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Appunti per gli esercizi di Misure Geodetiche
Ludovico Biagi
M. Clara de Lacy
Marco Scuratti
versione 21 aprile 2004.
Esercizi introduttivi: algebra delle matrici.
Questa sezione illustra alcune operazioni fondamentali eseguibili su matrici e vettori.
1. Prodotto vettore per matrice.
����
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����
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���
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���
�
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�
����
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����
�
�
�
21623
231
,
100324111
201
aMbaM
2. Prodotto matrice per matrice.
����
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����
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�
���
���
�
�
���
�
�
�
����
�
�
����
�
�
�
1115
2423
111201
,
100324111
201
AMBAM
3. Prodotto di una matrice per la sua trasposta.
��
���
��
���
�
�
���
�
�
��
��
���
�
�
��
���
�
�
���
�
�
��
�2336
111201
110121
111201
AAA T
4. Inversione di una matrice diagonale.
���
�
�
���
�
�
���
���
�
�
���
�
�
�
�
�
51
211
0000001
500020001
ABA
5. Inversione di una matrice piena.
���
�
�
���
�
�
��
�
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���
�
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��
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��
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��
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���
�
�
�
��
�
�
��
���
�
�
���
�
�
�
�
�
�
16.024.004.004.056.024.02.02.02.0
4611146555
251
412111322
5.075.05.05.025.15.05.175.35.2
232252
61510
41
501220031
1
1
CDC
ABA
6. Vettore per matrice per vettore.
24231
,221110012
��
���
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
�� aMabaM T
7. Rango di una matrice
Il rango di una matrice è definibile come:
� il numero di colonne linearmente indipendenti (per una matrice disegno di un problema
ai MQ);
� l’ordine massimo delle sottomatrici quadrate estratte, aventi minore(determinante)
diverso da zero;
� il rango di una matrice è massimo quando: 00 ���� xxA
8. Costruzione di una matrice disegno.
A partire da un triangolo di livellazione, formato dai punti A, B, C, costruire la matrice disegno
nel caso di 1, nessuna quota nota. In quest’ultimo caso mostrare che la matrice disegno ha
determinante pari a zero.
Nota: dBA=HA-HB
HA nota.
���
�
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���
�
�
���
���
��
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
A
A
C
B
CA
BC
BA
H
H
HH
ddd
010
1101
Nessuna quota nota.
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
�
�
�
�
���
�
�
���
�
�
C
B
A
CA
BC
BA
HHH
ddd
101110011
� col_I = -1*(col_III + col_II)
Esercizio 1
Della seguente rete di livellazione si misurano i dislivelli dq1-2, dq2-3, dq3-1, ottenendo i valori
osservati:
mdqmdqmdq
Obs
Obs
Obs
030.29503.13525.15
13
32
21
��
�
�
�
�
�
Sapendo che la quota del punto 1 è nota, con Q1=100 m, e che le misure sono state effettuate in
maniera indipendente e con ugual precisione, effettuare la stima ai minimi quadrati delle quote Q2 e
Q3; effettuare quindi la stima 20�̂ di 2
0� e calcolare le precisioni di stima (sqm) per le quote.
Risultati
mQQ
��
���
���
�
���
�
029.129526.115
3
2
2520 1013.0ˆ m�
���
��
���
��
����
�
���
�
�
�
m
mmCQ
Qxx 3
2
3225
10943.0ˆ
10943.0ˆ
2112
31013.0
�
�
Esercizio 2
Della seguente rete di livellazione si misurano i dislivelli dq1-2, dq2-3, dq3-1, ottenendo i valori
osservati:
mdqmdqmdq
Obs
Obs
Obs
030.29503.13525.15
13
32
21
��
�
�
�
�
�
dove le osservazioni sono state effettuate in maniera indipendente con ugual precisione,
ICyy20�� . Si ipotizza che la quota del punto 1 sia stata osservata con Q1=100 m e
220
2 11
mQ�
�� � ,con 0�� . Effettuare la stima ai minimi quadrati delle quote Q1, Q2 e Q3 e quindi
la stima 20�̂ di 2
0� ; calcolare le precisioni di stima, sqm, per le quote nei seguenti casi:
1. �� 0.0001, ovvero 1Q
� grande.
2. �� 10000, ovvero 1Q� piccolo.
Confrontare i risultati ottenuti con quelli dell’esercizio precedente.
Risultati
mQQQ
���
�
�
���
�
�
�
���
�
�
���
�
�
029.129526.115
100
3
2
1
2520 1013.0ˆ m�
���
Caso 1
m
m
m
Q
Q
Q
115473.0ˆ
115473.0ˆ
115470.0ˆ
3
2
1
�
�
�
�
�
�
Caso 2
Esercizio 3
Siano P1 e P2 due punti di quota nota, pari rispettivamente a
Q(P1)=110.050 m
Q(P2)=23.800 m
Siano P3 e P4 due punti la cui quota è viceversa da determinare; a tal fine (vedi figura) sono stati
misurati i seguenti dislivelli
q(1-3)oss = -59.735 m
q(2-3)oss = 26.530 m
q(3-4)oss = 85.500 m
q(1-4)oss = 25.765 m
q(2-4)oss = 112.000 m
1. Sapendo che le osservazioni sono scorrelate e di uguale precisione (ovvero Cyy= �20I, con
�2
0= 4 x 10-4 m2) si stimino mediante minimi quadrati le quote dei punti P3 e P4.
2. Quindi si verifichi la correttezza del modello globale mediante test del �2, con �=5%.
3. Infine si calcolino le precisioni per le stime dei parametri incogniti, ovvero �(QP3) e
�(QP4).
Risultati
Posizione del problema
������
�
�
������
�
�
�
�
�
�
���
���
�
������
�
�
������
�
�
�
������
�
�
������
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2
1
4
3
42
41
43
32
31
0
1010110101
dqdqdqdqdq
Obs
Risultati numerici
mQ
mQ
81125.135ˆ31875.50ˆ
4
3
�
�
81.7%)5(84375.0ˆ10125.1ˆ
22
2420
����
���
���
�
teorico
m
mmQQ 4952.6)()( 43 ����
Esercizio 4
Sia dato il modello lineare bxAy �� ; con
�����
�
�
�����
�
�
�
4
3
2
1
yyyy
y ,
�����
�
�
�����
�
�
�
��
21
21
A , � �xx � ,
�����
�
�
�����
�
�
�
��
13
12
b e si
supponga di aver eseguito l’osservazione di y, )8.2,7.1,2.2,1.3( ���
T
oy .
Sia inoltre il modello stocastico IC yy20�� . Sapendo sulla base della conoscenza del processo di
osservazione, che 2.00 � , si vuole verificare la correttezza del modello globale mediante il test
del �.2 con �=1%.
Risultati
36.0ˆ �x
�����
�
�
�����
�
�
�
���
72.164.2
28.036.2
ˆˆ bxAy
�����
�
�
�����
�
�
�
�
����
08.194.092.1
74.0
ˆ0
yy�
0946.2ˆ 20 ��
3.11%)1(ˆ10025.157ˆ 22���� ��� teoricosp
Il test non viene superato; il vettore degli scarti normalizzati è il seguente
�����
�
�
�����
�
�
�
�
��
�����
�
�
�����
�
�
�
�
��
96336.068462.071265.1
538956.0
39.199.048.2
78.0
ˆ1
20�
u
E’ possibile effettuare un test sullo scarto normalizzato appena individuato. In generale, lo scarto
i-esimo non è outlier se, al livello scelto e per il numero di gradi di libertà del problema, si verifica
la seguente condizione:
|scarto normalizzato| gdl,���
Si ricorda che la distribuzione è simmetrica e che pertanto è necessario prestare attenzione alla
tabella a disposizione.
E’ prassi sostituire la distribuzione di Thompson con la distribuzione t di Student. Una volta
individuato l’outlier, si può dunque ripetere la compensazione ai MQ rimuovendo la corrispondente
osservazione.
In questo esercizio, il numero di gradi di libertà è pari a 3. Se vogliamo un livello di
significatività alfa=5%, dobbiamo trovare l’ascissa tale che
Tornando alla distribuzione Tau di Thompson, i valori teorici per la distribuzione sono:
�� t.995 t.990 t.975 t.950 t.900 t.800 t.750 t.700 t.600 t.550
3 1.7147 1.6974 1.6454 1.5588 1.3856 1.0392 0.8660 0.6928 0.3464 0.1732
Esercizio 5
Siano stati misurati da quattro punti, 4321 ,,, PPPP di quota nota,
mHmHmHmH
945.25660.2325.055.10
4
3
2
1
�
�
�
�
i dislivelli ad un punto di quota incognita P, ottenendo i seguenti valori:
mdHmdH
mdHmdH
P
P
P
P
940.24670.1
670.0540.9
4
3
2
1
��
��
�
��
Si ipotizza che le osservazioni di dislivello siano tutte caratterizzate dalla medesima precisione,
ovvero
IC yy20�� ; con 242
0 10 m�
�� .
Dato il problema nella forma � � bAxyE o �� si stimi ai minimi quadrati la quota del punto P.
Verificare quindi correttezza del modello globale mediante il test del 2� , con %5�� Qualora il
test del 2� venga superato si stimino la matrice di covarianza e la precisione della soluzione.
Qualora il test non sia superato si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier
Risultati
�����
�
�
�����
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
1111
940.24670.1
670.0540.9
A
myo
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
945.25660.2325.0550.10
b
Hx P
41
4
1�
�
�N
N
m
my
mx
�����
�
�
�����
�
�
�
��
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
005.0010.0005.0
010.0
ˆ
945.24660.1
675.0550.9
ˆ
1ˆ
�
Esercizio 6.
Siano stati misurati da quattro punti, 4321 ,,, PPPP di quota nota,
H1 = 25.124 [m]
H2 = 7.212 [m]
H3 = 2.655 [m]
H4 = 37.210 [m]
i dislivelli ad un punto di quota incognita P, ottenendo i seguenti valori:
d1P = -6.860 [m]
d2P = 1.003 [m]
d3P = 15.612 [m]
d4P = -18.978 [m]
Si ipotizza che le osservazioni di dislivello siano tutte caratterizzate dalla medesima precisione,
ovvero
IC yy20�� ; con 242
0 10 m�
�� .
Dato il problema nella forma � � bAxyE o �� si stimi ai minimi quadrati la quota del punto P.
Verificare quindi correttezza del modello globale mediante il test del 2� , con %5�� Qualora il
test del 2� venga superato si stimino la matrice di covarianza e la precisione della soluzione.
Qualora il test non sia superato si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier
Risultati
mHx P 224.18ˆ ��
� � � �mbxAy TT 012.0023.0029.0020.0ˆˆ0
��������
Esercizio 7
a) Dato un punto P0 di coordinate geodetiche:
�0 =37o 09’26.8617’’ N
�0 = 3o 50’ 16.0890’’ W
h0 = 724.670 m
rispetto all’ellissoide caratterizzato dai seguenti parametri (ellissoide GRS80)
a=6378137.000 m
b=6356752.314 m
si calcolino le coordinate cartesiane geocentriche del punto P0.
b) Sia P il punto di coordinate cartesiane geocentriche:
X= 5078620.539 m
Y=-340687.296 m
Z=3831772.512 m
Si chiede di calcolare le coordinate geodetiche ),,( h�� rispetto all’ellissoide GRS80.
c) Sia il punto P0 di coordinate geodetiche
�0 =37o 14’7.747582’’ N
�0 = 4o 02’14.455679’’ W
h0 = 734.501 m
Sia dato un sistema cartesiano locale con origine in P0 e gli assi orientati nel seguente modo:
z lungo la normale ellissoidica per P0 e diretto verso l’alto
y lungo il meridiano, diretto verso Nord (coordinata N)
x lungo il parallelo diretto verso Est (coordinata E)
Nel sistema di coordinate geodetiche si consideri il punto P1 di coordinate:
�1 =37o 09’26.8617’’ N
�1 = 3o 50’16.089’’ W
h1= 724.670 m
sapendo che l’ellissoide rispetto al quale sono fornite le coordinate geodetiche è il GRS80, si
calcolino le coordinate cartesiane locali del punto P1.
Risultati
a)
X= 5078620.539 m
Y=-340687.296 m
Z=3831772.512 m
b)
� =37o 09’26.8617’’ N
� = 3o 50’ 16.089’’ W
h = 724.671 m
c)
x1 = +17727.2322 m
y1 = - 8641.4966 m
z1 =-40.3038 m
Esercizio 8
a) Sia il punto P di quota h = 0; si calcoli il disturbo troposferico con il modello di Saastamoinen
(Hp di una atmosfera standard) per un segnale con angolo di elevazione (�) 90º, 50º, 10º.
b) Si consideri i punti :
P1 di quota 500 m
P2 di quota 1000 m
P3 di quota 2000 m
P4 di quota 4000 m
Si calcoli il disturbo troposferico con il modello di Saastamoinen (una atmosfera standard)
per un segnale con angolo di elevazione 90º.
c) Calcolare il disturbo ionosferico per un punto di coordinate geodetiche
� = 45�0’0’’
� = 10�0’0’’
il 9 marzo 2001 alle ore 1, 7, 13, 19, per le portanti L1 e L2 per un segnale proveniente da
���� 10,90 �� .
1.0 IONOSPHERE MAPS GPS IONEX VERSION / TYPE
GPSEST V4.3 AIUB 12-MAR-01 22:19 PGM / RUN BY / DATE
CODE'S GLOBAL IONOSPHERE INFO FOR DAY 068, 2001 COMMENT
The global ionosphere maps are generated on a daily basis DESCRIPTION
by the Center for Orbit Determination in Europe (CODE), DESCRIPTION
University of Berne, Switzerland. DESCRIPTION
The TEC is modeled with a spherical harmonic expansion up DESCRIPTION
to degree 12 and order 8 referring to a solar-geomagnetic DESCRIPTION
reference frame. The 12 2-hour sets of 149 ionosphere DESCRIPTION
parameters per day are derived from GPS data of the global DESCRIPTION
IGS (International GPS Service) network. DESCRIPTION
Contact address: [email protected] DESCRIPTION
Web site: http://www.aiub.unibe.ch/ionosphere.html DESCRIPTION
2001 3 9 1 0 0 EPOCH OF FIRST MAP
2001 3 9 23 0 0 EPOCH OF LAST MAP
7200 INTERVAL
12 # OF MAPS IN FILE
COSZ MAPPING FUNCTION
10.0 ELEVATION CUTOFF
One-way carrier phase leveled to code OBSERVABLES USED
144 # OF STATIONS
28 # OF SATELLITES
6371.0 BASE RADIUS
2 MAP DIMENSION
450.0 450.0 0.0 HGT1 / HGT2 / DHGT
87.5 -87.5 -2.5 LAT1 / LAT2 / DLAT
-180.0 180.0 5.0 LON1 / LON2 / DLON
-1 EXPONENT
TEC/RMS values in 0.1 TECU; 9999, if no value available COMMENT
List of stations: COMMENT
ajac albh algo alic alme amc2 ankr aoml areq artu asc1 auck COMMENT
bahr bili bogo bor1 brmu brus cagl cas1 casc cedu chat chur COMMENT
coco cord cro1 daej darw dav1 delf dgar dour drao dubo ebre COMMENT
eisl fair flin fort gala glsv gode gold gope gras graz guam COMMENT
harb helg hers hflk hob2 hofn hrao iisc irkt jama joen joze COMMENT
karr kely kerg kir0 kokb kosg kunm kwj1 lama lhas mac1 madr COMMENT
mag0 mar6 mas1 mate maw1 mcm4 mdo1 mdvo medi mets mkea nico COMMENT
nklg nlib not1 noum npld nrc1 ntus nya1 ohig onsa penc petp COMMENT
pie1 pimo pol2 pots ptbb ramo reyk riog riop sant sch2 sele COMMENT
shao sjdv soda stjo suth suwn syog ters thti thu1 tidb tixi COMMENT
tlse tow2 tro1 tskb upad urum usnb usno usud vaas vil0 vill COMMENT
wes2 whit will wsrt wtzr wuhn yakz yar1 yell yssk zeck zimm COMMENT
DIFFERENTIAL CODE BIASES START OF AUX DATA
01 -1.099 0.032 PRN / BIAS / RMS
02 -2.398 0.033 PRN / BIAS / RMS
03 -0.431 0.033 PRN / BIAS / RMS
04 0.542 0.034 PRN / BIAS / RMS
05 -0.492 0.033 PRN / BIAS / RMS
06 -0.095 0.033 PRN / BIAS / RMS
07 -1.983 0.035 PRN / BIAS / RMS
08 -0.882 0.033 PRN / BIAS / RMS
09 0.253 0.034 PRN / BIAS / RMS
10 -2.115 0.034 PRN / BIAS / RMS
11 2.328 0.033 PRN / BIAS / RMS
13 4.044 0.032 PRN / BIAS / RMS
14 3.551 0.034 PRN / BIAS / RMS
15 -1.508 0.042 PRN / BIAS / RMS
17 -1.537 0.033 PRN / BIAS / RMS
19 -1.829 0.033 PRN / BIAS / RMS
20 1.158 0.033 PRN / BIAS / RMS
21 -1.610 0.032 PRN / BIAS / RMS
22 -0.769 0.033 PRN / BIAS / RMS
23 -1.306 0.034 PRN / BIAS / RMS
24 -2.649 0.034 PRN / BIAS / RMS
25 1.603 0.034 PRN / BIAS / RMS
26 0.483 0.033 PRN / BIAS / RMS
27 -0.635 0.033 PRN / BIAS / RMS
28 3.421 0.034 PRN / BIAS / RMS
29 1.515 0.034 PRN / BIAS / RMS
30 1.835 0.033 PRN / BIAS / RMS
31 0.603 0.033 PRN / BIAS / RMS
DCB values in ns; sum of all values constrained to zero COMMENT
DIFFERENTIAL CODE BIASES END OF AUX DATA
END OF HEADER
1 START OF TEC MAP
2001 3 9 1 0 0 EPOCH OF CURRENT MAP
87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
193 195 196 196 197 197 198 197 197 197 196 195 194 193 192 190
188 187 185 183 181 179 177 175 174 172 170 168 167 165 164 162
161 160 159 158 157 156 156 155 155 154 154 154 154 154 154 155
155 156 156 157 158 160 161 162 164 166 167 169 171 173 175 177
179 181 183 185 187 189 191 192 193
85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
208 211 213 215 216 217 218 218 217 216 215 213 210 208 205 201
197 194 190 186 182 178 174 170 166 163 160 157 155 153 150 149
147 145 144 143 141 140 139 138 137 136 136 135 135 134 134 134
134 135 136 137 138 140 142 145 148 151 154 158 162 166 170 174
178 182 187 191 195 198 202 205 208
82.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
.
45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
441 416 389 366 351 346 353 368 386 402 410 410 400 385 365 342
316 288 258 229 202 182 169 161 155 148 138 124 110 98 91 90
93 100 107 112 115 116 117 119 121 124 126 125 121 115 106 96
88 85 89 102 123 151 184 219 254 288 319 348 375 402 426 449
468 482 492 497 496 491 480 463 441
.
2001 3 9 7 0 0 EPOCH OF CURRENT MAP
87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
214 211 208 205 202 199 196 193 190 187 185 182 180 178 176 174
173 172 171 170 169 169 170 170 171 172 173 175 177 179 182 184
187 190 193 196 200 203 206 209 213 216 219 222 225 227 230 232
234 236 237 239 240 241 241 242 242 242 241 241 240 239 238 236
234 232 230 228 226 223 220 217 214
85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
218 213 207 201 196 190 184 179 174 169 164 159 155 151 147 144
141 138 136 135 134 133 133 134 135 137 139 143 146 151 155 161
166 172 179 185 191 198 204 211 217 223 228 234 239 243 247 251
254 257 260 262 264 265 266 266 267 266 266 265 263 262 260 257
254 251 247 243 238 234 229 224 218
.
. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
236 217 200 185 173 165 158 152 145 134 121 106 92 80 71 66
64 63 63 63 62 61 61 61 63 65 67 69 70 71 71 73
79 92 111 138 169 202 233 261 286 309 332 356 382 409 435 459
478 491 500 505 505 502 496 487 474 458 440 421 401 384 368 354
343 332 322 311 300 287 272 254 236
42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
220 197 176 159 147 140 137 136 135 131 124 114 104 93 86 82
81 82 84 86 87 88 88 88 88 89 90 90 89 86 84 84
89 100 121 149 182 216 250 279 305 328 351 376 403 430 455 478
496 509 517 522 523 521 515 505 491 474 455 435 415 398 384 371
359 348 335 321 304 285 265 243 220
.
2001 3 9 13 0 0 EPOCH OF CURRENT MAP
87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
162 162 162 161 161 161 160 160 160 159 159 159 158 158 158 158
159 159 159 160 160 161 162 163 164 165 166 167 168 170 171 172
173 174 175 176 177 177 178 178 179 179 179 179 179 178 178 177
177 176 175 175 174 173 172 171 170 170 169 168 168 167 166 166
165 165 164 164 164 163 163 163 162
85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
157 157 157 156 156 155 154 153 152 151 149 148 147 147 146 146
145 146 146 147 148 150 152 154 156 159 161 164 167 170 172 175
178 180 182 184 186 187 188 189 189 189 189 188 187 186 185 183
181 179 177 175 172 170 168 166 164 162 161 159 158 157 156 156
156 156 156 156 156 156 157 157 157
.
. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
129 133 134 133 127 118 106 95 84 75 69 63 59 57 59 65
79 99 124 153 181 207 230 251 272 293 316 339 360 376 387 392
393 392 393 395 397 400 400 398 395 391 389 389 390 391 388 380
367 347 323 297 270 245 223 203 187 174 164 157 154 152 152 152
150 147 142 136 130 126 125 126 129
42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
126 134 140 143 142 135 125 114 102 91 82 75 70 68 71 80
97 120 148 178 207 232 253 272 291 311 333 355 374 389 399 404
407 410 416 422 429 433 433 428 421 414 409 406 405 403 398 387
371 349 323 297 271 249 229 211 197 184 173 165 159 155 153 151
148 143 137 130 124 119 118 120 126
..
. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
198 223 250 277 305 332 358 381 400 414 423 427 428 427 427 426
426 424 421 416 410 404 399 395 392 388 383 375 364 349 332 313
293 273 253 234 215 197 182 171 164 161 162 163 164 164 161 157
151 145 140 136 134 133 132 133 134 138 142 148 154 159 162 161
158 151 145 140 140 146 158 175 198
42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H
212 240 268 297 326 354 381 406 427 443 455 461 464 464 464 463
461 458 452 444 435 427 419 413 408 402 394 383 368 351 333 315
297 279 261 242 223 204 187 174 166 162 163 165 166 166 162 156
148 141 136 133 132 133 134 137 140 144 149 156 162 167 169 168
163 155 147 143 143 151 166 187 212
Risultati
esercizio Ritardo umido [m] Ritardo secco [m] ritardo troposferico [m]
a.I 0.103691 2.307170 2.410861
a.II 0.135359 3.009377 3.144737
a.III 0.597134 12.798921 13.396055
b.I 0.061769 2.174162 2.235931
b.II 0.036601 2.047423 2.084025
b.III 0.012649 1.811848 1.824498
b.IV 0.001418 1.406285 1.407703
c)
Disturbo ionosferico in metri (�=10º)
ora/portante 1 7 13 19L1 10.9 21.7 37.4 17L2 18 35.8 61.6 28
Disturbo ionosferico in metri (�=90º)
ora/portante 1 7 13 19L1 1.9 3.8 6.5 3L2 3.1 6.2 10.7 4.9
Esercizio 9
Nello spazio a due dimensioni sia P un punto di posizione incognita; siano invece P1, P2, P3 e P4
quattro punti di posizione nota:
;1010
;15
5;
155
;1010
4321 mPmPmPmP ��
���
���
�
���
���
�
���
� ���
�
���
���
Da P sono state misurate le distanze ai quattro punti P1, P2, P3 e P4, ottenendo i valori
mD
mD
mD
mD
ObsP
ObsP
ObsP
ObsP
141.14
811.15
812.15
142.14
4
3
2
1
�
�
�
�
Sapendo che le misure sono caratterizzate dalla medesima precisione e sono fra loro scorrelate,
ovvero ICyy20�� , con 2
0� =10-4 m2 e conoscendo una posizione approssimata per P, data da
mP ��
���
��
00~
si costruisca il sistema di equazioni di osservazione non lineari fra la posizione incognita di P e
le osservazioni di distanza; quindi lo si linearizzi e si fornisca la stima ai minimi quadrati delle
coordinate di P; si verifichi con livello di significatività � =5% la correttezza del modello globale e
quindi si stimino le precisioni delle coordinate di P.
Risultati
Linearizzazione e posizione del problema
ObsPPiP
iP
iP
PPiP
iP
iPi
Pi
P
Obsi
Pi
PiP
YYYYXX
YY
XXYYXX
XXYYXX
YYXXDObs
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)~(
)~()~()~(
)~()~()~(
)()(
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22
22
22
ovvero
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���
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����������
�
�
��
��
��
��
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�����
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~~
~~~~
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
PP
PP
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
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DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DDDD
DDDD
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Obs
Obs
Obs
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��
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����
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����
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�
)~()~(
142136.1410
142136.1410
811389.1515
811389.155
811389.1515
811389.155
142136.1410
142136.1410
142136.14811389.15811389.15142136.14
141.14811.15812.15142.14
PP
PP
YYXX
Valori stimati
mmmYY
mmmXX
P
P
YPP
XPP
0003760.0000246.0000246.0~ˆ
0005743.0000852.0000852.0~ˆ
ˆ
ˆ
����
����
�
�
Esercizio 10
Nello spazio a due dimensioni sia un punto P di posizione incognita; siano invece P1, P2 , P3 e P4
quattro punti di posizione nota:
Punto Coordinata X Coordinata Y
P1 20000.0 Km 0.0 Km
P2 14142.136 Km 14142.136 Km
P3 0.0 Km 20000.0 Km
P4 18330.303 Km 8000.0 Km
Da P sono state misurate le distanze ai punti P1, P2 , P3 e P4 . I valori ottenuti sono:
Osservazioni
D1OSS 16318.529 Km
D2OSS 13999.999 Km
D3OSS 16318.525 Km
D4OSS 14580.320 Km
Sapendo che le osservazioni sono caratterizzate dalla medesima precisione e sono fra loro
scorrelate,
ovvero IC 20�� , con 22
0 100m�� e conoscendo la posizione approssimata di P, data da
P X�4242.641 Km Y�4242.641 Km
1. Si scriva l’equazione di osservazione dal punto P agli altri punti.
2. Si formalizzi il problema ai minimi quadrati linearizzato, da risolvere rispetto alla posizione di P
3. Si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione di P.
4. Si calcolino gli scarti delle osservazioni, il 20�̂ e si effettui il test sul modello globale con
%5�� .
5. Qualora il test non passi si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier.
Risultati
Linearizzazione e posizione del problema
ObsPPiP
iP
iP
PPiP
iP
iPi
Pi
P
Obsi
Pi
PiP
YYYYXX
YY
XXYYXX
XXYYXX
YYXXDObs
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���
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��
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�����
�����
)~()~()~(
)~(
)~()~()~(
)~()~()~(
)()(
22
22
22
22
ovvero
��
���
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�
�����������
�
�
��
��
��
��
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������
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�
)~()~(
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~
~
~
~
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
PP
PP
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
YYXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
D
D
D
D
D
D
D
D
Obs
Obs
Obs
Obs
Valori stimati
KmmKYY
KmKmXX
PP
PP
623251.4242017748.0~ˆ564001.4242076998.0~ˆ
���
���
99.5%)5(102348.0ˆ01174.0ˆ
232
220
�����
�
���
�
teoricsp
Km
Il test non viene superato; il vettore degli scarti normalizzati è il seguente
����
�
�
����
�
�
�
�
�
�
����
�
�
����
�
�
�
�
�
�
4141916.1006419.0860867.0871769.0
153255.0000696.0093291.0094473.0
ˆ1
20�
u
Quindi l'eventuale outlier è nella quarta osservazione. Si può dunque ripetere la compensazione
ai MQ rimuovendo la corrispondente osservazione.
Esercizio 11
Sia R un ricevitore di posizione incognita che, nella semplificazione a due dimensioni (vedi
disegno), effettua osservazioni di codice ai satelliti S1, S2, S3, S4 e S5.
Valgano ora le seguenti ipotesi semplificative:
1. siano nulli il disturbo troposferico T ed il disturbo ionosferico I per tutte le osservazioni;
2. siano noti a priori e nulli tutti i termini di errore d’orologio, sia del ricevitore (dTR) sia dei
satelliti (dTSJ);
3. le osservazioni siano caratterizzate dalla medesima precisione, e reciprocamente scorrelate
)4,( 220
20 mIC yy �� �� .
Le osservazioni di codice effettuate ai satelliti sono le seguenti
Satellite Osservazione di Codice
P1OSS 16318.530 Km
P2OSS 14000.002 Km
P3OSS 16318.527 Km
P4OSS 14637.970 Km
P5OSS 14638.755 Km
Si conoscano inoltre, dalle efemeridi, le posizioni dei satelliti
Satellite Coordinata X Coordinata Y
S1 20000.0 Km 0.0 Km
S2 14142.136 Km 14142.136 Km
S3 0.0 Km 20000.0 Km
S4 18477.590 Km 7653.669 Km
S5 7653.669 Km 18477.590 Km
e la posizione approssimata del ricevitore
R X�4242.641 Km Y�4242.641 Km
1. Si scriva l’equazione di osservazione dal ricevitore al generico satellite SJ, linearizzata rispetto
alle incognite di posizione del ricevitore stesso.
2. Si formalizzi quindi il problema ai minimi quadrati linearizzato, da risolversi rispetto alla
posizione del ricevitore.
3. Si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione del ricevitore.
4. Si calcolino gli scarti di osservazione e il 20�̂ ; si effettui quindi un test sul modello globale
mediante test del �2, con �=5%. Qualora il test non venga superato si calcolino gli scarti
normalizzati e si identifichi il sospetto outlier.
Risultati
Come nel caso precedente, però con cinque satelliti, si arriva alla
������
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������
�
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�������������
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��
��
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5
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3
2
1
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
5
4
3
2
1
~~~~~
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~~
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R
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R
R
R
R
R
DDDDD
YYXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
DYY
DXX
PPPPP
Obs
Obs
Obs
Obs
Obs
Valori stimati
Parametri incogniti
KmmKYY
KmKmXX
PP
RR
321533.4242319467.0~ˆ603047.4242037953.0~ˆ
���
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Scarti di osservazione e test globale sul modello:
814.7%)5(104762ˆ1397.0ˆ
509228.0067608.0299896.0250824.0
048127.0
ˆ
22
220
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teorico
obs
Km
KmPPv
Il test non viene superato; il vettore degli scarti normalizzati è il seguente
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7298996.1229670.0082884.1825367.0
173781.0
646538.0085837.0404720.0308475.0
064949.0
ˆ1
20�
u
Quindi l'eventuale outlier è nella quinta osservazione. Si può dunque ripetere la compensazione
ai MQ rimuovendo la corrispondente osservazione.
Esercizio 12
Sia R un ricevitore di posizione incognita che, nella semplificazione a due dimensioni (vedi
disegno), effettua osservazioni di codice a cinque satelliti S1, S2, S3, S4 e S5.
Le osservazioni di codice effettuate ai satelliti sono le seguenti
Satellite Osservazione di Codice
P1OSS 22380.127 Km
P2OSS 19894.208 Km
P3OSS 19500.004 Km
P4OSS 19894.698 Km
P5OSS 22381.092 Km
Si conoscano dalle efemeridi le posizioni e gli errori di orologio dei satelliti
Satellite X [km] Y [km] dT [ns]
S1 18738 18738 1000
S2 24802 7800 2000
S3 26000 0 0
S4 24802 -7800 500
S5 18738 -18738 -2000
Siano inoltre dati i seguenti valori di disturbo troposferico e ionosferico per le osservazioni
Satellite T [m] I [m]
S1 10 20
S2 5 10
S3 2 4
S4 5 10
S5 10 20
Sia la posizione approssimata del ricevitore
R X�6500 Km Y� 0 Km
Si scriva l’equazione di osservazione dal ricevitore al generico satellite SJ, linearizzata rispetto
alle incognite di posizione del ricevitore stesso. Si formalizzi quindi il problema ai minimi quadrati
linearizzato, da risolversi rispetto alla posizione del ricevitore. Si calcolino matrice disegno A,
termine noto b e vettore delle osservazioni y0, corrispondenti ai dati numerici forniti. Nell’ipotesi
che le osservazioni siano caratterizzate dalla medesima precisione, e reciprocamente scorrelate
(C=�2I), si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione del ricevitore. Si calcolino infine
gli scarti di osservazione, il 20�̂ e le precisioni per i parametri stimati.
Risultati
Il sistema linearizzato è dato dalla
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Obs
Obs
Obs
Obs
Obs
ove si è posto iR
iR
iiR
iR ITdTcPY �����
KmY iRObs
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462.22380833.19894998.19499793.19894397.22380
Valori stimati
Parametri incogniti
nsdTKmmKYY
KmKmXX
R
PP
RR
589885.387041011.0041011.0~ˆ
116909.6500116909.0~ˆ
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Scarti di osservazione
Kmv
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001983.0004752.0001367.0003091.0
001689.0
ˆ
220 00002039.0ˆ Km��