UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas:

Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

E

Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 1: Transformação da Tensão

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões

• 1.2 Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano

• 1.3 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano

• 1.4 Círculo de Mohr — Estado Plano de Tensões

• 1.5 Tensão em Eixos com Carga Axial e Torção

• 1.6 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

OBJETIVOS:

• Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associadas a um sistema de orientação diferente..

• Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a orientação dos elementos sobre os quais atuam.

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões

O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes de tensões, 3 normais (σ) e 3 de cisalhamento (τ), que atuam nas faces de um elemento do material localizado em tal ponto:

Se por exemplo não houver carga na superfície z do corpo, os componentes das tensões normal e de cisalhamento serão nulos na face de um elemento localizado nessa superfície e em sua face oposta, então o material no ponto estará sujeito ao estado plano de tensões: O est. plan. é representado, pela combinação de dois componentes de tensão normal, σx e σy, e um componente de tensão de cisalhamento, τxy , que atuam sobre as quatro faces do elemento.

NOMECLATURA E SINAIS: .σx= σxx (x normal à face que atua e x direção), σy= σyy e σz= σzz; .τxy= τyx (x normal à face que atua e y direção), τzy= τyz , τxz= τzx . Tensão positiva se a normal e direção tem mesmo sinal , e tensão negativa se normal e direção tem sinais contrários .

Vejamos como transformar e obter os componentes σx’, σy’, τx’y’ ao longo dos eixos x', y' , que representem o mesmo estado de tensão no ponto.

Usando a convenção de sinal dada, secionamos o elemento ao longo do plano inclinado e isolamos o segmento mostrado.

Supondo a área secionada seja ΔA, as faces horizontal e vertical terão área Δ A sen θ e Δ A cos θ. O diagrama de corpo livre (FORÇAS) do segmento resultante é : Então pelas equações de equilíbrio:

1.2 – Equações gerais de transformação de tensões para o estado plano

Exemplo:

O estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado na Figura. Determinar o

estado de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30° no sentido horário em relação à

posição mostrada.

Resposta:

acima;

1.3 – Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano.

Na engenharia, é importante determinar a orientação principal (θp) dos planos de tensão normal máximo e mínimo, e de cisalhamento máximo (θc).

A solução tem duas raízes (2θp1 e 2θp2). θp1 e θp2 são 90° defasados e substituídos na eq. geral dão as tensões principais normais máximas e mínimas (σ1 e σ2 ).

Supondo τxy e (σx - σy) ambos positivos ou ambos negativos na eq. acima, podemos construir os triângulos ao lado:

Neles:

Substituindo estes na eq. geral de σ’ , teremos as tensões principais :

Elas atuam nos planos principais onde tensão de cisalhamento é nula.

Para isso diferenciamos a equação geral de σ’ em θ e igualamos a zero obtendo;

Analogamente para determinar a orientação da tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a Eq. Geral de τ’ em θ e igualamos a zero obtendo:

As duas raízes dessa equação, θc1 e θc2, analogamente podem ser determinadas pelos triângulos sombreados;

Comparando com o triangulo da tensão normal principal, cada raiz de 2θc está defasada em relação a 90° de 2θp. Assim, θc e θp estão separadas por 45° obtendo o plano de cisalhamento máximo.

A tensão de cisalhamento máxima é obtida calculando sen 2θc e cos2θc no triangulo e substituindo na equação geral de τ’ ; 26c da Figura

Substituindo os valores de sen 2θc e cos2θc na equação geral de σ’ , vemos que também há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máxima.

Exemplo 1: A roda dianteira de um avião está submetida a uma carga de projeto de 12 kN. Determinar as tensões principais que atuam no ponto A do suporte de alumínio da roda.

Solução: Façamos o diagrama de corpo livre com os esforços no corte transversal na seção em A:

Utilizemos as equações de equilíbrio:

Calculemos as tensões em um elemento infinitesimal plano qualquer na seção do corte;

A tensão normal é σ=(N/A )+ (My/I), mas na L.N. (A em y=0) o segundo termo (normal por flexão) se anula, logo

A tensão cisalhante transversal devido a força cortante V equivale a tensão cis longitudinal na flexão (pois são complementares) e dada por τ=VQ/It (onde Q=momento de 1 ordem, I=momento de inércia de 2 ordem ou de área) ao longo da espessura t=b=0.03m em A na L.N (y=0), com os dados ao lado fazemos

Finalmente as tensões principais:

Agora obtenha a inclinação dos planos principais onde atuam σ1 e σ2 e a tensão cis. Máxima além de sua inclinação.

=

OBS: A’ é a área escura acima de y.

(0-8.66)/2+-

N

Exemplo 2: A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determinar as tensões principais e de cisalhamento máxima no plano que se desenvolvem nos pontos A e B. Os pontos estão à esquerda da carga de 2.000 lb. Mostrar os resultados em elementos, adequadamente orientados, localizados nesses pontos.

Solução: = Lembrando que;

Teremos as propriedades da seção;

pois Ya = h/2 = -Yb; Diagrama de corpo livre com as reações dos suportes;

Diagrama de corpo livre com os momentos e forças internas na seção à esquerda de A e B;

A tensão normal é σ=(N/A )+(My/I), (A e B, Ya = h/2 = -Yb) o segundo termo (normal por flexão) não se anula, logo;

A tensão cisalhante transversal devido a força cortante V equivale a tensão cis. longitudinal na flexão (pois são complementares) e dada por τ=VQ/It em A e B.

Logo, com tensão cisalhante nula estamos no plano principal, teremos respectivamente as tensões normais principais max e min em A e B;

No próximo slide obtemos o cis. máximo e o plano em que se desenvolve e mostramos os elementos orientados em A e B;

OBS: A’ é a área escura acima de y.

A B

Elementos orientados:

Fazer: A viga tem seção transversal retangular e está submetida às cargas mostradas. Determinar as tensões normais principais desenvolvidas nos pontos A e B, localizados à esquerda da carga de 20 kN. Mostrar os resultados em elementos localizados nesses pontos.

1.4 – Circulo de Mohr – Estado plano de tensões

As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma solução gráfica fácil de usar e lembrar.

O parâmetro θ pode ser eliminado elevando-se ao quadrado cada uma das equações e adicionando-as teremos;

É a eq. de uma circunferência. Estabelecemos eixos coordenados σ positivo para a direita e τ positivo para baixo, ela forma um círculo de raio R e centro C(σ méd, 0).

Construção do Círculo. 1-Usando a convenção de sinal positiva (Fig.b), marcamos o centro do círculo C(σ méd, 0). e o 'pt de referência' A (σx, τxy) de tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento onde eixo x' coincide com o eixo x, (θ = 0°) (Fig.e). 2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo. Tensões Principais. 3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde τ = 0(Fig.a), e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 (Fig.c) representados no círculo por 2θp1 e 2θp2 (não mostrado) para as linhas CB e CD respectivamente (calcular apenas um por tg, o outro está 90° defasado anti horário.)(Fig.c). Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 4-São as coordenadas do pt E e F (Fig.a). θc1 e θc2 dão sua orientação (Fig.d). 2θc1 (Fig.a) é o ângulo mais próximo de CE ou CF obtido por tang. e tem rotação horária nesse caso(Fig.d). Tensões no Plano Arbitrário. 5-σx’ e τx’y’ que atuam sobre um plano especificado pelo ângulo θ (Fig.e) são obtidos no círculo usando-se tg para determinar as coordenadas do ponto P a 2θ de CA(Fig.a).

Construção do Círculo. 1-Usando a convenção de sinal positiva, marcamos respectivamente o 'pt de referência' A = (σx, τxy) e o centro do círculo em logo: 2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo Tensões Principais. 3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde τ = 0, e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 representados no círculo por 2θp1 e 2θp2(não mostrado) para as linhas CB e CD respectmt. (calcular apenas um por tg, o outro θp2 =106,8º está à mais 90° horário). Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 4-São as coordenadas do pt E e F. θc1 e θc2 dão sua orientação, 2θc1 é obtido por tang. e tem rotação anti-horária. até CE neste caso.

EXEMPLO: Determinar (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especificar a orientação do elemento em cada caso.

Solução:

Fazer: O pedal de bicicleta tem a seção transversal mostrada. Se estiver fixo à engrenagem no ponto B e não girar quando submetido a uma força de 75 lb, quais serão as tensões principais no ponto C da seção transversal?

1.5 – Tensão em eixos com Carga Axial e Torção

Eixos na região linear-elástico, usamos o princípio de superposição e obtemos separadamente as tensões a partir das componentes de carga, quando: 1- carga for equação linear à tensão (e é, pois e são tensões lineares as cargas P e T). 2-carga não mudar a geometria significativamente para não alterar braços de momento, como por exemplo: , porém, O que não é o caso em pequenas deformações. Exemplo1: Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N • m estão aplicados ao eixo mostrado na Figura a. Supondo que o eixo tenha diâmetro de 40 mm, determinar as tensões principais no ponto P de sua superfície.

Sol: Vamos obter as cargas no DCL abaixo de P: Obtemos o cis.devido a torção; ele depende do momento de inércia polar J da seção de raio ρ do tubo maciço

Não há normal por flexão, apenas tensão normal em y:

Tensões princ. (Mohr): Centro C=(358.l ; 0)

Pt de referência A = (σx, τxy)=(0 ; 198.9)(Fig d). Logo, graficmt R=409.7 e tensões princ B e D:

O ângulo horário 2θp2 entre AC e CD por tg é: 2θp2=29,1°. Logo à θp2 =14,5º horário de x está x' de tensão normal mínima:

Exemplo2: O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 m e espessura da parede de 15 mm. E feito de chapas de aço soldadas ao longo da costura a 45°. Determinar os componentes da tensão normal e de cisalhamento ao longo da costura se o vaso estiver sujeito a uma pressão interna p de8 MPa.

Sol: Trata-se de um vaso de pressão de r > 10t (paredes finas) onde; A tensão normal mínima ocorre longitudinalmente em x; A tensão normal máxima ocorre circunferêncialmente em y; (dobro da em x) Nesta orientação x-y temos cisalhamento nulo (planos principais) e o elemento, representa tensões normais máx e mín. A 45º horário (x’) temos o cisalhamento máximo, logo haverá tensão normal igual à média σ méd = (σ x+ σ y)/2 = (σ x’); com ela obtemos o centro C=(σ méd ,0) em Mohr: Graficamente em Mohr temos; (Cis. Máximo em x’ à 45º)

Fazer: O tubo de paredes finas tem diâmetro interno de 0,5 pol e espessura de 0,025 pol. Se for submetido a uma pressão interna de 500 psi, bem como as cargas de tração axial e torção como as mostradas, quais serão as tensões principais em um ponto da superfície?

Um elemento submetido a um estado de tensão tridimensional xyz;

1.6 –Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

terá uma orientação x’y’z’ onde atuam as tensões principais (triaxiais)

Analisando separadamente os planos x’y’, y’z’ e x’z’; construímos um único círculo de Mohr com estas tensões principais;

O circulo mostra o valor da tensão de cisalhamento máxima em cada plano, orientado a 45º; Como vemos, a tensão de cisalhamento máxima absoluta será como ocorre em x’z’, ela será obtida girando 45º em torno de y’ (σ int). E temos ainda a tensão normal média;

ATENÇÂO:Planos que não tiverem cisalhamento as tensões normais já são as principais.

Exemplo: Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura na figura está sujeito ao estado plano de tensões mostrado. Determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto. Sol: Inicialmente obtemos as tensões principais pelo círculo de Mohr de centro -10psi, com ; Teremos o raio ; Logo as tensões principais serão: No circulo 2θ anti-horário de CA para a tensão mínima em x’; logo é a defasagen do eixo x‘ onde atua σmín;

Não há tensão principal na direção z, o estado triaxial é; Para obter tensão cisalhante máxima absoluta fazemos Mohr com o estado triaxial acima;

A ten. cis. máx. abs. é a ten. cis. máx. no plano x’-y’ que como sabemos atua em um novo x’’-y’’ 45º defasado em relação a x’-y’(45+38=83º defasado de x-y), veja;

x’’

y’’

ATENÇÂO:Planos que não tiverem cisalhamento as tensões normais já são as principais.

Fazer: O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico está submetido a um estado plano de tensões em x-y. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.