APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto. · APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander

APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL.

Prof. Jaime A Pinto.Departamento De Ciencias Básicas,

Unidades Tecnológicas de Santander.

uts Textos Universitarios

Departamento de Ciencias Básicas 2013

Contenido

Introducción ................................................................................................................................................................. 1

1 Capítulo 1"Desigualdades" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Propiedades de las Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Clases de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Inecuaciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 cuadráticas o de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.5 Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Capítulo 2"Funciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Definición de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Representación Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Criterio de la Recta Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Elementos de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Dominio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Intersección con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Simetrías de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Funciones par e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Álgebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

utsCálculo Diferencial

Departamento de Ciencias Básicas

CONTENIDO 3

2.9 Movimientos en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.1 Translación Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.2 Translación Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10 Gráfica de Funciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11 Composición de Funciones o Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12 Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.12.1 Propiedades de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.13 Aplicaciones de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.13.2 Modelos Demanda y Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Límites y Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Definición Informal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Límites Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Definición Formal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Cálculo de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1 Indeterminación00

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.2 Indeterminación±∞

±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.3 indeterminación ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.4 indeterminación 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.5 indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7 Límites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Límites al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.1 Asintotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.9 Teorema del Emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10 Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.11 Clases de Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.1 Discontinuidad Evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.2 Discontinuidad no evitable o esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11.3 Resumen de las Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Derivadas y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.0.4 Diferentes formas de representar la derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.0.5 La Derivada como Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1 Propiedades o reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82



CONTENIDO 1

4.2 Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1 Costo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.2 Ingreso Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.3 Utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.4 Consumo y Ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.5 Elasticidad de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1 Regla de la cadena para potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Derivada de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Derivada de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2 Derivada de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.3 Derivada de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.5 Derivadas de funciones trigonométricas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.6 Derivada de una Función elevada a otra Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.8 Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.9 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.10 Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.10.1 El problema de recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.11 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.11.1 La primera derivada y la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.11.2 Extremos locales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.11.3 Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . 117

4.11.4 Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.11.5 Concavidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.11.6 Punto de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.11.7 Representación Gráfica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.11.8 Tabla de resumen "Definiciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.12 Aplicación de la derivada al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.12.1 Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.13 Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.13.1 Prueba subsección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.13.2 Como insertar una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.13.3 Incluyendo una tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.13.4 Fórmulas Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.13.5 Algunos Cajas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Bibliografía .................................................................................................................................................................... 137



Introducción

El Cálculo Diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVIIcuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) entre otros, inten-taron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griegaArquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica que es el problema dela recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular ve-locidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipopráctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí.Con el paso del tiempo las aplicaciones del Cálculo Diferencial se han ampliado a la cotidianidad, a las cien-cias socieconómicas e ingeniería, entre otros.

1 Capítulo 1"Desigualdades"

1.1 Desigualdades

En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lin-eales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menorque otra, para ello utilizamos los símbolos:Mayor que > menor que <

Mayor o igual que ≥ menor o igual que ≤.

Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de de-sigualdad:

a es mayor que b→ a > ba es menor que b→ a < ba es mayor o igual que b→ a≥ ba es menor o igual que b→ a≤ b.

1.1.1 Propiedades de las Desigualdades

Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. (Propiedad transitiva).Si a > b y b > c, entonces a > c.Si a < b y b < c, entonces a < c.

2. Si a > b, entonces a± c > b± c.Si a < b, entonces a± c < b± c.

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.



3

4. Si a > b y c > 0, entoncesac>

bc

.

Si a > b y c < 0, entoncesac<

bc

.

5. (Propiedad aditiva)Si a > b y c > d, entonces a+ c > b+d

6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd

7. Si a > b y a > 0 y b > 0, entonces an > bn

8. Si a > b, entonces 1a < 1

b

9. a.b > 0 =

a > 0 ∧ b > 0

∨a < 0 ∧ b < 0

a.b < 0 =

a > 0 ∧ b < 0

∨a < 0 ∧ b > 0

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.Por ejemplo 3 < 6⇐⇒ 6 > 3

1. Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además sonsatisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostraciónanalítica (utilizando propiedades de las desigualdades).

Por ejemplo: la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b

2aba+b

<√

ab

2. Desigualdades condicionales: Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunosnúmeros Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades queposeen variables.

Por ejemplo:2x+6 < 0

Definición 1.1



4Capítulo 1

"Desigualdades"

1.2 Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se rep-resentan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entreconjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos queexisten y luego algunos ejemplos.

1.2.1 Clases de Intervalos

A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos

Sean los intervalos A = [−5,5], B(−∞,8] y C = (2,∞); hallar en las diferentes notaciones:

1. A∪C 2. B∩C 3.(A∩C)∪B

Solución:

1. A∪C = [−5,∞) Notación de intervalo→ A∪C = {x/x≥−5} Notación de conjunto

2. B∩C = (2,8] Notación de intervalo→ B∩C = {x/2 < x≤ 8} Notación de conjunto

3. (A∩C)∪B = (2,5]∪ (−∞,8] = (−∞,8] Notación de intervalo→ (A∩C)∪B = {x/x≤ 8} Notación de conjunto

Ejemplo 1.1



5

1.3 Inecuaciones de una variable

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y quesólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también seconocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.

La desigualdad 2x−3 > x+5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica paracualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en unadesigualdad de signo contrario.

Ejemplo 1.2

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enun-ciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da medianteun intervalo).

Solución de inecuaciones

Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas parahallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe elnombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, ennotación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos")

1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica queaparece en ellas.

Inecuación tipo2x−3 > x−5 1° grado; 1 incógnita

x−3≤ y 1° grado; 2 incógnitasx2−5x≥ 4 2° grado; 1 incógnitasxy−3 > 0 2° grado; 2 incógnitas

1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita:

son las que responden a las siguientes formas básicas:ax+b < 0 ax+b > 0 ax+b≤ 0 ax+b≥ 0

En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:



6Capítulo 1

"Desigualdades"

Paso 1: Quitar los paréntesis, si los hay.

Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación porel m.c.m. de los denominadores.

Paso 3: Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.

Paso 4: Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.

Paso 5: Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de ladesigualdad.

Paso 6: Despejar la x (la incógnita).

Paso 7: Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

Resolverx−2

3− 5(x−7)

4>

7− x2

4(x−2)−3(5x−35)12

>6(7− x)

12

4x−8−15x+105 > 42−6x⇒−5x >−55

5x < 55⇒ x < 11Solución: x ∈ (−∞,11)

Ejemplo 1.3

Resolver 2x−3 > x+5

Pasando x al primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene: 2x− x > 3+5Reduciendo término: x > 8Solución: S = (8,∞) = {x ∈ R|x > 8}

Ejemplo 1.4



7

Dada la siguiente inecuación 7− x2>

5x3−6. Halle el conjunto solución y grafíquelo

Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene: 42−3x > 10x−36

Trasponiendo términos: −3x−10x >−36−36

−13x >−78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x < 78

Dividiendo por 13: x <7813

o sea laSolución: es x < 6

Ejemplo 1.5

Resolver (x+3)(x−1)< (x−1)2 +3x

Efectuando las operaciones algebraicas: x2 +2x−3 < x2−2x+1+3x

Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo: 2x+2x−3x < 1+3 x < 4

Solución: S=(−∞,4) = {x ∈ R|x < 4}

Ejemplo 1.6



8Capítulo 1

"Desigualdades"

Dada la siguiente inecuaciónx−2

3− 2x2−1

2≤ 1

4− x2 Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación paraobtener:

4(x−2)−6(2x2−1)≤ 3−12x2

4x−8−12x2 +6≤ 3−12x2

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4x+6≤ 3+8

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: Solución S=(−∞,54]={x ∈ R|x≤ 5

4}

Ejemplo 1.7

1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado

Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x > a x < b, esdecir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:

S = {x/x > a}∩{x/x < b}

Hallar el conjunto solución de 6≤ 4x−2 < 7

Separando en dos desigualdades:4x−2≥ 6 ∧ 4x−2 < 74x≥ 6+2 ∧ 4x < 7+2

x≥ 84

∧ x <94

x≥ 2 ∩ x <94

Solución: x ∈ [2,94)

Ejemplo 1.8



9

1.4.3 cuadráticas o de segundo grado

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientesformas básicas:ax2 +bx+ c < 0 ax2 +bx+ c > 0 ax2 +bx+ c≥ 0 ax2 +bx+ c≤ 0Procedimiento

Paso 1: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de se-gundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Paso 2: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Paso 3: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.

Paso 4: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.



10Capítulo 1

"Desigualdades"

Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 > 0. Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2), quedando una in-ecuación de la forma: (x+3)(x+2)> 0Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: (x+3)> 0 y (x+2)> 0

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos es decir: (x+3)< 0 y (x+2)< 0

Solución Caso I: Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y SB al conjuntosolución de la inecuación (x+2)> 0, la solución del Caso I viene dada por: SI=SA∩SB

Solución para SA x+3 > 0 x >−3 SA = (−3,∞) = {x ∈ R|x >−3}Solución para SB x+2 > 0 x >−2 SA = (−2,∞) = {x ∈ R|x >−2}Solución para SI es: SI=SA∩SB = (−3,∞)∩ (−2,∞) = (−2,∞)

SI = (−2,∞) = {x ∈ R|x >−2}

Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación (x+3)< 0 y SD al conjuntosolución de la inecuación (x+2)< 0, la solución del Caso II viene dada por: SII=SC ∩SD

Solución para SC (x+3)< 0 SC = (−∞,−3) = {x ∈ R|x <−3}Solución para SD (x+2)< 0 SD = (−in f ty,−2) = {x ∈ R|x <−2}Entonces la solución para es: SII = SC ∩SD = (−∞,−3)∩ (−∞,−2) = (−∞,−3)SII = (−∞,−3) = {x ∈ R|x <−3}

Solución general: La solución general será la unión de SI y SII , es decir: SG = SI ∪ SII =

(−∞,−3)∪ (−2,∞)

Ejemplo 1.9

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico.Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerioo método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este métodoconsiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre larecta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluandocada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrarioque pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan losintervalos para los cuales se cumple la desigualdad.



11

Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 > 0, halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio x2 +5x+6 = (x+3)(x+2)

quedando la inecuación de la forma: (x+3)(x+2)> 0

Las raíces que anulan (x+3)(x+2) son x =−3 y x =−2. (valores de separación)

Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1).

Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)

x+3 − + +

x+2 − − +

(x+3)(x+2) + − +

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución vienedada por:Solución: SG = SI ∪SII = (−∞,−3)∪ (−2,∞)

Ejemplo 1.10



12Capítulo 1

"Desigualdades"

Dada la siguiente inecuación(x−1)2

2− (x−1)2

3<

83

, halle el conjunto solución y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación yse reducen términos semejantes, obteniendo: x2−2x−15 < 0

Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3), resultando unainecuación de la forma: (x−5)(x+3)< 0

Las raíces de (x− 5)(x + 3) son x = 5 y x = −3 (valores de separación) las cuales se ubicansobre la recta real.Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad.

(−∞,−3) (−3,5) (5,∞)

x+3 − − +

x−5 − + +

(x+3)(x−5) + − +

Solución: SG = (−3,5) = {x ∈ R|−3 < x < 5}Graficamente:

Ejemplo 1.11

Casos especial 1

Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:(ax+b)2 ≤ 0→ la solución es x =−b/a(ax+b)2 < 0→ No tiene solución(ax+b)2 ≥ 0→ La solución son los R(ax+b)2 > 0→ La solución son los R−{−b/a}

Resolver: x2 +2x+1≥ 0

Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tanto x2 +2x+1 = 0

Por lo tanto usando la fórmula cuadrática x =−b±

√b2−4ac

2a=−2±

√22−4

2=−2±0

2=−1

(x−1)2 ≤ 0Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

Ejemplo 1.12

Casos especial 2



13

Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con elde la desigualdad, no tiene solución (vacío).

1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior

Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuacionesPaso 1 Se descomponen en factores de primer o segundo grado.Paso 2 Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.Paso 3 Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.Paso 4 En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.Paso 5 Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

Resolver la inecuación: x3−4x < 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea neg-ativo por el sentido de la desigualdad.El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacarfactor común x)

x(x2−4)< 0, o lo que es lo mismo x(x−2)(x+2)< 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantesvalores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudioes el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero elproducto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo dela operación. Observa la gráfica:

(−∞,−2) (−2,0) (0,2) (2,∞)

x+2 − + + +

x − − + +

x−2 − − − +

x(x−2)(x+2) − + − +

Solución=(−∞,−2)∪ (0,2)

Ejemplo 1.13

1.4.5 Inecuaciones Racionales

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuacionespolinómicas. Expresión general: son del tipo ax+b

cx+d ≤ 0, o todas sus equivalentes ax+bcx+d ≥ 0, o ax+b

cx+d < 0, etc y degrados mayores que uno.

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominadorno puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el métodográfico.



14Capítulo 1

"Desigualdades"

Procedimiento a tener en cuenta:Paso 1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.Paso 2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.Paso 3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que lafracción polinómica.

Dada la siguiente inecuación:x2 +3x−10x2 + x−2

< 0 halle el conjunto solución y grafique.

Factorizando los polinomios dados x2 +3x−10 = (x+5)(x−2) y x2 + x−2 = (x+2)(x−1)

Resultando una inecuación de la forma(x+5)(x−2)(x+2)(x−1)

< 0

Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el denominador son y , las cuales seubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinanlos signos de la desigualdad.

(−∞,−5) (−5,−2) (−2,1) (1,2) (2,∞)

x+5 − + + + +

x+2 − − + + +

x−1 − − − − +

x−2 + − + − +

x2 +3x−10x2 + x−2

< 0 − + − + +

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos dondeel cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto lasolución viene dada por:Solución:SG = (−5,−2)∪ (1,2)

Ejemplo 1.14



15

Resolver:x+1x−1

< 1

x+1x−1

−1 < 0→ x+1+ x−1x−1

< 0

2x−1

< 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es

negativo y lo es en (−∞,1).

Solución: (−∞,1)

Ejemplo 1.15

1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo.

|a|={

a para a≤ 0−a para a < 0

∀ a ∈ R

significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Definición 1.2

Ejemplo:

|−5|= |5|= 5

1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto re-quieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos.A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.Sean a,b ∈ R.1 |a| ≥ 0

2√

a2 = |a|

3 |a|= |−a |

4 |a | 2 = a2

5 |a ·b| = |a| · |b|

6∣∣ a

b

∣∣ = |a ||b | , si b 6= 0

7 |a+b| ≤ |a|+ |b| Desigualdad triangular

8 |a|= b ⇒ b≥ 0 ∧ {a = b ∨ a =−b}uts

Cálculo Diferencial


16Capítulo 1

"Desigualdades"

Desigualdades con valor absolutoSea x,y,a ∈ R. Se tiene entonces:

1 |x| ≤ a sii a≥ 0 ∧ x≤ a ∧ x≥−a o−a≤ x≤ a

2 |x| ≥ a sii x≥ a ∨ x≤−a

3 |x| ≥ |y| sii x2 ≥ y2

Definición 1.3

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor ab-soluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absolutode acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos deresolución de inecuaciones.Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:Sean x,a,b,c ∈ R.

1 |ax+b| ≤ c⇒

ax+b≤ c∧

ax+b≥ c∨ −c≤ ax+b≤ c

2 |ax+b| ≥ c⇒

ax+b≥ c∨

ax+b≤−c∨ ax+b≤ c ∨ ax+b≥−c

Definición 1.4



17

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface |5x+10| ≤ 15 y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −15≤ 5x+10≤ 15

−15−10≤ 5x≤ 15−10

−255≤ 5x

5≤ 5

5

−5≤ x≤ 1

Solución: S = [−5,1] = {x ∈ R|−5≤ x≤ 1}

Graficamente:

Ejemplo 1.16

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: | x3+2|< 1 y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −1 <x3+2 < 1

−3 <x3<−1

−3∗3 <x3<−1∗3

−9 < x <−3

Solución: S = (−9,−3) = {x ∈ R|−9 < x <−3

Graficamente:

Ejemplo 1.17



18Capítulo 1

"Desigualdades"

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |3x+8| ≥ 2 y grafique.

3x+8≥ 2 ∨ 3x+8≤−23x≥ 2−8 ∨ 3x≤−2−83x≥−6 ∨ 3x≤−10

x≥ −63

∨ x≤ −103

x≥−2 ∨ x≤ −103

Solución: S = (−∞,−103]∪ [−2,∞)

Graficamente:

Ejemplo 1.18

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |5x−3| ≤ 7 y grafique.

5x−3≥ 7 ∨ 5x−3≤−75x≥ 7+3 ∨ 5x≤−7+35x≥ 10 ∨ 5x≤−4

x≥ 105

∨ x≤ −45

x≥ 2 ∨ x≤ −45

Solución: S = (−∞,−45]∪ [(2,∞)

Graficamente:

Ejemplo 1.19



19

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |2x−1x+3

| ≥ 3 y grafique.

|2x−1||x+3|

≥ 3

|2x−1| ≥ 3|x+3|

(2x−1)2 ≥ (3x+9)2

(2x−1)2− (3x+9)2 ≥ 0

(2x−1)2− (3x+9)2 ≥ 0

[(2x−1)− (3x+9)][(2x−1)+(3x+9)]≥ 0

(−x−10)(5x+8)≥ 0

Solución: S = [−10,−85]

Ejemplo 1.20



20Capítulo 1

"Desigualdades"

1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones

Las inecuaciones permiten resolver problemas.

Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la cargaque lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puedepesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso decada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875−4x≤ 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad −4x≤ 415−875

Hacemos el cálculo en el segundo miembro −4x≤−460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por −14

(Cuidado: como multiplicamos

por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad), x≥ (−14)(−460)

hacemos el cálculo x≥ 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como setrata de un peso, x > 0.

Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo(0,115]. Graficamos la solución en la recta real:

Ejemplo 1.21



2 Capítulo 2"Funciones"

En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; ob-servamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperaturade la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones;aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, síexiste una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones puedenser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones seconocen como funciones.

El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, IsaacNewton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades vari-ables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».

2.1 Definición de Función

Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamadodominio un valor único f (x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a losque se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos sellama imagen.

Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función.



22Capítulo 2

"Funciones"

Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f (x), por ejemplo:

y = f (x) = x2; y = g(x) = 3x2 + x; y = h(x) = x+1x−3

y = j(x) =√

x+6; y = t(x) =√

x−2x+4 y = k(x) = sen(x)

Por otra parte en las funciones del tipo y = f (x), la relación entre ambas variables x e y está claramentedeterminada. Por ese motivo la expresión y = f (x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sinembargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una formatan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:

3x−2y+5 = 0 x−3y3 +4yx = 5 x+ sen(xy)+ y = 3√

2x, π = xy+ x2 + y2

Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la fun-ción. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variabledependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresiónimplícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores ex-presiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresionesanteriores puede servirnos de ayuda.

2.2 Representación Gráfica de una Función

La gráfica de una función f (x) es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano xy (ejes de coordenadas),tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f (x).

2.2.1 Coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números x e y,llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(x,y).



23

1. La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal, OX . Se denomina abscisa delpunto P.

2. La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY . Se denomina ordenadadel punto P.

3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas, O.

El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

2.2.2 Criterio de la Recta Vertical

¿Todas las gráficas son funciones? Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical quese ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguientegráfica.

Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos (a,b) y (a,c) entonces dicha gráficano representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en lasiguiente gráfica mostramos tal situación.Observe el dibujo:



24Capítulo 2

"Funciones"

2.3 Elementos de una Función

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables(dependiente e independiente).

1. Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independientex de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una funcióndel tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D( f ),Dom( f ).

2. Se llama Recorrido, Rango, Imagen o codominio de una función al conjunto de valores que puedetomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.El recorrido de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones:R( f ),Rango( f ), Im( f ).

2.3.1 Dominio de Funciones

Una función polinómica es de la forma:

f (x) = anxn +an−1xn−1 +an−2xn−2 + ....+a1x+a0, donde n ∈ Z+

El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Dom f (x) = R

Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

f (x) = 2x2−3x+2; g(x) = x3 +2x2− x+2; h(x) = 2x−5

Solución: Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemos Dom f (x) = R

Ejemplo 2.1

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios) .

f (x) =p(x)Q(x)

Recuerde que una expresión de números reales de la forma AB no existe si B = 0; de manera que

para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero Q(x) = 0y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes delos valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador): Dom f (x) = R-(valorescríticos)

Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales

Algunos ejemplos de funciones racionales son:

f (x) =2x+3x2−1

; g(x) =x−4

2x2− x+4; h(x) =

xx4− x

; y =1

x+1



25

Hallar el dominio de la funciónf (x) =

2x+3x2 +3x+2

Igualamos el denominador a cero: x2 +3x+2 = 0

Factorizamos: (x+2)(x+1) = 0 este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:

x+2 = 0 , entonces: x =−2

x+1 = 0 , entonces: x =−1

De lo anterior, deducimos que los números −2 y −1 no pertenecen al dominio y por lotanto:

Dom f (x) = R− (−2,−1)

Ejemplo 2.2

Las funciones racionales son de la forma: f (x) = n√

p(x), el dominio depende del índice de la raíz.

1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio es Dom f (x) = R

2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen que p(x)≥ 0

Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales

Hallar el dominio de la función:f (x) =

√x2−1

La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando esmayor o igual que cero, es decir si:

x2−1≥ 0

al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio.

x2−1≥ 0 → (x+1)(x−1)≥ 0

Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satis-facen la ecuación son:

(−∞,−1]∪ [1,∞)

entonces:Dom f (x) = (−∞,−1]∪ [1,∞)

Ejemplo 2.3



26Capítulo 2

"Funciones"

Encuentre el dominio de la función:g(x) =

x√x+4

En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que

x+4 6= 0, → x 6=−4,

y además que el radicando sea mayor que cero

x+4 > 0,

de tal manera que debemos resolver la ecuación:

x+4 > 0

x >−4

Por lo tanto el dominios es Domg(x) = (−4,∞)

Ejemplo 2.4

Determine el dominio de h(x),

h(x) =√

x−2x−4

En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en eldenominador, es decir:

1. El radicando debe ser positivo o cero.

x−2≥ 0,

x≥ 2

2. El denominador debe ser distinto de cero.

x−4 6= 0

x 6= 4

Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2:

De manera que la solución es: Dom f (x) = [2,4)∪ (4,∞)

Ejemplo 2.5



27

Una función exponencial es de la forma

f (x) = ax

La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio serepresenta como:

Dom( f ) = ℜ

Definición 2.4 Dominio de la función exponencial

Encuentre el dominio de la siguiente función f (x) = 2ex+2

Solución: Dom f (x) = ℜ

Ejemplo 2.6

Una función logaritmo es de la forma

f (x) = Loga [g(x)]

Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que loslogaritmos de números negativos y el cero no existen.

Entonces Dom( f ) ⇒ son los valores que satisfacen la siguiente inecuación g(x)> 0

Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica

Hallar el dominio de f definida como

f (x) = Ln(1− x2)

La función logaritmo natura f (x) está definida si 1− x2 > 0

Resolviendo la inecuación tenemos:

Dom f (x) = (−1,1)

Ejemplo 2.7



28Capítulo 2

"Funciones"

2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones

Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.

Hallar el recorrido de la función f (x) =2x+1x−5

Para lograrlo despejamos a x: y(x−5) = 2x+1yx−5y = 2x+1

xy−2x = 5y+1

x(y−2) = 5y+1

x =5y+1y−2

Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no puedentomar las imágenes, por lo tanto la solución es: Rango = ℜ−{2}

Ejemplo 2.8

2.4 Intersección con los ejes

Un punto (a,0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si f (a) = 0 , es decir, si este punto es unasolución de la ecuación que define a f . Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje xdebemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.

Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f (0) = b es decir, si este punto esuna solución de la ecuación que define a f .

Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacer y = 0 y resolver la ecuaciónque se obtiene.

Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujospara ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:



29

Halle los interceptos de la función f (x) =2x+2x−7

Solución:

Intersección con el eje y

Hacemos x = 0, entonces: y =−27

Intersección con el eje x

Hacemos y = 0, entonces: 0 =2x+2x−7

por lo tanto 2x+2 = 0 y obtenemos que: x = - 1

Ejemplo 2.9

2.5 Simetrías de una Función

Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una funciónpresenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zonasin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentardiferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que puedenpresentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestroestudio.

Una función f (x) es:

1. Simétrica respecto al eje y si f (x) = f (−x) ; se dice que f (x) presenta simetría par.

2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f (x) = − f (−x); se dice que f (x) presenta simetríaimpar.

Veamos los siguientes ejemplosuts



30Capítulo 2

"Funciones"

2.6 Funciones par e impar

Sea f una función, entonces:

1. f es par si satisface f (−x) = f (x)

2. f es impar si satisface f (−x) =− f (x)

La función f (x) = x2 es par, veamos: f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) por lo tanto es par.

La función f (x) = x3 es impar, veamos: f (−x) = (−x)3 =−x3 =− f (x) por lo tanto es impar.

Ejemplo 2.10

2.7 Álgebra de Funciones

Definimos las operaciones básicas entre funciones así:

SUMA:

( f +g)(x) = f (x)+g(x)

DIFERENCIA:

( f −g)(x) = f (x)−g(x)



31

PRODUCTO:( f .g)(x) = f (x).g(x)

COCIENTE:f (x)g(x)

Donde g(x) 6= 0

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominiosde f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen eldenominador g.

Dadas f (x) = x3 +2x, g(x) = 1x .

Determinar: 1) f +g, 2) f −g, 3) f ×g y sus dominios.

En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:

El dominio de f (x) es: Dom f = ℜ (Porque es un polinomio);

El dominio de g(x) es Domg = ℜ−{0} (Porque no se puede dividir entre cero).

Realicemos las operaciones:

1. f (x)+g(x) =(x3 +2x

)+( 1

x

)= x4+2x2+1

x =(x2+1)

2

x

Dom( f +g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}

2. f (x)−g(x) =(x3 +2x

)−( 1

x

)= x4+2x2−1

x

Dom( f −g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}

3. f (x)×g(x) =(x3 +2x

)×( 1

x

)= x3+2x

x = x2 +2

Dom( f ×g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}

Ejemplo 2.11

2.8 Funciones a trozos

Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipoy = f (x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información)que la expresión f (x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples comopor ejemplo:

y = − x2

3 + 2x+3 y = 3+2xx−4

y = 3√

25− x2 y =∣∣x2−3x+2

∣∣uts



32Capítulo 2

"Funciones"

Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales noadmiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es nece-sario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funcionesse dice que están definidas a trozos.Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función,por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:

1. |x|=

−x si x < 00 si x = 0x si x > 0

2. |x|=

−x si x < 0x2 si 0≤ x < 11 si x > 0



33

3. |x|=

x si x≤ 01 si 0 < x < 3

2x−5 si x≥ 3

2.9 Movimientos en el Plano

2.9.1 Translación Vertical

La ecuación y = f (x) + k, k una constante real describe una traslación vertical de y = f (x) de |k| unidades.

1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba.

2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo.

y =√

x + 1

Ejemplo 2.12



34Capítulo 2

"Funciones"

2.9.2 Translación Horizontal

y = f (x+h) de |h| unidades.

1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.

2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.

y =√

x−1

Ejemplo 2.13



35

2.10 Gráfica de Funciones Básicas

Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas ten-emos:

1. Función Lineal:f (x) = ax+b

2. Función Cuadrática:f (x) = ax2 +bx+ c

3. Función Cúbica:f (x) = ax3 +bx2 + cx+d

4. Función Raíz Cuadrada:f (x) =

√x

5. Función Valor Absoluto:f (x) = |x|

6. Función Racional:f (x) =

1x

7. Función logarítmicaf (x) = Log a(x)

8. Función exponencialf (x) = ax

9. Función logísticaf (x) =

ab + e−cx

10. Función senof (x) = senx

11. Función cosenof (x) = cosx

A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones:1. Función lineal: f (x) = x (Función identidad)



36Capítulo 2

"Funciones"

Ejemplo: f (x) = 2x+1

2. Función cuadrática f (x) = x2

Ejemplo: f (x) =−x2 +1

3. Función cúbica f (x) = x3



37

Ejemplo: f (x) =−2x3 +1

4. Función raíz cuadrada f (x) =√

x

Ejemplo: f (x) =√

x+2



38Capítulo 2

"Funciones"

Función valor absoluto f (x) = |x|

Función Racional f (x) = 1x



39

Función logarítmica f (x) = Log a(x)

Función exponencial f (x) = ex



40Capítulo 2

"Funciones"

2.11 Composición de Funciones o Función compuesta

En general, dadas dos funciones

La función g◦ f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[ f (x)]

Se debe tener cuidado con los dominios de g ◦ f y de f ◦ g. El dominio de g ◦ f es la parte del dominiode f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. También, el dominio de f ◦g es la parte del dominiode g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.



41

Si f y g son las funciones definidas por:

f (x) =x−3

2y g(x) =

√x

Encuentre g◦ f y f ◦g con sus respectivos dominios:

(g◦ f )(x) = g [ f (x)] =√

f (x) =

√x−3

2

( f ◦g)(x) = f [g(x)] =g(x)−3

2=

√x −32

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:

(g◦ f )(x) 6= ( f ◦g)(x)

Se debe tener también cuidado con los dominios de g◦ f y de f ◦g . El dominio de g◦ f es la partedel dominio de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. Esto es, D( f ) = ℜ

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales:

f (x) ≥ 0 ⇔ x−32≥ 0 ⇔ x≥ 3

Se concluye entonces que: D(g◦ f ) = [3,∞)

Nótese que (g◦ f )(1) = g [ f (1)] = g(−1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g◦ f )(2) = g [ f (2)] = g(−1/2

)NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f ◦ g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) comopre-imagen. Es decir, D(g) = [0,∞). Es decir D(g) = [0,∞)

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los val-ores de g en el intervalo D(g) = [0,∞). De esta forma: D( f ◦g) = [0,∞).

Ejemplo 2.14

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Estopuede hacerse de varias maneras.



42Capítulo 2

"Funciones"

la función: p(x) =√

3x2 +5x+2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto decomposición de funciones, estas son unas alternativas:

1. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 +5x+2 y g(x) =√

x

En efecto, (g◦ f )(x) = g [ f (x)] = g(3x2 +5x+2

)=√

3x2 +5x+2

2. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 +5x y g(x) =√

x+2

En efecto (g◦ f )(x) = g [ f (x)] = g(3x2 +5x

)=√

3x2 +5x+2 en el segundo caso.

Ejemplo 2.15

2.12 Función Inversa

Dada una función f (x), su inversa es otra función, designada por f−1(x) de forma que se verifica: Si f (a) = bentonces f−1(b) = a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de seruna función inyectiva.

Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2. ∀x1,x2 ∈ Dom f (x)

o equivalentementex1 6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2). ∀x1,x2 ∈ Dom f (x).

Definición 2.6 Función Inyectiva

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f , existe exactamente una y en el rango,y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.

Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una fun-ción 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.

Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningúnpunto, entonces f es una función 1-1

Definición 2.7 Criterio de la recta horizontal

Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x2 +1 y al trazar una recta horizontalpor ejemplo la recta y = 2 corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la rectahorizontal f (x) no corresponde a una función 1-1.



43

Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x3 +1 la cual, de acuerdo al criteriode la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda rectahorizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.

2.12.1 Propiedades de la función inversa

1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f (x) = x.

2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad(f ◦ f−1)(x) =

(f−1 ◦ f

)(x) = x

3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la funcióninversa es igual dominio de la función directa

Dom f−1(x) = Rango f (x)

Rango f−1(x) = Dom f (x)

4. Siempre se cumple que: f−1(x) 6= 1f (x)

Pasos para hallar la inversa de una función:

1. En la función y = f (x) se intercambian la variable x por la variable y y de manera viceversa en laexpresión inicial: y = f (x) de tal manera que función se transforma en x = f (y)

2. En la nueva expresión x = f (y) se despeja la y, para así obtener y = f−1(x), esta corresponde a lafunción inversa de f .



44Capítulo 2

"Funciones"

Hallar la inversa de y = 2x.

1) Cambiamos la x por la y y de forma viceversa nos queda entonces x = 2y

2) Despejamos la y, nos queda entonces y = x2

Por tanto la función inversa de y = 2x es y = x2 ;

es decir f −1 (x) = x2

Ejemplo 2.16

2.13 Aplicaciones de las funciones

Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situaciónmatemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usase llama un modelo matemático de la situación.

2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad

1. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuen-cia, es el costo de x artículos y tiene la forma:

Costo=Costo variable+Costo Fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de laforma C(x) = mx+ b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. Lapendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

2. Una Función Ingreso especifíca el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículo. El ingreso queresulta es:

I = px (Precio por número de unidades)

3. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos.Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula

U(x) = I(x)−C(x)

El equilibrio ocurre cuando U(x) = 0 es decir, cuando I(x) =C(x)



45

Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo , y si se vende los artículos a $60 cadauno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio.

Solución:

C(x) = 40x+400 I(x) = 60x

U(x) = R(x)−C(x), para el equilibrio, U(x) = 0

60x− (40x+400) = 0

20x−400 = 0

Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

Ejemplo 2.17

2.13.2 Modelos Demanda y Oferta

Una Función de Demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)como una función delprecio unidad p (el precio por artículo).

Una Función de Oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto allevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el casoque la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.

una Función Lineal de Demanda tiene la forma q = mp+b, donde q es la demanda (números de artículosvendidos) y p es el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la de-manda a dos precios distintos.

La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y qse llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine elprecio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica oanalítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.



46Capítulo 2

"Funciones"

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja elprecio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es:

Solución:q =−50p+600 Ecuación de la recta que pasa por (10,100) y (8,200)

Entonces, la función de ingreso relacionada es R = qp = p(−50p+600)

R =−50p2 +600p

Ejemplo 2.18



47

A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en uninstante dado:

a. En función de la altura h.

b. En función del radio de la base x.

Solución:

En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en elinstante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:

V =13

πr2h(

Vc =13(areabase)(altura)

)(1)

Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:

164

=hx⇒ h = 4x (2)

a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y susti-tuirlo en (1). Así,

x =h4⇒V =

13

π

(h4

)2

h

Luego,

V =1

48πh3

b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).

Así:V =

13

πx2(4x) =43

πx3

Ejemplo 2.19



48Capítulo 2

"Funciones"

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortandocuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de lacaja en función del lado del cuadrado recortado.

V (x) = (a−2x)2 .x

V (x) = 4x3 −4ax2 + a2x 0≤ x≤ a2

Ejemplo 2.20



49

Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad enun extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El aguapara llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.

a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como funciónde su profundidad x en el extremo profundo.

b. Calcular V (1) y V (2)

Solución

a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta elmenos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulocuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:

Lx

=203⇒ L =

203

x , con 0≤ x≤ 3

Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por:V = (Área de la sección transversal). (Ancho)

V =L.x2

.10 =203 x.x

2.10 =

1003

x2

V (x) =100

3x2

b.V (1) =

1003

(1)2 =1003≈ 33.3 m3

V (2) =1003

(2)2 =400

3≈ 133.3 m3

Ejemplo 2.21



3 Límites y Continuidad deFunciones

Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculomatemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, uti-lizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.

Consideremos la función:

f (x) =x−1√x − 1

cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x = 1, esdecir:

D = {x ∈ℜ|x≥ 0,x 6= 1}

Si realizamos su representación gráfica:

Para x = 1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puedeverse a continuación:



51

Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahoranos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?.

Es claro que en x = 1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que seacapaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiendea 1 ¿a cuánto tiende la función?

A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:

limx→1

f (x) = L

3.1 Definición Informal de Límite

Sea f (x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de xse aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a b es igual a L yescribimos:

limx→ b

f (x) = L

Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aprox-imarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x = 1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda,es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límiteslaterales.

3.2 Límites Unilaterales

1. limx→b+

f (x) , se llama límite lateral por la derecha.

2. limx→b−

f (x) , se llama límite lateral por la izquierda

Definición 3.1

Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales,de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:

limx→ b

f (x) = L , si y solamente si: limx→ b+

f (x) = limx→ b−

f (x)

Teorema 3.1



52 Límites y Continuidad de Funciones

Sea f (x) ={

4− x si x < 14x− x2 si x≥ 1

Hallar limx→1

f (x)

Solución:

limx→1=

f (x) = limx→1=

(4− x) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la izquierda)

limx→1+

f (x) = limx→1+

(4x− x2) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la derecha).

Entonces:limx→1

f (x) = 3

Ejemplo 3.1



53

Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:

f (x) =x−1√x − 1

Solución: Calculemos: limx→2

f (x)

Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:

f (2) =1

−1+√

2

y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:

limx→2−

f (x) = limx→2+

f (x) =1

−1+√

2

con lo cual tenemos que:

limx→2

f (x) =1

−1+√

2

Para el segundo punto, calculemos: limx→0

f (x)

En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierdade la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero).

El límite lateral por la derecha si existe y vale: limx→0+

f (x) = 1, por lo tanto el límite pedido

no existe.

Ejemplo 3.2

En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a suizquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por quéexistir en dicho punto.




Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Con-

sideremos, por ejemplo, la función: f (x) ={

x2 si x≤ 0logx si x > 0

Representémosla gráficamente:

En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x = 0, que es punto interior,en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero,ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha elvalor−∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites lateralesutilizamos x2 cuando determinamos el límite por la izquierda y log(x) cuando calculamos el límitepor la derecha.

Ejemplo 3.3

Nota: Sabemos que "el infinito" no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, detal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.

Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un númeroreal (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe.

En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casosdistintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundolos laterales no coinciden.

limx→ 0

1x2 = lim

x→ 0−

1x2 = lim

x→ 0+

1x2 = ∞

limx→ 0−

1x

= −∞ limx→ 0+

1x

= ∞

Nota: Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:f (x) = 1/x2 f (x) = 1/x



55

3.3 Definición Formal de Límite

Se dice que la función f (x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número realpositivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores dex distintos de c que cumplen la condición |x− c|< δ, se cumple que | f (x)−L|< ε.

limx→a

f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 0 < |x− c|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε

Utilicemos la definición para demostrar que limx→2

(4x−5) = 3

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces pode-mos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0existe una δ > 0 tal que:

Si 0 < |x−2|< δ entonces |(4x−5)−3|< ε (A)

Si 0 < |x−2|< δ entonces |4x−8|< ε

Si 0 < |x−2|< δ entonces 4 |x−2|< ε

Si 0 < |x−2|< δ entonces |x−2|< ε

4

Entonces, si tomamos δ = ε

4 se cumple la proposición (A).

Esto demuestra que limx→2

(4x−5) = 3

Ejemplo 3.4




Demuestre que limx→3

(x2 + x−5) = 7 utilizando la definición de límite.

Para hacer la demostración basta con encontrar un δ tal que:

0 < |x−3|< δ ⇒∣∣(x2 + x−5)−7

∣∣< ε

|x2 + x−5−7|= |x2 + x−12|= |x+4||x−3|< ε (1)

Ya que por definición, el limx→b

f (x) = L existe siempre que

0 < |x− c|< δ⇒ | f (x)−L|< ε

Para efectos de simplificación, asumimos un valor de δ = 1 y obtenemos:

|x−3|< 1 ⇒ 2 < x < 4 ⇒ 2+4 < x+4 < 4+4 ⇒ |x+4|< 8

Sustituyendo en (1) se obtiene que 8δ < ε y que δ <ε

8; ya que|x−3|< δ por definición.

Ejemplo 3.5

3.4 Propiedades de los Límites

Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:limx→c

f (x) = A , limx→c

g(x) = B Entonces:

1. limx→ c

b = b

2. limx→ c

x = c

3. limx→ c

b. f (x) = b. limx→ c

f (x) = bA

4. limx→ c

[ f (x)+g(x)] = limx→ c

f (x)+ limx→ c

g(x) = A+B

5. limx→ c

[ f (x).g(x)] = limx→ c

f (x). limx→ c

g(x) = A.B

6. limx→ c

f (x)g(x) =

limx→ c

f (x)

limx→ c

g(x)= A

B , B 6= 0

7. limx→ c

√f (x) =

√limx→c

f (x)

8. limx→ 0

xk = 0

9. limx→ 0

kx = no existe (±∞)

10. . limx→±∞

kx n = 0, n 6= 0

11. limx→±∞

xk = no existe (±∞)



57

3.4.1 Cálculo de Límites

1. Límites de funciones polinómicas

Sea f (x) = 3x3−2x2+x−2 La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo,por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tieneque lim

x→cf (x) = f (c) , es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente

calculando su imagen.

Para la función anterior limx→−1

f (x) = 3(−1)3−2(−1)2 +(−1)−2 =−3−2−1−2 =−8 = f (−1)

Ejemplo 3.6

2. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una

expresión de la formak0, k 6= 0 convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función

tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto ofunciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales.

3. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene unaexpresión de la forma

00, ∞−∞ , 0.∞ , 00, ∞

0, 1∞

(indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeter-minación.

Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la apli-cación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hayque efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados

3.5.1 Indeterminación00

Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con de-scomponer factorialmente el numerador y el denominador.




Resolver limx→ 1

x3−1x2−1

Solución: limx→ 1

x3−1x2−1 =

00

Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos yresolvemos el límite obtenido, así:

limx→ 1

x3−1x2−1

= limx→ 1

(x−1)(x2 + x+1

)(x−1)(x+1)

= limx→ 1

(x2 + x+1

)(x+1)

Por lo tanto

limx→ 1

x3−1x2−1

=32

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y di-vidir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo 3.7

Encuentre la solución del siguiente límite limx→1

(√x−1

2x−2

)Solución:

limx→1

(√x−1

2x−2

)=

1−12−2

=00

limx→1

√x−1

2x−2= lim

x→1

(√

x−1)(√

x+1)(2x−2)(

√x+1)

= limx→1

x−12.(x−1)(

√x+1

limx→1

(1

2.(√

x+1)

)=

14

Ejemplo 3.8



59

Evalúe el valor de limx→0

√x+1−1

x

Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 00 por lo cual debemos realizar algún pro-

cedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por√

x+1+1,

es decir, se racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable:

(a+b)(a−b) = a2−b2,

y así eliminar la indeterminación

limx→0

√x+1−1

x= lim

x→0

(√

x+1−1)(√

x+1+1)x(√

x+1+1)= lim

x→0

(x+1)−1x(√

x+1+1)

= limx→0

xx(√

x+1+1)= lim

x→0

1√x+1+1

=12

Ejemplo 3.9

3.5.2 Indeterminación±∞

±∞

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de lavariable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como:

Sea f(x) una función racional definida por:

f (x) =anxn +an−1xn−1 + ......+a1x+ao

bmxm +bm−1xm−1 + ......+b1x+bo

a) Si n < m entonces: limx→∞

f (x) = 0

b) Si n = m entonces: limx→∞

f (x) = anbm

c) Si n > m entonces: limx→∞

f (x) =±∞

Definición 3.2




Resuelva limx→ ∞

4x2+x−1x2+1

Solución: limx→ ∞

4x2+x−1x2+1 =

∞

∞

Dividimos por la variable de mayor grado del denominador,x2.

limx→ ∞

4x2

x2 + xx2 − 1

x2

x2

x2 +1x2

= limx→ ∞

4+ 1x −

1x2

1+ 1x2

= limx→ ∞

4+0−01+0

=41

= 4

Entonces, limx→ ∞

4x2+x−1x2+1 = 4

Ejemplo 3.10

Encuentre el resultado del límite limx→ ∞

√x2+x +3

x

Solución:

limx→ ∞

√x2+x +3

x =∞

∞Dividimos el numerador y el denominador entre el término con mayor

exponente, o sea x.

limx→ ∞

√x2

x2 +xx2 + 3

xxx

= limx→ ∞

√1+ 1

x + 3x

1= lim

x→ ∞

√1 + 0

1=

11

= 1

Entonces, limx→ ∞

√x2+x +3

x = 1

Ejemplo 3.11

3.5.3 indeterminación ∞−∞

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.uts



61

Halle limx→2

(x

x2−4 −1

x−2

)Solución:

limx→2

(x

x2−4 −1

x−2

)= ∞−∞ Indeterminación.

Realizamos la diferencia:

limx→2

(x

x2−4− 1

x−2

)= lim

x→2

(x− (x+2)

x2−4

)= lim

x→2

(−2

x2−4

)=−2±0

Hay que hacer límites laterales: limx→2−

(−2

x2−4

)= −2−0 =+∞

limx→2+

(−2

x2−4

)= −2

+0 =−∞+∞ 6=−∞

⇒ limx→2

(x

x2−4− 1

x−2

)= No existe

Ejemplo 3.12

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir porla expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).




Encuentre: limx→ ∞

(x−√

x2 + x)

Solución:

limx→ ∞

(x−√

x2 + x)= ∞−∞

limx→ ∞

(x−√

x2 + x)

= limx→ ∞

(x−√

x2 + x)(

x+√

x2 + x)

(x+√

x2 + x) = lim

x→ ∞

x2−(√

x2 + x)2

x+√

x2 + x

limx→ ∞

x2− x2− x

x+√

x2 + x= lim

x→ ∞

−x

x+√

x2 + x=−∞

+∞

Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma −∞

+∞que se resuelve dividiendo

el numerador y el denominador entre x, así:

limx→ ∞

−x

x+√

x2 + x= lim

x→ ∞

−xx

xx +√

x2

x2 +xx2

= limx→ ∞

−1

1+√

1+ 1x

=−1

1+√

1+0= −1

2

Por lo tanto,

limx→ ∞

(x−√

x2 + x)

= − 12

Ejemplo 3.13

3.5.4 indeterminación 0.∞

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Halle limx→3

(x−3).( 1x2−9 )

Solución:

limx→3

((x−3) .

1x2−9

)= 0.(±∞)

Indeterminación; Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo :

limx→3

(x−3x2−9

)=

00

limx→3

(x−3

(x−3)(x+3)

)= lim

x→3

(1

x+3

)=

16

Ejemplo 3.14



63

3.5.5 indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞

Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

f (x)g(x) = e Ln[

f (x)g(x)]= e g(x)�Ln( f (x)),

de donde resulta que:

limx→ a

f (x)g(x) = elimx→a

[g(x)�Ln( f (x))]

Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodosque aprenderemos en temas posteriores. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminacióndel tipo 1 ∞ debemos tener en cuenta que:

limx→∞

(1+

1x

)x

= limx→0

(1+ x)1x = e = 2′71828...

También para la indeterminación

1 ∞

podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

limx→ a

f (x)g(x) = e k ,

donde k = limx→a

[ f (x) −1] �g(x)




Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

limx→ 0

(1+ x2

1− x2

) 1+3x2

x2

Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma

1 ∞,

aplicando la formula, tenemos:

limx→ 0

(1+ x2

1− x2

) 1+3x2

x2

= 1 ∞ = e k

k = limx→a

[ f (x) −1] �g(x) ⇒ k = limx→0

(1+ x2

1− x2 − 1)�

(1+3x 2

x2

)

⇒ k = limx→0

(1+ x2−1+ x2

1− x2

)�

(1+3x 2

x2

)= lim

x→0

(2x2

1− x2

)�

(1+3x 2

x2

)

⇒ k = limx→0

(2

1− x2

)�

(1+3x 2

1

)= lim

x→0

(2+6x2

1− x2

)=

21

= 2

Entonces,

limx→ 0

(1+ x2

1− x2

) 1+3x2

x2

= e k = e 2

Ejemplo 3.15

3.6 Límites Trigonométricos

Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:

limx→0

sen(x)x

= 1

A partir de este resultado podemos resolver límites como:

1. limx→0

1−cos(x)x = 0

2. limx→0

xsen(x) = 1

3. limx→0

sen(kx)kx = k

No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidadestrigonométricas.



65

Calcular limt→0

t+tan tsent

Solución:limt→0

t+tan tsent =

00

Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de senoy coseno, tenemos:

limt→ 0

t + tan tsent

= limt→ 0

t + sentcos t

sent

limt→ 0

t cos t+sentcos tsent

= limt→ 0

t cos t + sentcos t sent

= limt→ 0

t cos tcos t sent

+ limt→ 0

sentcos t sent

limt→ 0

tsent

+ limt→ 0

1cos t

= 1+1 = 2

Entonces obtenemos que

limt→0

t + tan tsent

= 2

Nota: En este ejemplo se utilizó

limt→0

tsent

= 1

Ejemplo 3.16

3.7 Límites Infinitos

Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

limx→a

f (x) = ∞,

significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como de-seemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráficapresenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica).

Definición 3.3 Asintotas verticales




Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

limx→a

f (x) =−∞,

significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan grandes comodeseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráficapresenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)

Definición 3.4

La recta x = a se llama asíntota vertical de la función si se cumple una de las siguientes proposi-ciones:limx→a

f (x) = ∞ limx→a

f (x) =−∞ limx→a+

f (x) = ∞

limx→a−

f (x) = ∞ limx→a−

f (x) =−∞ limx→a+

f (x) =−∞

Definición 3.5 Asintota vertical

3.8 Límites al Infinito



67

Sea f una función definida en un intervalo (a,∞), entonces limx→∞

f (x) = L significa que los valores de f (x) sepueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande.

La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f (x) si se satisface una de las dosexpresiones:

limx→∞

f (x) = L o limx→−∞

f (x) = L

Definición 3.6 Asíntotas horizontales

De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado delnumerador es menor o igual que el grado del denominador.

Encuentre la asíntota horizontal que posee la siguiente función y = x2−1x2+1

Si calculamos:

limx→∞

x2−1x2 +1

obtenemos como resultado 1, lo cual significa que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1,veamos esta situación en el siguiente dibujo:

Ejemplo 3.17




3.8.1 Asintotas Oblicuas

Sea una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador,entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en lafunción.



69

Encuentre la asíntota oblicua en la siguiente f (x) = x2−32x−4

Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:

Asíntota oblicua:y =

12

x+1

Veamos la gráfica:

Nótese que

limx→∞

x2−32x−4

= ∞

y además

limx→− ∞

x2−32x−4

=−∞

Ejemplo 3.18

3.9 Teorema del Emparedado




Sean f ,g,h funciones tales que:f (x)≤ g(x)≤ h(x)

para todox 6= c

en un intervalo que contiene a c, supongamos que

limx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L,

entonces:limx→c

g(x) = L

Definición 3.7



71

Demuestre que

limx→0

[x2sen(

1x)

]= 0

Obsérvese que no podemos aplicar lo siguiente limx→0

[x2sen( 1

x )]= lim

x→0x2.lim

x→0sen( 1

x ) puesto que el

segundo límite no existe.

Como−1≤ sen(

1x)≤ 1 donde x 6= 0

entonces:−x2 ≤ x2sen(

1x)≤ x2

(véase la figura de arriba)

Además:limx→0

x2 = limx→0

(−x2) = 0

por lo tanto

limx→0

[x2sen(

1x)

]= 0

Ejemplo 3.19

3.10 Continuidad de una Función

Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en formagráfica como de manera analítica. Intuitivamente, una función es continua en un punto si a a pequeñoscambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y.Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz




del papel.

Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades:

1. f está definida en c, es decir, f (c) existe, o, f (c) ∈ dom f (x)

2. limx→c

f (x) existe M

3. limx→c

f (x) = f (c)

Definición 3.8

El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es con-tinua en un intervalo abierto abierto (a,b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además,es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en (a,b) y es continua por la derecha en a y por laizquierda en b.

Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva al cálculo de límites, cuestiónque, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando unafunción no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, a continuación estudiare-mos los tipos de discontinuidad.

3.11 Clases de Discontinuidad

Si cualquiera de las tres condiciones de continuidad falla decimos que la función es discontinua.

3.11.1 Discontinuidad Evitable

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe el límite en él y no coincide conel valor de la función en el mismo. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función posee unhueco o un quiebre.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdaderovalor de la función en el punto.

En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se puede reparar.Toda función discontinua evitable es reparable. Para evitar la discontinuidad de la función definimos unanueva a partir de la que tenemos, de la siguiente manera:

g(x) ={

f (x) si x 6= aL si x = a

es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hayproblema y en el punto donde se presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.



73

Hallar el verdadero valor de la función f (x) =x2−5x+6

x−3en el punto x = 3

Solución:

Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el

límite de la función en ese punto, obtenemos: limx→3

f (x) = limx→c

x2−5x+6x−3

=00

limx→c

x2−5x+6x−3

= limx→c

(x−3)(x−2)x−3

= limx→c

(x−2) = 3−2 = 1

que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función es:

g(x) =

x2−5x+6x−3

si x 6= 3

1 si x = 3

Esta es una función continua en el punto x = 3

Ejemplo 3.20

3.11.2 Discontinuidad no evitable o esencial

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en di-cho punto. En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad esirreparable. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función presenta un salto o separación.

Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial importanciael cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar (evitable); en cambiosi no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial).

Mostremos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1, 2 y 3.

La función: f (x) =x−1√x−1

no es continua en el punto x = 1 ya que la función no existe en dicho

punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2 (compruébelo).

La función es discontinua evitable en x = 1 por existir el límite, sin embargo la función sies continua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 3.21




Analice la continuidad de f(x), si:

f (x) ={

x2 si x≤ 0Logx si x > 0

Solución:

1. f (0) = 02 = 0

2. limx→0+

f (x) = limx→0+

log(x) =−∞

limx→0−

f (x) = limx→0−

x2 = 0

⇒ limx→0

f (x) = No existe.

3. f (0) 6= limx→0

f (x)

La función no es continua en el punto x = 0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: noexiste el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La funciónes discontinua inevitable en x = 0 porque no existe el límite.

Ejemplo 3.22


f (x) ={

2 si x = 2x2 si x 6= 2

Solución:

1. f (2) = 2

2. limx→2

f (x) = 4

3. f (2) 6= limx→2

f (x)

La función no es continua en el punto x = 2, ya que si bien existe la función en el punto y existe ellímite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x = 2.

Ejemplo 3.23



75


f (x) =

3x+5 si x <−12 si x =−13+ x si x >−1

Solución:

1. f (−1) =−2

2. limx→−1+

f (x) = limx→−1+

(3+ x) = 3−1 = 2

limx→−1−

f (x) = limx→−1−

(3x+5) =−3+5 = 2

⇒ limx→−1

f (x) = 2.

3. f (0) 6= limx→0

f (x)

Luego la función es discontinua evitable en el punto x = −1 porque existe el límite yla imagen en x =−1 pero no son iguales.

Ejemplo 3.24

3.11.3 Resumen de las Definiciones de Continuidad

Para que una función sea continua, discontinua evitable o discontinuidad inevitable, tenemos:

1. f (x) es continua.

2. f (x) es discontinua evitable.

3. f (x) es discontinua inevitable.



4 Derivadas y sus aplicaciones

Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, laderivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económi-cas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor comodel productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas par-ciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variableindependiente, con énfasis en las aplicaciones económicas.

Sea y = f (x) una función definida en el intervalo [x1,x2] , si x cambia de x1 a x2 entonces el cambioo variación en x se llama incremento de x:

∆x = x2− x1

El correspondiente incremento de y es

∆y = f (x2)− f (x1)

Dicha variación puede ser positiva o negativa.

El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variaciónmedia de y con respecto a x.

Razón de cambio promedio =∆y∆x

=f (x2)− f (x1)

x2− x1

Definición 4.1 Incrementos y razón (tasa) de cambio

Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variacióninstantánea o razón de cambio instantánea de con respecto a x en el punto (x1, f (x1)).

Razón de cambio instantáneo = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x2)− f (x1)

x2− x1

Definición 4.2 Razón de Cambio Instantáneo



77

Para la función y= 4−2x+x2, calcular el incremento de x y el incremento de y para x1 =−1, x2 = 2

Solución

→ ∆x = x2− x1 = 2− (−1) = 3

y1 = 4−2(−1)+(−1)2 = 4+2+1 = 7

y2 = 4−2(2)+(2)2 = 4−4+4 = 4

→ ∆y = y2− y1 = 4−7 =−3

El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decirque al aumentar la x tres unidades, la función f (x) disminuye en tres unidades.

Ejemplo 4.1

El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es q = 1,000(200− p), en dondep es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolinaque corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incrementoen el precio?

Solución→ ∆p = p2− p1 = 160−150 = 10 Centavos/litro.

q1 = 1,000(200−150) = 50,000 litros/día

q2 = 1,000(200−160) = 40,000 litros/día

→ ∆q = q2−q1 = 40,000−50,000 =−10,000, litros/día,

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ven-tas disminuye en 10,000 litros diarios.

Ejemplo 4.2




Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico,expresado en dólares está dado por: C(x) = 50,000+60x y el ingreso correspondiente por la ventade x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado porI(x) = 300x− 0.03x2. La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por semana, pero deseaincrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de producción.b) El incremento semanal en los ingresos.c) El incremento semanal en las utilidades.d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solución

a. ∆C = C(4,200) −C(4,000) = [50,000+60(4,200)] − [50,000+60(4,000)] = 302,000 − 290,000∆C = $12,000

b. ∆I = I(4,200) − I(4,000) =[300(4,200)−0.03(4,200)2

]−[300(4,000)−0.03(4,000)2

]∆I = 730,800−720,000 = $10,800

c. ∆U = ∆I−∆C = 10,800−12,000 = $−1,200

d. ∆U∆x = −1,200

200 =−6.

Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y vendida porsemana, la utilidad disminuye en 6.

Ejemplo 4.3

∆x = x2− x1 → x2 = x1 +∆x , como se puede ver en la gráfica. ∆y = y2− y1 = f (x2)− f (x1) .

Por lo tanto sustituyendo x2 se tiene que ∆y = f (x1 + ∆x)− f (x1) para cualquier incrementode x, a partir de un valor conocido de x.

En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x, se tiene que:∆y = f (x+∆x)− f (x).

Definición 4.3 Incremento de una función en forma general



79

f (x) = x2−4

a) Calcular el incremento de y si x = 3, ∆x = 0.8

b) Calcular el incremento de y si x = 3, para cualquier incremento de x.

c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x.

Solución:

a) ∆y = f (x+∆x)− f (x) = f (3+0.8)− f (3) = f (3.8)− f (3) =[(3.8)2−4

]−[(3)2−4

]= 10.44−5 =

5.44

b) ∆y = f (x+∆x)− f (x) = f (3+∆x)− f (3) =[(3+∆x)2−4

]−[(3)2−4

]=[9+6∆x+(∆x)2−4

]−

[9−4]

∆y = 5+6∆x+(∆x)2−5 = 6∆x+(∆x)2.

c) ∆y= f (x+∆x)− f (x)=[(x+∆x)2−4

]−[x2−4

]=[x2 +2x∆x+(∆x)2−4

]−[x2−4

]= 2x∆x+(∆x)2

Ejemplo 4.4

Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo).

Definición 4.4 Línea secante

Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes PQ, siendo Q un punto de lacurva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Ver figura abajo).

Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de lalínea tangente a la curva en el punto P.

m = limh→0

f (x+h)− f (x)h

Definición 4.5 Línea tangente a una curva en un punto P de la misma




La pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es:

m = limx→a

f (x)− f (a)x−a

Derivada de una función y = f (x)→ Es la función denotada por f ′(x) o por y′, definida por:

f ′(x) = y′ = lim∆x→0

∆y∆x

Siempre que el límite exista.

Definición 4.6

Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

4.0.4 Diferentes formas de representar la derivada de una función

Sea la función y = f (x) tenemos que la derivada de la función se puede representar de la siguientes formas:

y′; f ′(x) ;dydx

;d f (x)

dx; Dxy ; Dx [ f (x)]

La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f (x) es derivable en un punto a,entonces es continua en dicho punto. Esto es equivalente a: "Si f(x) no es continua en un punto a entoncesno puede ser derivable en dicho punto"

Derivadas laterales Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunasocasiones los límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones:

Se llama derivada lateral de f (x) a la izquierda de ”a”, al límite, cuando existe y es finito: .

f ′(a−) = limx→a−

f (x)− f (a)x−a

Se llama derivada lateral de f (x) a la derecha de ”a”, al límite, cuando existe y es finito:

f ′(a+) = limx→a+

f (x)− f (a)x−a

Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden.uts



81

4.0.5 La Derivada como Razón de Cambio

y = f (x) =

{∆y∆x es la razón de cambio promedio de y con respecto a xlim

∆x→0

∆y∆x = dy

dx es la razón de cambio instántanea de y con respecto a x.

La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio

f ′(x) = y′ =dydx

,

y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.

Halle la derivada de y = x2 en x = 2

Solución:

y′ =d(x2)

dx = limh→0

(x+h)2−x2

h

= limh→0

x2+2xh+h2−x2

h = limh→0

2xh+h2

h = limh→0

h(2x+h)h

En x = 2 la derivada es: 2(2) = 4.

Entonces:d(x2)

dx = 2x

Ejemplo 4.5

La derivada de y = x3 es

Solución:

y′ =d(x3)

dx= lim

h→0

(x+h)3− x3

h= lim

h→0

x3 +3x2h+3xh2 +h3− x3

h= 3x2

Entonces:d(x3)

dx= 3x2

Ejemplo 4.6




Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) =√

x en el punto (4,2)

Solución:

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

m = limh→0

√x+h−

√x

h

= limh→0

(√

x+h−√

x)(√

x+h+√

x)h(√

x+h+√

x)

= limh→0

(x+h)− xh(√

x+h+√

x)= lim

h→0

hh(√

x+h+√

x)

= limh→0

1(√

x+h+√

x)=

12√

x=

12√

4=

14

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión:

y = m(x− x0)+ y0

y =14(x−4)+2 =

14

x−1+2 =14

x+1

Solución:y =

14

x+1

Ejemplo 4.7

4.1 Propiedades o reglas de derivación



83

Sea u = f (x) v = g(x) son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o constantes.

1. Si y = c → y′ = 0

2. Si y = x → y′ = 1

3. Si y = cx → y′ = c

4. Si y = xn → y′ = n xn−1

5. y = cu → y′ = cu′

6. Si y = u± v → y′ = u′ ± v′

7. Si y = u.v → y′ = v.u′ + u.v′

8. Si y = uv → y′ = vu′−uv′

v2

9. Si y = lnu → y′ = u′u Si y = Logau → y′ = u′

u Lna

10. Si y = eu → y′ = u′eu Si y = au → y′ = au Lnau′

11. Si y = |u| → y′ = u|u| u′

Encuentre la derivada de y = 2x3−5x2 +7

Solucióny′ = 2(3x2)−5(2x)+0 = 6x2−10x

Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1.

Ejemplo 4.8

Determine la derivada de y = 3+ 3√

x

Solución

y = 3+ 3√

x = 3+ x1/3 → dydx = 0+ 1

3 x−2/3 = 13x2/3 = 1

3 3√x2

Se aplicaron las reglas 6, 1, 4.

Ejemplo 4.9




Halle la derivada de g(x) = 5√

x− 3√x +

43√x2

Solución

g(x) = 5√

x− 3√x+

43√x2

= 5x1/2− 3x1/2 +

4x2/3 = 5x1/2−3x−1/2 +4x−2/3

g′(x) = 5(

12

x−1/2)−3(−1

2x−3/2

)+4(−2

3x−5/3

)=

52x1/2 +

32x3/2 −

23x5/3

g′(x) =5

2√

x+

3

2√

x3− 2

3 3√x5.

Se aplicaron las reglas 6, 5, 4.

Ejemplo 4.10

Halar la derivada de f (x) = 3x2+52x−7

Solución:

f (x) =3x2 +52x−7

→ f ′(x) =(2x−7)Dx

(3x2 +5

)−(3x2 +5

)Dx (2x−7)

(2x−7)2

f ′(x) =(2x−7)(6x)−

(3x2 +5

)(2)

(2x−7)2 =12x2−42x−6x2−10

(2x−7)2 =6x2−42x−10

(2x−7)2

Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1

Ejemplo 4.11

Obtenga la derivada de y = lnxx2+3

Solución:

y =lnx

x2 +3→ y′ =

(x2 +3)( 1

x

)− lnx(2x)

(x2 +3)2 =x+ 3

x −2x lnx

(x2 +3)2 .

Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1.

Ejemplo 4.12



85

Determine la derivada de la siguiente función f (x) = xex

Soluciónf (x) = xex→ f ′(x) = (x)′ex + x(ex)′ = ex + xex

Se aplicaron las reglas 7, 10, y 2.

Ejemplo 4.13

4.2 Análisis marginal

Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que lademanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, peronecesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganan-cia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.

4.2.1 Costo marginal

Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. También sedefine como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercial-izados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).

Si C(x) es la función del costo total de producción de x artículos → dCdx = C′(x) es la función del costo

marginal.

El costo total C = Cx → C =Cx

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 1000e−0.003x. Evalúa la razónde cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500.Solución

d pdx

= 1000(−0.003e−0.003x) =−3e−0.003x

→ d pdx|x=500 =−3e−0.003(500) =−3e−1.5 =−0.6694

Es decir, el precio disminuye a razón de $0.6694 por cada unidad demandada

Ejemplo 4.14




El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado porC = 45+5x2. Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solución

C′ =dCdx

= 10x → C′ =dCdx

∣∣∣∣x = 3

= 30,

es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa 30 dólares.

Ejemplo 4.15

El costo medio unitario en la producción de x unidades es C = 0.002x2 − 0.4x + 50 + 100,000x .

Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.

Solución

C =Cx = 0.002x3−0.4x2 +50x+100,000 → C′ =dCdx

= 0.006x2−0.8x+50

dCdx

∣∣∣∣x = 40

= 9.6−32+50 = , $27.60/ unidad adicional producida

Ejemplo 4.16

4.2.2 Ingreso Marginal

Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, elingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida).

Si I(x) es la función del ingreso total por la venta de x unidades → dIdx = I′(x) es la función del ingreso

marginal. La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario).(No. de unidades vendidas), esdecir: I = px

Un fabricante vende un producto a 3x+ 50 pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingresomarginal y el ingreso marginal para x = 100.Solución

I = px = (3x+50)x = 3x2 +50x → dIdx

= 6x+50 → dIdx

∣∣∣∣x=100

= $650/unidadadicionalvendida

Ejemplo 4.17

4.2.3 Utilidad marginal

Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidasy vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional).



87

Si U(x) es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades → dUdx = U ′(x) es la

función de la utilidad marginal.

La utilidad se calcula restando: (Ingresos)-(Costos), es decir: U = I−C.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10p + x + 0.01x2 = 700 y lafunción de costo es C(x) = 1,000+0.01x2. Calcular la función utilidad marginal y también evaluarla utilidad marginal para a) x = 100 unidades b) p = $10/unidad.Solución

Sabemos que la utilidad está dada por U(x) = I(x)−C(x) y que el ingreso es I = px. Por lotanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener lafunción ingreso:

10p = 700− x−0.01x2 → p = 70−0.1x−0.001x2 → I(x) = px = 70x−0.1x2−0.001x3

U(x) =(70x−0.1x2−0.001x3)− (1,000+0.01x2)=−0.001x3−0.11x2 +70x−1,000

U ′ (x) = −0.003x2 − 0.22x + 70. Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100simplemente sustituimos este valor de x en dicha función.

Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p enla ecuación de la demanda:10(10)+x+0.01x2 = 700. Ordenando la ecuación cuadrática nos queda:

−0.01x2− x+600 = 0.

Resolviendo la ecuación: x = −1±√

1−4(0.01)(−600)2(0.01) = −1±

√1+24

0.02 = −1±√

250.02 = −1±5

0.02 = 40.02 = 200

a) U ′(100) =−0.003(100)2−0.22(100)+70 =−30−22+70 = $18 /unidad adicional.

b) U ′(200) =−0.003(200)2−0.22(200)+70 =−120−44+70 = $94/unidad extra.

Ejemplo 4.18

4.2.4 Consumo y Ahorro

Función de consumo (C): muestra la relación entre el nivel de gasto de consumo y el nivel de renta personaldisponible. El consumo es C =Co+bY , donde Co es el consumo independiente del nivel de renta y b es elincremento que tiene esta función por cada peso adicional de renta, que además en la pendiente de la rectaque representa a la función de consumo.

Propensión marginal a consumir (PMC):es la cantidad adicional que consumen los individuos cuando reciben un peso adicional de renta.

PMC =C′= (Co+bY )

′= b

Función de ahorro (S):uts




muestra la relación entre el nivel de ahorro y la renta. Del supuesto de que la renta es igual al consumo másal ahorro, se obtiene que S = (Co)+(1−b)Y.

Propensión marginal a ahorrar (PMA):es la cantidad adicional que ahorran los individuos por cada dólar de renta adicional de renta que reciben.PMA = S

′= [(Co)+(1−b)Y ]

′= 1−b = a

Relación entre PMC y PMA:Cada dólar adicional de renta pasa a incrementar el consumo o el ahorro. Combinando estos hechos, secalcula laPMC y la PMA: a+b = 1

En una economía con solo dos sectores: empresas y domésticos, la función de consumo secomporta según la expresión C = 40+0.6Y .a) Determine la PMC. Explique su significado.b) Si la función de ahorro está dada por la expresión S = 40+0.4Y . Determine la PMA.

Solución:

a PMC=(40+0.6 Y)’=0.6PMC = C’PMC = (40+0.6Y)’= 0.6Los sectores de la economía dedican 0.4 por cada peso adicional de renta.

Ejemplo 4.19

4.2.5 Elasticidad de la Demanda

Es el medio por el cual los economistas miden cómo un cambio en el precio de un producto afecta lacantidad demandada. Se define como:

Elasticidad de la demanda =cambio porcentual en la cantidad demandada

cambio porcentual en el precio=

cpdcpp

Suponiendo que el precio por artículo se incrementa en un 6 % y la cantidad demandada decreceen un 4 %, entonces la elasticidad de la demanda es −4

6 =− 23 =−0.6667.

Ejemplo 4.20

De acuerdo con la definición se tiene que:

Elasticidad =∆xx 100

∆pp 100

=p∆xx∆p

4.2.5.1 Elasticidad puntual de la demanda (η) Se define como:

η = lim∆p→0

p∆xx∆p

= lim∆p→0

px

(∆x∆p

)=

px

lim∆p→0

(∆x∆p

)=

px

(dxd p

)=

px′

x.



89

En general dxd p < 0, por lo tanto η < 0. Es decir, como por regla general esta derivada es negativa, ya que

al aumentar el precio de un artículo la demanda baja y viceversa, y como el precio y la demanda soncantidades positivas, la elasticidad puntual es negativa. Por otra parte de la misma definición de elasticidadse observa que:

η∼=cpdcpp

→ cpd ∼= η(cpp) .

Además tenemos que dxd p = 1

d pdx

, entonces η = p

x(

d pdx

) = pxp′

En resumen:

η =px′

xo también η =

pxp′

y además

cpd ∼= η(cpp)o también cpp∼=cpdη

Si la ecuación de la demanda es x = 300+2p− p2, evaluar para p = 15:

a) La elasticidad puntual de la demanda.b) El cambio porcentual de la demanda si el precio se incrementa en 6%.c) El cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%.d) El cambio porcentual en el precio si la demanda disminuye 10%.

Solución:

dxd p

= 2−2p. Si p = 15→ x = 300+2(15)− (15)2 = 105 ydxd p

= 2−2(15) =−28

a) η = px′x = 15(−28)

105 =−4

b) cpd ∼= η(cpp) = (−4)(6) =−24, es decir la demanda disminuye en 24%.

c) cpd ∼= η(cpp) = (−4)(−4) = 16, es decir la demanda aumenta en 16%.

d) cpp∼= cpdη

= −10−4 = 2.5, es decir el precio aumentó 2.5%

Ejemplo 4.21

4.2.5.2 Tipos o categorías de elasticidad

1. Si η <−1, es decir |η|> 1 → la demanda es elástica.

2. Si −1 < η < 0, es decir |η|< 1. la demanda es inelástica.

3. Si η =−1, es decir |η|= 1 → la demanda tiene elasticidad unitaria.




p = 1,875− x2 → d pdx

=−2x ⇒ η =p

xp′=

px(−2x)

=p−2x2

Si x = 20 → p = 1,875− (20)2 = 1,475 ⇒ η = 1,475−2(20)2 =−1.84. Por lo tanto es elástica.

Si x = 25 → p = 1,875− (25)2 = 1,250 ⇒ η = 1,250−2(25)2 =−1. Por lo tanto es unitaria.

Si x = 30 → p = 1,875− (30)2 = 975 ⇒ η = 975−2(30)2 =−0.54. Por lo tanto es inelástica.

Ejemplo 4.22

En general:

→ Cuando la demanda es elástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual mayoren la cantidad demanda.

→ Cuando la demanda tiene elasticidad unitaria, un cambio porcentual en el precio provoca un cambioporcentual igual en la cantidad demandada.

→ Cuando la demanda es inelástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentualmenor en la cantidad demandada.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 6003x+2 . Evaluar la elasticidad

puntual de la demanda y su tipo cuando la producción y venta es de 50 unidades.

Solución:d pdx

=(3x+2)(0)−600(3)

(3x+2)2 =−1,800

(3x+2)2 .

η =p

xp′=

6003x+2

x[−1,800(3x+2)2

] = 600(3x+2)2

−1,800x(3x+2)=

3x+2−3x

.

Si x = 50 → η =3(50)+2−3(50)

=152−150

=76−75

=−1.0133. Por lo tanto es elástica.

Otra forma:Si x = 50 → p = 600

3(50)+2 = 600152 = 3.947368421;

d pdx = −1800

[3(50)+2]2= −1,800

23,104 =−0.077908587

η = 3.94736842150(−0.077908587) =−1.0133.

Ejemplo 4.23



91

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = p2−30p+300, x > 0 Evaluarla elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $10.Evaluar también el cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%.

Solución:

dxd p

= 2p−30. Sip = 10 → x = (10)2−30(10)+300 = 100 ydxd p

= 2(10)−30 =−10

η =px′

x=

10(−10)100

=−100100

=−1. Por lo tanto tiene elasticidad unitaria.

cpd ∼= η(cpp) = (−1)(−4) = 4%, es decir, si el precio disminuye 4%, la demanda aumenta 4%.

Ejemplo 4.24

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 200e−x

100 . Evaluar la elastici-dad puntual de la demanda y su tipo, cuando la producción y venta es de 100 unidades.

d pdx

= 200e−x

100

(− 1

100

)=−2e−

x100 ;

η =p

xp′=

200e−x

100

x(−2e−

x100

) =200

x(−2)=

100−x

.

Si x = 100 → η = 100−100 =−1. Luego tiene elasticidad unitaria.

Otra forma:Si x = 100 → p = 200e−1 → p′ =−2e−1

η = 200e−1

100(−2e−1)= 200−200 =−1

Ejemplo 4.25




La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = 600− 100ln p. Evaluar laelasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $54.59.Evaluar también el cambio porcentual en el precio si la demanda disminuyó 5.5 %.

Solución:

dxd p =−100

(1p

)= −100

p . Si p = 54.59 → x = 600−100ln54.59 = 200

x′ =− 10054.59 =−1.8318 → η = px′

x = 54.59(−1.8318)200 =−0.49998981. Por lo tanto es inelástica.

cpp∼= cpdη

= −5.5−0.5 = 11, es decir el precio aumentó aproximadamente 11 %.

Ejemplo 4.26

La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por U(x) = 50ln(x+ 1)− 90donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la utilidadcon respecto al número de unidades, cuando se fabrican y se venden 10 unidades

SoluciónU ′(x) = 50(

1x+1

) =50

x+1

U ′(10) =50

10+1= 4.54

Es decir, la utilidad aumenta $4,545 por cada unidad más que se fabrique y venda.

Ejemplo 4.27

4.2.5.3 Relación entre la elasticidad y el ingreso → Si la demanda es elástica, al disminuir el precio delproducto, la demanda de éste aumenta en un porcentaje mayor, por lo que el ingreso es mayor. Es decir,un menor precio hace crecer la demanda en forma suficiente para que el ingreso aumento, a pesar de haberbajado el precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demandabaja en un porcentaje mayor, por lo cual el ingreso disminuye.

→ Si la demanda es inelástica, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en un porcentajemenor, por lo que a pesar de que se venden más unidades el ingreso es menor. Es decir, al disminuir elprecio la demanda aumenta, pero no lo suficiente para compensar la disminución del ingreso, por la bajadel precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja enuna proporción menor, de tal forma que el ingreso aumenta.

→ Si la demanda tiene elasticidad unitaria, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta enel mismo porcentaje, de tal manera que el ingreso permanece sin cambio. También un mayor precio hacedecrecer la demanda en forma tal que el ingreso no cambia.



93

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p =3500

400+3x2 . Contestar las

siguientes preguntas para una demanda de 10 unidades:

a) ¿Cuál es el precio unitario del artículo?

b) ¿Cuál es la elasticidad puntual de la demanda y su tipo?

c) ¿Cuál es el número aproximado de unidades en las que se incrementa la demanda aldisminuir el precio un 12 %?

d) ¿El ingreso para el fabricante: aumentará, disminuirá o permanecerá constante, al dis-minuir el precio del artículo en un 12%? ¿por qué?

Solución:

a) p =3500

400+3(10)2 =3500

400+300= $5 por unidad

b)d pdx

=(400+3x2)(0)−3500(6x)

(400+3x2)2 =−21000x

(400+3x2)2

dxd p

=(400+3x2)2

−21000x=

(400+3(10)2)2

−21000(10)=

49−21

=7−3

η|x=10 =px′

x=

510

(7−3

) =7−6

=−1.1667. Por lo tanto es elástica.

c) cpd ∼= η(cpp) = 7−6 ((−12) = 14% y como cpd =

∆xx(100) → ∆x =

x(cpd)100

=1410

= 1.4

Es decir, la demanda se incrementa 1.4 unidades.

d) El ingreso aumentará, porque la demanda es elástica, de tal manera que al bajar el pre-cio 12%, la demanda aumenta en un porcentaje mayor (14%).

Comprobación:I1 = p1x1 = (5)(10) = $50I2 = p2x2 = (4.4)(11.4) = $50.16

Ejemplo 4.28

4.3 Regla de la cadena

Si f (u) es derivable en u = g(x) y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ( f ◦g)(x) = f (g(x)) es derivableen x. Además:

( f ◦g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)




Usando la notación de Leibniz, si y = f (u) u = g(x) entonces:

dydx

=dydu· du

dx

4.3.1 Regla de la cadena para potencias

Si u(x) es una función derivable entonces:

d(un )

dx= nu n−1 du

dx

Sea y = (3x2− x+1)4 halle su derivada.

Solución:

y′ = 4(3x2− x+1)3(3x−1)

Ejemplo 4.29

Sea y =√

x3 + x calcule dydx .

y =√

x3 + x = (x3 + x)12 ⇒ dy

dx=

12(x3 + x)

− 12 (3x2 +1) =

3x2 +12√

x3 + x

Ejemplo 4.30

4.4 Derivada de funciones trigonométricas

4.4.1 Derivada de la función seno

Demuestre que es cierto que: ddx sen(x) = cos(x)

Solución:ddx

[sen(x)] = limh→0

sen(x+h)− sen(x)h

= limh→0

sen(x)cos(h)+ sen(h)cos(x)− sen(x)h

limh→0

sen(x)(cos(h)−1)+ sen(h)cos(x)h

= limh→0

sen(x)(cos(h)−1h

+ limh→0

sen(h)cos(x)h

sen(x)limh→0

cos(h)−1h

+ cos(x)limh→0

sen(h)h

= sen(x)(0)+ cos(x)(1) = cos(x)



95

4.4.2 Derivada de la función coseno

Demuestre que es cierto que: ddx cos(x) = −sen(x)

Solución:ddx

[cos(x)] = limh→0

cos(x+h)− cos(x)h

= limh→0

cos(x)cos(h)− sen(h)sen(x)− cos(x)h

= limh→0

cos(x)(cos(h)−1)− sen(h)sen(x)h

= limh→0

cos(x)(cos(h)−1h

− limh→0

sen(h)sen(x)h

= cos(x)limh→0

cos(h)−1h

− sen(x)limh→0

sen(h)h

= cos(x)(0)− sen(x)(1) =−sen(x)

ddx

cos(x) = −sen(x)

Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que in-volucran a seno y a coseno.

4.4.3 Derivada de tangente

ddx

tan(x) =ddx

[sen(x)cos(x)

]=

cos(x)cos(x)− (−sen(x))sen(x)

(cos(x))2 =cos2(x)+ sen2(x)

(cos(x))2 =1

cos2(x)= sec2(x)

⇒ ddx

tan(x) = sec2(x)

4.4.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas

Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas:

ddx

cot(x) =−csc2(x)ddx

sec(x) = sec(x) tan(x)ddx

csc(x) =−csc(x)cot(x)

4.4.5 Derivadas de funciones trigonométricas compuestas

Derivadas de funciones trigonométricas compuestas

1. ddx sen(u) = cos(u) du

dx

2. ddx cos(u) =−sen(u) du

dx

3. ddx tan(u) = sec2(u) du

dx

4. ddx cot(u) =−csc2(u) du

dx

5. ddx sec(u) = sec(u) tan(u) du

dx

6. ddx csc(u) =−csc(u)cot(u) du

dx




Derive y = sen(x2)

Solución:y′ = cos(x2)2x = 2xcos(x2)

Ejemplo 4.31

Derive y = sen( 1x −

12 )

Solución:y′ = cos(

1x− 1

2)(− 1

x2 ) =−1x2 cos(

1x− 1

2)

Ejemplo 4.32

4.5 Derivación Implícita

Una función f (x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f (x) se llega auna identidad.

La ecuación y2 = x define dos funciones implícitamente, ellas son:

y = f (x) =√

x , y = f (x) =−√

x

Para hallarf ′(x) =

dydx

debemos derivar implícitamente la ecuación

y2 = x,

en primer lugar vamos a sustituir y por f (x) en la ecuación, así:

[ f (x)]2 = x,

ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena en el miem-bro izquierdo

2 f (x) f ′(x) = 1 f ′(x) =1

2 f (x)=

12y

Ejemplo 4.33



97

Suponga que y3 +7y = x3 define a y como una función implícita de x, halle dydx .

Solución:

Derivando en ambos miembros:3y2.

dydx

+7dydx

= 3x2

⇒ dydx

(3y2 +7) = 3x2

⇒ dydx

=3x2

3y2 +7

Ejemplo 4.34

4.6 Derivada de una Función elevada a otra Función

Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar de laforma:

y = U V

Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula:

y′ = y(VU

+V ′lnU)

Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la expresiónlogaritmo natural ln para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del exponente y poste-riormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar y′.

Derivar y = x x

Solución:

y = x x→ Lny = Lnx x → Lny = xLnx → 1y

y ′ = 1.Lnx+1x

x

→ 1y

y ′ = Lnx+ 1 → y ′ = y(Lnx+ 1) → y ′ = xx (Lnx+ 1)

Ejemplo 4.35

4.7 Derivadas de orden superior




Sea y = f (x) una función entonces: y′ = f ′(x) = ddx f (x) , es la primera derivada o derivada de primer orden

y ′ ′ = f′′(x) = d2

dx2 f (x) , es la segunda derivada o derivada de segundo orden

y ′′′ = f ′ ′ ′(x) = d3

dx3 f (x) , es la tercera derivada o derivada de tercer orden

y (n) = f (n)(x) = d n

dx n f (x) , es la enésima derivada o derivada de orden n.

Halle todas las derivadas de orden superior para

y = 3x4 +2x3 + x2−2

Solución:

→ y, = 3(4x3)+2(3x2)+2x−0 = 12x3 +6x2 +2x

→ y,, = 12(3x2)+6(2x)+2 = 36x2 +12x+2

→ y,,, = 36(2x)+12+0 = 72x+12

→ yIV = 72

→ yV = 0

Ejemplo 4.36

Halle la tercera derivada dey =

1x= x−1

Solución:y ′ =−x−2 → y ′ ′ = 2x−3 → y ′ ′ ′ =−6x−4

Ejemplo 4.37

4.8 Teorema del Valor medio

Si f es una función en la que se cumple que:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b]

2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)



99

Entonces, existe un número c que pertenece a (a,b) tal que:

f ´(c) =f (b)− f (a)

b−a

La ilustración muestra la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio.

El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto cen la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,

∃ c ∈ (a,b) , tal que f ´(c) =f (b)− f (a)

b−a

Teorema 4.1




Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema delvalor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado ”c” que satisfaga la conclusiónde este teorema:

f (x) = x3 + x2− x ; [−2,1]

Solución:

Como f es una función polinomial, es derivable para toda x ∈ℜ

por lo que debe existir por lo menos un número c ∈ (−2,1), que cumpla que:

f ´(c) =f (b)− f (a)

b−a

Por lo tanto: f ´(c) = f (1)− f (−2)1−(−2) = 1−(−2)

3 = 1 (1)

Ademásf ´(x) = 3x2 +2x−1

por lo quef ´(c) = 3c2 +2c−1 (2)

entonces igualando 1 y 23c2 +2c−1 = 1

por lo que

c =−1+

√7

3o c =

−1−√

73

Luego en (−1+

√7

3,

11−5√

727

)y en

(−1−

√7

3,

11+5√

727

)la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos

(−2,−2) y (1,1)

Ejemplo 4.38

4.9 Razones de cambio relacionadas

¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto a la variable independientees la respuesta a esta pregunta. La derivada

dydx

de una función y = f (x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x.

Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se inter-preta como velocidad. Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia



101

con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) estánrelacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:

1. Hacer una ilustración de la situación planteada.

2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.

3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.

4. Escribir una ecuación que relacione las variables.

5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.




Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros dehondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre larazón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros.

Solución: Sea el volumen V y el radio r de la superficie variable en el instante t.

Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea dVdt = 3m3/min

Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros;es decir, dh

dt

∣∣h=2m

La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: V = π

3 r2 h (1)

Ahora bien, como el volumen consta de dos variables (h y r), conviene, expresarlo única-mente en términos de la altura h, por lo tanto por semejanza de triángulos:

r1.5

=h

3.5→ r =

37

h.

Sustituyendo en (1) se tiene que:

V =π

3

(37

h)2

h ⇒ V =3π

49h3

La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente, respecto del tiempo, aambos lados de la ecuación V = π

3

( 37 h)2

h lo cual nos conduce a:

dVdt

=9π

49h2 dh

dt(2)

Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante enque h = 2 y dado que dV

dt = 3, sustituimos estos valores en (2) para obtener:

3 =9π

49(2)2 dh

dt⇒ dh

dt=

3 � 494 � 9π

=49

12π⇒ dh

dt∼= 1.2998

Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de 1.3 m/min .

Ejemplo 4.39



103

Una empresa tiene la función de costo

C(x) = 30+4x− 120

x2,

en donde x es el nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasade 0.5 por año. Calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando.

Solución:

Sabemos que dxdt = 0.5 (cuando el tiempo se mide en años) El costo marginal está dado

por,dCdx

= 4− 110

x

Por consiguiente,dCdt

=dCdx

�dxdt

=(

4− x10

) dxdt

Sustituyendo x=5, el nivel de producción actual, obtenemos

dCdt

=

(4− 5

10

)(0.5) = 1.75

Asi que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.75 por año.

Ejemplo 4.40

4.10 Aplicaciones de la Derivada

Las aplicaciones fundamentales de las derivadas son:

1. El problema de la recta tangente.

2. Representación gráfica de funciones.

3. Para cálculo de límites indeterminados.

4. Para optimización.

4.10.1 El problema de recta tangente

Dada una función f (x), se trata de definir la tangente a la curva en un punto P. Como ya se vio en la in-terpretación geométrica de la derivada, la derivada de una función f ′(x) en un punto (x1,y1) expresa lapendiente de la recta tangente a la función en ese punto m = f ′(x1) = y′(x1).

Por tanto, la ecuación (punto-pendiente) de la recta tangente a la curva en el punto P(a, f (a)) es:

y− y 1 = m (x− x1) ⇒ y− f (a) = f ′(a) (x−a)




Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x2 + x+1 en el punto de abscisa x=2

Solución:La pendiente es el valor de la derivada: f ′(x) = 2x+1

Pendiente: m = f ′(2) = 2.2+1 = 5

Ecuación de la recta: y− y0 = m(x− x0)

Necesitamos las coordenadas del punto: Para x =2 ⇒ f (2) = 22 + 2 + 1 = 7; por lo tantopasa por el punto P(2, 7)

La ecuación de la recta es, por tanto,

y−7 = 5(x−2) ⇒ y = 5x−3

Ejemplo 4.41

4.11 Representación gráfica de funciones

4.11.1 La primera derivada y la gráfica de una función

Utilizaremos el criterio de la primera derivada para analizar dónde una función es creciente o decreciente,calcular sus valores críticos, localizar sus valores máximos y mínimos relativos y esbozar su gráfica.

Sean x1 y x2 dos números reales cualesquiera de un intervalo I, siendo x1 < x2. Se dice que:

1. f (x) es creciente en el intervalo I si y solo si f (x1)< f (x2)

2. f (x) es decreciente en el intevalo I si y solo si f (x1)> f (x2)

Definición 4.7 Funciones creciente o decreciente

Si f (x) es derivable en el intervalo I = (a,b)

1. f ,(x)> 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es creciente en dicho intervalo.

2. f ,(x)< 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es decreciente en dicho intervalo.

Definición 4.8 Criterios para determinar si una función es creciente o decreciente:



105

En la gráfica 1 se puede ver que la función es creciente en (−∞,2) y (4,∞), y es decreciente en (2,4).

Determinar para qué valores de x la función y = x2 − 4x + 3 es creciente o decreciente.f (x) = x2−4x+3.

Solución:

Derivando la función se obtiene: f ′(x) = 2x− 4 = 2(x− 2). Analizando la derivada, se tieneque:

Si x < 2, entonces f ′(x)< 0, por lo tanto f (x) es decreciente.Si x > 2, entonces f ′(x)> 0, por lo tanto f (x) es creciente.

En la gráfica 2 se pueden comprobar estos resultados.

Valores críticos Son los valores de x, dentro del dominio de la función, en donde la derivada escero o en donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

Haciendo referencia a la gráfica 1, x = 2, x = 4, x = 6 son valores críticos, porque en elprimero y en el tercero la derivada es cero, ya que la tangente es horizontal, y en el segundo laderivada no existe, ya que existen dos tangentes para un mismo punto.

Haciendo referencia a la gráfica 2, existe un solo valor crítico: x = 2 (ahí la derivada escero).

El punto correspondiente a un valor crítico, en la gráfica de una función, se llama puntocrítico. En la gráfica 2 el punto P(2,−1) es un punto crítico.

Ejemplo 4.42




Extremos de una función Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase lafigura 3).

Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo. En la figura 4, c y d no son máximo ymínimo, respectivamente, en [a,b], pero sí en una vecindad.

4.11.2 Extremos locales de una función

Son los valores máximos o mínimos locales de una función dentro de su dominio.

Si I es un intervalo abierto (generalmente muy pequeño)que contine al valor x0. Se dice que:

1. f (x0) es un máximo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x0)≥ f (x) oara toda x del intervalo.

2. f (x0) es un mínimo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x0)≤ f (x) oara toda x del intervalo.

Definición 4.9

Haciendo referencia a la gráfica 1, f (2) = 3 es máximo relativo, f (4) = 1 es mínimo relativo y f (6) = 3 no esni máximo, ni mínimo relativo.



107

Sea f (x) es continua en un intervalo abierto que contenga al valor crítico xo.

1. Si la función tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores críticos. Ha-ciendo referencia a la gráfica 1, existen extremos relativos en x = 2 y en x = 4, que son valorescríticos de la función.

2. Si la derivada de la función cambia de signo al pasar por un valor crítico, necesariamenteahí existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crítico.Haciendo referencia a la gráfica 1, no existe extremo relativo en x = 6. Por tanto, no necesari-amente en todos los valores críticos de la función existen extremos relativos.

3. Si por la izquierda de un valor crítico xo, la derivada es positiva (es decir, la función escreciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente),entonces f (xo) es un máximo relativo de la función.

Si por la izquierda de un valor crítico xo, la derivada es negativa (es decir, la fun-ción es decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la función escreciente), entonces f (xo) es un mínimo relativo de la función. Haciendo referencia a lagráfica 1, esto se puede constatar. Con esta información que nos proporciona la primeraderivada de una función, se puede hacer un esbozo de la gráfica de la función.

Definición 4.10 Criterio de la primera derivada




Hacer un análisis mediante la primera derivada, para bosquejar las gráficas de las siguientesfunciones: y = 2x3−3x2−36x+5.

Solución:

Primero calculamos los valores críticos de la función, por lo cual la derivamos y la factor-izamos: y′ = 6x2−6x−36 = 6(x2− x−6) = 6(x−3)(x+2)

Se observa que la derivada es cero en x = −2 y en x = 3, por lo tanto son valores críti-cos.

Ahora los analizaremos por la izquierda y por la derecha, para ver si la derivada es posi-tiva o negativa y así concluir si la función es creciente o decreciente:

Si x <−2, entonces f ′(x) = 6(−)(−)> 0, por lo tanto la funcion f (x) es creciente.

Si −2 < x < 3, entonces f ′(x) = 6(−)(+)< 0, por lo tanto la funcion f (x) es decreciente.

Si x > 3, entonces f ′(x) = 6(+)(+)> 0, por lo tanto la funcion f (x) es nuevamente creciente.

Esto se puede visualizar mejor si construimos la siguiente tabla:

Si sustituimos estos valores de x en la función original obtenemos respectivamente los valoresmáximo y mínimo relativos de la función, que son: y = 49 y y = −76. Por lo tanto podemosexpresar ahora los puntos máximo y mínimo relativos o locales de la función:Punto máximo P(−2,49).Punto mínimo P(3,−76)

Situando estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, se puedeconstruir la gráfica de la función. Esta se muestra en la (gráfica No. 3), donde se comprueban losresultados del análisis de la función a través de su primera derivada.

Ejemplo 4.43



109

Aplique el criterio de la primera derivada para analizar el comportamiento de f (x) =

− 23 x3−6x2 +54x+120

Solución:

Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:f ′(x) = −2x2− 12x+ 54 = −2(x2 + 6x− 27) = −2(x+ 9)(x− 3) La derivada es cero en x = −9 y enx = 3, por lo tanto son valores críticos.

Ahora construiremos una tabla similar a la anterior:

−2(−)(−) =− −2(−)(+) = + −2(+)(+) =−

Los valores mínimo y máximo relativos de la función, que son: y = −366 y y = 210. Por lo tantolos puntos mínimo y máximo relativos o locales de la función son:

Punto mínimo Pm(−9,−366).

Punto máximo PM(3,210)

La gráfica de la función se muestra en la (gráfica No. 4), donde se comprueban los resulta-dos de este análisis

Ejemplo 4.44




Aplique el criterio de la primera derivada para analizar f (x) = (x+2)3−3.

Solución:f ′(x) = 3(x+2)2.

Existe un solo valor crítico: x =−2.

3(−)2 =+ 3(+)2 =+

Intervalo (−∞,−2) (2,∞)

La gráfica 5 muestra estos resultados.

Ejemplo 4.45



111

Para el producto de un fabricante la función ingreso en pesos, está dada por I(x) = 240x+57x2−x3,para 0≤ x≤ 60, donde x son las unidades que se venden. Calcular el nivel de ventas para obtenerun ingreso máximo.

Solución:

I ′ (x) = 240+114x−3x2 =−3(x2−38x−80) =−3(x−40)(x+2) .

Valores críticos x =−2 y x = 40.

El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la función es 0≤ x≤ 60.

−3(−)(+) = + −3(+)(+) =−

Por lo tanto para que el ingreso sea máximo, el nivel de producción debe ser de 40 unidades. Elingreso máximo es de 36,800, que está representado en la gráfica 6, a continuación, por el puntoPM(40 unidades,$36800).

Ejemplo 4.46




Si f (x) es una función que tiene un valor crítico en x = a , tal que f ′(a) = 0 y f ′′(a) existe ,Entonces: Si

f ′′(a)< 0 → f (x) tiene un maximo local o relativo en x = a

f ′′(a)> 0 → f (x) tiene un minimo local o relativo en x = a

f ′′(a) = 0 → no se puede concluir si f (x) tiene maximo o minimo local en x = a

Definición 4.11 Criterio de la segunda derivada



113

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f (x) = 2x3− 3x2− 36x+ 7tiene valores máximos o mínimos relativos.

Solución Primero localizamos sus valores críticos, es decir los valores de x donde la derivada escero o donde la derivada no existe:

f ′(x) = 6x2−6x−36 = 6(x2− x−6) = 6(x−3)(x+2) .

Vemos que la derivada existe para todo valor de x, y que existen dos valores de x donde laderivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos son: x =−2 y x = 3

Como f ′(−2) = 0 y f ′(3) = 0, probamos ahora el signo de la segunda derivada para estosvalores:

f ′′(x) = 12x−6

f ′′(−2) = 12(−2)−6 =−30.Como es negativa existe un máximo relativo o local enx =−2

f ′′(3) = 12(3)−6 = 30.Como es positiva existe un mínimo relativo o local enx = 3

El valor máximo local de la función es f (−2) = 2(−2)3−3(−2)2−36(−2)+7 = 51

El valor mínimo local de la función es f (3) = 2(3)3−3(3)2−36(3)+7 =−74

Los puntos máximo y mínimo relativos son: Pmax(−2,51); Pmin(3,−74)

Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página:

Ejemplo 4.47




Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f (x) = x4− 4 tiene valoresmáximos o mínimos relativos.

Solución:f ′(x) = 4x3.

Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valorde cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico x = 0.

Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico. f ′′(x) = 12x2.

Como f ′′(0) = 12(0)2 = 0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimorelativo en x = 0 Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizarel criterio de la primera derivada:

El punto mínimo es P(0,−4). Su representación gráfica se puede ver en la siguiente gráfica:

Ejemplo 4.48



115

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función

f (x) = 2− x3

tiene valores máximos o mínimos relativos.Solución

f ′(x) =−3x2

Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valorde cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico en x = 0.

Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico.

f ′′(x) =−6x.

Como f ′′(0) =−6(0) = 0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo relativoen x = 0. Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criteriode la primera derivada:

Su representación gráfica se puede ver a continuación.

Ejemplo 4.49

Extremos absolutos: Son los valores más grande y más pequeño de una función en un intervalo dado, si esque existen.




Sea I un intervalo cualesquiera que contenga a x0. Se dice que:

1. f (x0) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo I si y solo si f (x0) ≥ f (x) para toda x delintervalo.

2. f (x0) es mínimo absoluto de f (x) en el intervalo I si y solo si f (x0) ≤ f (x) para toda x delintervalo.

Definición 4.12 Extremos absolutos de una función

1. En la gráfica 1, f (a) es mínimo absoluto de f (x) en el intervalo (−∞,∞). No tiene máximo absolutoporque la función viene del infinito y se va al infinito.

2. En la gráfica 2, f (b) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo (a,c). No tiene mínimo absoluto porqueno está definida la función en a y en c. Es decir cada vez que x está más cerca de a por su derecha, lafunción está más cerca de f (a), pero nunca llega a tomar ese valor. Lo mismo sucede cuando x estácada vez más cerca c por su izquierda.

3. En la gráfica 3, f (b) es mínimo absoluto y f (c) es máximo absoluto de f (x) en [a,c].

4. En la gráfica 4, la función no tiene ni máximo ni mínimo absolutos porque viene del menos infinito,se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.

Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene necesariamente unvalor máximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.

Teorema 4.2 Teorema del Valor Extremo



117

1. En la gráfica 1 f (c) es mínimo absoluto y f (d) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a,d].

2. En la gráfica 2 f (b) es mínimo absoluto y f (c) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a,d].

3. En la gráfica 3 f (a) es mínimo absoluto y f (d) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a,d].

Se puede observar que los extremos absolutos en un intervalo cerrado ocurren o en los valores críticos dela función en ese intervalo o en los extremos de dicho intervalo.

4.11.3 Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un inter-valo cerrado

Sea f (x) continua en un intervalo cerrado [a,b].

1. Se obtienen los valores críticos de la función.

2. Se evalúa la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo cerrado y también en los ex-tremos del intervalo.

3. Se seleccionan, de entre estos valores, el valor más grande y el valor más pequeño de la función, loscuales serán respectivamente el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta en el intervalo cerradodado.

Determinar los extremos absolutos de la función en los intervalos dados: f (x)= x2−2x+3; [−1,3]

f ′(x) = 2x−2 = 0

2(x−1) = 0. Valor crítico x = 1, el cual pertenece al intervalo dado.

f (−1) = (−1)2−2(−1)+3 = 6; f (1) = (1)2−2(1)+3 = 2; f (3) = (3)2−2(3)+3 = 6.

Por lo tanto el valor máximo absoluto de la función en el intervalo dado es 6 y el valormínimo absoluto de la función en ese intervalo es 2.

Ejemplo 4.50




f (x) = 2 3√x2 ; [1,8] , [−1,8].

Solución:

La función se puede representar como f (x) = 2x2/3, la cual existe y es continua para toda xreal.

f ′(x) = 43 x−1/3 = 4

3 3√x. Valor crítico x = 0.

Este valor crítico no se encuentra en el intervalo [1,8], pero sí en el intervalo [−1,8]. Porlo tanto: para el intervalo [1,8], evaluamos la función sólo en los extremos del intervalo:

f (1) = 2 3√(1)2 = 2; f (8) = 2 3

√(8)2 = 8

Así que 2 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función en ese intervalo.

Para el intervalo [−1,8], f (−1) = 2 3√(−1)2 = 2; f (0) = 2 3

√0 = 0; f (8) = 2 3

√(8)2 = 8

Así que 0 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función para este inter-valo.

Ejemplo 4.51

f (x) = 5xx2+4 ; [−3,4].

Solución:

f ′(x) =

(x2 +4

)(5)−5x(2x)

(x2 +4)2 =5x2 +20−10x2

(x2 +4)2 =20−5x2

(x2 +4)2 =5(4− x2

)(x2 +4)2 =

5(2− x)(2+ x)

(x2 +4)2 .

Valores críticos x =−2; x = 2, ambos pertenecen al intervalo dado.

Por lo tanto evaluamos: f (−3) = −1513 ; f (−2) = −10

8 =− 52 ; f (2) = 10

8 = 52 ; f (4) = 20

20 = 1

Así que -5/2 es el mínimo absoluto y 5/2 es el máximo absoluto de la función ese intervalo.

Ejemplo 4.52

4.11.4 Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función

Si una función tiene sólo un extremo relativo en un intervalo dado, entonces también es extremo absolutoen ese intervalo. Es decir, si f (a) es un mínimo relativo de la función en un intervalo, y es único (no haymáximo relativo), entonces f (a) es mínimo absoluto en el intervalo. Si f (a) es un máximo relativo de lafunción en un intervalo, y es único (no hay mínimo relativo), entonces f (a) es máximo absoluto.



119

Cierta compañía ofrece un seminario sobre técnicas de administración. Si la cuota es de 600dólares por persona, asisten al seminario 1,000 personas. Pero por cada disminución de 20 dólaresen la cuota, asisten 100 personas más. Sin embargo, debido a recursos limitados, es posible recibira lo más 2,500 personas. Calcular cuál es el número de personas que proporcionarían un ingresomáximo a la compañía, cuál sería el ingreso máximo y cuál sería la cuota que se cobraría a laspersonas por asistir al seminario.

Solución: Sea n el número de disminuciones de $20 en la cuota de asistencia al seminario.Entonces la cuota por persona y el número de personas que asistirán serán:

Cuota por persona: p = 600−20n, Número de personas: x = 1,000+100n El máximo número depersonas es 2,500.

Por lo tanto 1,000+100n≤ 2500 → n≤ 15.

Es decir, el número de disminuciones de $20 en la cuota, no debe de exceder de 15.

Ingreso=(cuota por persona)(número de personas). Es decir I = px.

I(n) = (600−20n)(1,000+100n) = 600,000+60,000n−20,000n−2,000n2.

Por tanto la función ingreso es I(n) = 600,000 + 40,000n− 2,000n2; para 0 ≤ n ≤ 15, es deciren el intervalo [0,15].

I′(n) = 40,000−4,000n = 4,000(10−n). Existe un sólo valor crítico n = 10

Como el extremo relativo es único, es también máximo absoluto. Por lo tanto para ingresomáximo se debe disminuir en $20 la cuota por persona 10 veces, es decir (10)(20)= $200.

El número de personas que asistirían al seminario es 1,000+100(10) = 2,000 personas.

El ingreso máximo sería I(10) = 600,000+40,000(10)−2,000(10)2 = $800,000.

La cuota por persona sería de 600−20(10) = $400.

Ejemplo 4.53

4.11.5 Concavidad de una función

En las figuras 1 y 2, observe que cada curva curva y = f (x) se "flexiona" (o abre) hacia arriba.uts




Si se trazan tangentes a las curvas, las curvas quedarán "por arriba" de estas. Además, las pendientes delas líneas tangentes crecen en valor al crecer x. Luego, f ′ es una función creciente. Se dice entonces que lafunción es cóncava hacia arriba(o convexa).

Si la curvas se encuentran "por debajo" de las tangentes, se flexionan hacia abajo. (Véanse los gráficos delas figuras 3 y 4).

Cuando x crece, las pendientes decrecen, luego, f ′ es una función decreciente. Decimos que f es cóncavahacia abajo.

Sea f ′ derivable en (a,b).

1. Si f ′′(x)> 0 para toda x ∈ (a,b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b).

2. Si f ′′(x)< 0 para toda x ∈ (a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b).

Definición 4.13 Criterio de concavidad



121

Analizar la concavidad de la función f (x) = x3.

Solución:f (x) = x3⇒ f ′(x) = 3x2⇒ f ′′(x) = 6x

f ′′(x)< 0 para x < 0 y f ′′(x)> 0 para x > 0.

Luego, si x < 0, f es cóncava hacia abajo; si x > 0, f es cóncava hacia arriba.

Compruebe este resultado en la gráfica de la figura.

Ejemplo 4.54

4.11.6 Punto de inflexión

Una función tiene un punto de inflexión en x = x0 si y solo si, f es continua en x0 y f cambia deconcavidad en x0. Entonces, x0 es un posible punto de inflexión si:

1. f ′′(x0) = 0; o no existe f ′′(x0), pero sí f (x0).

2. f debe ser continua en ese punto.

Definición 4.14




Analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de f (x) = 6x4−8x3 +1.

Solución:f ′(x) = 24x3−24x2 = 24(x3− x2)

f ′′(x) = 24(3x2−2x) = 24x(3x−2)

Luego, f ′′(x) = 0 en x = 0, y en x = 23 , que son posibles puntos de inflexión.

Se procede de forma análoga a la solución de una inecuación, como lo hemos visto anteri-ormente. Ubiquemos los signos en un rayo numérico para observar los cambios de signo de lasegunda derivada. (Figura 1).

En (−∞,0) f es cóncava hacia arriba, al igual que en ( 23 ,∞), pues en estos intervalos f ′′ es positiva.

En (0; 23 ) f es cóncava hacia abajo, pues f ′′ es negativa. Luego, x = 0 y x = 2

3 son puntosde inflexión, pues hay cambio de signo de la segunda derivada alrededor de estos puntos.Recuerda que son puntos de inflexión, si f es continua en esos puntos y existe cambio de signo dela segunda derivada alrededor de estos ellos. Verifique este resultado con la gráfica de la función.

Ejemplo 4.55

4.11.7 Representación Gráfica de Funciones

Los puntos de análisis previos a la representación gráfica de una función son:

Dominio

Continuidad

Puntos de corte con los ejes coordenados

Simetríasuts



123

Asíntotas

Crecimiento y decrecimiento

Extremos (máximos y mínimos)

Curvatura y puntos de inflexión

4.11.8 Tabla de resumen "Definiciones"

Dominio, Dom(f) Conjunto de valores x para los que existe la función.Discontinuidad Valores del Dom(f) para los que la función es discontinua

Asíntotas verticales ; x = a Valores del Dom( f ) donde limx→a

f (x) = ±∞

Asíntotas horizontales ; y = a Donde a se calcula a = limx→±∞

f (x) limx→a

f (x) = ±∞

Asíntotas oblicuas; dada por la recta: y = m x +b m = limx→+∞

f (x)x b = lim

x→+∞[ f (x)−mx]

Puntos de corte con el eje X Son las soluciones de la ecuación : f (x) = 0Puntos de corte con el eje Y Valores que toma la función cuando x = 0

Máximos y mínimos relativos Soluciones de la ecuación: f ′(x) = 0.Representación gráfica Se utiliza toda la información que proporciona la tabla

4.12 Aplicación de la derivada al cálculo de límites

Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la factorización, generalmentese resuelven en matemática por la conocida Regla de L´Hôpital, que contiene en su estructura el conceptode derivada.

Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a.

Si limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0 donde g(x) 6= 0 en cierto entorno de a,entonces

Si limx→a

f ′(x)g′(x)

(finito o infinito), existe también limx→a

f (x)g(x)

,

y se cumple que:

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

.

Teorema 4.3 Teorema de L´Hôpital




La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas ena, pero lim

x→af (x) = 0 y lim

x→ag(x) = 0.

Si f ′(a) = g′(a) = 0, y f ′(x) y g′(x) satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones f y

g, podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a f ′(c)g′(c) , y obtenemos: lim

x→af ′(x)g′(x) = lim

x→af ′ ′(x)g′ ′(x)

;

aplicar sucesivamente la derivada hasta que la indeterminación desaparézcala.

Definición 4.15

Calcular: limx→ 1

x2−1+lnxex−e

Solución:

limx→ 1

x2−1+ lnxex− e

=00,

pues limx→ 1

(x2−1+ lnx) = 12−1+0 = 0 y limx→ 1

(ex− e) = e1− e = 0

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

limx→1

x2−1+ lnxex− e

= limx→ 1

(x2−1+ lnx)′

(ex− e)′= lim

x→ 1

2x+ 1x

ex =3e

Ejemplo 4.56

Encuentre limx→0

x−senxx3 .

Solución:

limx→ 0

x− senxx3 =

00

limx→ 0

x− senxx3 = lim

x→ 0

1− cos x3x2 =

00

limx→ 0

−(−senx)6x

=16

limx→ 0

senxx

=16

Ejemplo 4.57



125

Halle limx→ 1

x3−3x2+2x3−4x2+3

Solución:

limx→ 1

x3−3x2 +2x3−4x2 +3

=00

limx→ 1

x3−3x2 +2x3−4x2 +3

= limx→ 1

3x2−6x3x2−8x

=3−63−8

=35

Ejemplo 4.58

Hallar: limx→ ∞

sen 4x

1x

Solución:

limx→ ∞

sen 4x

1x

=00

limx→ ∞

sen 4x

1x

= limx→ ∞

− 4x2 cos 4

x

− 1x2

= limx→ ∞

(4cos

4x

)= 4 lim

x→ ∞

(cos

4x

)= (4)(1) = 4

El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de

limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0

porlimx→a

f (x) = limx→ a

g(x) = ∞,

y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.

Ejemplo 4.59

Hallar: limx→ 0+

lnx1x

Solución:

En este caso estamos ante la indeterminación limx→ 0+

lnx1x= ∞

∞, pues lim

x→ 0+lnx =+∞, y lim

x→ 0+1x =+∞.

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

limx→ 0+

lnx1x

= limx→ 0+

1x

− 1x2

= limx→ 0+

− x2

x= 0

Ejemplo 4.60




4.12.1 Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞

Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞ que pueden transformarse en las formas 00 ó ∞

∞, y aplicar

la Regla de L´Hôpital.

Si queremos calcular limx→ a

f (x).g(x) y limx→ a

f (x) = 0 y limx→ a

g(x) = ∞

entonces, f (x).g(x) = f (x)1

g(x), y por tanto, lim

x→ af (x).g(x) = lim

x→ af (x)

1g(x)

, y ahora es de la forma 00 .

Además, f (x).g(x) = g(x)1

f (x), y es un límite de la forma ∞

∞.

En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones anteriores,siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital simplifique el proceso de determinación dellímite.

Determine limx→ 0

x2 lnx2

Solución:

Observemos que limx→ 0

x2 = 0 y que limx→ 0

lnx2 = −∞ Luego, estamos ante una indeterminación del

tipo 0.∞.

Transformando, limx→ 0

x2 lnx2 = limx→ 0

lnx21

x2= lim

x→ 0

2xx2

− 2xx4

= limx→ 0

− x2 = 0

Observe que limx→ 0

x2 lnx2 = limx→ 0

x21

lnx2, pero esta transformación es menos recomendable en

este caso en particular, pues la derivada de 1lnx2 es mucho más compleja que, simplemente, la

derivada de lnx2.

Ejemplo 4.61



127

Determine: limx→ 1

( 1x−1 −

1lnx

)Solución:

limx→ 1

( 1x−1 −

1lnx

)No existe una forma única de proceder para resolver indeterminaciones del

tipo ∞−∞.

En este caso, se debe efectuar la resta:

limx→ 1

(1

x−1− 1

lnx

)= lim

x→ 1

(lnx− (x−1)(x−1) lnx

)= lim

x→ 1

(lnx− x+1)(x−1) lnx

)Aquí podemos observar que: lim

x→ 1(lnx− x+1) = 0 y lim

x→ 1(x−1)Lnx = 0 Luego, la indeterminación

∞−∞ se ha transformado en una del tipo 00 .

Basta entonces resolver limx→ 1

(lnx−x+1(x−1) lnx

)

limx→ 1

(lnx− x+1(x−1) lnx

)= lim

x→ 1

(1x −1

1. lnx+(x−1). 1x

)= lim

x→ 1

(− 1

x2

1x +

x−(x−1)x2

)= lim

x→ 1

(− 1

x2

x+1x2

)

limx→ 1

(− 1

x+1

)= −1

2

Ejemplo 4.62

4.13 Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización

Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma uotra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué val-ores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas deoptimización. Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas geométricos, económicosentre otros.

En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, oencontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condicionesdadas.

La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema yel valor de la función sea mínimo o máximo. La función que representa el problema de optimización se lellama función objetivo.

Fases en la solución de un problema de Optimización

1. Planteamiento del problemauts




2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente)

3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica)

4. Obtención de las soluciones

Para el producto de un monopolista la función de demanda es x = 10,000e−0.02p. Calcular el valorde p para el cual se obtiene el ingreso máximo.

Solución:

I = px = 10,000pe−0.02p ; p > 0

→ I′(x) = 10,000[pe−0.02p(0.02)+ e−0.02p

]= 10,000e−0.02p(−0.02p+1)

I ′ (x) = 10,000(1−0.02p)e0.02p = 0 → 1−0.02p = 0 → p = 1

0.02 = 1002 = 50.

Único valor crítico en (0,∞)

Como es el único extremo local en (0,∞) es también máximo absoluto en ese intervalo. Por tanto,se obtiene el máximo ingreso con p = $ 50/unidad.

Ejemplo 4.63

Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dadopor C(x) = 10+75x−5x2 + 1

3 x3 Evaluar el nivel de producción x donde el costo marginal alcanzasu mínimo.

Solución:

Costo marginal C′(x) = 75− 10x + x 2. Esta es la función para la cual queremos obtener unmáximo: C′′(x) =−10+2x = 0 → 2x = 10 → x = 5. Único valor crítico en (0,∞).

C′′′,(x) = 2 > 0, luego entonces existe un mínimo local y también absoluto en x = 5. Por lotanto para que el ingreso marginal sea mínimo el nivel de producción debe ser de 5 unidades.

Ejemplo 4.64



129

Para el producto de un monopolista, la función demanda es p = 50√x , y la función de costo

promedio es C = 0.50+ 100x .

a) Evaluar el precio y la producción que maximizan la utilidad.b) A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

Solución:

a) U = I−C; I = px =(

50√x

)x = 50

√x; C = Cx =

(0.5+ 100

x

)x = 0.5x+100.

U(x) = 50√

x− (0.5x+100) = 50√

x−0.5x−100

→ U ′ (x) = 25x−1/2−0.5 = 25√x −0.5 = 0 → 25√

x = 0.5.

√x = 25

0.5 = 50 → x = 2,500.

Único valor crítico en (0,∞).

U ′′(x) = − 252 x−3/2 = −25

2√

x3 → U ′′(2,500) < 0, luego existe un máximo local y también abso-luto en 2,500.

Entonces, para obtener la máxima utilidad posible se deben fabricar y vender 2,500 unidades aun precio de p = 50√

2,500 = 5050 = $1/unidad.

b) I′(x) = 25x−1/2 = 25√x → I′(2,500) = 25√

2,500 = 2550 = 1

2 = 0.5; C′(x) = 0.5 → C′(2,500) = 0.5.Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de producción esde 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es máxima.

Ejemplo 4.65




Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dadopor C = 2x2−36x+210− 200

x , para 2≤ x≤ 10, en donde x está en miles de unidades y C en dólares.

a Calcular a qué nivel dentro del intervalo [2,10] debe fijarse la producción para minimizar elcosto total y cuál es el costo total mínimo.

b) Si la producción se encontrara dentro del intervalo [5,10], calcular qué valor de x mini-mizaría el costo total.

Solución:

C(x) = Cx = 2x3−36x2 +210x−200 → C′(x) = 6x2−72x+210 = 6(x2−12x+35) = 6(x−7)(x−5).

Valores críticos x = 5, x = 7.

C′′(x) = 12x − 72 = 12(x − 6) → C′′(5) < 0; C′′(7) > 0. Por lo tanto existe un máximo localen x = 5 y un mínimo local en x = 7.

a) En el intervalo [2,10], como los dos valores críticos pertenecen al intervalo, no se puedeasegurar que el mínimo absoluto ocurra en x = 7, luego se requiere evaluar la función en esosvalores críticos y en los extremos del intervalo:C(2) = 2(2)3−36(2)2 +210(2)−200 = 92; C(5) = 200; C(7) = 192; C(10) = 300.

Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 2,000 unidades. Costo mínimo: 92 dólares.

b) En el intervalo [5,10] C(5) = 200; C(7) = 192; C(10) = 300. El 2 no pertenece al intervalo.

Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 7,000 unidades. Costo mínimo: 192dólares.

Ejemplo 4.66



131

Se quiere inscribir un rectángulo dentro de un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área más grandeque puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

Según se muestra en la figura tenemos: Largo del rectángulo: 2x Altura:√

4− x2

La función a maximizar es el área del rectángulo, es decir, A(x) = 2x√

4− x2

Hallemos los puntos críticos, derivando e igualando a cero: A(x) = 2x(4− x2)1/2

A′(x) =−2x2√

4− x2+2√

4− x2 = 0 ⇒ −2x2 +2(4− x2)√4− x2

= 0

−2x2 +8−2x2 = 0 ⇒ −4x2 =−8⇒ x2 = 2 ⇒ x =±√

2

A(√

2) = 2√

2√

4−2 = 2(√

2)2= 4

A(−√

2) = 2(−√

2)√

4−2 =−2(√

2)2=−4 (Area negativa)

Los valores extremos se presentan en: x = 2 y x =−2

A(2) = 2(2)√

4−22 = 0 = A(−2) (Area cero)

La mayor área del rectángulo se produce cuando x =√

2 y el área es de 4 unidades cuadradas.

Respuesta: De lo anterior concluimos que las dimensiones del rectángulo de mayor áreason:

Largo: 2√

2 Alto:√

2

Ejemplo 4.67




Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadascuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máx-imo?Solución:

Volumen de la caja: V = x2h (Función a maximizar). Como esta función tiene dos variables x y hdebemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas.

El material usado se obtiene sumando el área de la base y el área de las cuatro caras lat-erales, así: Área de la base: x2

Área de cada cara lateral: xhÁrea total de la superficie: S = x2 +4xh = 108

Hallando h en esta ecuación tenemos:

4xh = 108− x2 ⇒ h =108− x2

4x, 0 < x <

√108

Sustituyendo h en la ecuación de volumen tenemos:

V (x) = x2(108− x2

4x) = 27x− x3

4

Derivando e igualando a cero:

V ′(x) = 27− 3x2

4= 0 , 3x2 = 108 , x2 = 36 , x =±6

Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud Valor crítico: x = 6, para estevalor crítico, hallemos h:

h =108− x2

4x=

108−3624

=7224

= 3

Respuesta: las dimensiones de la caja son: Longitud de la base: x = 6 pulgadas; Altura de la caja:h = 3 pulgadas.

Volumen de la caja: V = x2h = 36(3) = 108 pulgadas cúbicas (Obsérvese la gráfica)

Ejemplo 4.68

A continuación se muestra la gráfica del volumen respecto a la altura de la caja.uts



133

Nota: Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar en el ejemplo anterior que, en efecto, losvalores de x y h corresponden al máximo volumen.



Bibliografía

[1] Steven Chapra, 2007. Métodos Numéricos Para Ingenieros, McGraw Hill, 5ta Edición.

[2] Neptalí Franco, 2008. Guía de Estudio para la Unidad Curricular Matemática V, Universidad Na-cional Experimental Francisco de Miranda.

[3] Jorge Velásquez Z, 2007. Análisis Numérico: Notas de Clase, Ediciones Uninorte, 1ra Edición.



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APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto. · APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander