LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano.

Essa viene determinata assegnando una legge (una funzione) che indica il modo in cui i

punti si corrispondono.

L’elemento a’ che corrisponde ad un elemento a in una trasformazione geometrica si

dice trasformato di a. (G’=f (G), sia G un punto, un segmento, una retta, etc…)

In una trasformazione:

•••• I punti che hanno per trasformati se stessi si dicono punti uniti; in particolare, se tutti i

punti sono uniti, la trasformazione prende il nome di identità.

•••• Gli elementi del piano che hanno come trasformati se stessi si dicono elementi uniti(non sono necessariamente composti di punti uniti)

•••• Si dicono invarianti le caratteristiche delle figure che non cambiano dopo

l’applicazione della trasformazione.

Una trasformazione si dice involutoria se, applicata due volte, coincide con la

trasformazione identica.

LE ISOMETRIELe trasformazioni geometriche si classificano in base agli invarianti; quelle che lasciano

immutate le lunghezze dei segmenti si chiamano isometrie.

Un’isometria:

•••• conserva l’allineamento dei punti

•••• conserva il parallelismo

•••• conserva l’ampiezza degli angoli

Di conseguenza due figure che si corrispondono in una isometria sono congruenti.

LE ISOMETRIE FONDAMENTALI

Esistono solo quattro tipi fondamentali di isometrie:

•••• la simmetria assiale, definita rispetto ad una retta r (l’asse di simmetria), che ad ogni

punto P del piano associa il punto P’ che si costruisce in questo modo:

- si traccia da P la perpendicolare a r cha la incontra in H A A’

- si prende su di essa il punto P’ nel semipiano opposto rispetto a P,

tale che sia P’H ≅ PH

B B’

r

•••• la simmetria centrale, definita rispetto ad un punto O (il centro di simmetria),

che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ che si costruisce in questo modo:

- si traccia la retta OP

- si prende il punto P’ sulla semiretta di origine O opposta rispetto a P,

tale che sia P’O ≅ PO

A

B’

O

B

A’

•••• la traslazione, definita da un vettore vr

, che ad ogni punto P del piano associa il punto

P’ che è il secondo estremo del vettore vr

quando il primo estremo coincide con P.

A’

v B’

A

B

•••• la rotazione, definita assegnando un punto O (il centro di rotazione) ed un angolo

orientato α, che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ tale che O

OP ≅ OP’ e 'ˆPOP abbia lo stesso orientamento A

e la stessa ampiezza di α.

B

A’

LE PROPRIETÀ DELLE ISOMETRIE B’

Oltre alle caratteristiche comuni a tutte le isometrie, ogni isometria particolare ne ha di

proprie:

•••• la simmetria assiale ha come punti uniti i punti dell’asse e come rette unite le rette

perpendicolari all’asse; è una trasformazione involutoria e non conserva l’ordinamento

dei punti

•••• la simmetria centrale ha solo un punto unito (il centro O di simmetria) e le rette unite

sono tutte quelle del fascio di centro O; segmenti e rette che si corrispondono sono

paralleli; inoltre è una trasformazione involutoria e conserva l’ordinamento dei punti

•••• la traslazione non ha punti uniti e le rette unite sono quelle parallele al vettore di

traslazione; segmenti e rette che si corrispondono sono paralleli; non è una

trasformazione involutoria, ma conserva l’ordinamento dei punti

•••• la rotazione ha come unico punto unito il centro di rotazione e non ha rette unitea

meno che la rotazione sia di un angolo piatto o di un suo multiplo; non è una

trasformazione involutoria ma conserva l’ordinamento dei punti.

IL PRODOTTO DI TRASFORMAZIONI

Applicando in successione due isometrie si ottiene ancora un’isometria; in particolare:

•••• il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari è una simmetria centrale

avente centro nel punto di intersezione degli assi

•••• il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi paralleli è una traslazione di vettore

doppio della distanza tra i due assi e direzione e verso dal primo al secondo asse

•••• il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi incidenti è una rotazione di ampiezza

uguale al doppio dell’angolo tra i due assi, centro nel punto di intersezione degli assi e

verso dal primo al secondo asse

•••• il prodotto di due simmetrie centrali è una traslazione di vettore doppio della distanza

dei centri e direzione e verso dal primo al secondo centro

•••• il prodotto di due rotazioni di ampiezza α e β è una rotazione di ampiezza α+β.

I PARALLELOGRAMMI

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha un centro di simmetria e che quindi:

•••• ha i lati opposti paralleli e congruenti //

•••• ha gli angoli opposti congruenti e gli angoli adiacenti supplementari ? ?

•••• le diagonali si incontrano nel punto medio o//

CONDIZIONI PER INDIVIDUARE UN PARALLELOGRAMMA

Per riconoscere se un quadrilatereo è un parallelogramma, oltre ad applicare la

definizione, si può verificare che abbia una delle seguenti caratteristiche:

•••• ha i lati opposti paralleli

•••• i lati opposti congruenti

•••• una coppia di alti opposti paralleli e congruenti

•••• gli angoli opposti congruenti oppure quelli adiacenti supplementari

•••• le diagonali che si incontrano nel punto medio

I PARALLELOGRAMMI PARTICOLARINell’insieme dei parallelogrammi si individuano poi:

•••• il rettangolo che è un parallelogramma equiangolo, di conseguenza con gli angoli retti

la cui caratteristica è quella di avere le diagonali congruenti

•••• il rombo che è un parallelogramma equialatero, con i lati congruenti, la cui

caratteristica è quella di avere le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli

•••• il quadrato che è un parallelogramma equilatero ed equiangolo¸che riunendo in se

le caratteristiche del rettangolo e del rombo ha le diagonali congruenti,

perpendicolari e bisettrici degli angoli

I PARALLELOGRAMMI E LE ISOMETRIE

Tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria ma, se non sono parallelogrammi

particolari, non hanno asse di simmetria. I soli a possedere assi di simmetria sono:

•••• il rettangolo che ha per assi le rette perpendicolari a due lati opposti e passanti per il

loro punto medio

•••• il rombo che ha come assi le rette delle diagonali

•••• il quadrato che ha come assi quelli del rettangolo e quelli del rombo.

IL TRAPEZIO

Il trapezio è un quadrilatero che ha una coppia di lati paralleli che si dicono basi; i lati

non paralleli si chiamano lati obliqui. Se capita che:

•••• i lati obliqui sono diseguali, il trapezio è scaleno

•••• i lati obliqui sono congruenti, il trapezio è isoscele

•••• uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi, il trapezio è rettangolo

In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi e le diagonali sono congruenti.

Scaleno isoscele rettangolo.

LA CORRISPONDENZA DI TALETE

Se un fascio di rette parallele interseca una trasversale

r nei punti A,B,C,… e una trasversale s nei punti A’, B’, C’…, A A’

fra i due insiemi di punti si stabilisce una corrispondenza

biunivoca che si chiama corrispondenza parallela di Talete. In tale corrispondenza, a segmenti congruenti sulla prima B B’

trasversale corrispondono segmenti congruenti sulla

seconda trasversale. C C’

Le conseguenze di questo teorema applicate ai triangoli D D’

sono le seguenti:

•••• se per il punto medio di un lato si traccia la parallela

ad un altro lato, questo taglia il terzo lato nel suo punto medio

•••• il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente

alla sua metà.

I LUOGHI GEOMETRICI

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli gli oggetti geometrici che hanno una stessa

proprietà p; in particolare si parla di luogo di punti quando gli oggetti sono dei punti. Fra i

luoghi di punti ricordiamo:

•••• l’asse di un segmento (luogo di punti equidistanti dagli estremi di un segmento

•••• la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo)

P H

A

P

PH ≅ PK

PA ≅ PB

B V K