ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διπλωματική Εργασία με θέμα :

Αποτίμηση της αξίας τωνΑμερικανικών options μεΑριθμητικές μεθόδους.

του φοιτητήΒακερούδη Σταύρου

Τριμελής επιτροπή:

1. Κοκολάκης Γεώργιος

2. Παπανικολάου Βασίλης

3. Σπηλιώτης Ιωάννης (Επιβλέπων)

Αθήνα 2004

1

Στους παππούδες καιστις γιαγιάδες μου...

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Αυτό το κείμενο συντάχθηκε στα πλαίσια της εκπόνησης της ΔιπλωματικήςΕργασίας με θέμα την Αποτίμηση της αξίας των Αμερικανικών options κατά τηδιάρκεια του δέκατου εξαμήνου των σπουδών μου στη Σχολή ΕφαρμοσμένωνΜαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.΄Εγινε προσπάθεια όλα όσα αναφέρονται στο κείμενο να είναι κατανοητά, αλλάσυγχρόνως να μη ζημειώνεται η πληρότητα του τόσο στο Μαθηματικό όσο καιστο Χρηματοοικονομικό μέρος.Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει κάποιες βασικές Μαθηματικές έννοιες για

την κατανόηση του υπόλοιπου κειμένου. Είναι ουσιαστικά κάποιες προαπαιτού-μενες γνώσεις οι οποίες παρουσιάζονται με τη μορφή αναφοράς.Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μία εκτενής εισαγωγή στο χώρο των Χρη-

ματιστηριακών Παραγώγων και κυρίως στα Δικαιώματα Προαίρεσης (options)με έμφαση στα Αμερικάνικα. Επίσης, παρουσιάζεται το μοντέλο Black-Scholesκαι επεξηγείται η αποτίμησή των Δικαιωμάτων Προαίρεσης.Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για

την Αποτίμηση της αξίας των Αμερικανικών options. ΄Ετσι, παρουσιάζεται η μέ-θοδος Crank-Nicolson με τη χρήση της SOR projected καθώς και η Διωνυμικήμέθοδος.Στο τέταρτο κεφάλαιο παρατίθενται αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα

όπως προέκυψαν από την εφαρμογή της Αριθμητικής μεθόδου σε διάφορα πα-ραδείγματα (τα οποία προσεγγίζουν πραγματικά δεδομένα) καθώς και κάποιεςπαρατηρήσεις πάνω σ′αυτά.Στο Παράρτημα, μπορεί να βρει ο αναγνώστης τον κώδικα της μεθόδου

Crank-Nicolson με τη χρήση της SOR projected σε περιβάλλον C++. Τέλος,στη βιβλιογραφία αναφέρονται όλα τα βιβλία στα οποία μπορεί να ανατρέξει οαναγνώστης για περαιτέρω εμβάθυνση.

3

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή, κύριο ΙωάννηΣπηλιώτη για τη διακριτική, πλην όμως ουσιαστική και αποφασιστικής σημασίαςβοήθεια που μου παρείχε για να ολοκληρωθεί επιτυχώς αυτή η εργασία.Επίσης, οφείλω να ευχαριστήσω τους κυρίους καθηγητές Κοκολάκη Γεώρ-

γιο και Παπανικολάου Βασίλη για τον πολύτιμο χρόνο τους που αφιέρωσαν γιανα μελετήσουν και να αξιολογήσουν αυτήν την εργασία.Παράλληλα, νιώθω την υποχρέωση να ευχαριστήσω τον Προϊστάμενο του

τομέα Διαχείρισης Κινδύνου της Εταιρίας Εκκαθάρισης Συναλλαγων Επί Πα-ραγώγων (ΕΤΕΣΕΠ) του Χρηματιστηρίου Παραγώγων Αθηνών (ΧΠΑ), κύριοΙάκωβο Ηλιάδη, για τις συμβουλές που μου έδωσε.Επιπλέον, το συνάδελφο και φίλο Κωνσταντίνο Σπηλιόπουλο για τις σημα-

ντικές του παρατηρήσεις. Τέλος, οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ στους γονείςμου, την αδελφή μου, την οικογένεια μου, τους φίλους και τους συναδέλφουςμου για την αμέριστη ηθική και ψυχολογική τους συμπαράσταση.

Αθήνα, Ιούνιος 2004

4

Περιεχόμενα

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ 71.1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ - ΚΙΝΗΣΗ Brown . . . . . . 71.2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Itô - FORMULA ΤΟΥ Itô . . 91.3 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩΡΗΜΑ

GIRSANOV - ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULAFeynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩ-

ΡΗΜΑ GIRSANOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac . . . . . . 13

1.4 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ - ΕΠΙΛΥ-ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . 18

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ ,ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS)ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES 202.1 ΠΑΡΑΓΩΓΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS) . . . . . . . . . . 212.3 ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 MARTINGALE ΜΕΤΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . . . . . . . . . . . 262.5 ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΤΥΠΟΥ . . 272.6 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗ-

ΣΗ ΤΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑΑΓΟΡΑΣ (AMERICAN CALL

OPTIONS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΩΛΗΣΗΣ (AMERICAN

PUT OPTIONS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 423.1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ -

CRANK-NICOLSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

3.1.1 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR projected . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 534.1 ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ

CRANK-NICOLSON ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ AMERICANPUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 575.1 ΚΩΔΙΚΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ CRANK-NICOLSON . . . . . 57

6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 616.1 ΞΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΒΑΣΙΚΕΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΟΡΙΣΜΟΙ

1.1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ - ΚΙΝΗΣΗ Bro-wn

Ορισμός 1:

΄Εστω T 6= ∅ ένα σύνολο δεικτών. Στοχαστική Ανέλιξη στο Τ μετιμές στο Rm ονομάζεται μία οικογένεια τ.μ. {Xt, t ∈ T} ορισμένων σε έναχώρο πιθανότητας (Ω,F , P ) και τιμές στο Rm. ΄Οταν Τ = N = {1, 2, ...} ή Τ =Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} μιλάμε για στοχαστική ανέλιξη διακριτού χρό-νου ενώ εάν Τ είναι διάστημα του Ρ λέγεται στοχαστική ανέλιξη συνεχούςχρόνου.

Ορισμός 2:

΄Ενας χώρος πιθανότητας (Ω,F , P ) λέγεται ότι είναι εφοδιασμένος με μία δι-ύλιση (filtration) {Ft, t ∈ T} όταν για έκαστο t ∈ T η Ft είναι σ-άλγεβραυποσυνόλων του Ω με Ft ⊂ F και επιπλέον t1 < t2 ⇒ Ft1 ⊂ Ft2 .

Ορισμός 3:

΄Εστω Στοχαστική Ανέλιξη (σ.α.) X = {Xt, t ∈ T} ορισμένη στο χώρο πι-θανότητας (χ.π.)(Ω,F , P ) που είναι εφοδιασμένος με μία διύλιση {Ft, t ∈ T}.Η Στοχαστική Ανέλιξη Χ λέγεται προσαρμοσμένη (adapted) στη διύλιση{Ft, t ∈ T} όταν για κάθε t ∈ T η τ.μ. Xt είναι Ft- μετρήσιμη.

Ορισμός 4:

΄Εστω ο μετρήσιμος χώρος (Ω,F) εφοδιασμένος με τη διύλιση {Ft, t ∈ T}.Μία

7

τ.μ. τ:Ω→ [0,∞] λέγεται χρόνος διακοπής (stopping time) της {Ft, t ∈T} όταν ισχύει:

{τ ≤ t} ∈ Ft,∀t ≥ 0.

Ορισμός 5:

Τυπική μονοδιάστατη κίνηση Brown (ή απλά Ft-κίνησηBrown)ονομάζεταιμία σ.α. {Bt, t ∈ [0,∞]} με τιμές στο R,ορισμένη σε ένα χ.π. (Ω,F , P ) εφο-διασμένο με μία διύλιση {Ft, t ≥ 0} εις τρόπον ώστε να ικανοποιούνται οιπαρακάτω απαιτήσεις:

• Για κάθε t ≥ 0 η Bt είναι Ft- μετρήσιμη (Ft-προσαρμοσμένη).

• Η σ.α. {Bt, t ≥ 0} έχει συνεχείς τροχιές.

• B0 = 0 P − σ.β.

• ΄Οταν 0 ≤ s < t τότε η τ.μ. Bt−Bs είναι ανεξάρτητη της σ-άλγεβρας Fs.

• ΄Οταν 0 ≤ s < t τότε η τ.μ. Bt − Bs ακολουθεί κανονική κατανομήΝ(0,t− s).

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Ανάλογα ορίζεται και ηΤυπική n-διάστατη κίνηση BrownBt = {(B1t , . . . ,Bnt ), t ≥ 0} με τιμές στο Rn με μόνη διαφορά στην 5η απαίτηση όπου όταν0 ≤ s < t η τ.μ. Bt −Bs ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(0,(t− s)In)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Από τώρα και στο εξής θα θεωρείται πάντα (εκτός κι αν απαιτηθεί διαφορετικά)(Ω,F , P ) χώρος πιθανότητας εφοδιασμένος με μία διύλιση {Ft, t ≥ 0} για τηνοποία υποθέτουμε ότι N ⊂ Ft για κάθε t ≥ 0 με N = {Λ ⊂ Ω : ∃N ∈ Fμε Λ ⊂ N και P (N) = 0}. Επίσης, B = {Bt, t ≥ 0} είναι Ft-κίνηση Brownορισμένη στον (Ω,F , P ) με n-διαστάσεις (n ∈ N).

8

1.2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Itô - FORMU-LA ΤΟΥ Itô

Ορισμός 6:

Για αριθμούς a < b στο [0,∞) λέγεται ότι η σ.α. f :[a, b]×Ω→ R ανήκει στηνκλάση L(a, b) όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις:

• Η f είναι B[a,b] ⊗F -μετρήσιμη.

• Για έκαστο t ∈ [a, b] η τ.μ. f(t, ·) είναι Ft-μετρήσιμη.

•∫ baE[f 2(t, ·)]dt 0 λέγεται ότι η σ.α. f :[0, T ] × Ω → R ανήκει στην κλάση P(0, T )όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις:

• Η f είναι B[0,T ] ⊗F -μετρήσιμη.

• Για έκαστο t ∈ [0, T ] η τ.μ. f(t, ·) είναι Ft-μετρήσιμη.

• P (∫ T0f 2(t)dt 0, δηλαδή όταν∫ baE[f 2(t, ·)]dt

όπου ξ = (ξ1, . . . , ξm) τυχαίο διάνυσμα F0-μετρήσιμο, β ∈ Pm×n (αντ.β ∈Pm×n(0, T )) και η σ.α. α(s) = (α1(s), . . . , αm(s)), s ≥ 0 είναι B[0,∞)⊗F (αντ.B[0,T ] ⊗F)-μετρήσιμη, (Fs-προσαρμοσμένη) και ικανοποιεί την απαίτηση:

P (m∑j=1

∫ r0

|αj(s)|ds

X2t = ξ2 +

∫ t0

α2(s)ds+

∫ t0

β2(s)dBs, t ≥ 0

όπου {Bt, t ≥ 0} είναι 1-διάστατη Κίνηση Brown και β1, β2 ∈ P τότε:

X1tX2t = ξ1ξ2 +

∫ t0

[α1(s)X2s + α2(s)X

1s + β1(s)β2(s)]ds+

+

∫ t0

[β1(s)X2s + β2(s)X

1s ]dBs. (1)

11

1.3 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales- ΘΕΩΡΗΜΑ GIRSANOV - ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙFORMULAFeynman-Kac

1.3.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩ-ΡΗΜΑ GIRSANOV

Θεώρημα αναπαράστασης Brownian martingales (n = 1)

΄Εστω χ.π. (Ω,F , P ) στον οποίο ορίζεται μία 1-διάστατη κίνησηBrown {Bt, t ≥0} και η αντίστοιχη τυπική διύλιση {Ft, t ≥ 0},δηλαδή Ft = σ(FBt ∪N ), t ≥ 0όπου FBt = σ(Bs, 0 ≤ s ≤ t) και N = {Λ ⊂ Ω : ∃N ∈ F με Λ ⊂ Nκαι P (N) = 0}. ΄Εστω ακόμα ένα Ft-martingale M = {Mt, t ≥ 0} μεΕ(M2t < ∞) για κάθε t ≥ 0. Τότε υπάρχει μία μοναδική (με την έννοια τουμέτρου dt⊗ dP ) στοχαστική ανέλιξη f ∈ L εις τρόπον ώστε να ισχύει:

Mt = E(M0) +

∫ t0

f(s)dBs, P − σ.β., ∀ t ≥ 0.

Θεώρημα GIRSANOV (n = 1)

΄Εστω χ.π. (Ω,F , P ) στον οποίο ορίζεται μία 1-διάστατη κίνησηBrown {Bt, t ≥0} και η αντίστοιχη τυπική διύλιση {Ft, t ≥ 0},δηλαδή Ft = σ(FBt ∪N ), t ≥ 0όπου FBt = σ(Bs, 0 ≤ s ≤ t) και N = {Λ ⊂ Ω : ∃N ∈ F με Λ ⊂ N καιP (N) = 0}. ΄Εστω ακόμα T > 0 και σ.α. α ∈ P(0, T ) τέτοια ώστε η σ.α.

Zt = e∫ t0 α(s)dBs−

12

∫ t0 α

2(s)ds, ∀t ∈ [0, T ].

να είναι Ft-martingale. Ορίζουμε στον (Ω,FT ) το μέτρο πιθανότητας Q απότη σχέση:

Q(A) =

∫A

ZTdP, A ∈ FT .

12

Τότε, η σ.α.

Wt = Bt −∫ t0

α(s)ds, t ∈ [0, T ]

είναι Ft-Κίνηση Brown για το μέτρο Q.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Τα δύο αυτά θεωρήματα επεκτείνονται ανάλογα για n ≥ 1.

1.3.2 ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac

΄Εστω το πρόβλημα αρχικών τιμών (Cauchy):Δίνονται T > 0 και συναρτήσεις f ∈ C([0, T ]×Rn), ϕ ∈ C(Rn), q ∈ C([0, T ]×Rn) με q ≥ 0, bi ∈ C([0, T ]× Rn), αi,j ∈ C([0, T ]× Rn), i, j = 1, ..., n.Ζητείται συνάρτηση v(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× Rn τέτοια ώστε:

v ∈ C([0, T ]× Rn) ∩ C1,2([0, T ]× Rn)

∂v

∂t+ Ltv − qv = −f, στo : [0, T )× Rn

v(T, x) = ϕ(x),∀x ∈ Rn

όπου

Ltv =n∑i=1

bi∂v

∂xi+

1

2

n∑i,j=1

αij∂2v

∂xi∂xj.

Θεώρημα 1: Θεώρημα και formula Feynman−Kac

Για το παραπάνω πρόβλημα Cauchy, υποθέτουμε επιπλέον ότι:

1. Για τα bi και αi,j,με i, j = 1, ..., n ισχύουν:

• Ο πίνακας [αi,j(t, x)] είναι θετικά ορισμένος , ∀(t, x) ∈ [0, T ]× Rn.• Οι συναρτήσεις αi,j είναι Lipschitz στα συμπαγή του [0, T ]× Rn ,i, j = 1, ..., n.

13

• Για κάθε m ∈ N, υπάρχει Km > 0 τέτοιο ώστε:

n∑i=1

|bi(t, x)− bi(t, y)| ≤ Km|x− y|

για όλα τα t ∈ [0, T ], |x| ≤ m, |y| ≤ m.•

n∑i=1

|bi(t, x)|2 +n∑

i,j=1

|αi,j(t, x)|2 ≤ L(1 + |x|2)

για όλα τα t ∈ [0, T ], x ∈ Rn.

2. |f(t, x)| ≤M(1 + |x|2λ) ή f(x) ≥ 0,∀x ∈ Rn με M > 0, λ ≥ 1.

3. |ϕ(x)| ≤M(1 + |x|2λ) ή ϕ(x) ≥ 0,∀x ∈ Rn με M > 0, λ ≥ 1.

Αν v ∈ C([0, T ] × Rn) ∩ C1,2([0, T ] × Rn) είναι μία λύση του παραπάνω προ-βλήματος που ικανοποιεί την απαίτηση:

max0≤t≤T

|v(t, x)| ≤ N(1 + |x|2µ), ∀x ∈ RnµεN > 0, µ ≥ 1

τότε για κάθε (s, x) ∈ [0, T ]× Rn ισχύει η formula Feynman−Kac:

v(s, x) = E[

∫ Ts

f(u,Xu)e−

∫ us q(r,Xr)drdu+ ϕ(XT )e

−∫ Ts q(r,Xr)dr] (2)

όπου Xt = Xs(x, t), t ≥ s η μοναδική ισχυρή λύση της ΣΔΕ:

Xt = x+

∫ ts

b(u,Xu)du+

∫ ts

σ(u,Xu)dBu

με σ : σσT = [αij].

14

1.4 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ- ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ

1.4.1 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣΛΥΣΗΣ ΣΔΕ

Ορισμός 10:

΄Εστω συναρτήσεις b, σ με:

b = (b1, ..., bm), µε : bj : [0, T ]× Rm → R, j = 1, ...,m

σ = [σij], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, µε : σij : [0, T ]× Rm → R

Δοθείσης μίας n-διάστατης Κίνησης Brown (Ω,F , P,Ft,Bt) και τ.μ. ξ =(ξ1, ..., ξm) που είναι F0-μετρήσιμη, ονομάζεται ισχυρή λύση της ΣΔΕ

Xt = X0 +

∫ t0

b(s,Xs)ds+

∫ t0

σ(s,Xs)dBs, 0 ≤ t ≤ T (3)

με αρχική συνθήκη ξ μία σ.α. X = {Xt, t ∈ [0, T ]} που ικανοποιεί τις απαιτή-σεις:

• Η Χ είναι συνεχής.

• Η Χ είναι Ft-προσαρμοσμένη.

• P (X0 = ξ) = 1.

• (P∫ t0(|bi(s,Xs)| + σ2ij(s,Xs))ds < ∞) = 1,∀t ∈ [0, T ] για όλα τα i =

1, ...,m και j = 1, ..., n.

• Ισχύει P − σ.β. η ΣΔΕ (3), ∀t ∈ [0, T ].

Ορισμός 11:

Για τις παραπάνω συναρτήσεις b, σ λέγεται ότι ισχύει ισχυρή μοναδικότητα

15

όταν δύο ισχυρές λύσεις Χ και Χ΄ με αρχική συνθήκη ξ της ΣΔΕ (3) είναι μη-διακρινόμενες (δηλαδή υπάρχει Ν∈ F με P (N) = 0 τέτοιο ώστε Xt(ω) = Yt(ω)για κάθε ω ∈ Ω\N και για κάθε t ≥ 0) για οποιαδήποτε Κίνηση Brown(Ω,F , P,Ft,Bt) και οποιαδήποτε F0-μετρήσιμη τ.μ. ξ.

Θεώρημα 2:

΄Εστω οι παραπάνω συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούντην απαίτηση:Για κάθε n ∈ N υπάρχει Kn > 0 τέτοια ώστε:

|b(t, x)− b(t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ Kn|x− y|

για όλα τα t ≥ 0,|x| ≤ n,|y| ≤ n.Τότε,ισχύει ισχυρή μοναδικότητα για τις b, σ.

Θεώρημα 3: (Θεώρημα Itô )

΄Εστω οι συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούν τις απαιτήσεις:

|b(t, x)− b(t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ K|x− y|

|b(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ L(1 + |x|2)

για όλα τα t ≥ 0,|x| ∈ Rm,|y| ∈ Rm με K,L > 0. Αν (Ω,F , P,Ft,Bt) ΚίνησηBrown και ξ μία F0-μετρήσιμη τ.μ. με E|ξ|2 < ∞, τότε υπάρχει μοναδικήισχυρή λύση της (3) και για τυχόν T > 0 ισχύει:

E|Xt|2 ≤ N(1 + E|ξ|2)eNt, 0 ≤ t ≤ T

όπου N > 0 και N = f(L, T ).

Θεώρημα 4:

΄Εστω οι παραπάνω συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούν τιςαπαιτήσεις:Για κάθε n ∈ N υπάρχει Kn > 0 τέτοια ώστε:

|b(t, x)− b(t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ Kn|x− y|

16

|b(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ L(1 + |x|2)

για όλα τα t ≥ 0,|x| ≤ n,|y| ≤ n με K,L > 0. Αν (Ω,F , P,Ft,Bt) ΚίνησηBrown και ξ μία F0-μετρήσιμη τ.μ. με E|ξ|2 < ∞, τότε υπάρχει μοναδικήισχυρή λύση της (3) και για τυχόν T > 0 ισχύει:

E|Xt|2 ≤ N(1 + E|ξ|2)eNt, 0 ≤ t ≤ T

όπου N > 0 και N = f(L, T ).Αν επιπλέον E|ξ|2r 0 υπάρχει N > 0με N = f(L, T, r) ώστε να ισχύει:

E[ sup0≤s≤t

|Xs|2r] ≤ N(1 + E|ξ|2r)eNt, 0 ≤ t ≤ T.

17

1.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ

Θα αναφερθούμε στην επίλυση μόνο των 1-διάστατων γραμμικών ΣΔΕ κα-θώς στα πλαίσια των αναγκών του κειμένου μας αρκεί αυτό.

Ορισμός 12:

1-διάστατη γραμμική ΣΔΕ εννοούμε τη ΣΔΕ της μορφής:

Xt = X0 +

∫ t0

[b1(s)Xs + b2(s)]ds+

∫ t0

[σ1(s)Xs + σ2(s)]dBs

με b1, b2, σ1, σ2 να είναι συναρτήσεις του s.

Είναι b(s, x) = b1(s)x+ b2(s) και σ(s, x) = σ1(s)x+ σ2(s). ΄Αρα:

|b(s, x)− b(s, y)|+ |σ(s, x)− σ(s, y)| ≤ (|b1(s)|+ |σ1(s)|)|x− y|

b2(s, x) + σ2(s, x) ≤ 2(b21(s) + σ21(s))x2 + 2(b22(s) + σ22(s)).΄Αρα, αν ∀T > 0 υπάρχει MT > 0 ώστε:

sups∈[0,T ]

(|b1(s)|+ |σ1(s)|) ≤MT

sups∈[0,T ]

(|b2(s)|+ |σ2(s)|) ≤MT

τότε σύμφωνα με το Θεώρημα Itô η παραπάνω ΣΔΕ έχει μοναδική ισχυρή λύσηστο [0, T ],∀T > 0.΄Εστω ότι ικανοποιείται η παραπάνω απαίτηση. Τότε, έχουμε μοναδική λύση

που υπολογίζεται ως εξής:Θέτουμε

Ft = e−Yt , t ≥ 0 oπoυ Yt =

∫ t0

[b1(s)−1

2σ21(s)]ds+

∫ t0

σ1(s)dBs.

Εφαρμόζοντας τη formula του Itô για τη σ.α. {Yt, t ≥ 0} τη συνάρτησηf(x) = e−x,έχουμε:

Ft = 1 +

∫ t0

[−b1(s) + σ21(s)]Fsds+∫ t0

(−σ1(s))FsdBs.

18

και χρησιμοποιόντας τη σχέση (1) του πορίσματος της formula του Itô γιατις σ.α. X, F ,είναι:

FtXt = X0 +

∫ t0

[(−b1(s) + σ21(s))FsXs + (b1(s)Xs + b2(s))Fs

−(σ1(s)Xs + σ2(s))σ1(s)Fs]ds+∫ t0

[(σ1(s)Xs + σ2(s))Fs − σ1(s)FsXs]dBs =

= X0 +

∫ t0

[b2(s)− σ1(s)σ2(s)]Fsds+∫ t0

σ2(s)FsdBs.

΄Αρα:

Xt = eYt(X0 +

∫ t0

[b2(s)− σ1(s)σ2(s)]e−Ysds+∫ t0

σ2(s)e−YsdBs

)(4)

όπου

Yt =

∫ t0

[b1(s)−1

2σ21(s)]ds+

∫ t0

σ1(s)dBs.

19

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ ,ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS)ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES

2.1 ΠΑΡΑΓΩΓΑ

Σε αντίθεση με τις τρέχουσες αγορές, όπως η αγορά του ΧρηματιστηρίουΑξιών Αθηνών (ΧΑΑ),οι αγορές παραγώγων είναι αγορές στις οποίες δια-πραγματεύονται συμβόλαια, των οποίων η συμπεριφορά προσδιορίζεται από τησυμπεριφορά ενός άλλου αγαθού. ΄Οπως όλα τα συμβόλαια, τα παράγωγα προ-ϊόντα είναι συμφωνίες μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων, ενός αγοραστή και ενόςπωλητή, στις οποίες καθένας κάνει κάτι για τον άλλο. Τα συμβόλαια αυτάέχουν τιμή και επομένως οι αγοραστές προσπαθούν να αγοράσουν κατά τοδυνατό φθηνότερα και οι πωλητές προσπαθούν να πουλήσουν κατά το δυνατόακριβότερα.΄Ετσι, τα παράγωγα προϊόντα είναι συμφωνίες μεταξύ δύο αντισυμβαλλομέ-

νων, ενός αγοραστή και ενός πωλητή, στα οποία τα προβλεπόμενα για τουςκατόχους τους δικαιώματα εξαρτώνται με συγκεκριμένο τρόπο από τη μελλο-ντική εξέλιξη της αξίας κάποιων υποκείμενων τίτλων (π.χ. μετοχές, ομόλογακτλ.)Υπάρχουν πολλά είδη παράγωγων προϊόντων, όπως τα συμβόλαια μελ-

λοντικής εκπλήρωσης (ΣΜΕ-futures) και τα δικαιώματα προαί-ρεσης(options). Στα πλαίσια αυτής της Διπλωματικής εργασίας θα ασχοληθούμε μετα δικαιώματα προαίρεσης και μάλιστα με ένα συγκεκριμένο τύπο, τα Americanoptions.

20

2.2 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS)

Τα δικαιώματα προαίρεσης (options) είναι προθεσμιακές συναλλαγές με τηνέννοια ότι γίνεται μία συμφωνία μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων, ενός αγορα-στή ή εκδότη της option και ενός πωλητή ή κατόχου της option, σύμφωνα μετην οποία, ο πωλητής αναλαμβάνει να παραδώσει στον αγοραστή συγκεκριμένηποσότητα ενός αγαθού μία μελλοντική χρονική στιγμή και ο αγοραστής ανα-λαμβάνει να πληρώσει για την παραλαβή του αγαθού αυτού ένα συγκεκριμένοποσό. Η διαφορά τους με τα προθεσμιακά συμβόλαια έγκειται στο ότι η διαδι-κασία της παράδοσης - παραλαβής και πληρωμής δεν είναι υποχρεωτικό να λάβειχώρα όπως γίνεται στα προθεσμιακά συμβόλαια, αλλά πραγματοποιείται μόνοεφόσον το ζητήσει ένας (συγκεκριμένος) από τους δύο αντισυμβαλλόμενους.Επειδή η απόφαση του κατά πόσο θα πραγματοποιηθεί η αγοραπωλησία μπο-

ρεί να επαφίεται είτε στον αγοραστή είτε στον πωλητή, έχουμε δύο διαφορετικάείδη δικαιωμάτων. Αν η απόφαση επαφίεται στον αγοραστή του αγαθού μιλάμεγια ένα δικαίωμα αγοράς (call) γιατί το συμβόλαιο δίνει το δικαίωμα (αλλάόχι την υποχρέωση) σε έναν επενδυτή να υποχρεώσει τον αντισυμβαλλόμενοεπενδυτή να παραδώσει το υποκείμενο αγαθό και να πληρωθεί ένα εκ των προ-τέρων συμφωνημένο ποσό. Αντίστοιχα, αν η απόφαση επαφίεται στον πωλητήτου αγαθού μιλάμε για ένα δικαίωμα πώλησης (put) γιατί το συμβόλαιοδίνει το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωση) σε έναν επενδυτή να υποχρεώσειτον αντισυμβαλλόμενο επενδυτή να παραλάβει το υποκείμενο αγαθό και να πλη-ρώσει ένα εκ των προτέρων συμφωνημένο ποσό.΄Ετσι, οι δύο αντισυμβαλλόμενοι:

• Προσδιορίζουν έναν υποκείμενο τίτλο (π.χ. μετοχή) του οποίου η τιμήαγοράς εξελίσσεται χρονικά ως Xt,t ≥ 0.

• Προσδιορίζουν έναν χρόνο εξάσκησης (expiry date) T > 0 τηςoption κατά τον οποίο ασκούνται τα δικαιώματα που απορρέουν από τηνoption.

• Κατά τη χρονική στιγμή t = 0 συνάπτουν τη συμφωνία που θα εξασκηθείτη χρονική στιγμή t = T (αυτό το δικαίωμα και όχι την υποχρέωση θατο έχει ο ένας εκ των δύο) έναντι τιμής K > 0 που ονομάζεται τιμήεξάσκησης (strike price).

Συνεπώς, έχουμε για τις call options ότι: τη χρονική στιγμή t = 0 η τιμήτης υποκείμενης μετοχής είναι γνωστή X0 = x αλλά άγνωστή η τιμή της XT

21

κατά τη (μελλοντική) χρονική στιγμή t = T κατά την οποία ο αγοραστής θαασκήσει τα δικαιώματά του. ΄Ετσι, αν XT > K, ο αγοραστής θα απαιτήσειτη διαφορά XT − K την οποία πωλητής οφείλει να είναι σε θέση να καλύψει.Αν όμως XT < K, τότε ο αγοραστής (όπως έχει δικαίωμα) δεν απαιτεί τηνπρομήθεια της μετοχής (μπορεί να την προμηθευτεί από την αγορά έναντι τιμήςXT < K) και ο πωλητής δε βρίσκεται υποχρεωμένος να καλύψει οποιαδήποτεαξίωση. Η αξίωση του αγοραστή όσο και η υποχρέωση του πωλητή είναι λοιπόν:Y = max{XT −K, 0} ≡ (XT −K)+ που είναι και η αξία της option κατά τηχρονική στιγμή t = T . ΄Εναντι όλων αυτών καταβάλλει στον πωλητή, κατάτη χρονική στιγμή t = 0, ένα αντίτιμο y ≥ 0 (ονομάζεται premium) για νααποκτήσει το Y .Τα αντίστοιχα ισχύουν για τις put options.

Τέλος, υπάρχουν δύο βασικά είδη options. Είναι τα:

• χρηματιστηριακά δικαιώματα ευρωπαϊκού τύπου που μπορούν να α-σκηθούν μόνο κατά τη μέρα της λήξης τους, δηλαδή κατά τη χρονικήστιγμή t = T .

• χρηματιστηριακά δικαιώματα αμερικάνικου τύπου που μπορούν ναασκηθούν οποιαδήποτε μέρα μέχρι και τη λήξη τους (early exercise).

Για τον υπολογισμό του premium (δηλαδή του τι είναι δίκαιο να πληρώσει οδικαιούχος κατά τη χρονική στιγμή σύνταξης του συμβολαίου) για να αποκτήσειτο δικαίωμα. Εδώ βρίσκεται και το πρόβλημα που πρέπει να επιλύσουμε, δηλαδήτι οφείλει να είναι το premium. Για να είναι δυνατή η μαθηματική επεξεργασίαενός τέτοιου προβλήματος, είναι απαραίτητη η εύρεση ενός μαθηματικού μοντέ-λου για την εξέλιξη της αξίας του υποκείμενου τίτλου. Στην περίπτωση τωνευρωπαϊκών options υπάρχει κλειστός τύπος. Το ίδιο ισχύει, όπως θα δούμεκαι παρακάτω, και για την περίπτωση των αμερικάνικων call. Στα αμερικάνικαput όμως δε συμβαίνει κάτι τέτοιο και έτσι καταφεύγουμε σε άλλες μεθόδους(Αριθμητικές, Διωνυμικές, Αναλυτικές, με Προσομοίωση (simulation) ). Αυτόακριβώς είναι και το αντικείμενο αυτής της Διπλωματικής εργασίας, δηλαδή ηαποτίμηση των Αμερικάνικων put με Αριθμητικές μεθόδους.

22

2.3 ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES

Το 1973, ο Fisher Black και ο Myron Scholes ανέπτυξαν το διάσημο μο-ντέλο Black−Scholes, το οποίο αποτέλεσε την απαρχή για μία αρκετά εκτενήθεωρία που έχει άμεση εφαρμογή στα χρηματιστηριακά παράγωγα, αλλά και σεπολλούς άλλους τομείς. Αυτό το μοντέλο είναι το πρώτο που επινοήθηκε γιατην αποτίμηση των ευρωπαϊκών options.

Κατ′αρχάς, η χρονική συμπεριφορά μίας επένδυσης στην αγορά χρήματος,όταν το αρχικό κεφάλαιο είναι μία χρηματική μονάδα, δίνεται από τον τύπο:

β(t) = ert, t ≥ 0

όπου r ≥ 0 το επιτόκιο.Αυτό που μας ενδιαφέρει σε μία μετοχή είναι η απόδοσή της:

dXtXt

= bdt, b ∈ R

όπου Xt είναι η τιμή της μετοχής τη χρονική στιγμή t και dXt είναι η μεταβολήτης τιμής της μετοχής σε χρόνο dt.Για να γίνει το μοντέλο ρεαλιστικότερο, προσθέτουμε και την τυχαιοποίη-

ση {σξt}, όπου ξt είναι ένας λευκός θόρυβος και σ > 0 είναι η αβεβαιότηταvolatility και έχουμε:

dXtXt

= bdt+ σξtdt⇒

⇒ dXt = bXtdt+ σXtξtdt.

Ερμηνεύοντας τώρα με όρους στοχαστικής ολοκλήρωσης Itô, είναι:

dXt = bXtdt+ σXtdBt.

΄Ετσι, έχουμε ότι σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω,F ,P) στον οποίο ορίζεταιη κίνηση Brown B = {Bt, t ≥ 0} και είναι εφοδιασμένος με τη διύλιση Ft =σ(FBt ∪NP ) ,με NP = {Λ ⊂ Ω : ∃N ∈ F με Λ ⊂ N και P(N) = 0}, η χρονική

23

εξέλιξη της τιμής υποκείμενων τίτλων (π.χ.μετοχών) δίνεται από το στοχαστικόμοντέλο:

Xt = x+

∫ t0

bXsds+

∫ t0

σXsdBs, t ≥ 0 (5)

όπου b ∈ R,σ > 0 και x > 0. Xt είναι η χρονική εξέλιξη της τιμής υποκείμενωντίτλων, x είναι η τιμή τη χρονική στιγμή t = 0, b είναι ο συντελεστής τουμέσου όρου της ανάπτυξης των τιμών (σε απλά μοντέλα θεωρείται σταθερός),και σ είναι η μεταβλητότητα (volatility) δηλαδή ένα μέτρο της αβεβαιότηταςγια τη μελλοντική πορεία των τιμών του υποκείμενου τίτλου. Η μεταβλητότηταεκτιμάται από τις παρατηρήσεις Xt0 = x0, Xt1 = x1,...,Xtn = xn τις χρονικέςστιγμές t0,t1,...,tn με ti − ti−1 = τ και η εκτιμήτριά της είναι:

σ̂2 =1

τ

1

n− 1

n∑i=1

(ui − ū)2 (6)

όπου ui = ln xixi−1 , i = 1, 2, ..., n.

Αυτή η Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση (ΣΔΕ (5) ) είναι γραμμική και συ-νεπώς η λύση της δίνεται από τον τύπο:

Xt = xe(b− 1

2σ2)t+σBt , t ≥ 0 (7)

Από εδώ και πέρα, όταν αναφερόμαστε στο μοντέλο αγοράς (β,Χ) είναι τομοντέλο Black − Scholes :

β(t) = 1 +

∫ t0

rβ(s)ds, 0 ≤ t ≤ T (8)

Xt = x+

∫ t0

bXsds+

∫ t0

σXsdBs, 0 ≤ t ≤ T (9)

όπου r ≥ 0 το επιτόκιο συνεχούς ανατοκισμού, b ∈ R,σ > 0,x > 0 και T > 0.

Ορισμός 1:

Ονομάζεται χαρτοφυλάκιο για την αγορά (β,Χ) ένα ζεύγος ϕ = (ϕ0, ϕ1) ό-που ϕ0, ϕ1 στοχαστικές ανελίξεις με τιμές στο R, μετρήσιμες και Ft-προσαρμοσμένες.

Ορισμός 2:

Ονομάζεται ανέλιξη αξίας του χαρτοφυλακίου ϕ = (ϕ0, ϕ1) η στοχαστική

24

ανέλιξη:Y ϕt = ϕ0(t)β(t) + ϕ1(t)Xt, 0 ≤ t ≤ T (10)

Ορισμός 3:

Σε ένα μοντέλο αγοράς (β,Χ), ένα χαρτοφυλάκιο ϕ = (ϕ0, ϕ1) ονομάζεται αυ-τοχρηματοδοτούμενο (self − financing) για την (β,Χ) όταν ικανοποιείταιη: ∫ T

0

|ϕ0(s)|ds+∫ T0

|ϕ1(s)Xs|2ds

2.4 MARTINGALE ΜΕΤΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

΄Εστω το μοντέλο αγοράς (β,Χ) όπως στις (8), (9). Θέτουμε:

θ =b− rσ

(15)

Zt = e−θBt− 12 θ

2t, t ≥ 0. (16)

Ως γνωστόν, η σ.α. {Zt, t ≥ 0} είναι Ft-martingale (αφού το θ είναι μίασταθερά). ΄Αρα, η σχέση

Q(A) =

∫A

ZTdP, A ∈ FT (17)

ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον (Ω,FT ) και είναι ισοδύναμο του μέτρου Pπου σημαίνει ότι:

P (A) = 0⇔ Q(A) = 0, ∀A ∈ FT . (18)

Από το Θεώρημα Girsanov έχουμε ότι η σ.α.

Wt = Bt + θt, 0 ≤ t ≤ T (19)

είναι μία Ft-κίνηση Brown για το μέτρο Q.Χρησιμοποιώντας το πόρισμα της Itô formula (σχέση (1) ) για τις β−1t ,Xt

και θέτοντας X̄t = β−1t Xt, 0 ≤ t ≤ T παίρνουμε ότι:

X̄t = X̄0 +

∫ t0

(b− r)X̄sds+∫ t0

σX̄sdBs. (20)

Το μέτρο πιθανότητας Q αγνοεί το συντελεστή∫ t0(b − r)X̄sds, είναι δηλαδή

ουδέτερο κινδύνου (risk − neutral measure) αφού καθιστά martingale τηνανέλιξη αξίας του υποκείμενου τίτλου {X̄t, 0 ≤ t ≤ T}.΄Ετσι, ισοδύναμο martingale μέτρο πιθανότητας ονομάζουμε ένα

μέτρο πιθανότητας όπως το Q που είναι ισοδύναμο με το μέτρο P και υπό τοοποίο η σ.α. {X̄t, 0 ≤ t ≤ T} είναι Ft −martingale.

26

2.5 ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥΤΥΠΟΥ

Ορισμός 5:

΄Εστω T > 0 και (β,Χ) μοντέλο αγοράς όπως στις (8),(9). Δικαίωμα Ευρωπα-ϊκού τύπου χρόνου άσκησης Τ ονομάζεται μία μη αρνητική τ.μ. Y : Ω→ [0,∞)που είναι FT -μετρήσιμη.΄Ετσι, αν h : (0,∞) → [0,∞) είναι μη αρνητική Borel συνάρτηση, τότε ηY = h(XT ) είναι ένα δικαίωμα ευρωπαϊκού τύπου χρόνου άσκησης Τ.

Παραδείγματα:

1. Στην περίπτωση ενός European call option έχουμε

h(x) = (x−K)+

και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (XT −K)+.

2. Στην περίπτωση ενός European put option έχουμε

h(x) = (K − x)+

και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (K −XT )+.

Ορισμός 6:

Στο μοντέλο αγοράς (β,Χ) όπως στις (8),(9), έστω ένα δικαίωμα Ευρωπαϊκούτύπου Y χρόνου άσκησης T > 0. Στρατηγική αντιστάθμισης κιν-δύνου (hedging strategy) για το Y με αρχική αξία y ≥ 0 λέγεται ένα

27

χαρτοφυλάκιο ϕ = (ϕ0, ϕ1) ∈ X̃y με Y y,ϕT = Y, P − σ.β..Δίκαιη τιμή για το δικαίωμα Y λέγεται το

ρ(Y ) = inf{y ≥ 0 : ∃ϕ ∈ X̃y, µε : Y y,ϕT = Y, P − σ.β.}

Αυτή η σχέση μας δίνει τη δίκαιη τιμή από τη μεριά του αγοραστή. Αποδεικνύ-εται όμως ότι το ίδιο ισχύει και από τη μεριά του πωλητή.Πράγματι, γνωρίζουμε ότι ισχύει inf = − sup. ΄Αρα, για το ρ(Y ) έχουμε:

ρ(Y ) = inf{y ≥ 0 : ∃ϕ ∈ X̃y, µε : Y y,ϕT = Y, P − σ.β.} =

= − sup{y ≥ 0 : ∃ϕ ∈ X̃y, µε : Y y,ϕT = Y, P − σ.β.} == sup{y ≥ 0 : ∃ϕ ∈ X̃−y, µε : Y −y,ϕT = −Y, P − σ.β.}

που αντικατοπτρίζει την πλευρά του πωλητή.

Θέτουμε Ŷt = Yŷ,ϕ̂t , 0 ≤ t ≤ T . Η στοχαστική ανέλιξη Ŷt, 0 ≤ t ≤ T

ονομάζεται ανέλιξη αξίας του δικαιώματος Y .

Πρόταση:

Για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα Y = h(XT ), όπου h : (0,∞) → [0,∞) συνεχήςμε EQ[h(XT )] < ∞. Τότε, η ανέλιξη αξίας Ŷ και η δίκαιη τιμή ρ(Y ) δίνονταιαπό τις σχέσεις:

Ŷ = g(t,Xt), 0 ≤ t < T (21)ρ(Y ) = g(0, x) (22)

όπου

g(t, ξ) =

e−r(T−t)√

2π

∫∞−∞ h(ξe

λ(T−t)+σy√T−t)e−

y2

2 dy, 0 ≤ t ≤ T

h(ξ), t = T

(23)

με λ = r − 12σ2.

Επίσης, αν η h ικανοποιεί την απαίτηση:Για c > 0, m ≥ 1 ισχύει h(x) ≤ c(1 + xm),∀x ∈ (0,∞),

τότε το μοναδικό χαρτοφυλάκιο αντιστάθμισης κινδύνου ϕ̂ = (ϕ̂0, ϕ̂1) δίνεταιαπό τις σχέσεις:

ϕ̂1(t) =∂g

∂ξ(t,Xt) (24)

28

ϕ̂0(t) = e−rtg(t,Xt)− e−rt

∂g

∂ξ(t,Xt)Xt (25)

όπου t ∈ [0, T ).

΄Εστω το πρόβλημα Cauchy (γνωστό και ως εξίσωση Black − Scholes ):

∂V

∂t+

1

2σ2x2

∂2V

∂x2+ rx

∂V

∂x− rV = 0, στo [0, T )× (0,∞) (26)

V (T, x) = h(x), x ∈ (0,∞) (27)και έστω ότι έχει μοναδική λύση

V ∈ C([0, T ]× (0,∞)) ∩ C1,2([0, T ]× (0,∞))

η οποία ικανοποιεί τις απαιτήσεις του Θεωρήματος Feynman−Kac (αυτό επι-τυγχάνεται με κατάλληλες υποθέσεις). ΄Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Feynman−Kac έχουμε V = g και άρα:

Ŷt = g(t,Xt) = V (t,Xt), 0 ≤ t ≤ T

και δίκαιη τιμή:ρ(Y ) = g(0, x) = V (0, x).

Παραδείγματα:

1. European call optionh1(x) = (x−K)+, x,K > 0. ΄Εχουμε για t < T (γράφουμε gc αντί γιαg):

gc(t, ξ) = e−r(T−t)

∫ ∞−∞

h1(ξeλ(T−t)+σy

√T−t)

1√2πe−

y2

2 dy =

= e−r(T−t)∫ ∞µ

(ξeλ(T−t)+σy√T−t −K) 1√

2πe−

y2

2 dy

όπου:

µ =ln(K

ξ)− λ(T − t)σ√T − t

= µ(ξ, T − t)

29

και άρα:

gc(t, ξ) = e−r(T−t)

∫ ∞µ

ξeλ(T−t)+σy√T−t 1√

2πe−

y2

2 dy−e−r(T−t)K(1−Φ(µ))

Εφόσον λ = r − 12σ2, έχουμε

ξ

∫ ∞µ

1√2πe−

12(y−σ

√T−t)2dy = ξ

∫ ∞µ−σ√T−t

1√2πe−

12y2dy =

= ξ(1− Φ(µ− σ√T − t))

Οπότε, έχουμε:

gc(t, ξ) = ξΦ(σ√T − t− µ)−Ke−r(T−t)Φ(−µ)

ήgc(t, ξ) = ξΦ(d+)−Ke−r(T−t)Φ(d−) (28)

όπου

d± =ln( ξ

K) + (r ± σ2

2)(T − t)

σ√T − t

. (29)

Για τη δίκαιη τιμή έχουμε (Black − Scholes formula):

ρ(Y ) = gc(0, x) = xΦ(d1)−Ke−rTΦ(d1) (30)

όπου:

d1 =ln( x

K) + (r + σ

2

2)T

σ√T

(31)

και

d2 =ln( x

K) + (r − σ2

2)T

σ√T

= d1 − σ√T . (32)

Επίσης, για το χαρτοφυλάκιο ϕ̂ έχουμε (0 ≤ t ≤ T ):

ϕ̂1(t) = Φ(ln(Xt

K) + (r + σ

2

2)(T − t)

σ√T − t

) (33)

ϕ̂0(t) = −Ke−rTΦ(ln(Xt

K) + (r − σ2

2)(T − t)

σ√T − t

). (34)

30

2. European put optionh2(x) = (K − x)+, x,K > 0. ΄Εχουμε για t < T (γράφουμε gp αντί γιαg):h2(x) = K − x+ (x−K)+ = K − x+ h2(x).΄Αρα:

gp(t, ξ) = Ke−r(T−t) − ξ + gc(t, ξ)

ή αλλιώς:gp(t, ξ) = Ke

−r(T−t)Φ(−d−)− ξΦ(−d+) (35)

με d± όπως στην (29).Για τη δίκαιη τιμή έχουμε:Αν Y1 = h1(XT ) = (XT − K)+ είναι το δικαίωμα της call option καιY2 = h2(XT ) = (K −XT )+ είναι το δικαίωμα της put option, τότε είναι:

ρ(Y2) = gp(0, x) = Ke−rT − x+ gc(0, x)

δηλαδή:ρ(Y2) = ρ(Y1)− x+Ke−rT (36)

που αποτελεί τη σχέση put− call parity.

31

2.6 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΑΙΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥΣ

΄Εχουμε κατ′αρχάς ότι Xt είναι η ανέλιξη αξίας του δικαιώματος η οποίαδίνεται απο το στοχαστικό μοντέλο:

Xt = x+

∫ t0

bXsds+

∫ t0

σXsdBs, 0 ≤ t ≤ T

όπου b ∈ R,σ > 0,x > 0 και T > 0.

Ορισμός 7:

΄Ενα αμερικάνικο δικαίωμα προαίρεσης (American option) ορίζεται από μίαπροσαρμοσμένη μη-αρνητική στοχαστική ανέλιξη (Yt)0≤t≤T .Για λόγους απλότητας, θα ασχοληθούμε μόνο με ανελίξεις της μορφής Y =h(Xt), όπου h : (0,∞) → (0,∞) είναι μη αρνητική Borel συνάρτηση η οποίαικανοποιεί τη σχέση:

h(x) ≤ A+Bx, ∀x ∈ R+ (37)όπου Α,Β είναι μη-αρνητικές σταθερές.

Παραδείγματα:

1. Στην περίπτωση ενός American call option έχουμε

h(x) = (x−K)+

και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (Xt −K)+.

2. Στην περίπτωση ενός American put option έχουμε

h(x) = (K − x)+

και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (K −Xt)+.

32

Ορισμός 8:

Ορίζουμε με Φh το σύνολο των χαρτοφυλακίων ϕ = (ϕ0, ϕ1)0≤t≤T που αντι-σταθμίζουν τον κίνδυνο για το American option, δηλαδή:

Φh = {ϕ = (ϕ0, ϕ1) : ∀t ∈ [0, T ] Y ϕt ≥ h(Xt), P − σ.β.} (38)

Θεώρημα 1:

΄Εστω u : [0, T ]× R+ → R που ορίζεται ως εξής:

u(t, x) = supτ∈Tt,T

E∗[e−r(τ−t)h(x exp((r − σ2

2)(τ − t) + σ(Wτ −Wt)))] (39)

όπου Tt,T είναι το σύνολο των χρόνων διακοπής με τιμές στο [t, T ] και {Wt, t ∈[0, T ]} η στοχαστική ανέλιξη η οποία είναι κίνηση Brown για το μέτρο πιθανό-τητας Q (Q είναι το ισοδύναμο martingale μέτρο πιθανότητας).Υπάρχει χαρτοφυλάκιο ϕ̃ ∈ Φh τέτοια ώστε:

Y ϕ̃t = u(t,Xt),∀t ∈ [0, T ].

Επίσης, για οποιαδήποτε χαρτοφυλάκιο ϕ ∈ Φh, έχουμε:

Y ϕt ≥ u(t,Xt),∀t ∈ [0, T ].

33

2.7 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΓΟΡΑΣ (AMERICANCALL OPTIONS)

Στην περίπτωση των Αμερικάνικων Δικαιωμάτων αγοράς, υπάρχει κλειστήλύση για τη δίκαιη τιμή που μάλιστα συμπίπτει με αυτή των Ευρωπαϊκών Δι-καιωμάτων αγοράς. Σχετικό με αυτό είναι το παρακάτω Θεώρημα.

Θεώρημα 1:

Αν στο Θεώρημα 1 της προηγούμενης παραγράφου δίνεται ότι h(x) = (x −K)+, ∀x ∈ R, δηλαδή αν έχουμε American call (Αμερικάνικο Δικαίωμα αγο-ράς) τότε είναι

u(t, x) = gc(t, ξ) (40)

όπου gc(t, ξ) όπως στην (28). Αυτό, σημαίνει ότι στην περίπτωση της αποτίμη-σης δικαιωμάτων αγοράς, είτε έχουμε Αμερικάνικο είτε Ευρωπαϊκό δικαίωμα, ηλύση δίνεται από την ίδια κλειστή μορφή.

Απόδειξη:

Κατ′αρχάς, θεωρούμε ότι t = 0 (η απόδειξη είναι η ίδια για t > 0). Τότε, γιαοποιονδήποτε χρόνο διακοπής, έχουμε:

E∗(e−rτ (Xτ −K)+) ≤ E∗(e−rT (XT −K)+) = E∗(X̄T − e−rTK)+. (41)

Επίσης, είναι:

E∗((X̄T − e−rTK)+|Fτ ) ≥ E∗((X̄T − e−rTK)|Fτ ) = X̄τ − e−rTK

αφού (X̄t) είναι martingale για το μέτρο πιθανότητας Q.΄Αρα, αφού r ≥ 0:

E∗((X̄T − e−rTK)+|Fτ ) ≥ X̄τ − e−rτK

και επειδή ο αριστερός όρος είναι μη-αρνητικός, λαμβάνουμε:

E∗((X̄T − e−rTK)+|Fτ ) ≥ (X̄τ − e−rτK)+.

34

Παίρνοντας τις μέσες τιμές και των δύο μελών (ως προς το μέτρο πιθανότηταςQ) προκύπτει και η αντίστροφη ανισότητα:

E∗[(X̄T − e−rTK)+|Fτ ] ≥ E∗[(X̄τ − e−rτK)+]. (42)

΄Ετσι, προκύπτει το ζητούμενο.

Q.E.D.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Στην περίπτωση της αποτίμησης Αμερικάνικων δικαιωμάτων πώλησης (Americanput), η λύση δε δίνεται σε κλειστή μορφή. ΄Ετσι, καταφεύγουμε σε αριθμητικέςμεθόδους, ορισμένες από τις οποίες θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο.

35

2.8 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΩΛΗΣΗΣ(AMERICAN PUT OPTIONS)

Οπως είδαμε, είναι:

u(t, x) = supτ∈Tt,T

E∗[Ke−r(τ−t) − x exp(−σ2(τ − t)

2+ σ(Wτ −Wt))]+

όπου {Wt, t ∈ [0, T ]} η στοχαστική ανέλιξη η οποία είναι κίνηση Brown για τομέτρο πιθανότητας Q.Για να μελετήσουμε καλύτερα τη συνάρτηση u, θεωρούμε t = 0 (κάτι πουμπορεί να επιτευχθεί αντικαθιστώντς το T με T − t). ΄Ετσι, είναι:

u(0, x) = supτ∈T0,T

E∗[Ke−rτ − x exp(σWτ − (σ2τ

2))]+ (43)

΄Εχουμε ότι:

u(0, x) = supτ∈T0,T

E∗[Ke−rτ − x exp(σWτ − (σ2τ

2))]+ ≤

≤ supτ∈T0,∞

E∗[Ke−rτ − x exp(σWτ − (σ2τ

2))+I{τ

όπου x∗ = K γ1+γκαι γ = 2r

σ2.

Απόδειξη:

Από τη μορφή της u∞(x), έχουμε ότι είναι κυρτή, φθίνουσα στο [0,∞) καιικανοποιεί: u∞(x) ≥ (K − x)+ και για κάθε T > 0 είναι:

u∞(x) ≥ E∗(Ke−rT − x exp(σWT − (σ2T

2)))+ (47)

κάτι που σημαίναι ότι u∞(x) > 0, ∀x ≥ 0. Είναι: x∗ = sup{x ≥ 0|u∞(x) =K − x}. ΄Ετσι, από τις ιδιότητες της u∞, έχουμε :

u∞(x) = K − x, ∀x ≤ x∗ (48)

u∞(x) > K − x, ∀x > x∗ (49)

Επίσης, είναι:

u∞(x) = E∗[(Ke−rτx − x exp(στx − (σ2τx

2)))+I{τx

΄Ετσι, ο βέλτιστος χρόνος διακοπής είναι ο τx = τx,x∗ . Θεωρούμε σταθερό τοx και σημειώνουμε με φ την εξής συνάρτηση του z:

φ(z) = E∗(e−rτx,zI{τx,z x, προφανώς είναι: τx,z = 0 και φ(z) = (K − x)+.Αν z ≤ x, τότε έχουμε από τη συνέχεια των τροχιών (Xxt )t≥0 ότι:

τx,z = inf{t ≥ 0|Xxt = z}.

και συνεπώς:φ(z) = (K − z)+E∗(e−rτx,zI{τx,z x

(K − z)E∗(exp(−rTlog(z/x)/σ)), αν z ∈ [0, x] ∩ [0, K]

0, αν z ∈ [0, x] ∩ [K,+∞)

Το μέγιστο της φ επιτυγχάνεται στο διάστημα [0, x] ∩ [0, K].Χρησιμοποιώντας τώρα τη formula:

E∗(e−αTb) = exp(µb− |b|

√µ2 + 2α

)38

έχουμε:

φ(z) = (K − z)(zx

)γ, ∀z ∈ [0, x] ∩ [0, K]

όπου γ = 2r/σ2.Η παράγωγος της φ δίνεται από τον τύπο:

φ′(z) =zγ−1

xγ(Kγ − (γ + 1)z).

Αν x ≤ Kγ/(γ + 1), τότε maxz φ(z) = φ(x) = K − x.Αν x > Kγ/(γ + 1), τότε maxz φ(z) = φ(Kγ/(γ + 1)).

Q.E.D.

Στην περίπτωση δικαιώματος πώλησης Αμερικάνικου τύπου με χρόνο εξά-σκησης T , έχουμε ότι για κάθε t ∈ [0, T ) υπάρχει ένα s(t) ∈ R, τέτοιο ώστε:

u(t, x) = K − x, ∀ x ≤ s(t) (54)

καιu(t, x) > (K − x)+, ∀ x > s(t). (55)

Από την ανισότητα (44) έχουμε ότι:

s(t) ≥ x∗, ∀t ∈ [0, T ).

Ο αριθμός s(t) ονομάζεται κρίσιμη τιμή (critical price) τη χρονική στιγμήt, δηλαδή αν η τιμή του υποκείμενου αγαθού τη συγκεκριμένη χρονική στιγ-μή t είναι μικρότερη από το s(t), τότε ο αγοραστής της option θα πρέπει ναεξασκήσει αμέσως το δικαίωμά του. Σε αντίθετη περίπτωση, θα πρέπει να τοκρατήσει.

Εφόσον μιλάμε για American option, ο κάτοχος της option μπορεί να ε-ξασκήσει πρόωρα το δικαίωμα (εφόσον βέβαια κάτι τέτοιο είναι προς όφελόςτου). Αυτό το γεγονός, δυσκολεύει την όλη θεώρηση του προβλήματος. Αυτό,γιατί για κάθε χρονική στιγμή t, πρέπει να δούμε αν το συμφέρει να εξασκή-σει το δικαίωμά του (διαφορετικά δε θα προβεί σ′αυτήν την ενέργεια). ΄Ετσι,

39

υπάρχει μία συγκεκριμένη τιμή s(t), η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο (είναιδιαφορετική για κάθε χρονική στιγμή t) και καθορίζει αν το δικαίωμα θα πρέπεινα εξασκηθεί πρόωρα ή όχι. Αν πάρουμε όλες αυτές τις τιμές, θα δούμε ότισχηματίζουν μία καμπύλη.

Μάλιστα, (εφόσον μιλάμε για American put), όσο βρισκόμαστε πάνω απόαυτήν την καμπύλη, ο κάτοχος δεν εξασκεί το δικαίωμά του. Αυτό, γίνεται τηχρονική στιγμή κατά την οποία η ανέλιξή μας Xt συναντά την καμπύλη s(t).Πράγματι, αν θεωρήσουμε το σύνολο

C = {(x, t) ∈ R+ × [0, T ) : u(x, t) > (K − x)+}

καθώς και το σύνολοCt = {x : (x, t) ∈ C}

δηλαδή την προβολή των σημείων του C για μία συγκεκριμένη χρονική στιγμήt στον άξονα των x, τότε φαίνεται ότι:

Ct = (s(t),∞)

και αποδεικνύεται επίσης ότι η s(t) είναι αύξουσα και συνεχής.΄Ετσι,

• αν (t,Xt) ∈ C, τότε u(x, t) > (K −Xt)+

• αν (t,Xt) ∈ Cc, τότε u(x, t) = (K −Xt)+ .

Αν θεωρήσουμε φ(x) = (K − ex)+, τότε η δίκαιη τιμή του Αμερικάνικου

40

Δικαιώματος πώλησης δίνεται από το σύστημα:

∂u∂t

(t, x) + 12σ2x2 ∂

2u∂x2

(t, x) +(r − σ2

2

)∂u∂x

(t, x)−−ru(t, x) ≤ 0, σ.π. στo [0, T )× R

u(t, x) ≥ φ(x), σ.π. στo [0, T )× R

(u(t, x)− φ(x))(∂u∂t

(t, x) + 12σ2x2 ∂

2u∂x2

(t, x) +(r − σ2

2

)∂u∂x

(t, x)−

−ru(t, x))

= 0, σ.π. στo [0, T )× R

u(T, x) = φ(x).

(56)

Θεώρημα :

Το σύστημα (56) έχει μοναδική συνεχή φραγμένη λύση u(t, x), τέτοια ώστε οιμερικές της παράγωγοι να ικανοποιούν την απαίτηση:

∂u

∂t,∂u

∂x,∂2u

∂x2∈ L∞loc(R) (57)

με την έννοια των κατανομών, όπου L∞loc(R) το σύνολο των τοπικά φραγμένωνσυναρτήσεων.

Επιπλέον, αυτή η λύση ικανοποιεί την:

u(t, log(x)) = supτ∈Tt,T

E∗(e−r(τ−t)h(xe(r−

σ2

2)(τ−t)+σ(Wτ−Wt))

). (58)

όπουh(x) = (K − x)+.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Επειδή δεν υπάρχει κλειστή μορφή για τη u(t, x), καταφεύγουμε σε αριθμητικέςμεθόδους, δύο από τις οποίες παρουσιάζονται στο επόμενο κεφάλαιο.

41

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

3.1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ-CRANK-NICOLSON

΄Εχουμε να λύσουμε αριθμητικά το πρόβλημα:Αν θεωρήσουμε φ(x) = (K − ex)+, να βρεθεί η δίκαιη τιμή του ΑμερικάνικουΔικαιώματος πώλησης η οποία δίνεται από το σύστημα (ως η μοναδική φραγμένηλύση u(t, x)):

∂u∂t

(t, x) + 12σ2x2 ∂

2u∂x2

(t, x) +(r − σ2

2

)∂u∂x

(t, x)−−ru(t, x) ≤ 0, σ.π. στo [0, T )× R

u(t, x) ≥ φ(x), σ.π. στo [0, T )× R

(u(t, x)− φ(x))(∂u∂t

(t, x) + 12σ2x2 ∂

2u∂x2

(t, x) +(r − σ2

2

)∂u∂x

(t, x)−

−ru(t, x))

= 0, σ.π. στo [0, T )× R

u(T, x) = φ(x)

∂u∂t, ∂u∂x, ∂

2u∂x2∈ L∞loc(R), µε την ὲννoια των κατανoµὼν.

(59)

Αυτό που ουσιαστικά πετυχαίνουμε με τη μέθοδο Crank −Nicolson είναιμία προσέγγιση για την u(t, x). Αυτή η προσέγγιση προκύπτει ως ο μέσοςόρος της προς τα μπρος και της προς τα πίσω διακριτοποίησης (ανάπτυξη τωνμερικών παραγώγων σε σειρές Taylor). ΄Ετσι, έχουμε (παντού είναι m ≥ 0 καιN− < n < N+, με N−, N+ αρκετά μεγάλους αριθμούς):

42

Προς τα μπρος διακριτοποίηση:

um+1n − umnδτ

+O(δτ) =umn+1 − 2umn + umn−1

(δx)2+O((δx)2). (60)

Προς τα πίσω διακριτοποίηση:

um+1n − umnδτ

+O(δτ) =um+1n+1 − 2um+1n + um+1n−1

(δx)2+O((δx)2). (61)

Ο μέσος όρος των (60) και (61) μας δίνει:

um+1n − umnδτ

+O(δτ) =

=1

2(umn+1 − 2umn + umn−1

(δx)2+um+1n+1 − 2um+1n + um+1n−1

(δx)2) +O((δx)2). (62)

Αγνοώντας τους όρους του σφάλματος O(δτ) και O((δx)2), προκύπτει:

um+1n −1

2α(um+1n+1 − 2um+1n + um+1n−1 ) =

= umn +1

2α(umn+1 − 2umn + umn−1) (63)

όπου α = δτ/(δx)2.

Αυτό που απομένει είναι να επιλυθεί το σύστημα των εξισώσεων (63). Θαυπολογίσουμε πρώτα τα:

Zmn = (1− α)umn +1

2α(umn+1 + u

mn−1) (64)

και στη συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα:

(1 + α)um+1n −1

2α(um+1n+1 + u

m+1n−1 ) = Z

mn (65)

43

ή αλλιώςCum+1 = bm (66)

όπου:

C =

1 + α −12α 0 · · · 0

−12α 1 + α −1

2α

...

0 −12α

. . . . . . 0...

. . . . . . −12α

0 0 −12α 1 + α

(67)και

um+1 =

um+1N−+1...

um+10...

um+1N+−1

(68)

hm+1 =

hm+1N−+1...

hm+10...

hm+1N+−1

(69)

bm =

ZmN−+1...Zm0...

ZmN+−1

+1

2α

um+1N−

0...0

um+1N+

. (70)όπου hm+1 ο πίνακας των συνοριακών συνθηκών τη χρονική στιγμή t.

Για να λυθεί το σύστημα (66), πρώτα σχηματίζουμε τον πίνακα bm και στησυνέχεια χρησιμοποιούμε μία μέθοδο SOR (Successive Over −Relaxation),την SOR projected.

Το όλο πρόβλημα σε μορφή πινάκων γράφεται:

Cum+1 ≥ bm (71)

44

um+1 ≥ hm+1 (72)

(um+1 − hm+1) · (Cum+1 − bm) = 0 (73)

45

3.1.1 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR

Κατ′αρχάς έχουμε:

um+1,k+1n = um+1,kn + (u

m+1,k+1n − um+1,kn ) (74)

Καθώς η ακολουθία um+1,kn συγκλίνει στο um+1n όσο k →∞, ο όρος (um+1,k+1n −

um+1,kn ) μπορεί να θεωρηθεί σα μία διόρθωση που προστίθεται στο um+1,kn για

να προσεγγίσει στο um+1n . Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι μία επιπλέονμικρή διόρθωση ώστε η ακολουθία να συγκλίνει πιο γρήγορα. ΄Ετσι, θεωρούμε:

ym+1,k+1n =1

1 + 2α(bmn + α(u

m+1,k+1n−1 − u

m+1,kn+1 )) (75)

καιum+1,k+1n = u

m+1,kn + ω(y

m+1,k+1n − um+1,kn ) (76)

όπου ym+1,k+1n η τιμή για την um+1,k+1n που μας δίνει η μέθοδος Gauss−Seidel

και ω > 1 είναι η επιπλέον διόρθωση. Αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθμος SORσυγκλίνει στη σωστή λύση αν α > 0 και 0 < ω < 2. Μάλιστα, μπορεί επίσης ναδειχθεί ότι υπάρχει βέλτιστη τιμή για το ω, στο διάστημα (1,2) η οποία οδηγεί σεπολύ γρηγορότερη σύγκλιση της μεθόδου. Υπάρχει τρόπος υπολογισμού αυτήςτης βέλτιστης τιμής, αλλά είναι αρκετά επίπονος. ΄Ετσι, είναι πιο πρακτικό νααλλάζουμε το ω σε κάθε χρονικό βήμα μέχρις ότου βρεθεί μία τιμή η οποία θαελαχιστοποιεί τον αριθμό των επαναλήψεων του SOR loop.

46

3.1.2 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR projected

Στον αλγόριθμο της SOR μεθόδου εφαρμόζουμε την Crank − Nicolsonκαι προκύπτει:

ym+1,k+1n =1

1 + α(bmn + α(u

m+1,k+1n−1 − u

m+1,kn+1 )) (77)

καιum+1,k+1n = u

m+1,kn + ω(y

m+1,k+1n − um+1,kn ). (78)

Αν επαναλάβουμε αυτές τις εξισώσεις έως ότου υπάρξει ικανοποιητική σύ-γκλιση του um+1,kn στο u

m+1n , τότε καταλήγουμε στη λύση του συστήματος

(66).Για να ικανοποιείται η (72), αρκεί να μορφοποιήσουμε την (78) ως εξής:

um+1,k+1n = max(um+1,kn + ω(y

m+1,k+1n − um+1,kn ), hm+1n ). (79)

Δηλαδή, συνολικά έχουμε να υπολογίσουμε τα:

ym+1,k+1n =1

1 + α(bmn + α(u

m+1,k+1n−1 − u

m+1,kn+1 )) (80)

um+1,k+1n = max(um+1,kn + ω(y

m+1,k+1n − um+1,kn ), hm+1n ). (81)

μέχρι η διαφορά ‖um+1,k+1 − um+1,k‖ να γίνει τόσο μικρή, ώστε να αμελητέα.Τότε, θα βάλουμε um+1 = um+1,k+1.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Αναλυτικά ο κώδικας της μεθόδου Crank −Nicolson με τη χρήση της SORprojected, παρατίθεται στο παράρτημα.

47

3.2 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

Οι διωνυμικές μέθοδοι βασίζονται σε κάποιες βασικές ιδέες. Πρώτον, θεω-ρούμε ότι ένας συνεχής τυχαίος περίπατος μπορεί να μοντελοποιηθεί από έναδιακριτό τυχαίο περίπατο με τις εξής ιδιότητες:

• Η τιμή του υποκειμένου αλλάζει μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές δt,2δt, 3δt, ..., Mδt = T , όπου Τ ο χρόνος εξάσκησης.

• Αν σε μία χρονική στιγμή mδt η τιμή του υποκειμένου είναι Xm, τότε τηχρονική στιγμή (m+ 1)δt η καινούρια τιμή θα είναι είτε gXm > Xm, είτεdXm < Xm (g − 1 > 0, d− 1 < 0).

• Η πιθανότητα p είναι γνωστή (άρα και η 1 − p). Εμείς, θα θεωρήσουμεp = 1/2.

Ξεκινάμε με μία δοθείσα αρχική τιμή του υποκειμένου και χωρίζουμε την υ-πολοιπόμενη διάρκεια μέχρι το χρόνο εξάσκησης του δικαιώματος σε Μ βήματαμεγέθους δt = (T − t)/M . Σημειώνουμε ότι η τιμή του υποκειμένου μεταβάλ-λεται μόνο τις χρονικές στιγμές mδt, m = 1, 2, ...,M . ΄Ετσι, ξεκινώντας απότην τιμή Χ του υποκειμένου, δημιουργείται ένα δέντρο όλων των πιθανών τουτιμών. Στο πρώτο χρονικό βήμα δημιουργούνται δύο πιθανές τιμές, η gX καιη dX, στο δεύτερο χρονικό βήμα δημιουργούνται τρεις πιθανές τιμές, η g2X, ηgdX και η d2X κ.ο.κ. μέχρι και το χρόνο εξάσκησης. Σημειώνουμε επίσης ότι,η τιμή του υποκειμένου που προκύπτει από ένα βήμα προς τα πάνω ακολουθού-μενο από ένα βήμα προς τα κάτω,είναι η ίδια με αυτήν που προκύπτει από έναβήμα προς τα κάτω ακολουθούμενο από ένα βήμα προς τα πάνω. ΄Ετσι, μετάαπό m βήματα, οι πιθανές τιμές είναι m+ 1.

Δεύτερον, σ′αυτές τις μεθόδους θεωρούμε ότι υπάρχει ουδετερότητα κινδύ-νου. ΄Ετσι, μπορούμε σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή να αντισταθμίσουμε τονκίνδυνο για το χαρτοφυλάκιο που διαθέτουμε.Γνωρίζουμε ότι ισχύει:

dX = σXdU + µXdt (82)

όπου dY είναι τ.μ. με dY ∼ (0, dt), σ είναι η μεταβλητότητα και µ είναι έναμέτρο του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης της τιμής του χαρτοφυλακίου. Μπο-

48

ρούμε να αντικαταστήσουμε το µ από το ετήσιο επιτόκιο r. ΄Ετσι, προκύπτει:

dX

X= σdU + rdt. (83)

΄Ετσι, η τιμή του συμβολαίου στο χρονικό βήμα mδt δίνεται από τον τύπο:

um = E[e−rδtum+1]. (84)

Αυτό που κάνουμε στις διωνυμικές μεθόδους είναι κατ′ αρχάς να κατασκευά-ζουμε το δέντρο των πιθανών τιμών του χαρτοφυλακίου. Στη συνέχεια, με τηχρήση του δέντρου, υπολογίζουμε τις πιθανές τιμές κατά το χρόνο εξάσκησηςκαθώς και τις τιμές του συμβολαίου κατά τις χρονικές στιγμές m (σχέση (84)). Τέλος, μας δίνεται η δυνατότητα να ελέγξουμε αν είναι συμφέρουσα πιθανήπρόωρη εξάσκηση του δικαιώματός μας (για την περίπτωση των Αμερικάνικωνoptions).

Ο διακριτός τυχαίος περίπατος:

Τα p, g, d επιλέγονται έτσι ώστε ο διακριτός τυχαίος περίπατος που απεικονί-ζεται στο δέντρο και ο συνεχής τυχαίος περίπατος (83) να έχουν την ίδια μέσητιμή και την ίδια διασπορά.Στην περίπτωση του συνεχούς τ.π., δοθείσης της τιμής του συμβολαίου Xm

τη χρονική στιγμή mδt, έχουμε για την αναμενόμενη τιμή Xm+1:

Ec[Xm+1|Xm] =

∫ ∞0

X ′p(Xm,mδt;X ′, (m+ 1)δt

)dX ′ = erδtXm

όπου p(X, t;X ′, t′) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:

p(X, t;X ′, t′) =1

σX ′√

2π(t′ − t)e−(log(X′/X)−(r− 1

2σ2)(t′−t)

).

Στην περίπτωση του διακριτού τ.π., δοθείσης της τιμής του συμβολαίου Xm

τη χρονική στιγμή mδt, έχουμε για την αναμενόμενη τιμή Xm+1:

Eb[Xm+1|Xm] =

(pg + (1− p)d

)Xm.

Εξισώνοντας τις δύο αυτές σχέσεις, προκύπτει:

pg + (1− p)d = erδt. (85)

49

Η διασπορά της Xm+1, δοθείσης της Xm, είναι:

var[Xm+1|Xm] = E[(Xm+1)2|Xm]− E[Xm+1|Xm]2.

Για το συνεχή τ.π. είναι:

Ec[(Xm+1)2|Xm] =

∫ ∞0

(X ′)2p(Xm,mδt;X ′, (m+ 1)δt

)dX ′ =

= e(2r+σ2)δt(Xm)2

καιvarc[X

m+1|Xm] = e2rδt(eσ2δt − 1)(Xm)2.

Για το διακριτό τ.π. είναι:

Eb[(Xm+1)2|Xm] =

(pg2 + (1− p)d2

)(Xm)2

καιvarb[X

m+1|Xm] = e2rδt(eσ2δt − 1)(Xm)2.

και χρησιμοποιώντας την (85) έχουμε:

varb[Xm+1|Xm] =

(pu2 + (1− p)d2 − e2rδt

)(Xm)2.

Εξισώνοντας τώρα τις διασπορές varc, varb προκύπτει:

pg2 + (1− p)d2 = e(2r+σ2)δt. (86)

Οι σχέσεις (85) και (86) αποτελούν δύο από τις τρεις απαιτούμενες για τουςαγνώστους p, g, d. Η τρίτη σχέση προκύπτει από τις σχέση g > 0, d > 0, 0 ≤p ≤ 1 και είναι μία από τις εξής:

g =1

d

p =1

2

Εμείς επιλέγουμε την p = 1/2.΄Ετσι, βρίσκουμε ότι:

g + d = 2erδt

50

g2 + d2 = 2e(2r+σ2)δt

από όπου προκύπτει:

d = erδt(

1−√eσ2δt − 1

)(87)

g = erδt(

1 +√eσ2δt − 1

)(88)

p =1

2. (89)

Αν θεωρηθεί πολύ μεγάλο το βήμα (μεγάλο δt), η μέθοδος ενδέχεται νααποτύχει.

Με χρήση των παραπάνω σχέσεων κατασκευάζουμε το διωνυνικό δέντροξεκινώντας από τη χρονική στιγμή t = 0 όπου η τιμή του υποκειμένου είναι X00 .Στο επόμενο χρονικό βήμα δt, υπάρχουν δύο πιθανές τιμές, X11 = gX

00 , X

10 =

dX00 . Στο χρονικό βήμα 2δt, οι πιθανές τιμές είναι τρεις, X22 = g

2X00 , X21 =

gdX00 , X20 = d

2X00 . Στο τρίτο χρονικό βήμα, οι πιθανές τιμές είναι 4 κ.ο.κ.΄Ετσι, στο m χρονικό βήμα mδt, οι πιθανές τιμές είναι m+ 1Χ

Xmn = gndm−nX00 , n = 0, 1, ...,m.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Εφόσον οι κλάδοι του δέντρου επανεννώνονται, η ιστορία του κάθε συμβολαίουχάνεται αφού υπάρχουν περισσότερες από μία διαδρομές για να καταλήξουμε σεένα συγκεκριμένο σημείο.

Στην περίπτωση των Αμερικάνικων options, χωρίζουμε το χρόνο εξάσκησηςσε Μ διαστήματα μήκους δt = T/M και φτιάχνουμε το δέντρο με τις τιμές

Xmn , n = 0, 1, ...,m.

Κατά τη χρονική στιγμή Mδt,μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανές τιμές απότην payoff συνάρτηση.

51

Για τα Αμερικάνικα δικαιώματα πώλησης (American puts), έχουμε τηνpayoff συνάρτηση :

umn = max(E −Xmn , 0), n = 0, 1, ...,M. (90)

Για τα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς (American calls), έχουμε την payoffσυνάρτηση :

umn = max(Xmn − E, 0), n = 0, 1, ...,M. (91)

Εφόσον μιλάμε για Αμερικάνικα δικαιώματα, υπάρχει η δυνατότητα για πρό-ωρη εξάσκηση. Στην περίπτωση που το δικαίωμα διατηρείται, η αξία του umnείναι, όπως στην περίπτωση των Ευρωπαϊκών δικαιωμάτων :

umn = e−rδt(pum+1n+1 + (1− p)um+1n ).

Τελικά, η αξία των δικαιωμάτων είναι το μέγιστο των δύο πιθανοτήτων:

umn = max(payoff(Xmn ), e

−rδt(pum+1n+1 + (1− p)um+1n )). (92)

΄Ετσι,για τα Αμερικάνικα δικαιώματα πώλησης έχουμε:

umn = max(

max(E −Xmn , 0), e−rδt(pum+1n+1 + (1− p)um+1n ))

(93)

και για τα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς έχουμε:

umn = max(

max(Xmn − E, 0), e−rδt(pum+1n+1 + (1− p)um+1n )). (94)

Το δέντρο των τιμών Xmn κατασκευάζεται και αποθηκεύεται. Τότε, υπο-λογίζουμε την τιμή της payoff συνάρτησης και ανατρέχοντας στο δέντρο,βρίσκουμε την αξία του δικαιώματος. Αυτό που γίνεται επιπλέον είναι ένας έ-λεγχος σε κάθε βήμα για να αποφανθούμε τι μας συμφέρει, η πρόωρη εξάσκησητου δικαιώματος ή η διατήρησή του.

52

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

4.1 ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥCRANK-NICOLSON ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗAMERICAN PUT

΄Ολα τα παρακατω αποτελάσματα προέκυψαν από το πρόγραμμα (σε περι-βάλλον C + +) που παρατίθεται στο παράρτημα.Στα παραδείγματα αυτά έχουμε παντού ότι η τιμή εξάσκησης Κ είναι 10, η

αρχική τιμή του προϊόντος S0 είναι 9, n ∈ [0, 19], δηλαδή N− = 0 και N+ = 19.Τέλος, ο μέγιστος αριθμός βημάτων Μ είναι 16. Αυτό που αλλάζει ανάλογαμε το παράδειγμα είναι η τιμή του επιτοκίου r καθώς και η μεταβλητότητα(volatility) s. Τέλος, Τ είναι ο μέγιστος χρόνος εξάσκησης του συμβολαίου.Οι δυνατές τιμές του Τ είναι 1 έτος (365 ημέρες), 0.75 του έτους (273 ημέρες),0.5 του έτους (182 ημέρες), 0.25 του έτους (91 ημέρες).

1. s = 0.1

• r = 0.05

Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική(σε έτη) στιγμή t = 0 (premium)0.25 0.93940.50 1.02560.75 1.03901.00 1.1073

53

• r = 0.1

Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική(σε έτη) στιγμή t = 0 (premium)0.25 0.77030.50 0.80380.75 0.80511.00 0.8020

2. s = 0.2

• r = 0.05

Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική(σε έτη) στιγμή t = 0 (premium)0.25 2.70590.50 3.52000.75 4.05781.00 4.4632

• r = 0.1

Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική(σε έτη) στιγμή t = 0 (premium)0.25 2.10880.50 2.39670.75 2.50811.00 2.5545

54

4.2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

• Κατ′αρχάς, παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει ο χρόνος εξάσκησης του συμ-βολαίου, αυξάνει και η δίκαιη τιμή (premium). Αυτό, είναι λογικό αφούεφόσον έχουμε Αμερικάνικα δικαιώματα προαίρεσης (υπάρχει η δυνατό-τητα για πρόωρη εξάσκηση), η αύξηση του χρόνου εξάσκησης διευρύνειτις πιθανές επιλογές (και συνεπώς αυξάνει την πιθανότητα για κέρδος)του αγοραστή του δικαιώματος. Ταυτόχρονα, ουσιαστικά περιορίζεται ηπιθανότητα κέρδους από τον πωλητή, οπότε πάλι είναι δίκαιο να του κατα-βληθεί μεγαλύτερο ποσόν τη μέρα υπογραφής του συμβολαίου (εκτίθεταισε μεγαλύτερο κίνδυνο).

• Επίσης, βλέπουμε ότι όσο αυξάνει η μεταβλητότητα s (volatility), τόσοαυξάνει και η δίκαιη τιμή (premium). Αυτό, είναι λογικό αφού όταναυξάνεται η αβεβαιότητα, τόσο περισσότερο ο πωλητής του δικαιώματοςεκτίθεται σε κίνδυνο να χάσει. Αυτό, γιατί ενδέχεται οι διαβαθμίσεις τηςαξίας του προϊόντος να είναι μεγάλες και συνεπώς αυξάνεται η πιθανότητατο προϊόν να έχει τέτοια αξία ώστε να εξασκηθεί από τον αγοραστή.Γι′αυτό, φαίνεται λογικό όσο αυξάνει η αβεβαιότητα, τόσο μεγαλύτερο ναείναι το αντίτιμο που καταβάλλεται από τον αγοραστή στον πωλητή.

Οι τιμές της μεταβλητότητας που χρησιμοποιήθηκαν στα αριθμητικά παρα-δείγματα είναι 0.1 και 0.2, τιμές που χρησιμοποιούνται ως επί το πλείστονκαι στην πράξη (για την ακρίβεια, συνήθως παίρνουμε s = 0.16).

• Παράλληλα, όσο αυξάνει το επιτόκιο (r), τόσο μειώνεται η δίκαιη τιμή.Κατί τέτοιο δικαιολογείται αν αναλογιστούμε ότι όταν έχουμε υψηλό ε-πιτόκιο, τότε ο υποψήφιος αγοραστής ενδέχεται να μην προτιμήσει ναρισκάρει να συνάψη ένα τέτοιο συμβόλαιο (που εσωκλείει μεγαλύτεροκίνδυνο). Θα προτιμήσει να επενδύσει τα χρήματά του ίσως σε κάποιατράπεζα. ΄Ετσι, προκειμένου να δελεαστεί να επενδύσει σε δικαιώματαπροαίρεσης, η τιμή του συμβολαίου θα πέσει (Νόμος της Προσφοράς καιτης Ζήτησης).

Οι τιμές του επιτοκίου που χρησιμοποιήθηκαν στα αριθμητικά παραδείγ-

55

ματα είναι 0.1 και 0.05, τιμές που αντικατοπτρίζουν πραγματικά δεδομένα.

• Η μέθοδος Crank−Nicolson θεωρείται ακριβέστερη από ότι η Διωνυμικήκαι γι′αυτό άλλωστε περιοριστήκαμε σε αυτήν τη μέθοδο.

56

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

5.1 ΚΩΔΙΚΑΣ ΤΗΣΜΕΘΟΔΟΥ CRANK-NICOLSON

#include < stdio.h >#include < math.h >#define K 10.0]define T 1.0#define s 0.2#define a 1.0#define eps exp(−8)#define r 0.05#define Nminus 0#define Nplus 19#define M 16

int GSOR solver(double u[20], double b[20], double h[20], double omega, int loops);void Crank Nicolson(void);

int n, oldloops,m, loops;double dt, t, dx, a2, omega, domega, l, tau, error;double u[20], ds, x[20], hold[20], h[20], b[20], y[20], S[20], V [20];

int main(void){

Crank Nicolson();

return 0;

57

}

int GSOR solver(double u[20], double b[20], double h[20], double omega, int loops)

{loops = 0;a2 = a/(double)2.0;v[Nminus] = h[Nminus];v[Nplus] = h[Nplus];

do{error = 0.0;

for(n = Nminus+ 1; n < Nplus; + + n){y[n] = (b[n] + a2 ∗ (u[n− 1] + u[n+ 1]))/(double)(1 + a);

if(h[n] > u[n] + omega ∗ (y[n]− u[n]))y[n] = h[n];else y[n] = u[n] + omega ∗ (y[n]− u[n]);

error + = (u[n]− y[n]) ∗ (u[n]− y[n]);u[n] = y[n];

V [n] = pow(K, (0.5 ∗ (1 + l))) ∗ pow(S[n], (0.5 ∗ (1− l))) ∗ exp(0.125 ∗ (l +1) ∗ (l + 1) ∗ s ∗ s) ∗ u[n];printf(”%f”, u[n]);}+ +loops;}while (error > eps);return loops;}

58

void Crank Nicolson(void)

{dt = 0.5 ∗ s ∗ s ∗ (T/(double)M);a2 = a/(double)2.0;dx = pow((dt/(double)a), 0.5);omega = 1.0;domega = 0.05;oldloops = 10000;loops = 0;l = r/(double)(0.5 ∗ (s ∗ s));

for(n = Nminus; n 0)u[n] = hold[n];else u[n] = 0;}

for(m = 1; m

h[Nplus] = exp(0.25 ∗ (l+ 1) ∗ (l+ 1) ∗ tau) ∗ (exp(0.5 ∗ (l− 1) ∗x[Nplus])−exp(0.5 ∗ (l + 1) ∗ x[Nplus])); ;u[Nminus] = h[Nminus];u[Nplus] = h[Nplus];

loops = GSOR solver(u, b, g, omega, loops);

if(loops > oldloops) domega ∗ = −1.0;omega + = domega;oldloops = loops;}}

Σ′αυτό το πρόγραμμα χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση Crank Nicolson, ηοποία υπολογίζει την τιμή του premium χρησιμοποιώντας την αριθμητική μέ-θοδο Crank − Nicolson. Ορίζουμε στην αρχή τις τιμές των παραμέτρωνK,T, s, a, r,N−, N+,M τις οποίες μπορούμε να μεταβάλλουμε ανάλογα με ταδεδομένα. Ο πίνακας x[n] μας δίνει τις τιμές της μεταβλητής x στη συνάρτησηu(t, x) και ο πίνακας S[n] τις τιμές του προϊόντος για το κάθε x. Επίσης, tauείναι η μεταβλητή τ στη συνάρτηση u(τ, x) και omega είναι η επιπλέον διόρθω-ση της μεθόδου Crank − Nicolson για να συγκλίνει πιο γρήγορα. Επιπλέονγίνεται και ένας έλεγχος που δίνει τιμή στον αριθμό των κύκλων (loops).Επίσης, καλείται και μία ακόμα συνάρτηση, ηGSOR solver η οποία καλείται

μέχρις ότου μία απόκλιση να ξεπεράσει μία τιμή σφάλματος (error) και μας δίνειτις τιμές του πίνακα V [n] η οποίες αντιστοιχούν στις τιμές του δικαιώματοςπροαίρεσης που είναι και το ζητούμενό