhões) 381,3

Resposta: Taxa de rentabilidade de 31,08%a.a

15.6.4 – Cálculo de Avaliação Imobiliária Método da renda: É um método para determinar o valor venal de um determinado imóvel. O método parte de valores de referência de imóveis similares conhecidos, ou seja, características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.). Com base nos aluguéis praticados e em suas respectivas áreas obtém-se o aluguel unitário médio (R$/m2) para estes tipos de imóveis. Também, com base em imóveis similares obtém-se a taxa de capitalização média do mercado imobiliário. A partir destes dados de referência se calcula o Preço do Imóvel desejado. Formulários:

Onde: N = número de imóveis pesquisados

9 Fonte: http://app.exame.abril.com.br. (uso somente para fins didáticos).



Exercício 01 : Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 125 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 7% e sua despesa operacional é de R$ 110,00 por mês. Através de uma pesquisa de mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados: No Área (m2) Valor Aluguel (R$) Preço de Venda

(R$) Vacância (%) Despesas

Operacionais (R$)

1 150 580 70000 6% 110 2 110 640 80000 5% 120 3 100 610 75000 5% 125 4 120 550 71500 7% 135 5 90 625 77000 5% 120 Resposta: No Área

Valor Aluguel

Preço de Venda

Vacância Despesas Operacionais

Aluguel Médio (R$/m2)

Taxa de capitalização média

A B C D E =B/A = (B-D*B-E)/C 1 150 580 70000 6% 110 3,87 0,62% 2 110 640 80000 5% 120 5,82 0,61% 3 100 610 75000 5% 125 6,10 0,61% 4 120 550 71500 7% 135 4,58 0,53% 5 90 625 77000 5% 120 6,94 0,62%

Médias 5,46 0,60% 682,50 125* 5,46 avaliadoser a Imóvel do Área x Médio AluguelEsperado Bruto Aluguel ===

Média ãoCapializaç de Taxa

isOperaciona Despesas -Esperado Bruto Aluguel*Vacância-Esperdo Bruto Aluguel Imóvel doValor =

87.500,00 R$ 17,454.870,6%

110,00 -682,50 . 7%-682,50 Imóvel doValor ≅==

Exercício 02 : Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 125 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 5% e sua despesa operacional é de R$ 120,00 por mês. Através de uma pesquisa de



mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares ao avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados: No Área (m2) Valor Aluguel (R$) Preço de Venda


Operacionais (R$)

1 150 600 70000 7% 110 2 110 540 80000 8% 120 3 100 560 75000 8% 125 4 120 580 71500 5% 135 5 90 500 77000 7% 120 Resposta: R$ 88.938,68



16. JUROS EFETIVOS E NOMINAIS

“Freqüentemente nas transações financeiras a taxa de juros informada é apenas aparentemente informada e é apenas aparentemente correta. São utilizados artifícios para que a taxa pareça mais elevada ou mais baixa.” (Casarotto, 1992).

a) Mascarando os juros para um valor maior (aplicaç ões financeira) : por

exemplo, suponhamos que em uma aplicação financeira que remunera 18% a.a.,

nos é informado que o mesmo rende 1,5% ao mês . A pessoa que aplicou seu

dinheiro achará que está ganhando 1,5% ao mês , quando, na realidade está

somente recebendo 1,39% a.m.

b) Mascarando os juros para um valor menor (emprést imos): por exemplo,

suponhamos que em um empréstimo com taxa de juros real de 2,5% a.m., nos seja

informado que os juros são de 30% ao ano , quando, na realidade, são de 34,49%

a.m..

Estas formas de mascaramento de juros pode induzir as pessoas a acharem

que estão ganhando quando, na realidade, estão perdendo em ambos os casos.

c) Juros Nominais:

Definição : todas as taxas de juros em que o período referido da taxa for

diferente do período de capitalização são chamadas de juros nominais.

Exemplo: 50% ao bimestre com capitalização mensal ;

Período referido Período de capitalização

Exemplo: 30% ao ano com capitalização trimestral .

d) Juros Efetivos:

Definição : todos as taxas de juros em que o período referido da taxa for igual

ao período de capitalização são chamadas de juros efetivos.

Exemplo: 50% ao bimestre com capitalização bimestralmente;


Ou simplesmente: 50% ao bimestre.



16.1. CONVERSÃO DE JUROS EFETIVOS PARA JUROS EFETIVOS

16.1.1 - Objetivo : saber o valor da taxa de juros equivalente em outro período

16.1.2 - Transformação de juros efetivos de um perí odo para juros efetivos de

outro período por meio de fórmula:

iE = ( )1 1+ −in

,

onde: i = juros efetivos do período atual;

iE = juros efetivos do período desejado;

n = diferença de período entre o maior e menor.

Exemplo: converter 10% a.m. para o ano

Solução :

Fórmula : iE = ( )1 1+ −in

iE = ( ) 110,01 12 −+ = 213,84 % a.a.

Exemplo: converter 10% a.m. para o ano

Ação : Entre em “Taxas” ; informe o “Tipo :” Efetiva ; informe “Valor :” da taxa a

ser convertida; informe o período da taxa “Atual : ” ; informe o período para o qual

se deseja “Converter p/ : ” e tecle F10



Exercícios : Conversão de Mês para Ano

(a) 3% a.m. para o ano. Resposta: 42,58% a.a.

(b) 4,5% a.m. para o ano. Resposta: 69,59% a.a.

(c) 5,5% a.m. para o ano. Resposta: 90,12% a.a.

(d) 4,8% a.m. para o ano. Resposta: 75,52% a.a.

(e) 3,5% a.m. para o ano. Resposta: 51,11% a.a.

(f) 1,2% a.m. para o ano. Resposta: 15,39% a.a.

(g) 0,89% a.m. para o ano. Resposta: 11,22% a.a.

(h) 7% a.m. para o ano. Resposta: 125,22% a.a.

(i) 8,5% a.m. para o ano. Resposta: 166,17% a.a.

Exercícios: Conversão de Mês para Semestre

(a) 3% a.m. para o semestre. Resposta: 19,41% a.s.

(b) 4,5% a.m. para o semestre. Resposta: 30,23% a.s.

(c) 5,5% a.m. para o semestre. Resposta: 37,88% a.s.

(d) 4,8% a.m. para o semestre. Resposta: 32,49% a.s.

(e) 3,5% a.m. para o semestre. Resposta: 22,93% a.s.

(f) 1,2% a.m. para o semestre. Resposta: 7,42% a.s.

(g) 0,89% a.m. para o semestre. Resposta: 5,46% a.s.

(h) 7% a.m. para o semestre. Resposta: 50,07% a.s.

(i) 8,5% a.m. para o semestre. Resposta: 63,15% a.s.

(j) 8,0% a.m. para o semestre. Resposta: 58,69% a.s.

(k) 6,5% a.m. para o semestre. Resposta: 45,91% a.s.

(l) 1,5% a.m. para o semestre. Resposta: 9,34% a.s.

Exercícios: Conversão de Mês para Trimestre

(a) 3% a.m. para o trimestre. Resposta: 9,27% a.t.

(b) 4,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 14,12% a.t.

(c) 5,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 17,42% a.t.

(d) 4,8% a.m. para o trimestre. Resposta: 15,10% a.t.

(e) 3,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 10,87% a.t.

(f) 1,2% a.m. para o trimestre. Resposta: 3,64% a.t.



(g) 0,89% a.m. para o trimestre. Resposta: 2,69% a.t.

(h) 7% a.m. para o trimestre. Resposta: 22,50% a.t.

(i) 8,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 27,73% a.t.

(j) 8,0% a.m. para o trimestre. Resposta: 25,97% a.t.

(k) 6,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 20,79% a.t.

(l) 1,5% a.m. para o trimestre. Resposta: 4,57% a.t.

Exercícios: Conversão de Mês para Bimestre

(a) 3% a.m. para o bimestre. Resposta: 6,09% a.b.

(b) 4,5% a.m. para o bimestre. Resposta: 9,20% a.b.

(c) 5,5% a.m. para o bimestre. Resposta: 11,30% a.b.

(d) 4,8% a.m. para o bimestre. Resposta: 9,83% a.b.

(e) 3,5% a.m. para o bimestre. Resposta: 7,12% a.b.

(f) 1,2% a.m. para o bimestre. Resposta: 2,41% a.b.

(g) 0,89% a.m. para o bimestre. Resposta: 1,79% a.b.

(h) 7% a.m. para o bimestre. Resposta: 14,49% a.b.

(i) 8,5% a.m. para o bimestre. Resposta: 17,72% a.b.

(j) 8,0% a.m. para o bimestre. Resposta: 16,64% a.b.

(k) 6,5% a.m. para o bimestre. Resposta: 13,42% a.b..

Exercícios: Conversão de Trimestre para Ano

(a) 3% a.t. para o ano. Resposta: 12,55% a.a.

(b) 4,5% a.t. para o ano. Resposta: 19,25% a.a.

(c) 5,5% a.t. para o ano. Resposta: 23,88% a.a.

(d) 4,8% a.t. para o ano. Resposta: 20,63% a.a.

(e) 3,5% a.t. para o ano. Resposta: 14,75% a.a.

(f) 1,2% a.t. para o ano. Resposta: 4,89% a.a.

(g) 0,89% a.t. para o ano. Resposta: 3,61% a.a.

(h) 7% a.t. para o ano. Resposta: 31,08% a.a.

(i) 8,5% a.t. para o ano. Resposta: 38,59% a.a.

(j) 8,0% a.t. para o ano. Resposta: 36,05% a.a.

(k) 6,5% a.t. para o ano. Resposta: 28,65% a.a.



Exercícios: Conversão de Trimestre para Semestre

(a) 3% a.t. para o semestre. Resposta: 6,09% a.s.

(b) 4,5% a.t. para o semestre. Resposta: 9,20% a.s.

(c) 5,5% a.t. para o semestre. Resposta: 11,30% a.s.

(d) 4,8% a.t. para o semestre. Resposta: 9,83% a.s.

(e) 3,5% a.t. para o semestre. Resposta: 7,12% a.s.

(f) 1,2% a.t. para o semestre. Resposta: 2,41% a.s.

(g) 0,89% a.t. para o semestre. Resposta: 1,79% a.s.

(h) 7% a.t. para o semestre. Resposta: 14,49% a.s.

(i) 8,5% a.t. para o semestre. Resposta: 17,72% a.s.

(j) 8,0% a.t. para o semestre. Resposta: 16,64% a.s.

(k) 6,5% a.t. para o semestre. Resposta: 13,42% a.s.

(l) 1,5% a.t. para o semestre. Resposta: 3,02% a.s.

Exercícios: Conversão de Semestre para o Ano

(a) 3% a.s. para o ano. Resposta: 6,09% a.a.

(b) 4,5% a.s. para o ano. Resposta: 9,20% a.a.

(c) 5,5% a.s. para o ano. Resposta: 11,30% a.a.

(d) 4,8% a.s. para o ano. Resposta: 9,83% a.a.

(e) 3,5% a.s. para o ano. Resposta: 7,12% a.a.

(f) 1,2% a.s. para o ano. Resposta: 2,41% a.a.

(g) 0,89% a.s. para o ano. Resposta: 1,79% a.a.

(h) 7% a.s. para o ano. Resposta: 14,49% a.a.

(i) 8,5% a.s. para o ano. Resposta: 17,72% a.a.

(j) 8,0% a.s. para o ano. Resposta: 16,64% a.a.

(k) 6,5% a.s. para o ano. Resposta: 13,42% a.a.

(l) 1,5% a.s. para o ano. Resposta: 3,02% a.a.

Exercícios: Conversão de Ano para Mês

(a) 42,58% a.a. para o mês. Resposta: 3% a.m.

(b) 69,59% a.a. para o mês. Resposta: 4,5% a.m.

(c) 90,12% a.a. para o mês. Resposta: 5,5% a.m.



(d) 75,52% a.a. para o mês. Resposta: 4,8% a.m.

(e) 51,11% a.a. para o mês. Resposta: 3,5% a.m.

(f) 15,39% a.a. para o mês. Resposta: 1,2% a.m.

(g) 11,22% a.a. para o mês. Resposta: 0,89% a.m.

(h) 125,22% a.a. para o mês. Resposta: 7% a.m.

(i) 166,17% a.a. para o mês. Resposta: 8,5% a.m.

Exercícios: Conversão de Ano para Semestre

(a) 6,09% a.a. para o semestre. Resposta: 3% a.s.

(b) 9,20% a.a. para o semestre. Resposta: 4,5% a.s.

(c) 11,30% a.a. para o semestre. Resposta: 5,5% a.s.

(d) 9,83% a.a. para o semestre. Resposta: 4,8% a.s.

(e) 7,12% a.a. para o semestre. Resposta: 3,5% a.s.

(f) 2,41% a.a. para o semestre. Resposta: 1,2% a.s.

(g) 1,79% a.a. para o semestre. Resposta: 0,89% a.s.

(h) 14,49% a.a. para o semestre. Resposta: 7% a.s.

(i) 17,72% a.a. para o semestre. Resposta: 8,5% a.s.

(j) 16,64% a.a. para o semestre. Resposta: 8,0% a.s.

Exercícios: Conversão de Ano para Trimestre

(a) 12,55% a.a. para o trimestre. Resposta: 3% a.t.

(b) 19,25% a.a. para o trimestre. Resposta: 4,5% a.t.

(c) 23,88% a.a. para o trimestre. Resposta: 5,5% a.t.

(d) 20,63% a.a. para o trimestre. Resposta: 4,8% a.t.

(e) 14,75% a.a. para o trimestre. Resposta: 3,5% a.t.

(f) 4,89% a.a. para o trimestre. Resposta: 1,2% a.t.

(g) 3,61% a.a. para o trimestre. Resposta: 0,89% a.t.

(h) 31,08% a.a. para o trimestre. Resposta: 7% a.t.

(i) 38,59% a.a. para o trimestre. Resposta: 8,5% a.t.

(j) 36,05% a.a. para o trimestre. Resposta: 8,0% a.t.

(k) 28,65% a.a. para o trimestre. Resposta: 6,5% a.t.



Exercícios: Conversão de Semestre para Trimestre

(a) 6,09% a.s. para o trimestre. Resposta: 3% a.t.

(b) 9,20% a.s. para o trimestre. Resposta: 4,5% a.t.

(c) 11,30% a.s. para o trimestre. Resposta: 5,5% a.t.

(d) 9,83% a.s. para o trimestre. Resposta: 4,8% a.t.

(e) 7,12% a.s. para o trimestre. Resposta: 3,5% a.t.

(f) 2,41% a.s. para o trimestre. Resposta: 1,2% a.t.

(g) 1,79% a.s. para o trimestre. Resposta: 0,89% a.t.

(h) 14,49% a.s. para o trimestre. Resposta: 7% a.t.

(i) 17,72% a.s. para o trimestre. Resposta: 8,5% a.t.

(j) 16,64% a.s. para o trimestre. Resposta: 8,0% a.t.

(k) 13,42% a.s. para o trimestre. Resposta: 6,5% a.t.

Exercícios: Conversão de Semestre para Mês

(a) 19,41% a.s. para o mês. Resposta: 3% a.m.

(b) 30,23% a.s. para o mês. Resposta: 4,5% a.m.

(c) 37,88% a.s. para o mês. Resposta: 5,5% a.m.

(d) 32,49% a.s. para o mês. Resposta: 4,8% a.m.

(e) 22,93% a.s. para o mês. Resposta: 3,5% a.m.

(f) 7,42% a.s. para o mês. Resposta: 1,2% a.m.

(g) 5,46% a.s. para o mês. Resposta: 0,89% a.m.

(h) 50,07% a.s. para o mês. Resposta: 7% a.m.

(i) 63,15% a.s. para o mês. Resposta: 8,5% a.m.

(j) 58,69% a.s. para o mês. Resposta: 8,0% a.m.

(k) 45,91% a.s. para o mês. Resposta: 6,5% a.m.

Exercícios: Conversão de Trimestre para Mês

(a) 9,27% a.t. para o mês. Resposta: 3% a.m.

(b) 14,12% a.t. para o mês. Resposta: 4,5% a.m.

(c) 17,42% a.t. para o mês. Resposta: 5,5% a.m.

(d) 15,10% a.t. para o mês. Resposta: 4,8% a.m.

(e) 10,87% a.t. para o mês. Resposta: 3,5% a.m.



(f) 3,64% a.t. para o mês. Resposta: 1,2% a.m.

(g) 2,69% a.t. para o mês. Resposta: 0,89% a.m.

(h) 22,50% a.t. para o mês. Resposta: 7% a.m.

(i) 27,73% a.t. para o mês. Resposta: 8,5% a.m.

(j) 25,97% a.t. para o mês. Resposta: 8,0% a.m.

(k) 20,79% a.t. para o mês. Resposta: 6,5% a.m.



16.2. CONVERSÃO DE JUROS NOMINAIS EM EFETIVOS

16.2.1 - Objetivo : determinar a taxa efetiva equivalente quando se conhece a taxa

nominal (uma taxa que mascara a realidade do juros)

Figura 4: Ilustra existência de juros nominais em um contrato. (uso para fins didático )

16.2.2 - Transformação de juros nominais em efetiv os:

Usando fórmula: iE = inn , onde:

in = juros nominais;

iE = juros efetivos;

n = número de períodos de capitalização.

Exemplo 01: transformar juros nominais em efetivos

50% ao bimestre com capitalização mensal ;


Solução : como o bimestre tem dois meses, temos n = 2

iE = 2

..%.50 ba= 25% ao mês


60% ao ano com capitalização mensal ;


Solução : como o ano tem doze meses, temos n = 12

iE = 12

..%.60 aa= 5% ao mês




48% ao semestre com capitalização anual ;


Solução : como o semestre tem meio ano, temos n = ½

iE = 2

1..%.48 sa= 96 % ao ano

Exemplo : Converta 60% a.a. com capitalização mensal para taxa de juros efetiva para o ano Ação : Entre em “Taxas” ; informe o “Tipo :” Nominal ; informe “Valor :” da taxa a ser convertida; informe o período da taxa “Atual : ” ; informe o período para o qual se deseja “Converter p/ : ” e tecle F10

Exercício : Converta as seguintes taxas de juros para o ano: A) 66% a.a. com capitalização mensal. Resposta: 90,12% a.a. B) 60% a.a. com capitalização semestral Resposta: 69,00% a.a. C) 18% a.a. com capitalização trimestral Resposta: 19,25% a.a. D) 4% a.t. com capitalização mensal Resposta: 17,23% a.a. E) 15% a.s. com capitalização mensal Resposta: 34,49% a.a. F) 21% a.s. com capitalização trimestral Resposta: 49,09% a.a. G) 12% a.a. com capitalização semestral Resposta: 12,36% a.a. H) 6,8 % a.a. com capitalização trimestral Resposta: 6,98% a.a. I) 15 % a.s com capitalização trimestral Resposta: 33,55% a.a. J) 12 % a.s.com capitalização mensal Resposta: 26,82% a.a. K) 15 % a.t. com capitalização mensal Resposta: 79,59% a.a.



17. JUROS ANTECIPADOS

17.1 - Objetivo: determinar a taxa de juros em operações financeiras, correspondente a antecipação do pagamento da parcela de juros

17.2 - Na vida prática: os juros são estabelecidos ou calculados de muitas

maneiras. Além do problema da diferença entre juros reais e juros aparentes

discutidos anteriormente, é freqüentemente preciso descobrir o valor dos juros sob o

modo como são apresentados.

17.3 - Quando ocorre? Quando o total dos juros é descontado no ato do

empréstimo.

17.4 – Tipos mais comuns: desconto de duplicatas e antecipação de cheques

17.5 – Desconto de duplicatas

(a) Fórmula: 1..%1

1 −−

=n atonodesconto

i

Onde: i = taxa de juros efetivos compostos real

% desconto no ato = juros antecipados

n = número de períodos

(b) Exemplo: Marcos descontou uma duplicata no valor de R$ 1.000,00 em uma

financeira. Para esta operação a financeira cobra uma taxa no ato de 4%. A

duplicata será paga em seu valor total daqui a 25 dias . Qual é a taxa de juros real

nesta operação financeira ?

Solução :

Como os juros foram cobrados antecipadamente Marcos leva somente R$

1.000,00 (R$1.000,00 – R$ 1.000,00x0,04) e paga 25 dias depois R$ 1.000,00. Isto

corresponde a juros efetivos de 5,02% a.m.



(a) Resolvendo pela fórmula:

..104,01

183333,0

−−

=i = 5,02 % a.m.

(b) Utilizando o softinvest:

Ação : Entre em “Equivalência ” e “T.juros ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “ Sem

parcela uniforme e entre com os demais valores. Após entrar com todos os valores

tecle F10

Exercício 01: Túlio descontou uma duplicata no valor de R$ 2.450,00 em uma financeira. Para esta operação a financeira cobra uma taxa no ato de 5%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 27 dias . Qual é a taxa de juros real nesta operação financeira ? Resposta: 5,86 %a.m. Exercício 02: Rafael descontou uma duplicata no valor de R$ 3.800,00 em uma financeira. Para esta operação a financeira cobra uma taxa no ato de 6%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 18 dias . Qual é a taxa de juros real nesta operação financeira ? Resposta: 10,86 %a.m. Exercício 03: Ana descontou uma duplicata no valor de R$ 7.650,00 em uma financeira. Para esta operação a financeira cobra uma taxa no ato de 4%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 15 dias . Qual é a taxa de juros real nesta operação financeira ? Resposta : 8,51 %a.m.



17.6 – Antecipação de cheques

Exemplo: A loja Bom Preço tem os seguintes cheques para serem descontados:

Daqui a 1 mês R$ 500,00

Daqui a 2 meses R$ 700,00

Daqui a 3 meses R$ 1.800,00

Daqui a 4 meses R$ 1.210,00

Total R$ 4.210,00

Mas a loja poderá descontar estes cheques hoje, no banco, a uma taxa de

juros antecipado de 12%. Qual é a taxa de juros a ser paga pela loja se antecipar

estes cheques ?

Com uso do softinvest:

Ação 01 : Entre em “Fluxo de Caixa ” e “Valor das parcelas ” e informe o valor das

parcelas. Após inserir todos os dados tecle “ESC”

Ação 02 : No campo do “Fluxo de Caixa ”, tecle “F10” (campo TIR original)

Resposta : a taxa de juros embutida nesta operação de antecipação de

cheques é 4,57% a.m.



Exercício 01: A loja Vende Bem tem os seguintes cheques para serem descontados:

Daqui a 1 mês R$ 1.200,00 Daqui a 2 meses R$ 990,00 Daqui a 3 meses R$ 620,00 Daqui a 4 meses R$ 650,00 Daqui a 5 meses R$ 1.010,00

Total R$ 4.470,00 Mas a loja poderá descontar estes cheques hoje, no banco, a uma taxa de juros antecipados de 12%. Qual é a taxa de juros a ser paga pela loja se antecipar estes cheques ? Resposta: 4,70% a.m. Exercício 02: A loja Vende Bem tem os seguintes cheques para serem

descontados:

Daqui a 1 mês R$ 1.525,00 Daqui a 2 meses R$ 750,00 Daqui a 3 meses R$ 1.100,00 Daqui a 4 meses R$ 1.890,00

Total R$ 5.265,00 Mas a loja poderá descontar estes cheques hoje, no banco, a uma taxa de juros antecipados de 8%. Qual é a taxa de juros a ser paga pela loja se antecipar estes cheques ? Resposta: 3,24% a.m.



18. DESCONTO SE PAGO À VISTA

18.1 - Objetivo : determinar a taxa de juros em operações financeiras,

correspondente ao pagamento a prazo de um operação de crediário e deixar de

ganhar o desconto à vista.

18.2 - Quando ocorre ? Um modo disfarçado de cobrar juros, muito empregado no

comércio varejista, é o de fixar o preço para uma mercadoria, acima de seu

verdadeiro preço à vista e dividir este preço à vista em n prestações iguais sem

juros. Como o valor ficou acima do valor real de mercado os juros passaram a estar

embutidos nas prestações.

18.3 – Para operações com parcelas fixas, Sem Entra da

Exemplo com uso do softinvest :

Uma loja vende bicicletas por R$200,00 em quatro pagamentos sem

acréscimo e sem entrada, no valor de R$50,00 por mês, ou à vista, dando 20% de

desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira ?

Ação : Entre em “Equivalência ” e :”T.juros : ” e “Juros : ” Composto e “Fluxo : “


F10



Exercício 01: Uma loja vende rádios por R$ 300,00 em cinco pagamentos

sem acréscimo e sem entrada, no valor de R$ 60,00 por mês, ou à vista, dando

10% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira ?

Resposta: juros real 3,62% a.m.

Exercício 02: Uma loja vende blusas por R$ 50,00 em oito pagamentos sem

acréscimo e sem entrada, no valor de R$ 6,25 por mês, ou à vista, dando 19,25%

de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira?


Exercício 03: Uma loja vende fogões por R$ 100,00 em dez pagamentos sem

acréscimo e sem entrada, no valor de R$ 10,00 por mês, ou à vista, dando 32,90%

de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira ?


Exercício 04: Uma loja vende geladeiras por R$ 500,00 em oito pagamentos

sem acréscimo e sem entrada, no valor de R$ 62,50 por mês, ou à vista, dando

30,88% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação

financeira?


Exercício 05: Uma loja vende aparadores de grama por R$ 90,00, à vista. No

entanto, a loja oferece duas formas de pagamento:

Fogão: Preço R$ 100,00

À vista com 32,90% de desconto ou

R$ 10,00 em dez vezes, sem entrada

Rádio: Preço R$ 300,00

À vista com 10% de desconto ou

R$ 60,00 em cinco vezes, sem entrada



(1) Três (0+3) pagamentos sem acréscimo, no valor de R$ 30,00 por mês; ou

(2) o preço à vista com desconto de 12,00%.

Qual é a taxa de juros mensal embutida nesta operação a prazo?


18.4 – Para operações com parcelas fixas, Com Entra da

Exemplo – Uma loja vende televisores com controle remoto por R$500,00 em

dez pagamentos sem acréscimo , com entrada, no valor de R$50,00 por mês, ou à

vista, oferecendo 23,4% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta

operação financeira?

Solução com uso do softinvest:



F10

Televisor: Preço R$ 500,00

À vista com 23,4% de desconto ou

R$ 50,00 em dez vezes, com entrada



Exercício 01: Uma loja vende blusas por R$ 50,00 em oito pagamentos sem

acréscimo , com entrada , no valor de R$ 6,25 por mês, ou à vista, oferecendo


financeira?


Exercício 02: Uma loja vende relógios de parede por R$ 100,00 em dez

pagamentos sem acréscimo , com entrada , no valor de R$ 10,00 por mês, ou à

vista, oferecendo 30,00% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta

operação financeira?


Exercício 03: O IPTU de um apartamento pode ser pago das seguintes

formas:

a) Em março, à vista, por R$ 342,06 (já com o desconto de 10,73% sobre o preço do

IPTU); ou

b) Em abril, em cota única, de R$ 355,77 (já com desconto de 7,153%); ou

c) Parcelado em 8 (1+7) vezes, sem desconto no preço à vista, sendo a 1a parcela

em março de R$ 48,02 e as demais de abril a outubro de R$ 47,88/mês.

Pede-se, qual é a taxa de juros para o pagamento em conta única e parcelado

em 8 vezes?

Resposta: 4,01% a.m. para parcela única

3,38% a.m. para o caso parcelado



19. JUROS EM OPERAÇÕES COM CARTÃO DE CRÉDITO

19.1 - Objetivo : determinar a taxa de juros em operações financeiras,

correspondente ao pagamento a prazo em cartão de crédito e deixar de ganhar o

desconto à vista.

19.2 – Tabela prática de cálculo da taxa de juros e mbutidos em operações com

cartão de crédito

Quantos dias faltam

para vencer a fatura Desconto sobre o preço à vista embutidos 3 % 5 % 8 % 10 % 12 % 15 %

30 3,09 % 5,26 % 8,70 % 11,11 % 13,64 % 17,65 % 25 3,72 % 6,35 % 10,52 % 13,48 % 16,58 % 21,53 % 20 4,67 % 8,00 % 13,32 % 17,12 % 21,14 % 27,61 % 15 6,28 % 10,80 % 18,15 % 23,46 % 29,13 % 38,41 %

Fonte: José Dutra Vieira Sobrinho – Folha de São Paulo Como calcular usando a tabela: a) Na compra, veja de quanto é o desconto dado pela loja se for pagar à vista; b) Faça as contas de quantos dias faltam para vencer a próxima fatura; c) Na tabela, cruze estas duas informações para saber qual o juro mensal embutido

no pagamento com cartão se o desconto for descartado.

19.3 – Fórmula: ( ) 1.%.1

130

−

−= n

Descontodei

Onde: i = taxa de juros por mês n = número de dias faltantes para vencimento no cartão de crédito % = percentual de desconto à vista sobre o valor da compra



Exemplo: Uma loja vende carrinhos de controle remoto por R$ 500,00 e propõe

duas formas de pagamento: no cartão de crédito sem desconto, ou à vista,

oferecendo 10,0% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta

operação financeira? João, que vai efetuar a compra, tem seu cartão com

vencimento para daqui a 20 dias .

Solução : a) pela tabela : i = 17,12 % a.m.

b) pela fórmula: ( ) 11,01

130

20 −

−=i = 17,12% a.m.

c) com uso do softinvest:



valores tecle F10

Exercício 01: Uma loja vende bicicletas por R$ 250,00 e propõe duas formas de

pagamento: no cartão de crédito sem desconto, ou à vista, oferecendo 15,0% de

desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira? Maria,

que vai efetuar a compra, tem seu cartão com vencimento para daqui a 25 dias.


Exercício 02: Uma loja vende fornos de microondas por R$ 300,00 e propõe duas

formas de pagamento: no cartão de crédito sem desconto, ou à vista, oferecendo

8,0% de desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira?

Vera, que vai efetuar a compra, tem seu cartão com vencimento para daqui a 30

dias.




Exercício 03: Uma loja vende freezeres por R$ 800,00 e propõe duas formas de


desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira? Lúcio,



Exercício 04: Uma loja vende mesas por R$ 150,00 e propõe duas formas de


desconto . Qual é a taxa de juros real embutida nesta operação financeira? Luciano,



Exercício 05: Uma loja vende televisores de 20” por R$ 400,00 e propõe duas

formas de pagamento: no cartão de crédito sem desconto, ou à vista, oferecendo


financeira? João, que vai efetuar a compra, tem seu cartão com vencimento para

daqui a 30 dias.




20 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS

“A disponibilidade de recursos é sem dúvida, um fator imperativo para a concretização de um investimento. Ao se construir uma casa própria, ao se adquirir um produto/serviço é necessário que se tenha disponibilidade de recursos... Porém, na falta desses recursos, ou se esses forem insuficientes, terão que recorrer a empréstimos” (Casarotto, 1992).

Torna-se, portanto, fundamental analisar estes sistemas de empréstimos, conhecendo o estado da dívida, suas prestações, quanto já foi realmente pago e quanto de juros já se pagou.

20.1 – Definição : sistemas de amortização de dívidas são formas de pagamento de

um empréstimo, em n prestações e a uma dada taxa de juros i.

20.2 – Sistemas mais comuns utilizados na prática:

a) Sistema PRICE: Sistema de Prestações Constantes;

b) Sistema SAC: Sistema de Amortização Constantes;

c) Sistema Misto;

d) Sistema Americano; e

e) Sistema de Pagamento Único.

20.3 – Sistema Francês de Amortização (PRICE)

20.3.1 – Definição: É um sistema de empréstimo, no qual o tomador do empréstimo

paga a dívida em n prestações constantes (iguais).

20.3.2 – Aplicação: É o sistema mais comum no nosso dia-a-dia, por exemplo:

compra de uma calça em cinco prestações iguais (1+4) ou (0+5); pagamento de um

crediário de um computador em dez prestações iguais. É a forma mais empregada,

porque fica claro para o tomador do empréstimo se ele poderá quitar, ou não, a

dívida ao longo do período e porque fica mais fácil calcular as prestações.

Normalmente, é utilizado para financiamentos de cur to prazo de um a dois

anos.



Figura 5: Ilustra a aplicação do sistema PRICE em um contrato. (uso para fins didático )

20.3.3 – Definição de termos:

a) Saldo devedor: valor real devido da dívida, que varia ao longo dos

períodos à medida que amortizamos parte do valor devido.

b) Prestação: valor a ser pago, período a período, pelo tomador do

empréstimo. É composto de Amortização + Juros.

c) Amortização: parcela da prestação que é realmente deduzida da dívida

(saldo devedor).

d) Juros: parcela da prestação que é paga como remuneração da pessoa

ou entidade cedente.

e) Carência : período onde não há pagamento da dívida, normalmente

incide juros sobre o saldo devedor (dívida)

Tempo

Juros

AmortizaçãoPre

staç

ão

“Neste sistema, a parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:” (Casarotto, 1992)

20.3.4 – Fórmulas

(a) Valor das prestações:

Busca responder a seguinte pergunta: quanto terei de pagar em parcelas fixas

por determinado período ?

( )[ ]

( ) 1i1

i1 i VP

n

nF

K −++

=

Onde: Pk = Valor da prestação no período K

VF = Valor Real Financiado i = taxa de juros n = número de prestações k = período desejado de análise



(b) Valor do saldo devedor no período K :

Busca responder a seguinte pergunta: quanto ainda falta pagar da dívida, ou

seja, quanto deveria se pagar hoje, para quitar a dívida?

SD = ( )[ ]( ) k

k

i1 i

1 i1 PMT

+−+

Onde: SD = Saldo Devedor

i = taxa de juros k = número de prestações ainda a serem pagas

PMT = valor das prestações

(c) Valor da amortização no período K :

Busca responder a seguinte pergunta: quanto estou pagando realmente do

valor devido ?

ak = ( )[ ]..1..1..

..

−+ nF

i

iV ( 1 + i )k-1

Onde: aK = Valor Amortizado

i = taxa de juros n = número de prestações

k = período desejado de análise (d) Juros no período K :

Busca responder a seguinte pergunta: quanto estou pagando de juros (ou

seja, qual é custo do valor devido) ?

j k = Prestação - Amortização 20.3.5 – Exemplo: Lúcio deseja comprar uma moto por um preço R$ 10.000,00. No

entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um crediário pelo sistema

PRICE, a uma taxa de juros de 4% a.m., em 5 prestações iguais . Pergunta-se: (a)

qual é o valor das prestações? (b) qual é o saldo devedor imediatamente após o

pagamento da quarta prestação? (c) qual é o saldo devedor imediatamente após o

pagamento da quinta prestação?



Solução:

(a) qual é o valor das prestações?

Pk = R$ 2.246,27

(b) qual é o saldo devedor imediatamente após a quarta prestação?

SD 4= R$ 2.159,88

(c) qual é o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação?

SD 5= R$ 00,00 Preenchendo o quadro abaixo:

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 10.000,00 1 2.246,27 1.846,27 400,00 8.153,73 2 2.246,27 1.920,12 326,15 6.233,61 3 2.246,27 1.996,93 249,34 4.236,68 4 2.246,27 2.076,80 169,47 2.159,88 5 2.246,27 2.159,88 86,40

Cálculo de Amortização de Dívidas (PRICE) com uso d o softinvest

Solução:

Ação 01 : Entre em “Amortização” e “Características” e “Sistema :” e “Francês” Observação : o sistema PRICE é sinônimo de sistema Francês



Ação 02 : Entre em “Liberações” e forneça a data de liberação e o valor de liberação Observação : para o exemplo a data é 01/12/2003 e o valor são 10.000,00

Ação 03 : Entre em “Prazos” e forneça o período de carência e o período de amortização

Observação : para o exemplo a carência é zero e a amortização são 5 Meses

Ação 04 : Entre em “Juros” e forneça a taxa de juros

Observação : para o exemplo 4% ao mês



Ação 05 : Aperte a tecla F10 para executar os cálculos Observação : como o campo visual da planilha é limitado, aperte as setas para cima e para baixo para visualizar os outros valores

Exercício 01: Márcia deseja comprar uma moto por um preço R$ 3.000,00.

No entanto, ela não dispõe de toda esta quantia (somente R$ 2.000,00) e deseja

fazer um financiamento no valor faltante, a uma taxa de juros de 8% a.m., em 10

prestações iguais . Pergunta-se: (a) qual é o valor das prestações?; (b) qual é o

saldo devedor imediatamente após a terceira prestação?; (c) qual é o saldo devedor

imediatamente após a quarta prestação?

Valor real financiado: R$ 1.000,00

Resposta: (a) R$ 149,03 (b) R$ 775,90 (c) R$ 688,95

Exercício 02: Lúcia deseja comprar uma geladeira por um preço R$ 900,00.

No entanto, ela não dispõe desta quantia e deseja fazer um crediário, a uma taxa de

juros de 5% a.m., em 6 prestações iguais . Pergunta-se: (a) qual é o valor das

prestações?; (b) qual é o saldo devedor imediatamente após a terceira prestação?;

(c) qual é o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação?

Resposta: (a) R$ 177,32 (b) R$ 482,86 (c) R$ 168,84



20.4 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 20.4.1 – Definição: É um sistema de empréstimo, no qual o tomador do empréstimo

paga a dívida em n prestações e a amortização é constante ao longo dos períodos.

20.4.2 – Aplicação: É um sistema muito comum para financiamento de longo prazo

(acima de dois anos), por exemplo, financiamento de casa própria, caminhões e

prédios (instalações). A entidade financiadora preocupa-se mais com o tempo de

recuperação do capital emprestado do que com os juros embutidos no mesmo.

Figura 6: Ilustra a aplicação do sistema SAC em um contrato. (uso para fins didático )

20.4.3 - Definição de termos :

a) Saldo devedor: valor real devido da dívida que varia ao longo dos

períodos à medida que amortizamos parte do valor devido.

b) Prestação: valor a ser pago, período a período, pelo tomador do

empréstimo. É composto de Amortização + Juros

c) Amortização: parcela da prestação que é realmente deduzida da dívida

(saldo devedor).

d) Juros: parcela da prestação que é paga como remuneração da pessoa

ou entidade cedente.

e) Carência : período onde não há pagamento da dívida, normalmente

incide juros sobre o saldo devedor (dívida)

Tempo

Juros

Amortização

Pre

staç

ão

“Neste sistema, a parcela de juros decresce linearmente com o tempo, ao passo que a parcela de amortização permanece constante ao longo do tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:” (Casarotto, 1992)







( )

n

VikVi

n

VP F

FF

k

..1.

−−+=

Onde: Pk = valor da prestação no período K VF = Valor Real Financiado i = taxa de juros n = número de prestações k = período desejado de análise (b) Valor do saldo devedor no período K :

O saldo devedor responde a seguinte pergunta: quanto ainda falta pagar da

dívida, ou seja, quanto deveria pagar hoje, para quitar a dívida.

n

VkVSD F

Fk

.−=

Onde: SDK = Saldo Devedor VF = Valor Real Financiado

i = taxa de juros n = número de prestações

k = período desejado de análise (c) Valor da amortização no período K :


valor devido ?

ak = n

VF

Onde: ak = Valor Amortizado VF = Valor Real Financiado

i = taxa de juros n = número de prestações (d) Juros no período K :



j k = Prestação – Amortização



20.4.5 – Quadro do Sistema SAC :

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (Ak) Juros ( Jk) Saldo Devedor (SDk) 0 SDo = VF

1 P1 = A1 + J1

n

SDO SDo .i

n

VVSD F

F

.1 −=

2 P1 = A1 + J1 n

SDO SD1 .i

n

VVSD F

F

.22 −=

3 P2 = A2 + J2 n

SDO SD2 .i

n

VVSD F

F

.33 −=

4 P3 = A3 + J3 n

SDO SD3 .i

n

VVSD F

F

.44 −=

5 P4 = A4 + J4 n

SDO SD4 .i

n

VVSD F

F

.55 −=

: : : : : K Pk = Ak + Jk

n

SDO SD(k-1) .i

n

VkVSD F

Fk

.−=

: : : : : : : : : : N Pn = An + Jn

n

SDO SD(n-1) .i

20.4.6 – Exemplo: Lúcio deseja comprar uma moto por um preço R$ 10.000,00. No

entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um crediário pelo sistema SAC,

a uma taxa de juros de 4% a.m., em 5 prestações iguais . Pergunta-se: (a) qual é o

valor das prestações? (b) qual é o saldo devedor imediatamente após o pagamento

da quarta prestação? (c) qual é o saldo devedor imediatamente após o pagamento

da quinta prestação?

Solução :

(a) qual o valor das prestações? (veja os demais valores na tabela a seguir)

( )n

VikVi

n

VP F

FF ..1

.1

−−+= = ( )

5

)000.10.(04,0.11)000.10.(04,0

5

000.10 −−+ = R$ 2.400,00

( )n

VikVi

n

VP F

FF ..1

.2

−−+= = ( )

5

)000.10.(04,0.12)000.10.(04,0

5

000.10 −−+ = R$ 2.320,00

( )n

VikVi

n

VP F

FF ..1

.3

−−+= = ( )

5

)000.10.(04,0.13)000.10.(04,0

5

000.10 −−+ = R$ 2.240,00



(b) qual o saldo devedor imediatamente após a oitava prestação?

n

VkVSD F

F

.4 −= =

5

)000.10.(4000.10 − = R$ 2.000,00

(d) qual o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação ?

n

VkVSD F

F

.5 −= =

5

)000.10.(5000.10 − = R$ 00,00

Preenchendo o quadro abaixo:

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ----- ------ ------- 10.000,00 1 2.400,00 2.000,00 400,00 8.000,00 2 2.320,00 2.000,00 320,00 6.000,00 3 2.240,00 2.000,00 240,00 4.000,00 4 2.160,00 2.000,00 160,00 2.000,00 5 2.080,00 2.000,00 80,00 -------

Calculando os Valores das Prestações e Saldos Devedores : Ação 01 : Entre em “Amortização” e “Características” e “Sistema :” e “Amort. constante”

Ação 02 : Entre em “Liberações” e forneça a data de liberação e o valor de liberação

Observação : para o exemplo a data é 01/12/2003 e o valor são 10.000,00









Ação 05 : Aperte a tecla F10 para executar os cálculos Observação: como o campo visual da planilha é limitado, aperte as setas para cima e para baixo para visualizar os outros valores

Exercício 01: Fábio deseja montar uma loja estimada em R$ 30.000,00. No

entanto, ele não dispõe de toda esta quantia (somente R$ 20.000,00) e deseja fazer

um financiamento do valor faltante, pelo sistema SAC , a uma taxa de juros de 2%

a.m., em 10 prestações . Pergunta-se: (a) qual é o valor da 3a prestação?; (b) qual é

o saldo devedor imediatamente após a terceira prestação?; (c) qual é o saldo

devedor imediatamente após a quarta prestação?

Valor real financiado: R$ 10.000,00

Resposta: (a) R$ 1.160,00 (b) R$ 7.000,00 (c) R$ 6.000,00

Exercício 02: Vera deseja comprar uma loja por um preço R$ 20.000,00. No

entanto, ela não dispõe desta quantia e deseja fazer um crediário, pelo sistema

SAC, a uma taxa de juros de 5% a.m., em 6 prestações . Pergunta-se: (a) qual é o

valor da 5a prestação?; (b) qual é o saldo devedor imediatamente após a terceira

prestação?; (c) qual é o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação?

Resposta: (a) R$ 3.666,67 (b) R$ 10.000,00 (c) R$ 3.333,33



20.5 – Sistema Misto

20.5.1 – Definição : Este sistema busca unir as vantagens do sistema PRICE e

SAC, ou seja, nem parcelas inicialmente tão baixa com o sistema PRICE, nem tão

altas com no sistema SAC. Graficamente, pode-se apresentar este comportamento

da seguinte maneira:

Tempo

Juros

Amortização





(soma das prestações dos sistemas SAC + PRICE divi dido por 2)

PK = 0,5 .{ ( )n

VikVi

n

V FF

F ..1.

−−+ + ( )[ ]

( ) 11

....1......

−++

n

nF

i

iiV }

Onde: Pk = valor da prestação no período K

VF = Valor Real Financiado i = taxa de juros n = número de prestações k = período desejado de análise

(b) Valor do saldo devedor no período K :

Busca responder a seguinte pergunta: quanto ainda falta pagar da dívida, ou

seja, quanto deveria se pagar hoje, para quitar a dívida?

(soma dos saldos devedores dos sistemas SAC + PRICE dividido por 2) (c) Valor da amortização no período K:


valor devido ?

(soma das amortizações dos sistemas SAC + PRICE dividido por 2)



(d) Juros no período K:



(soma dos juros dos sistemas SAC + PRICE dividido por 2) 19.5.3 – Exemplo: Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$10.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema MISTO , a uma taxa de juros de 10,0% a.m., em 5 prestações mensais . Preencha o quadro abaixo.

SAC – Sistema de Amortização Constante

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ---------- ----------- ---------- 10.000,00 1 3.000,00 2.000,00 1.000,00 8.000,00 2 2.800,00 2.000,00 800,00 6.000,00 3 2.600,00 2.000,00 600,00 4.000,00 4 2.400,00 2.000,00 400,00 2.000,00 5 2.200,00 2.000,00 200,00 -------

PRICE – Sistema de Prestações Constantes

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 --------- --------- --------- 10.000,00 1 2.637,97 1.637,97 1.000,00 8.362,03 2 2.637,97 1.801,77 836,20 6.560,25 3 2.637,97 1.981,95 656,03 4.578,30 4 2.637,97 2.180,14 457,83 2.398,16 5 2.637,97 2.398,16 239,82 ----------

MISTO – Sistema Misto

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ---------- ---------- --------- 10.000,00 1 2.818,99 1.818,99 1.000,00 8.181,02 2 2.718,99 1.900,89 818,10 6.280,13 3 2.618,99 1.990,98 628,02 4.289,15 4 2.518,99 2.090,07 428,92 2.199,08 5 2.418,99 2.199,08 219,91 -----------



Exercício: Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 5.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema MISTO, a uma taxa de juros de 4% a.m., em 5 prestações mensais. Pede-se: preencher o quadro abaixo.

SAC – Sistema de Amortização Constante

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ---------- ----------- -------- 1 2 3 4 5 ----------

PRICE – Sistema de Prestações Constantes

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ----------- ------------- -------- 1 2 3 4 5 ----------

MISTO – Sistema Misto

Período (k) Prestação (Pk) Amortização (ak) Juros ( jk) Saldo Devedor (SDk) 0 ------------ ---------- ----------- 1 2 3 4 5 -------------



20.6 – SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO 20.6.1 – Definição: É um sistema de empréstimo, no qual o tomador do empréstimo

paga somente os juros durante n-1 prestações, e amortiza tudo no final do último

período.

Neste sistema, a parcela de juros permanece constante, enquanto a parcela

de amortização permanece nula até o período n-1. No período n, o tomador do

empréstimo paga os juros e amortização tudo de uma só vez. Graficamente, pode-se

apresentar este comportamento da seguinte maneira:

1 2 3

PV

nn-1

PV + Juros

Juros

20.6.2 – Fórmulas (a) Valor das prestações:



PK = VF * i (Para K: de 0 até n-1)

PK = VF + VF * i (Para K = n)

Onde: Pk = valor da prestação no período K

VF = Valor Real Financiado i = taxa de juros k = período desejado de análise

n = número de prestações

(b) Valor do saldo devedor no período K:

O valor do saldo devedor responde a seguinte pergunta: quanto ainda falta

pagar da dívida, ou seja, quanto deveria pagar hoje, para quitar a dívida?

SDK = VF Onde:

VF = Valor Real Financiado k = período desejado de análise



(c) Fórmula – valor da amortização no período K:


valor devido ?

ak = zero (Para K: de 0 até n-1)

ak = VF (Para K = n) Onde: VF = Valor Real Financiado

i = taxa de juros n = número de prestações (d) Fórmula – juros no período K:



j k = VF * i

20.6.3 – Exemplo : Lúcio deseja comprar uma moto por um preço R$ 10.000,00. No






Calculando os Valores das Prestações e Saldos Devedores : Ação 1 : Entre em “Amortização” e “Características” e “Sistema :” e “Americano”










Ação 05 : Aperte a tecla F10 para executar os cálculos Observação: como o campo visual da planilha é limitado, aperte as setas para cima e para baixo para visualizar os outros valores

Solução:

(a) PK = VF * i = R$ 400,00 (Da 1a a 4a prestação)

PK = VF + VF * i = R$ 10.400,00 (Na 5a prestação)

(b) SD4 = R$ 10.000,00

(c) SD5 = R$ 00,00



20.7 – Sistema de Pagamento Único 20.7.1 – Definição: É o sistema mais simples, no qual o tomador simplesmente

paga os juros e amortiza o principal, no final do empréstimo.

20.7.2 – Aplicação: é um sistema muito utilizado para financiamentos de Capital de

Giro e empréstimos de curto prazo.

Neste sistema, não há prestações até o período n-1. No período n, o tomador

do empréstimo paga o todo: os juros e amortização conjuntamente. Graficamente,

pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:

1 2 3 n

PV

PV + Juros





PK = zero (Para K: de 0 até n-1)

PK = VF ( 1+ i ) n (Para K = n)

Onde: Pk = valor da prestação no período K VF = Valor Real Financiado i = taxa de juros k = período desejado de análise

n = número de prestações

(b) Valor do saldo devedor no período K:

O saldo devedor responde a seguinte pergunta: quanto ainda falta pagar da

dívida, ou seja, quanto deveria pagar hoje, para quitar a dívida.

SDK = VF ( 1+ i ) k Onde: VF = Valor Real Financiado k = período desejado de análise



(c) Valor da amortização no período K:


valor devido ?

ak = zero (Para K: de 0 até n-1)

ak = VF (Para K = n) Onde: VF = Valor Real Financiado

i = taxa de juros n = número de prestações 20.7.4 – Exemplo: Lúcio deseja comprar uma moto por um preço R$ 10.000,00. No






Calculando com o uso do softinvest : Ação 01 : Entre em “Amortização” e “Características” e “Sistema :” e “Pagamento único”










Ação 05 :Aperte a tecla F10 para executar os cálculos Observação: como o campo visual da planilha é limitado, aperte as setas para cima e para baixo para visualizar os outros valores

Solução:

(a) P5 = VF (1+ i)5 = 10.000 (1,0,4)5 = R$ 12.166,53 (na 5a prestação)

(b) SD4 = VF (1+ i)4 = 10.000 (1,0,4)4 = R$ 11.698,59, na 4a prestação.

(c) SD5 = zero



Exercício de revisão Sistemas de Financiamento : considere que você deseja

fazer um empréstimo de R$ 10.000,00, para compra de veículo em uma

concessionária, a uma taxa de juros de 10% ao ano . A concessionária oferece-lhe,

então, quatro formas de pagamento: plano I (sistema Americano), plano II

(sistema SAC), plano III (sistema PRICE ) e plano IV (sistema de pagamento

único).

Pede-se preencher o quadro com as prestações. Respostas: página 12.

Ano Investimento Plano I Plano II Plano III Plano IV

0 R$ 10.000,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



21. INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

“...Em termos reais, os trabalhadores já vêm perdendo dinheiro com o FGTS faz tempo. Nos últimos seis anos, o fundo de garantia rendeu 48,31% enquanto a inflação medida pelo IPCA subiu 65,34%, segundo levantamento do Valor Data. Ou seja, o que se comprava por R$ 100,00 há seis anos, hoje custa R$ 165,34, mas o trabalhador só tem R$ 148,31 no FGTS. Isso quer dizer que o trabalhador perdeu cerca de 10% de valor real no período...”10

21.1 – Definição : entende-se por inflação a perda do poder aquisitivo da moeda.

Exemplo: Suponha que Marcos tenha R$ 1.650,00, hoje . Com esta quantia ele

pode adquirir a preços de hoje os seguintes produtos: geladeira por R$ 800,00, máquina de lavar por R$ 600,00 e microondas por R$ 250,00. Após ter decorrido um ano, os preços destes produtos foram reajustados para: geladeira por R$ 880,00, máquina de lavar por R$ 660,00 e microondas por R$ 275,00. Se Marcos ainda possuí seus R$ 1.650,00, ele só poderá adquirir: uma geladeira e uma máquina de lavar, ou uma geladeira e um microondas, ou máquina de lavar e um microondas. Ou seja, ele não poderá mais adquirir os três produtos. Em suma, a esta perda de poder aquisitivo da moeda é que chamamos de inflação .

21.2 – Fatores geradores de inflação

Segundo o site economianet11, a inflação é o contínuo, persistente e generalizado aumento de preços. Consideramos quatro tipos principais geradores de inflação:

A) Inflação de demanda : refere-se ao excesso de demanda agregada em relação à produção disponível de bens e serviços na economia. É causada pelo crescimento dos meios de pagamento, que não é acompanhado pelo crescimento da produção. Ocorre apenas quando a economia está próxima do pleno-emprego, ou seja, não pode aumentar substancialmente a oferta de bens e serviços a curto prazo.

10 Fonte: Título: “Todos querem o FGTS”. www.debentures.com.br/informacoesaomercado/noticias.asp. Acesso

em: 13/02/07 11 Fonte: www.economiabr.net/economia/4_inflacao.html. Acesso em: 12/02/07



“...Com cenário macroeconômico estável, segundo ele, cenário esterno confortável e crescimento sustentável, “acho que há um certo exagero nesta colocação (na ata) dos meus amigos do Banco Central”, afirma o ministro, durante exposição em aula magna da Fundação Getúlio Vargas, em São Paulo. Ele descartou a hipótese de haver inflação de demanda (quando os preços sobem porque a procura é maior do que a oferta de produtos), que possa provocar a necessidade de aumentar a taxa de juros para frear o consumo....”12

B) Inflação de custos : tem suas causas nas condições de oferta de bens e serviços na economia. O nível da demanda permanece o mesmo, mas os custos de certos fatores importantes aumentam, levando à retração da oferta e provocando um aumento dos preços de mercado.

C) Inflação inercial : é a aquela em que a inflação presente é uma função da inflação passada. Se deve à inércia inflacionária, que é a resistência que os preços de uma economia oferecem às políticas de estabilização que atacam as causa primárias da inflação. Seu grande vilão é a "indexação", que é o reajuste do valor das parcelas de contratos pela inflação do período passado.

D) Inflação estrutural : a corrente estruturalista supunha que a inflação em países em vias de desenvolvimento é essencialmente causada por pressões de custos, derivados de questões estruturais como a agrícola e a de comércio internacional.

21.3 – Definição de correção monetária: teoricamente, é um instrumento de correção da moeda na exata medida do efeito da inflação. No entanto, a correção monetária nem sempre corresponde a correção real da moeda, no entanto para facilidade de cálculos consideramos aqui tal equivalência (Casarotto, 1992).

Exemplos de índices de correção de correção monetár ia:

TR: Taxa Referencial , divulgada pelo Banco Central do Brasil IPC: Índice de Preços ao Consumidor , medido nas cidades de São Paulo e

do Rio de Janeiro, com o universo de pessoas que ganham de 1 a 33 salários mínimos. É calculado pela Fundação Getúlio Vargas.

INPC: Índice Nacional de Preços ao Consumidor , calculado pelo IBGE com o objetivo de balizar os reajustes do salário, compreende o universo de pessoas que ganham de 1 a 8 salários mínimos nas grandes capitais brasileiras

IGP-M: Índice Geral de Preços do Mercado, calculado a partir da média ponderada entre dos índices: IPA – Índice de Preços no Atacado , que mede a variação de preços no mercado atacadista, com peso de 60% ; IPC – Índice de Preço ao Consumidor , que mede a variação de preços entre as famílias, com peso de 30% ; INCC – Índice Nacional da Construção Civil , que mede a variação de preços no setor da

12 Fonte: Diário Catarinense. Encarte Econômico, 15/03/08. Titulo: “Miguel Jorge vê exagero no BC”



construção civil, considerando no caso tanto materiais com também a mão-de-obra empregada no setor, com peso de 10% .13 Exemplos de aplicação: reajuste de aluguéis, mensalidades escolares e mensalidade de TV a Cabo.

“Em conformidade com o estabelecido no Código de Defesa do Consumidor, a NET, comunica a todos os seus clientes que a partir de abril de 2007, o valor das mensalidades dos planos de serviços de TV a Cabo, sofrerão os reajustes anuais em contrato, segundo a variação do IGP-M”14

IPCA: Índice de Preços ao Consumidor Amplo , calculado pelo IBGE com o

objetivo de corrigir os balanços e demonstrativos financeiros trimestrais e semestrais das companhias abertas. Compreende o universo de 1 a 40 salários mínimos nas grandes capitais brasileiras. Exemplos de aplicação do ICPA:

“A estimativa é que o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) - usado como referência para a meta de inflação – termine 2008 em 4,66%.” 15 “Mais de 24 mil medicamentos terão reajuste médio de 3,18% a partir de hoje...Os percentuais,..., foram definidos segundo nível de competição nos mercados a partir do grau de participação dos genéricos nas vendas. A Câmara informou que o cálculo para definir o reajuste se baseou também no IPCA, do IBGE, o fator de produtividade das empresas da área e a variação dos custos do setor.”16

Figura 7: Ilustra alguns dos indicadores de inflação e correção mais usuais. (uso para fins didático ) 21.4 – Exemplo: Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 10.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema PRICE , a uma taxa de juros pós-fixada de 4,0%

13 Fonte: www.portalbrasil.net/igp.htm. 04/04/2006

14 Fonte: Informativo da NET Transcabo aos clientes. Março/2007 15 Fonte: Jornal Correio do Povo. 17/04/2008. Título: “BC aumenta juros após 3 anos”

16 Fonte: Jornal Correio do Povo. 31/03/08. Título: “Preços dos remédios sobem hoje”



a.m. + T.R. em 5 prestações mensais . As taxas de correção estimada para a T.R. são:

Período T.R.: Taxa Referencial De 0 até 1 0,36 % De 1 até 2 0,38 % De 2 até 3 0,39 % De 3 até 4 0,40 % De 4 até 5 0,38 %

Pede-se, calcular os valores das prestações e saldo devedor sem e com

correção pela T.R. . Solução : Calculando os Valores das Prestações e Saldos Devedores : Ação 01 : Entre em “Amortização” e “Características” e “Sistema :” e “Francês”

Observação : o sistema PRICE é sinônimo de sistema Francês

Ação 02 : Entre em “Liberações” e forneça a data de liberação e o valor de liberação

Observação : para o exemplo a data é 01/12/2003 e o valor são 10.000,00







Ação 05 : Aperte a tecla F10 para executar os cálculos Observação 01: copie os valores das prestações e dos saldos devedores, para a folha de resposta. Observação 02: como o campo visual da planilha é limitado, aperte as setas para cima e para baixo para visualizar os outros valores



Calculando os Valores das Prestações e Saldos Devedores Corrigidos : Ação 06 : Entre em “Fluxo de Caixa” e “Valor das Parcelas” e forneça os valores das prestações

Observação : para inserir mais períodos aperte a tecla Insert e para apagar a tecla Delete

Ação 07 : No campo “Fluxo de Caixa” e “Taxas para análise” e “Correção :” e “Taxa” e “Variável”

Observação : estamos configurando para inserir as taxas de correção monetária variável



Ação 08 : Entre em “Valor das taxas” e “Correção : Informe Taxas” forneça as taxas de correção monetária

Observação : para inserir mais períodos aperte a tecla Insert e para apagar a tecla Delete

Ação 09 : Para executar os cálculos aperte F10 e Esc

Ação 10 : Entre no campo “Movimento de Caixa” e obtenha os valores desejados

Para o cálculo dos valores dos saldos devedores corrigidos



Ação 11 : Entre em “Valor das Parcelas” e forneça os valores dos saldos devedores que devem ser corrigidos

Ação 12 : Para executar os cálculos aperte F10 e Esc

Ação 13 : Entre no campo “Movimento de Caixa” e obtenha os valores desejados



Exposição dos valores na tabela

Sem Correção Com Correção Período Prestação Saldo Devedor Prestação Saldo Devedor

0 10.000 10.000,00

1 2.246,27 8.153,73 2.254,36 8.183,08 2 2.246,27 6.233,61 2.262.92 6.279,82 3 2.246,27 4.236,68 2.271.75 4.284,73 4 2.246,27 2.159,88 2.280,84 2.193,12 5 2.246,27 2.289,50

Exercício: Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema PRICE, a uma taxa de juros pós-fixado de 2,0% a.m. + T.R. em 5 prestações mensais. As taxas de correção estimada para a T.R. são:

Período T.R.: Taxa Referencial De 0 até 1 0,28 % De 1 até 2 0,31 % De 2 até 3 0,32 % De 3 até 4 0,30 % De 4 até 5 0,29 %

Pede-se, calcular os valores das prestações e saldo devedor sem e com

correção pela T.R.: Sem Correção Com Correção

Período Prestação Saldo Devedor Prestação Saldo Devedor 0 8.000 8.000

1 2 3 4 5

21.4 – Exemplo: Correção pelo CUB

empréstimo do data na Na

Atualempréstimo do data Na CUB

CUB x ValorCorridoValor =

Exercício: Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema SAC, a uma taxa de juro pós-fixado de 3,0% a.m. + CUB em 5 prestações mensais. Os valores do CUB estimados por período são :



Período CUB Na data do empréstimo

R$ 840,00

De 0 até 1 R$ 842,10 De 1 até 2 R$ 850,50 De 2 até 3 R$ 851,30 De 3 até 4 R$ 853,20 De 4 até 5 R$ 836,40

(a) Pede-se valor da 3a prestação corrigida (b) Pede-se valor da 5a prestação corrigida (c) Pede-se valor do 1o saldo devedor corrigido (d) Pede-se valor do 3o saldo devedor corrigido

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22. EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Questão 01: Luiz deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 200,00, para um fundo de aposentadoria, que cobra uma taxa de carregamento de 8% no ato dos depósitos. Se a taxa de remuneração é 0,85% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria e a primeira contribuição ocorre hoje , qual é o valor das retiradas mensais , para que não seja afetado o capital acumulado? Se ele vai contribuir por 20 anos. Resposta: R$ 1.229,28/mês Questão 02: Luiz deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 180,00, para um fundo de aposentadoria, que cobra uma taxa de carregamento de 6% no ato dos depósitos. Se a taxa de remuneração é 0,75% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria e a primeira contribuição ocorre hoje , qual é o valor das retiradas mensais , para que não seja afetado o capital acumulado? Se ele vai contribuir por 15 anos. Resposta: R$ 483,79/mês Questão 03: Luiz deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 150,00, para um fundo de aposentadoria, que cobra uma taxa de carregamento de 6% no ato dos depósitos. Se a taxa de remuneração é 0,80% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria e a primeira contribuição ocorre hoje , qual é o valor das retiradas mensais , para que não seja afetado o capital acumulado? Se ele vai contribuir por 18 anos Resposta: R$ 652,48/mês Questão 04: Luiz deseja contribuir mensalmente com uma quantia de R$ 150,00, para um fundo de aposentadoria, que cobra uma taxa de carregamento de 5% no ato dos depósitos. Se a taxa de remuneração é 0,95% a.m. + T.R. (taxa referencial), para este fundo de aposentadoria e a primeira contribuição ocorre hoje , qual é o valor das retiradas mensais , para que não seja afetado o capital acumulado? Se ele vai contribuir por 20 anos Resposta: R$ 1.247,50/mês Questão 05: Lúcia deseja compra uma máquina a prazo, cujo valor à vista é de R$ 80.000,00. A taxa de juros compostos do financiamento é de 10,5 % a.a. com capitalização trimestral. Pergunta-se, quanto Lúcia terá de pagar mensalmente , se desejar parcelar a dívida em 60 vezes (1+59) ? Resposta: R$ 1.701,17/mês Questão 06: Lúcia deseja compra uma máquina a prazo, cujo valor à vista é de R$ 80.000,00. A taxa de juros compostos do financiamento é de 8 % a.s. com capitalização trimestral. Pergunta-se, quanto Lúcia terá de pagar mensalmente , se desejar parcelar a dívida em 60 vezes (1+59) ? Resposta: R$ 1.911,43/mês Questão 07: Lúcia deseja compra uma máquina a prazo, cujo valor à vista é de R$ 100.000,00. A taxa de juros compostos do financiamento é de 8 % a.s. com capitalização mensal. Pergunta-se, quanto Lúcia terá de pagar mensalmente , se desejar parcelar a dívida em 40 vezes (1+39) ? Resposta: R$ 3.199,23/mês



100

Questão 08: Lúcia deseja compra uma máquina a prazo, cujo valor à vista é de R$ 100.000,00. A taxa de juros compostos do financiamento é de 8 % a.a. com capitalização trimestral. Pergunta-se, quanto Lúcia terá de pagar mensalmente , se desejar parcelar a dívida em 60 vezes (1+59) ? Resposta: R$ 2.011,79/mês Questão 09: Antônio deseja ter um montante igual a R$ 21.000,00 para financiar a troca de máquinas em sua empresa, daqui a 60 meses (0+60) . Quanto ele deve depositar mensalmente em fundo de aplicações, para obter esta quantia, se o fundo de aplicações remunerar a uma taxa de 15% a.s. com capitalização mensal ? Resposta: R$ 154,42/mês Questão 10: Antônio deseja ter um montante igual a R$ 21.000,00 para financiar a troca de máquinas em sua empresa, daqui a 20 meses (1+19) . Quanto ele deve depositar mensalmente em fundo de aplicações, para obter esta quantia, se o fundo de aplicações remunerar a uma taxa de 12% a.a. com capitalização semestral ? Resposta: R$ 946,72/mês Questão 11: Antônio deseja ter um montante igual a R$ 21.000,00 para financiar a troca de máquinas em sua empresa, daqui a 60 meses (0+60) . Quanto ele deve depositar mensalmente em fundo de aplicações, para obter esta quantia, se o fundo de aplicações remunerar a uma taxa de 12% a.a. com capitalização mensal ? Resposta: R$ 257,13/mês Questão 12: Antônio deseja ter um montante igual a R$ 21.000,00 para financiar a troca de máquinas em sua empresa, daqui a 60 meses (1+59) . Quanto ele deve depositar mensalmente em fundo de aplicações, para obter esta quantia, se o fundo de aplicações remunerar a uma taxa de 12% a.a. com capitalização semestral ? Resposta: R$ 256,63/mês Questão 13: Uma loja vende equipamentos por um preço de R$ 6.000,00 e propõem duas formas de pagamento a determinado cliente: (a) no cartão de crédito sem desconto (suponha que o cartão tem vencimento para daqui a: 18 dias ); ou (b) à vista, dando 6,0% de desconto (para o pagamento à vista o cliente poderá utilizar o limite do cheque especial que cobra 9%a.m.) Pergunta-se, qual é a melhor opção de pagamento (justifique com números)? Resposta: a) 10,86%a.m. b) 9%a.m. Melhor opção (b) Questão 14: Uma loja vende equipamentos por um preço de R$ 10.000,00 e propõem duas formas de pagamento a determinado cliente: (a) no cartão de crédito sem desconto (suponha que o cartão tem vencimento para daqui a: 21 dias ); ou (b) à vista, dando 5,0% de desconto (para o pagamento à vista o cliente poderá utilizar o limite do cheque especial que cobra 9%a.m.) Pergunta-se, qual é a melhor opção de pagamento (justifique com números)? Resposta: a) 7,6%a.m. b) 9%a.m. Melhor opção ( a)



101

Questão 15: Uma loja vende equipamentos por um preço de R$ 10.000,00 e propõem duas formas de pagamento a determinado cliente: (a) no cartão de crédito sem desconto (suponha que o cartão tem vencimento para daqui a: 24 dias ); ou (b) à vista, dando 6,0% de desconto (para o pagamento à vista o cliente poderá utilizar o limite do cheque especial que cobra 8%a.m.) Pergunta-se, qual é a melhor opção de pagamento (justifique com números)? Resposta: a) 8,04%a.m. b) 8,00%a.m. Melhor o pção (b) Questão 16: Uma loja vende equipamentos por um preço de R$ 10.000,00 e propõem duas formas de pagamento a determinado cliente: (a) no cartão de crédito sem desconto (suponha que o cartão tem vencimento para daqui a: 27 dias ); ou (b) à vista, dando 5,0% de desconto (para o pagamento à vista o cliente poderá utilizar o limite do cheque especial que cobra 7%a.m.) Pergunta-se, qual é a melhor opção de pagamento (justifique com números)? Resposta: a) 5,86%a.m. b) 7,0%a.m. Melhor Opção (a) Questão 17: A empresa Cliente Feliz está vendendo Filmadoras PANASONIC. Pergunta-se, qual é a taxa de juros embutida para a seguinte operação de crediário: À vista por R$ 1.500,00 ou 5 (1+4) vezes iguais de R$ 318,00. Resposta: 3%a.m. Questão 18: A empresa Cliente Feliz está vendendo Filmadoras PANASONIC. Pergunta-se, qual é a taxa de juros embutida para a seguinte operação de crediário: À vista por R$ 1.500,00 ou 5 (1+4) vezes iguais de R$ 315,00. Resposta: 2,5%a.m. Questão 19: A empresa Cliente Feliz está vendendo Filmadoras PANASONIC. Pergunta-se, qual é a taxa de juros embutida para a seguinte operação de crediário: À vista por R$ 1.500,00 ou 5 (1+4) vezes iguais de R$ 310,00. Resposta: 1,67%a.m. Questão 20: A empresa Cliente Feliz está vendendo Filmadoras PANASONIC. Pergunta-se, qual é a taxa de juros embutida para a seguinte operação de crediário: À vista por R$ 1.500,00 ou 5 (0+5) vezes iguais de R$ 320,00. Resposta: 2,19%a.m.

Questão 21 : Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema SAC , a uma taxa de juro pós-fixado de 2,0% a.m. + T.R. em 5 prestações mensais. As taxas de correção estimada para a T.R. são :

Período T.R. : Taxa Referencial De 0 até 1 0,26 % De 1 até 2 0,28 % De 2 até 3 0,29 % De 3 até 4 0,22 % De 4 até 5 0,28 %



102

(a) Pede-se valor da 3a prestação corrigida Resposta: R$ 1.710,12 (b) Pede-se valor da 5a prestação corrigida Resposta: R$ 1.653,82 (c) Pede-se valor do 1o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 6.416,64 (d) Pede-se valor do 3o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 3.226,63 Questão 22 : Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema PRICE , a uma taxa de juro pós-fixado de 4,0% a.m. + IPC em 5 prestações mensais. As taxas de correção estimada para a IPC são :

Período IPC De 0 até 1 0,16 % De 1 até 2 0,18 % De 2 até 3 0,19 % De 3 até 4 0,12 % De 4 até 5 0,18 %

(a) Pede-se valor da 3a prestação corrigida Resposta: R$ 1.806,56 (b) Pede-se valor da 5a prestação corrigida Resposta: R$ 1.811,98 (c) Pede-se valor do 1o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 6.533,42 (d) Pede-se valor do 3o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 3.407,34 Questão 23 : Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema SAC , a uma taxa de juro pós-fixado de 3,0% a.m. + TJLP em 5 prestações mensais. As taxas de correção estimada para a TJLP são :

Período TJLP De 0 até 1 0,26 % De 1 até 2 0,38 % De 2 até 3 0,29 % De 3 até 4 0,42 % De 4 até 5 0,28 %

(a) Pede-se valor da 3a prestação corrigida Resposta: R$ 1.760,27 (b) Pede-se valor da 5a prestação corrigida Resposta: R$ 1.675,04 (c) Pede-se valor do 1o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 6.416,64 (d) Pede-se valor do 3o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 3.229,85 Questão 24 : Uma empresa deseja adquirir um equipamento, no valor de R$ 8.000,00. No entanto, ele não dispõe desta quantia e deseja fazer um financiamento pelo Sistema PRICE , a uma taxa de juro pós-fixado de 2,0% a.m. + IGP-M em 5 prestações mensais. As taxas de correção estimada para a IGP-M são :

Período IGP-M De 0 até 1 0,36 % De 1 até 2 0,38 % De 2 até 3 0,39 % De 3 até 4 0,32 % De 4 até 5 0,38 %

(a) Pede-se valor da 3a prestação corrigida Resposta: R$ 1.716,52 (b) Pede-se valor da 5a prestação corrigida Resposta: R$ 1.728,56



103

(c) Pede-se valor do 1o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 6.486,00 (d) Pede-se valor do 3o saldo devedor corrigido Resposta: R$ 3.332,73 Questão 25: Tânia conseguiu um empréstimo de R$ 1.000,00, no dia 01/01/2003, em um banco que cobra 2,5% ao mês de taxa de juros compostos, mais correção pelo IPC. Quanto deverá pagar considerando a correção pelo IPC no dia 30/04/2003 ? Período Jan Fev Março Abril

IPC 0,2591% 0,1171% 0,1758% 0,2357%

Resposta: R$ 1.201,94

Questão 26: Luiz conseguiu um empréstimo de R$ 10.000,00, no dia 01/01/2003, em um banco que cobra 3% ao mês de taxa de juros compostos, mais correção pela T.R. (Taxa Referencial). Quanto deverá pagar considerando a correção pela T.R. no dia 30/04/2003 ? Período Jan Fev Março Abril Taxa Referencial 0,1171% 0,1758% 0,2357% 0,2102% Resposta: R$ 11.338,47 Questão 27: Marcos conseguiu um empréstimo de R$ 10.000,00, no dia 01/01/2002, em um banco que cobra 4% ao mês de taxa de juros compostos, mais correção pelo IGP-M. Quanto deverá pagar considerando a correção pelo IGP-M no dia 30/04/2002? Período Jan Fev Março Abril

IGP-M 0,4878% 0,4116% 0,3782% 0,4485%

Resposta: R$ 11.901,83 Questão 28: Uma empresa necessita adquirir matéria prima para seu processo produtivo. O valor total da matéria-prima orçado junto aos fornecedores totaliza R$ 13.500,00. Neste valor já está incluso o desconto oferecidos pelos fornecedores em compras à vista. No entanto, a empresa não dispõe deste dinheiro em caixa. Determinar a melhor maneira para pagamento entre as quatro alternativas abaixo, baseado nas suas respectivas taxas de juros. 1) Pegar o dinheiro em uma financeira, cujo financiamento de capital de giro está em 4,0%a.m. e pagar à vista , passando a dever para a financeira. 2) Comprar a prazo a mercadoria: em 5 (1+4) pagamentos sem acréscimo , no valor de R$ 2.950,00/mês sobre o valor sem desconto à vista. 3) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de Duplicata. A duplicata terá um valor de R$ 14.211,00 em uma financeira, que cobra uma taxa no ato de 5%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 27 dias . 4) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de antecipação de cheques. Os cheques dos clientes a serem antecipados são os seguintes:



104

Daqui a 1 mês R$ 3.000,00 Daqui a 2 meses R$ 3.000,00 Daqui a 3 meses R$ 5.000,00 Daqui a 4 meses R$ 3.211,00

Total R$ 14.211,00 Nesta operação a financeira cobra de juros antecipados de 5%. Resposta: 1) 4%a.m. 2) 4,63%a.m. 3) 5,86%a.m . 4) 2,0%a,m. Melhor opção (4) Questão 29: Uma empresa necessita adquirir matéria prima para seu processo produtivo. O valor total da matéria-prima orçado junto aos fornecedores totaliza R$ 13.500,00. Neste valor já está incluso o desconto oferecidos pelos fornecedores em compras à vista. No entanto, a empresa não dispõe deste dinheiro em caixa. Determinar a melhor maneira para pagamento entre as quatro alternativas abaixo, baseado nas suas respectivas taxas de juros. 1) Pegar o dinheiro em uma financeira, cujo financiamento de capital de giro está em 4,8%a.m. e pagar à vista , passando a dever para a financeira. 2) Comprar a prazo a mercadoria: em 5 (1+4) pagamentos sem acréscimo , no valor de R$ 2.980,00/mês sobre o valor sem desconto à vista. 3) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de Duplicata. A duplicata terá um valor de R$ 14.211,00 em uma financeira, que cobra uma taxa no ato de 5%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 20 dias . 4) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de antecipação de cheques. Os cheques dos clientes a serem antecipados são os seguintes:


Total R$ 14.211,00 Nesta operação a financeira cobra de juros antecipados de 5%. Resposta: 1) 4,8%a.m. 2) 5,19%a.m. 3) 8,0%a.m . 4) 1,9%a.m. Melhor opção (4) Questão 30: Uma empresa necessita adquirir matéria prima para seu processo produtivo. O valor total da matéria-prima orçado junto aos fornecedores totaliza R$ 13.500,00. Neste valor já está incluso o desconto oferecidos pelos fornecedores em compras à vista. No entanto, a empresa não dispõe deste dinheiro em caixa. Determinar a melhor maneira para pagamento entre as quatro alternativas abaixo, baseado nas suas respectivas taxas de juros.



105

1) Pegar o dinheiro em uma financeira, cujo financiamento de capital de giro está em 4,3%a.m. e pagar à vista , passando a dever para a financeira. 2) Comprar a prazo a mercadoria: em 5 (1+4) pagamentos sem acréscimo , no valor de R$ 2.900,00/mês sobre o valor sem desconto à vista. 3) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de Duplicata. A duplicata terá um valor de R$ 14.211,00 em uma financeira, que cobra uma taxa no ato de 5%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 24 dias . 4) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de antecipação de cheques. Os cheques dos clientes a serem antecipados são os seguintes:


Total R$ 14.211,00 Nesta operação a financeira cobra de juros antecipados de 5%. Resposta: 1) 4,3%a.m. 2) 3,71%a.m. 3) 6,62%a.m . 4) 2,07%a.m. Melhor Opção (4) Questão 31: Uma empresa necessita adquirir matéria prima para seu processo produtivo. O valor total da matéria-prima orçado junto aos fornecedores totaliza R$ 13.500,00. Neste valor já está incluso o desconto oferecidos pelos fornecedores em compras à vista. No entanto, a empresa não dispõe deste dinheiro em caixa. Determinar a melhor maneira para pagamento entre as quatro alternativas abaixo, baseado nas suas respectivas taxas de juros. 1) Pegar o dinheiro em uma financeira, cujo financiamento de capital de giro está em 4,0%a.m. e pagar à vista , passando a dever para a financeira. 2) Comprar a prazo a mercadoria: em 5 (1+4) pagamentos sem acréscimo , no valor de R$ 2.916,00/mês sobre o valor sem desconto à vista. 3) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de Duplicata. A duplicata terá um valor de R$ 14.211,00 em uma financeira, que cobra uma taxa no ato de 5%. A duplicata será paga em seu valor total daqui a 24 dias . 4) Alavancar o recurso para pagamento à vista por meio de antecipação de cheques. Os cheques dos clientes a serem antecipados são os seguintes:


Total R$ 16.000,00 Nesta operação a financeira cobra de juros antecipados de 8%. Resposta: 1) 4%a.m. 2) 4%a.m. 3) 6,62%a.m. 4) 3,61%a.m. Melhor opção (4)



106

Questão 32 : Um Grupo Internacional obteve em 2005 um lucro de R$ 72.000,00. O patrimônio declarado do grupo no início do período foi de R$ 480.000,00. Pergunta-se qual foi a taxa de rentabilidade neste período de 2006? Resposta: 15%a.a. Questão 33 : Um Grupo Internacional obteve em 2005 um lucro de R$ 72.000,00. O patrimônio declarado do grupo no início do período foi de R$ 400.000,00. Pergunta-se qual foi a taxa de rentabilidade neste período de 2006? Resposta: 18%a.a. Questão 34 : A Madeireira Porto Feliz S.A. pagou, recentemente, um dividendo de R$ 4,50/ação/ano . Os investidores exigem um retorno de 17,5% ao ano em investimentos semelhantes (taxa Selic). Por ser uma empresa madura, em um setor fortemente regulamentado, espera-se que não haja crescimento de dividendos indefinidamente, ou seja, os dividendos fiquem constantes. Assim, qual é o valor atual da ação se a empresa deseja resgatar hoje? Resposta: R$ 25,72/ação Questão 35 : A Madeireira Porto Feliz S.A. pagou, recentemente, um dividendo de R$ 4,50/ação/ano . Os investidores exigem um retorno de 14,5% ao ano em investimentos semelhantes (taxa Selic). Por ser uma empresa madura, em um setor fortemente regulamentado, espera-se que não haja crescimento de dividendos indefinidamente, ou seja, os dividendos fiquem constantes. Assim, qual é o valor atual da ação se a empresa deseja resgatar hoje? Resposta: R$ 31,03/ação Questão 36: Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 120 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 3% e sua despesa operacional é de R$ 90,00 por mês . Através de uma pesquisa de mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados:

Resposta: R$84.906,18 Questão 37: Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 120 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 3% e sua despesa operacional é de R$ 90,00 por mês . Através de uma pesquisa de mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados:

Valor Aluguel (R$) Preço de Venda (R$) Vacância (%) Despesas Operacionais (R$)150 600 80000 3,00% 50110 540 90000 2,00% 90100 560 83500 2,50% 80120 580 79000 3,00% 7090 500 77000 3,50% 60

Área (m2)



107

Área (m2) Valor Aluguel (R$)

Preço de Venda (R$)

Vacância (%) Despesas Operacionais (R$)

150 600 90.000 3% 70 110 540 80.000 2% 90 100 560 83.500 2,5% 80 120 580 79.000 2,5% 70 130 550 77.000 3% 60

Resposta: R$ 78.609,43 Questão 38: Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 110 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 2,5% e sua despesa operacional é de R$ 80,00 por mês . Através de uma pesquisa de mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados: Área (m2) Valor Aluguel (R$) Preço de Venda


Operacionais (R$) 150 600 90.000 2% 80 110 540 80.000 3% 90 100 560 75.500 2,5% 60 120 580 79.000 3,5% 70 130 550 82.000 3% 60

Resposta: R$ 72.199,13 Questão 39: Método da Renda (Avaliação imobiliária) – Estimar o valor venal de um apartamento de 2 quartos, de 120 m2, através do método da renda. De acordo com o histórico do imóvel, sua vacância é de 2,5% e sua despesa operacional é de R$ 90,00 por mês . Através de uma pesquisa de mercado, feita para apartamentos de 2 quartos, de características similares aos avaliando (tamanho, destinação, localização, padrão de construção, idade, etc.), foram levantados os seguintes dados: Área (m2) Valor Aluguel (R$) Preço de Venda


Operacionais (R$) 130 600 90.000 3% 70 120 550 80.000 2% 90 150 670 83.500 2,5% 80 120 580 79.000 2,5% 70 130 580 77.000 3% 60

Resposta: R$ 72.219,34



108

23. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE

23.1 – Definição: a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa a partir da qual o

investidor considera que está obtendo ganhos financeiros. Uma das formas de se

analisar um investimento é confrontar a TIR (Taxa Interna de Retorno) com a TMA

do investidor. Se a TMA for menor que a TIR, o investimento é viável do ponto de

vista econômico, se a TMA for igual a TIR, o investimento equiparasse a aplicação

financeira (ponto de equilíbrio) e, se a TMA for maior que a TIR, o investimento não

é viável do ponto de vista econômico.

23.2 – Exemplo de taxas:

Para pessoas físicas , no caso do Brasil, é comum a taxa mínima de

atratividade ser igual à rentabilidade da caderneta de poupança, fundo de

aplicações de renda fixa e RDB – Registro de Depósito Bancário.

Para empresas : taxa de juros bancários, taxa de juros de aplicações

financeira, valorização de estoques, rentabilidade da empresa, entre outros.

23.3 – Determinando o valor da T.M.A : Para acharmos qual a T.M.A. devemos

utilizar na análise de investimentos, devemos responder a seguinte pergunta : se eu

não investir o dinheiro neste empreendimento onde ficará aplicado ? A taxa de juros

deste empreendimento alternativo é a T.M.A procurada.

Exemplo : desejo analisar a viabilidade econômica da compra de um

apartamento para alugar. Neste empreendimento eu consigo facilmente as

informações do valor imóvel (investimento inicial), do valor projetado dos alugueis

(receita), o período mínimo que desejo permanecer com o imóvel (vida útil do

empreendimento ou horizonte de planejamento) e do valor de revenda após este

período (valor residual). Mas qual taxa de juros utilizar ?

Para achá-la devo responder a pergunta: se eu não investir na compra do

apartamento para alugar, aonde ficará investido o dinheiro ? Se eu responder que

ficará na poupança, a T.M.A. é a taxa de rendimento médio da poupança no período;

se ficará aplicado em outra aplicação financeira será a taxa de rendimento desta

aplicação.



109

24. ANÁLISE ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS

No dia-a-dia nos deparamos, constantemente, com as seguintes questões:

a) comprar uma casa para alugar ou deixar o dinheiro aplicado no banco;

b) montar uma loja ou deixar o dinheiro aplicado no banco;

c) ampliar a variedade de produtos da loja ou aumentar a quantidade de

produtos;

d) ampliar o espaço de vitrine da loja ou ampliar a área de estocagem; entre

outros.

Em todos os casos anteriores, na realidade, nos deparamos com a seguinte

questão: investir no empreendimento A ou investir no empreendimento B?

Com a finalidade de responder a este questionamento é que fazemos a

Análise Econômica de Investimento, ou seja, respondemos se é viável investir no

empreendimento A ou investir no empreendimento B, do ponto de vista econômico.

Representação gráfica geral do fluxo de caixa para análise de investimento :

0 1 2 3 n

Receitas ou Rendasou Lucro

Valor de Revendaou Residual

Custos ou gastos

Investimento

24.1. MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Para Análise Econômica de Investimentos existem três métodos mais

utilizados :

(a) Método do Valor Presente (VP)

(b) Método da Série Equivalente: Valor Anual Uniforme (VAUE) ou Custo Anual

Uniforme (CAUE);

(c) Método da Taxa Interna de Retorno (TIR).



110

24.2. QUAL MÉTODO UTILIZAR EM ANÁLISE DE INVESTIMENTOS?

Para escolher o método adequado para análise econômica de investimentos

devemos seguir as seguintes regras :

(a) Se só tivermos um empreendimento a ser analisado , posso usar qualquer

um dos três métodos, pois todos são adequados: “VP”, “VAUE” e “TIR”;

(b) Se desejo saber qual é o valor máximo a ser investido devo usar o método

do “VP”;

(c) Se tivermos mais de um empreendimento e todos tiverem o mesmo

horizonte de planejamento (período de tempo), podemos usar os métodos:

“VP” e/ou “VAUE/CAUE ” (série equivalente);

(d) Se tivermos mais de um empreendimento e eles tiverem horizontes de

planejamentos diferentes (período de tempo), podemos usar somente o

método “VAUE/CAUE ” (série equivalente);

(e) Se tivermos algum empreendimento com horizonte de planejamento infinito

(como serviços terceirizados, compra de energia elétrica), devemos utilizar o

método “VAUE/CAUE ” (série equivalente ).

24.3. COMO INTERPRETAR OS RESULTADOS

Para análise dos resultados para os três métodos mais utilizados, podemos

chegar as seguintes conclusões :

(a) Se o problema informa receitas e/ou lucros :

- E Valor Presente (VP) e/ou Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) forem

positivos , dizemos que o empreendimento é viável , ou seja, obtivemos

ganho acima do mínimo esperado;

- E Valor Presente (VP) e/ou Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) forem

negativos , dizemos que o empreendimento é inviável , ou seja, obtivemos

ganho abaixo do mínimo esperado (não é prejuízo só estamos deixando de

ganhar o mínimo esperado, a uma dada taxa mínima de atratividade).

(b) Se o problema não informa receitas e/ou lucros :



111

- Devemos escolher o menor valor de VP e/ou VAUE como sendo o mais

viável (observamos que neste caso todos os resultados serão

negativos ).

(c) Se utilizamos o método da Taxa Interna de Retorno (TIR), devemos fazer as

seguintes considerações:

- Se TIR > TMA, dizemos que é viável , pois obtivemos ganhos acima do

mínimo esperado;

- Se TIR = TMA, dizemos que é indiferente , obteremos os mesmos ganhos

que em uma aplicação financeira;

- Se TIR < TMA, dizemos que é inviável , obtivemos ganhos abaixo do

mínimo esperado;

- Se TIR < Taxa de inflação , podemos dizer que o empreendimento não é só

inviável , como trará prejuízo .

24.4. COMO INTERPRETAR OS DADOS CALCULADOS?

Para interpretar os dados calculados pelos métodos de análise de

investimento, vamos utilizar um exemplo ilustrativo. Suponhamos, que um

empreendedor está em dúvida entre quatro investimentos para aplicar seu dinheiro

($130.000,00).

(a) A primeira opção é a compra de um imóvel para alugar , os dados

expostos no fluxo de caixa abaixo.

600

130.000

Compra de um imóvel

para alugar

Recebimento do

aluguel

0 60 meses1

200.000

Horizonte de

planejamento

Valor estimado de

mercado do imóvel



112

(b) A segunda opção é aplicar o dinheiro na poupança (suponhamos uma

taxa de rentabilidade média igual a 0,6%a.m.);

(c) A terceira opção é aplicar o dinheiro em um fundo de renda fixa

(suponhamos uma taxa de rentabilidade média líquida17 igual a 0,8%a.m.);

(d) A quarta opção é aplicar o dinheiro em títulos de debêntures

(suponhamos uma taxa de rentabilidade média líquida igual a 1,3%a.m.).

Com base nestes dados, podemos calcular o retorno líquido sobre o

investimento (valor presente – lucro líquido acima da TMA), para cada caso. Os

resultados estão expostos na figura abaixo.

Valor

Presente

TMA = 0,6%a.m. (ganho que teria se

aplicasse o dinheiro na

poupança)

VP = 39.842,72(Ganho acima do ganho

da poupança se aplicar

no imóvel para alugar)

TMA = 0,8%a.m. (ganho que teria se

aplicasse o dinheiro

em Renda Fixa)

VP = 22.495,79(Ganho acima do ganho

da renda fixa se aplicar

no imóvel para alugar)

VP = - 12.966,77(Valor que deixo de ganhar,

abaixo do ganho em Debêntures,

se aplicar no imóvel para alugar)

Taxa Interna de

Retorno = 1,1%a.m.

Retorno do

investimento(ganho total do

investimento na

compra de imóvel

para aluguel)TMA = 1,3%a.m. (ganho que teria se

aplicasse o dinheiro

em Debêntures)

Chegamos as seguintes conclusões:

(1) Se aplicarmos no imóvel para alugar teremos um lucro líquido de $39.842,72,

acima do que teríamos se aplicarmos a mesma quantia na poupança;

(2) Se aplicarmos no imóvel para alugar teremos um lucro líquido de $22.495,79,

acima do que teríamos se aplicarmos a mesma quantia na renda fixa;

(3) Se aplicarmos no imóvel para alugar deixaríamos de ganhar 18 $12.9966,77

abaixo do que teríamos se aplicarmos a mesma quantia em debêntures.

Assim sendo, o investimento mais rentável é aplicar o dinheiro em títulos

de debêntures (maior retorno).

17 Taxa de rentabilidade líquida representa o valor da taxa já descontado o imposto de renda. 18 Deixar de ganhar significa que tivemos um retorno menor do que outro investimento, ou seja, não é prejuízo.



113

24.5 MÉTODO DO VALOR PRESENTE (VP )

O Método do Valor Presente consiste no cálculo do valor atual de um fluxo de

caixa de um certo investimento, o qual poderá apresentar as possíveis conclusões e

considerações:

(a) se o valor presente for maior que zero, o empreendimento será

considerado viável do ponto de vista econômico (a uma dada TMA);

(b) o empreendimento que possuir maior valor presente e valor positivo

deverá ser o escolhido do ponto de vista econômico;

(c) o resultado do valor presente encontrado corresponde ao ganho adicional

(valor a mais) sobre a T.M.A. Ou seja, se o valor encontrado for R$

1.000,00 e a T.M.A. utilizada for a taxa de rendimento da poupança, isto

corresponde que estaremos ganhado R$ 1.000,00 a mais do que o ganho

que teremos se aplicarmos na poupança;

(d) quanto comparamos empreendimento com tempo de vidas diferentes

devemos tomar os seguintes cuidados:

• se for com repetição deve-se procurar um mesmo horizonte

comum;

• se for sem repetição faz-se as operações com os tempos

diferentes.



114

Exemplo resolvido (CASAROTTO, 1998): o senhor Antônio está considerando a possibilidade de entrar como sócio em uma empresa, a qual lhe renderia R$ 12.000,00 por ano de lucro. O senhor Antônio espera permanecer como sócio da empresa por 10 anos, quando poderá vender sua parte na sociedade por R$ 900.000,00. Se o senhor Antônio conseguir um empréstimo a 10%a.a., quanto poderá pagar no máximo para entrar na sociedade ? Solução:

Ação 01 : Entre em “Fluxo de Caixa” e “Valor das Parcelas” e forneça os valores do fluxo de caixa

Ação 02 : Entre em “Valor das taxas” e “Atratividade : ” e forneça a taxa de juros

Observação : para o exemplo o valor são 10% a.a.



115

Ação 03 : No campo do Fluxo de Caixa, aperte a tecla F10 Observação : para o exemplo o valor procurado é o valor presente = 420.723,77

Observação : caso o resultado não confira, certifique que a configuração das taxas para análise se faça igual ao quadro abaixo :

Exercício 01 (CASAROTTO, 1998): o senhor Marcos está considerando a possibilidade de entrar como sócio em uma empresa, a qual lhe renderia R$ 12.000 por ano de lucro. Se o senhor Marcos espera permanecer como sócio da empresa por 8 anos, quando poderá vender sua parte na sociedade por R$ 100.000. Se o senhor Marcos conseguir um empréstimo a 10% a.a., qual o valor máximo viável que poderá pagar para entrar na sociedade ? Resposta: até o valor de R$ 110.669,85

Exercício 02 (OLIVEIRA, 1974): uma empresa deseja comprar uma máquina. Sua taxa mínima de atratividade é 12%. A máquina proporcionará uma renda líquida de R$ 30.000,00 no 1o ano e depois diminuindo à base de R$ 1.500,00 por ano, por um



116

período de 10 anos. O valor estimado de revenda é de R$ 18.000,00. Até quando poderia pagar pela máquina? Resposta: até o valor de R$ 144.921,08 Exercício 03 (OLIVEIRA, 1974): uma firma pretende comprar uma máquina. A sua taxa mínima de atratividade é de 7,5%. A proposta em vista é de uma máquina que proporcionará uma renda líquida de R$ 18.000,00 no 10 ano, diminuindo em seguida de R$ 800,00 por ano, durante os próximos 15 anos. O valor residual para revenda é estipulado em R$ 6.000,00. Até quanto poderá pagar à vista para que o investimento seja remunerado? Resposta: até o valor de R$ 120.834,57 Exercício 04 (CASAROTTO, 1998): um fabricante estuda a possibilidade de lançamento de um novo produto. Pesquisas de mercado indicam a possibilidade de uma demanda anual de 30.000 unidades, a um preço de R$ 10,00 por unidade.

Alguns equipamentos existentes seriam utilizados, sem interferir na produção atual com um custo adicional de R$ 4.000,00 por ano. Novos equipamentos no valor de R$ 300.000,00 seriam necessários, sendo a sua vida econômica de 5 anos. O valor de revenda aos 5 anos seria de R$ 20.000,00 e o custo de manutenção estimado é de R$ 10.000,00 por ano.

A mão-de-obra direta e o custo de matéria-prima seriam de R$ 4,00 e R$ 3,00 por unidade, respectivamente, não havendo alteração de despesas de administração, vendas, etc. Impostos municipais montarão a 3% da receita, anualmente. Considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a. deveria ser lançado o novo produto?

Resposta: VP = - 33.599 (inviável, deixo de ganhar dinheiro)

Exercício 05 (OLIVEIRA, 1974): a proposta de investimento definida por:

(a) Investimento inicial de R$ 20.000,00 (b) Obter receitas anuais de R$ 4.000,00 durante 8 anos (c) TMA = 10% a.a.

É atraente ? Por quê ? Resposta: VP = 1.339,70 > zero é atrativa Exercício 06 (HUMMEL,1986): Para determinada obra pública é proposto o uso alternativo de encanamento de 20 cm e 30 cm. O encanamento de 20 cm tem um investimento de 45.000 e o custo de bombeamento é estimado em 10.000/ano. O encanamento de 30 cm tem um investimento de UM 60.000 e o custo anual de



117

bombeamento é estimado em UM 7.000. O serviço de tal equipamento será utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao final desse período. Comparar os valores presentes dos custos dos 20 anos de serviços, usando a TMA de 10% ao ano. Reposta: Melhor alternativa “30 cm”. VP 20 cm = - 130.135,64 VP 30 cm = - 119.594,95 Exercício 07 (CASAROTTO, 1998): uma empresa Alfa conta com duas alternativas de investimento em um tipo de equipamento industrial:

(a) Equipamento de Marca A: exige um investimento inicial de UM 14.000,00 e proporciona um saldo líquido anual de UM 5.000,00 por 7 anos.

(b) Equipamento de Marca B: investimento inicial de UM 18.000,00 e saldo líquido de UM 6.500,00 por 7 anos.

Calcule qual é a alternativa mais econômica, sabendo que a TMA é de 30% a.a. Resposta: Melhor alternativa B. VP A = 10,56 VPB = 213,73 Exercício 08 (OLIVEIRA,1974): uma pessoa tem 3 propostas de investimento:

(a) Investir R$ 7.000,00 hoje para receber R$ 1.500,00 anuais por 8 anos (b) Investir R$ 12.000,00 para receber R$ 3.000,00 anuais por 8 anos (c) Investir R$ 10.000,00 para receber R$ 2.700,00 anuais por 8 anos. Se sua TMA = 18% a.a., qual deve escolher ?

Resposta: Melhor alternativa C. VP A = - 883,70 VPB = 232,70 VPc = 1.009,73

Exercício 09 (CASAROTTO, 1998): uma empresa, cuja TMA é de 6% a.a., dispõe de duas alternativas para introduzir uma linha de fabricação para um dos componentes de seu principal produto. A alternativa A é para um processo automatizado que exigirá um investimento de R$ 20.000 e propiciará saldos anuais de R$ 3.116,00 por ano durante 10 anos. A alternativa B é para um processo semi-automatizado, com investimento mais baixo (R$10.000,00), mas, devido ao uso mais intenso de mão-de-obra, propiciará um saldo anual de R$ 1.628,00 por ano, também durante 10 anos. Qual é a melhor alternativa ? Resposta: Melhor alternativa A. VPA = 2.934 VPB = 1.982 Exercício 10 (OLIVEIRA, 1974): uma empresa vem realizando sua produção com mecanização I, com despesa anual de R$ 4.500,00 e acréscimos anuais de R$ 200,00. Desejando modernizar sua produção, está estudando a possibilidade de substituir por novas máquinas. Tem para isso dois projetos em vistas: Mecanização II com 10 anos de vida útil que requer as seguintes despesas: 12.000 iniciais e 3.500 anuais; Mecanização III com 10 anos de vida útil, que apresenta as despesas: 15.000 iniciais e 3.200 anuais. Se a TMA para a empresa é 8% ao ano, por qual das alternativas deverá optar (I ou II ou III)? Resposta: Melhor alternativa I. VP I = - 35.390,73 VPII = - 35.485,28 VPIII = - 36.472,26



118

Exercício 11 (OLIVEIRA, 1974): um investidor está considerando a compra de uma nova propriedade. Este investimento é de R$ 200.000,00, proporcionando uma receita líquida média de R$ 28.000,00 no primeiro ano. Um decréscimo esperado no preço do produto fará com que as receitas líquidas diminuam cerca de R$ 300,00 por ano. Se comprar esta propriedade, ele espera mantê-la por 10 anos, vendendo-a então por um preço presumível de R$ 140.000,00. Por outro lado, esse investidor possui atualmente uma propriedade no valor de R$ 150.000,00, que deveria ser vendida para a compra da fazenda. Esta propriedade fornece-lhe a renda de R$ 21.000,00 anuais, que deverá manter-se nos próximos 10 anos. Ele espera vende-la daqui a 10 anos, caso não faça agora, por R$ 110.000,00.

Sendo a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano deve comprar a fazenda ? Por quê? Resposta: Melhor alternativa I. VP I = 44.936,32 VPII = 41.863,00 Exercício 12 (CASAROTTO, 1998): uma empresa tem programado a compra de 30 toneladas da sua matéria-prima principal para daqui a um mês. O preço a vista é de R$ 500,00 a tonelada. O fornecedor oferece a opção de pagamento em 60 dias, a partir da data de recebimento, com um acréscimo de 5% a.m. Esse fornecedor, no entanto, por estar com seus estoques muito elevado, está fazendo uma oferta especial válida para compras efetivas até a data de hoje pela qual a empresa tem um desconto de 4% se pagar à vista. A empresa tem que tomar a decisão hoje! O que deve fazer ? Sua TMA é de 2% a.m. Resposta: VPA VISTA = 0 VP60 dias = - 877,77 VPCom desconto = 305,88

Exercício 13 (CASAROTTO, 1998): há dois anos, a empresa de Transportes Alfa arrendou uma estação terminal da empresa Beta e pagou antecipadamente o aluguel por um período de cinco anos. O total pago foi de R$ 60.000,00. Os termos do arrendamento permitem à empresa Alfa continuar a alugar o local por um período de mais cinco anos, por um pagamento de R$ 10.000 no início de cada ano do segundo período de cinco anos. A empresa Beta necessita agora de recursos para financiar uma concorrência. A empresa Beta propõe à empresa Alfa para que esta pague o aluguel antecipadamente do segundo período de cinco anos. Supondo uma taxa de juros de 8% a.a., qual seria um pagamento máximo a ser efetuado agora no lugar dos cinco pagamentos anuais? Resposta: VP = 34.231,05 no máximo.

Exemplo resolvido: A Revenda de Automóveis

No dia 15 de janeiro de 1999, a Revenda VidaCar comprou da

Montadora Montacar, um veículo cujo preço de custo à vista é de R$

12.000,00. Negociou pagar em uma parcela de R$ 6.000,00 e o saldo

restante em 3 parcelas calculadas a partir da taxa de 4,00% a.m.:



119

Ação 01 : Entre em “Equivalência ” e “P. Uniforme ” e informe os valores

conforme exemplo do quadro abaixo e aperte a tecla F10

Os resultados gerados por esta ação e mais a informações anteriores

geram o Fluxo de Caixa I – Compra. Os valores são negativos decorrentes

de serem saída de caixa .

Fluxo I - Compra

15/01/99 - 6.000,00 Saldo pago no ato 15/02/99 - 2.162,09 Valor das prestações 15/03/99 - 2.162,09 Valor das prestações 15/04/99 - 2.162,09 Valor das prestações No dia 15 de fevereiro de 1999, vendeu esse mesmo veículo para o Sr.

Bomdegrana por R$ 14.000,00 para receber uma entrada de R$ 8.500,00 e o

saldo restante em 4 parcelas calculadas a partir da taxa de 6,00% a.m.:

Ação 02 : Entre em “Equivalência ” e “P. Uniforme ” e informe os valores

conforme exemplo do quadro abaixo e aperte a tecla F10



120

Os resultados gerados por esta ação e mais a informações anteriores

geram o Fluxo de Caixa II – Venda. Os valores são positivos decorrentes de

serem entrada de caixa.

Fluxo II - Venda 15/02/99 8.500,00 Valor recebido como entrada 15/03/99 1.587,25 Valor recebido nas prestações

15/04/99 1.587,25 Valor recebido nas prestações 15/05/99 1.587,25 Valor recebido nas prestações

15/06/99 1.587,25 Valor recebido nas prestações

Pergunta-se: o empreendimento é viável considerando a T.M.A. de 2% a.m. ? Solução:

Neste exemplo, o que nos interessa é saber a viabilidade do

negócio como um todo . A partir dos dois fluxos anteriores, podemos montar um terceiro baseado somente nos recebimentos e pagamentos:

Data Período Fluxo I Compra

Fluxo II Venda

Fluxo III Vendas -Compra

15/01/99 0 - 6.000,00 - 6000,00 15/02/99 1 - 2.162,09 + 8.500,00 6.337,91 15/03/99 2 - 2.162,09 + 1.587,25 - 574,84 15/04/99 3 - 2.162,09 + 1.587,25 - 574,84 15/05/99 4 + 1.587,25 1.587,25 15/06/99 5 + 1.587,25 1.587,25

Ação 03 : Entre em “Fluxo de Caixa ” e “Valor das Parcelas ” e forneça os dados do fluxo de caixa III



121

Ação 04 : “Valor das taxas ” e “Atratividade : ” e forneça a taxa de juros

Ação 05 : No campo do Fluxo de Caixa, aperte a tecla F10 Observação : para o exemplo o valor procurado é o valor presente = 2.023,43

Como o valor presente líquido foi de R$ 2.023,43, portanto maior do que zero, dizemos que o investimento é viável.



122

Exercício 01: No dia 01 de janeiro de 1999, a Revenda XXX comprou da Montadora YYY um veículo cujo preço de custo, à vista, é de R$ 12.000,00. Negociou pagar em uma parcela de R$ 6.000,00 (50% de entrada) e o saldo restante em 4 parcelas calculadas a partir da taxa de 2,00% a.m. No dia 01 de fevereiro de 1999, vendeu esse mesmo veículo para o Sr. João da Silva por R$ 14.000,00 para receber uma entrada de R$ 7.500,00 e o saldo restante em 4 parcelas calculadas a partir da taxa de 4,00% a.m.: Pergunta-se: o empreendimento é viável considerando a T.M.A. de 4% a.m.? Resposta: VP = R$ 1.741,78 acima da TMA portanto é viável. Exercício 02: No dia 01 de janeiro de 2004 , a Revenda XXX comprou da Montadora YYY um veículo cujo preço de custo, à vista, é de R$ 24.000,00. Negociou pagar em uma parcela de R$ 12.000,00 e o saldo restante em 6 parcelas calculadas a partir da taxa de 0,90% a.m. No dia 01 de março de 2004 , vendeu esse mesmo veículo para o Sr. João da Silva por R$ 28.000,00 para receber uma entrada de R$ 18.000,00 e o saldo restante em 4 parcelas calculadas a partir da taxa de 1,80% a.m.: Pergunta-se: o empreendimento é viável considerando a T.M.A. de 1,17% a.m.? Resposta: VP = R$ 3.618,55 acima da TMA portanto é viável. Exercício 03: No dia 01 de janeiro de 2004 , a Revenda XXX comprou da Montadora YYY um veículo cujo preço de custo, à vista, é de R$ 20.000,00. Negociou pagar em uma parcela de R$ 8.000,00 e o saldo restante em 6 parcelas calculadas a partir da taxa de 0,90% a.m. No dia 01 de março de 2004 , vendeu esse mesmo veículo para o Sr. João da Silva por R$ 24.000,00 para receber uma entrada de R$ 12.000,00 e o saldo restante em 4 parcelas calculadas a partir da taxa de 1,80% a.m.: Pergunta-se: o empreendimento é viável considerando a T.M.A. de 1,0% a.m.? Resposta: VP = R$ 3.800,98 acima da TMA portanto é viável.



123

24.6. MÉTODO DA SÉRIE EQUIVALENTE (VAUE/CAUE)

O método da série equivalente (VAUE/CAUE) consiste no cálculo do

valor uniforme (PMT) distribuído de um fluxo de caixa de um certo investimento, o

qual poderá apresentar as possíveis conclusões:

(a) se o valor uniforme distribuído (PMT) for maior que zero, o

empreendimento será considerado viável do ponto de vista econômico (a

uma dada TMA);

(b) o empreendimento que possuir maior lucro uniforme distribuído (PMT) e

positivo deverá ser o escolhido do ponto de vista econômico. Ou no caso

de estarmos avaliando só custos e investimentos, o empreendimento que

possuir menor custo uniforme distribuído (PMT) e menor valor negativo

deverá ser o escolhido do ponto de vista econômico;

(c) para investimentos que possuem repetitividade o horizonte comum já fica

implícito, ou seja, para empreendimentos com tempos diferentes não é

necessário encontrar o horizonte comum.

Exemplo resolvido (OLIVEIRA, 1974): comparar as alternativas A e B, considerando que poderão ser repetidas com os mesmos custos e receitas cada vez que se completa a vida útil de cada uma. A taxa mínima de atratividade é de 10% a.a. Dados:

Alternativa A Alternativa B Investimento inicial 40.000 50.000 Vida útil (Período) 8 anos 12 anos Valor residual 12.000 10.000 Lucros líquidas anuais 7.000 9.000



124

Solução: Para a Alternativa A Ação 01 : Entre em “Fluxo de Caixa ” e “Valor das Parcelas ” e forneça os valores do fluxo de caixa

Ação 02: Entre em “Valor das Taxas ” e “Atratividade : ” e forneça o taxa de juros

Observação : para o exemplo a taxa são 10% a.a.

Ação 03: No campo do Fluxo de Caixa, aperte a tecla F10

Observação : para o exemplo o valor procurado é a Série equivalente = 551,57



125

Para a Alternativa B Ação 01 : Entre em “Fluxo de Caixa ” e “Valor das Parcelas ” e forneça os valores do fluxo de caixa

Ação 02 : No campo do Fluxo de Caixa, aperte a tecla F10 Observação : para o exemplo o valor procurado é a Série equivalente = 2.129,47

Resposta : como VAUEA = 551,57 < VAUEB = 2.129,47, alternativa B é melhor do ponto de vista econômico. Exercício 01 (OLIVEIRA, 1974): Uma empresa, cuja taxa de retorno mínima aceitável é de 8% ao ano, está pensando em adquirir uma nova loja para vender seus produtos. Existem dois locais possíveis X e Y. As alternativas em apreço podem ser descritas da seguinte maneira: Local X Local Y Investimento necessário R$ 700.000,00 R$ 900.000,00 Período (Vida útil) 30 anos 30 anos Valor residual R$ 100.000,00 R$ 350.000,00 Rendas anuais R$ 400.000,00 R$ 600.000,00 Custos operacionais anuais R$ 335.000,00 R$ 525.000,00

Qual é a melhor alternativa do ponto de vista econômico ? Resposta: Melhor alternativa X. VAUEx = R$ 3.703,54 (acima da TMA) VAUEY = R$ - 1.855,09 (Deixo de ganhar em relação a TMA)



126

Exercício 02 (CASAROTTO, 1998): compare os seguintes tipos de depósitos, a uma TMA de 10%a.a. (com reposição) Madeira Alvenaria Investimento inicial R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 Vida útil 10 anos 20 anos Valor residual R$ 1.000,00 R$ (-) 1.500,00 Custos anuais de manutenção R$ 1.500,00 R$ 1.000,00 Resposta: Melhor alternativa Alvenaria. CAUE M = 6.319,62 CAUEA = 5.724,57 Exercício 03 (CASAROTTO, 1998): uma pessoa para quem o dinheiro vale 7,5% a.a., quer comprar uma residência para alugar (com repetição). Existem duas possibilidades básicas descritas a seguir: Casa Apartamento Preço de compra mais encargos iniciais (Investimento) R$ 50.000,00 R$ 40.000,00 Valor líquido do aluguel anual (receita) R$ 4.500,00 R$ 4.000,00 Tempo em que o imóvel será mantido (Período) 10 anos 8 anos Valor de revenda do imóvel após este tempo R$ 60.000,00 R$ 35.000,00 Qual a alternativa mais econômica ? Resposta: Melhor alternativa Casa. VAUECasa = R$ 1.456,86 VAUEApart = R$521,36 Exercício 04 (CASAROTTO,1998): uma empresa está estudando a possibilidade de adquirir uma máquina de movimentação de materiais, e existem duas propostas :

Proposta A Proposta B Investimento Inicial 600.000,00 300.000,00 Período (Vida útil) 6 anos 4 anos Receita anual 150.000,00 120.000,00 Valor residual 100.000,00 120.000,00

Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., determinar qual é a melhor alternativa. (Com reposição) Resposta: Melhor alternativa B. VAUE A = R$ 25.196,31 VAUEB = R$ 51.215,26 Exercício 05 (CASAROTTO, 1998): a empresa Beta está considerando dois planos alternativos para construção de um muro ao redor de sua nova fábrica em Curitibanos. Uma cerca feita em arame de aço galvanizado requer um investimento de R$ 35.000,00 e custos anuais de manutenção de 300,00. A vida esperada é de 25 anos. Uma parede de pré-moldados requer um investimento de apenas R$ 20.000,00, mas necessitará pequenos reparos a cada cinco anos a um custo de R$ 1.000,00 e reparos maiores a cada dez anos a um custo de R$ 5.000,00 (4.000 “grandes reparos” + 1.000 “pequenos reparos”). Supondo-se uma taxa de juros de 10% antes dos impostos e uma vida perpétua, determinar qual é a melhor solução ? Resposta: Melhor alternativa Pré-moldado. CAUE Arame = R$ 4.155,88 CAUE pré-moldado = R$ 2.602,56



127

Exercício 06 (HUMMEL, 1986): comparar as alternativas, usando uma taxa de juros de 8%a.a. Com reposição

Alternativa A Alternativa B Investimento Inicial 50.000 120.000 Período (Vida útil) 20 anos 40 anos Valor residual 10.000 20.000 Despesas anuais 9.000 6.000

Resposta: Melhor alternativa A. CAUEA = 13.874,09 CAUEB = 15.986,02 Exercício 07 (HUMMEL, 1986): Calcular e comparar os custos anuais uniformes dos motores A e B, utilizando uma de juros de 10% ao ano.

Motor A Motor B Investimento Inicial 2.500 4.000 Período 12 anos 12 anos Valor residual estimado 0 1.000 Custo anual de energia 500 300 Custo anual de reparos 300 220

Resposta: Melhor alternativa B. CAUE A= 1.166,91 CAUEB = 1.060,29 Exercício 08 (HUMMEL, 1986): um serviço de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que se apresentam são as seguintes:

Tubo 30 cm Tubo 50 cm Investimento Inicial 21.000 32.000 Custo anual de operação 6.700 3.850

O período esperado de serviço é de sete anos, após o qual o encanamento será removido com valor residual previsto de 5% do seu investimento inicial. O retorno mínimo exigido é de 8% ao ano. Comparar os custos anuais uniformes. Resposta: Melhor alternativa 50 cm. CAUE 30 cm = 10.615,84 CAUE50 cm = 9.817,00 Exercício 09 (HUMMEL, 1986): comparar os custos anuais uniformes dos seguintes tipos de fiação para prestar um serviço específico, durante 60 anos, usando uma taxa de juros de 5% ao ano.

Fio de alumínio Fio de cobre Investimento Inicial 10.000 23.000 Período (Vida útil) 20 anos 60 anos Valor residual 0 3.000 Custo anual de reparos 600 100

Resposta: Melhor alternativa Cobre. CAUE ALUMÍNIO = 1.402,43 CAUECOBRE = 1.306,56 Exercício 10 (CASAROTTO, 1998): uma empresa dispõe de UM 18.00,00 e conta com duas alternativas de investimento em um tipo de equipamento industrial:

(a) Equipamento de Marca A: exige um investimento inicial de UM 14.000,00 e proporciona um saldo líquido anual de UM 5.000,00 por 7 anos.

(b) Equipamento de Marca B: investimento inicial de UM 18.000,00 e saldo líquido de UM 6.500,00 por 7 anos.



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Calcule qual é a alternativa mais econômica, sabendo que a TMA é de 30% a.a. Resposta: Melhor alternativa B. VAUE A = 3,77 VAUEB = 76,27 Exercício 11 (CASAROTTO, 1998): considere o exercício anterior, apenas com uma modificação: a empresa conta com UM 16.000,00 para investir, e não mais UM 18.000,00. Neste caso a empresa poderá recorrer a um empréstimo e o custo deste empréstimo terá que ser computado. Supondo um empréstimo a uma taxa de 40% ao ano pagável ao final do primeiro ano, como ficará a alternativa B? Resposta: Melhor alternativa B. VAUE A = 3,77 VAUEB = 21,37 Exercício 12 (CASAROTTO, 1998): Uma empresa estuda a possibilidade de comprar uma máquina por R$200.000,00 para reduzir seus gastos com mão-de-obra. Atualmente a empresa gasta R$113.000,00 por ano com mão-de-obra. Se a máquina for instalada, os custos de mão-de-obra baixarão para R$ 30.000 anuais. Os custos de energia e manutenção são estimados em R$ 20.000,00 anuais. A compra da máquina ocasionará um aumento de imposto de renda de R$ 10.000 anuais, pela diminuição dos custos dedutíveis. Se a TMA da empresa for de 12% a.a. e a máquina tiver uma vida útil de 5 anos, após os quais terá valor residual nulo, calcule se é econômica a compra da máquina. Obs.: não ocorrerá alteração nas receitas, mas apenas nos custos. Resposta: Melhor alternativa Atual. CAUEAtual = 113.000,00 CAUEProposto =115.481,95 Exercício 13 (CASAROTTO, 1998): Um carro da marca X, novo, custa R$ 60.000,00 e dá uma despesa mensal de R$ 1.500,00. Após um ano de uso, o carro poderá ser vendido por R$ 40.000,00. Qual é o custo mensal de ter sempre o carro do ano, da marca X? TMA: 1% a.m. Resposta: CAUE Carro = 3.676,98 Exercício 14 (OLIVEIRA, 1974): Uma empresa estuda a possibilidade de instalar uma turbina para produção de energia elétrica. No momento, tal energia é comprada e acarreta um custo de R$ 280.000,00 por ano. A aquisição da turbina exigiria:

(a) Investimento inicial: R$ 1.400.000,00 (b) Despesa anual com combustível: R$ 58.000,00 (c) Manutenção e mão de obra: R$ 21.000,00/ano (d) Vida útil: 10 anos (e) Impostos e seguro (anuais): R$ 42.000,00/ano

Taxa mínima de atrativa: 12% a.a. Pergunta-se: a turbina deve ser instalada ? Resposta: Melhor alternativa Atual. CAUEAtual = 280.000,00 CAUEproposto = 368.777,83



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Exercício 15 (OLIVEIRA,1974): Um certo serviço pode ser feito tanto pela máquina A quanto pela máquina B. “A” investimento de R$ 6.000,00, tem vida útil de 12 anos, valor residual nulo e custo operacional de R$ 4.000,00 por ano. “B” investimento de R$ 14.000,00 tem vida útil de 18 anos, valor residual após 18 anos de R$ 2.800,00 e apresenta um custo operacional anual de R$ 2.400,00. Se a taxa mínima de atratividade é de 10%, qual é a proposta mais atraente ? Resposta: Melhor alternativa B. CAUE A = 4.880,58 CAUEB = 4.045,62 Exercício 16 (OLIVEIRA,1974): Uma determinada empresa paga a terceiros de R$ 1.000,00 por ano para execução de certo serviço. Surgiu a possibilidade de se executar este serviço na própria oficina da empresa. Isto exige a compra de equipamentos no valor de R$ 1.650,00 e reduz as despesas anuais para R$ 700,00. Considerando: período de 10 anos, valor residual nulo e taxa de juros de 10%, é aconselhável a adoção do novo procedimento ? Resposta: Melhor alternativa B. CAUEA = 1.000,00 CAUEB = 968,53 Exercício 17 (OLIVEIRA, 1974): uma pedreira necessita de caminhões por 6 anos. Ele tem investimento inicial de UM 36.000 e tem valor de revenda de UM 8.000 daqui a 6 anos. O custo anual de manutenção, combustível e mão de obra é de UM 15.000 no 1o ano, crescendo de UM 2.000 ao ano em seguida. Por outro lado, o mesmo serviço pode ser feito por uma empresa de transporte, que cobra UM 30.000 anualmente por caminhão. Se TMA = 12 %a.a., qual decisão deve ser tomada ? Resposta: Melhor alternativa A. CAUEA = 27.114,41 CAUEB = 30.000,00 Exercício 18 (OLIVEIRA, 1974): uma empresa industrial está adquirindo um componente utilizando na montagem de um dos seus produtos. A partir de uma previsão do consumo do futuro componente e de seu preço unitário de compra, a empresa estima ser necessário continuar adquirindo o componente, a um custo médio anual de R$ 38.000,00. Além disso, também serão incorridos custos de pedidos e recebimento, da ordem de R$ 2.000,00 por ano. A empresa poderia fabricar o componente em sua própria fábrica. Para fazê-lo, seria preciso um investimento inicial de R$ 50.000,00, duração de seis anos e valor residual de R$ 15.000,00. Despesas relativas a mão de obra, matérias-primas e salários de supervisão totalizariam, provavelmente, R$ 30.000,00 por ano, nos 3 primeiros anos, elevando-se a R$ 35.000,00 anuais, após o terceiro ano. Mediante uma comparação de custos anuais uniformes, estabeleça a decisão a ser tomada pela empresa: continuar comprando ou fabricar o componente. Em face das demais oportunidades de investimento existente, a empresa estipulou uma taxa de retorno mínima de 12% ao ano. Resposta: Melhor alternativa Atual. CAUEAtual = 40.000,00 CAUEProposto = 42.391,96 Exercício 19 (HUMMEL,1986):Uma empresa deseja mecanizar uma operação de movimentação de materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operação está sendo realizada manualmente por uma equipe de operários. Os custos anuais



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devidos aos salários da mão-de-obra e as despesas relacionadas com esses salários, tais como pagamentos de horas extras, previdência social, seguro contra acidentes, férias, são de R$ 16.000,00. A mecanização dessa operação será obtida por um equipamento de movimentação de materiais, cujo valor é de R$ 40.000,00. Com esta mecanização espera-se reduzir o custo da mão de obra para R$ 4.000,00 ao ano. As despesas anuais estimadas para operar o equipamento são: energia = R$ 1.000,00; manutenção R$ 3.000,00 e taxas de seguro e outros gastos correlatos = R$ 1.000,00. O equipamento que tem uma vida econômica de dez anos terá um valor de revenda de R$ 4.000,00. Se a TMA é de 18% ao ano, será vantajosa a mecanização? Resposta: Melhor alternativa Atual. CAUEAtual = 16.000,00 CAUEProposto = R$ 17.730,53 Exercício 20 (HUMMEL,1986): a instalação de uma estação de bombeamento custa UM 20.000, e tem uma vida estimada de 15 anos. O valor de revenda do equipamento é de UM 1.000 e os custos de operação são de UM 8.000 por ano. A adoção de equipamento auxiliar, nessa estação de bombeamento, elevará seu investimento inicial para UM 50.000; entretanto, a vida estimada da estação será de 30 anos e o valor de revenda será de UM 15.000. O custo operacional da estação será de UM 5.000 por ano. Considerando uma TMA de 8% ao ano, qual deve ser a alternativa escolhida? Resposta: Melhor alternativa “COM”. CAUE SEM = 10.299,76 CAUECOM = 9.308,96 Exercício 21: Certo material proposto para o revestimento de um edifício tem uma vida estimada de dez anos e custará UM 3.000; O revestimento feito com um material mais espesso custará UM 800 a mais, prolongando, contudo, a vida estimada para 15 anos. Os custos de instalação para ambos os tipos de material serão de UM 1.200. Comparar os custos anuais uniformes dos dois tipos de material, usando uma taxa de retorno de 8% ao ano, para um período infinito de utilização. Resposta: Melhor alternativa “Mais”. CAUE menos = 625,92 CAUEmais = 584,15 Exercício 22: Uma empresa dispõe de R$ 16.000,00 e conta com duas alternativas de investimento em um tipo de equipamento industrial:

(c) Equipamento de Marca A: exige um investimento inicial de R$ 14.000,00 e proporciona um saldo líquido anual de R$ 7.000,00 por 7 anos .

(d) Equipamento de Marca B: investimento inicial de R$ 18.000,00 e saldo líquido de R$ 8.500,00 por 7 anos.

Calcule qual é a alternativa mais econômica, sabendo que a TMA é de 15% a.a.

Na falta de capital, a empresa poderá financiar o valor faltante a uma taxa de 20% ao ano, parcelado em 4 pagamentos anuais iguais.

Qual é a melhor alternativa do ponto de vista econômico?



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Marca A Marca B

Resposta: VAUE A= 3.634,95/ano VAUEB= 4.124,07/ano, portanto a melhor alternativa é a B Exercício 23 : Dois tipos de pavimentação estão sendo considerados, tendo as seguintes estimativas de custo:

Tipo A Tipo B Investimento Inicial 8.000 12.000 Período de repavimentação 12 anos 18 anos Custo de repavimentação 5.000 5.000 Custo anual de manutenção 400 300

As repavimentação periódicas envolverão somente a superfície e não a base da pavimentação; comparar esses dois tipos no custo capitalizado, usando a TMA de 10% ao ano. Horizonte de planejamento de 36 anos para os dois e mpreendimentos. Reposta: Melhor alternativa A. CAUEA = 1.443,85 CAUEB = 1.633,05 Exercício 24 (HUMMEL, 1986): determinar e comparar os custos anuais uniformes de um serviço permanente a ser realizado. Este serviço poderá ser executado de acordo com um dos planos abaixo (A e B). Utilizar no estudo em questão a taxa de juros de 6% ao ano. Plano A: Envolve um investimento inicial de UM 15.000. Destes UM 15.000, UM 10.000 são destinados a uma construção permanente e UM 5.000 para uma estrutura que deverá ser renovada a cada 20 anos. Os gastos anuais para o plano A são de UM 700. Plano B : Envolve um investimento inicial de UM 25.000. A este investimento deverá seguir-se outro de UM 4.000 daqui a dez anos. Ambos os investimentos são relativos s construção permanentes. Os gastos anuais para o plano B são de UM 200 para os primeiros dez anos e UM 300 para os anos seguintes. Horizonte de planejamento de 40 anos para os dois empreendimentos. Resposta: Melhor alternativa A. CAUEA = 1.800,54 CAUEB = 2.061,07 Exercício 2 5: Considere os dados sobre valor de revenda, receitas e custos operacionais de um equipamento: Ano 0 1 2 3 4 5 Valor de Revenda

65.000 47.000 41.000 34.000 28.000 24.000

Receitas ------ 30.000 30.000 30.000 30.000 30.000 Custos ------ 4.000 7.000 11.000 16.000 21.000



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Calcule, considerando a TMA de 18%a.a., se é mais econômico: Alternativa A : comprar o equipamento novo e ficar com ele cinco anos; Alternativa B : comprar o equipamento com um ano de uso e vendê-lo com quatro anos de uso do equipamento.

Alternativa A Alternativa B

47.000

0 1 32

30.000

28.000

7.000 11.000 16.000 Reposta: VAUEA = 2.162,27 VAUEB = 5.380,89 Melhor alternativa é a B



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24.7. MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO

O método da Taxa Interna de Retorno consiste no cálculo da taxa de

juros que zera o valor presente de um fluxo de caixa de um certo investimento, o

qual poderá apresentar as possíveis conclusões:

(a) se o valor da taxa interna de retorno for maior que a TMA (Taxa mínima

de atratividade) o empreendimento será considerado viável do ponto de

vista econômico (a uma dada TMA);

(b) o empreendimento que possuir maior taxa interna de retorno e taxa

superior a TMA deverá ser o escolhido do ponto de vista econômico.

Exemplo resolvido (OLIVEIRA,1974): A empresa X comprou uma determinada máquina cujo investimento foi de R$ 80.000,00. Estima-se que proporcionará lucro de R$ 12.000,00 no primeiro ano e daí decrescendo à base de R$ 1.000,00 por ano durante os próximos 7 anos, devido ao aumento de custos. O valor de revenda no fim do sétimo ano é de R$ 25.000,00. Achar a taxa de retorno. Ação 01: Entre em “Fluxo de Caixa ” e “Valor das Parcelas ” e Informe o valor das parcelas por período.

Ação 02 : No campo “Fluxo de Caixa ”, tecle F10



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Resposta: O valor procurado é da TIR original = 2,15% a.a.

Exercício 01: Um investidor levantou dados sobre um investimento de reflorestamento que compõem: Custos de insumos (mudas, fertilizantes e formicidas); Custos de Mão-de-Obra; e Receitas das vendas de pinos. O horizonte de planejamento do projeto é de 25 anos. Os dados são apresentados à tabela abaixo. Dados Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Custos 591,56 851,06 1.157,56 1.332,56 1.322,56 Receitas 00,00 00,00 00,00 00,00 900,00 Lucro Líquido (591,56) (851,06) (1.157,56) (1.332,56) (432,56) Dados Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10 Custos 1.322,56 1.322,56 1.322,56 1.332,56 1.332,56 Receitas 900,00 900,00 900,00 3.900,00 3.900,00 Lucro Líquido (432,56) (432,56) (432,56) 2.577,44 2.577,44 Dados Ano 11 Ano 12 Ano 13 Ano 14 Ano 15 Custos 1.332,56 1.332,56 1.914,12 2.173,62 2.480,12 Receitas 3.900,00 3.900,00 37.400,00 37.400,00 37.400,00 Lucro Líquido 2.577,44 2.577,44 35.485,88 35.226.38 34.919,88 Dados Ano 16 Ano 17 Ano 18 Ano 19 Ano 20 Custos 2.645,12 2.645,12 2.645,12 2.645,12 2.645,12 Receitas 37.400,00 39.200,00 39.200,00 39.200,00 39.200,00 Lucro Líquido 34.754,88 36.554,88 36.554,88 36.554,88 36.554,88 Dados Ano 21 Ano 22 Ano 23 Ano 24 Ano 25 Custos 2.645,12 2.645,12 2.645,12 2.645,12 2.645,12 Receitas 45.200,00 45.200,00 45.200,00 45.200,00 74.800,00 Lucro Líquido 42.554,88 42.554,88 42.554,88 42.554,88 72.154,88

Sabendo que o dinheiro deste investidor está aplicado em fundo de investimento

que remunera a taxa de: 1,28%a.m. (taxa SELIC), pergunta-se: Qual é a taxa de interna de retorno? É vantajoso este investimento, justifique? Resposta: TIR = 40,40%a.a.=2,87%a.m. é vantajoso. Exercício 02 : Uma educação superior teve um investimento de R$ 15.000,00, porém este investimento aumentou seus ganhos salariais em R$ 3.000,00/ano , constantemente ao longo dos anos, durante 15 anos . Qual é a taxa interna de retorno implícita neste investimento ? Resposta: TIR = 18,42% a.a.



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Exercício 03 (Provão, Administração/2003 ) O projeto de expansão de uma vinícula em Bento Gonçalves, cujo perfil de Valor Presente Líquido (VPL) encontra-se representado na figura abaixo, tem investimento inicial de R$500.000,00.

Os fluxos de caixa são de R$20.000,00 no primeiro ano, R$30.000,00 no segundo ano e R$90.000,00 por ano, do terceiro ao décimo segundo ano. Logo, a taxa interna de retorno do projeto é

(A) 0% (B) 5% (C) 10% (D) 15% (E) 20% Exercício 04: Uma empresa deseja alavancar recursos financeiros para um grande

investimento. Para isto ela conta com duas alternativas :

Alternativa A Financiamento direto a custo do capital de 2,5 % a.m. Alternativa B Emissão de debêntures no valor de R$ 1.000.000,00

Taxa administrativa: 10% do valor dos títulos no ato Juros pagos por ano : 18% a.a. sobre o saldo devedor Bônus por ano : 2% a.a sobre o saldo devedor Taxa administrativa de juros e resgates (pagos a financeira) : R$ 20.000,00/ano Os resgates ocorrerão de 3 em 3 anos , sendo que serão resgatados 20% de cada vez .

Qual é a melhor alternativa do ponto de vista econômico?

Resposta: TIR A =34,49 %a.a. TIRB = 25,60%a.a. a melhor alternativa é B.



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Exercício 05: Uma empresa deseja alavancar recursos financeiros para um grande

investimento. Para isto ela conta com duas alternativas:

Alternativa A Financiamento direto a custo do capital de 2,2 % a.m. Alternativa B Emissão de debêntures no valor de R$ 1.000.000,00

Taxa administrativa: 10% do valor dos títulos no ato Juros pagos por ano: 18% a.a. sobre o saldo devedor Bônus por ano: 2% a.a sobre o saldo devedor Taxa administrativa de juros e resgates (pagos a financeira) : R$ 20.000,00/ano Os resgates ocorrerão de 3 em 3 anos , sendo que serão resgatados 25% de cada vez .

Qual é a melhor alternativa do ponto de vista econômico? Resposta: TIR A = 29,84%a.a. TIRB = 25,83%a.a. a melhor alternativa é B. Exercício 06 (OLIVEIRA,1974): um investidor está considerando a possibilidade de compra de uma propriedade. Esta custa R$ 200.000,00 proporcionado uma receita líquida média de R$ 28.000,00 no primeiro ano e depois decrescendo de R$ 300,00/ano. Se comprar, pretende manter a propriedade por 10 anos e então vende-la por R$ 140.000,00. Por outro lado, este investidor possui no momento uma propriedade no valor de R$ 150.000,00, que deveria ser vendida para poder comprar outra. Esta propriedade fornece-lhe a renda anual de R$ 21.000,00, que se manterá nos próximos 10 anos; além disso, estima-se que poderá vende-la por R$ 110.000,00 no fim dos 10 anos. Sendo sua TMA igual a 8% a.a., deve efetuar a compra da outra propriedade? Observação: fazer análise de reinvestimento 19 Resposta: TIRA = 11,73% a.a. TIRB = 12,52 % a.a. TIRA-B =9,11%a.a. Fluxo do reinvestimento: Diferença os dados da alte rnativa A e alternativa B.

Portanto, como a TIR A-B =9,11%a.a. > TMA = 8,00%a.a., não será possível reaplicar a diferença financeira de B (R$50.000,00) a uma superior a TMA. Logo a melhor alternativa é A, pois o ganho financeiro t otal será maior, apesar da taxa ser menor.

19 Análise dos resultados em situações de reinvestimento: (a) Se TIR(A-B) = TMA, dizemos que os dois

empreendimentos analisados são iguais do ponto de vista financeiro; (b) Se TIR(A-B) < TMA, dizemos que o empreendimento “B”é mais viável; (c) Se TIR(A-B) > TMA, dizemos que o empreendimento “A”é mais viável;



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25. DETERMINAÇÃO DO VOLUME DE VENDAS

Objetivo: determinar o volume mínimo de vendas para que haja o retorno igual ao capital investido. Fórmula: VP = 0 Exemplo: Uma empresa está considerando a possibilidade de vender os

direitos de fabricação de determinado produto. Num estudo sobre a situação

foram levantados os seguintes dados :

Ano Valor de mercado dos direitos

Demanda total Custo unitário Preço de venda

0 100.000 -------- -------- -------- 1 ----- Q 10 17 2 ----- Q 11 17 3 ----- Q 12 17 4 60.000 Q 14 17

Considerando uma T.M.A. de 12% a.a. sobre o dinheiro recebido na

transação, determinar para que demanda anual (Q) haverá indiferença entre

a possibilidade de ficar com um produto por 4 anos ou vendê-lo hoje ?

Solução :

Ação 01: Montar o fluxo de caixa



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Ação 02: Achar o valor presente do valor de revenda

Ação 03: Achar o valor presente da diferença entre receita e custo. a) Inserir os valores em “Valor das parcelas”

b) Informar a taxa mínima de atratividade



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c) Calcular o valor presente (teclar F10)

Ação 04: Calcular o número de peças Como VP = 0 = -100.000 + 38.131,08 + 16,49862 Q 16,49862 Q = 61.868,92 Q = 3.749,94 Resposta: 3.750 peças Exercício 01: Uma empresa está considerando a possibilidade de comprar os direitos de fabricação de determinado produto. Num estudo sobre a situação foram levantados os seguintes dados: Ano Valor de mercado

dos direitos Demanda total Custo unitário Preço de venda

0 100.000 -------- -------- -------- 1 -------- Q 10 18 2 -------- Q 11 17 3 -------- Q 12 16 4 60.000 Q 14 15

Considerando uma T.M.A. de 12% a.a. sobre o dinheiro recebido na transação, determinar para que demanda anual (Q) haverá indiferença entre a possibilidade de ficar com um produto por 4 anos ou vendê-lo hoje ? Resposta: 4.015 peças Exercício 02: Uma empresa está considerando a possibilidade de comprar os direitos de fabricação de determinado produto. Num estudo sobre a situação foram levantados os seguintes dados: Ano Valor de mercado


0 100.000 -------- -------- -------- 1 -------- Q 10 16 2 -------- Q 11 16 3 70.000 Q 12 16



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Considerando uma T.M.A. de 15% a.a. sobre o dinheiro recebido na transação, determinar para que demanda anual (Q) haverá indiferença entre a possibilidade de ficar com um produto por 3 anos ou vendê-lo hoje ? Resposta: 4.642 peças Exercício 03: Uma empresa está considerando a possibilidade de comprar os direitos de fabricação de determinado produto. Num estudo sobre a situação foram levantados os seguintes dados : Ano Valor de mercado


0 100.000 -------- -------- -------- 1 -------- Q 10 16 2 -------- Q 11 16 3 -------- Q 12 16 4 60.000 Q 14 16 Considerando uma T.M.A. de 15% a.a. sobre o dinheiro recebido na transação, determinar para que demanda anual (Q) haverá indiferença entre a possibilidade de ficar com um produto por 4 anos ou vendê-lo hoje ?: Resposta: 5.144 peças Exercício 04: Uma empresa está considerando a possibilidade de comprar os direitos de fabricação de determinado produto. Num estudo sobre a situação foram levantados os seguintes dados: Ano Valor de mercado


0 100.000 -------- -------- -------- 1 -------- Q 10 16 2 -------- Q 11 16 3 70.000 Q 12 16

Considerando uma T.M.A. de 18% a.a. sobre o dinheiro recebido na transação, determinar para que demanda anual (Q) haverá indiferença entre a possibilidade de ficar com um produto por 3 anos ou vendê-lo hoje ? Resposta: 5.167 peças



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Exemplo: Uma empresa tem um contrato que dá direitos a exclusividade de certo artigo. Pelos termos do contrato a empresa pagará ao investidor R$ 5.000,00 por ano mais R$ 5,00 por artigo produzido . O inventor está oferecendo a venda da patente por R$ 200.000,00. Sabendo que a empresa costuma ter um retorno de 18%a.a. sobre seus investimentos, considerando um horizonte de análise de 5 anos e valor residual da patente de R$ 20.000,00, quantos artigos no mínimo deverão ser produzidos e vendidos , para que a empresa compre a patente ao invés de alugá-la? Solução: Ação 01: Montar o fluxo de caixa

Ação 02: Achar o valor presente do valor anual uniforme e do valor futuro

Ação 03: Achar o valor presente do valor anual uniforme que esta multiplicado pela demanda (Q)



142

Ação 04: Calcular o número de peças Como VP = 0 = -200.000 + 24.378,04 + 15,63586 Q 15,63586 Q = 175.621,96 Q = 11.232 Resposta: 11.232 peças Exercício 01 : Uma empresa tem um contrato que dá direitos a exclusividade de certo artigo. Pelos termos do contrato a empresa pagará ao investidor R$ 5.000,00 por ano mais R$ 2,00 por artigo produzido . O inventor está oferecendo a venda da patente por R$ 200.000,00. Sabendo que a empresa costuma ter um retorno de 18%a.a. sobre seus investimentos, considerando um horizonte de análise de 5 anos e valor residual da patente de R$ 20.000,00, quantos artigos no mínimo deverão ser produzidos e vendidos , para que a empresa compre a patente ao invés de alugá-la? Resposta: 28.080 peças Exercício 02: Uma empresa tem um contrato que dá direitos a exclusividade de certo artigo. Pelos termos do contrato a empresa pagará ao investidor R$ 10.000,00 por ano mais R$ 5,00 por artigo produzido . O inventor está oferecendo a venda da patente por R$ 250.000,00. Sabendo que a empresa costuma ter um retorno de 12%a.a. sobre seus investimentos, considerando um horizonte de análise de 5 anos e valor residual da patente de R$ 50.000,00, quantos artigos no mínimo deverão ser produzidos e vendidos , para que a empresa compre a patente ao invés de alugá-la? Resposta: 10.297 peças Exercício 03: Uma empresa tem um contrato que dá direitos a exclusividade de certo artigo. Pelos termos do contrato a empresa pagará ao investidor R$ 5.000,00 por ano mais R$ 3,00 por artigo produzido . O inventor está oferecendo a venda da patente por R$ 250.000,00. Sabendo que a empresa costuma ter um retorno de 15%a.a. sobre seus investimentos, considerando um horizonte de análise de 5 anos e valor residual da patente de R$



143

20.000,00, quantos artigos no mínimo deverão ser produzidos e vendidos , para que a empresa compre a patente ao invés de alugá-la? Resposta: 22.204 peças Exercício 04 : Uma firma tem um custo de oportunidade de 18% ao ano . Um projeto de fabricação exige um investimento de 1.000.000 e o custo variável de produção será de 100 por peça . Observando que as peças poderão ser vendidas por 500 cada uma das peças e que o projeto terá 8 anos de duração , o valor de residual do projeto é estimado em 50.000, calcule o ponto de equilíbrio (“break-even point”) no volume de peças a ser produzido Resposta: 605 peças Exemplo: O departamento de marketing de uma empresa, estudando a viabilidade de lançamento de um novo produto, verificou, através de pesquisas de mercado que seu preço será de R$ 12,00 a unidade , com um ciclo de vida de 5 anos .

O departamento de produção, verificando o projeto, observou que a manutenção da nova linha de produção custaria R$ 4.000 por ano e que um equipamento adicional no valor de R$ 300.000,00 será necessário, tendo vida econômica também de 5 anos. Valor residual deste equipamento será de R$ 20.000,00 e que o custo de manutenção estimado será de R$ 10.000,00 por ano . Os custos diretos envolvidos com a fabricação do produto ascenderiam a R$ 7,00 por unidade .

A área financeira, por sua vez, manifestou a necessidade de um investimento inicial de R$ 50.000,00 a título de capital de giro, e alertou a empresa estaria operando com uma taxa mínima de atratividade de 18% ao ano.

Considerando-se, exclusivamente, o enfoque financeiro, qual é a quantidade mínima que deve ser produzida para cobri r os investimentos?

Resposta: 24.626 peças



144

Exercício 01: O departamento de marketing de uma empresa, estudando a viabilidade de lançamento de um novo produto, verificou, através de pesquisas de mercado que seu preço será de R$ 15,00 a unidade , com um ciclo de vida de 5 anos .

O departamento de produção, verificando o projeto, observou que poderia utilizar em parte a linha existente a um custo de manutenção de R$ 5.000,00 por ano e que um equipamento adicional no valor de R$ 300.000,00 será necessário, tendo vida econômica também de 5 anos. Valor residual deste equipamento será de R$ 50.000,00 e que o custo de manutenção estimado será de R$ 20.000,00 por ano . Os custos diretos envolvidos com a fabricação do produto ascenderiam a R$ 7,00 por unidade .

A área financeira, por sua vez, manifestou a necessidade de um investimento inicial de R$ 50.000,00 a título de capital de giro, e alertou que a empresa estaria operando com uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano.

Considerando-se, exclusivamente, o enfoque financeiro, qual é a quantidade mínima que deve ser produzida para cobri r os investimentos? Resposta: 15.250 peças Exercício 02: O departamento de marketing de uma empresa, estudando a viabilidade de lançamento de um novo produto, verificou, através de pesquisas de mercado que seu preço será de R$ 12,00 a unidade , com um ciclo de vida de 5 anos .

O departamento de produção, verificando o projeto, observou que a manutenção da nova linha de produção custaria R$ 5.000,00 por ano e que um equipamento adicional no valor de R$ 300.000,00 será necessário, tendo vida econômica também de 5 anos. Valor residual deste equipamento será de R$ 20.000,00 e que o custo de manutenção estimado será de R$ 10.000,00 por ano . Os custos diretos envolvidos com a fabricação do produto ascenderiam a R$ 7,00 por unidade .

A área financeira, por sua vez, manifestou a necessidade de um investimento inicial de R$ 50.000,00 a título de capital de giro, e alertou que a empresa estaria operando com uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano.

Considerando-se, exclusivamente, o enfoque financeiro, qual é a quantidade mínima que deve ser produzida para cobri r os investimentos? Resposta: 23.289 peças



145

26. DEPRECIAÇÃO E IMPOSTO DE RENDA

26.1. DEPRECIAÇÃO

Definição da depreciação : A depreciação é contabilmente definida como a despesa equivalente à perda de valor de um determinado bem, seja por deterioração ou obsolescência (Cassarotto, 1992). A legislação fiscal brasileira adota certos parâmetros, são eles: depreciação linear de 25 anos para prédios, 5 anos para equipamentos e 5 anos para veículos.

Fórmula de cálculo da Depreciação:

N

VBDn = p/ n ≤ N

Onde: Dn = Valor da depreciação no período n

VB = Valor do Bem, em estado novo n = período de análise N20 = período de depreciação do bem. Para fins acadêmicos

adotaremos de forma geral 5 (cinco) anos para equipamentos e veículos. Demais valores práticos são encontrados na tabela de depreciação (fonte receita federal, vide Figura 8).

Figura 8: Parte da tabela de valores de depreciação. Fonte: Receita Federal.

Definição do Valor Contábil : Valor Contábil é o valor do bem ao término do período n, ou seja, quanto vale contábil o prédio ou equipamento ou veículo se fosse vendê-lo ao término do período n.

20 Consultar o site da Receita Federal para obter dados para casos específicos. Site: www.receita.fazenda.gov.br/legislacao/ins/ant2001/1998/in16298ane1.htm



146

Fórmula de Valor Contábil ao fim do período “n”:

−=N

nVBVCn 1. p/ n ≤ N

VCn = zero p/ n ≥N

Onde: VCn = Valor Contábil do bem ao fim do período n VB = Valor do Bem, no estado novo n = período de análise N = período de depreciação do bem

Definição da Valor Real : Valor Real é o valor do bem ao término do período n, ou seja, quanto vale realmente o prédio ou equipamento ou veículo se fosse vendê-lo ao término do período n.

Fórmula de Valor Real ao findo do período “n” (line armente):

..11.

−+=T

n

VB

VREVBVRn

Onde:

VRn = Valor Real do bem ao findo do período n VB = Valor do Bem, no estado novo VRE = Valor Residual do Bem, ou seja, seu valor como sucata. n = Período de análise T = Vida útil do Bem, ou seja, quando ele só tem valor de sucata. Observação: normalmente, identificada para equipamentos e prédios

onde seus usos não são muito severos.

Fórmula de Valor Contábil ao findo do período “n” ( exponencial):

..T

n

n VB

VREVBVR

=

Onde: VRn = Valor Real do bem ao findo do período n VB = Valor do Bem, no estado novo VRE = Valor Residual do Bem, ou seja, seu valor como sucata. n = Período de análise T = Vida útil do Bem, ou seja, quando ele só tem valor de sucata. Observação: Normalmente, identificada para equipamentos e prédios

porque os usos são muito severos. Por exemplo: veículos de taxi, caminhões de carga pesada, etc.



147

26.2. IMPOSTO DE RENDA

Definição : O imposto de renda é uma forma de imposto incidente sobre o

lucro das corporações. No caso brasileiro, é um percentual que pode oscilar na faixa

de 30% a 60%, dependendo da política fiscal vigente, aplicada sobre o lucro

apurado ao final de cada exercício (Casarotto, 1992).

Fórmula de cálculo do Imposto de Renda sem financia mento:

( ) ( ).........* rendadeimpostodeTaxaDCVCFRCIRn −−−=

Onde: IRn = Imposto de Renda a ser pago no findo do período n RC = Receita gerada durante o exercício do período n CF = Custo Fixo gerado durante o exercício do período n CV = Custo Variável gerado durante o exercício do período n D = Depreciação de equipamentos, veículos e prédios no período n

Fórmula de cálculo do Imposto de Renda com financia mento:

( ) ( )..........*

rendadeimpostodeTaxaJurosDCVCFRCIR empréstimon −−−−=

Onde: IRn = Imposto de Renda a ser pago no findo do período n RC = Receita gerada durante o exercício do período n CF = Custo Fixo gerado durante o exercício do período n CV = Custo Variável gerado durante o exercício do período n

D = Depreciação de equipamentos, veículos e prédios no período n Juros empréstimo = Juros do empréstimo

Fórmula de cálculo do Imposto de Renda sobre o valo r residual:

IR Valor residual = ( VR – VC ) * ( Taxa de Imposto de Renda )

Onde: IR Valor residual = Imposto de Renda sobre o Valor Residual VR = Valor Real do Bem no final do período n VC = Valor Contábil do Bem no final do período n

Observação: quando há diferença positiva entre o valor real de bem e valor contábil deve-se pagar imposto de renda sobre a mesma, pois teve-se ganho real na venda e portanto, precisa-se pagar imposto de renda.



148

Exercício 01 (OLIVEIRA,1974): Um investimento de R$ 60.000,00 em equipamentos foi solicitado para reduzir de R$ 20.000,00 (torna-se ganho) ao ano as despesas com mão de obra de uma empresa, durante 15 anos. A vida útil desses equipamentos é de 15 anos e o valor residual é de R$ 1.000,00. A taxa de incidência do Imposto de Renda é de 25%. Qual é a taxa interna de retorno do investimento antes e após a tributação ?

Resposta: TIR = 32,87%a.a. (Antes do IR) TIR = 27,93 %a.a. (Após o IR) Exercício 02 (OLIVEIRA,1974): Uma nova máquina pode ser comprada por R$ 19.000,00. O frete posto ao cliente e a instalação custam R$ 1.000,00. A vida útil da máquina é de 10 anos. Não há valor residual. As receitas líquidas anuais são de R$ 5.000,00 por ano. Custo estimado de capital de 20% a.a. (TMA) e a taxa de incidência do Imposto de Renda é de 25%. Verificar se é viável economicamente? Resposta: TIR = 17,74%a.a. não é viável Exercício 03 (OLIVEIRA,1974): Uma nova máquina pode ser comprada por R$ 14.000,00; o frete posto ao cliente e a instalação custam R$ 1.000,00. A vida útil é de 10 anos, depreciação em linha reta e não há valor residual. Os lucros anuais líquidos são de R$ 4.000,00. Custo estimado de capital, TMA, de 14%. Imposto 30%. Verificar se é viável economicamente? Resposta: TIR = 18,42%a.a., portanto é viável Exercício 04: Uma empresa possui veículos para locação cujas receitas são no valor de R$ 10.000,00/ano. O veículo novo custa R$ 30.000,00 e apresenta custos de manutenção nos seguintes valores: R$ 1.000,00 (1 ano), R$ 2.200,00 (2 ano), R$ 2.800,00 (3 ano), R$ 3.100, 00 (4 ano), R$ 3.500,00 (5 ano). O valor de revenda após 5 anos de uso é estimado em R$ 10.000,00. A taxa de imposto de renda é 27,5%. O empreendimento é viável considerando uma TMA de 16%a.a.? Resposta: TIR = 11,96%a.a. não é viável Exercício 05: Um investimento de R$ 55.000,00 em equipamentos foi solicitado para reduzir de R$ 10.000,00 por ano as despesas com mão de obra de uma empresa, durante 15 anos . A vida útil desses equipamentos é de 15 anos e o valor residual é de R$ 1.000,00. A taxa de incidência do Imposto de Renda é de 30%. Qual é a taxa interna de retorno do investimento após a tributação? Resposta: TIR = 13,35%a.a.



149

Exercício 06: Um investimento de R$ 55.000,00 em equipamentos foi solicitado para reduzir de R$ 15.000,00 por ano as despesas com mão de obra de uma empresa, durante 12 anos . A vida útil desses equipamentos é de 12 anos e o valor residual é de R$ 10.000,00. A taxa de incidência do Imposto de Renda é de 20%. Qual é a taxa interna de retorno do investimento após a tributação? Resposta: TIR = 22,82%a.a. Exercício 07: Uma determinada empresa paga a terceiros de R$ 10.000,00 por ano para execução de certo serviço.

No entanto, surgiu a possibilidade de se executar este serviço na própria oficina da empresa. Isto exige a compra de equipamentos no valor de R$ 18.500,00. As utilizações destes equipamentos reduzem as despesas para R$ 3.000,00 por ano (lembre-se: a diferença, entre o que gasta e o que vai se gastar, tornam-se lucro). Considerando um período de 15 anos , valor residual de R$ 2.000,00, taxa mínima de atratividade de 10%a.a. e que a empresa paga 30% do lucro líquido ao IR , será válida a decisão?

∞

CAUEterceiro = 10.000/ano

CAUEPróprio = 6.935/ano Resposta: Produção própria é viável. Exercício 08: Uma determinada empresa paga a terceiros de R$ 10.000,00 por ano para execução de certo serviço. Surgiu a possibilidade de se executar este serviço na própria oficina da empresa. Isto exige a compra de equipamentos no valor de R$ 18.500,00 e reduz as despesas para R$ 3.000,00 por ano (a diferença torna-se lucro). Considerando: período de 12 anos , valor residual R$ 1.000,00, taxa mínima de atratividade é de 10%a.a. e paga 25% do lucro líquido ao IR , é aconselhável a adoção do novo procedimento? Resposta: CAUE terceiro = 10.000/ano CAUE Próprio = 6.915,43/ano Melhor alternativa é na própria empresa, ou seja, é aconselhável.



150

Exercício 09 : Escolher a melhor alternativa para empreendimento entre duas opções existentes A e B. Considere que os empreendimentos poderão ser repetidos ao final de sua vida econômica, com os mesmos investimentos, valores residuais e lucros líquidos. A taxa mínima de atratividade é de 7,5% a.a., a taxa Imposto de Renda é de 20%a.a. e a empresa só dispõem de R$ 20.000,00, mas poderá financiar o capital necessário para investimento em até 5 vezes, em prestações constantes, sem entrada, a uma taxa de financiamento de 20%a.a. Alternativa A Alternativa B Investimento inicial (Equipamentos) 40.000 50.000 Vida econômica (Período) 8 anos 12 anos Valor residual 12.000 10.000 Lucros líquidos anuais 10.000 12.000 Resposta: Alternativa B. VAUE A = 2.245,19/ano VAUE B = 3.451,38/ano Exercício 10: Um fabricante estuda a possibilidade de lançamento de um novo produto. Pesquisas de mercado indicam a possibilidade de uma demanda anual de 30.000 unidades, a um preço de R$ 15,00 por unidade.

Alguns equipamentos existentes seriam utilizados, sem interferir na produção atual com um custo adicional de R$ 5.000,00 por ano. Novos equipamentos no valor de R$ 350.000,00 seriam necessários, sendo a sua vida econômica de 5 anos. O valor de revenda aos 5 anos seria de R$ 50.000,00 e o custo de manutenção estimado é de R$ 10.000,00 por ano.

A mão-de-obra direta e o custo de matéria-prima seriam de R$ 4,00 e R$ 3,00 por unidade, respectivamente, não havendo alteração de despesas de administração, vendas, etc. Royalties montarão a 3% da receita, anualmente. A taxa de incidência do Imposto de Renda é de 20%a.a. A taxa mínima de atratividade é de 10% a.a.. Como a empresa só dispõe de R$ 150.000,00 poderá financiar o restante em até 5 vezes, em parcelas constantes, sem entrada, a uma taxa de financiamento de 15%a.a. Deveria ser lançado o novo produto? Resposta: É viável. VAUE = 94.661,60 Exercício 11 : Um investidor está considerando a possibilidade de comprar uma fazenda. Este investimento é de R$ 200.000,00, proporcionando uma receita líquida de R$ 40.000,00 no primeiro ano. Ressalta-se que um decréscimo esperado no preço do produto agrícola fará com que as receitas líquidas diminuam cerca de R$ 500,00 por ano. Se comprar esta propriedade, ele espera mantê-la por 10 anos, vendendo-a então por um preço presumível de R$ 140.000,00. Como a empresa só dispõe de R$ 150.000,00 (da venda de outra propriedade) poderá financiar o restante em até 10 vezes, em parcelas constantes, sem entrada, a uma taxa de financiamento de 12%a.a.



151

Por outro lado, esse investidor possui atualmente uma propriedade no valor de R$ 150.000,00 (outra fazenda), que deveria ser vendida para a compra desta nova fazenda. Esta propriedade fornece-lhe a renda de R$ 30.000,00 anuais, que deverá manter-se nos próximos 10 anos. Ele espera vende-la daqui a 10 anos, caso não faça agora, por R$ 110.000,00. Sendo a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano e que a taxa de incidência do imposto de renda é de 20% sobre o lucro (pois fazenda não é depreciável), o que você aconselharia: comprar a fazenda ou manter a propriedade atual? Resposta: Manter a atual. VAUE Nova = 6.979,14/ano VAUE Atual = 7.720,17/ano



152

27. SUBSTITUIÇÃO ECONÔMICA DE EQUIPAMENTOS

27.1 – Objetivo

Determinar o momento mais econômico que deve ser substituído um

equipamento, uma vez que os custos operacionais e de manutenção tendem a aumentar

significativamente ao longo dos anos.

27.2 – Razão básica de substituição econômica de eq uipamentos

A razão básica de substituição econômica de equipamentos decorre da elevação

dos custos operacionais (como por exemplo: elevação no consumo de combustível) e

dos custos de manutenção (como por exemplo: substituição de peças). Estes custos

aumentam porque o equipamento se depreciou fisicamente (desgaste de componentes)

ou tecnogicamente (surgimento de uma mais moderno, que consuma por exemplo

menos combustível).

27.3 – Métodos de análise

Existem quatro métodos básicos para análise econômica de substituição de

equipamentos, são eles:

a) Baixa sem reposição;

b) Substituição idêntica;

c) Substituição não-idêntica; e

d) Substituição com avanço tecnológico.

27.4 – Método: Baixa sem reposição

Objetivo: determinar quando deve ser dado baixa (vendido ou sucateado) determinado

equipamento, ou seja, permanecer enquanto estiver dando lucro acima da TMA.

Características: para identificar se deve ser utilizado este método, devemos estar

atento ao fato que o equipamento já esta em uso e que não será substituído por outro.



153

Método de análise: calcular o valor presente modificado de período a período.

Montar fluxo de caixa (vide representação) e calcular seu valor

presente. Análise: se VP0 < 0 deve-se vender imediatamente o

equipamento, pois o retorno esta inferior a TMA. Esta tendência do

VP < 0 deve continuar, pois os custos operacionais e de

manutenção devem continuar a crescer. Neste caso o problema

termina neste cálculo, tendo como resposta: venda imediata.

Se VP0 > 0, montar novo fluxo de caixa (vide representação) e

calcular seu valor presente. Análise: se VP1 < 0 deve-se vender ao

final do período 1 o equipamento, pois o retorno esta inferior a

TMA. Esta tendência do VP < 0 deve continuar, pois os custos

operacionais e de manutenção devem continuar a crescer. Neste

caso o problema termina neste cálculo, tendo como resposta: venda

no final do período 1.

Se VP1 > 0, montar novo fluxo de caixa (vide representação

abaixo) e calcular seu valor presente. Análise: se VP2 < 0 deve-se

vender ao final do período 2 o equipamento, pois o retorno esta

inferior a TMA. Esta tendência do VP < 0 deve continuar, pois os

custos operacionais e de manutenção devem continuar a crescer.

Neste caso o problema termina neste cálculo, tendo como resposta:

venda no final do período 2.

Repetir procedimentos anterior até que VPn-1 < 0, neste caso a

venda deve ocorre no final do período n-1. Caso fique VPn-1 > 0

até o último cálculo deve-se vender no final do período n.



154

Exemplo (Adaptado de Casarotto,1998): Foram estimados os seguintes valores de revenda, custos operacionais e receitas de um equipamento, que já está em uso a alguns anos, para os próximos três anos seguintes:

Ano Valor de revenda Custo de operação Receita 0 400 --------- ---------- 1 300 80 340 2 200 100 320 3 100 120 300

Supondo que a TMA seja de 10% a.a., determinar quando o ativo deverá ser vendido. Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular os VP’s.

VP0= 109,09 como o valor presente foi positivo devo calcular por mais um período

VP1= 81,82 como o valor presente foi positivo devo calcular por mais um período

VP2= 54,55 como o valor presente foi positivo e sendo este o último período chego a conclusão que o equipamento deve ser vendido ao final do 3o ano

Exercício (Casarotto, 1998): A fábrica de porcelana Vitória possui um forno de esmaltação há alguns anos e como usa óleo combustível, muito caro no momento, está pensando em vendê-lo e aplicar o dinheiro a uma taxa mínima de atratividade de 15%a.a. ou continuar com ele se for mais conveniente. Os valores de revenda, receitas e custos estão expostos na tabela a seguir.

Ano Valor de revenda Receita Custos operacionais 0 100.000 ------ ------- 1 70.000 80.000 20.000 2 50.000 70.000 25.000 3 10.000 60.000 30.000 4 1.000 50.000 40.000

Quando a empresa deverá vender o forno? Resposta: VP0 = 13.043,48 VP1 = 12.608,70 VP2 = -15.217,39 trocar no final do 2 ano



155

27.5 – Método: Substituição Idêntica

Objetivo: determinar quando deve ser substituído determinado equipamento por outro

idêntico, ou seja, determinar sua vida econômica.

Características: o equipamento que substituirá o que esta em uso tem as mesmas

características de investimento inicial, receita, custos e valor de revenda.

Método de análise: calcular os valores anuais uniformes equivalentes de todos os

anos.

Situação 1: Trocar todo ano por um

modelo novo. Montar fluxo de caixa

(vide representação) e calcular seu

valor anual uniforme equivalente.

Situação 2: Trocar de 2 em 2 anos por

um modelo novo. Montar fluxo de

caixa (vide representação) e calcular

seu valor anual uniforme equivalente. Invest. C1

R1

0 1

C2

2

VR2

R2

Situação 3: Trocar de 3 em 3 anos por

um modelo novo. Montar fluxo de


seu valor anual uniforme equivalente.

Situação n: Trocar de n em n anos

por um modelo novo. Montar fluxo de


seu valor anual uniforme equivalente.

Com todos valores calculados escolher o período com maior VAUE - Valor Anual Uniforme Equivalente (caso o problema tenha fornecido as receitas) ou o período com menor CAUE - Custo Anual Uniforme Equivalente (caso o problema não tenha informado as receitas ou lucros). Estes período é denominado vida



156

econômica, ou seja, o período que o equipamento deverá ser substituído por um novo com características idênticas. Exemplo: Considere os dados sobre valor de revenda, receitas e custos operacionais de um equipamento: Ano Novo 1 2 3 4 5 Valor de Revenda 65.000 47.000 41.000 34.000 28.000 24.000 Receitas ------ 30.000 30.000 30.000 30.000 30.000 Custos ------ 4.000 7.000 11.000 16.000 21.000 Calcule a vida econômica , considerando a TMA de 18%a.a. Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente

Troca todo ano por um novo VAUE1 = -3700

65.000 4.000

30.000

0 1

7.000

2

41.000

30.000

Troca de 2 em 2

anos por um novo

VAUE2=1.914,68

Troca de 3 em 3 anos por um novo VAUE3= 2.671,96


Como o valor do VAUE3 é o maior, podemos dizer que o equipamento deve ser substituído a cada 3 anos por um novo. Exercício 01: A direção da empresa Papel e Celulose S/A deseja saber quando é econômica a substituição de um determinado equipamento de geração de energia elétrica por outro idêntico. Os dados econômicos destes equipamento estão expostos a seguir: Período Novo 1 2 3 4 5 Valor de Revenda 580 500 440 380 300 230 Custos Operacionais ----- 10 16 24 34 46



157

Sabendo que a taxa mínima de atratividade da empresa de 10%a.a., qual é a sua vida econômica? Resposta: Trocar de 3 em 3 anos CAUE1= 148 CAUE2= 137,52 CAUE3= 134,65 CAUE4=138,39 CAUE5= 139,63 Exercício 02: A direção da empresa Produtos Industriais S/A está em dúvida quanto ao tempo que deverá manter seu transportador de arraste em funcionamento. Os dados de custo à disposição da empresa são os seguintes: Ano Valor de revenda Custo Anual Ano Valor de revenda Custo Anual

0 63840 (Novo) 0 14 5165 10324 1 53344 53 15 4315 11852 2 44574 211 16 3606 13485 3 37246 474 17 3013 15223 4 31123 843 18 2518 17067 5 26006 1317 19 2104 19016 6 21730 1896 20 1758 21070 7 18158 2581 21 1469 23230 8 15172 3371 22 1227 25495 9 12678 4267 23 1026 27865 10 10594 5267 24 857 30341 11 8852 6374 25 716 32922 12 7397 7585 26 598 35608 13 6181 8902 27 500 38400

Calcule a vida econômica do transportador, sabendo que a TMA da empresa é de 10% a.a. Resposta: Trocar de 13 em 13 anos Alguns do valores calculados para comparação: CAUE1= 16.933 CAUE2= 15.686,52 CAUE3= 14.651,14 CAUE7=12.096,12 CAUE11= 11.201,02 CAUE12= 11.141,35 CAUE13= 11.129,79 Caue14=11.159,40 Exercício 03 21: A direção da Metalúrgica Ferro&Aço está em dúvida quando substituir um determinado equipamento por outro idêntico. Os dados de valores de revenda, receitas e custos operacionais estão expostos na tabela a seguir:

Ano Valor de revenda Custos Receita

Novo 10.000 ---- -------- 1 6.900 5.200 9.000 2 4.300 5.700 9.000 3 2.500 6.000 9.000 4 700 6.500 8.500

Se o custo de oportunidade da empresa é de 10% a.a., de quanto em quanto tempo deve ser trocado este equipamento por um novo? Resposta: Trocar de 3 em 3 anos

21 Adaptado do livro Análise de Investimento. Casarotto (1998)



158

VAUE1= -300 VAUE2= -152 VAUE3= 126 VAUE4=88 Exercício 04 (com IR): A direção da empresa Leite&Vida está em dúvida quando substituir um determinado equipamento frigorífico por outro idêntico. Os dados de revenda e receitas estão expostos na tabela a seguir:

Ano Valor de revenda Receita

Novo 36.000 ---- 1 26.000 20.000 2 20.000 16.000 3 16.000 12.000 4 10.000 6.000

Se o custo de oportunidade da empresa é de 10% a.a. e taxa de imposto de renda é de 25%, de quanto em quanto tempo deve ser trocado este equipamento ? Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente

Troca todo ano por um novo VAUE1 = 3200

Troca de 2 em 2

anos por um novo

VAUE2=4.152,38



Como o valor do VAUE3 é o maior, podemos dizer que o equipamento deve ser substituído a cada 3 anos por um novo.



159

Exercício 05: Tendo os seguintes dados de valores de revenda, receitas e custos operacionais de um equipamento:

Ano Valor de Mercado Custos Receita

Novo 10.000 ---- -------- 1 7.500 5.200 13.000 2 6.000 5.700 12.000 3 5.000 6.000 11.000 4 4.500 6.500 10.000

Sabendo-se que: o custo de oportunidade (TMA) da empresa é de 10% a.a. e a taxa de Imposto de Renda é de 20%a.a. qual é sua a vida econômica? Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente

Troca todo ano por um novo VAUE1=3.140,00

Troca de 2 em 2

anos por um novo

VAUE2=3.163,81


Reposta: Vida econômica de 2 anos . Exercício 06: Tendo os seguintes dados de valores de revenda, receitas e custos operacionais de um equipamento:

Ano Valor de Mercado Custos Receita

Novo 10.000 ---- -------- 1 7.500 5.200 12.000 2 6.000 5.700 11.000 3 5.000 6.000 10.000 4 4.000 6.500 9.000

E sabendo-se que: o custo de oportunidade (TMA) da empresa é de 10% a.a. e a taxa de Imposto de Renda é de 20%a.a. qual é sua a vida econômica? Resposta: Vida econômica de 2 anos. VAUE1 = 2.340 VAUE2 = 2.363 VAUE3 = 2.193



160

Exercício 07: Considere os dados sobre valor de revenda, receitas e custos operacionais de um equipamento: Ano Novo 1 2 3 4 5 Valor de Revenda 65.000 47.000 41.000 34.000 28.000 24.000 Receitas ------ 30.000 30.000 30.000 30.000 30.000 Custos ------ 4.000 7.000 11.000 16.000 21.000 Calcule a vida econômica , considerando a TMA de 18%a.a. e uma taxa de incidência de imposto de renda de 20%a.a. Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente

Troca todo ano por um novo VAUE1=-6.300

65.000 4.000+

2.600

30.000

0 1

7.000+

2.000+

400

2

41.000

30.000

Troca de 2 em 2 anos por um

novo VAUE2=-593,58

Troca de 3 em 3 anos por um novo VAUE3=214,16



Reposta: Vida econômica de 4 anos .



161

27.6 – Método: Substituição Não-Idêntica Objetivos: primeiro determinar qual é o melhor equipamento do ponto de vista

econômico e depois determinar de quando em quanto tempo deve ser substituído.

Características: o equipamento que substituirá o que está em uso não tem as mesmas

características de investimento inicial, receitas, custos e valor de revenda.

Método de análise: calcular os valores anuais uniformes equivalentes de todos os anos

(como já efetuado na substituição idêntica) para o equipamento atual em uso

(defensor) e para o equipamento desafiante (o outro equipamento alternativo). O

equipamento que deve ser escolhido é o que tiver o maior VAUE (caso o problema

informem receitas/lucros) em suas respectivas vidas econômicas ou menor CAUE

(caso o problema não informem as receitas/lucros), também nas suas respectivas vidas

econômicas.

Exemplo: Uma madeireira vem operando com um determinado equipamento da Marca X na linha de produção. Este equipamento tem uma vida útil de 4 anos e seus respectivos valores de revenda, receitas e custos estão expostos na tabela a seguir. Ano Marca X Marca Y

Valor de revenda

Receitas Custos Valor de revenda

Receitas Custos

Novo 10.000 ---- ---- 12.000 ----- ----- 1 6.900 15.000 5.200 8.000 15.500 6.300 2 4.300 15.000 5.700 5.000 15.500 6.300 3 2.500 15.000 6.000 3.000 15.300 6.500 4 700 15.000 7.000 2.000 15.000 6.700 5 Zero 14.000 7.000

A atual linha de equipamentos já está em atividade há 2 anos, e a direção da empresa decidiu contratar você para elaborar um estudo econômico para ver se é vantajoso trocar a linha de equipamentos pelos da marca Y .

O equipamento da marca Y possui uma vida útil de 5 anos e seu dados de valor de revenda, receitas e custos estão expostos na tabela anterior.

A empresa também deseja saber, dependendo de qual a marca for escolhida, quando deve substituir o atual equipamento . O custo de oportunidade da empresa é de 10%a.a.



162

Solução : (A) Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente do equipamento atual (em uso)

10.000 5.200

6.900

15.000

0 1

Troca todo ano por um novo VAUE1 = 5.700

Troca de 2 em 2

anos por um novo

VAUE2= 5.847,62


10.000 5.200

15.000

0 1

5.700

2

15.000

6.000

3

700

15.000

7.000

4

15.000


(B) Montar os fluxos de caixas e calcular o Valor Anual Uniforme Equivalente do equipamento desafiante.

Troca todo ano por um novo VAUE1 = 4.000

Troca de 2 em 2

anos por um novo

VAUE2=4.666.67




163

12.000 6.300

15.500

0 1

6.300

2

15.500

6.500

3

2.000

15.300

6.700

4

15.000



Resposta: Equipamento da marca X e trocar de daqui a 1 ano, ou de 3 em 3 anos de uso. Exercício 01 22: A direção da empresa Petro&Gás está em dúvida se deve substituir um determinado equipamento atualmente em uso, por outro não idêntico, sendo que este poderá desempenhar a mesma função com maior rentabilidade. Os dados de revenda, receitas e custos operacionais do equipamento atualmente em uso estão expostos na tabela a seguir:

Ano Valor de revenda Receitas Custos

Novo 10.000 ---- -------- 1 6.900 9.000 5.200 2 4.300 9.000 5.700 3 2.500 9.000 6.000 4 700 8.500 6.500

Os dados de revenda, receitas e custos operacionais do equipamento desafiante estão expostos na tabela a seguir:

Ano Valor de revenda Receitas Custos

Novo 12.000 ---- -------- 1 8.000 10.500 6.300 2 5.000 10.500 6.300 3 3.000 10.300 6.500 4 2.000 10.000 6.700 5 Zero 9.500 7.000

Se o custo de oportunidade da empresa é de 10% a.a., qual equipamento deve ser escolhido? E quando ser efetuada a substituição do escolhido? 22 Adaptado do livro Análise de Investimento. Casarotto (1998)



164

Resposta: Equipamento desafiante e trocar de 4 em 4 anos Para o equipamento em uso : VAUE1= -300 VAUE2= -152 VAUE3= 126 VAUE4=88 Para o equipamento desafiante : VAUE1= -1.000 VAUE2= -333 VAUE3= 160 VAUE4=556 VAUE5=515 Exercício 03 (Casarotto, 1998): A direção da firma Locacarro está em dívida quanto à marca dos automóveis que deverão ser adquiridos e a idade de troca dos mesmos. Os dados de valor de revenda e lucro líquido estão expostos na tabela a seguir. Ano Marca X Marca Y

Valor de revenda

Lucro Líquido Valor de revenda

Lucro Líquido

Novo 700 ---- 900 ----- 1 400 500 500 650 2 300 400 400 500 3 200 300 300 400 4 150 200 150 250

Se a TMA da empresa for de 20%a.a., calcule qual é a melhor política, isto é, qual é a marca de automóvel e por quanto tempo ela deverá ser mantida. Resposta: Automóvel da marca Y e trocar de 3 em 3 anos Para o automóvel marca X : VAUE1= 60,00 VAUE2= 132,73 VAUE3= 134,73 VAUE4= 130,12 Para o automóvel marca Y : VAUE1= 70,00 VAUE2= 174,55 VAUE3= 187,03 VAUE4= 159,64 Exercício 04 (com IR): Uma empresa vem operando com um determinado equipamento da Marca X na linha de produção. Este equipamento tem uma vida útil de 4 anos e seus respectivos valores de revenda, receita e custos estão expostos na tabela a seguir. Ano Marca X Marca Y

Valor de revenda


Receitas Custos

Novo 10.000 ---- ---- 12.000 ----- ----- 1 6.900 15.000 5.200 8.000 15.500 6.300 2 4.300 15.000 5.700 5.000 15.500 6.300 3 2.500 15.000 6.000 3.000 15.300 6.500 4 700 15.000 7.000 2.000 15.000 6.700 5 zero 9.500 7.000

A atual linha de equipamentos já está em atividade há 2 anos, e a empresa agora resolveu contratar você para elaborar um estudo econômico para ver se é vantajoso trocar a linha de equipamen tos pelos da marca Y.



165

O equipamento da marca Y possui uma vida útil de 5 anos e seu dados de valor de revenda, receita e custos estão expostos na tabela anterior.

A empresa também deseja saber, dependendo de qual a marca for escolhida, quando deve substituir o atual equipamento . O custo de oportunidade da empresa é de 10%a.a. A taxa de imposto de renda é de 25% Resposta: Marca “X” e trocar de 4 em 4 anos Para a marca X : VAUE1= 3.750,00 VAUE2= 3.957,14 VAUE3= 4.278,25 VAUE4= 4.315,26 Para a marca Y : VAUE1= 2.300,00 VAUE2= 2.967 VAUE3= 3.929 VAUE4= 3.917 Exercício 05 (IR): Uma empresa vem operando com um determinado equipamento da Marca X na linha de produção. Este equipamento tem uma vida útil de 4 anos e seus respectivos valores de revenda, receita e custos estão expostos na tabela a seguir. Ano Marca X Marca Y

Valor de revenda


Receitas Custos

Novo 10.000 ---- ---- 12.000 ----- ----- 1 8.900 15.000 5.200 10.500 15.500 6.300 2 8.300 15.000 5.700 9.000 15.500 6.300 3 7.500 15.000 6.000 8.000 15.300 6.500 4 6.700 15.000 7.000 6.000 15.000 6.700 5 5.000 9.500 7.000

A atual linha de equipamentos já está em uso e a empresa agora resolveu contratar você para elaborar um estudo econômico para ver se é vantajoso trocar a linha de equipamentos pelos da m arca Y .

O equipamento da marca Y possui uma vida útil de 5 anos e seu dados de valor de revenda, receita e custos estão expostos na tabela anterior.

A empresa também deseja saber, dependendo de qual a marca for escolhida, quando deve substituir o atual equipamento . O custo de oportunidade da empresa é de 10%a.a. A taxa de imposto de renda é de 20%. Resposta: Marca “X” e trocar de 2 em 2 anos Para a marca X : VAUE1= 5.960,00 VAUE2= 6.020,95 VAUE3= 5.956,95 Para a marca Y : VAUE1= 4.960,00 VAUE2= 5.040,00 VAUE3= 5.141,51 VAUE4= 4.961,05



166

27.7 – Método: Substituição com Avanço Tecnológico Objetivo: determinar quando deve ser substituído determinado equipamento por outro

mais avançado tecnologicamente, ou seja, determinar sua vida econômica

considerando o custo da inferioridade.

Características: o equipamento que substituirá o que esta em uso tem as mesmas

características de investimento e valor de revenda, mas possuem custos operacionais

e/ou receitas distintos. Supõem-se neste caso que o equipamento de tecnologia mais

avançada provenham custos menores e/ou provenham receitas maiores.

Custo da Inferioridade: é o custo adicional gerado por estarmos com um

equipamento com tecnologia mais antiga. Este custo pode ser calculado pela diferença

entre o “Custo do equipamento Antigo” e o “Custo do equipamento Novo” e/ou a

diferença entre a “Receita do equipamento Antigo”e a “Receita do equipamento

Novo”.

Método de análise: calcular os custos anuais uniformes equivalentes de todos os anos

Situação 1: Trocar todo ano por um modelo novo com avanço tecnológico. Montar fluxo de caixa (vide representação) e calcular seu custo anual uniforme equivalente.

Situação 2: Trocar de 2 em 2 anos por um modelo novo com avanço tecnológico. Montar fluxo de caixa (vide representação) e calcular seu custo anual uniforme equivalente.

Invest.

0 1 2

VR2

CAntigo – CNovo CAntigo – CNovo

RAntigo - RNovo RAntigo - RNovo

Situação n: Trocar de n em n anos por um modelo novo com avanço tecnológico. Montar fluxo de caixa (vide representação) e calcular seu custo anual uniforme equivalente.



167

O período de menor “Custo Anual Uniforme Equivalente” equivale ao período de

substituição por um de tecnologia mais avançada, ou seja, sua vida econômica

considerando o custo da inferioridade.

Exemplo 23: A empresa XYZ comprou um equipamento por $1.000. A previsão de depreciação deste equipamento e dos custos operacionais considerando o equipamento Antigo (tecnologicamente) e o Novo (com avanço tecnológico) estão expostos na tabela seguir:

Período Preço de revenda Custo Operacional equip. antigo Custo Operacional equip. novo 1 720 450 450 2 620 500 450 3 540 550 400 4 460 600 400 5 400 650 350 6 360 725 350 7 325 800 300

Com base nestas informações, determine a vida econômica do equipamento considerando uma TMA de 10% a.a. Solução : Montar os fluxos de caixas e calcular o Custo Anual Uniforme Equivalente

Troca todo ano por um novo CAUE1 = 380,00

Troca de 2 em 2 anos por um novo CAUE2= 304,76




23 Adaptado do livro Análise de Investimento. Casarotto (1998)



168



Resposta: O equipamento deve ser trocado de 3 em 3 anos . Exercício 01: O moinho TrigoFlor comprou um equipamento por $20.000. A previsão de depreciação deste equipamento, receitas e dos custos operacionais considerando o equipamento velho e o novo (com avanço tecnológico) estão expostos na tabela seguir:

Período Preço de revenda

Custo Operacional com equip com

tecnologia antiga

Receita com equip com tecnologia

antiga

Custo Operacional com equip com tecnologia nova

Receita com equip.

tecnologia nova Novo 20.000 ------ --------- --------- -------

1 16.000 9.000 25.000 9.000 25.000 2 14.000 9.250 25.000 9.000 25.500 3 12.000 9.750 25.000 8.500 25.500 4 11.000 10.500 25.000 8.500 26.000 5 10.000 11.500 25.000 8.000 26.000 6 9.000 13.000 25.000 8.000 27.000 7 8.500 15.000 25.000 7.500 27.000

Com base nestas informações, determine a vida econômica do equipamento considerando uma TMA de 15% a.a. Resposta: Substituir por um equipamento mais avançado tecnologicamente no 4 ano de uso. Resposta: Substituir por um equipamento mais avançado tecnolo gicamente no 4 ano de uso. CAUE1= 7.000,00 CAUE2= 6.139,53 CAUE3= 6.056,16 CAUE4= 6.004,86 CAUE5= 6.174,70



169

REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIAS

CASAROTTO FILHO, Nélson; Kopittke, Bruno Hartmut. Análise de investimento: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão. 8 ed. São Paulo, SP: Vértices, 1998. 323 p. DE FRANCISCO, Walter. Matemática financeira: 7 ed. São Paulo, SP: Atlas, 1994. EHRLICH, Pierre Jacques. Engenharia econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. 3 ed. São Paulo, SP: Atlas, 1983. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia econômica e análise de custos : aplicações práticas para economistas, engenheiros, analistas de investimentos e administradores. 5 ed. São Paulo, SP: Atlas, 1992. HP-12C. Manual do proprietário e guia para solução de probl emas. Hewlett-Packard. Nov. 1984. HUMMEL, Paulo R.V. Análise e decisão sobre investimento e financiament os. São Paulo, SP: Atlas, 1986. KUHNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada e análise de investimentos . 3 ed. São Paulo: Atlas, 2001. 517 p. OLIVEIRA, Helácio de. Tópicos de matemática financeira e aplicações. aritmética comercial, matemática financeira e aplicações. São Paulo: Nobel, 1974. 325 p. PUCCINI. Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo, SP: Saraiva, 1999. POMPEO, José N. & HAZZAN, Samoel. Matemática Financeira. São Paulo, SP: Saraiva, 1999.



170

Apêndice – Demonstração de Fórmulas

Mostrando que FV = PV (1 + i) n

Suponha um empréstimo no valor de “PV”, por “n” períodos, a uma taxa de

juros “i” e acompanhe a evolução de seu saldo devedor “FV”:

Período Saldo Devedor = FV

0 FV0 = PV

1 FV1 = PV+PV.i = PV.(1+1)

2 FV2 = PV.(1+1) + PV.(1+1) .i = PV.(1+i).(1+i)= PV(1+i)2

3 FV3 = PV.(1+1)2 + PV.(1+1)2.i = PV.(1+i)2.(1+i)= PV(1+i)3

: :

N FVn = PV.(1+1)n-1 + PV.(1+1)n-1.i = PV.(1+i)n-1.(1+i)= PV(1+i)n



171

Mostrando que i

1]i)PMT.[(1FV

n −+=

Suponha uma série de prestações iguais de valor de “PMT”, sem entrada, por

“n” períodos, a uma taxa de juros “i” e determinemos seu valor futuro “FV”.

Para determinar o valor futuro desta série, levaremos todos os valores

isoladamente de PMT para o futuro aplicando a fórmula: FV=PV(1+i)n

Portanto,

FV = PMT.(1+1)0 + PMT.(1+1)1 +…+ PMT.(1+i)n-3+ PMT.(1+i)n-2 + PMT.(1+i)n-1

Colocando PMT em evidência temos:

FV = PMT.[(1+1)0 + (1+1)1 +…+ (1+i)n-3+ (1+i)n-2 +(1+i)n-1]

Como se pode perceber foi obtida uma progressão geométrica de razão “q =

(1+i)” e com “n” termos. Utilizando-se da fórmula de somatório de uma progressão

geométrica 1

1

−−=

q

qSomatório

n

, temos que: 1)1(

]1)1[(

−+−+=

i

iPMTFV

n

Ou seja, i

iPMTFV

n ]1)1[( −+=

Observação : Temos de uma Progressão Geométrica que o Somatório = q0+ q1+ q2+ q3+...=1

1

−−

q

qn

Exemplo: Somatório = 20+21+22+23=15

Aplicando a fórmula, sendo q = 2 (razão geométrica) e n = 4 (número de termos) obtemos:

151

116

12

142=

−=

−

−=Somatório

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