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APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA LINEARE Le equazioni di primo grado Le disequazioni di primo grado I sistemi di primo grado ALESSANDRO BOCCONI

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APPUNTI DI MATEMATICA

ALGEBRA LINEARE

• Le equazioni di primo grado

• Le disequazioni di primo grado

• I sistemi di primo grado

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 Le equazioni di primo grado 3

1.1 Le uguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Le equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equazioni di primo grado numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioni impossibili . . . . . . . . 10

1.5 Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 I vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Le disequazioni di primo grado 19

2.1 Le disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Gli intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Intervalli Limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Intervalli illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Le disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Disequazioni di primo grado numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Disequazioni determinate, disequazioni indeterminate e disequazioni impossibili . . . 30

2.6 Problemi risolubili tramite disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 I sistemi di primo grado 38

3.1 Le equazioni con due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 I sistemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Sistemi in forma normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Risoluzione di un sistema: il metodo della sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Sistemi determinati, indeterminati e impossibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

3.6 Il metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Problemi risolubili tramite sistemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.9 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Capitolo 1

Le equazioni di primo grado

1.1 Le uguaglianze

Consideriamo le due seguenti scritture:3 = 3

2 = 5

in prima battuta potremmo dire (e non sbaglieremmo nel farlo) che la prima e un’ovvia verita,mentre la seconda e un’ovvia falsita. Preferiamo pero chiamare la prima un’uguaglianza vera e laseconda un’uguaglianza falsa. Diamo quindi la seguente:

Definizione di uguaglianza, di uguaglianza vera, di uguaglianza falsa. Due espressioninumeriche separate dal simbolo di uguale, formano un’uguaglianza. Se le due espressioni portanoallo stesso risultato l’uguaglianza si dice vera, altrimenti si dice che e falsa.

Sono pertanto uguaglianze le seguenti:

1. −6 = +6

2. −3 · 5 + 2 = (20− 7) · (−1)

3. 5 · 5 = 2− 28

4. 3 = 13 · 6 + 1

Prima di verificare se sono uguaglianze vere o false diamo la seguente:

Definizione di primo termine e secondo termine di un’uguaglianza. In una uguaglianzal’espressione che sta a sinistra dell’uguale si dice primo termine dell’uguaglianza, l’espressione chesta a destra dell’uguale si dice secondo termine dell’uguaglianza.

Passiamo quindi a verificare le uguaglianze:

1. e ovviamente falsa

3

Alessandro Bocconi 4

2. Primo termine: −3 · 5 + 2 = −15 + 2 = −13

Secondo termine: (20− 7) · (−1) = 13 · (−1) = −13

Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza e vera.

3. Primo termine: 5 · 5 = 25

Secondo termine: 2− 28 = −24

Pertanto il primo e il secondo termine non danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza efalsa.

4. Primo termine: 3

Secondo termine: 13 · 6 + 1 = 2 + 1 = 3

Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza e vera.

Risulta fondamentale la seguente:

Proprieta invariantiva delle uguaglianze.

• Prima proprieta invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantita ad entrambi itermini di un’uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente e vera eanch’essa vera, mentre se la precedente e falsa e anch’essa falsa.

• Seconda proprieta invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita diversa da zero,entrambi i termini di un’uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedentee vera e anch’essa vera, mentre se la precedente e falsa e anch’essa falsa.

Esempi

. Abbiamo visto in precedenza che l’uguaglianza −3 · 5 + 2 = (20− 7) · (−1) e vera. Applichiamola prima proprieta invariantiva addizionando ad entrambi i termini il numero +4, l’uguaglianzadiventa:

−3 · 5 + 2 + 4 = (20− 7) · (−1) + 4

verifichiamo se e vera: primo termine: −3 · 5 + 2 + 4 = −15 + 2 + 4 = −9; secondo termine:(20− 7) · (−1) + 4 = 13 · (−1) + 4 = −13 + 4 = −9. Quindi anche la nuova uguaglianza e vera.

. Abbiamo visto in precedenza che l’uguaglianza 5 · 5 = 2 − 28 e falsa. Applichiamo la secondaproprieta invariantiva moltiplicando entrambi i termini per il numero +2, l’uguaglianza diventa:

(5 · 5) · 2 = (2− 28) · 2

la parentesi al secondo termine e necessaria perche tutto il secondo termine deve essere moltiplicatoper 2.

Verifichiamo se e falsa: primo termine: (5 ·5) ·2 = 50; secondo termine: (2−28) ·2 = −26 ·2 = −52.Quindi anche la nuova uguaglianza e falsa.

Osservazione importante. Il lettore si sara accorto che nel secondo principio e specificato chela quantita deve essere diversa da zero. Questo dipende da due motivi: il primo e che non hasenso una divisione per zero e dato che la proprieta dice moltiplicando o dividendo, questa specificarisulta necessaria. Il secondo motivo risiede nel fatto che altrimenti la proprieta sarebbe sbagliata:infatti si consideri la seguente uguaglianza falsa:

2 = 3

Alessandro Bocconi 5

moltiplicando entrambi i termini per zero si ottiene:

primo termine: 2 · 0 = 0; secondo termine: 3 · 0 = 0 e quindi la nuova uguaglianza e vera incontraddizione con quello che dice la proprieta invariantiva.

Tale problema non sussiste nella prima proprieta in quanto addizionando o sottraendo zero noncambierebbe niente e otterremmo un’uguaglianza identica alla precedente e quindi se e vera rimanevera e se e falsa rimane falsa.

1.2 Le equazioni

Se in un’uguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una equazione.Abbiamo quindi la seguente:

Definizione di equazione. Un’equazione e una uguaglianza contenente una o piu lettere.

In questo capitolo considereremo equazioni contenenti una sola lettera.

In una equazione lo scopo e quello di trovare quel valore (o quei valori) che sostituiti alla letteratrasformano l’equazione in una uguaglianza vera. Dal momento che all’inizio questo valore (o questivalori) non sono noti e quindi sono incogniti, la lettera presente in una equazione si chiama incognitae, convenzionalmente, si usa la lettera x (che infatti, anche nel linguaggio comune, ha assunto ilsignificato di qualche cosa di non conosciuto o misterioso).

Coerentemente a quanto detto possiamo dare la seguente:

Definizione di soluzione di una equazione. La soluzione di un’equazione e l’insieme costituitoda quei valori che sostituiti all’incognita trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera.

Per meglio chiarire quanto detto, consideriamo i seguenti:

Esempi

. Risolvere l’equazione x + 3 = 5

Con un po di intuizione capiamo che quel valore da sostituire alla x affinche l’equazione diventiun’uguaglianza vera e 2; infatti:

primo termine: 2 + 3 = 5

secondo termine: 5

Quindi sostituendo 2 ad x l’equazione diventa una uguaglianza vera e quindi 2 e la soluzione dell’e-quazione. Come notazione useremo quella degli insiemi (vedi capitolo 4 di Appunti di Matematicaparte prima) scrivendo:

S = {x ∈ R|x = 2}

Questa notazione si legge “x appartenente ai numeri reali, tale che x uguale a 2” che significa chel’insieme S, fra tutti i possibili reali, contiene il valore 2 (per un approfondimento sui numeri realivedi il paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima).

Alessandro Bocconi 6

Questo esempio prendeva in considerazione un’equazione molto facile e siamo arrivati alla soluzionetramite una semplice intuizione. Se l’equazione e piu complessa non e sufficiente ricorrere al propriointuito ma abbiamo bisogno di strumenti adatti, come si vede dal seguente esempio:

. Risolvere l’equazione: 3x(7− 2x) + 5(124− 53x) = 32x + 14(2x− 7) + 13x− 8

Come detto in precedenza, capiamo che al momento non siamo in grado di risolvere una simileequazione.

Gli strumenti di cui abbiamo bisogno sono i 2 principi di equivalenza delle equazioni, che sono unadiretta conseguenza delle proprieta invariantive delle uguaglianze. Prima di enunciarli abbiamobisogno della seguente:

Definizione di equazioni equivalenti. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stessoinsieme di soluzioni.

Principi di equivalenza delle equazioni.

• Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantita ad entrambii termini di una equazione si ottiene un’equazione equivalente.

• Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita diversa da zero,entrambi i termini di una equazione si ottiene un’equazione equivalente..

La strategia per risolvere un’equazione e quella di trasformarla, tramite i principi di equivalenza, inaltre equazioni equivalenti all’originale ma di piu facile risoluzione: una volta risolta l’equazione piusemplice avremo risolto anche l’equazione assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni.

1.3 Equazioni di primo grado numeriche intere

Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere equazioni di primo grado (quindi l’incognita haesponente sottinteso 1), numeriche (non abbiamo altre lettere oltre l’incognita) e intere (l’incognitanon compare mai al denominatore).

Sottolineiamo comunque che i principi di equivalenza valgono per qualunque equazione e non soloper questo tipo di equazioni.

Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di un’equazione.Vediamo adesso come trasformare un’equazione in una piu semplice usando i principi di equivalenza.Per raggiungere questo obiettivo analizziamo le:

Conseguenze dei principi di equivalenza.

1. Spostando un monomio dal primo termine di un’equazione al secondo o viceversa, cam-biandogli il segno, si ottiene un’equazione equivalente (conseguenza del primo principio diequivalenza). Chiariamo col seguente esempio:

3x− 5 = 2x

Alessandro Bocconi 7

e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenzaquello che otterremo e un’equazione equivalente alla precedente:

3x− 5+5 = 2x+5→ 3x = 2x + 5

e quindi si osserva che il monomio −5 e stato spostato al secondo termine col segno cambiato(infatti e diventato +5).

2. Se l’equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un’equazione equivalente acoefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguenteesempio:

2

3x− 6

5=

1

10x + 2

Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che ilsecondo termine ad un’unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo:

20x− 36

30=

3x + 60

30

A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e ilsecondo termine dell’equazione per il m.c.m. cioe 30:

630 ·20x− 36

630= 630 ·3x + 60

630→ 20x− 36 = 3x + 60

Abbiamo quindi trasformato l’equazione iniziale con le frazioni, in una equazione equivalentesenza denominatori.

3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nell’equazione si ottiene un’equazione equiva-lente (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:

−3x + 4 = −6

Usiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine dell’e-quazione per −1:

(−1) · (−3x + 4) = (−1) · (−6) → 3x− 4 = +6

A questo punto possiamo dare il seguente:

Metodo per la risoluzione delle equazioni.

• Si eliminano le parentesi dall’equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secon-do termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcoloalgebrico.

• Si eliminano i denominatori: se l’equazione contiene delle frazioni si trasforma in una equiva-lente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principi delleequazioni.

• Si trasportano i monomi contenenti l’incognita nel primo termine dell’equazione e i monomiche non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenza deiprincipi delle equazioni.

• Se il coefficiente dell’incognita e negativo si cambia il segno a tutti i monomi dell’equazioneagendo come detto nella terza conseguenza dei principi delle equazioni.

Alessandro Bocconi 8

Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato l’equazione originale in una equivalente del tipo:

ax = b

dove a e un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numeroqualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle equazioni dividendo entrambi itermini per il numero a ottenendo:

ax = b → 6a6ax =

b

a→ x =

b

a

e quindi l’insieme delle soluzioni e S = {x ∈ R|x = ba}.

A questo punto possiamo risolvere la nostra prima equazione.

Esempio

. Risolvere l’equazione: 3(x + 25)− 7

10 = 72x−

32

Al primo termine compare una parentesi, eliminiamola effettuando il prodotto:

3x + 65 −

710 = 7

2x−32

Dal momento che ci sono delle frazioni si portano entrambi i termini a denominatore comune,determinando il m.c.m. fra tutti i denominatori che e 10:

30x+12−710 = 35x−15

10

Eliminiamo i denominatori moltiplicando entrambi i termini per 10:

610 ·30x+12−7610 = 610 ·35x−15610

(D’ora in poi non scriveremo piu il fattore a moltiplicare (in questo caso 10), ma elimineremodirettamente i denominatori).

L’equazione e diventata

30x + 12− 7 = 35x− 15 → 30x + 5 = 35x− 15

A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine equelli che non la contengono al secondo:

30x− 35x = −15− 5 → −5x = −20

Dal momento che il coefficiente di x e negativo possiamo cambiare il segno a tutti i monomidell’equazione:

5x = 20

Il coefficiente di x e 5. Dividiamo quindi entrambi i termini per 5:

6565x = 6204

651 → x = 41 → x = 4

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = 4}.

Verifica della soluzione. Se volessimo essere sicuri dell’esattezza della nostra soluzione lo stru-mento da usare e quello della verifica: per capire come effettuare la verifica ricordiamo che la soluzio-ne di un’equazione e quel valore che sostituito all’incognita trasforma l’equazione in un’uguaglianzavera (paragrafo 1.2).

Alessandro Bocconi 9

Dal momento che il valore che abbiamo trovato e 4, sostituiamo 4 alla x sia nel primo che nelsecondo termine e verifichiamo che l’eguaglianza ottenuta e un’uguaglianza vera:

primo termine:

3(4 + 25)− 7

10 = 3(20+25 )− 7

10 = 3 · 225 −710 = 66

5 −710 = 132−7

10 = 6125256102 = 25

2

secondo termine:

72 · 4−

32 = 14− 3

2 = 28−32 = 25

2

quindi l’uguaglianza e vera e conferma che la soluzione trovata e quella esatta.

Osservazione. Fra 2 equazioni equivalenti non ci deve mai essere il simbolo =. Quindi ognipassaggio nella risoluzione di un’equazione deve essere fatto a rigo nuovo. Se, per esigenze dispazio, due passaggi sono scritti nello stesso rigo devono essere separati da una freccia orientataverso destra, come gia abbiamo usato in qualche esempio.

Esempi

. Risolvere l’equazione 12x− 3(2x + 5)− 4 = −3x− 10 + 4(2− 2x)

Eliminiamo le parentesi:

12x− 6x− 15− 4 = −3x− 10 + 8− 8x

6x− 19 = −11x− 2

A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine equelli che non la contengono al secondo:

6x + 11x = −2 + 19 → 17x = 17

Il coefficiente di x e 17. Dividiamo quindi entrambi i termini per 17:

61716171x = 6171

6171 → x = 1

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = 1}.

Per la verifica sostituiamo allora 1 alla x nell’equazione iniziale.

Primo termine: 12 · 1− 3(2 · 1 + 5)− 4 = 12− 3(2 + 5)− 4 = 12− 3 · 7− 4 = 12− 21− 4 = −13

Secondo termine: −3 · 1− 10 + 4(2− 2 · 1) = −3− 10 + 4(2− 2) = −3− 10 + 4 · 0 = −3− 10 = −13

quindi l’uguaglianza e vera e conferma che la soluzione trovata e quella esatta.

. Risolvere l’equazione 13x−

23 = −x− 5

6

Portiamo entrambi i termini allo stesso denominatore; essendo il m.c.m. fra i denominatori 6 risulta:

2x−46 = −6x−5

6

Eliminiamo il comune denominatore:

2x−466 = −6x−5

66 → 2x− 4 = −6x− 5

2x + 6x = −5 + 4 → 8x = −1

Il coefficiente di x e 8. Dividiamo quindi entrambi i termini per 8:

Alessandro Bocconi 10

681681x = −1

8 → x = −18

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = −18}.

. Risolvere l’equazione −4x + 3 = 5(−2x + 35)

Eliminiamo le parentesi

−4x + 3 = −10x + 3

−4x + 10x = +3− 3 → 6x = 0

Il coefficiente di x e 6. Dividiamo quindi entrambi i termini per 6:

6666x = 0

6 → x = 0

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = 0}.

Osservazione. Il fatto che stiamo trattando equazioni di primo grado non esclude la possibilitache ci siano dei monomi in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1. L’importante e chetali monomi, durante la risoluzione dell’equazione, si annullino fra loro e che si arrivi sempre allaforma

ax = b

Chiariamo quanto detto col seguente:

Esempio

. Risolvere l’equazione: (x + 1)2 + 5x = x(x + 4) + 19

Eliminiamo le parentesi:

x2 + 2x + 1 + 5x = x2 + 4x + 19 → x2 + 7x + 1 = x2 + 4x + 19

osserviamo che ci sono due monomi con l’incognita di grado 2. Spostiamo i monomi con la x alprimo termine e quelli senza al secondo termine (ovviamente cambiando il segno):

6x2 +7x 6−x2 −4x = +19− 1

i monomi di grado 2 si sono annullati a vicenda pertanto possiamo finire di risolvere l’equazione:

3x = 18 → 6363x = 6186

63 → x = 6

e quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = 6}.

1.4 Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioniimpossibili

Le equazioni affrontate nel paragrafo precedente hanno tutte un’unica soluzione, di conseguenza illoro insieme delle soluzioni e costituito da un unico valore. Diamo allora la seguente:

Definizione di equazione determinata. Un’equazione di primo grado si dice determinata se ilsuo insieme delle soluzioni e costituito da un unico valore.

Alessandro Bocconi 11

Potremmo pensare che tutte le equazioni di primo grado siano determinate ma in questo paragrafovedremo che ci sono equazioni che non hanno nessuna soluzione e equazioni che ne hanno infinite.Per meglio comprendere quanto detto diamo le seguenti:

Definizione di equazione impossibile. Un’equazione e impossibile quando non esiste nessunvalore che, sostituito all’incognita, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. In questo casol’insieme delle soluzioni e l’insieme vuoto e si indica con S = ∅.

Definizione di equazione indeterminata. Un’equazione e indeterminata quando qualunque va-lore sostituito all’incognita, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. In questo caso l’insiemedelle soluzioni e l’insieme di tutti i possibili valori che puo assumere x e si indica con S = {x ∈ R};oppure con S = ∀x (il simbolo della A rovesciata significa “qualunque”).

Per capire se un’equazione e indeterminata o impossibile vale la seguente regola:

Regola per determinare se un’equazione e indeterminata o impossibile. Se risolven-do un’equazione scompaiono i monomi contenenti l’incognita (perche si sono annullati fra loro),l’equazione, ormai priva di lettere, si trasforma in una uguaglianza:

• se tale uguaglianza e vera l’equazione e indeterminata

• se tale uguaglianza e falsa l’equazione e impossibile.

Verifichiamo quanto detto con i seguenti:

Esempi

. Risolvere l’equazione 2x− 12 = 2(5 + x)

2x− 12 = 10 + 2x → 2x− 2x = 10 + 12 → 0 = 22

Osserviamo che l’incognita e scomparsa e l’equazione si e trasformata in una uguaglianza. Dalmomento che tale uguaglianza e falsa l’equazione e impossibile e la soluzione e l’insieme vuotoS = ∅ (potremmo quindi provare a sostituire nell’equazione di partenza qualunque valore a x, manon otterremmo mai un’uguaglianza vera).

. Risolvere l’equazione 2 + 4x− 10 = 4(x− 2)

2 + 4x− 10 = 4x− 8 → 4x− 8 = 4x− 8 → 4x− 4x = −8 + 8 → 0 = 0

Osserviamo che l’incognita e scomparsa e l’equazione si e trasformata in una uguaglianza. Dalmomento che tale uguaglianza e vera l’equazione e indeterminata e l’insieme soluzione e S = {x ∈R}. Verifichiamo tale affermazione sostituendo alla x qualche valore scelto a caso e osservando chel’uguaglianza che ne deriva e sempre vera:

Sostituiamo a x il valore 1:

primo termine: 2 + 4 · 1− 10 = 2 + 4− 10 = −4

secondo termine: 4(1− 2) = 4 · (−1) = −4

Quindi l’uguaglianza e vera.

Sostituiamo a x il valore −2:

primo termine: 2 + 4 · (−2)− 10 = 2− 8− 10 = −16

Alessandro Bocconi 12

secondo termine: 4(−2− 2) = 4 · (−4) = −16

Quindi l’uguaglianza e vera.

Sostituiamo a x il valore 12 :

primo termine: 2 + 4 · 12 − 10 = 2 + 2− 10 = −6

secondo termine: 4(12 − 2) = 4 · (1−42 ) =64 2 · (− 3621 ) = −6

Quindi l’uguaglianza e vera.

Sostituiamo a x il valore 0:

primo termine: 2 + 4 · 0− 10 = 2− 10 = −8

secondo termine: 4(0− 2) = 4 · (−2) = −8

Quindi l’uguaglianza e vera.

Abbiamo quindi visto che sostituendo qualunque valore alla x otteniamo un’uguaglianza vera,pertanto ogni valore e soluzione dell’equazione.

Osservazione importante. Bisogna sempre ricordarsi che un’equazione e indeterminata o im-possibile soltanto se, durante la sua risoluzione, scompare l’incognita. Un errore ricorrente e quellodi considerare indeterminata o impossibile un’equazione in cui l’incognita rimane mentre si an-nulla il secondo termine. Una tale equazione e perfettamente determinata ed ha come soluzio-ne S = {x ∈ R|x = 0} che non e affatto l’insieme vuoto ma l’insieme costituito dal valore 0.Convinciamoci con il seguente:

Esempio

Risolvere l’equazione 4(x− 5) = 2x− 20

4x− 20 = 2x− 20 → 4x− 2x = −20 + 20 → 2x = 0 → 22x = 0

2 → x = 0

Quindi l’insieme soluzione e S = {x ∈ R|x = 0}.

1.5 Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado

Una frequente applicazione delle equazioni di primo grado e nella risoluzione di problemi. Ladifficolta consiste nel costruire il cosiddetto modello matematico (vedi il paragrafo sui modellimatematici al termine della parte sul calcolo letterale) cioe trovare l’equazione che “rappresenti” ilproblema che vogliamo risolvere. Chiariamo quanto detto col seguente:

Esempio

. Per arrvare a comprare il biglietto del concerto di Vasco Rossi che costa 40 euro, Maria chiede14 euro ai genitori. Quanti soldi ha Maria?

Proviamo a risolvere questo problema tramite un’equazione. Innanzitutto viene richiesto quantisoldi ha Maria, quindi la nostra incognita x e la quantita di soldi, espressa in euro, che ha Maria.Sappiamo che se Maria avesse 14 euro in piu, quelli che chiede ai genitori, avrebbe i 40 euro perpoter acqistare il biglietto. L’equazione risulta quindi:

x + 14 = 40

Alessandro Bocconi 13

.

.

FIRENZE

PRATO

PISTOIA

x

14x

30km

Figura 1.1: Rappresentazione grafica del problema

che risolviamo con le usuali tecniche di risoluzione delle equazioni:

x + 14 = 40 → x = 40− 14 → x = 26

Quindi Maria ha 26 euro.

Si potrebbe obiettare che ci sono altri metodi piu veloci per risolvere questo problema e l’obiezionesarebbe giusta. Quando pero ci troviamo di fronte a problemi piu complessi l’uso delle equazionipuo risultare estremamente utile. Consideriamo altri esempi:

Esempi

. L’autostrada Firenze Pistoia e lunga 30 km. Lungo il percorso c’e Prato. La distanza da Firenzea Prato e un quarto della distanza fra Prato e Pistoia. Quanti chilometri ci sono fra Prato e Pistoia?

Analizziamo i dati del problema: viene richiesta la distanza fra Prato e Pistoia e quindi la indichiamocon x. Inoltre la distanza fra Firenze e Prato e un quarto di quella fra Prato e Pistoia e quindi e14x. Sappiamo poi che fra Firenze e Pistoia ci sono 30 Km. La figura 1.1 illustra il problema:

L’equazione da impostare risulta quindi:

1

4x + x = 30

risolviamola:

1

4x + x = 30 → x + 4x

64=

120

64→ 5x = 120 → 65

65x =

6120 24

65 1→ x = 24

Quindi fra Prato e Pistoia ci sono 24 km.

. In una classe di 18 bambini la maestra vuole fare 2 gruppi di cui il piu grande sia composto daltriplo dei bambini del piu piccolo. Quanti bambini ci sono nel gruppo piu piccolo?

Indichiamo con x il numero dei bambini nel gruppo piu piccolo. Dal momento che nel gruppo piugrande ci devono essere il triplo dei bambini del gruppo piu piccolo, i bambini nel gruppo grandesono 3x. In tutto i bambini sono 18 quindi l’equazione risolutiva e:

3x + x = 18

Risolviamola:

3x + x = 18 → 4x = 18 → 6464x =

618 9

64 2→ x =

9

2

Quindi nel gruppo piu piccolo ci devono essere 92 bambini. Ovviamente la soluzione non e accettabile

(a meno di tagliare un bambino in 2) e quindi il problema non ha soluzione.

Alessandro Bocconi 14

1.5.1 I vincoli

L’ultimo esempio evidenzia il fatto che non tutte le soluzioni di un problema sono accettabili; perquesto risulta necessario, una volta definito cosa indichiamo con la x, stabilire delle regole a cuideve sottostare la soluzione per essere accettata. Tali regole sono chiamate vincoli.

I vincoli che affronteremo sono di 2 tipi:

• Il vincolo che la soluzione deve essere intera.

• Il vincolo che definisce un range entro il quale deve stare la soluzione.

Prendiamo ad esempio il primo problema dell’autostrada: in esso, a differenza del problema deibambini, non vi e alcun vincolo che la soluzione debba essere intera, infatti la distanza chilomericapoteva benissimo essere una frazione in quanto i chilometri sono frazionabili. Per quanto riguarda ilvincolo di “range” osserviamo che se Prato sta fra Firenze e Pistoia la distanza Prato-Pistoia deveessere minore di quella Firenze-Pistoia e quindi la soluzione deve essere minore di 30. Inoltre vistoche non ha senso una distanza negativa la soluzione deve essere maggiore di 0. Quindi il vincolo eche la x deve soddisfare:

x < 30 e x > 0

Il risultato che abbiamo trovato, 24, soddisfa il vincolo e quindi la soluzione e accettabile.

Le fasi di risoluzione di un problema sono quindi:

1. Individuazione dell’incognita (cioe quale grandezza chiamare con la x).

2. Individuazione dei vincoli a cui deve sottostare l’incognita.

3. Creazione dell’equazione risolutiva.

4. Risoluzione di tale equazione

5. Verifica se la soluzione e accettabile.

Esempi

. In un palazzo di 10 piani Marcello abita 3 piani sopra Elena. Una volta Marcello le disse: “sesommiamo il numero del tuo piano con il numero del mio piano otteniamo 15”. A che piano abitaElena? A che piano abita Marcello?

1. Indichiamo con x il piano dove abita Elena, quindi il piano di Marcello, che sta 3 piani soprae x + 3.

2. Vincoli:

• x deve essere intero (non ci sono i “mezzi piani”)

• deve risultare che x deve essere minore di 8 (infatti se x fosse 8 oppure 9 oppure 10,Marcello, che sta 3 piani sopra, starebbe all’11◦ o al 12◦ o al 13◦ piano. Assurdo in unpalazzo di 10 piani) e maggiore o uguale a zero. Quindi: x < 8 e x ≥ 0

3. Sommando il piano di Marcello con quelo di Elena si ottiene 15 quindi l’equazione risolutivae:

x + x + 3 = 15

Alessandro Bocconi 15

4. Risolviamola:

x + x + 3 = 15 → 2x = 12 → 6262x =

612 6

62 1→ x = 6

5. La soluzione 6 soddisfa il vincolo di essere intera e di essere compresa fra 0 e 7.

Quindi Elena sta al sesto piano e Marcello al nono.

. In un composto di 102 grammi di Nichel e Zinco, Il Nichel e presente in quantita doppia rispettoallo Zinco. Quanti grammi di Zinco ci sono in questo composto? E quanti grammi di Nichel?

1. Indichiamo con x i grammi di Zinco. Essendo i grammi di Nichel doppi questi ultimi risultano2x.

2. Vincoli:

• x non deve essere necessariamente intero (i grammi sono frazionabili)

• deve risultare che x deve essere minore di 102 e maggiore di zero. Quindi: x <102 e x > 0

3. Sommando i grammi di Zinco con quelli di Nichel si ottiene tutto il composto cioe 102 grammi.Quindi l’equazione risolutiva e:

x + 2x = 102

4. Risolviamola:

x + 2x = 102 → 3x = 102 → 6363x =

6102 34

63 1→ x = 34

5. La soluzione 34 e compresa fra 0 e 102 e quindi accettabile.

Quindi il composto contiene 34 grammi di Zinco. Per sapere i grammi di Nichel si puo agire in 2modi ugualmente facili:

• dal momento che i grammi di Nichel sono il doppio di quelli di Zinco si puo moltiplicare 34per 2.

• dal momento che in tutto i grammi sono 102, e 34 sono di Zinco, per ricavare i grammi diNichel si sottrae dai grammi totali (102) i grammi di Zinco (34).

In entrambi i casi si ottiene che i grammi di Nichel sono 68.

1.6 Domande

Paragrafo 1.1

1. Come e definita un’uguaglianza?

2. Come si chiama l’espressione che sta a sinistra dell’uguale in una uguaglianza? E l’espressioneche sta a destra?

Alessandro Bocconi 16

3. Cosa dicono le proprieta invariantive delle uguaglianze?

4. Mostra con un esempio che e necessario che nela seconda proprieta sia specificato che laquantita sia diversa da zero.

Paragrafo 1.2

5. Cos’e un’equazione?

6. Cos’e la soluzione di un’equazione?

7. Quando due equazioni sono equivalenti?

8. Scrivi i due principi di equivalenza delle equazioni

Paragrafo 1.3

9. Mostra con un esempio che spostare un monomio dal primo termine al secondo termine diun’equazione cambiandogli il segno e una conseguenza del primo principio di equivalenza.

10. Mostra con un esempio che eliminare i denominatori di un’equazione e una conseguenza delsecondo principio di equivalenza.

11. Mostra con un esempio che cambiare il segno a tutti i monomi di un’equazione e unaconseguenza del secondo principio di equivalenza.

12. Come si effettua la verifica di un’equazione?

Paragrafo 1.4

13. Quando un’equazione si dice determinata?

14. Quando un’equazione si dice impossibile?

15. Quando un’equazione si dice indeterminata?

16. Come capire se un’equazione e indeterminata o impossibile?

17. Un’equazione in cui, alla fine, la x rimane e il secondo termine e zero e impossibile? Eindeterminata?

Paragrafo 1.5

18. Cos’e un vincolo?

19. Quali sono i 2 tipi di vincoli che consideriamo?

20. Quali sono le 5 fasi per risolvere un problema?

1.7 Esercizi e problemi

Paragrafo 1.1

1. Determina se sono vere o false le seguenti uguaglianze:

3 · 2− 1 = 5 + 1− 1; 23 − 1 = 4 + 24 : 4; 5− 2 = 13 + 10

3 −23

Verifica le seguenti uguaglianze:

2. 20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1 = (4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2) + 1

3. (10−2 ·3) · (13−5 ·2) : (0+3 ·2) = 2 ·6+50+30− (2+8 ·5)+5 · (7−1 ·4)− (3+3 ·2 ·2) ·4−7

Alessandro Bocconi 17

4. (14+4·5−4) : 10+10 : (5+5)+2·(7−3·2)−3 = 36 : 6 : (1+5)+39−5·4·(8−7)·(7·6−5·8)+3

Paragrafi 1.3 e 1.4

Risolvi le seguenti equazioni effettuando al termine la verifica

5. 2(x + 2)− 3(3− x) = 10 [S = {x ∈ R|x = 3}]

6. 4x− 4(x + 2) = −2x− 5(x + 3) [S = {x ∈ R|x = −1}]

7. 10− 7x = 2(x + 5) [S = {x ∈ R|x = 0}]

8. 6x+32 = 7x+2

7 + 28x+1714 [S = {x ∈ R}]

9. 2 + 3x+52 − 12x = 3x+2

3 [S = {x ∈ R|x = 13}]

10. (2x + 1)2 − 10x = 4x(x + 3) + 10 [S = {x ∈ R|x = −12}]

Risolvi le seguenti equazioni

11. −6[2x + 10(6x + 1)− 41] + 4x = 6(1 + 2x)− 10 [S = {x ∈ R|x = 12}]

12. 4x+14 − 6x+2

3 = 5−12x12 [S = ∅]

13. x− 13 + x+2

6 = 4(x− 1) + 76 [S = {x ∈ R|x = 1}]

14. 2x(3x− 2)− (x + 1)(x− 1) = 5x(x− 1) [S = {x ∈ R|x = −1}]

15. 2(x + 7)− 3x + 4[1 + 2(2x− 1)] = 10(2x + 1)− 5x [S = {x ∈ R}]

16. 15x + 5

4 = −2720 −

23x [S = {x ∈ R|x = −3}]

17. 8x− (−2x− 5) + x = −x + 23 [S = {x ∈ R|x = 32}]

18. 15 + 22x + 1

2 = 710 + 5x− x [S = {x ∈ R}]

19. 2000x + 10000 = 4000(1 + 2x) [S = {x ∈ R|x = 1}]

20. 16x

2 = −1 + x(x+3)6 [S = {x ∈ R|x = 2}]

21. 12 = 1−2x

3 [S = {x ∈ R|x = −14}]

22. x + 8 + 3x2 + 2(x− 4) = 3(x2 + x) [S = {x ∈ R}]

23. 2(2x + 2)− 2x = 4 + 3(2− x) [S = {x ∈ R|x = 65}]

24. (x + 2)(x− 3)− 2(1− 3x) = (x− 1)(x + 1) + 3 [S = {x ∈ R|x = 2}]

25. 2x + [2− 3(x− 1) + x] = 4(x + 1) + 1 [S = {x ∈ R|x = 0}]

26. 2[2x−12 + 2x+14 ] = x+1

2 −x2 + 1

2 [S = {x ∈ R|x = 12}]

27. 3x+86 − 7x+4

3 = 0 [S = {x ∈ R|x = 0}]

28. −5(1 + x) + 2(x− 3)− 2 = −1 + x + 2(1− x) [S = {x ∈ R|x = −7}]

29. 18 − 15(4− x

2 ) + x− 2(x− 1)− 2x = 92x− 1 [S = ∅]

30. 16(2x+1

2 − 2x−13 + x = −x

3 + 56(2x+1

2 + 2x−13 ) [S = {x ∈ R}]

31. 3 + [−(1− x)− 5(1− 2x)] = x + 5(2x− 3) [S = ∅]

32. 3(2x− 5)2 = (4x− 1)2 − 5x(2x + 10)− 2(x− 37) [S = {x ∈ R}]

33. 2x−110 + 9 + x

60 = 3x+13 − 2

15(3x− 1) [S = {x ∈ R|x = 22}]

Alessandro Bocconi 18

34. 2 + 3(x− 1)− (2x + 1) = −4x + 12− 3(x + 2) [S = {x ∈ R|x = 1}]

35. 5(2x + 3) + 10(3x + 1) = 3(6− 3x) [S = {x ∈ R|x = −17}]

Paragrafo 1.5

Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli e verificando se la soluzione e accettabile

36. Un rettangolo ha area 40 cm2 e un lato di 8 cm. Determina l’altro lato.

37. Un bottiglione da 10 litri riempie esattamente due contenitori in cui il primo contiene unquarto del secondo. Determina la capienza del primo e del secondo contenitore, ed eventualivincoli.

38. Mario e Roberta ricevono 100 euro per un lavoro svolto. Fra loro c’e l’accordo che Robertadeve avere 80 euro piu di Mario. Quanto riceve Mario, e quanto Roberta?

39. Un gioco a premi mette in palio 20 libri per i primi 2 arrivati: al primo devono spettare ildoppio dei libri che al secondo. Quanti libri vince il primo arrivato? E quanti il secondo?

40. Determina il numero che, sommato a 20, ha come risultato i 54 del numero stesso.

41. In un rettangolo un lato e maggiore dell’altro di 3cm. Determina l’area sapendo che ilperimetro e 26 cm.

42. Inizialmene ad una festa ci sono un certo numero di persone. Poi arrivano altri 5 invitati ein tutto ci sono i 3

4 delle persone iniziali. Quante sono le persone inizialmente alla festa?

43. Al sabato il biglietto del cinema costa 3 euro in piu del biglietto del mercoledı e di conseguenzaandare 10 volte al cinema di sabato costa quanto andarci ben 16 volte il mercoledı. Quantocosta andare al cinema di mercoledı?

44. Un segmento ABviene diviso in due segmenti AC e CB e AC e i 23 di BC. Sapendo che BC

misura 21 cm determina quanto misura il segmento AB

45. In una gita scolastica la quota e 120 euro per coprire le spese di viaggio; vitto e alloggio eentrata ai musei. Le spese di vitto e alloggio sono i 3

2 di quelle di viaggio, mentre quelle perentrare nei musei sono la meta di quelle di viaggio. Quanto sono le spese di viaggio?

46. Un astuccio contiene penne nere, rosse e blu. Le penne rosse sono la meta del totale dellepenne, mentre le penne nere sono 10 in piu di quelle blu. Sapende che le penne in totale sono18 determina quante sono le penne rosse, quante le nere e quante le blu.

47. La somma di 2 numeri consecutivi e 27. Quali sono questi numeri?

48. La somma di 2 numeri pari consecutivi e 34. Quali sono questi numeri?

49. Maria compra al mercato frutta, verdura e carne e spende in tutto 60 euro. Per la carne haspeso i 2

3 del totale e per la frutta ha speso il triplo che per la verdura. Quanto ha speso diverdura?

50. Una pianta cresce di notte il triplo che di giorno. Nel mese di Aprile e cresciuta di 240 cm.Quanto cresce ogni notte?

Capitolo 2

Le disequazioni di primo grado

Lo studio delle disequazioni di primo grado ha molti punti di contatto con lo studio delle equazionidi primo grado: per questo l’esposizione dell’argomento avverra sullo stile del precedente capitoloe molti esempi saranno ripresi dal capitolo delle equazioni.

2.1 Le disuguaglianze

Prima di procedere, ricordiamo il significato dei seguenti simboli:

simbolo significato

> maggiore

≥ maggiore o uguale

< minore

≤ minore o uguale

Questi simboli vengono chiamati simboli di disuguaglianza.

Diamo la seguente:

Definizione di disuguaglianza, disuguaglianza vera e disuguaglianza falsa. Due espres-sioni numeriche separate da un simbolo di disuguaglianza formano una disuguaglianza. Se il risul-tato delle 2 espressioni concorda con il simbolo di disuguaglianza, la disuguaglianza si dice vera,altrimenti e falsa. Chiariamo con degli esempi:

1. +3 < +6

2. −3 · 5 + 1 < (20− 7) · (−1)

3. 5 · 5 ≥ 21

4. +5 > +5

5. +5 ≥ +5

Passiamo quindi a verificare le disuguaglianze:

1. e ovviamente vera in quanto il primo termine e minore del secondo in accordo col simbolo didisuguaglianza

19

Alessandro Bocconi 20

2. Primo termine: −3 · 5 + 1 = −15 + 1 = −14

Secondo termine: (20− 7) · (−1) = 13 · (−1) = −13

Pertanto il primo termine e minore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza equindi la disuguaglianza e vera.

3. Primo termine: 5 · 5 = 25

Secondo termine: 21

Pertanto il primo termine e maggiore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza equindi la disuguaglianza e vera.

4. Primo termine: +5

Secondo termine: +5

Pertanto il primo termine e uguale al secondo in contraddizione col simbolo di disuguaglianzae quindi la disuguaglianza e falsa.

5. Primo termine: +5

Secondo termine: +5

Anche in questo caso il primo termine e uguale al secondo ma non e in contraddizione colsimbolo di disuguaglianza in quanto il simbolo prevede il maggiore o l’uguale e quindi ladisuguaglianza e vera.

Osservazione. Gli ultimi 2 esempi evidenziano la differenza fra il simbolo “>” e il simbolo “≥”(e analogamente la differenza fra il simbolo “<” e il simbolo “≤”):

• se una disuguaglianza ha il simbolo “>”, tale disuguaglianza e vera se e soltanto se il primotermine e maggiore del secondo

• se una disuguaglianza ha il simbolo “≥” e vera sia se il primo termine e maggiore del secondo,sia se il primo termine e uguale al secondo.

E corretto quindi affermare che:

• se una disuguaglianza col simbolo “>” e vera, sara vera anche la disuguaglianza che si ottienesostituendo al “>” il “≥”;

• al contrario, cioe sostituire il simbolo “≥” al “>” in una disuguaglianza vera, non ne-cessariamente porta ad una disuguaglianza vera, come evidenziato dagli ultimi 2 esempi:infatti

5 ≥ 5 e vera

sostituendo “>” al “≥”, si ottiene

5 > 5 che invece e falsa

Prima di continuare la trattazione precisiamo che con l’espressione “cambiare il senso delladisuguaglianza” si intende:

• se la disuguaglianza ha il simbolo >, si sostituisce col simbolo <;

Alessandro Bocconi 21

• se la disuguaglianza ha il simbolo <, si sostituisce col simbolo >;

• se la disuguaglianza ha il simbolo ≥, si sostituisce col simbolo ≤;

• se la disuguaglianza ha il simbolo ≤, si sostituisce col simbolo ≥;

Anche per le disuguaglianze, come per le uguaglianze, risultano fondamentali le proprieta invarian-tive:

Proprieta invariantiva delle disuguaglianze.

• Prima proprieta invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantita ad entrambi itermini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente e verae anch’essa vera, mentre se la precedente e falsa e anch’essa falsa.

• Seconda proprieta invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita maggiore di zero,entrambi i termini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se laprecedente e vera e anch’essa vera, mentre se la precedente e falsa e anch’essa falsa.

• Terza proprieta invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita minore di zeroentrambi i termini di una disuguaglianza, e cambiando il senso della disuguaglianza, si ottie-ne una nuova disuguaglianza che, se la precedente e vera e anch’essa vera, mentre se laprecedente e falsa e anch’essa falsa.

Osserviamo che la proprieta sull’addizione/sottrazione ricalca quella delle uguaglianze, mentre ab-biamo 2 proprieta sulla moltiplicazione/divisione: infatti nelle disuguaglianze bisogna dividere ilcaso in cui la quantita a moltiplicare o dividere sia positiva oppure negativa. Per questo motivo leproprieta invariantive delle disuguaglianze sono 3 rispetto alle 2 delle uguaglianze.

Esempi

. 10 < 14 e una disuguaglianza vera. Applichiamo la prima proprieta invariantiva addizionandoad entrambi i termini il numero +2, la disuguaglianza diventa:

10+2 < 14+2 → 12 < 14

che e anch’essa vera.

. 5 > 21 e falsa. Applichiamo la seconda proprieta invariantiva moltiplicando entrambi i terminiper il numero positivo +3, la disuguaglianza diventa:

5 · 3 > 21 · 3 → 15 > 63

che e anch’essa falsa.

. −5 < 2 e vera. Applichiamo la terza proprieta invariantiva moltiplicando entrambi i terminiper il numero negativo −4 e cambiando il senso della disuguaglianza, la disuguaglianza diventa:

−5 · (-4) > 2 · (-4) → 20 > −8

che e anch’essa vera.

Alessandro Bocconi 22

3 5

Figura 2.1:

2.2 Gli intervalli

Gia nel precedente capitolo abbiamo parlato dell’insieme dei numeri reali R e abbiamo rimandato,per un approfondimento, al paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima. In tale paragrafoe evidenziato come i numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti diuna retta (corrispondenza biunivoca significa che ad ogni numero reale corrisponde uno e un solopunto sulla retta e, ad ogni punto sulla retta corrisponde uno e un solo numero reale). Possiamoquindi rappresentare l’insieme dei reali con una retta orientata (dove la freccia indica il verso in cuii numeri crescono) che chiameremo nello stesso modo in cui chiamiamo i numeri reali: la retta R.

Un intervallo (che ancora non abbiamo definito) puo essere limitato o illimitato.

2.2.1 Intervalli Limitati

Consideriamo adesso sulla retta R i punti 3 e 5. Il segmento che comincia nel punto 3 e finisce nelpunto 5 si dice intervallo limitato di estremo inferiore (o sinistro) 3 e estremo superiore (o destro)5 (figura 2.1).

Possiamo quindi dare la seguente:

Definizione di intervallo limitato. Un intervallo limitato e un segmento di lunghezza finitaappartenente alla retta R.

Per indicare un intervallo limitato si usano i suoi estremi. E necessario pero specificare se gli estremidell’intervallo (o anche uno solo dei 2) appartiene o meno all’intervallo stesso. Convenzionalmentesi usa una parentesi quadra se l’estremo appartiene all’intervallo, e una parentesi tonda se l’estremonon ci appartiene. Con tale convenzione, tornando all’esempio precedente, risulta che se scriviamo:

• [3; 5] intendiamo che entrambi gli estremi appartengono all’intervallo.

• (3; 5) intendiamo che entrambi gli estremi non appartengono all’intervallo.

• (3; 5] intendiamo che l’estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 non appartiene all’intervallomentre l’estremo superiore (destro) in questo caso (5) ci appartiene.

• [3; 5) intendiamo che l’estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 appartiene all’intervallomentre l’estremo superiore (destro) in questo caso (5) non ci appartiene.

Alessandro Bocconi 23

Generalizzando il concetto ad un intervallo limitato di estremo inferiore (destro) a e estremosuperiore (sinistro) b diamo le seguenti:

Definizione di intervallo limitato chiuso. Un intervallo limitato si dice chiuso se entrambi gliestremi appartengono all’intervallo (si indica con [a; b]).

Definizione di intervallo limitato aperto. Un intervallo limitato si dice aperto se entrambi gliestremi non appartengono all’intervallo (si indica con (a; b)).

Definizione di intervallo limitato aperto a sinistra. Un intervallo limitato si dice aperto asinistra se l’estremo superiore appartiene all’intervallo mentre l’estremo inferiore non ci appartiene(si indica con (a; b]).

Definizione di intervallo limitato aperto a destra. Un intervallo limitato si dice aperto adestra se l’estremo inferiore appartiene all’intervallo mentre l’estremo superiore non ci appartiene(si indica con [a; b)).

In figura 2.2 sono evidenziati questi 4 casi tenendo presente che, nelle rappresentazioni grafiche, seun estremo appartiene ad un intervallo si evidenzia con un pallino pieno, altrimenti con uno vuoto.

Alessandro Bocconi 24

a b

Intervallo chiuso

a b

Intervallo aperto

a b

Intervallo aperto a sinistra

a b

Intervallo aperto a destra

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Figura 2.2:

Un’altra rappresentazione degli intervalli, molto usata quando parliamo di soluzioni di disequazioni,e la rappresentazione insiemistica che sfrutta i simboli di disuguaglianza:

• {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} rappresenta l’intervallo chiuso [a; b].

• {x ∈ R|a < x < b} rappresenta l’intervallo aperto (a; b).

• {x ∈ R|a < x ≤ b} rappresenta l’intervallo aperto a sinistra (a; b].

• {x ∈ R|a ≤ x < b} rappresenta l’intervallo aperto a destra [a; b)

Per capirla torniamo all’esempio dell’intervallo di estremi 3 e 5. Un punto (tralasciamo per ilmomento gli estremi) per appartenere a tale intervallo deve essere maggiore di 3 e allo stesso tempominore di 5. Infatti se prendiamo 6 e maggiore di 3 ma non appartiene all’intervallo perche maggioreanche di 5, mentre 1 e minore di 5 ma non appartiene all’intervallo perche minore anche di 3.

Detto questo prendiamo ad esempio {x ∈ R|a < x < b} e cerchiamo di capirne il significato. Questarappresentazione va letta cosı: fra tutti gli x appartenenti alla retta R, l’intervallo e costituito daquei valori x che sono sia maggiori di a sia minori di b. L’espressione a < x < b non deve stupire,perche la prima disuguaglianza (a < x) significa, se letta da destra a sinistra, che x deve esseremaggiore di a, mentre la seconda (x < b) significa che x deve essere minore di b. Mettere le 2disuguaglianze nella stessa espressione significa che devono essere entrambe vere. In questo caso gliestremi non sono compresi perche x deve essere maggiore di a (e quindi non puo essere uguale). Lostesso per l’altro estremo. Se vogliamo comprendere anche gli estremi dobbiamo mettere il simbolo≤ al posto di < che comprende il caso che x puo anche essere uguale ad a e/o a b.

Alessandro Bocconi 25

aIntervallo chiuso illimitato superiormente; si indica [a;+oo)

a

a

a

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Intervallo aperto illimitato superiormente; si indica (a;+oo)

Intervallo chiuso illimitato inferiormente; si indica (-oo;a]

Intervallo aperto illimitato inferiormente; si indica (-oo;a)

Figura 2.3:

2.2.2 Intervalli illimitati

Definizione di intervallo illimitato. Un intervallo illimitato e una semiretta (quindi di lunghezzainfinita) appartenente alla retta R.

Un esempio di intervallo illimitato e un intervallo che ha 3 come estremo inferiore (sinistro) enon ha estremo superiore perche appunto e illimitato. In questo caso si dice che l’intervalloe illimitato superiormente e si indica con [3; +∞) (si legge “piu infinito”) se 3 appartieneall’intervallo; mentre si indica con (3; +∞) se 3 non appartiene all’intervallo. Analogamente unintervallo illimitato potrebbe avere solo l’estremo superiore (destro) e supponiamo che sia anche inquesto caso 3. In questo caso si dice che l’intervallo e illimitato inferiormente e si indica con(−∞; 3] se 3 appartiene all’intervallo, mentre si indica con (+∞; 3) se 3 non appartiene all’intervallo.

Osservazione importante. Un insieme illimitato ha quindi 2 soli casi: o e chiuso se l’unico estre-mo finito appartiene all’intervallo, o e aperto se l’unico estremo finito non appartiene all’intervallo.Accanto al simbolo +∞ o −∞ non ci deve mai essere la parentesi quadra perche +∞ non e unvalore come gli altri e non puo appartenere all’intervallo.

La figura 2.3 rappresenta graficamente i possibili intervalli illimitati, usando a come unico estremofinito.

La notazione insiemistica risulta piu semplice che per gli intervalli limitati. Infatti se consideriamol’intervallo [a; +∞) e costituito dagli x che sono maggiori o uguali di a (non avendo l’intervalloestremo superiore x non deve essere minore di niente). Quindi risulta che:

[a; +∞) = {x ∈ R|x ≥ a}

Alessandro Bocconi 26

Conseguentemente gli altri intervalli si rappresentano:

• (a; +∞) = {x ∈ R|x > a}

• (+∞; a] = {x ∈ R|x ≤ a}

• (+∞; a) = {x ∈ R|x < a}

Osservazione. Anche tutta la retta R puo essere considerata un intervallo (ovviamente illimitato),cosı come l’insieme vuoto puo essere considerato un intervallo di lunghezza zero. Dal momento chespesso abbiamo bisogno di distinguere fra questi 2 intervalli e tutti gli altri visti precedentementediamo la seguente:

Definizione di intervalli propri e impropri. La retta R e l’insieme vuoto sono consideratiintervalli impropri. Tutti gli altri sono intervalli propri.

2.3 Le disequazioni

Se in una disuguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una disequazione.Abbiamo quindi la seguente:

Definizione di disequazione. Una disequazione e una disuguaglianza contenente una o piulettere.

In questo capitolo considereremo disequazioni contenenti una sola lettera.

In una disequazione lo scopo e quello di trovare l’insieme dei valori (e si tratta quasi sempre di unintervallo) che sostituiti alla lettera trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Comeper le equazioni, la lettera presente in una disequazione si chiama incognita e, convenzionalmente,si usa la lettera x.

Possiamo quindi dare la seguente:

Definizione di soluzione di una disequazione. La soluzione di una disequazione e l’insieme co-stituito da quei valori che sostituiti all’incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianzavera.

Per risolvere una disequazione abbiamo bisogno di 3 principi di equivalenza delle disequazioni, chesono una diretta conseguenza delle proprieta invariantive delle disuguaglianze. Prima di enunciarliabbiamo bisogno della seguente:

Definizione di disequazioni equivalenti. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lostesso insieme di soluzioni.

Alessandro Bocconi 27

Principi di equivalenza delle disequazioni.

• Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantita ad entrambii termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente.

• Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita maggiore di zero,entrambi i termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente.

• Terzo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantita minore di zeroentrambi i termini di una disequazione, e cambiando il senso della disequazione, si ottiene unadisequazione equivalente.

Anche nel caso delle disequazioni quindi, la strategia di risoluzione e quella di trasformare ladisequazione, tramite i principi di equivalenza, in altre disequazioni equivalenti all’originale mapiu semplici: una volta risolta la disequazione piu semplice avremo risolto anche la disequazioneassegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni.

2.4 Disequazioni di primo grado numeriche intere

Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere disequazioni di primo grado, numeriche e intere.

Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di una disequazio-ne. Adesso vediamo come trasformare una disequazione in una piu semplice usando i principi diequivalenza:

Conseguenze dei principi di equivalenza.

1. Spostando un monomio dal primo termine di una disequazione al secondo o viceversa, cam-biandogli il segno, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del primo principiodi equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:

3x− 5 < 2x

e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenzaquello che otterremo e un’equazione equivalente alla precedente:

3x− 5+5 < 2x+5→ 3x < 2x + 5

e quindi si osserva che il monomio −5 e stato spostato al secondo termine col segno cambiato(infatti e diventato +5).

2. Se l’equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un’equazione equivalente acoefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguenteesempio:

2

3x− 6

5≥ 1

10x + 2

Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che ilsecondo termine ad un’unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo:

20x− 36

30≥ 3x + 60

30

Alessandro Bocconi 28

A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e ilsecondo termine dell’equazione per il m.c.m. positivo, cioe 30:

630 ·20x− 36

630≥630 ·3x + 60

630→ 20x− 36 ≥ 3x + 60

Abbiamo quindi trasformato la disequazione iniziale con le frazioni, in una equazione equiva-lente senza denominatori.

3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nella disequazione, e cambiando il senso del-la disequazione, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del terzo principio diequivalenza). Chiariamo col seguente esempio:

−3x + 4 < −6

Usiamo il terzo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine per −1 ecambiando il senso della disequazione:

(−1) · (−3x + 4) > (−1) · (−6) → 3x− 4 > +6

A questo punto possiamo dare il seguente:

Metodo per la risoluzione delle disequazioni.

• Si eliminano le parentesi dall’equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secon-do termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcoloalgebrico.

• Si eliminano i denominatori: se la disequazione contiene delle frazioni si trasforma in unaequivalente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principidelle disequazioni.

• Si trasportano i monomi contenenti l’incognita nel primo termine della disequazione e i mo-nomi che non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenzadei principi delle disequazioni.

• Se il coefficiente dell’incognita e negativo si cambia il segno a tutti i monomi della disequazionee si cambia il senso della disequazione, agendo come detto nella terza conseguenza dei principidelle disequazioni.

Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato la disequazione originale in una equivalente deltipo:

ax > b oppure ax ≥ b oppure ax < b oppure ax ≤ b

dove a e un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numeroqualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle disequazioni dividendo entrambii termini per il numero a ottenendo (facciamo l’esempio col simbolo di disuguaglianza “>”, maovviamente sarebbe lo stesso se avessimo un altro simbolo di disuguaglianza):

ax > b → 6a6ax >

b

a→ x >

b

a

e quindi l’insieme delle soluzioni e l’intervallo: S = {x ∈ R|x > ba}.

Alessandro Bocconi 29

Esempi (Il lettore attento si accorgera che sono le stesse equazioni del capitolo precedente, tra-sformate in disequazioni)

. Risolvere la disequazione: 3(x + 25)− 7

10 ≤72x−

32

Al primo termine compare una parentesi, eliminiamola effettuando il prodotto:

3x + 65 −

710 ≤

72x−

32

Dal momento che ci sono delle frazioni si portano entrambi i termini a denominatore comune,determinando il m.c.m. fra tutti i denominatori che e 20:

60x+24−1420 ≤ 70x−30

20

Eliminiamo i denominatori:

60x+24−14620 ≤ 70x−30

620

La disequazione e diventata

60x + 24− 14 ≤ 70x− 30 → 60x + 10 ≤ 70x− 30

A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine equelli che non la contengono al secondo:

60x− 70x ≤ −30− 10 → −10x ≤ −40

Dal momento che il coefficiente di x e negativo possiamo cambiare il segno a tutti i monomi delladisequazione, cambiando il senso della disequazione:

10x ≥ 40

Il coefficiente di x e 10. Dividiamo quindi entrambi i termini per 10:

610610x ≥

64046101 → x ≥ 4

1 → x ≥ 4

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x ≥ 4}.

. Risolvere la disequazione 12x− 3(2x + 5)− 4 < −3x− 10 + 4(2− 2x)

Eliminiamo le parentesi:

12x− 6x− 15− 4 < −3x− 10 + 8− 8x

6x− 19 < −11x− 2

A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine equelli che non la contengono al secondo:

6x + 11x < −2 + 19 → 17x < 17

Il coefficiente di x e 17. Dividiamo quindi entrambi i termini per il numero positivo 17:

61716171x < 6171

6171 → x < 1

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x < 1}.

. Risolvere la disequazione 13x−

23 ≥ −x−

56

Portiamo entrambi i termini allo stesso denominatore; essendo il m.c.m. fra i denominatori 6 risulta:

2x−46 ≥ −6x−56

Eliminiamo il comune denominatore:

2x−466 ≥ −6x−566 → 2x− 4 ≥ −6x− 5

2x + 6x ≥ −5 + 4 → 8x ≥ −1

Alessandro Bocconi 30

Il coefficiente di x e 8. Dividiamo quindi entrambi i termini per 8:

681681x ≥ −

18 → x ≥ −1

8

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x ≥ −18}.

. Risolvere la disequazione −4x + 3 < 5(−2x + 35)

Eliminiamo le parentesi

−4x + 3 < −10x + 3

−4x + 10x < +3− 3 → 6x < 0

Il coefficiente di x e 6. Dividiamo quindi entrambi i termini per 6:

6666x < 0

6 → x < 0

Quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x < 0}.

. Risolvere la disequazione: (x + 1)2 + 5x > x(x + 4) + 19

Eliminiamo le parentesi:

x2 + 2x + 1 + 5x > x2 + 4x + 19 → x2 + 7x + 1 > x2 + 4x + 19

osserviamo che ci sono due monomi con l’incognita di grado 2. Spostiamo i monomi con la x alprimo termine e quelli senza al secondo termine (ovviamente cambiando il segno):

6x2 +7x 6−x2 −4x > +19− 1

i monomi di grado 2 si sono annullati a vicenda pertanto possiamo finire di risolvere l’equazione:

3x > 18 → 6363x > 6186

63 → x > 6

e quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x > 6}.

2.5 Disequazioni determinate, disequazioni indeterminate e dise-quazioni impossibili

Le disequazioni affrontate nel paragrafo precedente hanno tutte come insieme delle soluzioni unintervallo proprio di R (vedi fine del paragrafo 2.2). Diamo allora la seguente:

Definizione di disequazione determinata. Una disequazione di primo grado si dice determinatase il suo insieme delle soluzioni e un intervallo proprio di R.

Adesso vedremo che non tutte le disequazioni sono determinate:

Definizione di disequazione impossibile. Una disequazione e impossibile quando non esistenessun valore che, sostituito all’incognita, trasforma la disequazione in una disuguaglianza vera. Inquesto caso l’insieme delle soluzioni e l’insieme vuoto e si indica con S = ∅.

Definizione di disequazione indeterminata. Una disequazione e indeterminata quando qua-lunque valore sostituito all’incognita, trasforma la disequazione in una disuguaglianza vera. Inquesto caso l’insieme delle soluzioni e l’insieme di tutti i possibili valori che puo assumere x, cioel’intervallo improprio costituito da tutta la retta R, e si indica con S = {x ∈ R}.

Alessandro Bocconi 31

Per capire se una disequazione e indeterminata o impossibile vale la seguente regola:

Regola per determinare se una disequazione e indeterminata o impossibile. Se risolvendouna disequazione scompaiono i monomi contenenti l’incognita (perche si sono annullati fra loro), ladisequazione, ormai priva di lettere, si trasforma in una disuguaglianza:

• se tale disuguaglianza e vera la disequazione e indeterminata

• se tale disuguaglianza e falsa la disequazione e impossibile.

Verifichiamo quanto detto con i seguenti:

Esempi

. Risolvere la disequazione 2x− 12 > 2(5 + x)

2x− 12 > 10 + 2x → 2x− 2x > 10 + 12 → 0 > 22

Osserviamo che l’incognita e scomparsa e la disequazione si e trasformata in una disuguaglianza.Dal momento che tale disuguaglianza e falsa la disequazione e impossibile e la soluzione e l’insiemevuoto S = ∅ (potremmo quindi provare a sostituire nella disequazione di partenza qualunque valorea x, ma non otterremmo mai una disuguaglianza vera).

. Risolvere la disequazione 2 + 4x− 10 < 4(x− 1)

2 + 4x− 10 < 4x− 4 → 4x− 8 < 4x− 4 → 4x− 4x < −4 + 8 → 0 < 4

Osserviamo che l’incognita e scomparsa e la disequazione si e trasformata in una disuguaglianza.Dal momento che tale disuguaglianza e vera la disequazione e indeterminata e l’insieme soluzionee S = {x ∈ R}.

Osservazione importante. Come abbiamo fatto per le equazioni, bisogna sempre ricordarsi cheuna disequazione e indeterminata o impossibile soltanto se, durante la sua risoluzione, scomparel’incognita.

2.6 Problemi risolubili tramite disequazioni di primo grado

Come per le equazioni una frequente applicazione delle disequazioni di primo grado e nella risolu-zione di problemi. Consideriamo il seguente esempio:

Esempio

La compagnia telefonica A propone un abbonamento mensile di 12 euro e fa pagare ciascuna tele-fonata, indipendentemente dalla sua lunghezza, 10 centesimi; mentre la compagnia B non richiedenessun abbonamento ma fa pagare ciascuna telefonata 30 centesimi. Quale compagnia conviene dipiu?

E ovvio che la risposta dipende dal numero di telefonate mensili che vengono fatte. Quindi chiamia-mo con x il numero di telefonate al mese. Osserviamo che nel problema ci sono 2 unita di misura

Alessandro Bocconi 32

diverse (euro e centesimi); portiamo tutto a centesimi e quindi l’abbonamento di 12 euro diventa di1200 centesimi. La compagnia B e piu conveniente se il prodotto fra il numero di chiamate al mese(x), per il costo di ciascuna chiamata (30 centesimi per la compagnia B) e minore del prodotto frail numero di chiamate al mese (x), per il costo di ciascuna chiamata (10 centesimi per la compagniaA) piu l’abbonamento mensile (1200 centesimi). In formula:

30x < 10x + 1200

Risolviamo questa semplice disequazione:

30x < 10x+1200 → 30x−10x < 1200 → 20x < 1200 → 620

620x <

61200 60

620 1→ x < 60

Quindi la compagnia B risulta piu conveniente se vengono effettuate meno di 60 chiamate al mese(circa 2 al giorno).

Come per le equazioni anche per questi problemi le soluzioni sono sottoposte a vincoli, anche se,per le disequazioni, consideriamo solo i vincoli di range (in questo caso solo che x ≥ 0 in quantonon e possibile effettuare un numero negativo di telefonate).

Osservazione. Il motivo per cui non consideriamo il vincolo di interezza si puo ben spiegareutilizzando lo stesso esempio precedente cambiando soltanto il dato del costo di ciascuna chiamatadella compagnia B in 28 centesimi anziche 30. Quindi x rimane il numero di chiamate e, ovviamente,il numero di chiamate deve essere un numero intero. Impostiamo la disequazione e risolviamola:

28x < 10x+1200 → 28x−10x < 1200 → 18x < 1200 → 618

618x <

61200 200

618 3→ x <

200

3

Ora 2003 non e un numero intero (infatti corrisponde al numero periodico 66, 6). Ma questo non

vuol dire che la soluzione non e accettabile, perche la soluzione e rappresentata da tutti i numeriinteri minori di 66, 6, cioe 66, 65, 64 . . . eccetera. Non consideriamo quindi i vincoli di interezza,perche, anche se la soluzione e delimitata da un numero non intero, e ugualmente accettabile.

Le fasi di risoluzione di un problema sono quindi:

1. Individuazione dell’incognita (cioe quale grandezza chiamare con la x).

2. Individuazione dei vincoli di range a cui deve sottostare l’incognita.

3. Creazione della disequazione risolutiva.

4. Risoluzione di tale disequazione

5. Verifica se la soluzione e accettabile.

Esempi

. Quando Franco nacque suo padre Francesco aveva 22 anni. Una vecchia leggenda dice che unuomo e considerato giovane fino a che la sua eta e maggiore del triplo di quella del figlio. Secondola leggenda fino a che eta del figlio Franco, Francesco puo considerarsi ancora giovane?

1. Indichiamo con x gli anni del figlio (Franco). Quindi, dal momento che Francesco ha 22 anniin piu, l’eta di Francesco e x + 22.

Alessandro Bocconi 33

2. Vincoli: deve risultare che x deve essere maggiore di 0 (Franco non puo avere un numero dianni negativo)

3. Francesco e giovane fino a che la sua eta (x + 22) e maggiore dell’eta del figlio moltiplicata 3(quindi 3x):

x + 22 > 3x

4. Risolviamola:

x+22 > 3x → x−3x > −22 → −2x > −22 → 2x < 22 → 6262x =

622 11

62 1→ x < 11

5. La soluzione soddisfa il vincolo.

Quindi Francesco e giovane fino a che Franco non raggiunge 11 anni.

. Roberta nei primi due compiti di storia ha preso 4 e 5 (voti espressi in decimi). Quanto deveprendere al terzo e ultimo compito per avere almeno la media del 6?

1. Indichiamo con x il voto che deve prendere al terzo compito.

2. Vincoli: dal momento che i voti vanno da 1 a 10 deve risultare che x deve essere maggiore ouguale a 1 e minore o uguale a 10.

3. la media su 3 voti si ottiene sommando i 3 voti e dividendo per 3. Dal momento che talemedia deve essere almeno 6 (e quindi maggiore o uguale a 6) la disequazione e:

4 + 5 + x

3≥ 6

4. Risolviamola:

4 + 5 + x

3≥ 6 → 4 + 5 + x

63≥ 18

63→ 4+5+x ≥ 18 → x ≥ 18−4−5 → x ≥ 9

5. La soluzione soddisfa il vincolo e quindi Roberta per avere la media del 6 deve prenderealmeno 9.

2.7 Domande

Paragrafo 2.1

1. Definisci le disuguaglianze, le disuguaglianze false, le disuguaglianze vere.

2. Che differenza c’e fra il simbolo “<” e il simbolo “≤”?

3. Cosa significa cambiare il senso di una disuguaglianza?

4. Cosa dicono le 3 proprieta invariantive delle disuguaglianze?

Paragrafo 2.2

5. Come e definito un intervallo limitato?

Alessandro Bocconi 34

6. Che parentesi si usa per indicare che un estremo appartiene all’intervallo? E che parentesi siusa se invece non ci appartiene?

7. Definisci un intervallo chiuso

8. Definisci un intervallo aperto

9. Definisci un intervallo aperto a destra

10. Definisci un intervallo aperto a sinistra

11. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; b]?

12. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; b)?

13. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; b]?

14. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; b)?

15. Definisci un intervallo illimitato

16. Fai un esempio di intervallo chiuso illimitato superiormente

17. Fai un esempio di intervallo aperto illimitato superiormente

18. Fai un esempio di intervallo chiuso illimitato inferiormente

19. Fai un esempio di intervallo aperto illimitato inferiormente

20. Perche e sbagliata la notazione [3; +∞]?

21. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; +∞)?

22. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; +∞)?

23. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (−∞; a]?

24. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (−∞; a)?

25. Quali sono i 2 unici intervalli impropri?

Paragrafo 2.3

26. Definisci una disequazione

27. Quando 2 disequazioni sono equivalenti?

28. Illustra i 3 principi di equivalenza

Paragrafo 2.4

29. Mostra con un esempio che spostare un monomio dal primo termine al secondo termine diuna disequazione cambiandogli il segno e una conseguenza del primo principio di equivalenza.

30. Mostra con un esempio che eliminare i denominatori di una disequazione e una conseguenzadel secondo principio di equivalenza.

31. Mostra con un esempio che cambiare il segno a tutti i monomi di una disequazione cambiandoil senso della disequazione stessa e una conseguenza del terzo principio di equivalenza.

Paragrafo 2.5

32. Quando una disequazione e determinata?

33. Quando una disequazione e indeterminata?

Alessandro Bocconi 35

34. Quando una disequazione e impossibile?

35. Come capiamo che una disequazione e indeterminata oppure impossibile?

Paragrafo 2.6

36. Perche nei problemi da risolvere con le disequazioni non viene considerato il vincolo diinterezza?

2.8 Esercizi e problemi

Paragrafo 2.1

1. Determina se sono vere o false le seguenti disuguaglianze:

3 · 2− 1 < 5 + 1; 23 − 1 ≥ 4 + 24 : 4; 5− 2 ≤ 13 + 10

3 −23

Verifica le seguenti disuguaglianze:

2. 20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1 ≥ (4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2) + 1

3. (10−2 ·3) · (13−5 ·2) : (0+3 ·2) ≤ 2 ·6+50+30− (2+8 ·5)+5 · (7−1 ·4)− (3+3 ·2 ·2) ·4−7

4. (14+4·5−4) : 10+10 : (5+5)+2·(7−3·2)−3 < 36 : 6 : (1+5)+39−5·4·(8−7)·(7·6−5·8)+3

Paragrafi 2.4 e 2.5

Risolvi le seguenti disequazioni

5. 2(x + 2)− 3(3− x) > 10 [S = {x ∈ R|x > 3}]

6. 4x− 4(x + 2) ≤ −2x− 5(x + 3) [S = {x ∈ R|x ≤ −1}]

7. 10− 7x < 2(x + 5) [S = {x ∈ R|x > 0}]

8. 6x+32 ≥ 7x+2

7 + 28x+1714 [S = {x ∈ R}]

9. 2 + 3x+52 − 12x < 3x+2

3 [S = {x ∈ R|x > 13}]

10. (2x + 1)2 − 10x > 4x(x + 3) + 10 [S = {x ∈ R|x < −12}]

11. −[2x + 10(6x + 1)− 41] + 4x ≤ 6(1 + 2x)− 10 [S = {x ∈ R|x ≥ 12}]

12. 4x+14 − 6x+2

3 < 5−12x12 [S = {x ∈ R}]

13. x− 13 + x+2

6 > 4(x− 1) + 76 [S = {x ∈ R|x < 1}]

14. 2x(3x− 2)− (x + 1)(x− 1) ≥ 5x(x− 1) [S = {x ∈ R|x ≥ −1}]

15. 2(x + 7)− 3x + 4[1 + 2(2x− 1)] ≤ 10(2x + 1)− 5x [S = {x ∈ R}]

16. 15x + 5

4 < −2720 −

23x [S = {x ∈ R|x < −3}]

17. 8x− (−2x− 5) + x ≥ −x + 23 [S = {x ∈ R|x ≥ 32}]

18. 15 + 22x + 1

2 ≤710 + 5x− x [S = {x ∈ R}]

19. 2000x + 10000 < 4000(1 + 2x) [S = {x ∈ R|x > 1}]

20. 16x

2 > −1 + x(x+3)6 [S = {x ∈ R|x < 2}]

21. 12 ≤

1−2x3 [S = {x ∈ R|x ≥ −1

4}]

Alessandro Bocconi 36

22. x + 8 + 3x2 + 2(x− 4) ≥ 3(x2 + x) [S = {x ∈ R}]

23. 2(2x + 2)− 2x > 4 + 3(2− x) [S = {x ∈ R|x > 65}]

24. (x + 2)(x− 3)− 2(1− 3x) < (x− 1)(x + 1) + 3 [S = {x ∈ R|x < 2}]

25. 2x + [2− 3(x− 1) + x] ≤ 4(x + 1) + 1 [S = {x ∈ R|x ≥ 0}]

26. 2[2x−12 + 2x+14 ] > x+1

2 −x2 + 1

2 [S = {x ∈ R|x > 12}]

27. 3x+86 − 7x+4

3 < 0 [S = {x ∈ R|x > 0}]

28. −5(1 + x) + 2(x− 3)− 2 ≥ −1 + x + 2(1− x) [S = {x ∈ R|x ≤ −7}]

29. 18 − 15(4− x

2 ) + x− 2(x− 1)− 2x ≥ 92x− 1 [S = ∅]

30. 16(2x+1

2 − 2x−13 + x ≤ −x

3 + 56(2x+1

2 + 2x−13 ) [S = {x ∈ R}]

31. 3 + [−(1− x)− 5(1− 2x)] < x + 5(2x− 3) [S = ∅]

32. 3(2x− 5)2 ≥ (4x− 1)2 − 5x(2x + 10)− 2(x− 37) [S = {x ∈ R}]

33. 2x−110 + 9 + x

60 < 3x+13 − 2

15(3x− 1) [S = {x ∈ R|x > 22}]

34. 2 + 3(x− 1)− (2x + 1) > −4x + 12− 3(x + 2) [S = {x ∈ R|x > 1}]

35. 5(2x + 3) + 10(3x + 1) > 3(6− 3x) [S = {x ∈ R|x > −17}]

Paragrafo 2.6

Risolvi i seguenti problemi evidenziando il vincolo di range e verificando se la soluzione eaccettabile

36. Un rettangolo ha un lato di 6 cm. Quanto deve essere l’altro lato affinche l’area sia maggioreo uguale a 42 cm2?

37. Per ottenere una borsa di studio Francesco deve avere almeno la media del 7 in tutte lematerie. Ai primi 3 compiti di matematica ha preso 6, 5 e 6 (voti espressi in decimi). Quantodeve prendere nel quarto e ultimo compito per ottenere la borsa?

38. Un venditore di penne acquista le penne ad un euro l’una e le rivende a 3 euro l’una. Ognimese ha delle spese fisse di 250 euro. Mensilmente quante penne deve vendere per non esserein perdita?

39. Un montacarichi puo portare un peso massimo di 750kg. Devono essere trasportati dei radia-tori in ghisa del peso di 120 kg l’uno. Considerando che l’addetto del montacarichi (che deveviaggiare con i radiatori) pesa 70kg quanti radiatori al massimo possono essere trasportati inciascun viaggio?

40. Mario ha comprato per 45 euro una tessera che gli permette di andare tutto l’anno al cinemaspendendo 5 euro anziche 8. Quante volte deve andare al cinema in un anno perche la tesseragli sia convenuta?

41. Martina vuole organizzare una festa e affitta una stanza di capienza massima 120 persone.Ogni persona invitata direttamente da lei puo portare con se altri 3 amici. Quante personepuo invitare direttamente Martina per essere sicura di non superare le 120 persone totali?

42. In una gara di tiro al piattello ogni giocatore ha a disposizione 100 lanci per superare ilpunteggio minimo di 210. Se il tiratore centra il piattello totalizza 3 punti altrimenti 0.Dopo 60 lanci ha realizzato 87 punti. Quanti centri deve fare nei restanti tiri per superare ilpunteggio minimo?

Alessandro Bocconi 37

43. In un girone eliminatorio di 4 squadre, passano le prime 2. In caso di parita si qualifica lasquadra con differenza reti migliore. I risultati delle prime 2 giornate sono stati: Italia-Polonia0-0; Camerun-Peru 3-1; Italia-Peru 1-2; Polonia-Camerun 2-2. L’ultima partita dell’Italia econtro il Camerun. Se vince l’Italia le 2 squadre vanno a pari punteggio, ma con quanti goldi scarto deve vincere per superare in classifica il Camerun?

44. una compagnia telefonica fa spendere 20 centesimi per ogni telefonata e 15 centesimi per ognisms. La mamma paga a Tommaso 10 euro al mese di ricarica telefonica. Dal momento cheTommaso ogni mese effettua sempre 35 telefonate, quanti sms puo inviare al mese per restaresotto i 10 euro?

45. Per preparare una torta i grammi di zucchero devono essere un terzo dei grammi di farina.Quanti grammi di farina ci vogliono per preparare piu di un chilo di torta?

Capitolo 3

I sistemi di primo grado

3.1 Le equazioni con due incognite

Consideriamo adesso la seguente equazione:

2x + y = 5

Rispetto alle equazioni del primo capitolo ci accorgiamo subito che sono presenti 2 incognite. Inmodo analogo a come abbiamo definito la soluzione di un’equazione ad una sola inconita, diamo la:

Definizione di soluzione di un’equazione con 2 incognite. Risolvere un’equazione con 2incognite, significa trovare una coppia di valori che, sostituiti alle incognite, trasformino l’equazionein una uguaglianza vera.

Osservazione. Una soluzione e quindi costituita da una coppia di valori: e sbagliato pensare che,dal momento che abbiamo trovato 2 valori, siamo di fronte a 2 soluzioni.

Torniamo quindi all’equazione da cui siamo partiti e proviamo a trovare una soluzione: con unpo’ di intuizione vediamo che la coppia (2; 1) e soluzione dell’equazione. Infatti sostituendo ad xil valore 2 e ad y il valore 1 (convenzionalmente il primo valore e sempre la x e il secondo la y)otteniamo:

primo termine: 2 · 2 + 1 = 4 + 1 = 5

secondo termine: 5

quindi sostituendo la coppia (2; 1) alle incognite l’equazione diventa un’uguaglianza vera e quindi(2; 1) rappresenta una soluzione dell’equazione. Sara l’unica? Proviamo la coppia (1; 3):

primo termine: 2 · 1 + 3 = 2 + 3 = 5

secondo termine: 5

e quindi anche (1; 3) e soluzione. Proviamo (12 ; 4):

primo termine: 62 ·162 + 4 = 1 + 4 = 5

secondo termine: 5

e quindi anche (12 ; 4) e soluzione. Proviamo (−3; 11):

38

Alessandro Bocconi 39

primo termine: 2 · (−3) + 11 = −6 + 11 = 5

secondo termine: 5

e quindi anche (−3; 11) e soluzione.

La sensazione che le coppie di valori che sono soluzioni dell’equazione siano infinite e avvaloratadal seguente:

Teorema. Un’equazione con due incognite ha infinite soluzioni.

Osservazione. Il fatto che un’equazione con 2 incognite abbia infinite soluzioni non significa chequalunque coppia di valori sia soluzione dell’equazione. Verifichiamo quanto detto con la solitaequazione prendendo ad esempio i valori (2; 3):

primo termine: 2 · 2 + 3 = 4 + 3 = 7

secondo termine: 5

e quindi (2; 3) non e soluzione.

In un linguaggio non del tutto appropriato potremmo dire che, sebbene le soluzioni di un’equazionecon 2 incognite siano infinite, sono molte di piu le coppie che non sono soluzione dell’equazione.

Metodo per determinare le soluzioni di un’equazione in 2 incognite. Un buon metodoper ricavarsi le soluzione di un’equazione in 2 incognite e quello di “esplicitarsi” un’incognita infunzione dell’altra, cioe, usando i principi di equivalenza, lasciare solo un’incognita al primo terminee il resto al secondo termine. Chiariamo usando sempre lo stesso esempio:

2x + y = 5 → y = −2x + 5

a questo punto possiamo dare ad x dei valori qualunque e calcolarsi il relativo valore di y. Peresempio se ad x diamo il valore 1 e lo sostituiamo nell’equazione otteniamo

y = −2 · 1 + 5 → y = −2 + 5 → y = 3

Quindi la coppia (1; 3) e soluzione dell’equazione.

3.2 I sistemi di primo grado

Supponiamo adesso di avere 2 equazioni entrambe con 2 incognite. Per quanto visto nel precedenteparagrafo tutte e 2 le equazioni hanno infinite soluzioni. Ci chiediamo se fra le infinite coppieche risolvono la prima equazione e le infinite coppie che risolvono la seconda equazione ce ne siaalmeno una che risolve entrambe le equazioni. Porsi questa domanda vuol dire provare a risolvereun sistema di due equazioni con 2 incognite.

Definizione di soluzione di un sistema di 2 equazioni con 2 incognite. La soluzione di unsistema di due equazioni in due incognite e costituita da quelle coppie di valori che, sostituite alleincognite, rendono entrambe le equazioni uguaglianze vere.

Alessandro Bocconi 40

Osservazione. Esistono sistemi di 3 equazioni con 3 incognite: in tal caso la definizione di soluzionee identica alla precedente basta sostituire a “coppie di valori. . . ” delle “terne di valori che sostituitialle incognite rendono le 3 equazioni uguaglianze vere”. Allo stesso modo potremmo continuarecon sistemi di 4 equazioni con 4 incognite o di 5 equazioni con 5 incognite eccetera eccetera.

Osservazione 2. Esistono sistemi in cui il numero di equazioni e diverso dal numero delle incognite.Tali sistemi non rientrano nella nostra trattazione.

Notazione. Il simbolo che ci permette di capire che siamo di fronte ad un sistema e un’unicaparentesi graffa che precede tutte le equazioni.

Definizione di grado di un sistema. Il grado di un sistema e dato dal prodotto dei gradi dellesingole equazioni che lo compongono.

Dal momento che in questo capitolo ci occuperemo soltanto di sistemi di primo grado, significa chetutte le equazioni che compongono tali sistemi sono di primo grado.

Torniamo adesso all’esempio del paragrafo precedente:

2x + y = 5

di questa equazione abbiamo trovato qualcuna delle infinite coppie che sono soluzione (erano (2; 1),(1; 3), (12 ; 4), (−3; 11)). Consideriamo adesso l’equazione:

10x− y = 1

e verifichiamo se le coppie soluzioni della precedente sono anche soluzioni di questa. Proviamo(2; 1):

primo termine: 10 · 2− 1 = 20− 1 = 19

secondo termine: 1

Quindi (2; 1) non e soluzione dell’ultima equazione. Proviamo (1; 3):

primo termine: 10 · 1− 3 = 10− 3 = 7

secondo termine: 1

Quindi (1; 3) non e soluzione dell’ultima equazione. Proviamo (12 ; 4):

primo termine: 610 5 · 162 − 4 = 5− 4 = 1

secondo termine: 1

Quindi (12 ; 4) e soluzione dell’ultima equazione.

Possiamo affermare quindi che la coppia (12 ; 4) essendo soluzione di entrambe le equazioni risolve ilsistema: {

2x + y = 510x− y = 1

Alessandro Bocconi 41

Osservazione. Si potrebbe obiettare che il metodo che abbiamo usato per trovare la soluzione delsistema non e certo ottimale, soprattutto per il fatto che, se al terzo tentativo non avessimo trovatola soluzione avremmo dovuto continuare indefinitamente con i tentativi. Per risolvere correttamenteun sistema si useranno i metodi illustrati nei prossimi paragrafi.

3.3 Sistemi in forma normale

Definizione di sistema in forma normale. Un sistema si dice in forma normale se in entrambele equazioni le incognite compaiono una sola volta e sono ai primi termini delle equazioni, mentrei termini noti sono ai secondi termini delle equazioni.

Esempi

. Il sistema alla fine del precedente paragrafo e in forma normale.

. Il seguente sistema: {7x + y − 3x + 2 = 5

10x = 1 + 4y

non e in forma normale perche nella prima equazione compare 2 volte la x e c’e un termine notoal primo termine (+2). Inoltre la seconda equazione ha la y al secondo termine. Un sistema comequesto si puo comunque facilmente ridurre a forma normale usando i noti principi di equivalenzadelle equazioni:

{7x + y − 3x + 2 = 5

10x = 1 + 4y→

{4x + y = 5− 2

10x− 4y = 1→

{4x + y = 3

10x− 4y = 1

Per questo nel seguito della trattazione useremo quasi sempre esempi con sistemi in forma normale.

3.4 Risoluzione di un sistema: il metodo della sostituzione

Illustriamo il metodo della sostituzione per passi tramite un esempio:

. Risolvere il sistema: {2x + 3y = 13

5x− y = 7

1. Scegliamo una qualunque delle due equazioni e all’interno della quale scegliamo una delle dueincognite da esplicitarsi (cioe lasciare al primo termine solo un’incognita con coefficiente 1):

Scegliamo ad esempio di esplicitarsi y dalla seconda equazione:

Alessandro Bocconi 42

{2x + 3y = 13

5x− y = 7→

{2x + 3y = 13−y = −5x + 7

→{

2x + 3y = 13y = 5x− 7

2. Sostituiamo nell’altra equazione, all’incognita esplicitata, l’espressione che abbiamo ricava-to. Quindi, in questo esempio, nella prima equazione sostituiamo alla y l’espressione 5x− 7.Sappiamo che tale sostituzione e corretta perche la seconda equazione ci dice che in questosistema y e 5x− 7 sono fra loro uguali:

{2x + 3(5x− 7) = 13

y = 5x− 7

Questa sostituzione ha l’enorme vantaggio di aver trasformato la prima equazione in un’e-quazione con una sola incognita

3. Si risolve l’equazione con un’incognita:

{2x + 3(5x− 7) = 13

y = 5x− 7→

{2x + 15x− 21 = 13

y = 5x− 7→

{17x = 13 + 21

y = 5x− 7

{617617x = 6342

6171y = 5x− 7

→{

x = 2y = 5x− 7

4. A questo punto il valore di un’incognita e stato trovato. Per determinare il valore dell’altra sisostituisce tale valore nell’altra equazione. Nel nostro caso sostituiamo ad x il valore 2 nellaseconda equazione:

{x = 2

y = 5 · 2− 7→

{x = 2

y = 10− 7→

{x = 2y = 3

La soluzione finale si scrive quindi:

S = {x, y ∈ R|x = 2, y = 3}

Osserviamo che scegliere di esplicitarsi y dalla seconda equazione e una della possibilita che abbia-mo. Verifichiamo che anche una scelta diversa avrebbe portato allo stesso risultato:

1. Scegliamo di esplicitarsi x dalla prima equazione:

{2x + 3y = 13

5x− y = 7→

{2x = −3y + 13

5x− y = 7→

{6262x = −3y+13

2

5x− y = 7

Alessandro Bocconi 43

2. Sostituiamo nella seconda equazione ad x l’espressione −3y+132 .

{x = −3y+13

2

5−3y+132 − y = 7

3. Si risolve l’equazione con un’incognita:

{x = −3y+13

2

5−3y+132 − y = 7

→{

x = −3y+132−15y+65

2 − y = 7→

{x = −3y+13

2−15y+65−2y62 = 14

62

{x = −3y+13

2−15y + 65− 2y = 14

→{

x = −3y+132

−17y = 14− 65→

{x = −3y+13

217y = 51

{x = −3y+13

2617617y = 6513

6171→

{x = −3y+13

2y = 3

4. Sostituiamo ad y il valore 3 nella prima equazione:

{x = −3·3+13

2y = 3

{x = 642

621y = 3

→{

x = 2y = 3

Il risultato e quindi lo stesso che abbiamo ottenuto prima.

Osservazione. E immediato osservare che il secondo procedimento e risultato piu lungo e labo-rioso del primo, e questo e dovuto al fatto che nel secondo caso, esplicitandosi la x, e comparsoil denominatore. Per questo motivo se e possibile, e sempre consigliabile esplicitarsi un’incognitache compare con coefficiente 1 o −1 (come accade alla y nella seconda equazione di questo esem-pio). Ovviamente se nessuna incognita compare con coefficiente 1 o −1 non possiamo evitare idenominatori.

Esempi

Risolvere il sistema: {3x + 4y − 5 = 0−x− 3y = −5

Per l’osservazione appena fatta scegliamo di esplicitarsi la x dalla seconda equazione:

{3x + 4y − 5 = 0−x = +3y − 5

→{

3x + 4y − 5 = 0x = −3y + 5

Sostituiamo ad x nella prima equazione l’espressione −3y + 5:

Alessandro Bocconi 44

{3(−3y + 5) + 4y − 5 = 0

x = −3y + 5

e risolviamo la prima equazione:

{−9y + 15 + 4y − 5 = 0

x = −3y + 5→

{−5y = −10

x = −3y + 5→

{5y = 10

x = −3y + 5

{6565y = 6102

651x = −3y + 5

→{

y = 2x = −3y + 5

Sostituiamo nella seconda equazione ad y il valore 2:

{y = 2

x = −3 · 2 + 5→

{y = 2

x = −6 + 5→

{y = 2

x = −1

La soluzione finale risulta quindi:

S = {x, y ∈ R|x = −1, y = 2}

. Risolvere il sistema: {3x + y = 7

9x− 2y = −9

Scegliamo di esplicitarsi y dalla prima equazione:

{y = −3x + 7

9x− 2y = −9

Sostituiamo ad y nella seconda equazione l’espressione −3x + 7:

{y = −3x + 7

9x− 2(−3x + 7) = −9

e risolviamo la seconda equazione:

{y = −3x + 7

9x + 6x− 14 = −9→

{y = −3x + 7615615x = 651

6153→

{y = −3x + 7

x = 13

Alessandro Bocconi 45

Sostituiamo nella prima equazione ad x il valore 13 :

{y = − 63 1 · 1

631x + 7

x = 13

→{

y = −1 + 7x = 1

3

→{

y = 6x = 1

3

La soluzione finale risulta quindi:

S = {x, y ∈ R|x =1

3, y = 6}

3.5 Sistemi determinati, indeterminati e impossibili

Tutti i sistemi visti nei precedenti paragrafi hanno un’unica soluzione. Tali sistemi si diconodeterminati. Esistono pero sistemi che non hanno nessuna soluzione (sistemi impossibili) esistemi che ne hanno infinite (sistemi indeterminati).

Nella risoluzione di un sistema ci accorgiamo se e indeterminato o impossibile se accade che durantela risoluzione scompare l’incognita e una delle due equazioni si trasforma in un’uguaglianza. Setale uguaglianza e falsa il sistema e impossibile mentre se tale uguaglianza e vera il sistema eindeterminato.

Osservazione 1. Il lettore faccia caso che per i sistemi impossibili e indeterminati valgono le stesseregole delle equazioni impossibili e indeterminate e delle disequazioni impossibili e indeterminate.

Osservazione 2. Il fatto che un sistema sia indeterminato non vuol dire che qualunque coppia divalori e soluzione del sistema. Quando una delle 2 equazioni si trasforma in una uguaglianza verale soluzioni del sistema sono date dalle coppie che risolvono l’altra equazione.

Chiariamo quanto detto tramite esempi.

Esempi

. Risolvere il sistema {3x− y = 4

−6x + 2y = 3

Scegliamo di esplicitarsi y dalla prima equazione:

{−y = −3x + 4−6x + 2y = 3

→{

y = 3x− 4−6x + 2y = 3

Sostituiamo ad y nella seconda equazione l’espressione 3x− 4:

Alessandro Bocconi 46

{y = 3x− 4

−6x + 2(3x− 4) = 3→

{y = 3x− 4

6−6x + 66x −8 = 3→

{y = 3x− 4−8 = 3

Nella seconda equazione e scomparsa l’incognita ed e diventata un’uguaglianza falsa. Pertanto ilsistema non ha soluzioni ed e quindi impossibile e si scrive S = ∅.

. Risolvere il sistema {x− 2y = 1

3x− 6y = 3

Scegliamo di esplicitarsi x dalla prima equazione:

{x = 2y + 1

3x− 6y = 3

Sostituiamo ad x nella seconda equazione l’espressione 2y + 1:

{x = 2y + 1

3(2y + 1)− 6y = 3→

{x = 2y + 1

66y +3− 66y= 3→

{x = 2y + 1

3 = 3

Nella seconda equazione e scomparsa l’incognita ed e diventata un’uguaglianza vera. Quindi ilsistema e indeterminato e ha come soluzione le infinite coppie che risolvono la prima equazione.Pertanto scriviamo S = {x, y ∈ R|x = 2y + 1}.

3.6 Il metodo del confronto

Affrontiamo adesso il metodo del confronto, mentre non considereremo in questa trattazione ilmetodo di riduzione e il metodo di Cramer, rimandando ad altri testi il lettore interessato.

E ovvio che la soluzione del sistema non dipende dal metodo utilizzato e quindi troviamo la stessasoluzione qualunque metodo usiamo. E altresı vero pero che, a seconda del sistema, un metodopuo essere piu conveniente di un altro, ed e solo l’esperienza e l’intuizione che ci suggerisce di voltain volta qual’e il metodo piu indicato.

Il metodo del confronto consiste nell’esplicitarsi la stessa incognita in entrambe le equazioni (sup-poniamo ad esempio la y). In questo modo in tutte e 2 l’equazioni al primo termine abbiamo lasola y e al secondo un’espressione che contiene solo la x. Dal momento che entrambe le espressionicontenenti la x sono uguali a y, devono essere anche uguali fra loro. Allora uguagliando le dueespressioni con la x otteniamo un’equazione nella sola incognita x che risolviamo. Una volta notala x, tramite una delle altre 2 equazioni ricaviamo la y. Chiariamo con un esempio:

Esempio

. Risolvere il sistema: {3x + y = 7

5x− 2y = 8

Alessandro Bocconi 47

Scegliamo di esplicitarsi y sia nella prima che nella seconda equazione:

{y = −3x + 7

−2y = −5x + 8→

{y = −3x + 72y = 5x− 8

{y = −3x + 76262y = 5x−8

2

Dal momento che le due espressioni contenenti la x sono entambe uguali a y devono essere ancheuguali fra loro. Scriviamo quindi nel sistema, al posto di una qualunque delle 2 equazioni, l’ugua-glianza fra tali espressioni:

{y = −3x + 7

−3x + 7 = 5x−82

e risolviamo la seconda equazione nella sola incognita x:

{y = −3x + 7

−6x+1462 = 5x−8

62→

{y = −3x + 7

−6x + 14 = 5x− 8→

{y = −3x + 7

−6x− 5x = −14− 8

{y = −3x + 7−11x = −22

{y = −3x + 7611611x = 6222

6111→

{y = −3x + 7

x = 2

Sostituiamo nella prima equazione ad x il valore 2:

{y = −3 · 2 + 7

x = 2→

{y = 1x = 2

La soluzione finale risulta quindi:

S = {x, y ∈ R|x = 2, y = 1}

3.7 Problemi risolubili tramite sistemi di primo grado

Molti problemi che abbiamo affrontato nel primo capitolo e abbiamo risolto utilizzando le equazionidi primo grado possono essere risolti mediante l’utilizzo dei sistemi. Prendiamo l’esempio gia vistonel paragrafo 1.5:

Esempio

. L’autostrada Firenze Pistoia e lunga 30 km. Lungo il percorso c’e Prato. La distanza da Firenzea Prato e un quarto della distanza fra Prato e Pistoia. Quanti chilometri ci sono fra Prato e Pistoia?Quanti fra Firenze e Prato?

Alessandro Bocconi 48

Dal momento che ci viene richiesta sia la distanza fra Prato e Pistoia sia quella fra Firenze e Prato,poniamo:

x = distanza in chilometri fra Prato Pistoia

y = distanza in chilometri fra Firenze Prato

I vincoli (vedi sempre paragrafo 1.5) sono:

• x e y non devono necessariamente essere interi (i chilometri sono frazionabili)

• deve risultare 0 ≤ x ≤ 30; 0 ≤ y ≤ 30

Utilizziamo i dati del problema: innanzitutto la distanza da Firenze a Prato (che abbiamo indicatocon y) e uguale a un quarto della distanza fra Prato e Pistoia (che abbiamo indicato con x). Quindi:

y =1

4x

inoltre sommando le 2 distanze si ottiene la distanza totale, cioe 30 km, quindi:

x + y = 30

Otteniamo allora il sistema: {y = 1

4xx + y = 30

Che risolto porta alla soluzione: {x = 24y = 6

che ovviamente la stessa di quella trovata al paragrafo 1.5.

. In un negozio di sport ci sono 21 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3palline e alcune scatole ne contengono 4. In tutto ci sono 69 palline da tennis. Quante sono lescatole da 3 palline? Quante sono le scatole da 4 palline?

Indichiamo con x il numero di scatole contenenti 3 palline e con y il numero di scatole contenenti4 palline.

I vincoli (vedi sempre paragrafo 1.5) sono:

• x e y interi.

• deve risultare 0 ≤ x ≤ 21; 0 ≤ y ≤ 21

Utilizziamo i dati del problema: in tutto le scatole sono 21, quindi se sommiamo il numero discatole da 3 palline (che abbiamo indicato con x) col numero di scatole da 4 palline (che abbiamoindicato con y) otteniamo 21:

x + y = 21

Inoltre, dato che in ciascuna delle x scatole sono contenute 3 palline avremo che il numero di pallinecontenute nelle scatole da 3 e 3x e, dato che in ciascuna delle y scatole sono contenute 4 pallineavremo che il numero di palline contenute nelle scatole da 4 e 4y. Ma in totale le palline sono 69quindi:

3x + 4y = 69

Otteniamo allora il sistema: {x + y = 21

3x + 4y = 69

Alessandro Bocconi 49

Risolviamolo:

{x = −y + 213x + 4y = 69

→{

x = −y + 213(−y + 21) + 4y = 69

→{

x = −y + 21−3y + 63 + 4y = 69

{x = −y + 21y = 69− 63

→{

x = −6 + 21y = 6

→{

x = 15y = 6

Quindi ci sono 15 scatole da 3 palline e 6 scatole da 4.

3.8 Domande

Paragrafo 3.1

1. Definisci la soluzione di un’equazione in 2 incognite

2. Quante soluzioni ha un’equazione con 2 incognite?

3. Mostra con un esempio che non e vero che qualunque coppia di valori e soluzione di un’equa-zione in 2 incognite.

Paragrafo 3.2

4. Definisci la soluzione di un sistema di 2 equazioni in 2 incognite

5. Definisci la soluzione di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite

6. Definisci il grado di un sistema

Paragrafo 3.3

7. Quando un sistema e in forma normale?

Paragrafo 3.5

8. Quando un sistema e impossibile?

9. Quando un sistema e indeterminato?

10. In un sistema indeterminato qualunque coppia di valori e una soluzione?

11. In un sistema indeterminato quali sono le infinite coppie di valori che lo risolvono?

3.9 Esercizi e problemi

Paragrafo 3.1

Delle seguenti equazioni determinare 5 coppie di valori che le risolvono e 5 coppie di valori che nonle risolvono.

Alessandro Bocconi 50

1. x− 2y = 3

2. 2x + 3y = 4

3. 12x + y = 2

4. 2x = 3y + 4

Paragrafo 3.3

Porta in forma normale i seguenti sistemi:

5.

{3x + 2y − 3 = −y + 21

x + 3y = 2y + 3

{2x + 23 = −4y + 21

y − x = 6

Paragrafi 3.4; 3.5; 3.6

Risolvi i seguenti sistemi:

6.

{5x + 3y = 18

x− 2y = 1S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 1}

7.

{2x + y = 8

−x + y = −1S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 2}

8.

{15x− y = −15

2x + y = −2S = {x, y ∈ R|x = −1; y = 0}

9.

{4x− 2y = −3−2x + y = −2

S = ∅

10.

{2x + y = −10

3x− y = 5S = {x, y ∈ R|x = −1; y = −8}

11.

{5x + y = −14

2x− y = 0S = {x, y ∈ R|x = −2; y = −4}

12.

{20x− y = 5x− 15

2x + y + 3 = 1S = {x, y ∈ R|x = −1; y = 0}

13.

{13x− 4y = −1

x− 5y = 12

S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 12}

14.

{x + 10y = 3

−2x− 20y = −6S = {x, y ∈ R|x = 13; y = −1}

15.

{x + 3y = 9

−2x + 2y = −2S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 2}

16.

{6x + 2y = 3

12x− 2y = 3S = {x, y ∈ R|x = 1

3 ; y = 12}

17.

{15x− 3y = 6

−10x + 2y = −4S = {x, y ∈ R|y = 5x− 2}

18.

{−3x + y = −14x−y6 + x

4 = 1S = {x, y ∈ R|x = 2; y = 5}

Alessandro Bocconi 51

19.

{2x + y = 4

10x− 3y = −4S = {x, y ∈ R|x = 1

2 ; y = 3}

20.

{4x + y = 11

−2x− 12y = −2

S = {∅}

21.

{15x + 29y = −1

x + 3y = 1S = {x, y ∈ R|x = −2; y = 1}

22.

{5x− 2y = 4x + 3y = −6

S = {x, y ∈ R|x = 0; y = −2}

23.

{x− 2y + 5 = −5

2x− y = 10S = {x, y ∈ R|x = 10; y = 10}

24.

{7x + 3y = 121x− y = 3

S = {x, y ∈ R|x = 17 ; y = 0}

25.

{8x− 2y = −6−4x + y = 3

S = {x, y ∈ R|y = 4x + 3}

26.

{x + y = −15

2x + 2y = −30S = {x, y ∈ R|y = −x− 15}

27.

{x− 8y = 18

−2x− 17y = −3S = {x, y ∈ R|x = 10; y = −1}

28.

{x− y = 0

x + y = −6S = {x, y ∈ R|x = −3; y = −3}

Paragrafo 3.7

Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli e verificando se la soluzione e accettabile

29. Mario ha comprato ieri 3 barattoli di marmellata e un pacco di biscotti spendendo 11 euro.Oggi ha comprato un barattolo di marmellata e 2 pacchi di biscotti spendendo 5 euro. Quantocosta un barattolo di marmellata? Quanto un pacco di biscotti?

30. Ogni volta che va in vacanza in Umbria Francesca va alcune volte a Perugia e alcune voltead Assisi. Quando va a Perugia compra sempre 4 souvenirs e 3 cartoline, mentre quando vaa Assisi compra 1 souvenir e 3 cartoline. Alla fine dell’ultimo viaggio ha 13 souvenirs e 21cartoline. Quante volte e andata ad Assisi? Quante volte e andata a Perugia?

31. Una macchina a doppia alimentazione (benzina e gpl) fa il pieno mettendo 20 litri di benzinae 30 litri di gpl spendendo 50 euro. Allo stesso benzinaio arriva un’altra macchina a doppiaalimentazione che mette 10 litri di benzina e 18 di gpl spendendo 27 euro. Quanto costa unlitro di benzina? Quanto costa un litro di gpl?

32. La scuola elementare Rodari ha tutte le classi composte dallo stesso numero di bambini.Anche la scuola La Pira ha tutte le classi composte dallo stesso numero di bambini (chenon e detto sia lo stesso numero di bambini di una classe della Rodari). Ad una iniziativapartecipano 3 classi della Rodari e 2 della La Pira: in tutto i bambini sono 110. Ad un’altrainiziativa ci sono 1 classe della Rodari e 4 della La Pira: in questo caso i bambini sono 120.Da quanti bambini e formata una classe della Rodari? Da quanti bambini e formata unaclasse della La Pira?

Alessandro Bocconi 52

33. Ad una gita scolastica della prima A partecipano la meta delle ragazze e tutti i ragazzi: intutto sono 17. Il giorno dopo, al compito in classe di matematica ci sono tutte le ragazze esolo la meta dei ragazzi: in tutto sono 16. Quante sono le femmine della prima A? Quantisono i maschi della prima A?