Apresentação de trigonometria

Nivelamento 2010

TrigonometriaProf. Marllus Gustavo

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Twitter: Marllus_Neves

Nivelamento 2010

Tpicos abordados

Introduo

Trigonometria do tringulo retngulo

Elementos gerais

Trigonometria no crculo

Relaes entre as funes trigonomtricas de um

mesmo arco

Reduo ao primeiro quadrante

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Introduo

Trigonometria tri (trs), gonos (ngulos) e metron

(medir)

Medida dos Tringulos ou das medidas dos elementos

do tringulo (lados e ngulos)

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Trigonometria do tringulo

retngulo

Propriedades de um tringulo retngulo

1 ngulo reto (A) e 2 agudos

complementares (B e C)

Lados:

1 hipotenusa (a) e 2 catetos (b e c)

3 alturas 2 delas os catetos e outra

obtida tomando como base a

hipotenusa (AD)

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retngulo

a hipotenusa

b cateto oposto a B e

adjacente a C

c cateto oposto a C e

adjacente a B

Cathets perpendicular

Hypoteinusa Hyp (por baixo) + teino (eu estendo)

Lados de um tringulo retngulo

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funes trigonomtricas bsicas


retngulo

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funes trigonomtricas bsicas


retngulo

sen A =?

sen B =?

sen C =?

cos A =?

cos B =?

cos C =?

tg A =?

tg B =?

tg C =?

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Exerccio 1: calcule x indicado na figura

tg30o = x / (100 + a) e tg60o = x / a x = a.tg60o

tg30o = a.tg60o / (100 + a) (100 + a)tg30o = a.tg60o

100.tg30o + a.tg30o = a.tg60o 100.tg30o = a.(tg60o-tg30o)

a = 100.tg30o / (tg60o- tg30o) = 100. - a = 100.

/3 a = 50m x = a.tg60o

EXERCCIO

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Circunferncia e crculo orientados

Elementos gerais

Escolhemos um sentido de

percurso de um mvel

Sentido positivo anti-horrio

Crculo orientado crculo cuja

circunferncia orientada

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Generalizao do conceito de arco e de ngulo

Elementos gerais

1) os arcos passam a ser orientados

2) passamos a considerar arcos maiores que 360

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Elementos gerais

Existe uma infinidade de arcos de origem A e

extremidade B

Existem vrias determinaes de um mesmo

arco orientado AB

As vrias determinaes de um mesmo arco orientado AB so

arcos cngruos arcos de mesma origem e mesma

extremidade

Generalizao do conceito de arco

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Exerccio 2: Verifique se os arcos de medidas 7 /3 e 19 /3 so

arcos cngruos.

Como a diferena entre as medidas de dois arcos dados :

d = 19 /3 - 7 /3 = 4 , que um mltiplo de 2 , ento os arcos

so cngruos.

EXERCCIO

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Medida de um arco

Elementos gerais

Feita por comparao com um outro arco da mesma

circunferncia tomado como a unidade de arco. Se u for um

arco de comprimento unitrio (igual a 1), a medida do arco AB,

o nmero de vezes que o arco u cabe no arco AB.

a mesma em qualquer um dos

sentidos. A medida algbrica de

um arco AB a medida deste

arco, associado a um sinal

positivo ou negativo

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Unidades de medida de arcos

Grau 1/360 do arco completo da circunferncia

Grado (no muito comum) 1/400 do arco completo

Elementos gerais

Radiano (SI) medida de um arco que tem o mesmo

comprimento que o raio da circunferncia que o contm

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Exerccio 3: calcule a primeira determinao positiva do

conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de

medida algbrica A = - 2000

EXERCCIO

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Exerccio 4: determinar a medida em radianos de um arco de

comprimento igual a 12 cm, em uma circunferncia de raio

medindo 8 cm

rad 1,58

12

raio do comprim.

arco do comprim.m

Seja m a medida do arco

EXERCCIO

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Elementos gerais

Para toda circunferncia, a razo entre o permetro e o

dimetro constante. Esta constante denotada pela letra

grega . Uma aproximao para o nmero dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795...

Unidades de medida de arcos

D

PDP r2P

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Exerccio 5: se o permetro de uma circunferncia, que equivale

a uma volta completa, vale 2 r, quantos radianos temos nessa

volta completa?

Pela definio de radianos m(1volta) = 2 r/r = 2

EXERCCIO

Exerccio 6: estabelea uma expresso para o clculo do

ngulo em radianos de um arco, em funo do comprimento do

mesmo arcongulo central

em radianos

Comprimento

do arco AB

2 ----------------2 r

-------------------s

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Exerccio 7: determine os valores de e l indicados na figura

= radl = 15 cm

= s/R = 5/10 = 1/2 rad

= s/R s = l = .R

l = 1/2.30 = 15 cm

EXERCCIO

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Exerccio 8: estabelea uma expresso para mudana de

unidades: graus radianos

2 rad -------------- 360

R rad -------------- Go

ngulo central

em radianos

ngulo central

em graus

o180

GR

EXERCCIO

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Expresso geral da medida algbrica de um arco

Elementos gerais

Se a radianos a medida algbrica do arco percorrido por um

mvel de A at M quando o mvel atinge M pela primeira vez

a a menor determinao do arco AM

O mvel continua a percorrer a mesma

circunferncia no mesmo sentido toda vez que

atinge M, a medida algbrica dada por

2 + a, 2 x 2 + a, ..., 2n + an inteiro no negativo

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Exerccio 9: mostre que, se o mvel se desloca no sentido

negativo A M, aps n voltas ele percorreu o arco -2(n+1) + a.

Observe na figura que a menor determinao ocorre quando ele

percorre b. Preste ateno no sinal.

b = 2 a

de A para B - b = -(2 a) = -2 + a

mais 1 volta - b - 2 -2 + a - 2 -4 + a = -2.2 + a

mais 1 volta (2 voltas) -2.2 + a - 2 -6 + a - 3.2 + a

...

n voltas - (n+1).2 + a

EXERCCIO

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Exerccio 10: podemos resumir o que achamos anteriormente

em uma expresso geral?

As expresses anteriores podem ser resumidas

em uma expresso

2k + a, onde k um nmero inteiro relativo

a menor determinao positiva

2 arcos cngruos diferem de um nmero inteiro, positivo ou

negativo, de circunferncia

EXERCCIO

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Exerccio 11: marcar no crculo trigonomtrico as extremidades

dos arcos de medidas x=2k /3, onde k um nmero inteiro.

EXERCCIO

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Crculo trigonomtrico

Crculo orientado de raio igual unidade de comprimento

x

ys

t

A

B

C

D

Origem dos

complementos

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Funes circulares: seno

eixo dos senosx ngulo

AM arco correspondente a x

senx

Variao da funo f(x) = senx

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Observando o grfico, conclumos que:

o domnio de senx o conjunto dos nmeros reais;

a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo seno repete seus valores.



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Funes circulares: cosseno


x ngulo


cosx

eixo dos cossenos

Variao da funo f(x) = cosx

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o domnio de cosx o conjunto dos nmeros reais;

a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo co-seno repete seus valores.

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Funes circulares: tangente

eixo das tangentes

x ngulo


AT tgx

Variao da funo f(x) = tgx

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o domnio de tgx ;

a imagem o intervalo ] - -

Zk com k2

xRxD

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Funes circulares diretas: cotangente


eixo das cotangentes

x ngulo


BC cotgx

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