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7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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MetrologiaIncerteza da Medio
Prof.: Claudio Vidal
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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Objetivos:Estabelecer o processo de determinao daINCERTEZA de uma medio, atravs daexplicao de conceitos bsicos da Estatsticae os procedimentos de clculo da incerteza,para tornar o aluno capaz de utilizar oprocesso na vida profissional, contribuindoara a meta da Metrolo ia a Confiabilidade
Metrolgica..
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Programao aula 6
1. Conceitos Bsicos de Estatstica
2. Incerteza de Medio
3. Diferena entre Erro e Incerteza de Medio4. Exerccio de fixao
Bibliografia: Fundamentos de Metrologia Cientfica e Industrial
Armando Albertazzi G. Jr
Andr R. de Souza
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Reviso de ConceitosBsicos de Estatstica
Mdia
Curva Normal
Desvio Padro
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A curva normal
Definio:Uma distribuio de probabilidades onde o valor de
ocorrncia mais frequente est no meio e as outrasprobabilidades partem dele simetricamente em ambas as
.
forma de sino.
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X
X X XX
X
XXX X XX
X
X
X
X XX
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
X X
X
X X
XX
X
X
X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
XX
X
X
XX
X
X
XX
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X XX
XX XX
X
A curva normal (continuao)
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
0 +1-1-2-3 +2 +368,26%
95,45%
99,73%
A CurvaNormal
definida por2
parmetros: e
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Exemplos:
Curva Normal
=
A curva normal (continuao)
= 1 cm
Curva Normal - = 100 cm = 5 cm
100101102103999897 cm
100 105 110 115959085 cm
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Desvio padroDESVIO MDIO
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 mm X1 = 11 mmX2 = 10 mm
X3 = 12 mm
13
12
X4 = 09 mmX5 = 10 mm
X6 = 11 mm
X7 = 08 mm
X8 = 09 mm
11
10
09
08
07
1
0
2
1 2
1
0 1
1 0
2
1
2
10 1 DM =
| Xi |.......N
1
0
2
1 2
1
0 1
10
2
1 21
0 1
21 0
21 10 1
1
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| Xi |.......N
Desvio Mdio =
|X1 -| =
|X2 -| =
|11-10| = 1
|10-10| = 0
Desvio padro (continuao)
|X3 -| =|X4 -| =
|X5 -| =
|X6 -| =|X7 -| =
|X8 -| =
|12-10| = 2| 9-10| = 1
|10-10| = 0
|11-10| = 1| 8-10| = 2
| 9-10| = 1
| Xi | = 8
D.M = 88 =1 mm
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Desvio padro
(X1 -)2 =(X2 -)2 =
(X3 -)2 =
(11-10)2 = 12 = 1(10-10)2 = 02 = 0
(12-10)2 = 22 = 4
Desvio padro (continuao)
= (Xi -)......N (X4 -)2 =
(X5 -)2 =
(X6 -)2 =
(X7 -)2 =(X8 -)2 =
( 9-10)2 = -12 = 1(10-10)2 = 02 = 0
(11-10)2 = 12 = 1
( 8-10)2 = -22 = 4( 9-10)2 = -12 = 1
( Xi )2 = 12
= 12.8 = 1,22 mm
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Os diversos ti os de
desvios padro
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2. Desvio padro amostral = s
S = (Xi - X)2
N 1
X = mdia da
amostra
photoxpress.com
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Exerccio
1. Construir um grfico de frequencia da altura daspessoas na sala.
2. Em grupos de 4 , tomando o seu grupo (4) como
amostra, calcular a M DIA e o DESVIO-PADR O de suaamostra.
3. Com o professor, calcular o desvio padro da altura detodos os alunos usando o Excel
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3. Desvio padro das mdias = Sx
4 amostras detamanho 3
N = 4
Amostra 1
Amostra 2
n = 3
X = -----------------X1+X2+X3+X4
4
Amostra 3Sx =
(Xi - X)2
N 1
photoxpress.com
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1. Construir um grfico de frequncia das mdias dasalturas das pessoas nas amostras de tamanho 4 doexerccio anterior.
Exerccio
2. Em grupos de 4 , calcular o desvio-padro dadistribuio das mdias
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Relao entre o Desvio-Padro da distribuio dosIndivduos e o Desvio-Padro da distribuio das Mdias
S vale para distribuies de indivduos que tenham
distribuio normal
Distribuio dasmdias n = 4
Distribuio dosIndivduos n = 1
Distribuio dasmdias n = 2
X =n
n
X
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0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0
0 1 2 3 4 5 6 7
FREQ
UNCIA
Distribuio dos indivduos no lanamento de 1 dadinho
1-12-11-2
3-12-21-3
4-13-22-31-4
5-14-23-32-41-5
6-15-24-33-42-51-6
6-25-34-43-52-6 6-6
6-55-6
6-45-54-6
6-35-44-53-6
.
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0Mdia de 2 dados = Xbarra
1/36
2/36
3/364/36
5/36
6/36
Distribuio dos indivduos no lanamento de 2 dadinhos
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Distribuio deprobabilidade triangular
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Mdia de trs dados
216)
30
25
P
robabilidade(1
Mdia de 3 dados
20
15
10
5
00 1 2 3 4 5 6 7
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Mdia de quatro dados
1296)
160
140
120
P
robabilidade(1
Mdia de 4 dados
10080
60
40
200
0 1 2 3 4 5 6 7
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Mdia de seis dados
6656)
5000
4500
4000
Probabilidade(1/
Mdia de 6 dados
30002500
2000
1500
1000
5000
0 1 2 3 4 5 6 7
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Mdia de oito dados
79616)
160000
140000
120000
Pro
babilidade(1/1
Mdia de 8 dados
100000
80000
60000
40000
20000
00 1 2 3 4 5 6 7
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Distribuio das mdias quando adistribuio individual no simtrica:
XXXX X
XXXXX
Distribuio individual
XXXXXXXXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXXXXXXXX
XXXXX
XXXXXX
XXXXX
XXXXXX
XXX
XXXXXX
XXX
XXXXXX
XX
XXXXXX
XXXX
X
XXXXXX
XXX
XX
XX
XX
XX
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Idade em anos
participantes de umfilme Rock HeavyMetal proibido paramenores de 18 anos
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XXXX
XX
XXXX
Distribuiodas mdias de
Distribuio das mdias quando adistribuio individual no simtrica:
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
XX
XXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXX
XXXXX
XXXXXX
XXX
XXX
Idade em anos
pessoas n=
poramostragem
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O modelo de distribuio de mdias tendepara um modelo de distribuio normalqualquer que seja a distribuio dos
indivduos
Paran 4
Distribuio de X
NORMAL
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Erro de Medio
mensurandosistema de
medio
indicao valor verdadeiro
erro demedio
ERRO DE MEDIO a diferena entre o valor indicado pelo
sistema de medio e o valor verdadeiro do mensurando.
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Tipos de errosErro sistemtico: a parcela previsvel do erro.
Corresponde ao erro mdio.
Erro aleatrio: a parcela imprevisvel do erro. oagente que faz com que medies repetidas levem a
distintas indicaes.Ea
Es
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A B
Ea
Es
Ea
Es
CD
Ea
Es
Ea
Es
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Exemplo de erro de medio
11
(1000,00 0,01) g
E = I - VVC
1014
g
0 g1014 g
E = 1014 - 1000
E = + 14 g
VVC = Valor Verdadeiro Convencional = uma estimativa
suficientemente prxima do valor verdadeiro do mensurando
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Erros em medies repetidas
(1000,00 0,01) g(1000,00 0,01) g(1000,00 0,01) g
1014 g
1020
1012 g1015
1015 g1017 g
isperso
0 g1014 g
111111
1000
1010
1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g
1016 g1015 g
1015 g1017 g erromdio
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Clculo do Erro Sistemtico
VVIEs =
mdia de infinitas indicaes
valor verdadeiro conhecido exatamentecondies:
VVI
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Estimativa do Erro Sistemtico
VVCITd ====
TENDNCIA uma estimativa do Erro Sistemtico, pois, naprtica, no se conhece o Valor Verdadeiro do mensurando e nemse faz um nmero infinito de repeties da medio.
Tendncia
VVC
TdUTdUTd = Incerteza da
Tendencia.
I = mdia de um nmero finitode indicaes
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Erro aleatrio e incerteza padro
I-IEa ii==== Amplitudedos Ea
-5 0 5
O valor do erro aleatrio imprevisvel.
I i = i-sima indicaoI = mdia das indicaes
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Incerteza Padro (u) o valor do desvio-padro do erro aleatrio de medio u = s. u
= (Ii - I)2
uma medida da intensidade da componente aleatria do erro de
medioGraus de liberdade ():
corresponde ao nmero de medies repetidas menos um = n 1 Reflete o grau de segurana com que a estimativa da
incerteza conhecida
-5 0 5
n 1
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RepetitividadeA repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dadaprobabilidade, o erro aleatrio esperado.
ESTIMATIVA DA REPETITIVIDADE(para 95,45 % de probabilidade)
2 2
95,45%
Existe umaprobabilidade de
95,45% de que o ErroAleatrio esteja contido
dentro dos limites dadospor 2
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Normalmente se calcula a
repetitividade para 95,45% deprobabilidade, mas tambmpode ser usada outras faixas(95%, 99%, 99,7%)
Repetitividade
95,45%
Para amostras infinitas:
Re = 2 .
Re = metade da faixa dentro daqual o Ea esperado
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo t o coeficiente de Student para = n - 1 graus de
liberdade.
2 2
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(1000,00 0,01) g
1014 g
1015 g1017 g )1015(
122
iI
u = incerteza padro
Exemplo de estimativada repetitividade
1014g
0 g1014 g
11
1012 g
1015 g1018 g1014 g1015 g
1016 g1013 g1016 g1015 g
112
u
= =
mdia: 1015 g
u = 1,65 g
= 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g
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+3,72-3,72 1015
Exemplo de estimativa darepetitividade
Re = 3,72 g
1015 10201010
O Erro Aleatrio esperado encontrar-se dentro do intervalo dado
por 3,72 g
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Efeitos da MDIA de mediesrepetidas sobre o erro de medio
Uma forma de melhorar a ao dos erros no resultado damedio fazer-se diversas medidas e usar-se a MDIA das
EFEITO SOBRE OS ERROS SISTEMTICOS:
Como o erro sistemtico j o erro mdio, nenhum
efeito observado.
.
erros de medio:
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Efeitos sobre os erros aleatrios
A mdia reduz a intensidade dos erros aleatrios, arepetitividade e a incerteza padro na seguinte proporo:
Efeitos da MDIA de mediesrepetidas sobre o erro de medio
sendo:
n o nmero de medies utilizadas para calcular a mdia
O Erro Aleatrio da MDIA menor que do que o Erro
Aleatrio das INDICAES INDIVIDUAIS.
Re I = ----------Re I
nu I = ----------
u I
n
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Relao entre o Desvio-Padro da distribuio dos Indivduose o Desvio-Padro da distribuio das Mdias
S vale para distribuies de indivduos que tenhamdistribuio normal
Distribuio das
Relembrando o incio da aula:
Distribuio dosIndivduos n = 1
Distribuio das
mdias n = 2
mdias n = 4
X =n
n X
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Exemplo No problema anterior, a repetitividade da balana foi
calculada:
Re = 3,72
Se vrias sries de 12 medies fossem efetuadas, asmdias obtidas devem apresentar repetitividade daordem de:
gI
07,112
72,3Re
12
========
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Fazer exerccios
1. Calculo do Desvio Padro no Excel
2 Foram feitas 6 medidas de um padro de VVC=50,00g com uma balana eletrnica. Encontrou-
se os valores: 50,30g, 50,20g, 50,40g, 50,35g,50,25g, 50,15g. Calcule :
Incerteza padro u =
Repetitividade Re =A Tendncia (Erro Sistemtico) Td=A Correo C =
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Erro ou incerteza?
Erro e Incerteza no so sinnimos.
Erro de medio:
o nmero que resulta da diferena entre an ca o e um s s ema e me o e o va or
verdadeiro do mensurando.
E = I - VV
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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Erro ou incerteza?(continuao)
Incerteza de medio:
o parmetro, associado ao resultado de umamedio, que caracteriza a faixa dos valores que
-5 0 5
u
podem, fundamentadamente, ser atribudos aomensurando.
u = s
s = desvio-padro
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A incerteza de qualquer medio deve ser sempredeterminada. Deve fazer parte de qualquer resultado.
Erro ou incerteza? (continuao)
Conhecer e declarar a incerteza associada a uma medio uma obrigao que deve nortear qualquer trabalho srio.
A incerteza est associada ao resultado de qualquer medio.Decorre da ao combinada de mltiplas fontes de erros.
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sistema de medio
Fontes de erros:
sinal de
fatores externos
operador
fatoresinternos
fatores externos
retroaoretroao
mensurando
photoxpress.com
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Erros provocados porfatores internos
Imperfeies dos componentes e conjuntos(mecnicos, eltricos etc).
No idealidades dos rinc ios fsicos.
fora
alongamento
regio linear regio no linear
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Erros provocados por fatoresexternos
Condies ambientais
temperatura
presso atmosfrica
Tenso e freqncia da rede eltrica
Contaminaes
Laboratrios de medio = salas de medio climatizadas,
fontes de tenso eltrica estabilizadas e blindagenseletromagnticas so prticas comuns.
Cho de fbrica = raramente as condies ambientais socontroladas (custo). Portanto, as incertezas so sempre
piores.
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Erros provocados por retroao
A presena do sistema de medio modifica omensurando.
Retroao a interao entre o SM e o mensurando podendoprovocar alterao no seu valor.
65 C
65 C70 C
20 C
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necessria uma anlise aprofundada e um amplo
conhecimento dos fenmenos envolvidos para detectar,quantificar e corrigir o erro de retroao.
No exemplo do caf, 2 medidas poderiam diminuir o erro de
Erros provocados por retroao
retroao:
1. Usar um termmetro com menor massa trmica (ex. umtermopar).
2. Usar um recipiente isolado com um VOLUME MAIOR de
caf.
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Erros induzidos pelo operador Habilidade
Acuidade visual
Tcnica de medio Cuidados em geral
Fora de medio
Alguns sistemas de medio so menos dependentes dooperador. Por exemplo:
Uma balana eletrnica digital
Um micrmetro digital
Uma forma de verificar a influencia do operador no resultado;
- Fazer diversas medidas do mesmo mensurando com vriosoperadores e comparar com diversas medidas feitas por um
mesmo operador. photoxpress.com
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O Mensurando considerado
Invarivel:
se seu valor permanece constante durante operodo em que a medio efetuada.
.
Varivel:quando o seu valor no nico ou bem
definido. Seu valor pode variar em funo daposio, do tempo ou de outros fatores.
Exemplo: a temperatura ambiente.
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Em termos prticos
Mensurando Invarivel:
As variaes do mensurando so inferiores areso u o o .
Mensurando Varivel:
As variaes do mensurando so iguais ou
superiores resoluo do SM.
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Incerteza de medio
A incerteza de medio a faixa que enquadra
as variaes resultantes da ao combinada das;
variaes do mensurando
e o erro aleatrio do processo de medio.
calculada pelo produto entre a incerteza-padro
e o coeficiente t de Student respectivo..
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
59/63
Incerteza de medio
O resultado da medio (RM) expresso pela frmula:
RM = I + C t.u
I = mdia das n indicaes disponveis
Obs. Como estamos calculando a incerteza da mdia, ou baseado no s (desvio-padro) das mdias
t = coeficiente de Student para n-1 graus de liberdade
u = incerteza padro calculada a partir das n indicaesdisponveis.
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Diferena entre incerteza de medio erepetitividade
Os 2 parmetros so calculados da mesma forma = t . U
ua a erena en re e es
A incerteza de medio calculada em funo da aocombinada das variaes do mensurando e do erro aleatriodo sistema de medio.
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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Diferena entre incerteza de medio erepetitividade (continuao)
A repetitividade obtida considerando apenas o erroaleatrio do sistema de medio. Ou seja, se tiver feito a
.
temperatura ambiente) vou obter a incerteza de medio.
Se quiser saber qual a repetitividade do sistema demedio tenho que fazer uma srie de medidas de outromensurando invarivel e em condies que se aproximemdas condies em que o mensurando varivel foi medido.
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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11 RM = I + C Re
Exemplo de determinao do RM (resultadoda medio)Calculo do RM de uma medida individual
1014g
0 g1214 g
Re = 3,72 g
C = -15,0 g
RM = 1214 + (-15,0) 3,72
RM = 1199,0 3,72
RM = (1199,0 3,7) g
Repetitividade previamente medida .
7/25/2019 Apresentacao Metrologia Aula 6
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1014 g
1015 g
=
Exemplo de determinao doRM (resultado da medio)Calculo do RM da MDIA de vrias medidas
da mesma pea
Re = 3,72 g
C = -15,0 g
RM = 1215 -15,0 3,72 /9
RM = 1200,0 1,24
RM = (1200,0 1,2) g
1014g
0 g1212 g
1215 g1218 g1214 g1215 g1216 g
1213 g1216 g1215 g
I = 1215 g
11
1215 g1218 g
1111