Apunte Nro. 2 Problemas Complementarios Resueltos sobre Electrostática.pdf

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

Departamento de Ingeniera Elctrica

APUNTE N 2: PROBLEMAS

COMPLEMENTARIOS RESUELTOS SOBRE

ELECTROSTTICA

Asignatura: TEORA DE LOS CAMPOS

Docentes:

PROFESOR. ING. PABLO BERTINAT

AUXILIAR DOCENTE. ING. IGNACIO ARRAA

Versin / Fecha: 1.0 / Abril, 2013.

APUNTE N 2: PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS SOBRE

ELECTROSTTICA

TEORA DE LOS CAMPOS

1

INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCION ..................................................................................................................................... 2

PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................................................................ 3

PROBLEMA 1, LEY DE COULOMB ................................................................................................................ 3 PROBLEMA 2, INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO ....................................................................................... 4 PROBLEMA 3, INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO ....................................................................................... 5 PROBLEMA 4, LEY DE GAUSS...................................................................................................................... 6 PROBLEMA 5, CAPACITANCIA Y DIFERENCIA DE POTENCIAL......................................................................... 7 PROBLEMA 6, DIELCTRICOS ...................................................................................................................... 8 PROBLEMA 7, APLICACIN ....................................................................................................................... 10 PROBLEMA 8, DIFERENCIA DE POTENCIAL ................................................................................................ 13 PROBLEMA 9, APLICACIN ....................................................................................................................... 14

APENDICE ............................................................................................................................................ 16

TABLAS DE UNIDADES DEL SI ................................................................................................................... 16


ELECTROSTTICA

TEORA DE LOS CAMPOS

2

INTRODUCCION El siguiente material es una herramienta complementaria a las clases prcticas de la ctedra

Teora de los Campos. En el apunte se presenta la resolucin analtica de una serie de

problemas, las mismas estn acompaadas de observaciones fsicas, hiptesis de clculo y

grficas vectoriales.

Adems de una herramienta de ejercitacin, el apunte presenta una forma de resolucin posible;

un orientacin que pretende direccionar al alumno, hacia un estilo de trabajo ordenado en la

resolucin de los problemas.

La estructura del apunte contiene problemas del libro Teora y problemas de electromagnetismo por Joseph Edminister de la editorial McGraw-Hill Latinoamrica S.A. A pesar de que en el libro los problemas ya aparezcan resueltos, el presente apunte pretende

desarrollar an ms la parte fsico matemtica. De esta manera el alumno podr evacuar

completamente sus inquietudes y abordar an ms seguro los dems problemas resueltos del

libro. El hecho de incluir la resolucin de un problema es una tentativa a no hacer un esfuerzo

adicional en la interpretacin. Sera deseable que esto no ocurriese, y que a partir de las

resoluciones aqu mostradas, se analicen otros problemas sin resolver y se trabaje en la

comprensin de las problemticas que se aborden.

El manejo de vectores y sistemas coordenados es importante para el buen uso y la comprensin

de las leyes del electromagnetismo, selos.

Sern bienvenidos los errores o ideas de mejoras que sean observadas en el presente apunte.


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TEORA DE LOS CAMPOS

3

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1, Ley de Coulomb1

Dos cargas puntuales2 Q1= 50C y Q2= 10C estn localizadas respectivamente en los puntos

P1= (-1,1,-3) y P2= (3,1,0) de un sistema cartesiano cuya unidad est en metros. Halle la fuerza

sobre Q1.

1. Aplicando Ley de Coulomb:

(Lase, la fuerza que la carga 2 genera sobre la carga 1)

2. Definimos el vector distancia entre Q1 y Q2:

( ) ( ) ( )

Tambin el versor asociado:

| |

( ) ( )

3. Reemplazando en la Ley de Coulomb:

( )

( )

( )

La fuerza tiene la direccin de la recta que une ambas cargas y el sentido se corresponde con la

atraccin de las mismas si son de distinto signo o la repulsin si son de igual signo, como en el

problema en estudio. Por tercer Ley de Newton la fuerza de Q1 sobre Q2 es igual y opuesta a

, es decir .

Anlisis de unidades:

[ ]

( )

Anlisis grfico:

1 Problema extrado del libro Teora y problemas de electromagnetismo por Joseph Edminister de la editorial

McGraw-Hill Latinoamrica S.A. 2 En el sentido macroscpico una carga puntual es aqulla cuyas dimensiones espaciales son muy pequeas en

comparacin con cualquier otra longitud pertinente al problema en consideracin.


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4

Problema 2, Intensidad de campo elctrico3

Desarrolle una expresin para el campo en el punto P, debido a la accin de cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito con densidad de carga superficial .

1. Aplicando definicin de Intensidad de campo elctrico para un elemento de carga se tiene en P:

| |

2. Por observacin del grfico definimos las componentes del vector distancia en coordenadas

cilndricas:

( ) y consideramos arbitrariamente que para , (Ver grfico).

Luego el versor asociado ser:

| |

( ) ( )

3. Podemos expresar tambin

4. Finalmente reemplazamos en el diferencial de campo:

( )

5. Para considerar el efecto de todo el plano cargado sobre P, integramos:

( ) ( )

Hacemos dos consideraciones, la primera es que por simetra no tendr componente en , por

lo tanto anulamos esta componente en la integral, la segunda es reemplazar al ,4 entonces:

( )

( )

( )

|

( ) |

(

)

La integral fue resuelta con tabla de integrales, donde:


McGraw-Hill Latinoamrica S.A. 4 Si no comprende la igualdad puede repasarla en el apunte de la ctedra APUNTE N 1: ANLISIS

VECTORIAL.


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5

( )

( )( )

Observe que la expresin de sera slo vlida por encima del plano ( ), por debajo del mismo el versor asociado sera , por lo tanto para generalizar la expresin, se puede expresar de la siguiente manera:

La intensidad de campo elctrico es constante y normal al plano infinito en todos los puntos a su

alrededor.

Anlisis grfico:

Problema 3, Intensidad de campo elctrico5

En funcin del problema anterior considere dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada una

con densidad de carga superficial , ubicadas en las coordenadas y . Determine en todas las regiones.

1. Si ,

(

)

2. Si ,

(

)

3. Si ,

Anlisis grfico:


McGraw-Hill Latinoamrica S.A.


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6

Si repetimos el problema considerando para la placa y para la placa , tendremos:

1. Si ,

2. Si ,

3. Si ,

Un arreglo de dos placas conductoras con cargas opuestas recibe el nombre de Capacitor y slo

tendr campo entre sus lminas.

Anlisis grfico:

Recuerde el comportamiento de las lneas de campo en funcin del signo de la carga.

Problema 4, Ley de Gauss

6

Una carga lineal uniforme de yace a los largo del eje z, a su vez, concntricamente

existe un cilindro circular de radio 2m con

. Ambas distribuciones son

infinitas en el sentido de z. Use la ley de Gauss para encontrar en todas las regiones.

1. Para analizar la carga lineal sobre el eje z elegimos una superficie gausiana A (de longitud L

en z y radio ), y como ya ha sido demostrado en clase, definimos que:

para

De donde,

para

2. Para analizar la carga superficial sobre el cilindro concntrico elegimos una superficie

gausiana B (de longitud L en z y radio ) y aplicamos Gauss:

a lo largo de toda la superficie B.

Como es perpendicular al en la tapa superior e inferior de la superficie gausiana B la integral ser cero en ambos casos tomando valor solamente en la tapa lateral, es decir:

( ) ( ) ( )

Con respecto a la carga encerrada por B tendremos:




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7

Igualando:

( )

( )

( )

Reemplazando y generalizando para cualquier r tenemos:

( )

para

Se observa que en valores absolutos la carga lineal positiva es mayor que la superficial negativa,

o sea que algunas lneas de campo salientes de la lnea infinita terminarn en cargas negativas

del cilindro (apantallamiento) sin embargo las restantes saldrn para cerrarse en el infinito,

grficamente:

Problema 5, Capacitancia y diferencia de potencial7

Se dice que dos cuerpos conductores separados por un dielctrico tienen capacitancia entre

ellos. Si a ambos se les aplica una diferencia de potencial , se producir una carga sobre uno

y una sobre el otro, la capacitancia del sistema, se define como:

con las siguientes unidades [ ]

[ ]

[ ]

La capacidad es un parmetro que depende slo de la geometra del sistema y de las propiedades

del dielctrico, esto significa que por ejemplo si se duplica la diferencia de potencial la carga del

sistema se incrementar exactamente al doble, manteniendo constante.

En el siguiente caso halle la capacitancia de las placas paralelas de la figura despreciando el

efecto de bordes. Considere en la placa superior y en la inferior, uniformemente distribuidas, y suponga al vaco como dielctrico.

1.

2.




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8

Debemos obtener una expresin para el campo elctrico , para ello recuerde que:

como [ ] y la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de las

placas:

de donde

y como el medio es el vaco

, as:

3.

( )

4. Luego reemplazamos en 1. y tenemos:

de donde se verifica que la capacitancia depende slo de la geometra y el

dielctrico utilizado.

Anlisis grfico:

Problema 6, dielctricos

Un pasa muros consta de un tubo de porcelana de , dimetro interior 3 cm. y el exterior de 6 cm. Por su interior pasa una barra de cobre de 1 cm. de dimetro envuelta en una pasta

aislante de . La rigidez dielctrica de la porcelana y la pasta son 120 kV/cm y 20 kV/cm, respectivamente.

Determinar hasta que tensin podr emplearse el pasa muros considerando un coeficiente de

seguridad de 5.

1. Se ha demostrado en clase que:

De aqu,

2. Para reemplazar debemos obtener el valor de k:

+

+


ELECTROSTTICA

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9

3. Luego:

Para considerar el peor caso tomo la ms pequea, pues si la diferencia de potencial aplicada a la barra supera este valor se pinchar la pasta. Aplicando el coeficiente se seguridad

tenemos:

Anlisis grfico:

De acuerdo al resultado, si el fabricante del pasa muros hubiese dispuesto el dielctrico de

mayor en la parte exterior, la tensin mxima admisible hubiese sido:

O sea de un valor mayor que para el caso anterior.

Qu pasara si en el caso original se superasen los 13,95 kV?

En ese caso se perforara la pasta dejando un camino conductor, que trasladara el potencial de

la barra al radio interno de la porcelana. En este caso:

( )


ELECTROSTTICA

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10

Observe que en el problema se ha utilizado mucho la notacin recuerde que es lo mismo que decir .

Problema 7, aplicacin

Dos electrodos esfricos se hallan sumergidos en un medio lquido homogneo de

conductividad y por sus dimensiones, respecto a la distancia que las separa, esta puede considerarse infinita.

Los electrodos se encuentran conectados al exterior mediante dos cables aislados por los que

entra y sale la corriente al medio. Hallar la expresin de la energa disipada para un valor de

intensidad I.

1. La potencia elctrica que se transforma en calor al atravesar el medio es: Siendo R la resistencia del medio entre los electrodos.

2. La energa disipada ser:

3. Para hallar R, que es incgnita, utilizamos la relacin

, o bien,

, donde C es la

capacidad entra las esferas y, y , valores caractersticos del medio que las separa.

4. Calcularemos C.

4.1

4.2

Los campos de ambas cargas se considerarn originados por cargas puntuales ubicadas en sus

respectivos centros, sin embargo para calcular la diferencia de potencial entre A y B s se tendr

en cuenta que estos puntos coinciden con los radios de las mismas. A los fines didcticos, se

muestran tres formas de clculo para VAB.

4.2.a) Clculo de considerando la suma de los efectos de los dos campos en uno:

Donde

( )

(

( ) )

(

( ) ) ( )

(

( ) )

[

( )

]

[|

|

| ( )

|

]

[|

|

|

( )|

]

[

( )

( )]

[

]


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Como los radios son despreciables frente a la distancia d:

[

]

(

)

Anlisis grfico:

Esquema del problema

Anlisis vectorial para


4.2.b) Clculo de considerando la accin de los campos por separado:

( )

|

|

(

)

|

|

(

)

Luego:

(

)

(

)

(

)



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(

)

(

)

Anlisis grfico:




4.2.c) Forma de clculo escalar o no vectorial: Calcularemos el potencial VA y el VB para luego obtener VAB. El potencial originado por una

carga puntual tiene la siguiente expresin considerando como referencia de potencial nulo el infinito:

VA:

(

( ))

(

( ))

VB:

(

( )

)

(

( )

)

(

( ))

(

( )

)

(

( )

( )

)


(

)

(

)


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13

Anlisis grfico:


Anlisis escalar para

Anlisis escalar para

Finalmente reemplazamos lo obtenido en 4.1:

(

)

Con la relacin del punto 3,

Con la relacin del punto 1 y 2,

obtengo la expresin de la energa disipada

para un tiempo t y una corriente I.

Problema 8, diferencia de potencial8

Encuentre el potencial de A (1, ,z) [m] con respecto a B (3, ,z) [m] en coordenadas cilndricas, siendo el campo elctrico producido por una carga lineal sobre el eje z el dado por la

siguiente ecuacin ( )

[ ]

[ ].

1.

( ( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )




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14

Anlisis grfico:

Esquema Vista en planta

Problema 9, aplicacin

Cuando se usa un cable coaxil para transmitir energa elctrica el radio del conductor interior

est determinado por la corriente de carga que lo circula y su tamao total, por el voltaje y el

tipo de material aislante que se utiliza. Suponga que el radio interior del conductor es ri= 2mm.

y que el material aislante es poliestireno (r=2,6 y RD= 20.106 V/m).

Determinar el radio interior del conductor externo re, para que el cable funcione con una

especificacin de voltaje de 10 kV.

Para evitar la ruptura del poliestireno, debido a picos de tensin ocasionados por descargas

atmosfricas u otras situaciones anmalas, la intensidad de campo elctrico no debe exceder el

25% de la rigidez dielctrica del aislante.

De acuerdo a la figura expresamos la intensidad de campo de la siguiente manera:

observe que segn la conexin de la fuente de tensin el conductor central tendr

una densidad de carga negativa. El menos que indica eso puede acompaar a la densidad de

carga, como se ve en la ecuacin, o bien, al versor que indica que el campo ser entrante. No

cometa el error de poner dos veces ese signo.

Luego en la ecuacin anterior, sin considerar la parte vectorial, reemplazamos una de las

condiciones del problema:

Despejando:

Planteamos la diferencia de potencial del conductor central respecto al exterior:

( )

Luego despejamos:


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Igualando ambas densidades de carga:

Anlisis grfico:


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APENDICE

Tablas de Unidades del SI9

Derived

quantity Name Symbol

Expression in terms

of other SI units

Expression in terms

of SI base units

Unidades bsicas del SI

Length Meter m - -

Mass Kilogram kg - -

Time Second s - -

Electric current Ampere A - -

Thermodynamic

temperature Kelvin K -

-

Amount of

substance Mole mol -

-

Luminous

intensity Candela cd -

-

Unidades derivadas del SI

Plane angle Radian rad - mm-1

= 1 (b)

Solid angle Steradian sr (c)

- m2m

-2 = 1

(b)

Frequency Hertz Hz - s-1

Force Newton N - mkgs-2

Pressure, stress Pascal Pa N/m2 m

-1kgs

-2

Energy, work,

quantity of heat Joule J Nm m

2kgs

-2

Power, radiant

flux Watt W J/s m

2kgs

-3

Electric charge,

quantity of

electricity

Coulomb C - sA

Electric

potential

difference,

electromotive

force

Volt V W/A m2kgs

-3A

-1

Capacitance Farad F C/V m-2

kg-1

s4A

2

Electric

resistance Ohm V/A m

2kgs

-3A

-2

Electric

conductance Siemens S A/V m

-2kg

-1s

3A

2

Magnetic flux Weber Wb Vs m2kgs

-2A

-1

Magnetic flux

density Tesla T Wb/m

2 kgs

-2A

-1

Inductance Henry H Wb/A m2kgs

-2A

-2

9 Tabla obtenida del sitio http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html.

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