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Ponte Rio Niterói, 13,9km e 210 mil metros quadrados de concreto e asfalto em equilíbrio sobre a Baía da Guanabara A macaxeira é fonte de alimentação e geração de renda para milhares de famílias de ribeirinhos na Amazônia Matemática – Funções trigonométricas pg. 02 Matemática – Operações com arcos pg. 04 Física – Equilíbrio de corpos pg. 06 Física – Hidrostática pg. 08 Português – Concordância nominal I pg. 10

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Ponte Rio Niterói, 13,9km e 210 mil metros quadrados

de concreto e asfalto em

equilíbrio sobre a Baí

a da Guanabara

A macaxeira é fonte de alimentação e geração de rendapara milhares de famílias de ribeirinhos na Amazônia

•• Matemática – Funçõestrigonométricas

pg. 02•• Matemática – Operações com

arcospg. 04

•• Física – Equilíbrio de corpospg. 06

•• Física – Hidrostáticapg. 08

•• Português – Concordâncianominal I

pg. 10

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Funções trigonométricas1. IntroduçãoFunções trigonométricas na circunferênciatrigonométricaConsideremos uma semi-reta OA, tal que ocomprimento do segmento OA seja unitário.Escolhemos também um referencial cartesianotal que o semi-eixo x positivo coincida com asemi-reta OA, e o semi-eixo y positivo sejaobtido girando a semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90° ou π/2 radianos.

Dado um número real x, associamos a ele oponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modoque o comprimento do arco AP é x unidades demedida de comprimento, ou seja, a medida doarco AP é x radianos. Também podemos dizerque o arco AP e, portanto, o ângulo central AÔPtem (180 – x)°.

––––––––π

Definimos as funções seno, cosseno e tangentedo número real x da seguinte maneira:cos x: é a abscissa de Psen x: é a ordenada de P

senxtgx = ––––––– , se cosx ≠ 0

cosxDesse modo, dado um número x real, ficadeterminado, na circunferência trigonométrica, oponto: P=P(x)=(cos x, sen x).Como conseqüência das definições de sen x,cos x e tg x, temos que: • P(0)= A =(1,0) e, portanto, cos 0 = 1,

sen 0 = 0, tg 0 = 0.• P(π/2)= (0,1) e, portanto, cos π/2 = 0,

sen π/2=1, enquanto tg π/2 não existe, poiscos π/2= 0.

Propriedades: i) sen(π/2 + x)=cos x e cos(π/2 + x)=–senx;

ii) sen(π – x)=sen x e cos(π – x)=–cosx;

iii) sen(π + x)=–sen x e cos(π + x)=–cosx;

iv) sen(2π – x)=–sen x e cos(2π – x)=cosx;

v) sen(2π + x)=sen x e cos(2π + x)=cosx.

Função Seno

Consideremos a função f(x)=sen x. Cada pontodo gráfico é da forma (x, senx), pois a ordenadaé sempre igual ao seno da abscissa, que é umnúmero real que representa o comprimento doarco em u.m.c. ou a medida do arco emradianos.

unidade de medida de comprimentoO gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função seno é IR e a imagem é ointervalo [-1,1].Trata-se de uma função de período P=2π. Agora, queremos descobrir como é o gráfico deuma função seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k,quando comparado ao gráfico de y=sen x, apartir das transformações sofridas pelo gráficodessa função.

Função co-seno

Consideremos a função f(x)=cosx. Cada ponto dográfico é da forma (x, cosx), pois a ordenada ésempre igual ao cosseno da abscissa, que é umnúmero real que representa o comprimento doarco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.

unidades de medida de comprimento.O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função co-seno é IR e a imagem éo intervalo [-1,1].Trata-se de uma função limitada e periódica deperíodo P=2π. Agora, queremos descobrir como é o gráfico deuma função co-seno mais geral,y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado aográfico de y= cos x, a partir das sofridas pelográfico dessa função. Consideremos a função f(x)= cos x. Cada pontodo gráfico é da forma (x, cos x), pois aordenada é sempre igual ao cosseno daabscissa, que é um número real que representao comprimento do arco em u.m.c. ou a medidado arco em radianos.

unidades de medida de comprimento.O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função co-seno é IR e a imagem éo intervalo [-1,1].Trata-se de uma função limitada e periódica deperíodo P=2π.Agora, queremos descobrir como é o gráfico deuma função co-seno mais geral,y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado aográfico de y= cos x, a partir das sofridas pelográfico dessa função.

Aplicações(UFMG) Calcular o valor da expressão

9π 13πsen –––– + sen –––––

4 2Solução:

2. Equações Trigonométricas

IntroduçãoEquação trigonométrica elementar, é qualquerequação da forma senx = sena, cosx = cosa etgx = tga, onde x é um arco trigonométricoincógnita – a ser determinado – e a um arcotrigonométrico qualquer.

2

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Chegamos ao número 18 e nos aproxima-mos da marca de 2 milhões de apostilasdistribuídas. Se você está incluído entre osmais de 30 mil finalistas do Ensino Médioda rede pública de ensino, não esqueça deretirar a apostila do Aprovar na sua escola,seja na capital, seja no interior. Todas asedições do primeiro e segundo módulos doprojeto estão nas secretarias.As apostilas também estão disponíveis nainternet, nos endereços www.uea.edu.br ewww.linguativa.com.br. Acompanhar asaulas a partir da apostila é importante,pois ela serve de apoio para as aulas quesão veiculadas de segunda a sábado, pelatelevisão (TV Cultura, Amazonsat e RBN)epelo rádio (Rio Mar, Seis Irmãos do SãoRaimundo, Panorama de Itacoatiara,Difusora de Itacoatiara, Comunitária PedraPintada de Itacoatiara, Santo Antônio deBorba, Estação Rural de Tefé, Indepen-dência de Maués, Rádio Cultura).Simuladão – A data do primeiro Simuladodo Aprovar já está definida. Será no 28 deabril, em 13 escolas estaduais da capital eem todos os municípios do interior. Durantea prova, serão explorados os conteúdosdas disciplinas referentes aos dois primeirosmódulos: Língua Portuguesa, LiteraturaBrasileira, História e Geografia. A entrada égratuita e você ainda confere o seu desem-penho logo após o teste. As respostas ecomentários dos professores serão exibidosem telões instalados nos locais de prova.Definitivamente incorporado à vida estudan-til do Amazonas, o Aprovar segue comótimos índices no vestibular da UEA. Nosúltimos três anos, aproximadamente 2 milalunos aprovados no concurso afirmaramter estudado pelo Aprovar.Em 2006, por exemplo, das 3.709 vagasoferecidas, 600 foram preenchidas poralunos que estudaram pelo Aprovar, o querepresenta um índice de aprovação de16%. Na primeira etapa, o índice de apro-vação foi de 19%. Dos 8.815 estudantesque informaram ter estudado pelo Aprovar,1.729 foram classificados para a segundaetapa. Em 2007, você pode fazer parte destaestatística. Ainda temos uma longa jornadaaté o vestibular. Portanto, é hora deestudar. Retire a apostila em sua escola,ou no PAC mais próximo de sua casa.Você ainda pode consultar e imprimirnúmeros anteriores pela internet(www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br).Vamos em frente!

Simuladão doAprovar no dia28 de abril

Matemática Professor CLÍCIO

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Via de regra, qualquer equação trigonométricanão elementar, pode ser transformada numaequação elementar, por meio do uso dasrelações trigonométricas usuais.Nota: os arcos a e a + k.2ππ onde k é umnúmero inteiro, possuem as mesmasextremidades inicial e final, pois diferem entre si,por um número inteiro de voltas, ou seja:a + k.2ππ – a = k.2ππObservação: 2π=360°= uma volta completa.Para a solução das equações trigonométricaselementares, vamos estabelecer as relaçõesfundamentais a seguir:

Arcos de mesmo senoJá sabemos que sen(π – a) = sena. Usando o conceito contido na nota acima,sendo x um arco trigonométrico, as soluçõesgerais da igualdade acima serão da forma:x = (π – a) + k.2π ou x = a + k.2π. x = π + 2k.π – a ou x = a + k.2πx = (2k + 1)π – a ou x = 2kπ + aPortanto, a solução genérica de uma equaçãodo tipo senx = sena, será x = (2k + 1)π – a oux = 2kπ + a.

Exemplo: Seja a equação elementar sen x = 0,5. Como 0,5 = sen 30° = senπ/6, vem, utilizando oresultado geral obtido acima: senx = sen π/6, deonde conclui-se:x = (2k + 1).π – π/6 ou x = 2kπ +π/6, com kinteiro, que representa a solução genérica daequação dada. Fazendo k variar no conjuntodos números inteiros, obteremos as soluçõesparticulares da equação.Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremospor mera substituição na solução genéricaencontrada acima, x = – π/6 ou x = π/6; fazendok = 1, obteremos x = 17π/6 ou x = 13π/6, eassim sucessivamente. Observe que a equaçãodada, possui um número infinito de soluções emIR.Poderemos escrever o conjunto solução daequação dada na forma geral:S = {x|x∈R; x =(2k + 1)π – π/6 oux = 2kπ + π/6, k ∈ Z}Poderemos também listar os elementos doconjunto solução:S = { ..., –π/6, π/6, 17π/6, 13π/6, ... }

Arcos de mesmo co-senoJá sabemos que cos (-a) = cos a.Poderemos escrever para as soluções gerais daigualdade acima:x = (–a) + 2kπ ou x = a + 2kπ, sendo k umnúmero inteiro.Portanto, a solução genérica de uma equaçãodo tipo cosx = cosa, será dada por:x = 2kπ + a ou x = 2kπ – a, sendo k um inteiro.

Aplicações

(UEA) Resolva a equação trigonométricacos 3x = –1, no intervalo 0< x < 2π.Solução:cos a = –1, então a = π .Porém a = 3x. Então 3x = πLogo x = π/3

3. Inequações Trigonométricas

Quando encontramos função trigonométrica daincógnita ou função trigonométrica de algumafunção da incógnita em pelo menos um dosmembros de uma inequação, dizemos que estainequação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x >1/2 e sen2x+tgx ≤ 2 são inequações

trigonométricas.

2) ( sen 30°) . (x2 – 1) > 0

Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por

exemplo, significa determinar o conjunto S dos

números s, sendo s elementos do domínio de f

e de g, tais que f(s) < g(s).

O conjunto S é chamado de conjunto solução

da inequação e todo elemento de S é uma

solução da inequação.

Assim, na inequação sen x >–1/2, os números

0, π/4, π/2 são algumas de suas soluções e os

números 5π/4 e 3π/2 não o são.

Resolução de inequação trigonométrica

Quase todas as inequações trigonométricas,

quando convenientemente tratadas e

transformadas, podem ser reduzidas a pelo

menos uma das inequações fundamentais.

Vamos conhecê-las, a seguir, por meio de

exemplos.

1.° caso : senx < sena (senx ≤ sena)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação

senx < senπ/6 ou senx < 1/2 encontramos,

inicialmente, 0 ≤ x ≤ π/6 ou 5π/6 <x ≤ 2π, que é

uma solução particular no intervalo [0;2].

Acrescentando 2k(k∈Z) às extremidades dos

intervalos encontrados, temos a solução geral

em IR, que é:

2kπ ≤ x < π/6 + 2kπ (k∈Z) ou

5π/6 + 2kπ < x ≤ 2π + 2kπ (k∈Z)

O conjunto solução é, portanto:

S={x∈IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ ou

5π/6 + 2kπ< x ≤2π+2kπ (k∈Z)}

Por outro lado, se a inequação fosse

senx ≤ sen π/6 ou senx ≤ 1/2, então, bastaria

incluir as extremidades de π/6 e 5π/6 e o

conjunto solução seria:

S={x∈IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ≤ x ≤2π+2kπ (k∈Z)}

Aplicações

(UFAM) Resolva a inequação trigonométrica

sen x > 1/2, para 0 < x < 2π.

sen x > 1/2 ⇒ π/6 < x< 5π/6

Observe o gráfico abaixo:

S={x∈IR/ π/6 < x< 5π/6}

3

01. Calcule o valor de sen 7π/2:

a) 1b) –1c) 2d) –2e) 3

02. Foram feitos os gráficos das funçõesf(x) = sen4x e g(x)= x/100, para x nointervalo [0, 2π[. Determine o númerode pontos comuns aos dois gráficos.

a) 6 b) 4 c) 9d) 7 e) 8

03. Calcule o valor da expressão:sen 330° + sen(–450°)

–––––––––––––––––––––– .tg120°.cotg(–210°)

a) –1/2 b) 1/2 c) 1/3d) –1/3 e) 1

04. Sendo x um ângulo do primeiroquadrante e tgx = 3, calcule senx.

a) b) c)

d) e)

05. Dado cos x = –1/2, com π/2 < x < π,determine secx.

a) 2 b) 1 c) 3d) –2 e) –1

06. Sendo senx = 1/3, com 0 ≤ x ≤ π/2,calcule:

senx . cosx – tgxy = ––––––––––––––– .

1 – cosecx

a) b) c)

d) e)

07. Calcule m, de modo que se tenha,simultaneamente, senx = e cos x = .a) m = 0 b) m = 1 c) m = 2d) m = –1 e) m = 3

108. Sabendo que 2tg2x + ––––––– = 1

cotgxe que x ∈ ]π/2, π[, calcule o valor deA, sendo A = sen x + cos x.

a) 3 b) 6 c) 1d) 2 e) 0

09. Sendo cosx = 1/m e senx= ,determine m.

a) { 1, 2 }b) { –1, 3 }c) { –2, 3 }d) { –1, 2 }e) { 2, 3 }

DesafioMatemático

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Operações com arcos1. Adição e Subtração de arcos

Cosseno da diferença de arcosConsidere a figura abaixo que representa umacircunferência trigonométrica (centro na origemO(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcostrigonométricos com a > b.

Temos o arco PB de medida b e o arco PA demedida a. Nestas condições, podemos concluirque o arco BA tem medida a – b.Pelo teorema dos cossenos, sabemos que emqualquer triângulo, o quadrado da medida deum lado é igual à soma dos quadrados dasmedidas dos outros dois lados, menos o dobrodo produto desses lados, pelo cosseno doângulo que eles formam.Assim, na figura acima, poderemos escrever,pelo teorema dos cossenos, para o triânguloOAB:AB2 = OB2 + OA2 – 2. OB . OA . cos(a – b).(Equação 1)Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico,portanto, unitário).AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) eB(cosb,senb).Já vimos nesta página, a fórmula da distanciaentre dois pontos; se você não se lembra, reviseos textos sobre geometria analítica. Assim,substituindo os elementos conhecidos nafórmula acima (equação 1), vem:(cosa – cosb)2 + (sena – senb)2 = 12 + 12 –2.1.1.cos(a – b)Desenvolvendo, vem:cos2a – 2.cosa.cosb + cos2b + sen2a –2.sena.senb + sen2b== 2 – 2cos(a – b)Lembrando que cos2a + sen2a = cos2b + sen2b= 1 (Relação Fundamental da Trigonometria),vem, substituindo:1+1 – 2cosa.cosb – 2sena.senb=2 – 2cos(a–b)Simplificando, fica:-2[cosa.cosb + sena.senb] = –2.cos(a – b)Donde finalmente podemos escrever a fórmulado cosseno da diferença de dois arcos a e b:cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb

Exemplo:

cos(x – 90°) = cosx . cos90° + senx . sen90°Ora, como já sabemos que cos90° = 0 esen90° = 1, substituindo, vem finalmente:cos(x – 90°) = senx.Se fizermos a = 0° na fórmula do cosseno dadiferença, teremos:cos(0 – b) = cos0 . cosb + sen0 . senbE como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0,substituindo, fica:cos(– b) = cosbPortanto:cos(–60°)=cos60°=1/2, cos(–90°)=cos90°=0,

cos (–180°) = cos 180° = –1, etc.Se considerarmos a função y = cosx, comocos(–x ) = cosx , diremos então que a funçãocosseno é uma função par. Reveja o capítulo defunções.Para finalizar, tente simplificar a seguinteexpressão:y = cos(x – 90°) – cos(x - 270°).Resposta: 2senx

Vimos a dedução da fórmula do co-seno dadiferença de dois arcos. Apresentaremos aseguir, as demais fórmulas da adição e subtraçãode arcos sem as deduções, lembrando queessas deduções seriam similares àqueladesenvolvida para cos(a – b), com certaspeculiaridades inerentes a cada caso.Sejam a e b dois arcos trigonométricos, temosque:cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senbcos(a + b) = cosa . cosb – sena . senbsen(a – b) = sena . cosb – senb . cosasen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

tga + tgbtg (a + b) = –––––––––––

1 – tga.tgbtga – tgb

tg (a – b) = –––––––––––1 + tga.tgb

Aplicações

01. (UEA) Calcular o valor de sen 15°.

a) b) c)

d)

Solução:sen 15° = sen (30° + 45°)= sen 30°.cos 45° + sen 45°.cos30° =

=

02. (USP) Sendo tgA = 2 e tgB = 1, calculartg(A – B).

a) 1/3 b) 2 c) –1/3 d) –2Solução:

tgA – tgB 2 – 1 1tg(A – B) = ––––––––––– + –––––––– = –––

1 + tgA.tgB 1 + 2.1 3

2. Arco duplo

Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) =sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a =b, obteremos a fórmula do seno do dobro doarco ou do arco duplo:sen 2a = 2 . sen a . cos aAnalogamente, usando a fórmula do cosseno dasoma, que sabemos ser igual acos(a + b) = cosa . cosb – sena .senbe fazendo a = b, obteremos a fórmula docosseno do dobro do arco ou do arco duplo:cos 2a = cos2a – sen2aDa mesma forma, partindo da tangente dasoma, obteremos analogamente a fórmula datangente do dobro do arco ou do arco duplo:

2.tgAtg2a = ––––––––

1 – tg2aA fórmula acima somente é válida para tga ≠ 1 etga ≠ –1, já que nestes casos o denominadorseria nulo!

Exemplos:

sen4x = 2.sen2x.cos2xsenx = 2.sen(x/2).cos(x/2)cosx = cos2(x/2) – sen2(x/2)cos4x = cos22x – sen22x, ... , etc.

3. Arco Metade

Vamos agora achar as funções trigonométricas

4

DesafioMatemático01. Sabendo que sen x = 1/2, com

0 < x < π/2, calcule sen(π/3 – x).

a) 1/3b) –1/2c) 1/2d) 1/4e) 1/5

02. Calcule: L=sen(π/2+x)sen(π +x)+cos(π/2+x)cos(π – x).

a) L = 2b) L = 1c) L= 3d) L = 0e) L= -2

03. Se tg (x+y) = 33 e tgx = 3, calcule tgy.

a) 4/10b) 3/10c) 7/10d) 3e) 3/2

04. Sabendo que tgα=1/3 e tgβ=–1/7,calcule tg(α – β):

a) 1/4b) 7/3c) 1/2d) 3/4e) 2/11

05. Calcule sen 2x, sabendo quetgx + cotgx = 3.

a) 1/3b) 2/6c) 3/2d) 1/5e) 2/3

06. Se sen x – cos x = 1/5, calcule sen 2x.

a) 12/15b) 32/33c) 24/25d) 23/27e) 17/25

07. Calcule sen15°+cos15°.

a) b) c)

d) e)

08. Sendo tgA = 2 e tgB = 1, achetg(A – B).

a) 2/3b) 2/5c) 1/3d) 2/5e) 1/6

Matemática Professor CLÍCIO

Page 5: Aprovar Ano04 Modulo03 Apostila18 Completa

da metade de um arco, partindo das anteriores.

Co-seno do arco metadeOra, sabemos que cos2a = cos2a – sen2aSubstituindo sen2a, por 1 – cos2a, já que sen2a+ cos2a = 1, vem:cos2a = 2.cos2a – 1. Daí, vem:cos2a = (1+cos2a) / 2Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.Podemos escrever então a fórmula do cossenodo arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender doquadrante ao qual pertence o arco x/2.

Seno do arco metade

Podemos escrever:cos2a = (1 – sen2a) – sen2a = 1 – 2sen2aDaí vem: sen2a = (1 – cos2a)/2Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 – cosx)/2.Podemos escrever então, a fórmula do seno doarco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadranteao qual pertence o arco x/2.

Tangente do arco metade

Dividindo membro a membro as equações 2.1 e2.2 anteriores, lembrando quetg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender doquadrante ao qual pertence o arco x/2.

Aplicações

01. (UFPA) Sabendo que sena =1/2 e cosa= , calcular o valor de cos2a.

a) 1 b) 1/2 c) –1 d) –1/2Solução:Sabemos que cos2a = cos2a – sen2a =

02. (PUC) Se tgx + cotgx = 3, calcule sen2x.a) 2 b) 3/2 c) 2/3 d) –2

Solução:tgx + cotgx = 3

03. (UFAM) Se senx + cosx = 2, então o valorde se2x é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4Solução:senx + cosx = 2(senx + cosx)2 = 22

sen2x + 2senx.cosx + cos2x = 4sen2x + cos2x + 2senx.cosx = 41 + sen2x = 4sen2x = 3

4. Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes daTrigonometria.As fórmulas a seguir são muito importantes paraa simplificação de expressões trigonométricas.Já sabemos que:sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

sen (a – b) = sena . cosb – senb . cosaSomando membro a membro estas igualdades,obteremos:sen(a + b)+ sen(a – b) = 2.sena . cosb.Fazendo:a + b = pa – b = q teremos, somando membro a membro:2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q)/2Agora, subtraindo membro a membro, fica:2b = p – q, de onde tiramos b = (p – q)/2Daí então, podemos escrever a seguintefórmula:

p + q p – qsenp + senq = 2.sen –––––– . cos ––––––

2 2Exemplo: sen50° + sen40° = 2.sen45°.cos5° Analogamente, obteríamos as seguintesfórmulas:

p – q p + qsenp – senq = 2.sen –––––– . cos ––––––

2 2p + q p – q

cosp + cosq = 2.cos –––––– . cos ––––––2 2

p + q p – qcosp – cosq = –2.sen –––––– . sen ––––––

2 2Exemplos:cos 30° + cos 10° = 2.cos20°.cos10°cos 60° – cos 40° = –2.sen50°.sen10°sen 70° – sen 30° = 2.sen20°.cos50°.

Aplicações01. (UTAM)Determine o valor da expressãoy =cos70° + cos20°.

a) .cos25° b) cos25° c) .sen25°d) .cos25°

Solução:70°+20° 70°–20°

y =cos70° + cos20° = 2cos –––––– . –––––– =2 2

= 2cos45°.cos25°=

02. (UEA) Transforme em produto a expressãoy = sen(135°+ x) + sen(135°– x)

a) .cosx b) cosx c) .senxd) senx

Solução:135°+x+135°– x 135°+x –135°+xy=2sen(–––––––––––––––)cos(––––––––––––––––)

2 2y= 2sen135° .cosxy= 2 .cosx= .cosx

03. (UFAM) Simplificando- se a expressãoy = cos80° + cos40° – cos20°, obtém- se:

a) 2 b) 1 c) –1 d) 0Solução: y = cos80° + cos40° – cos20°

80°+40° 80°– 40y= 2cos ––––––– . cos ––––––– =2 2

= 2cos 60°.cos20° – 20°= 2. 1/2 cos20° – cos20°= 0

04. (UTAM) Determine o conjunto solução daequação sen2x + senx = 0, no intervalo de[0,2π].Solução:sen2x + senx = 0

2x+x 2x–x2sen –––––– .cos ––––– =0

2 23x x

2sen –––– . cos ––– = 02 2

3x 3x 2kπsen ––– =0 ⇒ ––– =kπ ⇒ x= –––– ou

2 2 3x x π

cos––– =0 ⇒ –––= –––+kπ ⇒ x= π+2kπ, ∀k∈Z2 2 2

5

DesafioMatemático

01. Calcule o valor de M, sabendo que M =(senx – cosy)2+(seny – cosx )2 e x+ y = π/6.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

02. Determine um valor de n∈IN*, tal queπ/n seja solução da equação:

8cos4θ – 8cos2θ +1=0.a) n = 2b) n = 4c) n = 16d) n = 8e) n = 1

03. Resolva a equação tg x – 2 senx=0; 0≤ x ≤ π/2.

a) {0, π/3}b) {1, π/6}c) {0, π/4}d) {2, π/2}e) {1, π/8}

04. Se x é um número real, tal que sen2x –3 senx = –2, para 0 ≤ x ≤ π, então x éigual a:

a) π/2 b) 3π/2 c) 3π/4d) π/4 e) π

05. Determine o menor valor de x tal que

0° ≤ x ≤ 360° e cosx – senx= .

a) x = 45° b) x = 90° c) x = 30°d) x = 60° e) x = 180°

06. Sabendo-se que cos x = 2cos2. x/2 – 1e cos2x + sen2x = 1, para quais valoresde x no intervalo [0, 2π]é válida aigualdade 2senx.cos2.x/2+ cos2x –senx.cosx+1=0?

a) S={2π/4}b) S={3π/2}c) S={4π/2}d) S={3π/4}e) S={4π/3}

07. Resolva a equação 2cos3x – cosx = 0,sendo 0 ≤ x ≤ π.

a) S={π/4, π/2, 3π/4}b) S={2π/4, π/2, π/4}c) S={π/4, 2π/2, 3π/4}d) S={π/2, 3π/2, 3π/4}e) S={2π/4, π/2, 3π/4}

08. Considere a função f real, de variávelreal, f(x)=2cos(2π – x)+1. Calcule:f(3π) + f(π/3) – f(5π/2).a) 3 b) 5 c) 1d) 4 e) 0

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Equilíbrio de corpos

Edifícios, pontes, automóveis e embarcaçõessão exemplos de estruturas equilibradas.No entanto tais estruturas não permanecemequilibradas para sempre. Elas podem estarsujeitas a esforços dinâmicos de grandeintensidade: terremotos, estradas esburacadas(no caso dos automóveis), mar agitado (no casodas embarcações).

EQUILÍBRIOS ESTÁTICO E DINÂMICO

Conforme já estudamos na Apostila 16, umponto material está em equilíbrio se a soma dasforças que agem nele é nula. Um carro paradoem uma estrada está em equilíbrio estático.Um carro em movimento, com velocidadevetorial constante em pista horizontal, está emequilíbrio dinâmico. Em ambos os casos, asforças estão equilibradas, ou seja, a forçaresultante é nula.

Σ→F =

→0 ⇒

→R =

→0

1. Método da linha poligonal

Se um ponto material encontra-se em equilíbrio,a linha poligonal das forças que agem sobre eleé fechada (figura 1).

Caso especial – No caso específico deequilíbrio de um ponto material sob a ação detrês forças, a linha poligonal determina umtriângulo (figura 2).

Como as três forças representam os lados deum triângulo, as relações entre as suasintensidades obedecem às propriedades dostriângulos. Aplicando a Lei dos Senos, temos:

F1 F2 F3––––– = ––––– = –––––senα senβ sen γ

Como αα + A = 180°, temos sen αα = sen A; ββ +B = 180°, temos sen ββ = sen B; γγ + C = 180°,temos sen γγ = sen C, a expressão anterior podeser escrita assim:

F1 F2 F3––––– = ––––– = –––––senA senB senC

2. Método dos componentes vetoriais

Consideremos um ponto material em equilíbriosob a ação de três forças (figura 4).

Devemos, inicialmente, obter as componentesvetoriais de cada força nos eixos retangulares xe y (figura 5):

F1x = F1.cos αα F2x = F2.cos ββ F3x = 0F1y = F1.sen αα F2y = F2.sen ββ F3y = F3

Se o ponto material está em equilíbrio,obrigatoriamente há equilíbrio tanto na direçãohorizontal quanto na vertical:

Σ→F =

→0 → F1.cos αα – F2.cos ββ = 0

Σ→F =

→0 → F1.sen αα + F2.sen ββ – F3= 0

Importante:1. O método dos componentes vetoriais vale

para qualquer número de forças.2. O componente vertical de uma força

horizontal é nulo.3. O componente horizontal de uma força

vertical é nulo.

AplicaçãoAs cordas A, B e C da figura têm massadesprezível e são inextensíveis. As cordas A e Bestão presas ao teto e unem-se à corda C noponto P. Um objeto de massa igual a 10kg estápreso na extremidade da corda C.Considerando o sistema em equilíbrio:

a) Quais são as forças, em módulo, direção esentido, que agem no objeto?

b)Determine as trações nos fios A e B.Dados: g=10m/s2; sen60° = cos30°= /2;sen 30°=cos60°= 1/2

Solução:a) Forças atuantes no objeto:→R =

→0 →TC = P = m . g

TC = P = 10 . 10 = 100N

b) Diagrama de forças:

6

FísicaProfessor CARLOS Jennings

01. (Enem) Um portão está fixo em um muropor duas dobradiças, A e B, conforme afigura, sendo P o peso do portão. Casoum garoto se dependure no portão pelaextremidade livre, e supondo que asreações máximas suportadas pelasdobradiças sejam iguais:

a) é mais provável que a dobradiça Aarrebente antes de B;

b) é mais provável que a dobradiça Barrebente antes de A;

c) seguramente as dobradiças A e Barrebentarão simultaneamente;

d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço;e) o portão quebraria ao meio, ou nada

sofreria.

ArapucaDuas crianças de massas 30kg e 45kgusam uma tábua de 2,5m de compri-mento como gangorra. Desprezando amassa da tábua, determine a quedistância da criança de 30kg deve sercolocado o apoio para que elas fiquemem equilíbrio na horizontal, quandosentadas nas extremidades.

a) 2mb) 1,4c) 1m d) 1,5me) 3

Solução:Diagrama de forças:

Peso de cada criança:P = mgP1 = 30 . 10 = 300NP2 = 45 . 10 = 450NCondição de equilíbrio:|M1|=|M2|P1 . d = P2 . (2,5 – d)300 . d = 450 . (2,5 – d)2d = 3 . 2,5 – 3d5d = 7,5 → d = 1,5m

DesafioFísico

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TB

1sen30° = –––– = ––– → T

B= 50N

100 2T

Asen60° = –––– = ––– → TB

= 50 N100 2

TIPOS DE EQUILÍBRIO

Equilíbrio estável – Qualquer pequenodeslocamento (angular ou linear) sofrido pelocorpo resulta em tendência de retorno à posiçãode equilíbrio inicial.Equilíbrio instável – Qualquer pequenodeslocamento (angular ou linear) sofrido pelocorpo resulta em tendência de continuarafastando-se da posição inicial.Equilíbrio indiferente – Qualquer pequenodeslocamento da posição de equilíbrio resultaem uma nova situação de equilíbrio.

EQUILÍBRIO DE CORPOS

Corpos simplesmente apoiados – Nessasituação, um corpo está sob a ação de apenasduas forças: a força peso, devido à suainteração com a Terra, e a força de reação doapoio, devido à sua interação com a superfíciesobre a qual está apoiado. Para que ocorra oequilíbrio, essas duas forças devem sercolineares e opostas. Como o apoio aplica umaforça na base do corpo, a reta vertical quepassa pelo centro de massa do corpo tambémdeve passar pela base de apoio para que ocorpo não tombe.

MOMENTO DE UMA FORÇA

Seja uma força de intensidade F, aplicada noponto A de uma barra que pode girar livrementeem torno do ponto O, chamado de pólo (figura 8):

O momento de →F em relação a O, ou a

tendência de rotação que a força →F produz na

barra em relação ao ponto O, é dado por:M = F.dF é a intensidade da força, e d é a distância dalinha de ação da força ao eixo de rotação. Adistância d recebe o nome de braço da força.Atenção: no caso em que a força não éperpendicular ao segmento de reta que une oponto de aplicação da força ao pólo:

No triângulo ABC, obtemos:

sen αα = d / a → d = a . sen ααE o momento da força é dado por:

M = F . d → M = Fa . sen ααImportante:

1. O momento de uma força em relação a um

ponto é uma grandeza vetorial, possuindo

módulo, direção e sentido. Mas como utilizare-

mos somente forças coplanares, basta adotar

uma convenção de sinais para os sentidos

dos momentos.

2. O momento resultante de um sistema de

forças coplanares, em relação a um ponto, é

obtido pela soma algébrica dos momentos de

cada uma das forças em relação ao ponto:

MR = Σ M3. O momento de uma força recebe também o

nome de torque da força.

EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO

Quando um corpo rígido, sujeito à ação

simultânea de vária s forças coplanares,

encontra-se em equilíbrio, temos:

Σ→F =

→0 → Equilíbrio de translação (centro de

massa em repouso ou em MRU).

Σ→M =

→0 → Equilíbrio de rotação (em relação a

qualquer ponto do corpo).

Aplicação

Uma barra AB, homogênea, de 2m de

comprimento e peso 100N, está em equilíbrio.

Sendo 200N o peso do bloco C, determine a

tração no fio DE e a força na barra no ponto A.

Solução:

Diagrama de forças:

Σ→F =

→0 → FA + TDE – PB – TBC = 0 ( I )

Fixando o ponto A como pólo:

Σ MA = 0 → – TBC . DAB – PB . dAF + TDE . dAD = 0 ( II )

Como TBC = PC = 200N, e substituindo os

valores em (II):

– 200 . 2 – 100 . 1 + TDE . 1,7 = 0 → TDE = 294N

Substituindo os valores em (I):

FA + 294 – 100 – 200 = 0 → FA = 6N

7

01. Duas forças de módulo F e 2F, queformam entre si um ângulo de 60°,agem sobre uma partícula. Para anulara ação dessas forças é necessárioaplicar, convenientemente, sobre apartícula uma força de módulo igual a:

a) F b) F

c) F d) 3F e) 3,5F

02. (UERJ) Para abrir uma porta, vocêaplica sobre a maçaneta, colocada auma distância d da dobradiça,conforme a figura, uma força demódulo F perpendicular à porta. Paraobter o mesmo efeito, o módulo daforça que você deve aplicar em umamaçaneta colocada a uma distância d/2da dobradiça, dessa mesma porta, é:

a) F/2 b) Fc) 2F d) 4F

03. (Unicamp–SP) Uma escadahomogênea de 40kg apóia-se sobreuma parede, no ponto P, e sobre ochão, no ponto C. Adote g = 10m/s2.

a) Desenhe o diagrama com as forçaspeso, normal e de atrito em seuspontos de aplicação.

b) É possível manter a escada estacio-nária não havendo atrito em P?

04. A figura mostra uma barra homogêneade comprimento l e peso 12N, apoiadaem um ponto situado a uma distâncial /4 de uma das extremidades, e equili-brada por uma força F. Determine aintensidade dessa força.

DesafioFísico

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Hidrostática De maneira simples, pode-se dizer que um fluidoadquire o formato do recipiente que o contém.São considerados fluidos os líquidos e os gases.Nesta aula, estudaremos as propriedades doslíquidos em equilíbrio estático, embora taispropriedades possam ser estendidas aos fluidosem geral.Massa específica de uma substância – É arazão entre a massa de uma quantidade dasubstância e o correspondente volume ocupadopor essa substância:

mµµ = –––

vUma unidade muito usada para massa específicaé g/cm3. No S.I., utiliza-se kg/m3. A relação entreessas duas unidades é:

g 10–6kg kg 1 = –––– = ––––––– = 103 –––

cm3 10–6m3 m3

Densidade de um corpo – É a razão entre amassa do corpo (porção limitada de matéria) eo correspondente volume que ele ocupa:

md = ––––

vPressão – Conceito que relaciona a forçaaplicada sobre uma superfície com a área dessasuperfície. Assim, a pressão de uma força sobreuma superfície é a razão entre a componentenormal da força e a área da superfície na qualela atua:

Fp = ––––

ANo S.I., a unidade de pressão é N/m2, tambémconhecida como pascal (Pa).Pressão atmosférica – A atmosfera, compostade vários gases, exerce pressão sobre asuperfície da Terra. Ao nível do mar, tem-se:patm = 1,01 . 105 N/m2 = 1,01 . 105 Pa.Pressão hidrostática (ou efetiva) – É a pressãoexercida pelo peso de uma coluna fluida emequilíbrio. Considere um cilindro com um líquidoaté a altura h e um ponto B marcado no fundode área A. O líquido exerce uma pressão noponto B, dada por:

Pp = ––––,como P = mg, temos:

Amg m

p = ––––,como d= –––– ∴ m =dV, temos:A V

dVgP= –––––, como V=Ah (volume do cilindro), temos:

AdAhg

p = –––––– p = dhgA

Importante!

A pressão hidrostática ou efetiva depende dadensidade do fluido (d), da altura do fluidoacima do ponto considerado (h) e do lugar daexperiência (g), independendo do formato e dotamanho do recipiente.Pressão absoluta (ou total) – No fundo do reci-piente, a pressão total leva em conta a pressãoatmosférica:pabs = patm + pef ∴ pabs = patm +dgh

Aplicações01. (FAAP–SP) Calcular, em N/m2, a pressão queexerce uma determinada quantidade de petróleosobre o fundo de um poço, se a altura dopetróleo no poço for igual a 10m e a suadensidade 800kg/m3. Dado: g = 10m/s2.Solução:d = 800kg/m3; h = 10m; g = 10m/s2.A pressão pedida é hidrostática (ou efetiva):p = d . h . gp = 800 . 10 . 10p = 80.000N/m2

02. No interior do Amazonas, é comum a práticada pesca do bodó com as mãos. Se umpescador mergulhar a 10m de profundidade, emrelação à superfície de um lago, para capturaralguns desses peixes, qual será a pressão a queele estará submetido?Dados: patm = 105N/m2 (pressão atmosféricalocal); dágua = 103kg/m3.Solução:Deseja-se calcular a pressão total (ou absoluta)sobre o mergulhador:pabs = patm + pef ∴ pabs = patm +dghpabs = 105 + 103 . 10 . 10pabs = 2,0 .105 Pa

LEI DE STEVIN

As pressões em A e B são: pA = po + dghApB = po + dghBEntão, a diferença de pressão (∆p) entre A e B é:pA – pB = dg (hA – hB) ou ∆p = dg∆hConclusão: dois pontos na mesma horizontaldentro de um fluido em equilíbrio estãosubmetidos à mesma pressão.

AplicaçãoNo tubo em U da figura, tem-se água e óleo emequilíbrio. Sendo hA= 10cm a altura da água,determine a altura hB do óleo, sendo dados: dA= 1,0g/cm3 (densidade da água); dB = 0,8g/cm3

(densidade do óleo).

Solução:Na horizontal que passa pela superfície deseparação dos líquidos, a pressão hidrostática éa mesma:

8

• Os navios modernos são metálicos,basicamente construídos de aço. Por serum material de elevada densidade, o açoafunda rapidamente na água, quandotomado em porções maciças. No entantoos navios flutuam na água porque, sendodotados de descontinuidades internas(partes ocas), apresentam densidademenor que a da água.

• Em algumas praias é tradicional opasseio de buggy. Esses veículos sãogeralmente equipados com pneus queapresentam banda de rodagem delargura maior que o normal (pneus tala-larga). Devido à maior área de contatocom o solo, a pressão exercida pelospneus sobre a areia torna-se menor,dificultando o atolamento.

• Na experiência ilustrada na figura abaixo,quando o corpo (sem porosidades) éintroduzido na jarra preenchida comágua até o nível do seu bico, certovolume do líquido extravasa, sendorecolhido no pequeno recipiente lateral.O volume de água extravasado éexatamente igual ao volume do corpo, ea intensidade do empuxo recebido porele é igual à do peso do líquidodeslocado (Teorema de Arquimedes).

FísicaProfessor CARLOS JenningsAnota

Aí!

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p1 = p2 ∴ dB . hB . g = dA . hB . gdB . hB = dA . hA0,8 . hB = 1,0 . 10 ∴ hB = 12,5cm

EMPUXO

Quando um corpo é colocado totalmente imersoem um líquido, duas forças agem sobre ele: a forçapeso, devido à sua interação com a Terra, e a forçade empuxo, devido à sua interação com o líquido.

• Se ele permanece parado no ponto em quefoi colocado, a intensidade do empuxo é igualà intensidade da força peso (E = P).

• Se ele afunda, a intensidade do empuxo émenor do que a intensidade da força peso(E < P).

• Se ele é levado para a superfície, a intensida-de do empuxo é maior do que a intensidadeda força peso (E > P) durante a subida.

AplicaçãoUm mergulhador e seu equipamento têm massatotal de 80kg. Qual deve ser o volume total domergulhador para que o conjunto permaneçaem equilíbrio imerso na água?

Solução:Dados: g = 10m/s2; dágua = 103kg/m3; m = 80kg.Como o conjunto deve estar imerso na água, ovolume de líquido deslocado (Vld) é igual aovolume do conjunto (V). Condição de equilíbrio:E = Pd . Vld .g = m . g103 . V . 10 = 80 . 10V = 8 . 102m3

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

Todo corpo imerso, total ou parcialmente, numfluido em equilíbrio, sofre, por parte deste, aação de uma força vertical, para cima, cujaintensidade é igual ao peso do fluido deslocadopelo corpo.mf = µµ f . VfE = Pf = mf . gE = µµ f . Vf . g

CORPOS IMERSOS

Para corpos totalmente imersos em um fluido, ovolume de fluido deslocado pelo corpo é igualao próprio volume do corpo.

Assim, o peso do corpo e o empuxo sofrido porele são dados por:Pc = mc . g = dc . Vc . gE = mf . g = mf . Vf . gLembrando que Vc = Vf e comparando as duasexpressões, observa-se que:• Se d > µµ f, o peso é maior do que o empuxo

e o corpo fica sujeito a uma força resultantepara baixo (R = P – E).

• Se d < µµ f, o peso é menor do que o empuxoe o corpo fica sujeito a uma força resultantepara cima (R = E – P).

• Se d= µµ f, o peso é igual ao empuxo e ocorpo encontra-se em equilíbrio (R = 0).

PESO REAL E PESO APARENTE

Suponha que um bloco cúbico, maciço, dealumínio, imerso no ar, seja pendurado em umdinamômetro (medidor de forças) que indica umvalor P para o peso do bloco. Em seguida, obloco é imerso em água, e uma nova leitura éfeita. Seja Pa a indicação do dinamômetro parao peso do bloco na nova situação.

O valor P é o peso real. O valor Pa é o pesoaparente. Assim:P > PaA diferença entre o peso real e o peso aparentecorresponde ao empuxo exercido pelo líquido:E = Preal – PaparenteE = P – PaImportante: quando um corpo flutua em umlíquido, o seu peso aparente é nulo:Pa = P – EE = P → Pa = 0

PRINCÍPIO DE PASCAL

O acréscimo de pressão produzido num líquidoem equilíbrio transmite-se integralmente a todosos pontos do líquido.

Dois recipientes ligados pela base sãopreenchidos por um líquido (geralmente óleo)em equilíbrio. Sobre a superfície livre do líquidosão colocados êmbolos de áreas S1 e S2. Aoaplicar uma força F1 ao êmbolo de área menor,o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F2,em razão da transmissão do acréscimo depressão ∆p. Segundo o Princípio de Pascal:

F1 F2∆p1 = ∆p2∴ ––– = –––S1 S2

Importante: o Princípio de Pascal é largamenteutilizado na construção de dispositivosampliadores de força – macaco hidráulico,prensa hidráulica, direção hidráulica, etc.

ArapucaNuma prensa hidráulica, as áreas dosêmbolos são SA=100cm2 e SB=20cm2.Sobre o êmbolo menor, aplica-se umaforça de intensidade de 30N que odesloca 15cm. Determine:a) a intensidade da força que atua

sobre o êmbolo maior;b) o deslocamento sofrido pelo

êmbolo maior.Solução:a) Pelo Princípio de Pascal:FA FB FA 30––– = ––– ∴ ––––= –––– ∴ FA = 150NS1 S2 100 20b) O volume de líquido transferido do êmbolomenor para o maior é o mesmo:∆V = SA . hA = SB . hB100 . hA = 20 . 15 ∴ hA = 3cm

9

01. (UFRGS) Um corpo cuja massa é 1kgflutua inteiramente submerso na água(massa específica 1g/cm3). Qual omódulo da força resultante com que ocorpo afundaria no álcool (massaespecífica 0,8g/cm3)?Considere g=10m/s2 e despreze o atritodo corpo com o álcool. a) 1N b) 2N c) 4N

d) 8N e) 10N

02. (UFRGS) Um morador da ilha deFernando de Noronha costumamergulhar no mar, sem equipamento,até profundidades de 25m. Sendo po apressão atmosférica ao nível do mar, a25m de profundidade ele submete seucorpo a uma pressão deaproximadamente

a) 26po b) 6po c) 3,5po

d) 2,5po e) 2,0po

03. (UFRGS) Considere as afirmaçõesseguintes: I. A força de empuxo sobre um copo de

vidro totalmente submerso na água (echeio de água) é igual à soma dasforças de empuxo que sofreriam oscacos desse copo, se ele sequebrasse dentro da água.

II. A força de empuxo que sofre umacanoa de alumínio que flutua sobre aágua é maior do que a força deempuxo que sofreria a canoa total-mente submersa na água (e cheia deágua).

III. A força de empuxo sobre uma pedrairregular totalmente submersa naágua, mas suspensa por um cordão,é maior do que a força de empuxosobre a mesma quando, livre docordão, está depositada no fundo dorecipiente.

Quais estão corretas? a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas I e II d) Apenas I e IIIe) Apenas II e III

04. (UFRGS) Duas esferas maciças, X e Y, demesmo volume, flutuam em equilíbrio naágua. Se X tem o dobro da massa de Y,

a) X está menos submerso do que Y

b) X e Y possuem pesos iguais.

c) X e Y possuem massas específicas iguais.

d) X e Y sofrem forças de empuxo iguais.

e) X desloca mais água do que Y.

DesafioFísico

Page 10: Aprovar Ano04 Modulo03 Apostila18 Completa

10

Concordância Nominal I

1. ANEXO, INCLUSO, JUNTO

a) Anexo, incluso e junto são adjetivos; porisso, concordam em gênero e númerocom o substantivo a que se referem.

b) A expressão em anexo, apesar de muitoempregada na redação comercial e/ouoficial, não é aceita pela norma culta dalíngua.

c) Junto é invariável quando faz parte daslocuções prepositivas junto com, juntoa, junto de.

Veja construções certas e erradas:

1. Anexa à presente carta vai a relação dasmercadorias. (certo)

2. Vão anexos os pareceres da comissãotécnica. (certo)

3. Segue anexa, para sua apreciação, acópia do contrato. (certo)

4. Seguem inclusos os nomes dos alunosfaltosos. (certo)

5. Incluso ao processo vai a fotografia doréu. (errado)

6. Em anexo, vão as cartas do cliente.(errado)

7. Anexas, vão as cartas do cliente. (certo)8. As certidões negativas seguem junto

com a documentação oficial. (certo)9. Quero que todos fiquem bem juntos de

mim. (errado)

2. MESMO

a) Mesmo, no papel de palavra expletiva (=próprio), concorda com o substantivo.

b) Mesmo = realmente, de fato, de verdade,passa a ser advérbio, portanto invariável.

Veja construções certas e erradas:

1. Eles mesmos farão a apreensão dos pro-dutos contrabandeados. (certo)

2. Vocês mesmos podem resolver esses pro-blemas, meninas. (errado)

3. Eles estavam namorando mesmo? (certo)4. Estas histórias são verídicas: aconteceram

mesmo! (certo)5. Os dois acusados são mesmo criminosos.

(certo)

3. TODO O, TODA A

a) Todo, toda (sem artigo depois) significamqualquer; têm valor de pronome indefi-nido.

b) Todo, toda – seguidos de artigo – (todoo, toda a) significam inteiro, completo;têm valor de adjetivo.

Veja construções certas e erradas:

1. Toda família, até os empregados, viajarampara o interior. (errado)

2. Toda a família, até os empregados, viaja-ram para o interior. (certo)

3. Toda criança tem direito à escola. (certo)4. Toda a criança tem direito à escola.

(errado)5. Quando adolescente, eu lia todo livro que

me dessem. (certo)6. Todo o colégio vai participar dos jogos es-

taduais. (certo)

7. Todo colégio vai participar dos jogos es-taduais. (certo)

4. TODO + NUMERAL

a) Numeral + substantivo – Usa-se o artigoobrigatoriamente.

b) Numeral sem substantivo – Não se usao artigo.

Veja construções certas e erradas:

1. Todos os três alunos estavam envolvidoscom drogas. (certo)

2. Todos três alunos estavam envolvidoscom drogas. (errado)

3. Todos os cinco deputados presentes vo-taram contra o projeto. (certo)

4. Todos cinco deputados presentes vota-ram contra o projeto. (errado)

5. Por serem réus primários, todos quatroreceberam penas leves. (certo)

5. TODO O MUNDO, TODO MUNDO

a) No sentido de todas as pessoas, toda agente, deve-se preferir a expressão “todoo mundo”, mas não se pode condenar oemprego de “todo mundo”.

b) Quando “mundo” equivale a “Terra”, o usodo artigo é obrigatório.

Veja construções certas e erradas:

1. Hoje em dia, todo mundo gosta de nove-las. (certo)

2. Hoje em dia, todo o mundo gosta de no-velas. (certo)

3. Ela fala mal de todo mundo. (certo)4. Ela fala mal de todo o mundo. (certo)5. A poluição da água é o grande problema

de todo mundo. (errado)6. A poluição da água é o grande problema

de todo o mundo. (certo)

6. SÓ

a) Só = adjetivo – Equivale a sozinho, soli-tário, único, ermo, deserto; é variárvel:concorda com o substantivo a que se re-fere.

b) Só = advérbio – Equivale a somente,apenas; é palavra invariável.

c) A sós – É locução adverbial invariável.Significa “sem mais companhia;consigo”.

Veja construções certas e erradas:

1. O pai era a só companhia que Deus lhedeixou. (certo)

2. Durante muitos anos, eles viveram só.(errado)

3. Durante muitos anos, eles viveram só pa-ra os estudos. (certo)

4. Ele e ela viajaram sós. (certo)5. Só ele e ela viajaram. (certo)

7. BASTANTE, MUITO, POUCO

a) Advérbios – Bastante e muito equivalema abundantemente, em alto grau, com in-tensidade; pouco equivale a não muito,insuficientemente. Modificam um verbo ouum adjetivo; são, pois, invariáveis.

b) Pronomes indefinidos – Bastante e mui-to equivalem a algo (coisa ou indivíduo)em grande quantidade; pouco equivale aalgo (coisa ou indivíduo) em quantidadeinferior ao desejado. Modificam um subs-tantivo e com ele devem concordar.

c) Mui – É forma reduzida de muito; só po-de ser empregada antes de adjetivos oude advérbios terminados em -mente.

PortuguêsProfessor João BATISTA Gomes

Arapuca

(FGV) Assinale a alternativa aceitávelsegundo a norma culta.

a) Ela mesmo quis se apresentar para adiretoria.

b) Há bastante coisas a serem feitas antes dachegada do nosso diretor.

c) Aqueles funcionários são o maiscapacitados possível.

d) Eles pediram emprestado a caixa dedocumentos.

e) Anexo segue os documentos.

Caiu no vestibular

01. (FGV) Leia o estrofe seguinte.

Quando será que toda a vasta Esfera,Toda esta constelada e azul Quimera,Todo este firmamento estranho e mudo,Tudo que nos abraça e nos esmaga,quando será que uma resposta vaga,Mas tremenda, hão de dar de tudo, tudo?!

(Cruz e Souza)

Assinale a alternativa em que apalavra toda tenha o mesmosignificado que o da ocorrênciagrifada no primeiro verso.

a) Toda sala foi limpa.

b) A campanha foi realizada por todaempresa.

c) Toda a natureza se revolta contra osataques do homem.

d) Toda vez que você vier, não se esqueçade falar com o secretário.

e) Toda criança tem direito a ser tratadacom respeito.

02. (FGV) Há má construção gramaticalquanto à concordância em:

a) Os médicos consideravam inevitávelnos pacientes pequenas alteraçõespsicológicas.

b) As internações por si sós já causamcertos distúrbios psicológicos aospacientes.

c) Uma e outra alteração psicológicapodem afetar os pacienteshospitalizados.

d) Distúrbios e alterações psicológicos sãonormais em pacientes hospitalares.

Desafio gramatical

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Aplicação 1

Assinale a opção com erro de concor-dância nominal.a) O juiz tinha razões bastante para conde-

nar o réu.b) Promotores públicos granjeiam bastantes

inimizades.c) Vezes bastantes conversamos a esse

respeito.d) Vivia de renda; tinha bastantes prédios

alugados.e) Depois de muita insistência, recebeu-nos

mui zangado.

8. BARATO E CAROa) Adjetivos – Modificam um substantivo;

estão, quase sempre, em construçõescom verbos de ligação (ser, estar, parecer,permanecer, continuar, ficar), exercendoa função de predicativo.

b) Advérbios – Modificam um verbo (invariá-veis, portanto). Aparecem em construçõescom os verbos alugar, cobrar, comprar,custar, vender.

c) Preço barato, preço caro – Expressõessem sentido. O substantivo preço tem queser modificado pelos adjetivos alto, eleva-do, baixo, módico.

Aplicação 2

Assinale a opção com erro de concor-dância nominal.a) Vendeu as duas casas por um preço muito

barato.b) Produtos importados, mesmo na Zona

Franca, são caros.c) Produtos importados, mesmo na Zona

Franca, custam caro.d) No Sul, roupas de algodão são baratas.e) Mesmo no interior, os peixes nobres cus-

tam muito caro.

9. QUITE

Quite é adjetivo; por isso, concorda em nú-mero com o substantivo ou pronome a quese refere. Significa livre, desobrigado, de-sembaraçado.

Veja construções certas e erradas:

1. Só pode inscrever-se para o concursoquem estiver quites com o Serviço MilitarObrigatório. (errado).

2. Aqui, todos estão quites com as mensali-dades escolares. (certo)

3. Finalmente, a família conseguiu ficar qui-tes com o Sistema Financeiro de Habita-ção. (errado)

10. LESO

a) Que ofende – Significando “que ofende”,é adjetivo, provoca hífen e concorda coma palavra a que se refere.

1. Agindo assim, você comete crime delesa-pátria.

2. Suas atitudes de leso-matrimônio po-dem magoar muita gente.

3. Contratar maus professores é crime delesa-cultura.

b) Tolo, idiota – Significando idiota, amalu-cado, tolo, é adjetivo: concorda com osubstantivo ou pronome a que se refere.

1. Ou tu és muilo lesa ou então te fingesdisso, Gabriela.

2. Ele nos trata como se fôssemos lesos.

11. EM DIAEm dia é locução adverbial, portantoinvariável. Significa sem atraso,pontualmente.

1. Eu estou em dia com as prestações dacasa própria.

2. Nós estamos em dia com as prestaçõesda casa própria.

3. Com essa crise, há poucas pessoas emdia com o pagamento de impostos.

12. MENOSNão existe a palavra menas. Menos – sempreinvariável – tem várias classes gramaticais.

a) Pronome indefinido – Opõe-se a pouco;significa inferior em número, quantidade,condição ou posição.

1. Há menos vestibulandos aqui do que no Sudeste.

2. Não sou menos humano só porqueme coloco a favor da pena de morte.

b) Advérbio – Significa em número ou quanti-dade menor; com menos intensidade.

1. Hoje em dia, chove menos na Região Norte.

2. Depois do infarto, passou a comer menos.

c) Substantivo – Sugere aquilo que tem amenor importância; o que é mínimo; omenor preço.

1. O menos que pode acontecer-me é não ser aprovado.

2. Se você fizer um menos, levo logouma dúzia de sapotis.

d) Preposição – Equivale à exceção de;exceto, afora, salvo.

1. Esqueço tudo que ele me fez, menosas agressões físicas.

2. Todos foram ao rio Uatumã, menos eu.

e) A menos que – É locução conjuntivacondicional. Equivale a salvo se, a nãoser que.

13. É BOM, É PROIBIDO, É NECESSÁRIOa) Sujeito determinado por adjunto adno-

minal – O adjetivo predicativo (bom, proi-bido, necessário) concorda com o núcleodo sujeito.

1. A entrada de menor será proibida.2. É necessária muita paciência.

b) Sujeito sem determinação – O adjetivopredicativo (bom, proibido, necessário)fica no masculino.

1. Entrada de menor será proibido.2. É necessário paciência.

Aplicação 3

Assinale a opção com erro de concor-dância nominal.a) Não é permitida a permanência de me-

nores aqui.b) Toda cerveja é muito boa para o fígado.c) É necessário muita paciência para traba-

lhar com alcoólatras.d) Toda entrada de menor, neste Carnaval,

será proibida.e) É necessário paciência para suportar in-

gratidões.

11

01. (ACAFE) Preencha as lacunas dasfrases abaixo.

1. Vocês estão .............. com a tesouraria.2. As janelas ............... abertas deixavam

entrar a leve brisa.3. Vai ............... à presente a relação dos

livros solicitados.4. As matas foram ..........................

danificadas pelo fogo.5. É ...................... a entrada de animais.

A alternativa contendo a seqüênciaverdadeira, de cima para baixo, é:

a) quite – meia – anexa – bastantes –proibida;

b) quites – meia – anexa – bastantes –proibida;

c) quite – meio – anexo – bastante –proibido;

d) quites – meio – anexa – bastante –proibida;

e) quites – meio – anexo – bastante –proibido.

02. (F. C. Chagas) (Desafio da TV) Elas (...)providenciaram os atestados, queenviaram (...) às procurações, comoinstrumentos (...) para fins colimados.

a) mesmas, anexos, bastantesb) mesmo, anexo, bastantec) mesmas, anexo, bastanted) mesmo, anexos, bastantee) mesmas, anexos, bastante

03. (Mackenzie) (Desafio do Rádio)Assinale a alternativa incorretaquanto à concordância nominal:

a) O narrador pulou longos páginas ecapítulos.

b) Ele pulou longos capítulos e páginas.c) Ele escreveu capítulos e páginas

compactas.d) Ele escreveu capítulos e páginas

compactos.e) Ele escreveu páginas e capítulos

compactos.

04. (MACK-SP) Identifique a frase em quea palavra sós é invariável.

a) Elas partiram sós, deixando-me paratrás aborrecida e bastante magoada.

b) Chegaram sós, com o mesmo arexuberante de sempre.

c) Sós, aquelas moças desapareceram,cheias de preocupações.

d) Aqueles jovens rebeldes provocaramsós essa movimentação.

e) Depois de tão pesadas ofensas, prefiroficar a sós a conviver com essaagressiva companhia.

Desafiogramatical

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ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.

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BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.

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DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.

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PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.

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DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)01. A; 02. B; 03. C;04. A;05. B;06. B;07. B;08. D;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)01. D; 02. B; 03. D;04. C;05. D;

DESAFIO FÍSICO (p. 6)01. E; 02. A; 03. E;04. C;05. A;06. B;07. A;

DESAFIO FÍSICO (p. 7)01. A; 02. E; 03. E; 04. B; 05. A; 06. A;07. B; 08. D;

EXERCÍCIOS (p. 9)01. C; 02. A;

DESAFIO FÍSICO (p. 9)01. a) 5m/s2, b) 40m e c)4.000J02. a) Houve e b) FAT; negativo; 03. 40J04. 20m/s;05. 20m;06. 20m;07. a) 5.104m/s2 e b) 40Ns;08. E;

DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)01. B; 02. D; 03. E; 04. B;

DESAFIO LITERÁRIO (p. 11)01. E; 02. E;

Governador

Eduardo Braga

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Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:

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(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)

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