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stephan-schillig
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Approximation von Nullstellen:Newtonverfahren
Inhalt:
Das Problem Allgemeine Iterationsverfahren
Anschauliche Deutung Konvergenz Kontraktionssatz Konvergenzgüte Quadratische Konvergenz Startwert x(0)
Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Geometrische Deutung Mehrfache Nullstellen
Das Problem
in einem normiertem Vektorraum (X,║∙║) eine Lösung der Operatorgleichung F(x)=0 zu finden.F Abbildung F: D →X, D X;Nullstelle ξ von F
Nur in seltensten Fällen lässt sich Lösung in endlich vielen Schritten bestimmen.
Allgemeine Iterationsverfahren
Sei x R. Für die Abbildung F: D→R betrachten wir
x = F(x)zu deren Lösung der Iterationssatz
x(k+1) = F(x(k)), k N,
mit vorgegebenem Anfangselement x(0) gebildet
wird.
Allgemeine Iterationsverfahren
Zur Betrachtung des Iterationssatzes nehmen wir die Existenz einer Lösung ξ der Gleichung x = F(x) an.
Später:
Frage der Existenz wird gleichzeitig mit der Frage der Konvergenz des Iterationsverfahrens beantwortet.
Allgemeine Iterationsverfahren
Anschauliche Deutung
F C[a,b]
a ξ b
Beispiel1:
Alternierend konvergent
x(0) x(2) x(3) x(1)
Allgemeine Iterationsverfahren
Anschauliche Deutung
F C[a,b]
a ξ b
Beispiel2:
Divergent
x(0)x(2) x(1)
Allgemeine Iterationsverfahren
Konvergenz
Iteration konvergiert gegen Lösung ξ,
falls
limk→∞ x(k) = ξ
gilt.
Allgemeine Iterationsverfahren
Hinreichende Konvergenzaussage
nehmen an, dass (X,║∙║) ein Banachraum und F: X→X,und Operator F ist kontrahierend d.h.
║F(x) – F(z)║≤α║x - z║
mit α<1 für alle Elemente x,z X.
Allgemeine Iterationsverfahren
Kontraktionssatz
Ist F: X→X eine kontrahierende Abbildung, so besitzt sie genau einen Fixpunkt
ξ = F ξ.
Die Iteration konvergiert bei beliebigem x(0) gegen diesen Fixpunkt.
Allgemeine Iterationsverfahren
Lokale und globale KonvergenzKonvergiert Folge für Anfangselemente x(0)
aus Umgebung U D des Fixpunktes ξ, nennen wir die Iteration lokal konvergent. (Abbildung F nur auf U kontrahierend)
Kann x(0) in gesamt D beliebig gewählt werden, heißt sie global konvergent.
Allgemeine Iterationsverfahren
KonvergenzgüteBetrachten Folge (δ(k))kN der Abweichung
δ(k) := x(k) – ξMittelwertsatz liefert
δ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘(ξ + θδ(k)) δ(k) : 0 < θ < 1Wenn δ(k) 0, dann
limk→∞ δ(k+1)/δ(k) = F‘(ξ)Wenn F‘(x) 0, dann lineare Konvergenz
Allgemeine Iterationsverfahren
Quadratische Konvergenz jedoch wenn F‘(x) = 0, dann Konvergenz
superlinear
mindestens quadratische Konvergenzδ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘‘(ξ + θδ(k))/2 * (δ(k))2
mit 0 < θ < 1 limk→∞ δ(k+1)/(δ(k))2 = F‘‘(ξ)/2
Allgemeine Iterationsverfahren
Startwert x(0)
F muss kontrahierend sein, um gegen Fixpunkt zu konvergieren.
Also muss ||F‘‘(ξ)/2|| < 1 sein. Intervall [a,b] wird so lange verkleinert bis
maxx[a,b] {||F‘‘(x)/2||} < 1Dann kann x(0) beliebig in Intervall gewählt
werden.
Newton-Verfahren
Newtonsche IterationsverfahrenAufgabe:
Lösung der Gleichung
f(x) = 0 für f C1[a,b]
berechnen.
Newton-Verfahren
Newtonsche IterationsverfahrenBetrachten g(x)f(x) = 0 mit g C1[a,b]
Annahme g(x) ≠ 0 für x [a,b], dann gilt,
dass g(x)f(x) gleiche Nullstelle hat wie f(x)Entsprechende Fixpunktgleichung
x = x + g(x)f(x) =: F(x)müssen g so bestimmen, dass F‘(ξ)=0
Newton-Verfahren
Newtonsche IterationsverfahrenF‘(x) = 1 + g‘(x)f(x) + g(x)f‘(x)Da f‘(ξ) ≠ 0 und f(ξ) = 0 muss
g(ξ) = -(f‘(ξ))-1,
also wählen wir
g(x) = -(f‘(x))-1.
Newton-Verfahren
Newtonsche Iterationsverfahren
x(k+1) = x(k) – (f‘(x(k))) -1f(x(k))
für f C1[a,b] superlinear konvergent in Umgebung von ξ
Newton-Verfahren
Geometrische Deutung f C1[a,b], x(k) Nährungswert für Lösung ξ der
Gleichung f(x) = 0
ξ X(k)X(k+1)X(k+2)
Newton-Verfahren
Geometrische DeutungTangente an f im Punkt (x(k),f(x(k)))
y = f(x(k))+f‘(x(k))(x-x(k))
Schnittstelle x(k+1) der Tangente mit Y-Achse
x(k+1) := x(k) – f(x(k))/ f‘(x(k))
Newton-Verfahren
Startwert x(0)
ξ X(0) X(2)X(1)
Newton-Verfahren
Mehrfache Nullstellen f Ci[a,b], i>1, ξ [a,b] ist i-fache Nullstelle f(ξ)=f‘(ξ)=f‘‘(ξ)=…=f(i-1)(ξ)=0 und f(i)(ξ)≠0 F ist in Umgebung um ξ stetig und diffbar mit
F‘(ξ) = 1-1/iDa i>1 gilt 0<F‘(ξ)<1 also
lokale lineare Konvergenz