Apunte 1 de Funciones FUNCIONES Dentro del conjunto de las relaciones que es posible definir en AxB, es de vital importancia, un

subconjunto, el de las llamadas FUNCIONES. Este concepto es la base del ANALISIS

MATEMÁTICO.

Definición: Se dice que una relación “F” de un conjunto A en un conjunto B, es una función ssi

, ! , ,x A y B x y F .

Todos los elementos de A deben usarse como primer componente de algún par de la

relación. Dom(f) = A

Dos pares distintos de la relación, no pueden tener primeros componentes iguales.

Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, este elemento y se denota mediante el símbolo 𝑓(𝑥), es decir la variable y, depende

de los valores que toma la variable x.

, es decir la variable y, depende de los valores que toma la variable x.

𝑦 = 𝑓(𝑥)

f(x) es la imagen de x bajo la función f.

También se usa la notación:

:f A B

x f x

Dominio y Recorrido El conjunto A es llamado dominio de una función, el conjunto B, conjunto de llegada de la función.

Otro conjunto importante es, el recorrido de f (Rec(f)), este conjunto está formado por todos los

valores posibles de f(x), con x en B.

Representación Gráfica de una función Se define el gráfico de una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 como el conjunto

𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴} ⊂ ℝ2

La representación gráfica del gráfico de f se denomina curva y se dibuja en el plano ℝ2, indicando

dominio de f en el eje horizontal (eje OX) y el conjunto B de llegada en el eje vertical (eje OY).

Ejercicios

1) ¿Cuál de las siguientes relaciones de ℝ 𝑒𝑛 ℝ representa una función y cuáles no?

Justifique su respuesta.

2) Dada la representación gráfica de la función 𝑓: ℝ → ℝ, determine dominio y recorrido.

a)

b)

3) Determinar dominio y recorrido de cada una de las siguientes funciones:

a) 12)( 2 xxxf

b) 2)( xf

c) 3

2)(

x

xxf

d) 32)( xxf

e) 2

)(

x

xxf

f) 4

)(2

x

xxf

4) Dada la función

314

1212)( 2 xx

xxxg

a) Determinar el recorrido de la función g .

b) Hallar la pre imagen de 2 .

Función Inyectiva

Una función f: A B se dice inyectiva si y solo si

,u v A f u f v u v

Dada la función 2

:

2 3

f

x f x x x

a) Determine si f es inyectiva. En caso de no serlo, determine el intervalor más grande I, de

número positivos en que f es inyectiva.

2 2

2 2

2 2

,

2 3 2 3

2 2

2 2 0

2 0

2 0

2 0

0 2 0

u v f u f v u v

f u f v

u u v v

u u v v

u v v u

u v u v v u

u v u v u v

u v u v

u v u v

Por lo tanto la función no es inyectiva

Para ser inyectiva, debería suceder qué:

0 2 0

1

u v u v

u v u

Por lo tanto f es inyectiva si:

2

: , 1

2 3

f

x f x x x

o bien

2

: 1,

2 3

f

x f x x x

Por lo tanto 0I

Función Epiyectiva o Sobreyectiva

Una función f: A B se dice epiyectiva si y solo si Rec f B

Por ejemplo:

Determine si la función anterior 2

:

2 3

f

x f x x x

es epiyectiva

B

Determinemos el recorrido de la función:

2

2

2 3 0

2 4 1 3

4 4 3

16 4

16 4 0

4

x x y

y

y

y

y

y

Re 4,c f

Por lo tanto la función no es epityectiva.

Función Biyectiva

Una función f: A B se dice biyectiva si y solo si es inyectiva y epiyectiva.

Determine B para que 2 2 3f x x x sea biyectiva para para x J f I

0I

1 0

2

:

2 3

f

x f x x x

Recorrido:

2

0

2

2 3 , 4

2 3 0

2 16 4

2 1

2 4 4

2

2 2 4

2

1 4

y x x x e y

x x y

yx

yx

yx

x y

Como 0x

1 4 0

1 4 0 1 4 0

4 1 4 1

4 1 :

3

y

y y

y y

y Sol

y

1Re 3,c f

Por lo tanto, la siguiente función es biyectiva:

1 0

2

: 3,

2 3

f

x f x x x

Funciones Básicas

Álgebra de Funciones

Composición de Funciones

Ejemplo 1:

1) Estudiar la existencia de gof en el caso: 1

1

xf x

x

y 2g x x

, 1 1,Dom f Dom g

Re 0,1 1,c f 0Rec g

: Re

1, 1 1, : 0,1 1,

1

1, 1 1, : 0,1 1,

1

, 1 1,

Dom g f x Dom f f x Dom g c f

xx

x

xx

x

Dom g f

2

1 1 1

1 1 1

1

1

x x xg f x g f x g

x x x

xg f x

x

Ejemplo 2:

Función Inversa

Propiedad: Si f: A B es biyectiva, entonces existe una única 1f de B en A, tal que:

a) 1

Bf f Id y 1

Af f Id

b) 1

1f f

Si f: A B es una función biyectiva, entonces la función inversa de f se define como

1

1

:f B A

y x f y

Donde 1y f x o x f y

Ejemplo:

Calcule 1

1f x

Sí 2 2 3y x x , despejando x, se obtiene:

1 4x y

Por lo tanto:

1

1 0

1

: 3,

1 4

f

x f x x

f(x)=x^2+2x-3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

y

f(x)=-1+(4+x)^0.5

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-1

1

2

3

4

5

x

y

Ejercicios 1.- Considere las siguientes funciones definidas por partes o tramos

8441

428

222

)(

2

1

xx

xx

xx

xf

9551

527

234

)(

2

2

xx

xx

xx

xf

12332

314

124

)(

2

3

xxx

x

xx

xf

853

511

135

)(

2

4

xx

xx

xx

xf

a) Graficar cada función, indicando su Recorrido.

b) Completar las siguientes tablas de imágenes y preimágenes

2/53)(

202/1

1 xf

x

2/53)(

2/502/1

2 xf

x

4)(

51

3 xf

x

65)(

2/711

4

xf

x

2.-

3.- Para las siguientes funciones, obtener las nuevas funciones gf y fg , indicando para

cada una de ellas su Dominio.

a) ( ) 1 f x x y 2( ) 1 g x x x

b) 212)( xxf y 1)( xxg

c) 12)( xxf y 3)( xxg .

4.- Dadas las funciones xxxf )( y

942

401)(

xx

xxxg

a) Graficar la función f e indicar su recorrido.

b) Obtener las funciones )(xgf y )(xfg , indicando sus Dominios

c) Calcular, si existe, el valor de la expresión )4()1( fggfA

d) Obtener, si existe, )( fDomx , tal que 0)( xf

e) Obtener la función )(2 xgf , indicando su Dominio.

5.- Determinar los máximos conjuntos A y IRB , de modo que las siguientes funciones

BAf : sean biyectivas y obtenga explícitamente para cada una, su función inversa

1f .

a) 13

2)(

x

xxf

b) 21)( 2 xxf

c) 76)( 2 xxxf

d) 132)( xxf

6.- Considere la función IRBf ,5: definida por 122)( xxf

y la función

9432

404)(

xx

xxxg

a) Determine el Máximo conjunto IRB de modo que f sea una función Biyectiva y

obtenga la función 1f .

b) Graficar la función g e indicar su recorrido.

c) Obtener la función )(xgf , indicando su Dominio.