UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

INVESTIGACIÓN FORMATIVA

APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS:

APROXIMACIÓN LINEAL, APROXIMACIÓN MULTILINEAL Y CUADRÁTICO

MÉTODOS NUMÉRICOS (042C)

TINOCO ROJAS, John Enrique

9 de febrero del 2016

1

INDICE

RESUMEN………………………………………………………….…………………...3

ABSTRACT…………………………………………………………………………….3

INTRODUCCION……………………………………………………...………………4

I. ANTECEDENTES…………………………………………………………...............5

II. DESARROLLO CORTO…………………………………………………………13

III. EJERCICIOS RESUELTOS…………………………………………….............16

CONCLUCIONES……………………………………………………………………21

RECOMENDACIONES……………………………………………………………...22

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………...23

2

RESUMEN

La presente investigación formativa está realizada con el fin de conocer más a fondo la aproximación polinomial con mínimos cuadrados para así enriquecer el aprendizaje en el área de Métodos Numéricos, en la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

Está apoyada en materiales de investigación y programas curriculares, para así guiarnos y obtener nuestras propias conclusiones.

Lo que rescatamos de este trabajo es la importancia de los mínimos cuadrados en sus diversas aplicaciones en las diferentes ramas de la matemática, como por ejemplo en el ajuste de las curvas originadas por la variación de la frecuencia en una acometida domiciliaria, durante un periodo de supervisión de la calidad de la energía eléctrica.

ABSTRACT

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INTRODUCCION

La aproximación polinomial con mínimos cuadrados es un método teórico que permite ajustar curvas experimentales a un modelo de curva planteado, es decir, determina la relación funcional entre dos variables. Este procedimiento es de gran importancia debido a que en las experiencias muchas veces las magnitudes físicas dependen linealmente.

En muchas ramas de la ingeniería, de las ciencias naturales y las matemáticas se obtienen un conjunto de datos experimentales. Uno de los problemas interesantes que se presenta es tratar de encontrar otros valores que por la medición no se pueden determinar o inferir otros datos hacia el futuro.

Para esta interrogación se utiliza el ajuste de curvas por mínimos cuadrados. Esta técnica es utilizada para analizar datos experimentales de gran importancia en las distintas ramas de la ingeniería, las ciencias y las matemáticas. Este método consiste en encontrar una función cuya gráfica sea la más aproximada a los datos obtenidos. Precisando, claro está, que significa estar aproximada. Este método nos permite predecir la existencia de otros valores.

Este método consiste en sumar el cuadrado de todas las distancias de los valores al modelo ideal y encontrar la función que minimiza el error cuadrático definido. Dependiendo del modelo que uno quiera analizar da lugar a varios casos del método de mínimos cuadrados.

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I. ANTECEDENTES1. TITULO: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

AUTOR: RENATAS KIZYS, ÁNGEL A. JUANFUENTE Y AÑO: Universidad Abierta de Cataluña (España) - 2002IDEA PRINCIPAL:“Mediante un modelo de regresión lineal múltiple (MRLM) tratamos de explicar el comportamiento de una determinada variable que denominaremos variable a explicar, variable endógena o variable dependiente, (y representaremos con la letra Y) en función de un conjunto de k variables explicativas X1, X2, ..., Xk mediante una relación de dependencia lineal (suponiendo X1 = 1): Y =β1 + β2.X2 +…+ βk.Xk + U siendo U el término de perturbación o error Para determinar el modelo anterior, es necesario hallar (estimar) el valor de los coeficientes β1, β2, ..., βk. La linealidad en parámetros posibilita la interpretación correcta de los parámetros del modelo. Los parámetros miden la intensidad media de los efectos de las variables explicativas sobre la variable a explicar y se obtienen al tomar las derivadas parciales de la variable a explicar respecto a cada una de las variables explicativas:

.Nuestro objetivo es asignar valores numéricos a los parámetros β1, β2, ..., βk. Es decir, trataremos de estimar el modelo de manera que, los valores ajustados de la variable endógena resulten tan próximos a los valores realmente observados como sea posible. A fin de poder determinar las propiedades de los estimadores obtenidos al aplicar distintos métodos de estimación y realizar diferentes contrastes, hemos de especificar un conjunto de hipótesis sobre el MRLM que hemos formulado. Existen tres grupos de hipótesis siguientes: las hipótesis sobre el término de perturbación, las hipótesis sobre las variables explicativas, y las hipótesis sobre los parámetros del modelo.Para una muestra de n observaciones (cada observación estará formada por una tupla con los valores de X2, X3, ..., Xk y el valor de Y asociado), tendremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales:

o, en forma matricial: Y = X⋅B + U, donde:

”

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2. TITULO: MODELO DE REGRESIÓN NO LINEALAUTOR: SELVA CARINA FIGUEROAFUENTE Y AÑO: Universidad de Buenos Aires, Facultad de ciencias exactas y naturales, Departamento de matemática (Argentina) - 2013IDEA PRINCIPAL:“El estimador de mínimos cuadradosθ̂, se obtiene al minimizar la suma de cuadrados:

donde:

Bajo condiciones de regularidad, que incluyen que los errores Ɛi, 1 ≤ i ≤ n sean independientes e idénticamente distribuidos con varianzaσ 2, tenemos que θ̂ y s2=S (θ̂ ) /(n−p )son estimadoresconsistentes de θ¿ y σ 2, respectivamente.Si llamamos

y

cuando f(xi:θ) es diferenciable con respecto a θ, tenemos las ecuaciones

lo que equivale a tener la ecuación

Igual que en la teoría lineal, si P̂F=F̂ . ( F̂T . F̂ . )−1 F̂T .es la matriz idempotente que proyectaortogonalmente Rn sobre el espacio columna de F̂ ., la ecuación anterior deriva en la ecuaciónnormal para el modelo no lineal

Al ser f(x;θ) una función no lineal en θ, no resulta sencillo hallar una solución explícita. Esto nos obliga al uso de métodos iterativos para la solución del problema, siendo uno de los habitual es el de Gauss-Newton.”

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3. TITULO: IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS EQUIVALENTES. UTILIZANDO APROXIMACIÓN RACIONALAUTOR: PEDRO ESQUIVEL PRADOFUENTE: Centro de investigación y de estudios avanzados del I.P.N., Unidad Guadalajara (México)AÑO: 2007IDEA PRINCIPAL:“Sea f(s) la función de transferencia (impedancia o admitancia) de un sistema, obtenida analíticamente o a través de una colección de datos experimentales, para la cual se desea obtener un sistema equivalente. En esta metodología se propone aproximar f(s)mediante una función racional de la forma:

Sin perder generalidad, en lo subsiguiente se utiliza N = M. La expresión equivalente a(2.1) es entonces (fracciones parciales):

donde:s = jωes la frecuencia imaginaria pura y ω= 2πF, para Fmin≤F ≤FmaxHz.N = orden del polinomio.La precisión de la aproximación (2.1) ó (2.2) estará determinada por el grado del polinomio (número de polos) así como también por el método numérico que se utilice para la obtención de los coeficientes (2.1) o polos/residuos (2.2).El cálculo de los coeficientes de (2.1) puede ser formulado como un problema lineal de mínimos cuadrados multiplicando ambos lados de (2.1) por el denominador y evaluando para las frecuencias ω1, ω2,…, ωh la expresión resultante. De esta forma se obtiene el sistema sobre determinado:

donde el l-ésimo renglón de A está dado por:

y:

En (2.4) y (2.6) se utiliza la definición fl= f( sl), para l =1,2,…,h , siendo h ≥N el número de mediciones.Es importante mencionar que (2.3), generalmente es un sistema de ecuaciones mal condicionado debido a que si

kpuede tomar un amplio rango de valores. Además, en la literatura se

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ha demostrado que esta técnica usualmente produce un error mayor en bajas frecuencias [14]. El mal condicionamiento de la matriz A y el error en bajas frecuencias pueden resolverse escalando sus columnas, ak, a través de la matriz diagonal D, para k =1,2 ,…, 2N +1 [2]:

donde ||•||2 denota la norma euclidiana, resultando en el nuevo sistema:

o:

Para asegurar que los coeficientes en (2.1) sean reales, (2.9) se plantea en cantidades reales:

donde los subíndices r e i denotan parte real e imaginaria respectivamente.Una vez resolviendo (2.10), se calcula el vector solución x como:

Finalmente, se calculan los residuos, polos y la constante d de (2.2) usando la función “residue” de Matlab a (2.1).”

4. TITULO: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y ESTADÍSTICO COMO APOYO AL CURSO DE MICROECONOMÍAAUTOR: TIMOTEO GUOZ LUTINFUENTE Y AÑO: Universidad de San Carlos de Guatemala, Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica Industrial (Guatemala) - 2011IDEA PRINCIPAL:“La mejor representación de la curva de costos totales resulta ser por un polinomio de tercer grado y aunque a veces puede no ser particularmente esa su tendencia, el principal problema consiste en encontrar los coeficientes de los términos en las ecuaciones, que darán un polinomio que cumplirá el requisito, de que la suma de cuadrados sea mínima. Para ello se necesita tantas ecuaciones como coeficientes haya, o una más que el grado de la ecuación que se quiera ajustar.Por lo que las ecuaciones normales para el ajuste del método de mínimos cuadrados se pueden expresar como:

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Básicamente con ese sistema de ecuaciones se pude determinar la ecuación, que representé el comportamiento de costos de producción de un bien o servicio y con ello se puede realizar el cálculo de las cantidades de producción a través de un método matemático.”

5. TITULO: SIMULACIONES NUMÉRICAS MEDIANTE MÉTODOS CON Y SIN MALLA. ESTIMACIÓN DE ERROR Y APLICACIONESAUTOR: BEATRIZ ALONSO SANTOSFUENTE Y AÑO: Escuela técnica superior de ingenieros, Departamento de matemática aplicada a los recursos naturales de minas de Madrid (España) – 2003IDEA PRINCIPAL:“Una forma de aproximación discreta de una nube de puntos es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datos y la curva. Existe im método para llevar a cabo este objetivo al que se le llama aproximación por mínimos cuadrados discreta.…El problema se plantea en el caso unidimensional de la forma siguiente, dados (n+1) puntos (xo,fo), (xi,fi), (X2,f2),…,(xn,fn), se trata de ajustar P(x) de grado m≤n.

La suma de los cuadrados de las diferencias es:

y minimizando respecto a cada uno de los coeficientes:

se llega a un sistema de ecuaciones:

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Las m+1 ecuaciones anteriores son lineales y tienen m+1 incógnitas. Por lo tanto, el problema de determinar polinomios de grado m por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultáneas.El sistema tiene solución y solamente existirá un polinomio que cumpla con la condición impuesta, siempre que las xi sean distintas.”

6. TITULO: PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS - ANALISIS NUMERICOAUTOR: JOSE CHÁVEZ PALOMARES – PAUL R. LOPEZ ALVREZFUENTE: Instituto tecnológico de Nogales, Ing. electrónica (México)AÑO: 2005IDEA PRINCIPAL:“Una sucesión (o progresión): es una lista de números en un orden específico.Por ejemplo:2, 4, 6, 8, 10 Forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita porque tiene un último número. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene último número, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:13

; 25

; 37

; 49

;…

En una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciará el estudio de esta sección con la definición de función sucesión. La aproximación multilineal por mínimos cuadrados consiste en determinar constantes a, b, c, d de modo que la función multineal w = a + bu + cv + dz ajuste los j datos de la tabla (ui, vi, zi, wi) de modo de que minimice:

Nota: Una aplicación del método sería determinar la dureza W del acero la cual depende en forma lineal del contenido u de cobre en % y de la temperatura de templado v en °C: W = a + bu + cv, utilizando para ello una tabla de mediciones de varios tipos de hojas de acero. Lastimosamente no tenemos mediciones.”

7. TITULO: VALUACIÓN DEL MÉTODO MATRICIAL CON EQUIPO DE CÓMPUTO PERSONALAUTOR: FERNÁNDEZ BELTRÁN, ALBERTO

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FUENTE: Instituto politécnico nacional, Escuela Superior de Física y Matemáticas (México)AÑO: 2009IDEA PRINCIPAL:“Dentro del Análisis numérico utilizamos la técnica de mínimos cuadrados para ajustar un conjunto de datos a la función que mejor se aproxime de acuerdo al criterio de mínimo error cuadrático.En su forma más simple, se intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los da-tos. Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados los errores de cada medida deben de estar distribuidos de forma aleatoria. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas. La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.…Desde el punto de vista estadístico la regresión lineal es un método matemático que nos permite modelar la relación entre una variable dependiente Y, y una o varias variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

Y = β0 + β1X1 + β2 X2 + … + βn Xn + εdonde β0 es la intersección o término "constante", las βk son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y n es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. El problema de la regresión consiste en elegir ciertos valores determinados para los parámetros desconocidos βk, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se realiza un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente Y, y las variables explicativas.

Yi = Σ βk Xki + εi

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros β̂k, son los coeficientes de re-gresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador.”

8. TITULO: PROYECTO DOCENTEAUTOR: JULIO BENÍTEZ LÓPEZFUENTE: Universidad Politécnica de Valencia, Cuerpo de profesores titulares de universidad, Área de conocimiento: Matemática aplicada (España)AÑO:2008IDEA PRINCIPAL:“Comenzamos enunciando con generalidad el método de mínimos cuadrados cuyo objetivo es “resolver” de manera aproximada sistemas incompatibles.

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Consideremos el sistema incompatible Ax = b, siendo A una matriz m xn, xϵ Rny b ϵ Rm. Es claro que Ax -b ≠ 0 para cualquier x ϵ Rn. Pero nos interesa encontrar x0ϵ Rnde modo que Ax0-b sea lo más próximo posible a 0, es decir hay que encontrar x0tal que ||Ax0-b||sea lo menor posible (véase la figura 8.1).

Por el teorema de la mejor aproximación obtenemos que x0 cumple <Ax0- b; A> = 0 para todo x ϵ Rn. De aquí es fácil deducir las ecuaciones normales:

La solución x0 se llama solución óptima y la cantidad ||Ax0 - b|| se llama error cuadrático. Esta cantidad mide la bondad del ajuste.Finalizamos la sección indicando que si las filas de A son independientes (lo que ocurre en prácticamente todas las situaciones interesantes), entonces disponemos de la factorización QR de la matriz A. Ahora el sistema de las ecuaciones normales se reduce a Rx = Qtb. Esta factorización permite probar que, si las filas de A son linealmente independientes, el sistema de las ecuaciones normales tiene solución única.En cursos posteriores, cuando el alumno disponga del concepto de número de condición de una matriz, se estudiarán las ecuaciones normales desde el punto de vista del cálculo numérico, llegando a la conclusión de que la matriz AtA suele estar mal condicionada. Para arreglar esta deficiencia se utiliza precisamente la factorización QR de la matriz A.Preferimos no dar ejemplos concretos en esta sección ya que en la sección siguiente se encontrarán numerosos ejemplos de aplicación de las ecuaciones normales.”

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II. DESARROLLO CORTO

APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS

El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados".

1. REGRASIÓN LINEAL: Es el más sencillo con el uso de los mínimos cuadrados, se ajusta una serie de pares ordenados a una línea recta. Sean los puntos: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , …, ( xn , yn ) donde la expresión matemática de una línea recta es:

y=a0+a1 x+edonde el error es:

e= y−a0−a1 xPara minimizar el error se utilizan criterios para una buena proyección, siendo la estrategia que supera las definiciones de los procedimientos en la suma de los cuadrados de los errores:

Sr=∑i=0

n

( y i−a0−a1 x i )2……………………….(a)

Para determinar los valores de a0 y a1 la ecuación (a) se deriva:∂ S r

∂ a1=−2∑ ( y i−a0−a1 xi)……….………………(1)

∂ S r

∂ a1=−2∑ [( y i−a0−a1 xi)x i]………….....……….(2)

La ecuación (1) y (2) se iguala a cero:0=∑ y i−∑ a0−∑ a1 x i.

0=∑ y i x i−∑ a0 xi−∑ a1 x i2.

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na0+(∑ x i )a1=∑ y i……………...…………(3)

(∑ x i )a0+ (∑ x i2 )a1=∑ yi x i……..……………...(4)

De (3) y (4) se tiene:

a1=n∑ x i y i−∑ x i∑ yi

n∑ x i2−(∑ xi )

2

luego:a0= y−a1 x

2. REGRESIÓN CUADRATICA: Se utiliza para ajustar un conjunto de pares ordenados a una curva cuadrática (ecuación de segundo grado). Sean los puntos: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , …, ( xn , yn ) donde la expresión matemática de una curva cuadrática es:

y=a0+a1 x+a2 x2+edonde el error es:

e= y−a0−a1 x−a2 x2

Para minimizar el error se utilizan criterios para una buena proyección, siendo la estrategia que supera las definiciones de los procedimientos en la suma de los cuadrados de los errores:

Sr=∑i=0

n

( y i−a0−a1 xi−a2 x2 )2……………………….(b)

Para determinar los valores de a0, a1 y a2 se deriva la ecuación (b) e iguala a cero las ecuaciones, se obtiene:

na0+(∑ x i )a1+(∑ x i2 )a2=∑ y i.

(∑ x i )a0+ (∑ x i2 )a1+(∑ x i

3 )a2=∑ y i x i.

(∑ xi2 )a0+(∑ x i

3 )a1+(∑ x i4 ) a2=∑ x i

2 yi.

3. COEFICIENTES: Suma total de los cuadrados de los residuos:

Sr=∑ (e )2=∑ ( y i−a0−a1 x i−a2 x i2−...−an x i

n )2

Donde: e: Error o residuo x i: Variable independiente y i: Variable dependiente

Error residual asociado con la variable dependiente:St=∑ ( y i− y )2

Error estándar del estimado:

S yx

=√ Sr

n−(m+1)Donde:

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n: Número de pares ordenados m: Grado de la ecuación

Desviación estándar total:

Sy=√ S t

n−m Coeficiente de determinación:

r2=St−Sr

S t

Coeficiente de correlación:

r=√ St−Sr

S t

4. LINEALIZACIÓN DE RELACIONES NO LINEALES: Se realizan unos artificios para obtener una ecuación ordinaria:1. Modelo exponencial:

y=a+b ecx

Sacamos el logaritmo natural:ln ( y−a )=ln (b )+cx

De donde:y '=ln ( y−a )b '=ln (b)

Utilizando la regresión lineal:

c=n∑ x i y i

'−∑ x i∑ y i '

n∑ x i2−(∑ x i )

2

b '= y '−c xb=eb '

Y obtenemos:y=a+b ecx

2. Ecuación de potencias:y=a xb

log ( y )=log (a )+b . log (x )

3. Ecuación de razón de crecimiento:

y= axb+x

1y= b

ax+ 1

a

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III. EJERCICIOS RESUELTOS1) En la siguiente tabla se presentan las mediciones de potencia en una red

domiciliaria correspondientes a cargas de diferente magnitud que lo varían.

N° de medición 1 2 3 4 5Cargas (Ω): x 1 3 4 7 8

Corriente (A): y 13 17 21 25 34

Determine por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta) que representa la función dada.

Solución: Para facilitar los cálculos y evitar errores en los mínimos, primero se construye la siguiente tabla.

N° de medición Cargas (Ω): x Corriente (A): y x i2 x i y i

1 1 13 1 132 3 17 9 513 4 21 16 844 7 25 49 1755 8 34 64 272Ʃ 23 110 139 595

Los valores de las sumatorias de la última fila se sustituyen en el sistema de ecuaciones siguientes:

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a0=[∑

i=1

m

f ( x i )] [∑i=1

m

x i2]−[∑

i=1

m

x i][∑i=1

m

f ( x i ) xi]m∑

i=1

m

x i2−[∑i=1

m

xi]2

a0=(110) (139 )−(23 ) (595 )

5∗139− (23 )2=9.6687

a1=m∑

i=1

m

f ( x i ) xi−[∑i=1

m

f ( xi ) ][∑i=1

m

xi]m∑

i=1

m

x i2−[∑i=1

m

x i]2

a1=5∗595− (110) (23 )

5∗139−(23 )2=2.6807

p ( x )=9.6687+2.6807 x

Solución Matlab:>> format long>> x=[1 3 4 7 8];>> y=[13 17 21 25 34];>> a=polyfit (x,y,1)a = 2.680722891566265 9.668674698795185>> fprintf ('a0 = %12.5f a1 = %12.5f\n',a(2),a(1))a0 = 9.66867 a1 = 2.68072>> fprintf ('p(x) = %12.4f + %12.4f*x\n',a(2),a(1))p(x) = 9.6687 + 2.6807*x

2) La potencia de un motor varia con la resistencia de acuerdo a la siguiente tabla.

N° de medición 1 2 3 4 5 6Corriente (A): x 18 55 90 110 140 160Potencia (kW): y 22.7 35.4 42.15 43.7 42.9 40.3

Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados.

Solución:La potencia aumenta con la corriente hasta el valor tabulado de 1100 A, para disminuir posteriormente en valores más altos de corriente. Esto sugiere utilizar un polinomio con curvatura en vez de una recta, por ejemplo, uno de segundo grado, que es el más simple.Para facilitar el cálculo de los coeficientes del sistema de ecuaciones a usarse se construye la siguiente tabla.

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N° Corriente (A): x

Potencia (kW): y  x i

2  x i3  x i

4  y i x i  y i x i2

1 18 22.7 324 5832 104976 408.6 7354.82 55 35.4 3025 166375 9150625 1947 1070853 90 42.15 8100 729000 65610000 3793.5 3414154 110 43.7 12100 1331000 146410000 4807 5287705 140 42.9 19600 2744000 384160000 6006 8408406 160 40.3 25600 4096000 655360000 6448 1031680Ʃ 573 227.15 68749 9072207 1260795601 23410.1 2857144.8

Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones siguiente:

m ao+a1∑i=1

m

x i+a2∑i=1

m

x i2=∑

i=1

m

f ( x i ).

a0∑i=1

m

x i+a1∑i=1

m

x i2+a2∑

i =1

m

x i3=∑

i=1

m

f ( x i ) x i.

a0∑i=1

m

x i2+a1∑

i=1

m

x i3+a2∑

i=1

m

x i4=∑

i=1

m

f ( x i ) x i2.

6∗a0+a1∗573+a2∗68749=227.15a0∗573+a1∗68749+a2∗9072207=23410.1a0∗68749+a1∗9072207+a2∗1260795601=2857144.8

a0=14.45942a1=0.49552a2=−0.00209

p ( x )=14.45942+0.49552∗x−0.00021∗x2

Solución Matlab:>> format long>> x=[18 55 90 110 140 160];>> y=[22.7 35.4 42.15 43.7 42.9 40.3];>> a=polyfit (x,y,2)a = -0.002087873466959 0.495519546781214 14.459418779056435>> fprintf ('a0 = %12.5f a1 = %12.5f a2 = %12.5f\n',a(3),a(2),a(1))a0 = 14.45942 a1 = 0.49552 a2 = -0.00209>> fprintf ('p(x) = %12.5f + %12.5f*x + %12.5f*x^2\n',a(3),a(2),a(1))p(x) = 14.45942 + 0.49552*x + -0.00209*x^2

3) A partir de un estudio experimental acerca de un panel solar, se observó que la producción de energía dependía linealmente de la radiación solar y el ángulo en el que caían los rayos solares. Se tuvieron así los resultados que se dan abajo. Ajuste la ecuación de la forma:

y=a0+a1u+a2 va los datos de dicha tabla.

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Energía (%): y Radiación (%): u Ángulo (%): v27.4 2.1 17.927.9 3.6 16.428.7 4.6 10.429 2.6 2.4

29.9 8.6 8.930.9 10.6 4.431.9 13.6 1.4

Solución:El sistema por resolver es una modificación del sistema de ecuaciones siguiente para una función y de dos variables u y v.m a0+a1∑ u+a2∑ v=∑ y .a0∑ u+a1∑ u2+a2∑ uv=∑ uy.a0∑ v+a1∑ vu+a2∑ v2=∑ vy .Con el objeto de facilitar el cálculo del sistema anterior se construye la siguiente tabla.

i  ui  vi y i  ui2 ui v i  vi

2  ui y i vi y i

1 2.1 17.9 27.4 4.41 37.59 320.41 57.54 490.46

2 3.6 16.4 27.9 12.96 59.04 268.96 100.44 457.56

3 4.6 10.4 28.7 21.16 47.84 108.16 132.02 298.48

4 2.6 2.4 29 6.76 6.24 5.76 75.4 69.65 8.6 8.9 29.9 73.96 76.54 79.21 257.14 266.11

6 10.6 4.4 30.9 112.36 46.64 19.36 327.54 135.96

7 13.6 1.4 31.9 184.96 19.04 1.96 433.84 44.66

Ʃ 45.7 61.8 205.7 416.57 292.93 803.8

2 1383.9 1762.8

Los coeficientes se sustituyen en el sistema de ecuaciones:

7∗a0+a1∗45.7+a2∗61.8=205.7a0∗45.7+a1∗416.57+a2∗292.93=1383.9a0∗61.8+a1∗292.93+a2∗803.82=1762.8

a0=28.5622a1=0.2565a2=−0.0964

al sustituir estos valores se tiene:y=28.5622+0.2565∗u−0.0964∗v

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Solución Matlab:>> u=[2.1; 3.6; 4.6; 2.6; 8.6; 10.6; 13.6];>> v=[17.9; 16.4; 10.4; 2.4; 8.9; 4.4; 1.4];>> y=[27.4; 27.9; 28.7; 29; 29.9; 30.9; 31.9];>> A=[size(u,1) sum(u) sum(v); sum(u) sum(u.^2) sum(u.*v); sum(v) sum(v.*u) sum(v.^2)]A = 7.0000 45.7000 61.8000 45.7000 416.5700 292.9300 61.8000 292.9300 803.8200>> b=[sum(y); sum(u.*y); sum(v.*y)]b = 1.0e+003 * 0.2057 1.3839 1.7628>> a=A\ba = 28.5564 0.2569 -0.0961>> fprintf ('p(x) = %12.5f + %12.5f*u + %12.5f*v\n',a(1),a(2),a(3))p(x) = 28.55641 + 0.25694*u + -0.09607*v

4) Se sabe que el volumen de arena que se acumula en el desarenador de un canal de conducción está dado por:y=4−2 e−ax

Donde x es el número de meses que ha pasado desde la última limpieza. Con los valores siguientes:

x 1 3 5 11 17 23y 1.06 1.87 2.25 2.77 2.96 2.98

Estime a, usando el criterio de los mínimos cuadrados.

Solución:y=4−2e−ax

4− y=2e−ax

ln ( 4− y )=ln 2−axY=ln (4− y)a0=ln 2a1=−aX=xPara hallar:

20

a1=n∑

i=0

n

x i Y i−∑i=0

n

x i∑i=0

n

Y i

n∑i=0

n

x i2−(∑

i=0

n

xi)2

a0=Y−a1 xDonde:

y=∑i=0

n

y i

n

x=∑i=0

n

x i

nSe construye la siguiente tabla:

i x y Y=ln(4-y) x*Y  x2

1 1 1.06 1.07841 1.07841 12 3 1.87 0.75612 2.26836 93 5 2.25 0.55962 2.7981 254 11 2.77 0.20701 2.27711 1215 17 2.96 0.03922 0.66674 2896 23 2.98 0.0198 0.4554 529Ʃ 60 13.89 2.66018 9.54412 974

a1=6∗9.54412−60∗2.66018

6∗974−(60 )2=−0.04561

a0=0.44336+0.04561∗10=0.89947a = 0.04561y=4−2 e−0.04561x

Solución:

>> x=[1 3 5 11 17 23];>> y=[1.06 1.87 2.25 2.77 2.96 2.98];>> a=polyfit(x,log(4-y),1);>> fprintf('a0=%12.5f a1=%12.5f\n',a(2),a(1))a0= 0.89945 a1= -0.04561>> a=-a(1)a = 0.04561>> fprintf('y = 4 - 2*e^(-%12.5f*x)\n',a)y = 4 - 2*e^(- 0.04561*x)

CONCLUCIONES

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RECOMENDACIONES

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BIBLIOGRAFIA

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