MATEMÁTICA APLICADA

MARCELO CARRION

APRESENTAÇÃO

MARCELO CARRION ENGENHEIRO MATEMÁTICO ESPECIALISTA MATEMÁTICA – UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Conceitos Básicos de Aritmética e

Álgebra

2. Geometria Plana

3. Geometria Espacial

4.Função do Primeiro Grau

5. Função do Segundo Grau

6. Função Exponencial

7. Função Logarítmica

8. Álgebra Elementar em R

AVALIAÇÃO

P1 - PROVA VALOR 7,0 L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M – MÉDIA E – EXAME MF – MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M≥7,0 – ALUNO APROVADO SE M<3,0 – ALUNO REPROVADO SE 3,0≤M <7,0 – EXAME (5,0)

2

M EMF

OBJETIVOS DO CURSO

PROMOVER NIVELAMENTO PRÉ-REQUISITOS APLICAÇÕES MATEMÁTICAS

CONCEITOS BÁSICOS DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

NÚMEROS NATURAIS (N)

N={0,1,2,3,4,5,...}

Antecessor/sucessor

Divisor

Múltiplo

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

Z*=Z-{0}

Neutro Positivos Negativos

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

{ , , *}a

Q a Z b Zb

São números racionais:

Números naturais:

Números inteiros:

Números decimais exatos:

Números decimais periódicos: 0,333; 2,5151...

33

1

84

2

252,5

10

FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA

Método Prático:

3 10,333...

9 3

760,7676...

99

3410,341341...

999

1,2525... 1 0,2525...

25 99 25 1241

99 99 99 99

Regra Geral:

1,252525...(1)

10 12,52525...(2)

100 125,2525...(3)

(3) (1) 100 125,2525... 1,2525....

12499 124

99

x

x

x

x x

x x

NÚMEROS IRRACIONAIS (I)

Números irracionais são números decimais não periódicos

NÚMEROS REAIS

R Q I

N Z Q R

INTERVALOS REAIS

a b

a

a

a

b

b

b

]a,b[ ou {xR/a<x<b}

[a,b] ou {xR/a≤x≤b}

[a,b[ ou {xR/a≤x<b}

]a,b] ou {xR/a<x≤b}

a

]a,+) ou {xR/x>a}

b

(−,b] ou {xR/x≤b}

ADIÇÃO EM Z

NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR(−): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS: −20+(+17)= −3 +52+(−2)=+50 −35+(−5)= −40 +27+(+8)=+35

SUBTRAÇÃO EM Z

ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO TIRAR CRÉDITO: SALDO ↓, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO ↑, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS: +50−(+20)=+50 −20=+30 +23−(−7)=+23+7=+30 −48−(+30)=−48−30=−78 −36−(−6)= −36+6=−30

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z + + = +

+ − = −

− + = −

− − = +

EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).(−6)= −18 (+21):(−3)= −7 (−2).(+7)= − 14 (−10):(+5)= −2 (−9).(−8)=+72 (−25):(−5)=+5

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q

DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS: 2 1 3

7 7 7

2 1 8 3 5

3 4 12 12 12

3 5 3 81

5 5 5 5

MULTIPLICAÇÃO EM Q

a c acx

b d bd

EXEMPLOS:

2 3 2 3 6 3

5 4 5 4 20 10

xx

x

4 7 4 7 4 287

5 1 5 1 5 5

xx x

x

DIVISÃO EM Q

a c a d adx

b d b c bc

a

a c adbcb d bc

d

ou

EXEMPLOS:

5 2 5 3 15 5

6 3 6 2 12 4x

5

5 2 5 3 15 5626 3 6 2 12 4

3

x

x

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de

Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o

estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o

estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa

sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais

que o estudante B.

a) Qual era o valor da Bolsa?

b) Quantos reais economizou cada um dos

estudantes, naquele mês?

.30

1 1) 8

5 6

6 5 240

240

x xa

x x

x

1 1) .240 48

5 5

1 1.240 40

6 6

xb

x

xy

yx

5

2x

2

1y2. Se A= , calcule o valor de A sabendo que e

,

2 1 4 5 1

10 15 2 10 10 102 1 2 2 20 2

.5 2 10 10

A

31

521 3

14

3. Calcule M=

2 3 1

5 5 4 5 20 22 2 2 . ` .4 1 53 3 10 3 30 3

4 4 4

M

1 1 12 14

3 9 3Y

4. Calcule

6 1 1 314

3 3 9 9

7 214

3 9

7 1 2.

3 14 9

7 2

42 9

1 2

6 9

3 4 7

18 18 18

Y

5. Sendo a = 0,555... + 0,111... e b = 0,2 + 0,04, determine

na forma decimal

a

b

0,2 0,04 0,24 0,24 0,24

5 1 6 20,555... 0,111...

9 9 9 3

24 6

18 36100 25 0,362 2 50 100

3 3

b

a

POTENCIAÇÃO

. . ...na a a a a

n fatores a

a base n expoente

EXEMPLOS:

5

4

3

2

2 2.2.2.2.2 32

( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) 81

2 2 2 2 8. .

5 5 5 5 125

7 (7.7) 49

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

.

1 .

2

3 ( . ) .

4

5

m n m n

m n m n

n n n

n n

n

nm m n

P a a a

P a a a

P a b a b

a aP

b b

P a a

POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS

OBSERVE A TABELA

24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

1

16

1

8

1

4

1

216 48 2 1

꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10. Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y⋅10n, onde yR/ 1≤ y < 10 e n Z. Exemplos: 27000=2,7.104

0,0000031=3,1.10-6

ORDEM DE GRANDEZA

Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y⋅10n Segundo passo: - se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n -se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n+1

Exemplos: A superfície do território brasileiro é aproximadamente: 8547403 Km2=8,5.106Km2 O.G. é 107

A massa de um átomo de hidrogênio é 0,00000000000000000000000166g=1,66.10-24g O.G. é 10-24

RADICIAÇÃO

nn a x x a

n a Raiz

Radical

a Radicando

n Índice

x Raiz

3

4

10

125 5

81 3

1024 2

,pois

, pois

, pois

35 125

43 81

102 1024

EXEMPLOS:

SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

Utilizar as propriedades dos radicais para representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos:

5 2 2

2 2

3 33 3

32 2 2 .2 .2 2.2. 2 4 2

180 2 .3 .5 2.3. 5 6. 5

375 3.5 5. 3

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

. .

.

. .

.

. .

.

n n m n n m

n m n m n n m

a a b a b

bb b b

a a b a b

bb b b

a b c a b ca

b cb c b c b c

EXEMPLOS

3 2 3 3 3

3 3 3 32 3

1 1 2 2.

22 2 2

2. 3 1 2. 3 12 2 3 1. 3 1

3 1 23 1 3 1 3 1

2 2 . 2 12 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2. 2

2 1 1 12 1 2 1 2 1

2 2 4 2. 16 2. 16 16.

4 24 4 4 4

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

. .

.

1 . .

2

3

4

5

n n n

n

n

n

n pn m m p

m

n m n

n m n m

P a b a b

a aP

bb

P a a

P a a

P a a

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

3 42 3 73 4 7 6 12 7 11

2

2 1 10 91 52

3 . 3 .39 . 27 . 3 3 .3 .3 3) 3 9

1 3 .3 33 . 3. 2433

a

6 33 26 3 18 6 12

4

3 7 6 14 82 7 6 2

5 . 5125 . 25 5 .5 5) 5 625

5 .5 55 . 25 5 . 5b

1. Simplifique

2 3 2 3

1 5 1 5

2. Simplifique

2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15.

1 51 5 1 5 1 5

2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15

4 4

A

A B

2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15.

1 51 5 1 5 1 5

2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15

4 4

B

2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15

4 4

4 2. 15 151

4 2

A B

3

23 3 3 3

2 2 2 2

6 3 3 34 64 2 2 2

3 3

2 2 33 33 3 3 12 12 22 2 2 2

3 3

2 2

3

2

1 3 9 3 12 9 3 3 3 4 39 . 3 . . . .

4 4 4 4 4 322 2 2 2

9

4 4

4 2 2 .33 3.3 .3 .3 .3 2 .3 2 .32 6 3

2 3

12 .

3

M

1

2 1 1 2. 2 2. 68. 2. 2.

3 33 3

4 6

2

3

2

2

3

4440

13 .

...,)(m

3. Calcule M

PRODUTOS NOTÁVEIS

2 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

2. .

2. .

.

3. . 3. .

3. . 3. .

A B A A B B

A B A A B B

A B A B A B

A B A A B A B B

A B A A B A B B

FATORAÇÃO

Fatorar significa transformar em fator, isto é, transformar

em multiplicação.

2 2 22. . ( )A A B B A B

2 24. 12 9 (2 3)x x x

A B

2.x 3

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

2 2 ( ).( )A B A B A B

A B

2 24 2 225 (5. . ).(5. . )

9 3 3x y x y x y

5.x 2.

3y

DIFERENÇA DE QUADRADOS

3 3 2 2( ).( . )A B A B A A B B

A B

3 227 ( 3).( 3. 9)y y y y

y 3

DIFERENÇA DE CUBOS

3 3 2 2( ).( . )A B A B A A B B

A B

3 3 2 2125 ( 5 ).( 5. . 25 )x y x y x x y y

x 5.y

SOMA DE CUBOS

3 5 2 7 2 5 26. 15. . 3. . .(2. . 5 )x y x y x y x y

FATOR COMUM

FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

ax + bx + ay + by=x.(a+b)+y.(a+b)=(a+b).(x+y)

FATOR COMUM FATOR COMUM FATOR COMUM

AGRUPAMENTO

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

125

6²304

a

ba1. Determine o valor da expressão para a=−1 e b=4.

2

4 2 2 2 2

30 ² 6. 6.(5. ) 6

25 (5. ).(5. ) 5.

a b a b

a b a b a b a b

Para a=−1 e b=4, temos:

2 2

6 6 6 6 2

5 4 9 35. 5.( 1) 4a b

1²³

14

yyy

y2. Determine o valor da expressão para y=999.

4 2 2 2

2 2

1 ( 1).( 1) ( 1).( 1).( 1)1

³ ² 1 .( 1) ( 1) ( 1).( 1)

y y y y y yy

y y y y y y y y

Substituindo y por 999, temos:

1 999 1 1000y

ATENÇÃO