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APRENDER MATEMÁTICAS

© JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS—PEDRO M. RIVERA LEBRATO 76

TEMA 4



Números Racionales

Los números racionales son los números que pueden expresarse como cociente de números enteros.

Los números enteros son también racionales, pues pueden ser expresados en forma de fracción.

Ejemplo:

Cuando el numerador es menor que el denominador la fracción representa parte de un objeto, diremos entonces

que la fracción es propia. Si ocurre al revés, la fracción representa más de un objeto, decimos entonces que la

fracción es impropia. ( cuando el numerador es mayor que el denominador )

4282

24

−=−+

+=++

Fracciones equivalentes:

Si tomamos como unidad una figura cualquiera, por ejemplo un cuadrado, y representamos las fracciones

Puedes observar que estas tres fracciones representan la misma porción del cuadrado, decimos que estas fraccio-

nes son equivalentes.

12

24

48

, ,

12

24

48



Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas resulta de multiplicar o dividir los dos términos de la otra por

un mismo número.

Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por un mismo número, la fracción no varía.

Ejemplos:

.......4•34•2

3•33•2

2•32•2

=======128

96

64

32

..........5:1405:120

4:1404:120

2:1402:120

=======2824

3530

7060

140120

Representación de los números racionale

Si la fracción que queremos representar es una fracción propia ( el numerador es menor que el denomina-

dor ), su representación estará siempre entre 0 y 1 si la fracción es positiva, y entre 0 y - 1 si la fracción es negati-

va. A la hora de representarla, dividiremos la unidad en tantas partes como nos indique el denominador, y tomaremos

tantas como nos indique el numerador. Siempre representaremos la fracción irreducible de la fracción dada.

Ejemplo:

Representar gráficamente las fracciones siguientes: 32,

64,

53

−

El primer paso que tenemos que dar, es comprobar si las fracciones son irreducibles, caso de que no lo sean, las

simplificaremos hasta que lo sean.

En nuestro caso la única que no s irreducible es

Una vez simplificada la fracción, nos quedarán para representar, las siguientes fracciones:

4

6

32,

32,

53

−

Ahora procederemos a su representación gráfica



- 1 0 1

35

35

- 1 0 1

23

23

- 1 0 1

23

23

-

-

Si queremos representar fracciones impropias ( el numerador es mayor que el denominador), tendremos que averi-

guar a partir de qué unidad debemos representarlas, para ello la transformaremos en suma de un número entero más

una fracción propia, representando ésta como ya hemos explicado a partir del número entero que obtengamos.

Ejemplo:

Representar gráficamente las siguientes fracciones:

Transformamos ahora las fracciones en suma de un número entero más una fracción impropia:

7

2

11

3

23

5, y −

tendremos que representar partir del 3 la fracción

7 231

7

2

2 3 12

31

2=

+= +

•

21

- 3 - 2 - 1 0 1 32 4

12

= 72

3 +



Representa gráficamente las siguientes fracciones

4

15,27,

31,

21,

417,

211,

43,

45,

41,

31,

21

−−−−



Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es obtener otra fracción equivalente cuyos términos sean lo más pequeño posible.

Esto se puede hacer cuando el numerador y el denominador se pueden dividir por el mismo número. Cuando una

fracción no se puede simplificar más, se dice que es Irreducible.

Ejemplos:

24

36

24 2

36 2

12

18

12 2

18 2

6

9

6 3

9 3= = = = = =

:

:

:

:

:

:

2

3

80

96

80 2

96 2

40

48

40 2

48 2

20

24

20 2

24 2

10

12

10 2

12 2= = = = = = = =

:

:

:

:

:

:

:

:

5

6



EJERCICIOS NIVEL 1 Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:

129)e

96)d

105)c

128)b

1510)a

=

=

=

=

=

=

=

=

=

147)j

64)i

2010)h

1815)g

86)f




=

=

=

=

=

18056

)f

16842

)d

16599

)c

6424

)b

9680

)a

=

=

=

=

=

18072)j

6336)i

9054)h

4527)g

12654)f




=

=

=

=

24201200)d

660435)c

650540)b

155105)a

=

=

=

=

645465

)h

20201008

)g

188156

)f

945840

)e



Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras fracciones equiva-

lentes a las dadas, todas con el mismo denominador.

Para ello, se comienza por determinar el denominador común, que puede ser cualquier múltiplo común de

todos los denominadores, siendo aconsejable tomar siempre el mínimo común múltiplo de los denominadores. A

continuación, este denominador común se divide por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes

obtenidos por los numeradores correspondientes.

Ejemplo:

Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

En principio, se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores

m.c.m ( 5, 6, 4, 18 ) = 180

El valor que resulta se toma como denominador común. A continuación, para hallar los numeradores de las

fracciones, se divide el denominador común por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes por

los numeradores correspondientes:

Numerador de la primera fracción = ( 180 : 5 )·4 = 36·4 = 144

Numerador de la segunda fracción = ( 180 : 6 )·5 = 30·5 = 150

Numerador de la tercera fracción = ( 180 : 4 )·1 = 45·1 = 45

Numerador de la cuarta fracción = ( 180 : 18 )·5 = 10·5 = 50

Como consecuencia, las fracciones una vez reducidas a denominador común, quedan de la siguiente forma:

4

5

5

6

1

4

5

18, , ,

144

180

150

180

45

180

50

180, , ,



Ejercicios NIVEL 1

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

65y

32)d

85y

43)c

43y

31)b

53y

32)a

31y

72)h

106y

157)g

52y

31)f

107y

53)e



Ejercicios NIVEL 2


145y

21,

76)d

107y

53,

21)c

154y

107,

53)b

87y

65,

43)a

43y

61,

1210)h

32y

65,

103)g

65y

32,

97)f

127y

85,

41)e



Ejercicios NIVEL 3


3023y

2017;

65;

1512)c

2512y

109;

157;

203)b

53y

32;

159;

65)a

54y

3014;

159;

107)f

53y

97;

159;

65)e

2423y

1211;

87;

1615)d



Comparación de fracciones Hay tres caso de comparación de fracciones:

1.- Si las fracciones tienen el mismo denominador, será mayor la fracción cuyo numerador sea mayor.

2.- Si las fracciones tienen el mismo numerador, será mayor la fracción cuyo denominador sea menor.

3.- Si las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos, se reducen a denominador común y

se aplica el caso 1.

Ejemplo:

Ordenar, de menor a mayor las siguientes fracciones:

m.c.m (2, 8 y 12 ) = 24

Las fracciones equivalentes a las dadas son:

Y, a continuación, tomando como base de comparación los numeradores, se procede a ordenar las fracciones

de igual denominador:

Y, por último las fracciones iniciales equivalentes a éstas:

83

85

>

93

75

>

125y

83,

21

125y

83,

21

2410y

249,

2412

⇒

2412

2410

249

<<

21

125

83

<<



Ejercicios NIVEL 1

1.- Compara las siguientes fracciones:

85y

95)g

1411y

1413)f

43y

53)e

73y

72)d

511y

611)c

98y

78)b

113y

1164)a

1210y

65)n

1211y

98)m

43y

54)l

154y

52)k

65y

96)j

65y

32)i

149y

74)h



Ejercicios NIVEL 2


145y

21,

76)d

53y

95,

127)c

154y

107,

53)b

87y

65,

43)a

43y

61,

1210)h

32y

65,

103)g

65y

32,

97)f

127y

85,

41)e



Ejercicios NIVEL 3


3023y

2017;

65;

1512)c

2512y

109;

157;

203)b

53y

32;

159;

65)a

54y

3014;

159;

107)f

53y

97;

159;

65)e

2423y

1211;

87;

1615)d



Suma de números racionales:

Para poder sumar números racionales debemos seguir las siguientes reglas:

* Si los sumandos tienen el mismo denominador, el resultado tiene el mismo denominador y como nu-

merador la suma de los numeradores.

Ejemplos:

1.-

2.-

* Si los sumandos tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se

procede como en el apartado anterior.

Ejemplos:

1.-

2.-

5

13

4

13+ =

9

13

1125

725

+ =1825

3

8

7

20

15

40

14

40+ = + =

29

40

54

7

5

1

4

7

35

7

4

7+ = + = + =

39

7

Resta de números racionales:

Para restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto al sustraendo, siguiendo las reglas ante-

riores para la suma.

Ejemplos:

1.-

2.-

9

13

5

13

9

13

5

13

9 5

13− = +

−=

−=

4

13

( )7

12

9

16

7

12

9

16

28

48

27

48

28 27

48

28 27

48− = +

−= +

−=

+ −=

−=

1

48



Multiplicación de números racionales:

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por

denominador el producto de los denominadores.

Ejemplos:

1.-

2.-

División de números racionales:

Para dividir dos números racionales, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor.

O también:

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la pri-

mera por el denominador de la segunda y por denominador el producto del denominador de la primera por el

numerador de la segunda.

Ejemplos:

1.-

2.-

5

8

3

7

5 3

8 7•

•

•= =

15

56

4

15

5

12

4 5

15 12

20

180•

•

•= = =

1

9

5

8

3

758

73

5 7

8 3:

35

24= = =•

•

•

4

15

5

124

15125

4 12

15 5

48

75:

16

25= = = =•

•

•



FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD

Para obtener la fracción de un número entero de unidades, multiplicaremos la fracción que queremos obtener

por dicho número.

Tendremos en cuenta que cualquier número puede ser expresado como fracción: 25 =

Ejemplo:

Obtener los de 120: 80 son los de 120

EJERCICIOS

Obtener los de 84:

Obtener los de 112:

Obtener los de 91:

Obtener los de135:

Obtener los de 242:

Obtener los de 168:

125

32 ⇒===⇒ 80

3240

1·3120·2

1120·

32

32

73

85

74

97

116

143



Ejercicios NIVEL 1 Resolver los siguientes ejercicios:

=+−

=+−

=−−

=+−

=−−

=+−

=−−

=+−

54

32.8

53

21.7

207

3011.6

65

45.5

52

53.4

135

136.3

112

118.2

71

75.1

=−−

=+−

=+−

=+−

=−−

=−−

307

1511.14

125

65.13

152

53.12

127

85.11

32

65.10

123

87.9



=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

54:

116.22

32·

116.21

32:

45.20

32·

45.19

52:

41.18

52·

41.17

65:

43.16

56·

43.15

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

64:

94.30

32·

76.29

54:

1512.28

31·

21.27

62:

87.26

73·

43.25

32:

98.24

53·

72.23



Ejercicios NIVEL 2

35:

43

51.5

101

41

·54.4

32·

95

97.3

32

61

41.2

83

43·

54.1

−−

=−−

=+−

=+−

=+−

:

43:

51

52.10

64

21·

54.9

103·

52

74.8

65·

21

32.7

83

21·

43.6

−−

=−−

=+−

=+−

=+−



64:

91

95.15

103

21

·156.14

43·

65

1211.13

32

65

75.12

43·

52

54.11

−−

=−−

=+−

=+−

=−−

:

43:

51

52.20

85

43·

54.19

103:

52

74.18

65·

21

32.17

83

21

43.16

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=+−−



Ejercicios NIVEL 3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

126

512

29•

278)d

43

23•

31

21)c

125

210

65

21)b

31

21•

21

43)a

::

:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+−

107

23

57

52)h

107

23:

57

52)g

53

21•

310

95)f

45

34•

23

52)e

:



32:

64

433•

41

85)c

32:

1217

37

85

43•

62)j

73:

43

31

34•

54)i

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+

32:

51

41•

21

31)n

53

21•

310

95)m

35

41

21•

21

31)l

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+



PROBLEMAS NIVEL 1 1.- De una caja de 50 bombones Celia comido la quinta parte. ¿Cuántos bombones le quedan?

2.- Manuel tiene 98 € y se gasta los dos séptimos en un juego de la play. ¿Cuánto dinero le queda?

3.- Si debemos estar seis horas en el instituto y ya llevamos los dos tercios del tiempo. ¿Cuántas horas nos que-

dan para salir?



4.- Si en la compra de una camiseta que cuesta 20€ te descuentan los dos quintos de su precio. ¿Cuánto tienes

que pagar por la camiseta?

5.- Si Lucía se come dos quintos de una tarta y Antonio se come un cuarto. ¿Qué fracción de tarta se han comido

entre los dos?

6.- En una clase de 1º de eso de 28 alumnos, han aprobado un examen de matemáticas los tres cuartos de los

alumnos. ¿Cuántos alumnos han suspendido?



7.- Si Andrea se come tres octavos de pizza y Marta se come un cuarto. ¿Qué fracción de pizza queda para Pau-

la?

8.- Si Samuel tiene una paga de 25€ y ya se ha gastado los tres quintos. ¿Cuánto dinero le queda?

9.- En una clase hay 10 chicas y 14 chicos. ¿Qué fracción de la clase representan las chicas? ¿Y los chicos?

10.- De una tarta que pesaba 2400 gramos se han consumido 3/8. ¿Cuánto pesa el trozo que queda?



PROBLEMAS NIVEL 2 1.- Una huerta tiene una extensión de 8 000 m2 de los que 3/5 están sembrados de maíz, y el resto, de alfalfa.

¿Cuántos metros cuadrados se han dedicado a cada cultivo?

2.- Un agricultor riega por la mañana 2/5 de un campo. ¿Qué fracción riega por la tarde? Si el terreno mide 6600

m2. ¿Cuántos m2 riega por la mañana? ¿Y por la tarde?

3.- Se ha vendido por 12 000 € una parcela que ocupaba los 3/7 de un terreno. ¿Cuánto costaba el terreno

completo?



4.- Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luis se come el resto.

¿Cuánto come Luis?

5.- En la calle donde vive Alberto hay 20 tiendas, de las que 3/5 son papelerías. ¿Cuántas papelerías hay?

6.- Marta ha comprado una bicicleta y ha pagado al contado 3/4 de su importe, entregando 90 euros. ¿Cuál es el pre-

cio de la bicicleta?



7.- ¿Qué fracción del libro ha estudiado Sara, si está en la página 64 de un libro que tiene 256 páginas?

8.- Paola recibe 1/5 de las manzanas de una caja y Fernando recibe 1/6 de las mismas. ¿Quién recibe mayor canti-

dad? Si la caja contiene 30 manzanas, ¿cuántas recibe cada uno?



PROBLEMAS NIVEL 3

1.- Jorge emprende un viaje de 30 Km. En la primera hora recorre 1/4 del trayecto, y en la segunda, 1/3. ¿Qué parte

del camino ha recorrido en las dos primeras horas del viaje? ¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar al final del

trayecto?

2.- Un sexto de los 2/3 de la estatura de Sandra es igual a 17 cm. ¿Cuál es su estatura?



3.- Una persona destina 3/8 del día para trabajar, 1/6 para descanso y alimentación, y 7 horas para dormir.

¿Cuántas horas de tiempo libre para practicar un deporte le quedan?

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