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Prof.ssa Carla Fiori Appunti di Algebra I Versione non definitiva (Lavori in Corso) Univertis` a di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Matematica Pura e Applicata Anno Accademico 2006/07

Appunti di Algebra I

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Appunti del corso di Algebra I che tratta principalmente strutture algebriche con una operazione (gruppi).

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Page 1: Appunti di Algebra I

Prof.ssa Carla Fiori

Appunti di Algebra I

Versione non definitiva

(Lavori in Corso)

Univertisa di Modena e Reggio EmiliaDipartimento di Matematica Pura e Applicata

Anno Accademico 2006/07

Page 2: Appunti di Algebra I

Questo documento e stato scritto in LATEX utilizzando l’editor LYX. I diagrammi invece sonostati prodotti utilizzando XY-Pic.

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Page 3: Appunti di Algebra I

Prefazione

Questi appunti raccolgono le lezioni del corso di Algebra I (di quaranta ore) tenute dalla Pro-fessoressa Carla Fiori presso l’Universita di Modena e Reggio Emilia durante l’anno accademico2006/07. La presente stesura elettronica e opera di Emanuele Bardelli, Marco Corghi e DarioPrandi, studenti del corso. Ad essi va il ringraziamento della Prof.ssa Fiori che rende reperibiliquesti appunti nella propria pagina web perche siano a disposizione di tutti gli studenti qualeausilio didattico.

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Page 4: Appunti di Algebra I

Indice

1 Gruppi 11.1 Definizioni ed Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Non condradditorieta degli assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Indipendenza degli assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Potenze e Multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Definizioni equivalenti di Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Leggi di Cancellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sottogruppi 102.1 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Unione e intersezione di sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Sottogruppi generati da un elemento. Gruppi ciclici. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Gruppo dei Quaterioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Laterali e Indice di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Teoremi di Lagrange, Sylow e Cauchy 193.1 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Conseguenze del teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Teorema di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Casi in cui il teorema di Lagrange e invertibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Il gruppo simmetrico e gruppo alterno 244.1 Gruppo Simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Cicli e classi di permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Gruppo Alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Sottogruppi normali 315.1 Definizione e Principali Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi 366.1 Definizione e Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Proprieta degli omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Proprieta degli isomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Centro e centralizzante di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Page 5: Appunti di Algebra I

INDICE

6.5 Automorfismi di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.6 Sottogruppi caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Gruppi Risolubili 437.1 Derivato di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Derivato primo del gruppo simmetrico Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3 Risolubilita di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4 Risolubilita e Gruppi Simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.5 Condizioni per la Risolubilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 Prodotto diretto di Gruppi 488.1 Definizione e Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Reticoli 519.1 Relazione d’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Reticoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.1 Legge di dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3 Sottoreticoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.4 Diagramma di un reticolo finito (diagramma di Hasse) . . . . . . . . . . . . . . . 549.5 Reticoli modulari e reticoli distributivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.6 Catene. Decomposizione per ∪ e ∩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.7 Reticoli complementati e Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

iii

Page 6: Appunti di Algebra I

Capitolo 1

Gruppi

1.1 Definizioni ed Esempi

Definizione 1.1.1. Sia G 6= ∅ e sia data in G una operazione binaria interna:

◦ : G×G −→ G

(a, b) 7−→ a ◦ b

Si dice che (G, ◦) e un gruppo se valgono le seguenti proprieta:

1. Proprieta associativa: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a, b, c ∈ G

2. Elemento unita: ∃u ∈ G tale che a ◦ u = u ◦ a = a ∀a ∈ G (u e detto elemento unita)

3. Elemento inverso:∀a ∈ G , ∃! a−1 ∈ G tale che a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = u (a−1 e detto l’inversodell’elemento a)

L’operazione “◦” e detta “prodotto” di a ◦ b e, di norma, scriveremo semplicemente ab.Se l’operazione gode della ulteriore proprieta commutativa a ◦ b = b ◦ a ∀a, b ∈ G allora

(G, ◦) si dice gruppo abeliano o commutativo.

Definizione 1.1.2. Se l’operazione del gruppo e indicata con la notazione “+” additiva, allorasi parla di:

• Zero come elemento neutro: a+ 0 = 0 + a = a,∀a ∈ G

• Opposto −a di un elemento a: a+ (−a) = (−a) + a = 0,∀a ∈ G

Definizione 1.1.3. Un gruppo (G, ◦) con un numero finito n di elementi si dice di ordine n.

Esempio 1.1.4.

• Dato l’insieme G = N \ {0}, e l’operazione a ◦ b = ab, (G, ◦) non e un gruppo perche nonvale la proprieta associativa: a(bc) = a(bc) = ab

c

e (ab)c = abc = (ab)c = abc.

• (R∗, ·) e un gruppo.

• Di seguito sono riportati insiemi numerici con le usuali operazioni di somma o prodotto:

1

Page 7: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

1. (Z,+) e un gruppo additivo abeliano;

2. (N,+) non e un gruppo (non vale la proprieta (3) a pagina 1);

3. (Q,+), (Q∗, ·) sono gruppi;

4. (Q, ·) non e un gruppo;

5. Come si vedra nell’esempio 2.3.10, per ogni n esistono gruppi di ordine n.

Nota 1.1.5. (Z, ·) non e un gruppo perche valgono (1) e (2) ma non vale la (3). Questo assicurache l’assioma (3) non dipende da (1) e (2).

1.1.1 Non condradditorieta degli assiomi

Quando si definisce una struttura con degli assiomi, e importante verificare che gli assiomi sianonon contradditori (o compatibili) fra loro.

La non contradditorieta di una assiomatica si prova dimostrando l’esistenza di un modelloche verifica tutti gli assiomi.

1.1.2 Indipendenza degli assiomi

E’ meno importante della precedente ma non trascurabile: nelle definizioni si deve cercare dimettere solo gli assiomi che sono indipendenti tra loro.

1.2 Proprieta

Proposizione 1.2.1. In un gruppo (G, ·) l’elemento neutro e unico.

Dimostrazione. Supponiamo che, oltre a u, esista anche v ∈ G tale che va = av = a, ∀a ∈ G;dimostriamo che allora v = u.

v · u = v per (2) della definizione di gruppo;v · u = u per l’ipotesi su v.Dal confronto delle ugualianze segue v = u.

Proposizione 1.2.2. In un gruppo (G, ·) l’elemento inverso e unico.

Dimostrazione. Sia a ∈ G, supponiamo che oltre ad a−1 esista anche a ∈ G tale che aa = aa = u.Allora:

(aa) a−1 = a(aa−1

)= au = a

(aa) a−1 = ua = a−1

da cui a = a−1.

Teorema 1.2.3. Sia (G, ·) un gruppo e a ∈ G. Si ha ∀a−1 ∈ G si verifica che (a−1)−1 = a

Dimostrazione. Risultaa−1 · (a−1)−1 = u

a−1 · a = u

dal confronto delle ugualianze si deduce che (a−1)−1 = a

2

Page 8: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

Proposizione 1.2.4. Sia (G, ·) un gruppo; ∀a, b ∈ G, si ha che (ab)−1 = b−1a−1

Dimostrazione. Risulta(ab)−1(ab)b−1 = ub−1 = b−1

(ab)−1(ab)b−1 = (ab)−1a(bb−1) = (ab)−1au = (ab)−1a

dal confronto delle ugualianze si ha b−1 = (ab)−1a =⇒ b−1a−1 = (ab)−1

La proposizione ora dimostrata si generalizza alla seguente

Proposizione 1.2.5. Sia (G, ·) un gruppo. Comunque presi a1, a2, . . . , an ∈ G si ha:

(a1a2 . . . an)−1 = a−1n a−1

n−1 . . . a−12 a−1

1

Dimostrazione. La dimostrazione si effettua per induzione su n. Il caso base (n = 2) e verificatoper la proposizione 1.2.4, quindi, supposta vera per n dimostriamo che vale per n+ 1:

(a1a2 . . . anan+1)−1 = [(a1a2 . . . an)an+1]−1 = a−1n+1 · (a1a2 . . . an)−1 =

= a−1n+1a

−1n . . . a−1

2 a−11 .

Corollario 1.2.6. Se (G, ·) e gruppo abeliano allora:

(ab)−1 = a−1b−1 e (a1a2 . . . an)−1 = a−11 a−1

2 . . . a−1n

1.3 Potenze e Multipli

Definizione 1.3.1. Potenze: quando la legge di gruppo e data moltiplicativamente, in (G, ◦) sidefiniscono le potenze di x ∈ G ad esponente m ∈ Z ponendo:

x0 = ux1 = x

...xm = x ◦ x ◦ . . . ◦ x︸ ︷︷ ︸ per m > 1

m volte

x−1 = inverso di xx−2 = x−1 ◦ x−1

...x−m = x−1 ◦ x−1 ◦ . . . ◦ x−1︸ ︷︷ ︸ per m > 1

m volte

3

Page 9: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

Proposizione 1.3.2. In un gruppo (G, ·) valgono le seguenti proprieta:

xmxn = xm+n = xnxm , (xm)n = xmn = (xn)m

e nel caso di (G, ·) abeliano vale anche:

(xy)m = xmym

Definizione 1.3.3. Multipli: quando la legge di gruppo e data additivamente, si scrive x − yal posto di x + (−y); inoltre in (G,+) si definiscono i multipli mx di x ∈ G secondo un interom ∈ Z, ponendo:

0 · a = 01 · a = a2 · a = a+ a

...m · a = a+ a+ . . .+ a︸ ︷︷ ︸ per m > 1

m volte

(−1) · a = −a(−2) · a = −a− a

...(−m) · a = −a− a− . . .− a︸ ︷︷ ︸ per m > 1

m volte

Proposizione 1.3.4. In un gruppo (G,+) valgono le proprieta:

ma+ na = (m+ n)a , n(ma) = (nm)a

1.4 Definizioni equivalenti di Gruppo

Nota 1.4.1. Al posto di (2) della definizione 1.1.1 si puo scrivere pi· semplicemente: ∃u ∈ G taleche a ◦ u = a, ∀a ∈ G.

Nota 1.4.2. Al posto di (3) della definizione 1.1.1 si puo scrivere pi· semplicemente: ∃ a−1 ∈ Gtale che a ◦ a−1 = u, ∀a ∈ G.

Teorema 1.4.3. (G, ◦) e un gruppo se:

1.(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), ∀a, b, c ∈ G

2.∃u ∈ G : a · u = a, ∀a ∈ G

3.∃ a−1 ∈ G : a · a−1 = u, ∀a ∈ G

4

Page 10: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

Dimostrazione. Basta provare che u ◦ a = a e a ◦ a−1 = u per ogni a ∈ G. Per 1.4.2 del teoremasi ha a−1 ◦ (a−1)−1 = u, allora

a−1 ◦ a = (a−1 ◦ a) ◦ u= (a−1 ◦ a) ◦ [a−1 ◦ (a−1)−1]= a−1 ◦ (a ◦ a−1) ◦ (a−1)−1

= a−1 ◦ u ◦ (a−1)−1

= a−1 ◦ (a−1)−1

= u

Inoltre:

u ◦ a = (a ◦ a−1) ◦ a= (a ◦ a−1) ◦ a= a ◦ (a−1 ◦ a)= a ◦ u= a

Nota 1.4.4. Nell’enunciato del teorema precedente occorre fare attenzione all’ordine con cui siscrivono gli elementi, infatti come mostra l’esempio 1.4.5 si ha che (G, ◦) non e un gruppo se:

1.a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c, ∀a, b, c ∈ G

2.a ◦ u = a, ∀a ∈ G

3.a−1 ◦ a = u, ∀a ∈ G

Esempio 1.4.5. Dato l’insieme G = {u, a}, e la seguente operazione◦ u a

u u ua a a

In (G, ◦) valgono (1), (2) e (3) della nota 1.4.4 ma non e un gruppo perche da a−1 = u segue

a−1 ◦ a = u ◦ a = ua ◦ a−1 = a ◦ u = a

}=⇒ a−1 ◦ a 6= a ◦ a−1

Teorema 1.4.6. Sia (G, ◦) un gruppo; comunque presi a, b ∈ G esiste uno ed uno solo x ∈ Gtale che a ◦ x = b ed esiste uno ed un solo y ∈ G tale che y ◦ a = b.

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Page 11: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

Dimostrazione. Dati a, b ∈ G se esiste x ∈ G tale che a ◦ x = b possiamo scrivere

a−1 ◦ (a ◦ x) = a−1 ◦ b

(a−1 ◦ a) ◦ x = a−1 ◦ b

u ◦ x = a−1 ◦ b

x = a−1 ◦ b

ossia rimane determinato in unico modo l’elemento x. Ma dati a, b ∈ G, l’elemento a−1◦b ∈ Gesiste e verifica a ◦ x = b, infatti

a ◦ (a−1 ◦ b) = (a ◦ a−1) ◦ b = b

Dunque dati a, b ∈ G esiste ed e unico l’elemento x ∈ G tale che a ◦x = b, anzi possiamo direche risulta

x = a−1b

Analogamente, supponiamo esista y ∈ G tale che y ◦a = b. Allora y = b−1a, ma dati a, b ∈ Gl’elemento b−1a esiste in G e verifica y = ba−1 infatti

(b ◦ a−1) ◦ a = b ◦ (a−1 ◦ a)= b

Dunque esiste ed e unico in G l’elemento y tale che

y ◦ a = b

Nota 1.4.7. L’unicita segue dall’esistenza.

Nota 1.4.8. Se il gruppo G e commutativo allora risulta x = y.

Le proprieta del teorema 1.4.6 sono caratteristiche di un gruppo, ossia:

Teorema 1.4.9. (G, ·) e un gruppo se valgono:

1.a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈ G

2.∃x ∈ Gtale che a · x = b ∀a, b ∈ G

3.∃ y ∈ Gtale che y · a = b ∀a, b ∈ G

Dimostrazione. Preso a ∈ G, per (2) esiste u ∈ G tale che a · u = a. Considerato un qualunqueb ∈ G, esiste y ∈ G tale che y · a = b. Risulta

b · u = (y · a) · u= y · (a · u)= y · a= b ∀b ∈ G

6

Page 12: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

e pertanto u ∈ G e tale cheb · u = b ∀b ∈ G

Infine pero ogni a ∈ G esiste ed e unico a−1 ∈ G tale che

a · a−1 = u

perche, sempre per (2), a · x = u ha una ed una sola soluzione.

1.5 Leggi di Cancellazione

Teorema 1.5.1. Sia (G, ◦) un gruppo; per ogni a, b, c ∈ G si ha che:

a ◦ b = a ◦ c =⇒ b = c

b ◦ a = c ◦ a =⇒ b = c

Dimostrazione. I modo. Sia d = a ◦ b = a ◦ c, poiche in un gruppo a ◦ x = d ha una e una solasoluzione, deve essere b = c.

Sia d = b ◦ a = c ◦ a, poiche in un gruppo y ◦ a = d ha una e una sola soluzione, deve essereb = c.

Dimostrazione. II Modo. Sia a · b = a · c, allora si ha

a−1(ab) = a−1(ac)(a−1a)b = (a−1a)c

ub = uc

b = c

Sia b · a = c · a, allora si ha:

(ba)a−1 = (ca)a−1

b(aa−1) = c(aa−1)bu = cu

b = c

Quelle dimostrate ora si chiamano leggi di cancellazione.Nota 1.5.2. Come mostra l’esempio seguente il fatto che in un insiame (G, ◦) valga la proprietaassociativa e valgono le leggi di cancellazione non assicura che (G, ◦) sia un gruppo. Se si aggiungel’ipotesi che G sia finito allora le tre condizioni sono sufficienti perche (G, ◦) sia un gruppo.

Esempio 1.5.3. In (N∗, ·) valgono:

1. Proprieta associativa (1);

2. n · x = n · y =⇒ x = y;

3. x · n = y · n =⇒ x = y.

ma (N∗, ·) non e un gruppo perche se n 6= 1 non esiste in N∗ l’elemento neutro.

7

Page 13: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

1.6 Esercizi

1. Trovare esempi che dimostrano che nella definizione di gruppo:

(a) L’assioma 1 non dipende da 2 e 3;

(b) L’assioma 2 non dipende da 1 e 3.Soluzione. (R+

0 , ◦) con a ◦ b = (√a−

√b)2:

• Non e associativa• Ha elemento neutro “0”• Ogni elemento ammette opposto: l’opposto di a e a stesso.

2. In Q∗ consideriamo la seguente operazione:

a ◦ b =12ab ∀a, b ∈ Q∗

Dimostrare che (Q∗, ◦) e un gruppo abeliano.

3. Nell’insieme G = {Q× {1,−1}} sia data l’operazione:

(a, n) ◦ (b,m) = (a · b+ a ·m+ b · n, n ·m)

dove a, b ∈ Q e m,n ∈ {1,−1}. Di quali proprieta gode l’operazione?

Soluzione. L’insieme G gode delle proprieta:

• Associativa;

• Elemento Neutro;

• Commutativa;

• Non tutti i suoi elementi ammettono inverso.

4. Considerando l’operazione descritta nel punto 3, e l’insieme G = {Q− {1,−1}} × {1,−1},dimostrare che (G, ◦) e un gruppo abeliano.

5. Dimostrare che l’operazione di prodotto righe per colonne sull’insieme GLn(K) delle matricidi determinante non nullo a coefficienti nel campo K costituisce una struttura di gruppo.

6. Dimostrare che l’insieme Sn delle applicazioni invertibili dall’insieme 1, 2, ..., n in se stessoe un gruppo rispetto all’operazione di composizione.

7. Se X e un insieme dotato di una legge di composizione associativa e di una identita, allorail sottoinsieme di X costituito dagli elementi invertibili e un gruppo.

8. Sia G un insieme non vuoto, chiuso rispetto ad un prodotto che sia associativo e che soddisfiinoltre le seguenti condizioni:

• Esiste un elemento u ∈ G tale che a · u = a, per ogni a ∈ G.

• Dato a ∈ G, esiste un elemento y ∈ G tale che a · y = u.Dimostrare che allora G e un gruppo rispetto a questo prodotto.

9. Dimostrare con un esempio che la conclusione dell’esercizio 8 e falsa se supponiamo inveceche:

8

Page 14: Appunti di Algebra I

Capitolo 1 - Gruppi

• Esiste un u ∈ G tale che a · e = a, per ogni a ∈ G.

• Dato a ∈ G, esiste y ∈ G tale che y · a = u.

10. Mostrare che i gruppi S2 e GL(K1) non sono abeliani.

11. Se G e un gruppo nel quale (ab)i = aibi per tre interi i consecutivi e per ogni coppia dielementi a, b ∈ G, allora G e abeliano.

12. Dimostrare che la conclusione dell’esercizio 11 non vale pi· se la relazione sussiste solo perdue interi consecutivi.

9

Page 15: Appunti di Algebra I

Capitolo 2

Sottogruppi

2.1 Sottogruppi

Definizione 2.1.1. Sia (G, ·) un gruppo e H ⊆ G, H 6= ∅. Si dice che H e sottogruppo di G seH e gruppo rispetto alla stessa operazione definita in G.

Definizione 2.1.2. Ogni gruppo ammette almeno due sottogruppi banali: G, {1} con 1 elementoneutro di G.

Nota 2.1.3. Se H e sottogruppo di G si scrive anche

H ≤ G

Nota 2.1.4. Se (G, ·) e abeliano, ogni suo sottogruppo e abeliano.

Esempio 2.1.5. Di seguito sono elencati alcuni esempi di sottogruppi:

1. Sia P = {2n : n ∈ Z} l’insieme dei numeri pari in Z; (P,+) e sottogruppo (abeliano) di(Z,+).

2. Sia D = {2n + 1 : n ∈ Z} l’insieme dei numeri dispari in Z; (D,+) non e sottogruppo di(Z,+). perche “+” non e un’operazione in D, quindi non ha senso chiedersi se (D,+) siaun gruppo.

3. Fissato n ∈ Z, sia nZ = {nh : h ∈ Z} =< n >; (nZ,+) e sottogruppo di (Z,+);

4. Sia H = {x ∈ Q∗ : x > 0} l’insieme dei numeri razionali positivi; risulta (H, ·) sottogruppodi (Q∗, ·);

5. Sia A = {x+√

2y : x, y ∈ Q}; risulta (A,+) sottogruppo di (R,+).

Teorema 2.1.6. Sia (G, ·) un gruppo; un sottoinsieme non vuoto H di G, con H ⊆ G e H 6= ∅, e un sottogruppo di G se e solo se per ogni a, b ∈ H risulta a · b ∈ H, a−1 ∈ H.

Dimostrazione.

=⇒ Se H e sottogruppo di G e ovvio che a · b ∈ H, a−1 ∈ H per ogni a, b ∈ H.

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Page 16: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

⇐= Sia H 6= ∅ tale che per ogni a, b ∈ H risulta a · b ∈ H, a−1 ∈ H. Per dimostrare che H esottogruppo rimane solo da dimostrare che in H c’e elemento neutro:

a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ⇒ a · a−1 = 1 ∈ H

Teorema 2.1.7. Sia Sia (G, ·) un gruppo; un sottoinsieme non vuoto H di G e un sottogruppodi G se e solo se per ogni a, b ∈ H risulta a · b−1 ∈ H.

Dimostrazione.

=⇒a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H

⇐= Sia H 6= ∅ allora:∃a ∈ H ⇒ a · a−1 ∈ H ⇒ 1 ∈ H

Da a ∈ H e 1 ∈ H segue 1 · a−1 ∈ H, allora a−1 ∈ H.

Esempio 2.1.8. Consideriamo (Z,+) e nZ =< n >= {xn : x ∈ Z} per un fissato n ∈ Z.Risulta:

a, b ∈< n >=⇒ a+ (−b) ∈< n >

infatti:

a, b ∈< n >⇒a = x · n, b = y · n⇒

a− b = x · n− y · n = (x− y) · n ∈ G

Questo prova che < n > e sottogruppo di (Z,+).

Proposizione 2.1.9. Sia (G, ·) un gruppo e sia H ⊆ G, H 6= ∅, H finito. H e un sottogruppodi G se e solo se a · b ∈ H, ∀a, b ∈ H.

Dimostrazione.

=⇒ Se H e sottogruppo di G e ovvio che a · b ∈ H per ogni a, b ∈ H.

⇐= Sia H = {a1, a2, . . . , an}, dimostriamo che per ogni ai, aj ∈ H esistono e sono unici x, y ∈ Htali che ai · x = aj e y · ai = aj . Infatti considerando i prodotti

aia1, aia2, . . . , aian

questi prodotti per ipotesi stanno in H, ma sono anche a due a due distinti perche se

aiah = aiak

a−1i aiah = a−1

i aiak

uah = uak

ah = ak

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Page 17: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

I precedenti n prodotti sono dunque tutti e i soli gli elementi di H, allora esiste ed e unicoah tale che

ai · ah = aj

ed esiste ed e unico ak tale cheak · ai = aj

Nota 2.1.10. E’ indispensabile l’ipotesi che H sia finito.

Esempio 2.1.11. (Z,+) gruppo, N ⊆ Z e tale che N 6= ∅ e a, b ∈ N =⇒ a+ b ∈ N. Ma (N,+)non e un gruppo.

2.2 Unione e intersezione di sottogruppi

Proposizione 2.2.1. Siano H1,H2, . . . ,Hn sottogruppi del gruppo (G, ·). Allora:

n⋂i=1

Hi

e un sottogruppo di G (dove ∩ rappresenta l’intersezione insiemistica);

n⋃i=1

Hi

non e detto che sia sottogruppo di G (dove ∪ rappresenta l’unione insiemistica).

Proposizione 2.2.2. Sia (G, ·) un gruppo e H un sottoinsieme non vuoto di G. Sia

F = {H1,H2, . . . ;Hn}

l’insieme dei sottogruppi di G che contengono H. Certamente F 6= ∅ perche almeno G ∈ F .Posto

< H >=⋂Hi∈F

Hi

allora < H > e sottogruppo di G perche e intersezione di sottogruppi di G, inoltre < H >⊆ Hi

per ogni Hi ∈ F .

• Queste proprieta caratterizzano < H > che prende il nome di sottogruppo generato daH.

• Si dice anche che H e un sistema di generatori di < H >.

• Se H = {x1, x2, . . . , xn}, anziche < H > si scrivera

< x1, x2, . . . , xn >

• Sia H ⊆ G un sottoinsieme di (G, ·) gruppo. In G si puo allora considerare il sottoinsieme

H−1 = {x−1 : x ∈ H}

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Page 18: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

Nota 2.2.3. Risulta H = H−1 solo quando H e sottogruppo di G.

Proposizione 2.2.4. Sia H ⊆ G, H 6= ∅, un sottoinsieme non vuoto di G. Il gruppo < H >generato da H e costituito dai prodotti

x1 · x2 · · · · · xn

al variare di n ∈ N e di xi ∈ H ∪H−1.

Dimostrazione. Sia H il sottoinsieme di G formato dai prodotti di cui nell’enunciato.Da x1 · x2 · · · · · xn ∈ H e y1 · y2 · · · · · ym ∈ H segue che:

(x1 · x2 · · · · · xn)−1(y1 · y2 · · · · · ym) = x−1n · · · · · x−1

1 · y1 · y2 · · · · · yn ∈ H

e percio H e sottogruppo di G.Inoltre e ovvio che ogni sottogruppo di G che contiene H contiene H e pertanto

H =< H >

Nota 2.2.5. Un gruppo (G, ·) si dice finitamente generato se G =< H > con H finito.Un gruppo(G, ◦) finitamente generato e finito o numerabile.

Dimostrazione. Sia G =< x1, . . . , xm >. Ogni x ∈ G e tale che x = xn1i1◦ xn2

i2◦ . . . xns

iscon ni ∈ Z

e i1, i2, . . . , is ∈ {1, 2, . . . ,m}. Per ogni x si ponga hx = |n1| + |n2| + . . . + |ns|. Gli x ∈ G taliche hx ≤ n per un assegnato n ∈ N, formano un sottoinsieme finito Gndi G e quindi la tesi seguedall’essere G =

⋃n∈N Gn

Corollario 2.2.6. Un gruppo generato da un insieme numerabile e numerabile

Nota 2.2.7. Un sottogruppo di un gruppo finitamente generato puo non essere finitamentegenerato.

Esempio 2.2.8. Si seguito sono elencati alcuni esempi:

1. (R,+), (R∗, ·), (C,+), (C∗, ·) non sono finitamente generabili.

2. (Z,+) e finitamente generato: Z =< 1 >

3. (Q,+) non e finitamente generato. Infatti, sianor1s1,r2s2, · · · , rn

sn∈ R.

Ognirisi

= ki ·1

s1s2 . . . sncon ki = ris1s2 . . . si−1si+1 . . . sn. Ne segue che

<r1s1,r2s2, · · · , rn

sn>⊆< 1

s1s2 . . . sn>6= Q

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Page 19: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

2.3 Sottogruppi generati da un elemento. Gruppi ciclici.

Teorema 2.3.1. Sia (G, ·) un gruppo e sia a ∈ G; < a >= {an|n ∈ Z} e un sottogruppo di G.

Dimostrazione.a = a1 ∈< a >⇒ < a >6= ∅

Presi ar, as ∈< a > si ha che ar · as = ar+s ∈< a >. Inoltre se as ∈< a > allora (as)−1 =a−s ∈< a >.

Dunque < a > e un gruppo, sottogruppo di (G, ·).

Nota 2.3.2. < a > e commutativo; sia che G lo sia, sia che G non lo sia perche aras = ar+s =as+r = asar. Infatti in Z si ha che r + s = s+ r.

Definizione 2.3.3. < a >si chiama sottogruppo ciclico generato da a, detto quindi generatoredel gruppo.

Esempio 2.3.4. Alcuni esempi:

1. In (Z,+), < 5 >= {n · 5|n ∈ Z} = 5Z e un gruppo ciclico generato da 5.

2. In (Q∗, ·) si ha < 13 >= {( 1

3 )n|n ∈ Z} sottogruppo ciclico generato da 13 .

Definizione 2.3.5. Se (G, ◦) e un gruppo ed esiste a ∈ G tale che < a >= G, allora G si diceciclico. In tal caso l’elemento a si chiama generatore del gruppo.

Nota 2.3.6. Se a e generatore di (G, ◦) allora anche a−1 genera (G, ·).Nota 2.3.7. Ogni gruppo ciclico e abeliano.

Esempio 2.3.8. Alcuni esempi:

1. (Z,+) e gruppo ciclico generato da 1 oppure da −1: Z =< 1 >=< −1 >.

2. Dato un triangolo equilatero, sia G = {r0, r1, r2} l’insieme delle rotazioni di centro O chemutano in se il triangolo:

r0 =(

1 2 31 2 3

), r1 =

(1 2 32 3 1

), r2 =

(1 2 33 1 2

)(G, ◦) e un gruppo ciclico generato da r1 oppure da r2: G =< r1 >=< r2 >.

3. Gruppo ciclico di ordine n, n ∈ N∗, ottenuto ruotando un qualunque poligono regolare din lati come fatto per il triangolo equilatero in (2).

4. Gruppo ciclico di ordine 2:

G = {r0, r1} =< r > con r0 =(

1 21 2

), r1 =

(1 22 1

)◦ r0 r1r0 r0 r1r1 r1 r0

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Page 20: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

5. Gruppo ciclico di ordine 1: G = {1}, G =< 1 >

Nota 2.3.9. Esistono gruppi ciclici di ogni ordine.Sia (G, ◦) =< a >= {. . . , a−2, a−1, a0 = 1, a1, a2, . . .}. Si possono dunque due casi:

1. Per ogni n 6= m risulta an 6= am.

2. Esistono n,m, n 6= m per i quali an = am

Nel primo caso il gruppo G e infinito.Se si verifica il secondo caso, supposto n > m, si ha:

an = am ⇒ an ◦ a−m = am ◦ a−m = a0 = 1 ⇒ an−m = 1

ossia ∃k ∈ N tale che ak = 1.Sia h ∈ N il pi· piccolo intero positivo tale che ah = 1. Dimostriamo che |G| = h e G =<

a >= {a0 = 1, a1 = a, a2, . . . , ah−1}. Per farlo basta dimostrare che gli elementi sono tuttidistinti e che an ∈< a >, ∀n ∈ Z.

Considerati r, s ∈ N, con 0 ≤ r < s ≤ h− 1, se

ar = as ⇒ a−r ◦ ar = a−r ◦ as ⇒ as−r = 1

con s− r < h e cio e assurdo per l’ipotesi di minimo su h. Quindi gli elementi sono tutti distinti.Sia ora n ∈ Z, sara n = hq + r con 0 ≤ r < h e risulta

an = ahq+r = ahq ◦ ar = (ah)q ◦ ar = 1 ◦ ar = ar

Se due gruppi ciclici hanno lo stesso numero di elementi sono sostanzialmente la stessa cosa,sia nel caso finito che in quello infinito. Dunque e sufficiente prendere un solo modello per ogniordine.

Esempio 2.3.10. Alcuni esempi:

1. (Z,+) e ciclico infinito: Z =< 1 >. Γ =< 15 >= {( 1

5 )n|n ∈ Z} e ancora un gruppo ciclicoinfinito, apparentemente diverso da (Z,+), ma, come gruppi, questo non e vero.

2. Analogamente se G = {[0], [1], [2]} con l’operazione [n]+ [m] = [n+m], questo e un gruppociclico di ordine 3, ma nella sostanza e lo stesso gruppo dell’esempio 2.3.8 sulle rotazionidi un triangolo equilatero intorno al centro.

+ [0] [1] [2][0] [0] [1] [2][1] [1] [2] [0][2] [2] [0] [1]

Proposizione 2.3.11. Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico e un gruppo ciclico.

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Page 21: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

Dimostrazione. Sia G un gruppo ciclico e g un suo generatore: G = {gn|n ∈ Z}. Sia A unsottogruppo di G; se A = {g0} allora A e banalmente ciclico; se A 6= {g0} sia h il pi· piccolointero positivo tale che gh ∈ A. Ovviamente e< gh >⊂ A, ma risulta anche A ⊂< gh > ossia ognielemento di A e una potenza di gh, infatti sia gn ∈ A e sia n = hq+ r con q, r ∈ Z , 0 ≤ r < h.

Si hagn = ghq+r = ghq ◦ gr ∈ A

e quindi gr ∈ A ma allora per l’ipotesi di minimo fatta su h, risulta r = 0 e dunque

gn = ghq = (gh)q ∈< gh >

Resta cosI dimostrato che A =< gh > e quindi A e ciclico, anzi si e anche trovato da qualeelemento e generato.

Nota 2.3.12. Esistono gruppi non ciclici tali che ogni sottogruppo proprio e ciclico.

Esempio 2.3.13. (Z,+) e ciclico ⇒ ogni suo sottogruppo e ciclico⇒ tutti i sottogruppi di Zdevono essere del tipo < n >= {hn : h ∈ Z}.

2.3.1 Gruppo dei Quaterioni

Sia Q = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k} un insieme e sia definita su Q la seguente operazione

· 1 −1 i −i j −j k −k1 1 −1 i −i j −j k −k−1 −1 1 −i i −j j −k ki i −i 1 −1 k −k −j j−i −i i −1 1 −k k j −jj j −j k −k 1 −1 i −i−j −j j −k k −1 1 −i ik k −k j −j i −i 1 −1−k −k k −j j −i i −1 1

che puo essere riassunta con le seguenti leggi i · j = k, j · k = i, k · i = j, j · i = −k, k · j = −i,i · k = −j, e i2 = j2 = k2 = −1.

(Q, ·) e un gruppo che prende il nome di gruppo dei quaterioni. Questo e un gruppo di ordine8, non abeliano (da cui non ciclico per 2.3.7).

Studiamo ora i suoi sottogruppi:

• Ordine 2:H1 = {1,−1} =< −1 >

• Ordine 4,H2 = {1,−1, i,−i} =< i >

H3 = {1,−1, j,−j} =< j >

H4 = {1,−1, k,−k} =< k >

Si puo verificare che quelli sopra sono tutti e i soli sottogruppi di (G, ·). Si veda come questisiano tutti ciclici, seppur G non sia ciclico e neppure abeliano.

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Page 22: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

2.4 Laterali e Indice di un gruppo

Fissato n ∈ N − {0}, abbiamo visto che in (Z,+) la relazione a ≡ b (modn) se a − b ∈< n > edi equivalenza ed e definita a partire dai sottogruppi di (Z,+). Per dimostrare le proprieta dellarelazione non si e mai fatto uso della ciclicita di Z e dei suoi sottogruppi. Ci chiediamo allora sequanto visto per (Z,+) possa valere per ogni gruppo G e ogni suo sottogruppo H.

Definizione 2.4.1. Sia (G, ·) un gruppo e H un sottogruppo di G. Definiamo in G la relazionea ≡ bmodH se e solo se a · b−1 ∈ H. Questa e una relazione di equivalenza. Infatti:

1. Proprieta riflessivaa ≡ amodH ⇐⇒ a · a−1 ∈ H e poiche H e sottogruppo, certamente 1 = a · a−1 ∈ H perogni a ∈ H.

2. Proprieta simmetricaSe a ≡ bmodH allora a · b−1 ∈ H, ma allora anche (a · b−1)−1 = b · a−1 ∈ H e quindib ≡ amodH.

3. Proprieta transitivaSe a ≡ bmodH e b ≡ cmodH allora a · b−1 ∈ H e b · c−1 ∈ h ed essendo sottogruppo anche(a · b−1) · (b · c−1) ∈ H, a · (b−1 · b) · c ∈ H, allora a · c−1 ∈ H e pertanto a ≡ cmodH.

Definizione 2.4.2. Se H e sottogruppo di G e a ∈ G definiamo:

• Ha = {ha : h ∈ H} classe laterale destra di H in G;

• aH = {ah : h ∈ H} classe laterale sinistra di H in G.

Proposizione 2.4.3. Le classi di equivalenza della relazione di equivalenza modulo H (“≡modH”) sono classi laterali destre di H.

Dimostrazione. Sia [a] = {x ∈ G : a ≡ x (modH)} la classe di equivalenza in cui sta a.

[a] ⊂ Ha infatti x ∈ [a] ⇒ x ≡ a (modH) ⇒ x · a−1 ∈ H ⇒ x−1 · a = h ∈ H ⇒ x = h · a⇒ x ∈Ha;

Ha ⊂ [a] infatti x ∈ Ha⇒ x = h · a⇒ x · a−1 = h ∈ H ⇒ x ≡ a (modH) ⇒ x ∈ [a].

Quanto visto assicura che due laterali di H in G o coincidono o non hanno elementi in comunee l’unione insiemistica di tutti i laterali e G.{

Hx ∩Hy = ∅ per x /∈ Hy⋃Hx = G

Proposizione 2.4.4. Hx e Hy hanno lo stesso numero cardinale (finito o no) di elementi.

Dimostrazione. Segue dal fatto che per ogni a ∈ G esiste un’applicazione biettiva ϕ : H → Hadefinita da ϕ(h) = ha.

ϕ iniettiva ϕ(h1) = ϕ(h2) ⇒ h1 · a = h2 · a⇒ h1 = h2;

ϕ suriettiva ∀ha ∈ Ha si ha ϕ(h) = h · a.

Pertanto H e Ha hanno lo stesso numero di elementi per ogni a ∈ G. Questo significa ancheche qualunque siano a, b ∈ G i laterali Ha e Hb hanno lo stesso numero cardinale di elementi equindi esiste una applicazione biunivoca ψ : Ha→ Hb.

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Page 23: Appunti di Algebra I

Capitolo 2 - Sottogruppi

Lemma 2.4.5. Nel caso finito se |H| = n allora |Ha| = n qualunque sia a ∈ G.

Analogamente a quanto dimostrato nel caso del gruppo (Z,+) se H e un sottogruppo di G,posso definire la relazione a ≡ b se e solo se a−1b ∈ H. Questa e una relazione di equivalenza ele classi si equivalenza sono i laterali sinistri di H, ossia ∀a ∈ G si ha:

[x] = xH = {xh : h ∈ H}

Inoltre esiste una applicazione biettiva dell’insieme dei laterali destri nell’insieme dei lateralisinistri tale che e l’applicazione α

α(Hx) = x−1H

Dunque il numero dei laterali destri di H in G e uguale al numero dei laterali sinistri di H in G.Si puo allora porre la seguente definizione.

Definizione 2.4.6. Sia (G, ·) un gruppo e sia H un sottogruppo di G. Si definisce indice di HinG il numero dei laterali destri (o sinistri) di H in G.

Nota 2.4.7. Se G e un gruppo finito e H un suo sottogruppo, e ovvio che l’indice di H in G e unnumero naturale, ma anche nel caso in cui G sia infinito, l’indice dio un suo sottogruppo H puoessere un numero finito. Per esempio l’indice di H =< 5 > in (Z,+) e cinque.

2.5 Esercizi

1. Ogni gruppo ciclico e abeliano.

2. Se l’ordine di G e pari, allora G contiene qualche elemento di ordine 2.

3. Il numero degli elementi di ordine 2 in un gruppo finito G e dispari.

4. Se ogni elemento g 6= u di un gruppo G ha ordine 2 allora G e abeliano.

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Page 24: Appunti di Algebra I

Capitolo 3

Teoremi di Lagrange, Sylow eCauchy

3.1 Teorema di Lagrange

Teorema 3.1.1 (di Lagrange). Sia G un gruppo di ordine finito n, sia H un sottogruppo di Ge sia i l’indice di H in G. Si ha n =| H | ·i.

Dimostrazione. I laterali destri di H sono i e ognuno di essi ha m =| H | elementi. Poiche ilaterali formano una partizione di G, risulta n = m · i.

Conseguenza immediata del teorema di Lagrange e che ogni gruppo finito avente per ordineun numero primo e ciclico e ogni suo elemento diverso dall’elemento neutro e un generatore delgruppo.

Nota 3.1.2. Se G e un gruppo finito di ordine n, allora, per il teorema di Lagrange, ogni sotto-gruppo di G ha per ordine un divisore di n, ma in generale non vale il viceversa, cioe non e veroche per ogni divisore m di n esiste in G un sottogruppo di ordine m. Come vedremo, il viceversadel teorema di Lagrange vale nei gruppi abeliani finiti e in altri casi particolari.

Teorema 3.1.3. Un gruppo G, G 6=< 1 > ha come sottogruppi i soli sottogruppi banali se e solose e finito ed ha per ordine un numero primo.

=⇒ Se G ha per ordine un numero primo, per il teorema di Lagrange i soli sottogruppi di Gsono quelli banali.

⇐= Supponiamo che G sia privo di sottogruppi propri e G 6=< 1 >. Sia a ∈ G, a 6= 1,per l’ipotesi fatta deve essere G =< a > e quindi G e ciclico. Se fosse infinito, allora< a2 > sarebbe un sottogruppo non banale di G contro l’ipotesi. Dunque G e finito eG =

{a0 = u, a, a2, ..., an−1

}; se n non e primo allora sia n = r · s con 1 < r, s < n.

Allora < ar > e un sottogruppo non banale di G e cio e contro l’ipotesi. Pertanto n e unnumero primo.

Definizione 3.1.4. Sia G gruppo e sia a ∈ G. Si dice che a ha periodo (o ordine) finito n se ne il piu piccolo intero positivo e tale che an = 1. Si dice che a non ha periodo finito se e an 6= 1per ogni n ∈ N∗.

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Page 25: Appunti di Algebra I

Capitolo 3 - Teoremi di Lagrange, Sylow e Cauchy

Nota 3.1.5. Se la notazione del gruppo e additiva, la definizione precedente dice che a ha periodon se n e il piu piccolo intero positivo tale che n · a = a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸

n volte

= 0.

Esempio 3.1.6.

• Nel gruppo (Q∗, ·) gli unici elementi di periodo finito sono 1, che ha periodo 1, e −1 cheha periodo 2.

• Se G e un gruppo ciclico infinito nessun elemento diverso dall’elemento neutro ha periodofinito. (Z,+) il suo unico elemento di periodo finito e lo zero. Ogni altro elemento h e taleche n · h = h+ h+ · · ·+ h︸ ︷︷ ︸

n volte

6= 0.

3.2 Conseguenze del teorema di Lagrange

Proposizione 3.2.1. Sia (G, ·) un gruppo finito di ordine n ogni elemento a ∈ G ha periodofinito m con m | n.

Dimostrazione. Considerato a ∈ G, se a non avesse periodo finito il gruppo G avrebbe infinitielementi perche conterrebbe almeno tutte le potenze di a.

Anzi se |G| = n e a ha periodo m (quindi am = 1), deve essere m | n per il teorema diLagrange. Infatti se am = 1 allora < a >= {a0, a1, a2, . . . , am−1} e un sottogruppo di G e quindim | n, con m = | < a > | e n = |G|.

Sia (G, ·) un gruppo ciclico finito, |G| = n e sia ai ∈ G. Come deve essere i affinche ai sia ungeneratore? Se m e il periodo di ai, ossia (ai)m = 1 si ha ai·m = 1 allora ai genera G quando i en sono primi tra di loro.

Esempio 3.2.2. Consideriamo il gruppo ciclico di ordine 8 tale che G =< a >, |G| = 8,Gli elementi a1, a3, a5, a7 sono i generatori del gruppo.

Teorema 3.2.3. Sia G un gruppo ciclico finito di ordine n. Per ogni divisore m di n esiste unoe un solo sottogruppo di G avente ordine m.

Dimostrazione. Se m | n allora n = q ·m⇒ 1 = an = (aq)m allora o (aq) = m e pertanto esisteil sottogruppo H =< aq >, con |H| = m.

Dimostriamo che e unico: supponiamo per assurdo che esista H tale che |H| = m, conH =< ak >. Deve essere (ak)m = 1 allora k ·m = λ ·m · q, k = λ · q da cui ak = (aq)λ ∈ H, diconseguenza H ⊂ H ed essendo |H| = |H| = m (finito) si ha che H = H.

3.3 Teorema di Sylow

Definizione 3.3.1. Se A, B sono sottoinsiemi di un gruppo (G, ·), rispettivamente (G,+), sichiama prodotto, rispettivamente somma, di A e B l’insieme

A ·B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}

rispettivamenteA+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}

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Page 26: Appunti di Algebra I

Capitolo 3 - Teoremi di Lagrange, Sylow e Cauchy

Teorema 3.3.2. Sia (G, ·) un gruppo e siano H e K sottogruppi del gruppo G.H ·K e un sottogruppo di G se e solo se H ·K = K ·H.

Dimostrazione. Si considerino i due casi:

=⇒ Sia H · K un sottogruppo di G. Sia k · h ∈ K · H; si ha k · h = (h−1 · k−1)−1 conh−1 ∈ H e k−1 ∈ K e quindi h−1 · k−1 ∈ H ·K e poiche H ·K e sottogruppo di G si ha(h−1 · k−1)−1 ∈ H ·K ossia k · h ∈ H ·K e dunque K ·H ⊆ H ·K.Consideriamo ora h · k ∈ H ·K; si ha (h · k)−1 ∈ H ·K e dunque (h · k)−1 = h1 · k1 conh1 ∈ H e k1 ∈ K. Si ha cosI h · k = (h1 · k1)−1 = k−1

1 · h−11 ∈ K ·H ossia H ·K ⊆ K ·H.

Allora H ·K = K ·H.

⇐= Sia H ·K = K ·H.presi h1 · k1, h2 · k2 ∈ H ·K, dalle ipotesi segue h1 · k1 · (h2 · k2)−1 = h1 · k1 · (k2 · h2)−1 =h1 · k1 · h2

−1 · k2−1 = h1 · h3 · k3 · k2

−1 ∈ H ·K e dunque H ·K e sottogruppo di G.

Corollario 3.3.3. Se G e un gruppo abeliano e H, K sono suoi sottogruppi, allora H · K esottogruppo di G.

Il teorema 3.3.2 ci permette di dimostrare il teorema di Sylow (3.3.4), fondamentale nellateoria dei gruppi. Abbiamo visto che in generale non vale il viceversa del teorema di Lagrange(3.1.1), ossia se G e un gruppo di ordine n ed m e un divisore di n non e detto che esista in Gun sottogruppo di ordine m.

Teorema 3.3.4 (di Sylow o primo teorema di Sylow). Sia G un gruppo finito di ordine |G| =ph · r, p primo, h ∈ N∗. Esiste in G almeno un sottogruppo di ordine ph.

Dimostrazione. 1 Sia I = {k1, k2, . . . , km} l’insieme di tutti i sottoinsiemi di G ciascuno dei qualie costituito da ph elementi. Sara

m =(ph · rph

)=ph · r · (ph · r − 1) · · · · · (ph · r − λ) · · · · · (ph · r − ph + 1)

ph · (ph − 1) · · · · · (ph − λ) · · · · · 1(3.1)

per ogni λ, con 0 ≤ λ ≤ ph − 1, la massima potenza di p che divide λ coincide con la massimapotenza di p che divide (ph · r− λ) perche (ph · r− λ) e divisibile per p se e solo se λ e divisibileper p.

Nella espressione 3.1 semplificando numeratore e denominatore, rimane che la massima po-tenza di p che divide m coincide con la massima potenza di p che divide r; questa massimapotenza sia pt (t ∈ N e t = 0 nel caso in cui r, e quindi anche m, sia primo con p), cioe pt | m, rma pt+1 - m, r.

Nell’insieme I definiamo la relazione: ki ∼ kj se esiste g ∈ G tale che kj = g ·ki. Questa e unarelazione di equivalenza e percio gli elementi di I si possono ripartire nelle classi di equivalenza.

Poiche pt+1 - m, esiste almeno una classe di equivalenza avente n elementi con pt+1 - n, ossiaC = {k1, k2, . . . , kn}.

Consideriamo l’insieme H = {g ∈ G : g ·k1 = k1}, ovviamente risulta H 6= ∅ e H sottogruppodi G, sia |H| = v.

Per come e stata definita la relazione di equivalenza, ogni elemento di C e in relazione con k1

e quindi per ogni i : 2 ≤ i ≤ n esiste gi ∈ G tale che ki = gi · k1.1Questo teorema fu dimostrato da Sylow nel 1872; la dimostrazione proposta e di Wielandt del 1959.

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Page 27: Appunti di Algebra I

Capitolo 3 - Teoremi di Lagrange, Sylow e Cauchy

Fissato i, contiamo gli elementi di G in base al loro effetto su ki:

g ·k1 = ki ⇔ g ·k1 = gi ·k1 ⇔ g−1i ·g ·k1 = k1 ⇔ g−1

i ·g ∈ H ⇔ g−1i ·g = g ∈ H ⇔ g = gi · g, g ∈ H

Dunque gli elementi g ∈ G tali che g · k1 = ki sono tanti quanti sono i g (essendo gi fisso), ossiasono v.

Poiche questo vale per ogni i = 2, . . . , n e anche per k1, gli elementi di G sono v + v + · · ·+ v︸ ︷︷ ︸n volte

,

ossia |G| = v · n e pertanto risultaph · r = v · n

Ricordando che pt | r, si ha ph+t = ph · pt | ph · r = v · n, ma pt+1 - n (cioe al massimo pt | ne quindi almeno ph | v) e percio ph | v da cui ph ≤ v.

Fissiamo k1 ∈ K1, si ha H · k1 ⊂ H ·K1 = K1 e quindi |H · k1| = |K1| ossia v ≤ ph.Confrontando le due disugualianze si conclude pertanto che v = ph. Si e dunque costruito un

sottogruppo H di G con |H| = ph.

Nota 3.3.5. L’enunciato del Teorema di Sylow (3.3.4) ora dimostrato puo anche essere espressonel seguente modo:

Teorema 3.3.6. Se G e un gruppo finito e ph divide l’ordine di G, con p primo e h ∈ N∗, alloraesiste in G un sottogruppo di ordine ph.

3.4 Teorema di Cauchy

Dal teorema di Sylow (3.3.4), come caso particolare, discende il seguente:

Teorema 3.4.1 (di Cauchy). Se G e un gruppo finito; per ogni numero primo p divisoredell’ordine di G esiste in G un sottogruppo di ordine p.

Dimostrazione. Vale per il teorema di Sylow (3.3.4), ma riportiamo anche la seguente dimostra-zione indipendente del teorema di Sylow.

Sia |G| = n e p | n, p primo. Sia I = {(x1, x2, . . . , pp) : xi ∈ G, x1 · x2 · · · · · xp = e}; ognielemento di I e univocamente determinato quando si fissano i primi p−1 elementi x1, x2, . . . , xp−1

della p-upla, percio gli elementi di I sono tanti quante sono le (p− 1)-uple di G di elementi nonnecessariamente distinti, ossia |I| = np−1. Definiamo in I la seguente relazione ∼:

(a1, . . . , ap) ∼ (ai, ai+1, . . . , ap, a1, . . . , ai−1)

cioe due p-uple sono in relazione quando una si ottiene dell’altra permutando ciclicamente i suoielementi. Questa relazione e di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono constituite da 1 o da p elementi: la classe di equivalenza cuiappartiene (e, e, . . . , e) e formata da un solo elemento; se esiste a ∈ G di periodo p anche la classedi equivalenza di (a, a, a, . . . , a) e costituita da un solo elemento; se (a1, . . . , ap) contiene almenodue elementi distinti la classe di equivalenza e cosI costituita da p elementi.

3.5 Casi in cui il teorema di Lagrange e invertibile

Abbiamo detto che in generale non vale l’inverso del teorema di Lagrange (3.1.1). Per alcunigruppi o famiglie di gruppi vale anche l’inverso del teorema di Lagrange. Ad esempio per tutti igruppi abeliani finiti.

22

Page 28: Appunti di Algebra I

Capitolo 3 - Teoremi di Lagrange, Sylow e Cauchy

Teorema 3.5.1. Se (G, ·) e un gruppo abeliano finito di ordine n allora per ogni divisore h di nesiste in G un sottogruppo di ordine h.

Dimostrazione. Sia G un gruppo abeliano di ordine n = pr11 · pr22 · · · · · prss , con pi numeri primi

diversi fra loro, i = 1, . . . , s. Sia h | n, h = ph1i1· ph2

i2· · · · · pht

it, con pij numeri primi diversi

fra loro. Per il teorema di Sylow (3.3.4) esistono in G i sottogruppi A1, A2, . . . , At di ordinerispettivamente ph1

i1, ph2i2, . . . , pht

ite tali che Ai ∩Aj =< 1 > perche |Ai| e |Aj | sono primi tra loro,

per ogni i, j = 1, . . . , t, i 6= j.Poiche G e abeliano risulta A1 · A2 = A2 · A1 e percio A1 · A2 e sottogruppo di G. Inoltre e

|A1 ·A2| = ph1i1· ph2i2

perche gli elementi prodotto a · b con a ∈ A1 e b ∈ A2 sono tutti distinti fraloro, infatti a·b = c·d, a, c ∈ A1, b, d ∈ A2 ⇔ c−1 ·a = d·b−1, ma c−1 ·a ∈ A1 e d·b ∈ A2 e dunquec−1 ·a = d ·b−1 ∈ A1∩A2 =< 1 >; ne segue che a ·b = c ·d⇔ c−1 ·a = d ·b−1 = 1 ⇔ a = c, b = d.

Analogamente A1 ·A2 ·A3 = (A1 ·A2) ·A3 e sottogruppo di G di ordine ph1i1· ph2i2· ph3i3

e cosIsia A1 ·A2 · · · · ·At e un sottogruppo di G di ordine h.

Esistono anche gruppi finiti non abeliani per i quali si inverte il teorema di Lagrange (3.1.1),ad esempio il gruppo dei Quaterioni, ma cio non vale per tutti i gruppi finiti non abeliani.

23

Page 29: Appunti di Algebra I

Capitolo 4

Il gruppo simmetrico e gruppoalterno

4.1 Gruppo Simmetrico

Sia A un insieme non vuoto e sia S l’insieme delle permutazioni (ossia applicazioni biunivoche)su A. L’insieme S rispetto all’operazione “prodotto operatorio” e un gruppo detto gruppo sim-metrico (o totale) su A e si indica con SymA oppure con SA. In generale il gruppo simmetricoe non abeliano.

Nel caso in cui A sia finito di ordine n, |A| = n, il gruppo simmetrico su A e indicato anchecon Sn e risulta |Sn| = n! essendo costituito da tutte e sole le permutazioni su n elementi ossiada tutte le disposizioni senza ripetizioni su n oggetti. Da cio segue anche |Sn| = n · |Sn−1|.

Esempio 4.1.1. Gruppo simmetrico Sn per n = 1, 2, 3.

• S1 = {a} con a =(

11

), |S1|=1 .

• S2 = {a1, a2} con a1 =(

1 21 2

), a2 =

(1 22 1

), |S2| = 2! = 2;

◦ a1 a2

a1 a1 a2

a2 a2 a1

• S3 = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} con a1 =(

1 2 31 2 3

), a2 =

(1 2 31 3 2

), a3 =

(1 2 33 2 1

),

a4 =(

1 2 32 1 3

), a5 =

(1 2 32 3 1

), a6 =

(1 2 33 1 2

), |S3| = 3! = 6;

◦ a1 a2 a3 a4 a5 a6

a1 a1 a2 a3 a4 a5 a6

a2 a2 a1 a6 a5 a4 a3

a3 a3 a5 a1 a6 a2 a4

a4 a4 a6 a5 a1 a3 a2

a5 a5 a3 a4 a2 a6 a1

a6 a6 a4 a2 a3 a1 a5

24

Page 30: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

a4 ◦ a3 = a5 6= a6 = a3 ◦ a4 dunque S3 non e commutativo.

Esempio 4.1.2. S4 = {a, b, c, d, e, f, gh, i, l, l−1,m,m−1, n, n−1, o, o−1, p, p−1, q, q−1, r, r−1, p2, q2, r2}con

1 =identita a = a−1 = ( 1 2 ); b = b−1 = ( 1 3 );c = c−1 = ( 1 4 ); d = d−1 = ( 2 3 ); e = e−1 = ( 2 4 );f = f−1 = ( 3 4 ); g = g−1 = ( 1 2 )( 3 4 ); h = h−1 = ( 1 3 )( 2 4 );i = i−1 = ( 1 4 )( 2 3 ); l = ( 2 3 4 ); l−1 = l2 = ( 2 4 3 );m = ( 1 3 4 ); m−1 = m2 = ( 1 4 3 ); n = ( 1 2 4 );n−1 = n2 = ( 1 4 2 ); o = ( 1 2 3 ); o−1 = o2 = ( 1 3 2 );p = ( 1 2 3 4 ); p−1 = p3 = ( 1 4 3 2 ); q = ( 1 2 4 3 );q−1 = q3 = ( 1 3 4 2 ); r = ( 1 4 2 3 ); r−1 = r3 = ( 1 3 2 4 );p2 = h q2 = i r2 = g

• Sottogruppi di ordine 12: C’e il solo sottogruppo alterno

A4 = {1, g, h, i, l,m, n, o, l−1,m−1, n−1, o−1}

sottogruppo normale di S4. A4 non e semplice, infatti il sottogruppo H = {l, g, h, i} e unsottogruppo normale di A4.

• Sottogruppi di ordine 2: Sono nove, ossia tanti quanti gli elementi di periodo 2: W = {l, α}con α = a, b, c, d, e, f, g, h, i. Nessuno e sottogruppo normale di S4.

• Sottogruppi di ordine 3: Sono quattro, ossia tanti quanti gli elementi di periodo 3: K ={l, α, α−1} con α = l,m, n, o. Nessuno e sottogruppo normale di S4.

• Sottogruppi di ordine 4: Devono avere elementi di periodo 2 o 4:

H1 = {l, g, h, i} H2 = {l, a, f, g} H3 = {l, b, e, h} H4 = {l, c, d, i}H5 = {l, h, p, p−1} H6 = {l, g, q, q−1} H7 = {l, i, r, r−1} H8 = {l, p, p2p3}

H9 = {l, q, q2, q3} H10 = {l, r, r2, r3}

H1 e sottogruppo normale (vedi Capitolo 5) di S4 tutti gli altri non lo sono .

• Sottogruppi di ordine 6: W = {l, a} , K = {l, n, n−1} G = W × K. Da vedere se neesistano altri, sempre del tipo W ×K.

• Sottogruppi di ordine 8: W = {l, a} , H1 = {l, a, g, h, i, f, r, r−1} G = W × H1. Davedere se ne esistano altri, sempre del tipo W ×H1.

4.2 Cicli e classi di permutazioni

Definizione 4.2.1. Sia A un insieme non vuoto e sia r ≥ 1, r ∈ N. Viene detto ciclo dilunghezza r (o r-ciclo) ogni elemento di α ∈ SymA che permuta ciclicamente r elementi di A efissa tutti i rimanenti.

Possiamo definire equivalentemente α ∈ SymA un r-ciclo nel caso in cui in A esistano relementi distinti i1, i2, . . . , ir tali che

α(i1) = i2, α(i2) = i3, . . . , α(ir−1) = ir, α(ir) = i1

25

Page 31: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

e α(x) = x ∀x ∈ A \ {i1, i2, . . . , ir}.Un r-ciclo di rappresenta con la scrittura α = ( α1 α2 . . . αr ). Ad esempio se A =

{1, 2, 3, 4, 5, 6} la permutazione su A data da:

α =(

1 2 3 4 5 63 2 4 6 5 1

)e un ciclo di lunghezza 4 e pertanto si scrive:

α = ( 1 3 4 6 ) = ( 3 4 6 1 ) = ( 4 6 1 3 ) = ( 6 1 3 4 )

Un ciclo di lunghezza 2 e detto trasposizione

Nota 4.2.2. L’identita e l’unico ciclo di lunghezza 1.

Esempio 4.2.3. In S7 le permutazioni:

a =(

1 2 3 4 5 6 72 5 1 6 4 3 7

)=

(1 2 5 4 6 3

)b =

(1 2 3 4 5 6 73 1 5 4 6 2 7

)=

(1 3 5 6 2

)c =

(1 2 3 4 5 6 72 1 3 4 5 6 7

)=

(1 2

)sono rispettivamente un 6-ciclo, un 5-ciclo e una trasposizione.

La permutazione:

d =(

1 2 3 4 5 6 72 1 3 4 6 7 4

)non e un r-ciclo per nessun r ∈ N.

Definizione 4.2.4. Due cicli α, β ∈ SymA sono detti disgiunti se sono disgiunti i due insiemi:

{x ∈ A | α(x) 6= x} e {x ∈ A | β(x) 6= x}

Esempio 4.2.5. Consideriamo in S7 i cicli:

a =(

1 2 3 4 5 6 72 3 5 4 7 6 1

)=

(1 2 3 5 7

)b =

(1 2 3 4 5 6 71 2 3 6 5 4 7

)=

(4 6

)c =

(1 2 3 4 5 6 71 2 3 5 6 4 7

)=

(4 5 6

)I cicli a e b sono disgiunti; i cicli a e c non sono disgiunti, cosI come i cicli b e c.

26

Page 32: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

Nota 4.2.6. Dalla definizione segue immediatamente che se α e β sono cicli disgiunti, alloraα(x) 6= x implica β(x) = x. Inoltre risulta anche αβ = βα ossia due cicli disgiunti commutano.

Teorema 4.2.7. Sia A di ordine finito, |A| = n; ogni permutazione α ∈ Sn si puo decomporrein modo univoco nel prodotto di cicli disgiunti.

Dimostrazione. Sia α ∈ Sn; definiamo in A la relazione

x ∼ y ⇔ y = αm(x) , m ∈ N

Questa e una relazione di equivalenza e quindi gli elementi di A vengono ripartiti in classidi equivalenza. Una classe di equivalenza ha un solo elemento x se e solo se α(x) = x; in casocontrario gli elementi della classe sono permutati ciclicamente da α.

Siano C1, C2, . . . , Ct le classi di equivalenza aventi ciascuna pi· di un elemento. Per ogni Cidefiniamo la funzione βi : A 7−→ A tale che βi(x) = α(x), ∀x ∈ Ci e βi(x) = x, ∀x ∈ A \ Ci.

In questo modo si ha una decomposizione di α in cicli disgiunti α = β1β2 . . . βt (l’ordine nonha importanza, in quanto cicli disgiunti sono commutativi).

La decomposizione di αin cicli disgiunti cosI ottenuta e unica, infatti sia α = γ1γ2 . . . γs conγi , i = 1, . . . , s cicli disgiunti. Sia γi =

(x1 x2 . . . xh

), risulta

α(x1) = x2, α(x2) = x3 = α2(x1), . . . , αh−1(x1) = xh, αh(x1) = x1

e percio x1, x2, . . . , xh sono tutti e soli gli elementi di una classe Ch e pertanto γi = βh. Ne segues = t e che le decomposizioni α = β1 . . . βt e α = γ1 . . . γt coincidono a meno dell’ordine deifattori.

Esempio 4.2.8. In S7 considerata la permutazione: α =(

1 2 3 4 5 6 72 1 4 5 3 7 6

)si ha

α =(

1 2) (

3 4 5) (

6 7)

o ancheα =

(3 4 5

) (1 2

) (6 7

)Nota 4.2.9. Se f ∈ Sn \ {id} e f = σ1σ2 . . . σt e una decomposizione di f in cicli disgiunti, allorail periodo di f e il m.c.m. della lunghezza dei cicli di σi.

Teorema 4.2.10. Ogni permutazione e il prodotto di trasposizioni.

Dimostrazione. Basta provare che un ciclo e prodotto di trasposizioni. Consideriamo il ciclo( a1 a2 . . . am ), risulta

( a1 a2 . . . am ) = ( a1 am )( a1 am−1 )( a1 am−2 ) . . . ( a1 a2 )

Nota 4.2.11. La decomposizione di un ciclo nel prodotto di trasposizioni non e univocamentedeterminata; per esempio in S4 si ha:

α =(

1 2 3)

=(

1 3) (

1 2)

ma ancheα =

(1 2 3

)=

(1 4

) (1 3

) (3 4

) (1 2

)27

Page 33: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

Col teorema seguente dimostreremo che, tuttavia, il numero di trasposizioni in cui si puodecomporre una permutazione e o sempre pari o sempre dispari.

Teorema 4.2.12. Sia α ∈ Sn, α = α1α2 . . . αh e α = β1β2 . . . βk con αi e βj trasposizioni peri = 1, 2, . . . , h e j = 1, 2, . . . , k. Allora risulta h ≡ k mod 2.

Dimostrazione. Poiche ogni trasposizione coincide con la propria inversa si ha α−1 = βk . . . β1 e1E = α◦α−1 = α1α2 . . . αh ◦βkβk−1 . . . β1. Nel caso in cui h e k siano uno pari e l’altro dispari epossibile scrivere 1E come prodotto di un numero dispari (h+ k) di trasposizioni. Dimostriamocome questo porti ad un assurdo.

Fra tutte le decomposizioni di 1E nel prodotto di un numero dispari di trasposizioni conside-riamo quella con il minor numero di fattori, e chiamiamola:

1E = γ1γ2 . . . γ2t+1 , t > 0 (4.1)

Osserviamo che se due trasposizioni non sono disgiunte allora si ha (bc)(ab) = (ac)(bc) mentre sesono disgiunte commutano, ossia (ab)(cd) = (cd)(ab). Questa osservazione ci permette di scriverela 4.1 in modo da ottenere:

1E = δ1δ2 . . . δrδr+1 . . . δ2t+1

con δ1 =(a yr

), δ2 =

(a yr−1

), . . . , δr =

(a y1

), e con a che non figura, e quindi

fisso, nelle rimanenti trasposizioni δr+1, . . . , δ2t+1.A questo punto se gli elementi y1, . . . , yr che sono tutti distinti da a sono anche distinti

tra loro si ha δ1 ◦ . . . ◦ δr =(a y1 y2 . . . yr−1 yr

)e poiche a e fisso per il prodotto

δr+1 ◦ . . .◦δ2t+1 si ha 1E(a) = δr+1 ◦ . . .◦δ2t+1(a) = y1 che e assurdo poiche 1E non puo mandarea in y1. Dunque almeno due delle trasposizioni δ1, . . . , δr coincidono, sia quindi δv = δs (v 6= s);ricordando l’osservazione precedente possiamo allora trasformare il prodotto δ1 ◦ . . . ◦ δr in mododa trovare δv e δs come fattori consecutivi. A questo punto, poiche δvδs = 1E , i fattori δv e δssi possono eliminare e l’identita 1E si puo allora rappresentare come prodotto di un numero pdispari di trasposizioni, con p = 2t− 1 e quindi p < 2t+ 1, ma cio va contro l’ipotesi di minimofatta per il numero dispari 2t+ 1.

La proprieta invariante dimostrata nel teorema precedente permette di dare la seguente:

Definizione 4.2.13. Sia α una permutazione su A finito. Si dice che α e di classe pari (rispetti-vamente classe dispari) se α coincide con il prodotto di un numero pari (rispettivamente dispari)di trasposizioni.

Nota 4.2.14. Dalla definizione ora posta segue che un ciclo di lunghezza r e pari se e solo se r edispari.

4.3 Gruppo Alterno

Definizione 4.3.1. L’insieme delle permutazioni pari di Sn forma un sottogruppo di Sn dettogruppo alterno su n elementi e indicato con An.

Teorema 4.3.2. Se n > 1 si ha:

|An| =n!2

28

Page 34: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

Dimostrazione. Sia An = {p1, p2, . . . , pt}, |An| = t l’insieme delle permutazioni di classe pari esia Sn −An = {q1, q2, . . . , qv}, |Sn −An| = v l’insieme delle permutazioni di classe dispari. Siapoi α una qualunque trasposizione.

L’insieme αAn = {αp1, αp2, . . . , αpt} e costituito da t permutazioni dispari, e quindi t ≤ v.Analogamente α (Sn −An) = {αq1, αq2, . . . , αqv} e costituito da v permutazioni pari e quindiv ≤ t. Ne consegue che v = t e quindi v = t = 1

2 |Sn| =12n!.

Teorema 4.3.3. Sia E = {1, 2, . . . , n}, per ogni fissato i ∈ E il gruppo Sn e generato dalle n−1trasposizioni

(i 1

),(i 2

), . . . ,

(i j

), . . . ,

(i n

)con i 6= j.

Dimostrazione. Per n = 1 e n = 2 la tesi e banalmente vera. Sia n > 2 e sia(r s

)una

trasposizione con i 6= r, s. Si ha(r s

)=

(i r

) (i s

) (i r

)e pertanto ogni elemento

di Sn puo essere decomposto nel prodotto di trasposizioni del tipo(i 1

),(i 2

), . . . ,

(i j

), . . . ,

(i n

)con i 6= j.

Corollario 4.3.4. Sn e generato dalle trasposizioni.

Teorema 4.3.5. Sia E = {1, 2, . . . , n} con n ≥ 3, siano poi i, j due elementi distinti fissati inE. Il gruppo alterno Ane generato dagli n− 2 cicli di lunghezza 3:(

i j 1),(i j 2

), . . . ,

(i j k

), . . . ,

(i j n

)con k 6= i, j.

Dimostrazione. Fissato i ∈ E il gruppo Sn e generato dalle n− 1 trasposizioni(i 1

),(i 2

), . . . ,

(i h

), . . . ,

(i n

)con h 6= i percio ogni elemento di An puo essere espresso come prodotto di un numero paridi dette trasposizioni, ma due fattori consecutivi possono essere associati e diventare quindi un3-ciclo (a meno che i fattori non siano uguali, nel qual caso il loro prodotto da l’identita), adesempio

(i s

) (i r

)=

(i r s

)con (r 6= s ; i 6= r, s).

Dunque An e generato dai 3-cicli (si ricordi anche che ogni 3-ciclo appartiene ad An).Se n = 3 il teorema e banalmente vero, essendo An =

⟨(1 2 3

)⟩. Sia n ≥ 4 e sia j ∈ E,

i 6= j; si ha (i r j

)=

(i j r

) (i j r

)inoltre se r, s ∈ E \ {i, j} si ha(

i r s)

=(i j s

) (i j r

) (i j r

)e pertanto ogni 3-ciclo si puo scrivere come prodotto di 3-cicli del tipo(

i j 1),(i j 2

), . . . ,

(i j k

), . . . ,

(i j n

)con k 6= i, j ed essendo An generato dai 3-cicli, si conclude che Ane generato dai 3-cicli del tipo(

i j 1),(i j 2

), . . . ,

(i j k

), . . . ,

(i j n

)con k 6= i, j.

29

Page 35: Appunti di Algebra I

Capitolo 4 - Il gruppo simmetrico e gruppo alterno

Corollario 4.3.6. An e generato dai 3-cicli.

Teorema 4.3.7. Sia G un sottogruppo di Sn generato da un n-ciclo σ = ( i1 i2 . . . in ) edalla trasposizione τ =

(ik ik+1

). Allora G coincide con Sn.

Dimostrazione. Ordinando opportunamente {1, 2, . . . , n} si puo assumere

σ = ( 1 2 . . . n ) e τ =(

1 2).

Si ha σ−1(

1 2)σ =

(2 3

), σ−1

(2 3

)σ =

(3 4

), . . . , σ−1

(n− 2 n− 1

)σ =(

n− 1 n)

e ancora (1 2

) (2 3

) (1 2

)=

(1 3

)(1 2

) (2 3

) (1 2

)=

(1 4

)...(

n− 1 n) (

1 n− 1) (

n− 1 n)

=(

1 n)

Poiche le trasposizioni(

1 2),(

1 3), . . . ,

(1 n

)generano Sn, rimane provato che G =

〈σ, τ〉 = Sn.

Proposizione 4.3.8. Sia p un numero primo, Sp e generato da τ e ρ con τ una qualunquetrasposizione e ρ un p-ciclo.

Dimostrazione. per un opportuno ordinamento di {1, 2, ..., p} si puo ritenerer =

(1 2

).

Essendo ρ un ciclo di lunghezza p primo, esiste k tale che ρk=σ tale che σ(1)=2 con σ p-cicloe pertanto per la proposizione precedente risulta

< τ, σ >=< τ, ρ >= Sp.

Esempio 4.3.9. α:(

1 2 3 4 5 6 72 3 1 6 7 5 4

)si scompone in(

1 2 3)(

4 6 5 7)

=(

1 3)(

1 2)(

4 7)(

4 5)(

4 6)

7 inversioni ⇒ α di segno dispari(d’altra parte 7 - 2 (n orbite) = 5 dispari)

β:(

1 2 3 4 52 1 4 3 5

)=

(1 2

)(3 4

)(5)

2 trasposizioni ⇒ β di segno pari(d’altra parte 5 - 3 = 2 dispari (n - n orbite))

γ:(

1 2 3 4 5 6 7 82 3 5 1 7 6 4 8

)=

(1 2 3 5 7 4

)(6) (8)

8− 3 = 5 dispari ⇒ γ di segno dispariinfatti γ:

(1 4

) (1 7

) (1 5

) (1 3

) (1 2

)δ:

(1 2 3 4 5 62 3 1 5 4 6

)=

(1 2 3

) (4 5

)(6) =

(1 3

) (1 2

) (4 5

)3 trasposizioni ⇒ δ di segno disparioppure: δ ha tre cicli disgiunti e quindi 6− 3 = 3 da cui δdi segno disparin− a = b, con a n di cicli disgiunti, bda il segno.

30

Page 36: Appunti di Algebra I

Capitolo 5

Sottogruppi normali

5.1 Definizione e Principali Proprieta

Sia (G, ·) un gruppo e H un suo sottogruppo.In che relazione stanno le classi laterali destre e le classi laterali sinistre?Ha = {ha | h ∈ H} , aH = {ah | h ∈ H}Non sempre aH = Ha. Studiamo i casi in cui vale l’uguaglianza.

Definizione 5.1.1. Un sottogruppo N di un gruppo (G, ·) e detto normale (o invariante) in Gse gng−1 ∈ N per ogni g ∈ G e per ogni n ∈ N . In tal caso si scrive N / G.

1. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e normale

2. I sottogruppi banali sono normali

3. Il gruppo alterno An e sottogruppo normale del gruppo simmetrico Sn

4. Sia G ={(

a bc d

)| a, b, c, d ∈ Q, ad− bc 6= 0

}, G e un gruppo rispetto al prodotto righe

per colonne.

(a) H ={(

a bc d

)| a, b, c, d ∈ Q, ad− bc = 1

}. Risulta H . G. Segue dalle pro-

prieta del determinante di una matrice, in particolare ∀A ∈ G e ∀B ∈ H risulta

det(ABA−1) = det(A) · det(B) · 1det(A)

= det(B) = 1

(b) K ={(

a b−b a

)| a, b, c, d ∈ Q, a2 + b2 6= 0

}. Risulta K sottogruppo di G, ma K

non normale in G.

Teorema 5.1.2. Poniamo gNg−1 ={gng−1 | n ∈ N

}; allora possiamo dire che: N . G ⇔

gNg−1 ⊂ N per ogni g ∈ G.

Dimostrazione. Infatti se per ogni g ∈ G risulta gNg−1 ⊂ N , poiche g−1 ∈ G si ha g−1N(g−1

)−1 ⊂N , gNg−1 ⊂ N ossia per ogni n ∈ N si ha gNg−1 = n ∈ N da cui n = gng−1 ∈ gNg−1, dunqueN ⊂ gNg−1. Unitamente all’ipotesi gNg−1 ⊂ N cio significa gNg−1 = N per ogni g ∈ G equindi N / G.

31

Page 37: Appunti di Algebra I

Capitolo 5 - Sottogruppi normali

Teorema 5.1.3. Si puo anche dire: N / G⇔ gN = Ng per ogni g ∈ G.

Dimostrazione. Da quanto visto prima, N / G se e solo se per ogni g ∈ G risulta gNg−1 = N equindi se e solo se gN = Ng.

Riassumendo, dato un gruppo (G, ·), un suo sottogruppo N si definisce normale (N / G) se everificata una delle seguenti condizioni:

1. gng−1 ∈ N , per ogni g ∈ G, per ogni n ∈ N .

2. gNg−1 ⊂ N , per ogni g ∈ G.

3. gNg−1 = N , per ogni g ∈ G.

4. gN = Ng, per ogni g ∈ G.

Dalla definizione segue che:

• Se G e un gruppo abeliano allora ogni suo sottogruppo e normale.

• In ogni gruppo G i sottogruppi banali sono normali.

Proposizione 5.1.4. Sia (G, ·) un gruppo, se H e un sottogruppo di indice 2, allora H esottogruppo normale di G.

Dimostrazione. Dire che H ha indice 2 significa che 2 e il numero di laterali destri (ed anchesinistri) di H. Essendo H di indice 2, per ogni x ∈ G, x /∈ H si ha Hx = G−H e xH = G−H epertanto xH = Hx per ogni x ∈ G−H. E’ ovvio che per ogni x ∈ H risulta xH = Hx e quindisi conclude che xH = Hxper ogni x ∈ G, ossia H / G.

Esempio 5.1.5. Consideriamo il gruppo simmetrico S3 = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}. a1 =(

1 2 31 2 3

),

a2 =(

1 2 31 3 2

), a3 =

(1 2 33 2 1

), a4 =

(1 2 32 1 3

), a5 =

(1 2 32 3 1

), a6 =

(1 2 33 1 2

).

H = {a1, a2} e sottogruppo di S3, ma H non e normale in S3 perche, per esempio, Ha4 ={a4, a5} 6= a4H = {a4, a6}; analogamente K = {a1, a3}, R = {a1, a4} sono sottogruppi nonnormali in S3, V = {a1, a5, a6} e sottogruppo di S3 ed e normale in S3 perche e di indice 2 = 6

3e quindi abeliano.

Esempio 5.1.6. Cercare sottogruppi normali e non di S3 e S4.

Perche i sottogruppi normali sono cosI importanti?Se G e un gruppo e N / G, allora a partire da G ed N si puo costruire un altro gruppo.

Vediamo come:sia G

N = {xN | x ∈ G} (si legge “G modulo N”, o “G quoziente N” analogamente se in GN si

considerassero le classi laterali destre).In G

N definiamo l’operazione ”·” : xN · yN = xyNVerifichiamo anzi tutto che la definizione e ben posta, ossia se xN = x1N e yN = y1N

dobbiamo accertare che xyN = x1y1N .Infatti xN = x1N implica x1 = xg con g ∈ N e yN = y1N implica y1 = yh con h ∈ N ;

percio x1y1 = xgyh = xygh con g ∈ N (perche N / G e quindi Ny = yN), dunque x1y1 ∈ xyNossia x1y1N = xyN .

32

Page 38: Appunti di Algebra I

Capitolo 5 - Sottogruppi normali

Nota. La condizione che N sia normale e essenziale perche l’operazione sia ben definita. Infattise in S3 = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} consideriamo H = {a1, a2} e x = a2, x1 = a1, y = a3, y1 = a5.Risulta a2H = a1H, a3H = a5H, ma a2a3H 6= a1a5H. Questo perche H non e normale in S3.

Proposizione 5.1.7. Siano G un gruppo, N / G, GN = {xN | x ∈ G}. G

N e gruppo rispettoall’operazione xN · yN = xyN .

Dimostrazione. Si e gia visto che l’operazione e ben definita, inoltre

• vale la proprieta associativa: (xN · yN) · zN = xyN · zN = xyzN = x (yz)N = xN ·(yzN) = xN · (yN · zN)

• esiste l’elemento neutro: 1 ·N = N

• esiste l’elemento inverso: ∀xN esiste x−1N tale che xN · x−1N = xx−1N = N

Esempio 5.1.8.

1. (Z,+) gruppo abeliano allora ogni suo sottogruppo e normale: < n > /Z(Z,+)<n> = {< n > +m | m ∈ Z} = Zn

2. Rispetto al prodotto riga per colonna G ={(

a bc d

)| a, b, c, d ∈ Q, ad− bc 6= 0

}e un

gruppo, N ={(

a bc d

)| a, b, c, d ∈ Q, ad− bc = 1

}e tale che N / G, allora G

N e un

gruppo i cui elementi sono le classi di matrici aventi lo stesso determinante. Infatti seg′ ∈ gN allora g′ = gn e poiche det(n) = 1, det(g′) = det(gn) = det(g) · det(n) seguedet(g′) = det(g).

Da quanto visto e definito segue anche:

1. Se H / G, H di indice finito i, allora∣∣GH

∣∣ = i

2. Se H / G con |G| = n finito, |H| = m, allora∣∣GH

∣∣ = nm

Definizione 5.1.9. Un gruppo si dice semplice se ha come sottogruppi normali solo i sottogruppibanali.

Esistono gruppi semplici? Si.Ogni gruppo finito di ordine un numero primo e semplice.Si conoscono tutti i gruppi semplici finiti (il lavoro e stato terminato intorno al 1980). Esistono

18 famiglie infinite di gruppi semplici finiti e inoltre 26 gruppi non inclusi in nessuna di questefamiglie e percio detti ”sporadici”. Fra questi gruppi sporadici ve ne e uno scoperto nel 1982 daR.Griess ed avente 8 · 1053 elementi.

Studiamo per quali valori di n il gruppo alterno An e semplice.

Proposizione 5.1.10. Sia n ≥ 3; se un sottogruppo normale N di An contiene un 3-ciclo alloraN = An.

33

Page 39: Appunti di Algebra I

Capitolo 5 - Sottogruppi normali

Dimostrazione. Sia n = 3; gli elementi diA3 sono l’identita, a =(

1 2 3), a−1 =

(1 3 2

)per cui se N contiene a (rispettivamente a−1) contiene anche a−1 (rispettivamente a) e dun-que N = A3. Sia n > 3 e supponiamo

(1 2 3

)∈ N / An; consideriamo in An l’ele-

mento(

3 k) (

1 2)

con k 6= 1, 2, 3 (esiste certamente perche e una permutazione pari en > 4). Essendo N / An,

(1 2 3

)∈ N ,

[(3 k

) (1 2

)]−1 =(

1 2) (

3 k), si

ha(

3 k) (

1 2)·(

1 2 3)·(

1 2) (

3 k)∈ N , ossia

(2 1 k

)∈ N per ogni

k 6= 1, 2, 3; inoltre(

1 2 3)−1 =

(2 1 3

). Quindi i cicli

(1 2 j

)∈ N per ogni

j 6= 1, 2 e questi n− 2 3-cicli generano An (come gia visto) e pertanto N = An.

Proposizione 5.1.11. Se n ≥ 5 An e semplice.

Dimostrazione. Sia N / An, N 6=< 1 >, sia α ∈ N , α 6= 1, α elemento fra quelli che fissanoil massimo numero di elementi e consideriamo una decomposizione di α nel prodotto di ciclidisgiunti. Dimostriamo che

1. ogni ciclo della decomposizione di α e di lunghezza ≤ 3;

2. se nella decomposizione di α esiste un ciclo di lunghezza 3 allora esso e l’unico ciclo di α;

3. nella decomposizione di α in cicli disgiunti non possono esistere due cicli di lunghezza 2.

Da 1), 2), 3) segue che α e un 3-ciclo oppure una trasposizione. Poiche α e di classe pari nonpuo essere una trasposizione e percio α e un 3-ciclo. Dalla proposizione precedente segue alloraN = An.

Dimostrazione 1). Supponiamo per assurdo che esista α ∈ N nella cui decomposizione fi-guri un ciclo di lunghezza almeno 4, sia α =

(1 2 3 4 ...

) (i j ...

)... e sia β =(

1 2 3)α

(1 2 3

)−1. Essendo N / An si ha β ∈ N , β−1α ∈ N con

β =(

2 3 1 4 ...) (

i j ...)... e β−1α = (2)

(3 1 ...

)....

Inoltre se α(x) = x allora anche β(x) = x e β−1α(x) = x. Si ha β−1α ∈ N , β−1α 6= id. e poicheβ−1α(2) = 2, la permutazione β−1α fissa almeno un elemento in pi· di α contro l’ipotesi fatta suα.

Dimostrazione 2). Supponiamo per assurdo che nella decomposizione di α ci sia un ciclodi lunghezza 3, sia α =

(1 2 3

) (4 5 ...

)... e sia γ =

(4 1 2

(4 1 2

)−1.Si ha γ ∈ N perche N / An, γα ∈ N , γα 6= id., γ =

(1 5 ...

) (2 4 3

)..., γα =

(2)(

1 4 ...).... Inoltre se α(x) = x allora anche γ(x) = x e γα(x) = x; poiche γα(2) = 2 in

N si ha che γα fissa pi· elementi di α contro l’ipotesi.Dimostrazione 3). Supponiamo per assurdo che nella decomposizione di α in cicli disgiunti

ci siano due cicli di lunghezza 2: α =(

1 2) (

3 4)... e δ =

(1 2 5

(1 2 5

)−1.Si ha δ =

(2 5

) (3 4

)..., δα = (3) (4)

(2 1 5

)..., δ ∈ N , δα ∈ N , δα 6= id.. Ora solo

l’elemento 5 puo risultare fisso per α e non per δ, ogni altro elemento fissato da α e anche fissatoda δ. Dunque δα fissa tutti gli elementi fissati da α tranne al pi· l’elemento 5, ma δα fissa sia il3 che il 4 e percio δα fissa pi· elementi di α e cio e assurdo.

Studiamo ora il caso An quando n=1,2,3,4. A1, A2, A3 sono semplici perche non hannosottogruppi diversi da quelli banali. A4 non e semplice. Infatti | A4 |= 12 e in A4 ci sono treelementi di periodo 2: α =

(1 2

) (3 4

), β =

(1 3

) (2 4

), γ =

(1 4

) (2 3

).

Gli altri elementi di periodo 2 di S4 sono semplici trasposizioni e quindi non appartengono adA4, dunque α, β, γ sono tutti e soli gli elementi di A4 di periodo 2. Sia H = {id., α, β, γ}, He sottogruppo di A4 ed e normale in A4, infatti se σ ∈ A4, allora σασ−1, σβσ−1, σγσ−1 hannoperiodo 2 e sono di classe pari e quindi stanno in H.

34

Page 40: Appunti di Algebra I

Capitolo 5 - Sottogruppi normali

Proposizione 5.1.12. Per ogni n ≥ 5, An e l’unico sottogruppo normale di Sn.

Dimostrazione. Sia N / Sn, N 6=< 1 >, e sia α ∈ N , α 6= 1, α elemento tra quelli che fissano ilmassimo numero di elementi. Per quanto dimostrato in 1), 2), 3) della proposizione precedente,α risulta un 3-ciclo oppure una trasposizione. Se α e un 3-ciclo si ha α ∈ An e quindi α ∈M =N ∩ An. Ma M / An e quindi M = An ossia N ∩ An = An e quindi An ⊂ N . Se N non hapermutazioni di classe dispari si ha N = An; se in N esiste una permutazione γ di classe dispariallora N = Sn perche γAn ⊂ N , | γAn |=| An |, γAn ∩ An = ∅ e quindi N = γAn ∪ An,| N |=| Sn |=| γAn | + | An |.

35

Page 41: Appunti di Algebra I

Capitolo 6

Omomorfismi e Automorfismi diGruppi

6.1 Definizione e Proprieta

Abbiamo visto che un gruppo e una struttura algebrica, ossia un insieme con una operazione.Pertanto per confrontare due gruppi non e sufficiente confrontare i due insiemi, ma il confrontodeve coinvolgere gli insiemi e le operazioni.

Definizione 6.1.1. Siano (G, ·) e (G; ∗) due gruppi e sia φ una applicazione di G in G′. Sidice che φ e un omomorfismo di G in G′ se ∀a, b ∈ G si ha φ(a · b) = φ(a) ∗ φ(b). Si parla diomomorfismo iniettivo, suriettivo, biiettivo se l’applicazione che lo definisce e, rispettivamente,iniettiva, suriettiva, biiettiva. Un omomorfismo biiettivo si dice isomorfismo e in questo caso idue gruppi G e G′ si dicono isomorfi. Un isomorfismo di G in G si dice automorfismo.

Per semplicita di scrittura, di norma le operazioni dei due gruppi coinvolti si indicherannocon lo stesso simbolo.

Esempio 6.1.2.

• φ : (Z,+) → (Z,+) |x 7→ 2 · x e un omomorfismo perche e una applicazione ed e tale cheφ(x− y) = 2 · (x+ y) = 2 · x+ 2 · y = φ(x) + φ(y).

• ϕ : (G, ·) → (G, ·) | x 7→ 1 (dove 1 e l’identita di G) e ψ : (G, ·) → (G, ·) | x 7→ x. ϕ e ψsono omomorfismi qualunque sia il gruppo (G, ·). Sono detti omomorfismi banali.

• ϕ : (R,+) → (R∗, ·) | x 7→ 2x e un isomorfismo. ϕ(x+ y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ(x) · ϕ(y).

• ϕ : (Q∗, ·) → (Q∗, ·) |x 7→ 12x. ϕ(x · y) = 1

2 · x · y mentre ϕ(x) ·ϕ(y) = 12 · x ·

12 · y = 1

4 · x · y.Quindi ϕ(x · y) 6= ϕ(x) · ϕ(y) e percio ϕ non e un omomorfismo.

• N / G,G

Ngruppo quoziente. ϕ : G → G

N| g → gN e un omomorfismo suriettivo.

φ (g)φ (h) = (gN) (hN) = (ghN) = φ (gh). Questo omomorfismo e detto omomorfismo

naturale di G suG

N.

36

Page 42: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

6.2 Proprieta degli omomorfismi

Proposizione 6.2.1. Siano (G, ·) e (G′, ·) gruppi aventi come elemento neutro 1 e 1′ rispetti-vamente. Sia φ un omomorfismo di G in G′, si ha:

1. φ(1) = 1′

2. φ(x−1) = φ(x)−1

3. Se H < G e K < G′ allora φ (H) < G′e φ−1 (K) < G

Dimostrazione. 1. Siaa ∈ G : φ(a) = φ(a · 1) = φ(a) · φ(1), ma anche φ(a) = φ(a) · 1′ alloraφ(a) · φ(1) = φ(a) · 1′, da cui φ(1) = 1′.

2. Sia x ∈ G : φ(x · x−1

)= φ (x) · φ

(x−1

), ma anche φ

(x · x−1

)= φ (1) = 1′, allora

φ (x)φ(x−1

)= 1′ e dunque φ(x−1) = φ(x)−1.

3. Sia H un sottogruppo di G e sia φ (H) = {φ (h) | h ∈ H}; poiche ∀φ (h1) , φ (h2) ∈ φ (H),si ha φ (h1)φ (h2)

−1 = φ(h1h

−12

)∈ φ (H), si ha φ (H)sottogruppo di G′. Sia K sotto-

gruppo di G′ e sia φ−1 (H) = {x ∈ G | φ (x) = K}. Si ha φ−1 (K) 6= ∅ perche almeno1 = φ−1 (1′) ∈ φ−1 (K) , inoltre se x, y ∈ φ−1 (K) allora φ (x) , φ

(y−1

)∈ K e percio

φ (x)φ(y−1

)∈ K,φ

(xy−1

)∈ K,xy−1 ∈ φ−1 (K). Dunque φ−1 (K) e un sottogruppo di

G.

Nota 6.2.2. Dalla (1) sopra dimostrata segue, per esempio, che non puo esserci un omomorfismodi (Q∗, ·) in (Q∗, ·) che mandi 1 in 2.

Definizione 6.2.3. Sia φ un isomorfismo fra i gruppi G e G′ e sia 1’ l’elemento neutro di G′.Si chiama nucleo di φ l’insieme kerφ = {x ∈ G | φ (x) = 1′} .

Proposizione 6.2.4. Siano G, G′ gruppi e φ un omomorfismo di G in G′.

1. kerφ e un sottogruppo normale di G

2. φ e iniettivo ⇐⇒ kerφ = 1

Dimostrazione. 1. E’ immediato che kerφ e sottogruppo di G; inoltre se x ∈ G e y ∈ kerφ siha φ

(xyx−1

)= φ (x)φ (y)φ (x)−1 = 1′e pertanto kerφ / G.

2. Sia φ iniettivo, allora se x ∈ Geφ (x) = 1′ per l’iniettivita deve essere x = 1 e quindikerφ = 1. Viceversa sia kerφ = 1 e siano x, y ∈ G; se φ (x) = φ (y) allora φ (x)φ (y)−1 =1′, φ

(xy−1

)= 1′, allora xy−1 ∈ kerφ e quindi per l’ipotesi fatta xy−1 = 1 ossia x = y e

pertanto φ e iniettivo.

Nota 6.2.5. Dato N / G, l’omomorfismo naturale φ : G → G

Ndefinito da φ (x) = xN ha come

nucleo N perche x ∈ kerφ ⇐⇒ φ (x) = N ⇐⇒ xN = N ⇐⇒ x ∈ N. Dunque si puo affermare

che ogni gruppo quozienteG

Ne immagine omomorfa del gruppo G. Con il teorema seguente

proveremo anche che ogni immagine omomorfa di un gruppo G e un quoziente di G (a meno diisomorfismi).

37

Page 43: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

Teorema 6.2.6 (Primo teorema di omomorfismi per gruppi). Se φ e un omomorfismo suriettivo

del gruppo G nel gruppo G′, allora G′ e isomorfo aG

kerφ.

Dimostrazione. Sia φ : G → G′ un omomorfismo suriettivo, K = kerφ e definiamo ψ :G

K→

G′, ψ (gK) = φ (g). E’ una buona definizione (e quindi ψe una applicazione) perche se gK = hKallora g = hk con k ∈ K e quindi φ (g) = φ(hk) = φ(h)φ(k) = φ(h) · 1 = φ (h) . La ψ e iniettiva,infatti se ψ (gK) = ψ (hK) allora φ (g) = φ (h) da cui φ

(g−1h

)= 1′, allora g−1h ∈ K da cui

h ∈ gK e quindi gK = hK. La ψ e suriettiva, infatti se y ∈ G′ allora y = φ (g) con g ∈ G e quindiy = ψ (gK). La ψ e un omomorfismo, infatti ψ (gKhK) = ψ (ghK) = φ (gh) = φ (g)φ (h) =ψ (gK)ψ (hK) .

Gφ //

�

G′

G

kerφ

ψ

>>~~~~~~~~

Dove φ omomorfismo suriettivo, ψ isomorfismo, λ omomorfismo naturale.

Esempio 6.2.7. G ={(

a bc d

)| a, b, c, d ∈ Q, ad− bc 6= 0

}e un gruppo rispetto al prodotto

righe per colonne. φ : G −→ Q∗, φ (M) = detM e un omomorfismo e

kerφ ={(

a bc d

)| ad− bc = 1

}

allora Q∗ ≈ G

kerφ(isomorfismo). Segue anche che le matrici con determinante uguale a 1 formano

un sottogruppo normale di G perche sono il nucleo di un omomorfismo.

Corollario 6.2.8. Sia G un gruppo e H un suo sottogruppo. H / G ⇐⇒ H = kerφ, con φomomorfismo

Nota 6.2.9. Come struttura algebrica, due gruppi isomorfi possono anche essere considerati lostesso gruppo. Se consideriamo i gruppi ciclici, si ha che per ogni ordine r (anche non finito)esiste un solo gruppo ciclico di ordine r. Infatti se G =< g > e G =< g > sono due gruppiciclici con lo stesso numero di elementi, l’applicazione φ : G −→ G, definita da φ(gn) = gn e unisomorfismo. Pertanto tutti i gruppi infiniti sono isomorfi a (Z,+) e ogni gruppo ciclico finitocon m elementi e isomorfo a (Zm,+) .

6.3 Proprieta degli isomorfismi

Proposizione 6.3.1. Se G e un gruppo isomorfo sia al gruppo H che al gruppo K, allora H eK sono isomorfi.

Dimostrazione. Sia φ un isomorfismo di G su H e ψ un isomorfismo di G su K, allora ψφ−1 eun isomorfismo di H su K.

38

Page 44: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

Teorema 6.3.2. Sia G un gruppo, N / G, K / G, K ⊂ N .G

Ne isomorfo a

G/K

N/K.

Dimostrazione. Basta dimostrare che esiste un omomorfismo suriettivo daG

Ksu

G

Navente per

nucleoN

K. Definiamo φ :

G

K−→ G

N, φ (gK) = gN . E’ una buona definizione, ossia φ e una

applicazone; infatti se gK = hK allora h−1gK = K ⊂ N , allora h−1g ∈ N e quindi gN = hNda cui φ (gK) = φ (hK). La φ e suriettiva: segue dalla definizione. La φ e un omomorfismo:

infatti φ (gKhK) = φ (ghK) = ghN = gNhN = φ (gK)φ (hK) . Il nucleo di φ eN

K: infatti

gK ∈ kerφ ⇐⇒ φ (gK) = N ⇐⇒ gN = N ⇐⇒ g ∈ N . Dunque kerφ = gK | g ∈ N =N

K.

(K / G⇒ K / N perche se gkg−1 ∈ K ∀g ∈ G in particolare vale ∀g ∈ N).

Esempio 6.3.3. G = (Z,+), N =< 3 >, K =< 6 >, essendo (Z,+) abeliano, N e K sono

normali eZ

< 3 >= Z3,

Z< 6 >

= Z6,< 3 >< 6 >

= {a· < 6 >| a ∈< 3 >, a = 3t con t ∈ Z}⇒ a =[3 · 2h = 6h | h ∈ Z

3 · (2h+ 1) = 6h+ 3 | h ∈ Z ⇒ a· < 6 >mi da due classi: < 6 > e < 3 >⇒ < 3 >< 6 >

= Z2.

Z3 =Z

< 3 >≈ Z6

Z2

∼= Z3.

6.4 Centro e centralizzante di un gruppo

Definizione 6.4.1. Sia (G, ·) un gruppo, si chiama centro di G l’insieme

Z (G) = {x ∈ G | xg = gx, ∀g ∈ G}

.Il centro di un gruppo e dunque l’insieme degli elementi di G che sono permutabili con ogni

elemento di G. Ovviamente si ha:

Z (G) = G⇐⇒ G e abeliano

Proposizione 6.4.2. Sia G un gruppo e Z (G) il suo centro. Si ha Z (G) / G.

Dimostrazione. Qualunque sia il gruppo G, si ha 1 ∈ Z (G) che quindi non e mai vuoto. Sianox, y ∈ Z (G), per ogni g ∈ G si ha (xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)e quindi xy ∈ Z (G). Sia ora x ∈ Z (G), per ogni g ∈ G si ha xg = gx e quindi anchex−1 (xg)x−1 = x−1 (gx)x−1, da cui gx−1 = x−1g e pertanto x−1 ∈ Z (G). Dunque Z (G)e un sottogruppo di G. Z (G) e sottogruppo normale, infatti se x ∈ Z (G) e g ∈ G si hagxg−1 = xgg−1 = x ∈ Z (G).

Definizione 6.4.3. Sia G un gruppo; fissato a ∈ G si chiama centralizzante di a l’insiemeC (a) = {g ∈ G | ga = ag}.

Proposizione 6.4.4. Se G e un gruppo ed a ∈ G, il centralizzante di a e un sottogruppo di G.

39

Page 45: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

Dimostrazione. C (a) 6= ∅perche qualunque sia a ∈ G si ha 1 ∈ C (a). Se g, h ∈ C (a) si ha(gh) a = g (ha) = g (ah) = (ga)h = (ag)h = a (gh) e dunque gh ∈ C (a). Inoltre se g ∈ C (a)da ga = agsi ha g−1a = g−1

(agg−1

)= g−1 (ag) g−1 = g−1 (ga) g−1 =

(gg−1

)ag−1 = ag−1 e

pertanto g−1 ∈ C (a). Rimane cosı provato che C (a) e un sottogruppo di G.

Nota 6.4.5. E’ ovvio che Z (G) ≤ C (a).

Definizione 6.4.6. Sia G un gruppo e siano a, b ∈ G. Si dice che a e b sono coniugati se esistex ∈ G tale che b = xax−1.

La relazione di coniugio ora definita e una relazione di equivalenza in G. Essa determinauna partizione di G. Le classi di equivalenza costituite da un solo elemento sono quelle checontengono un elemento del centro di G.

Teorema 6.4.7. Se G e un gruppo finito ed a ∈ G allora il numero degli elementi di G coniugatiad a e uguale all’indice del centralizzante di a in G.

Dimostrazione. Sia C (a) il centralizzante di a. Per ogni x ∈ G l’elemento xax−1 e coniugato ad a,ma gli elementi xax−1 al variare di x ∈ G non sono tutti distinti, ossia due coniugati di a possonocoincidere. Si ha xax−1 = yay−1 ⇐⇒ y−1xa = ay−1x ⇐⇒ y−1x ∈ C (a) ⇐⇒ x ∈ yC (a), maanche y ∈ yC (a) e dunque risulta xax−1 = yay−1 se e solo se x e y stanno nello stesso lateralesinistro di C (a). Dunque il numero dei coniugati di a e uguale al numero dei laterali (sinistri)

di C (a) ossia e l’indice di C (a) in G, cioe| G |

| C (a) |.

Nota 6.4.8. Se a ∈ Z (G) allora| G |

| C (a) |= 1.

Teorema 6.4.9. Il centro di un gruppo finito G di ordine pn con p primo, n ∈ N∗, non si riduceal sottogruppo identico.

Dimostrazione. Consideriamo larelazione di coniugio e contiamo gli elementi di G contando glielementi di ogni classe di equivalenza e poi sommando. Una classe e costituita da un solo elementoa se e solo se a ∈ Z (G), quindi se | Z (G) |= r ci sono r classi con un solo elemento. Se G = Z (G),cioe se G e abeliano, banalmente e Z (G) 6=< 1 >. Se G 6= Z (G), sia a ∈ G−Z (G); per quantodimostrato nella proposizione precedente, il numero dei coniugati di a e dato dall’indice di C (a)

in G ossia| G |

| C (a) |. Da a /∈ Z (G) segue C (a) 6= G e percio e

| G || C (a) |

= pi con i > 0. Allora gli

elementi di G − Z (G) si ripartiscono in classi disgiunte ciascuna avente un numero di elementidato da una potenza di p ad esponente positivo, ossia | G |=| Z (G) | +pi+ pj + ...+ ps =⇒ pn =r + pi + pj + ...+ ps e poiche tutti gli addendi diversi da r sono divisibili per p, per ottenere pn

deve essere divisibile per p anche r, ossia r 6= 1, cioe Z (G) 6=< 1 > .

Dal teorema ora dimostrato seguono importanti risultati quali quelli enunciati nelle dueseguenti proposizioni.

Proposizione 6.4.10. Se G e un gruppo di ordine pn, con p primo, n ∈ N∗, esiste in G unsottogruppo normale di ordine p.

Dimostrazione. Sia | G |= pn, n > 0; per il teorema precedente si ha | Z (G) |= ph con h > 0.Per il teorema di Sylow (3.3.4) esiste allora in Z (G) un sottogruppo N di ordine p e poiche glielementi di N permutano con ogni elemento di G (appartenendo al centro di G) si ha N /G.

Proposizione 6.4.11. Ogni gruppo di ordine p2, p primo, e abeliano.

40

Page 46: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

Dimostrazione. Sia G un gruppo di ordine p2. Supponiamo Z (G) 6= G, si ha | Z (G) |= p peril teorema precedente. Sia a ∈ G − Z (G), il centralizzante C (a) di a deve avere per ordine undivisore di p2 e poiche a ∈ C (a) e Z (G) ⊂ C (a) si ha | C (a) |= p2 ossia C (a) = G e quindia ∈ Z (G), contro l’ipotesi. Dunque non puo essere Z (G) 6= G, ma deve essere Z (G) = G equindi G e abeliano.

6.5 Automorfismi di un gruppo

Definizione 6.5.1. Un isomorfismo di G in se stesso si dice automorfismo.

Definizione 6.5.2. Per ogni a ∈ G, l’automorfismo φa : G → G definito da φa(x) = a · x · a−1

e detto automorfismo interno del gruppo.

Teorema 6.5.3.

1. L’insieme A(G) degli automorfismi di un gruppo G e un gruppo rispetto al prodotto opera-torio.

2. L’insieme I(G) degli automorfismi interni di G e un sottogruppo normale del gruppo A(G).

Dimostrazione.

1. A(G) e un gruppo perche il prodotto di due automorfismi e ancora un automorfismo di G,l’inverso di un automorfismo e ancora un automorfismo.

2. I(G) non e vuoto perche contiene l’automorfismo identita; inoltre presi φa, φb ∈ I(G) siha:(φa ◦ φ)(x)b = φa ◦ (φb(x)) = a · (b · x · b−1) · a−1 = (a · b) · x · (b · a)−1 = φa·b(x) dunqueφa ◦ φb = φa·b ∈ I(G). Inoltre φ−1

a · φa(x) = x per ogni x e quindi φ−1a = φa−1 ∈ I(G).

Dunque I(G) e sottogruppo di A(G).Infine se α ∈ A(G) e φa ∈ I(G) si ha (α◦φa◦α−1)(x) = α·(a·α−1 ·a−1) = α(a)·x·α(a−1) =α(a) · x · α(a)−1 = φα(a)(x) e quindi αφa(x) = φα(a) ∈ I(G) e pertanto I(G) /A(G).

Proposizione 6.5.4.G

Z(G)e isomorfo a I(G).

Dimostrazione. Sia f : G → I(G) definita da f(x) = φa con φa(x) = a · x · a−1. La f e un

omomorfismo suriettivo di nucleo Z(G) e pertantoG

Z(G)≈ I(G).

6.6 Sottogruppi caratteristici

Definizione 6.6.1. Un sottogruppo H di un gruppo G e detto caratteristico (o pienamenteinvariante) se e mutato in se da ogni automorfismo di G.

Ovviamente se H e caratteristico e anche normale perche essendo mutato in se anche dagliautomorfismi interni, risulta a ·H · a−1 = H, a ·H = H · a per ogni a ∈ G.

Esistono pero sottogruppi normale che non sono caratteristici.

Esempio 6.6.2. (Z,+) / (Q,+) ma Z non e caratteristico in Q; infatti φ : (Q,+) → (Q,+) tale

che φ(x) =12· x e un automorfismo di (Q,+) ma φ(Z) 6= Z, infatti φ(3) = 3

2 .

41

Page 47: Appunti di Algebra I

Capitolo 6 - Omomorfismi e Automorfismi di Gruppi

Proposizione 6.6.3.

1. Se H e un sottogruppo di G e φ(H) ⊂ H per ogni φ ∈ Aut(G), allora H caratteristico inG.

2. Il centro Z(G) di un gruppo e caratteristico in G.

Dimostrazione.

1. Poiche φ(H) ⊂ H per ogni φ ∈ Aut(G), essendo φ−1 ∈ Aut(G) si ha anche φ−1(H) ⊂ Hossia H ⊂ φ(H) per ogni φ ∈ Aut(G) ossia H e caratteristico.

2. Per quanto dimostrato al punto (1) basta provare che per ogni φ ∈ Aut(G) e per ognic ∈ Z(G) si ha φ(c) ∈ Z(G). Infatti preso g ∈ G, sara g = φ(h) per in certo h ∈ G, si haφ(c) · g = φ(c) · φ(h) = φ(c · h) = φ(h · c) = φ(h) · φ(c) = g · φ(h) e quindi φ(c) ∈ Z(G) dacui φ(Z(G)) da cui φ(Z(C)) ⊂ Z(G) ossia Z(G) e caratteristico.

Teorema 6.6.4 (di Cayley). Ogni gruppo G e isomorfo ad un gruppo di permutazioni sui suoielementi.

Dimostrazione. Il teorema e provato perche esiste un omomorfismo iniettivo di G nel gruppoSymG delle permutazioni sugli elementi di G.

L’omomorfismo iniettivo e l’applicazione f : G → SymG, f(G) = φg, dove φg : G → G e lapermutazione (applicazione biettiva) degli elementi di G definita da φg(x) = g ·x per ogni x ∈ G.Rimane cosı provato che f(G) e un sottogruppo di SymG isomorfo a G.

Questo teorema mostra l’importanza dei gruppi di permutazioni perche da esso segue cheogni gruppo si puo pensare come gruppo di permutazioni.

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Page 48: Appunti di Algebra I

Capitolo 7

Gruppi Risolubili

7.1 Derivato di un gruppo

Definizione 7.1.1. Sia (G, ·) un gruppo; per ogni coppia (a, b) di elementi di G chiamiamocommutatore di (a, b) l’elemento k(a, b) = b−1 · a−1 · b · a.

Segue immediatamente che:

1. k(a, b) = 1 ⇔ a · b = b · a

2. a ·b ·k(a, b) = b ·a, ossia moltiplicando a ·b per il suo commutatore si ottiene b ·a (da questaproprieta il nome commutatore).

In generale, l’insieme dei commutatori di un gruppo G non e un sottogruppo di G.

Definizione 7.1.2. Sia G un gruppo; si chiama derivato (primo) di G il sottogruppo G′ di Ggenerato dai commutatori di G.

Proposizione 7.1.3. Il derivato primo del gruppo G e il gruppo G′ = {k1 · k2 · · · · · kn : n ∈N∗; ki commutatore}.

Dimostrazione. Consideriamo l’insieme G′ = {k1 · k2 · · · · · kn : n ∈ N∗; ki commutatore}, essoe chiuso rispetto al prodotto di G e G′ 6= ∅. Inoltre se k = b−1 · a−1 · b · a e un commutatoresi ha k−1 = a−1 · b−1 · a · b = k(b, a) cioe l’inverso di un commutatore e un commutatore e(k1 · · · · · kn)−1 = k−1

n · · · · · k−11 e ancora il prodotto di un numero finito di commutatori. G′

e quindi un sottogruppo di G, inoltre G′ e contenuto in ogni sottogruppo di G che contiene icommutatori do G. G′ e il piu piccolo sottogruppo di G che contiene tutti i commutatori.

La proposizione 7.1.3 ora dimostrata assicura che il derivato G′ di G e il piu piccolo sotto-gruppo di G che contiene tutti i commutatori.

Il derivato G′ di un gruppo G e un sottogruppo di G che puo essere proprio oppure no. E’immediata conseguenza della definizione di commutatore che:

G′ =< 1 >⇐⇒ Gabeliano

si puo dire che la non abelianita di G e tutta racchiusa in G′. Cosı come tutta l’abelianita di Ge racchiusa nel centro Z(G).

Proposizione 7.1.4. G′ e un sottogruppo caratteristico di G.

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Page 49: Appunti di Algebra I

Capitolo 7 - Gruppi Risolubili

Dimostrazione. Per provare che per ogni φ ∈ Aut(G) risulta φ(G′) = G′, basta provare che φtrasforma elementi di G′ in elementi di G′.

Sia φ ∈ Aut(G) e sia k1 ·k2 ·· · ··kn ∈ G′; allora si ha φ(k1 ·k2 ·· · ··kn) = φ(k1)·φ(k2)·· · ··φ(kn).Ma ogni φ(ki) e un commutatore, infatti φ(ki) = φ(y−1 ·x−1 ·y ·x) = φ−1(y) ·φ−1(x) ·φ(y) ·φ(x) =k(φ(x), φ(y)) ossia se k1 e il commutatore di (x, y), allora φ(ki) e il commutaore di (φ(x), φ(y)).Risulta pertanto φ(k1 · k2 · · · · · kn) ∈ G′.

Teorema 7.1.5. Sia G un gruppo e N un sottogruppo di G. N /G e G/N abeliano se e solo seG′ ⊂ N .

Dimostrazione.

=⇒ Sia N /G e G/N abeliano; per ogni x, y ∈ G si ha x ·N ·y ·N = y ·N ·x ·N , x ·y ·N = y ·x ·N ,x−1 · y−1 · y · x ·N = N da cui x−1 · y−1 · y · x ∈ N . Da cio significa che N contiene tutti icommutatori ed essendo un sottogruppo normale di G anche i loro prodotti ossia G′ ⊂ N .

⇐= Sia G′ ⊂ N ; per ogni g ∈ G e ogni h ∈ Nsi ha g−1 ·h−1 ·g ·h ∈ G′ e dunque g−1 ·h−1 ·g ·h ∈ N ,ma N e un gruppo, h−1 ∈ N e quindi g−1 · h−1 · g · h · h−1 = g−1 · h · g ∈ N ossia N / G.Inoltre per ogni x, y ∈ G si ha x−1 · y−1 · x · y ∈ G′ e dunque x−1 · y−1 · x · y ∈ N ossiax−1 · y−1 · x · y ·N = N , x · y ·N = y · x ·N , x ·N · y ·N = y ·N · x ·N e pertanto G/N eabeliano.

Definizione 7.1.6. Sia G un gruppo, si chiama derivato secondo di G, e lo si indica con G′′

(oppure G(2)), il derivato primo di G′.In generale, darivato r-esimo di G e il derivato del derivato (r− 1)-esimo e si indica con G(r).

Proposizione 7.1.7. G(r) e un sottogruppo caratteristico di G.

Dimostrazione. Abbiamo gia dimostrato che G′ e sottogruppo caratteristico di G(7.1.4), cioimplica che ogni automorfismo di G e anche un automorfismo do G′. Ma G′′ e sottogruppocaratteristico di G′ e quindi ogni automorfismo di G′ e anche automorfismo di G′′, allora ogniautomorfismo di G′′ ossia G′′ e sottogruppo caratteristico di G.

Cosı proseguendo si ha che G(r) e sottogruppo caratteristico di G per ogni r ≥ 1.

7.2 Derivato primo del gruppo simmetrico Sn

Proposizione 7.2.1. Sia Sn il gruppo delle premutazioni su n elementi, allora S′n = An perogni n ∈ N∗.

Dimostrazione. Suddividiamo la dimotrazione in quattro parti:

1. S′n / An.Infatti ogni commutatore di Sn e una permutazione di classe pari e quindi e un elementodi An; risulta quindi S′n ⊂ An e anche Sn / An (Ricordare che g, g−1 ∈ Sn sono entrambedi classe pari o dispari e quindi g−1 · h−1 · g · h e sampre di classe pari qualunque sia laclasse di g ed h).

2. Caso n ≥ 5.Per n ≥ 5, An e semplice quindi i suoi sottogruppi normali sono solo quelli banali, deveallora essere S′n = An oppure S′n =< 1 >. S′n =< 1 > non puo essere perche significherebbeSn abeliano e percio si colclude che per n ≥ 5 risulta S′n = An.

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Page 50: Appunti di Algebra I

Capitolo 7 - Gruppi Risolubili

3. Caso n = 4.

Consideriamo α, β ∈ S4, con α =(

1 2 3 42 3 1 4

)e β =

(1 2 3 41 3 2 4

). Si ha α−1 ·

β−1 · α · β =(

1 2 3 42 3 1 4

)∈ S′4 con α−1 · β−1 · α · β 3-ciclo e dunque S′n = An perche

S′n contiene un 3-ciclo ed e un sottogruppo normale di An.

4. Caso n ≤ 3.Per n = 3 da S′n ⊂ An segue |S′3| = 1 oppure |S′3| = 3. Se fosse |S′3| = 1 sarebbe S3

abeliano e cio e assurdo e pertanto deve essere |S′3| = 3 ossia S′3 = A3.Per n ≤ 2 si ha banalmente S′n = An.

7.3 Risolubilita di un gruppo

Definizione 7.3.1. Un gruppo G si dice risolubile se esiste un intero r ≥ 1 tale che G(r) =< 1 >.

Esempio 7.3.2.

• Banalmente ogni gruppo abeliano e risolubile perche G′ =< 1 >.

• Il gruppo dei quaterioni e risolubile perche Gx =< 1 >.

Definizione 7.3.3. Si chiama catena di un gruppo G ogni successione finita di sottogruppiG = G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gi ⊃ · · · ⊃ Gn =< 1 >.

La catena e detta normale se Gi / Gi−1 per ogni i = 2, 3, . . . , n ed in questo caso i gruppiGi−1/Gi saranno detti fattoriali della catena.

Esempio 7.3.4. Se G e risolubile, il gruppo G ed i suoi derivati formano una catena normale(anzi ogni elemento e sottogruppo caratteristico del gruppo che lo precede): G . G′ . · · · . G(i) .· · · . G(r) =< 1 >.

Teorema 7.3.5. Un gruppo G e risolubile se e solo se possiede una catena normale a fattorialiabeliani.

Dimostrazione.

=⇒ Se G e risolubile, allora la catena dei suoi derivati e una catena normale a fattoriali abeliani.

⇐= Viceversa supponiamo che G possieda una catena normale a fattoriali abeliani: G = G1 .G2 . · · · . Gi . · · · . Gn =< 1 >. Da G/G2 abeliano segue G′

1 ⊂ G2; da G2/G3 abelianosegue che G′

2 ⊂ G3; ma G′1 ⊂ G2 significa anche (G′

1)′ ⊂ G′

2 ossia G′′1 ⊂ G′

2 da cuiG′′

1 ⊂ G3. Procdendo in questo modo si ottiene G(n−1)1 ⊂ Gn e poiche Gn =< 1 > si ha

G(n−1)1 =< 1 > ossia G e risolubile.

45

Page 51: Appunti di Algebra I

Capitolo 7 - Gruppi Risolubili

Proposizione 7.3.6. Sia G un gruppo; H / G tale che H e G/H siano risolubili; allora G erisolubile.

Dimostrazione. Essendo H/G e di immediata verifica che (G/H)′ = (G′ ·H)/H. Procedendo perinduzione si r si ottiene (G/H)(r) = (G(r) ·H)/H. Per ipotesi G/H risolubile, esiste n ∈ N∗ taleche (G/N)(n) =< 1 > ossia (G(n) ·H)/H =< 1 > e quest’ultima ugualianza comporta G(n) ⊂ H.Per l’ipotesi H risolubile esiste un m ∈ N∗ tale che H(m) =< 1 >; risulta allora G(n+m) =< 1 >e quindi G e risolubile.

Proposizione 7.3.7. Se G e risolubile ogni sottogruppo di G e risolubile.

Dimostrazione. Sia G un gruppo risolubile, allora esiste r ∈ N∗ tale che G(r) =< 1 >. Sia H unsottogruppo di G; da G ⊃ H si ha G(r) ⊃ H(r) e quindi H(r) =< 1 > ossia h e risolubile.

Come agisce l’omomorfismo sulla risolubilita di un gruppo?

Proposizione 7.3.8. Sia G un gruppo risolubile. Ogni immagine omomorfa di G e un grupporisolubile.

Dimostrazione. Sia φ un omormofismo suriettivo di G nel gruppo H e sia G(r) =< 1 >. Si haφ(G′) = H ′, φ(G′′) = H ′′, . . . , φ(G(r)) = H(r) e poiche G(r) =< 1 > e φ omomorfismo, si haφ(G(r)) =< 1 > ossia H(r) =< 1 > e pertanto H e risolubile.

Proposizione 7.3.9. Ogni quoziente di un gruppo risolubile e risolubile.

Dimostrazione. Segue dalla proposizione 7.3.8 perche ogni quoziente di un gruppo e una suaimmagine omomorfa per il teorema 6.2.6.

7.4 Risolubilita e Gruppi Simmetrici

Teorema 7.4.1. Sn risolubile ⇐⇒ n = 2, 3, 4

Dimostrazione. Procediamo per casi:

1. n = 2:S2 e risolubile perche e abeliano.

2. n = 3:S3 e risolubile perche possiede una catena normale a fattoriali abeliani: S3 . A3. < 1 >.

3. n = 4:S4 e risolubile perche possiede la catena normale a fattoriali abeliani: S4 . A4 . H. < 1 >,dove H = {1, α, β, γ},α = (1 2)(3 4), β = (1 3)(2 4), γ(1 4)(2 3).

4. n ≥ 5:Per n ≥ 5 abbiamo dimostrato che An e semplice; poiche An non e abeliano, non puo essereA′n =< 1 > e quindi deve essere A′

n = An; percio An non e risolubile per n ≥ 5. EssendoAn non risolubile, anche Sn ⊃ An non e risolubile per n ≥ 5.

Nota 7.4.2. La risolubilita dei gruppi simmetrici Sn con n ≤ 4 e la non risolubilita dei gruppisimmetrici Sn con n ≥ 5 sta alla base del fatto che solo le equazioni algebriche di grado n ≤ 4ammettono una formula risolutiva radico-razionale.

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Page 52: Appunti di Algebra I

Capitolo 7 - Gruppi Risolubili

7.5 Condizioni per la Risolubilita

Proposizione 7.5.1. Un gruppo semplice e risolubile se e solo se e finito ed ha per ordine unnumero primo.

Dimostrazione. Sia G un gruppo semplice. Se |G| = p con p primo allora G e ciclico e quindiabeliano e quindi risolubile.

Viceversa, se G e risolubile si ha G′ 6= G e poiche G′ /G e G e semplice, risulta G′ =< 1 > equindi G e abeliano. Essendo G abeliano, ogni suo sottogruppo e normale e poiche G e semplicene consegue che G e privo di sottogruppi propri. Pertanto G e finito ed ha per ordine un numeroprimo.

Proposizione 7.5.2. Ogni gruppo di ordine pn con p primo, n ∈ N∗, e risolubile.

Dimostrazione. Per n = 1 il risultato e vero perche il gruppo di ordine primo e ciclico e quindie aveliano e percio risolubile.

Procediamo per induzione su n, supponiamo vero il risultato per (n − 1) e dimostriamo chevale per n. Sia G un gruppo di ordine pn, n > 1. Allora esiste N /G tale che |N | = p; il gruppoN e risolubile perche ciclico, il gruppo G/N e risolubile per l’ipotesi di induzione essendo diordine pn−1 e eprcio per una proposizione precedente G e risolubile.

Proposizione 7.5.3. Ogni gruppo di ordine p · q con p, q numeri primi, e risolubile.

Dimostrazione. Sia G un gruppo di ordine p · q, com p, q numeri primi. Se p = q allora |G| = p2

e pertanto G e abeliano e quindi risolubile.Se G ha ordine p · q con p < q, allora G ha un solo sottogruppo do ordine q: infatti per il

teorema di Sylow (3.3.4) G ammette almeno un sottogruppo di ordine q; supponiamo per assurdoche esistano A,B ⊂ G con |A| = |B| = q e A 6= B. Si ha A ∩ B =< 1 > e |A · B| = q2 perche iprodotti a · b com a ∈ A, b ∈ B sono a due a due distinti poiche se fosse a · b = c · d con a, c ∈ A,b, d ∈ B si avrebbe c−1 · a = d · b−1 ∈ A ∩ B e quindi a = c, b = d. Ovviamente A · B ⊂ G maquesto e assurdo perche |A ·B| = q2 e |G| = p · q con p < q.

Dunque in G esiste un solo sottogruppo A di ordine q; questo implica x ·A ·x−1 = A per ognix ∈ G e quindi A / G. Il gruppo G e pertanto risolubile perche possiede una catena normale afattoriali abeliani: G . A. < 1 >.

Nel 1960, Feit e Thompson hanno dimostrato il seguente teorema

Teorema 7.5.4. Ogni gruppo finito di ordine dispari e risolubile.

Di conseguenta se G e un gruppo semplice finito, allora G e ciclico di ordine primo oppure enon abeliano ed ha ordine pari. Infatti se G e abeliano allora e ciclico di ordine primo, se G none abeliano non puo avere ordine dispari perche se cosı fosse non potrebbe essere semplice (questoperche G′ sarebbe sottogruppo normale di G, G′ 6= G).

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Page 53: Appunti di Algebra I

Capitolo 8

Prodotto diretto di Gruppi

8.1 Definizione e Proprieta

Considerati due gruppi (A, ·), (B, ∗), nel prodotto cartesiano A × B = {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B} sipuo considerare l’operazione “◦” definita da:

(a, b) ◦ (c, d) = (a · b, b ∗ d) , ∀a, c ∈ A, ∀b, d ∈ B

Si verifica facilmente che questa operazione:

1. e associativa;

2. ammette elemento neutro: (1A, 1B);

3. ogni elemento ammette inverso: (a, b)−1 = (a−1, b−1).

Rispetto a questa operazione, A×B risulta dunque un gruppo detto prodotto diretto di A e B.Il gruppo A×B ha due sottogruppi “speciali”:

A = {(a, 1B)| ∀a ∈ A}

B = {(1A, b)| ∀b ∈ B}.

A risulta un sottogruppo di A×B isomorfo al gruppo A nell’isomorfismo:

φ = A 7−→ Aa 7−→ (a, 1B)

Allo stesso modo B risulta un sottogruppo di A×B isomorfo al gruppo B nell’isomorfismo:

ψ = B 7−→ Bb 7−→ (1A, b)

Inoltre A e B sono sottogruppi normali in A × B, e ogni elemento di A × B si puo scriverein modo univoco come prodotto di un elemento di A e uno di B: (a, b) = (a, 1B) ◦ (1A, b).

Questo legame di A e B con A×B, tenuto conto degli isomorfismi φ e ψ, porta alla seguente:

Definizione 8.1.1. Un gruppo G si dice prodotto diretto dei suoi sottogruppi A e B, e si scriveG = A×B se:

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Page 54: Appunti di Algebra I

Capitolo 8 - Prodotto diretto di Gruppi

1. A / G , B / G;

2. ogni elemento di G si scrive in uno ed un solo modo come prodotto di un elemento di Aper un elemento di B.

Quanto detto sino ad ora si generalizza al caso di un numero finito di sottogruppi e si puoquindi porre la seguente definizione:

Definizione 8.1.2. Un gruppo G si dice prodotto diretto dei suoi sottogruppi A1, A2, . . . , An, esi scrive G = A1 ×A2 × . . .×An, se:

1. Ai / G per ogni i = 1, 2, . . . , n.

2. Per ogni g ∈ G sono univocamente determinati gli elementi ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n, tali cheg = a1a2 . . . an.

Proposizione 8.1.3. Se G = A1 ×A2 × . . .×An si ha Ai ∩Aj =< 1 > per ogni i 6= j.

Dimostrazione. Se x ∈ Ai ∩ Aj con i 6= j e x 6= 1 si ha una contraddizione perche in tal caso xsi esprimerebbe in due modi diversi come prodotto degli elementi Ai, i = 1, . . . , n. L’elementox si puo infatti considerare prodotto di fattori tutti uguali a 1 tranne il fattore i-esimo, ugualea x. Ma x si puo anche considerare prodotto di fattori tutti uguali a 1 tranne il fattore j-esimouguale a x.

Proposizione 8.1.4. Se G = A1×A2× . . .×An, gli elementi di Ai commutano con gli elementidi Aj, comunque siano scelti i, j = 1, . . . , n, i 6= j.

Dimostrazione. Sia i 6= j e sia x ∈ Ai, y ∈ Aj . Essendo Ai e Aj normali in G, si ha y−1Aiy,x−1Ajx = Aj da cui y−1xy ∈ Ai, x−1y−1x ∈ Aj e pertanto poiche x−1 ∈ Ai e y ∈ Aj risultax−1y−1xy ∈ Ai e x−1y−1xy ∈ Aj . Poiche Ai ∩ Aj =< 1 >, deve essere x−1y−1xy = 1 cioexy = yx.

Proposizione 8.1.5. Sia G = A1×A2×. . .×An; comunque presi Ai1 , Ai2 , . . . , Aih ∈ {A1, A2, . . . , An},Ai1 ·Ai2 · . . . ·Aih e un sottogruppo di G.

Dimostrazione. Per la proposizione precedente si ha ArAs = AsAr per ogni r 6= s, inoltre eAiAi = Ai per ogni i, possiamo quindi considerare il prodotto Ai1 ·Ai2 · . . . ·Aih come il prodottodi k fattori a due a due distinti: Ar1 ·Ar2 · . . . ·Ark

. Da Ar1Ar2 = Ar2Ar1 segue che Ar1Ar2 e unsottogruppo di G, sia B1 = Ar1Ar2 . Risulta B1Ar3 = Ar3B1 e quindi B1Ar3 = Ar1Ar2Ar3 e unsottogruppo di G. Cosı procedendo si ha la tesi.

Proposizione 8.1.6. Sia G = A1 × A2 × . . . × An e siano 1 ≤ i1, i2, . . . , ih ≤ n. Si haAi1 ∩ (Ai2 ·Ai3 · . . . ·Aih) =< 1 >.

Dimostrazione. Sia ai1 ∈ Ai1 ∩ (Ai2 · Ai3 · . . . · Aih); poiche ai1 ∈ Ai1 esso si puo scrivere comeprodotto di n fattori uguali a 1 tranne il fattore i1-esimo uguale ad ai1 .

Per la commutativita dei fattori Ai possiamo scrivere Ai2 · . . . ·Aih = Aj2 ·Aj3 · . . . ·Ajh conj2 < j3 < . . . < jh. Da ai1 ∈ Ai2 ·Ai3 · . . . ·Aih ossia ai1 ∈ Aj2 ·Aj3 · . . . ·Ajh si puo scrivere ai1come prodotto di n fattori dei quali quello di posto jpsta in Ajp , p = 2, . . . , h, mentre tutti glialtri sono 1.

Poiche ai1si puo esprimere in un solo modo come prodotto di elementi di G = A1×A2× . . .×An, deve essere ai1 = 1.

49

Page 55: Appunti di Algebra I

Capitolo 8 - Prodotto diretto di Gruppi

Proposizione 8.1.7. Sia Gun gruppo e siano A1, . . . , An sottogruppi normali di G tali cheG = A1A2 . . . An e Ar ∩ (

∏i 6=r1≤i≤nAi) =< 1 > per ogni r.

Allora G e il prodotto diretto dei suoi sottogruppi A1, A2, . . . , An. G = A1 ×A2 × . . .×An.

Dimostrazione. Vedere Quattrocchi-Rinaldi pag. 86.

Dalle ultime due proposizioni segue il seguente teorema, di cui non forniamo la dimostrazione.

Teorema 8.1.8. Si ha G = A1 ×A2 × . . .×An se e solo se:

1. Ai / G, i = 1, 2, . . . , n;

2. G =∏

1≤i≤n

Ai;

3. Ar ∩ (i 6=r∏

1≤i≤n

Ai) =< 1 > per ogni r, 1 ≤ r ≤ n.

Per n = 2 il teorema diventa:

Teorema 8.1.9. G = A1 ×A2 se e solo se

1. A1 / G, A2 / G;

2. G = A1A2;

3. A1 ∩A2 =< 1 > .

Un esempio di gruppo prodotto diretto dei suoi sottogruppi e dato da un qualunque gruppoabeliano finito di ordine m quando m non e potenza di un numero primo.

Infatti sia m = pr11 pr22 · . . . · prn

n con n ≥ 2, ri > 0 e pi numeri primi distinti. Per il Teoremadi Sylow, per ogni pri

i esiste in G un sottogruppo Ai di ordine prii .

Si ha Ai / G per ogni i = 1, 2, . . . , n, inoltre vale la 3. del Teorema 8.1.8 perche gli ordinidei gruppi Ar e (

∏i 6=r1≤i≤nAi) sono primi tra loro; da questo segue che a1a2 . . . an = b1b2 . . . bn

con ai, bi ∈ Ai, i = 1, . . . , n. Ma questo implica ai = bi e percio il numero degli elementi diA1A2 . . . An e pr11 p

r22 . . . prn

n e quindi vale anche la 2. del Teorema 8.1.8.

50

Page 56: Appunti di Algebra I

Capitolo 9

Reticoli

Quella di reticolo e una struttura algebrica ottenuta a partire da una relazione d’ordine. Questastruttura puo essere ulteriormente arricchita fino a giungere alla struttura della algebra di Boo-le. La struttura di reticolo trova particolari applicazioni in logica matematica e in molti ramidell’informatica.

9.1 Relazione d’ordine

Definizione 9.1.1. Sia A un insieme e sia R ⊂ A × A una relazione in A. La relazione R edetta di ordine parziale se sono soddisfatte le seguenti proprieta:

1. (a, a) ∈ R per ogni a ∈ A (prop. riflessiva);

2. se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R allora a = b (prop. antisimmetrica);

3. se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R allora (a, c) ∈ R (prop. transitiva).

Di norma una realzione R di ordine parziale si indica con “≤” e pertanto la scrittura delleproprieta precedenti diventa:

1. a ≤ a per ogni a ∈ A;

2. a ≤ b, b ≤ a⇒ a = b;

3. a ≤ b, b ≤ c⇒ a ≤ c.

Si dice che A e un insieme parzialmente ordinato se in A e definita una relazione “≤” di ordineparziale e in tal modo si scrive (A,≤).

Esempio 9.1.2.

1. (N,≤) e in insieme parzialmente ordinato rispetto alla relazione cosı definita: “a ≤ b seb− a ∈ N”. Questa relazione e detta ordinamento naturale;

2. N∗ = N \ {0}, (N∗,≤) e un insieme parzialmente ordinato rispetto alla relazione “a ≤ b sea | b” (relazione di divisibilita);

3. Z∗ = Z \ {0}, (Z∗,≤) non e un insieme parzialmente ordinato rispetto la relazione “a ≤ bse a | b” perche non vale la prorpieta antisimmetrica (−1 | 1, 1 | −1, 1 6= −1).

51

Page 57: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

Definizione 9.1.3. Una relazione “≤” definita nell’insieme A si dice di ordine totale se:

1. e una relazione di ordine parziale;

2. per ogni a, b ∈ A si ha a ≤ b oppure b ≤ a.

Si dice che (A,≤) e un insieme totalmente ordinato se “≤” e una relazione di ordine totale in A.

Ancora qualche definizione:

Definizione 9.1.4. Sia (A,≤) un insieme parzialmente ordinato e sia B ⊆ A, B 6= ∅. Sidefinisce supB (estremo superiore di B in A) ogni elemento v ∈ A tale che :

1. b ≤ v per ogni b ∈ B;

2. se x ∈ A e b ≤ x per ogni b ∈ B allora e v ≤ x.

Se esiste v = supB e si ha v ∈ B allora v si chiama massimo di B.Si definisce inf B (estremo inferiore di B in A) ogni elemento u ∈ A tale che:

1. u ≤ b per ogni b ∈ B;

2. se x ∈ A e x ≤ b per ogni b ∈ B allora x ≤ u.

Se esiste u = inf B e si ha u ∈ B allora u si chiama minimo di B.

Esempio 9.1.5. Sia (R,≤) l’insieme dei numeri reali e “≤” l’ordinamento naturale, sia B ⊆ Rl’insieme B = {x | x ∈ Q∗, x2 ≤ 2}. L’insieme B ha estremo superiore supB =

√2 ma non ha

massimo. L’insieme B ha estremo inferiore inf B = 0 ed ha minimo 0.

9.2 Reticoli

Definizione 9.2.1. Un insieme parzialmente ordinato (A,≤) e detto reticolo se ogni sottoinsiemedi A formato da due elementi ammette in A sia estremo superiore che estremo inferiore.

Si osservi che se x, y sono confrontabili esiete sempre inf(x, y) e sup(x, y). Precisamente sex ≤ y si ha inf(x, y) = x e sup(x, y) = y.

Esempio 9.2.2. I seguenti insiemi parzialmente ordinati sono reticoli:

1. (N∗,≤), a ≤ b se a | b;

2. (S,≤), S = {s | s = ∅ oppure s punto o retta di un piano affine π, oppure s =π}={sottospazi di un piano affine π}, a ≤ b se a e sottospazio di b;

3. (P(I),≤) , P(I) insieme delle parti dell’insieme I, A ≤ B se A ⊆ B;

4. (S(G),≤), S(G) e l’insieme di tutti i sottogruppi del gruppo G, H ≤ K se H ⊆ K;

5. (D(n),≤), D(n) insieme dei divisori di un fissato numero naturale n 6= 0,x ≤ y se x | y,inoltre inf{x, y} = MCD(x, y) e sup{x, y} = mcm(x, y).

52

Page 58: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

Proposizione 9.2.3. Sia (L,≤) un reticolo. Se B ⊆ L, B 6= ∅, B finito, allora B ha in L siaestremo superiore che estremo inferiore.

Dimostrazione. Il risultato e vero per ogni B tale che |B| = 1 o |B| = 2. Procediamo perinduzione: supponiamo vero il risultato per ogni B, |B| = n, e proviamo che vale per ogni H,tale che |H| = n+1. SiaH = {a1, . . . , an+1}; siano v = sup{a1, . . . , an} e u = {a1, . . . , an}, alloraesistono in L il sup{v, an+1} e inf{u, an+1} e questi sono rispettivamente supH e infH.

Corollario 9.2.4. Ogni reticolo finito ammette massimo e minimo.

I reticoli si possono caratterizzare mediante opportune operazioni interne al reticolo. Conquesta caratterizzazione si mette in luce l’aspetto di struttura algebrica del reticolo.

Teorema 9.2.5. Sia (L,≤) un reticolo. Si considerino in L le seguenti due operazioni detterispettivamente unione e intersezione. Per ogni a, b ∈ L si definisce:

• a ∪ b = sup{a, b}

• a ∩ b = inf{a, b}

Le operazioni sopra definite soddisfano le seguenti proprieta di immediata verifica:(1) a ∪ a = a (1’) a ∩ a = a(2) a ∪ b = b ∪ a (2’) a ∩ b = b ∩ a(3) a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c (3’) a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c(4) a ∪ (a ∩ b) = a (4’) a ∩ (a ∪ b) = a

Prop. di idempotenzaProp. commutativaProp. associativaProp. di assolvimento

Teorema 9.2.6. Sia L un insieme non vuoto con due operazioni “∪” e “∩” tali che per ognia, b, c ∈ L risulta:

(1) a ∪ a = a (1’) a ∩ a = a(2) a ∪ b = b ∪ a (2’) a ∩ b = b ∩ a(3) a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c (3’) a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c(4) a ∪ (a ∩ b) = a (4’) a ∩ (a ∪ b) = a

Il L rimane definita una relazione “≤” tale che (L,≤) e un reticolo.

Dimostrazione. Definiamo in Lla seguente relazione a ≤ b se a ∩ b = a. Osserviamo che daa ∩ b = a si trae a ∪ b = (a ∩ b) ∪ b = b e viceversa da a ∪ b = b si ha a ∩ b = a ∩ (a ∪ b) = a;dunque si ha a ≤ b e e solo se a ∪ b = b. Inoltre

• a ≤ a poiche a ∩ a = a;

• a ≤ b, b ≤ b⇒ a = b poiche a ∩ b = a, b ∩ a = b⇒ a = b;

• a ≤ b, b ≤ c⇒ a ≤ c poiche a∩b = a e b∩c = b⇒ a∩c = (a∩b)∩c = a∩(b∩c) = a∩b = a.

Quindi (L,≤) e un insieme parzialmente ordinato. Inoltre, e a∪b = sup{a, b} infatti da a∪(a∪b) =a ∪ b segue a ≤ a ∪ b e da b ∩ (a ∪ b) = b segue b ≤ a ∪ b; da a, b ≤ x segue a ∪ x = x, b ∪ x = xe quindi (a ∪ b) ∪ x = a ∪ (b ∪ x) = a ∪ x = x cioe a ∪ b ≤ x. Analogamente si prova che ea ∩ b = inf{a, b}.

La caratterizzazione fornita dai teoremi 9.2.5 e 9.2.6 permette di definire il reticolo anche nelseguente modo:

53

Page 59: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

Definizione 9.2.7. Sia L un insieme non vuoto e siano “∪” e “∩” due operazioni in L. Lastruttura (L,∪,∩) e detta reticolo se per ogni a, b, c ∈ L si ha:

(1) a ∪ a = a (1’) a ∩ a = a(2) a ∪ b = b ∪ a (2’) a ∩ b = b ∩ a(3) a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c (3’) a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c(4) a ∪ (a ∩ b) = a (4’) a ∩ (a ∪ b) = a

Nota 9.2.8.

• Gli assiomi della definizione 9.2.7 non sono indipendenti perche 1) e 1’) sono conseguenzedi 4) e 4’); infatti a ∪ a = a ∪ [a ∩ (a ∪ b)] = a, a ∩ a = a ∩ [a ∪ (a ∩ b)] = a. Si e comunquesolito riportare la definizione di reticolo come sopra per ragioni storiche.

• Le operazioni di ∩ e ∪ di un reticolo L non sono da confondersi con le operazioni di unionee intersezione insiemistica.

9.2.1 Legge di dualita

Definizione 9.2.9. Considerata la definizione di reticolo (L,∪,∩), se in essa si scambiano isimboli di ∪ e ∩ gli assiomi che vi figurano non cambiano. Questo comporta che se in un reticolovale la proprieta P allora nel reticolo vale anche la proprieta duale P d ossia la proprieta che siottine da P scambiando i simboli di ∪ e ∩.

9.3 Sottoreticoli

Come tutte le altre strutture algebriche, anche per il reticolo si puo definire la nozione disottoreticolo.

Definizione 9.3.1. Se (L,∪,∩) e un reticolo e L′ ⊆ L, L′ 6= ∅, allora L′ e un sottoreticolo diL se e solo se a ∪ b ∈ L′ e a ∩ b ∈ L′ per ogni a, b ∈ L′.

Esempio 9.3.2. D(60) = L sia l’insieme dei numeri naturali divisori di 60, sia a∩b = MCD(a, b)e a ∪ b = mcm(a, b) per ogni a, b ∈ L. (L,∪,∩) e un reticolo.

• Sia L′ = {1, 3, 5, 20}; L′ non e un sottoreticolo di L perche 3 ∪ 5 /∈ L′.

• Sia L′′ = {1, 2, 3, 6}; L′′ e un sottoreticolo di L.

Definizione 9.3.3. Siano (L,∪,∩) e (L′,∪,∩) due reticoli e sia ϕ un’applicazione di L in L′; ϕe detta omomorfismo se per ogni a, b ∈ L si ha ϕ(a ∪ b) = ϕ(a) ∪ ϕ(b) e ϕ(a ∩ b) = ϕ(a) ∩ ϕ(b).L’omomorfismo ϕ si dice monomorfismo, epimorfismo, isonorfismo a seconda che l’applicazioneϕ sia rispettivamente iniettiva, suriettiva, biettiva.

9.4 Diagramma di un reticolo finito (diagramma di Hasse)

Sia (L,∪,∩) un reticolo finito; poiche si puo definire in L una relazione ≤ di ordine parziale,la struttura del reticolo puo essere descritto mediante un diagramma. Gli elementi di L sirappresentano come punti del piano cartesiano con le seguenti convenzioni:

54

Page 60: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

• se x ≤ y, scegliamo l’ordinata di x minore di quella di y

• se x ≤ y e non esiste z tale che x ≤ z ≤ y, x 6= y, x 6= z, y 6= z, allora si collega x con ymediante un segmento.

Nota. Due reticoli finiti sono rappresentabili con lo stesso diagramma se e solo se sono isomorfi

Esempio 9.4.1.

• P (I) insieme delle parti di I = {1, 2, 3} e un reticolo rispetto alla relazione di inclusione esi visualizza con il seguente diagramma:

��������{1,2,3}

????

????

����

����

��������{1,2}

????

????

��������{1,3}

????

????

����

����

��������{2,3}

����

����

��������{1}

????

????

��������{2}

��������{3}

����

����

��������∅

• Sia I = {a, b, c, d} ordinato come segue: a ≤ b, a ≤ c, a ≤ d, b ≤ d, c ≤ d, b e c nonconfrontabili. (I,≤) e un reticolo rappresentato con il diagramma:

��������d

����

����

????

????

��������b

????

????

�������� c

����

����

��������a

• L’insieme D (42) dei divisori di 42 ordinato con la relazione x ≤ y se x | y e un reticolorappresentabile dal seguente diagramma.

��������42

????

????

����

����

��������14

????

????

��������6

????

????

����

����

��������21

����

����

��������2

????

????

��������7

��������3

����

����

��������1

• Il diagramma seguente non rappresenta un reticolo perche non e univocamente definitoinf {2, 3}, che potrebbe essere sia 4 che 5.

55

Page 61: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������1

����

����

????

????

��������2

OOOOOOOOOOOOO ��������3

ooooooooooooo

��������4

????

????

��������5

����

����

��������6

• Per capire se un diagramma rappresenta un reticolo occorre stabilire se esistono il sup el’inf degli insiemi formati da due elementi non collegati direttamente, perche se gli elementisono collegati il supe quello con ordinata maggiore e l’inf e quello con ordinata minore.

• Il diagramma non rappresenta un reticolo perche non esiste inf {b, c}��������a

����

����

????

????

��������b

��������c

• Il diagramma rappresenta un reticolo perche gli unici elementi non collegati direttamentesono 3 e 4 ma sup {3, 4} = 2 e inf {3, 4} = 5

��������1

��������2

��������3

�������� ��������4????????

��������5

��������

????????

• Il diagramma rappresenta un reticolo. Gli elementi non collegati sono {2, 3}, {3, 4} e risultasup {2, 3} = sup {3, 4} = 1, inf {2, 3} = inf {3, 4} = 5

��������1

????

????

����

����

��������2 ��������3

�������������

��������4

????

????

��������5

• Sia L il reticolo delle parti di A = {x, y}; sia D (15) il reticolo dei divisori di 15 cona ∪ b = mcm (a, b) e a ∩ b = MCD (a, b). Dimostrare che i due reticoli sono isomorfi.

56

Page 62: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������A

����

����

????

????

��������x

????

????

��������y

����

����

��������∅

��������15

����

����

????

????

��������5

????

????

��������3

����

����

��������1

• Dati i due reticoli sopra, questi sono isomorfi perche hanno lo stesso diagramma. L’isomor-fismo non e unico; sono infatti isomorfismi ϕ e ψ con:

ϕ : A→ 15 {x} → 3 {y} → 5 ∅ → 1

ψ : A→ 15 {x} → 5 {y} → 3 ∅ → 1

• Sia L il reticolo delle parti di A = {1, 2, 3} e sia D (30) il reticolo dei divisori di 30 rispettole usuali relazioni. Dimostrare che i due reticoli sono isomorfi.

Soluzione. I reticoli sono isomorfi perche sono rappresentati da diagrammi uguali.

��������30

????

????

����

����

��������15

????

????

��������10

????

????

����

����

��������6

����

����

��������5

????

????

��������3

��������2

����

����

��������1

��������{1,2,3}

????

????

����

����

��������{1,2}

????

????

��������{1,3}

????

????

����

����

��������{2,3}

����

����

��������{1}

????

????

��������{2}

��������{3}

����

����

��������∅

• Sia f un omomorfismo non biiettivo fra due reticoli. Dimostrare che se a ≤ b alloraf (a) ≤ f (b) ma non vale il viceversa.

Soluzione. Ricordiamo che a ≤ b se a ∩ b = a. Se a ≤ b risulta f (a ∩ b) = f (a) e per leproprieta dell’omomorfismo f (a ∩ b) = f (a)∩ f (b); pertanto f (a)∩ f (b) = f (a) e quindif (a) ≤ f (b).Dimostriamo che non vale il viceversa portando un controesempio:

��������1

����

����

????

????

��������2

????

????

��������3

����

����

��������4

f

)) ��������a

��������b

f : 1 → a 2 → a 3 → b 4 → b f cosı definita e un omomorfismo, risulta f (2) ≤ f (3) manon e 2 ≤ 3.

Definizione 9.4.2. Siano (L,∪,∩) e (L′,∪,∩) due reticoli; se esiste una applicazione ϕ biiettivadi L in L′ tale che ϕ (a ∩ b) = ϕ (a)∪ϕ (b) e ϕ (a ∪ b) = ϕ (a)∩ϕ (b) per ogni a, b ∈ L allora ϕ edetta antisomorfismo (o isomorfismo inverso) e i reticoli L e L′ sono detti antisomorfi.

57

Page 63: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

Esempio 9.4.3.

• I reticoli aventi i seguenti due diagrammi sono antisomorfi.��������1

��������2

����

����

????

????

��������3

????

????

��������4

����

����

��������5

��������5

����

����

????

????

��������3

????

????

��������4

����

����

��������2

��������1

• I due reticoli aventi i seguenti due diagrammi sono sia isomorfi sia antisomorfi.��������??

????

??

����

����

��������??

????

??

����

����

����������

����

��

��������??

????

??��������

����

����

��������

��������??

????

??

����

����

��������??

????

??

����

����

����������

����

��

��������??

????

??��������

����

����

��������

9.5 Reticoli modulari e reticoli distributivi

Definizione 9.5.1. Un reticolo (L,∪,∩) e detto modulare se per ogni a, b, c ∈ L con b ≤ arisulta a ∩ (b ∪ c) = b ∪ (a ∩ c).

Nota 9.5.2.

1. Se (L,∪,∩) e un reticolo modulare allora lo e anche ogni suo sottoreticolo (L′,∪,∩). Infattil’unione e l’intersezione di elementi in L′ coincidono con l’unione e l’intersezione degli stessielementi in L.

2. Poiche b ≤ a implica a ∩ b = b, si ha che un reticolo e modulare se e solo se per ogniterna (a, b, c) di suoi elementi con b ≤ a vale la proprieta distributiva dell’intersezionerispetto all’unione: a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c). Questa proprieta evidenzia che il ruolodegli elementi b e c risulta interscambiabile e pertanto se c ≤ a allora risulta a ∩ (b ∪ c) =(a ∩ b) ∪ (a ∩ c).

3. L’osservazione 2 permette di affermare che un reticolo e modulare se e solo se per ogniterna di suoi elementi (a, b, c) con a ≤ b risulta a∪ (b ∩ c) = b∩ (a ∪ c) o equivalentementese e solo se per ogni terna di suoi elementi (a, b, c) con a ≤ c risulta a∪ (b ∩ c) = c∩ (a ∪ b).

4. Sia I il reticolo (detto reticolo pentagonale) rappresentato dal seguente diagramma diHasse:

58

Page 64: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������d

ooooooooooooo

????

????

????

????

��������c

��������e

����

����

����

����

��������b

OOOOOOOOOOOOO

��������a

Risulta b∪ (e ∩ c) = b∪ a = b, (b ∪ e)∩ c = d∩ c = c e pertanto il reticolo non e modulare.

Proposizione 9.5.3. Un reticolo e modulare se e solo se e privo di sottogruppi pentagonali.

Esempio 9.5.4.

• Il reticolo P (I) delle parti di un insieme e modulare.

• Il reticolo D(n) dei divisori di n ∈ N∗ e modulare.

• Il reticolo dei sottospazi di un piano proiettivo π e modulare.

• Il reticolo dei sottospazi di un piano affine π∗ non e modulare.

• Il reticolo formato dai sottogruppi normali di un gruppo e modulare. Siano H,K, J tresottogruppi normali del gruppo G con H ≤ J (e dunque H ⊆ J), si ha:

1. H ∪ (K ∩ J) ≤ (H ∪K) ∩ J . Infatti se x ∈ H ∪ (K ∩ J) si ha x = hy con h ∈ H,y ∈ K, y ∈ J . Poiche H ⊆ J , x ∈ J e poiche x = hy ∈ H∪K, risulta x ∈ (H ∪K)∩J .

2. (H ∪K) ∩ J ≤ H ∪ (K ∩ J). Infatti se x ∈ (H ∪K) ∩ J si ha x ∈ J e x = hk conh ∈ H e k ∈ K. Si ricava k = h−1x e dunque k ∈ J perche h−1 ∈ H e per ipotesiH ⊆ J . Pertanto x = hk con h ∈ H e k ∈ K ∩ J ossia x ∈ H ∪ (K ∩ J).

• Da 1 e 2 segue H ∪ (K ∩ J) = (H ∪K) ∩ J e percio il reticolo considerato e modulare. Sinoti che l’esempio ora riportato assicura che se G e un gruppo abeliano allora il reticolodei suoi sottogruppi e modulare.

Definizione 9.5.5. Un reticolo (L,∪,∩) e detto distributivo se per ogni a, b, c ∈ L vale laproprieta distributiva dell’unione rispetto all’intersezione (o equivalentemente per il principio didualita dell’intersezione rispetto all’unione). In simboli:

1. a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c)

2. a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)

Nota 9.5.6. Se (L,∪,∩) e un reticolo distributivo allora lo e anche ogni suo sottoreticolo.

Esempio 9.5.7.

59

Page 65: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

• Ogni insieme totalmente ordinato e un reticolo distributivo

• Il reticolo P (I) delle parti di un insieme e un reticolo distributivo

• Il reticolo dei sottospazi di un piano proiettivo πnon e distributivo

Proposizione 9.5.8. Se (L,∪,∩) e un reticolo distributivo allora (L,∪,∩) e un reticolo modu-lare. Non vale il viceversa.

Dimostrazione. Sia L distributivo, se a, b, c ∈ L con b ≤ a allora la 1. della definizione di reticolodistributivo assicura che b ∪ (a ∩ c) = (b ∪ a) ∩ (b ∪ c) = a ∩ (b ∪ c) e pertanto L e modulare. Ilviceversa non vale, ad esempio il reticolo rappresentato dal seguente diagramma e modulare manon distributivo. ��������

����

����

????

????

��������??

????

??�������� ��������

����

����

��������

Nota 9.5.9. Il reticolo rappresentato dal diagramma��������c

����

����

????

????

��������b

????

????

��������e ��������d

����

����

��������a

e detto reticolo trirettangolo perche e il reticolo dei sottogruppi del gruppo trirettango-lo (o gruppo quadrinomio o gruppo di Klein). Questo reticolo e modulare perche il gruppotrirettangolo e abeliano, ma non e distributivo;

Proposizione 9.5.10. Un reticolo (L,∪,∩) e distributivo se e solo se esso non contiene sotto-reticoli isomorfi al reticolo pentagonale o al reticolo trirettangolo.

9.6 Catene. Decomposizione per ∪ e ∩Definizione 9.6.1. Sia L un reticolo e siano a, b ∈ L: scriviamo a ≥ b se e solo se e b ≤ a; se ea ≥ b diciamo catena finita di estremi a e b ogni insieme finito {a1, a2, . . . , an} di elementi di Ltali che a = a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an = b.

Definizione 9.6.2. Sia L un reticolo e siano a, b ∈ L; diciamo che a copre b e scriviamo a ` bse a ≥ b, a 6= b e se x ∈ L, a ≥ x ≥ b⇒ x = a oppure x = b.

Definizione 9.6.3. Diciamo che una catena a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an di elementi di un reticolo emassimale se a1 ` a2 ` . . . ` an.

Esempio 9.6.4. Il reticolo pentagonale e tale che la catena a ≥ b ≥ c ≥ d e la catena a ≥ e ≥ dsono massimali, mentre la catena a ≥ b ≥ d non lo e.

60

Page 66: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������d

ooooooooooooo

????

????

????

????

��������c

��������e

����

����

����

����

��������b

OOOOOOOOOOOOO

��������a

L’esempio ora dato e quello di un reticolo avente due catene massimali con gli stessi estremied un diverso numero di elementi. Dimostreremo ora che nei reticoli modulari questo non puosuccedere perche in essi vale il seguente teorema.

Teorema 9.6.5 (Condizione di Jordan-Dedekind per reticoli modulari). In un reticolo modularedue catene massimali finite aventi gli stessi estremi hanno lo stesso numero di elementi.

Cominciamo con il dimostrare i seguenti lemmi:

Lemma 9.6.6. Sia (L,∩,∪) un reticolo e siano a, b, c, d ∈ L; se a ` c e b ` c allora e a∩ b = coppure a = b.

Dimostrazione. Si ha a ≥ a ∩ b ≥ c e b ≥ a ∩ b ≥ c e poiche a copre c e b copre c si ha a ∩ b = coppure a ∩ b = a e a ∩ b = b cioe a = b.

Lemma 9.6.7. Sia (L,∩,∪) un reticolo modulare e siano a, b ∈ L; si ha b ` a ∩ b⇔ a ∪ b ` a.

Dimostrazione. Basta provare che b ` a ∩ b⇒ a ∪ b ` a in quanto il viceversa segue per dualita.Si ha a ∪ b 6= a; infatti se fosse a ∪ b = a avremmo a ≥ b e dunque a ∩ b = b contro l’ipotesi

b ` a ∩ b. Proviamo ora che da a ∪ b ≥ x ≥ a segue x = a ∪ b oppure x = a. Infatti sia

a ∪ b ≥ x ≥ a (9.1)

intersecando poi con b si ha b ≥ x ∪ b ≥ a ∩ b e poiche b ` a ∩ b segue

x ∩ b = b oppure x ∩ b = a ∩ b (9.2)

Inoltre, essendo L modulare e a ≥ x si ha x ∩ (a ∪ b) = a ∪ (x ∩ b) ed essendo per la 9.1x ∩ (a ∪ b) = x abbiamo x = a ∪ (x ∩ b) e, tenendo conto della 9.2, x = a ∪ b oppure x = a.

Possiamo quindi passare alla dimostrazione del teorema 9.6.5.

Dimostrazione. Sia L un reticolo modulare e siano C 1 e C 2 due catene finite massimali dielementi di L aventi gli stessi estremi; siano n gli elementi di C1 e mgli elementi di C2; supponiamon ≤ m; dimostreremo che e n = m.

Procediamo per induzione su n. Se n = 2 il risultato e banalmente verificato. Supponiamoche il risultato sia vero per n = h− 1 e proviamo che e vero anche quando n = h.

61

Page 67: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������a1=b1

��

��

��

��

??

??

??

??

��������ch−2

ooooooooooooo

OOOOOOOOOOOOO

��������ah−1

OOOOOOOOOOOOO ��������bh−1

ooooooooooooo

��������ah=bh

Siano a1 ` a2 ` . . . ` ah e a1 = b1 ` b2 ` . . . ` bk = ah con h ≤ k e proviamo che e h = k. Se ebk−1 = ah−1 si ha h−1 = k−1 vero per l’ipotesi induttiva e quindi h = k. Se e invece bk−1 6= ah−1

allora essendo ah−1 ` ah = bk e bk−1 ` bk = ah, dal lemma 9.6.6 segue ah−1 ∩ bk−1 = ah = bk.Quindi, poiche L e modulare, posto ch−2 = ah−1 ∪ bk−1, per il lemma 9.6.7 si ha ch−2 ` ah−1ech−2 ` bk−1. Se e ch−2 = ah−2 le catene massimali b1 = a1 ` a2 ` . . . ` ah−2 = ch−2 ` bk−1 eb1 ` b2 ` . . . ` bk−1hanno gli stessi estremi e per l’ipotesi d’induzione hanno lo stesso numerodi elementi cioe h − 1 = k − 1 e dunque h = k. Se e invece ch−2 6= ah−2, da questa e dallech−2 ` ah−1 e ah−2 ` ah−1 segue, per il lemma 9.6.6, ah−2 ∩ ch−2 = ah−1.

Poniamo ch−2 = ah−2 ∪ ch−2; per il lemma 9.6.7 si ha ch−3 ` ch−2 e ch−3 ` ah−2 . . . Cosıprocedendo o troveremo un indice i, 1 < i < h − 1, tale che ch−i = ah−i e quindi le duecatene a1 ` . . . ` ah−i = ch−i ` . . . ` ch−2 ` bk−1 e a1 = b1 ` b2 ` . . . ` bk−1 hanno, perl’ipotesi d’induzione, lo stesso numero di elementi h− 1 = k − 1 e dunque risulta h = k oppuree ch−i 6= ah−i per ogni i con 1 < i < h− 1. In questo ultimo caso, risulta a2 ∩ c2 = a3, c2 ` a3

e a2 ` a3; posto c1 = a2 ∪ c2 per il lemma 9.6.7 si ha c1 ` c2 e c1 ` a2. Ma da c1 = a2 ∪ c2,c2 = a3 ∪ c3, . . . , ch−2 = ah−1 ∪ bk−1 segue a1 ∪ c1 = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ ah−1 ∪ bk−1 = a1 equindi a1 ≥ c1 ` a2 e poiche a1 ` a2 ne segue a1 = c1. Abbiamo allora le catene massimalia1 = c1 ` c2 ` . . . ` ch−2 ` bk−1 e a1 = b1 ` b2 ` . . . ` bk−1 e, sempre per l’ipotesi induttiva, siha h− 1 = k − 1 e quindi h = k.

Corollario 9.6.8. In ogni reticolo modulare vale la condizione di Jordan-Dedekind, ma non evero il viceversa.

Dimostrazione. Se un reticolo e modulare il teorema 9.6.5 assicura che in esso valga la condi-zione di Jordan-Dedekind. Il viceversa non vale, perche il reticolo rappresentato dal diagrammaseguente soddisfa la condizione pur non essendo modulare.��������

����

����

????

????

�������� ����������������

????

????

����������

����

��

��������

Definizione 9.6.9. Sia L un reticolo. Un elemento a ∈ L e detto irriducibile per intersezione(rispettivamente per unione) se non e possibile esprimere a come intersezione (risp. unione) diun numero finito di elementi di L tutti distinti da a. Un elemento a ∈ L e detto riducibile perintersezione (risp. per unione) se esistono a1, a2, . . . , an ∈ L tali che ai 6= a per i = 1, 2, . . . , n ea = a1 ∩ a2 ∩ . . . ∩ an (risp a = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ an)

62

Page 68: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

Esempio 9.6.10. Ecco alcuni esempi:

1. Nel reticolo dei sottospazi di un piano affine ogni retta e riducibile per unione ma non perintersezione; ogni punto e riducibile per intersezione ma non per unione.

2. Nel reticolo (N∗,∪,∩) con a ∪ b = m.c.m.(a, b) e a ∩ b = M.C.D.(a, b), ogni n ∈ N∗ eriducibile per ∩ mentre esistono interi riducibili e interi irriducibili per unione.

Definizione 9.6.11. Sia L un reticolo e siano a, a1, . . . , an ∈ L tali che:(1) a = a1 ∩ a2 ∩ . . . ∩ an (risp. (2) a = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ an)Diremo che la (1) (risp. la (2)) e una decomposizione irriducibile per intersezione (risp. per

unione) dell’elemento a se si ha:

1. ai e irriducibile per intersezione (risp. per unione) per ogni i, con 1 ≤ i ≤ n;

2. non e possibile cancellare nella (1) (risp. nella (2)) alcun elemento ai (1 ≤ i ≤ n) senzaledere l’eguaglianza.

Dimostriamo ora il seguente

Lemma 9.6.12. Sia L un reticolo modulare e siano a, b, c1, c2, . . . , cn ∈ L tali che b ≤ ci ≤ a∪ bper i = 1, 2, . . . , n.

Si ha allora: a ∩ (c1 ∪ c2 ∪ . . . ∪ cn) = (a ∩ c1) ∪ . . . ∪ (a ∩ cn).

Dimostrazione. Procediamo per induzione:Se n = 2 da b ≤ c1 e dalla modularita di L segue b ∪ (a ∩ c1) = (b ∪ a) ∩ c1 = c1e quindi

b∪ (a∩c1)∪ (a∩c2) = c1∪ (a∩c2). Analogamente (scambiando c1 con c2) b∪ (a∩c2)∪ (a∩c1) =c2 ∪ (a ∩ c1) cioe c1 ∪ (a ∩ c2) = c2 ∪ (a ∩ c1), unendo con c2 otteniamo c1 ∪ c2 = c2 ∪ (a ∩ c1).Intersecando con a e sfruttando la modularita di L: a ∩ (c1 ∪ c2) = (a ∩ c2) ∪ (a ∩ c1).

Supponiamo ora vero il risultato per n = h− 1 e proviamo che esso e vero anche per n = h.Si ha a∩ (c1∩ . . .∩ ch) = a∩ [(c1∪ . . .∪ ch−1)∪ ch] con b ≤ c1∪ . . .∪ ch−1 ≤ a∪ b e b ≤ ch ≤ a∪ b;per il passo iniziale si ha allora a∩ (c1 ∪ . . .∪ ch) = [a∩ (c1 ∪ . . .∪ ch−1)]∪ (a∩ ch) e, per l’ipotesiinduttiva: a ∩ (c1 ∪ . . . ∪ ch) = (a ∩ c1) ∪ . . . ∪ (a ∩ ch−1) ∪ (a ∩ ch).

Possiamo ora provare il seguente:

Teorema 9.6.13. In un reticolo modulare due decomposizioni irriducibili per unione (risp. perintersezione) di uno stesso elemento hanno lo stesso numero di componenti.

Dimostrazione. Sia L un reticolo modulare e sia a ∈ L. Supponiamo che esistano decomposizioniirriducibili per unione di a e sia a = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ an una di quelle aventi il minimo numero dicomponenti; sia a = a′1 ∪ a′2 ∪ . . .∪ a′m un’altra decomposizione irriducibile per unione di a; si ham ≥ n; proveremo che e m = n.

Poniamo b1 = a2 ∪ . . . ∪ an e ci = b1 ∪ a′i (i = 1, 2, . . . ,m). Si ha a = a1 ∪ b1 e b1 ≤ ci ≤ a =a1 ∪ b1 (infatti e a′i ≤ a, b1 ≤ a e quindi ci = b1 ∪ a′i ≤ a). Per il lemma 9.6.12 abbiamo alloraa1∩(c1∪c2∪ . . .∪cm) = (a1∩c1)∪ . . .∪(a1∩cm). Ma e a1∩(c1∪c2∪ . . .∪cm) = a1∩(b1∪a) = a1

e quindi a1 = (a1 ∩ c1) ∪ . . . ∪ (a1 ∩ cm).Poiche a1e irriducibile per unione esiste j tale che a1 = a1 ∩ cj unendo con b1 otteniamo

a = b1∪(a1∩cj) e poiche b1 ≤ cj ed L e modulare si ha a = b1∪(a1∩cj) = (b1∪a1)∩cj = a∩cj = cjsi ha cosı a = b ∪ a′j = a′j ∪ a2 ∪ . . . ∪ an.

Gli elementi a′j , a2, . . . , an sono tutti irriducibili per unione e per l’ipotesi di minimo di nla decomposizione a = a′j ∪ a2 ∪ . . . ∪ an e irrudicibile per unione. Ripetendo a partire daquesta decomposizione il ragionamento precedentemente fatto arriveremo a sostituire a2 con

63

Page 69: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

un altro elemento a′h della decomposizione a = a′1 ∪ a′2 ∪ . . . ∪ a′m; cosı procedendo otteniamouna decomposizione di a nell’unione di n elementi degli a′1, a

′2, . . . , a

′m; allora, perche la a =

a′1 ∪ a′2 ∪ . . . ∪ a′m sia irriducibile deve essere m = n.Per dualita si ha poi che due decomposizioni irriducibili per intersezione di uno stesso elemento

hanno lo stesso numero di componenti.

Teorema 9.6.14. In un reticolo distributivo ogni elemento ammette al piu una decomposizioneirriducibile per unione (risp. per intersezione).

Dimostrazione. Sia L un reticolo distributivo e sia a ∈ L; se esistono due decomposizioni ir-riducibili per unione di a esse hanno, per il teorema 9.6.13, lo stesso numero di componen-ti: si ha cioe a = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ a2 a = a′1 ∪ a′2 ∪ . . . ∪ a′n. Poiche L e distributivo si haa1 = a1 ∩a = a1 ∩ (a′1 ∪ . . .∪a′n) = (a1 ∩a′1)∪ . . .∪ (a1 ∩a′n) e poiche a1 e irriducibile per unioneesiste un indice i, 1 ≤ i ≤ n, tale che a1 = a1∩a′i cioe e a1 ≤ a′i; analogamente si prova che esisteh, 1 ≤ h ≤ n, tale che a′i ≤ ah e dunque e a1 ≤ ah; dalla ipotesi di irriducibilita segue 1 = h edunque a1 ≤ a′i ≤ a1 cioe a1 = a′i. Abbiamo provato cosı che a1 coincide con un elemento dellaseconda decomposizione; analogamente ogni componente della prima decomposizione coincidecon un componente della seconda e il teorema risulta dimostrato.

Per dualita si ottiene che due decomposizioni irriducibile per intersezione di uno stessoelemento hanno le stesse componenti.

Esempio 9.6.15. Ecco alcuni esempi:

1. Nel reticolo dei sottospazi di un piano proiettivo π si ha:

• Ogni decomposizione irriducibile per unione di π e costituita da tre punti non allineati;

• Ogni decomposizione irriducibile di una retta e costituita da due punti distinti.

2. Nel reticolo (N∗,∪,∩) con a ∪ b = m.c.m.(a, b) e a ∩ b = M.C.D.(a, b), un elemento eirriducibile per unione se e solo se e la potenza di un numero primo.

Il teorema 9.6.14 assicura il noto

Teorema 9.6.16. Teorema della fattorizzazione unica. Ogni intero n ≥ 2 si scrive in uno ed unsolo modo come prodotto di potenze di numeri primi distinti.

9.7 Reticoli complementati e Algebra di Boole

Definizione 9.7.1. Sia (L,∪,∩) un reticolo. Se esiste un elemento 0 ∈ L tale che a ∪ b =a, ∀a ∈ L, allora l’elemento 0 e detto zero del reticolo (o elemento neutro rispetto all’unione).Se esiste un elemento 1 ∈ L tale 1 ∩ a = a, ∀a ∈ L allora l’elemento 1 e detto unita del reticolo(o elemento neutro rispetto all’intersezione).

Nota 9.7.2. Alcune osservazioni:

1. Ricordando che in ogni reticolo si puo definire una relazione di ordine parziale (a ≤ b sea ∩ b = a o, equivalentemente, a ∪ b = b) si ha che:

• Lo zero di un reticolo, se esiste, e il minimo del reticolo;

• L’unita di un reticolo, se esiste, e il massimo del reticolo.

64

Page 70: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

2. Ogni reticolo finito ha zero e unita.

3. Se due reticoli L e L′ sono isomorfi allora L ha zero (risp. unita) se e solo se L′ ha zero(risp. unita).

4. Se due reticoli L e L′ sono antimorfi allora L ha zero (risp. unita) se e solo se L′ ha unita(risp. zero).

Definizione 9.7.3. Sia (L,∪,∩) un reticolo dotato di zero e di unita. Per ogni x ∈ L si chiamacomplemento di x ogni elemento x ∈ L tale che x ∩ x = 0 e x ∪ x = 1.

Definizione 9.7.4. Un reticolo (L,∪,∩) si dice complementato se ogni suo elemento ha inL almeno un complemento. Se ogni elemento ha un unico complemento, il reticolo e dettounicamente complementato.

Nota 9.7.5. Alcune osservazioni:

1. Se x e complemento di x allora x e complemento di x.

2. Gli elementi 0 e 1 sono uno il complemento dell’altro.

3. Ogni insieme totalmente ordinato finito con piu di due elementi contiene elementi che nonammettono complemento.

Esempio 9.7.6. Alcuni esempi su quanto detto:

1. Il reticolo rappresentato dal seguente diagramma e univocamente complementato.��������1

����

����

????

????

��������x

????

????

��������y

����

����

��������0

2. Il reticolo pentagonale e complementato ma non univocamente. L’elemento z ch comecomplemento sia x che y.

��������1

ooooooooooooo

????

????

????

????

��������2

��������3

����

����

����

����

��������4

OOOOOOOOOOOOO

��������5

3. Il reticolo trirettangolo e complementato ma non univocamente. Ogni elemento della ternax, y, z ha come complementi gli altri due.

65

Page 71: Appunti di Algebra I

Capitolo 9 - Reticoli

��������1

����

����

????

????

��������x

????

????

��������y ��������z

����

����

��������0

Proposizione 9.7.7. Sia (L,∪,∩) un reticolo distributivo dotato di zero e di unita. Ognielemento di L ha al piu un complemento

Dimostrazione. Sia x ∈ L; supponiamo che x e x siano complementi di x e proviamo che e x = x.Si ha

x = x ∩ 1 = x ∩ (x ∪ x) = (x ∩ x) ∪ (x ∩ x) = 0 ∪ (x ∩ x) = x ∩ xx = x ∩ 1 = x ∩ (x ∪ x) = (x ∩ x) ∪ (x ∩ x) = 0 ∪ (x ∩ x) = x ∩ x

e pertanto x = x.

Corollario 9.7.8. Un reticolo distributivo e complementato e un reticolo univocamente comple-mentato.

Definizione 9.7.9. Si chiama algebra di Boole un reticolo distributivo, dotato di zero e unita etale che ogni suo elemento ha complemento.

Osserviamo che, per la proposizione precedente, in un algebra di Boole ogni elemento ammetteuno ed un solo complemento.

Esempio 9.7.10. Alcuni esempi di algebre di Boole

1. Il reticolo P(I) delle parti dell’insieme I e un’algebra di Boole.

2. Il reticolo pentagonale e il reticolo trirettangolo non sono algebre di Boole.

Teorema 9.7.11. Sia (L,∪,∩) un’algebra di Boole e per ogni x ∈ L sia x′ il suo complemento.Su L valgono le seguenti due proprieta dette Leggi di De Morgan.

(a ∪ b)′ = a′ ∩ b′ (9.3)

(a ∩ b)′ = a′ ∪ b′ (9.4)

Dimostrazione. Poiche (9.3) e (9.4) sono una duale dell’altra, basta dimostrarne una sola. Di-mostreremo la (9.3).

(a ∪ b) ∩ (a′ ∩ b′) = [(a ∪ b) ∩ a′] ∩ b′ = (a′ ∩ b) ∩ b′ = a′ ∩ (b ∩ b′) = 0

(a ∪ b) ∪ (a′ ∩ b′) = [(a ∪ b) ∪ a′] ∩ [(a ∪ b) ∪ b′] = (a ∪ b) ∪ b′ = a ∪ (b ∪ b′) = 1

Corollario 9.7.12. In un’algebra di Boole l’applicazione che ad ogni elemento fa corrispondereil suo complemento e un antimorfismo.

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Page 72: Appunti di Algebra I

Indice analitico

CCommutatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Condizione di Jordan-Dedekind . . . . . . . . . . . 61

EElemento Inverso

Unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Elemento Neutro

Unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

GGruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Derivato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Risolubile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Risolubilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

MMultipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

NNucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

OOmomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

PPotenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Prodotto diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

RReticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Complementato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Diagramma di Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Distributivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Modulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Pentagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Trirettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

SSottogruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Classe Laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

TTeorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Teorema di Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Teorema di omomorfismi per gruppi, primo 38Teorema di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

67