Apunte de La Parabola

5/20/2018 Apunte de La Parabola

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UNIDAD VLA PARBOLA

OBJETIVO PARTICULAR

Al concluir la unidad, el alumno identificar y aplicar las propiedades relacionadas

con el lugar geomtrico llamado parbola, determinando los distintos parmetros, suecuacin respectiva y viceversa.

Se le llama parbola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y auna recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales.

5.1 ECUACIN EN FORMA ORDINARIA O CANNICA

5.1.1. ELEMENTOS DE LA PARBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ,PARAMETRO Y LADO RECTO. (FIG. 1):

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parbola cuentacon una serie de elementos o parmetros que son bsicos para su descripcin,mismos que se definen a continuacin:

VRTICE (V):Punto de la parbola que coincide con el eje focal.

EJE FOCAL (ef): Lnea recta que divide simtricamente a la parbolaen dos ramas y pasa por el vrtice.

FOCO (F):Punto fijo no perteneciente a la parbola y que se ubica en eleje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p delvrtice.

DIRECTRIZ (d): Lnea recta perpendicular al eje focal que se ubica auna distancia pdel vrtice y fuera de las ramas de la parbola.

DISTANCIA FOCAL (p):Magnitud de la distancia entre vrtice y foco,as como entre vrtice y directriz.

CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,pertenecientes a la parbola.

CUERDA FOCAL:Cuerda que pasa por el foco. LADO RECTO (LR):Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.


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rama de la parabola

rama de la parabola

p

p

FIG. 1

ef V F

d

4p = LR

D

(0,0)

(p,0)(-p,0)

FIG. 1A

P

(x,y)(-p,y)

F

V X

Y

Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguientegrfica de una parbola:

5.1.2. ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE EST EN ELORIGEN.

La ecuacin algebraica que describe a la parbola se encuentra expresada enfuncin de la posicin geomtrica de los elementos que la conforman, ascomo de la orientacin propia de la misma, resultando en una ecuacincaracterstica de cada caso particular.

A efecto de ejemplificar la forma de obtener la ecuacin mencionada, setrabaja con la parbola cuyo vrtice est en el origen, su eje focal coincidiendocon el eje de las Xy cuyas ramas se abren hacia la derecha.

Atendiendo a la definicin de la parbola, se sabe que la distancia entre unpunto p cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco f ser igual a ladistancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, segn se apreciaen la fig 1A.


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De lo anterior resulta:

__________

PFPD=

Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la frmula dedistancia entre dos puntos, resulta:

( ) ( )

2_____

22_____

)(

)(

pxPD

yypxPD

+=

+=

y

( ) ( )

22_____

22_____

)(

0

ypxPF

ypxPF

+=

+=

Sustituyendo en la expresin de distancias resulta:

( ) ( ) 222 ypxpx +=+

Elevando ambos miembros de la ecuacin al cuadrado y desarrollando, se

tiene:

22222

222

22

)()(

yppxxppxx

ypxpx

++=++

+=+

2222222 yppxxppxx =+++

Simplificando trminos semejantes y reordenando la expresin, se obtiene:

pxy 4

2=

(I)

La cual, es la ecuacin de la parbola en su forma ordinaria o cannica.

Anlogamente a la demostracin anterior, se puede obtener la ecuacin quedescribe una parbola cuyo vrtice no coincide con el origen del sistema deejes coordenados. (ver seccin 5.1.3)


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(0,0)

y

x

f

v

2p

2p

(-p,0) (p,0)

(-p,2p)

(-p,-2p)

LONGITUD DEL LADO RECTO

Procediendo de una manera similar a la empleada para la deduccin de laecuacin anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permitacalcular la longitud del lado recto:

Partiendo de la ecuacin:

pxy 42

=

Y sustituyendo xporpse obtiene:

)(42

ppy =

224py =

Extrayendo raz cuadrada en ambos miembros, resulta:

py 2=

Por lo que las coordenadas de los extremos del lado recto son (-p,2p) y(-p,-2p), como se observa en la siguiente grfica:

Si se calcula la distancia entre los extremos del lado recto, resulta:

( )ppLR 22

=

ppLR 22 +=

Por lo tanto

pLR 4=


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x + p = 0

(0,0)

(p,0)(-p,0)

FIG. 2

X

Y

F

V

FIG. 3

(-p,0) (p,0)

(0,0)

x - p = 0

F

V

Y

X

CASO ICuando la parbola se extiende en el sentido positivodel eje de las abscisasX (fig. 2)

ECUACIN DE LA PARABOLA pxy 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ px

CASO IICuando la parbola se extiende en el sentido negativodel eje de las abscisasX (fig. 3)

ECUACIN DE LA PARABOLA pxy 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0= px


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y + p = 0

(0,0)

(0,p)

(0,-p)

FIG. 4

X

Y

F

V

y - p = 0

(0,0)

(0,p)

(0,-p)

FIG. 5

Y

XV

F

CASO IIICuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de lasordenadas Y (fig. 4)

ECUACIN DE LA PARABOLA pyx 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ py

CASO IVCuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de lasordenadas Y (fig. 5)

ECUACIN DE LA PARABOLA pyx 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=py

Se observa que en los casos anteriores, solamente existe un termino alcuadrado, y ste indica cual de los ejes coordenados es perpendicular al ejefocal.Adems, el signo del termino a la primera potencia indica hacia donde se abrela grfica.


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(3,0)

x = -3

F

V

Y

X

EJEMPLO 1.5

Obtenga la ecuacin de la parbola cuyo foco tiene coordenadas (3,0) y pordirectriz la recta x = -3.

Con los datos anteriores se elabora la siguiente grfica:

Se puede observar que el vrtice esta en el origen, por lo tanto p = 3.

Si la coordenada del foco es (3,0) y el vrtice est en el origen, se trata deuna parbola que se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas,por lo tanto su ecuacin es:

pxy 42=

Sustituyendo los valores de los datos conocidos resulta:

xy

xy

12

)3(4

2

2

=

=

EJEMPLO 2.5

Una parbola pasa por el punto (6,-3), tiene su vrtice en el origen y su ejefocal coincide con el eje de las ordenadas. Obtenga su ecuacin as comola ecuacin de su directriz.

Puesto que la parbola es vertical y pasa por el punto (6,-3), se concluyeque se extiende en el sentido negativo de las ordenadas, por lo cual laecuacin buscada es del tipo: pyx 42 =


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(-p,0) (p,0)

(0,0)

2p

2p

(-p,-2p)

(-p,2p)d

Y

XVF

Si el punto (6,-3) pertenece a la grfica, entonces necesariamente satisfacea la ecuacin, por tanto, sustituyendo valores:

p

p

1236

)3(4)6(2

=

=

Despejando p:

312

36==p

Conocido el valor de la distancia focal p, se sustituye en la formacorrespondiente de la ecuacin, y resulta:

yx )3(42

=

yx 122

=

ECUACION DE LA DIRECTRIZ

El tipo de grafica corresponde con 0= py

Sustituyendo el valor de p, resulta:

03=y

EJEMPLO 3.5

Partiendo de la ecuacin de la parbola xy 82 = , obtenga las coordenadasdel vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longitud delmismo y adems la ecuacin de la directriz.


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De la grfica se observa que el vrtice tiene las coordenadas:

V(0,0)

Y adems de la grfica y del anlisis de la ecuacin, se obtiene el valorde la distancia focal:

S xy 82 = Y pxy 42 =

Entonces

24

8

84

=

=

=

p

p

p = 2

De acuerdo a lo anterior y segn el grfico de apoyo las coordenadas delfoco sern:

F (-2,0)

Ya que la directriz intersecta al eje de las abscisas en el punto (2,0), suecuacin ser:

x 2 = 0

Las coordenadas de los extremos del lado recto, al estar alineadas con elfoco tienen la misma abscisa y sus ordenadas se obtienen sumando yrestando a la ordenada del foco, el doble de la distancia focal p:

p = 2

Por lo que: 2p = 2(2) = 4

Ordenada del foco y = 0

Extremo superior: (-2,0+4)

(-2,4)Extremo inferior: (-2,0-4)

(-2,-4)

La longitud del lado recto es pLR 4=


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Por lo que entonces:

)2(4=LR

LR = 8 u

EJERCICIOS

5.1 Dada la ecuacin de la parbola yx 282 = obtenga las coordenadasdel vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longituddel mismo y la ecuacin de su directriz.

5.2 Encuentre la ecuacin de una parbola cuyo foco tiene coordenadas(4,0) y su directriz es x + 4 = 0.

5.3 Grafique la curva correspondiente a y = x2. Sealando adems lascoordenadas de sus elementos caractersticos.

5.4 La seccin transversal de un canal de excedentes en una presa es unaparbola con una profundidad de 3 mts. y de 6 mts de abertura.Encuentre la ecuacin que describe dicha parbola.

5.5 Determine las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y lascoordenadas del punto por donde la directriz corta al eje coordenado, enuna parbola cuya ecuacin es: 3y2= -4x

5.1.3 ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE NO COINCIDE CONEL ORIGEN.

Cuando el vrtice se localiza en cualquier punto, al que por convencin se leasignan las coordenadas (h,k), y ste es distinto al origen, la ecuacin quedescribe a la parbola cambia en funcin de la posicin de este punto yadems de la orientacin de la curva respecto de los ejes coordenados.


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(0,0)

(h+p,k)

FIG. 6

(h,k)

Y

F

XV

x - h + p = 0

d

x - h + p = 0

(0,0)

(h - p,k)

FIG. 7

(h,k)

Y

X

F

V

CASO I

Este lo consideraremos en el caso de que la parbola se extienda en el sentidopositivodel eje de las abscisas X (FIG. 6)

ECUACIN DE LA PARBOLA )(4)( 2 hxpky = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ phx

CASO IICuando la parbola se extiende en el sentido negativodel eje de las abscisasX (FIG. 7)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 hxpky = ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0= phx


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y - k + p = 0

(0,0)

(h,k+p)

FIG. 8

(h,k)

Y

X

V

F

y - k - p = 0

(0,0)

(h,k-p)

FIG. 9

(h,k)

Y

X

V

F

CASO III

Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de lasordenadas Y (FIG. 8)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 kyphx =

ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0=+ pky

CASO IV

Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de lasordenadas Y (FIG. 8)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 kyphx =

ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0= pky


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En todos los casos anteriores la longitud del lado recto se calcula empleando lafrmula descrita en la seccin anterior.

pLR 4=

EJEMPLO 4.5

Encontrar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (3,2) y foco en(5,2).

SOLUCION:

Analizando las coordenadas de vrtice y foco, se observa que su ordenada escomn, por lo que se concluye que estn alineados horizontalmente y que elfoco est a la izquierda del vrtice.Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuacin tiene la forma:

)(4)(2

hxpky =

Siendo las coordenadas del vrtice (h,k), se sustituyen en la ecuacin yresulta:

)3(4)2( 2 = xpy

En donde el parmetro p representa la distancia del vrtice al foco, y sta seobtiene por diferencia de las abscisas correspondientes:

p = 5 3

p = 2

Sustituyendo:

)3)(2(4)2(2

= xy

Resulta:

)3(8)2(2

= xy

Ecuacin escrita en la forma ordinaria


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EJEMPLO 5.5

Determine las coordenadas del vrtice, del foco, la longitud del lado recto y laecuacin de la directriz, en una parbola cuya ecuacin es:

(x+6)2= -24(y-2)

Solucin: la ecuacin corresponde a una parbola vertical cuyas ramas seabren en el sentido negativo de las ordenadas, cuya forma es:

(x-h)2= -4p(y-k)

De lo anterior se observa que:

- 4p = - 24

Por lo tanto, la longitud del lado recto es:

pLR 4=

LR = 24 u

De igual forma se observa que las coordenadas del vrtice corresponden conlos valores de h y k, tomando en cuenta los signos respectivos, se deduce queel vrtice es el punto de coordenadas:

V(-6,2)

S

4p = - 24,

Entonces la distancia focal p ser:

64

24

244

=

=

=

p

p

Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa comn a ambos puntos y

calculando la diferencia de la ordenada del vrtice y la distancia focal.

F(-6,2-6)

F(-6,-4)


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?

10.00 m

24.00 m

ALTO 18.00 m

Para determinar ecuacin de la directriz se sustituyen los datos conocidos py ken:

0= pky

062 =y

Resultando la ecuacin:

08=y

EJERCICIOS

5.6 Grafique la parbola cuya ecuacin es

+=

12

1x12-4)-(y

2 indicando las

coordenadas de los extremos del ancho focal, del foco y vrtice, as como la

longitud lado recto y la directriz.

5.7 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyo vrtice pertenece a la recta7x + 3y = 4, con eje focal horizontal y que pasa por los puntos (3,-5) y (1.5,1).

5.8 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el punto (2,3), con ejesimtrico vertical y que pasa por el punto (4,5).

5.9 Hallar la distancia que separa el centro de un tnel con forma de arcoparablico y altura mxima de 18 mts. con respecto del punto de sujecin deuna seal colocada a una altura de 10 mts. El tnel tiene una luz total de 24mts.

5.10 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyos extremos del lado recto son lospuntos (3,-5) y (19,-5). Considere que el vrtice corresponde a un puntomximo en la curva.


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(0,0)

(50,280)

FIG. 8

(50,80)

Y

X

F

V

5.11 Por inspeccin, encuentre la ecuacin, expresada en su forma general, para lasiguiente parbola, as como las coordenadas de los extremos del ancho focaly la ecuacin de su directriz.

5.2. ECUACIN DE LA PARBOLA EN FORMA GENERAL.

En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuacin de laparbola tiene las siguientes caractersticas:

Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal. El coeficiente de la variable lineal (4p) representa la proporcin del lado

recto con respecto de la distancia focal.Pero adems de lo anterior, desde el punto de vista de las estructurasalgebraicas, es una ecuacin de segundo grado, que puede expresarse en laforma general de este tipo.

5.3. OBTENCIN DE LA ECUACIN DE LA PARBOLA.

Para llegar a dicha expresin general, es necesario desarrollaralgebraicamente la forma cannica de la ecuacin.

Tomando como ejemplo la forma:

( ) ( )kyphx = 42

Desarrollando resulta:

0442

442

22

22

=++

=+

pkpyhhxx

pkpyhhxx


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Multiplicando la ecuacin por un coeficiente A con la intencin de generalizar,y considerando A 0

044222

=++ ApkApyAhAhxAx

Reordenando

( ) 0424

0424

22

22

=++

=++

pkhAAhxApyAx

ApkAhAhxApyAx

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

Sustituyendo los coeficientes D,Ey F en la ecuacin

02

=+++ FEyDxAx

Que es la ecuacin de una parbola horizontal en su forma general.

Anlogamente para una parbola de orientacin vertical, la ecuacin en su

forma general ser:

02

=+++ FEyDxCy

EJEMPLO 6.5

Una parbola tiene vrtice en el punto (- 4,2), y su directriz es y = 5, encuentresu ecuacin y exprsela en la forma general.

(SE DEJA AL ALUMNO QUE GRAFIQUE LA DIRECTRIZ Y LA POSICIONDEL VERTICE PARA ILUSTRAR LA SOLUCION)

Analizando las coordenadas del vrtice y la posicin de la directriz, se puedeconcluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posicinde la parbola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor mayor que laordenada del vrtice, por lo tanto las ramas de la parbola seextienden en el sentido negativo del eje de las Y.

( ) FApkh

EAh

DAp

=+

=

=

4

2

4

2


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c) Las coordenadas del vrtice no corresponden con las del origen.d) Dado lo anterior se trata entonces de una parbola cuya ecuacin

ordinaria es del tipo:

)(4)(2

kyphx =

De las coordenadas del vrtice se obtiene:

h = - 4

k = 2

Se obtiene ppor diferencia entre las ordenadas del vrtice y de la rectadirectriz, resultando:

p = 5 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuacin ordinaria, resulta:

)(4)(2

kyphx =

)2)(3(4))4((2

= yx

)2(12)4(2

=+ yx

2412)4(2

+=+ yx

Desarrollando el binomio al cuadrado

24121682

+=++ yxx

Simplificando e igualando a cero la ecuacin se tiene:

024121682

=+++ yxx

081282

=++ yxx Que es la ecuacin buscada.


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5.4.CLCULO DE LOS PARMETROS DE LA PARBOLA DADA SU ECUACIN.

EJEMPLO 7.5

Dada la ecuacin de la parbola 04682 =++ xyy , encuentre lascoordenadas del vrtice y del foco, as como la ecuacin de su directriz.

Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuacinanterior llevndola a la forma ordinaria.

Como primer paso se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado(Y) y la variable lineal (X) junto con el termino independiente

4682

=+ xyy

Con la intencin de factorizar se procede a la adicin (en ambos miembros dela ecuacin) de un trmino adecuado para que se complete el trinomio

cuadrado perfecto:

16461682

+=++ xyy

Simplificando:126168

2+=++ xyy

Factorizando resulta:

)2(6)4(2

+=+ xy

Que es la ecuacin ordinaria de una parbola con vrtice fuera del origen,horizontal y que se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas,segn lo visto anteriormente.

)(4)(2

hxpky =

Con lo cual se puede determinar que:

k = - 4

h = - 2

Por lo tanto el vrtice tiene las coordenadas V(-2,-4)

Adems:

S 4p = 6


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Entonces2

3

4

6==p

Considerando la orientacin ya sealada de la parbola y el valor de p, esposible determinar la posicin del foco, ya que ste estar alineado a laderecha del vrtice a una distancia p desde h, y con la misma ordenada k,

resultando:

),( kphf +

)4,2

32( +f

)4,2

1( f

La ecuacin de la directriz se obtiene de 0=+ phx ,

Resultando:

02

3)2( =

+x

02

3

2

4=++x

02

7=+x

EJERCICIOS:

5.12 Encuentre el vrtice, foco, la ecuacin de la directriz, as como la longituddel lado recto de las parbolas siguientes:

a) 242

+= xxy

b) 0454142

=+++ xyy

5.13 Determine la ecuacin de la parbola que tiene por vrtice al punto (-3,5),de eje paralelo al eje X y que pasa por el punto (5,9)

5.14 Encuentre la ecuacin de la parbola, en su forma general, que pasa porlos puntos (2,5), (- 2, - 3) y (1,6)


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5.15 El cable de suspensin de un puente colgante adquiere una catenariaparablica. Las columnas que lo soportan miden 60 m de altura y seencuentran espaciadas a 500 m quedando el punto mas bajo del cable a unaaltura de 10 m sobre la superficie del puente. Considere como eje X lasuperficie del puente y como eje Y la simetra del cable, para encontrar laaltura de un punto situado a 80 m del centro del puente.

5.16 Encuentre la ecuacin en forma general de la parbola con foco en (0,6) ycon directriz superpuesta al eje X

5.17 Encuentre la ecuacin en forma general de la parbola que tiene foco en( - 2, 3 ) y cuyos extremos del lado recto son ( - 2, 2) y (- 2, 4).

5.5. CONDICIONES PARA QUE UNA ECUACIN DEL TIPOAx+Cy+Dx+Ey+F = 0 CORRESPONDA A UNA PARBOLA.

La ecuacin general de segundo grado

022 =++++ FEyDxCyAx

corresponde a una parbola al cumplirse la siguiente condicin:

El coeficiente de una de las variables al cuadrado es cero y el otro esdistinto de cero, es decir que solamente existe una cantidad x o bienuna y, pero no de manera simultnea.

00 == CA

El estudio detallado de este tema se realizar en la unidad VIII correspondiente

con el ESTUDIO GENERAL DE LAS CONICAS.

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