Apunte Señales y Sistemas

8/12/2019 Apunte Seales y Sistemas

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Universidad de ConcepcinFacultad de IngenieraDepto. de Ingeniera Elctrica

ApuntesSistemas Lineales Dinmicos - 543 214

x

F(t)

lo

M

m

a)

F

Mg

mg

Fy

Fy

Fx

Fx

x1

y1

x2

y2

M

m

13ava

edicin

Prof. Jos R. Espinoza C. Daniel G. Sbrbaro H.

Febrero 2013


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Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H.

Tabla de contenidos

PRLOGO................................................................................................................................................. IV

NOMENCLATURA ....................................................................................................................................... V

ABREVIACIONES ..................................................................................................................................... VIII

1 INTRODUCCIN.................................................................................................................................. 11.1 Proceso y Sistema ................................................................................................................... 11.2 Modelo .................................................................................................................................... 31.3 Clasificacin de Sistemas y Modelos ...................................................................................... 51.4 Principios Bsicos de Modelacin de Sistemas .................................................................... 101.5 Transformaciones de Similitud en Ecuaciones de Estado .................................................... 131.6 Linealizacin ......................................................................................................................... 141.7 Alcances del Curso 543 214 .................................................................................................. 171.8 Ejercicios Propuestos. .......................................................................................................... 18

2 SEALES EN SISTEMAS.................................................................................................................... 202.1 Introduccin .......................................................................................................................... 202.2 Seales de Prueba ................................................................................................................. 222.3 Transformaciones sobre Seales .......................................................................................... 252.4 Seales de Prueba Discretas ................................................................................................. 322.5 Convolucin continua y discreta ........................................................................................... 342.6 Ejercicios Propuestos. .......................................................................................................... 37

3 TRANSFORMACIONES....................................................................................................................... 423.1 Introduccin .......................................................................................................................... 42

3.2 Transformada de Laplace ..................................................................................................... 433.3 Transformada de Fourier ...................................................................................................... 493.4 Transformada de Fourier de Frecuencia Discreta ............................................................... 543.5 Transformada Z.................................................................................................................... 573.6 Transformada de Fourier de Tiempo Discreto ..................................................................... 613.7 Transformada de Fourier Discreta ....................................................................................... 633.8 Ejercicios Propuestos. .......................................................................................................... 66

4 CARACTERIZACIN MATEMTICA................................................................................................... 694.1 Introduccin .......................................................................................................................... 694.2 Solucin de Ecuaciones Diferenciales .................................................................................. 704.3 Solucin de Ecuaciones de Diferencias ................................................................................ 754.4 Solucin de Ecuaciones de Estados ...................................................................................... 784.5 Solucin de Ecuaciones de Diferencias de Estado ............................................................... 834.6 Ejercicios Propuestos. .......................................................................................................... 86

5 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA...................................................................................................... 895.1 Introduccin .......................................................................................................................... 895.2 En el Plano Continuo ............................................................................................................ 895.3 En el Plano Discreto ............................................................................................................. 935.4 Modelo en Espacio de Estados a partir de una F. de T. ....................................................... 96


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5.5 Sistemas de Primer y Segundo Orden ................................................................................. 1035.6 Sistemas Equivalentes Discretos - Continuos ..................................................................... 1055.7 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................ 109

6 ANLISIS EN FRECUENCIA............................................................................................................. 1126.1 Introduccin ........................................................................................................................ 1126.2 Diagrama de Bode .............................................................................................................. 1136.3 Diagrama de Bode Asinttico ............................................................................................. 1186.4 Sistemas con Retardo .......................................................................................................... 1206.5 Sistemas de Fase No-Mnima .............................................................................................. 1216.6 Diagrama de Bode de Sistemas Tiempo Discreto ............................................................... 1246.7 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................ 126

7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES........................................................................................... 1297.1 Introduccin ........................................................................................................................ 1297.2 Estabilidad de Sistemas Continuos en Ecuaciones de Estado ............................................ 1297.3 Estabilidad Entrada-Salida en Sistemas Tiempo Continuo ................................................ 1307.4 Estabilidad de Sistemas Discretos en Ecuaciones de Estado ............................................. 1377.5 Estabilidad Entrada-Salida en Sistemas Tiempo Discreto ................................................. 1397.6 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................ 141

A ANEXO:MODELACIN DE SISTEMAS............................................................................................. 144A.1 Modelo y Simulacin ........................................................................................................... 144A.2 Analogas de Sistemas ......................................................................................................... 158A.3 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................ 159

BIBLIOGRAFA......................................................................................................................................... 163

NDICE ALFABTICO................................................................................................................................ 164


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Prlogo.

El curso "Sistemas Lineales Dinmicos" es obligatorio para alumnos de pre-grado de las carreras deIngeniera Civil Elctrica y Electrnica de la Universidad de Concepcin. Este ramo es la base para elanlisis desde una perspectiva matemtica de los sistemas encontrados en las variadas disciplinas de la

ingeniera; en particular, en la Ingeniera Elctrica y Electrnica. Especficamente, en esta asignatura seentregan herramientas para el estudiode sistemas lineales continuosy discretostipo SISOy MIMO.

Los tpicos revisados en este texto permiten abordar sistemas que se caracterizan por tener estructuraslineales y que normalmente corresponden a una simplificacin de la realidad. Se asume que se conoceo se puede obtener el modelo de stos en forma fenomenolgica y/o emprica. En particular, se tratantemas de seales, transformaciones, discretizacin, Funcin de Transferencia, Diagrama de Bode yestabilidad.

El lector debe tener dominio de los temas entregados en los cursos de Modelacin de Sistemas yEcuaciones Diferenciales para avanzar fluidamente en los tpicos de este documento. Adems, unholgado manejo de programas de simulacin es definitivamente necesario para seguir los ejemplos. Serecomienda, MatLab TM, MathCad TMy PSimTM; sin embargo, la programacin en otros lenguajes dealto nivel (por ejemplo, C) es tambin altamente recomendada.

El documento fue digitado enteramente en Word for Windows de MicroSoftTM y los ejemplos yejercicios fueron desarrollados en MatLab TM, MathCad TM, y/o PSimTM.

Dr. Daniel G. Sbrbaro H.

Profesor TitularDepto. de Ingeniera Elctrica, of. 240

Facultad de IngenieraUniversidad de Concepcin

Casilla 160-C, Correo 3Concepcin, CHILE

Tel: +56 41 2204981Fax: +56 41 2246999

[email protected]://www.udec.cl/~dsbarbar/

Dr. Jos R. Espinoza C.

Profesor TitularDepto. de Ingeniera Elctrica, of. 220Facultad de IngenieraUniversidad de ConcepcinCasilla 160-C, Correo 3Concepcin, CHILE

Tel: +56 41 2203512Fax: +56 41 2246999

[email protected]://www.udec.cl/jose.espinoza/


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Nomenclatura

Matrices

A : matriz de parmetros de dimensin nn.B : matriz de parmetros de dimensin np.

C : matriz de parmetros de dimensin qn.D : matriz de parmetros de dimensin qp.E : matriz de parmetros de dimensin nm.F : matriz de parmetros de dimensin qm.T : matriz de transformacin de dimensin de nn.AT : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin nn. AT= TAT

-1BT : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin np. BT= TBCT : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin qn. CT= CT

-1DT : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin qp. DT= DET : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin nm. ET= TEFT : matriz de parmetros transformada mediante Tde dimensin qm. FT= F

Tabc-0 : matriz de transformacin de ejes abca 0, dimensin 33.T0-abc : matriz de transformacin de ejes 0 a abc, dimensin 33.T0-dq0 : matriz de transformacin de ejes 0 a dq0, dimensin 33.Tdq0-0 : matriz de transformacin de ejes dq0 a 0, dimensin 33.Tabc-dq0 : matriz de transformacin de ejes abca dq0, dimensin 33.Tdq0-abc : matriz de transformacin de ejes dq0 a abc, dimensin 33.H(s) : matriz de transferencia. H(s) = C(sI- A)-1B+ D.

)( sH : matriz de transferencia inversa. )( sH = H-1(s).H(s)H : matriz conjugada transpuesta de H(s). H(s)H= (H(s)*)T.

: matriz de controlabilidad.: matriz de observabilidad.

L(s) : matriz de transferencia en L.D.(t) : matriz de transicin.Adj {P} : matriz adjunta de la matriz P.di ag{x1,} : matriz diagonal compuesta por los valoresx1,x2, .e{X} : matriz parte real de la matriz X.m{X} : matriz parte imaginaria de la matriz X.X

: matriz compuesta por elementos jix ,

que son fasores.

Vectores

x : vector de nvariables de estados, x= [x1x2xn]T

u : vector depvariables de entrada, u= [u1u2 up]Ty : vector de qvariables de salida, y= [y1y2yq]

Tp : vector de mperturbaciones, p= [p1p2pm]

Tx : vector de nvariables de estados, x = [ 1x 2x nx ]

T(estimacin de x).y : vector de qvariables de estados, y = [ 1y 2y qy ]

T(estimacin de y).

x~ : vector de nvariables de estados, x~ = [ 1~x 2~x nx~ ]T (error de estimacin de x~ = x-

x ).x

abc : vector de tres variables de estados, xabc= [xaxbxc]T(ejes estacionarios abc).


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x0 : vector de tres variables de estados, x0= [xxx0]T(ejes estacionarios 0).

xdq0 : vector de tres variables de estados, xdq0= [xdxqx0]T(ejes rotatorios dq0).

x0 : condicin inicial del vector de estados, x0= [x10x20xn0]T

xo : vector de estados en el punto de operacin, xo= [x1ox2oxno]T

uo : vector de entradas en el punto de operacin, uo= [u1ou2o upo]T

yo : vector de salidas en el punto de operacin, yo= [y1oy2oyqo]T

yd : vector deseado (referencia) de qvariables de salida, yd= [y1dy2dyqd]

T

po : vector de perturbaciones en el punto de operacin, po= [p1op2opqo]T

x : variacin del vector de estadosxen torno a xo, x= [x1x2 xn]T

u : variacin del vector de entradasuen torno a uo, u= [u1u2 up]T

y : variacin del vector de salidasyen torno a yo, y= [y1y2 yq]T

p : variacin del vector de perturbaciones pen torno a po, p= [p1p2 pm]T

x(s) : Laplace de x, x(s) = [x1(s)x2(s) xn(s)]T

u(s) : Laplace de u, u(s) = [u1(s)u2(s) up(s)]T

y(s) : Laplace de y, y(s) = [y1(s)y2(s) yp(s)]T

p(s) : Laplace de p, p(s) = [p1(s)p2(s) pm(s)]T

vk : k-simo vector propio de A.

wk : k-simo vector propio de AT

.vk* : conjugado del k-simo vector propio de A.

xec : vector de estados para entrada cero.xci : vector de estados para c.i. nulas.yec : vector de salidas para entrada cero.yci : vector de salidas para c.i. nulas.ck : k-sima fila de la matriz C.bk : k-sima columna de la matriz B.V(x) : gradiente de la funcinV(x). V(x) = V(x)/x.x

: vector de fasores, x

= [ 1x

2x

nx

]T.

Escalaresxk : k-sima variable de estado.dxk/dt = kx : derivada de la k-sima variable de estado.ak : k-simo coeficiente del polinomio caracterstico de A.k : k-simo valor propio de A.k

* : conjugado del k-simo valor propio de A.ij : ganancia relativa entre la entrada i-sima y la salidaj-sima.l(s) : funcin de transferencia en L.D.dij : elemento ijde la matriz D.hij(s) : elemento ijde la matriz H(s).

)( shij : elemento ijde la matriz )( sH = H-1

(s).r ango{P(s)} : rango de la matriz P(s).det {P(s)} : determinante de la matriz P(s).ar g{x} : ngulo del nmero complejox.t r {P(s)} : traza de la matriz P(s).maxij{wij}l : mximo elemento de la matriz Wl.max{} : mximo valor.mi n{} : mnimo valor.l og{} : logaritmo en base 10.


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u(t) : entrada escaln.r(t) : entrada rampa.|| e|| : norma del elemento e.l(A) : l-simo valor singular de A. (A) : mximo valor singular de A. (A) : mnimo valor singular de A.

(A) : radio espectral de A.(A) : nmero de condicin de A.V(x) : funcin de Lyapunov. : vecindad en el espacio de estados de x.G : conjunto invariante.R : conjunto invariante subconjunto de G.ess : vector de error en estado estacionario. : banda de asentamiento.ts : tiempo de asentamiento.V : valor medio (RMS) de la seal continua (alterna) v(t).f(t) : funcin en el tiempo continuo.

f(k) : funcin en el tiempo discreto (tambin escritaf(kT), con Tel tiempo de muestreo).f(s) : funcin en el plano de Laplace.f() : funcin en frecuencia continua de tiempo continuo.f() : funcin en frecuencia continua de tiempo discreta.f(n) : funcin en frecuencia discreta de tiempo continuo.f(m) : funcin en frecuencia discreta de tiempo discreta.x

: fasor.


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Abreviaciones.

Maysculas

L.A. : lazo abierto.L.C. : lazo cerrado.

L.D. : lazo directo.L.I.T. : lineal invariante en el tiempo.S.P.I. : semi-plano izquierdo.S.P.D. : semi-plano derecho.F. de T. : funcin de transferencia.F.D. : funcin descriptora.M. de T. : matriz de transferencia.B.W. : ancho de banda.E.S. : entrada/salida.S.S. : estado estacionario.SISO : sistema de una entrada y una salida (single input single output).

MIMO : sistema de varias entradas y varias salidas (multiple inputs multiple outputs).L.G.R. : lugar geomtrico de las races.P.I.D. : controlador proporcional integral derivativo.S.P. : sobrepaso.M.G. : margen de ganancia.M.F. : margen de fase.FCD : forma cannica diagonal.FCC : forma cannica controlable.FCO : forma cannica observable.FCJ : forma cannica de Jordan.T.L. : Transformada de Laplace.

T.F. : Transformada de Fourier.T.F.F.D. : Transformada de Fourier de Frecuencia Discreta.T.Z. : Transformada Z.T.F.T.D. : Transformada de Fourier de Tiempo Discreta.T.F.D. : Transformada de Fourier Discreta.D. de B. : Diagrama de Bode

Minsculas

c.i. : condiciones iniciales.l.i. : linealmente independiente.l.d. : linealmente dependiente.

c.c. : corriente continua (en ingls es d.c.).c.a. : corriente alterna (en ingls es a.c.).a.c.a. : abscisa de convergencia absoluta.


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1 Introduccin

En este captulo se introducen formalmente los conceptos de proceso, sistema ymodelo, como tambin la relacin entre ellos. Especial importancia se da a la

identificacinde

las

cantidades

asociadas

a

un

sistema

ya

la

clasificacin

de

stas

en

variables de estado, entradas, salidas, perturbaciones y parmetros. Adems, seproponen varias clasificaciones de sistemas de acuerdo a sus principalescaractersticas. Los tpicos son ilustrados con ejemplos extrados de las variadasdisciplinasdelaingeniera.

1.1 Proceso y Sistema

Def.: Por proceso se entender una realidad fsica cualquiera que conlleva, en algn intervalo detiempo, un cambio de estado que exhiben sus componentes esenciales.

El anlisis de procesos tiene por finalidad conocer el comportamiento que exhibe un cierto aspectoasociado a un proceso. Este aspecto y el estudio a realizar quedan determinados por los objetivos deanlisis que se hayan establecidos.

Def.: Un sistema es una abstraccin de una realidad fsica de acuerdo a los objetivos de estudioplanteados.

De este modo, a un mismo proceso pueden asociarse variados sistemas. La asociacin depende decules sean los objetivos de anlisis considerados.

Ejemplo 1.1. Considere el sistema de generacin hidroelctrico que se muestra en la Fig. 1.1. Los posibles objetivos deestudio asociado a este proceso podran ser:

Prdidas de fluido en las caeras. Rendimiento del generador. Aumento de la temperatura del agua. Generacin de tensin constante.Como era de esperar, dependiendo de la perspectiva, los objetivos pueden ser muy distintos.

Es as entonces, que cada objetivo har necesario extraer un aspecto restringido de la realidad fsicaconcreta, tendiente a focalizar y por tanto simplificar el anlisis a realizar.

A . Cant idades en s is temas

Los sistemas se caracterizan de acuerdo a cmo estn constituidos y como interactan con el medio,para ello se definen los siguientes conceptos:


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Def.:Las variables de entrada son aquellas mediante las cuales se acta desde el exterior sobre elproceso y a total voluntad. stas permiten determinar las principales caractersticas decomportamiento del proceso.

Def.: Las variables de salida constituyen el medio que permite efectuar el anlisis del proceso,

mediante la evaluacin directa de los objetivos de estudio.

Def.: Las perturbaciones son variables que tambin actan desde el exterior pero que no sonmanejables a voluntad y cuyo efecto sobre el proceso siempre es conocido. Introducen unacomponente de incertidumbre en el estudio.

Def.: Las variables de estadoson aquellas variables que definen totalmente la condicin del sistema,desde el punto de vista de los objetivos de estudio, en cuanto a la informacin contenida en ste ya su evolucin frente a una accin del medio.

Def.: Los parmetros son cantidades que fijan ciertas caractersticas del proceso, estableciendo unmarco al cual estar condicionado su comportamiento; se consideran fijos cuando el resto estsujeto a variaciones.

Ejemplo 1.2. Considere el sistema de generacin hidroelctrico de la Fig. 1.1. Para este caso se puede identificar lassiguientes cantidades:

u: Porcentaje de apertura de la vlvula de escape.fe: Flujo de alimentacin del estanque.fs1: Flujo de vaciado no alterable.

fs2: Flujo de vaciado manipulable. h1: Altura de la columna de agua del estanque.

u

e

s1

s2

h1

h2

v, P

sol

21

cel

vc

v1

v2vout

Fig. 1.1Sistema de generacin hidroelctrica. Fig. 1.2Sistema de generacin solar.


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v: Voltaje en los terminales del generador. : Velocidad de giro del generador. P: Potencia consumida por la red. h2: Altura del canal de alimentacin. ...

Ejemplo 1.3. Considere el sistema de posicionamiento de un generador solar presentado en la Fig. 1.2.Los objetivos de estudio que se pueden plantear son:

voutv/s ngulo del sol. Regulacin de tensin. Generacin de tensin mxima. Generacin de tensin constante. ...Adems, podemos identificar las siguientes cantidades:

1: ngulo del sensor 1. 2: ngulo del sensor 2. sol: ngulo del sol. cel: ngulo de la celda mayor. v1: Voltaje del sensor 1.

v2: Voltaje del sensor 2. vout: Voltaje de celda mayor. vc: Voltaje de alimentacin del motor posicionador. ...

1.2 Modelo

Un modelo es una representacin de un sistema. Cabe destacar que para efectuar un anlisis de unproceso es necesario conocerlo. En general, se desea llegar a conocer factores (internos y externos) quecondicionan el comportamiento del mismo, tales como interrelaciones entre variables, el efecto de las

perturbaciones, rangos de estabilidad, el efecto de la variacin de parmetros, etc. El mayorconocimiento del proceso se obtiene mediante la experimentacin, la cual generalmente no se puededesarrollar con profundidad en plantas industriales, debido a esta situacin se debe recurrir a mediosalternativos tales como la simulacin de los experimentos en modelos del proceso completo o enmodelos parciales de los fenmenos de inters.Dentro de los factores que normalmente limitan la experimentacin en plantas industriales se puedencitar los siguientes:

Factibilidad tecnolgica, que dice relacin con los medios disponibles para realizar los experimentos:instrumentacin, posibilidad de acceso a todos los puntos de variables que requiera medir, precisin

Proceso

Objetivo 1

Objetivo 2

Objetivo n

Sistema 1

Sistema 2

Sistema n

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Fig. 1.3Relacin entre proceso-objetivo-sistema-modelo.


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exigida, etc.Costos asociados a la experimentacin tanto en recursos humanos, uso de equipos, materiales,alteraciones del proceso o su operacin, tiempo de experimentacin, etc.Tiempo de experimentacin que permite obtener informacin til a los propsitos del estudio enparticular, adecuado para detectar variaciones en el medio.Caractersticas de los mediosy herramientas existentes para la experimentacin.

La importancia de los modelos reside, principalmente, en que proporcionan un medio ms simple paraconocer el comportamiento del proceso. Es decir, son sustitutos del proceso para el anlisis, en relacintanto a los efectos que el medio ejerza sobre ste, como tambin de aquellos derivados de lasmodificaciones de sus caractersticas internas. En otras palabras, el modelo es una herramienta usadapara el anlisis de procesos, a travs del anlisis de sistemas. En la Fig. 1.3 se presenta la relacin entreproceso y modelos.Dependiendo de la naturaleza de los modelos se pueden clasificar en:

Conceptualesdescribe al sistema en forma global, permiten la transferencia de ideas o conceptos enforma clara y precisa, generalmente los modelos conceptuales toman la forma de diagramas.Matemticoslos cuales a su vez se podran clasificar en: Analticoslos cuales representan un conjuntode ecuaciones asociadas a la descripcin de un sistema, y Numricosque representan un conjunto dealgoritmos que no tiene necesariamente un equivalente analtico.Lingsticosque son un conjunto de reglas que describen a un sistema.

Ejemplo 1.4. En la Fig. 1.4 se muestra un sistema compuesto por una fuente, un interruptor y una lmpara conformando uncircuito elctrico Fig. 1.4(a), tambin se muestra el modelo conceptual Fig. 1.4(b), el modelo matemtico Fig. 1.4(c), y elmodelo lingstico Fig. 1.4(d) asociado a este sistema.

Existen consideraciones generales en la prctica que deben tenerse en cuenta al modelar un sistema:

Complejidad versus representabilidad. La complejidad del modelo muchas veces est asociada a losobjetivos de estudio, y conlleva al uso de herramientas sofisticadas de anlisis. Es por eso, que essiempre deseable tener modelos lo ms simple posible, pero que representen el fenmeno que se quiereestudiar. Lamentablemente, muchos fenmenos que se presentan en los procesos industriales son

220 V

Sw 12

interruptor +v

-i

a) circuito elctrico

LmparaFuentealterna

b) modelo conceptual

Sw= 1 => v =RiSw= 2 => i = 0

c)modelo matemtico

SiSw est en 1 entonces la lmpara se enciendeSiSwest en 2 entoncesla lmpara se apaga

d)modelo lingstico

Fig. 1.4Circuito elctrico y los diferentes modelos asociados.


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complejos, y as ser necesario tener un modelo que sea un balance entre complejidad yrepresentabilidad.Simplificaciones. Para reducir la complejidad de los modelos se puede recurrir a simplificaciones talescomo: Reduccin de orden: en este caso se eliminan algunos parmetros o ecuaciones que tienen poca

influencia en la variable que se esta modelando.

Concentracin de parmetros: en sistemas con parmetros distribuidos se puede resumir(concentrar) los efectos en tan solo un punto. Linealizacin: se considera el sistema operando en un rango pequeo de variaciones, donde una

aproximacin en serie de primer orden da una muy buena aproximacin. Cabe destacar que estasimplificacin sustenta gran parte de este curso.

Rango de validezEl rango de validez determina la zona donde el modelo es vlido; es decir, dondeconcuerda con el comportamiento del proceso. Dentro de los factores que podemos citar y que afectanel rango de validez estn las suposiciones simplificatorias.

Ejemplo 1.5. En la Fig. 1.5 se muestra el diagrama de bloques asociado al sistema de generacin hidroelctrica delEjemplo 1.2. En este caso no se conoce cmo est relacionada la salida y entrada de cada bloque. Se espera que las leyes

fsicas nos permitan obtener tales expresiones. Esta alternativa es conocida como modelacin fenomenolgica. Por ltimo,se puede utilizar la experimentacin para obtener el modelo de aquellos sistemas en donde no es posible escribir ecuacionesfsicas, metodologa conocida como modelacin emprica. Este es el caso de la presin arterial y/o el ritmo cardiaco delcuerpo humano en funcin de variables de entrada como puede ser la aplicacin de algn medicamento.

1.3 Clasificacin de Sistemas y Modelos

Los sistemas as como los modelos se pueden clasificar de acuerdo a las caractersticas de loselementos que los componen.

A . Lineal y no-lineal

Los sistemas y modelos lineales cumplen con el principio de superposicin y homogeneidad. Es decir,siy1(t) ey2(t) son las respuestas del sistemaHa las entradas u1(t) y u2(t), respectivamente; entonces, elsistema ser lineal si y slo si se cumplen las siguientes igualdades:

1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) ( )H u t u t y t y t y 1 1( ( )) ( )H u t y t ,

donde, y1(t) = H(u1(t)),y2(t) =H(u2(t)) y es un nmero real. Estas representaciones pueden tomar laforma de expresiones algebraicas, ecuaciones de diferencias, ecuaciones diferenciales ordinarias oecuaciones diferenciales parciales.

Ejemplo 1.6. Considere el circuito elctrico de la Fig. 1.6(a), el modelo obtenido considerando las cantidades R y L

constantes (parmetros) es,

( )d d

e Ri Li Ri L idt dt

,

el cual corresponde a un modelo lineal; sin embargo, si se considera el efecto de la corriente sobre la inductanciaL=L(i), elmodelo obtenido es,

( )d di dL

e Ri Li Ri L idt dt dt

,


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resultando un modelo no-lineal. Este es el caso de inductores que operan con corrientes muy elevadas y que no han sidodiseados para operar a tales niveles, este fenmeno es conocido como saturacin.

B . Continuos y discretos

Hay procesos cuyas variables son discretas por naturaleza como por ejemplo el valor de la U.F. la cual

tiene un valor cada da (variable discreta en el tiempo), a diferencia por ejemplo de una planta papeleradonde se puede saber a cada instante la cantidad de papel producida (variable continua en el tiempo).En este curso se utilizarn los trminos continuos y discretos para referirse a la calidad de la variableindependiente que es el tiempo. As en un sistema de evolucin continua las variables de intersasumen algn valor en cada instante, mientras que en sistemas discretos los valores de las variables,cambian tan slo en ciertos instantes.

Ejemplo 1.7. Para un depsito P(0) se tiene que al cabo de un mes la cantidad es P(T) = (1 +I)P(0), dondeIes el intersmensual y Tes un mes. As, la cantidad de dinero al cabo de un mes arbitrario kTdenotada por P(kT+ T) esta dada por P(kT+ T) = (1 +I)P(kT) o equivalentemente,

P(kT+ T) - (1 +I)P(kT) = 0.

Esta expresin corresponde al modelo del proceso y es claramente discreto, pues slo hay valores para los instantes kT, queen este caso corresponden a meses. Se sabe que la solucin de esta ecuacin es P(kT) = (1 + I)kP(0). En este curso serevisarn tcnicas matemticas para resolver ecuaciones como las anteriores.

Ejemplo 1.8. Hay un par inicial (macho y hembra) de conejos, Fig. 1.7. Suponer que los conejos nunca mueren y que cadahembra gesta una pareja cada mes a partir del segundo mes de nacida. Cuntos pares de conejos hay en un mes arbitrariok?. R.:Al escribir la cantidad para los meses iniciales se puede determinar que si y(kT) es los pares de conejos que hay enun mes arbitrario k, con T= 1 mes; entonces,y(kT) =y(kT-T) +y(kT-2T) o equivalentemente,

y(kT+ 2T) -y(kT+T) -y(kT) = 0,

v

P

fs1

e

u

h2

generadorestanque

canal

h1

Fig. 1.5Modelo de la mini-central de la Fig. 1.1.

+

-

R

e(t)

i(t)

L +

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

vc(t) R

a)circuito RL b)circuito RLC

Fig. 1.6Clasificacin de modelos; a)lineales y no-lineales, b)dinmicos y estticos.


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cony(0) =y(T) = 1. La expresin analtica paray(kT) se determinar con las herramientas a estudiar en este curso.

Las ecuaciones discretas no son dominio exclusivo de los sistemas financieros o de poblacin. Por elcontrario, cualesquier realidad fsica abordada mediante un sistema digital queda mejor representadapor ecuaciones discretas; en particular y en ingeniera, los sistemas elctricos y electrnicos que sonoperados mediante computadoras (microprocesadores en general).

C . Estticos y Dinmicos

Esta clasificacin es consecuencia de los objetivos de anlisis que se hayan planteado. As por ejemplo,si el objetivo de anlisis es conocer los valores que toman las diferentes variables de un proceso cuandolas entradas son fijas, el modelo deber ser esttico, por cuanto no interesa el comportamiento temporalde las variables. Sin embargo, si el objetivo de anlisis es conocer lo que sucede a las variables delproceso luego de provocarse un cambio en las condiciones de operacin (entradas y/o perturbaciones),se deber considerar un modelo dinmico.Un proceso est normalmente en evolucin, por lo tanto, no puede hablarse de un proceso esttico, peros puede decirse respecto de su modelo. El anlisis mediante modelos estticos es realmente til en laprctica, puesto que resulta conveniente para simplificar el anlisis y el empleo de tcnicas de solucin

de modelos.Los modelos estticos generalmente se representan mediante ecuaciones algebraicas lineales y/o nolineales, y en derivadas parciales (respecto a la ubicacin espacial). Por otro lado, los modelosdinmicos son representados matemticamente mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (respectodel tiempo) o parciales (respecto del tiempo y ubicacin espacial).

Ejemplo 1.9. En la Fig. 1.6(b) se muestra un circuito elctrico RLC. El modelo dinmico de este circuito esta dado por:

c

die L v

dt c c

dv vi C

dt R ,

y el modelo esttico asociado ser tan slo

ce v cv

iR

.

Es posible notar que la diferencia entre el modelo dinmico y el esttico es que en este ltimo no se consideran variacionesen las variables. Ntese que se obtiene haciendo las derivadas nulas o bien abriendo los capacitores y cortocircuitandolos inductores del circuito.

Fig. 1.7Clasificacin de modelos. Sistema discreto: poblacin de pares de conejos, Ejemplo 1.8.


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D . Causales y no-causales

Un sistema causal es aquel cuya salida es una consecuencia del valor actual y pasado de la seal deentrada. Los sistemas no causales generalmente surgen de algoritmos matemticos y sonrepresentaciones abstractas, el ejemplo ms simple es el filtro promediador revisado a continuacin.

Ejemplo 1.10. Considere el conjunto de puntos que se muestran en la Fig. 1.8(a). Si se quisiera promediar tres datosadyacentes se tendra entre otras las siguientes opciones:

1

( ) ( 1) ( 2)( )

3medy k y k y k

y k

,

2

( 1) ( ) ( 1)( )

3medy k y k y k

y k

.

La primera representa un sistema causal, Fig. 1.8(b), en cambio, el segundo filtro, Fig. 1.8(c), es no causal puesto que laseal de salida depende de los valores futuros de la seal de entrada. Esto impide su implementacin en tiempo-real; sinembargo, no es difcil aceptar que el caso no-causal no introduce retardo entre la seal de salida y la seal de entrada. Esta

es una caracterstica muy deseada en sistemas de filtrado.


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E . Tiempo invariantes y variantes

Todo proceso real, con mayor o menor rapidez, sufre modificaciones en sus caractersticas, enparticular en sus parmetros. Sin embargo, si estos cambios son suficientemente lentos respecto a lascaractersticas que se desea estudiar mediante el anlisis, los parmetros pueden ser consideradosconstantes con el fin de obtener un modelo de este proceso. Estos modelos, cuyos parmetros no sondependientes del tiempo son llamados invariantes en el tiempo. Si por el contrario, el modelo

desarrollado considera en forma explcita la dependencia temporal de los parmetros, se les llamavariantes en el tiempo.

Ejemplo 1.11. En un estudio del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza, la masa de ste puede ser consideradaun parmetro. Si el cuerpo es, por ejemplo, el trasbordador espacial, Fig. 1.9(a), su masa estar variando constantemente acausa del combustible consumido; por este hecho, es un sistema cuyo modelo deber considerar la variacin de la masa enforma explcita en funcin del tiempo.

F . Parmetros concentrados y distribuidos

Un modelo de parmetros concentrados considera que las propiedades en un proceso asumen valoresque son independientes de su ubicacin espacial, ya sea porque se considera homognea o porque sedefine una caracterstica representativa de ella. Por el contrario, un modelo distribuido pone enevidencia explcita la dependencia espacial de estas propiedades. Los primeros se rigen, ya sea porecuaciones algebraicas o diferenciales ordinarias; los segundos por ecuaciones diferenciales parciales.La solucin de modelos de parmetros concentrados es bastante ms simple que aquellas usadas en lasolucin de modelos de parmetros distribuidos. En algunos casos, la solucin de stos se logra luegode resolver un conjunto de aproximaciones a modelos de parmetros concentrados.

Ejemplo 1.12. Considere un intercambiador de calor como se muestra en la Fig. 1.9(b). En este caso la ecuacin quedescribe el comportamiento del sistema en funcin de la longitud del intercambiador esta dada por la siguiente ecuacindiferencial en derivadas parciales,

( )p p stT T

c A c vA DU T T t z

,

donde ves la velocidad media del fluido, Ues el coeficiente de transferencia entre el vapor y el lquido en el tubo, Tstes latemperatura del vapor saturado,Ddimetro interno del intercambiador,Aes el rea transversal del intercambiador, cpcalor

a)transbordador espacial

z

z

Vapor

Vapor

Vapor

Vapor

LquidoLquidoT2T1

b)intercambiador de calor

Fig. 1.9Clasificacin de modelos; a)tiempo variante e invariante, b)parmetros concentrados y distribuidos.


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especfico del lquido y su densidad. En el caso de parmetros concentrados est descrita por la siguiente ecuacindiferencial:

21 2 1( ) ( )p st p

dTc A DU T T c vA T T

dt ,

donde se considera que la temperatura de salida T2es la misma temperatura dentro del reactor.

1.4 Principios Bsicos de Modelacin de Sistemas

La experimentacin es la herramienta principal para obtener modelos de procesos, pero esteconocimiento obtenido de los fenmenos que rigen el comportamiento de muchos procesos ha sidoformalizado mediante expresiones matemticas. Las expresiones matemticas obtenidas pueden serusadas, a su vez, para el propsito de modelacin. Es as como se distinguen los modelosfenomenolgicos y los empricos.

Modelos fenomenolgicos, se obtienen mediante la aplicacin de leyes que rigen los fenmenos deinters en el proceso. Es decir, se aplica la experiencia acumulada respecto a determinado fenmeno,traducida a leyes que sintetizan un comportamiento en particular.

Modelos empricos, son los que se determinan de la observacin directa de los resultados de excitar unproceso con entradas conocidas, y posterior correlacin de la informacin obtenida. En estos casos sehace total abstraccin de los patrones de comportamiento internos al proceso. La metodologa usadapara obtener modelos empricos se le denomina identificacin de sistemas.

El uso de la modelacin fenomenolgica requiere del conocimiento de los fenmenos que ocurren en elproceso, y de las leyes que rigen su comportamiento. Es por ello que un modelo de este tipo,desarrollado para un proceso en particular, puede ser representativo de otro proceso equivalente, luegode un ajuste apropiado de sus parmetros.

Dado que esta modelacin puede realizarse conociendo la naturaleza de los fenmenos, es posibledesarrollar modelos en ausencia del proceso. La obtencin de modelos fenomenolgicos se basaprincipalmente, en la aplicacin de las leyes de conservacin (balance) y del principio de mnimaaccin.

A . Ecuaciones de balance

En procesos industriales, los balances de materia y energa son de particular inters. La forma generalque tienen los balances de una propiedad P(t) en el sistema en un intervalo de tiempo es:

cantidad de cantidad de

flujo de flujo deacumulacin de generada consumida= que entra que saleperodo de tiempo perodo de tiempo perodo de tiempo

P P

P PP

.

Haciendo el perodo de tiempo muy pequeo, t0, bajo los supuestos de continuidad de lasfunciones involucradas se obtiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )

e s g c

dP tF t F t C t C t

dt .

Existen dos maneras de aplicar las ecuaciones de balance con el fin de determinar la estructura delmodelo:


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Balance macroscpico. El proceso en cuestin se caracteriza por propiedades globales que norepresentan variaciones espaciales. As Fe(t), Fs(t), Cg(t) y Cc(t) son slo funcin del tiempo y laecuacin anterior es slo una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden. El modelo obtenidocorresponde a un sistema de parmetros concentrados.

Balance microscpico. En este caso el balance descrito por la ecuacin anterior se realiza en unelemento de volumen dV, resultando la dependencia espacial de Fy C. Estos balances dan lugar a unconjunto de ecuaciones diferenciales parciales tanto con dependencia espacial como temporal. Talesmodelos corresponden a un sistema con parmetros distribuidos.

B . Principio de Mnima Accin

Segn este principio, que naci con la mecnica clsica, todo proceso esta caracterizado por unafuncin de energaL{x(t)} cuya evolucin entre dos instantes de tiempo t1y t2es tal que su integral,

2

1

{ ( )}t

tJ L t dt x ,

tiende el valor mnimo posible. El vector x(t) representa el vector de variables de estado del sistema. Lafuncin Len sistemas mecnicos se le llama Lagrangiano, el cual corresponde a la diferencia entre laenerga cintica y potencial. La condicin necesaria de mnimo para la funcin Jes,

1,...,i

i i

d L LQ i n

dt x x

,

donde los Qirepresentan las seales externas (fuerzas o torques) asociadas a la variable de estadoxi.

C . Ecuacin Diferencial y Ecuaciones de Estado

La ecuacin diferencial corresponde a la representacin de un sistema a travs de una ecuacin

diferencial de orden ny sobre una variable de estado,1 1

' ' ' ' ' ' '

1 1 0 1 1 01 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a a y b b b b u

dt dt dt dt dt dt

,

dondeyes la variable de estado. Es normal considerar que se divide por 'n

a , lo que resulta en,

1 1

1 1 0 1 1 01 1

n n m m

n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u

dt dt dt dt dt dt

,

o en forma resumida como0 0

i in m

i ii ii i

d y d ua b

dt dt , donde an= 1.

Ejemplo 1.13. Escriba una ecuacin diferencial que describa el circuito de la Fig. 1.10. R.: En este caso se tiene que

( )( ) ( ) ( )

c

di te t Ri t L v t

dt y adems que

( )( ) c

dv ti t C

dt . Por lo tanto,

2

2

( ) ( )( ) ( )c c c

dv t d v t e t RC LC v t

dt dt , lo que se

puede escribir ordenadamente como,2

2

( ) ( ) 1 1( ) ( )c c

c

d v t dv t Rv t e t

L dt LC LCdt , por lo que n= 2, m= 0, a1=R/L, a0= 1/(LC)

y b0= 1/(LC).


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Apuntes: 543 214 12


En el caso de las ecuaciones de estado, el sistema se representa por un conjunto de n ecuacionesdiferenciales de primer orden. Para ilustrar el concepto de estado de un sistema consideremos elcircuito mostrado en la Fig. 1.10 y definiendo,- variables de estado:x1(t) = vc(t),x2(t) = i(t),- entrada: u(t) = e(t),

- salida:y(t) = i(t),el modelo se puede escribir como,

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )0 1/ 0( ), ( ) [0 1]

( ) ( ) ( )1/ / 1/

x t x t x tCu t y t

x t x t x tL R L L

.

De esta forma se puede ver que cualquier variable de salida que se quiera definir estar determinada porestas variables de estado. El nmero de variables de estado es el orden del sistema y est ntimamenteligado con el nmero de acumuladores de energa que son l.i.. En forma general la ecuacin de estadode un sistema queda representada por,

),,(),,,( puxhypuxfx ,

o en sus componentes,

1 1 1 1( , , ) ( , , )

,

( , , ) ( , , )n n q q

x f y h

x f y h

x u p x u p

x u p x u p

.

C

i

+

-e

R L

+

-

vc

Fig. 1.10Circuito serie RLC.

+C+

A

B

D

xx yu

E F

p

Fig. 1.11Diagrama en bloques de las ecuaciones lineales dinmicas generalizadas.


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Apuntes: 543 214 13


en donde, x= [x1...xn]Tes el vector de variables de estado, u= [u1... up]

Tes el vector de entradas, y=[y1 ...yq]

Tes el vector de salidas, p= [p1 ... pm]Tes el vector de perturbaciones. La segunda ecuacin

siempre representa las mediciones que podemos realizar, ya sea ficticias o reales. En el caso lineal sepuede escribir,

x =Ax+ Bu+ Ep, y= Cx+ Du+ Fp,

donde A, B, C, D, E, y Fson matrices de parmetros con dimensiones apropiadas. Si hay nvariablesde estados, entonces siempre se cumple que las dimensiones de cada componente son; x: n, u:p, p: m,y: q, A: nn, B: np, C: qn, D: qp, E: nm, y F: qm, respectivamente. Una representacin en diagramade bloques se muestra en la Fig. 1.11.

1.5 Transformaciones de Simil itud en Ecuaciones de Estado

Las transformaciones de similitud representan un cambio de coordenadas de las variables de estado, yestn expresadas por una matriz invertible de manera que z = Tx, donde x es el vector de estadosoriginal y zes el nuevo vector de estados, por lo tanto, x= T-1zy por ende dx/dt= T-1dz/dt con lo quela representacin original x =Ax+ Bu+ Ep, y= Cx+ Du+ Fp, queda,

T-1

z = AT-1z+ Bu+ Ep, y= CT-1z+ Du+ Fp,

multiplicando la primera ecuacin - por la izquierda - por T, se obtiene finalmente,

z = TAT-1z+ TBu+ TEp, y= CT-1z+ Du+ Fp,

Normalmente se acostumbra definir nuevas matrices de parmetros. Es decir, AT= TAT-1, BT= TB,

CT= CT-1, DT= D, ET= TE, FT= F. Por lo que la representacin alternativa quedara,

z = ATz+ BTu+ ETp, y= CTz+ DTu+ FTp,

Es importante destacar que los vectores de entrada u, perturbaciones py la salida yno son alterados,tan slo las matrices de parmetros y las variables de estado originales han sido modificadas. Un caso

particular interesante y til es la transformacin de similitud que trasforma la matriz Aen una matrizdiagonal = diag{1, 2, , n}, as debemos encontrar Ttal que, TAT-1= o bien AT-1= T-1. Sea,T

-1= [v1, v2, , vn], por lo tanto, A[v1, v2, , vn] = [v1, v2, , vn]diag{1, 2, , n}, lo que resultaen [Av1, Av2, , Avn] = [1v1, 2v2, , nvn], por lo tanto, los vi que componen T

-1 son los quecumplen con,

Avi= ivi, i= 1, 2,, n

es decir, las columnas de T-1son los vectores propios de A.

+ va-

ifia

m, mJm, te

l, lJl, tl

1/ k

mquina cc carga

- vf+

dl

Fig. 1.12Accionamiento en c.c. con eje flexible.


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Apuntes: 543 214 14


Ejemplo 1.14. El sistema de la Fig. 1.12 tiene el modelo dado por, A=

0 0 1/ /

0 / 1/ 0

0 0

/ 0 0 /

m m m

l l l

m

J k J

d J J

k k

k L R L

,

0

0

0

1/L

b ,

y

0

1/

0

0

l

J

e (ver anexo), considerando ax1= m,x2= l,x3= tt,x4= ia, u= va,p= tl. Si por el contrario, las variables de

estado requeridas sonz1= l,z2= m- l,z3= tt,z4= ia, entonces, Tes,

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

T y por lo tanto las matrices de

la nueva representacin son,

/ 0 1/ 0

/ 0 1/ 1/ /

0 0 0

/ / 0 /

l l l

l l m l m m

m m

d J J

d J J J k J

k

k L k L R L

TA ,

0

0

0

1/L

Tb , y

1/

1/

0

0

l

l

J

J

Te .

1.6 Linealizacin

Como se mencion en el captulo anterior la linealizacin es una tcnica para simplificar un modelo ytiene por objetivo en particular la obtencin de un modelo lineal. La ventaja de los modelos linealesreside en la abundante cantidad de herramientas para el anlisis de stos y la posibilidad de obtener unasolucin en forma analtica de su comportamiento.Analicemos el caso de un sistema monovariable descrito por la siguiente ecuacin diferencial ordinariade primer orden,

( )dx

x f xdt

,

y consideremos un punto cualquiera xoen la trayectoria de x. As desarrollando en serie de Taylor laparte derecha de la ecuacin se obtiene:

22

2

1 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

0! 1! 2!oo o

o ox xx x x x

df x d f xf x f x x x x x

dx dx

,

considerando tan slo el trmino de primer orden, tenemos,

1 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0! 1!oo o

o o ox xx x x x

df x df x

x f x f x x x f x x xdx dx .

Si se define la variable desviacin x=x-xocomo la diferencia entre la variablexy el punto donde sehizo la linealizacinxo. En particular, si se supone que el punto de linealizacin corresponde a un puntode equilibrio del sistema, es decir

( ) ( ) 0o o

o

ox xx

dxx f x f x

dt ,


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Apuntes: 543 214 15


entonces, al derivar la expresin x=x-xose tiene,

ox x x

( )of x( )

( )

( )

( )

o

o

o

x x

x x

o

df xx x

dx

df x xdx

a x x

,

el cual corresponde a un modelo lineal en x.En general, si consideramos un sistema no-lineal MIMO como,

),,(),,,( puxhypuxfx ,

o en sus componentes,

),,(

),,(

,

),,(

),,(

1111

pux

pux

pux

pux

qqnn h

h

y

y

f

f

x

x

,

una representacin lineal en torno a un punto de operacin dado por uo, xo, po, yoes,

, x A x B u E p y C x D u F p ,

donde,

o

o

o

ppuu

xxx

puxfA

),,(,

o

o

o

ppuu

xxu

puxfB

),,(,

( , , )

oo

o

x x

u up p

h x u pC

x,

o

o

o

ppuu

xxu

puxhD

),,(,

o

o

o

ppuu

xx

p

puxfE

),,(,

o

o

o

ppuu

xx

p

puxhF

),,(; y x, u, p, y y, son variaciones de x, u, p e y,

respectivamente, en torno al punto de operacin dado por uo, xo, po, yo. Ntese que en el caso no-linealuo, xo, y posatisfacen,

0= f(xo, uo, po).

En general, al tener un valor para las entradas uoy po, se encuentran los valores de xoque satisfacen laexpresin anterior, los valores de yose determinan de,

yo= h(xo, uo, po).

Ejemplo 1.15. Considere el estanque piramidal invertido de la Fig. 1.13(a), cuyo modelo dinmico esta dado por,1

2

x

x

x

=

2 21 1 1

2 31 2 1 2 1

( ) /

3 ( ( ) ) /v

a p u k gx x

a p p p u x x

= 1

2

( , , )

( , , )

f

f

x u p

x u p, dondex1es la altura de la columna de agua en el estanque h,x2es

la concentracin de producto cs, ues el flujo de entrada del lquido sin productofa,p1es el flujo de entrada de lquido conproductofmy p2es la concentracin del producto en este ltimo cm. Este modelo es claramente no lineal, para linealizarloencontramos sus derivadas con respecto a las variables de estado, entrada y perturbaciones para obtener el modelo,

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2, , , , , ,

/ / / / /

/ / / / /

x f x f x x f u f p f p pu

x f x f x x f u f p f p p

o o o o o o o o ou p x u p x u p x

,


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cuyo resultado es,

2221 11 1

3 2211 2 1 11 1

22 22 2 11 2 1 2 1

34 31 2 , , 11 1

2 ( )00

22

3 ( )9 ( ( ) ) 3 ( )0

vo o v ov

o o oo o

o oo o o o o o o

oo o

a gka p u k gxa gkf f

xx x x gxx gx

f f a p ua p p p u x a p u

x x xx x

o o ou p x

A ,

2

121

22 2

3, , 1

3

o

o

o

af

xu

f a x

u x

o o ou p x

b ,

21 1

211 2

2 22 2 2 2 1

3 31 2 , , 1 1

0

3 ( ) 3

o

o o o

o o

f f a

xp p

f f a p x a p

p p x x

o o ou p x

E .

Ntese que el modelo resultante, u x A x b E p , tiene matrices A, b y Edependientes del punto de operacin.Resultados de la simulacin del sistema se muestran en el Fig. 1.13(b). La linealizacin corresponde a una entrada uo= 1lt/s. Claramente, el sistema lineal indica otro punto de operacin y otra dinmica al alterar la entrada del sistema. Esto eraesperable dado que la linealizacin es un mtodo aproximado, que es ms exacto en la medida que se est cerca del punto deoperacin.

Ejemplo 1.16. Linealizar y simular el circuito elevador ilustrado en la Fig. 1.14(a). R.: El circuito de la Fig. 1.14(a) tiene

por modelo promedio a (1 )di

e L v d dt

e (1 ) dv v

i d Cdt R

(parmetros en el anexo). Al linealizarlo se encuentra que,

fs,cs

fa

fm, cm

CT

CT: sensor de

concentracin

h

x

y

y= 2ax

a)

0 5 10 15 2001

2

3

flujo de agua [lt/s] vs tiempo [hrs]

0 5 10 15 2005

10

altura [m] vs tiempo [hrs]

ho2

ho3

0 5 10 15 20010

0

conc. de salida [pmil] vs tiempo [hrs]

cso2 1000

cso3 1000

b)

Fig. 1.13 Estanque piramidal invertido; a)estanque, b)simulacin del sistema original (lnea continua) y del sistemalinealizado (lnea segmentada).


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Apuntes: 543 214 17


11

10

o

o

d

RC C

d

L

A ,

o

o

i

C

v

L

b ,0

1

L

e .

Ntese que el modelo resultante, u x A x b e p , tiene matrices Ay bdependientes del punto de operacin. Los

cuales estn dados por (1 )o o oe v d e (1 )

o

o o

v

i d R , por lo que dados eo y do (entradas) se puede encontrar vo e io.Resultados de la simulacin se encuentran tambin en la Fig. 1.14(b) y (c). Ntese que la linealizacin entrega resultadosequivocados tanto dinmica como estticamente; sin embargo, ante cambios de la perturbacin (seal e), es exacta, lo que sedebe al efecto lineal que tiene la perturbacin sobre el sistema real.

1.7 Alcances del Curso 543 214

En este curso se estudiarn sistemas lineales del tipo continuo y discreto. Ser de especial importanciala modelacin de stos mediante el anlisis fenomenolgico, para lo cual se revisarn las leyes fsicasbsicas de la ingeniera. Los sistemas mecnicos, hidrulicos, electromecnicos y trmicos sern

revisados acuciosamente. La modelacin de sistemas elctricos se asume conocida.Las seales sern analizadas formalmente en este curso para dar paso al estudio de las transformacionesde stas, comenzando por la Transformada de Laplace para seales continuas. Las seales discretassern analizadas como el resultado de una transformacin de seales continuas. Para el estudio de stasse utilizar la Transformada Z. La Transformada de Fourier de seales continuas y discretas serintroducida sobre la base de la necesidad de un operador de uso fcil para seales peridicas.Los modelos de sistemas estarn basados en ecuaciones diferenciales de orden no en necuaciones deestado. Se revisarn distintos mtodos de solucin de estas ecuaciones con el nimo de introduciralgunos conceptos nuevos como lo es la Matriz de Transicin de sistemas y sus propiedades. Losresultados anteriores darn paso al concepto de Funcin de Transferencia uno de los ms importantesen sistemas y con ello los conceptos de polosy ceros, para finalmente presentar una alternativa de

representacin grfica de la Funcin de Transferencia conocido comoDiagrama de Bode.Finalmente, se revisarn los conceptos de estabilidadde acuerdo al tipo de representacin del sistema.Con esto nace el concepto de estabilidad de entrada/salida relacionado con los polos del sistema y

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t)R

Sw(t)

a)

v(t) realb)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.15

10

15

20

pr om ed io

linealizado

i(t) real c)

pr om ed io

linealizado

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11

0

12

3

4

Fig. 1.14Convertidor dc/dc elevador; a)circuito, b)comparacin de voltajes, c)comparacin de corrientes.


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Apuntes: 543 214 18


el de estabilidad interna, este ltimo relacionado con los valores propios de la representacin envariables de estado.

1.8 Ejercicios Propuestos.

Resuelva los problemas siguientes. Anote todo su trabajo.

A . Nivel bsico.

1.- Indique por lo menos tres objetivos de estudio en las realidades fsicas ilustradas en la Fig. 1.15.2.- Identifique para las realidades fsicas anteriores todas las cantidades posibles asociadas a cada

uno de los objetivos de estudio propuestos.3.- Clasificar las cantidades anteriores para cada objetivo en variables de estado x= [x1,x2, ...]

T,salidas y= [y1,y2, ...]

T, entradas u= [u1, u2, ...]T, perturbaciones p= [p1,p2, ...]

Ty parmetros.4.- Clasifique los sistemas anteriores en lineal/no-lineal, continuo/discreto, esttico/dinmico,

causal/no-causal, variante/invariante, concentrado/distribuido.

B . Nivel intermedio.

1.- Cmo se identifica matemticamente un sistema variante/invariante.2.- Cmo se identifica matemticamente un sistema de parmetros concentrados/distribuidos.3.- Cmo se identifica en trminos prcticos un sistema variante/invariante.4.- Cmo se identifica en trminos prcticos un sistema de parmetros concentrados/distribuidos.

C . Nivel avanzado.

1.- Detalle lo ms posible cinco sistemas de parmetros distribuidos que se pueden encontrar en lasvariadas disciplinas de la ingeniera.

2.- Detalle o ms posible cinco sistemas que sean intrnsecamente discretos o que contengan algunacomponente discreta importante.

3.- Discuta si un computador personal es un sistema de parmetros concentrados o distribuidos.

4.- Discuta si una tarjeta de red es variante o invariante en el tiempo.


27/173

Apuntes: 543 214 19


a) b)

c)

F3

F1

F2

F4F5

LT1

LT2

A1

A2 A3

h3h2

h1 LT : sensor de nivel

d)

yr(t)

M

k1d

k2

u

mx2(t)

x1(t)

e)

sol

21

cel

vc

v1

v2vout f)

as,cas

c,cc

ae

hy

x

y= 1 + 0.25x2

g)

+

-

L

e(t)

i(t)

C

+

-

v(t)R

Sw(t)h)

+ va-

ifia

m, m,Jm, Tm

1, 1

2, 2,Jl, tl

n : 1

kmquina cc

carga

- vf+

Fig. 1.15Sistemas para ejercitar; a)tren, b)pala elctrica, c)estanques, d)amortiguacin de un automvil, e)generacin

solar, f)estanque diluidor, g)circuito reducidor de tensin, h)motor de cc con eje flexible.


28/173

Apuntes: 543 214 20


2 Seales en Sistemas

Lasvariablesen sistemas son sealesqueevolucionandeacuerdoa lasdeentrada.Para caracterizar los sistemas se introducen seales estndar que son revisadas en

estecaptulo.

Se

destaca

las

seales

escaln,

rampa

ysinusoidal.

Se

introduce

la

seal

deltatantocontinuacomodiscretacomounanecesidadmatemticaparaelanlisisdesistemas.SerevisalatransformacinmsrecurridaenelanlisisdesealescomosonlaTransformadadeLaplaceyse introduceyrevisaenprofundidad laTransformadaZparasistemasdiscretos.

2.1 Introduccin

En este captulo se introduce formalmente el concepto de seal y se definen las seales normalizadas.

A partir de operatorias sobre seales continuas se introducen las seales discretas y por dualidad sedefinen las seales discretas normalizadas.

A . Conceptos

Entre los conceptos ms importantes est el de seal y el de soporte de sta.

Def.: Seales una funcin matemticamente definida que representa la evolucin de una magnitud deun proceso, Fig. 2.1, Fig. 2.2.

Def.: El soportede una seal corresponde al rango de la variable independiente en el cual la seal noes idnticamente nula. As,Des el soporte def(t) si:

0( )

0

t Df t

t D

.

Def.: Una seal se dice con soporte positivo si no es equivalentemente nula para todo valor realpositivode la variable independiente.

Proceso

Objetivo 1

Objetivo 2

Objetivo n

Sistema 1

Sistema 2

Sistema n

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Magnitudes

altura

voltaje

flujo

Fig. 2.1Asociacin de magnitudes a un sistema.


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Apuntes: 543 214 21


Def.: Una seal se dice con soporte negativo si no es equivalentemente nula para todo valor realnegativode la variable independiente.

Def.: Una seal se dice con soporte compacto si no es equivalentemente nula en un rangodeterminadode valores de la variable independiente.

Ejemplo 2.1. En la Fig. 2.3 se muestran las seales definidas por,

1

sin(2 ) 0( )

0 0

A ft tf t

t

, 2

2 [2,3]( )

0 otro valor

tf t

,

donde puede verse que la primera tiene soporte positivo mientras que la segunda tiene soporte compacto.

B . Propiedades

Simetra. (Seales pares e impares, Fig. 2.4) .La sealxp(t) es par sixp(t) =xp(-t) (simetra c/r ejey).La sealxi(t) es impar sixi(t) = -xi(-t) (antisimetra c/r ejey).

En seales pares se cumple que:0

( ) 2 ( )T T

p pTx t x t

,

0

0( ) ( )

T

p pTx t x t

.

En seales impares se cumple que: ( ) 0T

iTx t

,

0

0( ) ( )

T

i iTx t x t

.

Pro .: Toda sealx(t) puede ser descompuesta en una seal parxp(t) y una imparxi(t), tal quex(t) =xp(t)+xi(t), donde,

( ) ( )( )

2px t x t

x t

y( ) ( )

( )2i

x t x tx t

.

0 5 0 50

1

2

0 50

2

4

t t

2altura voltaje corriente

0

1

t

Fig. 2.2Evolucin de magnitudes en el tiempo.

0 5 0 50

2

f1 f2

2

0

2

t t

Fig. 2.3Soporte en seales.


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31/173

Apuntes: 543 214 23


Def.: El impulso (t) es una funcin definida en funcin de la funcin auxiliar T(t) - ver Fig. 2.5(b) -como,

0( ) lim ( )

TT

t t

.

Def.: El impulso (t) es una funcin definida en funcin de sus valores instantneos como,

0 0( )

0

tt

t

.

Notar que, ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0)t f t dt f dt f dt f

.

B . Escaln

El escalnu

(t) es una funcin continua cuya definicin se ajusta a la percepcin intuitiva de sta. Haytambin tres formas de definirla; stas son,

Def.: El escaln u(t) se puede definir mediante una integral como ( ) ( )t

t d

u .

Def.: El escaln u(t) se puede definir mediante una funcin auxiliar como0

( ) lim ( )TT

t t

u u , Fig. 2.6(b).

t

2 0 20

2

(t)

T

t

2 0 20

21/T

T(t)

a) b)

Fig. 2.5Seales de prueba; a)impulso, b)funcin auxiliar T(t).

t

2 0 20

1

u(t)

t

2 0 20

1

uT(t)

T

1/T

t

2 0 20

1

r(t)

1

2

a) b) c)

Fig. 2.6Seales de prueba; a)escaln, b)funcin auxiliar, c)rampa.


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Apuntes: 543 214 24


Def.: El escaln u(t) se puede definir por partes como0 0

( )1 0

tt

t

u , Fig. 2.6(a).

C . Rampa

La rampa r(t) es una funcin continua que se obtiene integrando el escaln. Sin embargo, otrasdefiniciones tambin son vlidas. Estas son,

Def.: La rampa r(t) se puede definir mediante una integral como, ( ) ( )t

t d

r u .

Def.: La rampa r(t) se puede definir por partes como0 0

( )0

tt

t t

r , Fig. 2.6(c).

Def.: La rampa r(t) se puede definir alternativamente como ( ) ( )t t tr u .

Notar que,( )

( )d t

tdt

r= u ,

( )( )

d tt

dt

u= , ( ) ( )

t

t d

r = u , y que ( ) ( )t

t d

u = .

D . Exponencial

La funcin exponencial se expresa como, ( )( ) a jb t f t e , conj2= -1.Dependiendo del valor que posea el parmetro bes posible tener,

Conb= 0 exponencial real, ( ) at

f t e

, Fig. 2.7. a> 0 exponencial decreciente. a< 0 exponencial creciente.

Conb0 exponencial compleja, ( )( ) (cos sin )a jb t at jbt at f t e e e e bt j bt , Fig. 2.8, donde elmdulo es e-aty la fase es bt.

E . Sinusoidal

La funcin sinusoidal se expresa como ( ) sin( ) sin(2 )f t A t A ft y es mostrada en la Fig.2.9; donde,A: amplitud, : frecuencia angular con = 2f= 2/T, : fase.

F . Seales en sistemas

En esta seccin se analiza la respuesta que presenta un sistema ante una entrada de prueba. En unprimer caso analizamos el sistema mecnico lineal masa-resorte-amortiguador, al cual se le aplica enforma consecutiva aproximaciones de la funcin impulso. Estas aproximaciones son un pulso cuyaduracin disminuye mientras su amplitud aumenta manteniendo siempre el rea unitaria. Los resultadosson mostrados en la Fig. 2.10, donde se aprecia que la respuesta dada por el sistema converge a unaoscilacin de segundo orden.


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Apuntes: 543 214 25


Ahora se aplica una entrada que es una funcin sinusoidal de amplitud constante pero frecuenciavariable. En la Fig. 2.11 puede verse que la respuesta del sistema es tambin una sinusoidal de igualfrecuencia a la de entrada pero su amplitud depende de la frecuencia de entrada como se puede apreciaren la Fig. 2.11(b).Finalmente se analiza el estanque cncavo no lineal. A este sistema se le aplica una funcin de pruebasinusoidal de dos frecuencias distintas, y es posible apreciar que la respuesta del sistema ya no es una

sinusoidal como se muestra en la Fig. 2.12, esto implica que en la salida existen frecuencias que noestn en la entrada.Adems es posible apreciar que al aplicar la misma funcin de entrada pero en dos puntos de operacindistintos la respuesta del sistema es diferente, lo que no ocurre en sistemas lineales.

2.3 Transformaciones sobre Seales

Las transformaciones se aplican sobre una o ms seales para dar origen a otra seal. Entre las msconocidas estn la normalizacin, discretizacin y convolucin. Las transformaciones se dividen ensimples como las aplicadas sobre una seal y las complejas (en el sentido de complicadas) como lasaplicadas sobre dos seales.

A . Transformaciones Simples

Una funcin cualquiera puede ser modificada utilizando, ( ) ( ) ( )f t g t f at b , con , , a, y b

t0

2

4

6

2 0 2 t0

2

4

6

2 0 2 a) b)

Fig. 2.7Exponencial real, b= 0; a)decreciente (a> 0), b)creciente (a< 0).

1 0 10

1 0 1

0

5 0 5

5

0

5

5 0 55

0

5

a) b) c) d)Fig. 2.8Exponencial compleja,; a)a= 0, b> 0), b)a= 0, b< 0; c)a< 0, b> 0), b)a< 0, b< 0.

0 0.5 1 1.5 2202

t

Fig. 2.9Sinusoidal,A= 1.5, T= 0.5, = 90.


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Apuntes: 543 214 26


como parmetros de la transformacin.

Transformaciones sobre la variable dependiente, Fig. 2.13. Corresponden a a = 1, b = 0, por lotanto,

( ) ( ) ( )f t g t f t

|| > 1: Amplificacin.|| < 1: Atenuacin.= 0 : Anulacin.< 0 : Inversin, reflexin c/r eje g(t) = .> 0 : Corrimiento hacia arriba.< 0 : Corrimiento hacia abajo.

k

d

F(t)

m

(t)

t

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4Posicin y fuerza normalizada

Fig. 2.10Respuesta aproximada a impulso en F(t); a)masa-resorte-amortiguador, b)respuesta.

k

d

F(t)

m

(t)

t

0 5 10 15 20 25 30 35 402

0

2

4Posicin y fuerza n ormalizada

Fig. 2.11Respuesta a entrada sinusoidal del sistema masa-resorte-amortiguador para varias frecuencias.

fs

e

h

y

x

y= 1 + k(x-H/2)2

t0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 245

10152025 flujo de ent. lt/s - altura m

0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 22 2405

101520 flujo de ent. lt/s - altura m

t

14

Fig. 2.12Respuesta a entrada sinusoidal del sistema no-lineal (estanque) para dos puntos de operacin.


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Apuntes: 543 214 27


Ejemplo 2.2. Normalizacin. Sea f0 el mnimo de f(t) y f1 el mximo de f(t), entonces, la seal g(t) = f(t) + es

normalizada entre sus mximos si 0

1 0 1 0

1,

f

f f f f

,quedando sus valores en el rango 0-1. Lo anterior es debido a

que,

0 1

0 1 0

0

1 0

0 0

1 0 1 0 1 0

( ) [ , ]

( ) [0, ]

( )[0,1]

( ) 1( )

f t f f

f t f f f

f t f

f f

f t f ff t

f f f f f f

.

Lo anterior demuestra que la seal resultante es normalizada, pues su rango queda entre 0 y 1, Fig. 2.14. La normalizacinen muchos casos no se realiza entre el mnimo y el mximo, en cambio se realiza entre 0 y un valor nominal.

Transformaciones sobre la variable independiente, Fig. 2.15. Corresponden a = 1, = 0, por lotanto,

( ) ( ) ( )f t g t f at b |a| < 1: Dilatacin.|a| > 1: Compresin.a< 0 : Reflexin c/r eje t= b.b> 0 : Desplazamiento a la izquierda (derecha) con a> ( (


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Apuntes: 543 214 28


Ejemplo 2.4. Desplazamiento. Una rampa desplazada queda como se muestra en la Fig. 2.17. La rampa es,

0 0( ) ( )

0

tf t t

t t

r ,

por lo que la rampa desplazada en 2 unidades de tiempo es,

0 2 0 0 2

( ) ( 2) ( 2) 2 2 0 2 2

t t

g t f t t t t t t

r ,

en este caso se tiene, b= -2 (desplazamiento hacia la derecha).

Ejemplo 2.5. Descomposicin. Una seal puede ser escrita como combinacin lineal de seales de prueba. En este caso seanaliza la funcin ilustrada en la Fig. 2.18. En este caso, ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) 3 ( 4)f t t t t t u u u u , en donde la funcinoriginal es compuesta por la suma de cuatro funciones escaln convenientemente amplificadas y desplazadas.

Ejemplo 2.6. Una seal diente de sierra se puede descomponer como una suma de rampas como la ilustrada en la Fig.2.19. La expresin general utilizando la expresin de cada diente es,

( ) 2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2) 2 ( 2)

2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 1)

f t t t t t t t

t k t k t k

r r u r r u

r r u

,

esta seal, al igual que el caso anterior esta compuesta por una sumatoria de rampas y escalones que generan cada una de los

dientes de la seal diente de sierra. Una expresin general es,0

( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)i

f t t i t i t i

r r u . La expresin

anterior es una representacin alternativa a la Serie de Fourier de la seal peridica.

B . Transformaciones Complejas

Convolucin (Integral de Convolucin)

t

f(t)

0 5

0

5

t

g(t), a = 1, b = 1

0 5

0

5

t

g(t), a = 1, b = -1

0 5

0

5

t

g(t), a = 2, b = 0

0 5

0

5

t

g(t), a = 0.5, b = 0

0 505

Fig. 2.15Transformaciones sobre la variable independiente.

d fe

vm fe

fe

fetr

Fig. 2.16Ejemplo de retardo.

t

f(t)

0 52

0

2

t

0 52

0

2

g(t) =f(t- 2)

a) b)

Fig. 2.17Ejemplo de desplazamiento.


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Apuntes: 543 214 29


Def.: Se llama convolucindef(t) con g(t) y se denota porf(t)*g(t) a la integral,

( )* ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g d h t

.

Ntese que esta transformacin utiliza dos seales para dar origen a otra seal.

Si g(t) tiene soporte positivo, entonces,

0( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g d f t g d

0 0( ) ( ) ( ) ( )f t g d f t g d

.

Sif(t) tiene soporte positivo, entonces,

( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

tf t g t f t g d f t g d f t g d

.

considerando que si t- =x, entonces -d= dxy comot

, entonces

0x

, por lo tanto,

0

0( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t tf t g t f t g d f x g t x dx f t g d f x g t x dx

.

Sif(t) y g(t) tienen soporte positivo, entonces,

0( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

f t g t f t g d f t g d

0 0( ) ( ) ( ) ( )t t

f t g d f t g d .

Importancia de la convolucin

Si se aplica fe(t) = (t) a un sistema; entonces, la salida del sistema es una funcin que llamaremos

hest(t). Se encuentra que la salida h(t) para una entrada arbitraria fe(t) cumple con h(t) = fe(t)*hest(t). Lademostracin de esta importante propuesta se realizar ms adelante.

t

f(t)

0 505

t

f1(t)

0 520

t

f2(t)

0 5

0

2

f3(t)

0 50

2

t

f4(t)

0 5420

t

a) b) c) d) e)

Fig. 2.18Descomposicin de seales; a)funcin compuesta, b)-c)-d)-e)seales bsicas.

f(t)

0 5

0

2

t

f1(t)

0 5

0

2

t

f2(t)

0 5

0

2

t

f3(t)

0 5

0

2

t

a) b) c) d)

Fig. 2.19Descomposicin de seales; a)tren de rampas compuesta, b)-c)-d)rampas individuales.


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Apuntes: 543 214 30


Propiedades de la convolucin

Conmutatividad,

( )* ( ) ( )* ( )f t g t g t f t .

Para demostrar la propiedad anterior se utiliza la definicin de convolucin,( )* ( ) ( ) ( )f t g t f t g d

.

considerando que si t- =x, entonces -d= dxy como

, entonces x

, por lo tanto,

( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )f t g t f x g t x dx f g t dx g t f dx g t f t

.

Distributividad con respecto a la suma,

( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )f t g t h t f t g t f t h t .

f()

t2 0 2 40

1g()

t

2 0 2 401

f(-), g()

t2 0 2 40

1f(-)g()

t

2 0 2 401 f(t)*g(t)

2 0 2 40

1

t

f(1-), g()

t2 0 2 4

1

f(1-)g()

t

2 0 2 4

0

1

f(2-), g()

t2 0 2 40

1f(2-)g()

2 0 2 40

1

t

Fig. 2.20Convolucin de seales continuas.


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Apuntes: 543 214 31


Asociatividad,

( )*[ ( )* ( )] [ ( )* ( )]* ( )f t g t h t f t g t h t .

Convolucin con un Impulso,

0 0( )* ( ) ( )f t t t f t t .

0 0 0 0 0( )* ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( )f t t t f t t d f t t d f t t d f t t

.

Convolucin con un Escaln,

( )* ( ) ( )t

f t t f d

u .

Ejemplo 2.7. Convolucin de dos seales continuas como las ilustradas en la Fig. 2.20.

Discretizacin

El proceso de convertir una seal continua en una discreta se conoce como muestreo; es decir, consisteen obtener muestras, un nmero finito de ellas (o por lo menos numerable), de una funcin continua.Es corriente que las muestras sean tomadas a distancias o intervalos regulares de tiempo.

Muestreador. Se considera un switch que se mantiene cerrado Tcunidades de tiempo de un total de T,como se muestra en la Fig. 2.21.Muestreador ideal. En este caso el tiempo de cerrado del muestreador se hace tender a cero. As, ladefinicin es

0( ) lim ( )

ci T

TS t S t

en la prctica Tc


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Apuntes: 543 214 32


Representacin muestreador con retencin. La salida del muestreador con retencin est dada por

( ) ( ) ( )Ti

y t u iT t iT T

. Ntese que de la Fig. 2.23 se puede observar que,0

( ) lim ( )T

u t y t

, por lo

tanto,0

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )T

Ti

u t u iT t iT T u t d u t t

, como ya se conoca.

2.4 Seales de Prueba Discretas

La seal (kT) introducida para representar al muestreador ideal corresponde a una seal discretaconocida como impulso discreto. Similarmente, se introducen a continuacin otras seales que son labase de generacin de seales discretas.

A . Impulso Discreto

Def.: El impulso discreto se define como,

1 0( )

0 0

kTkT

kT

,

y es mostrado en la Fig. 2.24.

B . Escaln Discreto

El escaln discreto es el muestreo del escaln continuo, por lo tanto,1 0

( )0 0

kTkT

kT

u , y es

mostrado en la Fig. 2.24.u(t) y(t)ST u(t) y(kt)Si u(t) y(kt)Si y(t)retentor

0 2 t02 u(t)

0 2 t

u(t)

0 2 t02

u(t)

0 2 t01 ST(t)

0 2 t

1

Si(t)

0 2 t02

y(kT)

0 2 t02 y(t)

0 2 t

y(kT)

0 2 t02

y(t)

Fig. 2.21 Muestreador. Fig. 2.22 Muestreador ideal. Fig. 2.23 Muestreador con retencin.


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Apuntes: 543 214 33


C . Rampa Discreta

La rampa discreta es el muestreo de la rampa discreta, por lo tanto,0

( )0 0

kT kT kT

kT

r , y es

mostrada en la Fig. 2.24.

Entre algunas de las propiedades de las seales discretas, Fig. 2.25, podemos citar,

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] /

( ) ( ) ( ) ( )k k

i i

kT kT kT T kT kT T kT T

kT kT iT kT T kT iT T

u u u r r

u r u.

D . Exponencial Discreta

La exponencial discreta se define como, ( )( ) a jb kTf kT Ce , esta exponencial puede ser real como semuestra en la Fig. 2.26, o compleja como se muestra en la Fig. 2.27. Tambin puede ser una

combinacin de componentes reales e imaginarias como se muestra en la Fig. 2.27.E . Sinusoidal Discreta

La sinusoidal discreta, Fig. 2.28, se expresa como, ( ) sin( ) sin(2 )f kT A kT A fkT . La seal

es peridica si para algn k*yNenteros se cumple, * *2 2 /( )fk T N k N fT , dondeNes el

menor entero positivo y k*resulta ser el perodo discreto.Otro fenmeno importante al muestrear una seal sinusoidal es la relacin entre la frecuencia de laseal y la frecuencia de muestreo. En la Fig. 2.30 se muestran las seales anlogas f1(t) = cos(2t),f2(t)= cos(25t) y las seales resultantes de muestrearlas cada T= 0.25. Claramente las seales discretasresultantes son iguales lo que llevara a ambigedades. Es evidente que la frecuencia de muestreo debe

ser mayor que la frecuencia de la seal. Esto queda establecido por el siguiente teorema.

(kT)

2 0 201

kT

u(kT)

2 0 20

1

2

kT

r(kT)

2 0 20

1

2

kT

Fig. 2.24 Seales de prueba discretas.(kT-T)

2 0 201

kT

u(kT-T)

2 0 20

1

2

kT

r(kT+T)

2 0 20

1

2

kT

Fig. 2.25 Seales derivadas de las seales discretas.


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Apuntes: 543 214 34


Teorema: Teorema del Muestreo de Nyquist. Si la frecuencia ms alta contenida en una sealanlogaf(t) esfmaxy la seal se muestrea a una velocidad 1/T> 2fmax, entonces la sealf(t)se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras.

En la prctica, antes de muestrear una seal anloga, sta se filtra con filtros anlogos de manera de

asegurar que la seal resultante no contenga componentes de frecuencia mayores a la mitad de lafrecuencia de muestreo a utilizar. En el caso de que esto no ocurra se produce el fenmeno dealiasing, cuyo nombre proviene del efecto visualizado en el plano de la frecuencia.

Ejemplo 2.8. Aplicar una seal discreta a un sistema continuo. R.: Una seal discreta no puede aplicarse directamente a unsistema continuo, en cambio, si se puede si se utiliza a la vez un retentor como el ilustrado en la Fig. 2.23. Este es el casodel motor c.c. como ilustrado en la Fig. 2.31 al cual se le aplica la entrada rampa generada por un muestreador conretencin. Esta entrada es la que se puede esperar de un sistema digital como por ejemplo un PC o un microcontrolador, endonde la salida se actualiza a intervalos regulares quedando la tarea de generar una seal continua a un retentor.

2.5 Convolucin continua y discretaSi la entrada es (t) en un sistema continuo, entonces sea h(t) la salida, si en cambio, la entrada es T(t),

kT2 0 20

246

2 0 20

2

4

6

kT

a) b)

Fig. 2.26Exponencial real, b= 0; a)decreciente (a> 0), b)creciente (a< 0).

1 0 1

0

1 0 1

0

5 0 5

5

0

5

5 0 55

0

5

a) b) c) d)

Fig. 2.27Exponencial compleja; a)a= 0, b> 0), b)a= 0, b< 0, c)a< 0, b> 0), d)a< 0, b< 0.

0.5 1.5 kT0 1 2202

Fig. 2.28Sinusoidal discreta.

S.L.D.(t) h(t)

S.L.D.T(t) hT(t)

S.L.D.x(t) y(t) = ?

Fig. 2.29Integral y suma de convolucin.


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Apuntes: 543 214 35


entonces sea hT(t) la salida, como se muestra en la Fig. 2.29. La interrogante es cul es la salida parauna entrada arbitrariax(t) ?. Dado que,

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

TT

i

T T TT

x t x t t x t d x iT t iT T

x T t T T x t T x T t T T

,

por lo tanto, la salida es,

0

0

( ) lim ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T T TT

TT

i

y t x T h t T T x h t T x T h t T T

x iT h t iT T x h t d x t h t h t x t

.

Esta ltima expresin es la convolucin continua o integral de convolucin. Similarmente en el casodiscreto se tiene que una seal discreta puede ser escrita como,

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )i

x kT x iT kT iT

x T kT T x kT x T kT T

,

si la respuesta de un sistema discreto a entrada impulso (kT) es h(kT), entonces, al someter a este

0.5 1.5kT

t

0 1.0 2.01.20

1.21(t) = sin(25t)

2(t) = sin(2t)

1(kT) =f2(kT)

Fig. 2.30Sinusoidales y su muestreo con T= 0.25.

d

+ va-

ifia

, te

, tl,Jl

mquina cccarga

- vf+ a)

u(kt) va(t

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Apunte Señales y Sistemas