Apresentação do PowerPoint PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · 2018-01-29 · MATEMÁTICA –9.°ANO 2 MARCELO CRIVELLA ... Dessa forma, mantemos o sinal negativo: –10² = –(10·10)

MATEMÁTICA – 9.° ANO 2

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL

DALTON DO NASCIMENTO BORBA

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

GIBRAN CASTRO DA SILVA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA):

ESCOLA MUNICIPAL _________________________________________________________________________________________ TURMA ______________

NOME: ____________________________________________________________________________________________________________________________

E.M. ALICE DO AMARAL PEIXOTO

E.M. ÁLVARO ALVIM

E.M. BÉLGICA

E.M. CÂNDIDO PORTINARI

E.M. DEODORO

CIEP ENG. WAGNER GASPAR EMERY

E.M. GASTÃO PENALVA

E.M. GUILHERME TELL

E.M. JOAQUIM NABUCO

CIEP MARGARET MEE

E.M PROF. HELTON A. VELOSO DE CASTRO

E.M. PROF.ª ZELIA CAROLINA DA SILVA PINHO

E.M. RIBEIRO COUTO

E.M. TATIANA CHAGAS MEMÓRIA

E.M. TENENTE RENATO CÉSAR


O xadrez é um jogo tão antigo que, durante todos os anos de sua existência, várias foram as histórias associadas à sua origem.

Os primeiros registros contam que Lahur Sessa inventou esse jogo para o rei da Índia, há mais de 1 500 anos.

Ao conhecer o jogo, o rei ofereceu a Sessa a escolha de qualquer desejo.

Como era uma pessoa humilde, o pedido que fez ao rei foi de receber um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez,

dois grãos pela segunda casa, quatro grãos pela terceira, oito pela quarta e assim por diante, até completar as 64 casas do tabuleiro

de xadrez.

1.ª casa: 1 = 20 = 1 grão

2.ª casa: 2 = 2¹ = 2 grãos

3.ª casa: 2 ∙ 2 = 2² = 4 grãos

4.ª casa: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2³ = 8 grãos

5.ª casa: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 = 16 grãos

6.ª casa: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25 = 32 grãos

64.ª casa: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙... ∙ 2 = 263 = 9 223 372 036 854 775 808 grãos

Somando todas casas, teremos 18 446 744 073 709 551 615 grãos!

Este total é mais que 10 vezes a atual produção mundial de grãos!

Já imaginou a situação do rei em ter que doar todo esse trigo?

Mas, ao final, Sessa perdoou a dívida e foi nomeado conselheiro do rei.

POTENCIAÇÃO

...

...

...

Sobre o jogo de xadrez...


2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Podemos representar este cálculo através da

POTENCIAÇÃO:

A BASE sempre será o fator que multiplicamos.

O EXPOENTE é a quantidade de vezes que o

fator se repete.

A POTÊNCIA é o produto desse fatores.

POTENCIAÇÃO CASOS PARTICULARES

1.º) Toda potência de expoente 1 é igual à base:

a¹ = a Exemplos: a) (– 5)¹ = – 5 b) 15¹ = 15

2.º) Toda potência de expoente zero é igual a 1:

a0 = 1 (quando a ≠ 0) Exemplos: a) (–10)0 = 1 b) 1320 = 1

3.º) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de

expoente positivo:

𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏(quando a ≠ 0) Exemplos: a) 5−2 =

1

52b)

2

3

−2=

3

2

2

Lembre-se:

(– 10)² ≠ – 10², porque em

(– 10)² estamos elevando – 10 ao quadrado. Como o

expoente é par, o resultado será positivo:

(– 10)² = (– 10)·(– 10) = 100

– 10² estamos elevando somente o 10 ao quadrado.

Dessa forma, mantemos o sinal negativo:

– 10² = – (10·10) = – 100

AGORA,É COM VOCÊ!!!

a) 72 = _______ b) 43 = _________

c) (–4)2 = _______ d) (–3)3 = _______

e) 80 = _______ f) (–9)1 = _______

g) 3

4

2= ______ h)

2

3

−3= _______

2- Calcule o valor das expressões:

a) 26 – 5² = _____ b) 10 – (– 2)³ = _____

1- Calcule:


2.ª) am : an = am–n (para a ≠ 0) Exemplo: 55 : 53 = 55–3 = 52

Na divisão de bases iguais, repetimos a base e subtraímos os

expoentes.

3.ª) (am)n = am∙n Exemplo: (72)3 = 72∙3 = 76

Quando temos uma potência de uma potência, repetimos a base

e multiplicamos os expoentes.

4.ª) (a∙b)m = am∙bm Exemplos: (2∙3)5 = 25∙35

2

3

5=

25

35

Quando temos a potência de uma multiplicação (ou de uma divisão),calculamos a potência de cada termo.

1.ª) am ∙ an = am+n Exemplo: 23 ∙ 25 = 23+5 = 28

Na multiplicação de bases iguais, repetimos a base e somamos

os expoentes.

PROPRIEDADES DA POTÊNCIA

1- Transforme em uma única potência:

a) 57·53 = _________

b) 3:33 = _________

c) a5·a2 = _________

d) 52:5–5 = _________

e) 27:24 = _________

f) 105·10 = _________

2- Utilizando as propriedades das potências,

responda, também, em forma de potência:

a) (35)3 = _________

b) (2·32)3 = _________

c) (73)2 = _________

d) (2ab2c3)2 = _________

e) (52)–2 = _________

f) (5𝒙)2 = _________

3- Calcule, mentalmente, o valor das

expressões:

a) 45 – 52 = _________

b) 50 – 72 = _________

c) –10 + 15 + 32 =_________

d) (–4)2 – 14 = _________

e) 20 + 42 – 24= _________

f) (2)3 – (3)2 = _________


Para facilitar as operações entre potências, utilizamos as seguintes propriedades:


NOTAÇÃO CIENTÍFICA

http

s://dicasd

eciencias.co

m

Escreva os números em notação científica:

a) 0,35 = 3,5 . ___________

b) 2 348 = 2, 348 . __________

c) 0,002 71 = 2,71 . _________

d) 0,000 007 =7 . ___________

e) 35 000 000 = ____________

f) 473,5 = _____________


Nessa disposição, a é chamado de mantissa oucoeficiente (sendo 1 ≤ a < 10), e n é chamado de expoente ou

ordem de grandeza.

Seguem, agora, exemplos de números reais e suas

respectivas notações científicas:

0,0003 =3

10 000= 3·10 – 4

14 000 000 = 1,4·10 000 000 =1,4·10 7

a·10n

Deslocamento de 4 casas para a

direita (expoente negativo)

Deslocamento de 7 casas para a

esquerda(expoente positivo)

g) 0,00104 = ____________

h) 235,37 = _____________

i) 0,05689 = _____________

j) 120 000 000 = _________

k) 0,0000034 = ___________

l) 23 500 = ______________

Para escrevermos um número

real em notação científica,

precisamos transformá-lo no

produto de um número real por

uma potência de 10 com

expoente inteiro.

Sendo esse número real igual ou

maior que 1 e menor que 10.

Notação científica é o modo como ficou conhecida a técnica de escrever números

reais muito pequenos ou muito grandes por meio do uso de uma potência de base dez. Portanto, a

forma que as notações científicas assumem é a seguinte:

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/potenciacao.htm


6- A metade de 216 é

(A) 2. (B) 24. (C) 28. (D) 215.

7- O valor do produto am · am é igual a

(A) 2am. (B) 2a2m. (C) a2m. (D) 1.

8- Se m = 102·105·10 000, então, o valor de m é

(A) 107. (B) 1007. (C) 1010. (D) 1011.

9- Sabendo-se que a área de um retângulo é dada por meio da

multiplicação da base pela altura, podemos afirmar que a área

do retângulo apresentado abaixo será

(A) 𝒙12. (B) 𝒙8. (C) 𝒙6. (D) 6𝒙.

10- Simplificando a expressão [29:(22·2)3]3, obteremos

(A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8.

11- (Questão 61 – Banco de Questões OBMEP 2010 – nível 1)

Qual é o valor da soma de 920 + 920 + 920?

(A) 920 (B) 366 (C) 923 (D) 341 (E) 323

𝒙²

𝒙4

1- O valor da expressão 𝟓𝟐

𝟏𝟓𝟐é

(A) 5. (B) 9. (C) 1

9. (D)

1

5.

2- O valor da expressão 106 : 107 é

(A) 10–1. (B) 10. (C) 105. (D) 1011.

3- O valor da expressão b2 – 4ac para a = 5, b = 2 e c = 0 é

(A) – 16. (B) – 4. (C) 4. (D) 36.

4- A expressão 𝟏

𝟓

−𝟐+ 5² é igual a

(A) 1. (B) 2. (C) 20. (D) 50.

5- A expressão 𝟏

𝟐

−𝟓−

𝟏

𝟓

−𝟐é igual a

(A) 0. (B) 7. (C) 57. (D)1

2.

OBMEP


RADICIAÇÃO

Acompanhe essa situação-problema:

1.ª situação

Observe o quadrado ao lado.

Usando o quadradinho como unidade de área, é possível

afirmar que a área deste quadrado é 25 (5² = 25).

Sabendo-se que a área do quadrado é de 25 e que cada lado do

quadradinho que compõe a figura mede 1, vamos calcular a medida do lado

desse quadrado. Essa medida é determinada por um número que, elevado

ao quadrado, resulta 25. Esse número é a raiz quadrada de 25.

Assim:

2.ª situação

Agora, observe esse cubo:

Não existe, no conjunto dos números reais, raiz de

índice par para números negativos.

−𝟗 não existe em IR porque (–3)² = 9.

𝟒−𝟏𝟔 não existe em IR porque (–2)4 = 16.

25 = 5, pois 5² = 25 Lemos: “raiz quadrada de 25”.

htt

ps:/

/ww

w.a

liexpre

ss.c

om

Considerando o cubinho como unidade de medida de volume, o volume do cubo é

de 125 (5³ = 125).

Sabendo-se que o volume do cubo é 125 (cubinhos) e que a medida da aresta de

um cubinho é 1, vamos calcular a medida da aresta do cubo. Essa medida é

determinada por um número que, elevado ao cubo, resulta 125. Esse número é a raiz

cúbica de 125. Veja:

3125 = 5, pois 5³ = 125

Lemos: “raiz cúbica de 125”.ARESTA DO CUBO

O conjunto dos NÚMEROS REAIS é representado pela letra IR e nele estão contidos todos os números que conhecemos até agora: naturais (ℕ), inteiros (ℤ),

racionais (ℚ) e irracionais (𝕀).


RADICIAÇÃO

Então:

a) 38 = 2 porque 2³ = 8

b) 3−27 = −3 porque (–3)³ = – 27

c) 31 000 = 10 porque 10³ = 1 000

d) 416 = 2 porque 24 = 16

e) 5−32 = −2 porque (–2)5 = –32

Sendo a e b números reais e n, número inteiro positivo maior que 1,

define-se: . E lemos:

“A raiz enésima de a é b.”

Na expressão, temos:

Raiz quadrada, raiz

cúbica... Será que existem

outras raízes? Observe!


1- Expresse cada número como uma raiz

quadrada:

a) 5 = _____________

b) 6 = _____________

c) 12 = ____________

d) 5,2 = ____________

2- Calcule o valor de cada raiz:

a) 49 = _____________

b) 121 = ____________

c) 9

16= ____________

d ) 0,81 = ____________

3- Calcule, mentalmente, o valor de cada

expressão:

a) 49 − 5 = _____________________

b) − 16 + 36 = __________________________

c)38 + 25 = ____________________________

d) 51 + 81 = _____________________________

𝟐𝟓


4- Resolva cada uma dessas raízes:

a) 256 = _____ b) 3216 = _____

c) 4256 = _____ d) 1 764 = _____

e) 5243 = _____ f) 1 600 = _____

Para extrair a raiz de

números maiores, basta

decompor o número, em

fatores primos e agrupá-

los conforme o índice do

radical.

Depois, é só multiplicá-

los. Observe o quadro

ao lado.

Decompondo o número 3 600, em fatores

primos (fatoração), temos:

Então: 3 600 = 22 ∙ 22 ∙ 32 ∙ 52== 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60

NÚMEROS PRIMOS

São aqueles que possuem apenas dois divisores:

o 1 e o próprio número.

CONJUNTO DOS NÚMEROS PRIMOS

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}


LOCALIZAÇÃO DE UMA RAIZ NA RETA NUMÉRICA

Somente os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata. Por exemplo: o número 49 possui raiz quadrada igual a 7, pois

7² = 49. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito.

Na reta numérica, podemos observar outros números considerados quadrados perfeitos. Leia:

Quanto aos números que não são quadrados perfeitos, a localização da raiz quadrada é realizada utilizando-se resultados aproximados. Por

exemplo: vamos verificar a localização da raiz quadrada aproximada do número 30.

De acordo com a reta numérica, a 30 está localizada entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 25 e 36. Dessa

forma, temos que: 25 = 5 e 36 = 6. Portanto, a 30 possui, como resultado, um número decimal entre 5 e 6. Leia:

Muito tranquilo! Observe a reta

numérica.

Agora, é

com você!

Qual a letra que corresponde a cada uma das raízes quadradas abaixo?

0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8

𝟎 𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟒𝟒𝟗𝟑𝟔𝟐𝟓𝟏𝟔

0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8

𝟎 𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟒𝟒𝟗𝟑𝟔𝟐𝟓𝟏𝟔

( ) 53 ( ) 2 ( ) 20 ( ) 36 ( ) 12

0 1 2 9 10 113 4 5 6 7 8

A B C D E


POTÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO

Se a é um número real positivo e 𝐦

𝐧é um número racional, com m e n inteiros e n ≥ 2, definimos que:

Exemplos:

a) 63

5 =563 b) 5

1

2 = 5

Observe:

1- Escreva em forma de expoente fracionário:

a) 532 ________ c)

4𝑥3 ________ e) 73 ________

b) 372 ________ d)

36 ________ f) 3 ________

2- Escreva em forma de radical:

a) 52

3 ________ c) 21

3 ________ e) 34

5 ________

b) 𝑎3

4 ________ d) 𝑥3

2 ________ f) 71

2 ________

As propriedades válidas para as potências

de expoente inteiro são válidas também

para as potências de expoente fracionário

que tenham base positiva.

Exemplos:

* 71

5 ∙ 72

5 = 71

5+2

5 = 73

5

*37

6 ∶ 32

6 = 37

6−2

6 = 35

6

* 52

3

1

3= 5

2

3∙1

3 = 52

9


Leia as dicas, com atenção, para realizar as

atividades com maior facilidade!

563 = 6

35

expoente do radicando

índice do radical

𝑎𝑚𝑛 =

𝑛𝑎𝑚

(com n 𝜖 IN e n ≥ 2)

* 21

2 ∙ 32

3

5

3= 2

1

2∙5

3 ∙ 32

3∙5

3 = 25

6 ∙ 310

9


1.ª propriedade: A raiz de índice n de um número real aelevado à potência n é igual ao próprio número a.

Observe:

I) 49 = 72 = 72

2 = 71 = 7 II)327 =

333 = 3

49 = 72 = 7

Então:

Exemplos:

a) 62 = 6 b)5𝑥5 = 𝑥

c)353 = 5 d) 2𝑥 2 = 2𝑥

2.ª propriedade: A raiz de índice n de um produto de dois ou

mais fatores positivos é igual ao produto das raízes de índice ndesses fatores.

Observe:

I) 4 ∙ 25 = 2 ∙ 5 = 10 II) 4 ∙ 25 = 100 = 10

Comparando II e I, teremos 4 ∙ 25 = 4 ∙ 25

Então:

Exemplos:

a) 5 ∙ 2 = 5 ∙ 2 b) 36 ∙ 𝑎 =

36 ∙ 3 𝑎

c) 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 d) 57 ∙ 𝑥 =

57 ∙ 5 𝑥

𝒏𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒏 𝒂 ∙

𝒏𝒃

𝒏𝒂𝒏 = 𝒂

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Considerando radicando não negativo, teremos:

3- Simplifique, utilizando a 1a propriedade:

a) 575 =______ e)

424 =______

b) 52 =______ f) 𝑎2 =______

c) 3103 =______ g)

3353 =______

d) 3

2𝑥 3 =______ h) 15𝑚15 =______

4- Simplifique, utilizando a 2a propriedade:

a) 52 ∙

57 =______ e)

42 ∙ 4 𝑥 ∙

4𝑦3 = ______

b) 6 ∙ 𝑥 =______ f) 𝑎 ∙ 10 = ______

c) 35 ∙

32 =______ g)

34 ∙

35 ∙ 3 𝑥 = ______

d) 34 ∙

32 =______ h)

5𝑥3 ∙

5𝑥2 = ______

Neste caso, é só “eliminar” o expoente e a própria raiz.


3.ª propriedade: A raiz de índice n de um quociente é igual ao

quociente das raízes de índice n do dividendo e do divisor.

Observe:

I) 4

25=

2

5II)

4

25=

2

5

Comparando I e II, teremos 4

25=

4

25

Então:

Exemplos:

a) 𝟐

𝟑=

𝟐

𝟑b)

𝟑 𝟕

𝟔=

𝟑𝟕

𝟑𝟔

𝒏 𝒂

𝒃=

𝒏 𝒂𝒏𝒃

5- Determine as raízes:

a)49

64= ________ d)

3 1

125= ________

b) 81

25= ________ e)

100

121= ________

c) 3 8

27= ________ f)

25

144= ________

6- Calcule:

a) 121 = __________________________

b) − 0,49 = __________________________

c) 3−

27

64= __________________________

d) 16

9+

3 8

27=__________________________

e) 41

2 − 81

3 = __________________________

f) 82

3 = __________________________

Calcule o valor das expressões:

a) 410 000 + 0,01 + 3 0,027 =______________________

b) 1441

2 + 1001

2 −200

8= _________________________

Já estudamos essa propriedade!

É igual à propriedade da

potenciação.


1.º caso: o índice do radical e o expoente do radicando são

divisíveis por um mesmo número:

I)654 =

6:254:2 =

352 II)

1569 =

15:369:3 =

563

2.º caso: o expoente do radicando é múltiplo do índice do radical:

I) 369 = 6

9

3 = 63 II) 𝑥10 = 𝑥10

2 = 𝑥5

3.º caso: o expoente do radicando é maior que o índice do radical:

I) 355 =

353 ∙ 52 =

353 ∙

352 = 5 ∙

352

II) 𝑥7 = 𝑥2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥 = 𝑥2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥3 ∙ 𝑥

III) 12 = 22 ∙ 3 = 2 ∙ 3

APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Simplificação de radicais:

12 2

6 2

3 3

1

1- Simplifique os radicais:

a) _______ b) _______

e) _______ f) _______

i) _______ j) _______


É muito importante

que você realize

todas as atividades!

c) _______ d) _______

g) _______ h) _______

k) _______ l) _______


2- Efetue as adições e as subtrações com radicais:

a) 7 2 + 3 2 = ___________________

b) 345 − 5

45 = __________________

c) 3 6 + 6 − 2 6 = _______________

d) 1037 −

37 − 7

37 =______________

e) 11 − 5 11 + 3 11 =_____________

f) 833 + 7 −

33 − 10 = ______________

A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1.º caso: Os radicais não são semelhantes:

a)

b) = 3

c)

2.º caso: Os radicais são semelhantes:

a)

b)

1- Complete com = ou ≠ :

a) 2 + 6 _________ 8

b) 410 −

45 __________

45

c) 16 + 36 _________ 10

d) 0 + 1 + 4 _________ 3


OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES

São aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos:

a)

b)

RADICAIS NÃO SEMELHANTES

Podem se apresentar de duas maneiras:

Não semelhantes porque os índices são

diferentes.

Não semelhantes porque os radicandos

são diferentes.

a)

b)


3.º caso: Os radicais tornam-se semelhantes depois de serem

simplificados:

a)

b)

3- Efetue, em seu caderno, as adições e as subtrações de

radicais. Lembre-se de colocar, aqui, os resultados:

a) 27 + 3 = ___________________________________

b) 50 − 3 2 =___________________________________

c) 7 3 + 12 = ___________________________________

d) 20 − 45 = ___________________________________

e) 2 18 − 3 2 = __________________________________

f) 75 + 2 12 − 27 = _____________________________

g) 108 − 75 + 48 =_____________________________

h) 35 −

340 + 3

35 = ______________________________

4- Determine o perímetro das seguintes figuras:

a) b)

4 3 5 3

2 2

6 3 6 2

c) Pentágono regular

5 5


B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

a)

b)

c)

d)

C) POTENCIAÇÃO

Conservamos o índice e elevamos o radicando à potência

indicada:

a)

b)

c)

Somente podemos multiplicar ou dividir radicais que

apresentem os mesmos índices. Nesse caso, devemos

conservar o índice comum e multiplicar ou dividir os

radicandos:

1- Efetue as multiplicações e as

divisões com radicais:

a) 2 ∙ 3 = _____________

b) 425:

45 = ____________

c) 3 6 ∙ 5 = ____________

d) 5 + 2 ∙ 5 − 2 =

_________________________

e) 12 22: 4 11 = _________

f) 8 20: 5 = _____________

2- Efetue as potenciações:

a) 33

2= __________________

b) 45

3= __________________

c) 536𝑥

2= _______________

d) 2 72= __________________

e) 3 5 + 𝑥2= _______________


323 2

50

Determine o perímetro do triângulo:



4- (Questão 99 – Banco de Questões OBMEP 2010 – nível 2)

O número ( 6 + 2).( 3 – 2).( 3 + 2) é igual a

(A) – 3. (B) – 2. (C) – 2. (D) 1. (E) 2.

3- Escreva, usando um único radical:

a) 3 3

2 = _________ b) 4

3 = _________

c) 5 = _________ d) 3

6 = _________

e) 3

310 = ________ f) 2 = _________

D) RADICIAÇÃO

Conservamos o radicando e multiplicamos os índices:

a)

b)

5- Efetue as operações e reduza os termos semelhantes, quando

possível:

a) 12 + 48 = ____________________________________

b) 32 + 8 + 128 = _______________________________

c) 50 − 2 8 = ____________________________________

d) 2 ∙ 3 ∙ 5 = ____________________________________

e) 40: 8 = _______________________________________

f) 6 ∙ 6 = ________________________________________

g) 2 5 ∙ 20 = _____________________________________

h) 3

64 = ________________________________________

i) 3 + 3 ∙ 3 − 3 = ______________________________

OBMEP

Esses cálculos parecem

de outro mundo!

Mas, prestando atenção,

são fáceis de resolver!



1- Na reta numérica, o número 35 se localiza entre os

seguintes números inteiros:

(A) 3 e 4. (B) 4 e 5. (C) 5 e 6. (D) 6 e 7.

2- 13 + 7 + 2 + 4 é igual a

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 26.

3- Simplificando o radical3512, vamos obter

(A) 8. (B) 232. (C) 6

32. (D) 8

32.

4- O número 2 + 8 − 18 é igual a

(A) 0. (B) 2. (C) 2 2. (D) 4 2.

5- Simplificando a expressão18

2, teremos

(A) – 1. (B) 3. (C) 2. (D) 2 2.

6- A expressão 6 ∙ 2 é igual a

(A) 2. (B) 2 2. (C) 2 3. (D) 12.

7- O valor da expressão 50

2∙

2

5é igual a

(A) 20. (B) 4 2. (C) 2. (D) 1.

8- Se m = 5 e n = 10, então o resultado de m·n é igual a

(A) 5. (B) 6 2. (C) 5 2. (D) 15.

9- A expressão 3 − 1 ∙ 3 + 1 é igual a

(A) 2. (B) 4. (C) 3. (D) 2 3.

10- Na multiplicação 2 ∙ 8 − 2 , teremos

(A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 2.


Uma expressão com radical ( ) é chamada de fator racionalizante de outra expressão quando o produto delas é uma expressão sem

radical (um número inteiro).

Leia alguns exemplos:

1) Qual é o fator racionalizante de 5?

Resposta:

O fator racionalizante de 5 é 𝟓.

Porque 5· 5 = 52 = 5

2) Qual é o fator racionalizante de 5 7?

Resposta:

O fator racionalizante de 5 7 é 𝟕.

Porque 5 7· 7 = 5 72 = 5·7 = 35

3) Qual é o fator racionalizante de42?

Resposta:

O fator racionalizante de42 é

𝟒𝟐𝟑.

Porque42·

423 =

424= 2

1- Escreva o fator racionalizante de cada expressão:

a) 6 __________

b) 15 __________

c) 3 10 __________

d) 53 __________

e) 322 __________

f) 34 𝑥 __________

g) 56𝑥2 __________

FATOR RACIONALIZANTE

sem radical

(número inteiro)

sem radical

(número inteiro)

sem radical

(número inteiro)



RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.

Para isso, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo fator racionalizante do denominador.

1.º caso: O denominador é um radical de índice 2.

a)

b)

2.º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2.

a)

b)

2- Racionalize os denominadores:

a) 3

5= _______ e)

3

2 3= _______

b) 1

3= _______ f)

2

2= _______

c) 3

3= _______ g)

4

2= _______

d) −6

5 6= _______ h)

3

2 2= _______

3- Racionalize os denominadores:

a) 333= _______ d)

3

243= _______

b) 4

332= _______ e)

442= _______

c) 1

322= _______ f)

333= _______


RAZÃO ENTRE SEGMENTOS

GEOMETRIA

A razão entre dois segmentos é o quociente entre suas medidas, tomadas

em uma mesma unidade de medida.

Sejam os segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷:

A B

C D

A razão entre 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 será: ou seja

A razão entre 𝐶𝐷 e 𝐴𝐵 será : ou seja

2 cm

5 cm

1- Determine a razão entre

os segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 que

medem, respectivamente,

a) 3 cm e 4 cm ____

b) 2 m e 3 2 m ____

c) 4 cm e 8 cm ____

d) 200 cm e 3 m ____

e) 15 cm e 10 cm ____

f) 1 cm e 3 cm ____

2- Leia a figura abaixo:

Agora, calcule a razão entre os segmentos:

a) 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 ________ c) 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 ________

b) 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 ________ d) 𝐵𝐶 e 𝐴𝐷 ________


A GEOMETRIA

(geo: "terra“ / metria: "medida")

é a área da Matemática que se dedica a

questões relacionadas à forma, ao tamanho, à

posição relativa entre figuras ou a propriedades

do espaço.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra


Sejam os segmentos:

2 cm 4 cm

A B E F

3 cm 6 cm

C D G H

Os segmentos , , e , nesta ordem, são proporcionais.

Observe: 3 · 4 = 12

2 · 6 = 12

Logo:

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

É só multiplicar

“cruzado” e verificar se

encontramos o mesmo

resultado!!!

𝐴𝐵 ∙ 𝐺𝐻 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐸𝐹

1- Identifique os itens cujas razões são proporcionais:

a)2

7e 3

9_______ d)

1

5e 2

10_______

b) 6

8e 9

12_______ e)

2

3e 4

9______

c) 4

5e 8

9_______ f)

4

6e 6

9________

2- Calcule o valor de 𝒙 em cada uma das proporções:

a) 𝑥

4=

7

2d)

5

2=

𝑥

20

b) 2𝑥

15=

6

9e)

𝑥

𝑥+2=

9

15

c) 𝑥+1

5=

𝑥

3f )

2𝑥−3

2=

𝑥+1

6



FEIXE DE RETAS PARALELAS

Chama-se feixe de retas paralelas o conjunto de mais de duas retas paralelas entre si em um mesmo plano. Observe:

Sendo r // s // t // u

A reta que intercepta o feixe de retas paralelas é chamada de reta transversal.

tSendo a // b // c // d

transversal

a

b

c

d


Tales de Mileto foi filósofo, matemático e astrônomo da Grécia antiga. Viveu entre os anos

623 e 548 a.C.. Tales, também conhecido como o pai da geometria descritiva, foi convidado para determinar

a altura de uma das pirâmides do Egito. Mesmo não possuindo nenhum instrumento complexo de medição,

conseguiu indicar seu tamanho exato.

Em seu teorema, Tales afirmou que a razão

entre dois segmentos quaisquer, em uma

das retas transversais, será igual à razão

dos segmentos correspondentes em sua

outra transversal, ou seja:

AB = 2u

Então:

BC = 3u

MN = 2v

Então:

NP = 3v

http

://brasilesco

la.uo

l.com

.br

http

://brasilesco

la.uo

l.com

.br

https://www.youtube.com/watch?v=S20CDAOBqrs

TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE TALES

Um feixe de retas paralelas

determina, sobre duas

transversais, segmentos

proporcionais.

Tal feito tornou-se possível através da utilização do Teorema de Tales, que será o nosso

estudo de hoje.

Para a explicação do Teorema de Tales,

vamos considerar a seguinte situação: duas retas

transversais (r e s), que são cortadas por retas paralelas

(a, b e c), como registrado na imagem abaixo:


Leia os exemplos:

Calcular o valor de 𝒙 nos feixes de paralelas (a//b//c):

a)

b)

𝒙 3

6 9

a

b

c

𝒙 4

6

8

a

b

c

A M

B N

C P

A M

B N

C P

6 – 𝒙

Proporção é a igualdade entre duas razões.

Propriedade fundamental de uma proporção:

o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos.

Solução: 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑀𝑁

𝑁𝑃

Solução:

𝐴𝐵

𝐵𝐶=𝑀𝑁

𝑁𝑃

𝑥

6=3

9

9𝒙 = 18

𝒙 =18

9

𝒙 = 2

𝑥

6 − 𝑥=4

8

8𝒙 = 4(6 – 𝒙)

8𝒙 = 24 – 4𝒙

8𝒙 + 4𝒙 = 24

12𝒙 = 24

𝒙 = 2

𝐴𝐵

𝐴𝐶=𝑀𝑁

𝑀𝑃

𝑥

6=

4

12

12𝒙 = 24

𝒙 = 2

Também podemos

resolver com a

soma dos

segmentos:

𝐴𝐶 = 6 e 𝑀𝑃 = 12.

Basta utilizar a propriedade das proporções para

resolver o que está sendo proposto.

ou

As figuras que utilizamos, na

GEOMETRIA, servem apenas de

apoio para resolvermos as

atividades. Na maioria das vezes,

os lados não possuem as medidas

que estão indicadas.



1- Determine o valor de 𝒙 nos seguintes feixes de paralelas

(a//b//c):

a)

b)

𝒙 3

10 15

a

b

c

𝒙 4

10 8

a

b

c

c)

d)

2 𝒙

4 8

a

b

c

a b c

20

5

4 𝒙


2- Determine o valor de 𝒙 nos seguintes feixes de paralelas

(a//b//c):

a)

b)

𝒙 + 4 12

3 4

a

b

c

6 𝒙

8 7

a

b

c

d

c)

3- Na figura a seguir, temos a//b//c//d e aplicando o

Teorema de Tales, determine os valores de 𝒙, 𝑦 e z:

10 6 𝒙 8

a

b

c

3 𝒙 9

z 4 6

4 𝑦 12


Toda reta paralela (neste caso, a reta s) a um dos lados de um triângulo

(𝐵𝐶 ) determina, sobre os outros dois lados (𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 ), segmentos

proporcionais (𝐴𝑀, 𝑀𝐵, 𝐴𝑁, 𝑁𝐶).

TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS AGORA,É COM VOCÊ!!!

1- Calcule o valor de 𝒙, sabendo que 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶:

a) A

𝒙 2M N

6 4

B C

b) A

2 3

M N

3𝒙 4𝒙 + 1

B C

Agora, vamos calcular o valor de 𝒙, sabendo que 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶:

A

M N

B C

A

M N

B C

Se as retas r, s e t são

paralelas, então,

𝐴𝑀

𝑀𝐵=𝐴𝑁

𝑁𝐶

𝒙 6

2 3

Solução:𝑥

2=6

3

3𝒙 = 12

𝒙 = 4

𝐴𝑀

𝑀𝐵=𝐴𝑁

𝑁𝐶

r

s

t

Leia o exemplo:

Sendo r // s // t


c) e)

A

B C

12

𝒙

6

3

NM

A

4 14

M N

3 𝒙

B C

C

𝒙

N

𝒙 + 4

B 5 M A

12

d) f)

B

𝒙

M

8

C 3 N 6 A


1- Na figura, sendo a//b//c, o valor de 𝒙 é

(A) 2.

(B) 4. 4𝒙 + 1 3𝒙

(C) 6.

3 2

(D) 8.

2- Na figura, o valor de 𝒙 é

(A) 20.

𝒙(B) 18.

12

(C) 16.

(D) 14.

8 12

a

b

c

3- Na figura 𝐷𝐸//𝐵𝐶, temos, como valor de 𝒙,

(A) 4.

(B) 5.

(C) 6.

(D) 7.

4- Sendo a//b//c, o valor de 𝒙, na figura, é

(A) 3.

(B) 5.

(C) 10. 6 8

(D) 12.

4

𝒙

a b c

A

𝒙 𝒙 – 3

D E

𝒙 + 2 𝒙 – 2

B C


7- Leia a figura:

O valor de 𝒙, na figura, é de

(A) 180 metros. (B) 200 metros.

(C) 240 metros. (D) 300 metros.

8- A maquete do National Stadium’s (Estádio Nacional de

Tókio) foi confeccionada na razão 1:200. Se a altura dessa

maquete é de 18 cm, qual será a altura do National Stadium’s

em metros?

(A) 18.

(B) 20.

(C) 30.

(D) 36. http://www.japantimes.co.jp/

5- A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de

um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na

primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas

paralelas têm 80 metros e 90 metros de comprimento,

respectivamente. Na segunda avenida, um dos quarteirões

determinados mede 60 metros. Qual o comprimento do

outro quarteirão?

(A) 60 metros.

(B) 67,5 metros.

(C) 70 metros.

(D) 77,5 metros.

6- As alturas de dois postes estão, entre si, na razão . Se

o menor tem 6 metros, o maior terá

(A) 4,8 metros.

(B) 7 metros.

(C) 7,5 metros.

(D) 8 metros.

http

s://blo

gdo

enem

.com

.br

120 m

40 m

𝒙

..


SEMELHANÇA DE FIGURAS

Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma e mantiverem a proporção das suas medidas.

Observe:

Essas figuras não possuem o

mesmo tamanho, porém

apresentam a mesma forma. A

figura maior apresenta um

aumento proporcional à figura

menor. Elas são chamadas de

figuras semelhantes.

Agora é a sua vez!!!

Tente dobrar o tamanho do

barquinho que está na malha

quadriculada ao lado, partindo

do ponto A’.


POLÍGONOS SEMELHANTES

Observando o exemplo da página anterior, verificamos que os polígonos que formam os barquinhos são semelhantes, pois seus lados

correspondentes (como AB e A’B’, BC e B’C’, ...) são proporcionais (𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′= ⋯) e seus ângulos correspondentes são congruentes

( መ𝐴 = መ𝐴′, 𝐵 = 𝐵′…).

Leia este exemplo:

Os polígonos apresentados a seguir são semelhantes. Vamos determinar o valor de 𝒙?

20 cm

16 cm 𝒙

8 cm

19 cm 9,5 cm

14 cm 7 cm

8,5 cm

17 cm

Basta utilizar

sempre as

propriedades das

proporções.

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′=

𝐷𝐸

𝐷′𝐸′=

𝐸𝐴

𝐸′𝐴′=1

2

16

8=20

𝑥

16𝒙 = 160

𝒙 = 10

Ângulos congruentes

são ângulos com a mesma medida.

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkgmGtL14yQhPy8BU



2- Leia as figuras:

Agora, responda:

a) Qual a razão de semelhança da menor para a maior?

_____________________

b) Qual é o valor de 𝒙?

_____________________

c) Qual é o valor de 𝑦?

_____________________

d) Qual é o valor de z?

_____________________

e) Qual é o valor de w?

_____________________

1- Com uma régua, meça a base e a altura de cada

retângulo:

Agora, responda:

a) Qual é a razão entre as medidas das bases do retângulo

menor para o maior?

______________________________________________

b) Qual é a razão entre as medidas das alturas do retângulo

menor para o maior?

_______________________________________________

c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?

________________________________________________

________________________________________________


1.º caso: Dois triângulos são semelhantes quando possuem

dois ângulos correspondentes congruentes:

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

ΔABC ~ ΔA’B’C’

Lê-se: triângulo ABC semelhante a triângulo A’B’C’

(lados correspondentes proporcionais)

(ângulos correspondentes congruentes)

CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Para verificarmos se dois triângulos são semelhantes, utilizamos um dos seguintes casos de semelhança:

Observando os exemplos, verificamos que dois triângulos são semelhantes quando os lados correspondentes (𝐴𝐵 e 𝐴′𝐵′, 𝐵𝐶 e 𝐵′𝐶′, 𝐴𝐶 e 𝐴′𝐶′)são proporcionais e seus ângulos correspondentes ( መ𝐴 𝑒 መ𝐴′, 𝐵 𝑒 𝐵′, መ𝐶 𝑒 መ𝐶′) são congruentes.

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐴𝐶

𝐴′𝐶′

መ𝐴 ≅ መ𝐴′ ; 𝐵 ≅ 𝐵′ ; መ𝐶 ≅ መ𝐶′

ቑመ𝐴 ≅ መ𝐴′

𝐵 ≅ 𝐵′


2.º caso: Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois lados

correspondentes proporcionais (AB e A’B’, BC e B’C’) e os ângulos,

compreendidos entre eles, congruentes (𝑩 ≅ 𝑩′ ):

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′

𝐵 ≅ 𝐵′



3.º caso: Dois triângulos são semelhantes quando possuem os lados correspondentes proporcionais (AB e A’B’, BC e B’C’, AC e A’C’):

Leia o exemplo:

Calcular 𝒙 e 𝑦, sabendo-se que os triângulos são semelhantes:

ൡ𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐴𝐶

𝐴′𝐶′ ΔABC ~ ΔA’B’C’

6

3=15

𝑦

6𝑦 = 45

𝑦 = 7,5Então:

6

3=

𝑥

4=

15

𝑦

Se:𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐴𝐶

𝐴′𝐶′ ΔABC ~ ΔA’B’C’

6

3=𝑥

4

3𝒙 = 24

𝒙 = 8

6

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkgqwFpuSSZZ_YlQc


1- Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, determine o valor de 𝒙 e 𝑦:

a)

𝑦 16

5 8

12 𝒙

b)

𝒙12 𝑦

15 5


21


2- Calcule o valor de 𝒙 em cada figura:

a) 5 𝒙 c) 12

10

12

15 𝒙 15

b) d)

16

24 𝒙

14 8 9

𝒙

21


1- A figura apresentada abaixo representa um rio cujas margens

são paralelas entre si.

2- Lendo a figura, podemos concluir que a medida de 𝒙 é

A ponte que corta, transversalmente,

este rio, deve apresentar, como

comprimento mínimo,

(A) 10 m. (B) 15 m.

(C) 24 m. (D) 27 m.

(A) 3. (B) 4.

(C) 5. (D) 6.𝒙

3- (UNIRIO – adaptada) Numa cidade do interior, à noite,

surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco,

que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um

helicóptero do exército, situado a, aproximadamente, 30 m

acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme

mostra a figura. Sendo assim, pode-se afirmar que o diâmetro

do disco tem uma medida aproximada em metros de

(A) 6 m.

(B) 7,5 m.

(C) 8 m.

(D) 9,5 m.

5

15

12

htt

p:/

/ww

w.s

up

erco

lori

ng.

com

30

m5

0 m

sombra

16 m


6- O valor de 𝒙, na figura apresentada a seguir, é

(A) 10. (B) 12.

(C) 14. (D) 15.

7- A razão entre a altura de Mariane e a de seu amigo Thiago é5

3.

Se a altura de Mariane é 1,75 m, qual a altura de Thiago?

(A) 1,05 m. (B) 1,20 m.

(C) 1,45 m. (D) 1,55 m.(A) 3. (B) 4.

(C) 5. (D) 6.

A

4

3

4

B C

90 m

ClipArt

.

30 m

4 m

4- Leia a figura, podemos afirmar que a árvore possui uma

altura de

(A) 10 metros. (B) 12 metros.

(C) 15 metros. (D) 16 metros.

5- A medida do segmento 𝐵𝐶 é

.


1- A tabela abaixo mostra a idade dos alunos que se matricularam na academia de ginástica do bairro, durante o mês de janeiro.

Construa um gráfico de coluna com os dados da tabela:

Agora, responda:

a) Quantas pessoas se matricularam, no mês de janeiro, nessa academia?

________________________________________________________________________________________________________

b) Qual a idade que apresentou maior número de matriculados?

________________________________________________________________________________________________________

Idade(em anos)

Número de pessoas

16 13

17 25

20 10

25 22

26 15

28 8

30 12


2- A Professora Regina aplicou, na turma 1901, um teste que valia

5 pontos. O gráfico de coluna, apresentado a seguir mostra as

notas obtidas pelos alunos. Leia atentamente:

a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____

b) E nota um? ____

c) Complete a tabela com os dados do gráfico:

d) Sabendo-se que todos os alunos da turma fizeram o teste,

quantos alunos há nessa turma? ______

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

NOTAS 0 1 2 3 4 5

NÚMERO

DE ALUNOS1

NOTAS

NÚ

MER

O D

E A

LUN

OS

3- (CPII – RJ) Estes dois gráficos estão relacionados ao

consumo de energia elétrica na casa da senhora Natália, nos

meses de julho a setembro. Leia, com atenção:

Chuveiro: 25%

Geladeira: 30%

Lâmpada: 20%

TV: 8%

Ferro elétrico: 10%

Outros: 7%

330 450

540

-

200

400

600

julho agosto setembro

Consumo mensal de energia, em kWh(medição feita a cada 30 dias)

a) Qual foi a energia consumida, em média, a cada dia do mês

de setembro?

____________________________________________________

b) Qual foi o consumo com o ferro elétrico no mês de agosto?

____________________________________________________

c) E o consumo da geladeira no mês de julho?

____________________________________________________

Após a leitura dos gráficos, responda:

Agora, responda


1- A expressão que representa a área do retângulo é

(A) 5𝒙2𝑦.

2𝒙𝑦(B) 5𝒙3𝑦2.

(C) 6𝒙2𝑦. 3𝒙2𝑦

(D) 6𝒙3𝑦2.

2- O valor da expressão abc, quando a = 10–2, b = 10–3 ec = 104 é

(A) 10–2.

(B) 10–1.

(C) 10.

(D) 109.

3- Como a trajetória da Terra é elíptica (em forma de

elipse), a distância da Terra até o Sol varia entre 147,1

milhões de quilômetros e 152,1 milhões de quilômetros.

Sendo assim, apresenta um resultado médio de

149 600 000 quilômetros.

Podemos representar, em notação científica, essa distância

média como

(A) 1,496105

(B) 1,496107

(C) 1,496108

(D) 1,496109

4- Um professor solicitou ao aluno que resolvesse a

seguinte expressão:

O valor correto encontrado para N foi

(A) –18.

(B) 0.

(C) 12.

(D) 18.

N = (– 3)2 – 32

Elípse


5- Quando calculamos 10 + 7 ∙ 10 − 7 , obtemos, como

resultado,

(A) 3.

(B) 17.

(C) 3.

(D) 17.

6- Sabendo-se que a//b//c, o valor de 𝒙, na figura apresentada a

seguir, é

(A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 18.

7- Sabendo-se que essas duas figuras são semelhantes, é

possível afirmar que o perímetro da maior é

(A) 16. (B) 20. (C) 24. (D) 32.

8- Leia a reta numérica:

A letra que melhor representa a localização da 83 é

(A) A. (B) B. (C) C. (D) D.


11- Nesta figura, o valor de x equivale a

(A) 30. (B) 20. (C) 15. (D) 8.

12- Este gráfico mostra o desempenho de dois participantes de

um campeonato anual de pingue-pongue. Leia o gráfico

atentamente:

Em que mês o participante A alcançou desempenho similar ao

participante B?

(A) Julho. (B) Agosto. (C) Setembro. (D) Outubro.

9- Na figura apresentada a seguir, encontramos, como valor de 𝒙,

(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.

10- Uma pessoa de 1,80 m de altura projeta uma sombra de

1,60 m. Na mesma hora, uma árvore que projeta uma sombra de

20 m, possui uma altura de

(A) 22,5 m. (B) 25 m.

(C) 30 m. (D) 40 m.

1,80 m 𝒙

1,60 m 20 m

Clip

art

0%

20%

40%

60%

Candidato A Candidato B

DES

EMP

ENH

O

MÊS

PARTICIPANTE A PARTICIPANTE B

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Apresentação do PowerPoint PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · 2018-01-29 · MATEMÁTICA –9.°ANO 2 MARCELO CRIVELLA ... Dessa forma, mantemos o sinal negativo: –10² = –(10·10)