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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI “ Federico II ” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Lezioni di Metodi Matematici per l’Ingegneria Luigi Greco Anno Accademico 2013-2014 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E APPLICAZIONI “ R. Caccioppoli ” PIAZZALE TECCHIO - 80125 NAPOLI

Appunti metodi matematici per l'ingegneria - Prof. Greco UNINA

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Appunti metodi matematici per l'ingegneria - Prof. Greco UNINA

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  • UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI

    Federico II

    Scuola Politecnica e delle Scienze di Base

    Lezioni diMetodi Matematiciper lIngegneria

    Luigi Greco

    Anno Accademico 2013-2014

    DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E APPLICAZIONIR. Caccioppoli

    PIAZZALE TECCHIO - 80125 NAPOLI

  • Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienzedi Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi diNapoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 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    Indice

    Capitolo I. Il campo complesso 41. La forma algebrica 42. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi 73. Forma trigonometrica dei numeri complessi 84. Radici dei numeri complessi 125. Le funzioni elementari nel campo complesso 145.1. Lesponenziale 145.2. Il logaritmo 165.3. Le funzioni circolari e iperboliche 175.4. La potenza 196. Ampliamento del campo complesso. Elementi di topologia 196.1. Funzioni complesse di variabile complessa 226.2. Serie a termini complessi 24A. Serie a termini non-negativi. Criteri di convergenza 26

    Capitolo II. Funzioni analitiche 281. Funzioni olomorfe 281.1. Funzioni armoniche 312. Serie di potenze nel campo complesso 322.1. Proprieta` della somma di una serie di potenze 35

    Capitolo III. Integrazione nel campo complesso 391. Integrali curvilinei 392. Teorema e formule integrali di Cauchy 433. Conseguenze della formula di Cauchy 46

    Capitolo IV. Proprieta` delle funzioni analitiche 501. Zeri delle funzioni analitiche. Princ`pi di identita` 502. Proprieta` di media e principio di massimo modulo 533. Ulteriori proprieta` 544. Sviluppo di Laurent 555. Singolarita` isolate 596. Olomorfia e singolarita` all 65

    Capitolo V. Residui e applicazioni 67

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Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 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    2 INDICE

    1. Residui 672. Calcolo del residuo nei poli 693. Applicazioni alla decomposizione in fratti semplici 753.1. Fratti semplici nel campo complesso 763.2. Fratti semplici nel campo reale 783.3. La formula di Hermite 81

    Capitolo VI. Z-trasformazione 831. Generalita` sulle successioni 832. Trasformazione e trasformazione inversa 843. Proprieta` della trasformazione 854. Equazioni ricorrenti, problemi ai valori iniziali 88

    Capitolo VII. Estensioni della nozione di integrale 941. Funzioni integrabili e sommabili 941.1. Integrale a valor principale 971.2. Criteri di sommabilita` 991.3. Sommabilita` per funzioni di piu` variabili 1021.4. Cenni sullintegrale di Lebesgue 1042. Calcolo degli integrali definiti 1082.1. Integrali di funzioni razionali di coseno e seno 1082.2. Integrali di funzioni razionali 1112.3. Altri integrali 119

    Capitolo VIII. Elementi di analisi funzionale 1261. Spazi di Lebesgue 1262. Generalita` sui segnali 1303. Serie di Fourier 1343.1. Osservazioni 1373.2. Convergenza puntuale della serie di Fourier 1383.3. Esempi 139

    Capitolo IX. Trasformazione di Laplace 1441. La trasformata di Laplace 1442. Proprieta` fondamentali 1473. Proprieta` formali 1504. La trasformata della convoluzione 1515. Trasformata unilatera di segnali periodici 1526. Antitrasformazione 1537. Applicazioni 154

    Capitolo X. Trasformazione di Fourier 1591. Trasformata di Fourier in L1(R) 1591.1. Inversione della trasformazione di Fourier 161

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    INDICE 3

    2. Proprieta` formali 1623. Le formule fondamentali 1633.1. La trasformata di funzioni a decrescenza rapida 1674. La trasformata della convoluzione 167

    Capitolo XI. Distribuzioni 1691. Introduzione 1692. Lo spazio delle funzioni test 1713. Le distribuzioni 1724. Operazioni sulle distribuzioni 1744.1. Derivata di distribuzioni 1785. -successioni 1816. Distribuzioni temperate. Trasformazione di Fourier 1826.1. Esempi 1856.2. Teoremi di campionamento 1877. Trasformata di Laplace di distribuzioni 193

    Capitolo XII. Problemi ai limiti 1951. Introduzione 1952. Equazioni autoaggiunte 1973. La funzione di Green. Il teorema dellalternativa 1984. Il problema di Sturm-Liouville 202

    Capitolo XIII. Equazioni differenziali alle derivate parziali 2051. Generalita` 2052. Equazioni di Laplace e Poisson 2062.1. Funzioni armoniche 2072.2. Risoluzione del problema di Dirichlet per lequazione di Laplace

    in un cerchio 2113. Lequazione del calore 2143.1. Il problema di Cauchy nel semipiano 2154. Lequazione delle onde 2174.1. Il problema di Cauchy nel semipiano 2174.2. Problema misto nella semistriscia 219

    Capitolo XIV. Riepilogo delle formule 2221. Z-trasformazione e Z-trasformazione inversa 2222. L -trasformazione e L -trasformazione inversa 2243. F -trasformazione 227

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    CAPITOLO I

    Il campo complesso

    1. La forma algebrica

    Lesigenza di introdurre un ampliamento del campo dei numeri reali nascedallimpossibilita` di risolvere in esso lequazione x2 = a nellincognita x, pera R generico numero assegnato. E` chiaro infatti che, se a < 0, non esistealcuna soluzione, poiche ovviamente risulta x2 0, x R. Piu` in generale,nel campo reale unequazione algebrica P (x) = 0, P polinomio, puo` esserepriva di soluzioni.

    Il campo dei numeri complessi si costruisce sullinsieme R2 delle coppieordinate di numeri reali, introducendo le operazioni di addizione e moltiplica-zione:

    (1.1)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ,

    (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1) .Con tali operazioni, R2 diviene un campo, che diremo campo complesso edindicheremo con C. Pertanto, due numeri complessi (x1, y1) e (x2, y2) sonouguali se e solo se sono uguali come coppie ordinate, cioe` se e solo se x1 = x2e y1 = y2.

    Consideriamo il sottoinsieme

    R = {(x, 0) : x R} .Evidentemente, esso e` chiuso rispetto alle due operazioni, cioe` la somma ed ilprodotto di elementi di R appartengono a R; il sottoinsieme risulta un sot-tocampo di C (cioe` le operazioni (1.1), ristrette a R, lo rendono un campo).Dal punto di vista insiemistico, e` naturale identificare R con R, facendo cor-rispondere al generico elemento (x, 0) R la sua prima componente x R. E`immediato pero` verificare che tale identificazione fa corrispondere le strutturedi campo su R e su R:

    (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)l l lx1 + x2 = x1 + x2

    dove + denota laddizione in R (cioe` in C), e analogamente per la moltipli-cazione; si dice che i due campi R e R sono isomorfi. Con lidentificazione

    4

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    1. LA FORMA ALGEBRICA 5

    indicata, il campo reale risulta un sottocampo del campo complesso, ovveroquestultimo e` un ampliamento del primo.

    E` naturale considerare anche laltro sottoinsieme

    (1.2) I = {(0, y) : y R} ,ma esso non e` chiuso, in quanto ad esempio risulta

    (1.3) (0, 1)2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1 6 I .Gli elementi di I si dicono numeri (complessi) immaginari. Lelemento (0, 1)e` di fondamentale importanza; si dice unita` immaginaria e si denota con j(spesso anche con i): j = (0, 1). Con queste notazioni, luguaglianza (1.3)si riscrive j2 = 1. Dunque I non e` un sottocampo. Osserviamo che ogninumero complesso z = (x, y) si puo` rappresentare come segue:

    (1.4) z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0)ovvero (con lidentificazione tra R e R), z = x + j y. Questa espressione sichiama forma algebrica del numero complesso z = (x, y). I numeri reali x e y sidicono rispettivamente parte reale e coefficiente dellimmaginario del numerocomplesso z e si denotano con x = Re z e y = Im z. Lutilita` della formaalgebrica e` nel fatto che sui numeri complessi in forma algebrica si opera,invece che usando direttamente le definizioni (1.1), mediante le usuali regoledellalgebra elementare (che seguono dalle proprieta` di campo), ricordandoche j2 = 1 e le relazioni che ne seguono:

    j3 = j2 j = j , j4 = (j2)2 = 1 , j5 = j4 j = j , j6 = j2 = 1 , . . .e analogamente

    j1 =1

    j= j , j2 = 1 , j3 = j , . . .

    In generale, se m e n sono numeri interi con mn divisibile per 4 (si dice chem e n sono congruenti modulo 4 e si scrive m n (mod 4)), risulta jm = jn.

    Ad esempio,

    (3 + 4 j) (1 j) + (5 + 2 j) = (3 3 j + 4 j 4 j2) + (5 + 2 j)= (3 + j + 4) + (5 + 2 j) = 3 + j + 4 + 5 + 2 j = 12 + 3 j .

    Vediamo qualche altro esempio di operazioni sui numeri complessi in formaalgebrica. Dato z = x + j y, il numero z = x j y si chiama coniugato diz (unaltra notazione usata per il coniugato e` z). Calcoliamo z z = (x +j y) (x j y). Usando il ben noto prodotto notevole dellalgebra elementare(somma per differenza), scriviamo subito

    z z = (x+ j y) (x j y) = x2 (j y)2 = x2 j2 y2 = x2 + y2 .Il numero reale non-negativo

    x2 + y2 si dice modulo di z e si indica con |z|.

    Dunque z z = |z|2. Osserviamo che |z| 0 e |z| = 0 z = 0. Inoltrez + z = 2 Re z, z z = 2 j Im z.

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    6 I. IL CAMPO COMPLESSO

    Osservazione 1.1. La notazione per il modulo di un numero complesso e` identica aquella usata per il valore assoluto di un numero reale. In effetti, se z = x e` un numerocomplesso reale, il suo modulo coincide con il valore assoluto.

    Scriviamo il reciproco di z = x+ j y 6= 0 in forma algebrica:1

    z=

    z

    z z=

    z

    x2 + y2=

    x j yx2 + y2

    =x

    x2 + y2 j y

    x2 + y2,

    cioe`

    Re1

    z=

    x

    x2 + y2, Im

    1

    z= y

    x2 + y2.

    Notiamo che per lipotesi z 6= 0, risulta x2+y2 > 0. Vediamo un altro esempio.

    ESEMPIO 1.2. Calcoliamo

    365k=1

    jk. A tale scopo, ricordiamo che le

    potenze consecutive dellunita` immaginaria sono

    j , 1 , j , 1 , j , 1 , j , 1 , . . .Notando che j 1 j + 1 = 0, conviene associare i termini della sommatoriaa gruppi di quattro consecutivi; poiche 365 non e` divisibile per 4, rimarran-no alcuni termini che non completano uno di questi gruppi. Precisamente,essendo 365 = 364 + 1 ed essendo 364 divisibile per 4, risulta

    365k=1

    jk =

    364k=1

    jk + j365 = 0 + j = j .

    In maniera meno diretta, alternativamente possiamo usare la nota formula

    dellalgebra elementare

    nk=0

    ak =1 an+1

    1 a , per a 6= 1, e ricavare

    365k=1

    jk =

    365k=0

    jk 1 = 1 j366

    1 j 1 =1 (1)

    1 j 1

    =2 1 + j

    1 j =1 + j

    1 j =(1 + j)2

    2=

    1 + 2 j 12

    = j .

    ESEMPIO 1.3. E` facile verificare che il coniugato della somma e` la som-ma dei coniugati; analogamente per prodotto e rapporto. Piu` in generale,vale la seguente proprieta`. Se R(z1, . . . , zn) e` una funzione razionale dei suoiargomenti (cioe` unespressione che si calcola a partire dai numeri z1, . . . , znmediante le quattro operazioni razionali), risulta

    R(z1, . . . , zn) = R(z1, . . . , zn) .

    Se P (z) = a0 + a1 z + a2 z2 + + an zn e` un polinomio, chiaramente risulta

    P (z) = R(z, a0, a1, . . . , an). In particolare, se i coefficienti di P sono reali,

    abbiamo P (z) = P (z).

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    2. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 7

    Osserviamo che in C non si introduce un ordinamento, poiche non e`possibile farlo in modo che esso sia compatibile con la struttura algebrica.

    2. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

    Poiche dal punto di vista insiemistico C coincide con R2, una rappresenta-zione geometrica dellinsieme dei numeri complessi si ottiene mediante quellaben nota di R2 sul piano, la quale si realizza considerando nel piano un siste-ma di riferimento cartesiano monometrico ortogonale e facendo corrisponderealla coppia (x, y) il punto P che la ammette come coppia di coordinate. Ilpunto P (x, y) si dice immagine del numero complesso z = x + j y. Dunque,lorigine e` limmagine di 0; i numeri reali hanno per immagini i punti dellassedelle ascisse, che per tal motivo si dice asse reale, mentre i numeri immaginarihanno per immagini i punti dellasse delle ordinate, che si dice asse immagina-rio. Le immagini di z e z sono simmetriche rispetto allasse reale. Nel seguito,identificheremo sistematicamente i numeri complessi con le loro immagini sulpiano; questo, come` noto, permette di adottare la terminologia geometrica aproposito di numeri e sottoinsiemi di C. Ad esempio, chiameremo un numeroz C punto complesso. O, anche, faremo riferimento a |z| come distanza diz dallorigine.

    In maniera equivalente, possiamo rappresentare i numeri complessi comesegmenti orientati, di primo estremo lorigine. In questo modo, possiamoillustrare geometricamente la somma di due numeri complessi ricordando lacostruzione geometrica della somma di due vettori del piano.

    z1

    z2

    z1 + z2

    Cos` otteniamo la doppia disuguaglianza

    (2.1)|z1| |z2| |z1 + z2| |z1|+ |z2| .

    Il contenuto geometrico della (2.1) e` evidente. La prima disuguaglianza espri-me la proprieta` che in un triangolo il valore assoluto della differenza tra lelunghezze di due lati non supera la lunghezza del terzo lato. La seconda di-suguaglianza corrisponde al fatto che in un triangolo la lunghezza di un latonon supera la somma delle lunghezze degli altri due. Per questi motivi, la(2.1) e` detta disuguaglianza triangolare.

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    8 I. IL CAMPO COMPLESSO

    z1

    z2

    z1 + z2

    |z1|

    |z1|

    |z2|

    |z1 + z2| z1

    z2|z1||z2||z1 z2|

    |z1 z2|z1 z2

    ESEMPIO 2.1. Fissati x0, y0 R, le equazioni Re z = x0 e Im z = y0rappresentano rispettivamente una retta verticale e una orizzontale. Fissato0 > 0, lequazione |z| = 0 rappresenta una circonferenza di centro 0.

    x0

    Re z = x0

    y0

    Im z = y0

    |z| = 0

    3. Forma trigonometrica dei numeri complessi

    Nel piano, consideriamo lusuale sistema di coordinate polari avente polonellorigine O e semiasse polare coincidente col semiasse positivo delle ascisse.Le formule che legano le coordiante cartesiane a quelle polari sono

    (3.1)

    {x = cosy = sin

    Da queste ricaviamo 2 = x2 + y2; e` quindi chiaro che = 0 x = y = 0.In tal caso e` indeterminato, nel senso che le uguaglianze (3.1) valgono R, e il punto P (x, y) coincide con lorigine. Se invece P e` distinto dallorigine,e` > 0, e da (3.1) ricaviamo

    (3.2)

    {cos = x/sin = y/

    e queste uguaglianze individuano a meno di un multiplo di 2pi, cioe`

    (3.3) = + 2 k pi , k Z ,essendo una soluzione particolare. Ricordiamo che e linsieme dei valoridi indicati in (3.3) si dicono rispettivamente raggio vettore e anomalia diP ; i singoli valori di , che si ottengono fissando k Z nella (3.3), si diconodeterminazioni dellanomalia.

    Sia z = x+ j y un numero complesso. Usando le (3.1), possiamo scrivere

    (3.4) z = x+ j y = (cos+ j sin) .

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    3. FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 9

    Questa si chiama forma trigonometrica di z. Evidentemente = |z| e` ilmodulo di z. In riferimento a z, si dice argomento di z e si denota con arg z(a volte anche con z). Come` noto, 0 e` lunico numero di modulo nullo. Sez 6= 0, largomento e` un insieme di valori che a due a due differiscono perun multiplo di 2pi e si chiamano determinazioni dellargomento (con leggeroabuso di notazione, arg z indica pure una qualsiasi determinazione).

    z

    = |z|

    = arg z

    x = cos

    y = sin

    Per indicare che e sono modulo e argomento di z, scriveremo sinteti-camente z = [ , ]. La determinazione dellargomento che cade in ] pi, pi] sidice argomento principale (o determinazione principale dellargomento) di ze si indica con Arg z.

    La corrispondenza z arg z fornisce un esempio di funzione polidroma,in quanto ad ogni numero complesso e` associato un insieme (non unitario)di valori. Viceversa, la corrispondenza z C {0} Arg z definisce unafunzione monodroma, cioe` una funzione in senso usuale.

    Le (3.1) consentono subito di passare dalla forma trigonometrica a quellaalgebrica. Ad esempio [

    1 ,pi

    2

    ]= cos

    pi

    2+ j sin

    pi

    2= j .

    Effettuiamo loperazione inversa per z 6= 0. Banalmente, se z = x e` realepositivo, risulta = x e (una determinazione di) = 0; se z = x < 0, e` = x e = pi; se z = j y e` immaginario con y > 0, e` = y e = pi/2; sez = j y con y < 0, e` = y e = pi/2. Esclusi questi casi, risulta cos 6= 0e quindi da (3.1) ricaviamo

    (3.5) tan =y

    x,

    da cui

    (3.6) =

    arctan

    y

    x, se x > 0;

    arctany

    x+ pi , se x < 0.

    ESEMPIO 3.1. Volendo scrivere in forma trigonometrica 1 j, trovia-mo =

    2 ed usando (3.6) = 54pi. Osserviamo che 1j cade nel terzo qua-

    drante, quindi ha una determinazione dellargomento verificante pi < < 32pi

  • Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienzedi Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi diNapoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studidi Napoli Federico II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universita` degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Cac