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Unidad 3 La Integral definida 3 - 25

APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS

Sugerencias para quien imparte el curso

Ha llegado el momento en que es conveniente resolver ejercicios aplicando la aproximación numérica como un método general para calcular el área bajo una curva y posteriormente arribar al Teorema fundamental del Cálculo para arribar al concepto de integral. Es muy importante hacer énfasis entre los alumnos, que este es un proceso infinito.

4. Asociar el método de aproximación numérica para calcular un área con un proceso infinito.

5. Aproximar el área bajo una curva utilizando sumas de áreas

6. n

n

i

i aaaaa

........321

1

, siendo n un entero positivo

7.

n

i

n

i

i

n

i

iii baba1 11

)(

8.

n

i

n

i

ii akak1 1

, siendo k una constante

9.

n

i

nnni

1 2

)1(.....321

10.

n

i

nkk1

Conceptos clave

3 - 26 Unidad 3 La Integral Definida

11. 6

)12)(1(.......16941

1

22

nnnni

n

i

12.

n

i

nnni

1

2

33

2

)1(......642781

Ahora, nos interesa evaluar el área A(x) de una región limitada por el eje X, la

gráfica de una función no negativa y = f(x) definida en cierto intervalo ,a b y las

rectas x = a y x = b.

Iniciemos en particular con una región en el plano que esté limitada por el eje X, dos rectas verticales x = a y x = b y la gráfica correspondiente a f(x), una función continua y no negativa como se muestra en la figura siguiente.

ax

Sugerencias para quien imparte el curso.

Sugerir al grupo formule propuestas de cómo obtener el área de esta superficie, discutirlas con ellos e invitarlos a leer documentos sobre éste tema antes de iniciar el desarrollo siguiente.

bx

y = f(x)


Procedimiento

Dividir el intervalo cerrado ba, en n partes (n siendo un entero positivo)

o subintervalos, todos de la misma longitud, en este caso n

ab . De tal manera que

tendremos puntos no xxxxx ,.......,,,, 321 , siendo bxax n ,0 y además la distancia

entre dos puntos consecutivos es n

abxx ii

1 , donde i = 1, 2, 3,…,n.

La longitud de cada subintervalo la podemos denotar también por x ,

entonces n

abx

1 ii xx , o bien xxx ii 1

Por lo que

0

1 2

,

, 2 .........,

i

x a

x a x x a x

x a i x

.

Iniciar dividiendo el área en n partes

Con la división del intervalo ba, en los n subintervalos, es posible construir

rectángulos cuya base mida x y cuya altura es la ordenada correspondiente a iu ,

que corresponde a un valor mínimo de )(xf entre ix y 1ix .

y = f(x)

x= a x = b


Por lo tanto el área de cada rectángulo será xufA ii )(

Sumando las áreas de cada rectángulo tendremos

n

i

ni xufxufxufxufxuf1

321 )(...............)()()()(

Si aumentamos el número de divisiones del intervalo ba, y sumamos las

áreas de los rectángulos resultantes, tendremos una aproximación mejor al área buscada.

x = a x = b

y = f(x)


En esta forma de ubicar los rectángulos, todos están inscritos a la figura y la suma de las áreas de todos los rectángulos es menor que el área buscada.

Este método recibe el nombre de sumas inferiores pues estamos aproximándonos al área buscada mediante una suma inferior.

Cuando hacemos la división del intervalo en un número muy grande de rectángulos x es cada vez más pequeño, de hecho podríamos considerar que el

valor x tiende a cero, por consiguiente podríamos obtener el área buscada

obteniendo el límite de la sumatoria de los rectángulos cuando x tiende a cero.

n

i

ix

xuflímA10

)(

El suponer que x tiende a cero es equivalente a considerar que n tiende a

infinito y la sumatoria la podríamos escribir como

n

i

in

xuflímA1

)(

Es indistinto elegir ix o 1ix a la hora de obtener ( )if u en la sumatoria.

Por consiguiente, para obtener el área buscada habremos de obtener el límite anterior.

x = a x = b

y = f(x)


Para comprender mejor estos conceptos veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Área bajo una recta

Obtener el área limitada por la recta 1

52

y x , el eje X y las rectas x = -1,

x = 5

Dividiendo el intervalo 1,6 en n partes cada una de ellas tiene un ancho de

6 ( 1) 7x

n n

0 1 2 11, 1 , 1 2 ,....... 1 ( 1) , 1i ix x x x x x i x x i x

Como la función es decreciente, la altura del i-ésimo rectángulo será:


1 1 1 1( ) ( 1 ) 5 5 5.5

2 2 2 2if x i x i x i x y el área para dicho

rectángulo la podemos escribir como:

21 1( ) (5.5 ) 5.5

2 2if x x i x x x i x , pero

7x

n , sustituimos en la

expresión anterior y obtenemos

2

2

7 1 7 38.5 24.5( ) 5.5

2if x x i i

n n n n

Ahora evaluemos la suma de las áreas de todos los rectángulos

21 1

38.5 24.5( )

n n

i

i i

f x x in n

Para obtener el valor de esta suma consideremos los conceptos clave 5, 6 y 7

de la sumatoria .

Entonces, aplicando esos conceptos clave nuestra suma será

2 2 21 1 1 1

38.5 24.5 38.5 24.5 38.5 24.5 ( 1)( )

2

n n n n

i

i i i i

n nf x x i i n

n n n n n n

2

2

24.5 138.5 ( ) 38.5 12.25 1

2n n

n n

Finalmente, para obtener el área buscada evaluamos el límite.

1( ) 38.5 12.25 1 38.5 12.25 26.25i

n nA lím f x x lím

n

El valor del área buscada será entonces 26.25A unidades cuadradas.

Sugerencias para quien imparte el curso

En realidad para el cálculo del área se pudo utilizar simplemente )( ixf en lugar

de )( 1ixf y el resultado es exactamente el mismo.

Invitar a los alumnos a comprobarlo.

También pueden verificar ellos el resultado obteniendo el área del trapecio formado, usando las fórmulas de Geometría Plana.


Ejemplo 2:

Obtener el área de la superficie limitada por el eje X, las rectas x = -1.5, x = 3

y la curva 542 xxy .

Al dividir el intervalo 1.5,3 en n subintervalos, cada uno tiene un ancho

3 ( 1.5) 4.5x

n n

. Además

0 1 21.5, 1.5 , 1.5 2 ,............. 1.5ix x x x x x i x

Como 54)( 2 xxxf , la altura del i-ésimo rectángulo es:

2 2 2( ) ( 1.5 ) ( 1.5 ) 4( 1.5 ) 5 2.25 3 6 4 5if x f i x i x i x i x i x i x

2 213.25 7i x i x


Sustituyendo el valor x tenemos

2 2

2 2

4.5 20.25 31.5 20.25( ) 13.25 7 13.25if x i i i i

n n n n

El área correspondiente será ahora:

2 2

2 2 3

31.25 25 4.5 59.625 141.75 91.125( ) 13.25i iA f x x i i i i

n n n n n n

Obtengamos ahora, la suma de las áreas de todos los rectángulos

2

2 31 1 1

2

2 31 1 1

59.625 141.75 91.125( )

59.625 141.75 91.125

n n n

I i

i i i

n n n

i i i

A f x x i in n n

i in n n

2 3

2 3 2

2 3

59.625 141.75 ( 1) 91.125 ( 1)(2 1)

2 6

141.75 91.12559.625 ( ) (2 3 )

2 6

n n n n nn

n n n

n n n n nn n

3

141.75 1 91.125 3 159.625 1 2

2 6n n n

Apliquemos ahora el límite cuando n tiende a infinito a esta última cantidad

3

2

1 3 159.625 70.875 1 15.875 2

15359.625 70.875 30.54166 19.125

8

nA lím

n n n

u

Iniciar un diálogo con los alumnos para comentar si ésta área es posible obtenerla con las fórmulas de Geometría plana.


1. La curva 24y x x , el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.

2. La curva y = x2 – 2x + 3, el eje X y las rectas x = -2 y x = 1.

3. La curva y = 6x – x2 y las rectas y = 0, x = 1 y x = 4.

4. Obtén el área de la superficie limitada por la curva 652 23 xxxy , el

eje X y las rectas x = -2 y x = 1.

Primeramente trazar la gráfica correspondiente y verificar que es correcta.

El área total debe ser A=4

63

Ejercicio 9

Utilizar el método de sumas inferiores para obtener el área de la superficie limitada por:


MÉTODO DE SUMAS SUPERIORES

Propósitos

Obtener algunas áreas mediante sumas superiores

Sugerencia para quien imparte el curso

Supongamos que ahora, en lugar de dibujar rectángulos inscritos, estos serán circunscritos.

Ahora la altura de cada rectángulo es la ordenada correspondiente a iu , que

corresponde a un valor máximo de la función entre ix y 1ix .

La suma de los rectángulos así mostrados es ahora mayor que el área de la superficie buscada y nos aproximaremos a este valor mediante un valor superior, por eso este método lleva el nombre de sumas superiores.

ax bx

y = f(x)



Sugerimos revisar con los alumnos la solución de los siguientes ejemplos y discutir las particularidades que presentan.

EJEMPLO 3

Obtener el área de la superficie limitada por la curva 363 xxy , las rectas

x = 0, x=2 y el eje X

Dibujemos primero la gráfica de esta curva y las rectas

ax bx

y = f(x)


Dividimos el intervalo 2,0 en n subintervalos cada uno con un ancho nn

abx

2

xixxxxxx i ,.......,2,,0 210 .

En la figura se muestra uno de los rectángulos.

La altura del i-ésimo rectángulo será:

xixixixixifxf i

333 63)()(63)()(

Y el área correspondiente será:

4

3

2

43233 226

2363)63()(

ni

ni

nxixixxxixixxf i

4

3

2

16246

n

i

n

i

n

Ahora obtenemos la sumatoria de las áreas

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i

nn

i

n

i

nxxf

1 1 1 14

3

24

3

21

1624616246)(

)2(4

1611126

2

)1(16

2

)1(246 234

4

2

42nnn

nn

nn

n

nn

nnn

2

1214

11126

nnn


Finalmente el área buscada se obtendrá al evaluar el límite:

2

2144126

1214

11126 u

nnnlímAn


Recalcar a los alumnos que a final de cuentas el método de sumas superiores se puede aplicar de la misma manera que el método de sumas inferiores para obtener un área.

EJEMPLO 4

Obtener el área de la superficie limitada por la curva 652 23 xxxy , el

eje X y las rectas x = -2 y x = 1.


Primeramente mostramos la gráfica correspondiente, verifica que es correcta.

En la gráfica también se muestra un rectángulo circunscrito.

Completa los espacios en blanco.

Al dividir el intervalo 1,2 en n subintervalos cada uno tiene un ancho de

(completa donde haga falta)

nnx

)2(1

ixxxx ........,,,, 210

la altura del i-ésimo rectángulo será xxf i )(

3

3

2

2 277245)(

n

i

n

i

n

ixf i

El área del i-ésimo rectángulo será xAi )(

32

2

81216 ii

nAi

por lo tanto la suma de las áreas de los rectángulos la calculamos como:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y=f(x)


n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

i iiin

ii

nxxfA

1 1 1 1 1

32

2

32

2

8121681216)(

22

2

2

121

4

8113136

11

2

135

2

)1(81

6

)12)(1(216

2

)1(

nnnnn

nnnnnnn

n

El total de la suma debe ser

Ahora apliquemos el límite cuando n tiende a infinito

A=4

63121

4

8113136

11

2

135)(

122

n

in

in nnnnn

límxxflím

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