Upload
msosa73
View
719
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALTEMAS:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Expresin algebraica Trmino Parte de un trmino Trminos semejantes Monomio, Binomio, Trinomio Polinomios Parntesis para agrupamiento de expresiones Eliminacin de parntesis Reduccin de trminos semejantes Productos notables Descomposicin de factores (factorizacin) Fracciones algebraicas Reglas para el clculo de fracciones algebraicas Simplificar una fraccin Signos asociados a una fraccin Suma y resta de fracciones Multiplicacin de fracciones Divisin de fracciones Fracciones compuestas Potencias y races Potencia con base positiva Potencia con base negativa Propiedades de las potencias Propiedades que no tienen las potencias Notacin cientfica Races Propiedades de las races Racionalizacin Ecuacin de primer grado con una incgnita Resolucin de una ecuacin Clasificacin de ecuaciones lineales Sistema de ecuacin lineal con dos incgnitas Mtodos de resolucin
Pgina 1
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL1 EXPRESIN ALGEBRAICAEjemplos
Es una combinacin de nmeros y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y a veces tambin por medio de potencias, radicacin, exponenciacin y logaritmacin.
1. (5x 10)22.
3. xy + 4x2yz 4z3
2 TRMINO
Ejemplos
El trmino es la unidad fundamental operativa en lgebra. Se separan por medio de suma y resta. El trmino contiene multiplicaciones y divisiones.
a) . 7x
b). c) .
3 PARTE DE UN TRMINOConsta de una parte literal y otra numrica
-7 Representa el coeficiente numrico.
Representa el coeficiente literal.
El coeficiente literal se ordena en forma alfabtica
Pgina 2
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
4 TRMINOS SEMEJANTES
Ejemplos 6a2b es semejante con -8 a2b
-2x Son aquellos que poseen la misma parte
es semejante con 5x es semejante con 3x
literal.
x
4xyz no es semejante con
5 MULTINOMIO (Ms de un trmino)Monomio (1 trmino) 5x xyz3 Segn el nmero de trminos que posee una expresin algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO. Binomio (2 trminos) 2x + 3y a2 2b2 Trinomio (3 trminos) 3x + 5y 7 a+bc
+5 8+y
+ 2x 5 27 + x y
IMPORTANTE: Los trminos se separan por los signos + y/o
Pgina 3
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL6 POLINOMIOSLos polinomios estn formados por trminos cuyos coeficientes literales contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.
Forma general de un polinomio de una variable (P(x)) P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....... anxn 1) a0 , a1 , a2 , a3 , ....... an (constante x 2) n (exponente) IN {0}. IR)
Ejemplos de polinomios y no polinomios.
Son polinomios
No son polinomios
a) x2 + 2x 1 b) x + 3 c) x3 2x + 1 Presencia de exponentes enteros positivos
a) b) c)
+ 2x 1 +5 +1
Presencia de exponentes fraccionarios.
7 PARNTESIS PARA AGRUPAMIENTO DE EXPRESIONES.Tipos Redondo Corchete Llaves Simbologa ( ) [ ] { } Ejemplos (3x 1) [2x 1] {5x 3}Pgina 4
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
8 ELIMINACIN DE PARENTESIS CASO 1: Cuando el signo (+) antecede el parntesis no interviene en la operacin. + (a 2b) = a 2b
CASO 2: Cuando el signo () antecede el parntesis si interviene en la operacin.
CASO 3: Presencia de parntesis dentro del parntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera. Ejemplo: {8x [x 4(3 x) + 1]} = {8x [x 12+ 4x + 1]} = {8x [ 11+ 5x]} = {8x + 11 5x} = 8x - 11 + 5x = -3x - 11
Pgina 5
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL9 REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES
Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numricos conservando el factor literal comn. Ejemplo 1: Reducir a) (3x 1) + (x + 1) (2x 3) + 4
Eliminando los parntesis resulta: 3x 1 + x + 1 2x + 3 + 4 Ordenando: (3x + x 2x) + (1 + 3 + 4 + 1) Reduciendo, se obtiene finalmente: 2x + 7 Ejemplo2: Reducir b) [2(a b) (a + b + 3)] (2a - 5b + 4)
Eliminando parntesis: 2a 2b a b 3 2a + 5b 4 Ordenando: (2a a 2a) + (2b b + 5b) + (3 4) Reduciendo, se obtiene finalmente: a + 2b 7
Pgina 6
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL10 PRODUCTOS NOTABLESRepresentan casos de inters de multiplicacin de polinomios.
1) Monomio por monomio 2) Monomio por polinomio 3) Polinomio por polinomio
ab = ab a(c + d) = ac + ad (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
4) Binomio cuadrado (a b)2 = a2 2ab + b2 5) Suma por diferencia (a + b)(a b) = a2 b2
Ejemplos:
1) Monomio por monomio
ab = ab
a) (4x3y)( 2xy2) = (4)( 2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3 b) (ab)(4a2b2)( 5a3b4) = 4(5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = 20a6b7
2) Monomio por polinomio
a(c + d) = ac + ad
Pgina 7
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
a) 3x(5 x) = 3x(5) 3x(x) = 15x 3x2 b) 2(a b) = 2a + (2)( b) = 2a + 2b
3) Polinomio por polinomio
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
Ejemplos: a) (x 1)(x + 5) = x2 + 5x x 5 = x2 + 4x 5 b) (2a + b)(3a b) = 6a2 2ab + 3ab b2 = 6a2 + ab b2 c) (p + 2)(3p + 4) = 3p2 + 4p + 6p + 8 = 3p2 + 10p + 8
4) Binomio cuadrado
(a + b)2 , (a b)2
Pgina 8
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
(a b)2 = a2 ab ab + b2 = a2 2ab + b2
Ejemplos: a) (x + 3)2 = x2 + 2(3x) + 32 = x2 + 6x + 9 b) (x 3)2 = x2 2(3x) + 32 = x2 6x + 9 c) (2a + b)2 = (2a)2 + 2(2a)b + b2 = 4a2 + 4ab + b2 d) (3a 5b)2 = (3a)2 2(3a)(5b) + (5b)2 = 9a2 30ab + 25b2
5) Suma por diferencia
(a + b)(a b) = a2 b2
Pgina 9
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Ejemplos: a) (x 2)(x + 2) = x2 22 = x2 4 b) (2a 1)(2a + 1) = (2a)2 (1)2 = 4a2 1 c) (3x 2y)(3x + 2y) = (3x)2 (2y)2 = 9x2 4y2
11 DESCOMPOSICIN DE FACTORES (Factorizacin)1) Factor comn monomio ac + ad = a(c + d)
2) Trinomio cuadrado perfecto
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 2ab + b2 = (a b)2
3) Forma an
bn
a2 b2 = (a + b)(a b) a2 + b2 = Irreductible en IR
4) Trinomio cuadrado perfecto
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejemplos:1) Factor comn monomio ac + ad = a(c + d)
Factorizar las siguientes expresiones: a) 6x 3y = 2(3)x (3)y = 3(2x y) b) 4xy + 8x = (4x)y + 2(4x) = 4x(y + 2) c) 9a2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)Pgina 10
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALd) 5x3y 10x2y2 + 15xy3 = (5xy)x2 (5xy)2xy + (5xy)3y2 = 5xy(x2 2xy + 3y2)
2) Trinomio cuadrado perfecto
a2
2ab + b2 = (a b)2
Ejemplos: a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3x) +(3)2 = (x + 3)2 b) x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4x) + (4)2 = (x + 4)2 c) x2 6x + 9 = x2 2(3x) +(3)2 = (x 3)2 d) x2 8x + 16 = x2 2(4x) + (4)2 = (x 4)2
3) Forma an
bn
Ejemplos:
TIPO a2 b2 a) x2 1 = x2 12 = (x 1)(x + 1) b) 4x2 16 = (2x)2 42 = (2x 4)(2x + 4)
TIPO a2 + b2 a) x2 + 1 b) x2 + 25 No se puede factorizar en IR No se puede factorizar en IR
Pgina 11
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALTIPO a3 b3 a) x3 27 = x3 33 = (x 3)(x2 + 3x + 9) b) x3 8 = x3 23 = (x 2)(x2 + 2x + 4) TIPO a3 + b3 a) x3 + 1 = x3 + 13 = (x +1)(x2 x + 1) b) x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5)(x2 5x + 25)
4) Trinomio cuadrado perfecto
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones:
Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo. a) x2 7x + 6 = x2 + (1 6) x + (1)( 6) = (x 1)(x 6) b) x2 + 9x + 20 = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4) c) x2 x 2 = x2 + (1 2)x + (1)( 2) = (x + 1)(x 2) d) x2 6x + 8 = x2 + (2 4)x + (2)( 4) = (x 2)(x 4)
Pgina 12
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL12 FRACCIONES ALGEBRAICASLas fracciones a estudiar en este captulo son las fracciones racionales, es decir, fracciones que no tienen exponente fraccionario tanto en el numerador como en el denominador.
13 REGLAS PARA EL CLCULO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Son las mismas que las fracciones aritmticas. Destaca la regla, que el valor de una fraccin NO se altera si se multiplican o dividen, el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinto de cero.
Ejemplo: Si
se multiplica por x + 2 numerador y denominador resulta: (x 2)
14 SIMPLIFICAR UNA FRACCIN (Reduccin) Consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible.
Pgina 13
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Observacin: Es fundamental expresar la condicin (x 2) para simplificar la fraccin.
No es correcto simplificar , o dejar abierta esta posibilidad, producto de NO haber establecido las restricciones en una expresin algebraica a simplificar.
15 SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIN
Ejemplo:
Pgina 14
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
16 SUMA Y RESTA DE FRACCIONESCaso 1: Mismo denominador
Caso 2 : Distinto denominador
Pgina 15
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
A travs de mnimo comn mltiplo (M.C.M.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes de denominador comn. Ejemplo: Expresar en una fraccin comn Solucin: (Caso 1)
Solucin: (Caso 2) Encontrado el M.C.M. (15a2b2), se multiplica cada fraccin (tanto numerador como denominador) por los trminos que falta por completar el
M.C.D.
Pgina 16
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL17 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES
Sea
una fraccin algebraica cualquiera que est multiplicada por otra
,
entonces:
Ejemplos:
a)
b)
c)
18 DIVISIN DE FRACCIONESSea una fraccin algebraica cualquiera que est dividida por otra , entonces:
b, d
0
Ejemplos:
Pgina 17
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
En los ejercicios b) y c) se ilustra la importancia de tener bien definido la lnea divisoria.
d)
Pgina 18
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL19 FRACCIONES COMPUESTASUna fraccin compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operacin de reduccin de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
Condicin: x, y
0
x
y
(x + y)
0Pgina 19
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
20 POTENCIAUn nmero multiplicado muchas veces, por s mismo, es una potencia. 333333 = 36
GENERALIZANDO
Potencia es el producto de varios factores iguales
bn = b b b b b ........ b
b
IR, n Z
Ejemplo: a) 23 = 222 = 8 b) 52 = 55 = 25 c) (2)3 = (2) (2) (2) = 8 d) (5)2 = (5) (5) = 25 e) 23 = (222) = 8 f) 52 = (55) = 25 g) x3 = x x x = x3 h) x2 = x x = x2
Pgina 20
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
21 POTENCIA CON BASE POSITIVA ES SIEMPRE POSITIVA
bn > 0Donde b n Z IR+
No importa el signo del exponente, si la base (b) es positiva, el resultado de la potencia (bn) es siempre positivo. Ejemplo: 32 = 9 ; 3-2 =
22 POTENCIA CON BASE NEGATIVA PUEDE SER + (b)K = +bKSi el exponente es par K = 2n |n| Z Ejemplo: (5)2 = (5)( 5) = 25 Si la base es negativa y el exponente par la potencia resultante es positiva.
(b)K = bKEjemplo: Si el exponente es impar K = 2n + 1 |n| Z (5)3 = (5)( 5)( 5) = 125 Si la base es negativa y el exponente impar la potencia resultante es negativa.
Pgina 21
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
23 PROPIEDADES DE LAS POTENCIASMultiplicacin Divisin Potencia de un producto an am = an + m a3a2 = (aaa)(aa) = a5 an : am = an m (ab)n = anbn a 0
Potencia de un cociente
Potencia de una potencia Potencia de exponente cero a0 = 1
a
0
Potencia negativa
a-n =
a
0
Exponentes racionales
n
IN
Toda potencia de exponente racional puede expresarse con el smbolo , denominado raz.
Pgina 22
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL24 PROPIEDADES QUE NO TIENEN LAS POTENCIASNo son conmutativas an na 32 23
No son asociativas No son distributivas respecto a la suma y resta
(a b)n
an bn
(3 4)2
32 42
25 NOTACIN CIENTFICAPara expresar en forma abreviada cantidades muy grandes o muy pequeas se recurre a un tipo de notacin tal como se expone a continuacin: FORMA GENERAL x 10n (x R, n Z) Restriccin de x 1 x < 10
CIFRA CONVENCIONAL
PASO INTERMEDIO ILUSTRATIVO
NOTACIN CIENTFICA 9 106 6,8 109 3,421 1012
9.000.000 6.800.000.000 3.421.000.000.000
0,000009 0,0000000086 0,0000000001243
9 10-6 8,6 19-9 1,243 10-10
Pgina 23
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL1.- RAICES
Raz, es una notacin desarrollada para representar exponentes racionales.
n
IN , a
Q
Se lee: "Raz ensima de a"
Ejemplos: (Si x > 0)
Pgina 24
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
ARRIBA 2.- PROPIEDADES DE LAS RACES a, b > 0Multiplicacin
Divisin
PRODUCTOS DE INTERES a, b, c > 0= Ejemplo: = a b (Suma por diferencia)
Pgina 25
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALEjemplo:
= Ejemplo:
Nota: (a, b > 0)
ARRIBA 3.- RACIONALIZACINLa racionalizacin permite eliminar las races en el denominador.
Una raz en el denominador (a > 0)
Pgina 26
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Dos races en el denominador (a, b > 0)
ARRIBA
Pgina 27
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
1.- ECUACIN DE PRIMER GRADO UNA INCGNITA (Ecuaciones lineales)
Forma general de una ecuacin de primer grado (o lineal)
ax + b = 0
a, b
IR y a
0
Una ecuacin es una igualdad en la que existen cantidades conocidas y una cantidad desconocida que se acostumbra llamar incgnita.
ARRIBA 2.- RESOLUCIN DE UNA ECUACIN
El proceso de resolucin (1) consiste en someter la ecuacin a sucesivos pasos algebraicos, consistentes en aislar en uno de sus miembros todos los trminos que contiene la incgnita y al otro lado de la ecuacin todos los nmeros. El despeje final de la ecuacin da como unresultado (2) que para ser considerado verdaderamente solucin debe satisfacer la ecuacin. (3)
Pgina 28
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
ESTRUCTURA DE UNA ECUACIN
Los rectngulos simbolizan las expresiones matemticas ubicadas al lado izquierdo y derecho.
La igualdad (=) es un smbolo de orden (o un comparador) que si fuera mayor que... ( , ) se llamara inecuacin.
Ejemplo 1: Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin:6x 16 = 2x + 6 / +16 6x 16 + 16 = 2x + 6 + 16 6x = 2x + 22 / 2x 6x 2x = 2x + 22 2x 4x = 22 / 4
Resultado
Pgina 29
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALObtenido el resultado se verifica a continuacin si es solucin.
Reemplazando
en la ecuacin , resulta:
6
16 = 2
+6 17 = 17
33 16 = 11 + 6
Luego,
satisface la ecuacin, por lo tanto, es solucin.
Ejemplo 2: Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin.
Arreglando la fraccin de cada miembro resulta:
Pgina 30
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Luego: 2x = Simplificando resulta: 2x = 6
x = 3 es el resultado. A continuacin se verifica si x =3 es solucin. Reemplazando x = 3 en la ecuacin original se obtiene:
De aqu se obtiene:
Por lo tanto, se deduce que x = 3 es slo un resultado, pero no es solucin de la ecuacin.
La ecuacin no tiene solucin.
ARRIBA
3.- CLASIFICACIN DE ECUACIONES LINEALES
Pgina 31
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
a) Ecuaciones lineales En este tipo de ecuacin el denominador de todos las expresiones algebraicas son igual a 1.
Para proceder a la resolucin se debe:
Eliminar parntesis.
Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes.
Ejemplo:Pgina 32
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182
b) Ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1. Para proceder a la resolucin se debe:
Llevar a ecuacin lineal multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores. (M.C.M.)
Ejemplo:
18x 9x + 4x = 24 3 13x = 27Pgina 33
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
x=
c) Ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias, si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
ARRIBA
Pgina 34
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
1.- SISTEMA DE ECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITAS
Forma general a, b, c, d, e, f IR
ARRIBA 2.- MTODOS DE RESOLUCIN Son varios los mtodos de resolucin existentes. A continuacin
estudiaremos:
Sistemas de ecuaciones:
Pgina 35
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
MTODO DE REDUCCIN En este mtodo se debe multiplicar las ecuaciones por constantes numricas que permitan que los coeficientes de una de las incgnitas, (en ambas ecuaciones), sean inversos aditivos, de tal forma que al sumar las ecuaciones se logre tener una ecuacin con una sola incgnita.
Ejemplo:
Encontrar la solucin del siguiente sistema aplicando el mtodo de reduccin.
Resolucin:
Acondicionando ambas ecuaciones de forma de sumarlas para que una de las variables x y se eliminen resulta:
Pgina 36
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALSumando ambas ecuaciones (c y d) resulta:
(2x + 4y) + (2x 3y) = 7 + (6) 3y + 4y = 1 y=1
Para calcular x se utiliza cualquier ecuacin original para reemplazar y = 1.
De la ecuacin a) se tiene: x 2(1) = 3 x=5 Resumen: x = 5 e y = 1 es el nico par de soluciones que satisface el sistema de ecuacin:
MTODO DE SUSTITUCIN El mtodo consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y se reemplaza en la otra
Ejemplo:Pgina 37
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Resolver:
Resolucin:
Despejando en la ecuacin a) la incgnita x resulta: a) x = 3 + 2y
Reemplazando en la ecuacin b) se tiene: b) 2(3 + 2y) 3y = 7 De aqu: y=1
Para calcular x se utiliza cualquier ecuacin original. En ella se reemplaza y = 1. Calculo de x: En la ecuacin a) se reemplaza y = 1 x 2y = 3 x 2(1) = 3 x=5 ARRIBAPgina 38
APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL
Pgina 39