Appunti di Teoria della Crescita - Portale Unical · sfacente) della teoria della crescita neoclassica `e che il tasso di crescita del prodotto pro-capite di un paese `e determinato

Appunti di Teoria della Crescita

Davide Fiaschi

Questa e decisamente una versione provvisoria

14 aprile 2004

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Indice

1 Introduzione 1

2 I dati della crescita 9

3 La teoria classica della crescita 19

4 La teoria keynesiana della crescita 35

5 Il modello di Solow-Swan 51

6 Crescita con generazioni sovrapposte 79

7 Crescita ottima esogena 81

8 Teoria della crescita endogena 105

9 Sviluppi nella teoria della crescita endogena 133

10 Modelli di crescita dal lato della domanda 135

11 Conclusioni 137

12 Bibliografia 139

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iv INDICE

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Premessa

Il concetto di crescita di un paese ha subito nel corso del tempo profon-de modificazioni. Fino al Rinascimento la crescita di un paese si misuravain termini di prodotto complessivo, indipendentemente dal reddito che ogniabitante possedeva. Questo era essenzialmente dovuto al fatto che il signoredel paese era considerato il padrone sia delle terre che dei contadini che lecoltivavano, cosı che era la crescita della sua ricchezza l’unica variabile econo-mica rilevante per gli economisti del tempo (vedi l’introduzione di Roncagliaa Smith (1976)). Tuttavia gia da Smith (1976) si fa strada il concetto che lacrescita di un paese si dovesse misurare come il benessere di cui godevano isuoi abitanti. In questo senso il reddito medio era ritenuto la misura piu ap-propriata, anche perche all’epoca la maggior parte della popolazione possedaun reddito appena sufficiente a soddisfare i propri bisogni primari.

Nel corso del 1800 con lo sviluppo delle economie occidentali si fa stradanella letteratura economica il concetto di utilita come misura della crescitadi un paese e in particolare si comincia a parlare di benessere come indicepiu appropriato per misurare lo sviluppo di un paese. Tuttavia, dal punto divista operativo quest’ultimo concetto si presta ad interpretazioni ambigue.In effetti, e sentimento comune che la crescita del consumo di per se possa au-mentare il benessere, ma che anche altri fattori entrano nella determinazionedi quest’ultimo. Ad esempio un economista italiano, Fua (1993), sostenevache la crescita di un paese potesse essere misurata in maniera piu appropriatadalla speranza di vita degli abitanti; in sostanza questo indicatore, almenoquando l’orizzonte temporale e molto lungo, rileva in maniera piu significa-tiva le variazioni nel benessere degli individui. Una vita piu lunga e infatti ilrisultato di tutta una serie di fattori che sono collegati strettamente al benes-

1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

sere, come il reddito, ma non solo; possiamo pensare ad altri fattori come laqualita del lavoro che svolge una persona, l’ambiente in cui vive, un’adeguataalimentazione, etc.. Esiste una branca dell’economia, chiamata teoria dellasviluppo, in cui si sono proposti tutta una serie di indicatori per misurare lacrescita di un paese, come ad esempio la distribuzione del reddito, la poverta,la disoccupazione, etc..

Un aspetto che negli anni piu recenti ha assunto una rilevanza crucialenella misura del benessere e la qualita dell’ambiente in cui si vive. E’ pos-sibile portare esempi di consumi che non aumentano il benessere di per se,ma servono a neutralizzare gli effetti negativi della crescita dell’economia. E’questo il caso delle cosidette spese difensive, che vengono operate per cerca-re di limitare gli effetti delle azioni di altri individui. In questo caso ad unaumento dei consumo non segue un aumento del benessere, ma addiritturauna sua diminuzione. Inoltre, la misura della crescita tramite il sempliceprodotto corrente puo nascondere una dinamica di sperpero delle risorse, acui seguira in futuro una minore capacita di consumo. Questo suggerisceche la variabile significativa per misurare la crescita di un paese dovrebbeessere la variazione dello stock di ricchezza, in cui quest’ultima deve essereintensa non in semplici termini monetari, ma come indice delle possibilita diconsumo future ( Hicks (1954) propone un concetto molto simile di reddi-to). Il recente interesse per la cosidetta contabilita ambientale da parte diimportanti organismi internazionali (vedi le elaborazioni della World Banksul cosidetto PIL verde) e nazionali (ISTAT) testimonia questa esigenza.1

Nel seguito noi consideremo come indicatore di crescita il solo tasso di cre-scita del consumo e/o reddito pro-capite. Questa scelta e dettata soprattutodal il nostro obiettivo di fondo, ossia l’esposizione della teoria della crescita,che di norma ignora gli aspetti su descitti. Tuttavia metteremo in evidenza

1Per cogliere questo punto si consideri un’economia in cui la capacita di produzionedipende dallo stock di capitale fisico, dal lavoro e dalle risorse naturali utilizzate, ossia

Y = F (K, L, R) ;

se le risorse naturali sono date e non rinnovabili e vengono consumate se impiegate nel pro-cesso produttivo allora ad una maggiore impiego nella produzione corrente corrisponderauna diminuzione nello stock disponibile nel futuro, ossia:

E = −R.

Questo rende evidente che la massima crescita di breve periodo potrebbe non significaremassima crescita di lungo periodo.

Un altro aspetto riguarda gli effetti dell’ambiente sulla godibilita del consumo, ossia Epotrebbe influire sull’utilita del consumatore, cosı che massima crescita anche di lungoperiodo potrebbe non significare massima utilita.

1.2. TIPOLOGIA DEI MODELLI DI CRESCITA 3

che in alcuni modelli massima crescita puo non implicare massimo benessere,cosı come la presenza di costi ambientali o ineguaglianza nella distribuzionedelle risorse puo suggerire di sacrificare parte della crescita per un maggiorbenessere complessivo.

Una menzione speciale merita la linea di ricerca del premio Nobel Amar-tya Sen. In Sen (2000) l’autore propone di misurare la crescita di un paese intermini di capacita che ogni individuo ha di perseguire le proprie inclinazionie di vedere riconosciute le proprie capacita. In tale prospettiva il redditomonetario e solo un fattore fra altri ugualmenti importanti, come lo stato disalute degli individui, l’eta, etc.. E’ immediato che la crescita in questo ap-proccio ben difficilmente puo essere riassunta in un solo indice, ma sara datada vari indicatori, anche se e non possibile formulare un indice che riassumasinteticamente tutti questi aspetti.

1.2 Tipologia dei modelli di crescita

Una classificazione tra i modelli di crescita elaborati negli ultimi 50 annipuo essere fatta sulla base di quale lato, fra domanda ed offerta, risultaprevalente nello spiegare la crescita. In particolare, la maggior parte deimodelli neoclassici vede nell’offerta il lato cruciale del processo di crescita,mentre i modelli keynesiani individuano nella domanda il fattore crucialenella spiegazione di crescita di un paese.

Premesso che negli autori classici il concetto di crescita di lungo periodo emolto dibattuto, la distinzione fra modelli dal lato dell’offerta e della doman-da non e sempre facile. In Smith (1976) sia la domanda che l’offerta giocanoun ruolo cruciale, poiche e l’estensione del mercato che crea la possibilita didivisione del lavoro, mentre e il risparmio e l’accumulazione di capitale checoncretizzano le possibilita di crescita di un paese.

In Ricardo e il lato dell’offerta che e prevalente sulla domanda, poiche lacrescita e determinata dall’investimento dei capitalisti; tuttavia i rendimentidecrescenti dovuti alla diversa fertilita del suolo impediscono una crescita dilungo periodo poiche causano una diminuzione del saggio di profitto mano amano che l’economia cresce.

Malthus, diversamente, individua nella domanda una componente impor-tante nella crescita di un paese, poiche pensa che un’insufficiente domandapossa essere la maggiore causa di un’insufficiente tasso di investimento.

Marx e l’autore piu controverso. La sua previsione della fine del capitali-smo (almeno per ora) non si e avverata, anche se le crisi da sovrapproduzionesi sono verificate. Tuttavia ai nostri fini Marx e importante per la sua ideadel processo capitalistico come lotta tra grandi imprese, in cui il progresso


tecnico risulta un’arma fondamentale. La competizione e quindi il motoredel processo di innovazione e quest’ultimo e quello che fa crescere l’economia(tuttavia, Marx riteneva tuttavia questo processo destinato ad esaurirsi).

Schumpeter riprende questa impostazione e chiarisce ancora di piu il ruolodell’imprenditore, ossia di colui che sfrutta una scoperta al fine di persegui-re il proprio profitto. L’innovazione, la base del progresso tecnologico, elo strumento tramite cui l’imprenditore rompe il monopolio del precedenteinnovatore ed instaura il proprio. Questa distruzione della rendita monopo-listica precendente e la creazione di una nuova ha suggerito all’autore che lacrescita di un paese si realizza tramite un processo di ”distruzione creatrice”.Alcune moderne teorie della crescita hanno ripreso questa impostazione nellaspiegazione del processo di crescita di un paese.

I modelli keynesiani elaborati negli anni 1940− 1950 da Harrod e Domarrappresentano il tentativo di estendere la teoria di Keynes, essenzialmentestatica, ad un contesto dinamico e quindi di crescita. L’investimento e vistonel suo duplice ruolo di componente della domanda effettiva e come mezzo diincremento della capacita produttiva tramite l’aumento dello stock di capita-le. L’individuazione delle condizioni sotto le quali la crescita possa avvenirelungo un sentiero di crescita bilanciata e quindi il primo obiettivo dell’anali-si; successivamente, tenendo in considerazione il ruolo delle aspettative nelledecisioni di investimento, la domanda che ci si e posti e sotto quali condi-zioni il sistema sia stabile, ossia converga o no verso il sentiero di crescitabilanciato (di qui i concetti di tasso naturale di crescita, tasso garantito etasso effettivo). Il ruolo dello stato e in questi modelli essenziale, perche lacrescita mostra un’intrinseca instabilita.

A tale impostazione si contrappone l’impostazione neoclassica di Solow eSwan esposta in articoli del 1956. Questi autori, partendo da un’impostazionekeynesiana di breve periodo e assumendo sostituibilita fra fattori, giuongonoa conclusioni completamente diverse rispetto al modello di Harrod-Domar,in particolare per quello che riguarda la stabilita della crescita di lungo pe-riodo. Un’importante estensione della teoria originaria di Solow si ha conalcuni autori, tra cui Shell e Cass, che endogenizzano il saggio di risparmioe fornisco una teoria della crescita coerente con le fondamenta microecono-miche della teoria del risparmio. La conclusione piu rilevante (e insoddi-sfacente) della teoria della crescita neoclassica e che il tasso di crescita delprodotto pro-capite di un paese e determinato dal saggio esogeno di crescitadella produttivita. Distribuzione del reddito, aspettative, saggio di rispar-mio sono considerati ininfluenti nella determinazione del tasso di crescita diun’economia

La teoria neoclassica ha dominato la letteratura della crescita fino allameta degli anni ’80. In questi anni alcuni autori propongono diverse teorie

1.3. COSA TROVERETE IN QUESTI APPUNTI 5

per una spiegazione endogena (ossia in termini economici) del tasso di pro-gresso tecnico. Da questi primi sviluppi emerge una crescente letteratura chericonsidera i fattori che determinano la crescita di lungo periodo: ritornano acontare gli aspetti distributivi, il saggio di risparmio e le istituzioni, variabiliche la la letteratura pre teoria neoclassica aveva studiato a fondo. E anchein particolari circostanze la domanda effettiva ritorna ad avere un ruolo.

1.3 Cosa troverete in questi appunti

L’esposizione si articolera nel seguente modo.Nel capitolo 2 riportiamo alcune osservazioni sulla storia del mondo sia del

lungo periodo, sia degli ultimi due secoli e una descrizioni dei fatti economiciche accompagnano il processo di crescita. Il principale motivo e mostrarecome gli ultimi due secoli siano stati anni di sviluppo eccezionale sia perl’aumento del reddito pro capite che come incremento della speranza di vita.Non per tutto il mondo, tuttavia, e stato cosı e questo potra fornire utilisuggerimenti per i modelli teorici che studieremo nel seguito. Vengono inoltreindividuati alcuni fattori che si ritengono decisivi nel processo di crescitadei paesi. Infine, si espongono alcune considerazioni sul cosidetto fenomenodella convergenza del reddito fra paesi, oggetto recentemente di un’ampialetteratura.

Nel Capitolo 3 analizzeremo i contributi dei teorici classici della crescita.Lo scopo non e storiografico, ma bensı di mostrare come tali teorie non sianoancora del tutto superate e anzi in grado di suggerire aspetti del processo dicrescita che solo parzialmente sono stati esplorati nelle piu recenti teorie dellacrescita. In particolare, l’attenzione sulla divisioni in classi dell’economia el’attenzione alla distribuzione del reddito sono fattori che trovano un nuovointeresse nella moderna teoria della crescita.

Nel Capitolo 4 esponiamo il modello di crescita keynesiano, al cui centroc’e la considerazione della doppia effetto degli investimenti, ossia l’aumentosia della domanda effettiva che dello stock di capitale e quindi della capacitadi produzione di un’economia. La principale conclusione e che l’economia eintrinsecamente instabile e che l’intervento pubblico e quindi necessario.

Nel Capitolo 5 introduciamo il modello di base della teoria neoclassicadella crescita, il cosidetto modello di Solow-Swan. Elaborato in risposta allateoria della crescita keynesiana, il modello fornisce precise implicazioni sulprocesso di crescita dei paesi, che sono state oggetto di molteplici analisi em-piriche. Oltre a dimostrare l’intrinseca stabilita della crescita dell’economia,che tende naturalmente a crescere lungom un sentiero di crescita bilanciato,il modello prevede che (i) la crescita del reddito pro-capite nel lungo perio-


do e determinata dal tasso di crescita esogeno del progresso tecnico e (ii) ilreddito pro-capite dei diversi paesi deve convergere, a meno di differenze nelsaggio di risparmio e/o nel tasso di crescita della popolazione. Quest’ulti-mo risultato e alla base del cosidetto concetto di convergenza condizionata.Discuteremo i punti deboli di tale concetto e proponiamo un’estensione delmodello di base che possa spiegare la non convergenza nel reddito pro-capitedei paesi mostrando la possibile esistenza di cosidette trappole di poverta.

Nel Capitolo 6 presenteremo un modello a generazioni sovrapposte. Talemodello ha la peculiarita di considerare un’economia dove gli agenti hanno etae preferenze differenti e quindi ben si adatta a studiare particolari problemiconnessi alla crescita dove la struttura demografica gioca un ruolo cruciale,come ad esempio i sistemi pensionistici e l’educazione. Inoltre, il capitoloci introduce allo studio delle scelte ottime intertemporali, che sono alla basedella moderna teoria della crescita.

Nel Capitolo 7 introduciamo la teoria della crescita ottima esogena, dovel’aggettivo ottima e dovuto alla endogenizzazione del saggio di risparmio,che nel modello di Solow-Swan era assunto costante. Oltre questo, il modelloriprende la struttura neoclassica tipica e arriva a conclusioni molto similiriguardo sia la stabilita che il tasso di crescita pro-capite del reddito. Neglianni 80 un ampia letteratura ha avanzato radicali critiche, sia metodologicheche empiriche a tale modello, da cui prende origini la teoria della crescitaendogena.

Alla base della teoria della crescita endogena esposta nel Capitolo 8 vi ela considerazione che il progresso tecnologio puo e deve essere spiegato in ter-mini economici. Nell’esposizione dei piu importanti contributi partiremo dallavoro che ha dato il via a questa letteratura, ossia Romer (1986). Romeridentifica nella conoscenza acquisita tramite l’attivita produttiva (learningby doing) il fattore cruciale nello spiegare il processo di crescita di un paese.Propieta cruciali per cui la conoscenza possa generare una crescita continuasono la non rivalita e non escludibilita, tipiche di un bene pubblico. L’intui-zione che la presenza di beni pubblici possa giocare un ruolo fondamentalenel processo di crescita di un paese e ribadita in Barro (1990), dove la spesapubblica produce esternalita positive sulla produttivita dei fattori privati. Leproblematiche connesse al suo finanziamento ci introducono agli effetti dellapolitica fiscale nei modelli di crescita endogena.

Successivamente ci occupiamo di un altro filone di letteratura, il cui con-tributo di riferimento e Lucas (1988), in cui la crescita e generata dall’accu-mulazione di capitale umano. La qualificazione della forza lavoro in questoambito e vista come un’attivita intenzionale degli individui e risulta tantopiu facile quanto piu e alto il livello medio di capitale umano dell’economia.

Infine, presentiamo modelli in cui il progresso tecnico e visto come l’in-

1.3. COSA TROVERETE IN QUESTI APPUNTI 7

troduzione di nuovi beni a seguito di un processo innovativo. Romer (1987)e Aghion e Howitt (1992). In questi modelli l’innovazione e esplicitamentemodellata, con particolare riferimento alla teoria economica dei brevetti. Ilpunto cruciale e che il costo di ogni innovazione e relazione decrescente con lostock di innovazioni precedenti, cosı che l’innovazione ha due effetti, il primodi rendere disponibile un nuovo bene o abbassare il costo di produzione diuno esistente e l’altro di incrementare lo stock di conoscenza e quindi favorirele innovazioni future.

Nel Capitolo 9 presenteremo tre filoni di ricerca recenti della teoria del-la crescita; il primo fa riferimento alla teoria del capitale umano quando ilmercato del credito e imperfetto e gli individui hanno dotazioni iniziali etero-genee, il secondo e un modello di crescita con costi difensivi, mentre il terzoendogenizza le scelte di natalita degli agenti.

Nel Capitolo 10 esponiamo un modello dove il lato della domanda ri-sulta determinante nello stabilire le possibilita di decollo e di crescita diun’economia.

Nelle Considerazioni Finali tiriamo le somme dello stato attuale dellateoria ed indicano alcune possibili linee di ricerca future.


Capitolo 2

I dati della crescita

Perche serve sapere un po di storia del mondo nello studio della teoria dellacrescita? In generale gli economisti traggono l’ispirazione dai fatti per formu-lare le loro teorie (o dovrebbe essere cosı) e noi conosciamo i fatti piu antichitramite l’analisi degli storici economici, e solo per l’ultimo secolo e per unlimitato numero di paesi abbiamo dati piu quantitativi su cui ragionare. Sevogliamo avere un panorama affidabile e completo della crescita dei paesi delmondo dobbiamo limitare la nostra attenzione agli ultimi 50 anni. E’ chiaroche un orizzonte cosı limitato induce molte limitazioni nelle conclusioni chepossiamo trarre e soprattutto nella verifica delle teorie proposte. Il principaleriferimento bibliografico nella nostra discussione sulla storia del mondo sonoi recenti libri di Maddison (2001) e Livi Bacci (2000).

2.1 Osservazioni sul processo di crescita di

lungo periodo dei paesi

Per comodita nel seguito riportiamo alcune Tabelle prese da Maddison (2001),che ci serviranno come punto di riferimento per alcune osservazioni successive.

INSERIRE TABELLE MADDISONNel seguito riporteremo alcune osservazioni che dovrebbero essere sempre

tenute presenti per uno studioso che si occupa dei fenomeni di crescita.

1. La crescita degli ultimi due secoli e un fatto assolutamente eccezionalemisurata sia in termini di reddito pro capite sia in termini di speranzadi vita ( Livi Bacci (2000) e Sen (2000)); le tabelle 1.1, 1.2, 1.3, 1.4,1.5 in Maddison (2001)) mostrano tale eccezionalita. Non si ritiene cheesiste un altro periodo storico, ad esempio durante l’impero romano, incui tale velocita di sviluppo si sia manifestata.

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10 CAPITOLO 2. I DATI DELLA CRESCITA

2. Lo sviluppo non ha riguardato tutti i paesi in egual misura (vedi Lan-des (1998) e Sen (2000)). I dati sul livello di reddito pro capite e sullasperanza di vita dei diversi paesi mostrano che tale divergenza e diven-tata particolarmente significativa dopo il 1800 (vedi Tabelle 1.1, 1.2,1.3, 1.4, 1.5 in Maddison (2001) e figure ?? DA FARE ED INSERIREFIGURE SUL LIVELLO DI VITA MEDIO PER I DIVERSI PAESIDA PRENDERE DALLA WORLD BANK).

3. Esiste una forte caratterizzazione geografica nello sviluppo (vedi Ta-belle 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 in Maddison (2001)). I paesi piu viciniall’equatore sembrano crescere di meno, cosı come in genere i paesiafricani.

4. La tecnologia ha giocato un ruolo fondamentale (vedi Landes (1969)e Landes (1998)). In particolare, la rivoluzione industriale ha fattosentire i suoi effetti dalla meta del 1700. Un modo standard per misu-rare il progresso tecnico e il calcolo del residuo di Solow, che rappresentala crescita non spiegata del reddito, dopo aver tenuto conto dell’accu-mulazione del capitale e della crescita della forza lavoro. In un articolodel 1957 Solow (vedi Solow (1957)) indicava nel progresso tecnico lamaggior fonte di crescita del reddito degli Stati Uniti.1 Se questo eravero fino alla fine degli anni 60, cio non vale per il recente passato siaper gli Stati Uniti che per l’Italia. Nella tabella abbiamo riportato ilcalcolo per il residuo di Solow per il periodo 1980-2001 e per altre va-riabili di interesse, dove si evidenzia che il progresso tecnico ha giocatoun ruolo limitato, mentre e preponderante l’accumulazione di capitale:Nella Tabella abbiamo riportato anche il tasso di crescita della produt-

1In pratica, seguendo Solow (1957), se assumiamo la seguente funzione di produzionea rendimenti di scala costanti ed i fattori produttivi siano solo capitale e lavoro:

Y = AKαL1−α,

dove A misura il progresso tecnico, K e il capitale e L la forza lavoro abbiamo che:

Y

Y=

A

A+ α

K

K+ (1 − α)

L

L,

da cui:A

A=

Y

Y− α

K

K− (1 − α)

L

L.

Empiricamente io posso stimare il tasso di crescita del progresso tecnologico AA poiche

conosco tutte le grandezze poste a destra dell’uguaglianza. La stima di α si ottiene as-sumendo la regola marginalistica di remunerazione dei fattori e quindi corrisponde allaquota del prodotto totale che remunera il fattore capitale.

2.1. CRESCITA DI LUNGO PERIODO 11

Italia: 1980-2001 USA: 1980-1996 Hong Kong:Tasso di crescita del capitale 2.32 2.41 ...Tasso di crescita degli occupati 0.51 1.58 ...Tasso di crescita del PIL 1.86 2.63 ...Residuo di Solow 0.38 0.8 ...Tasso di crescita della produttivita 1.35 1.05 ...

Tabella 2.1: Fonte: ISTAT e Mankiw (2001), p. 90

tivita, ossia il tasso di crescita del PIL per il numero di occupati, chedovrebbe rappresentare l’indice per eccellenza per misurare la crescitadel paese. Vediamo che questo e pari a 1.35%, leggermente piu elevatodel tasso di crescita statunitense.

5. I processi di sviluppo sembrano essere accompagnati da un cambiamen-to strutturale nella composizione dell’output. In particolare, in unaprima fase si osserva lo sviluppo di un settore manifatturiero a spesedel settore agricolo; successivamente i servizi sono diventati il settorepredominante nelle economie piu avanzate sia in termini di valore ag-giunto che di occupati (vedi Strassman (1956) e Baldwin (1956)). Idati sul cambiamento strutturale in alcuni paesi mostrano tale aspettocomune del processo di crescita ( vedi figure ?? DA INSERIRE SULLABASE DEI DATI WORLD BANK).

6. Non c’e accordo su quali siano i fattori necessari allo sviluppo, cosıcome sull’applicabilita del modello di sviluppo seguito dai paesi ades-so ricchi sia applicabile agli attuali paesi sottosviluppati (vedi Landes(1998)). Approccio liberista o statalista? Quali istituzioni favorisconola crescita di un paese? E’ un bene l’apertura al commercio internazio-nale? Gli autori classici al rigurdo, ad eccezione di Malthus, erano tutticonvinti che l’apertura al commercio internazionale fosse un bene. LaTeoria dello Sviluppo (Development Economics), tuttavia, ha elabora-to molti modelli in cui l’apertura internazionale puo risultare dannosaper un paese (vedi anche le considerazioni di Maddison (2001) sull’ef-fetto di politiche liberiste nella storia DA RIPORTARE IN MANIERASUCCINTA).

7. Lo sviluppo non e un risultato obbligato. Maddison (2001) mostra cheesistono periodo storici molto lunghi dove il reddito e la speranza divita sono sostanzialmente rimasti costanti nel tempo (vedi Tabelle 1.1,1.2, 1.3, 1.4, 1.5 in Maddison (2001)).


8. L’aver raggiunto un certo grado di prosperita non sembra garantire chesi possa mantenere per sempre tale livello. La storia mostra che esistela possibilita di un declino anche sostanziale nei livelli di vita e que-sto declino puo risultare duraturo nel tempo. Ad esempio, la cadutadell’impero Romano ad opera delle invasioni barbariche ha portato adun tale decadenza la coltivazione della terra che l’economia europeadovette attendere secoli per poter ritornare ai livelli di benessere rag-giunti ai tempi della caduta dell’impero Romano (vedi Smith (1976)).Un altro esempio, anche se riferito ad un periodo piu limitato, e l’Ar-gentina, che ha visto il suo reddito e benessere diminuire drasticamentenegli ultimi decenni. Questo e vero anche per la Russia e in generaleper le republiche ex sovietiche (vedi Tabelle 1.1, 1.2 e 1.3 in Maddison(2001)). Quindi nonostante l’incremento nel livello delle conoscenzetecnologiche, lo sviluppo potrebbe essere reversibile.

9. La speranza di vita ed il livello del reddito sembrano essere strettamentecorrelati, almeno nel lungo periodo (vedi Tabelle 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 inMaddison (2001) e Livi Bacci (2000)). Tuttavia l’intervento dello Statonel settore sanitario potrebbe rendere tale rapporto non cosı diretto(vedi Sen (2000)). Esiste un rapporto di causalita che va sicuramentedal livello del reddito alla speranza di vita, tuttavia e possibile ancheipotizzare anche il contrario, poiche ad esempio la teoria del ciclo divita ci dice che risparmio e quindi accumulazione, crescono al crescere

10. Le tendenze di breve periodo possono essere molto fuorvianti per stabi-lire l’andamento di lungo periodo di un paese. La Russia e un esempiodi tale caso. La Cina nel lungo periodo fornisce un altro

11. L’ordinamento sociale ed economico come influisce sulla crescita? Smith(1976) previde che le colonie inglesi in America avrebbero avuto mag-gior sviluppo delle colonie spagnole in sudamerica grazie alla maggioreliberta nel commercio delle prime e alla minore tassazione inglese.

12. La certezza dei diritti di proprieta sembra un fattore cruciale nellostimolo alla crescita. I paesi in cui l’odinamento giurico e meno svi-luppato ed esiste una criminalita estesa si riscontra una minor crescita(vedi Smith (1976)).

13. La divisione della terra e un fattore cruciale nello sviluppo di un pae-se. Esiste infatti una forte correlazione fra l’estensione del latifondo el’incapacita di un paese a crescere (vedi Smith (1976)). In generale la

2.2. ALCUNI FATTI STILIZZATI 13

disuguaglianza nella distribuzione delle risorse sembra essere un fatto-re negativo nella crescita di una paese (vedi Figura ?? DA INSERIRESULLA BASE DEI DATI DI DANNIS E SQUIRE).

14. Piccole differenza nei tassi di crescita di lungo periodo possono risul-tare in grandi differerenze nell’arco di pochi decenni. La dinamica del-la distribuzione del reddito a livello mondiale sembra portare ad unapolarizzazione nei livelli del reddito (vedi Figura ?? DA INSERIREDUE FIGURE, UNA CON LA DISTRIBUZIONE AD INIZIO E L’AL-TRA ALLA FINE CON REDDITI RELATIVI). Questo ci introduceal problema della convergenza fra i redditi dei paesi.

15. Esiste una correlazione fra la presenza dello stato e la crescita di unpaese? Le analisi empiriche sono a questo riguardo non conclusive.Parlare di presenza dello stato in generale non sembra che porti moltolontano. Dividendo sia la spesa che le fonti di tassazione in manierapiu analitica puo essere piu informativo. La tassazione deprime di perse la crescita di un paese perche diminuisce gli incentivi ad investire.Tuttavia vi sono alcuni interventi dello Stato che sembrano fornire ungrosso contributo alla crescita di un paese, come le infrastrutture el’educazione. Alcune spese statali che possono sembrare improduttivesi rivelano a livello aggregato efficaci nell’aumentare il benessere. (vediFigura ?? DA INSERIRE PRENDENDO I DATI PENN WORLDTABLE)

2.2 Alcuni fatti stilizzati sui processi di cre-

scita dei paesi negli ultimi decenni

Esistono dei fatti stilizzati che possono descrivere la dinamica di crescita deipaesi. Kaldor parlava di alcune proprieta che caratterizzano i sentieri di cre-scita dei paesi sviluppati, con espresso riferimento ai paesi occidentali. Altriautori hanno modificato/aggiunto tali fatti stilizzati, sulla base di analisi em-piriche sull’andamento dei tassi di crescita relativi agli ultimi 40 anni per unampio insieme di paesi. Le conclusioni possono essere cosı riassunte:

1. alcuni paesi sembrano muoversi su un sentiero di crescita bilanciato,dove Y/K e costante, il saggio di interesse e costante, mentre i saggidi salario crescono proporzionalmente al crescere dell’output. Le quotedei fattori produttivi capitale e lavoro rimangono approssimativamentecostanti. Gli Stati Uniti sono uno di questi paesi. Tuttavia questo non


si e verificato per tutti i paesi (vedi ad esempio Jones (2003)). Unodi questi e l’Italia:INSERIRE GRAFICO CON LA QUOTA DELLERETRIBUZIONI SUL TOTALE PIL.

2. esistono sostanziali differenze nella crescita dei paesi, che anche partonoda livello di reddito simili (VEDERE TABELLA CON I DATI MEDIDI DUE DIVERSI GRUPPI ES. AFRICA E TIGRI)

3. esiste una relazione ad U rovesciata fra livello di sviluppo e disugua-glianza dei redditi (E’ VERO? VERIFICARE CON DENNIS-SQUIRE)

4. Durante il processo di crescita si registra un cambiamento nella strut-tura produttiva, passando da economie agricole, ad economie in cui lamaggior parte del reddito nazionale viene dai servizi. A questo puo cor-rispondere regimi di crescita differenti. Il seguente grafico riporta unstima non parametrica dei tassi di crescita associati a differenti livellidel prodotto-pro capite:INSERIRE FIGURA (maggiori dettagli sonoin Fiaschi and Lavezzi (2003))

5. L’urbanizzazione e un fenomeno che accompagna la crescita di un paese(vedi Livi Bacci (2000)). A questo riguardo sia Smith che Platone ve-devano la formazione delle Citta un necessario fenomeno nella crescitadi un paese.

6. Dopo il 1973 il tasso di crescita dei paesi e quasi dimmezzato (GRA-FICO CON IL TASSO DI CRESCITA MEDIO DEI PAESI). Mentree pacifico cosa abbia innescato tutto cio, la crisi energetica e il rialzodel prezzo delle materie prime, non c’e accordo sul motivo della bassacrescita quando questi shock sono venuti meno.

7. I paesi piu poveri mostrano anche una piu alta volatilita nei loro tassidi crescita. INSERIRE GRAFICO (vedi Fiaschi e Lavezzi (2003b)).

2.3 Fattori rilevanti nella crescita dei paesi

La determinazione dei fattori determinanti per la crescita di un paese e un’a-nalisi essenzialmente positiva, ma che ha anche dei chiari risvolti normativiper tutte le istituzioni internazionali, come World Bank o il Fondo MonetarioInternazionale, la cui missione e proprio la crescita dei paesi del mondo.2

2Tuttavia, la relazione fra questi due aspetti puo non essere immediata. Ad esempioindividuare una stretta relazione inversa fra fertilita e tasso di crescita comporta ancheun’indicazione chiara per i paesi a basso tasso di crescita del reddito e densamente popo-

2.3. FATTORI RILEVANTI NELLA CRESCITA DEI PAESI 15

Nell’individuare i fattori determinanti nella crescita di un paese puo essereutile ricordare cosa scriveva Platone in Protagora a proposito del mito diPrometeo (vedi Platone (1998), pag. 320): senza il rispetto e la giustizia lastirpe degli uomini era destinata a perire nel confronto con le fiere. Infatti,nonostante gli uomini avessero ricevuto il dono delle arti, mancando dell’artedella politica, essi non riuscivano a mantenersi uniti per combattere insiemele insidie della natura. La giustizia permette tutto cio.

Hume (1955) riporta alcune acute osservazioni sui fattori istituzionali cherilevano nella crescita di lungo periodo di un paese che saranno poi successi-vamente ripresi dal libro libro III di Smith (vedi Smith (1976)). L’attenzionedi questi studiosi era principalmente rivolta al garantire i diritti di proprietain un’epoca, il 1700, dove i contadini erano spesso soggetti all’arbitrio disignorotti locali. Smith inoltre dall’osservazione degli accadimenti storici po-ne inoltre l’accento su un’adeguata struttura di incentivi che possa spingerei contadini/mezzadri ad intraprendere i miglioramenti fondiari necessari adincrementare la produttivita dei terreni. Ritorneremo su questi punti nelprossimo capitolo.

La moderna teoria della crescita ha visto un fiorire di analisi sui fattori cherisultano essere rilevanti nella crescita di un paese (vedi Barro e Sala-i-Martin(1999) ). I principali fattori individuati sono i seguenti:

• Capitale umano: e comunemente accettato che il capitale umano e unfattore fondamentale nella crescita di un paese. Tuttavia e pur vero chei paesi ad alto reddito sono anche quelli in cui l’istruzione e un bene distatus.

• Saggio di investimento: il saggio di investimento e correlato positiva-mente al tasso di crescita. Tuttavia, le recenti teorie della crescitatendono a farlo diventare un fattore endogeno, ossia determinato da al-tri fattori, come il ruolo dello Stato, la democrazia, l’attivita di R&D,etc.

• R&D : l’attivita di ricerca e sviluppo dovrebbe essere la principale fontedi progresso tecnico. Le analisi empiriche a questo riguardo fornisconosolo un parziale supporto. In particolare ad uno spettacolare incremen-to delle spese in R&D degli ultimi decenni non corrisposto un analogoincremento del tasso di crescita della produttivita.

lati ad intervenire per frenare l’aumento della popolazione. I modi per raggiungere taleobiettivo pero possono essere molteplici (da quelli piu coercitivi a quelli affidati alle scelteindividuali).


• Ruolo dello Stato: politiche fiscali troppo restrittive sembrano esse-re legate negativamente alla crescita, cosı come un eccessivo consu-mo dello stato. Rimangono invece forti dubbi sull’efficacia o menodell’investimento pubblico.

• Democrazia: la democrazia sembra un bene per la crescita, ma il le-game non e chiaro se non per il fatto che paesi democratici possonodi regola essere paesi dove i diritti di proprieta e la liberta di impresasono maggiori. Tuttavia le tigri asiatiche e la Cina hanno poche libertapolitiche ma crescono egualmente ad un tasso molto elevato.

• Grado di apertura al commercio internazionale: alcuni paesi, tipica-mente i piu sviluppati sembrano avere avuto i maggiori benefici dall’in-cremento del commercio internazionale. I paesi piu poveri invece nonsembra ne abbiano beneficiato affatto.

• Fertilita: il tasso di fertilita e negativamente associato al tasso di cresci-ta, tuttavia anche qui il legame di causa-effetto non e chiaro, dato cheun maggior reddito modifica anche le scelte di fertilita degli individui.

• Mercati finanziari : e lo sviluppo che ha favorito l’emergere di merca-ti finanziari piu efficienti o viceversa. Indubbiamente un mercato delcredito ampio favorisce la crescita, garantendo piu mezzi finanziari perl’investimento. Il problema puo porsi quando lo sviluppo dei mercatifinanziari cominci a drenare risorse ai settori produttivi.

• Fattori sociali e tribali : la relazione fra divisione tribale/sociale dellasocieta e la crescita e molto forte e vale soprattutto per i paesi sottosvi-luppati africani e l’India. I paesi con istituzioni politiche piu instabili(ad esempio dittature, etc.) mostrano una minore crescita

• Instabilita ed inflazione: l’instabilita nel reddito e associata ad una mi-nore crescita, come come paesi che sperimentano alta inflazione sem-brano crescere di meno.

La metodologia di analisi adottata in molti lavori (ad esempio le cosidettecross-country regression) non e immune da forti critiche (vedi Durlauf andQuah (1999)), cosı come l’individuazione della relazione di causa-effetto e inmolti casi difficile. E’ a questo punto che la teoria entra in gioco, cercandodi guidare lo studioso nell’analisi.

2.4. IL PROBLEMA DELLA CONVERGENZA 17

2.4 Il problema della convergenza nei tassi di

crescita

Stabiliti a grandi linee i fattori che influenzano la crescita dei paesi un grandeproblema affrontato dalla teoria economica e quello della convergenza neilivelli di sviluppo fra i paesi. A questo riguardo si distinguono due tipi diconvergenza.

Il primo tipo e la convergenza assoluta nei livelli di reddito. Questa eavvenuta ad esempio per un limitato numero di paesi dopo la seconda guerramondiale, tipicamente i paesi occidentali piu alcune tigri asiatiche (vedi Bau-mol (1986)). Rispetto a questo insieme di paesi, i rimanenti non hanno mo-strato segni di convergenza assoluta, anzi osserviamo un progressivo distacco.In questo entra in gioco il concetto di convergenza condizionata. L’intuizio-ne e che la convergenza fra i livelli di reddito si ha a meno di fattori chelimitano/aumentano le capacita di crescita di un paese (vedi Barro e Sala-i-Martin (1999) ). Il problema e la definizione di questi fattori, che dovrebberoavere tipicamente carattere extra-economico. Quest’ultimo punto e cruciale,diversamente mi rimarebbe sempre da spiegare dal punto di vista economicoperche tali fattori sono diversi da paese a paese. Ad esempio, se io affermoche esiste convergenza condizionata fra i paesi occidentali e i paesi africani,dopo aver controllato per il livello di fertilita e del tasso di investimento, difatto dico qualcosa di banale, dato che entrambi i fattori sappiamo influenza-no profondamente il tasso di crescita di un paese e a loro volta dipendono daaltri fattori sociali/economici. L’approccio portato avanti in Quah (1993),dove l’accento e sul dinamica della distribuzione del reddito pro-capite, puofornire utili informazioni sulle dinamiche di covergenza/divergenza dei paesi.

I capitoli che seguono danno conto della spiegazione che la teoria eco-nomica ha sviluppato per alcuni dei fatti che abbiamo appena riportato;inoltre, l’ambizione e di fornire un’adeguata struttura teorica che faccia daguida a sucessive analisi empiriche. L’avvertenza doverosa e che alcune delledomande che ci siamo appena posti non hanno una risposta univoca.


Capitolo 3

La teoria classica della crescita

Lo scopo principale degli autori classici e la spiegazione delle cause e delleconseguenze della ricchezza di una nazione. In quanto segue ripercorriamoa grandi linee le teorie dei tre piu importanti autori classici, Adam Smith,Thomas Robert Malthus e David Ricardo, con una particolare attenzionea quest’ultimo. Forniremo anche brevi cenni ai contributi di Karl Marx eJoseph Schumpeter. Mancano a questo elenco, per ragioni di spazio, dueeconomisti, David Hume e Alfred Marshall e tutta la scuola mercantilista,per la cui analisi si rimanda a Rostow (1990) e Eltis (2000).

3.1 Uno sguardo d’insieme

Nell’affrontare gli autori classici bisogna premettere che essi misurano la cre-scita di un paese tramite il livello del suo reddito assoluto e non del suoreddito pro-capite. Inoltre la crescita del reddito non e sempre vista comeun fenomeno positivo per quel che riguarda il benessere dei cittadini. Il be-nessere di un contadino, a parita di reddito di un lavoratore dell’industria,e per gli autori classici superiore, proprio per gli inconvenienti che lavorarein un’industria comporta. Inoltre lo status sociale, oltre il reddito, era te-nuto in gran conto, cosı che tra avere un maggior incremento di ricchezzaderivante da un’investimento commerciale ad un piu limitato guadagno de-rivante da una rendita agricola, la preferenza era senz’altro da attribuire aquest’ultimo.1

Tuttavia cio non impedisce a questi autori un’analisi del profondo cam-biamento che sta attraversando l’economia nel periodo in cui scrivono (fi-

1Vi e anche da ricordare che in alcuni paesi il possesso di terreno agricolo era unacondizione per poter svolgere politica attiva.

19

20 CAPITOLO 3. LA TEORIA CLASSICA DELLA CRESCITA

ne del 1700, inizio 1800, quando la Rivoluzione Industriale era in pienosvolgimento).

Eltis (2000) individua cinque proposizioni fondamentali alla base delleteorie classiche:

1. L’economia raggiunge il massimo dell’efficienza quando tutti i mercatisono liberi e i diritti di proprieta sono garantiti;

2. La popolazione si adegua di modo da rendere il livello del salario realepari al minimo sufficiente per sopravvivere (legge Malthusiana dellapopolazione);

3. Alcune attivita economiche sono capaci di generare un surplus, mentrealtre (tipicamente sono quelle statali) sono improduttive;

4. La crescita di un paese dipende dal surplus totale e dalla quota disurplus investita (saggio di risparmio) e

5. la competizione eguaglia i prezzi al costo di lungo periodo di produzio-ne.

E’ vero che queste cinque proposizioni siano condivise da tutti gli autoriclassici?

Smith e Ricardo sicuramente avrebbero sottoscritto la Proposizione 1,mentre Malthus no. La polemica sulle Corn Laws con Ricardo riguardavaproprio gli effetti dell’apertura al commercio internazionale del mercato delgrano, ossia se il libero commercio porta sempre benefici ad un’economia. An-che per Marx la competizione porta alla massima efficienza, anche se questaimplica una distribuzione del reddito che e socialmente inaccettabile.

Riguardo al punto 2 sia Smith, ma soprattutto Ricardo, ammettono che isalari reali siano anche nel lungo periodo superiori a quelli di sussistenza. Equesto e presente in parte anche nelle ultime opere di Malthus. Marx accettasostanzialmente invece la legge malthusiana della popolazione.

L’individuazione dei settori che possono generare surplus distingue netta-mente Smith dai suoi predecessori, che tipicamente individuavano nella solaagricoltura il settore in grado di produrne (ad esempio si veda Quesnay).Smith individua anche i settori di commercio e dell’industria come possibilifonti di surplus e Ricardo segue Smith, evidenziando anzi la forza propulsivadel settore industriale rispetto al settore agricolo. Al contrario Malthus ri-tiene l’agricoltura ancora il settore preminente nella produzione del surplus,anche se non esclude che l’industria ed il commercio ne producano. Marx,invece, ritiene solo l’agricoltura e l’industria i settori che possono produrre

3.2. I MERCANTILISTI 21

surplus; questo potrebbe aver causato una generale negligenza del settoredistributivo nei paesi ad economia pianificata.

Le motivazioni del risparmio, e soprattutto i suoi effetti, non sono con-divisi da tutti gli autori. Mentre per Smith e Ricardo il risparmio producesempre accumulazione e crescita, per Malthus, poi ripreso da Keynes, la cre-scita di un paese potrebbe essere minore se il risparmio e troppo elevato,poiche generando una minor domanda aggregata porta a un diminuzione deiprofitti e quindi disincentiva gli investimenti. Anche Marx, invece, vede nel-l’accumulazione del capitale la fonte principale della crescita di un’economia,anche se prevede che questo processo conduca inevitabilmente ad una crisinel lungo periodo (la legge della caduta tendenziale del saggio di profitto).D’altronde, tutti gli economisti classici prevedono che l’equilibrio di lungoperiodo di un’economia sia caratterizzato da una stabilita nel reddito pro-capite. Nel lungo periodo l’economia arriva ad uno stato stazionario, dove illivello di benessere dei cittadini e costante (oggi diremo stagnante).

In ultimo a tutti gli economisti classici era comune l’idea che fossero iprofitti a generare la crescita di un’economia. Il progresso tecnico tende adaumentare i profitti, cosı come i rendimenti decrescenti nel settore agricolotendono a diminuirli; nel lungo periodo la crescita si arresta perche il saggiodi profitto tende a diminuire. Tuttavia, diversi sono i motivi per cui tale feno-meno dovrebbe accadere, cosı come diversi sono gli scenari che caratterizzanoquesto equilibrio di lungo periodo. Ad esempio, per Marx questo stato nonsarebbe un equilibrio, ma una situazione immediatamente precedente allarivoluzione delle masse lavoratrici.

3.2 I mercantilisti

Nel corso non trattiamo attualmente la teoria economica della crescita ela-borata dai mercantilisti, anche se e proprio a questi che dobbiamo la pri-ma analisi sistematica e quantitativa del sistema economico. Per chi fosseinteressato si rimanda a Eltis (2000).

3.3 Hume

David Hume ha in vari scritti mostrato una notevole conoscenza dei fenomenieconomici che sottostanno al processo di crescita di un paese. Alcune diqueste idee sono state successivamente elaborate nell’opera di Smith (1976).Per un’analisi piu approfondita dei contributi di Hume alla teoria economica


si puo vedere la raccolta dei suoi scritti editi in Hume (1955) e l’analisi chene fa Rostow (1990).

3.4 Smith

Nella Ricchezza delle Nazioni (The Wealth of Nations) Smith delinea unprocesso di sviluppo in cui la divisione del lavoro e l’estensione del mercatointeragiscono per generare una continua crescita dell’economia.

Un primo punto da evidenziare e che per Smith lo sviluppo ha un limite,il quale si raggiunge quando tutte le possibili fonti di crescita sono sfruttate.In questo egli e profondamente diverso dalle moderne teorie della crescita,dove anche nel lungo periodo vi e una crescita continua. Inoltre, ai fini dellacrescita di un paese, il settore agricolo e considerato come il piu rilevante,anche se egli includeva l’industria come una possibile fonte di surplus. E’ nelsettore agricolo, infatti, che Smith individua gli incrementi di produttivita,essenziali all’avvio del processo di sviluppo (vedi Book III in Smith (1976)).

Quali sono gli ingredienti fondamentali della teoria della crescita di Smith:

1. la divisione del lavoro;

2. l’estensione del mercato e

3. l’importanza delle istituzioni.

Nel seguito analizzeremo in dettaglio questi tre fattori.

3.4.1 Divisione del lavoro

Nella divisione del lavoro Smith comprendeva tutti i processi che tendonoad affidare ad un lavoratore mansioni sempre piu specifiche. In altre parole,per Smith il lavoratore, trovandosi sempre piu specializzato in una fase delprocesso produttivo, incrementava la sua produttivita.

Egli attribuisce questi ultimi a vari fattori; ad esempio al minor tempoche un lavoratore impiega per passare da una mansione all’altra. Tra questiil piu importante e la creazione di macchine sempre piu adatte al compitoche svolge e al saperle meglio utilizzare mano a mano che la produzioneincrementa. Kenneth Arrow, in un famoso articolo del 1962, parla a questoproposito di learning by doing (vedi Arrow (1962)).

Tuttavia questo processo di divisione del lavoro non puo applicarsi a tutti isettori dell’economia. L’agricoltura si presta meno a tale divisione del lavoroe quindi puo essere di minor aiuto alla crescita di un paese. All’opposto

3.4. SMITH 23

l’industria puo beneficiare di questa forma di rendimenti crescenti e quindiper lo sviluppo di un paese diventa fondamentale la crescita di tale settore.

A questo riguardo un’adeguata composizione della spesa degli individuipuo incentivare lo sviluppo dell’industria e quindi sfruttare la divisione dellavoro.

3.4.2 Estensione del mercato

L’estensione del mercato e il limite alla divisione del lavoro. Preso per assuntoche sia l’industria a poter maggiormente godere di tale processo, la domandadi beni manifatturieri e essenziale nello stabilire le aspettative di profitto equindi gli incentivi ad accumulare capitale nella produzione. La posizione diSmith a favore del libero mercato e quindi dettata dalla considerazione chela crescita di un paese e prodotta dalla divisione del lavoro e questa e tantopiu possibile quanto e piu esteso il mercato delle imprese.

Smith ritiene che le risorse da destinare all’accumulazione di capitale di-pendano inversamente dalla quota di lavoratori impiegati in mansioni im-produttive, tipicamente i lavoratori addetti alla cura del sovrano (quelli cheadesso chiameremo lavoratori statali). Infatti, quest’ultimi, essendo per de-finizione impiegati in lavori che non producono nulla o non tanto quantonecessario al loro sostentamento, diminuiscono il surplus globale e quindiriducono le risorse destinate all’accumulazione. In questa prospettiva unmaggior saggio di risparmio significa una maggior accumulazione di capitalee quindi una maggiore crescita.

Tuttavia non bisogna dimenticare che per Smith anche la certezza deidiritti di proprieta e fondamentale nello spingere gli individui ad investire.In tal senso i lavoratori improduttivi che amministrano la giustizia, o i soldatiche difendono lo Stato, non provocano solo una diminuzione del surplus dadestinare all’investimento, ma incentivano gli agenti ad investire, data lamaggior sicurezza di poter ottenerne i frutti.

3.4.3 L’importanza delle istituzioni

Smith evidenzia l’importanza delle istituzioni al momento dell’analisi dellemotivazioni del risparmio. Le istituzione che garantiscono in maggior misurai diritti di proprieta forniscono maggiori incentivi al risparmio proprio perla sicurezza di poter goder dei frutti dei propri sacrifici. Allo stesso mododiritti di proprieta piu sicuri spingono i possessori terrieri a migliorare i propripossedimenti.

Sempre in quest’ottica il protezionismo accordato ad alcune industrie im-pedisce al capitale di fluire a produzioni piu efficienti e quindi rallenta la


crescita. Da qui la conclusione che il libero mercato e come una mano invisi-bile che alloca nel modo piu efficiente le risorse per l’accumulazione. Questaconclusione e alla base della moderna teoria del libero mercato. In tale pro-spettiva si puo inquadrare il contributo di Sokoloff and Engerman (2000),che evidenziano come una grande diseguaglianza iniziale, spinga i detentoridelle maggiori ricchezze a modellare le istituzioni a difesa dei loro privilegi.Questo ha come effetto una diminuzione della crescita complessiva.

Due fra le variabili rilevanti nello sviluppo di un’economia sono i salaried i profitti. Che cosa succede ai salari durante lo sviluppo?

Al riguardo Smith sembra sostenere che in un’economia stazionaria anchei salari siano stazionari, mentre l’accumulazione di capitale porta ad un incre-mento dei salari. Se cosı fosse allora le economie con maggiore accumulazionedovrebbero mostrare anche un piu alto livello dei salari. Inoltre, per Smith ilsalario era fisso in termini di beni base, tipicamente beni di sussistenza rica-vati dalla terra; questo significava che il salario reale poteva essere soggettoad aumenti se i prezzi dei beni manufatti diminuivano. Questo distingueSmith da altri autori classici, che credevano nella legge ferrea dei salari (ironlaw of wage), ossia che i salari siano sempre fissati al livello di sussistenza (onaturale).

Riguardo ai profitti Smith sostiene che se il capitale si accumula i pro-fitti sono destinati a scendere, anche se nuove possibilita di investimen-to possono sempre provocare un rialzo. La variabile chiave e il rapportoprodotto/capitale, in cui entra l’estensione del mercato.

Infine, la crescita e destinata a fermarsi nel momento in cui l’economiaha sfruttato appieno gli incrementi di produttivita generati dalla divisionedel lavoro.

3.5 Malthus

3.5.1 Principio di popolazione

Essay on Population (1798) contiene il piu famoso contributo di Malthusalla teoria economia. In esso l’autore analizza la tendenza della popolazionea reagire a variazioni nell’output, cosı da mantenere il salario invariato e agenerare una stagnazione di lungo periodo.

I capisaldi della teoria sono essenzialmente tre:

1. i rendimenti decrescenti nel settore agricolo, per cui al massimo laproduzione agricola cresce proporzionalmente al numero di lavoratoriimpiegati;

3.5. MALTHUS 25

2. la propensione dei lavoratori ad impiegare le risorse eccedenti quel-le necessarie al loro sostentamento all’incremento della propria fami-glia; inoltre, l’osservazione che la popolazione cresce secondo una leggegeometrica.

3. il salario dipende negativamente dalla quantita di lavoratori impiegatinell’agricoltura, a causa della produttivita decrescente delle terre viavia impiegate.

Malthus sosteneva che qualsiasi aumento del salario superiore al livello disostentamento porta l’individuo ad incrementare la propria famiglia. Que-sto avrebbe generato una domanda aggiuntiva al settore agricolo, che stantei rendimenti crescenti nell’agricoltura avrebbero determinato un’incrementodella forza lavoro impiegata, una caduta del salario sotto il livello di sussisten-za, una diminuzione della popolazione, una diminuzione della forza agricolain agricoltura, un aumento del salario, etc.. Non c’e quindi alcuna speranzaper i lavoratori di aumentare il proprio tenore di vita nel lungo periodo e lostato di degrado dei salariati e destinato a durare per sempre. Potremo sin-tetizzare la legge che regola il tasso di crescita della popolazione nel seguentemodo:

N

N= α

(

w − w∗

w∗

)

, (3.1)

dove N/N e il tasso di crescita della popolazione, α (.) una funzione crescen-te, dove α (0) = 0, w il salario di mercato e w∗ e il salario di sostentamento(o salario naturale). I due termini che noi usiamo in maniera intercambia-bile, in effetti, sottendono due concetti diversi (torneremo su questo puntoquando discuteremo il contributo di Ricardo). E’ immediato che l’equilibriodi lungo periodo prevede un salario pari al salario di sussistenza. Questa ela cosiddetta legge ferrea dei salari, la quale afferma che nel lungo periodo illivello dei salari sara pari a quello di sussistenza.

Malthus analizza tutti i fattori che possono prevenire questo stato edelenca alcuni rimedi preventivi (abbiamo visto che per Malthus esiste unmeccanismo che riporta la popolazione in equilibrio). Tra questi possiamoricordare la possibilita che i lavoratori destinino gli incrementi di salario al-l’acquisto di beni manufatti e non ad aumentare la propria prole. Nellesuccessive edizione dell’Essay (l’ultima versione e del 1832), Malthus con-sidera in maggior dettaglio tale possibilita, anche sulla base dell’evidenzaempirica inglese dell’epoca. I lavoratori inglesi infatti erano i meglio pagatie destinavano al consumo di beni manufatti una rilevante e crescente quotadel loro reddito.


Tale via si e rivelata storicamente quella di maggior impatto e capa-ce di spezzare, almeno nei paesi attualmente sviluppati, la trappola delsottosviluppo legata ad un’eccessiva fertilita della popolazione.

Per inciso notiamo che esiste una letteratura corrente che discute le sceltefamiliari ed, in particolare, l’avere figli, come un metodo di trasferimento dipotere d’acquisto nel tempo quando i mercati dei capitali sono inefficienti osono assenti (vedi Becker et al. (1990)). Sono evidenti le diverse implica-zioni di politica economica quando confrontiamo quest’ultima con la teoriamalthusiana della popolazione.

3.5.2 Insufficienza di domanda

Un altro importante contributo di Malthus, come ha evidenziato Keynescento anni dopo ( Keynes (1954)), e aver colto l’importanza della domandanel determinare il livello del reddito di un paese. In sostanza la crescitadi un paese e guidata per Malthus dall’accumulazione di capitale, ma alcontrario di Smith, nulla assicura che l’offerta di un prodotto possa esseresempre assorbita, ossia Malthus non accetta la legge di Say. In particolarela domanda di beni manufatti, influenzando le prospettive di profitto deicapitalisti, influisce sulla crescita di un paese modificando gli incentivi adaccumulare. Senza addentrarci oltre in questa discussione, rimane aperta laquestione se la domanda effettiva possa essere rilevante anche nel determinarelo sviluppo di lungo periodo oltre che nel breve (vedi Solow (2001) e Fiaschie Signorino (2001)).

3.6 Ricardo

Ricardo e stato l’autore classico che ha fornito il modello piu analitico dellacrescita economica di un paese. I suoi Principles of Political Economy del1819 furono un successo immediato ed il suo modo punto di vista sulla crescitadi una paese ha influenzato per molto tempo gli economisti.

Ricardo considera un’economia composta da tre classi, i lavoratori, i pro-prietari terrieri e i capitalisti. Da questi ultimi vengono i flussi principalidi investimento e quindi le possibilita di crescita di un paese; il reddito cheaffluisce ai proprietari terrieri, invece, viene interamente consumato; infine,il salario e fissato al livello di sussistenza e quindi dai lavoratori non puovenire nessuna risorse per l’accumulazione. In agricoltura vi sono rendimentidecrescenti dovuti alla diversa fertilita della terra.

In quest’economia senza progresso tecnico l’aumento del prodotto si hacon un’aumento della forza lavoro occupata e delle terre coltivate; questo

3.6. RICARDO 27

porta ad una diminuzione dei profitti ed ad un’aumento delle rendite a causadei rendimenti decrescenti della terra. Mano a mano che l’economia cre-sce i profitti totali continuano a diminuire, mentre la rendita aumenta. Lerisorse destinate all’investimento sono quindi sempre minori, fino al puntoche i profitti si annullano (o arrivano ad un livello insufficiente a garanti-re il rendimento minimo richiesto dall’imprenditore per sopportare il rischiod’investimento).

Di seguito seguiamo Casarosa (1982) nel formulare un semplice modelloricardiano, che soddisfi le ipotesi appena presentate.

3.6.1 Il modello ricardiano

Ricardo considera un’economia in cui esistono tre tipi di agenti: i redditieri(rentiers), ossia i proprietari terrieri, i capitalisti, ossia chi impiega il propriopatrimonio nella produzione e organizza l’attivita produttiva e i lavoratori,che prestano i propri servizi lavorativi ai capitalisti. I redditieri ricevonouna rendita come remunerazione dell’affitto della terra, i capitalisti i profitti,mentre i lavoratori il salario.

Indicando con X la produzione complessiva in termini del bene prodotto,avremo che:

X = W + P + S, (3.2)

dove W e il monte salario, P il livello aggregato dei profitti e S la rendita.

Supponiamo che la produzione avvenga secondo coefficienti fissi e che il ca-pitale sia rappresentato dal salario anticipato che i capitalisti pagano ai lavo-ratori impiegati nel processo produttivo, ossia esista solo capitale circolante.Avremo cosı che la produzione sara data:

X = F (N) , (3.3)

dove F (0) = 0, F ′ > 0 e F ′′ < 0. Queste proprieta della funzione diproduzione derivano dall’idea di Ricardo, mutuata da Malthus, che le diverseterre avessero fertilita differente e che le piu fertili fossero impiegate perprime nel processo produttivo. In particolare, la rendita era determinatadalla fertilita della terra marginale, ossia:

S = F (N) − NF ′ (N) , (3.4)

dove F ′ (N) e la fertilita della terra marginale (ossia il suo prodotto mar-ginale), N e il numero delle terre impiegate. Abbiamo cosı che la renditaaumenta all’aumentare di N e quindi della produzione.


Come abbiamo gia detto il capitale e interamente capitale circolante, cosıdeve valere che:

W = wN = K, (3.5)

dove w e il salario di mercato. In altre parole N rappresenta l’offerta dilavoro, mentre K la domanda di lavoro espressa in termini monetari. Alloraw si aggiusta per rendere la domanda uguale all’offerta. In questo ambitonon puo esistere disoccupazione.

Infine, il saggio di profitto e definito come:

r =P

K. (3.6)

Dalle (3.2)-(3.6) e facile ricavare che:

w (1 + r) = F ′ (N) , (3.7)

che stabilisce in ogni periodo la relazione fra il saggio di salario di mercato, iltasso di profitto e l’occupazione. In altri termini la (3.7) stabilisce il legamefra le variabili distributive

Quello che rimane da specificare sono le equazioni che governano la dina-mica dell’economia, in particolare la dinamica della popolazione e del capita-le. Riguardo alla popolazione Ricardo segue la legge ferrea dei salari; quindipossiamo assumere che:

gN =N

N= α

(

w − w∗

w∗

)

, (3.8)

dove ricordiamo che w∗ e il salario naturale e α (0) = 0 e α′ (.) > 0. Per ilcapitale Ricardo sostiene che si avra accumulazione fino a quando il saggiodi profitto sia superiore ad un saggio di profitto minimo, che indichiamo conr∗. Diversamente, gli imprenditori adegueranno il proprio stock di capitaledi modo da rendere il rendimento del capitale pari almeno a quello minimo(ricordiamo che tutto il capitale e capitale circolante). Quindi noi assumiamoche:

gK =K

K= β (r − r∗) se r > r∗; (3.9)

K = NF ′ (N) / (1 + r∗) altrimenti, (3.10)

dove β (0) = 0 e β ′ (.) > 0.

Questo completa la descrizione del modello teorico.

3.6. RICARDO 29

3.6.2 Analisi del modello

La prima domanda che ci poniamo e se esiste un equilibrio e che proprietaabbia. Dalle (3.7), (3.8) e (3.9) abbiamo che

(

wE, rE, NE , KE)

= (w∗, r∗, N∗, w∗N∗) , (3.11)

dove N∗ risolve w∗ (1 + r∗) = F ′ (N∗), e un’equilibrio poiche il lavoro, il capi-tale, il tasso di profitto, il saggio di salario sono tali per cui non esistono forzeche tendano a modificarli. Abbiamo individuato il cosiddetto stato staziona-rio della nostra economia. Il saggio di profitto e tale per cui i capitalisti nonhanno incentivi ad ulteriori investimenti e il salario e al livello naturale, cosıche la forza lavoro tende a rimanere costante. Notiamo che la forza lavoro,dato r∗, sara tanto maggiore quanto minore e w∗.

Stabilita l’esistenza di un equilibrio ci possiamo domandare se l’economiaconverge ad esso e, nel caso, che proprieta ha il sentiero di convergenza.Per questo analisi e conveniente ridurre la dinamica del modello nello spazio(w, N). Calcoliamo allora tramite la (3.5) il tasso di crescita del salario:2

gw =w

w= gK − gN ,

ossia:

gw = β (r − r∗) − α

(

w − w∗

w∗

)

.

Sfruttando la (3.7) otteniamo che:

gw = β

(

F ′ (N)

w− 1 − r∗

)

− α

(

w − w∗

w∗

)

, (3.12)

che unita alla (3.8) e alle condizioni iniziali sul salario di mercato w0 (pari aK0/N0) e alla popolazione iniziale N0 completa la descrizione della dinamicadell’economia.

Osserviamo, infine, che il vincolo sul livello del saggio di profitto, ossiar ≥ r∗ fa si che la parte di piano dove e definita la dinamica deve essere taleper cui w ≤ F ′ (N) / (1 + r∗) (vedi (3.7)).

Nella Figura 3.1 riportiamo il diagramma di fase del modello:3

2Ricordiamo che per calcolare il tasso di crescita di un rapporto y/x si puo operare nelseguente modo

d yx/dt

y/x=

d log y/x

dt=

d log y

dt−

d log x

dt=

y

y−

x

x.

3Per un’introduzione all’analisi dei sistemi dinamici tramite diagramma di fase si vedaGandolfo (1997).


6

-

w

N

gN = 0

gw = 0

.................N∗

Ew∗

I

III?

-

6-

6

II

�

w = F ′(N)/(1 + r∗)

�

.......N0

...............................w0

A

C

D

F

G

Figura 3.1: Il modello ricardiano di crescita

Nella Figura 3.1 abbiamo tracciato i luoghi geometrici dove gw = 0 (curvaCD), gN = 0 (retta parallela alle x) e w = F ′ (N) / (1 + r∗) (curva FG), chedelimita lo spazio delle traiettorie ammissibili.

Abbiamo, inoltre, individuato tre diverse regioni, ognuna caratterizzatada diverse dinamiche del tasso di crescita della popolazione e dei salari. Nellaregione I i salari sono in aumento e la popolazione in diminuzione, nellaregione II i salari sono sempre in aumento, e anche la popolazione. Infinenella regione III i salari sono in diminuzione, mentre l popolazione continuaad aumentare. La dinamica complessiva mostra una convergenza globaleverso il punto E; infatti una volta che una traiettoria entra nella regione IIIquesta non viene piu abbandonata.

Notiamo come sia possibile osservare una dinamica non lineare nella tran-sizione allo stato stazionario. Ad esempio partendo dal punto A la convergen-za al punto E richiede di passare da tutte e tre le regioni: osserviamo primaun aumento dei salari, a cui fa poi seguito una diminuzione (quando si passadalla regione II alla regione III), mentre la popolazione prima diminuisce epoi aumenta (passando dalla regione I alla regione II).

E’ possibile svolgere un’analisi di stabilita locale del punto E per verificare

3.6. RICARDO 31

le conclusioni appena raggiunte graficamente almeno nell’intorno del puntoE. La seguente Proposizione riporta i risultati:4

Proposizione 3.1 L’equilibrio E e un punto stabile. Condizione sufficienteaffinche sia un nodo stabile e che F ′′(N∗)N∗

F ′(N∗)≤ 1

2.

Prova. La prova della Proposizione si ottiene linearizzando il sistemaintorno al punto E e considerando gli autovalori della seguente matrice delsistema linearizzato:

[

−(

β′(0)F ′(N∗)w∗

+ α′ (0))

β ′ (0)F ′′ (N∗)N∗α′(0)

w∗0

]

dove β ′ (0) e la derivata di β (.) rispetto a r valutata in r = r∗ e α′ (0) laderivata di α (.) rispetto a w valutata in w = w∗. I due autovalori dellamatrice risolvono la seguente equazione:

λ2 +

(

β ′ (0) F ′ (N∗)

w∗− α′ (0)

)

λ −N∗α′ (0)β ′ (0)F ′′ (N∗)

w∗= 0.

Poiche tutti i coefficienti sono positivi entrambe le radici sono negative ohanno la parte reale negativa. Cio significa che il punto E e stabile. Inoltreil determinante e dato da:

∆ =

(

β ′ (0)F ′ (N∗)

w∗− α′ (0)

)2

+4N∗α′ (0)β ′ (0) F ′′ (N∗)

w∗,

che sara sempre maggiore di zero se F ′′(N∗)N∗

F ′(N∗)≤ 1

2(condizione sufficiente).

In questo caso E sara un nodo stabile. Nel caso in cui invece ∆ < 0 alloraavremo un fuoco stabile.CVD

Il modello di crescita appena esposto giustifica la posizione contraria diRicardo sulle Corn Laws, che imponevano dei dazi all’importazione di gra-no e quindi la sua posizione a favore del libero commercio. L’apertura alcommercio internazionale, diminuendo il prezzo del grano, implica una dimi-nuzione delle rendite ed un aumento dei profitti. Questo sposta le curve FGe CD verso destra. Cosı nello stato stazionario E aumenta sia il prodottoche l’occupazione.

4Per introduzione alle proprieta di un sistema dinamico in due dimensioni si vedaGandolfo (1997).


Approfondimento 3.1 Cosa succede al modello di Ricardo se aumenta ilprogresso tecnico? (Suggerimento: un aumento della produttivita fa traslarele curve CD e FG).5

Approfondimento 3.2 Nel modello abbiamo assunto che i salari di mer-cato si aggiustino istantaneamente alle differenze fra salario di offerta e didomanda. Cosa puo succedere al sistema se cio non e piu vero? Si consideriad esempio il caso in cui:

w

w= δ

(

K/w − N

N

)

,

dove δ (0) = 0 e δ′ (.) > 0. Il salario quindi risponde alle differenza fra do-manda ed offerta, ma non tanto da mandare sempre in equilibrio il mercato(Suggerimento: ripetere l’analisi sostituendo l’equazione (3.12) con l’equa-zione sopra).

Approfondimento 3.3 Ricardo era ben conscio che la definizione di salarionaturale o di sussistenza fosse non immutabile nel tempo (vedi Fiaschi eSignorino (2004)) e che alti salari di mercato possano spingere gli individui arivedere le proprie aspettative di salario, cosı aumentando il salario naturale.Cosa succederebbe alla dinamica del modello se anche il salario naturale simodificasse nel seguente modo:

w∗

w∗= γ

(

w − w∗

w∗

)

,

dove γ (0) = 0 e γ′ (.) > 0 (Suggerimento: si veda l’analisi svolta in Fiaschie Signorino (2004)).

3.7 Marx

Nonostante l’enorme mole di studi su Marx e la sua rilevanza nella teoriaeconomica, noi tratteremo solo di sfuggita il pensiero di Marx. Karl Marx,che includiamo un po forzatamente negli economisti classici, attribuisce alfattore tecnologico il ruolo centrale nel processo di crescita di un paese. Eglivede il progresso tecnologico come il risultato di una continua lotta fra leimprese che utilizzano le innovazioni come strumento di concorrenza. Egli

5Occorre ricordare che Ricardo non riteneva che il progresso tecnico nel lungo periodopotesse compensare i rendimenti decrescenti in agricoltura e quindi la stagnazione era lacondizione a cui il sistema tendeva naturalmente. Questo non esclude che si abbia nelbreve, e nel medio, periodo una crescita dell’economia.

3.8. MARSHALL 33

sostiene, tuttavia, che nel lungo periodo in un’economia di tipo capitalisti-co, l’inevitabile formazione di grandi monopoli fa venire meno gli incentiviper migliorare le tecniche di produzione. L’economia e quindi destinata asperimentare crisi sempre piu profonde, con una continua caduta del saggiodi profitto. La sviluppo del sistema di produzione capitalistico e quindi unfenomeno momentaneo, destinato a sfociare in una grande crisi.

Tra i suoi importanti contributi, quello che forse piu rileva ai nostri fi-ni e l’attenzione al progresso tecnico come aspetto centrale nella crescita diun paese. Come detto tale progresso tecnico non e visto come un fenomenoesogeno al campo economico, ma anzi come strumento usato dai grandi ca-pitalisti per competere fra loro per conquistare la maggior quota di mercato.La concorrenza era quindi per Marx, piu che una rappresentazione statica diun numero molto elevato di imprese in un mercato molto ampio, una rap-presentazione dinamica dove poche imprese oligopolistiche competono per laconquista del mercato. Questo modo di vedere la concorrenza ed la sua rile-vanza nello spiegare la crescita di un paese e stato ulteriormente sviluppatoda Joseph Schumpeter.

3.8 Marshall

Marshall ha fornito importanti contributi alla teoria della crescita, che permotivi di spazio non trattiamo qui. Per chi fosse interessato si rimandaa Rostow (1990).

3.9 Schumpeter: un tardo-classico?

Schumpeter descrive nel suo libro Teoria dello Sviluppo Economico del 1912come il progresso tecnologico sia il fulcro della crescita di un paese. Eglidistingue, tuttavia, le scoperte scientifiche, non guidate da motivi economici,dalle innovazioni, ossia le applicazioni di queste scoperte al mondo produttivo(vedi Schumpeter (1977)). La figura dell’imprenditore che cerca, mediantel’attivita innovativa, di sconfiggere i concorrenti e l’aspetto cruciale della teo-ria schumpeteriana della crescita. L’imprenditore innovatore gode, nel lassodi tempo che intercorre tra la propria innovazione e quella successiva, dei pro-fitti derivanti dalla sua posizione monopolistica sul mercato; tuttavia questiprofitti rappresentano anche lo stimolo per altri imprenditori ad innovare e adistruggere quindi il suo potere di monopolio. La crescita e il risultato dellacontinua introduzione di innovazioni, da cui l’espressione distruzione creatri-ce per descrivere questo tipo di processo. La formulazione rigorosa di questo


modello si avra solo dopo la meta degli anni 80 all’interno del filone di let-teratura che prende il nome di teoria della crescita endogena. La distinzionefra crescita e ciclo diventa quindi impossibile, essendo la crescita niente altroche la somma di continue “onde” generate dalle continue innovazioni. Tor-neremo su questi punti in un prossimo capitolo. Non e infine da dimenticareun altro importante contributo di questo autore, Socialismo, Capitalismo eDemocrazia del 1942, che evidenzia l’importanza dei fattori istituzionali nelprocesso di crescita di un paese.

Capitolo 4

La teoria keynesiana dellacrescita

La teoria keynesiana della crescita estende all’ambiente dinamico le intui-zioni di Keynes riguardo al ruolo della domanda effettiva. In un contestointertemporale gli investimenti rivestono un duplice ruolo: (i) da un latoquesti, tramite il moltiplicatore, incrementano la domanda aggregata del pe-riodo corrente; e (ii) da un altro lato incrementano il potenziale dell’economiatramite l’accumulazione dello stock di capitale.

In primis esponiamo il modello di Domar, in cui si individuano le condi-zioni sotto le quali in ogni periodo vi e l’equilibrio fra domanda ed offertadi beni e la piena occupazione di tutti i fattori produttivi, ossia capitale elavoro (vedi Domar (1946)). In questo equilibrio le variabili aggregate, co-me livello del reddito, consumo, investimenti, etc. crescono tutte allo stessotasso, il quale dipende positivamente dal livello della tecnologia e dal saggiodi risparmio. Tuttavia, Domar non provvede nessun meccanismo tramite cuil’economia possa raggiungere tale equilibrio.

Il modello di Harrod condivide l’impostazione del modello di Domar, conl’aggiunta di una teoria degli investimenti basata su ipotesi piu genuinamentekeynesiane (vedi Harrod (1948)). Gli agenti investono in relazione alle loroaspettative sullo stato della domanda futura. L’equilibrio dove domanda edofferta di beni si eguagliano e i fattori sono pienamente occupati appare comeuno stato altamente instabile; minime perturbazioni che spostino l’economiadallo stato di equilibrio sono destinate ad amplificarsi nel tempo. In que-st’ottica Harrod giustifica gli interventi a fini di stabilizzazione che lo Statopuo intraprendere tramite la spesa pubblica.

L’esposizione dei modelli seguira da vicino quella presente in Pacini (1997).

35

36 CAPITOLO 4. LA TEORIA KEYNESIANA DELLA CRESCITA

4.1 Il modello di Domar

Supponiamo di operare in un’economia in cui valga la seguente funzione diproduzione a la Leontief:

Y = A min (K, L) , (4.1)

dove Y e l’output, K e il capitale, L il lavoro e A un parametro di produt-tivita. La scelta di tale funzione di produzione e dovuta essenzialmente allafacilita con cui si puo trattare; infatti, la (4.1) implica che i fattori sianoimpiegati in proporzione fra loro fissa e pari ad 1.

L’ipotesi di perfetta complementarieta dei fattori puo essere giustificatain diverse maniere; la piu intuitiva, ricordando la teoria della combinazioneottima dei fattori, e quella di supporre l’esistenza di un numero limitato ditecniche di produzione e che il passaggio da una tecnica all’altra richieda unanotevole variazione del prezzo relativo dei fattori. Cosı, in un ampio intervallodei prezzi, la tecnica produttiva utilizzata sara sempre la stessa. Tuttavia,osserviamo che in una prospettiva di lungo periodo persistenti differenze frala domanda ed offerta di fattori possono ragionevolmente portare a variazionisostanziali nei prezzi relativi. Torneremo su questi aspetti piu avanti. Valela pena di ricordare che Solow nel presentare il suo modello nel 1956, che e ilmodello standard di crescita nella teoria neoclassica, si proponeva proprio diesplorare le implicazioni di una tecnologia che ammettesse sostituibilita neifattori.

4.1.1 Economia con nessuna limitazione nell’offerta dilavoro

In primis supponiamo che nell’economia il fattore L sia sempre in eccesso diofferta, ossia L > K. La funzione di produzione diventa:

Y = AK, (4.2)

ossia il livello dello stock di capitale e l’unico rilevante nello stabilire il livellodi output.

Assumiamo che il consumo segua le usuali ipotesi keynesiane, ponendopari a zero il consumo autonomo per semplicita, ossia

C = cY,

dove c e la propensione al consumo, assunta costante.

4.1. IL MODELLO DI DOMAR 37

In un modello senza stato avremo che il reddito sara impiegato nel con-sumo e nel risparmio, ossia

Y = C + S,

da cuiS = sY, (4.3)

dove s = 1 − c.La domanda aggregata in questa economia sara data da:

D = C + I.

Data la consueta condizione di equilibrio Y = D, avremo:

S = I. (4.4)

Fino a qui abbiamo descritto il modello standard keynesiano senza Stato.La novita e nella considerazione che l’investimento provoca anche una varia-zione nello stock di capitale e quindi nella capacita produttiva dell’economia.

Lo stock di capitale varia in ragione dell’investimento:

K = I − δK,

dove δ e il tasso di deprezzamento del capitale, ossia assumiamo che unafrazione costante pari a δ del capitale diventi obsoleta o si usuri nel tempo. Ie chiamato investimento lordo, mentre I − δK e l’investimento netto. Dalla(4.3) e dalla (4.4) abbiamo che:

K = sAK − δK

e quindiK

K= sA − δ. (4.5)

La (4.5) rappresenta il tasso di crescita lungo il sentiero di crescita bi-lanciata, ossia quel tasso a cui tutte le variabili macroeconomiche crescononell’equilibrio di lungo periodo. E’ infatti immediato dimostrare che

K

K=

Y

Y=

I

I=

C

C= sA − δ.

L’ipotesi che la forza lavoro sia disponibile in quantita illimitata appare re-strittiva, almeno nel lungo periodo. Tuttavia, nel corso della storia si sonoavuti periodi dove cio si e verificato, ad esempio nel passaggio dalla societarurale a quella agricola al tempo della rivoluzione industriale o nei paesi euro-pei devastati dalla guerra dopo la seconda guerra mondiale (vedi Lewis (1954)


e Kindleberger (1976)). Tuttavia, nelle attuali economie occidentali un’offer-ta di lavoro sempre eccedente la domanda non e la norma e quindi e neces-sario estendere l’analisi al caso in cui vi sia un’insufficiente accumulazione dicapitale.1

Prima di procedere possiamo concludere che in un’economia in cui vi siaun’eccesso continuo di manodopera quello che rileva e solo la capacita diaccumulazione del capitale e quindi il tasso di crescita e determinato dall’ef-ficienza nella produzione, misurata dal parametro A, dal saggio di risparmios e dal deprezzamento che subisce il capitale. Notiamo come questo legamepositivo tra tasso di crescita del reddito ed investimento sia un fatto empiri-co ampiamente documentato (vedi Capitolo 2) e ritornera nella teoria dellacrescita endogena.

4.1.2 Tasso naturale di crescita

Se il capitale accumulato e inferiore alla forza lavoro disponibile, ossia K < L,abbiamo che:

Y = AK.

Date le nostre ipotesi sulla funzione di produzione a la Leontief, sappiamo cheuna forza lavoro L maggiore di K determina una disoccupazione di un partedella forza lavoro, esattamente pari a L − K. Questo significa che partendoda una posizione di piena occupazione, ossia dove K0 = L0, e supponendoche la popolazione cresca ad un tasso di crescita costante pari a n e maggioredi sA − δ, il saggio di disoccupazione sara crescente nel tempo. Infatti:

u =L − K

L= 1 −

K

L= 1 −

K0e(sA−δ)t

L0ent= 1 − e−(n−sA+δ)t, (4.6)

che tende a 1 come t tende ad infinito poiche n − sA + δ > 0. Ripetiamoche questa e solo un’eventualita teorica, poiche e chiaro che mano a manoche il saggio di disoccupazione cresce vi sara una pressione alla variazione deiprezzi relativi dei fattori e quindi diventa piu probabile una diminuzione delsalario ed un cambiamento verso tecniche di produzione piu labour intensive.

Al contrario se n < sA, avremo che L < K,da cui Y = AL, allora cisara un continuo aumento dell’eccesso di capacita produttiva. Anche questaeventualita deve essere vista come una situazione non di equilibrio, perche

1Con prezzi flessibili un continuo eccesso di offerta di lavoro porterebbe ad una va-riazione negativa del salario; questo, a sua volta, dovrebbe spingere gli imprenditori amodificare le tecniche produttive impiegate a favore di quelle ad alta intensita di lavoro,ossia a modificare il rapporto 1 : 1 considerato nel testo.

4.1. IL MODELLO DI DOMAR 39

preludio ad un cambiamento dei prezzi relativi dei fattori in favore del salarioe quindi di un maggiore impiego di tecniche piu capital intensive.

Per avere una crescita di lungo periodo dove la disoccupazione non siasempre sempre in aumento, o viceversa dove lo stock di capitale non siasempre sottoutilizzato, e quindi necessario che:

n = As − δ. (4.7)

Il tasso n rappresenta il tasso di crescita naturale dell’economia, perche as-sicura il pieno impiego di tutte le risorse nel lungo periodo, o almeno cheil tasso di occupazione sia costante. Infatti, in tale contesto se L0 > K0 epossibile osservare un tasso di disoccupazione positivo pari a (vedi la (4.6))

u = 1 −K0

L0,

ma tale tale tasso e costante nel tempo. La stessa considerazione si puo fareper il tasso di utilizzazione dello stock di capitale o della capacita produttivainstallata nel caso in cui L0 < K0.

La seguente Proposizione definisce un’economia che cresce lungo un sen-tiero di crescita bilanciata:

Proposizione 4.1 Se n = As − δ l’economia cresce lungo un sentiero dicrescita bilanciata dove K

K= Y

Y= I

I= C

C= sA − δ = n. Lungo tale sentiero

sia il tasso di disoccupazione u che il tasso di utilizzo della capacita produttivarimangono costanti nel tempo.

La Proposizione 4.1 ci fornisce la definizione di sentiero di crescita bi-lanciata, che nella letteratura sulla crescita si identifica con il concetto diequilibrio di lungo periodo di un’economia in crescita.

Puo essere utile osservare che:

Osservazione 4.1 Supponendo di essere su un sentiero di crescita bilanciataal tempo 0, dove L0 = K0, se sA− δ diventa maggiore di n allora ci sara uncontinuo eccesso di domanda, mentre se sA− δ diventa minore di n allora visara un continuo aumento della disoccupazione.

Prova. Partendo da L0 = K0, quando sA− δ > n abbiamo che Y = AL,da cui:

Dt − Yt = Ct + It − Yt = It − St = It − sYt = e(sA−δ)tI0 − sentY0 =

= e(sA−δ)tI0 − entS0 =(

esA−δ − en)

I0


poiche per ipotesi al periodo 0 vi era equilibrio, ossia sY0 = S0 = I0. AlloraDt − Yt > 0 poiche sA− δ > n. Se invece sA− δ < n allora la domanda sarapari all’offerta, infatti Y = AK e quindi

Dt − Yt = Ct + It − Yt = It − St = It − sYt = e(sA−δ)tI0 − se(sA−δ)tY0 =

= e(sA−δ)tI0 − e(sA−δ)tS0 = 0.

Tuttavia poiche L0 = K0, allora u = 1− e−(n−sA+δ)t cresce nel tempo poichesA − δ < n. CVD

L’intervento dello Stato puo essere risolutivo nel caso non fossimo su unsentiero di crescita bilanciata. In particolare, nel caso in cui sA − δ > navremo un eccesso di investimenti e quindi la politica economica dovrebbemirare a ridurre il saggio di investimento dell’economia, ad esempio tramiteuna spesa pubblica in deficit orientata ai beni di consumo. Nel caso di disoc-cupazione invece, una mirata politica di investimenti pubblici che incrementilo stock di capitale dell’economia puo portare alla piena occupazione.

Approfondimento 4.1 A che tasso cresce il reddito pro-capite Y/L se l’e-conomia cresce al tasso di crescita garantito? E se n < As?

Approfondimento 4.2 Si supponga che lo stato intervenga nell’economiatassando una parte del reddito e finanziando in tale modo la spesa pubblica,sotto il vincolo di un saldo di bilancio pubblico in pareggio in ogni periodo, conuna tassazione proporzionale sul reddito T = τY . Definire la condizione chegarantisce all’economia di crescere lungo un sentiero di crescita bilanciata.Cosa accade se non si imponesse un saldo di bilancio in pareggio, ma costanterispetto al prodotto (ossia (T − G) /Y 6= 0 ma costante)?

Approfondimento 4.3 Cosa succede al tasso di crescita del prodotto se ilprogresso tecnologico fa aumentare la produttivita dei fattori, ossia il para-metro tecnologico A cresce ad un tasso costante pari a gA (ossia A/A =gA)?

4.2 Il modello di Harrod

Il modello di Domar mira essenzialmente a stabilire le condizioni che per-mettono ad un’economia di crescere lungo un sentiero di crescita bilanciata.Il contributo di Harrod cerca di esplorare cosa avviene nell’economia quandoquesta si trovi al di fuori di tale sentiero. Nel fare questo Harrod ripren-de l’idea keynesiana sul ruolo che le aspettative giocano nelle decisioni diinvestimento degli agenti rispetto alla redditivita degli investimenti.

4.2. IL MODELLO DI HARROD 41

Harrod suppone che le decisioni di investimento degli agenti siano basa-te sul livello atteso della domanda. In particolare, gli agenti adegueranno lostock di capitale in modo da poter soddisfare la domanda che essi si aspettanodi avere nel periodo successivo. Gli investimenti correnti, tuttavia, concorro-no a determinare anche la domanda effettiva corrente e quindi anche il gradodi utilizzo della capacita produttiva installata. L’obiettivo degli imprenditorie quello di avere un pieno utilizzo della propria capacita produttiva installata,ma questo obiettivo non assicura che anche la forza lavoro sia completamenteoccupata. Inoltre, come vedremo, le aspettative tendono ad autorealizzarsi,ossia ad aspettative di un calo della domanda fa riscontro un’effettiva dimi-nuzione della stessa. Questo meccanismo determina un’intrinseca instabilitanel processo di crescita, che necessita di continui correttivi da parte delloStato. Questa rappresenta la principale conclusione del modello di Harrod.

Infine, e da aggiungere che Harrod riteneva la sua analisi non confinataal caso di una funzione di produzione con coefficienti fissi, ma anzi attribuivaal tasso di interesse, variabile che lui riteneva decisa nel mercato moneta-rio in accordo con la teoria keynesiana, un importante ruolo nel deciderela combinazione dei fattori di produzione effettivamente impiegati nell’eco-nomia. Tuttavia, noi tralasceremo questo aspetto per ragioni di spazio eci limiteremo ad analizzare il caso di un’economia con una sola tecnica diproduzione.

4.2.1 Il tasso di crescita garantito

Seguendo Keynes, Harrod sostiene che sono le variazioni della domanda aguidare le scelte di investimento degli imprenditori. In primis consideriamoun’economia in cui il lavoro non costituisce un vincolo alla produzione. Alloraavremo che variazioni attese nella domanda si rifletta in variazioni dello stockdi capitale, ossia

De = AK,

da cui il tasso di crescita del capitale sara pari al tasso atteso di crescita delladomanda:

De

D=

AK

AK=

K

K.

Poiche K = I − δK, avremo che:

De

D= ge =

I − δK

K, (4.8)

dove ge e il tasso atteso di crescita della domanda.Ricavando quindi il livello di investimento dalla (4.8) avremo che:


I = (ge + δ)K, (4.9)

che rappresenta la funzione di investimento nel modello di Harrod. Notiamoche a parita di stock di capitale, maggiore e la variazione attesa della doman-da maggiore e l’investimento, cosı contribuendo a far avverare l’aspettativa didomanda elevata (siamo quindi in un caso di aspettative autorealizzantesi).

Riprendendo le equazioni del modello keynesiano sotto l’ipotesi che illavoro non ponga vincoli:

Y POT = AK;

Y =

{

Y POT se D ≥ Y POT ;D D < Y POT ;

S = sY ;Y = C + S;D = C + I;I = (ga + δ) K,

(4.10)

dove Y POT indica il reddito potenziale dell’economia dato lo stock di capitaleK. E’ immediato dimostrare che l’equilibrio Y = Y POT = D si ha quando:

ge = sA − δ, (4.11)

ossia quando il tasso atteso di crescita della domanda e pari esattamente asA − δ.

Harrod definisce sA − δ il tasso di crescita garantito gg, ossia

gg = sA − δ; (4.12)

questo tasso e definito garantito poiche garantisce che l’economia si trovi inequilibrio e tutte le variabili crescono al tasso gg se gg = ge. La seguenteProposizione riassume in maniera piu precisa quanto appena affermato:

Proposizione 4.2 Se il tasso attesa di crescita della domanda e pari a quellogarantito, ossia ge = gg, allora abbiamo che: (i) il mercato dei beni e inequilibrio; (ii) lo stock di capitale e pienamente occupato e (iii) le aspettativesono corrette. Nell’equilibrio il tasso di crescita delle variabili K, C, Y , I epari a ge = gg.

Cosa succede se cio non si verifica? Il tasso di crescita effettivo dell’eco-nomia potra essere diverso sia dal tasso di crescita garantito sia dal tasso dicrescita atteso della domanda. In particolare:


Proposizione 4.3 Supponiamo che l’economia si trovi in una condizionedi equilibrio, dove I0 = S0 e ge = gg. Se variazioni nei parametri o nelleaspettative portano a ge < gg allora il mercato dei beni e in equilibrio, maesiste un eccesso di capacita produttiva; se invece ge > gg allora esiste uneccesso di domanda nel mercato dei beni, mentre la capacita produttiva epienamente utilizzata.

Prova. Se ge < gg allora abbiamo che Y < Y POT poiche la domanda none che sufficiente a coprire la produzione potenziale; infatti, partendo da unacondizione di equilibrio, sappiamo che la domanda sarebbe stata sufficiente adutilizzare tutta la capacita produttiva solo se ge = gg. Inoltre, dalla (4.10)abbiamo che il mercato dei beni e in equilibrio, dato che per D < Y POT

allora Y = D. Di converso se ga > gg allora D > Y POT = AK = Y , infattipartendo da una condizione di equilibrio, sappiamo che D = Y = Y POP

solo se ge = gg. Abbiamo quindi un eccesso di domanda, mentre la capacitaproduttiva e pienamente utilizzata.CVD

L’intuizione di questo risultato e come segue: tenendo presente il funzio-namento di un’economia keynesiana, avremo che se il tasso atteso di crescitadella domanda e inferiore al tasso a cui cresce il risparmio al netto del de-prezzamento del capitale, allora gli investimenti crescono ad un ritmo troppobasso rispetto al risparmio e quindi l’economia si trovera continuamente unadomanda insufficiente per permettere di utilizzare tutta la capacita produt-tiva installata. Viceversa, se la domanda attesa e quindi gli investimenti,risultano crescere eccessivamente rispetto al saggio di crescita del rispar-mio, sempre al netto del deprezzamento del capitale, allora una parte delladomanda non trovera soddisfazione.

4.2.2 Formulazione delle aspettative

Il modello appena analizzato presenta un importante grado di liberta, il modocome gli operatori formulano le loro aspettative sul tasso di crescita delladomanda. Supponiamo che le aspettative siano formulate nel seguente modo:

ge = λ

[

D − AK

AK

]

, (4.13)

ossia che gli investitori reagiscono ad una sottovalutazione nella previsionedel livello della domanda (D > AK) variando in aumento il loro tasso attesodi crescita della domanda (e viceversa). Di fatto gli investitori modificano leproprie decisioni di investimento in relazione alla differenza percentuale trala domanda che osservano sul mercato e la produzione potenziale.

E’ immediato dimostrare che:


Proposizione 4.4 Se D = AK allora ge = 0 e ge = gg. L’economia crescelungo un sentiero di crescita bilanciata.

Se la capacita produttiva installata e esattamente pari alla domanda al-lora l’economia cresce al tasso di crescita garantito e le aspettative sonocorrette. Tuttavia l’economia potrebbe subire shock tali da rendere la do-manda e l’offerta temporaneamente differenti. La domanda che si pone e sel’economia tende spontaneamente a ritornare al suo livello di equilibrio dopotali shock. La risposta e no, come e riportato dalla seguente Proposizione:

Proposizione 4.5 Supponiamo di partire da una situazione di equilibrio do-ve D = AK e ge = gg. Se l’economia e colpita da uno shock positivo tale cheD > AK allora avremo permanentemente un eccesso di domanda. Se inve-ce D < AK, allora avremo i mercati dei beni in equilibrio, ma un perenneeccesso di capacita produttiva

Prova. La prova della Proposizione si ha considerando che D > AKimplica che ge > 0, da cui ge > gg. Ma dalla Proposizione 4.3 sappiamo checio implica D > AK. Se invece D < AK, allora ge < 0, da cui ge < gg, dacui per la Proposizione 4.3 abbiamo che D < AK, condizione sotto la qualeabbiamo sottoutilizzazione della capacita produttiva.

La Proposizione 4.5 afferma che l’economia non tende naturalmente adassorbire gli shock, di qualsiasi natura essi siano, ma anzi persiste in questostato di squilibrio per sempre.

La Figura 4.1 riporta due possibili sentieri per un’economia che crescefino al periodo t0 lungo un sentiero di crescita garantito e subisce in t0 unoshock che rende ge 6= gg.


6

-tt0

Yt

ge = gg

ge > gg

ge < gg

........

Figura 4.1: Instabilita del sentiero di crescita garantito

Poiche la condizione ge = As − δ e l’unica che permette di sperimentareuna crescita bilanciata nel tempo, mentre tutte le altre possibilita implicanoesplosione o diminuzione continua del tasso di crescita dell’economia, si parladi dinamica knife edge, ossia l’equilibrio di lungo periodo risulta intrinseca-mente instabile. L’intervento dello Stato dovrebbe mirare a controbilanciarepossibili shock, evitando che l’economia si allontani sempre di piu dal propriosentiero di equilibrio.

Un’osservazione su questa radicale instabilita dell’economia, a prima vistacontrofattuale, e di dovere, specialmente se ci riferiamo allo specifico lavoro diHarrod. Egli riteneva la dinamica che abbiamo appena analizzato come unabuona approssimazione del sentiero che segue un’economia nelle vicinanzedel sentiero di crescita garantito. Tuttavia, quando il tasso di crescita effet-tivo dell’economia e le aspettative sulla crescita della domanda sono moltodistanti da tale sentiero, egli sostiene che nella dinamica complessiva entranoaltri fattori che possono modificare sia il modo in cui si formano le aspettati-ve sulla domanda, sia il livello del tasso garantito di crescita (con particolareriferimento sia al risparmio che alle tecniche di produzione utilizzate). Lacritica che si muovere ad Harrod e quindi di un’analisi incompleta della di-namica dell’economia quando lontana dal sentiero di crescita garantito, piuche osservare che nella realta non si e mai osservata un tale tipo di dinami-ca, se non per situazioni estreme, come ad esempio la Grande Depressioneamericana degli anni 30.

Approfondimento 4.4 Si supponga che lo Stato intervenga nell’economia


tassando una parte del reddito e finanziando in tale modo la spesa pubblica,sotto il vincolo di un saldo di bilancio in pareggio in ogni periodo. Comecambiano le condizioni di equilibrio di lungo periodo? Supponete di abbando-nare il vincolo di saldo di bilancio in pareggio, come dovrebbe intervenire loStato per controbilanciare eventuali shock?

4.2.3 Lavoro e progresso tecnico Harrod neutrale

Se il lavoro e il fattore scarso nell’economia si profilano gli stessi problemi giadiscussi per il modello di Domar. In particolare, supponendo che il lavorocresca al tasso costante n, ossia

L

L= n,

abbiamo che, come nel modello di Domar, n e il massimo tasso di crescita dilungo periodo che puo sperimentare l’economia.

Harrod introduce nell’analisi un’ulteriore specificazione, supponendo chela produttivita del lavoro possa cambiare nel tempo. In particolare, eglisuppone che se L e il fattore scarso e la produzione non incontra vincoli dallato della domanda, abbiamo che

Y = AL;

in questo contesto avremo che il tasso di crescita del prodotto sara pari a:

Y

Y= gA + n,

dove gA e il tasso di crescita, supposto costante ed esogeno, di A, il parametroche misura la produttivita del lavoro.

Harrod quindi assume che il progresso tecnico riguardi strettamente laproduttivita del lavoro e non modifichi le tecniche di produzione; a questecaratteristiche deve la sua qualifica di neutrale.

Avremo allora che:gA + n (4.14)

rappresentera il tasso di crescita naturale dell’economia, che Harrod ritenevail massimo tasso di crescita realizzabile nel lungo periodo.

La seguente Proposizione definisce un’economia che cresce lungo un sen-tiero di crescita bilanciata nel modello di Harrod:

Proposizione 4.6 Se gA + n = gg = ga l’economia cresce lungo un sentierodi crescita bilanciata, dove K

K= Y

Y= I

I= C

C= gg. Lungo tale sentiero sia

il tasso di disoccupazione u che il tasso di utilizzo della capacita produttivarimangono costanti nel tempo.


Cosa succede fuori dal sentiero di crescita bilanciata? Nella Figura 4.2abbiamo riportato la dinamica di un’economia dove inizialmente gA + n <gg = ga.

6

-t

.......................t0

Yg

Yn

Y

Figura 4.2: Tasso naturale, garantito ed effettivo di crescita

Il sentiero in neretto indicato con Y nella figura rappresenta l’effettivolivello del reddito della nostra economia. Fino al tempo t0 l’offerta di lavoro(compresa del tasso di crescita della produttivita) non costituiva un vincoloper l’economia. Tuttavia, quando i sentieri del reddito garantito e naturale,ossia rispettivamente Y g e Y n, si incontrano al tempo t0 allora l’uguaglianzagg = ga non puo piu valere e in particolare avremo che D < AK. DallaProposizione 4.5 sappiamo che questo squilibrio e destinato a perpetuarsinel tempo, innescando un processo di diminuzione della domanda effettiva equindi del reddito (con una disoccupazione sempre in aumento).

In effetti, Harrod riteneva la dinamica di lungo periodo nel caso di noncoincidenza fra tasso di crescita naturale e garantito fosse molto piu comples-sa, con la possibilita che il tasso di crescita garantito fosse spinto verso quellonaturale, ad esempio tramite una sostituzione nelle tecniche di produzione,anche se egli rimaneva molto scettico sulla possibilita che tale processo disostituzione potesse portare al pieno impiego delle risorse, in particolare dellavoro.

Inoltre, egli riteneva che anche il saggio di risparmio potesse ragionevol-mente variare in conseguenza dei processi di squilibrio in atto: la scuola


postkeynesiana sviluppera proprio questo aspetto, arrivando a formulare unateoria dell’aggiustamento del saggio garantito al saggio naturale (vedi tra glispunti di approfondimento)

Approfondimento 4.5 A che tasso crescera il prodotto pro-capite se l’eco-nomia cresce al tasso di crescita naturale?

Approfondimento 4.6 Si supponga che lo Stato intervenga nell’economiatassando una parte del reddito e finanziando in tale modo la spesa pubblica,sotto il vincolo di pareggio di bilancio in ogni periodo. Come cambia la di-namica dell’economia? E se non si rispettasse il vincolo di bilancio di breveperiodo?

Approfondimento 4.7 Il saggio di risparmio aggregato per la scuola po-stkeynesiana e il risultato del saggio di risparmio dei capitalisti e dei la-voratori. Allora le discrepanze fra domanda ed offerta di lavoro e dei benimodificano la distribuzione del reddito e tramite questa il saggio di risparmioaggregato. Questo potrebbe rendere stabile la dinamica del modello. Fornireuna giustificazione analitica a tale affermazione (per un’aiuto vedere Pacini(1997)).

4.3 Critiche al modello Harrod-Domar

Al modello Harrod-Domar sono state mosse varie critiche, che nel corso del-l’esposizione abbia gia discusso. Nel seguito riassumiamo quelle piu rilevanti:

1. I modelli keynesiani assumono prezzi fissi. Tuttavia, tale ipotesi edifficilmente difendibile nel lungo periodo in presenza di un continuodisequilibrio nel mercato dei beni e dei fattori.

2. L’esistenza di una sola tecnica di produzione appare altrettanto limi-tante in un’analisi di lungo periodo.

3. La formazione delle aspettative e molto meccanica; una teoria piu raf-finata potrebbe permettere di evitare l’instabilita intrinseca dell’eco-nomia, in particolare prevedendo che piccole discrepanze tra domandaed offerta possano essere non tenute in considerazione nella formazionedelle aspettative.

Le prime due critiche sono alla base del modello neoclassico di Solow-Swan, mentre il ruolo delle aspettative nei modelli di crescita, collegato alruolo della domanda effettiva si e di fatto perso. Lo stesso Solow, anche se

4.3. CRITICHE AL MODELLO HARROD-DOMAR 49

propende per una risposta tendenzialmente negativa, ossia vede nei fatto-ri dell’offerta le determinanti della crescita di lungo periodo, afferma che ladomanda effettiva potrebbe avere un ruolo nella crescita di un paese in parti-colari circostanze (vedi Solow (2001)). La piu rilevante e quella di economiecon un’abbondante offerta di manodopera. Torneremo su questo punto nelCapitolo 10.


Capitolo 5

Il modello di Solow-Swan

La teoria keynesiana della crescita e criticabile in molti suoi aspetti. Inparticolare, la non esistenza di un meccanismo riequilibratore nel mercatodei beni e le stringenti assunzioni sulla tecnologia e sulla rigidita dei prezzinel lungo periodo ponevano seri dubbi sulla generalita dei risultati.

Mentre la teoria post-keynesiana della crescita appuntava le sue critichesulla rigidita dei prezzi dei fattori e del saggio di risparmio, la teoria neo-classica propone modelli dove la sostituibilita tra capitale e lavoro non siavincolata, ossia dove diverse tecniche di produzione possono essere scelte alvariare dei prezzi relativi dei fattori. Questi ultimi sono determinate dallecondizioni di domanda ed offerta nei rispettivi mercati.

Prima di procedere a studiare il modello di crescita neoclassico, analiz-ziamo le caratteristiche della funzione di produzione neoclassica, che sonocruciali ai fini del risultati del modello.

5.1 Funzione di produzione neoclassica

In generale nel modello neoclassico vi sono due fattori, capitale, K, e lavoro,L e un parametro A che misura la produttivita del lavoro. In particolare:

Y = F (K, AL) , (5.1)

dove F (.) soddisfa le seguenti assunzioni:

Assunzione 5.1 la produttivita marginale dei fattori e positiva, ossia ∂F∂K

>0, ∂F

∂L> 0;

Assunzione 5.2 i rendimenti marginali per ogni fattore sono decrescenti,ossia ∂2F

∂K2 < 0, ∂2F∂L2 < 0;

51

52 CAPITOLO 5. IL MODELLO DI SOLOW-SWAN

Assunzione 5.3 i rendimenti di scala sono costanti, ossia λY = F (λK, λAL).

La variabile AL misura lo stock di lavoro comprensivo della produttivitadello stesso, cosı che viene chiamato stock di lavoro misurato in unita effi-cienti. Valgono a questo riguardo le considerazioni fatte per le assunzionisottostanti a questo tipo di progresso tecnico svolte nel capitolo precedentenei rispetti del modello di Harrod. Solow (1999) mostra che solo tale tipodi progresso tecnico e compatibile con l’esistenza di un sentiero di crescitabilanciata.

L’assunzione 5.3 inoltre ci permette di esprime le grandezze in termini diunita pro-capite tramite la seguente operazione

Y = ALF

(

K

AL, 1

)

⇒Y

AL= F

(

K

AL, 1

)

ed infiney = f (k) (5.2)

dove y = YAL

, k = KAL

e f (k) = F(

KAL

, 1)

. Notiamo che per le assunzioni 5.2e 5.3 abbiamo che f ′′ (k) < 0.

Puo essere utile esprime anche le produttivita marginali dei fattori neitermini delle nuove variabili pro-capite, ossia

∂F

∂K=

∂ALf (k)

∂K= ALf ′ (k)

1

AL= f ′ (k) , (5.3)

mentre la produttivita del lavoro e pari a:

∂F

∂L=

∂ALf (k)

∂L= A

[

f (k) − Lf ′ (k)K

AL2

]

= A [f (k) − kf ′ (k)] . (5.4)

5.1.1 Teorema di esaustione del prodotto

Mentre le Assunzioni 5.1 e 5.2 sono del tutto usuali anche nel mondo classi-co e lı ampiamente discusse, la 5.3 non e basata su alcune evidente motivo.Tuttavia questa e necessaria perche il prodotto venga interamente distribuitoai fattori di produzione, quando si assume, come avviene nella teoria neo-classica, che la remunerazione dei fattori segua la regola marginalistica. E’un’applicazione del teorema di esaustione del prodotto, ossia:

Teorema 5.1 Si supponga che i fattori vengano remunerati alla loro produt-tivita marginale, allora per avere una completa distribuzione del prodotto, lafunzione di produzione deve mostrare rendimenti di scala costanti.

5.2. EQUILIBRIO INFRATEMPORALE 53

Prova. Supponiamo che nell’economia esistano n fattori produttivi eche la loro remunerazione avvenga al margine, ossia, indicando con zi laremunerazione del fattore i abbiamo che:

zi =∂F (x1, ..., xn)

∂xi

,

dove xi indica il fattori i. Se la somma del prodotto distribuito ai fattorideve essere pari al prodotto, avremo che:

Y = Σni=1

∂F (x1, ..., xn)

∂xi

xi.

Cio e vero solo se la funzione di produzione e a rendimenti costanti discala, ossia:

λY = F (λx1, ..., λxn) per λ > 0;

infatti, calcolando la derivata del membro di destra e sinistra rispetto a λotteniamo:

Y = Σni=1

∂F (λx1, ..., λxn)

∂λxixi,

e ponendo λ = 1 otteniamo:

Y = Σni=1

∂F (x1, ..., λxn)

∂xi

xi.

CVDQuesto risultato ha vincolato per molto tempo la teoria della crescita

a ben determinate forme funzionali e solo dalla meta degli anni 80 si sonoanalizzati casi in cui la produzione mostrasse rendimenti crescenti di scala(vedi ad esempio Romer (1986)). Vedremo piu avanti sotto quali condizioni ilprodotto puo essere interamente distribuito ai fattori anche in tale contesto.

5.2 Equilibrio infratemporale

L’economia e composta da consumatori-risparmiatori e imprese. I primi of-frono sia lavoro che capitale e ricevono rispettivamente una remunerazionepari a w (il saggio di salario) per i servizi del lavoro e pari a r (il tasso diinteresse) per i servizi del capitale. Le imprese organizzano la produzioneassumendo lavoratori e prendendo a prestito dalle imprese il capitale.

Dati i rendimenti di scala costanti della funzione di produzione, la dimen-sione dei produttori non influenza le condizioni di massimo per il profitto,1

1Per chi non ne fosse convinto veda la prossima nota.


cosı che si puo assumere l’esistenza di un’unica impresa che massimizza ilprofitto scegliendo la migliore combinazione di capitale e lavoro, dato il livel-lo del progresso tecnico e considerando come un dato i prezzi di mercato delcapitale r e del lavoro w. L’impresa quindi massimizzera il profitto, ossia2

maxk

π = AL[

f (k) − rk −w

A

]

.

Dalle condizioni di primo ordine otteniamo la curva di domanda di capi-tale dell’impresa, ossia

∂π

∂k= 0 ⇔ r = f ′ (k) . (5.5)

La libera entrata nel mercato del bene fa sı che in ogni periodo i profittidell’impresa siano nulli, da cui si determina il livello del salario:

w = A [f (k) − kf ′ (k)] . (5.6)

Poiche la remunerazione dei fattori avviene secondo la regola marginalista(confronta la (5.3) e la (5.4) con rispettivamente, la (5.5) e la (5.6)), datal’assunzione 5.3 di rendimenti di scala costanti, il Teorema 5.1 ci assicura cheil prodotto sia interamente distribuito ai fattori di produzione.

Per quello che riguarda il risparmio Solow segue la teoria keynesiana,ossia3

S = sY. (5.7)

Poiche i prezzi dei fattori sono perfettamente flessibili in equilibrio devevalere che:

D = Y,

2Per convincersi che la dimensione dell’impresa e il numero delle imprese non conta,ma solo il rapporto K

AL , si consideri il problema di massimo dell’impresa i:

πi = F (Ki, ALi) − rKi − wLi,

da cui dalle condizioni di primo ordine abbiamo:

r =∂F

∂Ki= ALi

∂f (ki)

∂ki

∂ki

∂Ki= ALif

′ (ki)

(

1

ALi

)

= f (ki) .

Poiche sappiamo che r deve essere uguale per ogni impresa per la condizione di nonarbitraggio, allora anche ki lo sara e quindi considerare k medio e perfettamenteequivalente.

3Con saggi di risparmio costanti rispetto al reddito la distribuzione personale dellerisorse e irrilevante nella determinazione dell’ammontare del risparmio aggregato. Questonon e piu vero se il saggio di risparmio e non-lineare, come sara il caso del modello dicrescita ottima.

5.3. LA DINAMICA DEL MODELLO 55

che unita alle classiche equazioni di contabilita nazionale portano alla condi-zione di equilibrio

I = S. (5.8)

Dalle (5.7) e (5.8) abbiamo che

I = sY,

da cuii = sf (k) , (5.9)

dove i = IAL

e l’investimento pro-capite misurato in unita efficienti.

5.3 La dinamica del modello

La dinamica del modello richiede di specificare sia l’equazione che governal’accumulazione di capitale, il tasso di crescita della forza lavoro L e il tassodi crescita del progresso tecnico. In particolare Solow segue le ipotesi delmodello di Harrod ed assume che

K = I − δK; (5.10)

L

L= n; (5.11)

eA

A= gA (5.12)

dove δ e il tasso di deprezzamento del capitale.E’ immediato dalla (5.10) ottenere che:

K

K=

I

K− δ =

i

k− δ,

cda cui, tenuto conto che

k

k=

K

K−

L

L−

A

A,

possiamo ricavare:k

k=

i

k−(

δ + n + gA)

.

Utilizzando la condizione di equilibrio (5.9) abbiamo che

k

k=

sf (k)

k−(

δ + n + gA)

. (5.13)


Questa equazione racchiude tutta la dinamica del modello di Solow-Swan.Essa ci dice come varia il capitale pro-capite misurato in unita efficienti infunzione del capitale e dei parametri del modello.

Osserviamo che vi e la seguente relazione tra tasso di crescita del prodottopro-capite in unita efficienti e tasso di crescita del capitale pro-capite in unitaefficienti

y

y=

f ′ (k)

f (k) /k

k

k,

cosı che se k/k > 0 allora cresce anche il reddito pro-capite. Notiamo chenel caso f fosse strettamente concava (convessa) allora f ′ (k) ≤ (≥)f (k) /ke quindi y/y ≤ (≥)k/k.4 Infine se volessimo calcolare il tasso di crescita delreddito pro capite avremo che:

·

Y/L

Y/L=

f ′ (k)

f (k) /k

k

k+ gA, (5.14)

per cui nel caso in cui k/k = 0 il prodotto pro-capite cresce sempre al tassogA. Di converso, nel caso gA = 0 allora il prodotto pro-capite cresce solo se

f ′ (k) / (f (k) /k)(

k/k)

> 0.

5.3.1 Esistenza dell’equilibrio e proprieta

Dall’equazione (5.13) abbiamo che il capitale di equilibrio k∗ deve soddisfare

sf (k∗)

k∗=(

δ + n + gA)

.

Le condizioni imposte alla funzione di produzione tuttavia non ci assicuranoche tale equilibrio esista e nel caso esistesse abbia un significato economico. Inparticolare risultano cruciali il comportamento della funzione di produzioneagli estremi, ossia per k = 0 e k → +∞.

Per rendere l’analisi piu semplice assumiamo che il capitale sia indispen-sabile nella produzione, ossia:

Assunzione 5.4 f (0) = 0;

Abbiamo allora che:

Proposizione 5.1 Sotto le assunzioni 5.1-5.4 condizione necessaria e suffi-ciente perche il modello di Solow-Swan mostri una crescita del capitale pro-capite in unita efficienti nel lungo periodo, ossia k/k > 0 ∀k > 0, e chelimk→∞ f ′ (k) >

(

δ + n + gA)

/s.

4E’ ben nota la proprieta che se f ′′ (k) < 0 allora f ′ (k) < f (k) /k.


Prova. Osserviamo innanzitutto che

limk→∞

f (k)

k= lim

k→∞f ′ (k)

per la regola di De Hopital. Quindi:

limk→∞

k

k=

sf (k)

k−(

δ + n + gA)

> 0.

Inoltre:

limk→0

f (k)

k= lim

k→0f ′ (k) ,

sempre per la regola di De Hopital, e quindi:

limk→0+

k

k=

sf (k)

k−(

δ + n + gA)

> 0.

Poiche f ′′ (k) < 0 allora abbiamo che k/k > 0 ∀k > 0, dato che f (k) /k esempre decrescente in k.

La Proposizione 5.1 afferma che anche in un economia in cui non vi siaun continuo aumento del progresso tecnico, ossia gA = 0, l’accumulazione dicapitale puo sostenere la crescita di lungo periodo del prodotto pro-capite.Infatti, considerando la (5.14) nel caso in cui k/k > 0 ∀k > 0 abbiamo che

·

Y/L

Y/L=

k

k,

ossia il tasso di crescita del prodotto pro-capite e pari al tasso di crescitadel capitale pro-capite. Questa intuizione e alla base dei modelli di crescitaendogena.5

Vediamo tre esempi di funzioni di produzione che possono chiarire ilrisultato appena enunciato.

5Abbiamo infatti che:·

Y/L

Y/L=

f ′ (k)f(k)

k

k

k,

da cui:

limk→∞

·

Y/L

Y/L=

k

k

poiche:

limk→∞

f ′ (k)f(k)

k

= 1.


Esempio 5.1 Si consideri una funzione di produzione Cobb-Douglas

Y = Kα (AL)1−α ,

dove α < 1 per soddisfare le ipotesi di concavita. Da cui

y = kα

e quindif (k)

k= kα−1.

L’espressione sulla destra tende a zero come k aumenta e quindi per la Pro-posizione 5.1 il capitale pro-capite non puo aumentare indefinitamente nellungo periodo.

Esempio 5.2 Si consideri la seguente funzione di produzione CES (constantelasticity of substitution):

Y =(

αK−ρ + (1 − α) (AL)−ρ)−1/ρ, (5.15)

dove ρ ≥ −1 (questo assicura che la funzione sia sempre concava). L’ela-sticita di sostituzione fra i fattori e misurata da 1/ (1 + ρ).6 La funzioneassume le seguenti forme particolari:7

Y =

αK + (1 − α) AL se ρ = −1;

Kα (AL)1−α se ρ = 0;min {K, AL} se ρ → +∞

6Infatti l’elasticita di sostituzione e definita da:

ε =∂ ∂Y/∂K

∂Y/∂AL

∂AL/K

AL/K∂Y/∂K∂Y/∂AL

,

da cui si puo calcolare che:

ε =1

1 + ρ.

7La dimostrazione per ρ = −1 e banale. Nel caso di ρ = 0, abbiamo che:

limρ→0

log Y = limρ→0

log[

αK−ρ + (1 − α) (AL)−ρ]

−ρ=

= limρ→0

αK−ρ log K + (1 − α) (AL)−ρ

log AL

αK−ρ + (1 − α) (AL)−ρ =

= α log K + (1 − α) log AL.


Abbiamo quindi che

y =(

αk−ρ + 1 − α)−1/ρ

da cuif (k)

k=

(αk−ρ + 1 − α)−1/ρ

k=

(

α +1 − α

k−ρ

)−1/ρ

.

L’espressione sulla destra tende a α−1/ρ come k aumenta se −1 ≤ ρ < 0 equindi per la Proposizione 5.1 il capitale pro-capite puo aumentare indefinita-mente nel lungo periodo se sα−1/ρ > δ+n+gA. Se invece ρ ≥ 0 allora le con-dizioni della Proposizione 5.1 non sono soddisfatte e quindi l’accumulazionedel capitale si ferma.

Esempio 5.3 Si consideri la seguente funzione di produzione quasi lineare:

Y = BK + Kα (AL)1−α ,

dove 1 > α (questo assicura che la funzione sia concava). Abbiamo quindiche:

y = Bk + kα,

da cuif (k)

k= B + kα−1.

In questo caso la produttivita e limitata da una soglia inferiore B e quindi sevale

B > n + δ + gA

la condizione della Proposizione 5.1 e soddisfatta e quindi il capitale pro-capite misurato in unita efficienti puo aumentare indefinitamente nel lungoperiodo. Nella Figura 5.1 riportiamo la dinamica del modello nel caso difunzione di produzione quasi-lineare:

Nel caso ρ → ∞ abbiamo che:

limρ→∞

log Y = limρ→∞

log[

αK−ρ + (1 − α) (AL)−ρ]

−ρ=

= limρ→∞

αK−ρ log K + (1 − α) (AL)−ρ

log AL

αK−ρ + (1 − α) (AL)−ρ =

= limρ→∞

log K

1 + (1 − α) /α (AL/K)−ρ +

log AL

α/ (1 − α) (K/AL)−ρ

+ 1.

Ora:

limρ→∞

log Y =

{

log K se AL > K;log AL se AL < K.


6

-k

n + δ + gA

sf(k)/k

..................................................B

Figura 5.1: Modello di Solow-Swan dove i rendimenti marginali del capitalehanno un limite inferiore

Nella letteratura generalmente si assume che:

Assunzione 5.5

limk→0+

f ′ (k) = +∞ e

limk→+∞

f ′ (k) = 0.

Le Assunzioni 5.5 sono chiamate condizioni di Inada e stabiliscono ilcomportamento della funzione di produzione ai limiti del suo insieme di defi-nizione. Date queste assunzioni, che violano la condizione della Proposizione5.1 esistono due punti di equilibrio della (5.13), che possiamo individuaregraficamente nella Figura 5.2.


6

-k

............................k∗

sf(k∗)

(δ + n + gA)k

- �

k6

?

Figura 5.2: La dinamica del modello di Solow sotto le condizione di Inada

L’ispezione della Figura 5.2 mostra che l’origine e un punto di equilibrioinstabile, mentre k∗ e un punto di equilibrio globalmente stabile. Infattinotiamo che per k ∈ (0, k∗) k > 0, mentre per k ∈ (k∗, +∞) k < 0 e quindila dinamica e convergente all’equilibrio k∗. La Proposizione 5.2 riassumequesti risultati:

Proposizione 5.2 Sotto le assunzioni 5.1-5.5 il modello di Solow-Swan mo-stra due equilibri k = 0 e k∗, dove k∗ e implictamente definito da sf (k∗

2) /k∗2 =

(

δ + n + gA)

. Il primo e un equilibrio instabile, mentre il secondo e unequilibrio globalmente stabile.

Prova. Seguendo Gandolfo (1997) sappiamo che per determinare la sta-bilita locale di un equilibrio quello che rileva e il valore della derivata dell’e-quazione differenziale nel punto di equilibrio; in particolare questa derivatadeve essere negativa per avere un equilibrio stabile (positiva per un equilibrioinstabile). Dall’equazione (5.13) abbiamo che

dk

dk= sf ′ (k) −

(

δ + n + gA)

da cui

dk

dk

∣

∣

∣

∣

∣

k=0

= +∞ > 0;

dk

dk

∣

∣

∣

∣

∣

k=k∗

= sf ′ (k∗) −(

δ + n + gA)

= sf ′ (k∗) −sf (k∗)

k∗= s

(

f ′ (k∗) −f (k∗)

k∗

)

< 0


per la concavita della f .

Puo essere interessante osservare che:

Osservazione 5.1 Economie che mostrano un capitale pro-capite in unitaefficienti minore di quello di equilibrio mostrano un tasso di crescita delcapitale pro-capite maggiore di gA (e viceversa).

Questo risultato e interessante per studiare le dinamiche di aggiustamentoall’equilibrio in risposta a variazioni nei parametri s, n e gA. In particolarequesta monotonicita del tasso di crescita di un paese, risulta cruciale ai finidell’analisi di convergenza (assoluta e condizionata).

5.3.2 Proprieta dell’equilibrio

L’equilibrio economicamente rilevante e quello per cui il capitale e la produ-zione sono maggiori di zero. In questo equilibrio le variabili pro-capite misu-rate in unita efficienti sono costanti, mentre le variabili pro-capite cresconoal tasso gA. In particolare abbiamo che:

Proposizione 5.3 Nell’equilibrio stabile k∗ definito dalla Proposizione 5.2l’economia cresce lungo un sentiero di crescita bilanciata dove le variabilipro-capite Y/L, K/L, C/L e I/L e il salario w∗ crescono al tasso di crescitadel progresso tecnico gA, mentre il saggio di interesse r∗ e costante.

Prova. La prova si ottiene considerando che in equilibrio k/k = 0 equindi anche y/y = 0. Abbiamo quindi che Y /Y − n − gA = 0, da cui

·

Y/L/Y/L = gA. Poiche C = (1 − s) Y e I/L = sY cio vale anche per C/L eI/L. La dinamica del salario e del tasso di interesse e immediata dalle (5.6)e (5.5).

Osserviamo che nel sentiero di crescita bilanciata il tasso di crescita di-pende esclusivamente da un fattore esogeno come il progresso tecnico. Questosentiero di crescita corrisponde al sentiero di crescita naturale del modellodi Harrod. La novita piu rilevante e cruciale e che l’economia tende spon-taneamente a muoversi lungo un sentiero di crescita bilanciata e l’instabilitadell’economia e scomparsa. Intuitivamente la possibilita di sostituzione deifattori permette all’economia di trovare la giusta tecnica di produzione percrescere in maniera equilibrata.

Nel successivo paragrafo analizzeremo alcuni esercizi di statica comparata


5.3.3 Statica comparata

Gli economisti classici e la teoria keynesiana abbiamo visto riponevano unagrande attenzione al saggio di risparmio. Nel modello di Solow-Swan il saggiodi risparmio ha effetto solo sul livello dell’output (effetto livello), ma non sultasso di crescita (effetto crescita), che rimane vincolato dal tasso di crescitadella popolazione e dal progresso tecnico. Nella Figura 5.3 mostriamo glieffetti di un aumento del saggio di risparmio da s a s′ al tempo t0, checomporta un aumento di k∗ e quindi un’incremento momentaneo del tasso dicrescita del reddito pro-capite e del capitale pro-capite rispetto al suo livellodi lungo periodo. Tuttavia, questa e solo una dinamica transiente e nel lungoperiodo il tasso di crescita di entrambi converge verso gA.

6

-k

..........................................

.............................

n + δ + gA

sf(k)

s′f(k)

k∗ k∗∗

E

E ′

6

-

Figura 5.3: Effetti sul livello di equi-librio del capitale pro-capite misura-to in unita efficienti di un aumentodel saggio di risparmio

6

-t

......................................................................

·

Y/LY/L

·

K/LK/L

t0

gA

Figura 5.4: Effetti sul tasso di cre-scita del prodotto e del capitale pro-capite di un aumento del saggio dirisparmio

Un’incremento del tasso di crescita della popolazione da n a n′ ha uneffetto livello negativo e nessun effetto crescita. La Figura 5.5 riporta talecaso.


6

-k

............................k∗

sf(k∗)

......................k∗∗

�(δ + n + gA)k

(δ + n′ + gA)k

Figura 5.5: Aumento del tasso di crescita della popolazione

Tale variazione del tasso di natalita avra un effetto negativo nel breveperiodo sia sul tasso di crescita del prodotto pro-capite che del capitale pro-capite. Nel lungo periodo, tuttavia, entrambe le variabili ritornano a crescereal tasso gA.

Non analizziamo il caso di variazioni nel parametro δ, che sono del tuttosimili a variazioni del parametro n.

Variazioni del tasso di crescita della produttivita esogena gA, invece,avranno sia un effetto livello che un effetto crescita.

5.4 Regola aurea di accumulazione

Una domanda che ci si puo porre e se vi sia un qualche ordinamento fratutti i possibili equilibri che si possono raggiungere; in particolare, qualesia l’equilibrio preferito da un consumatore che mira ad ottenere il massimoconsumo.

Nell’equilibrio di lungo periodo, data la condizione sf (k∗) =(

gA + n + δ)

k∗

il consumo e dato

c∗ = (1 − s) f (k∗) ⇒ c = f (k∗) −(

gA + n + δ)

k∗,

da cui abbiamo che il massimo consumo si avra per

f ′(

k)

=(

gA + n + δ)

. (5.16)

5.5. SCOMPOSIZIONE FATTORIALE DEL PRODOTTO 65

Il livello di capitale k indica il capitale che soddisfa la regola aurea. Nullaassicura che k sia pari a k∗ e quindi puo essere necessario operare su s inmodo che k∗ = k.

6

-k

gA + n + δ

........

........

........

........

........

.

..........................k

...............................k∗

.............

s(gA + n + δ)�

Figura 5.6: Regola aurea di accumulazione

Approfondimento 5.1 Introdurre la possibilita di poter tassare con un’a-liquota proporzionale il consumo e di finanziare con le risorse raccolte gliinvestimenti pubblici o il consumo dello stato e mostrare come si possa rag-giungere in tal modo il capitale indicato dalla regola aurea (5.16).

Approfondimento 5.2 Supponendo che la regola aurea di accumulazioneprescriva un aumento del saggio di risparmio, analizzare le possibili contro-indicazioni di tale politica nel breve periodo (Suggerimento: l’aumento delsaggio di risparmio nel breve periodo implica una diminuzione del livello delconsumo).

5.5 Digressione sul modello di Solow: un ana-

lisi di scomposizione fattoriale del pro-

dotto

In un importante contributo del 1957 Solow propone un metodo per calcolareil contributo che ogni fattore fornisce alla crescita di un paese. In particolare,egli considera una funzione di produzione Cobb-Douglas:

Y = AKαL1−α,


da cui:Y

Y= α

K

K+ (1 − α)

L

L+

A

A, (5.17)

e quindi:

A

A=

Y

Y− α

K

K− (1 − α)

L

L.

Poiche in un mercato concorrenziale i fattori sono pagati alla loro produttivitamarginale, allora:

w = (1 − α)AKαL−α = (1 − α)Y

L;

r = αAKαL−α = αY

K,

da cui

α = 1 −wL

Y=

rK

Y, (5.18)

ossia α misura la quota di prodotto totale che affluisce ai profitti.

Le (5.17) e (5.18) permettono una stima di A/A, conoscendo il valore diα, ricavabile dalla quota di prodotto attribuita ai profitti, il tasso di crescitadel capitale e il tasso di crescita degli occupati. Tali stime per l’Italia e gliStati Uniti sono state riportate nel Capitolo 2. Un’analisi piu approfonditasi avrebbe se non limitiamo la nostra attenzione ad una tecnologia Cobb-Douglas, ma ad una piu generale tecnologia CES del tipo riportato nella(5.15) (vedi Arrow e al. (1961)).

Approfondimento 5.3 Sviluppare l’analisi di scomposizione fattoriale delprodotto nel caso la funzione di produzione fosse del tipo CES (5.15).

5.6 Il problema della convergenza

Il modello di Solow-Swan ha implicazioni empiriche molto rilevanti e poten-zialmente sottoponibili a verifica. In particolare, il modello suggerisce che aparita di tasso di crescita della popolazione e del saggio di risparmio (conl’ovvia considerazione che il tasso di deprezzamento del capitale e il progres-so tecnico siano uguali per ogni paese), due paesi dovrebbero mostrare unlivello di reddito di lungo periodo uguale (o convergente) e il paese piu po-vero dovrebbe tendere a crescere di piu. La Proposizione 5.4 stabilisce piuprecisamente quanto appena affermato:

5.6. IL PROBLEMA DELLA CONVERGENZA 67

Proposizione 5.4 Si consideri due paesi, i e j tale che yj > yi, da cuikj > ki con uguale saggio di risparmio, si = sj = s, e tasso di crescita dellapopolazione ni = nj = n. Allora il paese piu povero i vedra cresce il propriocapitale pro-capite ad un tasso maggiore, ossia ki/ki > kj/kj se la funzionedi produzione e concava (come e nel modello Solow-Swan).

Prova. Dalla (5.13) abbiamo che:

ki

ki−

kj

kj= s

[

f (ki)

ki−

f (kj)

kj

]

> 0,

data la concavita della funzione di produzione, che implica un prodotto mediodecrescente.

La Proposizione 5.4 e stata oggetto di molteplici analisi empiriche, tracui ricordiamo Baumol (1986), che trova conferma di convergenza nei livellidi reddito fra i paesi occidentali, con l’esclusione dei paesi sudamericani el’inclusione del Giappone.

Una volta pero estesa l’analisi ad un piu ampio insieme di paesi, in par-ticolare i paesi africani, non mostrano tale convergenza nei livelli di reddito.Effettivamente questa evidenza empirica potrebbe essere compatibile con ilmodello di Solow-Swan una volta che si tenga esplicitamente dell’eterogeneitanei parametri che caratterizzano i diversi paesi. In questo ambito si parla diconvergenza condizionata, ossia della possibile convergenza fra i redditi, unavolta che le peculiarita di ogni singolo paese sono tenute in considerazione.Per avere un’intuizione di questo si consideri due paesi i e j, il primo piuricco del secondo, ossia ki > kj, che sono uguali in tutto, fuorche nel saggiodi risparmio e, in particolare, si assuma che si > sj .

Dalla Figura 5.7 si evince che il tasso di crescita del capitale e maggiorenel paese piu ricco (GM > BF ) e quindi l’ipotesi di convergenza assoluta none verificata. Notiamo che nei punti di equilibrio Ej e Ei entrambe le economiecrescono allo stesso tasso e le eventuali divergenze nella crescita sono quindisolo fenomeni transitori destinati a scomparire nel lungo periodo.8

Sulla base della Figura 5.7 una regressione che tenesse conto anche dellivello del saggio di risparmio permetterebbe di evidenziare che le due eco-nomie vedono una convergenza nei loro redditi, quando tale convergenza econdizionata ai differenti saggi di risparmio. In pratica, stimando la seguentefunzione:

yi

yi= z0 + z1si + z2ni + z3yi (0) , (5.19)

8Questa proprieta si verifica ben difficilmente nei dati, con particolare riferimento aipaesi africani, a meno di ammettere che la transizione sia un fenomeno in pieno svolgimentoanche dopo 50 anni (nel qual caso si porrebbero ulteriori problemi sulla nostra capacitadi fare induzione dai dati disponibili).


6

-k

Ej Ei

...............................

.....................

sif(ki)/kisjf(kj)/kj

kikj

n + δ + gA

B

F

G

M

Figura 5.7: Convergenza condizionata nel modello di Solow-Swan

dove i indica il paese i, yi/yi il tasso di crescita medio nel periodo consideratodel paese i e yi (0) il reddito pro-capite di inizio periodo, dovremo trovare chez1 e positivo, mentre z2 e z3 sono entrambi negativi. In particolare, il segnodi z3 dovrebbe stabilire la convergenza delle economie (un segno negativo,infatti, implica che le economie piu povere sono anche quelle che resconodi piu, dopo aver tenuto conto del valore diverso dei parametri s e n). Inletteratura l’analisi basata su equazioni del tipo (5.19) sono chiamate cross-country regression. Un compendio di questo tipo di approccio si puo trovarein Barro e Sala-i-Martin (1999) .

E’ intuibile che il condizionamento si possa estendere a molte altre va-riabili. In effetti, seguendo l’approccio della convergenza condizionata, epossibile inserire altre variabili esplicative del tasso di crescita di un paese adestra dell’equazione (5.19), cosı da controllare per piu fattori che possonoinfluire sulle dinamiche di un paese. Tra le variabili piu rilevanti ci sono illivello di capitale umano, la disuguaglianza dei redditi,

Due sono le critiche che possono essere espresse a tale tipo di analisi: (i)le variabili sulla destra possono essere tra loro non indipendenti, ossia, intermini tecnici sono collineari fra loro e (ii) le variabili sulla destra non sonoesogene, ma dipendono a loro volta dal tasso di crescita, ossia sono esogene.

In effetti non e difficile formulare una teoria che faccia dipendere il tassodi risparmio e della popolazione dal livello di reddito di un paese. In questocaso la regressione (5.19) sarebbe mal posta, almeno se stimata con i minimiquadrati ordinari, e quindi i risultati non corretti. Ma, soprattutto, questofatto dovrebbe far riflettere sul significato di queste stime, o, per meglio dire,

5.7. IL MODELLO AK 69

sulla significativita dei risultati. La potenziale endogeneita delle variabiliregressori fanno si che le eventuali relazioni tra le variabili esplicative ed iltasso di crescita di un paese possano essere falsate, cosı come la rilevanza diqueste variabili nello spiegare la crescita di un paese.

A questo riguardo si consideri il seguente esempio, tratto da una delleprime cross-country regression apparse in letteratura. In questa si conside-ra fra le variabili esplicative il capitale umano, ossia il grado di istruzionedella forza lavoro, diviso a seconda del sesso e il tasso di crescita della po-polazione. Dall’analisi risulta che esiste convergenza condizionata, e che ilcapitale umano maschile ha un relazione significativa positiva con il tassodi crescita del reddito pro-capite, mentre l’inverso vale per il tasso di cre-scita della popolazione. Sorprendente, pero, e il fatto che il capitale umanofemminile abbia, invece, una relazione negativa e significativa con il tasso dicrescita. La spiegazione sta proprio nella relazione (negativa) di quest’ulti-mo con il tasso di crescita della popolazione. Per finire, quest’ultimo a suavolta e collegato inversamente al livello del reddito pro-capite, cosı che esisteuna forte incertezza rispetto alla significativita complessiva dei risultati rag-giunti. Solow (1999) riporta questi dubbi ed altre considerazioni negative suquesto tipo di approccio. Per chi fosse interessato a critiche analiticamentepiu circonstanziate puo far riferimento a Durlauf and Quah (1999).

In conclusione, le conclusioni a cui arriva l’approccio della cross-countryregression devono essere prese cum grano sali, sapendone i limiti impliciti.Accettato questo, tuttavia, quello che rimane e una teoria che spiega i diversitassi di crescita dei paesi come un processo di convergenza all’equilibrio, chee diverso in funzione dei parametri del modello. L’insoddisfazione che rima-ne e quella che alcune variabili considerate endogene al processo economicovengono invece impiegate per spiegare il processo stesso. Quest’ultimo aspet-to ci introduce ad una spiegazione alternativa dei differenti tassi di crescitadi un paese, l’esistenza di equilibri multipli. Prima di procedere oltre peroconsideriamo sotto quali ipotesi anche nel modello standard di Solow-Swannon c’e convergenza fra i redditi pro-capite dei vari paesi.

5.7 Il modello AK

Nel modello di Solow-Swan sotto le ipotesi standard sulla tecnologia la cre-scita e guidata interamente da fattori esogeni al modello stesso, come il pro-gresso tecnico e l’incremento della forza lavoro; infatti se gA = 0 non vi ecrescita nel prodotto pro-capite, come afferma la Proposizione 5.3. Questofatto ha la chiara controindicazione che se, come si osserva nella relata, i pae-si mostrano una crescita di lungo periodo nei livello del reddito pro-capite,


allora tutti dovrebbero crescere nel lungo periodo allo stesso tasso esogenogA. Sappiamo, tuttavia, dalla Proposizione 5.1 che il modello puo ammet-tere una crescita nel lungo periodo anche senza progresso tecnico esogeno seil prodotto medio del capitale (e quindi il prodotto marginale) sono limitatiinferiormente.

I modelli cosiddetti AK, il cui nome deriva dal considerare la piu sempli-ce tecnologia che puo soddisfare tale requisito, ossia F = AK, analizzano leimplicazione di tale eventualita per la crescita di un paese e per la conver-genza fra i redditi dei diversi paesi. In particolare, si consideri la seguentetecnologia:

F = A (L) K,

in cui A (L) rappresenta il rendimento marginale del capitale, costante rispet-to allo stock di capitale stesso, che incorpora al suo interno anche il livello diforza lavoro; allora sfruttando la Proposizione 5.1, sotto l’ipotesi che gA = 0,abbiamo che il reddito pro-capite crescera nel lungo periodo se A (L) > n+δ

s.

La crescita di lungo periodo un paese dipende positivamente dal livellodel saggio di risparmio del paese s e negativamente da n. La convergenza neilivelli dei redditi pro-capite non e assicurata, poiche e immediato verificareche la differenza nei tassi di crescita di due paesi i e j e data da:

ki

ki

−kj

kj

= s [A (Li) − A (Lj)] ;

il segno quindi dipende dal rapporto fra Li e Lj . In molti contributi A (Li) =A e quindi i tassi di crescita dei due paesi sono eguali e cio significa chechi e piu ricco rimane il piu ricco anche nel lungo periodo e le differenze intermini relativi tendono a permanere. Non avremo quindi, anche a parita diparametri, una convergenza assoluta nei livelli di reddito. La novita e chenon dovremo osservare neppure una convergenza condizionata (ma neppureuna divergenza).

Notiamo infine che il tasso di crescita di un paese puo dipendere dal livellodella sua forza lavoro: questo e chiamata in letteratura effetto scala, ossia iltasso di crescita di un paese puo dipendere dalla sua grandezza.

Rimane da registrare l’opinione fortemente negativa di Solow (1999) versotali modelli, che basano le loro conclusioni, ad avviso dello studioso, su un’ar-tificiosa ipotesi (produttivita marginale del capitale costante) non suffragatada nessuna evidenza reale (anzi l’osservazione empirica suggerisce tutt’altro).

5.8. EQUILIBRI MULTIPLI E CONVERGENZA 71

5.8 Equilibri multipli e convergenza

Il modello di Solow-Swan standard ammette due equilibri, ma di cui solouno appare economicamente significativo (vedi Proposizione 5.2). Tuttaviae facile estendere il modello per generare piu equilibri. Noi esamineremo dueestensioni del modello di Solow-Swan che permettono di generare equilibrimultipli, il primo che fa riferimento alla transizione demografica, il secondoal cambiamento strutturale.

5.8.1 Transizione demografica

Gia lo stesso Solow nel suo articolo del 1956 a pagina 90 aveva proposto l’ana-lisi di un caso con equilibri multipli. In particolare egli si era soffermato sullapossibilita che il tasso di crescita della popolazione avesse una relazione nonlineare con il reddito pro-capite e quindi con il capitale pro-capite.9 Seguen-do questa intuizione supponiamo che il tasso di crescita della popolazionesia crescente in un primo intervallo del reddito (capitale) e dopo decrescente,convergente a zero per valori molto alti del livello del reddito, ossia

n = n (k) ,

dove n (0) = 0, n′ > 0 per k ∈[

0, k)

e n′ < 0 per k > k, con limk→∞ n (k) = 0.Tale dinamica e chiamata in letteratura ‘transizione demografica’ e trovaforti riscontri empirici. Sotto opportune ipotesi sul valore dei parametri, ilmodello mostra tre equilibri, di cui due stabili ed uno instabile.10 La Figura5.8 rappresenta la dinamica del modello sotto l’ipotesi gA = 0:

9In particolare, Solow assume che δ = gA = 0 e che:

n = n (k)

con n′ < 0 per valori di k minori di k e maggiori di k, n′ > 0 per valori di k compresi

nell’intervallo(

k, k)

e con limk→∞ n′ = n < 0. Sotto tali ipotesi e possibile mostrare che

possono esistere tre equilibri, il primo e il terzo instabili, mentre il secondo stabile. Lapeculiarita e che per economie con un livello di capitale maggiore di quello corrispondenteal terzo equilibrio l’economia potrebbe sperimentare una crescita del reddito pro capitenel lungo periodo (anticipando cosı una teoria della crescita endogena). Tuttavia, talecrescita e dovuta essenzialmente all’assenza di deprezzamento del capitale; inoltre, inquest’ultimo caso nel lungo periodo il tasso di crescita della popolazione dovrebbe esseresempre negativo, il che rende tale dinamica poco credibile.

10Non entreremo qui in dettagli analitici, ma le condizioni sotto le quali si osservano trelivelli di reddito. Per un’analisi piu accurata si veda Manfredi e Fanti (2003).


6

-k

.......................

................

.........

(δ + n(k))k

sf(k)

k∗1 k∗

2 k∗3

E1

E2

E3

- � - �

Figura 5.8: Equilibri multipli e transizione demografica

Gli equilibri E1 e E3 risultano stabili, mentre E2 instabile. Ogni paese ilcui capitale pro-capite e maggiore di k∗

2 vedra convergere il proprio capitaleall’equilibrio k∗

3, mentre se il capitale pro-capite e minore di k∗2 il paese vedra

convergere il proprio capitale pro-capite all’equilibrio k∗1. In altre parole le

condizioni iniziali determinano anche il livello di reddito pro-capite di lungoperiodo. Questa dinamica potrebbe spiegare l’evidenza empirica che vedela formazione di club di paesi con simili livelli di reddito pro-capite e chemostrano simili tassi di crescita, con i paesi piu ricchi che crescono di piurispetto a quelli piu poveri (anche nel lungo periodo).

5.8.2 Cambiamento strutturale

Il cambiamento strutturale, ovvero il cambiamento nella composizione del-l’output, e un fenomeno che tipicamente accompagna la crescita del redditopro-capite di un paese. In genere, le economie piu arretrate hanno un’altaincidenza del settore agricolo sul totale dell’output, mentre le economie inin via di sviluppo mostrano un’alta incidenza del settore industriale; per fi-nire le economie sviluppate hanno nei servizi il settore che piu contribuiscealla produzione aggregata. Il cambiamento strutturale si puo riflettere inuna funzione di produzione aggregata che mostra, almeno per un suo tratto,rendimenti di scala crescenti. Questa dinamica ha trovato sostegno in nume-rosi studi empirici, che in particolare hanno evidenziato come il passaggio daun’economia agricola ad una industriale possa essere accompagnata da unafase di tassi di crescita crescenti ( Rostow (1990)).

5.8. EQUILIBRI MULTIPLI E CONVERGENZA 73

6

-k

...........................................

...............................

...............

E1

E2

E3

k∗1 k∗

2 k∗3

- � � - - �

(n + δ + gA)k

sf(k)

Figura 5.9: Equilibri multipli e cambiamento strutturale

Consideriamo allora una funzione di produzione:

y = f (k) ,

dove, oltre le Assunzioni 5.5, abbiamo che f ′′ < 0 per(

0, k)

e k > 0 e f ′′ > 0

per(

k, k)

. Allora sotto opportune ipotesi sul valore dei parametri potremo

avere tre equilibri, di cui due stabili ed uno instabile, come riportiamo nellaFigura 5.9.

Nella Figura 5.9 gli equilibri E1 e E3 sono stabili, mentre E2 e instabile.Tutti i paesi che hanno un capitale iniziale inferiore a k∗

2 vedranno convergereil proprio capitale al k∗

1, mentre coloro che hanno un capitale iniziale maggioredi k∗

2 al valore k∗3.

Entrambi i casi forniscono una simile dinamica del reddito pro-capite, deltipo rappresentata in Figura 5.10, con l’ovvia considerazione sulla presenzadi due equilibri stabili (y∗

1 e y∗2) ed uno instabile (y∗

2).11

11Per le ipotesi su f (k) i tassi di crescita di k e y mostrano segni uguali.


6

-y

y/y

y∗1

y∗2 y∗

3- � - �-

..........y

Figura 5.10: Dinamica del reddito con equilibri multipli

Tale dinamica implica la presenza di un intervallo di reddito (ossia [y∗2, y])

dove il tasso di crescita del reddito pro-capite y/y e il livello del reddito pro-capite y hanno una relazione positiva. Tale fatto rappresenta una condizionenecessaria per cui modelli di crescita possano mostrare equilibri multipli (ve-di Barro e Sala-i-Martin (1999) , pag. 53). Fiaschi and Lavezzi (2003) trovanoevidenza di tale dinamica nonlineare nei redditi di un insieme di paesi adot-tando un approccio di analisi proposto in Quah (1993), basato sulla stima dimatrici di transizione.

Notiamo che l’esistenza di equilibri multipli non e in contraddizione conla presenza di convergenza condizionata, se i paesi mostrano eterogeneita neiparametri (oltre che nel loro livello iniziale di capitale). Cosı l’aver individua-to la presenza di convergenza condizionata tramite regressioni cross-countrynon esclude la presenza di equilibri multipli.

La presenza di equilibri multipli e possibile anche in modelli senza pro-gresso tecnico e che asintoticamente si comportano come un modello AK(vedi Fiaschi e Lavezzi (2004)).

5.8.3 Matrici di transizione ed equilibri multipli

Prima di procedere oltre con l’analisi di alcune estensioni del modello di So-low diamo una breve intuizione di che cosa consiste il metodo di analisi ba-sato sulla stima di matrice di transizione, chiamato anche analisi distributiondynamics.

...

5.9. ESTENSIONI DEL MODELLO DI SOLOW-SWAN 75

5.9 Estensioni del modello di Solow-Swan

Il modello di Solow permette varie estensioni, che in parte sono gia contenutenell’articolo originale di Solow (1956). Noi in particolare ci interesseremo alcaso di modello con due settori.

5.9.1 Il modello di Solow-Swan con capitale pubblico

Il modello di Solow del 1956 puo essere esteso per comprendere anche l’inter-vento pubblico. A questo riguardo supponiamo che lo Stato tassi in manieraproporzionale il reddito ed utilizzi il gettito per finanziare la spesa pubblica,che incrementa lo stock di beni pubblici disponibili. In particolare, avremoche:

Y = (K, Q, AL, τ) ,

dove Q rappresenta lo stock di beni pubblici disponibile e τ l’aliquota di im-posta sul reddito (chiaramente compresa tra 0 e 1). La forza lavoro e assuntacrescere al tasso n, mentre il progresso tecnico al tasso gA. La produzione efatta dipendere da τ , il che dovrebbe riflettere il fatto che un’alta imposizionefiscale possa portare a distorsioni nell’allocazione delle risorse e, quindi, adun minore produzione, ossia ∂Y/∂τ < 0.

Assumiamo inoltre che la produzione sia concava in K, Q e AL e arendimenti di scala costanti, cosı che:

y = f (k, q, τ) ,

dove y = Y/AL, k = K/AL e q = Q/AL.Il capitale si accumula secondo la consueta equazione (ricordiamo che il

reddito disponibile e pari a (1 − τ) Y ):

K = s (1 − τ) Y − δkK,

dove δk e il tasso di deprezzamento di k. Avremo quindi che:

k = s (1 − τ) f (k, q, τ) −(

δk + n + gA)

k. (5.20)

In analogia, lo stock del bene pubblico si accumula secondo:

Q = τY − δqQ,

dove δq e il tasso di deprezzamento dello stock di bene pubblico. E’ immediatoricavare che:

q = τf (k, q, τ) −(

δk + n + gA)

q. (5.21)


Le equazioni (5.20) e (5.21), insieme alle condizioni iniziali k (0) = k0 eq (0) = q0, descrivono interamente la dinamica del modello.

Rappresentando la dinamica nel piano (k, q) abbiamo il diagramma difase riportato nella Figura 5.11.

6

-

E

kkE

q

qE q = 0

k = 0

..............................

............................................

?

-

6-

6�

�

?

I

II

III IV

Figura 5.11: Il modello di Solow-Swan con due settori

La dinamica appare convergente all’equilibrio E, dove tutte le variabiliin termini pro-capite crescono al tasso esogeno gA.12 La Proposizione 5.5stabilisce le proprieta locali dell’equilibrio E.

Proposizione 5.5 L’equilibrio E in Figura 5.11 risulta essere un nodo sta-bile.

Prova. Si consideri la linearizzazione del sistema dinamico formato dalleequazioni (5.20) e (5.21) valutate in E. In particolare, avremo che la matricedel sistema linearizzato sara data da:

[

τ(

fEq − fE/qE

)

τfEk

s (1 − τ) fEq s (1 − τ)

(

fEk − fE/kE

)

]

,

dove fEq e fE

k sono rispettivamente la produttivita marginale del bene pub-blico e del capitale calcolate in E (fE e ovviamente la funzione di produzione

12La figura e il risultato delle seguenti proprieta: (i) il luogo q = 0 e concavo e passa perl’origine; (ii) il luogo k = 0 e convesso e passa per l’origine; (iii) nell’intorno dell’origine illuogo q = 0 risulta sopra k = 0; (iv) per k grande il luogo q = 0 risulta sotto k = 0. Ledinamiche nelle quattro regioni sono facilmente calcolabili.

5.9. ESTENSIONI DEL MODELLO DI SOLOW-SWAN 77

intensiva valutata in E). Gli autovalori risolvono la seguente equazione:

λ2 − λ[

τ(

fEq − fE/qE

)

+ s (1 − τ)(

fEk − fE/kE

)]

+

+ sτ (1 − τ)[(

fEk − fE/kE

) (

fEq − fE/qE

)

− fEq fE

k

]

.

L’espressione che moltiplica λ e positiva per la concavita di f , cosı comeil termine noto; quindi entrambe le radici sono negative e il sistema risultastabile. Per verificare che l’equilibrio e un nodo calcoliamo il determinante,pari a:

∆ =[

τ(

fEq − fE/qE

)

− s (1 − τ)(

fEk − fE/kE

)]2+ 4sτfE

q fEk ,

che risulta maggiore di zero e quindi le soluzioni sono reali. CVDIn E l’economia si trova sul sentiero di crescita bilanciata, cosı che le

variabili pro-capite crescono al tasso esogeno gA. Il fatto che E sia un nodoesclude cicli nell’intorno dell’equilibrio, ma e possibile osservare dinamichedi convergenza non monotoniche. Ad esempio, partendo dal settore I, conun livello di capitale k < kE l’economia prima sperimentera una diminuzionedel capitale e poi, entrando nella regione II, un successivo aumento.

Approfondimento 5.4 Si analizzino gli effetti di una variazione nell’ali-quota di imposta τ sui valori di equilibrio, con particolare riferimento allivello pro-capite del consumo, nel caso la funzione di produzione fosse deltipo Cobb-Douglas.

5.9.2 Il modello di Solow-Swan con educazione

Questo modello e stato proposto da Mankiw et al. (1992) per studiare glieffetti dell’accumulazione di capitale umano in un modello di Solow-Swan.

...

Ancora sulla convergenza: l’analisi empirica di Mankiw et al. (1992)

...


Capitolo 6

Modelli di crescita agenerazioni sovrapposte

...

79

80 CAPITOLO 6. CRESCITA CON GENERAZIONI SOVRAPPOSTE

Capitolo 7

Teoria della crescita ottimaesogena

7.1 Introduzione

La teoria della crescita ottima esogena ha alla sua base l’approccio meto-dologico dell’equilibrio concorrenziale walrasiano, dove un numero elevatosia di consumatori che di imprese operano nei rispettivi mercati come price-taker e l’incontro fra domanda e offerta determina i prezzi di equilibrio. Unpunto cruciale rispetto alla teoria della crescita tradizionale, sia keynesianache solowiana, e l’attenzione alle fondazioni microeconomiche delle relazio-ni aggregate. In sostanza l’approccio alle scelte intertemporali di consumoviene inserito nella teoria dell’accumulazione, cosı da microfondare le rela-zioni macroeconomiche. Da qui il nome di teoria della crescita ottima, dovel’aggettivo ottima indica che gli agenti ottimizzano le loro decisioni inter-temporali. Il motore della crescita in tale tipo di modelli rimane il progressotecnologico esogeno e questo spiega l’ulteriore aggettivo esogena.

Un’importante premessa riguardo questo approccio riguarda il maggiorrigore formale rispetto al modello di Solow-Swan. Questo si rivela un costoin termini di verosimiglianza empirica del modello ed e avvertito in parti-colare dagli studenti che abbiano frequentato solo corsi di macroeconomiatradizionali, dove la teoria della crescita e raramente trattata. Lo sforzo diastrazione che e tipico nella costruzione di un modello economico in questocaso e particolarmente forte e puo legittimamente lasciare il dubbio che ladifferenza tra realta e modello sia cosı marcata da rendere le conclusioni nonsignificative ai fini della comprensione degli effettivi processi di crescita deipaesi.

Queste problematiche sono ampiamente dibattute in letteratura; metterle

81

82 CAPITOLO 7. CRESCITA OTTIMA ESOGENA

in evidenza a beneficio dello studente avra l’effetto, speriamo, di spingerlo astudiere i vari modelli proposti con un maggiore spirito critico.

In effetti, il modello che presenteremo dove tutti gli individui sono ugua-li e i mercati sono perfettamente concorrenziali deve essere preso come untermine di paragone il piu semplificato possibile (e quindi poco plausibile)di un modello di crescita. Le conclusioni tratte in questo ambito dovrebbe-ro essere confrontate con i risultati che si ottengono quando alcune ipotesivengano meno (uguaglianza nelle dotazioni per tutti gli individui, perfezionenei mercati, esistenza di un potere di mercato per le imprese, etc). In questaprospettiva, anche l’ipotesi sottostante alla letteratura neoclassica, di indivi-dui massimizzanti puo essere indebolita per far posto ad agenti che adottinoregole euristiche di decisione (chiamate anche regole del pollice).

Come vedremo il punto di maggior critica alla teoria della crescita ottimaesogena e la sua incapacita di dar conto di alcuni cruciali aspetti delle effettivedinamiche di crescita che caratterizzano le economie reali.

Nei prossimi paragrafi descriveremo un archetipo di economia concorren-ziale, in cui gli individui ottimizzano la loro utilita sulla base delle proprierisorse iniziali e dei prezzi di mercato, gli imprenditori massimizzano il pro-fitto e il mercato attraverso i prezzi fa si che le scelte di tutti gli agentisiano mutuamente compatibili. Inoltre studieremo le proprieta dinamichedell’equilibrio concorrenziale e se questo sia ottimo anche dal punto di vistasociale.

L’ultimo paragrafo riporta le critiche a questo approccio ed introduce allateoria della crescita endogena.

7.2 Un modello di economia concorrenziale

In una economia concorrenziale di tipo walrasiano si suppone che esistanodue tipi di agenti:

1. i consumatori, definiti in relazione alle loro preferenze e dotazioni dirisorse iniziali e

2. i produttori, definiti essenzialmente in base alla funzione di produzione.

Ogni agente tende a massimizzare intertemporalmente la propria funzioneobiettivo. Per i consumatori cio significa scegliere un sentiero di consumo chemassimizza una certa funzione di utilita, mentre per i produttori scegliere lequantita ottime dei fattori (generalmente capitale e lavoro) da impiegare permassimizzare i profitti.

Ipotesi fondamentali di un’economia concorrenziale sono:

7.2. UN MODELLO DI ECONOMIA CONCORRENZIALE 83

• ogni agente considera i prezzi come un dato;

• vi e libera entrata nel mercato dell’unico bene prodotto e

• i prezzi garantiscono l’equilibrio tra domanda ed offerta in tutti i mer-cati.

Osserviamo che si assume implicitamente che la remunerazione dei fat-tori avvenga secondo la regola marginalista, dato che la curva di domandadell’impresa e costruita sull’ipotesi di massimizzazione del profitto e compor-tamento price-taker. Abbiamo gia discusso che questo fatto pone un limitealla tecnologia disponibile agli imprenditori, ossia che i rendimenti di scalasiano costanti.1

7.2.1 Consumatori

Nel modello di crescita standard si assume che tutti gli agenti hanno prefe-renze e dotazioni iniziali uguali, ossia vige l’ipotesi di agente rappresentativo.Questa ipotesi semplifica l’analisi con l’obiettivo di raggiungere risultati ana-litici espliciti. Nella Sezione 7.5 daremo alcune intuizioni delle condizionisotto le quali questa approssimazione potrebbe non modificare i risultati an-che in presenza di eterogeneita nelle dotazioni degli agenti. Grazie a questaipotesi e possibile studiare il comportamento di tale agente rappresentativoper avere una descrizione completa del comportamento degli agenti di tipoconsumatore.

Il consumatore rappresentativo si suppone abbia un’orizzonte di vita in-finito. Questa ipotesi, che a prima vista potrebbe sembrare molto ardita,trova la sua ragione nell’idea che ogni individuo con un orizzonte di vita fini-to considera nelle proprie preferenze anche l’utilita dei sui discendenti, cosıche in aggregato e del tutto simile considerare un insieme di individui con unorizzonte di vita finito o singolo individuo con un orizzonte di vita infinito. Inquesto contesto agente rappresentativo ha significato solo riferito al singoloperiodo e piu propriamente, soprattutto in presenza di crescita della popo-

1In Bagliano e Bertola (1998) vi e un’esauriente discussione al riguardo. In effettivedremo che il prodotto puo essere interamente distribuito sotto l’ipotesi di remunerazionemarginale, anche con rendimenti di scala crescenti; il punto sta nel considerare questiultimi come il risultato di esternalita positive nella produzione, mentre a livello di singolaimpresa i rendimenti di scala rimangano costanti (che corrisponde all’ipotesi di esternalitamarshalliane). Tuttavia osserviamo che in aggregato i fattori non saranno remunerati almargine, cosı che la regola distributiva marginalistica non e piu rispettata.


lazione, e piu corretto parlare di dinastia rappresentativa.2 In breve avremoche le preferenze del consumatore sono rappresentate dalla seguente funzionedi utilita:

U = U (c (0) , c (1) , ..., c (∞)) .

Come standard nell’approccio neoclassico l’agente (rappresentativo) sce-glie il proprio sentiero di consumo sulla base della funzione di utilita, da-to il vincolo di bilancio (intertemporale). La prima cosa da fare e quindispecificare una forma funzionale per le preferenze.

Funzione di utilita della dinastia rappresentativa La funzione di uti-lita misura la felicita ricavata dal consumo dalla dinastia rappresentativa.Una forma molto comune nella letteratura e la seguente:

U =

∫ ∞

0

u (c (t)) ente−ρtdt, (7.1)

dove U e l’utilita intertemporale (o benessere) dell’agente (o dinastia) rappre-sentativo, c (t) il consumo medio nel periodo t e quindi quello di ogni agenteappartenente alla dinastia al periodo t, u (c (t)) misura l’utilita instantaneadel consumo nel periodo t per ogni membro della dinastia; n e il tasso dicrescita della popolazione, cosı che, normalizzato a 1 il numero degli agentipartecipanti alla dinastia al tempo 0, allora al tempo t avremo ent agenti;infine ρ e il tasso di sconto intertemporale.

Alcune osservazioni riguardo alla (7.1).Per come abbiamo definito n avremo allora che n = L/L, dove L e la

popolazione al tempo t, cosı che n rappresenta anche il tasso di crescita dellapopolazione.

2Quanto appena detto puo essere formalizzato nel seguente modo. Si consideri un’in-dividuo altruista che vive T anni; dopo di che e sostituito da un suo discendente che vivea sua volta T anni. Allora le sue preferenze sono date da:

U1 = U (c (1) , ..., c (T ) , U2) ,

doveU2 = U (c (T + 1) ..., c (2T ) , U3) .

A sua volta la terza generazione avra un’utilita pari a

U3 = U (c (2T + 1) , ..., c (3T ) , U4)

e cosı fino all’infinitesima generazione. Sostituendo ricorsivamente U2 in U1, poi U3 nelrisultato e cosı via, sia arriva a:

U1 = U (c (1) , ..., c (∞)) ,

che e quanto si sostiene nel testo.


Abbiamo assunto implicitamente che U sia additiva e separabile nei suoiargomenti. Cio significa che i singoli consumi degli individui entrano nel-l’utilita totale in modo additivo e che, fissato un certo periodo, le utilitaistantanee dei diversi agenti possono essere sommate tra loro, cosı come leutilita totali relative a diversi periodi nel tempo (l’utilita e quindi assuntaessere di tipo cardinale).

La somma di utilita a tempi diversi e fatta tramite un’opportuno tassodi sconto, ρ > 0, che dovrebbe segnalare l’impazienza dei consumatori aconsumare. In effetti questo significa che il consumo delle generazioni futurepesa di meno (ossia e meno importante) e questo e stato aspramente criticatoda alcuni autori, soprattutto quando questo modello e utilizzato a fini dianalisi di benessere (vedi Ramsey (1929)).

Riguardo alla forma della funzione di utilita istantanea, si adottano leusuali assunzioni suggerite dalla teoria microeconomica, ossia:

Assunzione 7.1 u′ > 0 (l’utilita cresce al crescere del consumo);

Assunzione 7.2 u′′ (l’utilita marginale e decrescente).

Aggiungiamo, due ipotesi sul comportamento di u al contorno, che corri-pondono alle condizioni di Inada per la produzione, ossia:

Assunzione 7.3 limc→0

u′ = ∞ e

Assunzione 7.4 limc→∞ u′ = 0.

Notiamo infine che nella funzione di utilita non entra il tempo liberocome bene che procura utilita, anche se supponiamo che l’agente allochi ilsuo tempo nell’attivita lavorativa. Stiamo quindi implicitamente assumendoche l’offerta di lavoro sia rigida, ossia non dipendente dal salario.

Vincolo di bilancio intertemporale Le scelte dell’agente sono vincolatedalle risorse iniziali che possiede e dal reddito che ricava dall’impiegare leproprie risorse. Dato l’ambito intertemporale il punto cruciale e come varianole risorse della dinastia nel tempo. In particolare avremo che l’andamento delpatrimonio della dinastia rappresentativa e descritta dalla seguente equazionedifferenziale:

a = w + ra − c − na, (7.2)

dove a e il patrimonio al tempo t dell’agente rappresentativo, w il salarioe r il tasso di interesse. Ricordiamo che ogni agente offre inelasticamenteun’unita di lavoro.


Il reddito del periodo t e dato dalla somma del salario w e del rendimentodel patrimonio investito ra; quindi le variazioni del patrimonio derivano dalrisparmio w + ra − c, al netto della redistribuzione del patrimonio ai nuovinati, rappresentata da −na.

Il termine −na indica la diluizione del patrimonio pro-capite che subisco-no i membri di una dinastia per far si che i nuovi nati abbiano una dotazionepari a quella degli agenti piu anziani. In altre parole, se noi immaginiamoche in ogni periodo muoiano i genitori ed i figli siano un numero maggiore deipropri genitori in ragione di n, allora la trasmissione in parti uguali del pa-trimonio della dinastia ai nuovi nati implica una diminuzione del patrimoniomedio pari a −na.

Notiamo che in assenza di vincoli potrebbe essere conveniente per un agen-te indebitarsi indefinitamente per finanziare il consumo e quindi aumentarela propria utilita; questa possibilita, simile alla ben nota catena di Sant’An-tonio, in letteratura prende il nome di gioco di Ponzi. Per evitare tutto ciosi impone il seguente vincolo:

lims→∞

ae−∫

s

0[r(τ)−n]dτ ≥ 0, (7.3)

che stabilisce che il valore attuale del patrimonio medio della dinastia deveessere non negativo e quindi intuitivamente esclude possibili posizioni debitorinel lungo periodo (notiamo che il tasso di sconto considera anche il tasso dicrescita della popolazione).

Per approfondire il significato di questo vincolo si integri da 0 a T l’equa-zione (7.2) che guida l’accumulazione del patrimonio. Dalla (7.2) abbiamoche:

a − a [r − n] = w − c

e quindi:

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτ {a − a [r − n]} = e−

∫

t

0[r(τ)−n]dτ {w − c}

e poiched

dte−

∫

t

0[r(τ)−n]dτa = e−

∫

t

0[r(τ)−n]dτ {a − a [r − n]} ,

allora integrando in t fino a T otteniamo

∫ T

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτ {a − a [r − n]} dt =

∫ T

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτ {w − c} dt

da cui

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτa

∣

∣

∣

T

0=

∫ T

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτwdt−

∫ T

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτcdt.


Facendo tendere T ad infinito e utilizzando la condizione iniziale a (0) =a0 abbiamo che:

∫ ∞

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτ cdt =

∫ ∞

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτwdt + a0 − lim

T→∞ae−

∫

T

0[r(τ)−n]dτ ,

da cui sfruttando la condizione che impedisce il gioco di Ponzi (7.3) otteniamo

∫ ∞

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτwdt + a0 ≥

∫ ∞

0

e−∫

t

0[r(τ)−n]dτcdt. (7.4)

La (7.4) afferma che la somma di tutti i consumi scontati deve essere nonmaggiore della somma di tutti i salari scontati piu il patrimonio iniziale. E’un tipico vincolo di bilancio intertemporale. Quindi, se non valesse la con-dizione (7.3), il consumo totale (scontato) non avrebbe un limite superiore,dato che sarebbe possibile per l’agente indebitarsi indefinitivamente, cosı cheil problema di massimo non avrebbe soluzione (o almeno una soluzione signi-ficativa dal punto di vista economico). La (7.3) quindi vincola l’ammontaredel consumo totale alla ricchezza dell’agente.

Dal punto di vista intuitivo osserviamo che la diseguaglianza stretta nella(7.3) non varra mai perche altrimenti la somma totale del consumo sarebbeinferiore a quanto e possibile consumare e questo per le ipotesi su u (ossia lastretta monotonia) significherebbe non aver ottimizzato le proprie scelte. E’per questo che il vincolo (7.3) vale sempre con l’uguaglianza e quindi la (7.4)vale sempre con il vincolo di eguaglianza.

La scelta ottima del consumatore Il problema che affronta il consuma-tore e il seguente:3

max{c(t)}∞

t=0

U =∫∞

0u (c (t)) ente−ρtdt

s. a

a = w + ra − c − naa (0) = a0

limt→∞ a (t) e−∫

t

0[r(τ)−n]dτ ≥ 0

(P1)

Costruiamo l’Hamiltoniana del problema (P1):4

H = u (c) e−(ρ−n)t + λ [w + a (r − n) − c] ,

3Poiche il consumo sara sempre positivo, un’assunzione implicita nel nostro problemae che ρ > n per avere il funzionale da massimizzare finito.

4Per alcune nozioni di base sulle tecniche di ottimizzazione dinamica vedi l’Appendice7.7.


dove abbiamo eliminato l’indice temporale delle variabili poiche non ge-nera confusione e indicato con p la variabile di costato o prezzo ombradell’investimento.

Le condizione necessarie e sufficienti sono:5

∂H

∂c= 0 ⇒ λ = u′ (c) e−(ρ−n)t; (7.5)

λ = −∂HCV

∂a⇒ λ = − (r − n) λ; (7.6)

limt→∞

λa = 0. (7.7)

Dalla (7.6) ottengo che:

λ

λ= − (r − n) . (7.8)

La condizione (7.8) afferma che il tasso di crescita del prezzo ombra dell’inve-stimento a valori correnti e una funzione negativa del tasso di interesse ed unapositiva del tasso di crescita della forza lavoro. Entrambe le relazioni hannoun’intuizione economica immediata: il maggior rendimento del capitale fa siche il valore attuale sia minore, mentre una maggior tasso di crescita dellaforza lavoro implica un piu alto rendimento marginale del capitale e quindidel suo valore in termini di utilita.

Differenziando la (7.5) ottengo:

λ

λ= − (ρ − n) +

u′′ (c)

u′ (c)c,

da cui, insieme all’equazione precedente, ottengo la cosidetta equazione diEulero:

c

c=

r − ρ

σ (c), (7.9)

dove σ (c) = −u′′(c)cu′(c)

> 0 rappresenta l’inverso dell’elasticita intertemporale

di sostituzione del consumo.6 Dal punto di vista economico minore e il valoredi σ (c) piu gli individui hanno una preferenza a scambiare consumo futurocon l’attuale.

5Vedi l’Appendice 7.7, Teorema 7.3.6L’elasticita intertemporale di sostituzione del consumo e definita infatti come

ε = limt1→t2

−

c(t1)c(t2)

u′(c(t1))u′(c(t2))

du′(c(t1))u′(c(t2))

d c(t1)c(t2)

−1

= −u′ (c (t1))

u′′ (c (t1)) c (t1).


L’equazione di Eulero (7.9) lega l’andamento del tasso di crescita delconsumo al tasso di interesse ed al tasso di sconto, a parita di elasticitaintertemporale di sostituzione del consumo 1/σ (c).

Una classe di funzioni di utilita instantanea molto usata in letteratura de-nomitata CES e caratterizzata da un’elasticita di sostituzione costante; noirestringeremo la nostra attenzione solo a queste. Il motivo di restringere lanostra analisi a tale classe di funzioni di utilita, oltre che per comodita anali-tica, risiede nel fatto che solo funzioni di utilita CES ammettono equilibri dicrescita equilibrata. L’intuizione e immediata se si considera l’equazione diEulero (7.9): in equilibrio il tasso di interesse e costante, allora per garantirela costanza del tasso di crescita del consumo dobbiamo avere un σ costante.

Seguendo per semplicita questa soluzione assumiamo che la funzione diutilita instantanea sia della forma:

u (c) =c1−σ − 1

1 − σ,

allora l’equazione di Eulero (7.9) diventa:

c

c= gc =

r − ρ

σ, (7.10)

dove 1σ

e l’elasticita intertemporale di sostituzione del consumo.L’intuizione del legame positivo fra tasso di crescita del consumo e tasso di

interesse risiede nell’effetto di sostituzione del consumo presente con quellofuturo. Un piu alto tasso di interesse porta ad un maggiore risparmio equindi ad un minore consumo iniziale. Tuttavia questo piu basso livelloviene compensato da un maggiore tasso di crescita del consumo finanziatodal maggior volume di risparmio. Allo stesso modo, piu e alto il tasso disconto intertemporale ρ, minore e il tasso di crescita del consumo, perchegli individui impazienti stabiliscono un livello di consumo iniziale piu alto.Infine, lo stesso ragionamento puo essere fatto per σ, ricordando che 1/σ el’elasticita intertemporale del consumo; maggiore e quest’ultima, maggiore ela propensione degli individui a trasferire consumo nel tempo e quindi fissareun livello di consumo iniziale piu basso per sperimentare un tasso di crescitadello stesso piu alto.

Passiamo adesso alla condizione di trasversalita (7.7). Dalla (7.6) abbia-mo che

λ (t) = λ (0) e−∫

t

0(r(τ)−n)dτ ,

dove λ (0) > 0 perche u′ (c (0)) > 0. Sostituito nelle condizione di trasversalitaporta a

limt→∞

a (t) λ (0) e−∫

t

0(r(τ)−n)dτ = 0,


da cuilimt→∞

a (t) e−∫

t

0(r(τ)−n)dτ = 0,

che e la condizione che abbiamo visto deve valere per evitare che il giocodi Ponzi sia possibile (ossia la condizione (7.3), riportata nel problema P1);inoltre osserviamo che la nostra intuizione che la (7.3) debba valere con l’u-guaglianza e verificata. Cosı la condizione di trasversalita (7.7) soddisfa la(7.3), che possiamo ignorare nel seguito.

Per finire un’osservazione piu tecnica; osserviamo infatti che per avereun problema di massimo ben formulato il funzionale del problema P1 deveessere finito.7 Dato il tasso di crescita del consumo γc dalla (7.10) abbiamoche:

c (t) = c (0) e∫

t

0gc(τ)dτ ,

da cui deriva che∫ ∞

0

c (0)1−σ e(1−σ)∫

t

0gc(τ)dτ − 1

1 − σente−ρtdt

e quindi la finitezza dell’integrale e assicurata dalla seguente condizione, sottol’ipotesi che ρ > n:

limt→∞

e(1−σ)∫

t

0gc(τ)dτ−(ρ−n)t = 0. (7.11)

La condizione (7.11) impone una restrizione sui valori che puo assumereil tasso di crescita del consumo nell’equilibrio. Supponendo, come poi saraeffettivamente, che gc sia costante in equilibrio, allora la condizione (7.11) eequivalente a

ρ + gc (σ − 1) gc − n > 0; (7.12)

questo condizione si rivelera utile nel seguito al momento di dimostrare chel’equilibrio soddisfa le condizioni necessarie e sufficienti per l’ottimo.

7.2.2 Produttori

I produttori prendono a prestito al tasso r il capitale necessario alla pro-duzione del bene e remunerano con il salario w ogni unita di forza lavoroimpiegata nel processo produttivo. Sotto le Assunzioni 5.1-5.5 sulla funzionedi produzione riportate nel Capitolo 5, avremo che le scelte dell’impresa sonodate da:

r = f ′ (k) − δ, (7.13)

dove δ rappresenta il tasso di deprezzamento del capitale che abbassa il ren-dimento del capitale, k = K/AL il capitale pro-capite misurato in unita di

7Questa e una delle condizioni per poter applicare il Teorema 7.3 dell’l’Appendice 7.7.

7.3. CRESCITA BILANCIATA 91

efficienza e f (k) la funzione di produzione intensiva. Infine il salario e datoda:

w = A [f (k) − kf ′ (k)] . (7.14)

7.3 Dinamica dell’equilibrio concorrenziale e

crescita bilanciata

L’equilibrio in ogni mercato e caratterizzato dall’eguaglianza tra offerta edomanda raggiunto tramite un aggiustamento dei prezzi. Nel mercato deicapitali il lato dell’offerta e rappresentato dal patrimonio dei consumatorimentre la domanda di capitali proviene dalle imprese.

La dinamica dell’equilibrio e determinata dalle seguenti equazioni:

• l’eguaglianza nel mercato dei capitali tra il patrimonio dei consuma-tori e la domanda di capitale delle imprese determinato da un livelloopportuno del tasso di interesse. Quindi data la condizione di equilibrio

a = kA, (7.15)

dalla (7.2), (7.13) e (7.14) abbiamo l’equazione che governa l’andamentodello stock di capitale:

k = f (k) − cA −(

gA + n + δ)

k, (7.16)

dove cA = CAL

rappresenta il consumo medio per unita di efficienza.

• Dalla (7.10) e dalla (7.13) abbiamo che il tasso di crescita del consumoper unita di efficienza e dato da:

cA

cA

=c

c− gA =

f ′ (k) − ρ − δ − σgA

σ. (7.17)

• Infine la condizione di trasversalita diventa (supponendo che A (0) = 1):

limt→∞

kp (0) e−∫

t

0 (f ′(k(τ))−gA−n−δ)dτ = 0 (7.18)

Le (7.16), (7.17) e (7.18) stabiliscono la dinamica dell’equilibrio concor-renziale, con k (0) = a0.


7.3.1 Analisi delle caratteristiche del sentiero di cre-

scita bilanciata

L’equilibrio di crescita bilanciata e caratterizzato da una crescita delle varia-bili a tasso costante; nel nostro caso abbiamo che le condizioni di equilibriosono date da:

k = 0; (7.19)

cA = 0, (7.20)

da cui

γ =

·

K/L

K/L=

·c

c=

f ′(

k)

− δ − ρ

σ= gc = gA, (7.21)

dove γ rappresenta il tasso di crescita bilanciata delle variabili pro-capite, cherisulta pari a gA. La crescita appare quindi sempre determinata dal progressotecnico esogeno.

In generale definiamo con k e cA i valori di k e cA che soddisfano le con-dizioni (7.19) e (7.20), da cui abbiamo che implicitamente k e cA soddisfanole seguenti equazioni:

f(

k)

−(

gA + n + δ)

k = cA; (7.22)

f ′(

k)

= ρ + δ + σgA. (7.23)

L’analisi del sistema di equazioni differenziali (7.16), (7.17) e (7.18), datele assunzioni sulle preferenze (Assunzioni 7.1-7.4) e sulla funzione di produ-zione (Assunzioni 5.1-5.5), mostra che l’equilibrio di crescita bilanciata e unpunto di sella e non esistono altri punti di equilibrio, se non l’origine.

In maniera piu formale questo risultato puo essere mostrato nel seguentemodo. Dato il sistema di equazioni differenziali:

cA = cA

[

f ′(k)−ρ−δ−σgA

σ

]

;

k = f (k) − cA −(

gA + n + δ)

k;

limt→∞ kp (0) e−∫

t

0 [f ′(k(τ))−gA−δ−n]dτ = 0, con p (0) > 0;k (0) = a0/A (0) .

(7.24)

procediamo ad un’analisi qualitativa della dinamica tramite il diagramma difase. In primis definiamo dove cA cresce, decresce o rimane costante nellospazio (cA, k), ossia:

cA =

≥ 0 ∀k < k= 0 per k = k≤ 0 ∀k > k


dove k soddisfa f ′(

k)

= ρ + δ + σgA; successivamente definiamo come k sicomporta nello spazio (cA, k), ossia

k =

≥ 0 ∀cA < f (k) −(

gA + n + δ)

k= 0 per cA = f (k) −

(

gA + n + δ)

k≤ 0 ∀cA > f (k) −

(

gA + n + δ)

k

La Figura 7.1 rappresenta nel piano (k, cA) la dinamica del modello.

6

-

˙cA = 0

k = 0

k

cA

E

�

?

6�

?

-

-6

Sentiero di sella

.............cA

k

]

/

�

�

Figura 7.1: Dinamica del modello di crescita ottima esogena

La dinamica locale di E e tipica di un punto di sella, dove esiste unasola traiettoria che porta all’unico equilibrio E, ossia alla coppia

(

k, cA

)

. LaProposizione 7.1 stabilisce le proprieta di E.

Proposizione 7.1 Sotto le Assunzioni 7.1-7.4 sulle preferenze e le Assun-zioni 5.1-5.5 sulla tecnologia il punto E ha una dinamica locale di sella. InE il consumo pro-capite e il capitale pro-capite crescono al tasso gA.

Prova. Il tasso di crescita delle variabili pro-capite e definito implicita-mente dalla costanza nel tempo di k e cA in E.Data la nonlinearita del sistema e difficile caratterizzare globalmente le orbite,quindi ci si limita a studiare la dinamica locale di E tramite un’approssima-zione lineare.8 Dato il seguente sistema di equazioni differenziali:

{

k = g1 (k, cA) ;cA = g2 (k, cA) ,

8Per un’introduzione a questi problemi si veda il Gandolfo (1997).


l’approssimazione del primo ordine intorno al punto (x1, x2) e data da:

[

kcA

]

=

[

∂g1

∂k∂g1

∂cA

∂g2

∂k∂g2

∂cA

]∣

∣

∣

∣

∣

(x1,x2)=(x1,x2)

[

kcA

]

+

[

g1 (k, cA) + ∂g1

∂kk + ∂g1

∂cAcA

g2 (k, cA) + ∂g2

∂kk + ∂g2

∂cAcA

]∣

∣

∣

∣

∣

(k,cA)=(k,cA)

o compattamente[

kcA

]

= F

[

kcA

]

+ B

e l’andamento nell’intorno e quindi determinato dagli autovalori della matriceF , che risolvono la seguente equazione(

∂g1

∂k− λ

)(

∂g2

∂cA− λ

)∣

∣

∣

∣

(k,cA)=(k,cA)−

(

∂g1

∂cA

)(

∂g2

∂k

)∣

∣

∣

∣

(k,cA)=(k,cA)= 0.

In particolare per il nostro sistema dinamico abbiamo che:

∂g1

∂k=

f ′ (k) − ρ − δ − σgA

σ;

∂g2

∂cA= f ′ (k) −

(

gA + n + δ)

;

∂g1

∂cA= cA

f ′′ (k)

σ;

∂g2

∂k= −1;

e quindi gli autovalori di F risolvono la seguente equazione:(

f ′(

k)

− ρ − δ + σgA

σ− λ

)

(

f ′(

k)

−(

gA + n + δ)

− λ)

−

(

cA

f ′′(

k)

σ

)

(−1) = 0.

Ricordando che f ′(

k)

= ρ + δ + σgA, avremo allora che:

λ2 − λ[

f ′(

k)

−(

gA + n + δ)]

+ cA

f ′′(

k)

σ= 0.

E’ immediato verificare che il determinante e positivo, ossia[

f ′(

k)

−(

gA + n + δ)]2

−

4cA

(

f ′′(k)σ

)

> 0, cosı entrambi gli autovalori sono reali; inoltre, i segni dei

coefficienti sono alternati, infatti f ′(

k)

−(

gA + n + δ)

= ρ+gA (σ − 1)−n >0 per la condizione di finitezza dell’integrale (7.12) dato che gc = gA e

cAf ′′(k)

σ< 0. Abbiamo quindi un autovalore positivo ed una negativo, cosı

che l’equilibrio(

k, cA

)

e una sella. CVD


L’ultimo punto da verificare e che il sentiero di sella rappresenta il sentieroottimo dell’economia; in altre parole, dato k0, dobbiamo dimostrare che ilcontrollo ottimo e dato da cA (0), che appartiene al sentiero di sella. Perfare questo e necessario utilizzare la condizione di trasversalita ed e possibileragionare in due modi.

Il primo, piu intuitivo, fa ricorso essenzialmente all’analisi grafica, ripor-tata nella Figura 7.2.

6

-

cA = 0

k = 0

k

cA

E

�

?6

�

?

-

-6

Sentiero di sella

.............

cA(0)

k

]

..

..

..

..

..

..

.

k0

.........

cA

.........

.........

cA(0)

cA(0)

6

M

- -

Figura 7.2: Sentiero di sella come sentiero ottimo

Perche non e ottimale, dato k0, scegliere cA (0) o cA (0) invece che cA (0)?Dalla Figura 7.2 e evidente che scegliendo cA (0) l’orbita arriva in tempofinito ad incrociare l’asse dove k e pari a zero e di lı prosegue per valorinegativi di k; lungo quest’orbita la condizione di trasversalita non puo esseresoddisfatta. Se invece si scegliesse cA (0) allora il consumo tenderebbe adiventare zero, cosı che il tasso di crescita di k e di λ tenderebbero ad essereentrambi non negativi; poiche sia k (0) che λ (0) sono maggiori di zero alloralimt→+∞ k (t) λ (t) > 0, il che viola la condizione di trasversalita.

Il secondo, piu rigoroso, e riportato nella Proposizione 7.2.

Proposizione 7.2 Il sentiero di sella e il sentiero ottimo dell’economia.

Prova. La strategia di prova consiste nel verificare che la condizione ditrasversalita vale nel punto E di equilibrio; poiche le equazioni (7.24) sono


sia necessarie che sufficienti per l’ottimo e la soluzione ottima e unica, allorail controllo ottimo sara rappresentato dall’unica orbita che conduce al puntoE, ossia la traiettoria di sella passante per (k (0) , cA (0)) (le orbite intattinon si possono incrociare). In E, dato le equazioni (7.15) e (7.23) abbiamoche la condizione di trasversalita in (7.24) e data da:

limt→∞

kp (0) e−[ρ+gA(σ−1)−n]t = 0

poiche per gc = gA la condizione (7.12) ci assicura che ρ+gA (σ − 1)−n > 0.CVD

Riassumendo la condizione di trasversalita impone che il solo sentiero am-missibile sia quello che converge all’equilibrio di crescita bilanciata (tutti glialtri violano la condizione di trasversalita) e questa implica che esiste per undato k0 un solo valore di cA (0) ottimo (l’unicita dell’equilibrio e una proprietamolto apprezzata dagli economisti...). Esistera quindi un periodo transitorioin cui il tasso di crescita sara maggiore o minore del tasso di crescita dell’e-conomia nell’equilibrio di crescita bilanciata a seconda rispettivamente cheil rapporto capitale/forza lavoro misurata in unita efficienti siamo minore omaggiore di quello che si ha nell’equilibrio di crescita bilanciata. In equili-brio tutte le variabili pro-capite cresceranno allo stesso tasso, pari al tasso dicrescita del progresso tecnico esogeno gA.

Approfondimento 7.1 Calcolare per il caso di funzione di produzione Cobb-Douglas il saggio di risparmio nel sentiero di crescita bilanciata. Dimostrareche lungo la transizione all’equilibrio E il saggio di risparmio puo crescere,decrescere o rimanere costante. (Suggerimento: vedi Barro e Sala-i-Martin(1999) ).

Approfondimento 7.2 Analizzare il caso in cui la funzione di utilita pre-senta un consumo minimo c, ossia (utilita Stone-Geary):

u (c) =(c − c)1−σ − 1

1 − σ.

Approfondimento 7.3 Si analizzi la crescita di un’economia in cui la pro-duzione utilizzi anche beni offerti in quantita fissa, come la terra, e quindi lafunzione di produzione sia del tipo:

Y = AKαLβZ1−α−β .

Approfondimento 7.4 Analizzare il caso in cui la funzione di utilita siadel tipo esponenziale, ossia:

u (c) = −1

σexp (−σc) .

7.4. OTTIMALITA DELL’EQUILIBRIO CONCORRENZIALE 97

Approfondimento 7.5 Si dimostri che k/k diminuisce monotonicamentequando il capitale iniziale e inferiore a quello dell’equilibrio. (Suggerimento:vedi Barro e Sala-i-Martin (1999) ).

Approfondimento 7.6 Analizzare il caso di un’economia aperta al com-mercio internazionale, dove il capitale e remunerato al tasso di interesse co-stante r e l’economia e piccola rispetto al resto del mondo (ossia non influenzar).

7.4 Ottimalita dell’equilibrio concorrenziale

Quello che vogliamo dimostrare in questo paragrafo e l’ottimalita dell’equi-librio concorrenziale. Ottimalita in questo ambito significa verificare se l’al-locazione di equilibrio concorrenziale corrisponde all’allocazione che sareb-be preferita da un’ipotetico pianificatore sociale che miri a massimizzare lasomma delle utilita dei consumatori (in altre parole il benessere sociale).

Per semplicita imponiamo gA = n = δ = 0. Quindi il pianificatore socialerisolve il seguente problema:

max{c}∞

t=0

U =

∫ ∞

0

u (c) e−ρtdt

s. a

{

k = f (k) − c

k (0) =a0

A0.

L’Hamiltoniana a valore corrente del problema e data da:

H = u (c) e−ρt + λ [f (k) − c] ,

da cui le condizioni di primo ordine (sia necessarie che sufficienti):

∂H

∂c= 0 ⇒ λ = u′ (c) e−ρt;

λ = −∂H

∂a⇒ λ = −f ′ (k)λ;

limt→∞

kλ = 0.

Come si puo verificare facilmente queste condizioni sono equivalenti aquelle per il modello con scelte decentrate date dalle (7.24) e quindi l’e-quilibrio competitivo risulta essere anche un ottimo sociale. Questo e unaconferma del primo teorema dell’economia del benessere.


7.5 Eterogeneita negli agenti

Nella realta gli agenti hanno sia preferenze che dotazioni diverse. In que-sta sezione ci concentreremo sulla rilevanza dell’eterogeneita nei patrimoniindividuali per le dinamiche aggregate, ossia sotto quali ipotesi l’agente rap-presentativo appare non restrittiva. L’analisi sara molto euristica e non pre-tende di avere contenuto di generalita. per chi fosse interessato a questi temisi rimanda al Capitolo 11 di Scapparone (1996).

Si consideri un’economia composta da L agenti con diverse dotazioni dipatrimonio a. In generale, l’equazione di Eulero afferma che il consumodell’agente i-esimo deve obbedire alla seguente equazione:

ci

ci=

r − ρ

σ (ci),

dove σ (ci) = −u′′ (ci) ci/u′ (ci); nel sentiero di crescita bilanciata abbiamo

che:ai

ai=

ci

ci=

r − ρ

σ (ci),

da cui, rivavando per ai e sostituito nel vincolo intertemporale (7.2) porta a:

air − ρ

σ (ci)= w + rai − ci − nai;

infine, ricanvando per il consumo dell’agente i-esimo ci:

ci = w + ai

[

r (σ (ci) − 1) + ρ − σ (ci) n

σ (ci)

]

. (7.25)

L’equazione (7.25) ci fornisce l’intuizione delle condizioni che devono essereimposte sulle preferenze dei consumatori per rendere le variabili aggregate(consumo, prezzi dei fattori, dinamica del capitale, etc. ) indipendenti dalladistribuzione delle risorse. In particolare, se σ (ci) = σ per ogni livello di ci

allora abbiamo che:

C = wN + A

[

r (σ − 1) + ρ − σn

σ

]

e quindi il livello del consumo aggregato non dipende dalla distribuzionedei patrimoni individuali. Data questa condizione, aggregando dal vincolointertemporale (7.2):

A = wN + rA − C − nA,

7.6. UNO SGUARDO D’INSIEME 99

che mostra che anche l’andamento del patrimonio aggregato e indipendentedalla sua distribuzione. Notiamo tuttavia che tutta la dimostrazione si ebasata sull’ipotesi di economia gia sul sentiero di crescita bilanciata. Durantela transizione, anche con preferenze CES la distribuzione del patrimonioinfluenza le dinamiche aggregate.

7.6 Uno sguardo d’insieme

La teoria della crescita ottima esogena pur fornendo preziose intuizioni sul-le decisioni intertemporali degli agenti, dal punto di vista della spiegazionedel processo di crescita dei paesi non aggiunge molto rispetto a quanto vistoper il modello di crescita di Solow-Swan. Le economie piu povere, a paritadel tasso di crescita della popolazione, dovrebbero crescere piu velocemente,ossia noi dovremo osservare convergenza condizionata. La crescita nei livellipro-capite delle variabili e sempre spiegata dal progresso tecnico esogeno enessun intuizione aggiuntiva viene dal fatto che i consumatori ottimizzinole loro scelte di consumo-risparmio. La teoria della crescita endogena cer-chera di individuare ulteriori fattori che determinano la crescita di un paese.L’approccio usato sara quello appena esposto, ossia di agenti che ottimizza-no intertemporalmente le proprie decisioni. Ed e questo forse il motivo piuimportante per studiare la teoria della crescita ottima esogena.


Appendice

7.7 Nozioni di ottimizzazione dinamica

In questa appendice forniamo delle nozioni di ottimizzazione dinamica. Lamateria e effettivamente troppo tecnica per poter dare anche dimostrazioniintuitive, e anche libri specializzati nell’argomento si limitano ad esporre iteoremi piu utili (vedi Chiang (1992)). La base comune di questi ultimi eil Principio del Massimo dimostrato in Pontryagin et al. (1962), da cui sisono ricavati teoremi meno generali, ma di una piu immediata applicazioneeconomica. In quest’ottica noi riportiamo due teoremi senza dimostrazione;il primo, piu generale, stabilisce solo condizioni necessarie per il massimomentre il secondo, di ambito piu limitato, fornisce condizioni sia necessarieche sufficienti.

Prima di continuare l’esposizione e utile fornire qualche nozione termi-nologica della teoria del controllo ottimo. In termini generali la teoria delcontrollo ottimo si occupa della soluzioni di problemi di massimo (o minimo)dove la funzione (funzionale) da massimizzare (o minimizzare) dipende daltempo, da variabili di stato, a cui e associata una legge di movimento e davariabili di controllo, che, come indica la parola, possono essere fissate dalsoggetto decisore. La legge di movimento delle variabili di stato e general-mente espressa come un’equazione differenziale (se siamo in tempo continuo)o in un’equazione alle differenze se siamo in tempo discreto.

Un problema tipico ha la forma:

max{c1(t),...,cZ(t)}∞t=1

F =∫ +∞

0Φ (c1 (t) , ..., cZ (t) , s1 (t) , ..., sQ (t) , t) dt

s.a

{

sq (t) = φ (s1 (t) , ..., sQ (t) , c1 (t) , ..., cZ (t)) q = 1, ..., Q;sq (0) = sq

0, q = 1, ..., Q,(Problema 1)

dove [c1 (t) , ..., cZ (t)] e il vettore dei controlli, [k1 (t) , ..., kQ (t)] il vettoredegli stati e [s1 (0) , ..., sQ (0)] e il vettore delle condizioni iniziali degli stati.

Associato al problema possiamo definire la funzione Hamiltoniana:

H = Φ (c1 (t) , ..., cZ (t) , s1 (t) , ..., sQ (t) , t) +

+

Q∑

q=1

λq (t) φ (s1 (t) , ..., sQ (t) , c1 (t) , ..., cZ (t)) .

Nell’ottimizzazione statica esiste una funzione simile, chiamata Lagran-giana; in questo caso λq (t) prendono il nome di variabile di costato o molti-plicatore hamiltoniano.

Il seguente teorema stabilisce le condizione necessarie per l’ottimo:

7.7. NOZIONI DI OTTIMIZZAZIONE DINAMICA 101

Teorema 7.1 Si consideri il Problema 1 e si assuma che il funzionale F siafinito. Si indichi c∗ i controlli ottimi e con s∗ gli stati relativi ai controlliottimi. Allora c∗ e ottimale se esistono Q funzioni λq (t) : R

+ 7→ R chesoddisfano per ogni t ≥ 0:

s∗q (t) = φ(

s∗1 (t) , ..., s∗Q (t) , c∗1 (t) , ..., c∗Z (t))

, q = 1, ..., Q; (7.26)

λq (t) = −∂H

∂sq (t), q = 1, ..., Q; (7.27)

λq (t) = −∂H

∂sq (t), q = 1, ..., Q; (7.28)

c∗z = arg maxcz

H, z = 1, ..., Z; (7.29)

limt→+∞

s∗qλq = 0, q = 1, ..., Q. (7.30)

Criterion 7.2

Prova. Vedi Chiang (1992).

La condizione (7.30) e chiamata condizione di trasversalita, poiche sta-bilisce che il valore delle variabili di stato e delle variabili di costato devesoddisfare un certo andamento ad infinito.

Se H e concava nei controlli e Φ (c1 (t) , ..., cZ (t) , s1 (t) , ..., sQ (t) , t) ha

la forma e−ρtΦ (c1 (t) , ..., cZ (t) , s1 (t) , ..., sQ (t)),9 con ρ > 0, allora esiste unteorema che stabilisce che le condizioni del teorema precedenti sono anchesufficienti se la condizione di trasversalita (7.30) e sostituita dalla seguentecondizione (vedi Chiang (1992))

limt→+∞

H = 0.

Notiamo come nel nostro problema non abbiamo posto vincoli sul valoreche le variabili di controllo e di stato possono assumere (ad esempio sq (t) ≥ 0∀t). Questi entrerebbero nella funzione Hamiltoniana allo stesso modo chenella funzione Lagrangiana, ossia inserendo ulteriori variabili di costato einserendo nelle condizioni di massimo anche le condizioni al contorno, tipichedei problemi di massimizzazione vincolata (vedi Chiang (1992)).

Infine notiamo che una condizione perche il Teorema 7.1 sia applicabilee che il funzionale F sia finito. Questo impone un controllo ex-post che lasoluzione ottima rispetti questa condizione e si rivela generalmente in ulterioriassunzioni sulla forma delle funzioni Φ e φ.

9Ossia e separabile nel tempo.


Puo essere utile a fini pratici riportare un Teorema che stabilisce condi-zioni necessarie e sufficienti per un’ampia classe di problemi che affrontiamo.

Sia dato il seguente problema:

max{c(t)}∞t=1

F =∫ +∞

0e−ρtΦ (c (t)) dt

s.a

{

s (t) = φ (s (t)) − c(t);s (0) = s0,

(Problema 2)

dove ρ > 0, Φ soddisfa le seguenti assunzioni:

1. Φ′ > 0 ∀c;

2. Φ′′ < 0 ∀c;

3. limc→0+ Φ′ (c) = +∞;

4. limc→+∞ Φ′ (c) = 0;

5. Φ (0) = 0;

6. limc→+∞ Φ (c) = +∞,mentre φ soddifa:

7. φ′ > 0 ∀s;

8. lims→+∞φ(s)

sesiste ed e strettamente non negativo;

9. φ (0) = 0

10. lims→+∞ φ (s) = +∞.

In questo ambito il Teorema 7.3 sottostante fornisce condizioni necessariee sufficienti per la soluzione ottima.

Teorema 7.3 Si consideri il Problema 2, si assuma che le Assunzioni 1 -10sopra enunciate siano soddisfatte e che il funzionale F sia finito. Si indichicon c∗ il controllo ottimo e k∗ la variabile di stato relativa a controllo ottimo.Allora c∗ e ottimale se e solo se esiste una funzione λ : R

+ 7→ R che soddisfaper ogni t ≥ 0:

s∗ (t) = φ (s∗ (t)) − c∗(t);

λ (t) = −∂H

∂s (t);

c∗ = arg maxc

H;

limt→+∞

s∗ (t)λ (t) = 0,

7.7. NOZIONI DI OTTIMIZZAZIONE DINAMICA 103

dove H = e−ρtΦ (c (t)) + λ (t) [φ (s (t)) − c(t)].

Prova. Vedi Fiaschi e Gozzi (2000).Notiamo che il Teorema 7.3 riguarda solo problemi in cui il numero dei

controlli e uno, cosı come il numero degli stati; inoltre osserviamo che leAssunzioni 1 − 10 fanno si che la funzione Hamiltoniana sia concava nelcontrollo. Rimane sempre da controllare ex-post che il funzionale F sia finito,il che implichera intuitivamente un qualche vincolo sul valore lims→+∞

φ(s)s

rispetto a ρ, dove il primo intuitivamente guida l’accumulazione e quindi lepossibilita di consumo, mentre il secondo lo sconto.


Capitolo 8

Teoria della crescita endogena

8.1 Introduzione

La teoria della crescita endogena si propone di modellizzare in termini eco-nomici i fattori che determinato la crescita di un paese. Il termine endogenodeve quindi essere inteso come il tentativo di spiegare la crescita con fattoriendogeni al sistema economico.

L’attenzione e principalmente rivolta alla tecnologia e quindi alle diver-se teorie che si propongono di spiegare il livello del progresso tecnico di unpaese. Nel seguito presenteremo le tre principali linee di ricerca, ossia l’accu-mulazione di conoscenza, l’accumulazione di capitale umano e l’investimentoin Ricerca e Sviluppo (R&D). La conoscenza e un bene immateriale e quindila sua accumulazione e regolata da particolari dinamiche; il modello di Ro-mer (1986) concentra l’attenzione su tale fattore. Il modello di Lucas (1988)analizza l’accumulazione di capitale umano, che si puo vedere come l’incor-porazione della conoscenza nella forza lavoro. L’accumulazione di capitaleumano dipende in questa impostazione sia dal tempo che dalle risorse chesono devolute a tale attivita dagli individui. Comune a questi due filoni ela possibile (probabile) esistenza di esternalita nell’economia e quindi di unpossibile ruolo dello Stato nella correzione dell’inefficienza nell’allocazionedelle risorse.

I modelli di R&D si propongono invece di modellare esplicitamente unsettore economico il cui output sono le innovazioni. Una possibile distinzionefra questi modelli e basata sul tipo di progresso tecnico che considerano: unprogresso tecnico che incrementi il numero dei beni (intermedi) impiegatonella produzione (modello di Romer (1990)) o invece un progresso tecnicoche produce nuovi beni capitali piu produttivi (modello di Aghion e Howitt(1992)).

105

106 CAPITOLO 8. TEORIA DELLA CRESCITA ENDOGENA

8.2 Il modello AK con saggio di risparmio

endogeno

Prima di passare ad analizzare i modelli di crescita endogena vale la penadi notare che gia nel Capitolo 5 abbiamo incontrato un modello che generacrescita di lungo periodo nel prodotto pro-capite senza bisogno di progressotecnico esogeno, ossia il modello AK. Dall’analisi del Capitolo 7 sappiamoche il tasso di crescita bilanciata sotto l’ipotesi gA = 0 e dato da (vedi 7.21):

γ =f ′(

k)

− δ − ρ

σ;

nel caso di tecnologia AK abbiamo che f ′(

k)

= A (L) e quindi:

γ =A (L) − δ − ρ

σ. (8.1)

Quindi la crescita delle variabili pro-capite e positiva se A (L) > δ + ρ. L’a-nalisi della dinamica di convergenza fra i redditi pro-capite dei paesi sarauguale a quella svolta per il caso con saggio di risparmio costante.

Quello che non e soddisfacente in questo modello e che non abbiamo unateoria che ci spieghi come mai la produttivita marginale del capitale e costan-te, invece che decrescente, semplicemente assumiamo che sia cosı. Quindi ilmodello AK e da considerarsi piu dal punto di vista didattico che di effettivaspiegazione del processo di crescita di un paese, nel senso che illustra unacondizione sufficiente affinche un paese sperimenti crescita nel lungo periodosenza bisogno di un incremento esogeno continuo del progresso tecnico. Adesempio, vedremo che il modello di Romer (1986) si puo ricondurre comedinamica ad un modello AK, cosı come il modello di Barro (1990).

8.3 Il modello di Romer (1986)

L’idea di partenza del modello di Romer (1986) e che il fattore fondamentalenel processo di crescita sia l’accumulazione della conoscenza, bene non rivalee non escludibile, ossia con proprieta tipiche di un bene pubblico. Secon-do l’autore tale conoscenza si accumula come sottoprodotto dell’attivita diproduzione e non come risultato di un’esplicita scelta degli agenti.

In sintesi gli aspetti che caratterizzano il modello di Romer (1986) sono:

1. la conoscenza e il fattore cruciale nello spiegare la crescita di un paese;

2. la conoscenza e un bene che ha le tipiche proprieta di un bene pubblico;

8.3. IL MODELLO DI ROMER (1986) 107

3. la conoscenza incrementa la produttivita del fattore lavoro e

4. le caratteristiche della conoscenza si possono modellare come un’ester-nalita nell’accumulazione di capitale, ossia l’accumulo di conoscenza ederivata dallo stesso processo di produzione (learning by doing).

Nella descrizione della nostra economia partiamo dal consumatore rap-presentativo.

8.3.1 Consumatori

Il consumatore rappresentativo massimizza l’usuale funzione di utilia sogget-to al vincolo di bilancio intertemporale, ossia

max{c}∞

t=0

U =

∫ ∞

0

c1−σ − 1

1 − σdt

s.a

{

a = ar + w − ca = a0.

Dalla soluzione di ottimo del consumatore abbiamo l’usuale equazione diEulero:

c

c=

r − ρ

σ.

Le novita sostanziali tuttavia sono dal lato delle imprese, dove l’esterna-lita prodotta dall’accumulazione del capitale delle imprese e il punto cruciale.

8.3.2 Produzione

L’influenza della conoscenza sul prodotto si esplica, in accordo con quantoaffermato da Arrow (1962), nell’incrementare l’efficienza delle unita di lavoroimpiegate nella produzione, ossia potremo scrivere che la produzione a livellodella singola impresa sia data da

Yi = AKai (QLi)

1−α ,

dove Q e un’indice dello stock di conoscenza, mentre l’indice i indica l’im-presa i-esima. L’indice dello stock di conoscenza Q entra nella funzione diproduzione dell’impresa i-esima per intero e questo per le caratteristiche dinon rivalita e non escludibilita.

L’idea che l’accumulazione di conoscenza avvenga tramite l’attivita diproduzione puo essere reso semplicemente assumendo che

Q = Q (K) ,


dove Q′ > 0. Infatti, il capitale accumulato e il risultato dell’investimento diogni periodo, a sua volta funzione della produzione aggregata dell’economia.

La funzione di produzione della singola impresa i in funzione della tecnicadi produzione utilizzata k e data da:

Yi = AKαi (QLi)

1−α = LiAkαi (Q)1−α ,

dove ki = Ki

Li.

A livello di singola impresa l’esternalita nell’accumulazione di capitale,che si trasforma in conoscenza, e ignorata; quindi la domanda di capitale e la-voro della singola impresa e espressa tenendo presente solo Ki e considerandoQ come un dato. Avremo quindi che:

ri = αAKα−1i (QLi)

1−α = αAkα−1i Q1−α = α

Yi

Ki

;

wi = Akai (Q)1−α − αAkα

i (Q)1−α = (1 − α)Yi

Li

.

8.3.3 Equilibrio

In equilibrio ogni impresa deve remunerare i fattori allo stesso prezzo, ossiari = r e wi = w ∀i, cosı che ki = k ∀i, dove k rappresenta la combinazioneottimale dei fattori. Inoltre, nell’equilibrio il capitale impiegato dalle impresee pari al patrimonio detenuto dalle famiglie, ossia:

a = k.

Di conseguenza in equilibrio avremo che il tasso di crescita del consumosara dato da:

c

c=

αAkα−1Q1−α − ρ

σ, (8.2)

mentre il tasso di accumulazione del capitale dell’impresa rappresentativa edato da:

k = AkαQ1−α − c (8.3)

Per completare la descrizione dell’equilibrio riportiamo dalla soluzione delproblema del consumatore la condizione di trasversalita:

limt→∞

k (t) λ (0) exp

(

−

∫ t

0

αAkα−1Q1−αdτ

)

, (8.4)

dove λ (0) rappresenta il valore iniziale del prezzo ombra del patrimonio.


8.3.4 Analisi di stato uniforme

In questa sezione ci chiediamo quali condizioni devono essere soddisfatte peravere un’economia che si muove lungo un sentiero di crescita bilanciata. Dalla(8.2) ricaviamo il tasso di crescita nell’equilibrio di crescita bilanciata, ossia:

γEC =c

c=

k

k=

a

a=

αAkα−1Q1−α − ρ

σ. (8.5)

Osserviamo che se la precedente e verificata dalla (8.3) abbiamo che:

k

k= A

(

Q

k

)1−α

−c

k= γEC

e quindi(

Q

k

)1−α

=γ + c

k

A⇒

Q

k=

(

γ + ck

A

)1

1−α

Poiche nell’equilibrio di crescita bilanciata c e k crescono allo stesso tasso,allora per avere una crescita bilanciata Q e k devono cresce allo stesso tasso,o detto in altro modo:

Q

Q=

k

k

Stabilito questo, si possono presentare due casi (a meno di una costantedi scala che ignoriamo):

1. Q = K, ossia la conoscenza e interamente a disposizione di ogni indi-viduo;

2. Q = KL

= k, ossia la conoscenza e a disposizione di ogni individuo intermini pro-capite.

In termini economici le due alternative possono essere interpretate intermini di diffusione della conoscenza; nel primo caso la conoscenza e diffusaa tutta l’economia, nel secondo ha una diffusione limitata.

La Proposizione 8.1 stabilisce il tasso di crescita nell’equilibrio di crescitabilanciata nei due casi.

Proposizione 8.1 Nell’equilibrio di crescita bilanciata γECT = αAL1−α−ρ

σse

lo stock di conoscenza aggregato e a disposizione di ogni lavoratore, mentreγEC

PC = αA−ρσ

se lo stock di conoscenza aggregato e a disposizione di ognilavoratore in termini pro-capite.


Prova. Nel caso Q = K la funzione di produzione diventa:

Yi = AKαi (KLi)

1−α ,

da cui in equilibrio:

y = Akα (K)1−α

e quindi la funzionie di produzione risulta AK, ossia:

y = AL1−αk.

Il tasso di crescita lungo il sentiero di crescita bilanciata sara quindi datodalla (8.2) quando Q = K, ossia:

γECT =

αAL1−α − ρ

σ.

Se consideriamo la seconda possibilita, ossia Q = k, sempre sostituendo dalla(8.2), avremo che:

γECPC =

αA − ρ

σ.

E’ immediato verificare che entrambi i tassi di crescita soddisfano la condi-zione di trasversalita (8.4).

Poiche γECT e crescente in L, ossia nel numero di imprese-individui del-

l’economia, otteniamo un tasso di crescita con un effetto scala. La ragionesta nel fatto che l’esternalita di una singola impresa influenza la produttivitadi tutti i singoli L lavoratori e quindi la scala dell’economia conta. Empiri-camente si dovrebbe osservare quindi una relazione positiva fra dimensionedell’economia e tasso di crescita, cosa che non e verificata. Nel caso inve-ce di γEC

PC questo non succede, proprio perche l’esternalita goduta da ognilavoratore e in termini pro capite. Quindi quest’ultimo caso sembra il piuplausibile.

Infine, osserviamo che se Q = K avremo che y = AL1−αk, ossia siamonel caso di un modello AK (questo vale anche se Q = k, dove y = Ak). Leimplicazioni di questo modello riguardo la convergenza nei redditi fra paesisono dunque quelle del modello AK.

8.3.5 L’ottimo sociale

La presenza di esternalita positive nella funzione di produzione suggerisce chel’ottimo sociale e l’equilibrio decentralizzato non corrispondano. Assumiamo


per semplicita che n = 0 e limitiamoci al caso Q = Q (k). Il problema delpianificatore sociale e dato da:

max{c}∞

t=0

U =

∫ ∞

0

c1−σ − 1

1 − σe−ρtdt

s.a

{

K = AKα (Q (k) L)1−α − CK (0) = K0.

Poiche K/K = k/k abbiamo che:

K

K= AKα−1 (Q (k) L)1−α −

C

K,

e quindi:k = AkαQ (k)1−α − c.

Allora:

max{c}∞

t=0

U =

∫ ∞

0

c1−σ − 1

1 − σe−ρtdt (8.6)

s.a

{

k = AkαQ (k)1−α − c.k (0) = k0.

La Proposizione 8.2 stabilisce il tasso di crescita ottimale dal punto divista sociale.

Proposizione 8.2 Nel sentiero di crescita bilanciata socialmente ottimo il

tasso di crescita e pari a γOS =A[αkα−1Q(k)1−α+(1−α)kαQ−αQ′(k)]−ρ

σ.

Prova. L’Hamiltoniana del problema (8.6) sara data da:

H =c1−σ − 1

1 − σ+ λ

[

AkαQ (k)1−α − c]

;

le condizioni del massimo sono date da:

∂H

∂c= 0 ⇒ c−σe−ρt = λ ⇒

c

c=

−λ/λ − ρ

σ;

λ = −∂H

∂k= −λA

[

αkα−1Q (k)1−α + (1 − α) kαQ−αQ′ (k)]

da cui:

γOS =c

c=

A[

αkα−1Q (k)1−α + (1 − α) kαQ−αQ′ (k)]

− ρ

σ.

Non e difficile dimostrare che γOS soddisfa la condizione di trasversalita delproblema. CVD

E’ interessante osservare che:


Osservazione 8.1 Il tasso di crescita ottimo socialmente γOS e sempre su-periore al tasso di crescita dell’equilibrio decentralizzato γEC.

Prova. Dalla (8.5) e dalla Proposizione 8.2 abbiamo che:

γOS − γEC =(1 − α) kαQ (k)−α Q′ (k)

σ> 0.

Come ci si attendeva il tasso di crescita socialmente ottimo e superiorea quello dell’economia decentralizzata in ragione dell’esistenza di un’ester-nalita positiva nell’accumulazione di conoscenza Q (k); infatti, quando taleesternalita non esiste, ossia Q′ (k) = 0, allora l’ottimo sociale e l’equilibriodecentralizzato coincidono.

8.3.6 Politica fiscale

La presenza di un’inefficienza nell’allocazione decentralizzata pone la que-stione se lo Stato puo intervenire per migliorare l’allocazione di mercatoe quali strumenti dovrebbe usare. Nel modello di Romer (1986), quan-do Q = Q (k) l’inefficienza nasce dalla differenza fra il rendimento pri-vato del capitale, pari a αkα−1Q (k)1−α e il rendimento sociale dato daαkα−1Q (k)1−α + (1 − α) kαQ (k)−α Q′ (k). Quindi un sussidio opportuna-mento ponderato e finanziato in maniera lum-sum (per evitare distorsioniulteriori) potrebbe correggere tale distorsione. In particolare:

Proposizione 8.3 Un sussidio τ = 1−αα

ad ogni unita di capitale finan-ziato in maniera lum-sum, quando Q = k, rende l’equilibrio decentralizzatodell’economia un ottimo paretiano.

Prova. Infatti

αAkα−1Q1−α (1 + τ) = (1 − α) kαQ−αQ′ (k) ,

da cui:

τ =1 − α

α

k

AQ′ (k) .

Nel caso in cui Q = k, avremo che:

τ =1 − α

α.

CVDIl totale di sussidio da finanziare e dato da τkL, da cui ogni individuo

dovrebbe essere tassato in maniera lump-sum di una somma pari a(

1−αα

)

kin ogni periodo.

8.4. SPESA PUBBLICA NELLA TEORIA DELLA CRESCITA 113

Approfondimento 8.1 Si analizzi il caso in cui il sussidio al capitale siafinanziato tramite un’imposta sul consumo θ.

8.4 Spesa pubblica nella teoria della crescita:

il modello di Barro (1990)

Il modello precedente suggerisce che la presenza di beni con caratteristichedi non rivalita ed escludibilita possano essere cruciali ai fini della crescitadi un’economia. A tal proposito Barro (1990) analizza un modello dove laspesa pubblica G ha un effetto positivo sulla produttivita dei fattori privati.In particolare consideriamo la seguente tecnologia per l’impresa i:

Yi = Kαi L1−α

i φ (G/L) , (8.7)

dove φ (G/L) misura l’esternalita positiva che la spesa pubblica, normaliz-zata alla popolazione, ha sull’output dell’impresa i e quindi φ′ > 0. Lanormalizzazione della spesa pubblica totale rispetto alla popolazione vuoletenere conto della possibile congestione del bene pubblico.

Nell’economia decentralizzata le imprese prendono le proprie decisioniprendendo come una dato φ (G/L), per cui le curve di domande dei fattorisono date da:

ri = αKα−1i L1−α

i φ (G/L) = αkα−1i φ (G/L) ;

wi = (1 − α) kαi φ (G/L) ,

mentre i consumatori massimizzano la propria utilita intertemporale, cosıche dalle condizioni del primo ordine per la massimizzazione dell’utilita delconsumatore otteniamo l’usuale equazione di Eulero:

c

c=

(1 − τ) r − ρ

σ,

dove (1 − τ) r e il rendimento netto del patrimonio.

8.4.1 Equilibrio

Poiche in equilibrio le remunerazioni dei fattori dovranno essere uguali perogni impresa, allora:

ki = k e yi = y ∀i,

da cui la (8.7) diventa:y = kαφ (g) , (8.8)


dove g = G/L e y = Y/L rappresentano la spesa pubblica e il redditopro-capite.

Assumiamo che la spesa pubblica sia finanziata in pareggio di bilanciocon una tassazione proporzionale sul reddito, ossia:

G = τY,

dove τ e l’aliquota sul reddito. Abbiamo quindi che:

g = τy,

che sostituito nella (8.8) porta a:

y = kαφ (τy) .

Per avere un soluzione esplicita del livello del reddito pro-capite, seguendoBarro (1990), assumiamo che:1

φ (τy) = (τy)1−α ; (8.9)

da cui:y = kτ

1−α

α (8.10)

Notiamo che la (8.10) suggerisce che stiamo considerando un modello AK.La Proposizione 8.4 stabilisce il tasso di crescita nell’equilibrio.

Proposizione 8.4 Il tasso di crescita lungo il equilibrio di crescita bilanciata

e pari a γ = α(1−τ)τ1−α

α −ρσ

.

Prova. Le remunerazioni dei fattori in equilibrio sotto l’ipotesi (8.9)saranno date da:

r = αkα−1 (τy)1−α = ατ1−α

α

w = (1 − α) kαi (τy)1−α = (1 − α) kτ

1−α

α

Allora il tasso di crescita del consumo nel sentiero di crescita bilanciata edata da:

γ =α (1 − τ) τ

1−α

α − ρ

σ,

Lasciamo al lettore la dimostrazione che γ soddisfa le condizioni di trasver-salita. CVD

In questo contesto massimizzare il tasso di crescita equivale a massimiz-zare il benessere del consumatore rappresentativo, quindi una guida per ilgoverno e data dalla Proposizione 8.5.

1Effettivamente per avere una soluzione esplicita basta considerare una funzioneesponenziale, ma questa forma semplifica i calcoli notevolmente.

8.4. SPESA PUBBLICA NELLA TEORIA DELLA CRESCITA 115

Proposizione 8.5 Il tasso di crescita dell’economia e massimo per τ ∗ =1 − α.

Prova. Poiche γEC e concava in τ abbiamo che:

∂γEC

∂τ= 0 ⇔ τ

1−α

α = (1 − τ)

(

1 − α

α

)

τ1−α

α−1,

da cuiατ = (1 − τ) (1 − α)

e quindi:τ ∗ = 1 − α.

CVDUn’interpretazione economica del risultato della Proposizione 8.5 si ha

considerando che il prodotto netto yN e dato da:

yN = (1 − τ) y = (1 − τ) kτ1−α

α ,

il quale e massimizzato per τ ∗ = 1 − α.2

2In generale abbiamo che:

∂Y (G (τ)) − G (τ)

∂τ=

∂Y

∂G

∂G

∂τ−

∂G

∂τ=

∂G

∂τ

[

∂Y

∂G− 1

]

,

da cui otteniamo una condizione generale per la fissazione dell’aliquota ottima:

∂Y

∂G= 1.


8.5 La teoria del capitale umano

Nella letteratura economica esistono svariati contributi che individuano nelcapitale umano, inteso come insieme di conoscenze possedute dalla forzalavoro, un fattore fondamentale nella crescita di un paese. Becker (1964)fornisce una accurata discussione dei fattori economici che possono spiegarel’accumulazione di capitale umano. Il modello di Lucas (1988) rappresentauna prima completa teoria di come l’accumulazione di capitale umano possaessere inserita in un modello neoclassico di crescita e come questo porti aduna spiegazione endogena del tasso di crescita dell’economia.

8.5.1 Accumulazione di capitale umano

L’accumulazione di capitale umano puo essere il risultato di vari fattori,tra cui i piu importanti sono (i) il tempo dedicato all’istruzione, (ii) i soldiinvestiti nell’educazione, (iii) le esternalita di cui puo godere un individuoquando apprende e (iv) le infrastrutture di cui puo godere uno studentedurante il processo di apprendimento.

Seguendo Lucas (1988) consideriamo solo i fattori (i) e (iii), ossia assumia-mo che il capitale umano medio si accumuli secondo la seguente funzione:3

h = Buhφ − δhh, (8.11)

dove B e un parametro di scala, u e la frazione di tempo che in mediagli individui impiegano nell’accumulare capitale umano, o, differentemente,la quota di popolazione che e impiegato nel settore che produce capitaleumano rispetto al settore di produzione di beni finali e δh rappresenta ildeprezzamento del capitale umano.

Puo essere interessante osservare che, riscrivendo la (8.11) nel seguentemodo

h = Bhφ−1uh − δhh,

abbiamo che hu puo essere interpretato come il capitale umano medio im-piegato nella produzione di nuovo capitale umano e hφ−1 rappresenta l’e-sternalita positiva. Allora il tasso di crescita del capitale umano e dato

3Una formulazione generale potrebbe essere la seguente:

h = G (hh, u, kh, e, δh) ,

dove kh e il capitale fisico utilizzato nella produzione di nuovo capitale, e e la speda pereducazione e δh e il tasso di deprezzamento del capitale umano. Quest’ultimo fattorepotrebbe indicare la quota di popolazione che muore e quindi la perdita di capitale umanoche ne consegue.

8.5. LA TEORIA DEL CAPITALE UMANO 117

da:h

h= Bhφ−1u − δh,

da cui e immediato che se u e costante nel sentiero di crescita bilanciata, peravere un tasso di crescita costante dobbiamo porre φ = 1. Questo suggeriscedi considerare la (8.11) imponendo φ = 1, avendo cosı che la produzionedi nuovo capitale umano e proporzionale allo stock del capitale umano stes-so. Una implicazione e che, a parita di quota della popolazione impegnatanell’accumulazione di capitale umano, l’accumulazione di capitale umano emaggiore in economie in cui la gente e mediamente piu istruita.

8.5.2 Produzione

Lo stock di capitale umano ha effetti positivi anche sulla produzione del benefinale. Data la consueta tecnologia Cobb-Douglas abbiamo che la produzioneper il bene finale e data da:

Yi = Kαi [(1 − u)Hi]

1−α

(

H

L

)ϕ

, (8.12)

dove Ki e lo stock di capitale dell’impresa i-esima, (1 − u)Hi la forza lavoroimpiegata nel settore che produce il bene finale dall’impresa i-esima in ter-mini di capitale umano. Abbiamo inoltre introdotto un termine (H/L)ϕ, chesegnala la possibilita di esternalita positive nella produzione di beni finali(con gli ovvi problemi di non corrispondenza fra l’allocazione decentralizzatae l’ottimo sociale se ϕ > 0).

In equilibrio avremo sempre che la produttivita marginale del capitalefisico ed umano devono essere remunerati egualmente da tutte le imprese equindi il rapporto fra il capitale umano e capitale fisico deve essere uguale,ossia:

∂Yi

∂Ki= α

Yi

Ki= r − δk ∀i;

∂Yi

∂Hi= (1 − α)

Yi

Hi= w ∀i.

Questo implica che il rapporto Hi/Ki = hi/ki sara uguale in ogni impresa(in altri termini ogni impresa usera la stessa tecnica di produzione) e che lascala di produzione non e rilevante come e tipico nei modelli con rendimentidi scala costanti. Esprimendo la produzione in unita pro-capite otteniamoche:

y =Y

L=

(

K

L

)α [(1 − u)H

L

]1−α(H

L

)ϕ

= kα (1 − u)1−α h1−αhϕ. (8.13)


8.5.3 Condizioni di ottimo del consumatore

In questo modello il consumatore rappresentativo deve decidere sia il proprioconsumo sia quanta parte del proprio tempo dedicare all’accumulazione delcapitale umano, ossia risolve il seguente problema:

max{c,u}∞

t=0

U =

∫ ∞

0

c1−σ − 1

1 − σe−ρtdt (8.14)

s. a

a = wh + ra − c;

h = Buh − δhh;a (0) = a0;h (0) = h0.

L’Hamiltoniana del problema sara data da:

H =c1−σ − 1

1 − σ+ λ [wh + ra − c] + η (Buh − δhh) ; (8.15)

Le condizioni di primo ordine necessarie e sufficiente per l’ottimo sono:

c−σe−ρt = λ; (8.16)

ηBh = −λ∂w

∂uh; (8.17)

λ = −∂H

∂a= −λr; (8.18)

η = −∂H

∂h= −λw − ηBu + ηδh; (8.19)

limt→∞

λa = 0; (8.20)

limt→∞

ηh = 0. (8.21)

Notiamo che la (8.17) rappresenta una condizione di arbitraggio tra l’im-piegare il tempo nell’accumulazione di capitale umano (il membro di sini-stra) e l’impiegare il tempo nella produzione (il membro di destra), che a suavolta permette una maggiore accumulazione di patrimonio (ricordiamo che∂w/∂u < 0). Le due alternative sono confrontate tramite i prezzi ombra λ eη.

8.5. LA TEORIA DEL CAPITALE UMANO 119

8.5.4 Equilibrio

L’equilibrio e quindi definito dalle (8.16)-(8.21), insieme con le usuali condi-zioni di equilibrio sul mercato dei fattori:

r = αy

k+ δk; (8.22)

w = (1 − α)y

he (8.23)

a = k. (8.24)

La Proposizione 8.6 definisce le proprieta del sentiero di equilibrio dicrescita bilanciata.

Proposizione 8.6 Nel sentiero di equilibrio di crescita bilanciata γ = c/c =k/k = y/y = (1 − α + ϕ) / (1 − α) h/h e h/h = Bu∗ − δh, dove

u∗ =1

1 − ϕ−

(1 − α + αϕ) δh + σ (1 − α − ϕ) + ρ (1 − α)

αB (1 − ϕ).

Prova. La dimostrazione e piuttosto laboriosa. Dalla (8.17) abbiamoche:

λ

η= −

B

∂w/∂u,

che sostituito nella (8.19) porta a:

η

η= −

B (1 − αu)

1 − α+ δh.

Differenziando la (8.17) ho che:

λ

λ−

η

η= −α

k

k+ α

h

h+ α

u

1 − u,

sfruttando la definizione di w. Quindi, sostituendo nella precedente per η/ηappena trovato e λ/λ della (8.18) ottengo che:

u

u=

[

−αk

k+ α

h

h+ r −

B (1 − αu)

1 − α+ δh

]

1 − u

u. (8.25)

Dalle (8.22)-(8.24) abbiamo che l’accumulazione del capitale e governata dallaseguente equazione:

k

k=

y

k−

c

k− δk, (8.26)


dove y = kα (1 − u)1−α h1−αhϕ. Da quest’ultima espressione possiamo calco-lare il tasso di crescita del reddito pro-capite, dato da:

y

y= α

k

k+ (1 − α + ϕ)

h

h+ (1 − α)

u

1 − u. (8.27)

E’ immediato osservare che se in equilibrio u = 0, allora lungo il sentiero dicrescita bilanciata deve valere che:

γ =y

y=

c

c=

k

k=

(1 − α + ϕ)

1 − α

h

h. (8.28)

Infine dalla precedente e dalle (8.16) e (8.18) abbiamo che:

γ =r − ρ

σ=

(1 − α + ϕ)

1 − α(Bu − δh) . (8.29)

Ponendo u = 0 nella (8.25), e sostituendo per r in funzione di u dalla prece-dente equazione (8.29) e per k/k e h/h dalla (8.28) otteniamo il livello di ulungo il sentiero di crescita bilanciata, ossia

u∗ =1

1 − ϕ−

(1 − α + αϕ) δh + σ (1 − α + ϕ) + ρ (1 − α)

αB (1 − ϕ).

CVDLa Proposizione 8.6 afferma che nel lungo periodo l’economia sperimenta

una crescita che e positivamente correlata al tempo impiegato nell’accumu-lazione di capitale umano, che diventa quindi il motore della crescita per lanostra economia. A bilanciare l’incremento del tasso di crescita quando sidedica piu tempo all’accumulazione di capitale umano vi e una diminuzionedel livello del bene finale disponibile. Nell’ottimo i benefici e gli svantaggi siequivalgono.

La Proposizione 8.6 fornisce anche un’intuizione su come i vari parametriinfluenzino il tasso di crescita. Non sorprende che σ e ρ giochino un ruo-lo negativo nello stabilire il livello di u∗, dato che un aumento di entrambifavorisce un minor tasso di crescita e un maggior consumo oggi. ViceversaB mostra una relazione positiva con u∗, cosı come δh mostra una relazionenegativa. Un maggior tasso di deprezzamento del capitale umano δh fa dimi-nuire la crescita di lungo periodo; questo non solo per l’effetto diretto di unmaggior deprezzamento del capitale umano, ma anche per le minori risorseindirizzate all’accumulazione, ossia per il minor u∗.

Non studieremo le proprieta dinamiche dell’equilibrio per la notevoledifficolta analitiche che questo comporta nel caso ϕ > 0, mentre lasciamoall’approfondimento il caso di ϕ = 0.

Infine, notiamo che la presenza di un’esternalita nella produzione del benefinale apre le porte all’intervento pubblico.

8.6. TEORIA DELL’INNOVAZIONE 121

Approfondimento 8.2 Calcolare il livello socialmente ottimo di u e di-scutere come il Governo potrebbe rimediare all’inefficienza dell’allocazionerisultante dalle scelte decentralizzate tramite un opportuno sussidio all’accu-mulazione di capitale umano.

Approfondimento 8.3 Analizzare le proprieta dinamiche locali dell’equili-brio decentralizzato quando ϕ = 0. (Suggerimento: ridurre il sistema dina-mico a tre variabili h/k, c/k e u e studiare le proprieta di questo sistemadinamico ridotto).

Approfondimento 8.4 Supponete che l’accumulazione di capitale umanoavvenga non per l’allocazione di tempo, ma grazie all’investimento in edu-cazione e. In particolare, rispetto al modello analizzato nel testo fissateu = 0 e ϕ = 0 e assumete che l’equazione che governa l’accumulazio-ne di capitale umano sia data h = Be − δhh (il nuovo vincolo di bilanciosara a = ar + wh − c − e). Caratterizzare il sentiero di crescita bilan-ciata di tale economia ed analizzaterne le proprieta (Suggerimento-risultato:γ = (B − δh − ρ) /σ).

8.6 Teoria dell’innovazione

La teoria dell’innovazione e stata oggetto dagli anni 70 anni di notevoli contri-buti. Tuttavia, solo negli anni 90 tale teoria e stata applicata fruttuosamentealla spiegazione della crescita dei paesi.

In maniera molto schematica potremo dividere i contributi di questo filonedi letteratura in due. Il primo considera la cosiddetta innovazione orizzon-tale, ossia un processo innovativo che rende disponibili nuove tecniche diproduzione che si affiancano a quelle gia esistenti. Tipicamente il processoinnovativo si concretizza nella produzione di nuovi beni intermedi, ad esem-pio come in Romer (1990). Un altro filone di letteratura si occupa dellacosiddetta innovazione verticale, ossia il caso in cui il processo innovativoproduce nuovi beni che rimpiazzano quelli vecchi. Il precursore di tale tipodi approccio allo studio dell’attivita innovativa fu Schumpeter e questo spie-ga perche tale filone e anche chiamato teoria della crescita schumpeteriana.Il modello capostipite e Aghion e Howitt (1992).

Comune ad entrambi gli approcci e l’idea che il progresso tecnologico siail frutto di un’attivita esplicita e deliberata di ricerca, il cui frutto e sia lacreazione di un brevetto, che porta ad accumulare conoscenza.

Infine e doveroso citare un filone di letteratura che si e sviluppato e con-tinua a svilupparsi in modo alternativo a quello da noi trattato. La crescita


e sempre generata dall’attivita inventiva, ma quest’ultima e vista come stru-mento di concorrenza fra le imprese esistenti sul mercato e le regole di de-cisioni sono ricavate dall’esperienza e non da un processo di ottimizzazione;questo filone di letteratura prende il nome di teoria evolutiva dell’innovazione.

8.6.1 La teoria dell’innovazione: il modello con beni

intermedi di Romer (1990)

Nella nostra esposizione del modello di Romer (1990) seguiremo Barro (1990).Romer (1990) suppone che nell’economia esistano tre settori. Il primo

produce il bene finale, utilizza lavoro e beni intermedi e opera in concorrenzaperfetta; il secondo produce beni intermedi, impiegando lavoro, e ogni im-presa, produttrice di un diverso bene intermedio, opera in monopolio. Lapossibilita di produrre un bene intermedio e vincolata all’acquisto di un pro-getto dal settore R&D. Quest’ultimo opera in concorrenza e ha come inputil lavoro e la conoscenza accumulata nel tempo.

La Figura 8.1 rappresenta la struttura dell’economia del modello di Romer(1990).

8.6.T

EO

RIA

DE

LL’IN

NO

VA

ZIO

NE

123

Settore R&D

Prod.re bene intermedio 2Prod.re bene intermedio 1 ... Prod.re bene intermedio N

Consumatori

Y1 = AL1−a1 SN

j=1Xa1j Y2 = AL1−a

2 SNj=1X

a2j YL = AL1−a

L SNj=1X

aLj...

Y

�

�

�

�

�

�

�C

�

�

�

�ηγN

�

�

�

�XN

z s )

�

�

�

�pC = 1

9

�

�

�

�PP = η

Progetto 1

�Progetto 2

q

Progetto N

? j� ? z ?9

�

�

�

�Concorrenza monopolistica

Settore beni intermedi

Settore beni finaliz9

�

�

�

�p1

I

�

�

�

�p2

I

�

�

�

�pN

I

Figura 8.1: Struttura dell’economia del modello di Romer (1990)


Servendoci della Figura 8.1 passiamo a descrivere i dettagli del model-lo. Partiamo dal settore che produce il bene finale, che opera in regime diconcorrenza.

Settore dei bene finale

Il bene finale e prodotto in un settore con un numero elevato di imprese.Ogni impresa ha a disposizione la stessa tecnologia; in particolare, l’impresai ha la seguente funzione di produzione:

Yi = AL1−αi ΣN

j=1Xαij, con α < 1, (8.30)

dove A e un parametro di scala, Li e il lavoro impiegato nell’impresa i, Xij

e la quantita di bene intermedio j impiegato nell’impresa i. Nell’economiaabbiamo supposto esistano N beni intermedi. Il prezzo del bene finale pC eassunto essere pari a 1, ovvero e il numerario per la nostra economia.

La tecnologia (8.30) e a rendimenti costanti di scala, ma presenta la pecu-liarita di dipendere positivamente dal numero dei beni intermedi a parita dirisorse impiegate nella produzione. Per avere un’intuizione di cio si consideriil prodotto marginale del bene intermedio j-esimo:

∂Yi

∂Xij

= αAL1−αi Xα−1

ij .

E’ evidente che l’introduzione di un nuovo bene intermedio non influenza laproduttivita dei beni intermedi gia esistenti, ma semplicemente si aggiungea quelli gia esistenti a disposizione dell’impresa (e la cosiddetta innovazioneorizzontale). Nell’equilibrio simmetrico ogni bene intermedio ha lo stessoprezzo e quindi, data la sua produttivita marginale, sara impiegato nellestesse quantita, ossia:

Xij = Xi ∀j.

Avremo quindi che la funzione di produzione (8.30) diventa:

Yi = AL1−αi NXα

i = AL1−αi (NXi)

α N1−α,

dove la quantita NXi e il totale del capitale fisico impiegato nell’impresa.Allora, a parita di lavoro e capitale impiegato nell’impresa, il prodotto totaleaumenta all’aumentare del numero N dei beni capitali impiegati. Questae la fonte della crescita del modello. Quindi, come sostenuto da Romer,la funzione di produzione (8.30) riflette l’idea smithiana che divisione dellavoro e specializzazione nel processo produttivo guidino la crescita di lungoperiodo.


Data la funzione di produzione (8.30) e il prezzo dei beni intermedi(

p1I , ..., p

NI

)

, definiamo il profitto dell’impresa i:

πi = AL1−αi ΣN

j=1Xαij − wLi − ΣN

j=1pjIXij ,

da cui dalle condizioni di primo ordine per la massimizzazione del profittoricaviamo la domanda dell’impresa i per il bene intermedio j, ossia:

∂πi

∂Xij

= αAL1−αi Xα−1

ij − pjI = 0,

da cui:

X∗ij = Li

(

αA

pjI

)1

1−α

∀i.

E’ immediato ricavare la domanda complessiva per il bene intermedio jaggregando le singole domande di tutte le imprese, ossia:

X∗j

(

pjI

)

= ΣLi=1X

∗ij = L

(

αA

pjI

)1

1−α

. (8.31)

Settore dei beni intermedi

Definita la domanda dei beni intermedi, dobbiamo specificare le condizionisotto le quali un bene intermedio viene prodotto e quindi ricavare il prezzoe le quantita di equilibrio.

In primis, per la produzione di un bene intermedio e richiesto un pro-getto. Quest’ultimo e fornito dal settore R&D. Inoltre, ogni progetto da undiritto esclusivo di produzione all’impresa che lo possiede. Escludiamo quindila possibilita di altre imprese di imitare o utilizzare senza autorizzazione ilprogetto per costruire il bene intermedio oggetto del progetto.

Supponendo che tale progetto sia gia stato acquistato dall’impresa cheopera nel settore dei beni intermedi, allora l’impresa deve sostenere il costodi produzione vero e proprio. Noi supponiamo che tale costo sia pari a 1 perogni unita di bene intermedio prodotta, cosı che il valore dell’impresa j altempo t sara dato da:

Vj (t) =

∫ ∞

t

(

pjI − 1

)

X∗j

(

pjI

)

exp (−r (v, t) (v − t)) dv, (8.32)

dove:

r (v, t) =

∫ v

tr (τ) dτ

v − t,


rappresenta il tasso medio di interesse per il periodo compreso fra t e v (quindiexp (−r (v, t)) il tasso di sconto medio).

Sottostante alla definizione del valore dell’impresa Vj (t) vi e l’ipotesi im-plicita che in ogni periodo i beni intermedi vengano consumati nella produ-zione del bene finale e quindi sia necessario una loro continua produzione neltempo. In altre parole il tasso di deprezzamento del beni intermedi e pari a1.

L’impresa j massimizza Vj (t) scegliendo il livello del prezzo pjI in ogni

periodo. Dalla condizione di primo ordine abbiamo che:

∂Vj (t)

∂pjI

= 0 ⇔ pjI =

1

α∀t, j. (8.33)

Questo risultato non dovrebbe sorprendere, dato che 1/α rappresenta il mark-up di monopolio.

La risultante quantita prodotta dall’impresa j sara data da:

X∗j = LA

1

1−α α2

1−α ∀j (8.34)

che e uguale per ogni bene intermedio prodotto. Sostituendo la (8.33) ela (8.34) nella (8.32) avremo il valore di ogni impresa produttrice di beniintermedi:

Vj (t) =

(

1 − α

α

)

A1

1−α α2

1−α L

∫ ∞

t

exp (−r (v, t) (v − t)) dv.

Settore R&D

Non esiste alcuna alea nei risultati dell’investimento e il settore R&D pro-duce un nuovo progetto al costo η. Inoltre, esiste libera entrata nel settore equindi il prezzo di ogni nuovo progetto deve essere pari al suo costo. Cosı ηsara anche il prezzo di ogni progetto. Ogni progetto da diritto a chi lo possie-de di produrre in esclusiva il bene intermedio. Un tale diritto implicitamentepresuppone un sistema che regoli la proprieta intellettuale, ossia un siste-ma brevettuale. Un tale sistema e giustificato dall’esigenza degli investitorinel settore R&D di rientrare nei costi sopportati per arrivare all’invenzione.La possibilita di utilizzare le scoperte altrui senza pagare l’innovatore (free-riding), infatti, permetterebbe una concorrenza che scoraggerebbe qualsiasiimpresa dall’intraprendere un investimento R&D.

Tuttavia, ogni innovazione e basata su innovazioni precedenti, e questospiega perche la legge sui brevetti, oltre a tutelare la proprieta dell’innova-tore, obblighi quest’ultimo a rendere pubblica la sua scoperta per ottenerela protezione (disclosure). Inoltre, esiste un notevole dibattito in letteratura


sulla durata che questa protezione debba avere. Infatti, non e da dimenti-care che il brevetto concede un potere di monopolio nella produzione di uncerto bene a chi lo detiene . Questo implica che il prezzo del bene prodottoe superiore a quello socialmente ottimo, mentre la quantita prodotta e infe-riore. Chi fosse interessato a queste tematiche puo trovare maggiori dettagliin Aghion e Howitt (1999).

Equilibrio

L’equilibrio nel modello si ha quando in tutti i mercati domanda ed offerta siequivalgono. Per quanto abbiamo gia esposto il mercato dei beni intermedie dei beni finali e in equilibrio, mentre il mercato dei progetti e quello che cifornira l’ultima equazione per chiudere il modello. Infatti, il valore dell’im-presa nel settore dei beni intermedi e positivo e questo in ragione del fattoche tale valore non include il costo di acquisto del progetto. Tenuto contodi tale costo, il valore di investire nel settore dei beni intermedi non devepermettere nessun extraprofitto positivo, ossia V (t) > η, altrimenti tutte lerisorse sarebbero destinate a tale settore e non ci sarebbe ne produzione dibeni finali ne nuovi progetti. D’altronde, se il valore di dell’impresa fosse in-feriore al costo del progetto, ossia V (t) < η, nessuno investirebbe nel settoredei beni intermedi. Allora in equilibrio deve valere che:

V (t) =

(

1 − α

α

)

A1

1−α α2

1−α L

∫ ∞

t

exp (−r (v, t) (v − t)) dv = η ∀t. (8.35)

Poiche la condizione di equilibrio deve valere in ogni periodo t, ne consegueche il tasso di interesse medio deve essere costante e indipendentemente dat e quindi il tasso di interesse r deve essere costante nel tempo. Risolvendoper r nella 8.35 otteniamo il tasso di interesse di equilibrio r∗:4

r∗ =

(

1−αα

)

A1

1−α α2

1−α L

η. (8.36)

Sentiero di crescita bilanciato

Dal problema del massimo del consumatore otteniamo la consueta equazionedi Eulero:

c

c=

r − ρ

σ,

4Risolvendo per r costante abbiamo che:∫

∞

t

exp (−r (v, t) (v − t)) dv =1

r.


che e il nostro candidato ad essere il tasso di crescita lungo il sentiero dicrescita bilanciata, quando r = r∗. Per dimostrare tale fatto si consideril’output aggregato del bene finale, pari a:

Y = AL1−αN (X∗)α , (8.37)

dove X∗ e definito dall’equazione (8.34). Dalla (8.37) abbiamo che:

Y

Y=

N

N,

e dal vincolo aggregato delle risorse abbiamo che:

Y = C + NX∗ + ηγNN,

dove γN e il tasso di crescita del numero di progetti nel periodo t. QuindiNX∗ rappresentano le risorse impiegate nella produzione dei beni intermedi,mentre ηN = ηγN le risorse impiegate nella produzione dei nuovi progetti.Sostituendo per per Y , otteniamo che:

C = AL1−αN (X∗)α − NX∗ − ηγN = N[

AL1−α (X∗)α − X∗ − ηγ]

.

L’espressione dentro la parentesi quadra e costante e quindi C cresce allostesso tasso di N . In sintesi, il tasso di crescita nel sentiero di crescitabilanciata e dato da:

γEC =

(

1−αα

)

A1

1−α α2

1−α L/η − ρ

σ=

C

C=

c

c=

Y

Y=

N

N. (8.38)

Osserviamo che il tasso di crescita γEC e una funzione positiva delladimensione dell’economia L (l’effetto scala che abbiamo gia incontrato) euna funzione negativa del costo dell’innovazione η.

Ottimalita paretiana

La presenza di un monopolio suggerisce che l’allocazione dell’equilibrio de-centralizzato non e efficiente. In effetti, questa rappresenta un’inefficienza ditipo statica, che fa produrre nell’equilibrio meno beni intermedi e quindi me-no beni finali di quanto sarebbe socialmente ottimale, ma e dinamicamenteefficiente, poiche i profitti di monopolio incentivano la ricerca.

Il problema del pianificatore sociale e quindi data da:

max{c}∞

t=0

∫ ∞

0

c1−σ − 1

1 − σexp (−ρt) dt

s.a N =AL1−αNXα − Lc − NX

η,


dove il vincolo del problema e derivata dal vincolo aggregato delle risorse.L’Hamiltoniana del problema e data da:

H =c1−σ − 1

1 − σ+ λ

[

AL1−αNXα − Lc − NX

η

]

da cui le seguenti condizioni di massimo:

∂H

∂C= c−σ exp (−ρt) − λL = 0;

∂H

∂X= 0 ⇒ XSO = α

1

1−α A1

1−α L;

∂H

∂N= −λ

(

AL1−αXα − X

η

)

.

Da queste condizioni e possibile ottenere al quantita socialmente ottima diX:

XSO = α1

1−α A1

1−α L, (8.39)

da cui il tasso socialmente ottimo:

γSO =

(

1−αα

)

A1

1−α α1

1−α L/η − ρ

σ. (8.40)

Dal confronto fra X∗ e XSO e γEC e γSO osserviamo che la quantita so-cialmente ottimale dei beni intermedi e maggiore, ossia X∗ < XSO e anche iltasso di crescita socialmente ottimale risulta superiore a quello dell’economiaconcorrenziale, ossia γEC < γSO.

Questi risultati suggeriscono che per correggere l’inefficienza statica nonbisogna intervenire sul settore della R&D, ma sul settore dei beni intermedi.In particolare, i produttori dei beni finali invece di far pagare un prezzo pari a1/α dovrebbero pagare un prezzo pari a 1 (e immediato dalla formula (8.31)ricavare che X e pari XSO per pI = 1). Allora e ottimale sussidiare l’acquistodei beni intermedi per un importo pari a 1/α − 1 = (1 − α) /α.

Capitale umano e investimento in R&D

Si supponga che nel modello appena esposto il settore dei beni intermedie quello R&D impieghino capitale umano H . Assumiamo che il costo perprodurre un bene intermedio consiste in un’unita di capitale umano e il costoper ottenere un nuovo progetto e pari η unita di capitale umano.

Questo comporta che il valore dell’impresa che produce il bene intermedioj e data da:

Vj (t) =

∫ ∞

t

(

pjI − wH

)

X∗j

(

pjI

)

exp (−r (v, t) (v − t)) dv,


dove wH e il salario per unita di capitale.Dalla massimizzazione di Vj (t) rispetto a pj

I otteniamo:

pjI =

wH

α,

da cui:

Vj (t) =

(

1 − α

α

)

A1

1−α α2

1−α L

∫ ∞

t

(

wH)− α

1−α exp (−r (v, t) (v − t)) dv.

(8.41)Il salario wH puo essere determinato dal vincolo delle risorse per H . Tale

vincolo e dato da:

NX + γηN = N

[

L

(

α2A

wH

)1

1−α

+ γη

]

= H,

da cui il salario di equilibrio:

wH∗ =α2AL1−α

(H/N − γη)1−α . (8.42)

E’ immediato osservare che wH∗ puo essere costante se H e N crescono allostesso tasso. Per avere quindi un sentiero di crescita uniforme supponiamoche H e N crescano allo stesso tasso. Una possibile spiegazione potrebbeessere trovata nel fatto che il capitale umano si accumula come sottoprodottodell’attivita inventiva e di produzione di beni intermedi (leaning by doing).

Date queste premesse dalla (8.41) otteniamo che:

Vj (t) =

(

1−αα

)

A1

1−α α2

1−α L(

wH)− α

1−α

r= ηwH,

e sostituendo per il salario di equilibrio dato dalla (8.42) porta a:

r =

(

1−αα

)

(H/N − γη)

η.

Infine, dall’equazione di Eulero abbiamo che:

γ =r − ρ

σ=

(

1−αα

)

(H/N − γη) − σρ

ησ,

da cui ricaviamo il tasso di crescita nel sentiero di crescita bilanciata:

γEC =(1 − α) (H/N) /η − ρ

1 + α (σ − 1). (8.43)


Il tasso di crescita e come nel modello precedente una funzione negati-va del costo del progetto η e del tasso di sconto intertemporale ρ. Tuttavia,l’effetto scala e sostituito dal rapporto fra il capitale umano e il numero di be-ni intermedi. Questo rapporto non ha una chiara relazione con la dimensionedell’economia, ma bensı con la sua dotazione di capitale umano (in relazioneal numero dei beni intermedi). Quest’ultimo aspetto e cruciale, perche ilsettore dei beni intermedi e direttamente in concorrenza con il settore R&Dnell’allocazione delle risorse e quindi un maggior numero di beni intermedisignifica meno capitale umano disponibile per l’attivita innovativa.

Approfondimento 8.5 Svolgere l’analisi di benessere per il modello di Ro-mer (1990) con capitale umano.

Approfondimento 8.6 Analizzare il caso in cui la produzione di un nuovoprogetto dipende positivamente anche dal numero di progetti disponibili, adesempio se il costo di un nuovo progetto e pari a ηwHN .

8.6.2 La teoria dell’innovazione: il modello con incre-mento della qualita di Aghion e Howitt (1992)

...


Capitolo 9

Sviluppi nella teoria dellacrescita endogena

9.1 Introduzione

...

9.2 Distribuzione del reddito e tasso di cre-

scita: il modello di Galor e Zeira (1993)

...

9.3 Ambiente e crescita: il modello con costi

difensivi

...

9.4 Il modello con popolazione endogena

...

133

134CAPITOLO 9. SVILUPPI NELLA TEORIA DELLA CRESCITA ENDOGENA

Capitolo 10

Modelli di crescita dal latodella domanda

1) Leitner (????)2) Matsuyama (2002)3) Murphy, Shleifer e Vishny (1989)4) Rostow W.W. (1960)5) Zweimuller J (2000)

135

136CAPITOLO 10. MODELLI DI CRESCITA DAL LATO DELLA DOMANDA

Capitolo 11

Conclusioni

...

137

138 CAPITOLO 11. CONCLUSIONI

Capitolo 12

Bibliografia

139

140 CAPITOLO 12. BIBLIOGRAFIA

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