Apuntes de Algoritmos y Estructura de Datos I · Apuntes de Algoritmos y Estructura de Datos I Federico Yulita Segundo Cuatrimestre, 2019 EstamaterialacurséconMatíasLopezyRosenfeldcomoprofesordelasteóricas

Apuntes de Algoritmos y Estructura de Datos IFederico Yulita

Segundo Cuatrimestre, 2019

Esta materia la cursé con Matías Lopez y Rosenfeld como profesor de las teóricas; en los talleres con Pablo Negricomo JTP, Veronica Coy como Ayudante de Primera y Eric Brandwein y Maximiliano Martino como Ayudantesde Segunda; y en las prácticas con Pablo Brusco y Gabriela Di Piazza como JTPs, Cynthia Bonomi, Diego Raffoy Sebastián Vita como Ayudantes de Primera y Gabriel Budiño, Tomas Caballero y Marcelo Sancinetti comoAyudantes de Segunda. Si querés ver el resto de mis apuntes los podés encontrar en mi blog. Los ejercicios con unasterisco (*) son los que resolvimos en clase.

Índice

I Teórica 4

1. Introducción a la Especificación de Problemas 51.1. Contratos y Lógica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Correctitud y Teorema del Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. La Precondición Más Débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Testing Estructural 14

3. Algoritmos Sobre Secuencias 153.1. Algoritmos de Búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Búsqueda Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. Búsqueda Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Algoritmos de Ordenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1. Ordenamiento por Selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Ordenamiento por Inserción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3. Dutch National Flag Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Algoritmos Sobre Secuencias Ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1. Apareo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Algoritmos Sobre Strings 22

II Práctica 24

5. Guía 2: Introducción al Lenguaje de Especificación 255.1. Ejercicio 4* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.2. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.3. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.4. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.5. (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.6. (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

https://elrepositoriodefede.wordpress.com/

5.1.7. (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2.1. (a)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.4. (d)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.5. (e)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.6. (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Guía 3: Especificación de Problemas 276.1. Ejercicio 9* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1.1. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2. Ejercicio 12* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3. Ejercicio 14* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3.1. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3.2. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7. Guía 4: Precondición Más Débil en SmallLang 287.1. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.1.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.1.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.1.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.1.4. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.1.5. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2.2. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2.3. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.3. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3.4. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4.2. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4.3. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8. Guía 5: Demostración de Corrección de Ciclos en SmallLang 318.1. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.2.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2.4. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.3. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.4. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.5. Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.5.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.5.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

8.5.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9. Guía 6: Testing 399.1. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.3. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.4. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.5. Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.6. Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.7. Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.Guía 7: Tiempo de Ejecución de Peor Caso de un Programa 4410.1. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.1.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.1.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.1.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.1.4. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.1.5. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.2. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.3. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.4. Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.5. Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.Guía 8: Búsqueda y Ordenamiento 4811.1. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11.1.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.1.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.1.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11.2. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

11.3. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3.1. (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3.2. (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.3.3. (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.3.4. (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.3.5. (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11.4. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.5. Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.6. Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.7. Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

Parte I

Teórica

Sir Charles Antony Richard Hoare (1934)

4

1. Introducción a la Especificación de Problemas1.1. Contratos y Lógica Proposicional

El objetivo de la materia es aprender a programar lenguajes imperativos . Vamos a describirlos en un lenguajeformal y estudiar algunos algoritmos para resolver problemas.

Definimos una Computadora es una máquina que procesa información automáticamente de acuerdo a unprograma almacenado. Su función es procesar información de forma automática siguiendo un programa almacenadoen su memoria. Un Algoritmo es una descripción de los pasos precisos para resolver un problema a partir de datosde entrada adecuados. El objetivo de un algoritmo es resolver algún problema dado. Un ejemplo de algoritmo es laCriba de Eratóstenes (276 AC - 194 AC) que devuelve todos los números primos entre 2 y n. Consiste en escribirtodos los números entre 2 y n y, empezando desde el primer número en la lista, tachar todos los números divisiblespor ese número. Se repite el proceso hasta haber pasado por todos los números no tachados y resulta que esosnúmeros son los primos.

Una Especificación es una descripción del problema a resolver. Vamos a buscar describir la especificaciónen un lenguje formal para implementar un algoritmo. El Programa finalmente va a ser la implementación delalgoritmo que la computadora puede ejecutar para resolver el problema. La especificación es un contrato que dalas propiedades de los datos de entrada y de la solución. Estos datos de entrada los llamamos Parámetros y sonconocidos al momento de ejecutar el programa.

A los parámetros los vamos a clasificar dependiendo del Tipo de Dato que sea. El tipo de dato determina quéoperaciones pueden utilizarse en el parámetro. Definimos un Contrato como un acuerdo entre el programador deuna función y el usuario. Por ejemplo, si quiero programar un programa que calcule la raíz cuadrada de un númeropuedo tener un contrato con el usuario que establezca que el programa funciona para número reales positivos.Entonces, hago el programa asumiendo que el parámetro es un número real positivo. Esto es útil ya que simplificael problema a resolver (o al menos lo separa en partes). Una Precondición establece una condición para losparámetros y la Poscondición asegura que los resultados son correctos.

Vamos a definir las especificaciones así:

proc nombre (parámetros){

Pre{P}Post{Q}

}

Ejemplo

Para la raíz cuadrada:

proc raizCuadrada (in x : R, out result : R){

Pre{x > 0}Post{result ∗ result = x ∧ result > 0}

}

Para sumar:

proc sumar (in x : Z, in y : Z, out result : Z){

Pre{True }Post{result = x+ y}

}

Para hallar un número mayor:

proc cualquieraMayor (in x : Z, out result : Z){

5

Pre{True }Post{result > x}

}

Cuando se cumple el contrato para un programa entonces decimos que el programa es Correcto. Si el parámetrode entrada y el de salida es el mismo definimos un parámetro de tipo inout. Por ejemplo, si queremos incrementarun número por 1 podemos hacer esto:

proc incremento (inout a : Z){Pre{a = A0}Post{a = A0 + 1}

}

Definimos una variable auxiliar A0 en la precondición para poder definir la poscondición.Llamamos Sobre-especificación a una especificación con una poscondición más restrictiva de lo que necesita

ser. Por ejemplo, para el ejemplo de cualquieraMayor podemos pedir que la poscondición sea result = x + 1.Funciona, pero es muy restrictivo. Llamamos Sub-especificación a una especificación con una precondición másrestrictiva de lo que necesita ser.

Definimos las funciones enum que enumera los elementos de algún tipo de dato y ord que te dice la posición dealgún dato. Por ejemplo:

enum Día{

LUN, MAR, MIER, JUE, VIER, SAB, DOM

}

Entonces:

ord (LUN)=0Día(2)=MIEJUE<VIE

Usualmente vamos a usar los tipos de datos Integer, Real, Bool y Char. Definimos también el tipo Tupla como untipo que tiene dos o más elementos del mismo tipo.

Vamos a usar Funciones Auxiliares y Predicados Auxiliares para simplificar el código. Las funciones lasusamos así:

aux f (argumentos): tipo = expresión;

f es el nombre de la función. Para los predicados es parecido:

pred p (argumentos){f }

p es el nombre del predicado.Ejemplo

aux suc (x : Z): Z = x+ 1pred esPar (n : Z){(n mod 2 = 0)}

Vamos a usar también los operadores de lógica proposicional de matemática (∧, ∨, ¬, ↔, etc). También vamos ausar ⊥ para una proposición indefinida. Esto se llama Semántica Trivaluada. Vamos a leer de izquierda a derecha,así que si encontramos una proposición indefinida en alguna expresión entonces el resultado es indefinido, pero sino hay que seguir leyendo la expresión. Si en algún momento sabemos el resultado de la expresión sin necesidad deseguir leyendo entonces se establece el resultado. Por lo tanto, definimos las operaciones ∧L (Conditional AND)y ∨L (Conditional OR) como los operadores ∧ y ∨ respectivamente pero que nos salvan de evaluar proposicionesindefinidas. Por ejemplo:

6

p = T, q =⊥: p ∧ q =⊥.

p = F, q =⊥: p ∧ q =⊥.

p = T, q =⊥: p ∧L q =⊥.

p = F, q =⊥: p ∧L q = F .

Esta secuencialidad en la lógica es útil para interpretar expresiones como lo hace la computadora. De forma similardefinimos el operador →L (Conditional IF).

Ejemplo

proc piesimo (in i : Z, out result : Z){

Pre{i > 0}Post{result = bπ ∗ 10ic mod 10}

}

Veamos como hacer un predicado para un número primo usando este tipo de lógica proposicional:

pred esPrimo (n : Z){

n > 1 ∧(∀n′ : Z

)(1 < n

′< n→L n mod n

′ 6= 0)

}

Notemos también como hicimos para definir variables usando ∀. De la misma forma se hace para usar ∃ o ∃!.Entonces:

proc primo (in n : Z, out result : B){

Pre{n > 1}Post{result =True↔esPrimo (n)}

}

Ejemplo

Especifiquemos un procedimiento que calcule el máximo común divisor entre dos números.

proc mcd (in n : Z, in m : Z, out result : Z){

Pre{n > 1 ∧m > 1}Post{n mod result = 0 ∧mmod result = 0 ∧ ¬ (∃p : Z) (p > result ∧ n mod p = 0 ∧m mod p = 0)}

}

Ahora especifiquemos un semáforo. Vamos a definir dos variables de tipo Bool que representan el colorde la luz. El semáforo pasa de rojo a rojo y amarillo, de rojo y amarillo a verde, de verde a amarillo y deamarillo a rojo.

pred esRojo (v, a, r : B){v =False∧a =False∧r =True }pred esRojoAmarillo (v, a, r : B){v =False∧a =True∧r =True }pred esAmarillo (v, a, r : B){v =False∧a =True∧r =False }pred esVerde (v, a, r : B){v =True∧a =False∧r =False }pred esValido (v, a, r : B){

esRojo (v, a, r)∨esAmarillo (v, a, r)

7

∨esVerde (v, a, r)∨esRojoAmarillo (v, a, r)

}proc iniciar (out v, a, r : B){

Pre{True }Post{v =True∧a=False∧r =False }

}proc avanzar (inout v, a, r : B){

Pre{esValido{v, a, r}∧v = V0 ∧ r = R0 ∧ a = A0}Post{

(esRojo (V0, A0, R0)→esRojoAmarillo (v, a, r))∧(esRojoAmarillo (V0, A0, R0)→esVerde (v, a, r))∧(esVerde (V0, A0, R0)→esAmarillo (v, a, r))∧(esAmarillo (V0, A0, R0)→esRojo (v, a, r))

}

}

Notemos que si, por ejemplo, el semáforo está en verde entonces todas las expresiones de las poscondiciónmenos las tercera empiezan con un False y entonces si o si son True. Por lo tanto, la poscondición sólo vaa ser verdadera si se cumple la tercera expresión.

1.2. SecuenciasDefinimos una Secuencia como varios elementos del mismo tipo en cierto orden. Notamos Seq〈T 〉, donde T

indica el tipo. Vamos a usar la función length(a :Seq〈T 〉): Z para notar la longitud de la secuencia a (tambiénnotamos a.length o |a|) y la Indexación Seq〈T 〉 [i : Z] : T que indica el i-ésimo elemento de la secuencia (tambiénnotamos a [i]), si no se cumple 0 6 i < |a| se indefine. Consideramos que dos secuencias son iguales si tienenla misma cantidad de elementos y si dada una posición el elemento en esa posición en ambas secuencias es elmismo para cualquier posición. También definimos las funciones head(a :Seq〈T 〉): T y tail(a :Seq〈T 〉): T quedan el primer elemento de una secuencia a y el resto de la secuencia respectivamente, si |a| = 0 se indefine. Lafunción addFirst(t : T, a :Seq〈T 〉):Seq〈T 〉 es una función que agrega un elemento t a una secuencia a del mismotipo en la primera posición. Definimos también la Concatenación como concat(a :Seq〈T 〉 , b :Seq〈T 〉):Seq〈T 〉 quees una función que toma dos secuencias del mismo tipo y las junta una al final de la otra (también notamosa + +b). La función subseq(a :Seq〈T 〉 , d, h : Z):Seq〈T 〉 que te da una secuencia conformada por los elementos dela secuencia a con los elementos entre las posiciones d (inclusive) y h (exclusive), si no se indefine. La funciónsetAt(a :Seq〈T 〉 , i : Z, val : T ):Seq〈T 〉 que cambia el valor del i-ésimo elemento de la secuencia a a val. Lasfunciones entonces son:

Logitud: length(a :Seq〈T 〉): Z (notamos |a|).

Indexación: Seq〈T 〉 [i : Z] : T (notamos a [i]).

Cabeza: head(a :Seq〈T 〉): T .

Cola: tail(a :Seq〈T 〉): T .

Añadir: addFirst(t : T, a :Seq〈T 〉):Seq〈T 〉.

Concatenación: concat(a :Seq〈T 〉 , b :Seq〈T 〉):Seq〈T 〉 (notamos a+ +b).

Subsecuencia: subseq(a :Seq〈T 〉 , d, h : Z):Seq〈T 〉.

Cambiar: setAt(a :Seq〈T 〉 , i : Z, val : T ):Seq〈T 〉.

8

Ejemplo

Hagamos un predicado que sea verdadero sólo si una secuencia de enteros sólo posee enteros mayore a 5.Entonces:

pred seq_gt_five (s :Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (0 6 i < |s| →L s [i] > 5)

}

Ahora hagamos un predicado que sea verdadero sólo si hay algún elemento en la secuencia que sea par ymayor que 5:

pred seq_has_elem_even_gt_five (s :Seq〈Z〉){

(∃i : Z) (0 6 i < |s| ∧L (s [i] mod 2 = 0 ∧ s [i] > 5))

}

Ahora hagamos otro que sea verdadero sólo si la lista es vacía:

pred isEmpty (s :Seq〈T 〉){

|s| = 0

}

Ahora otro que sea verdadero si el elemento e está en la secuencia:

pred has (s :Seq〈T 〉 , e : T){

(∃i : Z) (0 6 i < |s| ∧L s [i] = e)

}

Para este último predicado se suele notar e ∈ s. Ahora hagamos un predicado que dadas dos secuencias s1y s2 sea verdadero si s2 es s1 pero con el elemento de la posición i igual a e. En caso de que 0 6 i < |s2|no se cumpla entonces el predicado sea falso sólo si las secuencias no son iguales.

pred isSetAt (s1, s2 :Seq〈T 〉 , i : Z, e : T){

(0 6 i < |s2| ∧LsetAt(s2, i, e) = s1)∨(¬ (0 6 i < |s2|) ∧ (s1 = s2))

}

Otra forma de hacerlo es:

pred isSetAt (s1, s2 :Seq〈T 〉 , i : Z, e : T){

(0 6 i < |s2| →L s1 =setAt(s2, i, e))∧(¬ (0 6 i < |s2|)→ s1 = s2)

}

Vamos a usar sumatorias también que se notan usando la misma notación que en matemática:

to∑i=from

f (i) .

Veamos entonces como hacer un predicado que sea verdadero sólo si un número es primo:

pred esPrimo(n : Z){

9

n > 1 ∧L

(n−1∑i=2

(if (n mod i = 0) then 1 else 1 fi))

= 0

}

Ejemplo

Escribamos una expresión que represente la sumatoria de los elementos pares de una secuencia s:

|s|−1∑i=0

(if (i mod 2 = 0) then s [i] else 0 fi)

Lo mismo para la productoria:

to∏i=from

f (i) .

Ejemplo

Definir un predicado que sea verdadero si una secuencia es una permutación de la otra:

aux #apariciones(s :Seq〈T 〉 , e : T): Z =

|s|−1∑i=0

(if s [i] = e then 1 else 0 fi)

pred e sPermutacion(s1, s2 :Seq〈T 〉){

(∀e : T ) (#apariciones (s1, 2) = #apariciones (s2, e))

}

Veamos que con la función auxiliar definida usamos un método general para contar elementos de un conjunto Acon ciertas propiedades P : ∑

i∈A

(if P (i) then 1 else 0 fi) .

Notamos esta expresión como # {i ∈ A : P (i)}.Vamos a notar los comentarios usando la notación:

/* Esto es un comentario */

Es útil para poder hacer comentarios en el código sin que se confunda con código real.Las Matrices son secuencias de secuencias de igual longitud. Las notamos como Mat〈Z〉. Entonces:

aux filas (m :Mat〈Z〉): Z = |m|;aux columnas (m :Mat〈Z〉): Z = if filas (m) > 0 then |m [0]| else 0 fi;pred esMatriz (m :Seq〈Seq 〈Z〉〉){

(∀i : Z) (0 6 i < filas (m)→L (|m [i]| > 0 ∧ (∀j : Z) (0 6 j < filas (m)→L |m [i]| = |m [j]|)))

}

10

1.3. Correctitud y Teorema del InvarianteDefinimos un Estado como el conjunto con el valor de las variables de un programa en algún momento. Entonces,

la Ejecución de un programa es una sucesión de estados. Definimos Asignación como el cambio del estado deun programa. Entonces, llamamos a un programa S Correcto respecto a una especificación con una precondiciónP y una poscondición Q si siempre que el programa empieza con un estado que cumple P termina su ejecucióny el estado final cumple Q. Notamos a un programa correcto usando la Tripla de Hoare {P}S {Q}. Sea E0 elestado inicial y Ef el estado final del programa S entonces {P}S {Q} ↔ (∃Ef )∧ (E0 → P)∧ (Ef → Q) . Definimosun Ciclo a un programa que se ejecuta múltiples veces siempre y cuando se cumpla una condición que llamamosGuarda. Llamamos Invariante a alguna expresión que en un ciclo no cambia. Un predicado I es invariante de unciclo con guarda B y cuerpo S si:

1. I vale antes de comenzar el ciclo.

2. Si vale I ∧ B al comenzar una iteración arbitraria, entonces sigue valiendo I al finalizar el cuerpo del ciclo.

Entonces, sean se cumplen las condiciones entonces vale:

Teorema 1. Sean PC la precondición del ciclo y QC la poscondición del ciclo el programa es parcialmente correctosi se cumple:

PC → I.

{I ∧ B}S {I}.

I ∧ ¬B→ QC.

Este es el Teorema del Invariante. Si este teorema se cumple entonces el ciclo es sólo parcialmente correctoporque el teorema no verifica que el ciclo termine eventualmente.

Ejemplo

Consideremos la siguiente especificación y código (en C++):

proc sumatoria (in n : Z, out s : Z){Pre{(n > 0) ∧ (j = 1) ∧ (s = 0)}Post{

s =n∑

k=1k

}

}

int sumatoria(int n){

while(j <= n){s = s + j;j = j + 1;

}return s;

}

Busquemos la invariante I del programa. Notemos:

P ≡ (n > 0) ∧ (j = 1) ∧ (s = 0) , Q ≡ s =n∑

k=1k, B ≡ j 6 n.

11

Por la tercera condición del teorema entonces necesitamos:

¬ (j 6 n) ∧ I ≡ (j > n) ∧ I→ s =n∑

k=1k.

Luego de una iteración del ciclo el valor de s se incrementa por j y el de j por 1. Veamos los estados luegode algunas iteraciones:

{n = N0, j = 1, s = 0} → {n = N0, j = 2, s = 1} → {n = N0, j = 3, s = 3} → {n = N0, j = 4, s = 6} → ...

Entonces, propongamos:

I ≡ s =j−1∑k=1

k.

Notemos que esto tiene sentido ya que cumple con los valores de s en los estados que vimos. Sin embargo,notemos que para cumplir la segunda condición del teorema necesitamos pedir algo más, ya que:

¬

{(j 6 n) ∧

(s =

j−1∑k=1

k

)}S

{s =

j−1∑k=1

k

}.

Por ejemplo, si j = −1 entonces s, según el S, al principio vale 0 y al final vale −1 pero según esa expre-sión al final vale 0. Entonces, debemos reforzar el invariante agregando la condición de que j > 0:

I ≡ (j > 0) ∧(s =

j−1∑k=1

k

).

Notemos que ahora esta invariante no cumple la tercera condición del teorema ya que:

(j > 0) ∧(s =

j−1∑k=1

k

)∧ (j > n) 6→ s =

n∑k=1

k.

Por ejemplo, si j = n+ 2 entonces la sumatoria suma un término de más. Entonces, reforcemos la invarian-te con esta nueva condición:

I ≡ (0 6 j 6 n+ 1) ∧(s =

j−1∑k=1

k

).

Entonces:

(n > 0) ∧ (j = 1) ∧ (s = 0)→ (0 6 j 6 n+ 1) ∧(s =

j−1∑k=1

k

)X

{(0 6 j 6 n+ 1) ∧

(s =

j−1∑k=1

k

)∧ (j 6 n)

}S

{(0 6 j 6 n+ 1) ∧

(s =

j−1∑k=1

k

)}X

(0 6 j 6 n+ 1) ∧(s =

j−1∑k=1

k

)∧ (j > n)→ s =

n∑k=1

kX

Por lo tanto, esa invariante es correcta. Como el programa cumple con el teorema del invariante entonceses parcialmente correcto.

12

1.4. La Precondición Más DébilUsemos un lenguaje de programación más simple que C++ llamado SmallLang. Es bastante intuitivo y va a ser

fácil de leer, sólo define asignación, condicionales, while-loops y skips. Consideremos el siguiente programa:

{x > 4 ∧ y < −2}x def:= x+ 1 {x > 5 ∧ y < 0}

Notemos que el programa no cambia a la variable y y en la poscondición requerimos que y < 0 por lo tantorequerimos que en la precondición pidamos y < 0. Sin embargo, en esta precondición pedimos que y < −2. Estacondición cumple con lo que esperamos en la poscondición pero es más restrictiva (más fuerte), entonces vamos abuscar la precondición más débil dada una poscondición y algún código. Supongamos que tenemos un programa Scon poscondición Q y un predicado que chequea si la precondición es la más debil (Notamos wp (S,Q)). En estecaso vale que:

{x > 4 ∧ y < −2} →L wp(x

def:= x+ 1, {x > 5 ∧ y < 0})

Es decir, sea P una precondición válida entonces P→L wp (S,Q). Definimos a S1;S2 como un programa que es S1 yluego S2 sólo si S1 y S2 son programas. Definimos def (E) como un predicado que indica las condiciones necesariaspara que la expresión E esté definida. Siempre vamos a asumir que las variables de una expresión están definidas yque son del tipo de dato correcto. También, vamos a definir el predicado Qx

E como el predicado que se obtiene dereemplazar en Q todas las apariciones libres de la variable x por E. Dadas estas definiciones definimos los siguientesaxiomas:

1. wp(x

def:= E,Q)≡ def (E) ∧L Qx

E .

2. wp (skip,Q) ≡ Q.

3. wp (S1; S2,Q) ≡ wp (S1,wp (S2,Q)).

4. S = if B thenS1 elseS2 fi =⇒ wp (S,Q) ≡ def (B) ∧L ((B ∧ wp (S1,Q)) ∨ (¬B ∧ wp (S2,Q))).

De el último axioma podemos construir el siguiente teorema:

Teorema 2. Sean S1 y S2 programas con un condicional B y P y Q la precondición y poscondición respectivamenteentonces:

(P→ def (B)) ∧ ({P ∧B}S1 {Q}) ∧ ({P ∧ ¬B}S2 {Q})→ {P} if B thenS1 elseS2 fi {Q}

Ahora veamos los ciclos. Supongamos que tenemos un ciclo:

while B do S endwhile

Definimos al predicado Hk (Q) como el predicado que define el conjunto de estados a partir de los cuales la ejecucióndel ciclo termina en exactamente k iteraciones. Notemos que entonces si el ciclo realiza a lo sumo k iteracionesentonces:

wp (while B do S endwhile,Q) ≡ ∨ki=0Hi (Q)

Se define entonces el quinto axioma:

5. wp (while B do S endwhile,Q) ≡ (∃i > 0) (Hi (Q))

Con esto podemos ver el elemento que nos faltaba de los ciclos: su terminación.

Teorema 3. Sea V el producto cartesiano de los dominios de las variables del programa y sea I un invariante del ciclowhile B do S endwhile si existe una función f : V→ Z / ({I ∧ B ∧ V0 = f}S {f < V0} , V0 ∈ V)∧ (I ∧ f ≤ 0→ ¬B)entonces la ejecución del ciclo siempre termina.

Llamamos a la función f del teorema la Función Variante.

Teorema 4. ({PC}whileB do S endwhile {QC})→ (PC → wp (while B do S endwhile,QC)).

13

2. Testing EstructuralLlamamos Testing al proceso de verificar si cierto programa satisface los requerimientos y si el comportamiento

esperado es el comportamiento real. El objetivo de hacer testing es de encontrar defectos en el programa. LlamamosTest Input a una asignación concreta de valores de los parámetros de entrada del programa que se va a testear.Definimos Test Case a un programa que utiliza cierto test input para ejecutar en el programa a testear y quechequea si los datos de salida del programa son los esperados. Llamamos Test Suite a un conjunto de test cases.Todo programa debe ser una correcta implementación de la especificación, si es así entonces el programa debeaprobar todo test que pueda hacérsele. Los test inputs deben cumplir con la precondición del programa y el testcase debe chequear que el output cumpla con la poscondición del programa. De esta forma, un test no puededemostrar que un programa sea correcto ya que no es exhaustivo, solo puede llegar a demostrar que un programano es correcto hallando cierto test input que falle. La mayor dificultad de hallar un test adecuado es hallar un testsuite que sea lo suficientemente grande como para abarcar el dominio y maximizar la probabilidad de hallar unerror pero lo suficientemente pequeño como para minimizar el costo de testing.

Existen dos tipos de criterios para seleccionar test inputs: los Tests de Caja Negra se generan analizando laespecificación sin considerar la implementación y los Tests de Caja Blanca se generan considerando la implemen-tación. Los tests de caja negra se llaman Tests Funcionales y los de caja blanca se llaman Tests Estructurales.

El Control Flow-Graph (CFG) de un programa es una representación gráfica estática de un programa - esdecir - no depende de las variables de entrada. Se utilizan para desarrollar test suites para distintos programas.Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Especificaciónproc valorAbsoluto (in x : Z, out result : Z){

Pre{True}Post{result = |x|}

}Programaint valorAbsoluto (int n){

int res = 0;if(n > 0){

res = n;

} else{

res = -n;

}return res;

}

14

Control Flow-Graph

Un CFG contiene nodos donde se ejecuta alguna acción del código y arcos, que representan el flujo del código.Notemos como un condicional bifurca el flujo del código. Un test suite debe cubrir todos los arcos presentes en elCFG al menos una vez. Si se cubren todos lo arcos entonces se cubren todos los nodos, pero no al revés. Este esel Criterio de Adecuación. También, cada condición básica (cada fórmula no divisible) debe ser evaluada comoverdadero y como falso al menos una vez.

3. Algoritmos Sobre Secuencias3.1. Algoritmos de Búsqueda

Consideremos el problema de querer encontrar la posición de un elemento en una secuencia. Tomemos la función:

proc contiene (in s :Seq〈Z〉, in x : Z, out result : B){

Pre{True}Post{result = True↔ (∃j : Z) (0 6 j < |s| ∧L s [j] = x)}

}

Veamos cómo implementar esta función en un programa.

3.1.1. Búsqueda Lineal

Consideremos el siguiente programa en C++:

bool contiene(vector<int> &s, int x) {

int j = 0;while (j < s.size() && s[j] != x) {

j = j + 1;}return j < s.size();

}

15

Este programa cumple con la especificación con el siguiente invariante:

I ≡ (0 6 j 6 |s|) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6= x)

y con la siguiente función variante:

fV (s, j) = |s| − j

Puede demostrarse que el programa termina y es correcto.Notemos que para este programa el tiempo máximo ejecución sucede cuando el elemento buscado no está en la

secuencia. En ese caso el ciclo entero debe correrse |s| veces. Tomemos ci, i ∈ {1, 2, 3, 4} como el tiempo que tardaen ejecutarse cada línea del ciclo y tomemos n = |s|. Notemos que ci son constantes ya que no dependen del estadodel programa. Entonces, notemos que la primera línea sólo debe ejecutarse una vez, la segunda línea se ejecutacomo máximo n+ 1 veces, la tercer línea se ejecuta como máximo n veces y la última línea se ejecuta sólo una vezal final. Entonces, el tiempo máximo de ejecución es:

T (n) = c1 + (n+ 1) c2 + nc3 + c4

El Tiempo de Ejecución de un programa es una función T : N→ R>0 que representa el tiempo máximo quetarda un programa en ejecutarse dada una entrada de tamaño n. Sean f, g : N→ R notamos f ∈ O (g) ⇐⇒ ∃ c ∈R, n0 ∈ N / f (n) 6 cg (n) ∀n > n0. Esta notación se llama Notación O Grande. Entonces, en el caso del tiempode ejecución del programa tenemos que T ∈ O (n). Llamamos a este tiempo de ejecución Lineal. Análogamente senombran otros tipos de tiempos de ejecución cuando son O

(n2) , O (n3) , O (nk

), O (kn) como cuadrático, cúbico,

polinomial y exponencial respectivamente. Mientras menor sea el orden del tiempo de ejecución de un programadecimos que es más Eficiente.

3.1.2. Búsqueda Binaria

Consideremos ahora que la lista está ordenada:

proc contieneOrdenada (in s :Seq〈Z〉, in x : Z, out result : B){

Pre{ordenado (s)}Post{result = True↔ (∃j : Z) (0 6 j < |s| ∧L s [j] = x)}

}pred ordenado (s :Seq〈Z〉){

(∀j : Z) (0 6 j < |s| − 1→L s [j] 6 s [j + 1])

}

Entonces, notemos ahora que el programa puede mejorarse. Antes recorríamos los elementos de la secuencia desdeel primero hasta encontrar el elemento que buscamos. Si el elemento no estaba en la secuencia entonces habíaque recorrer toda la secuencia para saberlo. Ahora, podemos explotar propiedades del ordenamiento. Si en ciertaposición k sabemos que s [k] > x entonces sabemos que debemos buscar por los valores anteriores en la secuencia y sis [k] < x debemos buscar por los valores siguientes en la secuencia. Haciendo esto múltiples veces podemos encontrarel elemento mucho más rápido o llegar a la conclusión de que el elemento no está en la secuencia. También, podemoschequear los casos triviales. Por ejemplo, si |s| = 0 entonces obviamente el elemento no está en la secuencia. Lomismo si x > s [|s| − 1] o x < s [0]. También, si |s| = 1 entonces sólo hay que chequear si s [0] = x.

El programa es:

bool contieneOrdenada(vector<int> &s, int x) {

// casos trivialesif (s.size() == 0) {

return false;} else if (s.size() == 1) {

return s[0] == x;

16

} else if (x <= s[0]) {return s[0] == x;

}else if (x >= s[s.size() - 1]) {return s[s.size() - 1] == x;

} else {// casos no trivialesint low = 0;int high = s.size() - 1;while (low + 1 < high) {

int mid = (low + high) / 2;if (s[mid] <= x) {low = mid;

} else {high = mid;

}}return s[low] == x;

}

}

Para este ciclo el invariante es:

I ≡ (0 6 low < high < |s|) ∧L (s [low] 6 x < s [high])

y la función variante es:

fV (high, low) = high− low − 1

Puede demostrarse que el programa es correcto.Veamos si este programa es más eficiente que el anterior. En cada iteración del ciclo tenemos que la cantidad de

elementos por revisar de la secuencia es 12 (n− 1). Entonces, en el peor de los casos el ciclo corre t veces y queda

sólo un elemento en la secuencia. Entonces:

n− 12t

= 1

=⇒ t = log2 (n− 1)

=⇒ T ∈ O (log2 (n− 1))

El tiempo de ejecución escala logarítmicamente, lo cual es mucho mejor que lineal. Habría que ver qué tan eficientees ordenar una lista para poder comparar mejor.

3.2. Algoritmos de OrdenamientoConsideremos el problema de tener que ordenar de menor a mayor una secuencia de enteros. La especificación

es:

proc ordenar (inout s :Seq〈Z〉){

Pre{s = S0}Post{mismos (s, S0) ∧ ordenado (s)}

}pred mismos (s, t :Seq〈Z〉){

17

(∀e : Z) (#apariciones (s, e) = #apariciones (t, e))

}aux #apariciones (s :Seq〈Z〉, e : Z): Z =

|s|−1∑i=0

(if s [i] = e then 1 else 0 fi) ;

pred ordenado (s :Seq〈Z〉){

(∀j : Z) (0 6 j < |s| − 1→L s [j] 6 s [j + 1])

}

Vamos a usar un programa que va a alterar la secuencia a través de intercambios de las posiciones de los elementosde la secuencia. Definamos entonces a estos intercambios mediante la siguiente especificación:

proc swap (inout s :Seq〈Z〉, in i, j : Z){

Pre{(0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|) ∧ (s = S0)}Post{(s [i] = S0 [j]) ∧ (s [j] = S0 [i]) ∧ (∀k : Z) ((0 6 k < |s|) ∧ (k 6= i) ∧ (k 6= j)→L s [k] = S0 [k])}

}

Existen muchos algoritmos de ordenamiento. Veamos algunos.

3.2.1. Ordenamiento por Selección

Este algoritmo consiste en buscar al mínimo elemento de la secuencia y intercambiar su posición con el primerelemento. Luego, repetir usando la secuencia desde la segundo posición y así hasta que la secuencia esté ordenada.Especifiquemos la función que busca el menor elemento entre las posiciones d (inclusive) y h (exclusive):

proc findMinPosition (in s :Seq〈Z〉, in d, h : Z, out min : Z){

Pre{0 6 d < h 6 |s|}Post{(d 6 min < h) ∧L (∀i : Z) (d 6 i < h→L s [min] 6 s [i])}

}

El programa de ordenamiento entonces es:

int findMinPosition(vector<int> &s, int d, int h) {

int min = d;for (int i = d + 1; i < h; i++) {

if (s[i] <= s[min]) {min = i;

}}return min;

}

void swap(vector<int> &s, int i, int j) {

int aux = s[i];s[i] = s[j];s[j] = aux;

}void selectionSort(vector<int> &s){

18

if (s.size() != 0) {

for (int i = 0; i < s.size() - 1; i++) {

int minPos = findMinPosition(s, i, s.size());swap(s, i, minPos);

}

}

}

Puede demostrarse la correctitud de este programa usando el invariante:

I ≡ mismos (s, S0)∧((0 6 i 6 |s|) ∧L ordenado (subseq (s, 0, i)) ∧ (∀j, k : Z) (((0 6 j < i) ∧ (i 6 k < |s|))→L s [j] 6 s [k]))

y la función variante:

fV (s, i) = |s| − i

Se pueden deducir los siguientes tiempos de ejecución:

TfindMinP osition ∈ O (n)

=⇒ TselectionSort ∈ O(n2)

3.2.2. Ordenamiento por Inserción

Este algoritmo de ordenamiento consiste en tomar un elemento en cierta posición y, asumiendo que todos loselementos anteriores están ordenados entre sí, insertar este elemento en el lugar que le corresponda en el orden delos elementos anteriores. Si se empieza por el primer elemento (que trivialemente está ordenado con respecto a lasecuencia que sólo contiene el primer elemento - es decir - sí mismo) y se recorre la secuencia en el orden que estáentonces se pueden ordenar todos los elementos. El programa para este algoritmo es:

void insert(vector<int> &s, int i) {

for (int j = i; j > 0 && s[j] < s[j - 1]; j--) {

swap(s, j, j - 1);

}

}

void insertionSort(vector<int> &s) {

for (int i = 0; i < s.size(); i++) {

insert(s, i);

}

}

Para este algoritmo el tiempo de ejecución es Tinsert ∈ O (n) y TinsertSort ∈ O(n2). Por lo tanto, no es más eficiente

que el algoritmo de ordenamiento por selección. Existen más algoritmos de ordenamiento que son más eficientes,como MergeSort, Counting Sort y Radix Sort. Estos algoritmos tienen tiempo de ejecución de O (n log (n)), O (n) yO (1) respectivamente. Luego hay otros algoritmos como Bubble Sort y Quicksort que son comunes pero son O

(n2).

Se pueden ver animaciones de estos algoritmos de ordenamiento aquí.

19

https://visualgo.net/es/sorting

3.2.3. Dutch National Flag Problem

Dada una secuencia de colores rojo, blanco y azul queremos ordenarla para que estén en el orden de la banderaholandesa (rojo, luego blanco y luego azul). Para simplificar, tomemos el color rojo como el número 0, el blancocomo 1 y el azul como 2. Esto nos permite trabajar con una secuencia de enteros donde tenemos que ordenar suselementos de menor a mayor. Este problema se parece mucho a los de ordenamiento anteriores, sin embargo notemosque en este caso sabemos que sólo pueden haber tres distintos elementos en la secuencia: 0, 1 y 2. Esto nos va aayudar a reducir la complejidad del programa.

La especificación del problema es:

proc dutchNationalFlag (inout s :Seq〈Z〉){

Pre{s = S0 ∧ (∀e : Z) (e ∈ s↔ (e = 0 ∨ e = 1 ∨ e = 2))}Post{mismos (s, S0) ∧ ordenado (s)}

}

Para resolver este problema podemos recorrer la secuencia y contar las veces que aparece cada color, almacenandoestas cantidades en una secuencia de tres números. Luego, cambiamos la secuencia por una que tenga el color rojola cantidad de veces que haya sido encontrada en la secuencia, luego lo mismo para el blanco y luego lo mismo parael azul. La implementación es la siguiente:

#define RED 0#define WHITE 1#define BLUE 2using flag = vector<int>;vector<int> fillColorCount(flag &s) {

vector<int> colorCount(3, 0);for (int i = 0; i < s.size(); i++) {

if (s[i] == RED) {colorCount[RED]++;

} else if (s[i] == WHITE) {colorCount[WHITE]++;

} else if (s[i] == BLUE) {colorCount[BLUE]++;

}}return colorCount;

}

void populate(flag &s, vector<int> &colorCount) {

for (int i = 0; i < s.size(); i++) {if (colorCount[RED] > 0) {

s[i] = RED;colorCount[RED]--;

} else if (colorCount[WHITE] > 0) {s[i] = WHITE;colorCount[WHITE]--;

} else {s[i] = BLUE;colorCount[BLUE]--;

}

20

}

}void dutchNationalFlag(flag &s) {

vector<int> colorCount = fillColorCount(s);populate(s, colorCount);

}

Notemos que este programa recorre la secuencia dos veces, así que el tiempo de ejecución es T (n) ∈ O (n). Esto sedebe a que sabemos qué elementos pueden estar en la secuencia. Proponiendo un invariante puede demostrarse queeste programa es correcto.

3.3. Algoritmos Sobre Secuencias Ordenadas3.3.1. Apareo

Consideremos que tenemos dos secuencias ordenadas y queremos unirlas en una única secuencia ordenada. Laespecificación del problema es:

proc merge (in a, b :Seq〈Z〉, out c :Seq〈Z〉){

Pre{ordenado (a) ∧ ordenado (b)}Post{ordenado (c) ∧ mismos (c, a+ +b)}

}

La implementación de la especificación es:

vector<int> merge(vector<int> &a, vector<int> &b) {

vector<int> c(a.size() + b.size());int i = 0; // Para recorrer aint j = 0; // Para recorrer bfor(int k = 0; k < c.size(); k++) {

if(j >= b.size() || (i < a.size() && a[i] < b[j])) {

c[k] = a[i];i++;

} else {

c[k] = b[j];j++;

}

}return c;

}

Lo que el programa hace es ir recorriendo las secuencias a y b y compara cada elemento. Luego, inserta el menorelemento en la secuencia c y pasa al siguiente elemento de la secuencia de donde insertó el elemento. Hace esto hastaterminar alguna secuencia y luego inserta el resto de los elementos de la secuencia que sobra. Al final, la secuenciac tiene todos los elementos de a y b ordenados. El tiempo de ejecución de este algoritmo es O (n).

21

4. Algoritmos Sobre StringsLlamamos un String a una secuencia de caracteres (Seq 〈Char〉). Lo que vamos a querer hacer es buscar cierto

patrón de caracteres dentro de cierta string. Especifiquemos este problema:

proc contiene (in text, pattern :Seq〈Char〉, out result : B){

Pre{True}Post{result = True↔ (∃i : Z) ((0 6 i 6 |text| − |pattern|) ∧L subseq (text, i, i+ |pattern|) = pattern)}

}

Lo que podemos hacer es buscar donde está en el texto el primer caracter del patrón y de ahí comparar el resto delos caracteres para ver si es o no. Especifiquemos la función auxiliar:

proc matches (in text, pattern :Seq〈Char〉, in i : Z, out result : B){

Pre{(0 6 i < |text| − |pattern|) ∧ (|pattern| 6 |text|)}Post{resutl = True↔ subseq (text, i, i+ |pattern|) = pattern}

}

La implementación es:

bool matches(string &t, string &p, int i){

int k = 0;while (k < p.size() && t[i + k] == p[k]) {

k++;}return k == p.size();

}

Esta función es O (p), donde p = |pattern|. Implementemos entonces la función contiene:

bool contiene(string &t, string &p){

bool res = false;if (t.size() != 0) {

for (int i = 0; i <= t.size() - p.size(); i++) {if (matches(t, p, i)) {res = true;

}}

}return res;

}

El tiempo de ejecución es de O (tp), donde t = |text|.Veamos ahora el Algoritmo de Knuth, Morris y Pratt. Este es un algoritmo que resuelve la misma especi-

ficación en menor tiempo. Consiste en usar dos índices, l y r, que cumplen:0 6 l 6 r 6 t

subseq (text, l, r) = subseq (pattern, 0, r − l)pattern no está en subseq (text, 0, r)

Consideremos distintos casos:

22

r − l = p: Hallaste el string.

r − l < p:

• text [r] = pattern [r − l]: Hallamos una nueva coincidencia y entonces hay que avanzar r.• (text [r] 6= pattern [r − l]) ∧ (l = r): No tenemos un prefijo de pattern, así que hay que avanzar r y l.• (text [r] 6= pattern [r − l]) ∧ (l < r): Avanzamos l lo máximo posible. Llamamos Bifijo a una cadena decaracteres que es prefijo y sufijo de cierto string. Es decir, un bifijo de un string es un string menor queestá al principio del string y al final del string (ver ejemplos en las diapositivas de la clase 11). Entonces,si π (r − l) es el largo del máximo bifijo del string entre l y r, movemos l por r − π (r − l) lugares. Enesta nueva posición sabemos que el patrón empieza igual. El tiempo de ejecución de π (r − l) ∈ O (p).

La implementación de este algoritmo es:

vector<int> calcularPi(string &p) {

vector<int> pi(p.size());int i = 0;for (int j = 1; j < p.size(); j++) {

while (i > 0 && p[i] != p[j]) {

i = pi[i - 1];

}if (p[i] == p[j]){

i++;

}pi[j] = i;

}return pi;

}bool contieneKMP(string &t, string &p) {

vector<int> pi = calcularPi(p);int l = 0;int r = 0;while (r < t.size() && r - l < p.size()) {

if (t[r] == p[r - l]) {

r++;

} else if ( l == r) {

r++;l++;

} else {

l = r - pi[r - l];

}

}return r - l == p.size();

}

El tiempo de ejecución de este algoritmo es de O (t+ p).

23

Parte II

Práctica

Donald Ervin Knuth (1938)

24

5. Guía 2: Introducción al Lenguaje de Especificación5.1. Ejercicio 4*5.1.1. (a)

pred estaAcotada (s:Seq〈Z〉){

(∀x : Z) (x ∈ s→ 1 6 x 6 100)

}

5.1.2. (c)

/* Un prefijo es una subsecuencia que esta al principio */pred esPrefijo (l, s:Seq〈Z〉){

|l| 6 |s| ∧L (∀i : Z) (0 6 i < |l| →L s [i] = l [i])

}/* Otra solucion */pred esPrefijo_2(l, s:Seq〈Z〉){

(∃t:Seq〈Z〉)(s = l + +t)

}/* Otra solucion */pred esPrefijo_2(l, s:Seq〈Z〉){

(∃i : Z)(0 6 j 6 |s| ∧L l =subseq(s, 0, j))

}

5.1.3. (d)

pred estaOrdenada (s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (0 6 i < |s| − 1→L s [i] 6 s [i+ 1])

}

5.1.4. (e)

pred todosPrimos (s:Seq〈Z〉){

(∀x : Z)(x ∈ s→esPrimo (x))

}

5.1.5. (f)

pred primosEnPosicionesPares (s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z)(0 6 i < |s| ∧LesPrimo (s [i])→ i mod 2 = 0)

}

5.1.6. (h)

pred hayUnoParQueDivideAlResto (s:Seq〈Z〉){

(∃x : Z) (x ∈ s ∧ x mod 2 = 0 ∧ x 6= 0 ∧L (∀y : Z) (y ∈ s→ y mod x = 0))

}

25

5.1.7. (n)

pred esPermutacionOrdenada (s, t:Seq〈Z〉){

esPermutacion (s, t)∧estaOrdenada (s)

}

5.2. Ejercicio 65.2.1. (a)*

pred ej_seis_a (s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (0 6 i < |s| ∧L P (s [i])→L Q (s [i]))

}/* Otra solucion */pred ej_seis_a_2(s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (i ∈ s ∧ P (i)→ Q (i))

}

5.2.2. (b)

pred ej_seis_b (s:Seq〈Z〉){

(∀x : Z)(x ∈ s ∧ P (x)→ ¬Q (x))

}

5.2.3. (c)

pred ej_seis_c (s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (0 6 i < |s| ∧L (i mod 2 = 0 ∧ P (s [i]))→ ¬Q (s [i]))

}

5.2.4. (d)*

pred ej_seis_d (s:Seq〈Z〉){

(∀i : Z) (0 6 i < |s| ∧L (P (s [i]) ∧Q (i))→L s [i] mod 2 = 0)

}

5.2.5. (e)*

pred ej_seis_e (s:Seq〈Z〉){

(∃x : Z) (x ∈ s ∧ ¬P (x))→ (∀y : Z) (y ∈ s→ ¬Q (y))

}

5.2.6. (f)

pred ej_seis_f (s:Seq〈Z〉){

((∃x : Z) (x : s ∧ ¬P (x))→ (∀y : Z) (y ∈ s ∧ ¬Q (y))) ∧((∀x : Z) (x ∈ s ∧ P (x))→ (∃y, z : Z) (y, z ∈ s ∧ y 6= z ∧Q (y) ∧Q (z)))

}

26

6. Guía 3: Especificación de Problemas6.1. Ejercicio 9*6.1.1. (e)

proc duplicPosImp (in s : 〈R〉, out l : 〈R〉){

Pre{True}Post{|s| = |l| ∧L

(∀i : Z) ((0 6 i < |s| ∧ i mod 2 = 1→L l [i] = 2s [i]) ∧ (0 6 i < |s| ∧ i mod 2 = 0→L l [i] = s [i]))}

}

6.2. Ejercicio 12*proc enBinario (in n : Z, out s : 〈Z〉){

Pre{n > 0}Post{

|s| > 0 ∧L (∀x : Z) (x ∈ s→ (x = 0 ∨ x = 1)) ∧L

|s|−1∑i=0

s [i] 2|b|−i−1 = n

}

}

6.3. Ejercicio 14*6.3.1. (d)

proc factores (in n : 〈Z〉, out res :Seq〈Z× Z〉){

Pre{n > 1}Post{

(∀i : Z)(0 6 i < |s| →L(esTuplaValida (s [i]) ∧ (i 6= |s| − 1→L s [i]0 < s [i+ 1]0)))

∧|s|−1∏j=0

s [j]s[j]10 = n

}

}pred esTuplaValida (x : Z× Z){

esPrimo (x0) ∧ x1 > 0

}pred esPrimo (n : Z){

n > 1 ∧(∀n′ : Z

)(1 < n

′< n→L n mod n

′ 6= 0)

}

6.3.2. (e)

proc maxDif (in s :Seq〈Z〉, out r : Z){

Pre{|s| > 1}Post{(∃x1, x2 : Z) ((x1 ∈ s) ∧ (x2 ∈ s) ∧ (r = x1 − x2) ∧ ¬ (∃y1, y2 : Z) ((y1 ∈ s) ∧ (y2 ∈ s) ∧ (r < y1 − y2)))}

}

27

7. Guía 4: Precondición Más Débil en SmallLang7.1. Ejercicio 27.1.1. (a)

wp(a

def:= a+ 1, a > 0)≡ def (a+ 1) ∧L (a+ 1 > 0)

≡ a > −1

7.1.2. (b)

wp(a

def:= a/b, a > 0)≡ def

(ab

)∧L

(ab> 0)

≡ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a 6 0 ∧ b < 0)

7.1.3. (c)

wp(a

def:= A [i] , a > 0)≡ def (A [i]) ∧L (A [i] > 0)

≡ A [i] > 0

7.1.4. (d)

wp(a

def:= b ∗ b, a > 0)≡ def (b ∗ b) ∧L (b ∗ b > 0)

≡ b2 > 0≡ True

7.1.5. (e)

wp(b

def:= b+ 1, a > 0)≡ def (b+ 1) ∧L (a > 0)

≡ a > 0

7.2. Ejercicio 4

Q ≡ (∀j : Z) (0 6 j < |A| →L A [j] > 0)

7.2.1. (a)

wp(A [i] def:= 0,Q

)≡ ((def (i) ∧L 0 6 i < |A|) ∧ def (0))∧L

((∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0) ∧ (0 > 0))≡ (∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0)

28

7.2.2. (d)

wp(A [i] def:= 2 ∗A [i] ,Q

)≡ ((def (i) ∧L 0 6 i < |A|) ∧ def (2 ∗A [i]))∧L

((∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0) ∧ (2A [i] > 0))≡ (∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0) ∧ (A [i] > 0)≡ (∀j : Z) (0 6 j < |A| →L A [j] > 0)

7.2.3. (e)

wp(A [i] def:= A [i− 1] ,Q

)≡ ((def (i) ∧L 0 6 i < |A|) ∧ (def (i− 1) ∧L 0 6 i− 1 < |A|))∧L

((∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0) ∧ (A [i− 1] > 0))≡ (∀j : Z) (0 6 j < |A| ∧ j 6= i→L A [j] > 0)

7.3. Ejercicio 67.3.1. (a)

Programa

a := a + 2;

Demostración

wp (S,Q) ≡ def (a+ 2) ∧L (a+ 2 = a+ 2)≡ True

P→ wp (S,Q) X

7.3.2. (b)

Programa

b := a + 3;

Demostración

wp (S,Q) ≡ def (a+ 3) ∧L (a+ 3 = a+ 3)≡ True

P→ wp (S,Q) X

7.3.3. (c)

Programa

c := a + b;

Demostración

wp (S,Q) ≡ def (a+ b) ∧L (a+ b = a+ b)≡ TrueX

29

7.3.4. (d)

Programa

result := 2 * a[i];

Demostración

wp (S,Q) ≡ (def (i) ∧L 0 6 i < |a|) ∧L (2 ∗ a [i] = 2 ∗ a [i])≡ True

7.4. Ejercicio 87.4.1. (a)

Programa

a := a + s[i];

Demostración

wp

S, a =i∑

j=0s [j]

≡(def (i) ∧L 0 6 i < |s|) ∧L

def (a) ∧L a =i−1∑j=0

s [j]

∧Li−1∑j=0

s [j] + s [i] =i∑

j=0s [j]

≡ 0 6 i < |s| ∧L a =

i−1∑j=0

s [j] X

7.4.2. (c)

Programa

if (s[i] >= 0) then

res := true;

else

res := false;

endif

Demostración

wp (S,Q) ≡ (def (s) ∧L (def (i) ∧L 0 6 i < s [i]))∧L((s [i] > 0 ∧ wp

(res

def:= True,Q))∨(¬ (s [i] > 0) ∧ wp

(res

def:= False,Q)))

≡ (0 6 i < s [i]) ∧L (s [i] > 0 ∧ True = True↔ (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] > 0))∨ (0 6 i < s [i]) ∧L (s [i] < 0 ∧ False = True↔ (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] > 0))≡ (0 6 i < s [i]) ∧L (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] > 0)∨ (0 6 i < s [i]) ∧L (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] > 0)≡ (0 6 i < s [i]) ∧L (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] > 0) X

30

7.4.3. (d)

Programa

if (s[i] != 0) then

a := a + 1;

else

skip;

endif

Demostración

wp (S,Q) = (def (s) ∧L (def (i) ∧L 0 6 i < |s|))∧L

((s [i] 6= 0 ∧ wp (S1,Q)) ∨ (¬ (s [i] 6= 0) ∧ wp (S2,Q)))

≡

(0 6 i < |s|) ∧L

s [i] 6= 0 ∧ a+ 1 =i∑

j=0S

∨

(0 6 i < |s|) ∧L

s [i] = 0 ∧ a =i∑

j=0S

≡ (0 6 i < |s|) ∧L

a =i−1∑j=0

(if s [j] 6= 0 then 1 else 0 fi)

X

8. Guía 5: Demostración de Corrección de Ciclos en SmallLang8.1. Ejercicio 2

PC ≡ n > 0QC ≡ result =

∑n−1j=0 (if j mod 2 = 0 then j else 0 fi)

B ≡ i < n

I ≡ (0 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧(result =

∑i−1j=0 (if j mod 2 = 0 then j else 0 fi)

)PC → I

n > 0→

(0 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0

(if j mod 2 = 0 then j else 0 fi)

n > 0→ 0 6 n+ 1X

{I ∧ B}S {I}

I ∧ B ≡ (0 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


∧ (i < n)

≡ (0 6 i < n) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


31

El ciclo lo único que hace es sumarle i a result y sumarle 2 a i. Llamemos C al ciclo, C1 a la acción de sumarle i aresult y C2 a la acción de sumarle 2 a i. Entonces:

wp (C, I) ≡ wp (C1,wp (C2, I))

≡ def (i) ∧L

(wp (C2, I)result

result+i

)≡ wp (C2, I)result

result+i

≡ Iresult, iresult+i, i+2

≡ (0 6 i+ 2 6 n+ 1) ∧ ((i+ 2) mod 2 = 0) ∧

result+ i =i−1∑j=0


≡ (0 6 i < n) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−2∑j=0


i mod 2 = 0→ ≡ (0 6 i < n) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


≡ I ∧ BX

I ∧ ¬B→ QC

I ∧ ¬B ≡ (0 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


∧ ¬ (i < n)

≡ (0 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


∧ (i > n)

≡ (n 6 i 6 n+ 1) ∧ (i mod 2 = 0) ∧

result =i−1∑j=0


≡ if n mod 2 = 0 then result =

n−1∑j=0

(if j mod 2 = 0 then j else 0 fi) else

result =n∑

j=0(if j mod 2 = 0 then j else 0 fi) fi

≡ result =n−1∑j=0


≡ QC X

8.2. Ejercicio 38.2.1. (a)

Programa

i := 0;result := 1;while(i < n) do

result := result * m;i := i + 1;

32

endwhile

Demostración PC ≡ (n > 0) ∧ ¬ (n = 0 ∧m = 0) ∧ (i = 0) ∧ (result = 1)QC ≡ result = mn

B ≡ i < n

I ≡ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)PC → I

(n > 0) ∧ ¬ (n = 0 ∧m = 0) ∧ (i = 0) ∧ (result = 1)→ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)→ (n > 0) ∧ (result = 1) X

Veamos la tabla de estados:

i result

0 11 m2 m2

n mn

Notemos que el invariate vale siempre menos en la primera fila cuando m = 0. De hecho acá creo que hay unerror con el invariante que nos dieron porque si m = 0 entonces como el invariante admite la posibilidad de i = 0al hacer mi puede indefinirse. Es decir, así como lo dieron el invariante puede estar indefinido. Podría cambiar elprograma y poner un condicional que si m = 0 entonces defina i = 1 pero eso complica un montón el programa sólopara ajustar a un invariante que es incómodo.

{I ∧ B}S {I}

I ∧ B ≡ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)∧ (i < n)

≡ (0 6 i < n) ∧(result = mi

)

wp (S, I) ≡ wp (S1,wp (S2, I))

≡ def (m) ∧L wp (S2, I)resultresult∗m

≡ wp (S2, I)resultresult∗m

≡ Iresult, iresult∗m, i+1

≡ (0 6 i+ 1 6 n) ∧(result ∗m = mi+1)

≡ (0 6 i < n) ∧(result = mi

)≡ I ∧ BX

I ∧ ¬B→ QC

I ∧ ¬B ≡ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)∧ ¬ (i < n)

≡ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)∧ (i > n)

≡ (i = n) ∧(result = mi

)≡ result = mn

≡ QC X

33

8.2.2. (b)

Falla la primera parte del teorema que es PC → I. Notemos:

(n > 0) ∧ ¬ (n = 0 ∧m = 0) ∧ (i = 0) ∧ (result = 0)→ (0 6 i 6 n) ∧(result = mi

)→ (n > 0) ∧ (0 = 1) ABS!

8.2.3. (c)

Es correcta ya que el valor de i no afecta al valor de result así que se pueden asignar dentro del ciclo en cualquierorden. La demostración de que es correcta la implementación es la misma que antes.

8.2.4. (d)

Para que la implementación sea correcta la precondición debe reforzarse pidiendo que n > 2.

8.3. Ejercicio 48.3.1. (a)

i := 1;result := 0;while(i < n + 1) do

if(n % i = 0) thenresult := result + i;i := i + 1;

elsei := i + 1;

endif

endwhile

8.3.2. (b)

Veamos que el invariante cumpla con las tres condiciones del teorema (1).PC ≡ (n > 1) ∧ (i = 1) ∧ (result = 0)QC ≡ result =

∑nj=1 (if n mod j = 0 then j else 0 fi)

B ≡ i 6 n

I ≡ (1 6 i 6 n) ∧(result =

∑ij=1 (if n mod j = 0 then j else 0 fi)

)PC → I

(n > 1) ∧ (i = 1) ∧ (result = 0)→ (1 6 i 6 n) ∧

result =i∑

j=1(if n mod j = 0 then j else 0 fi)

→ (n > 1) ∧

0 =1∑


≡ (n > 1) ∧ (0 = 1) ABS!

El problema es que en el programa que hice i llega hasta n+ 1 y result empieza siendo 0, no 1. Tomemos entoncesel invariante:

34

I ≡ (1 6 i 6 n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1

(if n mod j = 0 then j else 0 fi)

Entonces:

(n > 1) ∧ (i = 1) ∧ (result = 0)→ (1 6 i 6 n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1


→ (n > 0) ∧

0 =0∑


→ (n > 1) X

{I ∧ B}S {I}

I ∧ B ≡ (1 6 i 6 n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1


∧ (i 6 n)

≡ (1 6 i 6 n) ∧

result =i−1∑j=1


wp (S, I) ≡(def (i) ∧L

(Bif ∧ wp

(result

def:= result+ i, I)))∨

(def (i) ∧L (¬Bif ∧ wp (skip, I)))

≡(

(n mod i = 0) ∧ wp(result

def:= result+ i; i def:= i+ 1, I))∨(

(n mod i 6= 0) ∧ wp(i

def:= i+ 1, I))

≡(

(n mod i = 0) ∧(def (i) ∧L Iresult, i

result+i, i+1

))∨((n mod i 6= 0) ∧

(def (i) ∧L Ii

i+1))

≡

(n mod i = 0) ∧ (1 6 i+ 1 6 n+ 1) ∧

result+ i =i∑


∨(n mod i 6= 0) ∧ (1 6 i+ 1 6 n+ 1) ∧

result =i∑


≡ (1 6 i 6 n) ∧

result =i−1∑j=1


≡ IX

35

I ∧ ¬B→ QC

I ∧ ¬B ≡ (1 6 i 6 n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1


∧ ¬ (i 6 n)

≡ (1 6 i 6 n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1


∧ (i > n)

≡ (i = n+ 1) ∧

result =i−1∑j=1


≡ result =

n∑j=1


≡ QC X

8.4. Ejercicio 68.4.1. (a)

{PC ≡ (|s| > 1) ∧ (i = 0) ∧ (j = 1)QC ≡ (0 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] 6 s [i])

8.4.2. (b)

PC ≡ (|s| > 1) ∧ (i = 0) ∧ (j = 1)QC ≡ (0 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] 6 s [i])B ≡ j < |s|I ≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i])

PC → I

(|s| > 1) ∧ (i = 0) ∧ (j = 1)→ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i])→ (|s| > 1) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < 1→L s [k] 6 s [0])→ (|s| > 1) ∧L (s [0] 6 s [0])→ (|s| > 1) X

{I ∧ B}S {I}

I ∧ B ≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (j < |s|)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j < |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i])

36

wp (S, I) ≡ wp(if...,wp

(j

def:= j + 1, I))

≡ wp(if...,def (j) ∧L Ij

j+1

)≡ wp

(if..., Ij

j+1

)≡(def (j) ∧L

(Bif ∧ wp

(i

def:= j, Ijj+1

)))∨(

def (j) ∧L

(¬Bif ∧ wp

(skip, Ij

j+1

)))≡(

(j < |s|) ∧(def (i) ∧L Ij, i

j+1, j

))∨(

(j > |s|) ∧ Ijj+1

)≡ ((j < |s|) ∧ ((0 6 j < |s|) ∧ (1 6 j + 1 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j + 1→L s [k] 6 s [j]))∨((j > |s|) ∧ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j + 1 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j + 1→L s [k] 6 s [i]))≡ ((0 6 j < |s|) ∧L (∀k : Z) (0 6 k 6 j →L s [k] 6 s [j]))∨(False ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j + 1→L s [k] 6 s [i]))≡ ((0 6 i < |s|) ∧L (∀k : Z) (0 6 k 6 j →L s [k] 6 s [i])) ∨ False≡ (0 6 i < |s|) ∧L (∀k : Z) (0 6 k 6 j →L s [k] 6 s [i])≡ I ∧ BX

I ∧ ¬B→ QC

I ∧ ¬B ≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ ¬ (j < |s|)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (j > |s|)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (j = |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i])≡ (0 6 i < |s|) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < |s| →L s [k] 6 s [i])≡ (0 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] 6 s [i])≡ QC X

8.4.3. (c)

Tomemos:

f (s, j) = |s| − j

Notemos:

I ∧ (f (s, j) 6 0) ≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (|s| − j 6 0)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (j > |s|)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (j = |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < |s| →L s [k] 6 s [i])→ ¬BX

Veamos ahora que esta función variante decrece con cada iteración del ciclo. Quiero ver que:

{I ∧ B ∧ (V0 = f)}S {f < V0}

Notemos:

I ∧ B ∧ (V0 = f) ≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j 6 |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (j < |s|) ∧ (V0 = |s| − j)≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j < |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (V0 = |s| − j)

37

wp (S, f < V0) ≡ wp(if...,wp

(j

def:= j + 1, f < V0

))≡ wp (if..., ((def (j) ∧ def (s)) ∧L (V0 = |s| − j)) ∧L |s| − (j + 1) < V0)≡ wp (if..., (V0 = |s| − j) ∧L (|s| − (j + 1) < V0))≡ ((V0 = |s| − j) ∧ ((0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|)))∧L((

(s [j] > s [i]) ∧ wp(i

def:= j, |s| − (j + 1) < V0

))∨ ((s [j] 6 s [i]) ∧ wp (skip, |s| − (j + 1) < V0))

)≡ ((V0 = |s| − j) ∧ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|))∧L

(((s [j] > s [i]) ∧ |s| − (j + 1) < V0) ∨ ((s [j] 6 s [i]) ∧ |s| − (j + 1) < V0))≡ ((V0 = |s| − j) ∧ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|)) ∧L (|s| − (j + 1) < V0)≡ ((V0 = |s| − j) ∧ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|)) ∧L (|s| − (j + 1) < |s| − j)≡ ((V0 = |s| − j) ∧ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|)) ∧L (−1 < 0)≡ (V0 = |s| − j) ∧ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j < |s|)→ ((0 6 i < |s|) ∧ (1 6 j < |s|)) ∧L (∀k : Z) (0 6 k < j →L s [k] 6 s [i]) ∧ (V0 = |s| − j) X

8.5. Ejercicio 78.5.1. (a)

{PC ≡ (|s| = |r|) ∧ (i = 0)QC ≡ (|s| = |r|) ∧ (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] = r [j])

8.5.2. (b)

PC ≡ (|s| = |r|) ∧ (i = 0)QC ≡ (|s| = |r|) ∧ (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] = r [j])B ≡ i < |s|I ≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j])

PC → I

(|s| = |r|) ∧ (i = 0)→ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j])→ (|s| = |r|) X

{I ∧ B}S {I}

I ∧ B ≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (i < |s|)≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j])

wp (S, I) ≡ wp(r [i] def:= s [i] ,wp

(i

def:= i+ 1, I))

≡ wp(r [i] def:= s [i] ,def (i) ∧L Ii

i+1

)≡ ((def (r) ∧ def (s)) ∧L (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 i < |r|)) ∧L Ir[i], i

s[i], i+1

≡ ((0 6 i < |s|) ∧ (0 6 i < |r|))∧L

(|s| = |r|) ∧ (0 6 i+ 1 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i+ 1→L s [j] = r [j])≡ (|s| = |r|) ∧ (−1 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j 6 i→L s [j] = r [j])→ I ∧ BX

38

(I ∧ ¬B)→ QC

I ∧ ¬B ≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ ¬ (i < |s|)≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (i > |s|)≡ (|s| = |r|) ∧ (i = |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j])≡ (|s| = |r|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < |s| →L s [j] = r [j])≡ QC X

8.5.3. (c)

Propongo:f (s, i) = |s| − i

I ∧ (f 6 0)→ ¬B

I ∧ (f 6 0) ≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (|s| − i 6 0)≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (i > |s|)≡ I ∧ ¬B→ ¬BX

{I ∧ B ∧ (V0 = |s| − i)}S {f < V0}

I ∧ B ∧ (V0 = |s| − i) ≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i 6 |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (i < |s|) ∧ (V0 = |s| − i)≡ (|s| = |r|) ∧ (0 6 i < |s|) ∧L (∀j : Z) (0 6 j < i→L s [j] = r [j]) ∧ (|s| − i = V0)

wp (S, f < V0) ≡ wp(r [i] def:= s [i] ,wp

(i

def:= i+ 1, f < V0

))≡ wp

(r [i] def:= s [i] , (def (s) ∧ def (i)) ∧L (V0 = |s| − i) ∧ (|s| − (i+ 1) < |s| − i)

)≡ wp

(r [i] def:= s [i] , V0 = |s| − i

)≡ (def (r) ∧ def (s)) ∧L ((0 6 i < |s|) ∧ (0 6 i < |r|)) ∧ (V0 = |s| − i)≡ (0 6 i < |s|) ∧ (0 6 i < |r|) ∧ (V0 = |s| − i)→ I ∧ B ∧ (V0 = |s| − i) X

9. Guía 6: Testing

39

9.1. Ejercicio 3

Como el programa es lineal entonces cualquier test case recorre todos los nodos. Así que un posible test suite esel test case (x = 1, y = 2; result = 3).

9.2. Ejercicio 5

Un posible test suite es:

(x = 0; result = 0).

(x = 1; result = 1).

(x = −1; result = −1).

Este test suite ejecuta todas las líneas y todos los posibles branches del programa.

40

9.3. Ejercicio 6


(x = −1; result = −1).

(x = 0; result = 0).

9.4. Ejercicio 8

Un posible test suite es (x = 1; result = 10).

41

9.5. Ejercicio 9


(x = 1, y = −1; result = 0).

(x = 1, y = 1; result = 2).

42

9.6. Ejercicio 11


(a = 0, b = 1, c = 0; 4).

(a = 1, b = 2, c = 3; 4).

(a = 1, b = 1, c = 1; 1).

(a = 1, b = 1, c = 2; 2).

(a = 4, b = 5, c = 2; 3).

43

9.7. Ejercicio 14

Un test suite posible es:

(s = [0, 1, 2] , e = 1; true).

(s = [0, 1, 2] , e = 3; false).

10. Guía 7: Tiempo de Ejecución de Peor Caso de un Programa10.1. Ejercicio 210.1.1. (a)

Siempre ignorando las líneas que toman tiempo unitario notemos que el ciclo se ejecuta s2 + 1 veces. Entonces:

T (s) ∝ s

2 + 1

=⇒ T (s) ∈ O (s)

44

10.1.2. (b)

El ciclo se ejecuta 10000 veces, siempre. Entonces:

T (s) ∈ O (1)

10.1.3. (c)

El primer ciclo se ejecuta n veces. De esas n veces, 100 veces el condicional es verdadero y por lo tanto se ejecutael segundo ciclo, que se ejecuta n veces cada vez. Es decir:

T (s) ∝{

100 · s+ (n− 100) s > 100s · s s 6 100

Como debemos considerar el peor caso entonces consideremos s > 100. Entonces:

T (s) ∝ 101s− 100

=⇒ T (s) ∈ O (s)

Sólo para s 6 100 el tiempo de ejecución es de O(s2) pero aún en ese caso el peor tiempo de ejecución en

1002 6 101s− 100∀s > 100.

10.1.4. (d)

Ambos ciclos se ejecutan max−iter veces. max−iter es 1000 como mínimo. Entonces:

T (s) ∝{

1000 · 1000 s > 1000s · s s 6 1000

=⇒ T (s) ∈ O (1)

10.1.5. (e)

La primera línea tiene un tiempo de ejecución de O (s1 + s2). El primer ciclo se ejecuta s1 veces y el segundo seejecuta s2 veces, así que ambos ciclos tienen un tiempo de ejecución de O (s1 + s2). Entonces:

T (s1, s2) ∈ O (s1 + s2)

10.2. Ejercicio 5El programa lo que hace es ir recorriendo la secuencia y fijarse cuál es la mayor subsecuencia que tiene todos

los número iguales dentro de la secuencia (denominado como “meseta” por el programador). La especificación delprograma sería:

proc mesetaMasLarga (in s :Seq〈Z〉, out maxMeseta : Z){

Pre{True}Post{(∀i, j : Z) (esMeseta (i, j, s)→L maxMeseta > j − i) ∧ ¬ (∃i, j : Z) (esMeseta (i, j, s) ∧maxMeseta < j − i)}

}pred esMeseta (i : Z, j : Z, s :Seq〈Z〉){

(0 6 i < |s|) ∧ (0 6 j 6 |s|) ∧ (i < j) ∧ (j 6= |s| →L s [i] 6= s [j]) ∧L

(∀k : Z) (i 6 k < j →L s [k] = s [i])

}

45

El primer ciclo se ejecuta una vez para cada meseta del ciclo y el segundo se ejecuta para cada largo de meseta. Yaque la suma de los largos de las mesetas es igual al largo de la secuencia entonces sabemos que en total los ciclos sevan a ejecutar s veces. Depende de cada ciclo la cantidad exacta de veces que se ejecuta cada ciclo, pero en totalambos se ejecutan s. Entonces:

T (s) ∈ O (s)

Si quisiéramos hacer el programa usando sólo un ciclo podemos hacerlo de la siguiente forma:

int mesetaMasLarga(vector<int> s) {

int i = 0;int maxMeseta = 0;int meseta = 1;while (i < s.size() - 1) {

if (s[i] == s[i + 1]) {

meseta = meseta + 1;i = i + 1;

} else {

if (maxMeseta < meseta) {

maxMeseta = meseta;meseta = 1;

} else {

meseta = 1;

}

}

}return maxMeseta;

}

10.3. Ejercicio 5El programa hacerAlgo ejecuta 100 veces el programa contarApariciones, así que:

T (s) ∝ 100T (s)

donde T (s) es el tiempo de ejecución de contarApariciones. El ciclo en contarApariciones se ejecuta s veces así que:

T (s) ∝ 100s

=⇒ T (s) ∈ O (s)

10.4. Ejercicio 9bool esTriangular(vector<vector<int>�> A){

bool res = true;if (A.size() < 2 || A.size() != A[0].size()){

res = false;

} else {

for (int i = 1; i < A.size(); i++) {

for (int j = 0; j < i; j++) {

46

if (A[i][j] != 0) {res = false;

}}

}}return res;

}int detTriangular(vector<vector<int>�> A) {

int det = 1;for (int i = 0; i < A.size(); i++) {

det = det * A[i][i]}return det;

}

Si la matriz es de n× n entonces hay n2 elementos en la matriz. Tomemos m = n2, T1 como el tiempo de ejecuciónde esTriangular y T2 como el tiempo de ejecución de detTriangular. El primer ciclo de esTriangular se ejecuta n− 1veces y el segundo depende de en qué fila de la matriz esté. Entonces:

T1 ∝n∑

i=1i

= n (n+ 1)2

= 12n

2 + 12n

= 12m+ 1

2√m

=⇒ T1 ∈ O (m)El ciclo de detTriangular se ejecuta n veces siempre. Entonces:

T2 ∈ O(√m)

10.5. Ejercicio 12int maxSubseqImpar(vector<int> s) {

int res = 0;int largo = 0;for (int i = 0; i < s.size(); i++){

if (s[i] % 2 == 1) {largo = largo + 1;

} else {if (largo > res) {res = largo;

}largo = 0;

}}return res;

}

47

11. Guía 8: Búsqueda y Ordenamiento11.1. Ejercicio 411.1.1. (a)

int sumaBinaria(vector<int> s) {

int result = 0;for (int i = 0; i < s.size(); i++) {

result = result + s[i];

}

}

11.1.2. (b)

int sumaBinariaOrdenada(vector<int> s) {

int ans;if (s.size() == 0) {

ans = 0;

} else if (s.size() == 1) {

ans = s[0];

} else if (s[s.size() - 1] == 0) {

ans = 0;

} else if (s[0] == 1) {

ans = s.size();

} else {

int low = 0;int high = s.size() - 1;while (low + 1 < high) {

int mid = (low + high) / 2;if (s[mid] == 0) {

low = mid;

} else {

high = mid;

}

}ans = s.size() - (low + 1);

}return ans;

}

Este programa usa el algoritmo de búsqueda en secuencia ordenada. El tiempo de ejecución es de T (s) ∈ O (log2 (s− 1)).

11.1.3. (c)

int sumaBinariaOrdenada(vector<int> s) {


ans = 0;

48

} else if (s.size() == 1) {ans = s[0];

} else if (s[s.size() - 1] == 15) {ans = 15 * s.size();

} else if (s[0] == 22) {ans = 22 * s.size();

} else {int low = 0;int high = s.size() - 1;while (low + 1 < high) {

int mid = (low + high) / 2;if (s[mid] == 15) {low = mid;

} else {high = mid;

}}ans = (low + 1) * 15 + (s.size() - (low + 1)) * 22;

}return ans;

}

Este programa es análogo al anterior.

11.2. Ejercicio 511.2.1. (a)

int busquedaFila(vector<vector<int>�> s, int e) {


ans = 0;} else {


int mid = (low + high) / 2;if (s[mid][0] <= e) {low = mid;

} else {high = mid;

}}ans = low;

}return ans;

}int busquedaColumna(vector<int> s, int e) {

49

int ans;if (s.size() == 0 || s.size() == 1) {

ans = 0;} else if (s[s.size() - 1] < e) {

ans = 0;} else {


int mid = (low + high) / 2;if (s[mid][0] <= e) {low = mid;

} else {high = mid;

}}ans = low;

}

}int contarAparicionesSinRepe(vector<vector<int>�> s, int e) {

int ans;if (s.size() == 0){

ans = 0;} else if (s[0].size() == 0) {

ans = 0;} else {

int f = busquedaFila(s, e);int c = busquedaColumna(s[f], e);if (s[f][c] == e) {

ans = 1;} else {

ans = 0;}

}return ans;

}

11.3. Ejercicio 611.3.1. (a)

int contarElemento(vector<int> v, int e) {

int ans = 0;for (int i = 0; i < v.size(); i++) {

if (v[i] == e) {ans = ans + 1;

}

50

}return ans;

}

T (v) ∈ O (v)

11.3.2. (b)

int maximaDiferencia(vector<int> v, int d) {

int max = v[0];int min = v[0];for (int i = 0; i < v.size(); i++) {

if (v[i] > max) {max = v[i];

}if (v[i] < min) {

min = v[i];}

}return max - min;

}

T (v) ∈ O (v)

11.3.3. (c)

int moda(vector<int> v) {

int moda = v[0];int veces = contarElemento(v[0]);for (int i = 1; i < v.size(); i++) {

if (contarElemento(v, v[i]) > veces) {moda = v[i];veces = contarElemento(v, v[i]);

}}return moda;

}

T (v) ∈ O(v2)

11.3.4. (d)

vector<int> fillNumberCount(vector<int> &v, int r1, int r2) {

vector<int> numberCount(r2 - r1 + 1, 0);for (int i = 0; i < numberCount.size(); i++) {

numberCount[i] = contarElemento(v, i + r1);}return numberCount;

}void populate(vector<int> &v, vector<int> &numberCount) {

51

int i = 0;int j = 0;while (i < v.size()) {

while (j < numberCount.size()) {

if (numberCount[j] > 0) {

s[i] = j + r1;i++;

} else {

j++;

}

}

}

}void ordenarNumerosAcotados(vector<int> &v) {

vector<int> numberCount = fillNumberCount(v);populate(v, numberCount);

}

No creo que pueda hacerse en tiempo lineal usando el algoritmo anterior ya que no considera la cantidad de elementosdistintos que hay en la secuencia. Este algoritmo es una adaptación del algoritmo de Dutch National Flag.

T (v) ∈ O (v)

11.3.5. (e)

El primer algoritmo se convierte en un algoritmo de búsqueda sobre una secuencia ordenada, así que es deO (log2 (v − 1)). El segundo es de O (1), ya que es simplemente hacer v [|v| − 1] − v [0]. El tercero no creo que sepueda mejorar, no se me ocurre cómo.

11.4. Ejercicio 8La estrategia es usar el algoritmo del NationalDutchFlag:

vector<int> fillLetterCount(string &s) {

vector<int> letterCount(112956, 0);/* Voy a asumir que en Unicode los caracteres son enteros de 0 a 112956* (probablemente no sea asi pero bue). */

for (int i = 0; i < s.size(); i++) {

for (int j = 0; i < letterCount.size(); j++) {

if (ord(s[i]) == j) {

letterCount[j]++;

}

}

}return letterCount;

}

void populate(string &s, vector<int> &letterCount) {

52

int i = 0;int j = 0;while (i < s.size()) {

while (j < letterCount.size()) {

if (letterCount[j] > 0) {

s[i] = uni(j);i++;

} else {

j++;

}

}

}

}void ordenarCaracteres(string &s) {

vector<int> letterCount = fillLetterCount(s);populate(s, letterCount);

}

11.5. Ejercicio 10Ver el proyecto de C++ en la carpeta “Algoritmos Utiles” en el material de la materia.



53

Índice alfabéticoAlgoritmo, 5Algoritmo de Knuth, Morris y Pratt, 22Asignación, 11

Bifijo, 23

Ciclo, 11Computadora, 5Concatenación, 8Conditional AND, 6Conditional IF, 7Conditional OR, 6Contrato, 5Control Flow-Graph, 14Correcto, 11Criterio de Adecuación, 15

Eficiencia, 16Ejecución, 11Especificación, 5Estado, 11

Función Auxiliar, 6Función Variante, 13

Guarda, 11

Indexación, 8Invariante, 11

Matriz, 10

Notación O Grande, 16

Parámetro, 5Poscondición, 5Precondición, 5Predicado Auxiliar, 6Programa, 5Programa Correcto, 6

Secuencia, 8Semántica Trivaluada, 6Sobre-especificación, 6String, 22Sub-especificación, 6

Teorema del Invariante, 11Test Case, 14Test de Caja Negra, 14Test Estructural, 14Test Funcional, 14Test Input, 14

Test Suite, 14Testing, 14Tests de Caja Blanca, 14Tiempo de Ejecución, 16Tiempo de Ejecución Lineal, 16Tipos de Datos, 5Tripla de Hoare, 11

54

Documents

Apuntes de Algoritmos y Estructura de Datos I · Apuntes de Algoritmos y Estructura de Datos I Federico Yulita Segundo Cuatrimestre, 2019 EstamaterialacurséconMatíasLopezyRosenfeldcomoprofesordelasteóricas