Apresentação de trigonometria

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Detalha os aspectos da trigonometria e apresenta as aplicações praticas envolvendo os conceitos trigonometricos

Text of Apresentação de trigonometria

  • Nivelamento 2010

    TrigonometriaProf. Marllus Gustavo

    marllus2002@yahoo.com.br

    Twitter: Marllus_Neves

  • Nivelamento 2010

    Tpicos abordados

    Introduo

    Trigonometria do tringulo retngulo

    Elementos gerais

    Trigonometria no crculo

    Relaes entre as funes trigonomtricas de um

    mesmo arco

    Reduo ao primeiro quadrante

  • Nivelamento 2010

    Introduo

    Trigonometria tri (trs), gonos (ngulos) e metron

    (medir)

    Medida dos Tringulos ou das medidas dos elementos

    do tringulo (lados e ngulos)

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria do tringulo

    retngulo

    Propriedades de um tringulo retngulo

    1 ngulo reto (A) e 2 agudos

    complementares (B e C)

    Lados:

    1 hipotenusa (a) e 2 catetos (b e c)

    3 alturas 2 delas os catetos e outra

    obtida tomando como base a

    hipotenusa (AD)

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria do tringulo

    retngulo

    a hipotenusa

    b cateto oposto a B e

    adjacente a C

    c cateto oposto a C e

    adjacente a B

    Cathets perpendicular

    Hypoteinusa Hyp (por baixo) + teino (eu estendo)

    Lados de um tringulo retngulo

  • Nivelamento 2010

    funes trigonomtricas bsicas

    Trigonometria do tringulo

    retngulo

  • Nivelamento 2010

    funes trigonomtricas bsicas

    Trigonometria do tringulo

    retngulo

    sen A =?

    sen B =?

    sen C =?

    cos A =?

    cos B =?

    cos C =?

    tg A =?

    tg B =?

    tg C =?

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 1: calcule x indicado na figura

    tg30o = x / (100 + a) e tg60o = x / a x = a.tg60o

    tg30o = a.tg60o / (100 + a) (100 + a)tg30o = a.tg60o

    100.tg30o + a.tg30o = a.tg60o 100.tg30o = a.(tg60o-tg30o)

    a = 100.tg30o / (tg60o- tg30o) = 100. - a = 100.

    /3 a = 50m x = a.tg60o

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Circunferncia e crculo orientados

    Elementos gerais

    Escolhemos um sentido de

    percurso de um mvel

    Sentido positivo anti-horrio

    Crculo orientado crculo cuja

    circunferncia orientada

  • Nivelamento 2010

    Generalizao do conceito de arco e de ngulo

    Elementos gerais

    1) os arcos passam a ser orientados

    2) passamos a considerar arcos maiores que 360

  • Nivelamento 2010

    Elementos gerais

    Existe uma infinidade de arcos de origem A e

    extremidade B

    Existem vrias determinaes de um mesmo

    arco orientado AB

    As vrias determinaes de um mesmo arco orientado AB so

    arcos cngruos arcos de mesma origem e mesma

    extremidade

    Generalizao do conceito de arco

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 2: Verifique se os arcos de medidas 7 /3 e 19 /3 so

    arcos cngruos.

    Como a diferena entre as medidas de dois arcos dados :

    d = 19 /3 - 7 /3 = 4 , que um mltiplo de 2 , ento os arcos

    so cngruos.

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Medida de um arco

    Elementos gerais

    Feita por comparao com um outro arco da mesma

    circunferncia tomado como a unidade de arco. Se u for um

    arco de comprimento unitrio (igual a 1), a medida do arco AB,

    o nmero de vezes que o arco u cabe no arco AB.

    a mesma em qualquer um dos

    sentidos. A medida algbrica de

    um arco AB a medida deste

    arco, associado a um sinal

    positivo ou negativo

  • Nivelamento 2010

    Unidades de medida de arcos

    Grau 1/360 do arco completo da circunferncia

    Grado (no muito comum) 1/400 do arco completo

    Elementos gerais

    Radiano (SI) medida de um arco que tem o mesmo

    comprimento que o raio da circunferncia que o contm

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 3: calcule a primeira determinao positiva do

    conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de

    medida algbrica A = - 2000

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 4: determinar a medida em radianos de um arco de

    comprimento igual a 12 cm, em uma circunferncia de raio

    medindo 8 cm

    rad 1,58

    12

    raio do comprim.

    arco do comprim.m

    Seja m a medida do arco

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Elementos gerais

    Para toda circunferncia, a razo entre o permetro e o

    dimetro constante. Esta constante denotada pela letra

    grega . Uma aproximao para o nmero dada por:

    = 3,1415926535897932384626433832795...

    Unidades de medida de arcos

    D

    PDP r2P

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 5: se o permetro de uma circunferncia, que equivale

    a uma volta completa, vale 2 r, quantos radianos temos nessa

    volta completa?

    Pela definio de radianos m(1volta) = 2 r/r = 2

    EXERCCIO

    Exerccio 6: estabelea uma expresso para o clculo do

    ngulo em radianos de um arco, em funo do comprimento do

    mesmo arcongulo central

    em radianos

    Comprimento

    do arco AB

    2 ----------------2 r

    -------------------s

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 7: determine os valores de e l indicados na figura

    = radl = 15 cm

    = s/R = 5/10 = 1/2 rad

    = s/R s = l = .R

    l = 1/2.30 = 15 cm

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 8: estabelea uma expresso para mudana de

    unidades: graus radianos

    2 rad -------------- 360

    R rad -------------- Go

    ngulo central

    em radianos

    ngulo central

    em graus

    o180

    GR

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Expresso geral da medida algbrica de um arco

    Elementos gerais

    Se a radianos a medida algbrica do arco percorrido por um

    mvel de A at M quando o mvel atinge M pela primeira vez

    a a menor determinao do arco AM

    O mvel continua a percorrer a mesma

    circunferncia no mesmo sentido toda vez que

    atinge M, a medida algbrica dada por

    2 + a, 2 x 2 + a, ..., 2n + an inteiro no negativo

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 9: mostre que, se o mvel se desloca no sentido

    negativo A M, aps n voltas ele percorreu o arco -2(n+1) + a.

    Observe na figura que a menor determinao ocorre quando ele

    percorre b. Preste ateno no sinal.

    b = 2 a

    de A para B - b = -(2 a) = -2 + a

    mais 1 volta - b - 2 -2 + a - 2 -4 + a = -2.2 + a

    mais 1 volta (2 voltas) -2.2 + a - 2 -6 + a - 3.2 + a

    ...

    n voltas - (n+1).2 + a

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 10: podemos resumir o que achamos anteriormente

    em uma expresso geral?

    As expresses anteriores podem ser resumidas

    em uma expresso

    2k + a, onde k um nmero inteiro relativo

    a menor determinao positiva

    2 arcos cngruos diferem de um nmero inteiro, positivo ou

    negativo, de circunferncia

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Exerccio 11: marcar no crculo trigonomtrico as extremidades

    dos arcos de medidas x=2k /3, onde k um nmero inteiro.

    EXERCCIO

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Crculo trigonomtrico

    Crculo orientado de raio igual unidade de comprimento

    x

    ys

    t

    A

    B

    C

    D

    Origem dos

    complementos

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: seno

    eixo dos senosx ngulo

    AM arco correspondente a x

    senx

    Variao da funo f(x) = senx

  • Nivelamento 2010

    Funes circulares: seno

    Trigonometria no crculo

  • Nivelamento 2010

    Observando o grfico, conclumos que:

    o domnio de senx o conjunto dos nmeros reais;

    a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo seno repete seus valores.

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: seno

  • Nivelamento 2010

    Funes circulares: cosseno

    Trigonometria no crculo

    x ngulo

    AM arco correspondente a x

    cosx

    eixo dos cossenos

    Variao da funo f(x) = cosx

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: cosseno

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: cosseno

    Observando o grfico, conclumos que:

    o domnio de cosx o conjunto dos nmeros reais;

    a imagem o intervalo [-1;+1];a partir de 2 a funo co-seno repete seus valores.

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: tangente

    eixo das tangentes

    x ngulo

    AM arco correspondente a x

    AT tgx

    Variao da funo f(x) = tgx

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: tangente

  • Nivelamento 2010

    Trigonometria no crculo

    Funes circulares: tangente

    Observando o grfico, conclumos que:

    o domnio de tgx ;

    a imagem o intervalo ] - -

    Zk com k2

    xRxD

  • Nivelamento 2010

    Funes circulares diretas: cotangente

    Trigonometria no crculo

    eixo das cotangentes

    x ngulo

    AM arco correspondente a x

    BC cotgx