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Appunti di analisi matematica: Integrale Definito
Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrale Definito
Integrale Indefinito
• Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve• Calcolo di volumi• Calcolo del lavoro di una forza• Calcolo dello spazio percorso …..
• Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. • Applicato ad esempio alle equazioni differenziali
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Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Area del TrapezoideVogliamo calcolare l’area della figura mistilinea determinata dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b]
b x
y
C
BA
a
D
Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli inscritti
Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base:
x
y
C
BA
ba
D
Quindi:
s = (mi × h)
È l’area del plurirettangolo inscritto
mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo inscritto
h
mi
h = (b – a)/n
mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli e altezza
Per determinare l’area S del plurirettangolo circoscritto:
x
y
C
BA
ba
D
Quindi
S = (Mi × h)
È l’area del plurirettangolo circoscritto
Analogamente possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli circoscritti
Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n e altezza Mi = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli
Mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo circoscritto
5
L’area A del trapezoide sarà sempre compresa tra s e S
A s = areaRett.inscritti S = areaRett.circoscritti
x
y
C
BA
ba
D
Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà sempre più precisa.
Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due successioni di aree:
plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, …
plurirettangoli circoscritti S1, S2, …Sn,…
che convergono all’area del trapezoide ABCD
Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le successioni delle aree s1, s2, … sn … e S1, S2, …Sn,…
convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide ABCD
ASls nn
nn
imlim
Integrale Definito1.Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], 2.Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti3.Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nell’intervallino i-esimo di ampiezza h (*)
Bx
y
C
A
ba
D
mi
Mi
i
Possiamo quindi giungere al concetto d’integrale definito
h
sn =AreaPluriRettinscr. = mih
Sn =AreaPluriRettcirco. = Mih
ARettcirco. = Mih
ARettinscr. = mih
(*) mi ed Mi esistono sicuramente per il teorema di Weierstrass
Allora, indicando con f(xi ) il valore della funzione in un punto qualsiasi xi dell’intervallo i-esimo:
Bx
y
C
A
ba
D
mi
Mi
xi
f(xi )
Si ha:
9
Ahxfi
in
)(lim
Bx
y
C
A
ba
D
m
i
M
i
xi
f(xi)
Per il teorema del confronto avremo che anche :
Moltiplicando per h avremo che:
Poiché per quanto visto AhMhmi
in
ii
n
limlim
Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite
AhxfhMhmi
in
ii
ni
in
)(limlimlim
b
a
dxxf )(e si indica con
Allora, possiamo dare la seguente definizione:
Proprietà dell’integrale
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf
)()()()(
)()(
L’integrale è un operatore lineare:
Integrale Definito - Proprietà
Teorema della Media
Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c(a, b) tale che:
Cioè esiste sempre un rettangolo di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area del rettangoloide.
)()()( cfabdxxfb
a
x
y
C
BA
ba
D
f(c)
c
13
Funzione Primitiva
Il calcolo dell’integrale come limite delle somme indicate, ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per calcolarlo.
Per calcolare quest’area ci serviamo di una particolare funzione detta funzione Integrale:
Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b], consideriamo un punto x variabile (a, b)
Al variare di x l’integrale
è un’area compresa tra a e x e quindi variabile al variare di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale
x
a
dttf )(
b x
y
C
BA
a
D
f(x)
x
x
a
dttfxF )()(
Teorema di Torricelli- BarrowSe y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale
è derivabile e risulta: F’(x) = f(x);
cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione integrale calcolata nell’estremo superiore.
In particolare
Se x = a se x = b
x
a
dttfxF )()(
b
a
a
a
dttfbFdttfaF )()()()( 0
La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dell’area:
Dim
L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:
b x
y
C
BAa
D
x + h
hx
a
x
a
dttfhxF
dttfxF
)()(
)()(
x
Consideriamo l’intervallino [x, x+h]: avremo
x
a
hx
a
dttfdttfxFhxFF )()()()(
semplificando
hx
x
x
a
hx
x
x
a
x
a
hx
a
dttfdttfdttfdttfdttfdttfF )()()()()()(
hcfdttfFhx
x
)()(
)()()(
cfh
xFhxF
h
F
)()()()(
)(' limlimlim000
xfcfh
xFhxF
h
FxF
hhh
Per il teorema della media esiste c nell’intervallo [x , x+h] tale che:
Dividendo i termini per h:
e, passando al limite per h 0,
18
)()(' xfxF Cioè la derivata di F(x) = f(x)
)()(lim0
xfcfh
Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h 0 c x
Perché è proprio
?
)()()()(
)(' limlimlim000
xfcfh
xFhxF
h
FxF
hhh
19
Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + c c R è una primitiva di f(x)
e quindise F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora
G(x) - F(x) = c
Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo l’asse y.
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Integrale Definito - Proprietà
Calcolo dell’Integrale DefinitoFormula di Newton-Leibniz
cxGdttfx
a
)()(
Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito
rapezoide tareadttfb
a
)(
Considerando la funzione integrale avremo:
e per x = a 0 caGdttfa
a
)()(
Da cui c = G(a) )()()()( aGxGcxGdttfx
a
e per x = b bab
a
xGaGbGdttf )()()()(
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Integrale Definito - Proprietà
Teorema fondamentale del calcolo integrale
L’integrale definito di una funzione continua y=f(x), calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo d’integrazione.
)()()()( aGbGxGdttf ba
b
a