Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante ... · caso di matrici non quadrate. Infatti, se A= A m p e B= B p n allora il il prodotto B A e impossibile per ragioni

Universita degli Studi di PalermoFacolta di Economia

CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale

Appunti del corso di Matematica

08 - Matrici,Determinante e Rango

Anno Accademico 2013/2014

D. Provenzano, M. Tumminello, V Lacagnina e A. Consiglio

1. Definizione di matrice


Siano m, n ∈ N. La tabella A composta da m×n numeri reali, dispostisu m righe ed n colonne, e detta matrice m× n in R, e si rappresentacome segue:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...am1 am2 · · · amn

Utilizzeremo le lettere maiuscole dell’alfabeto latino per indicare

una matrice: A, B, C, ... I numeri reali aij, con i = 1, ...,m e j =1, ..., n, sono detti elementi della matrice A, i e j sono detti indice diriga e indice di colonna, in quanto i identifica la riga della matrice dovetrovare l’elemento aij e j ne identifica la colonna. Ad esempio con a13 siindica l’elemento posto all’incrocio tra la prima riga e la terza colonnadi una matrice.

Una matrice puo essere indicata come segue:

[A]ij, ∀i = {1, ...,m}, j = {1, ..., n}, Am,n, oppure Am×n

Indicheremo con Ai∗ la i-esima riga di A,

Ai∗ = [ai1 ai2 · · · ain]

e con A∗j la j-esima colonna di A:

A∗j =

a1j

a2j...amj

.Esempio 1.1Sia A una matrice 2× 3:

A =

[1 −1/2 2

3 1/3 4

].

In questo esempio l’elemento a11 della matrice e a11 = 1 e l’elementoa23 e a23 = 4. Gli elementi della terza colonna sono:

A∗3 =

[24

].

e quelli della prima riga sono:

A1∗ = [1 − 1/2 2] .

D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 3


Definizione Una matrice Am×n con m = n si dice quadrata di ordinen e si indica con An.

Sia An una matrice quadrata di ordine n.

Definizione Gli elementi a11, a22, ... , ann sono detti elementi diago-nali e costituiscono la diagonale principale di An.

Definizione Gli elementi a1n, a2(n−1), a3(n−2), ... , an1 costituisconoinvece la diagonale secondaria di An.

Definizione La somma degli elementi diagonali di una matrice si dicetraccia: Tr[An] = a11 + a22 + · · ·+ ann.

Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi fuori dalladiagonale principale nulli, aij = 0, ∀i 6= j, si dice matrice diagonale.

Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla dia-gonale principale uguali, aij = k ∈ R, ∀i = j, si dice matrice scalare.

Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla dia-gonale principale uguali a 1, aij = 1, ∀i = j, si dice matrice unita oidentita.

Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi sotto (so-pra) la diagonale principale nulli, aij = 0 ∀i > j(aij = 0 ∀i ≤ j), sidice matrice triangolare superiore (matrice triangolare inferiore).

Esempio 1.2Si considerino le seguenti matrici:

A =

2 −1 0

0 3 1

0 −1 2

; B =

−1 0 0

0 1/3 0

0 0 4

;

C =

5 0 0

0 5 0

0 0 5

; I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

;

D =

2 −1 8

0 3 1

0 0 2

; E =

−1 0 0

2 3 0

1 5 4

.Sono tutte matrici quadrate di ordine 3.B e una matrice diagonale, C e una matrice scalare, I e la matri-ce identita o unita, D e una matrice triangolare superiore e E unamatrice triangolare inferiore.

Definizione Siano Am×n e Bp×q due matrici. Diremo che le due ma-trici sono uguali e scriveremo

A = B

4 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

2. Operazioni fra Matrici

se: m = p e n = q, cioe le due matrici sono dello stesso ordine, eaij = bij, ∀i, j, cioe sono uguali gli elementi che occupano le medesimeposizioni nelle rispettive matrici.

Definizione Una matrice i cui elementi sono tutti nulli si dice matricenulla.

Definizione Sia Am×n una matrice. Chiameremo matrice trasposta diA e la indicheremo con AT , la matrice che si ottiene scambiando lerighe e le colonne di A, quindi:

ATm×n = An×m.

Definizione Una matrice A si dice simmetrica se A = AT .

Definizione Una matrice A di ordine 1× n e anche detta vettore rigadi ordine n, mentre una matrice A di ordine n×1 e anche detta vettorecolonna di ordine n.

Quando parleremo di vettore senza indicare se riga o colonna, assume-remo che si tratti di un vettore colonna.

Esempio 1.3

A =

1 π

0 1

3 2

; B =

1 π

0 1

3 2

; C =

[1 0 3

π 1 2

]; D =

[0 0

0 0

];

E =

1 2 1

2 3 4

1 4 0

; F =

π14

; G = [ 1 6 e] ; H =

9 0 0

0 5 0

0 0 e

.Come si puo verificare, A = B; C = AT ; D e una matrice quadratanulla di ordine 2; E e una matrice simmetrica (E = ET ); F e unvettore colonna; G e un vettore riga; H e una matrice diagonale (equindi simmetrica) di ordine 3.


Definizione Siano A e B due matrici di ordine m × n. Si definiscematrice somma di A e B e si indica con A + B la matrice C ottenutasommando gli elementi di A e B che occupano la stessa posizione nellerispettive matrici:

Cm×n = Am×n +Bm×n,

con cij = aij + bij , ∀i, j.E’ evidente che due matrici si possono sommare se sono dello stessoordine.Date due matrici, A e B, dello stesso ordine, la somma tra matrici godedelle seguenti proprieta:

(1) A+B = B + A.



(2) (A+B) + C = A+ (B + C).(3) A + O = O + A = A, dove O e la matrice nulla dello stesso

ordine di A.

Definizione Sia A una matrice di ordine m× n. Si definisce prodottoscalare-matrice il prodotto di uno scalare k ∈ R per la matrice A. Lanuova matrice si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per k.

Definizione Sia A una matrice di ordine m × n. Si definisce matriceopposta di A e si indica con −A, la matrice che si ottiene invertendo ilsegno di tutti gli elementi di A. −A si ottiene moltiplicando tutti glielementi di A per −1.

Vale allora anche la seguente proprieta della somma:

A+ (−A) = (−A) + A = O.

Dalle proprieta precedenti si puo definire la differenza di A e B comela somma di A e della matrice opposta di B:

A−B = A+ [−B]

Esempi 2.1Calcolare le seguenti matrici:

A+B ; 2C ; A+B − 2C

dove

A =

[2 −1 3

4 1 1

]; B =

[4 9 16

9 16 25

]; C =

[a −1 2

3 b 4

].

Si ha:

A+B =

[2 −1 3

4 1 1

]+

[4 9 16

9 16 25

]=

[6 8 19

13 17 26

],

2C =

[2a −2 4

6 2b 8

],

A+B − 2C =

[6 8 19

13 17 26

]−[

2a −2 4

6 2b 8

]=

=

[2(3− a) 10 15

7 17− 2b 18

].

Definizione Sia A una matrice di ordine m × p e B una matrice diordine p × n. Il prodotto A · B e la matrice C di ordine m × n i cuielementi cij sono definiti come:

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj =

p∑k=1

aikbkj.

In altri termini, il generico elemento cij della matrice



C =

c11 c12 · · · c1j · · · c1n

c21 c22 · · · c2j · · · c2n

......

ci1 ci2 · · · cij · · · cin...

cm1 cm2 · · · cmj · · · cmn

prodotto tra la matrice A e la matrice B si ottiene facendo la sommadei prodotti di ogni elemento della riga i-esima della matrice A

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1p

a21 a22 · · · a2j · · · a2p

......

ai1 ai2 · · · aij · · · aip

...

am1 am2 · · · amj · · · amp

per il corrispondente elemento della colonna j-esima della matrice B

B =

b11 b12 · · · b1j · · · b1n

b21 b22 · · · b2j · · · b2n

...

bi1 bi2 · · · bij · · · bin...

bp1 bp2 · · · bpj · · · bpn

.



Esempio 2.2Determinare il prodotto delle matrici

A2×3 =

[2 1 −1

1 −1 1

]e B3×3 =

1 1 0

−1 2 1

1 −1 0

.La prima cosa da fare e verificare che sia possibile effettuare il pro-dotto, quindi verificare che il numero di colonne di A sia uguale alnumero di righe della matrice B. In questo caso la dimensione di A e[2× 3], mentre quella di B e [3× 3], quindi numero di colonne di A =numero di righe di B = 3. La dimensione della matrice prodotto sara[2×3]. Accertato che e possibile effettuare il prodotto, gli elementi diC2×3 si ottengono attraverso il prodotto riga per colonna. L’elementoc11 si ottiene come la somma dei prodotti degli elementi della primariga della matrice A per i corrispondenti elementi della prima colonnadella matrice B:

c11 = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−1) · 1 = 0

Allo stesso modo, ad esempio, l’elemento c13 sara calcolato come lasomma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice Aper i corrsipondenti elementi della terza colonna della matrice B:

c13 = 2 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 0 = 1

Continuando in questo modo per ogni riga i = 1, 2 di A e ogni colonnaj = 1, 2, 3 di B si ottiene la matrice del prodotto A ·B:

C2×3 =

[0 5 1

3 −2 −1

].

Il prodotto tra due matrici non e commutativo. Cio e evidente nelcaso di matrici non quadrate. Infatti, se A = Am×p e B = Bp×n allorail il prodotto B × A e impossibile per ragioni dimensionali se n 6= m,mentre il prodotto A×B e dimensionalmente possibile e si ottiene unamatrice C di dimensione m× n.In generale, anche per le matrici quadrate, per cui e sempre possibilecalcolare sia il prodotto A×B che il prodotto B ×A, si puo avere cheA×B 6= B × A.Quindi, in generale e a differenza degli insiemi numerici, la moltiplica-zione definita nell’insieme delle matrici NON e communitativa.Fanno eccezione alla non commutabilita del prodotto tra matrici, il pro-dotto di una matrice quadrata A per la matrice identita dello stessoordine,

An × In = In × An = An;



di una matrice quadrata A per la matrice nulla dello stesso ordine

An × 0n = 0n × An = 0n;

di una matrice quadrata A per la sua matrice inversa (che definiremopiu avanti),

An × A−1n = A−1

n × An = In.

La prima espressione, inoltre, dimostra che In e l’elemento neutro perla moltiplicazione fra matrici.Vi sono altre differenze con gli insiemi numerici.Per esempio e noto che, per la legge di annullamento del prodotto, datiα e β ∈ R, puo essere α · β = 0 solo se α = 0, oppure β = 0, oppureα = β = 0.Anche questa proprieta non e vera, in generale, per le matrici. Peresempio, siano

A2 =

[2 4

1 2

]e B2 =

[2 −4

−1 2

].

Entrambe le matrici sono diverse dalla matrice nulla O2. Tuttavia siha:

A2 ×B2 =

[2 4

1 2

] [2 −4

−1 2

]=

[0 0

0 0

]= O2.

Questo esempio mostra quanto sia problematico definire il rapporto tramatrici, visto che il prodotto tra matrici a) non e commutativo e b) puoessere uguale alla matrice nulla, nonostante entrambe le matrici a pro-dotto siano diverse dalla matrice nulla. Si possono tuttavia dimostrarele seguenti proprieta:

(1) (AB)C = A (B C).(2) A (B + C) = AB + AC.(3) (A+B)C = AC +B C(4) AO = OA = O, dove O e la matrice nulla dello stesso ordine

di A.(5) A (k B) = k AB, dove A e B sono matrici e k e un generico

scalare.

Definite le operazioni di somma e prodotto tra matrici, possiamo occu-parci di alcune interessanti proprieta della matrice trasposta rispetto atali operazioni.Date due matrici, A e B, di ordine n e uno scalare α ∈ R, risulta che

(1) (A+B)T = AT +BT

(2) (αA)T = αAT

(3) (AB)T = BT AT

(4) (AT )−1 = (A−1)T



2.1. Definizione di Matrice in Forma a Scala per Riga. Unamatrice Em×n si dice essere in forma a scala per riga (in inglese RowEchelon Form) se le seguenti condizioni sono verificate:

(1) Se la riga Ei? e composta da elementi tutti nulli, allora tuttele righe sottostanti, ovvero ogni Ek? con k = i+ 1, i+ 2, · · ·m,sono composte da elementi tutti nulli.

(2) se il primo elemento diverso da zero della riga Ei? si trova nellaj−sima colonna, allora tutti gli elementi delle righe successiveche si trovano nelle colonne E?1, E?2, · · · , E?j sono uguali azero.

Il primo elemento diverso da zero di ogni riga e detto elemento pivot.Le colonne corrispondenti a quelle dove si trovano gli elementi pivotsono dette colonne basiche. Tutte le altre colonne si dicono non-basiche.

Le due condizioni sopra enunciate definiscono matrici in cui gli ele-menti diversi da zero si trovano sulle, o sopra, la linea a gradini cheparte dall’angolo in alto a sinistra e scende fino all’angolo in basso adestra di una matrice. Una struttura tipica di una matrice in formaa scala per riga e illustrata di seguito, dove gli elementi pivot sono in-dicati con il simbolo “•” e gli elementi indicati con “? possono esserediversi da 0.

E6×7 =

• ? ? ? ? ? ?0 • ? ? ? ? ?0 0 0 0 • ? ?0 0 0 0 0 • ?0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

.

Come si puo notare, le colonne cui appartengono gli elementi pivot,cioe le colonne basiche, individuano il minore diverso da zero di ordinemaggiore. Tale minore e associato ad una sotto-matrice 4× 4 di formatriangolare.

Si noti, inoltre, che, data l’arbitrarieta con cui possiamo ottenereuna matrice in forma a scala per riga E a partire da una matrice A,gli elementi di E non sono univocamente determinati da A. Invece eunicamente determinata da A la posizione degli elementi pivot.

In altri termini, partendo da A, tramite la riduzione di Gauss permezzo di operazioni per riga, possiamo ottenere due matrici in forma ascala per riga aventi elementi diversi da zero differenti. Esse avranno,invece, lo stesso numero di elementi pivot e nella stessa posizione. Talenumero e il rango di A (e di E). Una definizione alternativa di rangodi una matrice sara data in un successivo paragrafo.


3. Matrice Inversa

3. Matrice Inversa

3.1. Definizione di Invertibilita e Inversa. Sia A un matricedi ordine n. Si dice che A e invertibile se esiste una matrice A−1, diordine n, tale che

An × A−1n = A−1

n × An = In.

Esiste un teorema che pone la condizione perche esista l’inversadi una matrice. Tale teorema fa uso del concetto di determinantedella matrice e quindi dobbiamo rinviarne lo studio ad un momentosuccessivo.Possiamo invece introdurre il seguente teorema.

Teorema 3.1 (Unicita dell’inversa di una matrice). Sia A unamatrice di ordine n. Se A e invertibile allora la sua matrice inversa,A−1, e unica.

Dimostrazione. Si ipotizzi per assurdo l’esistenza di due matriciinverse, B e C, della matrice A. Dalla definizione di matrice inversasegue che

A×B = B × A = In;

A× C = C × A = In.

Consideriamo la prima uguagliaza e moltiplichiamo ambo i membridi questa equazione per C a sinistra1. Si ottiene

C × (A×B) = C × In;

Per la proprieta associativa della moltiplicazione tra matrici (punto 1delle proprieta sopra elencate) possiamo scrivere

(C × A)×B = C × InPoiche, per ipotesi, C e matrice inversa di A, C × A = In, e quindipossiamo riscrivere l’ultima equazione

In ×B = C × Inda cui segue

B = C.

Concludiamo quindi che se la matrice A ammette inversa, questa eunica. �

Teorema 3.2. Siano A e B due matrici di ordine n invertibili.Allora

(1) (A−1)−1 = A(2) (AB)−1 = B−1A−1.

1Si noti che per le matrici e importante indicare se si moltiplica a destra (post-moltiplicazione) o a sinistra (pre-moltiplicazione), mentre negli insiemi numerici cioera irrilevante.


4. Determinante di una matrice


Un concetto associato a tutte (e solamente) le matrici quadrate equello di determinante.Prima pero di addentrarci in tale argomento, vediamo alcuni concettipropedeutici.

Definizione Sia n un numero intero positivo. Si definisce permuta-zione degli interi 1, 2, ..., n, la sequenza di interi i1, i2, ..., in ottenutascambiando di posto uno o piu elementi della sequenza 1, 2, ..., n.

Esempio 4.1Dato l’insieme 1, 2, 3 le possibili permutazioni sono:

1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 2, 1.

Definizione Una permutazione si dice pari se il numero di inversionirispetto alla sequenza di partenza e pari. Altrimenti la permutazionesi dice dispari.

Per determinare se una permutazione e pari o dispari e sufficiente co-struire un diagramma in cui sia tracciato un segmento tra ogni elementodella sequenza di partenza e lo stesso elemento nella sequenza di arrivoe verificare se il numero di intersezioni (incroci) tra i segmenti e pari odispari.

Esercizio 4.1Nei casi seguenti la prima riga rappresenta la sequenza (o insieme)di partenza e la seconda una permutazione. Calcolare il numero diincroci ed indicare se la permutazione e pari o dispari:

1 2 3

3 2 1

;

1 2 3

2 3 1

;

1 2 3

1 2 3

Definizione Si definisce segno di una permutazione e si indica consign(i1, i2, ..., in) il valore +1 se la permutazione e pari e −1 se la per-mutazione e dispari.

Teorema 4.1. Sia n > 1, allora le permutazioni di n elementi, ilcui numero totale e pari a n!2, saranno meta pari e meta dispari.

Definizione Sia A una matrice di ordine n. Il determinante di A euno scalare definito come segue:

|A| = det (A) =∑

i1,i2,...,in

sign(i1, i2, ..., in) a1i1 a2i2 · · · anin

2n! si legge n fattoriale ed e pari al prodotto degli n numeri interi positivi minorio uguali a tale numero. In altre parole, n! = n · (n− 1) · (n− 2) · (n− 3) . . . 3 · 2 · 1.



In altri termini, il determinante di una matrice di ordine n si ottienesommando i prodotti degli elementi della matrice stessa, dove la som-ma e estesa a tutte le possibili n! permutazioni degli n elementi. Si notiche nella precedente espressione del determinante l’indice della colonnae dato dalle permutazioni.Dalla definizione di determinante si evince quanto possa essere compli-cato calcolare il determinante di una matrice quando la dimensione, n,e moderatamente alta. Per esempio con n = 10 e necessario sommare10! = 3.628.800 prodotti di 10 elementi!

Definizione Una matrice quadrata di ordine n con determinante nul-lo, |An| = 0, si dice singolare.

Se A e una matrice di ordine non superiore a 3, allora e possibile far usodi alcune semplici regole per il calcolo del determinante della matrice.Sia A1 = a11, cioe una matrice composta da un solo elemento. Allora|A1| = a11, cioe il determinante e pari al valore dell’unico elementodella matrice.Sia

A2 =

[a11 a12

a21 a22

]una generica matrice di ordine 2. Poiche n = 2, n! = 2 sono il numerodi permutazioni di 2 elementi, specificamente 1, 2 e 2, 1.La prima permutazione e pari (0 incroci), quindi sign(1, 2) = 1 e laseconda e dispari (1 incrocio), quindi sign(2, 1) = −1.Utilizzando la definizione di determinante si ha che:

|A2| = sign(1, 2)a11a22 + sign(2, 1)a12a21 = a11a22 − a12a21.

Quindi il determinante di una matrice di ordine 2 e la differenza deiprodotti incrociati degli elementi di A:

|A2| =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Per le matrici di ordine 3 esiste una regola che semplifica il calcolo deldeterminante, detta Regola di Sarrus.Secondo tale regola, si riportano gli elementi delle colonne della ma-trice e, alla destra degli elementi della terza colonna, si accostanoordinatamente, la prima e la seconda colonna ottenendo

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32



Si calcolano quindi i prodotti degli elementi della diagonale principalee delle due diagonali complete ad essa parallele e se ne fa la somma

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secon-daria e delle due diagonali complete ad essa parallele

−(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

Il determinante della generica matrice A di ordine 3 e dunque pari a

|A| = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33

Esempio 4.2Sia B una matrice di ordine 3: 1 2 1

3 1 12 0 1

.Il determinante calcolato con la regola di Sarrus sara

|B| = b11 b22 b33+b12 b23 b31+b13 b21 b32−b11 b23 b32−b12 b21 b33−b13 b22 b31.

Sostituendo gli elementi di B si ottiene

1 · 1 · 1 + 2 · 1 · 2 + 1 · 3 · 0− 1 · 1 · 0− 2 · 3 · 1− 1 · 1 · 2 = −3.



Esercizio 4.2Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A2 =

[1 −11 1

];B2 =

[−1/2 −1

1 2

];C3

1 2 1−1 0 41 −2 0

.Per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordinesuperiore a 3, si puo applicare il primo teorema di Laplace. Per po-ter enunciare tale teorema abbiamo pero bisogno di introdurre alcunedeifinizioni.

Definizione Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisceminore di ordine k il determinante di una qualsiasi sottomatrice di Ache si ottiene rimuovendo n− k righe e n− k colonne da A.

Definizione Data una matrice rettangolare Am×n e dati h, k ∈ Z+, sidefinisce sottomatrice di A di ordine h × k la matrice composta daglih · k elementi della matrice Am×n, ottenuti dall’intersezione di h righee k colonne scelte a piacere dalla matrice Am×n.

Definizione Si definisce minore complementare (i,j), e si indica (tipi-camente) con Mij, il determinante di ordine n − 1 della sottomatricedi A che si ottiene rimuovendo l’i-esima riga e la j-esima colonna di A.

Definizione Si definisce minore principale di ordine k il determinantedi qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene eliminando n − k righe ele corrispondenti n− k colonne da A.

Definizione Si definisce minore principale dominante di ordine k ildeterminante della sottomatrice di A che si ottiene eliminando le ultimen− k righe e le ultime n− k colonne da A.

Si noti che mentre i determinanti si possono calcolare solo per matriciquadrate i minori possono essere calcolati anche per matrici rettangolarim× n con m 6= n.

Definizione Sia Mij un minore complementare di una matrice quadra-ta di ordine n. Si definisce complemento algebrico o cofattore relativoalla posizione (i,j), e si indica con αij, il minore complementare Mij

avente segno (−1)i+j:

αij = (−1)i+j Mij.

Definizione Data la matrice An di ordine n, si definisce aggiunta diAn la matrice

Aa = aggA =

α11 α21 ... αn1

α12 α22 ... αn2

. . . .α1n α2n ... αnn



avente per elementi i complementi algebrici dei corrispondenti elementidella trasposta di An.

A partire dunque dalla matrice quadrata An, se ne determina prima ditutto la trasposta AT

n . La matrice aggiunta di Aan si ottiene sostituendo

ad ogni elemento di ATn il corrispondente complemento algebrico.

Esempio 4.3Data la matrice rettangolare

A3×4 =

2 1 −1 3

1 −1 1 0

1 1 0 2

costruire tutte le sottomatrici di ordine 2× 3 della matrice data.

[2 1 −1

1 −1 1

];

[2 1 −1

1 1 0

];

[1 −1 1

1 1 0

];

[2 1 3

1 −1 0

];

[2 1 3

1 1 2

];

[1 −1 0

1 1 2

];

[2 −1 3

1 1 0

];

[2 −1 3

1 0 2

];

[1 1 0

1 0 2

];

[1 −1 3

−1 1 0

];

[1 −1 3

1 0 2

];

[−1 1 0

1 0 2

].

Il numero totale di sottomatrici di ordine 2×3 estraibili dalla matriceA3×4 e quindi 12.

Data una matrice Am×n composta da m righe e n colonne, il numerototale di sottomatrici di ordine h× k, con h ≤ m e k ≤ n, estraibilidalla matrice Am×n si ottiene dalla formula

m!

h! · (m− h)!· n!

k! · (n− k)!

Teorema 4.2 (I teorema di Laplace). Sia An una matrice di or-dine n, allora, scelta una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) del-la matrice, il determinante si calcola facendo la somma dei prodottidegli elementi della riga (colonna) scelta per i rispettivi complementialgebrici.

|An| =∑n

k=1 aik · Aik (sviluppo per riga)

|An| =∑n

k=1 akj · Akj (sviluppo per colonna)



Lo sviluppo di Laplace consente quindi di calcolare un determinante diordine n tramite il calcolo di determinanti di ordine n−1, tale e infattil’ordine dei cofattori. In generale questo approccio non e piu efficientedel metodo implicito nella definizione di determinante. Tuttavia, intaluni casi, la struttura della matrice puo facilitare lo sviluppo deldeterminante rispetto ad una certa riga o colonna.

Esempio 4.4Sia A una matrice 3× 3 definita come segue:

A =

1 2 34 5 67 8 9

.I minori di ordine 2 corrispondono ai minori complementari in quantodobbiamo eliminare n − k = 3 − 2 = 1 riga ed n − k = 3 − 2 = 1colonna.Essi sono:

M11 =

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ ; M12 =

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ ; M13 =

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣ ;M21 =

∣∣∣∣ 2 38 9

∣∣∣∣ ; M22 =

∣∣∣∣ 1 37 9

∣∣∣∣ ; M23 =

∣∣∣∣ 1 27 8

∣∣∣∣ ;M31 =

∣∣∣∣ 2 35 6

∣∣∣∣ ; M32 =

∣∣∣∣ 1 34 6

∣∣∣∣ ; M33 =

∣∣∣∣ 1 24 5

∣∣∣∣ ;Chiaramente il minore di ordine 3 coincide con il determinante di A.Si lascia allo studente di calcolare i minori di ordine 1.I minori principali di ordine 2 sono i determinanti di sottomatrici chesi ottengono eliminando una riga e la corrispondente colonna. Quindi,se si inizia eliminando la prima riga allora si deve eliminare la primacolonna e cosı via. Quindi i minori principali di ordine 2 saranno M11,M22 e M33.Il minore principale di ordine 3 sara il determinante di A stessa.Lo studente determini i minori di ordine 1.E’ possibile dimostrare che il numero totale di minori principali diuna matrice di ordine n e 2n − 1, in questo caso pari a 7.Il numero totale di minori principali dominanti di una matrice diordine n e pari a n, quindi a 3 nel nostro esempio.I minori principali dominanti di ordine 3, 2 e 1 sono rispettivamente:

|A| ,∣∣∣∣ 1 2

4 5

∣∣∣∣ , |1|.


5. Proprieta dei determinanti

Corollario 4.3. Sia A una matrice diagonale di ordine n. Allora

|An| =n∏

k=1

akk.

Il corollario appena visto ha un valore piu generale, in quanto esso siapplica anche alle matrici triangolari.

Esempio 4.5Calcolare il determinante della matrice

A =

0 1 00 2 31 4 5

.Tenendo a mente lo sviluppo di Laplace, conviene calcolare questodeterminante sviluppandolo rispetto alla prima riga oppure rispettoalla prima colonna. Sviluppiamolo rispetto alla riga i = 1. Si ha:

|A| = 0 · (−1)1+1

∣∣∣∣ 2 34 5

∣∣∣∣+ 1 · (−1)1+2

∣∣∣∣ 0 31 5

∣∣∣∣+ 0 · (−1)1+3

∣∣∣∣ 0 21 4

∣∣∣∣= −(0 · 5− 3) = 3

E’ lasciato allo studente mostrare che allo stesso risultato si puo per-venire sviluppando, ad esempio, rispetto alla colonna j = 1, oppurecol metodo di Sarrus.

Esercizio 4.3Verificare che il determinante di una matrice triangolare n × n euguale a:

|A| =n∏

k=1

akk.


Sia An una matrice quadrata di ordine n.

1. Se ogni elemento di una “linea” (riga o colonna) della matriceAn e zero, il determinante e nullo.

Infatti basta applicare Laplace rispetto alla linea avente tuttigli elementi uguali a zero.

2. Se nella matrice An si scambiano due righe, o colonne, tra loroil determinante cambia di segno.

3. Se nella matrice An gli elementi di una riga, o colonna, vengo-no moltiplicati per una costante k ∈ R, il determinante risultamoltiplicato per k.

4. Se nella matrice An tutti gli elementi vengono moltiplicati peruna costante k ∈ R, il determinante risulta moltiplicato perkn.



5. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono uguali, il de-terminante e nullo.

D’altra parte per la proprieta 2. dei determinanti lo scam-bio due righe, o colonne, modifica il segno del determinante edunque deve aversi:

|A| = −|A|

e cio accade solo se |A| = 0.6. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono proporzionali,

allora il determinante della matrice e uguale a zero.7. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono combinazione

lineare di altre righe, o colonne, della matrice, il determinantedella matrice e uguale a zero.

8. La matrice quadrata An e la sua trasposta ATn hanno lo stesso

determinante: |A| = |AT |.

Teorema 5.1 (Teorema di Binet). Siano An e Bn due matriciquadrate di ordine n. Il determinante della matrice prodotto, An×Bn,e uguale al prodotto dei determinanti

det(An ·Bn) = det(An) · det(Bn)

Questo risultato puo essere generaizzato al prodotto di k matrici

det (A1 · A2 · · ·Ak) = det (A1) · det (A2) · · · det (Ak) .

Teorema 5.2 (II teorema di Laplace). Sia An una matrice qua-drata di ordine n, e nulla la somma dei prodotti degli elementi di unariga, o colonna, per i complementi algebrici di un’altra riga, o colonna,della matrice.Formalmenten∑

k=1

aik · Ajk = 0,∀i 6= j (elementi della riga i-esima per i complementi

algebrici della riga j-esima);n∑

k=1

akj · Akj = 0∀i 6= j (elementi della riga i-esima per i complementi

algebrici della riga j-esima).

Teorema 5.3 (Teorema di esistenza della matrice inversa). Con-dizione necessaria e sufficiente affinche una matrice quadrata An am-metta inversa e che risulti det(An) 6= 0.



Dimostrazione. Condizione necessaria (esiste la matrice inversadi An)

Dalla definizione di matrice inversa di una matrice data sappiamo che

An × A−1n = A−1

n × An = In

Se prendiamo l’espressione An×A−1n = In e calcoliamo il determinante

a primo e secondo membro

det(An × A−1n ) = det(In)

otteniamo, per il teorema di Binet,

det(An)× det(A−1n ) = det(In)

e cioe

det(An)× det(A−1n ) = 1

equazione possibile solo se det(An) 6= 0.

Condizione sufficiente (det(An) 6= 0)

Dal secondo teorema di Laplace deriva che

An × Aan = Aa

n × An = det(An)× In

Se prendiamo l’espressione An ×Aan = det(An)× In e dividiamo primo

e secondo membro per det(An) (operazione possibile perche per ipotesidet(An) 6= 0), otteniamo

An ×Aa

n

det(An)= In

in cui Aan/det(An) da proprio l’espressione analitica della matrice in-

versa di An, cioe

A−1n =

Aan

det(An).

�

Per determinare la matrice inversa di An, si deve allora1) verificare che la matrice An sia non singolare (det(An) 6= 0),2) trovare la matrice aggiunta di An, Aa

n

3) dividere ogni elemento della matrice aggiunta Aan per |A|.


6. Rango di una matrice


Definizione (Rango di una matrice)Una matrice Am×n ha rango r, ser e l’ordine massimo delle sue sottomatrici quadrate non singolari.

Equivalentemente possiamo dire che una matrice Am×n ha rango rse tutte le sottomatrici quadrate di ordine (r + 1) estratte da A (sene dovessero esistere) sono singolari, mentre almeno una sottomatricequadrata di ordine r e non singolare.Da quanto detto risulta evidente che rank(Am×n) ≤ min{m,n}Se tutti gli elementi della matrice sono nulli allora rank(Am×n) = 0.

6.1. Definizione di Rango (II). Sia A una matrice m × n edEm×n una sua riduzione in forma a scala per riga. Le tre seguentiespressioni definiscono in modo equivalente il rango di A:

• rank(A)= numero di elementi pivot di E.• rank(A)= numero di righe non nulle di E.• rank(A)= numero di colonne basiche di E.

Teorema 6.1 (Proprieta del Rango).

Sia Am×n una matrice. Allora:

a: rank(A) = 0 ⇔ A = O (matrice nulla);b: rank(A) ≤ min(m,n);c: rank(A) = rank(AT ).

Si lascia allo studente la dimostrazione di queste proprieta.

Una matrice in forma a scala per riga puo essere ulteriormente ri-dotta in modo che ogni elemento pivot sia pari ad 1 e tutti gli elementisopra di esso siano pari a 0. Tale processo e noto come riduzione diGauss-Jordan. Come visto, nel caso di matrici invertibili la riduzio-ne di Gauss-Jordan produce una matrice identita dello stesso ordinedella matrice di partenza. Nel caso di matrici non invertibili, o, piuin generale, di matrici rettangolari di dimensione m × n, la matriceprodotta dal processo di riduzione sara composta da un insieme di co-lonne che identificano una matrice identita di ordine minore o uguale amin(m,n), e dall’insieme di colonne restanti con elementi determinatidal processo di riduzione.



Esempio 6.1Si calcoli, se esiste, la matrice inversa della matrice

A3 =

2 −3 1−1 4 7

1 1 9

Il determinante della matrice data e

|A| = 72 − 21 − 1 − (4 + 14 + 27) = 50 − 45 = 5

Essendo det(A) 6= 0 la matrice A ammette inversa. La trasposta di An e

AT =

2 −1 1−3 4 1

1 7 9

La matrice aggiunta sara quindi

aggA =

∣∣∣∣ 4 17 9

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ −3 1

1 9

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ −3 41 7

∣∣∣∣−∣∣∣∣ −1 1

7 9

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 2 11 9

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 2 −1

1 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 14 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 2 1−3 1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 2 −1−3 4

∣∣∣∣

=

=

29 28 −2516 17 155 −5 5

La matrice inversa sara quindi

A−1 =

29

5

28

5−25

5

16

5

17

5−15

5

−5

5−5

5

5

5

La verifica della correttezza dei calcoli si puo fare procedendo al prodotto

della matrice inversa appena trovata con la matrice An di partenza. Il

risultato dovra essere una matrice identita dello stesso ordine di An.



Esempio 6.2Determinare il rango della seguente matrice e identificare le colonnebasiche.

A =

1 2 1 12 4 2 23 6 3 4

.Utilizziamo il processo di riduzione di Gauss per determinare unariduzione in forma a scala per riga di A: E = ref(A) (la notazioneref(A) e usata come acronimo di “Row Echelon Form”):

[A] =

1 2 1 12 4 2 23 6 3 4

R2→R2−2R1−−−−−−−→

1 2 1 10 0 0 03 6 3 4

R2R3−−−−→

1 2 1 13 6 3 40 0 0 0

R2→R2−3R1−−−−−−−→

1 2 1 10 0 0 10 0 0 0

= E

Quindi rank(A) = 2 e le colonne basiche sono quelle di A checorrispondono agli elementi pivot: A?1 e A?4.Si osservi che, per esempio, avremmo potuto utilizzare un’operazio-ne elementare per riga di tipo II nella seconda matrice intermedia(l’ultima prima di ottenere E nel processo di riduzione precedente)dividendo la seconda riga per 3: 1 2 1 1

3 6 3 40 0 0 0

R2→R23−−−−→

1 2 1 11 2 1 4

30 0 0 0

R2→R2−R1−−−−−−−→

1 2 1 10 0 0 1/30 0 0 0

= EI

Come si puo notare, sebbene l’elemento pivot eI24 = 1/3 di EI abbiaun valore diverso dall’elemento pivot e24 = 1 di E, la posizione deglielementi pivot in E ed EI , e piu in generale la struttura di queste duematrici, e la stessa.


7. Orlati di una sottomatrice quadrata

Esempio 6.3Riduzione di una matrice in forma a scala per riga. Ridurre secondoGauss-Jordan la seguente matrice:

A =

1 2 1 3 32 4 0 4 41 2 3 5 52 4 0 4 7

.Trasformiamo prima la matrice in forma a scala per riga:

A =

1 2 1 3 32 4 0 4 41 2 3 5 52 4 0 4 7

R2 → R2 − 2R1

R3 → R3 −R1

R4 → R4 − 2R1−−−−−−−−−−−−−−→

1 2 1 3 30 0 −2 −2 −20 0 2 2 20 0 −2 −2 1

R3 → R3 +R2

R4 → R4 −R2−−−−−−−−−−−−→

1 2 1 3 30 0 −2 −2 −20 0 0 0 00 0 0 0 3

R2 → −R2

2R3 R4−−−−−−−−−→

1 2 1 3 30 0 1 1 10 0 0 0 30 0 0 0 0

= E

che e una matrice in forma a scala per riga. Gli elementi pivot sonoriportati in “grassetto”. Quindi il rango della matrice e pari a 3 e lecolonne basiche sono A?1, A?3 e A?5.


Sia Am×n una matrice e sia r ∈ Z+ con r ≤ {m,n}. Sia Mr una sotto-matrice quadrata di ordine r estratta da A . Si chiamano orlati di Mr

in A le sottomatrici di ordine (r + 1) estratte da A che si ottengonoorlando Mr con una delle rimanenti (m − r) righe ed una delle rima-nenti (n − r) colonne di A. Quindi una sottomatrice Mr di Am×n haun numero di orlati uguale a (m− r)(n− r).



Esempio 7.1Sia

A3×4 =

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

una matrice e

M2 =

[a11 a12

a21 a22

]una sua sottomatrice.Si costruiscano tutti gli orlati di M in A.

Il numero di orlati di M e (m− r)(n− r) = (3− 2)(5− 2) = 1 · 3 = 3Indichiamo con O1

3 la sottomatrice del 3◦ ordine, che si ottiene orlandoM in A mediante la 3◦ riga e la 3◦ colonna, con O2

3 la sottomatricedel 3◦ ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3◦ riga e la4◦ colonna e con con O3

3 la sottomatrice del 4◦ ordine che si ottieneorlando M in A mediante la 3◦ riga e la 5◦ colonna.Gli orlati richiesti sono

O13 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

;O23 =

a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34

;O33 =

a11 a12 a15a21 a22 a25a31 a32 a35

.

La costruzione degli orlati e alla base del teorema di Kronecker (o deiminori orlati o semplicemente degli orlati) che permette di calcolare ilrango di una matrice Am×n in maniera meno onerosa rispetto al calcolodel determinante di tutte le sottomatrici quadrate estraibili dalla stessa.Secondo tale teorema, data una matrice Am×n, e considerata una suasottomatrice quadrata Mr di ordine r con determinante diverso da zero,se tutti gli orlati di M in A, di ordine r+1, hanno determinante nullo,allora rank(Am×n) = r. Grazie al teorema di Kronecker quindi nonoccorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma soloquelli otteibili a partire da una sottomatrice di Am×n di ordine r nonsingolare.



Esempio 7.2Si consideri la matrice

A4×4 =

1 2 −1 02 −1 −3 3−3 −1 4 −3

3 1 −4 3

Determinare il rango della matrice A4×4.Applichiamo il teorema di Kronecker.Cerchiamo una sottomatrice quadrata di ordine r non singolare.Scegliamo r = 2 ed estraiamo la sottomatrice composta dalle prime 2righe e dalle prime 2 colonne

|S2| =∣∣∣∣ 1 2

2 −1

∣∣∣∣ = −1− 4 = −5.

Ovviamente se tale sottomatrice dovesse essere singolare se ne indivi-duera un’altra (se possibile) con determinante diverso da zero.Nel caso in esame, la matrice S2 e non singolare, e quindirank(A4×4) ≥ 2.

E possibile orlare S2 in A in (4− 2)(4− 2) = 4 modi.Gli orlati di S2 sono

O13 =

1 2 −12 −1 −3−3 −1 4

; O23 =

1 2 02 −1 −3−3 −1 −3

;

O33 =

1 2 −12 −1 −33 1 −4

; O43 =

1 2 02 −1 33 1 3

.I rispettivi determinanti sono

|O13| = −4 + 18 + 2 + 3 − 3 − 16 = 0

|O23| = 3 − 18 + 0 + 0 + 3 + 12 = 0

|O33| = 4 − 18 − 2 − 3 + 3 + 16 = 0

|O43| = −3 + 18 + 0 + 0 − 3 − 12 = 0.

Quindi tutti gli orlati del terzo ordine hanno determinante nullo, men-tre la sottomatrice di A4×4 del secondo ordine da cui siamo partiti enon singolare.Per il teorema di Kronecker il rando dalla matrice A4×4 e due.Se per il calcolo del rango della matrice avessimo applicato il metododelle sottomatrici, avremmo dovuto calcolare il determinante delle 16sottomatrici del 3◦ ordine estraibili da A4×4.



Esempio 7.3Si consideri la matrice

B5×4 =

2 1 −2 32 1 −1 14 2 −3 −33 1 −4 37 0 −5 1

determinarne il rango col teorema di Kronecker.Sia B2 la sottomatrice quadrata di ordine 2 ottenuta considerando leprime 2 righe e le prime due colonne di B

|B2| =∣∣∣∣ 2 1

2 1

∣∣∣∣ = −2− 2 = 0.

Questa sottomatrice e singolare quindi non possiamo sceglierla perapplicare il teorema di Kronecker.Sia allora B2 la sottomatrice di B ottenuta dall’intersezione deglielementi della 1◦ e 2◦ riga con quelli della 2◦ e 3◦ colonna

|B2| =∣∣∣∣ 1 −2

1 −1

∣∣∣∣ = −1 + 2 = 1.

Questa sottomatrice e non singolare, e quindi rank(B5×4) ≥ 2.

E possibile orlare B2 in B5×4 in (5− 2)(4− 2) = 6 modi.Costruiamo tutti gli orlati del terzo ordine.

O13 =

2 1 −22 1 −14 2 −3

;O23 =

1 −2 31 −1 12 −3 −3

;O33 =

2 1 −22 1 −13 1 −4

;

O43 =

1 −2 31 −1 11 −4 3

;O53 =

2 1 −22 1 −17 0 −5

;O63 =

1 −2 31 −1 10 −5 1

.

|O13| = 0 perche la terza riga e la somma delle prime due (vedi

proprieta dei determinanti).|O2

3| = 3 − 4 − 9 − [−6 − 3 + 6] = −10 + 3 = −7 6= 0.Ed allora rank(B5×4) ≥ 3. Potrebbe essere al piu pari a 4.

A partire da O23 si riapplica il teorema di Kronecker. E possibile orlare

O23 in due modi (4◦riga 1◦colonna e 5◦riga 1◦colonna).

I due orlati sono

O14 =

2 1 −2 32 1 −1 14 2 −3 −33 1 −4 3

;O24 =

2 1 −2 32 1 −1 14 2 −3 −37 0 −5 1

Il determinante |O1

4| = 7 6= 0 (i calcoli relativi all’applicazione del Iteorema di Laplace si lasciano come esercizio allo studente).Tale risultato e sufficiente per poter dire che rank(B5×4) = 4.


8. Operazioni elementari sulle matrici


Teorema 8.1 (Operazioni elementari). Sia An una matrice qua-drata di ordine n e sia Bn una matrice dello stesso ordine ottenuta daAn tramite una delle seguenti operazioni per riga.

(1) Scambiare la i-esima riga con la j-esima riga.(2) Moltiplicare la i-esima riga per α 6= 0.(3) Sommare all’i-esima riga α volte la j-esima riga.

Allora il determinante di Bn, |Bn| e dato da:

(1) |Bn| = −|An|.(2) |Bn| = α|An|.(3) |Bn| = |An|.

I risultati di tale teorema valgono anche se tali operazioni sono applicatealle colonne di An e sono conseguenza delle proprieta dei determinanti.L’utilita di tali operazioni sta nella possibilita di utilizzarle per trasfor-mare la matrice iniziale in una matrice triangolare, il cui determinantee di facile calcolo.Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matricequalsiasi in una triangolare e detto risoluzione di Gauss.Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice(con determinante diverso da zero) in una identita e detto Risoluzionedi Gauss-Jordan.I due processi sono mostrati rispettivamente negli esercizi 8.1 e 8.2.



Esempio 8.1Calcolare il determinante della seguente matrice

An =

2 1 −13 −1 20 1 1

.Non e possibile stabilire a priori quale operazione elementare ci con-dura piu facilmente ad una matrice triangolare. E’ necessario un po’di intuito e di esperienza. Per esempio si scambi la riga 2 con la riga3, pertanto ∣∣∣∣∣∣

2 1 −13 −1 20 1 1

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 13 −1 2

∣∣∣∣∣∣ .Il nostro prossimo obiettivo e di trasformare gli elementi a31 e a32 inzeri. Conviene sempre iniziare a trasformare gli elementi da sinistra.Consideriamo quindi l’elemento a31 = 3. Possiamo trasformare questoelemento in 0 sommando alla terza riga della matrice α volte la primariga con α tale che αa11 + a31 = 0. Quindi α = −3/2. Questatrasformazione non altera il valore del determinante. Quindi:

|A| = −

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 10 −5

272

∣∣∣∣∣∣ .Non resta quindi che annullare l’elemento a32 = −5/2. Per far questoconviene modificare la riga 3 usando solo la riga 2, in modo da nonalterare il valore di a31 = 0. Si potrebbe procedere come in precedenzae sommare alla riga 3 β volte la riga 2 con β tale che βa22 + a32 = 0.Il valore di β cercato e β = 2/5. Per mantenere l’uguaglianza ildeterminante di A andra moltiplicato per 1/β = 5/2. Otteniamo

|A| = −5

2

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 10 −1 7

5

∣∣∣∣∣∣ .Sommando, a questo punto, alla riga 3 la riga 2 non si altera ilvalore del determinante e si ottiene il risultato desiderato, ovve-ro una matrice triangolare di cui sappiamo calcolare facilmente ildeterminante

|A| = −5

2

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 10 0 12

5

∣∣∣∣∣∣ = −5

2·(

2 · 1 · 12

5

)= −12.

Si osservi che, tramite ulteriori operazioni per riga, e possibile trasfor-mare la matrice triangolare appena trovata in una matrice identita se,come nel nostro caso, il determinante risulta diverso da 0. I passaggisono mostrati nell’esercizio successivo.



Esempio 8.2Sia data la matrice triangolare A3 dell’esercizio precedente

|A| = −5

2

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 10 0 12

5

∣∣∣∣∣∣ .Indichiamo con Ri la riga i-esima della matrice. Abbiamo

|A| = −52

∣∣∣∣∣∣2 1 −10 1 10 0 12

5

∣∣∣∣∣∣R1 −R2

= − 52

∣∣∣∣∣∣2 0 −20 1 10 0 12

5

∣∣∣∣∣∣R1 + 5

6R3

=

= −52

∣∣∣∣∣∣2 0 00 1 10 0 12

5

∣∣∣∣∣∣R2 − 5

12R3

= − 52

∣∣∣∣∣∣2 0 00 1 00 0 12

5

∣∣∣∣∣∣R1 · 1

2=

R3 · 512

= −52· 2 · 12

5

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = −12 ·

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = −12 · |I3| = −12,

visto che il determinante della matrice identita e pari a 1.


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Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante ... · caso di matrici non quadrate. Infatti, se A= A m p e B= B p n allora il il prodotto B A e impossibile per ragioni