Appunti Fisica - Elettromagnetismo - Marco Panareo

5/27/2018 Appunti Fisica - Elettromagnetismo - Marco Panareo

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Marco Panareo

Appunti di FisicaElettromagnetismo

Universit degli Studi del Salento, Facolt di Ingegneria


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INTRODUZIONE

Questa raccolta di appunti originati dalle lezioni di Fisica Generale tenute in vari anni nasce dalla

richiesta formulata dagli studenti di possedere un testo che fornisca un ausilio didattico per lo studio

degli argomenti presentati durante il corso. Tali appunti, pertanto, non devono essere intesi quale

sostituto di un trattato di Fisica, di cui ne esiste gi un cospicuo numero specialmente in lingua

straniera, ma uno strumento di studio che raccoglie in un solo testo gli argomenti affrontati a

lezione e che solleva lo studente dallimpegno di prendere affrettatamente degli appunti a scapito

della indispensabile concentrazione necessaria alla comprensione delle lezioni.

Non tutti gli argomenti delle lezioni sono trattati e contemporaneamente, alcuni concetti

sviluppati in questi appunti non rappresentano necessariamente degli argomenti di lezione; ci

dovuto alle diverse scelte didattiche fatte di anno in anno. Per questi motivi tali appunti hanno una

struttura dinamica, nel senso che si arricchiscono continuamente di nuovo materiale o si modificano

in relazione ai suggerimenti ed alle proposte formulate dagli studenti.

Lo stato attuale di questi appunti si deve infatti in larga misura al contributo degli studenti che

sistematicamente hanno rilevato errori o imprecisioni stimolandone un progressivo perfezionamento

sia di carattere formale che sostanziale. A loro va tutto il mio ringraziamento e a loro dedicato

questo lavoro.


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INDICE

1 Il campo elettrostatico

1.1 Propriet delle cariche elettriche 1-1

1.2 La legge di Coulomb 1-5

1.3 Il campo elettrico 1-6

1.4 Distribuzioni continue di carica 1-7

1.5 Linee di forza del campo elettrico 1-10

1.6 Flusso di un vettore 1-11

1.7 La legge di Gauss 1-12

1.8 Formulazione puntuale della legge di Gauss 1-181.9 Conduttori in equilibrio elettrostatico 1-19

1.10 Differenza di potenziale e potenziale elettrico 1-20

1.11 Campo elettrico uniforme 1-22

1.12 Potenziale elettrico ed energia potenziale per cariche puntiformi 1-23

1.13 Potenziale elettrico dovuto a distribuzioni continue di carica 1-24

1.14 Relazione tra campo elettrico e potenziale 1-26

1.15 Espressione della conservativit del campo elettrostatico 1-27

1.16 Conduttori carichi isolati 1-28

1.17 Sviluppo in serie di multipoli 1-30

1.18 Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico 1-36

2 Capacit elettrica e dielettrici

2.1 Capacit elettrica 2-1

2.2 Calcolo di capacit 2-2

2.3 Collegamenti tra condensatori 2-4

2.4 Energia immagazzinata in un condensatore, energia del campo elettrico 2-5

2.5 Forze elettrostatiche sui conduttori 2-7

2.6 Dielettrici polari e apolari 2-9

2.7 Polarizzazione 2-10

2.8 Il vettore spostamento elettrico 2-122.9 Condizioni di raccordo allinterfaccia tra due dielettrici 2-18

3 Corrente elettrica e circuiti

3.1 Corrente elettrica e densit di corrente 3-1

3.2 Equazione di continuit 3-3

3.3 Legge di Ohm 3-4

3.4 Caratteristiche dei conduttori in regime stazionario 3-7

3.5 Modello della conduzione, effetto Joule 3-8

3.6 Forza elettromotrice, legge di Ohm generalizzata 3-12

3.7 Collegamenti tra resistori 3-153.8 Analisi delle reti elettriche 3-18

3.9 Circuiti in regime quasi stazionario 3-23


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3.10 Carica e scarica di un condensatore 3-24

4 Il campo magnetico statico

4.1 Forza di Lorentz 4-3

4.2 Effetto di un campo magnetico su una corrente 4-84.3 La legge di Biot-Savart 4-12

4.4 Elettromagnetismo e sistemi di riferimento 4-16

4.5 Forza magnetica tra due conduttori paralleli 4-21

4.6 La legge di Ampre 4-24

4.7 Legge di Gauss per il magnetismo 4-31

4.8 Formulazione differenziale della legge di Ampre 4-31

4.9 Equazioni di Maxwell per il campo magnetico statico 4-32

5 Propriet magnetiche dei materiali

5.1 Magnetizzazione 5-35.2 Il vettore H

5-5

5.3 Propriet del vettore H

5-7

5.4 Sorgenti del campo H

5-11

5.5 Classificazione dei materiali magnetici 5-12

5.5.1 Sostanze diamagnetiche 5-13

5.5.2 Sostanze paramagnetiche 5-14

5.5.3 Sostanze ferromagnetiche 5-14

5.6 Isteresi magnetica 5-16

5.7 Condizioni di raccordo allinterfaccia tra due materiali magnetici 5-18

5.8 Circuiti magnetici 5-19

6 Induzione elettromagnetica

6.1 Legge di Faraday-Henry 6-2

6.2 Legge di Lenz 6-3

6.3 Induzione di movimento 6-4

6.4 Convenzioni relative allapplicazione della legge di Faraday-Henry 6-7

6.5 Autoinduzione 6-8

6.6 Energia immagazzinata in una bobina, energia del campo magnetico 6-11

6.7 Mutua induzione 6-13

6.8 Carica e scarica di una bobina 6-156.9 Forze elettromotrici e campi elettrici 6-18

6.10 Formulazione differenziale della legge di Faraday-Henry 6-20

6.11 Legge di Ampere-Maxwell 6-23

6.12 Equazioni di Maxwell 6-27

7 Circuiti elettrici in regime sinusoidale

7.1 CircuitoRLC 7-2

7.2 Bilanci energetici nel circuitoLC 7-4

7.3 Circuito RLC forzato 7-6

7.4 Metodo simbolico 7-77.5 Soluzione del circuitoRLCforzato a regime 7-8

7.6 Impedenza 7-10


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vii

7.6.1 Impedenza resistiva 7-12

7.6.2 Impedenza induttiva 5-12

7.6.3 Impedenza capacitiva 5-13

7.7 Risonanza 7-16

7.8 Fattore di merito 7-17

7.9 Potenze 7-207.10 Potenza complessa 7-23

7.11 Il trasformatore 7-25

7.12 Serie di Fourier 7-27

8 Onde elettromagnetiche

8.1 Equazione delle onde 8-1

8.2 Onde armoniche 8-3

8.3 Onde elettromagnetiche 8-5

8.4 Energia di unonda elettromagnetica 8-10

8.5 Intensit di unonda elettromagnetica 8-118.6 Teorema di Poynting 8-12

8.7 Sorgenti di onde elettromagnetiche 8-14

8.8 Trasmissione di segnali 8-16

8.9 Linee di trasmissione 8-18

9 Relativit

9.1 Trasformazioni di Lorentz 9-3

9.2 Formule di trasformazione della velocit 9-7

9.3 Conseguenze cinematiche della trasformazione di Lorentz 9-8

9.4 Leggi di trasformazione del campo elettromagnetico 9-119.5 Dinamica relativistica 9-12

9.6 Equivalenza massa-energia 9-17

Appendice

A.1 Operatori differenziali e relativi teoremi A-1

A.2 Numeri complessi A-3

A.2.1 Operazioni tra numeri complessi A-3

A.2.2 Rappresentazione geometrica A-4

A.2.3 Rappresentazione esponenziale A-5

A.2.4 Rappresentazione fasoriale A-5


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1 IL CAMPO ELETTROSTATICO

1.1 Propriet delle cariche elettricheLa capacit di alcuni materiali come lambra, una resina naturale, o il vetro quando strofinati

sulla lana di attrarre piccoli pezzi di carta era nota sin dallantichit. Platone, nel 4 secolo a.C.considerava lorigine di tali effetti simile a quella dei fenomeni magnetici. Nel 1 secolo a.C.Lucrezio ipotizzava che la resina strofinata emetteva dei fluidi in grado di rarefare laria per cuilaria pi densa tendeva a spingere i corpi verso il vuoto parziale prodotto da tali fluidi. Plutarco,nel 1 secolo d.C. credeva che il fluido emesso dalloggetto strofinato allontanasse laria intorno ad

esso cos, quando laria colpiva un corpo leggero posto nelle vicinanze vi rimbalzava e risucchiavail corpo verso loggetto strofinato. Plutarco osserv inoltre che la natura di questi effetti dovevaessere dissimile da quella dei fenomeni magnetici poich mentre la magnetite sembrava attraesse ilsolo ferro, lambra strofinata attrae differenti oggetti purch leggeri.

Allinizio del 16 secolo si sapeva che oltre allambra ed al vetro altrimateriali manifestavano analoghi comportamenti. Nel 1600 William Gilbert,medico personale della regina Elisabetta I, nel suo libro De Magnetecompil una lista dei materiali allora noti che godevano di tale capacit eintrodusse laggettivo elettrico per indicare questa classe di fenomeni, dalnome greco dellambra, ;x in particolare Gilbert formul una

teoria che giustificava questo fenomeno, detto di elettrizzazione per strofinio,ipotizzando che per effetto del riscaldamento dei corpi a causa dellostrofinio, veniva emesso dal corpo un fluido che aveva la capacit di attrarregli oggetti leggeri posti nelle vicinanze. Per provare tale ipotesi Gilberteffettu molteplici esperimenti e verific tra laltro che la forza di attrazioneelettrica diminuisce col crescere della distanza; tale propriet fu giustificataaffermando che il fluido elettrico tendeva a disperdersi con la distanza e diconseguenza i suoi effetti si affievolivano allontanandosi dal corpo elettrizzato. Gilbert non cercazioni elettriche di tipo repulsivo e probabilmente per tale motivo non le trov e inoltre non osservneanche effetti attrattivi reciproci, cio egli assunse che i corpi elettrizzati erano in grado di attrarredegli oggetti ma tali oggetti non attraevano i corpi elettrizzati, ci derivava probabilmente dal fatto

che il principio di azione e reazione fu formulato da Newton circa 100 annidopo. Le teorie che ritenevano laria il vettore del fenomeno elettricofurono smentite intorno al 1675 quando Robert Boyle, utilizzando una

pompa a vuoto, prov che questi fenomeni persistevano allassenzadellaria; Boyle inoltre verific che lazione elettrica sui corpi erareciproca. Riprendendo gli esperimenti di Gilbert, nel 1629 il gesuitaferrarese Niccol Cabeo per primo osserv la presenza di effetti elettrici ditipo repulsivo.

Nel 1729 Stephen Gray, un pensionante di un istituto caritatevoleinglese scopr che il fenomeno dellattrazione elettrica di piccoli corpi

poteva manifestarsi allestremit di una corda inumidita lunga varie decine

di metri quando un corpo elettrizzato, come una bacchetta di vetrostrofinato, veniva posto a contatto con laltra estremit. Circa sessanta anni

prima il tedesco Otto von Guericke, borgomastro di Magdeburgo,

William Gilbert

Copertina della secondaedizione del De Magnete diW. Gilbert


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1-2 Il campo elettrostatico

utilizzando una rudimentale macchina elettrostatica da luisviluppata, aveva osservato che dei pezzi di spago collegatia questa macchina si elettrizzavano per tutta la lorolunghezza, tuttavia egli non dedusse come Gray la

propagazione del fenomeno elettrico lungo gli spaghi. Gray

inoltre scopr che se la corda era sostenuta con fili metallicigli effetti elettrici cessavano di essere trasmessi, mentre lostesso non accadeva se le sospensioni erano fatte concordicelle di seta, cos dedusse che mentre i fili metallicidisperdevano le propriet elettriche, lo stesso non accadeva

per i fili di seta. Questa capacit fu descritta da un suo collaboratore, Jean Thophile Desaguliersintroducendo la terminologia dei conduttorie degliisolanti.

Nella prima met del 18 secolo lo scienziato francese Charles Franois Cisternay Du Faystimolato dai lavori di Gray inizi una metodica attivit di ricerca intorno alla fenomenologiaelettrica e partendo da un riesame storico dellattivit svolta dai suoi predecessori formul un

preciso programma di ricerca. Attraverso tale studio Du Fay verific che tutti i materiali, eccetto i

metalli potevano essere elettrizzati per strofinio deducendo che lelettricit una propriet dellamateria; come altri prima di lui, Du Fay not che gli oggetti strofinati non sempre attraevano piccolicorpi ma, in certi casi li respingevano. A partire da tale constatazionerealizz un esperimento in cui una sottile asta di legno imperniata come unago magnetico aveva fissata ad una estremit un pezzo di materiale resinosoelettrizzato, avvicinando a questo un altro pezzo dello stesso materialeelettrizzato osservava che il primo veniva respinto mentre un pezzo di vetroelettrizzato lo attraeva. Da qui Du Fay dedusse che dovevano esistere duetipi di elettricit che denomin elettricit resinosa ed elettricit vitrea e

propose una teoria secondo la quale i corpi non elettrizzati hanno i due tipidi elettricit in uguale misura. Se due corpi posseggono lo stesso tipo dielettricit si respingono mentre se posseggono tipi diversi si attraggono.Infine verific che i metalli e gli oggetti bagnati sono buoni conduttori delfenomeno elettrico mentre i materiali che si elettrizzano facilmente, comelambra o il vetro, non lo sono.

Durante tutto il 18 secolo furono sviluppate molteplici macchine elettrostatiche e linteresseverso questi effetti si estese rapidamente anche alla gente comune, cos erano frequenti ledimostrazioni pubbliche di tali fenomeni. Al di la dello spettacolo, lattenzione degli scienziati erarivolta ai possibili impieghi di questi effetti e in questo periodo si ebbero i primi tentativi diapplicazione dellelettricit alla medicina. Probabilmente, nel tentativo di valutare gli effetti sullasalute dellacqua elettrizzata, il canonico Ewald Jurgen von Kleist, in Pomerania, nel 1745 inser un

chiodo nel collo di una bottiglia riempita con acqua e con esso tocc il conduttore di una macchinaelettrica in funzione. Poi, dopo aver interrotto il contatto sfior con laltra mano il chiodoavvertendo unintensa scossa. Nello stesso anno, indipendentemente, il ricercatore olandese Pieter

Van Musschenbroek a Leyda ripet il medesimo esperimento ea questo dispositivo in grado di immagazzinare il fenomenoelettrico fu dato il nome di bottiglia di Leyda. Tale dispositivofu successivamente migliorato disponendo dei fogli di materialeconduttore sia allinterno che allesterno della bottigliaottenendo limmagazzinamento dellelettricit anche per alcunigiorni.

Le pubbliche esibizioni del fenomeno elettrico attirarono

lattenzione di Benjamin Franklin nelle colonie dellAmericadel nord. Franklin ripet molti degli esperimenti ormai ben notiin Europa ma formul una teoria dei fenomeni elettrici dissimile

Esperimento di S. Gray sulla conduzione elettrica

Charles Franois CisternayDu Fay

Carica di una bottiglia di Leyda attraversouna rudimentale macchina elettrostatica.


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Il campo elettrostatico 1-3

da quella di Du Fay. Egli ipotizz che nello strofinio tra due corpi non vifosse creazione di elettricit ma ci che accadeva era che uno dei corpi

perdeva dellelettricit che laltro acquistava; pertanto secondo Franklinc un solo tipo di elettricit anzich due. Franklin inoltre constat chelelettricit si disponeva sui conduttori interno ed esterno della bottiglia di

Leyda in quantit uguali ma di segno opposto, ossia un conduttorepresenta un eccesso e laltro un difetto di elettricit. Attraverso taliesperimenti Franklin arriv alla conclusione che il fulmine aveva naturaelettrica e per provare tale ipotesi caric una bottiglia di Leyda utilizzandolelettricit immagazzinata nelle nubi duranteun temporale facendo uso di un aquilonetrattenuto da un filo metallico.

Nella seconda met del 18 secolo la fenomenologia relativaallelettrostatica poteva considerarsi nota; secondo Du Fay si ritenevache esistessero due tipi di cariche, una positiva e laltra negativaoppure, come sosteneva Franklin la carica era di un solo tipo e poteva

essere aggiunta o sottratta ad un corpo inizialmente neutro. Era nota laconservazione della carica, cio che la somma delle cariche positive enegative si mantiene costante. I materiali potevano essere distinti inconduttori, nei quali il fenomeno elettrico si spostava liberamente e inisolanti. Infine era noto che cariche dello stesso tipo si respingono ecariche di tipo diverso si attraggono e inoltre si sapeva che la forza diattrazione o di repulsione diminuisce di intensit con la distanza tra icorpi carichi.

Nel 1788 Charles Augustin Coulomb, un ingegnere francese, servendosidi una bilancia a torsione da lui realizzata circa nove anni prima, verificche la forza di attrazione o di repulsione tra due corpi carichi puntiformidipende dallinverso del quadrato della distanza tra i corpi. La bilancia ditorsione costituita da una leggera sbarretta isolante alle cui estremit sonocollocate due uguali sferette metalliche; questa sbarretta sospesa tramiteun lungo filo sottile e, in assenza di forze, la sbarretta si dispone in unacerta posizione di equilibrio. Se una delle due sferette viene caricata edavvicinata ad unaltra pure carica, la forza elettrica agente sulla sferettamobile determiner la rotazione della sbarretta fino a quando la torsione delfilo equilibrer la forza agente. Siccome il filo sottile, lazione di unadebole forza sulla sferetta mobile in grado di determinare una notevole

deviazione della sbarretta rispetto alla posizione di equilibrio originaria e langolo di rotazione

risulter proporzionale a tale forza. Utilizzando diverse quantit di carica evariando la distanza tra le sferette Coulomb verific la legge ora nota colsuo nome.

A partire dalla formulazione della legge di Coulomb la fenomenologiaelettrica nota divenne classificabile attraverso uno schema teorico dicarattere generale e contemporaneamente si aprirono nuove direttrici diindagine guidate da tale schema.

Con la scoperta dellelettrone attraverso la determinazione del rapportotra la sua carica e la sua massa da parte di Joseph John Thomson nel 1887 elidentificazione dellatomo come componente fondamentale della materiafu possibile fornire una spiegazione della fenomenologia dellelettrizzazione

per strofinio. In corrispondenza dello strofinio della bacchetta con un pannodi lana alcuni elettroni della bacchetta sono strappati dallazione abrasiva evengono trasferiti al panno. Pertanto la bacchetta acquisisce una carica netta

Bilancia a torsione per laverifica della legge diColoumb

Benjamin Franklin

Riproduzione dellesperimento diB. Franklin per lo studio del-lelettricit atmosferica

Charles Augustin Coulomb


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diversa da zero. Nel 1909 il fisico americano Robert Millikan verific sperimentalmente che lacarica elettrica si presenta sempre in multipli interi di ununit fondamentale di carica e, ovvero lacarica che si osserva risulta quantizzata esistendo sempre in quantit discrete. Pertanto la carica qdiun corpo si pu sempre esprimere come Ne , dove N un numero intero. In particolare unelettrone ha carica e mentre un protone ha carica e ; un atomo neutro contiene lo stesso numero

di elettroni e di protoni.Alla luce di queste considerazioni possiamo riassumere brevemente le propriet delle cariche

elettriche stazionarie:

1. Ci sono due tipi di cariche elettriche, con la caratteristica che cariche diverse si attraggonomentre cariche uguali si respingono.

2. La carica si conserva.3. La carica quantizzata.4. La forza tra cariche puntiformi inversamente proporzionale al quadrato della mutua distanza.

Il motivo per il quale originariamente si riteneva che i corpi metallici non potessero esserecaricati, ad esempio per strofinio, era dovuto al fatto che in tali materiali la carica si distribuiscerapidamente in tutto il corpo; pertanto la carica che si determina sul corpo fluisce rapidamente versola terra attraverso la mano delloperatore. Solo nel 1778 il fisico olandese Jhon Ingenhousz mostrche interponendo un apposito sostegno isolante tra il metallo e la mano veniva impedito questoflusso consentendo la conservazione della carica sul corpo metallico. Cos vetro e resina sono dettiisolanti: In tali materiali la carica viene a localizzarsi in una regione del corpo e non si sposta;viceversa, i metalli sono conduttori: la carica tende a ridistribuirsi rapidamente nel corpo.Collegando attraverso un filo conduttore un materiale conduttore a terra (messa a terra) si agevolail flusso delle cariche verso tale corpo che agisce, quindi, come una sorta di serbatoio infinito dicarica.

Un procedimento alternativo allelettrizzazione per strofinio, correttamente interpretato da FranzUlrich Theodor Aepinus nel 1759, prende il nome di elettrizzazione per induzione. Avvicinando uncorpo carico, ad esempio negativamente, ad una sfera conduttrice isolata neutra, la regione dellasfera pi prossima al corpo carico si carica di segno opposto mentre quella pi lontana si caricadello stesso segno (di fatto gli elettroni della sfera neutra si spostano lasciando scoperta della carica

positiva). Se la sfera, anzich essere isolata connessa a massa, alcuni elettroni fluiscono versomassa, per cui, interrompendo la connessione la sfera resta carica positivamente. Allontanandosuccessivamente il corpo carico, la carica della sfera si distribuisce uniformemente per effetto dellamutua repulsione delle cariche uguali.

Infine un isolante pu caricarsi per polarizzazione. Nelle molecole neutre i baricentri delle

cariche positive e negative in genere coincidono; tuttavia in presenza di un corpo carico i baricentrisi spostano caricando in modo non uniforme la molecola. Ci determina la formazione di una caricaindotta sulla superficie dellisolante. Una descrizione efficace di tale fenomeno fu proposta nel 1837dal fisico inglese Michel Faraday.


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1.2 La legge di CoulombLa legge che esprime lintensit della forza elettrica che si esercita fra due particelle puntiformi

cariche, rispettivamente di carica 1q e 2q , a riposo, poste alla mutua distanza r data dalla

relazione:

1 2

2

q qF k

r ,

tale formula esprime la legge di Coulomb. La limitazione di tale legge alle sole cariche puntiformifu mostrata circa sessanta anni dopo la sua formulazione, da William Thomson. Lunit di misuradella carica il coulomb(C); per motivi di carattere pratico tale unit definita come la carica chescorre in un secondoattraverso un conduttore percorso dalla corrente di un ampere(1 1 1C A s ).

La costante kche compare nellespressione della legge di Coulomb vale:

29

28.98 10

N mk

C

e, per definizione risulta:

0

1

4k

,

dove 0 prende il nome di costante dielettrica del vuotoed pari a:

212

0 28.85 10

C

N m

.

La carica libera pi piccola quella dellelettrone e risulta:

191.60 10e C

cos 1C la carica di circa 186.2 10 elettroni.

Esempio:Negli esperimenti didattici di elettrostatica le cariche coinvolte risultano essere solitamente molto minori di

1 C, ad esempio dellordine di 1 C, che corrisponde alla carica di circa 96.2 10 elettroni. Ad esempio, se questa

carica viene fornita ad un corpo di rame, siccome in 1 3cm di rame ci sono circa 2310 elettroni, la carica di 1 C

determinata dalla variazione di un elettrone ogni 16 000 miliardi circa. Nondimeno, dalla legge di Coloumb segue chedue corpi che posseggono tale carica interagiscono con una forza di circa 90Nquando sono posti alla distanza di 1 cm.

Vettorialmente, se rrappresenta il versore diretto da 1q a 2q , allora la forza

elettrica esercitata su 2q per effetto di 1q (si veda la figura):

1 221 2

0

1

4

q qF r

r

, (1.1)


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inoltre dalla terza legge di Newton segue che la forza agente su 1q per

effetto di 2q :

1 2 1 212 212 20 0

1 1 4 4

q q q qF r r F r r

,

essendo r r (si veda la figura). Se ci sono pi cariche, la forza tra unacoppie di cariche pu essere ricavata dalla legge di Coulomb e la risultante quindi la somma vettoriale delle forze dovute alle singole cariche; cio leforze elettriche obbediscono alprincipio di sovrapposizione.

1.3 Il campo elettricoLespressione (1.1), analogamente a quella della forza gravitazionale che descrive linterazione

tra due masse puntiformi, sottintende che lazione che si esercita tra due corpi carichi si manifestadirettamente e istantaneamente senza alcun meccanismo di mediazione (azione a distanza). Nel1846 Faraday, riprendendo le idee del gesuita slavo Rudjer Boscovich, ipotizz che le caricheriempissero lo spazio circostante con unentit alla quale attribu il nome di campo. Pertanto in unsistema di cariche elettriche, una carica contribuisce al campo in tutto lo spazio e, allo stesso tempo, sensibile al campo risultante di tutte le altre cariche.

Si definisce vettore campo elettricoE

il rapporto tra la forza F

che agisce su una carica di

prova positiva 0q ed il valore di tale carica:

0

FE

q

, (1.2)

questa grandezza si misura in CN . La carica di prova 0q deve essere sufficientemente piccola da

non perturbare la distribuzione di carica che genera il campo; cos, a rigore, E

va definito come:

0 00

limq

FE

q

,

sebbene il limite 0 0q risulti fisicamente privo di senso poich la carica pi piccola ottenibile

quella dellelettrone. Assegnata una carica puntiforme qposta a distanza rdalla carica di prova 0q ,

dalla (1.1) si ha:

0

2

0

1

4

qqF r

r

,

cos dalla relazione (1.2) segue che il campo elettrico prodotto dalla carica puntiforme q dato da:

2

0 0

1 4

F qE rq r

,


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(si veda la figura in cui mostrato il vettore campo elettrico prodotto incorrispondenza di una carica di prova da una carica puntiforme positiva, in alto,e negativa, in basso).

Come conseguenza del principio di sovrapposizione, se 1E

, 2E

, ..., NE

sono i

campi prodotti da N cariche in un certo punto dello spazio, allora il campocomplessivo punto vale:

1 2 NE E E E

.

In particolare, per un sistema di N cariche puntiformi 1q , 2q , ..., Nq , poste

rispettivamente alle distanze 1r, 2r , ..., Nr dal punto in cui stata posta la carica

di prova, si ha:

210

1

4

Ni

i

i i

qE r

r

1.4 Distribuzioni continue di caricaQualora la separazione fra le singole cariche di un certo insieme molto

piccola rispetto alla distanza dal punto in cui si vuole calcolare il campoelettrico, possibile considerare tale insieme come una distribuzionecontinua di carica. Consideriamo pertanto una certa distribuzione di caricae valutiamo il campo elettrico in un punto P. Il contributo al campo di un

elemento q di carica :

2

0

1

4

qE r

r

,

dove r la distanza dellelemento q da P. In virt del principio di sovrapposizione, il campo

totale prodotto dallintera distribuzione di carica approssimativamente dato da:

2

0

1

4i

i

i i

qE r

r

doveiq rappresenta l esimoi elemento di carica che costituisce la distribuzione. Se la

separazione fra tali elementi piccola rispetto alla distanza dal punto P, la distribuzione pu

ritenersi continua, cos, nel limite 0iq si ha:

2 200 0

1 1 lim

4 4ii

iq

i i Q

q dqE r r

r r

,

dove lintegrazione estesa a tutta la carica Qche costituisce la distribuzione. Allo scopo di poter

eseguire tale integrale si rende opportuno introdurre il concetto di densit di carica. In particolare,se la carica distribuita in un volume si definisce:


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dq

dV ,

che prende il nome di densit di carica volumetricae si misura in 3C m ; se distribuita su di una

superficie:

dq

dS ,

che prende il nome di densit di carica superficiale e si misura in 2C m ; infine, se la carica

distribuita lungo una linea si definisce:

dq

dl ,

che prende il nome di densit di carica lineare e si misura in C m . Qualora una carica Q

uniformemente distribuita in un volume Vo su di una superficie So lungo una linea l, allora si ha,

rispettivamente, Q V o Q S o Q l .

Esempio: (Campo elettrico prodotto da una bacchetta carica).Consideriamo una bacchetta di lunghezza l lungo la quale

uniformemente distribuita una carica Q con densit . Stabiliamolintensit del campo elettrico in un punto situato lungo lasse dellabarretta, ad una distanza dda un estremo. Consideriamo unascissa conorigine nel punto Oin cui si vuole determinare il campo. Allelemento infinitesimo dx della sbarretta, posto a distanza

xdallorigine, corrisponde una carica (si veda la figura):

dq dx

cos il campo elettrico nel punto Odovuto a tale elemento vale:

2 20 0

1 1 ,

4 4

dq dxdE x x

x x

essendo dE

orientato nella direzione opposta dellassex. Integrando questa espressione tra de d l si ha:

2

0 0 0 0

1 1 1

4 4 4 4

d ld l

dd

dx lE x x x x

x x d d l d d l

,

e, in modulo:

0 0

1

4 4

l QE

d d l d d l

,

poich, essendo la caricaQuniformemente distribuita lungo la bacchetta, di ha l Q . Si osservi che, a grande distanza

dalla bacchetta, ovvero per d l , risulta:

2

0

1

4

QE

d ,

cio, a grande distanza la bacchetta assimilabile ad una carica puntiforme.


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Esempio: (Campo elettrico prodotto da un anello carico). Consideriamolanello di figura, di raggioRlungo il quale uniformemente distribuita la caricaQ. Ci proponiamo di stabilire lintensit del campo elettrico su un punto situatosullasse dellanello. Consideriamo unascissa x coincidente con lasse e conorigine Onellintersezione tra lasse e il piano dellanello. Se il punto P situatoa distanzaxdallorigine, il campo elettrico dovuto ad un elemento di carica dq

sullanello risulta:

2

0

1

4

dqdE

r

dove r la distanza della carica infinitesima dq dal punto P. Il vettore dE

pu essere decomposto in una componente

diretta lungo lasse ed una perpendicolare a questo, cos, poich per ogni elemento dq c ne un altro 'dq che genera

un campo 'dE

la cui componente normale allasse opposta a quella di dE

, allora il campo in P dovuto alla sola

componente di dE

diretta lungo lasse. Siccome:

1 2

2 2 ,r x R

cos ,x

r

si ha:

1 22 2 2 20

3 22 2

0

1cos

4

1;

4

x

xdqdE dE

x R x R

xdq

x R

integrando infine su qsi ha:

3 2 3 2

2 2 2 20 0

1.

4 4x

Q

x xQE dq

x R x R

In figura mostrato landamento del campo elettrico lungo lasse x.

Esempio: (Campo elettrico prodotto da un disco carico). Consideriamo undisco di raggio Rsul quale risulta uniformemente distribuita una carica Q con

densit superficiale . Stabiliamo il campo elettrico in corrispondenza di unpunto posto sullasse. Consideriamo lascissa indicata in figura, con originenellintersezione tra il disco e lasse, e sia x la coordinata del punto P.Consideriamo inoltre un anello di raggio r( r R ) e spessore dr; poich lareadi questo anello 2 r dr , la carica dq che contenuta in esso vale:

2dq r dr .

Dal risultato dellesempio precedente segue che il campo prodotto da tale distribuzione :

3 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 20 0 0

1 12 .

4 4 2

x x x rdE dq r dr dr

x r x r x r

Per ottenere il campo in Pintegriamo da 0 aR:

3 2

2 20 0

,2

Rx rE dr

x r


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ponendo 2 2x r si ha 2r dr d cos, sostituendo segue:

2 22 2

2 2

1 23 2

0 0

1 22 2

0

1 1

2 2 2 2 1 2

1 ,2

x Rx R

x x

x xE d

x

x R

(si veda la figura). Si noti che, nellespressione precedente, facendo tendere 0x o R si ottiene:

0

,2

E

tale relazione rappresenta il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica piana di estensione infinita.

1.5 Linee di forza del campo elettricoAllo scopo di permettere una immediata visualizzazione della

distribuzione spaziale del campo elettrico Faraday introdusse il concetto dilinee di forza. Le propriet delle linee di forza sono:

1. Il vettore campo elettrico tangente alle linee di forza in ogni punto.2. Il numero di linee di forza per unit di area che attraversano una

superficie ad esse perpendicolare proporzionale allintensit del campo elettrico in

corrispondenza della superficie.

Nellesempio di figura, siccome la densit delle linee che attraversano la superficie (matematica)A superiore a quella delle linee che attraversano la superficie (matematica)B, il campo elettrico inA maggiore del campo inB. Le regole per disegnare le linee di forza per una distribuzione di caricasono:

1. Le linee di forza devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle cariche negative oallinfinito qualora il sistema abbia un eccesso di carica.

2. Il numero di linee di forza che entrano o escono da una carica proporzionale alla carica.3. Due linee di forza non si possono incrociare.

Per verificare che quanto sopra in accordo con la legge di Coulomb,consideriamo una sfera di raggio rconcentrica con una carica q (si veda lafigura). Per simmetria il campo elettrico avr la stessa intensit su tutti i puntidella sfera. Il numero Ndi linee che escono dalla carica pari a quello dellelinee che entrano nella superficie sferica, cos, poich la superficie della sfera

in questione 24 r e lintensit del campo elettrico proporzionale alnumero di linee per unit di superficie, sar:

24

NE

r


19/267


inoltre, siccome il numero di linee proporzionale alla carica (N q ),

allora, in accordo alla legge di Coulomb:

24

qE

r .

Poich la carica quantizzata, il numero di linee di forza che esconoda un qualsiasi oggetto materiale deve essere 0, ke , 2ke , , dove k una costante di proporzionalit arbitraria. Fissata k, il numero di

linee di forza non arbitrario. Se, ad esempio, un oggetto ha carica 1Q

ed un altro ha carica 2Q , allora il rapporto 1 2N N tra i numeri delle

corrispondenti linee di forza sar pari al rapporto delle cariche 1 2Q Q .

Il metodo di rappresentazione del campo elettrico attraverso le linee di forzapresenta tuttavia alcune limitazioni. Innanzitutto la sua efficacia circoscritta

alla descrizione di campi statici essendopiuttosto complessa la rappresentazione deicampi generati da cariche in movimento;inoltre con questo metodo impossibileapplicare il principio di sovrapposizione. Sifaccia riferimento infatti alla configurazione di linee di forzaoriginate da una singola carica (si veda la figura); in principio ilcampo prodotto da due cariche uguali ma di segno opposto sidovrebbe ottenere affiancando due configurazioni di linee diuna singola carica e invertendo la direzione delle frecce per unadelle due cariche. Tuttavia tale metodo determinerebbe delle

linee che si incrociano a cui corrisponderebbero due direzionidel campo elettrico nello stessopunto. La rappresentazione dellelinee di forza per tale sistema dicariche comunque possibile marichiede un preventivo calcolomatematico (si veda la figura).

1.6 Flusso di un vettoreConsideriamo un campo vettoriale v

e supponiamo che le linee di forza

corrispondenti siano tutte parallele tra loro. Consideriamo una superficie diarea S disposta perpendicolarmente alle linee di forza (si veda la figura).Poich il numero di linee di forza per unit di area di un vettore

proporzionale al modulo del vettore, una misura del numero di linee di forzapassanti attraverso la superficie proporzionale al prodotto v S . Questa

grandezza prende il nome diflusso del vettore v

attraverso la superficie S:

v S .

Qualora la superficie forma un angolo con le linee di forza di v

risulter:

Rappresentazione delle linee di forza delcampo elettrico prodotto da due carichepuntiformi di segno uguale (in alto) e opposto(in basso).

Rappresentazione delle linee diforza del campo elettrico prodottoda una carica puntiforme.


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cosv S ,

essendo il numero di linee che attraversa S pari al numero di linee cheattraversa larea proiettata 'S , perpendicolare al campo (si veda la figura).

Se si introduce un versore normale n alla superficie S, come mostrato in

figura, si pu definire il flussocome:

v nS

,

ovvero, definendo un vettore S nS

si ha:

v S

.

Nel caso generale il vettore v

pu variare in corrispondenza deipunti della superficie S attraverso la quale si vuole calcolare il

flusso; cos per poter applicare la precedente definizione occorresuddividere tale superficie in elementi infinitesimi ds in

corrispondenza dei quali la variazione del vettore v

pu essere

considerata trascurabile, allora il flusso elementare di v

attraverso

ds sar:

d v n ds v ds

,

dove si posto ds n ds

(si veda la figura). Pertanto la misura del numero di linee di forza del

campo v

che attraversano tale superficie :

S

v ds

.

Poich la superficie pu anche essere chiusa (si veda la figura),occorre stabilire una convenzione circa il verso di n . In questo

contesto tale versore scelto uscente dalle superfici chiuse. Conquesta convenzione il prodotto v n

sar positivo laddove il campo

uscente dalla superficie considerata e sar negativo dove ilcampo entrante.

1.7 La legge di GaussConsideriamo una carica puntiforme qposta al centro di una sfera di raggio

r. Sulla superficie Sdella sfera risulta:

2

0

1

4

qE n

r

dove n il versore normale uscente dal generico punto posto sulla superficie. Il flusso elementare

attraverso un elemento di superficie ds vale (si veda la figura):


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2 2

0 0

1 1

4 4

q qd E ds n n ds ds

r r

,

cos, il flusso attraverso lintera superficie Svale:

2

2 2 2

0 0 0

1 1 14

4 4 4S S S

q q qE ds ds ds r

r r r

,

essendo pari a 24 r la superficie della sfera, cos:

0

q

.

Quindi il flusso del campo elettrico attraverso la superficie della sfera

proporzionale alla carica interna alla superficie. Il risultato appenaconseguito, che sar esteso nel seguito ad una qualsiasi superficiechiusa contenente la carica, risulta consistente con la definizione diflusso e con le caratteristiche delle linee di forza; infatti il flussoattraverso una superficie proporzionale al numero di linee di forzache attraversano tale superficie, daltra parte tale numero

proporzionale alla carica che le origina, cos il flusso risultaproporzionale alla carica. Dalla costruzione di figura evidente che il

numero di linee di forza che attraversano le superfici non sferiche 2S

e 3S pari al numero di linee di forza che attraversano 1S , cos il flusso totale attraverso qualsiasi

superficie chiusa indipendente dalla forma della superficie stessa. Se la carica esterna allasuperficie chiusa (si veda la figura) il numero di linee di forza entranti pari a quello delle lineeuscenti, cos il flusso totale del campo elettrico che attraversa una superficie chiusa che noncontiene alcuna carica nullo. In formule si ha:

0

,

0 .S

qse q interna a S

E ds

se q esterna a S

Questo risultato fu dimostrato dal fisico tedesco Karl Friedirch Gauss

nel 1835 nellambito di uno studio di carattere generale relativo alleforze agenti in modo inversamente proporzionale al quadrato delladistanza; per tale motivo prende il nome di legge di Gauss. Di seguitone data una dimostrazione analitica.

Consideriamo una superficie Scontenente la carica q. Sia 'S una superficie sferica concentrica

alla carica e contenuta in S(si veda la figura); dal risultato conseguito nel paragrafo precedente,

il flusso attraverso 'S vale:

'

0' '

S

S S

qE ds E ds

,

dove E il campo elettrico sulla superficie S . In particolare se r il raggio della sfera disuperficie S , si ha:

Karl Friedirch Gauss


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2

0

1

4

qE

r

(1.3)

mentre, in un punto a distanza rsulla superficie Srisulta:

2

0

1

4

q

E r , (1.4)

cos, dividendo membro a membro le equazioni (1.3) e (1.4) si ottiene:

2

.E r

E r

(1.5)

Con riferimento al cono di figura risulta che larea A della base e larea 'A di una sezione del cono perpendicolareallasse possono essere espresse in funzione dei corrispondenti raggi delle base e della sezione come:

2

2

,

,

A l

A l

pertanto il rapporto tra le aree A eAvale:

2

;A l

A l

daltra parte, valendo la relazione di proporzionalit l l r r si pu scrivere:

2

.A r

A r

(1.6)

Applicando tale relazione alle superfici infinitesime ds

e ds

appartenenti rispettivamente alle superfici S e S dellafigura precedente si ha:

2

cosr

ds dsr

cos, il flusso del campo elettrico E

attraverso la superficie Svale:

2 2

0'

cos ,SS S S S

r r qE ds E ds E ds E ds

r r

dove si fatto uso della (1.5) per mettere in relazione il campo E

col campo E

. Se la carica situata allesterno della superficie considerata, con riferimento alla figura risulta:

2

cos cos ;r

ds dsr

facendo uso di tale formula ed esprimendo il flusso infinitesimo del campo elettrico attraverso Scome la somma deiflussi infinitesimi attraverso la superfici contrapposte ds

e ds

, si ha:

2 2

cos cos cos cos 0 ,S

r rd E ds E ds E ds Eds E ds Eds

r r

e siccome questo risultato vale per ogni coppia di elementi ds

e ds

, risulter:


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0.S

Questa dimostrazione mette in luce un importante collegamento tra la legge di Gauss e la leggedi Coulomb. Infatti la dimostrazione basata sul fatto che il rapporto tra i campi elettrici prodotti dauna carica puntiforme in corrispondenza di due superfici sferiche concentriche alla carica e di raggi

r e r (1.5) uguale allinverso del rapporto tra le aree delle due superfici (1.6). Concludiamoquindi che la legge di Gauss conseguenza della proporzionalit con linverso del quadrato delladistanza espressa dalla legge di Coulomb. Supponiamo che internamente alla superficie chiusa

considerata S vi siano N cariche 1 2, , , Nq q q , allora se 1 2, , , NE E E

rappresentano i campi

prodotti da ciascuna di esse prese singolarmente (si veda la figura), si ha:

11

0

22

0

0

,

,

,

S

S

NN

S

qE ds

qE ds

qE ds

cos, sommando membro a membro, per il principio di sovrapposizione, se:

1 2 NE E E E

,

1 2int N q q q q ,

segue:

0

int

S

qE ds

.

Cio il flusso del campo elettrico totale attraverso una qualunque superficie chiusa uguale alla

carica totale contenuta allinterno della superficie, divisa per 0 .

Esempio: (Campo elettrico prodotto da una sfera carica). Consideriamo una sfera isolante di

raggioRcaratterizzata da una distribuzione di carica uniforme di densit. Calcoliamo il campoelettrico in ogni punto dello spazio. Consideriamo una superficie sferica di raggio rconcentrica

con la sfera data e valutiamo il campo per r R e per r R . Se r R , (si veda la figura in alto)dallapplicazione della legge di Gauss segue:

0

,S

qE E ds

dove 24S r la superficie della sfera di raggio re q la carica contenuta nella sfera isolante.Da tale relazione si ricava:

2

0

4 ,

S S

qE ds E ds E r

cio:


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2

0

1.

4

qE

r (1.7)

Quindi allesterno della sfera il campo lo stesso che si avrebbe qualora la sfera fosse sostituita da una caricapuntiforme di uguale valore posta al centro della sfera. Inoltre, siccome r uniformemente distribuita nel volume Vdella sfera, si ha:

34 ,3

V V

q dv dv R

e quindi:

3

2

0

.3

RE

r

Se r R , (si veda la figura, in basso) dallapplicazione della legge di Gauss segue:

20

'4 ,S

qE E ds E r

dove 'q rappresenta la carica contenuta allinterno del volume 'V delimitato

dalla superficie Sdi raggio r :

3

' '

4' ,

3V V

q dv dv r

quindi, sostituendo si ha:

0

,3

E r

in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di r.

Esempio: (Distribuzione di carica a simmetria cilindrica). Consideriamo un filo di lunghezza

infinita lungo il quale uniformemente distribuita una carica con densit lineare . Stabiliamo ilvalore del campo elettrico in tutto lo spazio. La simmetria della distribuzione di carica suggerisceche il campo elettrico deve essere perpendicolare al filo carico e uscente. Consideriamo unasuperficie cilindrica S di raggio re lunghezza lcoassiale col filo (nella figura, in alto; in basso lasuperficie mostrata in sezione); il flusso attraverso le superfici di base nullo essendo il campoelettrico parallelo a tali superfici, quindi:

2 .S S

E E ds E ds rl E

Daltra parte per la legge di Gauss risulta:

0 0

2 ,q l

E rl E

pertanto:

0

1.

2E

r

(1.8)

Si osservi che se il filo non infinito viene a cadere la simmetria diventa inutile lapplicazione della legge di Gaussper la determinazione del campo elettrico; tuttavia questo risultato resta valido per un filo di lunghezza finita L nellimite r L per punti sufficientemente distanti dalle estremit del filo.


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Esempio: (Campo prodotto da un guscio sferico). Consideriamo un guscio sferico di

materiale isolante di raggio Rsul quale uniformemente distribuita una carica con densit .Con riferimento ad una superficie sferica S di raggiorconcentrica al guscio (si veda la figura),possiamo affermare che per r R il campo elettrico nullo poich non presente caricaallinterno del guscio. Per r R , se q la carica distribuita sul guscio, si ha:

24 ,q R

e quindi, poich:

20

4 ,S

qE E ds E r

segue:

2

2 2

0 0

1.4

q RE r r

(1.9)

in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di r1.

Esempio: (Piano infinito uniformemente carico). Consideriamo un piano isolante indefinito

sul quale uniformemente distribuita una carica positiva con densit superficiale .Stabiliamo il valore del campo elettrico in ogni punto dello spazio. Per simmetria il campoelettrico su entrambe la superfici del piano sar normale ed opposto in verso (si veda lafigura). Consideriamo una superficie cilindrica Scon asse perpendicolare al piano e superfici

di base di areaAequidistanti dal piano come mostrato in figura. Il flusso del campo elettricoattraverso ciascuna base EA , cos il flusso totale attraverso la superficie Svale:

2 ;E EA

daltra parte la carica q interna a questa superficie pari a quella distribuitasullintersezione tra il volume definito dal cilindro di superficie S ed il piano carico:

,q A

cos, essendo 0E q

, segue:

0

.2

E

Questo risultato, per altro gi ottenuto attraverso un approccio diverso in un precedenteesempio, pu essere applicato ad una importante configurazione di carica rappresentata dauna coppia di piani infiniti e paralleli uniformemente carichi e recanti su di essi cariche disegno opposto. Con riferimento alla figura si osserva che allesterno della regionecompresa tra i due piani, i campi prodotti da ciascun piano sono uguali ma hanno verso

1 Losservazione secondo cui una sfera piena ed una vuota ugualmente elettrizzate esercitano la stessa forza diattrazione su corpi carichi fu fatta nel 1773 da Giambattista Beccaria. Nel 1755 Franklin verificava che un corpo cariconon risentiva di forze di natura elettrica quando veniva posto allinterno di una sfera cava elettrizzata. Circa settantaanni prima, Newton aveva dimostrato che la forza gravitazionale tra un corpo cavo ed un oggetto situato al suo interno nulla. Da tale propriet Joseph Priestley nel 1766, senza fornire alcuna dimostrazione, ipotizz che le azioni elettriche siesercitassero nella stessa maniera di quelle gravitazionali, secondo la legge dellinverso del quadrato della distanza,anticipando di quasi ventanni il risultato ottenuto sperimentalmente da Coulomb.


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opposto; allinterno i campo hanno lo stesso segno e si sommano. Pertanto:

0

0 ,

.

ext

int

E

E

Questa configurazione elettrostatica consente quindi di confinare un campouniforme in una regione limitata dello spazio.

1.8 Formulazione puntuale della legge di GaussSupponiamo che allinterno del volume Vracchiuso da una superficie Svi sia una distribuzione

continua di carica con densit , ,x y z (si veda la figura). Allora la carica totale contenutaallinterno del volume Vvale:

V

q dv ;

sostituendo qnellespressione della legge di Gauss si trova:

0 0

1

S V

qE ds dv

.

Questa espressione mette in relazione il campo elettrico, definito su una superficie, con la densit dicarica, definita in un volume. Sebbene risulti utile in numerose circostanze, tale formulazione dellalegge di Gauss, detta integrale, presenta lo svantaggio di non poter fornire, in generale, indicazionidi carattere puntuale circa le grandezze coinvolte.

Applicando il teorema della divergenza (si veda lAppendice) al primo membro dellespressioneprecedente, si trova:

0

1

S V V

E ds E dv dv

,

ovvero:

0

10

V

E dv

;

dovendo valere questa relazione per ogni dominio di integrazione V, deve essere:

0

1

E

.

Rappresentazione delle linee di forza delcampo elettrico prodotto da due pianiuniformemente carichi.


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Laddove nullo, 0E

ed il campo elettrico E

detto ivi, solenoidale. In sostanza

lequazione precedente stabilisce quali sono i punti dello spazio dove E

o meno solenoidale e, diconseguenza, stabilisce lassenza o meno di sorgenti del campo elettrico in quei punti. Pertanto se,

ad esempio, osserviamo delle linee di forza di E

che

originano da un punto, che funge quindi da sorgente delcampo (si veda la figura a destra), possiamo dedurre che

esiste un punto in cui risulta 0E

. Viceversa, se le lineedi forza del campo non originano da alcun punto (si veda lafigura a sinistra), concludiamo che il campo solenoidale.

1.9 Conduttori in equilibrio elettrostaticoDal punto di vista microscopico, un buon conduttore elettrico pu essere generalmente

rappresentato come un reticolo atomico immerso in un gas di elettroni liberi di muoversi allinterno

del materiale. In assenza di un moto netto degli elettroni in una particolare direzione, il conduttore detto in equilibrio elettrostatico. In tale circostanza valgono le seguenti propriet:

1. Il campo elettrico allinterno del conduttore ovunque nullo;2. Un qualunque eccesso di carica su conduttore deve localizzarsi superficialmente.3. Allesterno del conduttore, in prossimit della superficie, il campo elettrico perpendicolare alla

superficie ed ha intensit pari a 0 , dove la densit superficiale di carica.

4. Su un conduttore di forma irregolare la carica tende ad accumularsi laddove la curvatura dellasuperficie maggiore, ovvero sulle punte.

La prima propriet conseguenza del fatto che qualora il campo non fossenullo si determinerebbe il moto degli elettroni liberi e non ci sarebbe equilibrio.Inoltre, se viene applicato un campo elettrico esterno, gli elettroni liberi sispostano causando degli accumuli di carica in corrispondenza delle superficidel conduttore (si veda la figura). Tali accumuli creano un campo elettricoopposto al campo esterno; la densit superficiale di carica cresce fino a chelintensit di questo campo non uguaglia quella del campo esterno, annullandoquindi il campo allinterno del conduttore; per un buon conduttore i tempi tipici

per conseguire questa condizione di equilibrio sono dellordine di 1610 s .

Consideriamo un conduttore carico in equilibrio elettrostatico; allinterno delconduttore consideriamo una superficie chiusa S prossima quanto si vuole allasuperficie del conduttore (si veda la figura). Poich allinterno del conduttore il campoelettrico nullo, dalla legge di Gauss segue che allinterno della superficie S, e quindidel conduttore, la carica netta nulla. Pertanto se il conduttore carico, tale carica devesituarsi sulla superficie. Questa propriet fu osservata nel 1769 da Beccaria esuccessivamente dimostrata da Coulomb.

Consideriamo un conduttore carico allequilibrio e facciamo riferimento ad una superficie S aforma di cilindro con le superfici di base A sufficientemente

piccole da potersi ritenere localmente parallele alla superficie delconduttore e con parte del cilindro contenuta nel conduttore.

Attraverso la parte interna il flusso del campo elettrico nulloessendo nullo il campo elettrico internamente al conduttore.Inoltre il campo normale alla superficie perch qualora vi fosseuna componente tangenziale determinerebbe un moto delle cariche


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e quindi una condizione di non equilibrio. Perci nullo il flusso anche attraverso la superficielaterale del cilindro. Cos il flusso attraverso la superficie del cilindro vale E A , dove il campo

elettrico E

diretto lungo la normale n alla superficie del conduttore. Applicando la legge diGauss alla superficie del cilindro si ha quindi:

0 0S

q AE ds E S

,

dove la densit locale di carica superficiale. Siccome E

diretto lungo n ,segue:

0

E n

; (1.10)

Coulomb per primo, nel 1788 verific che la forza elettrica inpunto prossimo ad un piano carico proporzionale alla densitsuperficiale nelle vicinanze del punto e pertanto tale risultato

prende il nome di Teorema di Coulomb. Questo teorema furigorosamente dimostrato nel 1811 da Simon-Denis Poisson eda Pierre-Simon de Laplace. Nel 1813 Laplace prov anche ilcarattere vettoriale dellespressione precedente, mostrando chela forza elettrica in prossimit della superficie del conduttore diretta perpendicolarmente alla superficie stessa.

Lultima propriet elencata dei conduttori in equilibrio sarprovata nel seguito.

1.10 Differenza di potenziale e potenziale elettricoLe forze di tipo centrali, che dipendono funzionalmente dalla sola distanza da un centro, sono

conservative; poich la forza espressa dalla legge di Coulomb appartiene a questa categoria, allorala forza elettrostatica conservativa e di conseguenza il campo elettrostatico detto conservativo.

Se una carica 0q immersa in un campo elettrico E , la forza F cui soggetta vale 0q E

; tale forza

conservativa essendo la somma di tutte le forze conservative agenti tra 0q e le cariche che

determinano il campo E

. Il lavoro fatto da questa forza per uno spostamento infinitesimo dl

dellacarica vale:

0dL F dl q E dl

;

in corrispondenza di tale lavoro lenergia potenzialeeU del sistema costituito dalle cariche che

determinano il campo E

e dalla carica qsubisce una diminuzione pari a dL :

0edU dL q E dl

;

Rappresentazione delle linee di forza delcampo elettrico prodotto da due conduttoricarichi; si osservi come, in accordo colTeorema di Coulomb, in prossimit dellasuperficie dei conduttori le linee di forza sidispongono perpendicolarmente alle superfici

dei conduttori stessi.


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in relazione ad uno spostamento finito di 0q dal punto A al punto B, la variazione di energia

potenziale data da:

0 0B B

e eB eA

A A

U U U q E dl q E dl

,

dove lintegrale non dipende dal cammino scelto essendo il campo E

conservativo. La differenza di

potenziale B AV V tra i puntiBeA definita come la variazione dellenergia potenziale per unit di

carica, ovvero:

0

B

B AB A

A

U UV V V E dl

q

; (1.11)

si noti che, analogamente allenergia potenziale, tale definizione relativa soltanto a differenze dipotenziale. Spesso si usa assumere che la funzione potenziale sia nulla in un punto particolare, adesempio allinfinito; allora, ponendo:

0V ,

il potenziale in corrispondenza di un generico punto Pvale:

P

PV E dl

,

espressione che pu essere riguardata come il lavoro necessario per trasportare una carica unitaria

dallinfinito al punto P. Lunit di misura del potenziale il volt(V) e risulta 1 1 1V J C , cos 1J

rappresenta il lavoro che deve essere fatto per far superare ad una carica di 1Cuna differenza di

potenziale di 1V. Lintroduzione del volt consente inoltre di riscrivere lunit di misura del campo

elettrico in V m che rappresenta lunit tradizionalmente adoperata per questa grandezza. Il

concetto di potenziale fu introdotto dal matematico inglese George Green nel 1828 attraverso lageneralizzazione di precedenti lavori di Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon de Laplace e Poisson

relativi al campo gravitazionale.

In fisica atomica e nucleare duso comune per la misura dellenergia lelettronvolt(eV), definito come lenergia cheun elettrone (o un protone) acquista quando viene accelerato mediante una differenza di potenziale di 1V. Siccome

1 1 1V J C e la carica dellelettrone (protone) in modulo di 191.6 10 C , allora

19 191 1.6 10 1 1.6 10 .eV C V J

Esempio: Nel cinescopio di un apparecchio televisivo un elettrone del fascio ha una velocit di 78 10 m sec circa.

Poich la massa dellelettrone 319.1 10 kg circa, questa velocit corrisponde ad unenergia cinetica di153 10 J .

Cosi tale elettrone per raggiungere questa velocit, partendo da fermo, deve essere accelerato tramite una differenza dipotenziale di 19kV.


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1.11 Campo elettrico uniformeConsideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo lasse xdi figura:

E E x

e calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B separati dalladistanza d:

B B B

B A

A A A

V V V E dl E x x dx E dx Ed

. (1.12)

Il fatto che 0V indica che il potenziale di B inferiore a quello di A, ossia B AV V . La

variazione di energia potenziale di interazione tra una carica di prova 0q ed un campo elettrico

uniforme, quando la carica si muove traAeB:

0 0eB eA eU U U q V q Ed .

Quindi se0

0q allora 0eU ovvero eB eAU U , cio il sistema perde energia potenziale in

corrispondenza del moto di una carica positiva nella direzione del campo elettrico. Se venisse

abbandonata in A, la carica, per effetto della forza 0q E

, sarebbe accelerata acquisendo energia

cinetica; siccome la carica guadagna energia cinetica in una certa misura, il sistema deve perderealtrettanta energia potenziale. Pertanto se la carica originariamente a riposo in A, la sua velocit

Av nulla e risulta:

0

21

2eA eB q BU U m v ,

doveB

v la velocit della carica e0q

m la sua massa. Viceversa, se 0 0q allora 0eU ovvero

eB eAU U , cio il sistema guadagna energia potenziale in corrispondenza del moto di una carica

negativa nella direzione del campo elettrico. Supponiamo che lo spostamento avvenga tra due punti

generici; siccome E

uniforme, si ha:

B B B

A A A

V E dl E x x dx y dy E dx Ed

,

cos il risultato conseguito lo stesso del caso precedente. Ne segue che ipunti perpendicolari alla direzione del campo (Be Cad esempio, nella figura)sono equipotenziali e definiscono una superficie detta superficieequipotenziale.


31/267


1.12 Potenziale elettrico ed energia potenziale per cariche puntiformiLa differenza di potenziale tra i punti A e B di figura situati in

prossimit di una carica puntiforme qvale:

B

B A

A

V V E dl

,

in cui:

2

0

1

4

qE r

r

;

siccome la proiezione del vettore dl

nella direzione del versore r, pari a r dl

, uguale alla

variazione dr che subisce il modulo del vettore r

quando il suo estremo libero si sposta di unvettore dl

, si ha:

2 2

0 0 0 0

1 1 1 1 1 .

4 4 4 4

BB

A A

rrB

B A

B AA r r

q q q qV V r dl dr

r r r r r

Si noti che lintegrale appena calcolato risulta indipendente dal percorsoseguito, a motivo della conservativit del campo. Assumendo che il

potenziale sia nullo per Ar , dalla relazione precedente segue il

potenziale di una carica puntiforme:

0

1

4

qV

r ;

tale espressione pu essere interpretata come il lavoro per unit di carica che si effettua pertrasportare una carica dallinfinito ad un punto posto a distanza rdalla carica q. Poich V uniforme

su una superficie sferica di raggio r (cio A Br r nella precedente relazione), concludiamo che le

superfici equipotenziali per una carica puntiforme sono delle sfere concentriche alla carica stessa etali superfici risultano, punto per punto, perpendicolari alla direzione del campo. Nelle figure

mostrata la sezione (in tratteggio) delle superfici equipotenziali per una carica puntiforme e per duecariche puntiformi di segno opposto. Come conseguenza del principio di sovrapposizione, il

potenziale in un certo punto, dovuto a pi carichepuntiformi pari alla somma dei potenziali di ciascunacarica calcolati in tale punto:

0

1

4i

i i

qV

r , (1.13)

sempre nellipotesi che il potenziale sia nullo allinfinito.

Questa espressione costituisce la definizione originariafornita da Green per la funzione potenziale.


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Sia 1V il potenziale determinato dalla carica 1q nel punto Pdistante

12r da 1q . Il lavoro necessario per portare una seconda carica, 2q ,

dallinfinito a P vale 2 1q V . Poich per definizione tale lavoro pari

allenergia potenzialeeU del sistema quando le due cariche sono

separate dalla distanza 12r , allora:

1 22 1

0 12

1

4e

q qU q V

r .

E possibile generalizzare questa espressione ad un sistema di pi cariche trovando, ad esempio, pertre cariche:

1 3 2 31 2

0 12 13 23

1

4

e

q q q qq qU

r r r

,

ovvero, perNcariche:

, 1 1 1 10 0 0

1 1 1 1 1 1 1

4 2 2 4 2 4 2

N N N N N Ni j j j

e i i i i

i j i i j i i j iij ij iji j

q q q qU q q q V

r r r

.

1.13 Potenziale elettrico dovuto a distribuzioni continue di caricaPer il calcolo del potenziale di una distribuzione continua facciamo

riferimento alle espressioni gi trovate per le cariche puntiformi. Siadq un elemento di carica della distribuzione Q, allora, il contributo al

potenziale nel punto Pposto a distanza rda questo elemento :

0

1

4

dqdV

r ,

cos, per ottenere il potenziale generato da tutta la distribuzione occorre integrare su tutta la carica

Qdella distribuzione:

0

1

4Q

dqV

r .

In relazione al tipo di distribuzione di carica possibile esplicitare il differenziale dq ; cos, qualora

la carica distribuita in un volume con densit dq dv , allora:

0 0

1 1

4 4Q

dq dvV

r r

.

Un approccio alla determinazione del potenziale di un corpo alternativo al precedente prevede ladiretta applicazione dellespressione (1.11) della differenza di potenziale in termini di integrale di


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linea di E

. Pertanto, se il problema ha un grado di simmetria tale da rendere agevole questadeterminazione, fissando infine il valore del potenziale in un punto arbitrario, possibile stabilire il

potenziale del corpo.

Esempio:(Potenziale elettrico di una bacchetta carica). Consideriamo una bacchetta dilunghezza le valutiamo il potenziale in corrispondenza dei punti dellasse passante perun estremo. Il contributo al potenziale di un elemento di carica dq posto a distanza rdal

punto considerato, vale:

1 2

2 20 0

1 1

4 4

dq dxdV

r x y

,

cos, integrando da 0 a lsi trova:

2 2

1 22 20 00

ln .4 4

ll l ydx

V

yx y

Esempio: (Potenziale elettrico dovuto ad un anello uniformemente carico).Consideriamo un anello uniformemente carico e calcoliamo il potenziale in unpunto Pposto sullasse dellanello. Il contributo al potenziale di un elemento dicarica dq posto sullanello :

1 2

2 20 0

1 1,

4 4

dq dqdV

r x R

il termine 1 2

2 2x R comune a tutti i punti sullanello, cos,

integrando, segue:

1 2 1 22 2 2 2

0 0

1 22 2

0

1 1 1

4 4

1.

4

Q Q

dqV dq

x R x R

Q

x R

(1.14)

Il cui grafico mostrato in figura.

Esempio: (Potenziale elettrico di una sfera uniformemente carica). Consideriamo una sfera uniformemente carica diraggioRe calcoliamo il potenziale in un punto della sua superficie. Assumendo che il potenziale sia nullo allinfinito,dalla relazione (1.7) e dalla definizione (1.11) segue:

20 0

1 1;

4 4

rQ Q

V r dr

in particolare, in corrispondenza di un punto posto sulla superficie della sfera risulta:

0

1.

4

QV

R (1.15)


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1.14 Relazione tra campo elettrico e potenzialeNota che sia lespressione del campo elettrico possibile ricavare il corrispondente potenziale

attraverso la relazione:

0

0

P

P

V P E dl V P

;

da questa espressione segue:

E dl dV

(1.16)

e, sviluppando i due membri in coordinate cartesiane, si ha:

x y zV V VE dx E dy E dz dx dy dzx y z

,

cos, confrontando le due espressioni, segue:

,

,

,

x

y

z

VE

x

VE

y

VE

z

ovvero, vettorialmente:

E V

. (1.17)

Sostituendo questa relazione nella (1.16) si trova:

cosdV V dl V dl

in cui rappresenta langolo compreso tra i vettori V

e dl

.

Da tale relazione segue:

cosdV

Vdl

,

cio la variazione per unit di lunghezza di Vnella direzione di

dl

pari alla proiezione di V

nella direzione di dl

.

Se a partire da un punto ci si sposta di un tratto dl

ortogonalmente a V

, siccome vale 2 e cos 0 , segue

che 0dV dl , ovvero V costante; pertanto V

un vettore


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perpendicolare alle superfici equipotenziali in cui V costante. Infine, se dl

diretto

perpendicolarmente alle superfici equipotenziali, ovvero parallelamente a V

, siccome nullo e

cos 1 , segue che la derivata direzionale dV dl risulta massima e pari al modulo del gradiente:

dV Vdl

.

Inoltre il verso di V

nella direzione in cui il potenziale aumenta con la derivata massima2.

Esempio:A partire dalla relazione (1.17) e dallespressione del potenziale (1.14) deduciamo lespressione del campoelettrico sullasse di un anello carico lungo lassex (per 0x ):

3 22 2

1 2 3 22 2 2 2

0 0 0

1 1 2 ,

4 4 2 4

dV d Q Q Q xE V x x x x R x x

dx dx x R x R

che coincide con quanto gi determinato attraverso lapplicazione della legge di Coloumb.

1.15 Espressione della conservativit del campo elettrostaticoDalla conservativit del campo elettrico segue che lintegrale di linea di E

calcolato da un punto

Aad un puntoBrisulta indipendente dal percorso che porta daAaB, cio

B

AE dl V A V B

,

ovvero lintegrale dipende dai soli valori estremi del percorso. Se il percorso tale che i puntiAeB

coincidono, ossia la curva chiusa, allora si ha:

0E dl

.

Quindi, lintegrale di linea del campo elettrostatico, calcolato lungo una curva chiusa nullo. Se

applichiamo a questultima espressione il teorema del rotore, si ha:

0 E dl E ds

;

fissata la curva chiusa , questa relazione vale per ogni superficie che abbia per contorno ,

pertanto deve risultare:

0E

,

2Infatti, ad esempio, per una carica puntiforme positiva, V

punta verso la carica, dove il potenziale aumenta.


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cio il campo elettrostatico irrotazionale. Questa propriet del campo elettrostatico pu esserededotta seguendo unaltra via; siccome tale campo conservativo esiste una funzione scalare Vchesoddisfa la relazione (1.17) allora:

2 2 2 2 2 2

0.

x y z

E Vx y z

V V V

x y z

V V V V V V x y z

y z y z x z z x x y y x

Si noti che a prescindere dallo sviluppo del prodotto vettoriale V

in coordinate cartesiane, talerisultato poteva essere conseguito considerando

e V

come due vettori paralleli il cui prodotto

vettoriale risulta, ovviamente, nullo.

1.16 Conduttori carichi isolatiSiano Ae Bdue punti posti in un conduttore allequilibrio, poich allinterno del conduttore il

campo elettrico nullo, si ha:

0B

A

V A V B E dl

per cui:

V A V B ,

ovvero tutti i punti interni al conduttore sono allo stesso potenziale e, anche la superficie delconduttore, in particolare, una superficie equipotenziale. Questa propriet, scopertasperimentalmente da Beccaria, Henry Cavendish e Coulomb venne dimostrata nel 1811 da Poisson.

Quale ulteriore propriet dei conduttori carichi allequilibrio, possibile provare che in un conduttore di forma irregolare la carica tendead accumularsi nei punti in cui la curvatura della superficie maggiore,ovvero in prossimit delle punte. Per comprendere questo fenomeno

consideriamo due sfere conduttrici di raggi, rispettivamente, 1R e 2R , con

1 2R R , collegate elettricamente tra loro tramite un filo conduttore. Se 1

e 2 indicano le densit superficiali di carica sui due conduttori, le cariche

rispettive saranno:

2

1 1 1

2

2 2 2

4 ,

4 ,

q R

q R


37/267


e facendo il rapporto membro a membro, segue:

2

1 1 1

2

2 2 2

q R

q R

.

Daltra parte, siccome sono connesse con un conduttore, le due sfere sono allo stesso potenziale;assumendo che la distanza tra le sfere sia tale da poter ritenere che la carica di una non influenzi ladistribuzione di carica dellaltra, dalla relazione (1.15) segue che il comune valore V del loro

potenziale :

1 2

0 1 0 2

1 1

4 4

q qV

R R ,

da cui risulta:

1 1

2 2

q R

q R

cos, confrontando con lespressione precedente, si ha:

1 2

2 1

R

R

.

Siccome 1 2R R , allora 1 2 , cio la sfera pi piccola ha una maggiore densit di carica

superficiale; ci implica che il campo elettrico pi intenso in prossimit della sfera pi piccola.Per questo motivo in un conduttore che presenta una zona in cui il raggio di curvatura dellasuperficie molto piccolo, ovvero presenta una punta, il campo elettrico maggiore rispetto allezone con curvatura pi grande.

Le propriet dei conduttori puntiformi furono verificate per la prima volta da Franklin e portarono a moltepliciapplicazioni tra cui il parafulmine. Qualora la curvatura di una regione della superficie di un conduttore carico accentuata sino a ridursi ad una punta, la densit superficiale della carica in tale regione pu raggiungere valori moltoelevati e di conseguenza, dalla relazione (1.10), anche il campo elettrico nelle immediate vicinanze della punta purisultare particolarmente intenso. Se il conduttore posto nel vuoto ci non ha conseguenze, tuttavia, se immerso inun gas, come laria, in corrispondenza di un opportuno valore dellintensit del campo si manifestano dei fenomeni diionizzazione; cio uno o pi elettroni delle molecole del gas situate in prossimit della punta vengono rimossi per effetto

del campo. Le molecole cos ionizzate vengono accelerate dal campo elettrico e, una volta raggiunta lenergia cineticasufficiente, ionizzano per urto altre molecole del gas. Questo processo determina in breve tempo la formazione presso lapunta di un consistente numero di ioni positivi e negativi. Quelli di carica opposta a quella della punta sono attrattiverso il conduttore neutralizzandone in tutto o in parte la carica; quelli di carica uguale vengono allontananti dalla puntadeterminando un movimento macroscopico del gas detto vento elettrico.


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1.17 Sviluppo in serie di multipoliConsideriamo una distribuzione di Ncariche puntiformi

1 2, , , Nq q q , con1

N

i

i

q Q

; attraverso la relazione (1.13)

possibile stabilire il valore del potenziale in corrispondenza

di un punto Psituato a distanza irda ciascuna delle cariche.

Considerando un sistema di riferimento con origine in un

arbitrario punto O (si veda la figura), ir

rappresenta la

differenza tra il vettore OP

, pari a r

, ed il vettore

posizione dell esimai carica,i

d

:

;i i

r r d

pertanto la distanza irpu esprimersi come:

1 2

21 22 22 cos 1 2cos i ii i i i i

d dr r d r d r

r r

,

cos:

1 221 1

1 2cos .i ii

i

d d

r r r r

(1.18)

Sfruttando lespressione dello sviluppo in serie del binomio 3 in cui 1 2n e

2

2cos i i iy d r d r , la quantit in parentesi quadre diventa:

1 22

22 2

1 2cos

1 31 2cos 2cos

2 8

i ii

i i i ii i

d d

r r

d d d d

r r r r

e sviluppando, si ottiene:

3 211 1 ,

2!

n n ny ny y


39/267


1 22

2

2

1 2cos

11 cos 3cos 1 .

2

i ii

i ii i

d d

r r

d d

r r

Infine, sostituendo nella relazione (1.18), si ottiene:

2

21 1 11 cos 3cos 1 .2

i ii i

i

d d

r r r r

Dalla (1.13), lespressione del potenziale del sistema di cariche nel punto Pconsiderato , quindi:

2

2

1 10 0

22

2 31 1 10 0 0

11 10

1 1 11 cos 3cos 14 4 2

1 1 1 3cos 1cos

4 4 4 2

1cos .

4

N N

i i ii i i

i ii

N N N

ii i i i i i

i i i

nN

i in in

n i

q d dV qr r r r

q q d q d r r r

q dP

r

(1.19)

In cui cosn iP rappresenta l esimon polinomio di Legendre4. La relazione precedente prende

il nome di sviluppo in serie di multipolie consente di stimare il potenziale prodotto da una generica

distribuzione di carica a grandi distanze dalla distribuzione stessa. Ciascun termine dello sviluppoha ordine 11 nr , con 0,1, 2,n e pertanto trascurabile rispetto al termine precedente, tuttavia

se il termine esimon nullo, allora diventa significativo il temine 1 esimon ; in particolare,

il primo termine, corrispondente a 0n , detto termine di monopolo, il secondo, con 1n , detto

4I polinomi di Legendre sono definiti attraverso la relazione:

21

cos cos 1 ,2 ! cos

nn

n nn

dP

n d

e, in particolare, i primi 6 polinomi sono:

n cosnP

0 11 cos

223cos 1

2

335cos 3cos

2

44 235cos 30cos 3

8

55 363cos 70cos 15cos

8


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termine di dipolo, il terzo, con 2n , termine di quadrupolo, il successivo, termine di ottupolo, ecos via.

Il numeratore del termine di monopolo rappresenta la carica totale Qdella distribuzione, quindi,se 0Q , tutti gli altri termini dello sviluppo diventano trascurabili per punti sufficientemente

lontani dallorigine Oe la distribuzione determina un potenziale uguale a quello prodotto da una

carica puntiforme situata nellorigine O.Se il sistema di cariche neutro, 0Q , il termine di monopolo nullo ed il termine dominante

dello sviluppo quello di dipolo 201

1 4 cosN

i i i

i

r q d . Questa quantit pu essere riguardata

come la componente del vettore 201

1 4N

i i

i

r q d

della direzione di r

, cio 20

1

1 4N

i i

i

r q d r

.

La circostanza non banale pi semplice in cui 0Q quella in cui la distribuzione di carica

costituita da sole due cariche, una opposta dellaltra. Tale distribuzione prende il nome di dipoloelettrico.

Esempio:(Campo prodotto da un dipolo elettrico) Stabiliamo il campo elettrico inun punto situato lungo la linea mediana perpendicolare alla congiungente le carichedel dipolo e posto alla distanza xdalla congiungente (si veda la figura). Indicando

con E

e E

i campi prodotti da ciascuna carica, per il principio di sovrapposizione

si ha:

,E E E

dove:

22

0 0 2

1 1.

4 42

q qE E

r dx

Daltra parte risulta:

,x x

E E

cos il campo sar diretto lungo lasseye varr:

cos cos 2 cos ,y y

E E E E E E

dove:

2

2

2 2cos .

2

d d

r dx

Pertanto, sostituendo si ha:

2 3 2 3 22 2 20 0 02 2 2 2

1 1 1 12 ,

4 2 4 4

2 2 2 2

q d qd pE

d d d dx x x x

(1.20)

avendo posto:

,p qd k


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dove k un versore orientato dalla carica negativa a quella positiva (si veda la figura). Il vettore cos

definito prende il nome di momento di dipolo elettricoe, in modulo, pari al prodotto qd.

Esempio: (Momento di dipolo elettrico di una molecola) Il momento di dipolo elettrico una propriet di numerosemolecole, ossia di aggregati atomici contenenti una carica positiva ed una negativa separate da una certa distanza. Ad

esempio la molecola di cloruro di sodio (NaCl) pu essere rivista come linsieme di uno ione Na ed uno Cl separati

da una certa distanzaNaCld e rispettivamente di cariche e e e . Dalle misure si evince che:

0.236 ,NaCld nm

cos il relativo momento di dipolo dovrebbe essere:

19 9 291.6 10 0.236 10 3.78 10 .NaCl NaClp ed C m C m

Tuttavia il valore misurato :

293.00 10 ;NaClp C m

ci evidenzia che lelettrone del sodio non completamente ceduto allatomo di cloro ma risulta condiviso tra questidue atomi.

Esempio: (Campo elettrico asintotico di un dipolo) In applicazioni come quella mostrata nellesempio precedenterisulta utile stabilire il campo elettrico a grande distanza dal dipolo, ossia per:

.x d

Dalla relazione (1.20) segue:

3 22

3 2 320 0

2

1 11 ,

4 4 2

2

p p dE

x xdx

facendo uso dellespressione dello sviluppo in serie del binomio (si veda la nota 3) con 3 2n e 2

2y d x , si ha:

2

3

0

1 31

4 2 2

p dE

x x

ed arrestando lo sviluppo al primo termine segue:

3

0

1.

4

pE

x (1.21)

Analogamente si prova che per un punto posto lungo lassey, a grande distanza da dipolo, si ha:

3

0

1.

2

pE

y (1.22)

I due risultati appena riportati costituiscono lindicazione di una caratteristica generale del dipolo; proveremo infatti nel

seguito che a distanza rdal dipolo, con r d , il campo elettrico varia come 31 r .

Esempio: (Azione di un campo elettrico su un dipolo) Supponiamo che un dipolo elettrico sia immerso in un campo

elettrico esterno uniforme E

e supponiamo inoltre che il dipolo non perturbi significativamente le linee di forza del

campo. Le forze1F

e

2F

agenti sulle due cariche valgono, in modulo:


42/267


1 2 ,F F qE

tuttavia, sebbene abbiano la stessa direzione, sono opposte in verso (si veda la figura) cosil centro di massa del dipolo non soggetto a movimento. Nondimeno le forze esercitanouna coppia sul dipolo che tende pertanto a ruotare per allinearsi con la direzione del

campo. Se 1r e 2r sono i raggi vettori delle due cariche rispetto al centro di massa del

dipolo, con

1 2 ,2

dr r

i momenti delle due forze rispetto al centro di massa del dipolo1

e

2

hanno moduli:

1 1 1 2 2 2sin ;2

dr F qE r F

inoltre1

e

2

sono uguali sia in direzione che in verso, cos risulta:

1 2

pertanto il momento totale delle forze ha modulo:

12 2 sin sin sin2

dqE dqE pE

e vettorialmente:

.p E

Fisicamente ci significa che il dipolo elettrico indotto dal campo a raggiungere una posizione di equilibrio tale che p

risulti parallelo ad E

; in tale condizione infatti 0

. Questo corrisponde sia a 0 che a ; nel seguitoproveremo che mentre il primo valore di corrisponde ad una posizione di equilibrio stabile, il secondo valore relativo ad una posizione di equilibrio instabile.

Esempio:(Potenziale ed energia potenziale di un dipolo elettrico) Consideriamo un dipolo il cui momento ha intensit

;p qd

il potenziale in un punto Pposto a distanze1re 2r , rispettivamente, dalla carica positiva e da quella negativa, vale:

2 1

0 1 2 0 1 2

1 1 .4 4

q q r r V qr r r r

Questa espressione pu essere valutata nel caso in cui il punto P molto

distante dal dipolo, ovvero, con riferimento alla figura, per1 2,r r d ; in

questo caso risulta:

1 2, ,

';

r r r

con tali approssimazioni il prodotto1 2r r circa uguale a

2r e la differenza

2 1r r , pari a cos 'd , circa uguale a cosd . Pertanto, sostituendo nellaprecedente espressione, si ha:


43/267


2 2

0 0

1 cos 1 cos.

4 4

qd pV

r r

(1.23)

Questa espressione coincide col termine di dipolo dello sviluppo (1.19)per 2N , infatti, con riferimento alla figura, in tale circostanza, si ha:

1 1 1 2 2 2

2 210 0

1 1 2 2

2

0

1 1 cos coscos

4 4

1,

4

N

i i i

i

q d q d q d

r r

q d r q d r

r

dove r pari a r r

; se1q q e 2 1q q , segue:

1 21 1 2 2 1 22 2 2 2 2

10 0 0 0 0

20

1 1 1 1 1cos

4 4 4 4 4

1 cos

,4

N

i i i

i

q d d r q d r q d r q d r q d r p r q d

r r r r r

p

r

essendo 1 2p q d d e langolo tra la direzione di r

e quella di p

. Dalla relazione

(1.23) segue che il potenziale nullo per 2 , ovvero nel piano equatoriale del

dipolo, pertanto il campo elettrico del dipolo non compie lavoro quando una carica vieneportata dallinfinito ad un punto su questo piano, attraverso un qualsiasi percorso. Apartire dalla relazione (1.23), facendo uso della (1.17), possibile ricavare lespressionegenerale del campo elettrico prodotto dal dipolo in tutto lo spazio. Allo scopo risultaopportuno adoperare lespressione del gradiente in coordinate sferiche (si vedalAppendice); le componenti del campo elettrico sono quindi:

2 3

0 0

2 3

0 0

1 cos 1 cos ;4 2

1 1 1 cos 1 sin;

4 4

10.

sin

r V p pEr r r r

V p pE

r r r r r

VE

r

Dal fatto che la componente E del campo elettrico nulla segue che il campo ha simmetrica cilindrica, come poteva

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Appunti Fisica - Elettromagnetismo - Marco Panareo