Resistencia de Materiales

Apuntes básicos

Ing. Pablo Ayala M.

Cuando se estudia el efecto de distintas fuerzas aplicadas a un material sólido se pueden considerar dos posibilidades: (a) que dicho material no sufra deformación debido a la aplicación de las cargas y, (b) que la magnitud de las cargas produzca deformación en los materiales e incluso lleguen a la rotura final. A este segundo caso debemos poner atención cuando estudiamos la “RESISTENCIA” de los materiales, es decir la resistencia de materiales estudia las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos.

La elección del tipo de material que se utiliza a la hora de diseñar y construir una estructura debe considerar aspectos relacionados a resistencia y rigidez y es necesario entender estos dos términos.

Resistencia se entenderá como la capacidad que tienen los materiales de oponerse a la fractura debido a la aplicación de fuerzas exteriores, y un parámetro fundamental relacionado a este concepto es el tipo de composición química del material.

Rigidez se entenderá como la capacidad de los materiales de oponerse a la deformación debido a la aplicación de fuerzas exteriores, y un parámetro fundamental relacionado a este concepto es la geometría o forma del material.

La resistencia de materiales estudia la distribución interna de los esfuerzos que produce un sistema de cargas exteriores aplicadas al material en estudio.

En cuanto a la forma de aplicación de cargas sobre un cuerpo se van a considerar 5 tipos diferentes de efectos sobre el mismo:

a) Tracción: las cargas se aplican a dos puntos extremos del cuerpo sobre un mismo eje, en direcciones opuestas y tratan de alargarlo

b) Compresión: las cargas se aplican a dos puntos extremos del cuerpo sobre un mismo eje, en direcciones opuestas y tratan de comprimirlo o acortarlo.

c) Torsión: las cargas se aplican de manera que producen torques contrarios (horario en un extremo y anti horario en el otro extremo) en los dos puntos de aplicación

d) Flexión: la carga se aplica de manera perpendicular al eje mayor del cuerpo produciendo una curvatura del mismo.

e) Corte: las cargas se aplican de manera que produce deslizamiento de capas vecinas dentro del cuerpo

Es posible hallar casos complejos en los que se combinan dos o más efectos pero inicialmente las debemos estudiar de manera individual.

El efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado, depende de la elección y orientación de la sección de exploración. Si el eje X es normal a la sección de un cuerpo, ésta se denomina superficie o cara X. Cuando se nombre un vector que actúa sobre una sección, el primer subíndice indica la cara sobre la que actúa la componente y el sseegguunnddoo

ssuubbíínnddiiccee indica la ddiirreecccciióónn de cada una de ellas.

ESFUERZO SIMPLE.- La fuerza por unidad de área que soporta un material se conoce como esfuerzo

y se expresa matemáticamente en la forma:

donde P es la carga aplicada y A es el área

de la sección transversal, pero esta expresión representa el valor medio del esfuerzo pero no el esfuerzo en cada punto de la superficie de la cara X. Para determinar exactamente el esfuerzo se debe utilizar una fuerza diferencial entre el elemento de área diferencia por

lo que:

La situación en la que el esfuerzo es constante se llama estado de esfuerzo simple y esto ocurre solamente cuando la fuerza aplicada pasa por el centroide (o centro de gravedad) de la sección considerada.

Las unidades que se utilizan son el Pascal [Pa] que es Newton por metro cuadrado [N/m2]

La equivalencias a utilizar son: pero es posible usar

y también

Ejercicios a resolver

1) Determinar el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura derecha. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder de 100 MPa. y 50 MPa. Respectivamente, las áreas transversales de ambos son: 400 mm

2 para el cable AB y 200

mm2 para el cable AC.

2) Calcular en la armadura de la figura izquierda los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE y BD. El área transversal de cada elemento es de 1200 mm

2. Indicar la Tensión (T) o la compresión (C) en cada resultado.

3) Determinar para la armadura de la figura derecha las áreas transversales de las barras BE, BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/m

2 en tensión ni de 80 MN/m

2 en compresión.

No se considera pandeo en los miembros.

4) Todas las barras de la estructura articulada de la figura de la izquierda tienen una sección de 30mm por 60mm. Determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan de 100 MN/m

2 en

tensión ni de 80 MN/m2 en compresión.

5) Una columna de hierro fundido (o de fundición) soporta una carga axial de compresión de 250 kN. Determinar su diámetro interior si el exterior es de 200 mm y el máximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

6) Un tubo de acero se encuentre rígidamente sujeto con un perno de aluminio y otro de bronce, tal como se muestre en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio; de 150 MPa en el acero; o de 100 MPa en el bronce.

ESFUERZO CORTANTE.- El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), a diferencia del axial (o de tensión o de compresión), es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o compresión lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón, los esfuerzos de tensión y compresión se llaman también esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial. El

cizallamiento o corte tiene lugar en un plano paralelo a la carga aplicada. Se simboliza

y

en realidad debe interpretarse como un esfuerzo cortante medio.

Cuando la distancia entre las fuerzas que lo producen sea muy pequeña, o el ancho de la sección que lo soporta sea igualmente pequeño, la distribución del esfuerzo cortante tiende a ser uniforme.

Ejercicios a resolver

1. Se quiere punzonar una placa que tiene un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.

2. La figura muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b)Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

DEFORMACIÓN SIMPLE.-Considerando una probeta de determinado material sujeta entre mordazas en una máquina de pruebas de tensión se observa la carga y también el alargamiento producido por la misma, con esto es posible graficar en un plano cartesiano los datos en el que las ordenadas representan la carga introducida y las abscisas los alargamientos correspondientes.

En la figura se representan las fuerzas por unidad de área también llamados esfuerzos y los alargamientos unitarios o deformaciones.

El límite de elasticidad (o límite elástico) es el esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada deformación permanente. El punto de fluencia es aquél en el que aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que incluso puede ser menor al inicial mientras dura la fluencia.

La pendiente de la recta es la relación entre el esfuerzo y la deformación, se llama módulo de elasticidad y se representa por la letra E.

que se suele escribir de la forma y esta es la ley conocida como Ley de Hooke

(aunque fue Thomas Young en 1807 quien introdujo la expresión matemática). E es una medida de la rigidez del material.

Una forma común de escribir esta ley es

DEFORMACIÓN.- El valor de la deformación unitaria es el cociente del alargamiento (deformación total) y la longitud en la que se ha producido por lo tanto:

pero esto representa el valor medio de la deformación, para obtener la deformación en

cualquier punto es necesario utilizar diferenciales es decir:

para utilizar la expresión del

valor medio se deben cumplir las siguiente condiciones:

a) El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal o recta constante b) El material debe ser homogéneo c) La fuerza o carga debe ser axial, es decir producir un esfuerzo uniforme.

Cabe indicar que la deformación es una cantidad adimensional.

DEFORMACIÓN ANGULAR (O POR CORTANTE).- Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales.

La distorsión es la variación experimentada por el ángulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial. Similar a la ley de Hooke para la deformación longitudinal se tiene: donde es el módulo de elasticidad al cortante llamado a veces módulo de rigidez.

La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es:

donde representa la fuerza cortante que actúa sobra la sección de área que la soporta.

Ejercicios a resolver

1. Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2

la deformación ha sido de 167 x 10-6

m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667 x 10

-6

m/m. Si el límite de proporcionalidad es de 200 MN/m2 ¿cuál es el valor del módulo elástico?

¿Cuál es el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.002? Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m

2, ¿se hubieran deducido los mismos resultados?

Razonar la respuesta. 2. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm

2 y una longitud de 150 m se

suspende verticalmente de uno de sus extremos y sopona una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m

3 y E = 200 x 10

3 MN/m

2, determinar el

alargamiento de la varilla.

ESFUERZO DE CONTACTO (O APLASTAMIENTO).- Cuando se tiene el caso de dos superficies en contacto ejerciendo carga la una sobre la otra, se produce fluencia del material menos resistente, por ejemplo en el caso de un remache sobre la placa que lo sujeta. La presión del remache contra las paredes del orificio no es constante, variando desde cero en los puntos en que desaparece el contacto hasta un máximo en el centro de la parte apoyada.

Para simplificar las dificultades inherentes a una distribución variable de esfuerzos se suele suponer que el esfuerzo de contacto se distribuye uniformemente sobre un área más pequeña, que es la proyección de la superficie de contacto sobre un plano diametral del orificio perpendicular a la dirección de la fuerza. (El subíndice b proviene del inglés bearing = aplastamiento). El área de aplastamiento es entonces donde es el espesor de la placa y es el diámetro del remache con esto, la carga total se expresa

Ejercicio a resolver

1. Considerando dos placas de 100 mm de ancho unidas por un remache de 20 mm de diámetro. (a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MN/m

2 para el aplastamiento y 80 MN/m

2 para el

esfuerzo cortante, determinar el mínimo espesor de cada placa. (b) Según las condiciones especificadas en la parte (a), ¿Cuál será el máximo esfuerzo medio de tensión en las placas?

CILINDROS DE PARED DELGADA.- Un depósito cilíndrico que contenga un fluido a una presión

está sometido a fuerzas de tensión según sus secciones longitudinales y transversales y

las paredes han de resistir estas fuerzas para evitar que estalle. Considerando primeramente una sección longitudinal cualquiera A – A que corte diametralmente al cilindro de la figura

sometido a presión interior, la fuerza elemental que actúa normalmente a un elemento diferencial de la pared del cilindro a un ángulo del diámetro horizontal es:

Por simetría respecto al plano vertical que pasa por el eje del cilindro, a cada le corresponde otra fuerza cuya componente horizontal será igual pero de sentido contrario por lo que todas las parejas de componentes horizontales se anulan y la fuerza total F que tiende a separar la una mitad del cilindro de la otra es la suma de las componentes verticales:

que se simplifica en . Para

mantener el equilibrio de la mitad del cilindro, la fuerza total F que actúa perpendicular al plano A–A es resistida por las fuerzas iguales P que actúan en las dos secciones cortadas de la pared del cilindro por lo que:

El esfuerzo en la sección longitudinal que soporta la fuerza F resulta de dividirla para el área de las dos secciones de corte:

Este esfuerzo suele

llamarse esfuerzo circunferencial y viene dado por la expresión

; el cual es un

esfuerzo medio para cilindros en los que la pared tenga un espesor menor o igual que un décimo de su radio interior y es prácticamente igual al esfuerzo máximo que aparece en la superficie del interior del cilindro o el mínimo de la superficie exterior.

Si consideramos ahora el diagrama del cuerpo libre en una parte del depósito cilíndrico separada del resto por una sección transversal cualquiera, se observa que la fuerza F tiende a separar esta parte del cilindro de la otra y que es la fuerza que actúa sobre el fondo del mismo la cual se contrarresta por la resultante P de las fuerzas que actúan en la pared del cilindro en dirección perpendicular al plano de la sección transversal de corte. Como entonces

de donde se obtiene que

que se conoce como un esfuerzo longitudinal

porque actúa paralelamente al eje longitudinal del cilindro.

Al comparar con se observa que el esfuerzo circunferencial tiene un valor doble al del longitudinal por lo que si la presión en un depósito cilíndrico se eleva hasta alcanzar el valor de ruptura la falla del material tendrá lugar a lo largo de una sección longitudinal.

Cuando se construye un depósito cilíndrico remachado se lo debe diseñar para que la resistencia de las juntas longitudinales sea el doble que la resistencia de las juntas circunferenciales.

Ejercicios a resolver

1. Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud 3 m. Determine la máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente falle, bosquejar el tipo de fractura que ocurriría.

2. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura. Si ha se llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.

Cuando los extremos del cilindro son redondeados (tapados con casquetes como el de la figura) la fuerza total que tiende a romper el depósito por una sección transversal se calcula multiplicando la presión interna por el área encerrada en esa sección transversal (obtenida por intersección con ella de la pared interna del cilindro). La fuerza total longitudinal es igual al producto de la presión interior por el área de esa sección transversal del depósito, no de sus paredes.

3. Una tubería de gran tamaño llamada tubería de presión en obras hidráulicas, tiene 1.5 m de diámetro. Está formada por duelas de madera sujetas mediante aros de acero de 300 mm

2 de

sección y se utiliza para suministrar el agua desde un embalse, hasta la sala de máquinas. Si el

máximo esfuerzo que se permite en los aros es de 130 MPa, y la carga hidráulica es de 30 m, determinar la máxima separación entre los aros. La densidad del agua es

4. Demuestre que el esfuerzo en un cascarón esférico de pared delgada, de diámetro y espesor

, sujeto a una presión interna , está dado por

5. Hallar la velocidad periférica límite de un anillo giratorio de acero si el esfuerzo normal admisible es de 140 Mpa y la densidad del acero 7850 . Si el radio medio es de 250mm ¿a qué velocidad angular se alcanzará un esfuerzo de 200 Mpa?

6. En el depósito cilíndrico de la figura la resistencia de las juntas longitudinales es de 480kN y la de las transversales de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 1.5 Mpa, determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.

7. Una tubería que conduce vapor a 3.5 MPa tiene un diámetro exterior de 450 mm y un espesor de 10mm. Se cierra uno de sus extremos mediante una placa atornillada al reborde de este extremo, con interposición de una junta o empaquetadura. ¿Cuántos tornillos de 40 mm de diámetro se necesitan para sujetar la tapa si el esfuerzo admisible es de 80 MPa y tiene un esfuerzo de apriete de 55 MPa? ¿Qué esfuerzo circunferencial se desarrolla en la tubería? ¿Por qué es necesario el apriete inicial de los tornillos de la tapa? ¿Qué sucedería si la presión de vapor hiciera duplicar el esfuerzo de apriete?

8. Un conducto o tubería de presión formado por una placa remachada en espiral tiene 1.5 m de diámetro interior y 10 mm de espesor. El paso de la espiral es de 3 m. La junta, en espiral, consiste en un solape sencillo, sujetado con remaches de 20mm. Si los esfuerzos admisibles son y , determinar el espaciamiento de los remaches a lo largo de la junta para una presión de 1.25 MPa de acción hidráulica. Se desprecia el efecto del cierre de un extremo de la tubería (esfuerzo longitudinal). ¿Cuál es el esfuerzo circunferencial?

ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO.- Todo cambio de temperatura produce deformaciones longitudinales en los materiales, si se considera una sola dirección se tiene una deformación lineal, si se consideran dos dimensiones hablamos de deformación superficial y con tres dimensiones una deformación volumétrica.

La deformación lineal viene dada por: donde es el coeficiente de dilatación lineal que se expresa en , es la longitud y es la variación de temperatura en °C

Por causa de las deformaciones térmicas aparecen fuerzas internas que contrarrestas estas deformaciones cuando están impedidas total o parcialmente.

El procedimiento para determinar el valor de dichas fuerzas es:

1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin ligaduras que impidan la libre deformación térmica, se representa en un esquema estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus magnitudes

2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones geométricas iniciales de restricción de movimientos.

3. Las relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a la temperatura y las debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones que,

junto con las del equilibrio estático permiten determinar las

fuerzas desconocidas.

ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTÁTICOS).- Estructuras en las que las reacciones o fuerzas resistivas internas exceden en número al de ecuaciones independientes de equilibrio se conocen como estáticamente indeterminadas y requieren ecuaciones adicionales que relacionan las deformaciones elásticas con las de equilibrio, para esto se recomienda:

1. Hacer un diagrama de cuerpo libre de la estructura o de parte de ella con las fuerzas necesarias para su equilibrio estático

2. Cuando hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio hay que obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas.

Ejercicios a resolver

1. Una varilla de acero de 150 mm2 de sección está sujeta en sus extremos a dos puntos fijos,

estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20°C. Calcular el esfuerzo en la varilla a -20°C. ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo? Utilizar: y .

2. Una varilla de acero anclada entre dos muros rígidos queda sometida a una tensión de 5000N a 20°C. Si el esfuerzo admisible es de 130 MPa, hallar el diámetro mínimo de la varilla para que no se sobrepase aquél al descender la temperatura hasta –20°C. Utilizar: y .

3. Los rieles de una vía férrea, de 10 metros de longitud, se colocan a una temperatura de 15°C con una holgura de 3 mm. ¿A qué temperatura quedarán a tope? Calcular el esfuerzo que adquirirían a esa temperatura si no existiera la holgura señalada.

4. La barra compuesta de la figura está firmemente sujeta a soportes indeformables. El aluminio tiene un área de sección transversal de 900 mm

2 y tiene un módulo de elasticidad de

70x109 Pa, el acero tiene un área de sección transversal de

1200 mm2 con E=200x10

9 Pa. Se aplica una fuerza axial P =

200kN en la juntura de ambos materiales y dirigida a la derecha a una temperatura de 20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C; en el acero en al aluminio .

5. Para el problema anterior, ¿a qué temperatura alcanzará el esfuerzo en el aluminio y en el acero el mismo valor numérico?

ESTADOS DE DEFORMACIÓN BIAXIAL Y TRIAXIAL: RELACIÓN DE POISSON.- Toda tensión o compresión axial produce variación en las dimensiones transversales del cuerpo sobre el que se aplica la carga, si una barra se alarga por una tensión axial sufre una reducción en sus dimensiones transversales.

La relación que describe este fenómeno se simboliza con la letra griega (“ni") y es:

donde es la deformación

debida solamente a un esfuerzo en dirección X, con y que son las deformaciones unitarias

que se manifiestan en las direcciones perpendiculares al eje principal.

El signo menos indica un acortamiento en las dimensiones transversales cuando es positiva como ocurre con un alargamiento producido por tracción tal como se observa en el gráfico. La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de Hooke para esfuerzos biaxiales.

Si un elemento está sometido simultáneamente a esfuerzos de tracción en los ejes X e Y, la

deformación por unidad de longitud en la dirección X debida a es

con valor positivo

pero al mismo tiempo el esfuerzo producirá una contracción lateral en la dirección X que

produce una relación:

y cuyo valor para el efecto en el eje X es

de

donde

y análogamente, la deformación en el eje y es:

Despejando y de este sistema de ecuaciones se tiene:

Y para el caso de deformaciones triaxiales se vuelve a realizar el mismo procedimiento para hallar:

Se debe recordar que se usa signo positivo al alargamiento y negativo al acortamiento de longitudes.

Se tiene una importante relación entre las constantes E, G y para un material dado la cual

es:

Esta relación se puede utilizar para determinar el valor de cuando se conoce G y E

para el acero

para muchos otros materiales

para el concreto

TORSIÓN.- Para deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas comprobarse experimentalmente, las dos primeras corresponden a secciones circulares.

1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión 2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión 3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección

permanece radial después de la torsión 4. El árbol (es decir todo elemento mecánico que tiene la forma de un sólido de

revolución y que se utiliza para transmitir un par) está sometido a la acción de pares torsores que actúan en planos perpendiculares a su eje

5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN.- Considerando las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol macizo, una línea generatriz AB que estaba inicialmente recta en la superficie del cilindro se tuerce formando una hélice AB’ al tiempo que la sección B gira un cierto ángulo respecto de la sección en A.

La hélice AB’ es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas de sección transversal al eje y que son infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformación estaban sobre AB. Si se considera una fibra cualquiera a una distancia del eje

del árbol, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo produciéndose una deformación tangencial igual a DE, la longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio y ángulo

y en estas condiciones la distorsión es

y según la ley de Hooke el esfuerzo cortante

será

que es una expresión conocida como

ecuación de compatibilidad (en ella los esfuerzos son compatibles con las deformaciones elásticas). De esta se deduce que “la distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varía linealmente con la distancia al centro de la sección”.

Un elemento diferencial de área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente y debe ser perpendicular a para que se produzca la máxima resistencia a la torsión.

Haciendo cumplir las condiciones de equilibrio estático la es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torsionante aplicado. El par resistente T es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales

de donde

pero como la expresión es

el momento polar de inercia de la sección recta entonces:

Que se suele expresar:

con el ángulo expresado en radianes, T en , L en m, J en

m4, y G en

La fórmula de torsión se suele expresar también

y su valor máximo que está en la

superficie del árbol es

, esta fórmula se emplea para determinar el esfuerzo de

ruptura por cortante (módulo de ruptura a torsión)

El cálculo del momento polar de inercia se lo realiza con la expresión y para

secciones circulares macizas o huecas resulta ser:

Por lo que para un eje macizo se tiene:

y para un eje

hueco resulta:

En muchas aplicaciones prácticas los árboles se utilizan para transmitir potencia la cual al ser transmitida por un par constante que gira a velocidad angular constante está dada por:

De conde está medida en radianes por unidad de tiempo. Si el árbol gira con frecuencia de revoluciones por unidad de tiempo entonces y la potencia por lo que el momento torsionante puede expresarse como:

La potencia viene medida en watt

y la frecuencia en con lo que el

momento torsionante está en Newton-metros.

Una fórmula suficientemente aproximada para determinar el esfuerzo cortante máximo en una barra de sección rectangular en donde es el lado mayor y el lado menor del

rectángulo es:

Ejercicios a resolver

1. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de , no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6m. ¿cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Usar

2. En un árbol macizo de 5 m de longitud en que el ángulo total de torsión es de 4° el esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si . Calcular su diámetro. ¿Qué potencia podrá transmitir a 20 rev/s?

3. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Usar .

4. Demostrar que un árbol hueco de sección circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del

exterior tiene una resistencia a la torsión que es igual a

de la que tiene un árbol macizo del

mismo diámetro exterior. 5. Un árbol de acero de diámetro constante

de 60 mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, tal como se indica en la figura. Usando un módulo calcular el ángulo de torsión del engrane D con respecto al A