INACAP AREA : ADMINISTRACION Y NEGOCIOS

MATEMATICAS I

LENGUAJE MATEMATICO

PROPOSICIONES LOGICAS

GUIA DE APOYO 1

PROYECTO HOMOGENEIZACION CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICAS

2001

LOGICA PROPOSICIONAL

La Lógica Moderna atiende solamente las proposiciones y estudia las relaciones que existen entre ellas. También es llamada Lógica Proposicional. Su estudio permitirá consolidar recursos lógicos, simbólicos y estructurales del lenguaje matemático.

Se orienta hacia los siguientes objetivos a lograr;

♦ Operar secuencialmente un planteamiento en el lenguaje natural. ♦ Verificar el valor de verdad en proposiciones lógicas. ♦ Analizar expresiones cuantificadas lógicamente. ♦ Aplicar la valoración lógica en secuencias algorítmicas. ♦ Verificar el valor de verdad de una proposición lógica en calculadora gráfica.

Los temas a tratar son; • Argumentos lógicos y variables • Conectivos lógicos y sus propiedades • Tablas de verdad • Cuantificadores • Valoración lógica y secuencias algorítmicas

BIBLIOGRAFÍA

• Razonamiento Matemático Rodríguez Ahumada Thomson Editores 2ª. Edición • Matemáticas Básicas John C. Peterson Cecsa 1ª Edición • Teoría de Conjuntos y temas afines Seymur Lipchutz Mc-Graw Hill 10ª Edición

LOGICA PROPOSICIONAL SINTESIS TEORICA Proposición: Es un concepto primitivo, que no se define.

Es el nombre que se le da a todo enunciado que tenga un sentido lógico, este puede ser verdadero o falso.

Para denotarlas se utilizan las letras minúsculas p, q, r, s, etc. Ejemplos: 1) “Santiago es la capital de Chile” Proposición Verdadera. 2) “Cinco es mayor que diez” Proposición Falsa. 3) “¿Qué hora es?” No es proposición ya que no es ni verdadero ni

falso. Proposición Simple: es aquella que no esta vinculada a ninguna otra.

1er Principio: El valor de verdad de una proposición:

Una Proposición puede ser verdadera o falsa. 2do Principio: Negación. La negación es cambiar el sentido de verdad de la proposición.

Se denota por: ∼ p ≡ ¬ p ≡ p ≡ p’ Tabla de verdad Para n proposiciones simples, las entradas a la tabla son 2n. (La mitad

verdadera y la otra mitad falsas).

p ∼ p V F F V

Proposición Compuesta: esta formada por proposiciones simples que están vinculadas por

conectivos lógicos. ∧ Conjunción “y” ∨ Disyunción “o”

Conectivos Lógicos → Condicional “implica, entonces” ↔ Bicondicional “sí y solo si”

Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V

Clasificación de una Proposición Compuesta: 1) Tautología: Una proposición es una tautología o teorema lógico si su tabla de verdad es

verdadera en todas sus combinaciones.

Dos entradas a la tabla. n = 1, 2n = 21 = 2

2) Contradicción: Una proposición es una contradicción si su tabla de verdad es falsa en

todas sus combinaciones. 3) Contingencia: Una proposición es una contingencia si la tabla de verdad tiene resultados

lógicos verdaderos y falsos, o sea no es tautología ni contradicción. Ejemplo: Construir la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

1) p → (p ∨ q) p q p ∨ q p → (p ∨ q) p → (p ∨ q) V V V V V V V V V V F V V V V V V F F V V V F V F V V F F F V F V F F F

Paso 2 3 1 2 1 Método 1 Método 2 2) p ∧ ∼ p p ∼ p p ∧ ∼ p p ∧ ∼ p V F F V F F F V F F F V Paso 1 2 1

3) (p ∨ q) → (p ∧ q) p q p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) → (p ∧ q) (p ∨ q) → (p ∧ q) V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F F V V F F F V V F F F V F F F F V F F F V F F F Paso 1 2 1 3 1 2 1

TAUTOLOGIA

CONTRADICCION

CONTINGENCIA

ALGEBRA DE PROPOSICIONES Equivalencia lógica: Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad

son iguales y se denota por ≡. Por Ej.: 1) p → q ≡ ∼ p ∨ q Definición condicional 2) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ ( q → p) Definición Bicondicional LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1) Leyes de Idempotencia:

a) p ∨ p ≡ p b) p ∧ p ≡ p

2) Leyes Asociativas

a) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r) b) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r)

3) Leyes Conmutativas

a) p ∨ q ≡ q ∨ p b) p ∧ q ≡ q ∧ p

4) Leyes Distributivas

a) p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) b) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5) Leyes de Identidad a) p ∨ F ≡ p c) p ∨ V ≡ V b) p ∧ V ≡ p d) p ∧ F ≡ F

6) Leyes de Complemento

a) p ∨ ∼ p ≡ V c) p ∧ ∼ p ≡ F b) ∼ V ≡ F d) ∼ F ≡ V

7) Ley de Involución

a) ∼∼ p ≡ p 8) Leyes de DeMorgan

a) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q b) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

Las equivalencias se pueden demostrar construyendo la tabla de verdad.

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGICA PROPOSICIONAL 1) Identificar las proposiciones simples, los conectivos y escribir en forma simbólica.

“Las rosas son rojas y las violetas azules” Solución: p: Las rosas son rojas q: las violetas son azules Conector “y” Forma simbólica: p ∧ q 2) Construya la tabla de verdad asociada a la siguiente proposición compuesta.

(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q) Solución: p q p ∧ q p ∨ q ~(p ∨ q) (p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q) (p ∧ q) ∧ ~ (p ∨ q) V V V V F F V V V F F V V V V F F V F F V F F F F V V F F V F V F F F F V F F F V V F F F F V F F F F F V F F F Paso 1 3 1 4 3 1 2 1

Método 1 Método 2 3) Demostrar la siguiente equivalencia: p ∧ (~p ∨ q) ≡ p ∧ q a) Construyendo la tabla de verdad b) Por el álgebra de proposiciones Solución: a)

P ∧ (~p ∨ q) ≡ p ∧ q V V F V V V V V V F F F F V F F F F V V V F F V F F V V F F F F

b)

p ∧ (~p ∨ q) ≡ (p ∧ ~p) ∨ (p ∧ q) Ley distributiva F ∨ (p ∧ q) Ley de Complemento p ∧ q Ley de Identidad

4) Sea p: “Hace frío” y sea q: “Está lloviendo”. Dé una frase verbal sencilla que describa cada

uno de los siguientes enunciados:

a) ~p b) p ∧ q c) p ∨ q d) q ∨ ~p e) ~p ∧ ~q

Son equivalentes, porque sus tablas de verdad son iguales

En cada caso, traduzca, y para que se lea “y”, “o” y “Es falso que” o “No”, respectivamente, y luego simplifique la frase. Solución:

a) No hace frío. b) Está haciendo frío y está lloviendo. c) Está haciendo frío o está lloviendo. d) Está lloviendo o no está haciendo frío. e) Ni está haciendo frío ni está lloviendo.

5) Con las leyes del álgebra proposicional simplificar: ( ) pqp ∧∨

Solución:

( ) ( )( ) ( )

( )qp

identidadqpFocomplementFppcomo

vadistributiqpppaconmutativqpppqp

∧≡∧∨≡

≡∧∨∨∧≡

∨∧≡∧∨

LOGICA PROPOSICIONAL, EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sean p: “Cinco es mayor que diez” y q: “Dos más dos son cuatro”. Describir con un

enunciado verbal las siguientes proposiciones. a) ∼ p b) p ∧ q c) p ∨ q d) q ∨ ∼ p e) p ↔ ∼ q f) p → ∼ q

2) Sean p: “Pedro habla inglés” y q: “Pedro habla francés”. Dé una frase sencilla que describa

lo siguiente: a) p ∨ q b) p ∧ q c) p ∧ ∼ q d) ∼ p ∨ ∼ q e) ∼∼ p f) ∼ (∼ p ∨ ∼ q)

3) Construya la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

a) (p ∨ ∼ p) ∨ ∼ p b) (∼ p ∨ q) ∨ p c) p → (p ∧ ∼ p) d) (p ∧ q) → (p ∨ q) e) ∼ p ∧ ∼ (q ∨ p) f) (p ∧ q) → r g) [(p → ∼ q) ∧ q] → ∼ p h) (p ∨ ∼ r) → (q ∧ ∼ s) i) [(p ∧ q) → r] ∨ (r → s) j) [(p → q) → r] ∨ ∼ q k) {[(p → q) ∧ (p → ∼ r)] ∧ (r → p)} ∧ (∼ p → q) l) {[(p → q) ∧ (∼ r → s)] ∧ (r → p)} ∧ (p → q)

4) Cuales de las siguientes proposiciones son tautología:

a) (p ∧ q) → (p ∨ ∼ q) b) p → (p ∧ q) c) (p → q) ↔ (∼ q → ∼ p)

5) Identificar las proposiciones simples, los conectivos, escribir en forma simbólica y determinar la verdad de cada uno de los siguientes enunciados:

a) Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8 b) No es verdad que 2 + 2 = 5, si y sólo si, 4 + 4 = 10 c) París está en Inglaterra o Londres está en Francia. d) No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3 e) Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.

6) Demostrar las siguientes equivalencias:

i) Construyendo la tabla de verdad ii) Por el álgebra de proposiciones

a) p → ∼ p ≡ ∼ p b) p → q ≡ ∼ q → ∼ p c) p → (p ∨ q) ≡ V d) p ∨ ( ∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q e) p ∧ (p ∨ q) ≡ p f) (p ∧ q) ↔ p ≡ p→ q g) (p ∨ q) → (p ∧ q) ≡ p ↔ q h) (p → r) ∨ (q → r) ≡ (p ∧ ∼ r) → ∼ q i) (p ↔ q) → (p → q) ≡ V j) (p ∨ q) ↔ q ≡ p → q

7) La conectiva ↓ es la conjunción negativa; p ↓ q se lee “Ni p ni q”

p ↓ q ≡ ∼ p ∧ ∼ q a) Construir la tabla de verdad p ↓ q b) Demostrar las siguientes equivalencias:

i) Construyendo la tabla de verdad ii) Por el álgebra de proposiciones

I) ∼ p ≡ p ↓ p II) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) III) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)

8) Si p es una proposición verdadera, q una proposición falsa, determinar el valor de verdad

de:

a) (p ∧ q) ∨ q b) (p ∨ q) ∧ q c) (p ∧ q) → (p ∨ q)

9) Demostrar que las siguientes proposiciones son tautología. Simplifique aplicando el álgebra de proposiciones.

a) p ∨ ∼ p b) p → p c) (p ∧ q) → p d) p → (p ∨ q) e) [p ∧ (p → q)] → q f) (p → q) → [p → (q ∨ r)] g) (p → q) → [(p ∧ r) → q] h) [(p ∨ r) → q] → (p → q) i) [p → (q ∧ r)] → (p → q) j) (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]

10) Con las leyes del álgebra de proposiciones simplificar:

a) ( )qpp ∧∨ b) ( ) ( )qpqp ∧∨∨ 11) Indique si es verdadero o falso:

a) qpp ∧⇒ b) qpp ∨⇒ c) qpq ⇒⇒ d) ( ) ( )pqqp ⇒⇒⇔ e) qpp ⇒⇒

12) Si se sabe que FrqVqp =∧=∧ .

Determinar el valor de verdad de ( ) ( )[ ]qrqr ∧⇒∨ 13) Sea FprFqp =∧=⇒ ;

Determinar el valor de verdad de: rp⇔

14) Si ( )qp ⇒ es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de: a) ( ) qqp ⇒∨ b) ( ) pqp ⇒∧ c) ( ) qpq ⇔⇒

15) Si p es V, q es F, r es V, anotar el valor de verdad de: a) ( ) rqp ⇒∧ b) ( ) rqp ∨∨

Soluciones: 1) a) Cinco no es mayor que diez.

b) Cinco es mayor que diez y dos más dos son cuatro. c) Cinco es mayor que diez o dos más dos son cuatro. d) Dos más dos son cuatro o cinco no es mayor que diez. e) Cinco es mayor que diez si y sólo si dos más dos no son cuatro. f) Cinco es mayor que diez, entonces dos más dos no son cuatro.

2) a) Pedro habla inglés o francés.

b) Pedro habla inglés y francés. c) Pedro habla inglés pero no francés. d) Pedro no habla inglés o no habla francés. e) No es cierto que Pedro no hable inglés. f) No es cierto que Pedro no hable inglés o no hable francés.

3) a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) V h) F i) V j) V k) F l) V V V V V F F V V V F V V V V F V V F V V F V V V V V V V V V F F V F V V F F V F V F V F V F V V F F V F V V F F V V F V V F F V V V V F V V F V V F F V V F V F

4) a) y c) son tautología. 5) Proposición simple p q

Forma simbólica

Sentido lógico

a) 3 + 2 = 7 4 + 4 = 8 p → q Verdadero b) 2 + 2 = 5 4 + 4 = 10 ∼ ( p ↔ q) Falso c) París está en

Inglaterra Londres está en Francia

p ∨ q Falso

d) 1 + 1 = 3 2 + 1 = 3 ∼ ( p ∨ q) Falso e) París está en

Inglaterra Londres está en Francia

∼ (p → q) Falso