Apuntes Analiisis Modal Espectral

7/29/2019 Apuntes Analiisis Modal Espectral

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Apuntes: Anlisis Modal Espectral

Estos apuntes corresponden al Capitulo II de la memoria de titulacindel Sr. HORACIO GASTN ROS CORTS, tituladoPERFIL BO-SSMICO DE EDIFICIOS REPRESENTATIVOS DE LACONSTRUCCIN EN ALTURA DE LA CIUDAD DE ANTOFAGASTAEsta memoria fue dirigida por los profesores Ivan Vladilo V. y JuanMusic T.


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NOMENCLATURA

kAr : Superficie del piso k

TAr : Superficie total del edificio

oA : Aceleracin efectiva mxima del suelo

[ ]C : Matriz de amortiguamiento de la estructura

{ } maxnF : Vector de fuerzas mximas asociadas al modo n

H : Altura total del edificio sobre el nivel basal

I : Coeficiente relativo a la importancia, uso y riesgo de falla del edificio

kpI : Inercia polar del piso k

kJ : Masa rotacional del piso k

TJ : Masa total rotacional de la estructura

[ ]K : Matriz de rigidez de la estructura

nxL : Masa asociada al modo n que es desplazada por un sismo en la direccin X

[ ]M : Matriz de masa de la estructura

xnoMt : Momento torsor basal asociado al modo n ante un sismo en X

xnkMt : Momento torsor del piso k asociado al modo n ante un sismo en X

xxnoMv : Momento volcante basal directo asociado al modo n ante un sismo en X

xynoMv : Momento volcante basal acoplado asociado al modo n ante un sismo en X

nxM : Masa equivalente del modo n, para una accin de direccin X

xynM : Masa equivalente traslacional acoplada del modo n, para una accin de

direccin X

xnM : Masa equivalente rotacional acoplada del modo n, para una accin de

direccin X

TM : Masa total traslacional del edificio

N : Nmero de pisos de un edificio

P : Peso total del edificio sobre el nivel basal


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xxnkQ : Esfuerzo de corte directo del piso k asociado al modo n ante un sismo en X

xynkQ : Esfuerzo de corte acoplado del piso k asociado al modo n ante un sismo en X

xxnoQ : Esfuerzo de corte basal directo asociado al modo n ante un sismo en X

xynoQ : Esfuerzo de corte basal acoplado asociado al modo n ante un sismo en X

minoQ : Esfuerzo de corte basal mnimo

R : Factor de modificacin de la respuesta estructural (anlisis esttico)

oR : Factor de modificacin de la respuesta estructural (anlisis modal espectral)

*R : Factor de reduccin de la aceleracin espectral

**R : Factor de reduccin espectral efectivo

aS : Aceleracin espectral de diseo

dS : Espectro de desplazamiento

vS : Espectro de pseudo-velocidad

nT : Periodo de vibracin del modo n

oT : Parmetro que dependen del tipo de suelo

*T : Periodo del modo con mayor masa traslacional equivalente en la direccin de

anlisis

X : Valor resultante de la superposicin modal espectral

jX : Valor mximo del modo j con su signo

kZ : Altura del nivel k, sobre el nivel basal

kxb : Dimensin en la direccin X, de la planta del nivel k

c : Amortiguamiento de la estructura

cc : Amortiguamiento crtico

dine : Excentricidad dinmica del edificio

minf : Factor de amplificacin por corte mnimo

maxf : Factor de reduccin por corte mximo

h : Altura de entrepisos

n : Parmetro que depende del tipo de suelo


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p : Parmetro que depende del tipo de suelo

km : Masa traslacional del piso k

( ){ }tq : Vector desplazamiento en el tiempo de la estructura

r: Razn entre dos periodos consecutivos

kr : Radio de giro del piso k

{ }xr : Vector que tiene el nmero 1 en cada posicin correspondiente a los grados de

libertad de desplazamientos en la direccin X, y ceros en todas las otras

posiciones

)t(u**

s : Aceleracin en la base de la estructura

u : Grado de libertad lineal de la estructura en la direccin X

v : Grado de libertad lineal de la estructura en la direccin Y

nw : Frecuencia circular natural asociada al modo n

: Factor de amplificacin de la aceleracin efectiva mxima

xxkA : Desplazamiento horizontal del punto A del piso k en la direccin X ante un

sismo en X

xykA : Desplazamiento horizontal del punto A del piso k en la direccin Y ante un

sismo en X

xxkcm : Desplazamiento horizontal del centro de masas del piso k en la direccin X ante

un sismo en X

xykcm : Desplazamiento horizontal del centro de masas del piso k en la direccin Y ante

un sismo en X

: Grado de libertad rotacional de la estructura en la direccin Z

xxA : Desplazamiento horizontal relativo del punto A entre dos pisos consecutivos en

la direccin X ante un sismo en X

xyA : Desplazamiento horizontal relativo del punto A entre dos pisos consecutivos en

la direccin Y ante un sismo en X

xxcm : Desplazamiento horizontal relativo del centro de masas entre dos pisos

consecutivos en la direccin X ante un sismo en X


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xycm : Desplazamiento horizontal relativo del centro de masas entre dos pisos

consecutivos en la direccin Y ante un sismo en X

{ }n : Vector que representa la forma de vibrar asociada al modo n

nx : Factor de participacin modal del modo n en la direccin X

ij : Coeficiente de acoplamiento entre los modos i y j

: Fraccin de amortiguamiento crtico


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CAPITULO II ANLISIS SSMICO DE EDIFICIOS

2.1.- INTRODUCCIN

La NCh433 of 96 presenta dos mtodos para analizar edificios, el esttico y

el dinmico. El primero se realiza a travs de un modelo con cargas estticas

equivalentes y el segundo mediante espectros de respuestas o usando

acelerogramas. A continuacin se describe el mtodo modal espectral aplicado a

un anlisis tridimensional de un edificio

2.2.- ANLISIS MODAL ESPECTRAL TRIDIMENSIONAL

El anlisis ssmico de edificios basado en un comportamiento lineal elstico

puede ser realizado por distintos tipos de mtodos. Uno de estos mtodos, el

anlisis modal espectral, tiene por finalidad encontrar los esfuerzos y

desplazamientos mximos de la estructura. Dicho anlisis se basa en la

separacin del sistema estructural en sus formas o modos de vibrar. De esta

manera, cada modo es evaluado o resuelto en forma independiente mediante la

aplicacin de un espectro de diseo. Finalmente las mximas respuestas de cadamodo de vibrar son combinadas, obtenindose as la mxima respuesta global de

la estructura.


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2.2.1.- ECUACIN DE MOVIMIENTO

Fig. 2.1 MODELO ESTRUCTURAL TRIDIMENSIONAL

Las bases conceptuales del anlisis dinmico para estructuras

tridimensionales, como el edificio mostrado en la figura 2.1 (El modelo estructural

de este edificio representa slo un valor esquemtico, y no indica un

comportamiento real como el mostrado en el desarrollo del captulo), son las

mismas que las empleadas en el anlisis de estructuras planas. De esta forma,

las masas se concentran a nivel de cada piso, el cual se considera infinitamente

rgido en su plano. As, los grados de libertad por piso son tres, siendo stos, dos

traslaciones ortogonales y una rotacin en torno al eje vertical. Por lo tanto, un

edificio tridimensional de N pisos presentar 3N grados de libertad. Se definen

para el piso k de la figura 2.2 los desplazamientos vu, y respectivamente para

los grados de libertad en las direcciones X, Y y Z.


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Fig. 2.2 GRADOS DE LIBERTAD POR PISO

Al excitar la estructura de la figura 2.1 con un movimiento en su base, sta

responde con fuerzas del tipo inercial, elsticas y de amortiguamiento.

Las fuerzas inerciales asociadas con la masa de la estructura, estn en

funcin de la aceleracin excitadora y de la respuesta. Se distingue la masa

traslacional m , la cual genera las fuerzas inerciales en las direcciones X e Y, y la

masa rotacional Jasociada a las fuerzas inerciales en torno al eje Z. La masa

rotacional se relaciona con la masa traslacional a travs de la siguiente expresin:

2rmJ = (2.1)

En donde r es el radio de giro de la planta definido por:

Ar

Ir

p= (2.2)

Donde Ar es el rea de la planta e pI la inercia polar de la misma definida

por la siguiente expresin:

yyxxp III += (2.3)

u

v

kPiso

Y

X


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Las fuerzas del tipo elstico son producidas por la resistencia que ofrecen los

elementos estructurales, como muros y columnas, al desplazamiento de los pisos.

Las fuerzas de amortiguamiento estn relacionadas con la capacidad de la

estructura de absorber y disipar energa.

Definidas las fuerzas que interactan en una estructura ante la excitacin

basal, el equilibrio dinmico se encuentra expresado por la siguiente ecuacin

matricial:

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } )t(urM)t(qK)t(qC)t(qM**

s

***

=

+

+

(2.4)

En donde,

[ ]M es la matriz de masa de la estructura de orden 3N x 3N, la cual slo

presenta elementos en la diagonal. El valor de los elementos de esta matriz se

muestran a continuacin.

[ ][ ]

[ ][ ]

=

J

m

m

M (2.5)

En donde m toma los valores de las masas traslacionales de acuerdo a

cada nivel del edificio:

[ ]

=

N

j

1

m

...

m

...

m

m (2.6)


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En tanto J toma los valores de las masas rotacionales de cada nivel del

edificio:

[ ]

=

N

j

1

J

...

J

...

J

J (2.7)

Sin embargo, para los efectos de los clculos posteriores en la cual se utilice

la matriz de masa, se har referencia a la posicin que los elementos tomen en

ella. Dicha posicin se muestra a travs de los subndices de la siguiente matriz

[ ]M :

[ ]

=

+

+

N3

1N2

N2

1N

N

1

J

...

J

m

m

m

m

M L

L

(2.8)

En que:

=

+

N

1

N2

1N

m

...

m

m

...

m

=

+

N

1

N3

1N2

J

...

J

J

...

J

MasasTraslacionales m

Direccin u

MasasTraslacionales m

Direccin v

MasasRotacionales J

Direccin


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[ ]K es la matriz de rigidez de la estructura de orden 3N x 3N.

[ ]

=

NNNN

N

N

kkk

kkk

kkk

K

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

..

.....

.....

..

..

(2.9)

Los vectores

)t(q**

,

)t(q*

y

)t(q , de orden 1x3N, representan

respectivamente la aceleracin, velocidad y desplazamiento de la estructura en

funcin del tiempo.

=

)t(

.

)t(

)t(v

.

)t(v

)t(u

.

)t(u

)t(q

**

N

**

1

**

N

**

1

**

N

**

1

**

=

)t(

.

)t(

)t(v

.

)t(v

)t(u

.

)t(u

)t(q

*

N

*

1

*

N

*

1

*

N

*

1

*

=

)t(

.

)t(

)t(v

.

)t(v

)t(u

.

)t(u

)t(q

N

1

N

1

N

1

(2.10)

En tanto, )t(u** s es la aceleracin en la base de la estructura en funcin del

tiempo representada a travs de un acelerograma.

El vector { }r filtra las aceleraciones )t(u**

s dependiendo de la direccin de

anlisis ssmico aplicada. De esta forma, un anlisis dinmico en X o Y, implica


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aplicar un vector{ }xr o yr respectivamente. Tambin se puede emplear el vector

{ }r , que como se ver ms adelante, sirve para encontrar las masas equivalentes

rotacionales. Los vectores { }xr , yr y { }r son de orden 1x3N, poseen

elementos igual a la unidad en las posiciones asociadas a sus grados de libertad yceros en las restantes.

{ }

=

0

.

0

0

.

0

1

.

1

xr { }

=

0

.

0

1

.

1

0

.

0

yr { }

=

1

.

1

0

.

0

0

.

0

r (2.11)

La ecuacin 2.4 representa un sistema de 3N ecuaciones acopladas por sus

grados de libertad, es decir, al descomponer el sistema en ecuaciones para cada

grado de libertad, stos se encuentran en funcin de otro.

Para desacoplar las ecuaciones se aplica el mtodo de anlisis modal.

El mtodo consiste en separar el comportamiento dinmico global de la estructura,

representado por la ecuacin 2.4, en sistemas dinmicos de un grado de libertad

para cada modo de vibrar. En este sentido, el prximo paso que interesa es

conocer el comportamiento modal de la estructura, el cual se detalla a

continuacin.


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2.2.2.- MODOS DE VIBRAR

Corresponden a las distintas configuraciones que adopta una estructura

segn sus grados de libertad, al vibrar con una cierta frecuencia o periodo. El

nmero de modos de vibrar que posee una estructura corresponde al mismo

nmero de grados de libertad de sta. As, el edificio de N pisos de la figura 2.3

posee 3N modos de vibrar.

Fig. 2.3 MASAS Y GRADOS DE LIBERTAD DE EDIFICIO TRIDIMENSIONAL

NPiso

kPiso

2Piso

1Piso

NN Jm ,

kk Jm ,

22 , Jm

11, Jm

ku kv

k

YX

Z


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Los modos de vibrar son propios o caractersticos de una estructura, es decir,

stos son independientes de cualquier carga. Por otro lado, la influencia del

amortiguamiento en la determinacin de las formas modales es insignificante.

Bajo estas observaciones los modos de vibrar se obtienen considerando la

estructura en vibracin libre no amortiguada. As, para encontrar los modos de

vibrar, de la ecuacin 2.4 se elimina el efecto del amortiguamiento y la carga

ssmica, transformndose en la ecuacin (2.12).

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } )t(urM)t(qK)t(qC)t(qM**

s

***

=

+

+

(2.4)

[ ] [ ] 0)t(qK)t(qM**

=

+

(2.12)

La solucin de esta ecuacin est dada por:

{ }iwte)t(q =

(2.13)

Donde el vector { } posee las amplitudes de la estructura en sus grados de

libertad. Reemplazando la ecuacin 2.13 en la ecuacin 2.12, se obtiene:

[ ] [ ]( { } 02 = MwK (2.14)

Esta ecuacin representa un problema de valores y vectores propios. Para

que existan soluciones no triviales, es decir, para que los valores de { } sean

distintos de cero, es necesario que el determinante de la matriz de coeficientes

sea nulo.

[ ] [ ] 02 = MwK (2.15)


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El desarrollo de este determinante conduce a resolver un polinomio

caracterstico, del cual se obtienen 3N soluciones de w . Cada valor de w

representa la frecuencia de vibracin del modo asociado. El periodo de vibracin

del modo n se obtiene a travs de la siguiente ecuacin:

nn

wT

2= (2.16)

Los periodos de vibracin de la estructura son ordenados en forma

descendente. Se designa como *T al periodo del modo con mayor masa

equivalente traslacional en cada direccin de anlisis X e Y.

Al resolver la ecuacin 2.14 para cada valor nw se obtiene su vector

asociado { }n . Este vector representa la forma adoptada por la estructura, figura

2.4, al encontrarse vibrando libremente con una frecuencia nw .

Fig. 2.4 MODO DE VIBRAR n

Y

X

Z

{ }nnw ,


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Cada elemento del vector{ }n se encuentra en funcin de los dems. Por lo

tanto, dando un valor arbitrario, generalmente 1 al primer elemento, se obtienen

los restantes.

El vector{ }n queda representado de la siguiente forma:

{ }

=

n,N3

n,1

nn

.

.

.

w

Agrupando los vectores { } de todos los modos se ensambla finalmente la

matriz modal [ ] .

[ ]

dirNpiso

.

dir1piso

vdirNpiso

.

vdir1piso

udirNpiso.

udir1piso

.

.

.

............

.

.

.

.............

.

.

.

N3,N3

N3,1N2

N3,N2

N3,1N

N3,N

N3,1

n,N3

n,1N2

n,N2

n,1N

n,N

n,1

1,N3

1,1N2

1,N2

1,1N

1,N

1,1

=

+

+

+

+

+

+

(2.17)

{ }n { } N3 { }1


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FORMAS MODALES NORMALIZADAS

El vector { }n puede ser llevado a cualquier escala, al multiplicar cada

elemento por un factor . De esta manera, con el objetivo de simplificar las

ecuaciones posteriores, las formas modales podran ser trasladadas a una escala

normalizada. Para realizar tal normalizacin se debe cumplir la siguiente relacin:

[ ] [ ] [ ] [ ]IMT = (2.18)

Por lo tanto, para obtener las formas modales normalizadas de cada

modo { }n , se debe aplicar la siguiente ecuacin a las formas modales nonormalizadas { }n .

{ } { }{ } [ ]{ }n

Tn

nn

M

= (2.19a)

{ } { }

++

=

= +=+=

N

1j

N3

1N2j

2n,jj

N2

1Nj

2n,jj

2n,jj

nn

Jmm

(2.19b)


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ORTOGONALIDAD DE LAS FORMAS MODALES

Los modos de vibrar presentan propiedades de ortogonalidad con respecto a

las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento. Estas propiedades son:

Ortogonalidad con respecto a la matriz de masa:

[ ] [ ] [ ]

=

N

n

1

T

M..0.0

.....

0.M.0

.....

0..0.M

M (2.20a)

De esta forma, la matriz obtenida es diagonal. Cada uno de sus elementos

es llamado masa generalizada M , la cual representa la masa asociada a cada

modo de vibrar. En particular para el modo n, se tiene:

{ } [ ]{ }

++==

= +=+=

N

1j

N3

1N2j

2n,jj

N2

1Nj

2n,jj

2n,jjn

Tnn JmmMM (2.20b)

Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez:

[ ] [ ] [ ]

=

N

n

1

T

K..0.0

.....

0.K.0

.....

0..0.K

K (2.21a)

De esta forma, la matriz obtenida es diagonal. Cada uno de sus elementos

es llamado rigidez generalizada K, la cual representa la rigidez asociada a cada

modo de vibrar.


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En particular para el modo n, se tiene:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }nTn

2nn

Tnn MwKK == (2.21b)

++=

= +=+=

N

1j

N3

1N2j

2n,jj

N2

1Nj

2n,jj

2n,jj

2nn JmmwK (2.21c)

Ortogonalidad con respecto a la matriz de amortiguamiento:

Se supone aplicable la hiptesis de Caughey, en la cual la matriz de

amortiguamiento [ ]C est en funcin de las matrices de masa [ ]M y de rigidez[ ]K , a travs de la siguiente ecuacin:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) jl

1j

1j1aKMMC

=

= (2.22)

Considerando slo los dos primeros trminos de la serie anterior se llega a la

siguiente ecuacin, llamada ecuacin de Rayleigh:

[ ] [ ] [ ]MBKAC += (2.23)

En donde A y B son dos constantes reales y positivas.

De esta forma se tiene, dado la ortogonalidad de las matrices [ ]M y [ ]K , la

ortogonalidad con respecto a la matriz de amortiguamiento [ ]C como se muestra a

continuacin:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] MBKAC TTT += (2.24)

En particular para el modo n, dado los valores de y , se tiene,


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{ } [ ]{ } nnnnTn Mw2C = (2.25)

Donde es la fraccin de amortiguamiento crtico, el cual usualmente es

representado como porcentaje.

cc

c= (2.26)

Donde c es el amortiguamiento de la estructura. En tanto cc es llamado

amortiguamiento crtico, y representa el mnimo valor de amortiguamiento para

que la estructura vibre.

kmcc 2= (2.27)

De esta manera se llega a la siguiente matriz diagonal

[ ] [ ] [ ]

=

N

n

1

T

C..0.0

.....

0.C.0

.....

0..0.C

C (2.28a)

Cada uno de sus elementos es llamado amortiguamiento generalizado C, el

cual representa el amortiguamiento asociado a cada modo de vibrar. En

particular para el modo n, se tiene:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }nTnnnn

Tnn Mw2CC == (2.28b)

++=

= +=+=

N

1j

N3

1N2j

2n,jj

N2

1Nj

2n,jj

2n,jjnnn Jmmw2C (2.28c)


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2.2.3.- SUPERPOSICIN MODAL

Dado que los modos de vibrar son independientes y ortogonales entre s, el

comportamiento dinmico de una estructura, como lo muestra la figura 2.5, puede

ser representado por una superposicin modal de todos stos. De esta forma,

en un instante de tiempo t el desplazamiento del sistema de 3N grados de libertad,

definido por el vector )t(q , puede ser expresado como la suma de los

desplazamientos debido a la participacin de cada modo por una nueva variable

)t( , ecuacin 2.29.

( ) { } { } [ ] { })()()(

3

1ttqttq n

N

nn == = (2.29)

La variable )(tn se encuentra referida, con respecto a cada modo, a las

coordenadas generalizadas.

Fig. 2.5 SUPERPOSICIN MODAL

)(tq = { } L+)(11t { } LL ++ )(tnn LL +

LL +

modo 1 modo n

=


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Por lo tanto, cambiando las variables de desplazamiento ( )tq a )(t en la

ecuacin de equilibrio dinmico 2.4, se obtiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } )t(urM)t(K)t(C)t(M**

s

***

=

+

+

Premultiplicando por [ ]T ,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } )t(urM)t(K)t(C)t(M**

sTT

*T

**T =

+

+

En particular para el modo n se tiene,

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } )t(urM)t(K)t(C)t(M**

sTnn

Tn

*

nTn

**

nTn =

+

+

Aplicando las propiedades de ortogonalizacin de las formas modales,

ecuaciones 2.20, 2.21 y 2.28, se tiene,

{ } [ ]{ } )t(urM)t(Mw)t(Mw2)t(M**

sTnn

2n

*

nnn

**

n =

+

+

Dividiendo por nM se obtiene,

{ } { } [ ]{ }{ } [ ]{ }

)t(uM

rM)t(w)t(w2)t( **sn

Tn

Tn2

n*

nn**

=+

+

(2.30)


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Como se indic anteriormente el vector { }r indica la direccin de accin

ssmica. Por lo tanto, el escalar { } [ ]{ }rMTn se define como la masa asociada al

modo n que es desplazada por el sismo segn su direccin adoptada. Su

desarrollo se muestra a continuacin.

Direccin ssmica X { } [ ]{ } n,jN

1j

jxTnnx mrML

=

== (2.31a)

Direccin ssmica Y { } [ ]{ } n,jN2

1Nj

jyTnny mrML

+=

== (2.31b)

Direccin ssmica { } [ ]{ } n,jN3

1N2jj

Tnn JrML +=== (2.31c)

De esta forma, para la aplicacin de un sismo en la direccin X, la ecuacin

2.30 queda representada por:

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ })t(u

M

rM)t(w)t(w2)t(

**

s

n

T

n

xTn2

n

*

nn

**

=

+

+

(2.32)

o

)t(u

Jmm

m

)t(w)t(w2)t(**

sN

1j

N3

1N2j

2n,jj

N2

1Nj

2n,jj

2n,jj

N

1j

n,jj

2n

*

nn

**

++

=

+

+

= +=+=

=

Al escalar{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }nTn

xTn

M

rM

se le define como factor de participacin modal del

modo n, n . Refleja la relacin entre la masa total asociada al modo n

{ } [ ]{ }nTn M y la masa asociada al mismo modo que moviliza el sismo { } [ ]{ }rM

Tn .


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{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }nTn

xTn

n

nxnx

M

rM

M

L

== (2.33a)

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }nTn

yTn

n

nyny

M

rM

M

L

== (2.33b)

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }nTn

Tn

n

nn

M

rM

M

L

== (2.33c)

De esta forma, la ecuacin 2.32 para un sismo en la direccin X queda,

)t(u)t(w)t(w2)t(

**

snx2n

*

nn

**

=

+

+

(2.34)

Finalmente, la ecuacin 2.34 del modo n en coordenadas generalizadas, es

una ecuacin dinmica de un grado de libertad. De esta manera, se ha

transformado un sistema de 3N grados de libertad, representado por la ecuacin

2.4, en 3N sistemas de un grado de libertad asociados a cada modo de vibrar. En

particular, el sistema dinmico para el modo n se muestra en la figura 2.6.

Fig. 2.6 SISTEMA DINMICO DEL MODO n

nM

nK nC

modo n

dasGeneralizasCoordenada sCartesianasCoordenada

YX

Z


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2.2.4.- RESPUESTA ESPECTRAL

Como se explic anteriormente, la respuesta dinmica de un sistema original,

puede ser obtenida superponiendo las respuestas individuales de cada modo de

vibrar. Adems, por medio de un cambio de variables, es posible representar a

cada modo de vibrar por un sistema de un grado de libertad. Por lo tanto, el

prximo paso es obtener la respuesta dinmica para el sistema de un grado de

libertad del modo n.

{ } )t(u)t(w)t(w2)t(**

snx2

n

*

nn

**

=+

+

(2.34)

La solucin de esta ecuacin est dada por:

( ) ( )

dtwsene)t(u

w)t( a

0

tw**

sa

nx = (2.35)

Donde,

21 = wwa (2.36)

El clculo de la ecuacin 2.35 conduce a obtener la respuesta dinmica del

sistema en todo instante de tiempo, este tipo de anlisis es conocido como historia

en el tiempo. Sin embargo, en el diseo ssmico de edificios, generalmente

interesa slo conocer la respuesta dinmica mxima del sistema, la cual servir

como la cota superior de diseo. Esta respuesta mxima es posible obtenerla de

los espectros de respuesta.


26/45

Los espectros de respuesta sean stos de desplazamiento, velocidad o

aceleracin - son grficos en los cuales para cada valor de T y se encuentra

definida una respuesta mxima. De esta forma, se define a dS como el mximo

desplazamiento que toma la variable en el tiempo, a travs de la evaluacin enconjunto de un acelerograma y de la ecuacin 2.37.

( ) ( )

dtwsene)(uw

1)t( a

0

tw**

sa

n = (2.37)

( ) )t(max,TS nnd = (2.38)

Posteriormente, los espectros de pseudovelocidad vS , y de

pseudoaceleracin aS son obtenidos a travs de las siguientes ecuaciones:

dv SwS = (2.39)

da SwS2= (2.40)


27/45

Fig. 2.7 RESPUESTA MXIMA DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD

),(max nndnxn TS =

{ } )t(u)t(w)t(w2)t(**

snx2n

*

nn

**

=+

+

)t(u**

s

nK

nM

nC

d)t(wsene)t(uw

)t( a)t(w

0

**

sa

nx =

)(t

t

maxn

dS

TnT

n

t

nnT ,


28/45

2.2.5.- DESPLAZAMIENTOS MODALES MXIMOS

De acuerdo a lo visto anteriormente y tal como lo muestra la figura 2.7, la

mxima respuesta de desplazamiento del modo n obtenida de un espectro de

desplazamientos para nT y n , referida a la ecuacin 2.34, debe ser amplificada

por el coeficiente de participacin modal n . As, el mximo desplazamiento del

modo n en coordenadas generalizadas, de acuerdo a la direccin de anlisis

ssmico es:

( )nndnmaxn ,TS = (2.41)

Una vez calculada la mxima respuesta de desplazamientos en coordenadasgeneralizadas, se realiza el cambio a coordenadas cartesianas recordando la

ecuacin 2.29.

{ } { } ( )nndnnmaxn ,TSq = (2.42)

De esta forma, el vector { } maxnq representa los mximos desplazamientos del

modo n en coordenadas cartesianas. El desarrollo de este vector, para el caso

particular de un sismo en la direccin X, es:

{ }

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

+

nndnxn,N3

nndnxn,kN2

nndnxn,kN

nndnxn,k

nndnxn,1

xnN

xnk

xnk

xnk

xn1

maxxn

,TS

,TS

,TS

,TS

,TS

v

u

u

q

M

M

M

M

M

M

M

M

(2.43)

En la figura 2.8 se muestra, para ambas coordenadas, la respuesta mxima

de desplazamientos del modo n.


29/45

Fig. 2.8 RESPUESTA MXIMA DE DESPLAZAMIENTOS

YX

Z

NPiso

kPiso

2Piso

1Piso

maxxnku maxxnkv

maxxnk

modo n

dasGeneralizasCoordenada sCartesianasCoordenada

nM

nK nC

maxxn

XSismo


30/45

2.2.6.- FUERZAS MODALES MXIMAS

Las mximas fuerzas ssmicas se calculan una vez que se han determinado

los desplazamientos mximos para cada modo de vibrar. Dado que las fuerzas

pueden ser expresadas en funcin de los desplazamientos a travs de la siguiente

ecuacin,

{ } [ ] { } maxmax nn qKF = (2.44)

De esta manera, reemplazando 2.42 en 2.44 se obtiene,

{ } [ ]{ } ( )nndnnmaxn ,TSKF =

Al dejar la ecuacin en funcin del espectro de aceleracin aS , se obtiene,

{ } [ ]{ }( )

2

nnannmaxn

w

,TSKF

=

Recordando que:

m

kw =

[ ][ ]MK

w2 = (2.45)

Finalmente la ecuacin queda:

{ } [ ]{ } ( )nnannmaxn ,TSMF = (2.46)


31/45

De esta forma, el vector { } maxnF representa las mximas fuerzas ssmicas del

modo n en cada piso. El desarrollo de este vector, para el caso particular de un

sismo en la direccin X, es:

{ }

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

++

++

nnanxn,N3N3

nnanxn,kN2kN2

nnanxn,kNkN

nnanxn,kk

nnanxn,11

xnN

xnk

vxnk

uxnk

uxn1

maxxn

,TSJ

,TSJ

,TSm

,TSm

,TSm

F

F

F

F

F

F

M

M

M

M

M

M

M

M

(2.47)


32/45

2.2.7.- ESFUERZOS EN LOS PISOS

Los esfuerzos de corte y torsin del piso k generados por el modo n, se

obtienen al sumar las fuerzas ssmicas del vector 2.47 asociadas a sus

respectivos grados de libertad entre los pisos k y N como lo muestra la figura 2.9.

Se define como corte directo al esfuerzo que se obtiene en la misma

direccin de la carga ssmica. De esta forma, para calcular el esfuerzo de corte

directo del piso k asociado al modo n, ante un sismo en la direccin X, se llega a:

=

=N

kj

uxnjxxnk FQ

Desarrollando esta ecuacin, se obtiene:

),T(SmQ nnanxn,j

N

kjjxxnk

=

=

El factor de participacin modal y la aceleracin espectral son independientes

de la sumatoria. De esta manera, la ecuacin queda:

),T(SmQ nnanxn,j

N

kjjxxnk

=

=

(2.48)


33/45

Se define como corte acoplado al esfuerzo que se obtiene ortogonal a la

direccin de la carga ssmica. De esta forma, para calcular el esfuerzo de

corte acoplado del piso k asociado al modo n, ante un sismo en la direccin X, se

llega a:

+=

=N2

Nkj

vxnjxynk FQ

De forma anloga al desarrollo anterior, se obtiene:

),T(SmQ nnanxn,j

N2

Nkjjxynk

= += (2.49)

Para obtener el esfuerzo de torsin del piso k asociado al modo n, ante un

sismo en la direccin X, la sumatoria se aplica sobre las fuerzas ssmicas de los

grados de libertad . De esta forma, la ecuacin es la siguiente:

+==

N3

N2kj

xnjxnk FMt

De forma anloga al desarrollo anterior, se llega a:

),T(SJMt nnanxn,j

N3

N2kj

jxnk

=

+=

(2.50)


34/45

Fig. 2.9 ESFUERZOS DE CORTE Y TORSIN DEL PISO k

uxnk

F v

xnkF

xnkF

kPiso

xxnkQ xynkQ

xnkMt

NPiso

xnNF

vxnk

F xnNF

Y

X

Z XSismo


35/45

2.2.8.- ESFUERZOS BASALES

CORTE Y TORSIN

Los esfuerzos de corte y torsin a nivel basal, segn sus respectivos grados

de libertad, se obtienen al sumar del vector 2.47 las fuerzas ssmicas de todos los

pisos.

Por lo tanto, el esfuerzo de corte basal directo del modo n, asociado a un

sismo en la direccin X, se obtiene al sumar los primeros N elementos del vector

2.47. Su ecuacin es la siguiente:

),T(SmQ nnanxn,j

N

1jjxxno

=

= (2.51)

Pero, recordando de la ecuacin 2.31a y 2.33a que:

n,j

N

1j

jnx mL =

= yn

nxnx

M

L=

As, la ecuacin 2.51 queda:

),T(SM

LQ nna

n

2nx

xxno = (2.52)

El esfuerzo de corte basal acoplado del modo n, asociado a un sismo en la

direccin X, se obtiene al sumar del vector 2.47 los elementos entre las posiciones

N+1 y 2N. La ecuacin queda definida por:

),T(SmQ nnanxn,j

N2

1Nj

jxyno

=

+=

(2.53)


36/45

Pero, recordando de la ecuacin 2.31b y 2.33a que:

n,j

N2

1Nj

jny mL +=

= yn

nxnx

M

L=


),T(SM

LLQ nna

n

nynxxyno = (2.54)

El momento torsor basal del modo n, asociado a un sismo en la direccin X,

se obtienen al sumar los ltimos N elementos del vector 2.47. As, su definicin

queda representada por la siguiente ecuacin:

),T(SJMt nnanxn,j

N3

1N2j

jxno

=

+=

(2.55)

Pero, recordando de la ecuacin 2.31c y 2.33a que:

n,j

N3

1N2j

jn JL +=

= yn

nxnx

M

L=


),T(SM

LLMt nna

nnnxxno = (2.56)


37/45

De forma anloga para un sismo en la direccin Y, los esfuerzos de corte

directo, corte acoplado y momento de torsin a nivel basal quedan definidos

respectivamente por las siguientes ecuaciones:

),T(SM

LQ nna

n

2ny

yyno = (2.57)

),T(SM

LLQ nna

n

nxnyyxno = (2.58)

),T(SM

LL

Mt nnan

nnyyno

= (2.59)

MOMENTOS VOLCANTES

Junto con los esfuerzos basales de corte y torsin, es posible tambin

calcular los momentos basales volcantes de la estructura para el modo n. Para

obtener dichos momentos, en las direcciones X o Y, se debe realizar un equilibrio

de fuerzas en la base de la estructura. As, como se muestra en la figura 2.10 el

momento basal volcante directo en la direccin Y se obtiene de la suma de los

momentos generados, con respecto a la base, por las fuerzas ssmicas asociadas

a los grados de libertad u .

De esta forma, ante una carga ssmica en la direccin X, la ecuacin para

obtener el momento basal volcante directo se representa por la siguiente

ecuacin:

1u xn1ku xnku xnNxxno ZFZFHFMv ++++= LL (2.60)


38/45

De igual forma, ante una carga ssmica en la direccin X, la ecuacin para

obtener el momento basal volcante acoplado se representa por la siguiente

ecuacin:

1v

xn1kv

xnkv

xnNxyno ZFZFHFMv ++++= LL (2.61)

Donde kZ representa la altura del piso k, sobre el nivel basal. En tanto H

representa la altura total del edificio sobre en nivel basal.

Fig. 2.10 MOMETO VOLCANTE BASAL DIRECTO DEL MODO n

HZN =

kZ

2Z

1Z

Npiso

kpiso

2piso

1piso

u xnNF

uxnk

F

uxn2

F

uxn1

F

xxnoMv


39/45

2.2.9.- MASAS EQUIVALENTES

MASAS EQUIVALENTES DIRECTAS

Corresponde a la masa total efectiva del modo n que ante una cierta

aceleracin del sistema produce un determinado esfuerzo de corte basal en la

misma direccin excitadora. Su nombre deriva de representar el modo n de un

sistema estructural por un sistema equivalente de un grado de libertad.

Fig. 2.11 SISTEMA EQUIVALENTE DE UN GRADO DELIBERTAD

En particular la masa equivalente traslacional directa del modo n, nxM , es

aquella que produce un esfuerzo de corte directo en su base xxnoQ , ante una

aceleracin aS en la direccin X.

anxxxno SMQ = (2.62)

De esta forma, al relacionar con la ecuacin 2.52, la cual define el corte

basal directo del modo n, el valor de nxM queda definido por la siguiente

ecuacin:

),T(SM

LQ nna

n

2nx

xxno = n

2nx

nxM

LM = (2.63)

nxM

xxnoQ

aS


40/45

De forma anloga, la masa equivalente traslacional directa en la direccin Y

del modo n se define por:

),T(SM

LQ nna

n

2ny

yyno = n

2ny

nyM

LM = (2.64)

En tanto, a pesar de la no existencia de sismos con aceleraciones angulares,

la masa equivalente rotacional del modo n es:

n

nn

M

LM

2

= (2.65)

Al sumar las masas equivalentes directas de todos los modos, para cada

direccin X, Y o , da como resultado la masa total de la estructura, es decir, la

suma de las masas de todos los pisos. De esta forma, se tiene.

T

N

1i

i

N3

1n

nx MmM == ==

(2.66a)

T

N

1i

i

N3

1n

ny MmM == == (2.66b)

T

N

1i

i

N3

1n

n JJM == ==

(2.66c)

En el diseo ssmico de edificios no es necesario realizar un anlisis con

todos los modos de vibrar. As, la limitacin del nmero de modos que se

incluyen en el anlisis est asociada al porcentaje de masa equivalente que stos

aportan del total.


41/45

MASAS EQUIVALENTES ACOPLADAS

Se define como masa equivalente acoplada a cierta parte de la masa

equivalente total del modo n que participa en la generacin de esfuerzos en

direcciones distintas de la direccin excitadora.

En particular, la masa equivalente traslacional acoplada del modo n, xynM ,

es aquella que produce un esfuerzo de corte acoplado basal xynoQ , ante una

aceleracin aS en la direccin X. De esta forma, de acuerdo a la ecuacin 2.54,

xynM queda representada por:

),T(SM

LLQ

nnan

nynx

xyno=

n

nynx

xyn M

LLM = (2.67)

De forma anloga para un sismo en la direccin Y, se tiene:

),T(SM

LLQ nna

n

nxnyyxno =

n

nxnyyxn

M

LLM = (2.68)

Por otro lado, la masa equivalente rotacional acoplada del modo n, xnM , es

aquella que produce un esfuerzo de torsin basal xnoMt , ante una aceleracin aS

en la direccin X. De esta forma, de acuerdo a la ecuacin 2.56, xnM queda

representada por.

),T(SM

LLMt nna

n

nnxxno

= n

nnxxn

M

LLM = (2.69)

De forma anloga para un sismo en la direccin Y, se tiene:

),T(SM

LLMt nna

n

nnyyno

=

n

nnyyn

M

LLM

= (2.70)


42/45

2.2.10.- CRITERIOS DE COMBINACIN MODAL

Dado que el sistema de 3N grados de libertad es representado por la

superposicin modal de 3N sistemas independientes, la respuesta total de la

estructura ser entonces igual a la suma de las respuestas individuales de cada

modo de vibrar en un mismo instante de tiempo t. Sin embargo, en el anlisis

modal espectral se determinan slo las respuestas mximas de cada modo de

vibrar, las cuales por lo general, no ocurren en un mismo instante de tiempo.

Fig. 2.12 COMBINACIN MODAL. RESPUESTAS MXIMAS

=

+=

Modo 1

1X 2X

t t t

+

1X 2X X

Res uesta mxima del modo 1

Res uesta mxima del modo 2

Modo 2

X


43/45

CRITERIO DE LA SUMA ABSOLUTA

Desde este punto de vista, la primera regla de combinacin modal conocida

como Suma Absoluta (ABSSUM), ecuacin 2.71, entrega un valor muy alto y

conservador, ya que realiza la suma directa de las respuestas mximas de cada

modo de vibrar.

=

=N3

1j

jXX (2.71)

Donde X representa la respuesta total del sistema. En tanto jX

representa la mxima respuesta del modo j.

CRITERIO DEL MXIMO VALOR PROBABLE

La segunda regla de combinacin modal, ecuacin 2.72, obtiene la respuesta

total del sistema al calcular la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las

respuestas mximas de cada modo (SRSS). A travs de estudios probabilsticas

se ha demostrado que esta combinacin modal proporciona una respuesta total

del sistema mucho ms precisa. Sin embargo, pierde validez al ser utilizada en

estructuras con frecuencias de vibracin similares, ya que no se toma en cuenta el

efecto del acoplamiento modal.

=

=N

j

jXX3

1

2 (2.72)


44/45

CRITERIO DE LA COMBINACIN CUADRTICA COMPLETA

La regla de combinacin cuadrtica completa (CQC), es una ampliacin de la

regla anterior. Esta combinacin incluye el efecto de acoplamiento entre dos

modos con periodos de vibrar muy cercanos. De esta forma, incorpora en la

respuesta ssmica la contribucin que posee la interaccin de ambos modos

combinados. La regla CQC esta dada por la siguiente ecuacin.

= =

=N

i

N

j

jiij XXX3

1

3

1

(2.73a)

Desarrollando esta ecuacin se tiene,

= ==

+=N3

1i

N3

1j

jiij

N3

1j

2j XXXX (2.73b)

As, el primer trmino bajo la raz representa a la combinacin modal (SRSS),

en tanto que el segundo incorpora la interaccin de la respuesta entre dos modos

consecutivos, multiplicados por un valor ij , el cual se grafica en la figura 2.13 y

se define por la siguiente ecuacin.

( ) ( ) ( )r1r4r1r1

r8

22

2/32

ij+++

=

(2.74)

Donde es la razn de amortiguamiento uniforme para todos los modos de

vibrar. En tanto r es la razn entre los periodos de dos modos consecutivos.

j

i

T

Tr= (2.75)

ji


45/45

Fig. 2.13 COEFICIENTE DE ACOPLAMIENTO

De esta forma, si los periodos de dos modos son muy cercanos, el valor de r

y ij tender a la unidad, generando de esta manera, una respuesta mxima

combinada de ambos modos. Sin embargo, tal respuesta puede poseer signo

positivo o negativo, dependiendo del signo de la respuesta de cada modo

considerado. Lo que finalmente repercute en que la respuesta total de la

combinacin modal CQC puede ser mayor o menor que la regla SSRS.

Finalmente la respuesta total del sistema es obtenida a travs de uno de los

3 mtodos de combinacin modal vistos previamente. De esta forma, los

esfuerzos y desplazamientos finales de la estructura, son llamados esfuerzos y

desplazamientos combinados.

ij

j

i

T

Tr=

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Apuntes Analiisis Modal Espectral