Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Aproximari precise ale sistemelor liniare -
potrivirea bilaterala a momentelor ın
domeniul timp
Tudor C. Ionescu
Seminar stiintific AIS
AIS (ACSE), Univ Politehnica din Bucuresti
Bucuresti, 31 mar. 2016
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Cuprins
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Problema aproximarii sistemelor dinamice
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Necesitate
Applicatii: sisteme mecanice, circuite electrice neliniare, power
systems, procese de incinerare a deseurilor, procese chimice...
Tendinta de modela procese si fenomene cat mai complexe.
Exemplu: modelarea si controlul proceselor de incinerare a
deseurilor← parte din mari proiecte de protectie a mediului.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Formularea problemeiProces modelat de zeci ecuatii diferentiale (ordinare) neliniare cu zeci de stari← dificil de analizat si de controlat.
Liniarizarea nu e solutia← pierdem proprietati si relatii esentiale ıntre stari.
Problema (Model order reduction general problem)
Fiind dat un sistem dinamic
x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (1)
unde x(t) ∈ Rn, x(0) = x0 ∈ R
n este starea sistemului, u(t) ∈ Rm este
intrarea si y(t) ∈ Rp este iesirea sistemului, t > 0, este cautat un alt sistem
˙x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (2)
cu x(t) ∈ Rν , y(t) ∈ R
p astfel ıncat
ν ≪ n,
sistemul (2) pastreaza structura/proprietatile sistemului (1) pentru un
scop bine determinat, e.g., sinteza unui anumit tip de regulator,
sistemul (2) aproximeaza sistemul (1) ın conditii date si cu o eroare mai
mica decat o limita data← aproximeaza foarte precis sistemul dat,
sistemul (2) este usor de calculat.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Metode pentru sisteme liniare
Metode bazate pe descompunerea valorilor singulare:
trunchierea balansata, aproximarea in norma Hankel.
Procedeu: eliminarea dinamicii ”greu” de controlat si ”greu”
de observat coresp. v. s. Hankel mici. Avantaje: pastreaza
automat stabilitatea, margine de eroare apriorica. Extinse
la cazurile real pozitiv si real marginit. Dezavantaj: dificil
de calculat.
Metode de potrivire de momente← interpolarea functiei de
transfer. Procedeu: proiectarea sistemului pe un subspatiu
Krylov. Avantaje: metode eficiente de calcul, utilizate pe
scara larga. Dezavantaje: imposiblitatea de a cuantifica
eroarea; (ın solutia algebrica) interpolare nenaturala
pentru modele stabile.
POD, Analiza modala, etc.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Cat de bune sunt modele reduse obtinute?Metodele SVD pentru sisteme liniare furnizeaza modele bune cu
margine superioara a erorii de aproximare calculata exact!Dezavantaje:
efort ridicat de calcul la dimensiuni de ordin 104;
marginile de eroare nu sunt calculate (numeric) pentru
sistemelor neliniare, nici macar local;
Metodele de tip Krylov-MM, bazate exclusiv pe solutiile
numerice/algebrice ale unei probleme de interpolare
(Nevanlinna-Pick) nu furnizeaza nici o informatie despre precizie.Avantaje:
efort scazut de calcul⇒ algoritmi eficienti si populari de
aproximare a sistemelor de ordine, e.g., 108 (e.g., FEM pt.PDE);
metodele sunt extinse pentru diverse alte cazuri, e.g.,
functii de transfer irationale, sisteme biliniare (serii infinitede functii de transfer), etc.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Solutii?Ne intereseaza cel(e) mai bune model(e) care potrivesc momentele.
Problema: Fie K (s) de ordin n. Calculati minK , dim K=ν<n
‖K − K‖2(∞).
Problema de optimizare neconvexa, ne-etc.,← greu de rezolvat.
S-au scris solutii algoritmice unde se calculeaza K a.ı. ‖K − K‖2
este mica, vezi [Gugercin et al. SIAM2008].
Q: Ce ”nu place” la aceasta solutie?
Se interpoleaza la niste frecvente dictate de algoritm, nu dorite.
Conditiile sunt doar necesare, nu suficiente. De acord, sunt
folosite doar derivatele de ordinul ıntai.
Nu exista interpretare sistemica. Se doreste interpolareconvenabila si gasirea parametrilor celui mai bun model redus.
Legatura dintre trunchiatul balansat, optim ın norma Hankel si
modelul care interpoleaza foarte bine? Exista sigur, netrivial dedescoperit, foarte utila! [Rezultate preliminare: I & al. MTNS2012]
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Ce stim din solutia state-of-the-art a problemei?
Pe baza unui rezultat [Meyer & Luenberger TAC1973]:
modelul-solutie a problemei interpoleaza functia de transfer a
sistemului dat, precum si derivata ei de ordinul ıntai ın opusii
polilor modelului redus.
Este clar ca interpolarea derivatei este baza solutiei
problemei!!
Polii modelului redus nu sunt cunoscuti→ se fac diverse
trucuri numerice pentru initializarea algoritmilor; se
interpoleazaa la pasul urmator ın opusii polilor modelului
redus gasit la pasul curent.
Exista o interpretare sistemica? Da, am gasit-o.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
ContributiaPotrivirea momentelor ın domeniul timp
ın doua seturi distincte;
ın acelasi set a functiei de transfer si a derivatei ei, simultan.
In detaliu:
notiunea de moment (ın dom. timp) a lui K ′(s);
caracterizarea momentelor cu solutiile unor ecuatii Sylvester;
modelul de ordin ν care potriveste 2ν momente ale lui G(s);
modelul de ordin ν care potriveste ν momente ale lui G(s) si νmomente ale lui K ′(s), simultan.
aceste modele, cum se stie sunt mai ”accurate”← din practica.
reinterpretarea sistemica doar cu notiuni fundamentale de TS aideii de model precis care aproximeaza un sistem liniar dat← de
baza pentru extinderea rezultatelor la cazurile neliniar si/sau
infinit-dimesional.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Motivatie
State-of-the-art
Precizia aproximarilor
Motivarea alegerii metodei
Abordare ın domeniul timp→ moment este legat de raspunsul
stationar al sistemului la o intrare aleasa specific.
Se obtin
familii de modele de dimensiune redusa care potrivesc
momentele date;
modelele reduse sunt parametrizate→ parametrii ajuta la
identificarea modelelor care pastreaza proprietati dorite,
precum stabilitate, pasivitate, structura geometrica, etc.;
natural de extins la cazul sistemelor neliniare si la cazul
sistemelor cu parametri distribuiti.
Notiuni necesare: sistem dinamic, raspuns ın domeniul timp,
raspuns tranzitoriu, raspuns permanent, raspuns stationar,
stabilitate, functie de transfer, controlabilitate si observabilitate.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Definitie si caracterizare
Fie un sistem liniar, SISO, minimal x = Ax + Bu, y = Cx , cu functia
de transfer K (s) = C(sI − A)−1B. Intr-un un punct s∗ /∈ σ(A)⇒K (s) = K (s∗) + 1
1!K′(s∗)(s − s∗) + 1
2!K”(s∗)(s − s∗)2 + ....
Definitie
Momentul de ordin zero al sistemului ın punctul s∗ ∈ C este
η0(s∗) = C(s∗I − A)−1B. Momentul de ordin k ∈ N al sistemului este
ηk (s∗) = (−1)k
k ! C(s∗I − A)−(k+1)B.
Lema (Caracterizare prin solutiile uneor ecuatii Sylvester)
Fie s∗ /∈ σ(A). Atunci:
η0(s∗) = CΠ0, unde Π0 ∈ Rn este solutia unica a ecuatiei
Sylvester AΠ0 + B = Π0s∗;
η0(s∗) = Υ0B, unde Υ0 ∈ Rn este solutia unica a ecuatiei
Sylvester s∗Υ0 = Υ0A + C.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Cazul general [Gallivan et al JCAM2004, Astolfi TAC2010, I. et al SCL2014]
Teorema (Moments as the solutions of dual Sylvester
equations)
Consideram 2ν puncte distincte s1, ..., sν , ..., s2ν . Atunci
momentele η0(s1), ...η0(sν), ... sunt ın relatie cu matricea
CΠ, unde Π este solutia unica a ecuatiei Sylvester
AΠ+ BL = ΠS cu S orice matrice cu spectrul
σ(S) = {s1, s2, ..., sν}, iar L a.ı. perechea (L,S) este
observabila.
(dual) momentele η0(sν+1), ...η0(s2ν), ... sunt ın relatie cu
matricea ΥB, unde Υ este solutia unica a ecuatiei
Sylvester QΥ = ΥA + RC cu Q orice matrice cu spectrul
σ(Q) = {sν+1, sν+2, ..., s2ν}, iar R a.ı. perechea (Q,R)este controlabila.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Caracterizarea ın domeniul timp [Astfolfi TAC2010]
x = Ax + Bu
y = Cx
ω = Sωθ = Lω
θ = u y
Teorema (Momentele sunt raspunsul permanent)
Consideram generatorul de semnal ω = Sω, θ = Lω,
observabil, cu S ∈ Rν×ν. Presupunem ca σ(A) ⊂ C
− si
ω(0) 6= 0. Atunci momentele
η0(s1), ...η0(sν), ...
sunt ın relatie cu raspunsul permanent al sistemului liniar
(A,B,C) la u = θ = Lω.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Schita demonstratiei
Calculam raspunsul sistemului interconectat din figura, descris
de ecuatiile ω = Sω, x = Ax + BLω, y = Cx .
Din teorema anterioara momentele sunt date de CΠ, unde Πeste solutia unica a ecuatiei Sylvester AΠ+ BL = ΠS. Astfel,
din a doua ecuatie a sistemului interconectat se observa ca
x = A(x − Πω) + ΠSω. Atunci, din prima ecuatie a sistemului
interconectat avemd(x−Πω)
dt= A(x − Πω), cu conditia initiala
x(0)− Πω(0). De aici putem scrie ca
x(t) = Πω(t) + eAt(x(0)− Πω(0)). Atunci raspunsul sistemului
la intrarea y = Lω este
y(t) = CΠω(t) + CeAt(x(0)− Πω(0)).
Deoarece σ(A) ⊂ C−, CΠω(t) reprezinta raspunsul stationar,
care da momentele.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Rezultatul ”dual” [I. et al SCL2014]
x = Ax + Bu
y = Cx
ω = Qω + Rw
d = ω +Υxy = w d
Teorema
Consideram generatorul de semnal
˙ = Q + Rw , d = +Υx , (0) = 0, cu Q ∈ Rν×ν .
Presupunem ca σ(A) ⊂ C−. Atunci momentele
η0(sν+1), ...η0(s2ν), ...
sunt ın relatie cu regimul permanent al semnalului d(t) la
intrarea u(t) = δ(t).
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Familiile de modele de dim. ν care potrivesc
momentele [Astolfi TAC2010, I. et al SCL2014]
ξ = Fξ + Gu, ψ = Hξ,
ξ(t) ∈ Rν , ν < n, este
1. model al sistemului (A,B,C) dat la σ(S)∩ σ(A) = ∅, daca σ(S)∩ σ(F ) = ∅si CΠ = HP, unde P este solutia unica a ecuatiei FP + GL = PS. O familie
de modele care potrivesc momentele la σ(S) este
ΣG :ξ = (S −GL)ξ + Gu,
ψ = CΠξ,
unde G ∈ Cν este ales a.ı. σ(S) ∩ σ(S −GL) = ∅.
2. model al sistemului (A,B,C) dat la σ(Q) ∩ σ(A) = ∅, daca
σ(Q) ∩ σ(F ) = ∅ si ΥB = PG, unde P este solutia unica a ecuatiei
QP = PF + RH. O familie de modele care potrivesc momentele la σ(Q) este
ΣH :ξ = (Q − RH)ξ +ΥBu,
ψ = Hξ,
unde HT∈ C
ν este ales a.ı. σ(Q) ∩ σ(Q − RH) = ∅.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Exista modele precise ın aceste clase?
Raspunsul este afirmativ. Exista ın fiecare clasa de modele
obtinute, un model unic care potriveste simultan atat
momentele la σ(S), cat si la σ(Q).Exemplu: Fie η0 ∈ C si η1 ∈ C a.ı. η0 6= η1. Sistemul
Kg(s) =η0g
s − s0 + g, cu g ∈ C, defineste familia de modele de
ordinul ıntai, parametrizata ın g, care potrivesc momentul η0 la
s0 ∈ C, i.e., Kg(s0) = η0. Fie q1 ∈ C a.ı. q1 6= s0. Cautam
modelul de ordinul ıntai Kg care potriveste si momentul η1 la q1,
i.e., cautam valoarea lui g, a.ı. Kg(q1) = η1. Relatia are loc
daca si numai daca
η0g = [(s0 − q1) + g]η1 ⇔ g(η0 − η1) = (s0 − q1)η1. Deoarece
am presupus η0 6= η1, obtinem valoarea unica a parametrului
g = η1s0 − q1
η0 − η1.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Continuarea exemplului si cateva concluzii
Fie p =η0 − η1
s0 − q1. Deoarece s0 6= q1, p este bine-definit. Prin
urmare, g = η/p. Deoarece g este unic, atunci p este
deasemenea solutia unica a ecuatiei ps0 − q1p = η0 − η1.
Ce observam?
∃! un model de ordin 1, care potriveste doua momente.
Solutia e aceeasi si pentru cealalta familie de modele.
Prin urmare, cele doua clase de modele au o intersectie
nevida care contine un model (unic) ce potriveste ambele
seturi de momente distincte.
Urmatoarea ıntrebare (naturala): Daca s0 = q1, dar mentinem
η0 6= η1, ce se ıntampla?
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse
Cazul s0 = q1
Exemplu: Din exemplul anterior, deoarece η0 6= η1, unicul g a.ı.
Kg potriveste η0 la s0 si η1 la q1, cu s0 6= q1, este g =η1
p, unde
p este solutia unica a ecuatiei ps0 − q1p = η0 − η1. Prin urmare,
daca s0 = q1, modelul practic potriveste acelasi moment de
doua ori, i.e., η0 = η1, ceea ce contrazice ipoteza ca
momentele sunt distincte. Prin urmare formulam alta problema,
i.e., cautam g ∈ C, a.ı. K ′
g(s0) = η1. Obtinem
−η0g
(s − s0 + g)2= η1 ⇔ −η0g = η1.
Ce observam?
Rezultatul anterior nu mai este valid daca seturile de
puncte de interpolare nu sunt distincte.
Exista o relatie directa ıntre parametrii modelelor si
potrivirea momentelor derivatei.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Ilustrarea ideii de baza
Din exemple, trebuie sa studiem potrivirea momentelor, i.e., a
raspunsului permanent al unui semnal emis de un generator
condus de sistem excitat, la randul sau de un semnal dat.
Generalised signal gen.characterised by set 2 ofinterpolation points
output ofintercon.output
Linear systemSignal generatorcharacterised by set 1 ofinterpolation points
Steady-state
Moments at set 1 of points↕
Steady-state
Moments at set 2 of points↕
input
Iesirea ıntregului sistem este cheia← dinamica semnalului
contine informatii complete despre momentele sistemului la
ambele generatoare de semnal.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Caracterizarea dinamicii semnalului d(t), iesirea
finala
x = Ax + Bu
y = Cx
w = yu = θω = Sω
θ = Lω˙ = Q + Rw
d = +Υxd
Momentele la σ(S) 6= σ(Q) sunt caracterizate de regimul
permanent al lui d(t),
Propozitie
Se considera interconexiunea din figura. Momentele la σ(S) si
σ(Q) sunt caracterizate de regimul permanent al lui d(t) cu
dinamica d = Qd +ΥBLω, daca si numai daca ΥΠ satisface ec.
Sylvester ΥΠS −QΥΠ = ΥBL− RCΠ.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Modelul de dim. ν are potriveste 2ν momente
ΣG
ω = Qω + Rw
δ = ω + Pξη = w ζ
(a)
ΣHω = Sω
θ = Lω
ηθ = u
(b)
Figure: Ilustrarea grafica a ideii rezultatului central
Ipoteza de lucru: Matricea ΥΠ ∈ Cν×ν este inversabila.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Modelul unic de dim. ν are potriveste 2ν momente -
rezultatul central
Teorema (Two-sided moment matching)
Urmatoarele afirmatii sunt adevarate.
1 Un model ΣG potriveste momente le la σ(S) 6= σ(Q)simultan, daca si numai daca G = P−1ΥB, unde P ∈ C
ν×ν
este sol. unica a ec. Sylvester PS −QP = ΥBL− RCΠ.
Mai mult, P = ΥΠ si Σ(ΥΠ)−1ΥB este unicul model din
familia ΣG care potriveste 2ν momente.
2 Un model ΣH potriveste momente le la σ(S) 6= σ(Q)simultan, daca si numai daca H = CΠP−1, unde P ∈ C
ν×ν
este sol. unica a ec. Sylvester PS −QP = ΥBL− RCΠ.
Mai mult, P = ΥΠ si ΣCΠ(ΥΠ)−1 este unicul model din
familia ΣH care potriveste 2ν momente.
3 Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 .
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Proprietati
Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 este un model unic.
Are precizie mai ridicata fata de alte alegeri ale lui G,
respectiv H ← vezi exemplu ulterior.
Daca (fara a pierde din generalitate) S = Q, modelul, ın
acest context, nu aduce nici o plus-valoare. Practic,
momentele, ıntr-un set de puncte dat, sunt potrivite de cate
un model echivalent din cele doua clase. Mai mult, ın acest
caz, problema este formulata gresit, i.e., ec. Sylvester
PS − SP = ΥBL−RCΠ este degenerata, are o infinitate
de solutii...
Potrivim altceva daca S = Q ⇒ putem potrivi ν momente
ale lui K si ν momente ale lui K ′ la σ(S). Mai sofisticat
(teoretic) se pot potrivi ν momente ale lui K si i1 momente
ale lui K ′, i2 momente ale lui K ′′ ... iℓ momente ale lui K (ℓ),
la σ(S), a.ı. i1 + i2 + · · ·+ iℓ = ν.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme
Motivatie
State-of-the-art
Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor
2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Notiunea de moment
Relatia cu raspunsul ın domeniul timp
Modele reduse care potrivesc momentele
3 Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)
Modelul care potriveste 2ν momente distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Mom derivatei = elem. diagonale ale matricei ΥΠ!!!
Fie K (s) = C(sI − A)−1B ⇒ K ′(s) = −C(sI − A)−2B =−C(sI − A)−1(sI − A)−1B.
Fie S = diag{si , i = 1, ..., ν} si L = [ℓ1, ..., ℓν ], a.ı. perechea
(L,S) este observabila. Din ecuatia AΠ + BL = ΠS ⇒
coloanele Πi = (si I − A)−1Bℓi . Similar, din ec. QΥ = ΥA + RC,
cu Q = S, R = −L∗ ⇒ −ℓiC(si I − A)−1 = Υi , i = 1, ..., ν. Prin
urmare, momentele (de ordin zero) lui K ′(s) la σ(S) sunt
η0(si) = −C(si I − A)−2B = eTi ΥΠei , i = 1, ..., ν
Rezultatul este general pentru orice matrice non-derogatorie
S.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
O realizare a lui K ′(s)
Realizare a lui K ′(s).
y = vx = Ax + Bu
y = x
yz = Az + v
y = −Cz
u
K ′(s)
Σ′ :
x = Ax + Bu,
z = Az + x ,
y = −Cz,
unde z ∈ Rn si y ∈ R.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Caracterizarea mom. derivatei ın dom. timp
Semnalul d(t) este cheia← informatiile complete despre
momentele derivatei se gasesc ın dinamica lui d(t).
y = vx = Ax + Bu
y = x
w = yz = Az + vy = −Cz
u = θ
K ′(s)
ω = Sω
θ = Lω˙ =S+L∗w
d = +Υz
d
Dinamica lui d(t): d = Sd +ΥΠω +ΥeAt(x0 − Πω0).
Teorema (Mom. deriv⇔ regimul permamanent al lui d(t))
Pp. ca σ(A) ⊂ C− si σ(S) ⊂ C
0. At. momentele lui K ′(s) la
σ(S), continute de elementele diagonale ale ΥΠ sunt ın relatie
de unu-la-unu cu regimul permanent al lui d(t).
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Ce cautam?
Familia de modeleξ = Fξ + Gu,η = Hξ,
(3)
cu ξ(t) ∈ Rν , ν < n, a.ı. K ′(si) = K ′(si) (∀) si ∈ σ(S), unde
K (s) = H(sI − F )−1G.
Realizare a lui K ′(s):
Σ′ :
ξ = Fξ + Gu,
χ = Fχ+ ξ,
η = −Hχ,
cu χ(t) ∈ Rν.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Modelele de dim. ν, care potrivesc mom. lui K ′(s)
η = vξ = Fξ + Gu
η = ξ
w = ηχ = Fχ+ vη = −Hχ
u = θ
K ′(s)
ω = Sω
θ = Lω˙ =S+L∗w
ζ = + Pξ
ζ
Ideea: dinamica lui ζ potriveste dinamica lui d , ın regim permanent.
Teorema (Familia de (3) care potrivesc momentele lui K ′(s))
O familie de modele liniare de dim. ν cu functia de transfer K (s)
care satisfac relatia K ′(si) = K ′(si ), (∀) si ∈ σ(S) este
caracterizata de (3), cu F = P(S − L∗HP)P, PL∗H = GLP,
unde P = ΥΠ si P = (ΥΠ)−1, cu P sol. unica a ec.
FP + GL = PS.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Modelul unic de dim. ν care potriveste momentele
lui K (s) si K ′(s)
∃! Σ- ∈ ΣG ∩ ΣH cu functia de tf. K (s) a.ı. K (si) = K (si) si
K ′(si) = K ′(si), i = 1, ..., ν, unde {si | i = 1, . . . , ν} = σ(S = Q).
Corolar
Urmatoarele afirmatii sunt adevarate.
1 Modelul ΣG care potrivete momentele lui K (s) sidK (s)
dsla
σ(S) este dat de G = (ΥΠ)−1ΥB.
2 Modelul ΣH care potriveste momentele lui K (s) sidK (s)
dsla
σ(S) este dat de H = CΠ(ΥΠ)−1.
3 Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 .
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - carucior cu pozitia controlata de un
pendul dublu
k
µ1
q1
m1µ2
q2 l2m2
µ3
q3l3
m3
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - parametrii de lucruParametru Descriere Valoare
q1 pozitia caruciorului variabila
q2 pozitia bratului 1 variabila
q3 pozitia bratului 2 variabila
u input forta aplicata caruciorului variabila
m1 masa caruciorului 1
m2 masa bratului 1 1
m3 mass of bratului 2 1
k constanta elastica a resortului 1
l2 lungimea bratului 1 1
l3 lungime bratului 2 1
µ1 constanta de frecare vascoasa a caruciorului 1
µ2 constanta de frecare vascoasa a bratului 1 1
µ3 constanta de frecare vascoasa a bratului 2 1
g constanta gravitationala 9.8TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - model liniar
Starea x = [q1 q1 q2 q2 q3 q3]T ∈ R
6 si iesirea y = q1 ⇒ sistem
dinamic liniar de ordinnul al saselea
A =
0 1 0 0 0 0
−1 −1 98/5 1 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 −196/5 −2 49/5 1
0 0 0 0 0 1
0 0 98/5 1 −98/5 −2
, B =
0
1
0
−1
0
0
,
C =[1 0 0 0 0 0
].
(4)
Q: Ce dorim?
Calculam aproximari de ordinul al doilea cat mai bune←eroarea de aproximare ın norma doi este mica.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - familia de modele de ordinul al doilea
care potrivesc primele doua momente ın zero ale
sistemului
Alegem S =
[0 1
0 0
]si L = [1 0]. Unica solutie a ecuatiei
Sylvester AΠ+ BL = ΠS este
Π = [−A−1B − A−2B] =
[1 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0
]T
.
Familia de modele de ordinul al doilea care portivesc primele
doua momente ın zero ale sistemului este ΣG cu
S −GL =
[−g1 1
−g2 0
], G =
[g1
g2
], H = CΠ = [1 − 1],
g1, g2 ∈ C, parametri liberi.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - modelul unic care potriveste primele
doua momente ale sistemului ın zero si doua
momente ale sistemului, ın 12
si, respectiv, 14
Alegem Q =
[1/2 0
0 1/4
], R =
[1
1
]. Solutia unica a ecuatiei
Sylvester QΥ = ΥA + RC este
Υ =
[1.104 1.312 0.421 0.864 0.203 0.427
1.215 2.076 0.341 1.379 0.168 0.688
].
Modelul unic care potriveste primele doua momente ale
sistemului ın zero si doua momente ale sistemului, ın1
2si,
respectiv,1
4, este
S −GL =
[−0.345 1
−0.322 0
], G = P−1ΥB =
[0.345
0.322
], H = [1 − 1].
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - familia de modele de ordinul al doilea
care potrivesc primele doua momente ale derivatei
sistemului ın zero
O familie de modele care potrivesc primele doua momente ale
lui K ′(s) ın zero:
F =
[−0.56h1 − 1.11h2 + 1.11 −1.11h1 + 2.78h2 − 2.78
−0.22h1 − 0.44h2 + 0.44 −0.44h1 + 1.11h2 − 1.11
],
G =
[g1
g2
], H = [h1 h2],
a.ı. (ΥΠ)−1LT H = GLΥΠ.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - modelul unic de ordinul al doilea care
potriveste momentel ın zero ale sistemului si ale
derivatei sale
F =
[−1 0.999
0.999 2
], G =
[0.333
0.333
], H = [1 − 1].
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Exemplu - final: tabelul normei doi a erorilor de
aproximare
Model de ordinul al doilea ΣG, G = [g1 g2]T Norma-2 a erorii
de aproximare
ΣG, g1 = 1, g2 = 0.5, potriveste 2 momente
ın 01.391
ΣG, g1 = 0.345, g2 = 0.322, potriveste 2
momente ın 0 si 2 momente ın 1/2 si,
respectiv, 1/4
0.189
ΣG, g1 = 0.333, g2 = 0.333 potriveste 2
momente ın 0 ale lui K si K ′, respectiv.0.186
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Concluzii
Am prezentat modalitati de obtinere a unor modele precise
prin potrivirea bilaterala a momentelor ın domeniul timp.
Modelele precise sunt elemente unice ale claselor de
modele obtinute prin potrivirea momentelor.
Potrivirea momentelor derivatei, importanta de calulat
pentru rezolvarea problemei de norma 2 (∞) minima a
erorii de aproximare.
Solutiile obtinute folosesc exclusiv informatii din realizarile
de stare ale sistemelor.
Perspectiva: identificarea corecta si solutionarea (partiala)
a problemei de optimizare infinit-dimensionala si
neconvexa a aproximarii optime ın norma. Extinderea
rezultatelor la cacurile neliniar si infinit-dimensional (aici
s-au mai facut progrese ın acest sens).
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp
Reducerea dimensionala a sistemelor
Potrivirea momentelor ın domeniul timp
Two-sided moment matching
Caracterizarea bilaterala a momentelor
Modelul care potriveste 2ν mom. distincte
Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale
Referinte
Rezultatele complete pot fi gasite ın
T. C. Ionescu. ”Two-sided time-domain moment matching
for linear systems”. IEEE Trans. on Automatic Control,
Thomson Reuters IF 2.779, DOI 10.1109/TAC.2015.2503124,
2016.
Alte referinte relevante.
A. Astolfi. ”Model reduction by moment matching for linear and
nonlinear systems”. IEEE Trans. on Automatic Control, 55(10):
2321–2336, 2010.
T.C. Ionescu, A. Astolfi and P. Colaneri. ”Families of moment matching
based low order approximations for linear systems”. Systems & Control
Letters, 64: 47–56, 2014.
A.C. Antoulas. Aproximation of large-scale dynamical systems. SIAM
2005.
TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp