Apuntes Completos de Representacic3b3n Simbc3b3lica y Angular2010alumno

7/26/2019 Apuntes Completos de Representacic3b3n Simbc3b3lica y Angular2010alumno

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Representacinsimblica y

angular delentorno

Segundo Semestre

Ing. Jorge Hernndez Snchez


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Colegio de Educacin Profesional Tcnica delEstado de Mxico Plantel del Sol Clave 014


PROGR! "#$ !%"&$O' Representacin simblica y angularUnidad I. Maneja aplicaciones algebraicas de funcionestrascendentes

1.1Emplea las funciones eponenciales ! logar"tmicas para larepresentacin algebraica de situaciones de su entorno.

#. Aplicacin de funciones exponenciales.

Definicin y grfica.

Dominio y rango.

$. Aplicacin de funcioneslogartmicas.

Definicin de logaritmos.

Propiedades de los logaritmos.

Tipos de logaritmos.Cambios de base

1.% Resuelve las ecuaciones exponenciales y logartmicas para solucionar

situaciones de su entorno.

#. Solucin de ecuaciones exponenciales.

Desarrollo algebraico.

Desarrollo grfico.

Solucin.

$. Solucin de ecuaciones logartmicas.Desarrollo algebraico.

Representacin grfica.

Solucin de ecuaciones logartmicas.

Resolucin de problemas mediante ecuaciones exponenciales y logartmicas.

&nidad II. !odelado de super(icies y espacios%.1 Ubica e identifica figuras en el espacio mediante sus caractersticas

geomtricas

#. Identificacin de las propiedades de los tringulos.

Clasificacin.

Por sus lados.

Por sus ngulos

Caractersticas.

Relacin entre sus lados y ngulos.

Puntos y rectas notables.

$. Identificacin de las propiedades de los cuadrilteros

Caractersticas.

Clasificacin.Cncavos.

Convexos.


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&epresentaci'n simb'lica ! angular del entorno(. Identificacin de propiedades de los polgonos de ms de cuatro lados

Regulares

Irregulares Descomposicin de polgonos en tringulos

%.% Explica y demuestra el modo en que las figuras son congruentes entre s,mediante el anlisis de sus dimensiones y componentes.

A.Aplicacin de los postulados de congruencia y semejanza de tringulos.

Teorema de Pitgoras.

Conjetura de Fermat.

$. Transformacin de figuras planas.

Traslacin de figuras planas.

Simetra respecto a un punto

Simetra respecto a un eje.Rotacin respecto a un punto.

Rotacin respecto a un eje.%.) Interpreta y resuelve situaciones de espacios y superficies de acuerdo con sus

procedimientos geomtricos.

#. Clculo del permetro y rea de polgonos regulares e irregulares.

Obtencin de los trminos en las frmulas sobre el permetro y rea de polgonos

regulares e irregulares.

Relacin entre el permetro y el rea de los polgonos regulares e irregulares.

$. Identificacin de los elementos y las propiedades de la circunferencia.

Elementos.

Dimetro, Radio, Arco, Cuerda., Tangente y Secante.

Propiedades

Permetro, rea.

(. Clculo de volmenes geomtricos.

Tetraedro, Hexaedro, Prisma triangular, Prima cuadrangular recto, Cono, Cilindro y

Esfera.

&nidad III. &so de )rigonometr*a+., Representa de manera gr(ica y algebraica situaciones de la -ida cotidianamediante el uso de razones y (unciones trigonomtricas.#. Identificacin de razones y funciones trigonomtricas.

Definicin de razones.

ngulo en posicin normal y Valores notables de 30, 45 y 60.

Determinacin de razones a partir de un punto en el plano.

$. Resolucin del triangulo rectngulo.

Solucin mediante razones y Ley de senos y cosenos.(. Definicin en el plano cartesiano.

ngulo de referencia, Signos y valores en diferentes cuadrantes, Grficas,


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D.Identificacin en el crculo unitario, Segmentos, Dominio y rango y Anlisis.

E. Aplicacin de las funciones trigonomtricas.

Concepto.

Elementos.

Graficacin+./ "etermina identidades y ecuaciones trigonomtricas0 calculando los -alores desus -ariables para la interpretacin de situaciones.#. Definicin de las identidades trigonomtricas fundamentales

Deduccin y demostracin a partir de las razones fundamentales

Deduccin de las identidades de argumento compuesto

Doble y Mitad

Demostracin y aplicacin de las identidades

Funciones inversas

$. Solucin de ecuaciones trigonomtricas

Directamente yUtilizando identidades trigonomtricas.REGLAS DEL CURSO

Debers tener el 80 de !sistenci! p!r! ser e"!lu!do#

Debers est!r !tento !l p!s!r list!$ si no contest!s cu!ndo se te nombre tienes %!lt!#

El no !sistir no es prete&to p!r! no cumplir$ si %!lt!s debers pregunt!r 'ue se "io en

cl!se ( cu!l %ue l! !cti"id!d re!li)!d! ( l! e"idenci! ! present!r#

Se re"is!r el cu!derno sin pre"io !"iso$ !s 'ue debers tenerlo siempre el corriente#

En el cu!derno se integr! el port!%olio de e"idenci! del tr!b!*o re!li)!do$ si lo pierdes$

t!mbi+n pierdes l! e"idenci! contenid! ,!st! ese momento en el mismo#

-od! e"idenci! de !prendi)!*e como cu!dernos$ t!re!s$ in"estig!ciones$ tr!b!*os$ etc#$

debern est!r completos$ con buen! present!cin$ !sent!ndo nombre$ grupo ( m!trcul!$

!dems de entreg!rse en l!s %ec,!s est!blecid!s$ de lo contr!rio no se registr!r!n en l!

b!se de d!tos#Los tr!b!*os !nteriores debern integr!rse en el cu!derno de l! m!teri!#

Si se te sorprende ,!ciendo t!re!s de otr! m!teri! o con ob*etos 'ue no son de l!

cl!se .como m!'uill!*e$ r!dios$ celul!res$ etc/ se te recogern ( sern de"ueltos en

Orient!cin Educ!ti"!#

L! toler!nci! p!r! entr!r !l s!ln con !sistenci! es de 0 minutos empe)!ndo l! ,or!

de cl!se$ despu+s de este tiempo$ puedes p!s!r teniendo l! %!lt! correspondiente#

Se debe conser"!r el mobili!rio$ inst!l!ciones ( e'uipo$ si lo deterior!s debers

rep!r!rlo#


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&epresentaci'n simb'lica ! angular del entornoDebes conser"!r el orden ( l! !line!cin de l!s sill!s en cl!se$ si l!s mue"es por

cu!l'uier moti"o$ l!s orden!r!s !l %in!li)!r l! !cti"id!d#

1o debes comer en cl!se$ p!r! ello se tienen lug!res destin!dos p!r! t!l %in#

El p!dre de %!mili! es un elemento "!lioso dentro del proceso ense2!n)!!prendi)!*e$ teniendo "!ri!s respons!bilid!des$ entre ell!s el compromiso de "igil!r el

buen desempe2o de su ,i*o .!/ en el tr!nscurso del semestre$ ( d!r seguimiento ! su

des!rrollo$ %irm!ndo de enter!do en l! e"!lu!cin obtenid! en l!s list!s de cote*o 'ue se

encuentr!n en el cu!derno de su ,i*o .!/$ p!r! su registro en l! b!se de d!tos "! 3nternet

de l! institucin ( l! bitcor! de cl!se correspondiente#

4irm! del !lumno 4irm! del p!dre o tutor 4irm! del pro%esor

4ec,! de 55555555555555555555555de 60 #


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Ing. Jorge Hernndez SnchezUnidad I. Maneja aplicaciones algebraicas de funcionestrascendentes&esultado de aprendizaje 1.1Emplea las funciones eponenciales !

logar"tmicas para la representacin algebraica de situaciones de su entorno.

$ogaritmos

Represent!cin gr%ic! de log!ritmos en "!ri!s b!ses7

el ro*orepresent! el log!ritmo en b!se e$el "erdecorresponde ! l! b!se 0$( el prpur!!l de l! b!se $9#

Se llama logaritmo de un n1mero0 al e2ponente al cual hay 3ue ele-ar la base paraobtener dicho n1mero. Es l! %uncin m!temtic! in"ers! de l! %uncin e&ponenci!l#:or e*emplo$ el log!ritmo con b!se b de un nmero 1 es el e&ponente & !l 'ue ,!( 'ueele"!r es! mism! b!se p!r! 'ue nos d+ dic,o nmero 17log b4 5 2 6 4 5 b2L! b!se b tiene 'ue ser positi"! ( distint! de .b; 0$ b < /#

log0 = 0 00= log0 0 = 0= 0log0 00 = 6 06= 00log0 000 = > 0>= 000log0 00000 = ? 0?= 0000$ entonces el log!ritmo es e&ponenteOperaciones con logaritmosE*emplo 7 @ultiplic!mos 0 & 00

Aplic!ndo log!ritmoslog .!b/ = log .!/ log .b7log .0 & 00/ = log .0/ log .00/ = 6 = >$ !plic!ndo !ntilog!ritmo ! > el result!dode l! multiplic!cin es 000

E*emplo 67 Di"id!mos 000 B 0Aplic!ndo log!ritmoslog .!Bb/ = log .!/ log .b7


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&epresentaci'n simb'lica ! angular del entornolog .000 B 0/ = log .000/ log .0/ = > = 6$ !plic!ndo !ntilog!ritmo ! 6 el result!dode l! di"isin es 00

E*emplo >7 Re!li)! l! potenci! 06

Aplic!ndo log!ritmoslog .!n/ = n log .!/log .06/ = 6 log .0/ = 6./ = 6$ !plic!ndo !ntilog!ritmo ! 6 el result!do de l! potenci! es00E*emplo ?7 Re!li)! l! r!) 00

Aplic!ndo log!ritmoslog .&!/ = log .!/ B &log .00/ = log .00/B6 = 6B6 = $ !plic!ndo !ntilog!ritmo ! el result!do de l! r!) es 0

plicaciones del logaritmoC!lcul! l! ,ipotenus! ( el re! del tringulo rectngulo de b!se ? ( !ltur! > unid!des#:!r! c!lcul!r l! ,ipotenus! utili)!remos7 ipotenus! = b!se6 !ltur!6

Aplic!ndo log!ritmos ! ?6 >6

log ?6 >6= log .?6 >6/ B 6 = log .F//B6 = log 6HB6 = #>F9FB 6 = 0#F8F

Aplic!ndo !ntilog!ritmo ! 0#F8F = H$ entonces l! ,ipotenus! mide H unid!des:!r! c!lcul!r el re! tenemos Ire! = b!se J !ltur! B 6 = ? & > B 6$ !plic!ndo log!ritmoslog K.?/.>// B 6 = log? log> log 6= 0#?9960#060HF 0#>006F = 0#998>6H

Aplic!ndo !ntilog!ritmo ! 0#998>6H = $ entonces el re! mide unid!des

IntroduccinD!do un nmero re!l .!rgumento &/$ l! %uncin log!ritmo le !sign! el e&ponente n .opotenci!/ ! l! 'ue un nmero %i*o .b!se b/ se ,! de ele"!r p!r! obtener dic,o !rgumento#Es l! %uncin in"ers! de l! e&ponenci!l & = bn# Est! %uncin se escribe como7 n 5 logb 2$lo 'ue permite obtener n# As$ en l! e&presin 0 6 = 00$ el log!ritmo de 00 en b!se 0

es 6$ ( se escribe como log000 = 6#:or e*emplo7 +8 5 9, : log+ 9, 5 8Propiedades de los logaritmos

El log!ritmo de un producto es igu!l ! l! sum! de los log!ritmos de los %!ctores#log ;ab7 5 log ;a7 < log ;b7El log!ritmo de un cociente es igu!l !l log!ritmo del numer!dor menos el log!ritmo deldenomin!dor#log ;a=b7 5 log ;a7 > log ;b7El log!ritmo de un! potenci! es igu!l !l producto entre el e&ponente ( el log!ritmo de l!b!se de l! potenci!#

log ;a2

7 5 2 log ;a7El log!ritmo de un! r!) es igu!l !l producto entre l! in"ers! del ndice ( el log!ritmo delr!dic!ndo#log ;2?y7 5 log ;y7 = 2

$ogaritmo en base b ;cambio de base7Son comunes los log!ritmos en b!se e.log!ritmo neperi!no/$ b!se 0 .log!ritmo comn/$b!se 6 .log!ritmo bin!rio/$ o en b!se inde%inid! .log!ritmo inde%inido/# L! eleccin de undetermin!do nmero como b!se de los log!ritmos no es cruci!l$ debido ! 'ue se pueden,!cer con"ersiones de un! b!se ! otr! de %orm! sencill!# :!r! ello$ es til l! siguiente%rmul! 'ue de%ine !l log!ritmo de & en b!se b .suponiendo 'ue b$ &$ ( son nmeros

re!les positi"os ( 'ue t!nto MbM como MM son di%erentes de /7logb ;27 5 log@ ;27 = log@;b7en l! 'ue MM es cu!l'uier b!se "lid!# Si ,!cemos = &$ obtendremos7


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Ing. Jorge Hernndez Snchezlogb ;27 5 , = log2;b7

1.% Resuelve las ecuaciones exponenciales y logartmicas para solucionar

situaciones de su entorno.

#. Solucin de ecuaciones exponenciales.$. Solucin de ecuaciones logartmicas.

Los logaritmos son una herramienta muy til para solucin de ciertas ecuaciones, como

las siguientes:

Ejemplo 1. Resuelve la siguiente ecuacin 22x 1=4Aplicando logaritmos log 22x 1= log4(2x 1) log 2 = log42x 1 = log 4 / log 22x 1 = 2

X = (2 + 1) / 2 = 3/2 = 1.5

E!mplo 2. 42x 2="Aplicando logaritmos log 42x 2= log"

(2x 2) log 4 = log"2x 2 = log " / log 42x 2 = 1.5X = (1.5 + 2) / 2 = 3.5/2 = 1.#5

&nidad II. !odelado de super(icies y espacios%.1 Ubica e identifica figuras para ubicarlos en un determinado espacio

. Identi(icacin de las propiedades de los tringulos."e(inicin de tringulo# Es un! %igur! cerr!d!$ %orm!d! por tres rect!s 'ue secort!n dos ! dosN es el polgono o %igur! geom+tric! %orm!d! por tres l!dos 'ue%orm!n ! su "e)$ entre s tres ngulosN por t!l r!)n el tringulo es unsubcon*unto de los polgonos#

Alasi(icacin'

De !cuerdo ! sus l!dos7E'uiltero# -res l!dos igu!les#3ssceles# 6 l!dos igu!les#Esc!leno# 0 l!dos igu!les#

De !cuerdo ! sus ngulos7Acutngulo# > ngulos interiores !gudosRectngulo# ngulo recto#Obtusngulo# ngulo obtuso#


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4ig# 4ig# 6

4ig# > 4ig# ?

&epresentaci'n simb'lica ! angular del entornoLos !cutngulos (obtusngulos se denomin!noblicungulos$ por 'ue notienen ngulos interiores deF0

Propiedades. Puntos 4otables y Rectas del )ringulo. Un l!do de un tringulo es menor 'ue l! sum! de los otros dos ( m!(or 'uesu di%erenci!7 !P b cN ! ; b c L! sum! de los ngulosinteriores de todo tringulo"!le 80# Un tringulo slo puedetener un ngulo recto uobtuso$ ( entonces los otrosdos en consecuenci! son!gudos# Si tu"ier! slo unngulo !gudo ( los otros dosrctos u obtusos$ esntre lostres sum!r!n ms de 80#

Puntos notables y Rectas

del )ringulo#Bisectriz es l! semirect! 'uedi"ide ! un ngulo en dos p!rtes igu!les#Incentro# Es el punto de interseccin de l!s tres bisectrices de un tringulo# Es elcentro de l! circun%erenci! inscrit!# 4ig# !ediatriz de un segmento. #s l! rect! perpendicul!r !l mismo en su puntomedio# 4ig# 6Aircuncentro. Es el punto de interseccin de l!s tres medi!trices de untringulo# Es el centro de l! circun%erenci! circunscrit!# 4ig# 6

ltura# Es el segmento perpendicul!r comprendido entre un "+rtice ( el l!doopuesto# 4ig# >Ortocentro# Es el punto de interseccin de l!s tres !ltur!s de un tringulo# 4ig# >


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Ing. Jorge Hernndez Snchez!ediana# Es el segmento comprendido entre el "+rtice ( el punto medio del l!doopuesto# 4ig# ?Baricentro# Es elpunto deinterseccin de l!stres medi!n!s deun tringulo# 4ig# ?

Crea de un)ringulo. Es igu!l! l! mit!d delproducto de sub!se por su !ltur!$! continu!cin se

muestr!n l!se&presiones mscomunes de!cuerdo !l tipo detringulo#

-eorem! del C!teto#Otr! rel!cin import!nte 'ue se cumple en untringulo rectngulo es el teorem! del c!teto7 elcu!dr!do de c!d! c!teto es igu!l !l producto del! ,ipotenus! por su pro(eccin sobre ell!$ esdecir7 c6 = ! Q m$ b6 = ! Q n ( ,6 = m Q n

)eorema de Pitgoras.La suma del cuadrado delos catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.a6= b6 c6 en donde7

c = ( a2+ b2) a = ( c2 b2) b = ( c2+ a2)

Pol*gonos."e(inicin# :ro"iene de l!s r!ces grieg!s polisT'ue signi%ic! muc,osT ( goni!T 'ue signi%ic!ngulosTN por lo t!nto$ es un tr!)o 'ue contiene muc,os ngulos$ t!mbi+n sede%ine como l! %igur! pl!n! limit!d! por un! cur"! cerr!d!$ ll!m!d! poligon!l ocontorno#

B. Identi(icacin de las propiedades de los cuadrilteros."e(inicin. Pol*gonos limitados por cuatro lados y 3ue adems (ormasentre s* cuatro ngulos.


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&epresentaci'n simb'lica ! angular del entorno

4otacin# Se nombr!n medi!nte letr!s m!(scul!ssitu!d!s en los "+rtices# 1ot!cin7 :olgono ACD$Cu!driltero ACD#

Alasi(icacin7 Se cl!si%ic!n de !cuerdo ! sus ngulos( ! l! %orm! de sus l!dos$ es decir$ !l p!r!lelismo desus l!dos opuestos#

L!dos opuestos p!r!lelos7 :!r!lelogr!mos Cu!dr!dos Rectngulos Rombos RomboidesSlo dos de sus l!dos son p!r!lelos .b!ses/7 -r!pecios

-# Esc!leno# -# 3ssceles# -# Rectngulo#Cu!drilteros 'ue no tienen l!dos p!r!lelos entre s7 -r!pe)oides# Sim+tricos# Asim+tricos#

A. Identi(icacin de propiedades de los pol*gonos de ms de cuatro lados."e(inicin de Pol*gonos# -r!)o 'ue contiene muc,os ngulos#

Alasi(icacin de los pol*gonos## Segn el c!rcter entr!nte o s!liente de los ngulos del polgono7!#Cnc!"os# Cu!ndo tienen !lgn ngulo entr!nte$ es decir$ uno o ms de susngulos interiores son m!(ores de 80N t!mbi+n se pueden cru)!r sus l!dos$en cu(o c!so se les denomin! polgonos estrell!dosT#b#Con"e&os# Cu!ndo tienen todos sus ngulos s!lientes$ es decir$ tienenngulos menores ! 80#


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Ing. Jorge Hernndez Snchez6# Segn l! regul!rid!d de sus elementos7 Regul!res e 3rregul!res#

!#Regul!res# Son todos los 'ue tienen todos sus l!dos ( ngulos igu!les$ esdecir$ 'ue son e'uilteros ( e'uingulos#b#Son !'uellos 'ue no tienen todos sus l!dos ( ngulos igu!les$ es decir$cu!ndo no son regul!res#

># Segn el nmero de l!dos7 !lgunos polgonos reciben nombres espec%icos#1o# de l!dos 1ombre> tringulos? cu!drilterosH pentgonos ,e&gonos9 ,eptgonos8 octgonosF nongonos enegonos0 decgonos

endecgono6 dodecgono


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En ms de 6 l!dos$ el polgono se denomin! de n l!dosT por e*emplo polgono detrece l!dos$ de c!torce l!dos$ etc#"escomposicin de pol*gonos en tringulos.E*emplo7 C!lcul! el re! del polgono ACDE mostr!do#

/./Explica y demuestra el modo en que las figuras son congruentes entre s,

mediante el anlisis de sus dimensiones y componentes.

B. )rans(ormacin de (iguras planas. )raslacin0 simetr*a y rotacin."e(inicin de igualdad de un )ringulo.Criterios de congruenci!7Criterio # -ienen los tres l!dos respecti"!mente igu!les# LLLTCriterio 6# -iene un ngulo igu!l ( dos l!dos 'ue lo %orm!n# LALTCriterio ># -ienen dos ngulos igu!les ( el l!do 'ue los une# ALAT

Criterios de seme*!n)!7Criterio # -ienen dos p!res de ngulos respecti"!mente igu!les# AATCriterio 6# -ienen un ngulo igu!l ( proporcion!les los l!dos 'ue lo %orm!n#ALLTCriterio ># -ienen los tres l!dos proporcion!les# LLLT

. plicacin de los postulados decongruencia y semeDanza detringulos.

/.+Interpreta y resuelve situaciones deespacios y superficies de acuerdo con sus

procedimientos geomtricos.

.Alculo del per*metro y rea depol*gonos regulares.En todos los polgonos regul!res elpermetro se encuentr! multiplic!ndo elnmero de l!dos n por l! m!gnitud de unode sus l!dos#


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Per*metro 5 n l n= nmero de l!dos l = m!gnitud de uno de sus l!dos#

El re! se c!lcul! multiplic!ndo el permetro por l! !potem! ( luego di"idiendoentre dos# Crea 5 Per*metro 2 apotema = /

E*emplo7 C!lcul! el permetro ( re! de un octgono de l!do cm# ( !potem!0 cm#:ermetro = 8 & cm# = ?8 cm#

Ire! = ?8 cm# & 0 cm# B 6 = ?80cm6B 6 = 6?0 cm6

Para pol*gonos irregulares se debe di"idir l! %igur! .cort!r/ en %orm!sgeom+tric!s conocid!s p!r! c!lcul!r el re! tot!l#

B. Identi(icacin de los elementos y las propiedades de la circun(erencia."e(inicin de Aircun(erencia# Cur"! cerr!d! ( pl!n! en l! 'ue c!d! uno de

sus puntos e'uidist! de un punto %i*o$ ll!m!do centro##lementos de la circun(erencia.A*rculo# Es l! p!rte de un pl!no limit!d! por un! circun%erenci!#Radio# Segmento 'ue tiene por e&tremos el centro ( un punto cu!l'uier! de l!circun%erenci!#rco# Cur"! limit!d! por dos puntos en l! circun%erenci! ll!m!dos e&tremos#Auerda# Es el segmento 'ue une dos puntos de l! circun%erenci!#

"imetro# Cu!l'uier segmento rectilneo'ue p!s! por el centro ( cu(os e&tremos

estn en l! circun%erenci!#Sector Aircular# :!rte del crculo limit!d!por un !rco ( los r!dios de sus e&tremos#Segmento Aircular# :orcin de un crculolimit!d! por un !rco ( su cuerd!#

Per*metro. $ongitud de unacircun(erencia. Si e&tendemos en %orm!line!l l! m!gnitud de un! circun%erenci! (

medirl! con su propio dimetro$comprob!r!mos 'ue c!be >#?HF "eces$ es decir$ 'ue es el nmero de"eces 'ue c!be el dimetro en l! circun%erenci!$ entonces el permetro de un!circun%erenci! es & dimetro# P 5 ".

El re! del crculo se c!lcul! medi!nte l! e&presin7 5 r/

A. Alculo de -ol1menes geomtricos. Prismas y Pirmides.Eiguras Slidas# Son los cuerpos 'ue tienen tres dimensiones7 l!rgo$ !nc,o (!lto# -odos los puntos 'ue estn dentro del

slido se ll!m!n interiores$ los 'ue estn %uer!e&teriores ( los 'ue estn sobre l!s c!r!s sonll!m!dos puntos %ronter!#

Poliedros# Son %igur!s slid!s 'ue tienentod!s sus c!r!s pl!n!s#


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Partes de un Poliedro. Si se tienen dos polgonos igu!les unidos porsegmentos de rect! gener!mos un poliedro ll!m!do Prisma# C!be ,!cer not!r'ue tod!s l!s c!r!s l!ter!les son rectngulos p!r!lelogr!mos#

Cu!ndo el poliedro con"erge en un "+rtice .cspide/ comn ( slo tiene un!b!se$ sus c!r!s sern tringulos$ denominndose Pirmide# L!s c!r!s seunen por medio de segmentos ll!m!dos ristas( est!s ! su "e) se unen pormedio de puntos ll!m!dos Frtices#

Creas y Fol1menes de Prismas.Crea de un slido= Ire! de sus c!r!sFolumen= Ire! de l! b!se por su !ltur!Crea Base= n & r6& seno .80 B n/ & coseno.80 B n/

PirmideFolumen= .Ire! !se& Altur!/ B >Crea $ateral= AL= :ermetro de l! b!se & !potem!

E*emplo7 C!lcule el re! tot!l ( el "olumen de l! %igur! mostr!d!

Ire! b!se= & H6& seno .80B/ & coseno.80B/ = & 6H & 0#H & 0#8

= ?#FH u6

Ire! c!r! = 0 & H = H0 u

6

Ire! tot!l = .?#FH & 6/ .H0 & / = ?6F#F u6

Volumen = Ire! de l! b!se & Altur! = ?$FH & 0 = ?F#H u6


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)abla de reas y -ol1menes de Prismas y Pirmides.


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#s(eras0 Ailindros y Aonos."e(inicin de Aono.Super%icie engendr!d! por un! rect! m"il .Gener!tri)/'ue p!s! por un punto %i*o .V+rtice/ ( se !po(! en un! cur"! cerr!d!.Directri)/#

Cu!dr!do = !6

Rectngulo = !b

:!r!lelogr!mo = b,

-r!pe)oide = .,B6/ .b b6/


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&nidad III. &so de la trigonometr*a+., Representa de manera gra(ica y algebraica situaciones de la -idacotidiana mediante el uso de razones y (unciones trigonomtricas.

. Identi(icacin de razones y (unciones trigonomtricas.Cngulo en posicin normal.

Angulo7 es l! !bertur! %orm!d! por l! unin de 6 semirrect!s en un mismopunto ll!m!do vrticeN l!s semirrect!s reciben el nombre de lados del ngulo#

Es l! %igur! geom+tric! %orm!d! por 6 r!(os 'ue tiene un punto comn ll!m!dovrtice# El ngulo se obtiene por l! rot!cin de un! semirrect! !lrededor de suorigen#

L! posicin origin!l de l! semirrect! se denomin! lado inicial( l! posicin %in!lse denomin! lado terminal o !inal#

L! rot!cin del ngulo se puede e%ectu!r en 6 sentidosN en el sentido contr!rio! l!s m!necill!s del relo*$ en +ste c!so el ngulo espositivo( gir!ndo en elsentido de l!s m!necill!s del relo* el ngulo es negativo#

!edicin de ngulos.L! m!gnitud de un ngulono depende de l! longitudde sus l!dos$ sino de l!sep!r!cin o !bertur! 'ue,!( entre ellos#

@edir un ngulo escomp!r!rlo con otro 'ue setom! por unid!d de medid!o Amplitud :!trn# :!r!medir los ngulos e&isten

"!rios sistem!s$ siendo losms conocidos el sistemase"agesimal( el circular#


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a. Sistema Se2agesimal# Cre!do por los Sumerios$ di"idiendo l!circun%erenci! en >0 p!rtes igu!les$ 'ue correspond!n ! c!d! uno de losd!s del !2o#

C!d! gr!do es igu!l ! B>0 del ngulo de un! "uelt! de l! circun%erenci!# Ungr!do se di"ide en 0 p!rtes igu!les$ ll!m!dosminutos ( estos se di"iden en 0 d!ndo lug!r !los segundos#

L! simbolog! est! d!d! por7 gr!do $ minuto W( segundo #

= 0X = >00T

b. Sistema Aircular# L! unid!d %und!ment!les el r!din$ el cu!l se de%ine7 un r!din es el

ngulo cu(os l!dos comprenden un !rco cu(!longitud es igu!l !l r!dio de l! circun%erenci!#

r!din = H9 9X ?HT !pro&im!d!mente

SiendoN = >$?HF6H? ( R =

Longitud del !rco A es igu!l !l r!dio . r / del! circun%erenci!N YAO = r!di!n#

Si >0 = 6 r!d entonces r!di!n = H9#6FH9 ZH9#>

R#G$7 :!r! con"ertir de r!di!nes ! gr!dos setiene 'ue multiplic!r por el %!ctor H9#>$ ( de gr!dos !r!di!nes di"idir entre H9#>#

Falores 4otables.

$tili%ando &na calc&ladora ci!nt'ca otalas d!l s!no nat&ral s! oti!n! &natala como la &! s! il&stra acontin&aci*n &! gra'c,ndola !n &nplano cart!siano nos mostrar, !l mismogr,'co.

Utili)!ndo como b!se el -eorem! de:itgor!s ( l!s c!r!cterstic!s delcu!dr!do ( el tringulo$ podemos construir

%cilmente l!s rel!ciones trigonom+tric!sde los ngulos de ?H$ >0 ( 0$ como seilustr! ! continu!cin#


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ngulo.gr!dos/

0 >0 0 F0 60 H0 80 60 6?0 690 >00 >>0>0 =0

ngulo.r!di!nes/

0 B B> B6 6B> HB 9B ?B> >B6 HB> B6= 0

sen.!/.0B

?/.B

?/.>B

?/.?B

?/.>B?

/.B?

/.0B?

/[.B?/

[.>B?/

[.?B?/

[.>B?/

[.B?/

.0B?/

cos.!/.?B

?/.>B

?/.B

?/.0B

?/[.B?/

[.>B?/

[.?B?/

[.>B?/

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.>B?/.?B?

/

t!n.!/ .0B?/

.B>/

.>B/

.?B0/

[.>B/

[.B>/

[.0B?/

.B>/

.>B/

.?B0/

[.>B/

[.B>/

.0B?/

B. Resolucin del tringulo rectngulo.)rigonometr*a' Es l! r!m! de l!s m!temtic!s 'ue estudi! l!s rel!ciones 'ue

e&isten entre sus elementos .l!dos ( ngulos/#L! trigonometr! se %und!ment! en rel!ciones ll!m!d!s (uncionestrigonomtricas$ de%inid!s como l!s r!)ones entre elementos rectilneosrel!cion!dos ! un ngulo$ cu(! "!ri!cin depende de l! m!gnitud del nguloT#

Razn# Es el result!do de comp!r!r dos c!ntid!des entre s# -!mbi+n sede%ine como l! di"isin indic!d! de l! primer! c!ntid!d por l! segund!#

Razones trigonomtricas# E&isten seis r!)onesentre los l!dos de un tringulo$ rel!cionndol!s ! un

ngulo# L!s ms import!ntes son seno$ coseno (t!ngente$ 'ue se de%inen ! continu!cin#Seno 5 cateto opuesto = hipotenusa

Aoseno 5 cateto adyacente = hipotenusa

)angente 5 cateto opuesto = cateto adyacente

Aotangente 5 cateto adyacente = cateto opuesto

Secante 5 hipotenusa = cateto adyacente

Aosecante 5 hipotenusa = cateto opuestoComplet!ndo7

Sen A = ! B cCos A = b B c-!n A = ! B bCot A = b B !Sec A = c B bCsc A = c B !

Sen = b B cCos = ! B c-!n = b B !Cot = ! B bSec = c B !Csc = c B b

Sen A = Cos Cos A = Sen -!n A = Cot Sen A Csc A = Cos A Sec A = -!n A Cot A =

)ringulos Oblicungulos. En l! cl!si%ic!cin de tringulos se obser" 'uelos tringulos oblicungulos estn compuestos por los tringulosacutngulos .tienen > ngulos interiores !gudos/ ( los tringulosobtusngulos .tienen ngulo !gudo/$ se puede decir entonces 'ue los


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tringulos oblicungulos son !'uellos tringulos 'ue no tienen un ngulorecto#

L! ,err!mient! 'ue nos permite resol"er este tipo de tringulos son l!s

conocid!s como le(es del seno ( del coseno#$ey de los Senos. Es l! rel!cin de los l!dos de un tringulo con el seno delngulo opuesto ! ese l!do$ su e&presin m!temtic! est! por7

$ey de los Aosenos. Rel!cion! los l!dos de un tringulo con el coseno delngulo opuesto ! ese l!do$ su e&presin m!temtic! es7

!6= b6 c6 6bcQcos A cos A = .b6 c6 !6/ B 6bcb6= !6 c6 6!cQcos cos = .!6 c6 b6/ B 6!cc6= !6 b6 6!bQcos C cos C = .!6 b6 c6/ B 6!b

Resolucin de )ringulos Oblicungulos. Estos tringulos no tienen unngulo de F0 ( l!s r!)ones trigonom+tric!s no se !plic!n direct!mente$ !s'ue us!remos l!s le(es de los senos ( cosenos p!r! su solucin#

E&isten ? c!sos p!r! l! resolucin de tringulos oblicungulos#


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Aaso ,# Conociendo un l!do a( dos ngulos ( BA 5 ,9>; < B7b 5 a sen B = sen c 5 a sen A = sen

Aaso /. Conociendo dos l!dosa (b ( un ngulo opuesto.sen B 5 b sen = a entonces B 5 sen,; -alor anterior 7A 5 ,9 > ; < B7c5 a sen A = sen

Aaso +. Conociendo dos l!dos a( b( el ngulo Acomprendido entre ellos#c 5 ? ;a/< b/> /ab cos c7cos 5 ;b/ < c/> a/7 = /bc 5 cos,;resultado anterior7

B 5 ,9 > ; < A7Aaso 8.Conociendo tres l!dos a$ b( c#cos 5 ;b/ < c/> a/7 = /bc 5 cos,;resultado anterior7cos B 5 ;a/ < c/> b/7 = /ac B 5 cos,;resultado anterior7A 5 ,9 > ; < B7

#Demplos'A5 ,9 > ;,/ < +7 5 +

b 5 K 2 sen + = sen ,/5 /K = .9LL 5 /9.9Lc 5 K 2 sen + = sen ,/

5 /K = .9LL /9.LL ASO ,

A5 ,9 > ;/ < 87 5 ,/ b 5 ,, sen ,/ = sen 8

5 +.ML = .L8/ 5 K.9K c 5 ,, sen / = sen 8

5 N.K/L/ = .L8/M 5 ,8.9/ ASO ,

cos 5;8N./K/8L0MK/7=/28N./K29,./K 5 L98,.KL = 9+.,/K 5 .9K89 5 cos,.9K89 5 +,./Kcos B 5;8L.MK/8N./K/7=/28L.MK29,./KB 5 cos,.9+M+ 5 ++.,+A 5 ,9 > ;+,./K < ++.,+7 5 ,,K.L/ ASO 8

c 5 ? ;M/< 8/> /2M28 cos K7c 5 ? /N.+9N+ 5 K+.9Kcos 5 ;8/ < K+.9K/> M/7 = ;/2 82K+.9K7 5 cos,;.N/M7 5 NK.+/B 5 ,9 > ; K < NK.+/7 5 +8.L9 ASO +


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plicacin de la solucin de tringulos oblicungulos#Un in"ern!dero tiene >0 m de !nc,o ( l!s "ig!s di!gon!les %orm!n ngulos de6H ( 0 con respecto ! l! "iguet! soporte de l! estructur!# !g! un di!gr!m!( c!lcule l! longitud de c!d! "ig!#

A. Signos y -alores en di(erentes cuadrantes

En l! t!bl! siguiente se muestr!n los signos correspondientes ! l!s %uncionestrigonom+tric!s en los di%erentes cu!dr!ntes#

Signo de las (unciones enlos cuatro cuadrantes I II III IF

sen < < cos < # sen ;, ,7# tan = cot 5 ;, > cos/7 = cos/9# sec = csc 5 tan 8# sen/ > cos/ 5 / sen/ > ,

F# ;sen < cos 7/

5 , < / cos sen 0# sen/ < / cos/ 5 , < cos/#;, = sen/7 < ;, = cos/75 , = sen/ cos/ 6# tan = cot 5 tan/

"educcin de las identidades de argumento compuesto

"oble de un ngulosen 6A = 6sen A cos cos 6A = cos6A sen6At!n 6A = 6 t!n A B K[ t!n6A

Cngulo mitad


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sen AB6 = K. cos A / B 6^B6cos AB6 = K. cos A / B 6^B6

t!n AB6 = K. [ cos A /B . cos A/^B6

"emostracin y aplicacin de las identidades

En est! p!rte se demostr!rn l!s princip!les identid!des$ utili)!ndo l!se&presiones ( l!s rel!ciones pit!gric!s "ist!s !nteriormente#

E*emplo7 Demostr!r 'ue t!ngente A = Seno A B Coseno ASi s!bemos 'ue7 -!ngente A = ! B bSeno A = ! B cCoseno A = b B cEntonces$ -!ngente A = !Bc B b Bc ,!ciendo l! di"isin tenemos! Bb ( s!bemos 'ue !Bb es -!ngente A$ por lo 'ue-!ngente A = t!ngente A

Eunciones )rigonomtricas In-ersasL! e&presin seno,se denomin! seno in-erso de 2Uo arco seno dex, lo'ue signi%ic! #es el ngulo cu(o seno es 2T#Se !plic! en l! determin!cin del "!lor del ngulo de un! %uncintrigonom+tric!$ cu!ndo se conoce su "!lor n!tur!l# E*emplo7 cu!l es el ngulocu(o seno es 0#90

Arcsen 0#90 = seno,0#90 es el ngulo H0sen,0#90 = H0

B. Solucin de #cuaciones )rigonomtricas.L!s ecu!ciones como sen A = se les ll!m! ecu!ciones trigonom+tric!s# Enest!s se debe encontr!r l! medid! del ngulo$ d!do el "!lor de uno de l!sm!gnitudes de l!s %unciones trigonom+tric!s del ngulo 'ue s!tis%!cen l!ecu!cin#

"irectamente. #Demplo ,# C!lcul! todos los "!lores de A entre 0 ( >0 p!r!Sen A = # Us!ndo l! gr%ic! del seno se obser"! 'ue >0 ( H0 tienen l!m!gnitud de o 0#H#

Con l! c!lcul!dor! sen= >0 por complemento ( de !cuerdo ! los signos del!s %unciones en los cu!tro cu!dr!ntes$ se s!be 'ue el seno es positi"o en el ( >er cu!dr!nte$ entonces A = >0 ( H0#

&tilizando identidades trigonomtricas. #Demplo /..cos A 0#H/.cos A 0#8/ = 0 p!r! 0 _ A _ >0.cos A 0#H/.cos A 0#8/ = 0 !lgn %!ctor es ceroSi cos A 0#H = 0Cos A = 0#H

A = cos0#H = 0 ( A = >00

Si cos A 0#8 = 0Cos A = 0#8

A = cos0#8 = H0 ( A = 60

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