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MATEMÁTICA – 7.° ANO 1

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLEBER RANGEL DO NASCIMENTO

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

NELSON GARCEZ LOURENÇO

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)

MOANA MARTINS E EQUIPE

ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA

MULTIRIO

CONTATOS E/SUBE

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Telefones: 2976-2301 / 2976-2302

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO


− 6 7

2

0, 25

−1

90,555.. 21%

Todo número que pode ser representado

na forma de fração 𝐚

𝐛, onde a e b são

inteiros e b é diferente de zero ( b ≠ 0 ), é

chamado de número racional.

Lembre-se: toda fração pode ser

colocada na forma de um número decimal.

Exemplos:

• Onde: 7

2e −

1

9já se encontram na forma de fração.

• Os demais números também podem ser escritos na forma

de fração. Observe:

− 6 = − 6

1; 0, 25 =

25

100; 0,555... =

5

9; 21% =

21

100

AGORA,É COM VOCÊ!!!

1 – Transforme os números racionais, da forma de fração para a

forma decimal, conforme o exemplo acima:

a) 2

5=

Para transformarmos uma fração em um

número decimal, temos que dividir o numerador

dessa fração pelo seu denominador.

Ex.: 7

2= 3,5

b) 1

8=

c) 4

9=


1 – Localize os números racionais, apresentados a

seguir, na reta numérica, transformando as frações

impróprias em números mistos ou decimais:

A = 13

2B = −

3

4C = 0,3 D =

11

4

1 – Represente as situações, apresentadas abaixo,

utilizando a forma fracionária e decimal:

a) 2,3 metros abaixo do nível do mar.

b) Dividir, igualmente, R$ 50,00 entre 8 pessoas.

c) Uma temperatura de 3,8 graus Celsius abaixo de zero.

d) Dividir uma barra de chocolate, igualmente, entre 4 pessoas.


Localizando os números racionais na reta numérica, temos:

−2

3= − 0,666...

1

2= 0,5

9

4= 2

1

4ou 2,25

19

5= 3

4

5ou 3,8

A B C D

A = B = + C = + D = 1

2

19

5

9

4−2

3


–3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

memoria.ebc.com.brP

ixabay

Pixabay

– 2,3 metros ⟶

Nível do mar ⟶ http

://ww

w.s

ubsport.c

h/

• Em uma fração própria, em que o numerador é menor que o denominador, a

sua localização, na reta numérica, vai estar sempre entre 0 e 1 (positivo) ou entre 0

e -1 (negativo). Ex.: B = +

• Numa fração imprópria, em que o numerador é maior que o denominador, o

melhor a fazer é transformá-la em fração mista antes de localizarmos na reta.

Ex. : D =

Para transformarmos um decimal exato em fração, basta

repetir o número, sem a virgula no numerador e, no

denominador, colocar 10, 100, 1000...dependendo do

número de casas decimais que temos depois da vírgula.

Alguns números decimais também podem ser escritos

na forma de fração. São eles os decimais exatos (que

são finitos) e as dízimas periódicas (que são os

decimais infinitos e que possuem período).

Ex.: 3,5 = 35

10=

7

2

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma

você chegou aos resultados.

1

2

19

5


Exemplos:

a) l −4

5l =

4

5b) l +

3

5l =

3

5

c) módulo de +18,35 = 18,35

d) valor absoluto (módulo) de − 0,7777.... = 0,7777....

Chat matemático

O que já estudamos sobre módulo

ou valor absoluto para os números

inteiros, vale também para os

números racionais?

Sim! Módulo de um número

racional ou seu valor absoluto é

a distância do ponto que o

representa até a origem!

Temos que lembrar também que o

módulo de um número positivo ou

de um número negativo será

sempre positivo!

1 − Determine:

a) módulo de – 5 = ___________

b) l − 𝟒

𝟑l = ___________

c) O valor absoluto de – 0,333... = _____________

d) O módulo de + 6 𝟐

𝟑= ________________

2 − Identifique o oposto ou o simétrico de cada número:

a) 1,9 é ______ b) + 0,555... é _________ c) − 8,3 é ______

Números opostos ou simétricos são aqueles

cujas representações estão à mesma distância

da origem. Os números simétricos possuem o

mesmo módulo, mas sinais contrários. A soma

de dois números simétricos é igual a zero.

Demonstre, para os seus colegas e para o seu

Professor, de que forma você chegou aos

resultados.


Para compararmos dois números racionais, precisamos analisar os números, verificando se um desses números é maior, menor

ou igual ao outro número. Para isso, vamos observar alguns pontos:

• números com sinais diferentes, o maior é sempre o número positivo. Exemplo:

− 𝟑

𝟒< +

𝟏

𝟔

• localizados em uma reta numérica, o maior número estará sempre à direita do outro. Exemplo:

− 1,5 < +6

• na forma decimal, primeiro comparamos a parte inteira, e, se as partes inteiras forem iguais, comparamos a parte decimal.

Exemplo:

+ 2,68 > + 2,65

• na forma de fração:

- com denominadores iguais, a maior é a que possui maior numerador. Exemplo:

+ 𝟑

𝟗> +

𝟏

𝟗

- com denominadores diferentes, primeiro achamos as frações equivalentes com o mesmo denominador. A maior será a fração

que possuir maior numerador. Exemplo:

Comparando4

5e

2

3, temos:

4

5=

12

15e

2

3=

10

15Logo, se

12

15>

10

15então

4

5>

2

3


1 − Complete, utilizando os sinais > , < , = :

a) − 6

3+

1

9b) −

1

5−

5

3c) 1,9 – 5,55

d) − 2,5 − 2,533 e) − 31

30 f ) −

1

2− 0,5

2 − Tia Beth comprou uma barra de chocolate para seus sobrinhos. Ela

repartiu a barra em 12 pedaços iguais. João comeu1

12da barra, Pedro

comeu1

6da barra e Luísa comeu

3

4da barra. Qual dos sobrinhos

comeu mais?

Resposta: ________________________________________________

pixabay

Quando temos uma comparação entre números racionais, em que

um está na forma de fração e o outro, na forma decimal, o melhor a

fazer é colocar os dois no mesmo formato (ou fração ou decimal).

Exemplo: Comparando 15

4com 3,2, temos:

15

4= 3,75 3,2 < 3,75 Logo: 3,2 <

15

4

3 − Compare os números em relação às situações apresentadas:

a) Temperatura entre − 8 °C e 34 °C: ________________

b) Saldo negativo de 3 gols e positivo de 5 gols: __________________

c) 5 °C abaixo de zero e 4,3 °C acima de zero: ___________________

d) 2,5 m e 1,3 m, ambos abaixo do nível do mar: _________________

e) Saldo negativo de R$ 20,00 e negativo de R$ 30,00: _____________

− 8 < + 34

4 − Coloque os números, apresentados a seguir, em ordem crescente:

− 2,35 ; 0 ; − 1,7 ; 2,31 ; − 2,3

Resposta: __________________________________________

5 − Quatro amigos resolveram medir suas alturas para verificar quem

era o mais alto. A altura de João é de 1,55 m, a de Pedro 1,59 m,

Rodrigo tem 1,57 m e Carlos 1,48 m. Faça a comparação entre eles e

coloque os meninos em ordem crescente de altura:

Resposta: _____________________________________________

pixabay

Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.


Exemplo:

Eduardo viajou para um sítio e constatou que a temperatura, durante o dia, era de + 2,5 °C e à noite era de −3,4 °C. Qual a variação de

temperatura que ocorreu do dia para a noite?

Variação de temperatura = temperatura final – temperatura inicial

Resposta: _______________________________

1 − Um submarino navegava a uma profundidade de – 52,5 m. No dia seguinte, passou a navegar a – 69,4 m de profundidade. Com essa nova

profundidade podemos dizer que o submarino subiu ou desceu ? De quantos metros foi a variação da altura?

(− 3,4) – (+ 2,5) = − 3,4 − 2,5 = − 5,9 °C

Clipart

Pixabay

Continua

A variação foi de – 5,9 ºC.

Resposta: _________________________________________________________________

• Na adição, se os números possuem o mesmo sinal,

mantemos o sinal e somamos os módulos.

• Se os números possuem sinais contrários, mantemos

o sinal do número de maior módulo e subtraímos os

módulos.

• Na subtração, somamos o 1.º número com o oposto do

2.º número e depois aplicamos as regras da adição

citadas acima.

Auxiliando a memorização...

>

<maior que – lembra o número 7

menor que – lembra o número 4


2 – Efetue:

a) ( + 1

3) + (–

2

5) =

b) (–6

5) – (–

3

4) =

c) (– 3,5 ) + (– 5,8) =

d) (–2

5) – (–

4

3) =

e) ( +4,3) – ( +2,7) =

3 – Leia a figura. Ela representa uma mesa de pingue-pongue oficial

que possui 2,74 m de comprimento e 1,52 m de largura. Calcule o

perímetro dessa mesa:

4 – Um fazendeiro vendeu parte da produção de milho de sua fazenda

para três mercados diferentes. Com o restante, alimentou o gado.

Leia atentamente:

1

5de sua produção ele vendeu para o mercado da praça.

1

3de sua produção ele vendeu para o mercado do Seu Zé.

4

15de sua produção ele vendeu para o mercado Central.

Que fração representa a quantidade de milho vendida e que fração

representa a parte utilizada para alimentar o gado?

https://t1.educima.com/dibujo−para

−colorear−agricultor−s7076.jpg

Resposta: ________________________________________

5 – A tabela apresentada ao lado mostra

as temperaturas máximas e mínimas em

centígrados, durante cinco dias seguidos,

em certa cidade. Em qual dia ocorreu a

maior variação de temperatura?

OBMEP – NÍVEL 2

Para efetuar adições ou subtrações de números racionais, na

forma de fração, com denominadores diferentes, devemos

encontrar as frações equivalentes de mesmo denominador e, depois,

somar ou subtrair essas frações.

(Adaptada)

Lembre-se de demonstrar, para os seus colegas e para o seu Professor, de

que forma encontrou os resultados.


A regra dos sinais, utilizada na multiplicação de números inteiros,

também é válida para a multiplicação de números racionais.

a) Cinco colegas de uma mesma

escola resolveram ir ao cinema no

fim de semana. Cada ingresso

custa R$ 25,00 a inteira, e R$

12,50, a meia entrada. Quanto

esses meninos gastarão, ao todo,

uma vez que todos eles pagam

meia entrada?

b) Rodrigo passou em um posto de

gasolina para abastecer o tanque

do carro. Sabendo-se que ele

colocou 45,7 litros de gasolina e

que o valor do litro é de R$ 3,75,

quanto Rodrigo gastou?

Observe os exemplos a seguir:

Os meninos gastarão, ao todo, R$ 62,50.

Rodrigo gastou, aproximadamente, R$ 171,38 para encher o tanque do

seu carro.

clip

art

1 − Efetue os cálculos, simplificando quando possível:

a) 7 . 3

4= b)

2

5. −

3

4=

c) 5

4. 4

6= d)

1

4. 12 =

Atenção!

Podemos, também, realizar a

simplificação ou cancelamento, antes

da multiplicação dos termos. Para

isso, basta identificarmos um número

que possa dividir, ao mesmo tempo, o

numerador e o denominador. Observe:

Continua

clip

art

Na multiplicação de números racionais fracionários, multiplicamos

os numeradores, achando um único numerador como resultado, e,

em seguida, multiplicamos os denominadores, achando também

um único denominador como resultado.

Exemplo:

12,50

x 5

62,50

Quando colocarmos

a vírgula no produto

(resultado da

multiplicação)

devemos contar as

casas decimais dos

dois fatores.

45,7

x 3,75

2285

3199

1371

171,375

Quando formos

colocar a vírgula no

produto devemos

contar as casas

decimais dos dois

fatores.

: 2

: 2

: 2

: 2


4 − A que fração corresponde1

3de

1

5de um mês (30 dias)?

A quantos dias equivale a fração?

Resposta : _______________________________

2) Efetue as multiplicações:

a) (– 0,1) x 2,4 =

b) 3,2 x (− 2,2) =

c) 5

6x

3

4=

d) 1

3x

3

2x 2

5=

e) 4

5x (−

3

7) x

1

2=

f) 1

3x 2,4 =

g) 0,5 x 3

2=

pixabay

3 − Ana comprou uma pizza para comer com a família e repartiu em

10 pedaços iguais. Ela comeu3

10, sua mãe comeu o dobro dela e seu

pai comeu o restante. Qual a fração que representa a quantidade de

pizza que cada um comeu?

Resposta: ___________________________________________


A divisão entre dois números, com divisor diferente de zero, também

pode ser calculada a partir da multiplicação pelo inverso do divisor.

Observe o exemplo:

15 ∶ 5 = 15 .1

5=

15

5= 3

Na divisão de dois números na forma de fração, temos que multiplicar

a primeira fração pelo inverso da segunda e, assim, obteremos o

resultado. Veja no exemplo:

2

3:

3

5=

2

3.

5

3=

2 .5

3 .3=

10

9

Na divisão de dois números na forma decimal, temos que, primeiro,

igualar as casas decimais. Depois, efetuar a divisão, normalmente,

como se os números fossem inteiros. Observe:

Igualar o número de casas decimais

e cortar as vírgulas

,1440

2880

28800

• OPERAÇÃO COM NÚMEROS RACIONAIS: DIVISÃO

Continua

Dois números dizem-se inversos quando o resultado da

multiplicação entre eles é igual a 1. Todo número diferente de zero

possui um inverso.

Exemplos: 2

5x

5

2= 1 2 x

1

2= 1

1 − Ache o inverso de cada um dos números racionais:

a) 3

4b)

5

8

c) − 1

2d) 1,3

e) 0 f) − 2,7

g) 0,7777...

Para encontrarmos o inverso de um

número racional, basta trocar de

lugar o numerador pelo

denominador.

Tanto na multiplicação, quanto na divisão, a regra dos sinais é a

mesma:

• se os números possuem sinais iguais, o resultado

(produto/quociente) é positivo;

• se os números possuem sinais contrários, o resultado

(produto/quociente) é negativo;

𝟔

𝟖inverso

𝟖

𝟔

Logo, 5

2é o inverso de

2

5. Logo,

1

2é o inverso de 2.

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma

você chegou aos resultados.

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjWB3PvJdH0hIrkl


Resposta: _________________________________________

__________________________________________________

1 – Resolva as divisões abaixo:

a) ( 4

7) : (

3

4) =

b) (–5

3) : (–

15

4) =

c) (+ 3

5) : (–

4

5) =

d) ( + 3

4) : 0,5 =

e) – 76,85 : 14,5 =

f) (– 45,24) : (– 8,7) =

Observe esta situação-problema:

Um pedreiro precisa construir uma escada de concreto com 299,2 cm

de altura. Sabendo-se que a altura mínima de cada degrau é 17,6 cm,

quantos degraus haverá nesta escada?

Resposta: Na escada, haverá 17 degraus.

2 – Uma fábrica de bolas de futebol produz 3 504 bolas. Dessa

produção,3

4já foram vendidos. Para realizar a entrega, esses

3

4

terão que ser distribuídos, igualmente, em 6 caminhões.

a) Ache a fração que representa a quantidade de bolas de futebol

distribuídas em cada caminhão.

Pixabay

Pixabay


Resposta: ________________________________________________

3 – Seis amigas fizeram um bazar para vender pulseiras. Após

um dia de trabalho, elas arrecadaram R$ 181,50. Quanto, cada uma

das seis amigas irá receber se dividirem, igualmente, essa quantia?

Resposta: ______________________________________________

Pixabay

b) Agora, diga quantas bolas cada caminhão carregou? 4 – Um galão de água está com3

4de sua capacidade preenchida. Essa

água será distribuída, igualmente, em garrafas com capacidade igual a1

16do galão. Quantas garrafas serão utilizadas?

Resposta: ______________________________________________

5 – Pedro levará 3 horas e1

2para ir do Rio de Janeiro a São Pedro de

Aldeia. Sabendo-se que ele terá que parar para abastecer, quando

completar1

3da viagem, calcule em quanto tempo de viagem ele terá

que fazer essa parada?

]

Resposta:_____________________________________________

Pixabay

Pixabay

Freepik


Cria

do p

or

Cle

ber

Potenciação é a

multiplicação de

fatores iguais.

Observe este exemplo:

Seu João trabalha com obras. Ele foi chamado para colocar cerâmica

no chão de um banheiro. Esse banheiro é quadrado e mede 1,5 m de

lado. Para ajudar Seu João, calcule qual a área desse banheiro.

Área do quadrado = (lado)², logo

área do banheiro = (1,5)²= (1,5) x (1,5)

= 2,25 m²

Outra forma de resolver seria passar a medida de 1,5 m da forma

decimal para fração:

1,5 =15

10e calcular a área do banheiro

A = (15

10)² =

15

10x15

10=

225

100= 2,25

Quando escrevemos uma potência com base negativa,

sempre utilizamos os parênteses. Observe:

( - 0,5) ² = + 0,25 ≠ - 0,5² = - 0,25

Toda potência, com base diferente de zero e expoente igual

a zero, tem resultado igual a +1.

Exemplos:

a) ( 3,48 )0 = 1 b) (8

13)0 = 1

1 − Calcule as potências:

a) (0,4)² = __________ c) (−0,1) ³ =__________

b) (0,1)³ = __________ d) (−1,6)² = __________

2) Escreva o resultado das potências:

a) ( 3

4)² = __________ c) (−

2

5) ³ =__________

b) (− 1

2)³ = __________ d) (

9

10)² = __________

base

(0,5)² = 0,5 x 0,5 = 0,25

fatores

expoente

potência


Exemplos:

a)

b)

c) 2−

4

25= Não existe um número racional que seja raiz de um

radicando negativo. Observe:

(+ 2

5)² = +

4

25e (–

2

5)² = +

4

25

2 – Calcule as raízes dos números racionais na forma de fração:

a) 2 81

64=

b) 2 16

25=

c)2 1

16=

d) 2 9

49=

e) 2−

100

81=

3 – Calcule o lado de um quadrado cuja área seja igual a 1,69 m²:

Resposta: ______________________________

2 𝟗

𝟏𝟔=

𝟑

𝟒pois (

3

4)² =

9

16

2 0,36 = 0,6 ou 2 36

100=

6

10pois ( 0,6 )² = 0,36

Os números racionais podem ser

apresentados na forma de frações ou de números

decimais. Quando se apresentam como

radicando, temos que calcular a raiz do

numerador e a raiz do denominador.

1 – Calcule as raízes:

a) 2 0,81 =

b) 2 1,44 =

c) 20,25 =

d) 2 0,01 =

radical

radicandoíndice

1,69 m²


1) Resolva as expressões:

a) (– 4) . { [ (+ 1,25) – (+1,5) : ( + 0,3) ] + (– 2) + (– 5) } =

b) ( + 2

5) + (–

1

3) : ( +

2

3) =

Exemplo:

(– 3)2 –1

8. [

1

3– (–1 +

3

2) ] =(resolvem-se a potência e os parênteses )

(– 3). (– 3) –1

8. [

1

3– (

−2 + 3

2) ] =

+ 9 –1

8. [

1

3– (

1

2) ] = (eliminam-se os parênteses)

+ 9 –1

8. [

1

3–

1

2] = (resolve-se o que está entre os colchetes)

+ 9 –1

8. [

2 −3

6] =

+ 9 –1

8. [–

1

6] = (efetua-se a multiplicação e eliminam-se os colchetes)

+ 9 + 1

48=

432

48+

1

48=

433

48

Nas expressões com números racionais,

começamos resolvendo o que está entre

parênteses ( ), depois o que está nos colchetes

[ ] e, depois, o que está nas chaves { }. Deve-se

seguir sempre esta ordem das operações:

potenciações e radiciações, multiplicações e

divisões. Por último, somas e subtrações, na

ordem em que aparecem.

(resolve-se a soma, achando as frações equivalentes de

mesmo denominador)


Para realizarmos a aproximação de um número decimal para um

número inteiro, precisamos observar que algarismo está presente na

primeira casa decimal:

• Se esse algarismo for um número de 0 a 4, manteremos o

número inteiro. Exemplo: 40,3 ≅ 40

• Se esse algarismo for um número de 5 a 9, acrescentaremos uma

unidade ao inteiro. Exemplo: 35,8 ≅ 36

Observe os exemplos com auxilio de uma reta numérica:

Repare que o número 35,8 está localizado mais próximo do número inteiro

36 e o número 40,3 está localizado mais próximo do número inteiro 40.

Logo: 35,8 ≅ 36,0

40,3 ≅ 40,0

Vejamos outro exemplo com auxilio da reta numérica:

Repare que o número 6,1 está localizado mais próximo do número inteiro 6 e

o número 6,8 está localizado mais próximo do número inteiro 7.

Logo: 6,1 ≅ 6

6,8 ≅ 7

Este símbolo

representa valor

aproximado:

≅

1 – Faça a aproximação para os números inteiros. Depois efetue,

conforme o exemplo abaixo:

a) 3,6 + 4,8 + 2,32 + 5,9 ≅4 + 5 + 2 + 6 ≅ 17 (resultado aproximado)

OBS: Se essa soma fosse realizada sem aproximação, o resultado

seria igual a 16,62.

b) 35,9 + 6,7 + 4,25 + 1,2 ≅

c) 22,4 – 18,4 + 9,70 + 4,1 ≅

d) 9,3 x 33,2 ≅

e) 84,9 x 3,4 ≅

f) 27,2 : 2,9 ≅

– – –


CALCULEResultado

aproximado em

número inteiro

Resultado na

calculadora

4,03 + 8,876 + 34,7

78,102 – 75,8

43,29 x 1,87

35,5 : 3,05

(7,03)2

2 – Efetuando cálculos com valores aproximados:

a ) [ ( +7,23 – (2,98)] . 1,6 =

b) 15, 3 : 3,4 + 4,8 . 2,7 =

1 – Preencha o quadro, utilizando a calculadora,

para comparar os resultados:

Exemplo:

Qual o resultado do dobro de 2,5 somado ao quadrado de 0,5?

2 x 2,5 + ( 0,5 )² = 5,25

1 – Represente e resolva as expressões numéricas:

Qual o resultado

a) do quadrado da soma de 4,3 com 5,7?

b) do dobro de – 4,5 menos o triplo de 1,2?

c) do módulo de – 3,2 menos o oposto de – 3,2?

d) da metade de 2,2 menos 3

5?

e) de 3 mais a raiz quadrada de 0,25?

Representar uma expressão numérica

significa transformar uma linguagem escrita

ou falada em uma linguagem matemática.

clip

art


LINGUAGEM MATERNA EXPRESSÃO MATEMÁTICA

Oito mais cinco 8 + 5

O dobro de seis 2 . 6

A metade de oito 8 : 2 ou 8/2

O triplo de três menos quatro 3 . 3 – 4

As expressões algébricas são

sequências de operações envolvendo

números e letras. As letras substituem

números e são chamadas de variáveis

(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐,...).

LINGUAGEM MATERNA EXPRESSÃO MATEMÁTICA

Um número mais quatro a + 4

O dobro de um número 2 . c

A metade de um número p : 2 ou p /2

O triplo de um número menos quatro 3 . a – 4

Um número acrescido de dez unidades 𝑥 + 10

Metade de um número mais sete

Um número menos meia dúzia

O triplo de um número mais quatro

O módulo de um número

Cinco por cento de um número

O antecessor de um número

A raiz quadrada de um número

O quíntuplo de um número mais oito

A metade de um número mais uma dúzia

O sucessor de um número

O quadrado de um número

Quarenta por cento de um número

Dois mais o dobro de um número

As expressões matemáticas ou

numéricas são sequências de

operações envolvendo números. Elas

podem aparecer em expressões

escritas na linguagem materna ou na

linguagem de símbolos da matemática.

1 – Represente a expressão algébrica, utilizando a variável “𝒙”

conforme o exemplo:

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjL2ejSIfnH9XCBG


Carlos

715 723 727 731 735 739

3 – Observe a sequência abaixo. Nela, foram

utilizados palitos de fósforo para formar triângulos.

Descubra a próxima figura.

Resposta: _____________________________________________

4 – Descubra o segredo das sequências e complete os quadros:

a)

b)

c)

d)

23 35 41 53 59

– 8 – 5 1 4 10

5 15 20 30 35

10 19 37 55 64

pix

abay

?

Quando sabemos o segredo de uma sequência numérica,

podemos descobrir o valor de qualquer termo. Esse segredo é

denominado lei de formação da sequência.

Observe a sequência apresentada:

(3, 6, F, 12, 15, 18......) onde F = 9

O segredo é que a sequência aumenta de 3 em 3 unidades.

1 – Descubra o segredo de cada uma das sequências, completando-as:

a) 2, 4, 8, 16, 32, ........,..........,..........,...........,...........,

b) 5, 10, 15, 20, 25,........,.........,.........,..........,............,

c)1

2,1

4,1

8,1

16,1

32........,.........,........,........,.........

2 – Complete a sequência abaixo:

Carlos mora na casa de número 723 da rua. Após esta informação, você

é capaz de descobrir qual o número da casa de telhado vermelho e da

casa de telhado amarelo?

Imagens pixabay

ATENÇÃO!Só utilize palitos defósforos usados!

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjOL9VHptBZYNWhq


Observe este exemplo:

O perímetro de um quadrado é a soma de seus quatro lados.

Como todos os lados de um quadrado possuem a mesma medida,

podemos representá-lo desta forma:

Perímetro = lado + lado + lado + lado = 4 . lado

Substituindo lado pela letra “ℓ” podemos dizer que perímetro é

igual a 4ℓ.

Lendo a figura abaixo, temos:

3 cm

Perímetro = 4 . ℓ= 4 . 3

= 12 cm

Logo, 12 é o valor numérico dessa expressão quando ℓ = 3

1 – Calcule o perímetro das figuras:

a)

𝓍 𝓍 onde 𝓍 = 2 cm

𝓍Perímetro = ________________

b)

𝑚 𝑚onde 𝑚 = 4 cm

𝑚 𝑚

𝑚Perímetro = _________________

2 – Calcule o valor numérico das expressões para “ a ” = 5:

a) 2 a + 3 = ______________

b) 5 a + 3 a – 2 a = _____________

c) a + a + a + a = _____________

Observe que o perímetro se altera de

acordo com o tamanho do lado.

Em uma expressão algébrica, as letras,

chamadas de “variáveis”, podem assumir valores

diferentes. Quando substituímos essas

variáveis por números e efetuamos os

cálculos, obtemos o chamado

VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO.


Logo, o perímetro será:


5 – Clóvis foi a uma lan house e verificou que cada hora, na

internet, custava R$ 9,00. Além de navegar na internet, ele também

precisava tirar cópias de alguns documentos. Cada cópia custava

R$ 0,50.

a) Sabendo-se que ele navegou “𝓍” horas na internet e tirou “𝑦”

cópias, monte a expressão algébrica que correspondente ao valor

da conta de Clóvis:

Resposta: _______________________________________

b) Qual seria o valor da conta de Clóvis se ele tivesse navegado

5 horas e tivesse tirado 6 cópias?

Resposta: _______________________________________

c) Qual seria o valor da conta de Clóvis se ele tivesse navegado

3 horas e tivesse tirado 30 cópias?

Resposta: _______________________________________

3 – Determine os valores das expressões algébricas, de acordo com os

valores já indicados:

a) 3 a + 5 b = ____________ onde a = 4 e b = 6

b) 𝓍² + 2 𝒴 = ____________ onde 𝓍 = 2 e 𝒴 = – 3

c)𝓍

2– 2 = ____________ onde 𝓍 = 6

d) b² – 4ac =____________ onde a = 1 , b = – 5 e c= 6

4 – Em uma pizzaria, o preço do rodízio custa R$ 20,00 e cada

refrigerante custa R$ 5,00.

a) Utilizando a letra “𝓍”, para substituir a quantidade de refrigerante

consumido, escreva a expressão algébrica que representa o total da

conta a ser paga por uma pessoa que utilizou o rodízio desta pizzaria:

Resposta : _______________________

b) Calcule o total da conta se essa pessoa

tomasse 3 refrigerantes:

Resposta: ________________________________

pixabay

pix

abay

pixabay


b) exemplo de desigualdade:

𝔁 + 3 ______ 2 𝒚 + 5 onde 𝔁 = 2 e 𝒚 = 3

2 + 3 ______ 2 . (3) + 5

5 ______ 11

1 – Verifique, entre as sentenças apresentadas a seguir, quais são

igualdades e quais as desigualdades:

a) 2𝓍 + 9 ______ 6 𝑦 + 7 onde 𝓍 = 3 e 𝑦 = 1

b) 2𝓍 + 𝑦 ______ 3 𝑦 + 𝓍 onde 𝓍 = 2 e 𝑦 = 1

c) 8𝑎 + 2b ______ b³ onde 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3

d) 𝑚 + 9 n ______ 18 onde 𝑚 = 9 e 𝑛 = 1

Observe:

a) exemplo de igualdade

𝔁 + 3 ______ 5 onde 𝔁 = 2

2 + 3 ______ 5

5 ______ 5 =

<Chat matemático

Igualdades são sentenças matemáticas

que apresentam sinal de igual (=) entre

elas.

Quando os valores numéricos

encontrados são diferentes, há uma

desigualdade entre as expressões.

Sim! E para que a igualdade seja

verdadeira, os valores numéricos,

encontrados em cada uma das

expressões algébricas,

deverão ser iguais.



Em uma equação, a expressão que vem à esquerda do sinal

de igualdade ( = ) é chamada de primeiro membro e a expressão

que aparece à direita do sinal de igualdade ( = ) é chamada de

segundo membro.

Observe:

O dobro de um número, menos 16, é igual a 4. Qual é esse

número?

2 𝔁 – 16 = 4

1.ºmembro2.ºmembroIncógnita

A palavra equação tem origem no latim “equatione”,

equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso.

http://www.matematiques.com.br

Equação, é uma sentença matemática

de igualdade, contendo, pelo menos, uma

letra, que representa um número que

ainda não é conhecido.

Incógnita é o valor que é

desconhecido, o que se procura saber.

Neste exemplo, a incógnita é o “𝔁”. Logo,

temos uma equação de primeiro grau

com uma incógnita.

Quando encontramos o valor da incógnita de uma equação de

1.º grau, chegamos a uma solução ou à raiz da equação. No caso

apresentado acima, a solução ou raiz da equação é 10(𝔁 =10).

Procure, no dicionário, o significado da palavra incógnita, escreva

aqui e compartilhe a resposta com os seus colegas.

Vamos resolver essa equação?

2 𝔁 – 16 = 4

Podemos utilizar o método prático. Ele é conhecido como operação

inversa. Nele, passamos o termo que possui a incógnita para o 1.º

membro, à esquerda do sinal de igualdade, e todos os números, para

o segundo membro, à direita do sinal de igualdade.

Como pudemos observar, toda vez que

precisamos passar números ou letras

de um lado para o outro, utilizamos a

operação inversa, ou seja, se o número

está somando de um lado, passa para o

outro subtraindo, e se estiver

multiplicando a incógnita, passa para o

outro dividindo, e vice e versa.

1.° membro

(esquerda)

2.° membro

(direita)

incógnita - __________________________________________

Incógnita


A adição é a operação inversa da subtração e

a multiplicação é a operação inversa da

divisão, e vice e versa.

1 – Ache a solução ou a raiz das equações:

a) Um número menos três é igual a 20. Qual é esse número?

b) O dobro de um número mais 10 é igual a 5 .Qual é esse

número?

c) O triplo de um número menos quatro é igual ao dobro desse

mesmo número mais dez. Encontre esse numero:

2 – Resolva as equações:

a) 4 m – 3 = 21 b) 2 a = a + 8

c) 2 𝒴 + 10 = 30 d) 3 p + 9 = 48

e) 3𝓍 – 25 = 2𝓍 + 10 f) 𝑚

2+ 5 = 8

inversa - _____________________________________________

Procure, no dicionário, o significado da palavra inversa, escreva aqui e compartilhe

a resposta com os seus colegas.


3 – Renata comprou uma torradeira por R$ 96,00. Ela pagou da

seguinte forma: uma entrada de R$ 16,00 e mais 4 prestações de

mesmo valor (iguais). Qual o valor de cada prestação?

Resposta: _______________________________________

4 – A avó de Pedro tem o triplo da idade de Pedro mais 5 anos. Sua

avó tem 50 anos. Qual a idade de Pedro?

Resposta: _________________________________________

pixabay

pixabay

5 – Em um clube, há uma quadra de tênis cujo perímetro é de 96 m.

Se o comprimento da quadra é de 12 m maior que a largura,

descubra quais as dimensões dessa quadra?

Resposta: _____________________________________________

6 – Em uma praça, cinco crianças resolveram brincar na gangorra.

Dois irmãos (João e José), tendo exatamente a mesma massa

(“peso”), sentaram-se em um dos lados da gangorra. Do outro lado,

sentaram Pedro, Paulo e Felipe, com 45 kg, 42 kg e 39 kg,

respectivamente cada um. Sabendo-se que a gangorra ficou

equilibrada, descubra qual a massa (“peso”) dos irmãos José e João?

Resposta: ______________________________________

pixabay

pixabay



EXPRESSÃO:

3𝑦 + 3

VALOR NUMÉRICO

3 . 2 + 3 6 + 3 = 9

3 . 7 + 3 21 + 3 = 24

3 . (– 3) + 3 – 9 + 3 = -6

3 . 0 + 3 0 + 3 = 3

3 . 10 + 3 30 + 3 = 33

𝑦

2

7

– 3

0

10

Vejamos esse exemplo:

Sr. Pedro trabalha em uma carrocinha de pipoca. Seu patrão paga a

ele R$ 20,00 por dia de trabalho mais R$ 2,00 por saquinho de pipoca

vendido.

Primeiro, vamos montar a equação que representa quanto Sr. Pedro

ganha ao final de um dia de trabalho:

Ganho = 20 + 2𝓎

Repare que, de acordo com a quantidade de saquinhos de pipoca

vendidos, o valor que ele ganha por dia, também vai variar.

Se o Sr. Pedro vender 30 saquinhos de pipoca no dia, ele irá ganhar...

Ganho = 20 + 2𝓎Ganho = 20 + 2 . 30

Ganho = 20 + 60 = 80

Logo, Sr. Pedro ganhará R$ 80,00 no dia.

1 – Para passar o fim de semana com a família, João Pedro alugou

um quarto numa pousada. O valor da diária do quarto de casal é

R$ 80,00 mais R$ 10,00 a cada cama extra solicitada.

a) Monte a equação que melhor representa o gasto diário nessa

pousada:

Resposta:________________________________________________

b) Se João Pedro pediu 4 camas extras, calcule o seu gasto diário

nessa pousada:

Resposta: ________________________________________________

Em uma equação de 1.º grau, o elemento

desconhecido é chamado de incógnita. A

incógnita apresenta apenas um único

número como resultado, tornando a

equação verdadeira. Já a variável, pode

assumir qualquer valor que desejarmos em

uma expressão algébrica. Daí o nome

variável (sujeito a variações ou mudanças).

• Exemplo de incógnita:

2𝑥 + 9 = 81

2𝑥 = 81 – 9

2𝑥 = 72

𝑥 = 72

2

𝑥 = 36

• Exemplo de variável:

𝒙 = incógnita

Para tornar a equação verdadeira, o “𝒙”

só pode assumir um único valor que é 36.

Conforme

modificamos o valor

da variável,

alteramos o valor

numérico da

expressão algébrica.

pixabay

𝒚 = variável


Um sistema de equação de 1.º grau pode ser

resolvido através do método da substituição

ou do método da adição.

• MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em

uma das equações e substituí-la na outra. Observe:

ቊ𝑀 + 𝐶 = 40

𝑀 = 3𝐶

Se M = 3C e substituindo esse valor na 1.ª equação, teremos:

3C + C = 40

4 C = 40 → C =40

4→ C = 10

Descobrimos, dessa maneira, que Clara tem 10 anos. Substituindo

esse valor na 1.ª ou na 2.ª equação, encontraremos:

M = 3 x 10

M = 30

Logo, descobrimos que Mariana tem 30 anos.

Existem algumas situações em que encontramos equações que

possuem mais de uma incógnita.

Observe:

A soma das idades de Mariana e Clara é igual a 40 anos. Poderíamos

representar a situação através da seguinte equação:

M = idade de Mariana

C = idade de Clara Logo, M + C = 40

Porém, somente essa informação não é suficiente para determinar a

idade de cada uma delas, pois existem 2 incógnitas. Logo, existem

muitas possibilidades para essa equação.

Veja:

20 + 20 = 40

15 + 25 = 40

18 + 22 = 40 .......

Se tivermos mais alguma informação, envolvendo uma das incógnitas

pelo menos, já teríamos dados suficientes para determinarmos as

idades de Mariana e Clara.

Por exemplo:

A idade de Mariana é o triplo da idade de Clara. Poderíamos, então,

representar a situação através dessa equação:

M = 3 . C

Ficamos com 2 equações, com 2 incógnitas em cada uma delas, o

que chamamos de Sistema de Equações de 1.º Grau.pixabay


• MÉTODO DA ADIÇÃO

Este método consiste em realizarmos a soma dos termos de cada uma

das equações, com a finalidade de anular uma das incógnitas.

Vejamos um exemplo que resolveremos pelo método da adição:

Rodrigo possui vários animais de estimação. Certo dia, um amigo

perguntou a ele quantos cachorros e quantos gatos ele possuía. Rodrigo

disse que a soma do número de cachorros, com o número de gatos, era

igual a 11 e que a diferença entre o número de cachorros e o número de

gatos era de apenas 1. Para descobrirmos o número de cachorros e

gatos, vamos montar um sistema com as duas equações.

O número de cachorros representaremos por c.

O número de gatos representaremos por g.

Se a soma do número de cachorros com o número de gatos é igual a 11,

temos:

c + g = 11

Se a diferença entre o n.º de cachorros e de gatos é igual a 1, temos:

c – g = 1

Já com as equações encontradas, podemos montar o nosso sistema:

c + g = 11

c – g = 1

ቊ𝑐 + 𝑔 = 11𝑐 − 𝑔 = 1

+

c = 12

2

c = 6 → número de cães

Substituindo o número de cães em qualquer uma das duas equações,

descobriremos o número de gatos.

c + g = 11

6 + g = 11

g = 11 – 6

g = 5 → número de gatos.

1 – Resolva os sistemas:

a) ൜𝓍 +𝓎 = 20𝓍 −𝓎 = 6


b) ቊ𝑎 + b = 2𝑎 + 2b = 7

c) ቊ2𝓍 + 𝓎 = 62𝓍 + 3𝓎 = 2

2- Resolva os problemas apresentados a seguir, montando um sistema.

a) Em uma partida de vôlei de praia, Luísa e Júlia marcaram, juntas,

21 pontos. Luísa marcou o dobro dos pontos de Júlia. Quantos

pontos cada uma fez?

Resposta: ____________________________________________

b) A soma das idades de dois amigos é igual a 45. Sabendo-se que um

é 5 anos mais velho que o outro, descubra as idades dos dois amigos:

Resposta: _______________________________________________

c) Caio e Felipe combinaram de soltar pipas no final de semana. Juntos,

eles possuíam 9 pipas. Caio levou 3 pipas a mais que Felipe. Descubra

quantas pipas cada um levou:

Resposta: _______________________________________________


3 – Resolva as situações-problema:

a) Em um brechó, Ana comprou uma blusa e uma calça. Ela pagou

R$ 50,00. A diferença entre o preço da blusa e o preço da calça foi de

R$ 10,00. Quanto custou a blusa e quanto custou a calça?

Resposta: ______________________________________________

b) Gustavo foi ao banco pagar a conta de água e a conta de luz. Para

pagar as duas contas, ele gastou R$ 140,00. Sabendo-se que o valor

da conta de água, acrescido de R$ 40,00, é igual ao valor da conta de

luz, calcule o valor de cada conta:

Resposta: ______________________________________________

c) Em um sítio, há 8 cavalos entre potros e cavalos adultos. O número

de potros mais 1 é igual ao dobro dos cavalos adultos. Quantos

cavalos são potros e quantos já são adultos?

Resposta: ______________________________________________

d) Em uma loja de brinquedos, há 22 veículos infantis à venda, entre

minicarros e bicicletas. Sabemos que as bicicletas possuem 2 rodas e

os minicarros possuem 4 rodas, dando um total de 74 rodas. Qual a

quantidade de bicicletas e minicarros à venda nessa loja?

Resposta: __________________________________________

pixabay

pixabay

pixabay



De acordo com a tabela, responda:

a) Qual ou quais os produtos que foram menos consumidos?

___________________________________________________________

b) Qual ou quais os produtos que foram mais consumidos?

___________________________________________________________

c) Qual ou quais os produtos que venderam mais de 400 unidades?

___________________________________________________________

1 – Observe o plano cartesiano e diga onde estão localizados os

oito coelhos:

A (....., .....) B (....., .....) C (....., .....)

D (....., .....) E (....., .....) F (....., .....)

G (....., .....) H (....., .....)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Quantidade e

m u

nid

ades

Produtos

CONSUMO DE ALIMENTOS DURANTE O FIM DE SEMANA

1 – Leia a tabela apresentada a seguir. Ela nos mostra o consumo de

alimentos na lanchonete de um clube durante o fim de semana.

Faça boas escolhas! Descubra o

prazer da boa alimentação,

preferindo frutas,

legumes e verduras.

Parceria com Prof. Tadeu

Campos e Prof.ª Roberta

Lopes (Gerência de

Alimentação Escolar -

SME)

http://escolovar.org/mat_grafico_veiculos.swf

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjSlCW2Tciko8dEl


2 – Leia o gráfico apresentado a seguir. Veja a quantidade de latas de

leite que Marlene utilizou para preparar os bolos para as festas infantis

nos últimos seis meses:

Com base nos dados acima, responda:

a) Em qual dos meses Marlene usou mais latas? __________________

b) Em quais meses Marlene usou menos latas? ___________________

c) Qual a quantidade de latas utilizada nos meses de janeiro e fevereiro,

juntos? ___________________________________________________

d) Qual a quantidade de latas utilizada nos meses de maio e junho,

juntos? ____________________________________________________

e) Qual o total de latas utilizado nesses seis meses? ______________

3 – Leia o gráfico apresentado a seguir. Ele nos mostra a

distribuição percentual das vendas de barras de chocolate

realizadas por uma distribuidora na Páscoa:

Com base nos dados acima, responda:

a) Qual o tipo de barra de chocolate que foi mais vendido?

______________________________________________________

b) Qual o tipo de chocolate menos vendido?

______________________________________________________

c) Qual o percentual encontrado nas vendas de chocolates ao leite

mais chocolates brancos? ______________________________

d) Qual o percentual encontrado nas vendas de chocolates brancos

mais chocolates amargos?______________________________

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Junho

Maio

Abril

Março

Fevereiro

Janeiro

QUANTIDADE DE LATAS DE LEITE UTILIZADAS

Latas de leite utilizadas


Algumas razões recebem nomes especiais, como: densidade

demográfica, velocidade média, escala, porcentagem etc.

Exemplo:

Para encontrarmos a velocidade média (Vm) percorrida por um

veículo, determinamos a razão entre a distância percorrida por

esse veículo e o tempo gasto nesse percurso. Se o veículo

percorreu 60 km em 2 horas, encontraremos:

Vm =𝟔𝟎 𝑲𝒎

𝟐 𝒉= 30 km/h

Chat matemático

Você sabia que a razão é utilizada

para compararmos duas grandezas?

E que grandeza é tudo aquilo que

pode ser medido ou contado, como

comprimento, temperatura, massa,

idade, tempo, e outras quantidades?

Sim! A palavra razão significa

"divisão”. Logo, para fazermos uma

relação entre duas grandezas, temos

que dividir uma grandeza pela outra.

Temos que lembrar também que, numa razão

entre dois números, o número que vem

primeiro vai para o numerador e o número

que vem depois, vai para o denominador!

Exemplo:

Uma equipe de judô possui 35 atletas, sendo 15 meninas e 20

meninos. Qual a razão entre o número de meninas e o número de

meninos?

Razão → 15 : 20 ou15

20

15

20=

3

4Logo, a razão é

3

4.

Se temos duas grandezas a e b, a razão entre elas será 𝒂

𝒃ou a : b onde b é diferente de zero. Observe a ordem em

que foram apresentadas as duas grandezas.

1 – Calcule as razões entre os números abaixo:

a) 16 e 20

b) 36 e 30

c) 8 e 4

d) 30 e 100

pixabay


A igualdade entre razões denomina-se

proporção. Logo, se duas razões são iguais,

elas formam uma proporção.

De acordo com a propriedade fundamental das proporções, diz-se que:

“em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos

meios.” Para verificarmos a proporcionalidade, realizamos uma operação

denominada multiplicação cruzada.

Exemplo:

As razões 1

4e

5

20são iguais. Então, temos uma proporção formada por:

1

4=

5

20ou 1 : 4 = 5 : 20

Em uma proporção, a razão entre a e b

é igual à razão entre c e d , onde a, b,

c e d são diferentes (≠) de 0.

ab

=cd

Onde “a” e “d” são chamados de extremos.

“b” e “c” são chamados de meios.

1 – Diga se as razões apresentadas a seguir, formam uma proporção:

a) 4 = 8

5 10

b) 2 = 5

4 3

c) 10 = 3

20 6

d) _9 = 3

12 4

e) _5 = 7

4 6

2 – Uma fábrica de pneus produz 198 pneus em 6 horas de trabalho

e 99 pneus em 3 horas de trabalho. Diga se as razões encontradas,

nesta situação, formam uma proporção?

Resposta: ___________________

____________________________

pixabay

extremo

extremo

meio

meio

produto dos extremos produto dos meios

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos

resultados.


As grandezas proporcionais podem ser divididas em:

- grandezas diretamente proporcionais, quando variam em um

mesmo sentido, ou seja, se uma grandeza aumenta a outra também

aumenta na mesma proporção.

Exemplo:

Uma costureira precisa de 2 m de tecido para fazer uma almofada. Se

ela tivesse que fazer 5 almofadas, quantos metros de tecido ela iria

precisar?

1

5=

2

𝑥

1. 𝓍 = 5 . 2

𝓍 = 10

- grandezas inversamente proporcionais, quando variam em

sentidos opostos, ou seja, se uma das grandezas cresce a outra

decresce e vice-versa, também na mesma proporção.

Exemplo:

Uma firma leva 18 dias para reformar uma determinada casa,

trabalhando com 6 operários. Se essa firma tivesse um prazo de apenas

9 dias para executar essa obra, quantos funcionários ela teria que

utilizar?

18

9=

𝑥

6

18. 6 = 9 . 𝓍9𝓍 = 108

𝓍 = 12

Existem grandezas proporcionais e

grandezas não proporcionais. Observe!

Existe um método que nos ajuda a resolver vários problemas que

envolvem grandezas proporcionais. Chama-se regra de três. Nesta

regra, geralmente, conhecemos três valores e temos que achar um

quarto valor.

Exemplo:

João vai percorrer 10 km, andando a pé, mantendo a mesma

velocidade. Sabendo-se que ele leva 12 minutos para percorrer cada

quilômetro, quanto tempo ele levará para percorrer 10 km?

Temos 1

10=

12

𝑥(1 está para 10, assim como 12 está para 𝑥 )

Agora, basta multiplicar os termos dessa

Proporção, em cruz, que teremos:

1 . 𝑥 = 10 . 12

Logo, 𝓍 = 120 min ou 2 horas.

pixabay

Aumenta a quantidade de almofadas e

aumenta a quantidade de tecido.

Diminui o prazo e aumenta a quantidade

de operários.

Se as grandezas são inversamente proporcionais, temos que

manter uma razão e inverter a outra para termos uma igualdade.

X 5 X 5

X 2: 2

DISTÂNCIA (km) TEMPO (min)

1 12

10 𝓍

n.º de almofadas metros de tecido

1 2

5 𝓍

prazo da obra n.º de operários

18 6

9 𝓍

Repare que, aumentando a distância da caminhada,

aumenta o tempo dessa caminhada.


1 – João Guilherme deseja ampliar uma gravura cujo tamanho

original tem 15 cm de largura por 21 cm de comprimento. Ele quer

que a figura fique com 42 cm de comprimento, mantendo a

proporção. Qual será a largura dessa gravura?

Resposta: ____________________________________________

2 – Dois caminhões, juntos, transportam 30 toneladas de areia.

Para transportar 120 toneladas de areia, quantos caminhões iguais a

esses serão necessários?

Resposta: ____________________________________________

3 – Um pintor levaria 12 dias para pintar um determinado

apartamento. Mas o proprietário precisa que o apartamento seja

pintado em 3 dias. Assim, quantos pintores serão necessários para

realizar a pintura em 3 dias?

Resposta: ______________________________________________

4 – Um trem, com a velocidade de 90 km/h, percorre uma certa

distância em 2 horas. Se esse trem aumentasse a sua velocidade

para 120 km/h, quanto tempo gastaria para percorrer a mesma

distância?

Resposta: ______________________________________________

Largura (cm) Comprimento

(cm)

Caminhões Toneladas de

areiavelocidade (km/h) tempo (h)

n.º de pintores n.º de dias



Porcentagem é uma razão que compara

grandezas de mesma natureza, tomando por

base uma fração com denominador 100.

“Por cento” significa dividir por cem.

Observe as porcentagens:

100% = 100

100= 1 (que equivale ao todo)

50% = 50

100= 1

2(que equivale à metade do todo)

25% = 25

100= 1

4(que equivale à quarta parte do todo)

10% = 10

100=

1

10( que equivale à décima parte do todo)

1% = 1

100=

1

100( que equivale à centésima parte do todo)

Exemplos:

Calcule 50% de 150, sendo 150 o nosso todo:

50% de 150 = metade de 150 = 75

Calcule 25% de 80, sendo 80 o nosso todo:

25% de 80 = quarta parte de 80 = 20

Outra maneira de se calcular a porcentagem é multiplicando a

fração pelo todo.

Exemplo:

20% de 500 →20

100. 500 =

20 . 500

100= 100

10% de 300 →10

100. 300 =

10 . 300

100= 30

1 – Sabrina foi abastecer seu carro e verificou que o litro de álcool

teve um aumento de 10%. Se o álcool custava R$ 2,00, quanto

aumentou o valor do litro?

Resposta: ________________________________________

2 – João Gabriel recebeu 15% de desconto na compra de um

tênis. Qual o valor do desconto que ele recebeu, sabendo-se que

o tênis custou R$ 120,00?

Resposta: ________________________

pixabay

pix

abay

Observe: cem – cento – centena – centésimo...


3 – Em um curso de inglês, estudam 120 alunos. Destes, 80% obtiveram

aprovação. Calcule o número de alunos aprovados:

Resposta: ________________________________________

4 – Um celular pode ser comprado em 6 prestações de R$ 100,00 ou

também pode ser comprado à vista com 10% de desconto. Caso seja

pago à vista, qual o valor a ser pago por esse celular?

Resposta: ________________________________________

5 – Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco em

um recipiente. O refresco é composto de 20% de suco de laranja e

80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do

volume final representa o suco de laranja?

(A) 5%.

(B) 7%.

(C) 8%.

(D) 20%.

(E) 60%.

OBMEP – NÍVEL 1

Agudo ObtusoReto

•

De acordo com a sua medida, o ângulo possui três

classificações: agudo, obtuso e reto. Observe:

RETO - quando sua medida vale 90°.

AGUDO - quando sua medida se encontra entre 0° e 90°.

OBTUSO - quando sua medida se encontra entre 90° e 180°.

Os ângulos podem ser medidos através de um instrumento

chamado transferidor. A unidade de medida de ângulo é o grau, cujo

símbolo é ( ° ) .

Chamamos de ângulo a região do plano limitada por duas

semirretas de mesma origem.

O grau se divide em minutos e segundos.

1°= 60’ , ou seja, o grau é 60 vezes maior que o minuto.

1’ = 60’’, ou seja, o minuto é 60 vezes maior que o segundo.

OA

OB

semirretas demesma origem

(lados do ângulo)

:


3 – Encontre os valores de “𝑥” e determine os ângulos formados

pelas bissetrizes nas figuras abaixo:

a) b)

c)

2 – Em seu caderno, efetue as operações. Lembre-se de colocar

aqui as respostas:

a) 24° 52’ 38” + 40° 30’ 25” = ___________________________

b) 2 x ( 7° 2’ 20”) = ___________________________________

c) (30° 25’ 12”) : 2 = ___________________________________

❖ Transformar graus em minutos:

a) 2° = 2 x 60 = 120’

b) 12° = 12 x 60 = 720’

❖ Transformar graus em segundos:

Se 1° = 60’, e 1’ = 60” logo: 1° = 60 x 60 = 3 600”

a) 3° = 3 x 3 600 = 10 800”

b) 10°= 10 x 3 600 = 36 000”

❖ Transformar minutos ou segundos em graus:

→ utilizamos a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Veja:

a) 30’ em graus = 30 : 60 = 0,5°

b) 720’ em graus = 720 : 60 = 12°

1 – Responda:

a) Qual é o ângulo de uma volta completa? ___________________

b) Qual o ângulo de meia volta? ____________________________

c) Qual o ângulo de um quarto de volta? ______________________

d) Qual o ângulo de três quartos de volta?_____________________

e) Como se chama um ângulo que mede mais que zero grau e

menos que noventa graus? ________________________________

f) Como se chama o ângulo que mede 0º? ____________________

D

E

F

M

DM é bissetriz de EDF^

Bissetriz de um ângulo é uma semirreta

que parte do vértice desse ângulo,

dividindo-o em dois ângulos de mesma

medida, ou seja, em dois ângulos

congruentes.

DF

M

E

20° 10°10°

L

J

𝒙20°

M

P

W

5𝒙 + 12°

7𝒙

O

K Q

B

M

𝒙

C

A

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

vértice


r

s

t

u

• Retas paralelas – pertencem ao mesmo plano e não possuem

nenhum ponto em comum, ou seja, não se cruzam:

• Retas concorrentes – pertencem ao mesmo plano e se cruzam em

apenas um ponto (ponto em comum):

• Retas concorrentes perpendiculares – elas se cruzam perpendicularmente,

formando 4 ângulos retos (90°):

v

w

• Retas coincidentes – pertencem ao mesmo plano e possuem todos

os pontos em comum, ou seja, são sobrepostas:

p q

.. .

.

r // s

t u

v w┴

p ≡ q

Duas retas diferentes, dentro do

mesmo plano, podem ser: paralelas,

concorrentes, concorrentes

perpendiculares, e coincidentes.

1 – Identifique as retas abaixo:

....

2 – Responda:

a) Quando duas retas, que se localizam no mesmo plano, se cruzam,

formando quatro ângulos retos, são chamadas de

_________________________________________________________

b) Quando duas retas se localizam no mesmo plano e não possuem

pontos em comum, são chamadas de

_________________________________________________________

c) Quando duas retas se localizam no mesmo plano e se cruzam em

apenas um ponto (ponto em comum), são chamadas de

_________________________________________________________

3 – Lendo a imagem, podemos observar que os trilhos do trem nos

trazem a ideia de retas

(A) paralelas.

(B) coincidentes.

(C) concorrentes.

(D) perpendiculares.

pixabay

𝑟

𝑠

𝑡

𝑢

𝑣

𝑥

𝑦𝑧

ponto em comum

Sobreposto -posto em cima de


As formas geométricas planas, cujo contorno é fechado e formado

por segmentos de retas que não se cruzam, são chamadas de

polígonos.

AB

CDvértice

lado

diagonal

ângulointerno

No polígono A, B, C, D, podemos destacar os seguintes elementos:

- 4 vértices: A, B, C e D;

- 4 lados: AB, BC, CD e AD;

- 4 ângulos internos: A, B, C, e D;

- 2 diagonais: AC e BD

- 4 ângulos externos: BCE é um dos 4 ângulos externos.

Observe, a seguir, exemplos de polígonos e de não polígonos:

polígonos – formados por linhas retas

fechadas que não se cruzam

Os polígonos possuem elementos capazes de diferenciá-los.

São eles: lados, vértices, ângulos internos, ângulos externos e

diagonais.

ânguloexterno

E

TRIÂNGULO

Os polígonos podem ser classificados de acordo com o número

de lados, vértices e ângulos internos:

3 lados, 3 vértices

e 3 ângulos internos



HEXÁGONO



PENTÁGONO

QUADRILÁTERO

4 lados, 4 vértices e

4 ângulos internos

Outros polígonos:

Heptágono – 7 lados

Octógono – 8 lados

Eneágono – 9 lados

Decágono – 10 lados

Undecágono -11 lados

Dodecágono – 12 lados

Pentadecágono – 15 lados

Icoságono – 20 lados

Repare que, em cada polígono

apresentado, o número de lados,

vértices e ângulos internos são iguais.

Quando as medidas de todos os lados e

de todos os ângulos internos são

iguais, dizemos que o polígono é regular.

A diagonal é o segmento de reta que une 2 vértices não

consecutivos (que não são seguidos, há outro(s) vértice(s) entre

eles) e o triângulo é o único polígono que não possui

diagonais.

não polígonos – formados por linhas abertas ou linhas

que se cruzam ou que possuam parte arredondada


1 – Identifique, nas figuras apresentadas a seguir, se

elas são ou não polígonos:

__________ ____________ ____________ _____________

__________ ____________ ____________ _____________

2 – Escreva o nome de cada polígono:

____________ _______________ ______________

______________ _______________ _______________

Quanto à medida de seus ângulos, podem ser classificados em:

Triângulo retângulo

possui 1 ângulo reto

Triângulo acutângulo

possui 3 ângulos agudos

Triângulo obtusângulo

possui 1 ângulo obtuso

•

3 cm 3 cm

2 cm

4 cm

2 cm

2 3 cm

Equilátero

possui 3 lados e 3

ângulos iguais

Escaleno

possui 3 lados e 3

ângulos diferentes

Isósceles

possui 2 lados e 2

ângulos iguais

60°60°

60°

.90°

60°

30° 71° 71°

38°

Quanto à medida de seus lados, podem ser classificados em:

120º90º

3 cm3 cm

3 cm

60°60°

60°

Os triângulos são polígonos que possuem 3 lados, 3 ângulos e

3 vértices e não possuem diagonais.

A soma dos ângulos internos de um

triângulo é igual a 180°.


1 – Descubra o valor de “𝑥” nos triângulos:

2 – Agora, complete a tabela:

35°

𝑥

.

D

FE

____ ____

____

Não possuem lados paralelos.

Possuem apenas um par de lados paralelos.

retângulo losango paralelogramo quadrado

trapézio

isósceles

trapézio

retângulo

trapézio

escaleno

•

••

•

• •

• •

Paralelogramos

Possuem dois pares de lados paralelos.

Não trapézios

Trapézios

•

•

A soma dos

ângulos internos de

um quadrilátero é

igual a 360°.

São polígonos de 4 lados. Quanto aos seus lados, os quadriláteros se

dividem em: paralelogramos, trapézios e não trapézios.

TriânguloÂngulos

internos

Classificação

quanto aos

ângulos

Classificação

quanto aos

lados

a A B C 60° 60° equilátero

b D E F 35° retângulo

c G H I 30° 30°

d L M N 60° 70°

a) b)

c) d)

60° 60°

𝑥

A

B C

𝑥30°

I H

G𝑥

70°60°L M

N

____


3 – Descubra o valor de “𝓍” nos quadriláteros apresentados a seguir:

a)

80° 80°

𝓍 𝓍b)

110°

𝓍

.

91°

2 – Classifique os quadriláteros:

a) b)

• •

• •2 cm

4 cm

2 cm

4 cm

A B

C D

OBMEP – Nível 2

(A) 120°.

(B) 180°.

(C)270°.

(D)360°.

(E) 540°.

Na figura, os pontos A,B e C estão alinhados. Qual é a soma

dos ângulos marcados em cinza?

A B C

Perímetro é a medida do comprimento do

contorno de uma figura plana ou a soma do

comprimento de todos os lados.

5 cm

6 cm

2 cm

3 cm

Exemplo:

1 – D. Nilza precisa colocar um acabamento em volta de um corte de

tecido. Este corte de tecido é retangular, medindo 60 cm x 80 cm. Com

quantos metros de tecido ela fará o acabamento?

Resposta: ________________________________________________

2 – João comprou um terreno quadrado, medindo 10,6 m de lado. Ele

vai murar toda a volta do terreno. Quantos metros de muro ele terá

que construir?

Resposta: _____________________________________________

Perímetro = 5 + 2 + 3 + 6

Perímetro = 16 cm



1 – No clube, irão pintar o chão da quadra poliesportiva. A quadra mede

30 m de comprimento por 10 m de largura. Quantos metros quadrados

serão pintados?

Resposta:________________________________________

2 – Determine a área da figura:

3 – Henrique pretende construir a sua pipa na forma de um losango.

Para isso, ele precisa comprar uma quantidade de papel igual à área da

pipa desenhada abaixo. Quantos cm² de papel Henrique terá que

comprar?

Resposta:________________________________________

Vejamos algumas fórmulas de área já estudadas anteriormente:

A

B

D

C

altura

base

Área = base . altura

base

altura

A

B C

Área = 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2

paralelogramo

triângulo

B C

A D

lado

lado

Área = lado . ladoquadrado

B

A D

CBase maior

base menor

Área =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2altura trapézio

A

B

C

D

Diagonal maior

diagonal menor

Área =𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 . 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

2

Área é a grandeza que corresponde à medida de uma superfície.

losango

20 cm

pixabay

B

A D

C

7 cm

5 cm

9 cm

30 cm

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