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Apuntes de la práctica de Astrofísica
6 de diciembre de 2018
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Sobre estos apuntes Estos apuntes/resueltos que usted está viendo fueron creados por un alumno mientras cursaba lamateria. Es por ello que podrían haber errores de tipeo, errores conceptuales, de interpretación en los resultados, etc. Useestos apuntes con precaución. Estos apuntes no son oficiales de ninguna cátedra. Lea atentamente el prospecto. En caso denotar algún efecto adverso suspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.
El alumno autor de estos apuntes cursó la materia durante el segundo cuatrimestre de 2018, este link conduce a lapágina oficial del curso.
Encontrá más resueltos de Alf en este link.
Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes?
Estos apuntes están hechos usando un programa llamado Lyxa. Para hacer los dibujos se usó Inkscape y después seinsertó las imágenes en formato svgb directamente en Lyx.En este repositorio de GitHub se encuentra la plantilla (template) que Alf usa actualmente, con todo lo necesariopara compilarla y empezar a divertirse.
aLyx es una interfaz gráfica para Latex que hace que la escritura se vuelva extremadamente fluida y veloz (al punto de podersetomar apuntes en vivo durante una clase).
bsvg es el formato nativo de Inkscape.
1
https://losresueltosdealf.wordpress.com/http://materias.df.uba.ar/astrofa2018c2/https://losresueltosdealf.wordpress.com/https://www.lyx.org/https://inkscape.org/es/https://github.com/SengerM/lyx
ÍNDICE ÍNDICE
Índice1. Guía 1 - El universo 5
1.1. Cúmulos estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Guía 2 - Fluidos clásicos 8
3. Guía 3 - Relatividad 13
4. Guía 4 - Atmósferas estelares 16
5. Guía 5 - Medios interestelares 235.1. Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Guía 6 - Estructura y evolución estelar 286.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Guía 7 - Campos magnéticos 32
8. Guía 8 - Galaxias 36
9. Guía 9 - Cosmología 41
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Índice alfabéticoGuía 1 problema 16, 7Guía 1 problema 18, 8Guía 1 problema 2, 5Guía 1 problema 3, 6Guía 1 problema 5, 5Guía 1 problema 6, 5Guía 1 problema 8, 6Guía 1 problema 9, 7Guía 2 problema 10, 10Guía 2 problema 6, 9Guía 2 problema 8, 11Guía 2 problema 9, 9Guía 3 problema 1, 14Guía 3 problema 4, 16Guía 3 problema 5, 14Guía 3 problema 7, 15Guía 4 problema 3, 17Guía 4 problema 4, 18Guía 4 problema 6, 20Guía 4 problema 8, 21Guía 4 problema 9, 22Guía 5 problema 1, 23Guía 5 problema 2, 24Guía 5 problema 3, 24Guía 5 problema 4, 26Guía 6 problema 1, 28Guía 6 problema 2, 28Guía 6 problema 6, 29Guía 7 problema 1, 32Guía 7 problema 2, 32Guía 7 problema 3, 34Guía 7 problema 5, 35Guía 8 problema 1, 36Guía 8 problema 2, 36Guía 8 problema 3, 38Guía 8 problema 5, 40Guía 9 problema 1, 41Guía 9 problema 2, 41
3
REFERENCIAS REFERENCIAS
Referencias[Carroll and Ostlie, 2017] Carroll, B. W. and Ostlie, D. A. (2017). An introduction to modern astrophysics. Cambridge
University Press.
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1 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
1. Guía 1 - El universoLa guía 1 la podemos dividir en cuatro partes:1. Órdenes de magnitud.
2. Determinación de no sé qué.
3. Radiación de cuerpo negro.
4. Leyes de Kepler.
Guía 1, ejercicio 2Fotometría La fotometría Consiste en medir la intensidad de la radiación que proviene de algún astro en una determinadabanda. Por ejemplo tenemos la banda del ultravioleta, la del azul, etc. En particular las bandas y sus anchos son
Sistema fotométrico de Johnson-Morgan (∼1950)Banda Longitud de onda λ Ancho de banda ∆λ
U Ultra violeta 365 nm 66 nmV Visible 580 nm 88 nmB Azul 440 nm 94 nm
La elección de estas bandas es histórica. Hoy se las sigue utilizando por cuestiones históricas, pero uno podría mirarcualquier banda.
Espectrometría Se determina la luminosidad de un astro como función de la longitud de onda. Es como una fotometríapero con más detalle. En la espectrometría se pueden observar muchas cosas: la composición de una estrella y/o del medioen el que viajó la luz a partir de las líneas de absorsión, también se puede estudiar el corrimiento doppler lo cual tieneinformación sobre el movimiento de la estrella, etc.
Polarimetría Se estudia la polarización de la radiación recibida lo cual brinda información acerca del medio en el que éstase propagó. En particular puede indicar la presencia de campos magnéticos en el medio interestelar.
Guía 1, ejercicio 5Fácil: E = hν por lo tanto λ = hcE . La longitud de onda es entonces λ ∼ 21 cm. Esta línea espectral fue la primera que
se utilizó para mapear la distribución de hidrógeno en el universo.
Guía 1, ejercicio 6Ítem a
En cuanto a la órbita circular de la tierra la podemos justificar, aproximadamente, con el hecho de que siempre vemosal sol del mismo tamaño con lo cual la distancia tiene que ser más o menos constante. En cuanto a la redondez de la órbitade Venus, no podemos decir nada. Simplemente es cómodo. Y en cuanto a la coplanaridad1 tampoco. Para poder justificarestas otras dos hipótesis tendríamos que recurrir a observaciones astronómicas. La resolución del problema es trivial usandogeometría. En particular se obtiene que si d y D son las distancias mínima y máxima respectivamente, se satisface que
AU = d+D2
Ítem b Vale 1,497× 108 km.
Ítem c El dibujito es así:
Tierra VenusObservador A
Observador B
1Sorprendente, la palabra “coplanaridad” existe. Pensé que la estaba inventando, ja.Los resueltos de
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←click me!5 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062056 CC0
https://es.wikipedia.org/wiki/Fotometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_fotom%C3%A9trico_UBVhttps://es.wikipedia.org/wiki/Coplanaridadhttps://losresueltosdealf.wordpress.com/https://losresueltosdealf.wordpress.com/contacto/https://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain
1 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
donde ` = 10× 103 km y δ = 49,8′′. Ahora sólo hay que hacer trigonometría para encontrar la distancia mínima
d ≈ 4,14× 107 km
Usando el dato del “tamaño angular” cuando está más lejos se termina encontrando que
AU ∼ 1,491× 108 km
Guía 1, ejercicio 3Vamos a suponer que los objetos emiten radiación de cuerpo negro. Esto no es cierto, pero mal que mal le pega para
tener una idea:
← Cuerpo negro ideal← Radiación afuera de la atmósfera
← Radiación a nivel del suelo
La densidad espectral de energía en el cuerpo negro (que obtuvo Planck) es
Bν (T ) =2hν3
c21
ehνkT −1
Como estamos interesados en la longitud de onda vamos a hacer el cambio de variable tal que
Bν dν = −Bλ dλ ⇒ Bλ = −Bνdν
dλ
Usando que ν = cλ encontramos quedνdλ = −
cλ2 y entonces
Bλ =c
λ22hc2
( cλ
)3 1ehcλkT − 1
Ahora sólo hay que encontrar para qué λ se da el máximo de esta expresión y despejar en función de T . No es más quederivar y despejar. Se encuentra que
λmáximo =0,00289 m K−1
T
Guía 1, ejercicio 8Si todos colectáramos de alguna forma estos 1,38 kW m−2 fundimos a Edenor. Para encontrar la luminosidad del sol L�
lo que tenemos que hacer es integrar este número en toda la superficie esférica que encierra al sol. Es decir multiplicamos1,38 kW m−2 por la superficie de una esfera de radio 1 AU:
L� = 1,38 kW m−2 × 4π (1 AU)2
1 AU = 1,5× 1011 m→ ≈ 36× 1022 kW
Según Wikipedia en el año 2005 la “potencia promedio mundial” fue de 15 TW = 1,5× 109 kW.Para calcular la temperatura del sol usamos Stephan-Boltzmann:
L�4πR2�
= σT 2efectiva
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←click me!6 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062056 CC0
https://es.wikipedia.org/wiki/Consumo_y_recursos_energ%C3%A9ticos_a_nivel_mundialhttps://losresueltosdealf.wordpress.com/https://losresueltosdealf.wordpress.com/contacto/https://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain
1.1 Cúmulos estelares 1 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
Guía 1, ejercicio 9Sale usando las leyes de Kepler. En particular la tercera ley dice que
T 2 = 4π2
G (m1 +m2)a3
con lo cualm1 +m2 =
4π2a3
GT 2
En el caso del sistema sol-tierra se considera que m� � m⊕ donde m⊕ es la masa de la tierra.
1.1. Cúmulos estelaresSon cúmulos de estrellas que están ligadas en forma gravitacional. Las estrellas de un cúmulo tienen todas la misma edad
y provienen de un mismo lugar. La edad de las estrellas se puede determinar en función de su color.Hay dos tipos de cúmulos estelares:
Abiertos. Tienen del orden de 100 estrellas y son uniformes. Las estrellas suelen ser azules que son estrellas jóvenes. Aúncontinúan formándose nuevos cúmulos abiertos. Se encuentran sobre el disco galáctico.
Globulares. Tienen del orden de 10× 103 estrellas. Son de forma esférica y poseen gigantes rojas, que son estrellas viejas. Yano se siguen formando, los que hay se formaron hace mucho. No se encuentran sobre el disco galáctico sino queestán en el halo.
Guía 1, ejercicio 16El movimiento propio es el movimiento que tiene un cuerpo celeste en la dirección perpendicular a r̂ siendo r̂ el versor
radial centrado en la tierra. El dibujito es así:
Cúmulo
Earth
Punto de convergencia
Las velocidades en realidad no apuntan al punto de convergencia, es sólo una “ilusión óptica” por el hecho de que estamosmirándolas sobre la esfera celeste. O algo así... La verdad que no entiendo bien qué es cada cosa...
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←click me!7 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062056 CC0
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjrjsS7_f7cAhVDGJAKHfxjBmcQFjACegQICBAK&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FLeyes_de_Kepler&usg=AOvVaw2hWaeH8wIKz68gI4dp4_Nqhttps://losresueltosdealf.wordpress.com/https://losresueltosdealf.wordpress.com/contacto/https://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain
2 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
vtangencial
vradial
tan 30 ◦ = vtvr
= µdvr
⇒ d = 43 pc
vt = µd
∆s = αd
α = 0,11′′
Para calcular el tamaño simplemente hacemos
Earth
T
tan 10 ◦ =T/2
d⇒ T = 15 pc
Guía 1, ejercicio 18Lo hicieron pero me tuve que ir a cursar E3.
2. Guía 2 - Fluidos clásicosTenemos la ecuación de Navier-Stokes que es
ρ
[∂v
∂t+ (v ·∇)v
]= −∇ · p+ f→ Navier-Stokes
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←click me!8 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062056 CC0
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2 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
donde v es el campo de velocidades, ρ es la densidad, p es el tensor de presiones y f es la fuerza externa por unidad devolumen (por ejemplo un potencial gravitatorio en el 99 % de los casos). El término (v ·∇)v se conoce como “términoconvectivo”.
Para fluidos ideales vale que p = p1. Esto implica que ∇ · p = ∇p con lo cual la ecuación de Navier-Stokes para fluidosideales es
∂v
∂t+ (v ·∇)v = −∇p
ρ+ f→ Navier-Stokes para fluidos ideales
Obsérvese que se ha redefinido f , ahora es la densidad de fuerza por unidad de masa.
Guía 2, ejercicio 6Tenemos un fluido de densidad uniforme ρ 6= ρ (r). La ecuación de Navier-Stokes es entonces
0 = −1ρ
∇p−∇φ
Pues ρ 6= ρ (r)→ = −∇(p
ρ+ φ
)con lo cual
p
ρ+ φ = constante
Si evaluamos esto sobre una equipotencial tenemos que φ es constante con lo cual
dpcen una equipotencial = otra constante ≡ p0
es decir que la presión es constante. Si ahora consideramos la ecuación de estado
T = T (p, ρ)
tenemos que evidentemente T es una constante sobre la equipotencial.
Guía 2, ejercicio 9LTE significa Local Thermal Equilibrium.
Ítem a Planteamos Navier-Stokes en el caso estacionario y con la fuerza gravitatoria1ρ
∇p = −MGr2r̂
Ahora usamos el hecho de que esto es un gas ideal con lo cual la ecuación de estado es
p = nkTnm = ρ→ = ρ
mkT
y entonceskT
mρ∇ρ = −MG
r2r̂
(se usó además que la atmósfera es isotérmica con lo cual ∇T = 0). Ahora resolvemos, la componente radial del gradientees:
1ρ
kT
m
∂ρ
∂r= −MG
r2
y si ahora integramos desde la superficie del planeta R hasta un r cualquiera obtenemos
ρ = ρ0 exp(mMG
kT
[1r− 1R
])Ahora podemos calcular fácilmente la presión usando la ecuación de de estado. Es prácticamente lo mismo
p = p0 exp(mMG
kT
[1r− 1R
])Vamos a considerar ahora el límite de bajas alturas, donde tiene sentido que esto funcione. Vamos a considerar entonces
z � R. En este caso queda queρ = ρ0e−z
kTmg
A la constante kTmg se la conoce como altura de escala.Los resueltos de
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2 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Ítem b La densidad de columna se define según∞̂
0
ρ dzdef=∞̂
0
e−zH ρ0 dz = −ρ0H
Ítem c Pasamos a un modelo de atmósfera un poco más realista (la isotérmica es re trucha) que es el de una atmósferaadiabática en la que se satisface
pρ−γ = constante→ Adiabática
con γ = cpcv . El hecho de que la atmósfera sea adiabática implica que no hay intercambio de calor entre los elementos defluido. Ahora es repetir lo mismo de antes pero utilizando esta “nueva ecuación de estado”. La solución es
ρ = ρ0[1 + GMρ
γ0
γp0(γ − 1)
(1r− 1R
)] 1γ−1
Tomando ahora el límite z = r −R→ 0 (bajas alturas) se obtieneρ (z) = ρ0
[1− gρ
γ0 (γ − 1)γp0
z
] 1γ−1
p (z) = ρ0[1− gρ
γ0 (γ − 1)γp0
z
] γγ−1
Ahora podríamos buscar también la temperatura usando que T ∝ pρ .
Guía 2, ejercicio 10Vamos a meter una perturbación en la atmósfera y ver qué ocurre. Vamos a asumir que hay simetría estacionaria en x e
y (salvo por la columna, claro). Entonces tamos a tener p (z) , T (z) y ρ (z). La ecuación de Navier-Stokes es entonces
dp
dz= −ρg
o biendp
p= −ρg
pdz
Ahora consideramos un gas ideal con lo cual p = ρmkT y entonces
dp
p= −mg
kTdz
kT
mg≡ H → = − 1
Hdz
A continuación usamos la ecuación de balance de calor que es
32nk
(∂T
∂t+ v0 ·∇T
)+ p∇ · v0 = 0→ Eq. de balance de calor
Reemplazando v0 = v0ẑ, usando situación estacionaria ⇒ ∂T∂t = 0, obtenemos
32nkv0
∂T
∂z+ p∂v0
∂z= 0
Por último vamos a usar la ecuación de continuidad del fluido
∂ρ
∂t+ ∇ · (ρv0) = 0→ Eq. de continuidad
En el caso estacionario y con simetría en x e y esto queda
∂ (ρv0)∂z
= 0
v0∂n
∂z+ n∂v0
∂z= ← nm = ρ
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2 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Reemplazando en la ecuación de balance de calor
32nkv0
∂T
∂z− pv0
n
∂n
∂z= 0
y ahora usamos n = pkT y no sé qué más hacemos y nos queda
−pv0n
∂n
∂z= −kTv0
1kT ∂p∂z︸︷︷︸− pH
− pkT 2
∂T
∂z
32nkv0
∂T
∂z− kTv0
[− pHkT
− pkT 2
∂T
∂z
]= 0
v0p
[32
1T
∂T
∂z+ 1H
+ 1T
∂T
∂z
]= 0
cp =52k
m
mcpkT
∂T
∂z+ 1H
= 0
y esto es lo que queríamos demostrar (?), la ecuación de balance de calor para la columna.
Ítem b La variación de la temperatura es
dT
dt=���∂T
∂t+ v0 ·∇T
= v0∂T
∂z
= v0(− kTmcpH
)= −v0
g
cp
donde hemos reemplazado la expresión de H.
Ítem c Nosotros tenemos quedT
dz=
− α Afuera de la columnag
cpAdentro de la columna
En el caso en que α < gcp lo que pasa es que los elementos de fluido que suben por la columna se enfrían más rápido que laatmósfera circundante. En este caso la densidad va a aumentar y el fluido se irá nuevamente hacia abajo. En caso contrario,i.e. cuando α > gcp , lo que ocurre es que los elementos de la columna están siempre más calientes dentro de la columna queafuera con lo cual se enfriarán más lento y subirán más rápido. En este caso se desarrolla la inestabilidad convectiva.
Guía 2, ejercicio 8Vamos a estudiar la deformación de un planeta producto de la rotación.
Ítem a La fuerza centrífuga esF centrífuga = −ρω × (ω × r)
con ω = ωẑ la velocidad angular. Expresando en polares
ω = ω(
cos θ r̂ − sin θ θ̂)
nos queda queF centrífuga = ρω2r
(r̂ sin2 θ + θ̂ sin θ cos θ
)Los resueltos de
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2 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Por otro lado la fuerza gravitatoria es
F gravedad =
− ρM (r)G
r2r̂ para r < R
− ρMGr2r̂ para r ≥ R
La ecuación de Navier-Stokes para un fluido bonito nos queda
∇p = −∇φ
El potencial es entonces φexterior = 43πρ
2 r2
2 G− ρω2 r
2
2 sin2 θ + constante
φinterior = −ρMGr− ρω2 r
2
2 sin2 θ
Aplicando la condición de contorno de que φexterior = φinterior para r = R se despeja la constante que termina valiendo− 32
ρMGR .
Ítem b φ (r = R) = −ρMGR − ρω2R2
2 sin2 θ
∇ (p+ φ) = 0⇒ p+ φ = constante
dpcsuperficie = p0 = constante
dpcsuperficie + dφcsuperficie = constante
con lo cualdφcsupefficie = constante
Ahora lo que vamos a hacer es evaluar φ (r = R) = −ρMGR − ρω2R2
2 sin2 θ en un punto de referencia, por ejemplo el polo con
R0 y θ = 0. Obtenemos
−ρMGR− ρω2R
2
2 sin2 θ = −ρMG
R0
de donde podemos despejarR
R0= 1 + ω
2R3 sin2 θ2GM
Para seguir resolviendo eso habría que integrar en forma numérica. A mano llegamos hasta acá. Lo importante es que RR0 ≥ 1con lo cual cualquier R es mayor que el R0 de referencia tomado en el polo.
Ítem c Vamos a definirδR = Recuador −R0 � R0
Ahora me perdí (estamos resolviendo esto a las chapas en los últimos 10 minutos de clase)
δR
R0= Re −R0
R0
= ω2R3e
2MG
= ω2 (R0 + δR)3
2GM
≈ω2(R30 + 3R20δR
)2GM
= ω2R30
2GM − 3ω2R0
= 1 + ω2R30
2GM − 3ω2R0
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3 GUÍA 3 - RELATIVIDAD
Ítem d Saturno es el planeta más achatado del sistema solar. Usando los valores
M = 5,68× 1026 kgω = 1,64× 10−4 s−1
R0 = 5,43× 107 mRecuador = 6,02× 107 m
obtenemos
(RecuadorR0
)teórico
= 1,068(RecuadorR0
)observado
= 1,108
donde el teórico es con la cuenta del ítem previo mientras que el observado es haciendo el cociente entre las cantidadesnuméricas de este ítem.
3. Guía 3 - RelatividadVamos a comenzar haciendo un repaso. Consideremos dos sistemas de referencia, S y S′, tal que S′ se mueve con
velocidad v = vx̂ visto desde el sistema S (el caso típico de todo libro). En este caso las coordenadas se relacionan mediantela transformación de Lorentz
Lorentz boost→
t′ = γ (x− βct)x′ = γ (ct− βx)y′ = yx′ = x
donde β = vc y γ =1√
1−β2. En forma matricial lo anterior es
t′
x′
y′
z′
=
γ −γβ−γβ γ
11
txyz
y en notación de índices
x′µ = Λµνxν→ Notación de índices
donde se aplica el criterio de sumación de Einstein.Se define el cuadrivector momento
pµ =
Ecpxpypz
=
[γmc2
γmv
]y se obtiene la relación
E2 = m2c4 + c2p2
También tenemos el efecto Doppler relativista
νobservada = νemitida (1− β cos θ) γ→ Doppler relativista
donde θ es el siguiente ángulo
← observador
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←click me!13 Si ves un error, avisale a Alf , 201812062056 CC0
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3 GUÍA 3 - RELATIVIDAD
Guía 3, ejercicio 1Ítem a El factor de Lorentz es γ. La componente temporal del cuadrimomento es p0 = γmc2 ≡ E. Conociendo la energía(de los rayos cósmicos) 1020 eV, la masa del protón y la velocidad de la luz podemos calcular trivialmente que
γ ∼ 1011
Ítem b La contracción de la longitud es
L = L0γ
= 100 pc1011= 10−9 pc
1 pc = 3× 1018 cm→ ∼ 109 cm= 104 km
Eso es menos que la distancia entre la tierra y la luna.El tiempo propio que le demanda al protón atravesar la galaxia es
t0 =t
γ
= L0γvp
vp ≈ c→ ≈L
c
= 104 km
108 m s−1= 0,1 s
El tiempo medido por un observador en la tierra va a ser
ten la tierra =100 pcc
≈ 300 años
Ítem c Hay que hacer el camino inverso a lo de recién. No entiendo por qué puso que
t = 2τn
que lo sacó haciendo Nn (t) = Nn (0) 2−tτn = N
0n
4 ⇒ 2− tτn = 14 . Ahora es despejar la formulita: la distancia recorrida por el
neutrón esd = En
mnc2τn
donde hemos usado que vn ≈ c y En = γnmnc2 y d = cγn2τn.
Guía 3, ejercicio 5Ítem a Queremos estudiar el efecto Compton y relacionar la frecuencia del fotón final con el ángulo de escatereo. Porconservación de momento sabemos que
pγ − pγ final = pe− finalcon lo cual
p2γ + p2γ final − 2pγpγ final cos θ = p2e− finalEn cuanto a la energía tenemos que
hν +mc2 = hνfinal +√m2c4 + c2p2e− final
Juntando las dos coas tenemos
2h (ν − νfinal)mc2 + h2 (ν − νfinal)2 +���m2c4 =���m2c4 + c2p2γ + c2p2γ final − 2c2pγpγ final cos θ
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3 GUÍA 3 - RELATIVIDAD
Usando ahora que E = cp para los fotones tenemos que
2 (ν − νfinal)mc2
h+ (ν − νfinal)2 = ν2 + ν2final + 2ννfinal − 2ννfinal cos θ
de donde podemos despejar
(ν − νfinal)mc2
h= ννfinal cos θ
y finalmente1
νfinal− 1ν
= hmc2
(1− cos θ)
Ítem b Ahora tenemos el efecto Compton inverso, es decir un electrón que se mueve a las chapas y choca a un fotón. Loúnico que hay que hacer es aplicar un boost tal que nos vamos al sistema en reposo del electrón. Luego tenemos el mismoproblema que antes. Entonces tenemos que en el sistema en reposo vale lo mismo que en el ítem a:
ν′final =1
1ν′ +
hmc2
(1− cos θ′
)→ En el sistema en reposoAhora tenemos que aplicar un boost al sistema laboratorio para ver cómo queda esto. En primer lugar transformamos lafrecuencia usando el Doppler relativista
νfinal = ν′finalγ(1 + β cos θ′
)y entonces
νfinal =γ(1 + β cos θ′
)1ν′ +
hmc2
(1− cos θ′
)Ahora tenemos un ángulo φ que no sé qué representa pero aparece en una fórmula que es
ν′ = νγ (1− β cosφ)
Creo que es el ángulo en el que observamos el proceso en el sistema laboratorio, pero no sé con respecto a qué. No hay ningúndibujo que nos ayude a interpretar qué es. Lo que le quedó es
νfinal =γ(1 + β cos θ′
)1
νγ(1−β cos θ) +hmc2
(1− cos θ′
)Ítem c Queremos encontrar la máxima energía del fotón dispersado en el ítem b. No entendí nada. Hay dos ángulos φ y θque no sé qué son, y dadas las preguntas del curso creo que nadie entiende bien qué son.
Guía 3, ejercicio 7El potencial gravitatorio en la superficie de la enana blanca es
dφcSuperficie de la enana blanca = −GMenanitaRenanita
mientras quedφcSuperficie de la tierra ≈ 0→ Debido a que MTierra ≪MEnana y RTierra ∼ REnana
por lo tanto∆φ = GM
R
Lo que sigue no le entendí nada...∆E = hc
λobservado− hcλ0
∆λg = λobservado − λ0
zdef= ∆λ
λ0→ Red shift
∆λgλ0
= GMRc2
= 1,49× 10−4→ Red shift gravitatorioLos resueltos de
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Guía 3, ejercicio 4Tenemos que ver cuál es la energía mínima del γ para que pueda ocurrir la reacción p+ γ → n+ π+. Vamos a usar por
un lado la conservación de cuadrimomento
pµinicial = pµfinal→ Por conservación
y por otro el invariante relativistap2 = pµpµ→ Invariante relativista
Entonces(pinicial) µ (pinicial) µ = (pfinal) µ (pfinal) µ
En particular podemos evaluar el pinicial en el frame en que el protón está en reposo y el pfinal en el sistema centro de masa.Esto es (
dpinicialcSistema en el que el protón está en reposo)2
= (dpfinalcSistema centro de masa)2
Las componentes de cada bicho son
dpinicialcSistema en el que el protón está en reposo =
Efotón +mpc2
Efotónc00
dpfinalcSistema centro de masa =
mnc
2 +mπc2000
donde hemos asumido que la energía del fotón es la mínima tal que las partículas finales están en reposo. Entonces tenemosque (
Efotón +mpc2)2 − (Efotón
c
)2≥ (mn +mπ)2 c4
4. Guía 4 - Atmósferas estelaresTenemos una función de distribución de fotones
f (r,p) → Distribución de fotones
que es el número de fotones en la posición r con un impulso p. Además tenemos la intensidad de radiación
Iν→ Intensidad específica
que es la Energía radiadaÁrea×Tiempo×Ángulo sólido×Frecuencia . Queremos relacionar las dos cantidades. Para ello consideramos el hecho de queel impulso del fotón es
p = hνc
con lo cual (no entiendo)
con lo cualIνhν
= #de fotonesy finalmente
Iν = fh4ν3
c2Los resueltos de
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Guía 4, ejercicio 3Ítem a Creo que no es más que la conservación de la energía. La energía total que se encuentra en la cáscara esférica quese propaga en forma radial desde la estrella hacia la tierra es constante. Esto es justamente la luminosidad de la estrella.Entonces tenemos que
Luminosidad→Lν ={
4πR2qν (R) Evaluada sobre la superficie de la estrella4πr2qν (r) Evaluada en un r arbitrario
entonces
qν (r) = qν (R)(R
r
)2Ítem b La intensidad en la superficie de la estrella es
Iν (θ) ={Iν para θ < π/20 en otro caso
Gráficamente esto sería así:
Este lado irradia
z
Ahora sólo hay que integrar
qν =ˆIν ẑ cos θ dΩ
= Iν2πˆ
0
dφ
π/2ˆ
0
cos θ sin θ dθẑ
= πIν ẑ
Para calcular las demás cantidades simplemente recurrimos a su definición
Jν =1
4π
ˆIν dΩ
ypijν =
ˆIνuiuj dΩ
Ítem c Ahora asumimos que
Iν = Bν =2hν3
c2
(ehνkT − 1
)−1Tenemos que la luminosidad por unidad de frecuencia es
Lν = 4πR2qν (R)= 4π2R2Iν
= (2πR)2 2hν3
c2
(ehνkT − 1
)−1
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
La luminosidad total es simplemente la integral de esto anterior sobre todo el espectro, es decir
L =∞̂
0
Lν dν
= (2πR)2 2hc2
∞̂
0
ν3
ehνkT − 1
dν
xdef= hνkT
dx = hkT
dν
→ = (2πR)2 2hc2(kT
h
)4 ∞̂0
x3
ex − 1 dx
∞̂
0
x3
ex − 1 dx =π4
15 → = 4πR2 2π5k4
15h3c2T4
= 4πR2σStephan-BoltzmannT 4
Guía 4, ejercicio 4Dada una magnitud patrón m0 (estrella Vega) entonces la magnitud de otra estrella se calculaba usando
m = m0 − log2,5(q
q0
)→ Definición antigua
Esto viene de una definición que hizo un tal Hiparco en la antigua Grecia. Sin embargo es un bajón trabajar con un logaritmoen base 2,5. En consecuencia se redefinió usando que
(100)1/5 = 2,512 . . .
con lo cual ahora se definió
m = m0 − log(100)1/5(q
q0
)
= m−log(qq0
)log(
(100)1/5)
y se termina obteniendo la definición que usamos hoy en día
Magnitud aparente→m = m0 − 2,5 log(q
q0
)→ Definición moderna
Todo esto lo podemos hacer en función de ν, en cuyo caso obtendríamos
mν = mν0 − 2,5 log(qνqν0
)Para pasar de longitud de frecuencia a longitud de onda usamos
qλ | dλ | = qν | dν | ⇒ qν = qλ∣∣∣∣ dλdν
∣∣∣∣(las barras de módulo son para evitar quilombos con los signos). Usando ahora λν = c encontramos que
qν =λ2
cqλ
Ahora vamos a trabajar en la banda azul B. Usando el dato de que
mν,Vega ≡ 0 ∀ν→ Por consigna
tenemos que
mB,? = −2,5 log(
qν,?qν,Vega
)Los resueltos de
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de donde podemos despejar
qν,? = qν,Vega10−mB,?
2,5
qν =λ2
cqλ → =
λ2
cqλ,Vega10−
mB,?2,5
Poniendo todos los datos que figuran en la tablita de la consigna termina quedando que
qB,? = . . .
Ahora sólo habría que repetir este proceso para cada punto de la tablita y hacer el grafiquito.
Ítem b La magnitud absoluta es la magnitud con la que mediría a una estrella si ésta se encontrare a una distancia de 10 pc.Para encontrar cómo se relaciona la magnitud absoluta M con la magnitud aparente m recordemos en primer lugar que elflujo medido a distintas distancias se relaciona según
q (r) = q (R)(R
r
)2Entonces la relación que hay entre las magnitudes es
M = m− 2,5 log(q (10 pc)q (r)
)→ Magnitud absoluta
Despejando q(10 pc)q(r) =(
r10 pc
)2a partir de q (r) = q (R)
(Rr
)2 lo que encontramos es queM = m− 5 log
(r
10 pc
)→ Magnitud absoluta
De aquí podemos despejarr = 10 pc× 10
m−M5
Los valores de m los tenemos en la tablita de la consigna. Los valores de M los obtenemos usando los q del ítem previo enla fórmula M = m− 2,5 log
(q(10 pc)q(r)
).
Por otro lado sabemos que la luminosidad es
Lν = 4πr2qν→ Luminosidad
por lo tanto usando los qν del ítem previo y el r que recién calculamos, podemos encontrar la luminosidad.
Ítem c La luminosidad de Planck esLν = (2πR)2
2hc2
ν3
ehνkT − 1
→ Planck
Haciendo el ajuste de encuentra que {T ∼ 60 kKR ∼ 8× 108 m
Tenemos una estrella que tiene más o menos el tamaño del sol pero es mucho más caliente.
Ítem d En el ejercicio anterior, o en el anterior anterior, encontramos que para un objeto que sigue la ley de Planck valeque su luminosidad es
L = 4πR2σT 4
Teniendo R y T del ítem previo sólo hay que hacer la cuenta.En cuanto a la magnitud bolométrica usamos
MBolométrica = MBolométrica �︸ ︷︷ ︸Referencia
− 2,5 log(L
L�
)
Sólo hay que hacer la cuentita.
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Guía 4, ejercicio 6Ítem a Comencemos calculando la presión de radiación
pν =tr (pij)
3
pij =1c
ˆJνuiuj dΩ→ =
13c
ˆJνûiûj dΩ
= 4πJν3c
Jν = Iν por isotropía→ =4πIν3c
(recordemos que Jν = 14π´Iν dΩ = Iν cuando hay isotropía). Ahora recordemos que{
qν (R) = 4πIν → Flujo en la superficie de la estrellaLν = 4πR2qν (R) → Luminosidad
Usando esto podemos ver quepν =
Lν12cπR2
por lo tanto la presión de radiación es
p =∞̂
0
pν dν→ Presión de radiación
= L12πcR2
Ahora podemos calcular la fuerza de radiación como
Frad = σp→ Fuerza por unidad de volumen
con lo cualF rad =
Lσ
12πcR2 r̂
Si bien los fotones están haciendo un movimiento aleatorio en este gas, el gradiente radial de presiones termina generandoesta fuerza.
Ítem b Queremos ver quién gana, si la gravedad o la presión electromagnética. Esto es
Fradg
=Lσ
12πc��R2GM
��R2
= Lσ12πcGM
∝ LM
Aquí lo que vemos es que dependiendo de la relación entre L y M vamos a tener la estabilidad de la estrella:
Si Fradg > 0 entonces la estrella expulsa material.
Si Fradg < 0 la estrella colapsa sobre si misma.
Ítem c Vamos a considerar el scattering de Thomson que es el límite de baja energía del scattering de Compton. Lacaracterística de este scattering es que es elástico y se conserva la energía de cada uno de los elementos por separado.
Si la sección eficaz por cada electrón es σT (según consigna) lo que tenemos que hacer es encontrar la sección eficaz porunidad de volumen. Esto es simplemente multiplicarla por la densidad numérica de electrones, es decir
σ = neσT → Sección eficaz por unidad de volumen
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
EntoncesFradg
= Lσ12πcGM ← Del ítem previo
= LneσT12πcGMAhora consideramos la condición de cuasi neutralidad que implica que
ne ≈ np→ Cuasi neutralidad
Por último simplemente consideramos la densidad de masa:
np =ρpmp
Reemplazando obtenemosg
Frad= 12πGMmpc
σTLρp
Ítem d El límite de Eddington relaciona la máxima luminosidad de una estrella en función de la masa. Para encontrarlovamos a considerar lo siguiente
La estrella no colapsa ⇐⇒ FgravedadFradiación
< 1
por lo tanto ⌈gmpFrad
⌋Límite de Eddington
= 1
de donde podemos despejarL <
12πcGMmpσT
→ Límite de Eddington
Finalmente consideramosL
L�=(M
M�
)3,5⇒ L = L�
(M
M�
)3,5por lo tanto
M < despejar de lo de antes
Guía 4, ejercicio 8Ítem a y b (?) La ecuación de transferencia radiativa es
1c
[∂Iν∂t
+ (u ·∇) Iν]
= ρ [eν + σνJν − kνIν − σνIν ]
donde eν es la emisividad, σν es el coeficiente de scattering, kν es la absorción. Como estamos en el caso estacionario entonces∂Iν∂t ≡ 0.
Theta
En este caso el observador está en
Observador→{z =∞τν = 0
ydτν = −κνρ dz
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4 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Además se define (igual que en la teórica)µ
def= cos θ
y la función fuenteSν =
eν + σνJνkν + σν
→ Función fuente
Entoncese−
τνµ µ
dIνdτν
= (Iν − Sν) e−τνµ
µd
dτν
(Iνe− τνµ
)= −Sνe−
τνµ
Iν (z =∞) = Iν (τν = 0)
= 1µ
∞̂
0
Sνe−t/µ dt
Ítem c Asumiendo queSν ≈ aτν + b→ Eddington-Barbier
podemos hacer
Iν (z =∞) = Iν (τν = 0)
= 1µ
∞̂
0
Sνe−t/µ dt
= 1µ2[bµ+ aµ2
]= aµ+ b = Sν (τν = 1)
Entonces en definitiva lo que tenemos es que
Iν = aµ+ b→ En el observador
Ahora vamos a usar esto para explicar el oscurecimiento del limbo oscurecimiento del limbo
Guía 4, ejercicio 9En este problema tenemos lo mismo de siempre pero al revés:
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5 GUÍA 5 - MEDIOS INTERESTELARES
Theta
Tierra
m_{\nu,0}
Estamos interesados en conocer cómo afecta la atmósfera así después podemos eliminar su influencia en la observación.Entonces si mν es la magnitud de la estrella “si la atmósfera no estuviera”, o sea la posta, vamos a tener que
mν,suelo = mν,0 + κν cos θ→ Consigna
siendo κν la opacidad de la atmósfera terrestre.Haciendo lo mismo que en el problema de hace un rato llegamos a
Iν,suelo = Iν,0e−τν sec θ
donde τν es la profundidad óptica cenital. Además el flujo es
qν,suelo = qν,0e−τν sec θ
mν,0 = mν,ref − 2,5 log(qν,0qν,ref
)mν,suelo = mν,ref − 2,5 log
(qν,sueloqν,ref
)Entonces
mν,suelo −mν,0 = −2,5 log(qν,sueloqν,0
)= −2,5 log
(e−τν sec θ
)= 2,5τν log10 (e) sec θ→ Es lo que pedía el problema!
Para medir mν,0 desde la superficie de la tierra (o sea, midiendo mν,suelo) se toman muchas mediciones para distintos valoresde θ y luego se ajusta la función
mν,suelo = mν,0 + κν sec θ
a los datos medidos. La ordenada al origen es el parámetro de interés.
5. Guía 5 - Medios interestelaresEsta es una guía re tranqui, como para tener idea de órdenes de magnitud y nada más.
Guía 5, ejercicio 1Salen todos con la siguiente formulita:
〈v〉 =√
8kTπm
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5 GUÍA 5 - MEDIOS INTERESTELARES
Guía 5, ejercicio 2Del problema anterior tomamos que la temperatura de las regiones H I es de TH I ∼ 100 K. Por equipartición de energía
tenemos quem
2〈v2〉
= 32kT
Para la velocidad de rotación es similarI
2〈ω2〉
= 32kT
siendo I el momento de inercia.Para calcular el momento de inercia I y la masa m de las partículas asumimos que éstas son esferas con las características
que nos da la consigna.
Guía 5, ejercicio 3Ítem a Una forma de hacerlo es al estilo de Física 3: tomar un elemento de volumen de la esfera de gas y estudiar cómointeractúa. Tipo ley de Gauss. Consideremos el siguiente dibujito
R
rδm Nube de gas de radio R
Elemento de masa
El delta de energía que aporta este delta de masa es
δE = −Gm (r) δmr
= −Gm (r) ρ (r) δvr
siendo m (r) la masa encerrada en la esfera de radio r y δv el diferencial de volumen. Integrando lo anterior sobre todo elvolumen de la esfera obtenemos
E =ˆδE
= −ˆGm (r) ρ (r)
rd3r
Θ def= RM2
ˆm (r) ρ (r)
rd3r → = −ΘGM
2
R
Si ahora asumimos que la densidad ρ (r) es uniforme ρ0 entonces
Θ = RM2
ρ20
R̂
0
4π 43πr4 dr
M = 43πR3ρ0 → =
35
con lo cualE = −3GM
2
5R → Para esfera uniformeLos resueltos de
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5 GUÍA 5 - MEDIOS INTERESTELARES
Ítem b Tenemos que usar la ecuación de un fluido ideal
∇p+ ρ∇φ = 0→ Balance hidrostático
Para encontrar la presión hacemos el siguiente truco: primero multiplicamos escalarmente por r de modo tal que nos quedeuna ecuación escalar, y además integramos en todo el volumen así podemos transformar las integrales de volumen en integralesde superficie donde nos quede la presión sobre la superficie que es lo que buscamos. Esto es
ˆ(∇p+ ρ∇φ) · r d3r = 0
ˆ(∇p · r + ρ∇φ · r) d3r =
Ahora consideramos
ˆ∇p · r d3r =
ˆ
V
∇ · (pr) d3r −ˆ
V
p
∇·r≡3︷ ︸︸ ︷∇ · r d3r
Teorema de la divergenciapV = nkT
}→ =
‹
∂V
pr · r̂R2 dΩ− 3kTˆ
V
nd3r
︸ ︷︷ ︸N
dpc∂V ≡ p0 → = p04πR3 − 3kTN
= p04πR3 − 2cV TM
Por otro lado la integral con φ esˆρ∇φ · r d3r =
ˆρGm (r)
rr̂ · r d3r
Θ = · · · → = ΘM2G
R
Reemplazando estas dos expresiones finalmente podemos despejar
p0 =cVMT
2πR3 −ΘGM2
4πR4
Ítem c La forma funcional es algo así
RJPara encontrar el máximo simplemente derivamos:
∂p0∂R
= −3cVMT2πR4 −4ΘGM2
3πR5 = 0
De aquí se despeja el radio de Jeans que es
RJ = −2ΘGM3cV T
= −4ΘGMρkT
El valor de presión máxima es
PM0 =37
210Θ3M2G3
(kT
m
)→ No se llega a ver bien, quizá está mal copiada
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5.1 Rankine-Hugoniot 5 GUÍA 5 - MEDIOS INTERESTELARES
y de aquí se puede despejar la masa de Jeans que es
M2J =10125π1024
(kT
mG
)3 1ρ
Podemos analizar el equilibrio y vamos a encontrar que
RJ
Colapsogravitatorio
Acá esestable
Radio de la nube
Pres
ión
Todo esto parece que está en el Battaner.
5.1. Rankine-HugoniotLas relaciones de Rankine-Hugoniot son
Rankine-Hugoniot→
ρ1u1 = ρ2u2p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u22u212 +
52p1ρ1
= u22
2 +52p2ρ2
donde el 52 =γγ−1 con γ = 1+
2n siendo n el número de grados de libertad de la molécula. Las relaciones de Rankine-Hugoniot
sólo son válidas en el referencial de la onda de choque!
Guía 5, ejercicio 4Tenemos
p2,rho2,T2 p1,rho1,T1
onda de choque
En el referencial del fluido no chocado
Si nos pasamos al referencial de la onda de choque vamos a tener que el fluido es el que se está moviendo, y es en estereferencial en el cual valen las relaciones de Rankine-Hugoniot.
Vamos a definir, igual que en la teórica, sψ = ρ2
ρ1
M = uc→ Número de mach
c2 = γpρ
→ Velocidad del sonido
Vamos a expresar todo en términos del número de mach del lado no chocado, es decirp2 = p2 (M1)T2 = T2 (M1)ρ2 = ρ2 (M1)M2 =M2 (M1)
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5.1 Rankine-Hugoniot 5 GUÍA 5 - MEDIOS INTERESTELARES
Vamos a considerar la ecuación de estado de un gas ideal
p = nkT → Gas ideal= ρ
mkT
Combinando esta ecuación de estado con la ecuación de la velocidad del sonido podemos obtener
c2 = γ kmT
Ahora de la primera ecuación de Rankine-Hugoniot metiendo la ecuación de estado obtenemosp2m
kT2u2 =
p1m
kT1u1
Combinándola con no sé qué obtenemos (p2u2c2
)2 1T2
=(p1u1c1
)2 1T1
y entonces tenemos queT2T1
=(p2M2p1M1
)2Por otro lado, de la tercera relación de Rankine-Hugoniot junto con la ecuación de estado y la de la velocidad del sonido
tenemos que52T1k
m
(1 + u
21
5T1 km
)= 52
T2k
m
(1 + u
22
5T2 km
)
Usando ahora que γ = 53 (pues tenemos gas monoatómico o algo de eso) y que
3c22 = 5T2
k
m
3c21 = 5T1k
m
vamos a llegar a
T1
(1 + M
21
3
)= T2
(1 + M
22
3
)Por último consideremos la ecuación segunda de Rankine-Hugoniot. Combinándola con la ecuación de estado y la de la
velocidad del sonido vamos a encontrar quep2p1
=1 + 53M
21
1 + 53M22
Juntando esto con T2T1 =(p2M2p1M1
)2encontramos (
p2M2p1M1
)2=
1 + 13M22
1 + 13M21
Si ahora usamos T1(
1 + M21
3
)= T2
(1 + M
22
3
)finalmente llegamos a(1 + 53M21
1 + 53M22
)2=(M1M2
)2 1 + 13M221 + 13M
21
Como se puede ver esto es simétrico en M21 y M22. Esto implica que M1 = ±M2 son soluciones. Si despejamos acáencontramos (
M21 −M22)(
1 + 13(M21 +M22
)− 53M
21M22
)= 0
Las solucionesM1 = ±M2 no nos interesan ya que son triviales. Las soluciones interesantes salen de 1 + 13(M21 +M22
)−
53M
21M22 = 0. De aquí sacamos
M2 =M21 + 35M21 − 1
→ Solución
Sabiendo el valor deM2 ahora podemos calcular todo lo demás
p2 = p1(
54M
21 −
14
)ρ2 = ρ1
4M21M21 + 3
T2 = T1(3 +M21
) (5M21 − 1
)16M21
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6 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
6. Guía 6 - Estructura y evolución estelarBibliografía:
Carol capítulo 11 (el mejor)
Long gate high eergy astro phisicc 2
Bataner cap 5
Guía 6, ejercicio 1
τKH =GM2
RL= Energía gravitatoriaLuminosidad ∼ 10
7 años
τH =√
R3
GM∼ 1600 s
τm =QMc2
L∼ 1011 años
Guía 6, ejercicio 2El gráfico lo podemos encontrar en el capítulo 4 del Choduli o en el 18 del Kipenjam. Es algo así
El motivo por el cual las reacciones se cortan en 56Fe es que necesitamos que el resultado tenga menor energía que elestado inicial Entonces sólo podemos proceder así:
Sube la energía de ligadurapor lo tanto habremos liberado
energía
La fusiónlibera energía
La fisión liberaenergía1
Debido a que a la izquierda del Fe los átomos tienen cada vez más energía de ligadura entonces cuando se fusionan dosátomos el resultado será un átomo más estable que los originales. En cambio del lado derecho del Fe lo que pasa es que sihacemos una fusión vamos a obtener un producto que es más inestable que los originales, entonces se va a fisionar.
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6.1 Resumen 6 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
6.1. ResumenEl siguiente resumen se puede encontrar en la bibliografía [Carroll and Ostlie, 2017, p. 420].
Ec. estructura
• Equilibrio hidrostático relaciona p con r [Carroll and Ostlie, 2017, p. 377]
dp
dr= −GMrρ
r2
• Conservación de masa relaciona M con r [Carroll and Ostlie, 2017, p. 378]
dMrdr
= 4πr2ρ
• Generación de energía relaciona L con r [Carroll and Ostlie, 2017, p. 398]
dL
dr= 4πr2ρε
donde ε→{gravitatorianuclear
.
• Transporte de energía relaciona T con r [Carroll and Ostlie, 2017, p. 406]
dT
dr= − 34ac
κRρ
T 3Lr
4πr2
donde κR es la opacidad de un señor que se pronuncia “rosland”. WARNING: los símbolos pueden estar malcopiados ya que no se entienden bien del pizarrón.
Relaciones constitutivas P (ρ, T,Xi)ε (ρ, T,Xi)κR (ρ, T,Xi)
En general se considera un gas ideal con lo cual la relación constitutiva para la presión es
P = ρkTµmH
+ 13aT4→ Gas ideal (?)
Para ε se suele considerar la reacción protón protón, CN0 (o CNO, no sé). Para κR no vamos a considerar nada realista.
Condiciones de contorno
• Para r → 0 tenemos que ME BORRÓ TODO EL PIZARRÓN.
Guía 6, ejercicio 6Tenemos
→ Consigna
p = kργ
1x2
d
dx
(x2dψ
dx
)+ ψn = 0
donde r = αx, ρ = ρ0ψn y γ = 1 + 1n .
Ítem a La solución es del tipo críptica en el sentido de que es una sarta de cuentas a interpretar por el alumno. La solucióndel ítem (a) es la siguiente:
1ρ
dp
dr+ Gm (r)
r2= 0
m (r) =rˆ
0
4πr′3ρ(r′)dr′
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6.1 Resumen 6 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
⇒ 1ρ
dp
dr+ Gr2
rˆ
0
4πr′2ρ(r′)dr′ = 0
p = kργ
ρ = ρ0ψn → = kργ0ψnγ
= kργ0ψn+1
dp
dr= kργ0 (n+ 1)ψn
dψ
dr
r2
ρ0ψnkργ0 (n+ 1)ψn
dψ
dr+ 4πG
rˆ
0
r′2ρ(r′)dr′ = 0
kργ−20 (n+ 1)4πGr2
d
dr
(r2dψ
dr
)+ ψn = 0
ρ (r = 0) = ρ0 ⇒ ψ (x = 0) = 1
d2ψ
dx2+ 2x
dψ
dx+ ψn = 0
⌈dψ
dx
⌋x=0
= 0
Ítem bα2 = kρ
γ−20 (n+ 1)
4πG
4πGα2 = kργ−20 (n+ 1)
γ = 1 + 1n→ γ − 2 = −1 + 1
n
4πGα2 = kρ−1+1n
0 (n+ 1)
Ítem cψ (x) = 1 + b2x2 + b4x4 + b6x6
Ahora simplemente metemos esta solución en la ecuación de Lane-Emden [Carroll and Ostlie, 2017, p. 426] y ver cuántovalen las bi. Parece que queda que
b2 = −16
b4 =n
120
b6 =n
3024 −n2
1890
(a) p = ρkTm → T =mpρk =
mkρ1/m0k ψ
q = −16σT3
3ρcκRdT
drr̂
ε (r) = 1ρ
∇ · q
= 1ρ
1r2
d
dr
(r2q)
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6.1 Resumen 6 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
ε (x) = − 2qcαρ0
(A+B + C4
)ψ3−2m
dondeqc = −
16σ3cκR
ρ4−nn
0
(nK
k
)y A, B y C son otras cosas así de feas que no tiene sentido copiar...
MNM?
,RNR?
M? =x1ˆ
0
ρ (x) dx con x1α = R?
I (x1) =x1ˆ
0
ε (x) dx
x2 tal quex2ˆ
0
ε (x) dx = 0,9I (x1)
x2α = RN
MN =x2ˆ
0
ρ (x) dx
Ítem e Masa de un politropa.
M =R?ˆ
0
4πρ (r) r2 dr
r = αx→ = 4πα3x1ˆ
0
ρ (x)x2 dx
= 4πα3x1ˆ
0
ρ0ψnx2 dx
ψnx2 = − ddx
(x2dψ
dx
)
M = −4πα3ρ0⌈x2dψ
dx
⌋x1
= −4πρ0
[kργ−20 (n+ 1)
4πG
]3/2 ⌈x2dψ
dx
⌋x1
Estrellas adiabáticas tenemos gas monoatómico γ = cpcV =53 y entonces n = 1,5.
Estrellas con presión de radiación.
ρ
mkT = βp
aT 4
3 = (1− β) p
0 < β < 1
→ p =(
3k4am4
1−ββ4
)1/3ρ4/3 → n = 3 .
Gas de Fermi no relativista p = h2
5me
( 38π)2/3 ?
n5/3e → n = 1,5
Gas de Fermi relativista p = 18( 3π
)1/3chn
4/3e → n = 3.
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7 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
7. Guía 7 - Campos magnéticosHasta ahora hemos ignorado completamente los efectos de los campos magnéticos. Pero son importantes.
Actividad solar o magnética Podemos distinguir fenómenos transitorios o periódicos
Transitorios. Tienen que ver con la reconexión magnética de Sweet-Parker.
• Fulguraciones. Son liberaciones súbitas de energía, del orden de 1032 erg en 100 s.• Eyecciones coronales de masa. Se emiten del orden de 1012 kg en un tiempo de 10 minutos.
Periódicos.
• Ciclo de manchas solares.
Todos estos fenómenos se conocen en detalle para el sol, y se presume que ocurren en todas las estrellas de similarescaracterísticas.
Guía 7, ejercicio 1Un pulsar es una estrella de neutrones que tiene un período de rotación muy corto, típicamente del orden del segundo. El
motivo por el cual rotan tan rápidamente es que tienen un radio muy pequeño, entonces la conservación del impulso angularimpone que su velocidad angular debe ser muy elevada.
Ítem a La energía de rotación de una esfera es
E = I2ω2
I = 25MR2 para esfera→ = MR
2
5 ω2
Entonces
dE
dt= MR
2
5 2ωdω
dt
ω = 2πP→ = 2MR
2
52πP
2πP 2
(estamos poniendo sólo los módulos, no ponemos los signos menos). Usando el dato de la consigna sobre la pérdida de energíafinalmente encontramos que √
6MR25π
ṖPc3
µ0= |m |
Ahora consideramos que el dipolo está alineado con el eje z con lo cual su campo magnético será
B (r, θ) = µ04π
[−mẑr3
+ 3m cos θr3
r̂
]
Ítem b Reemplazando se obtiene B (R, 0) ≈ 9,68× 108 T. Comparando este número con el valor en la superficie de la tierraB (superficie tierra) ≈ 40 µT vemos que es bastante importante.
Ítem c La fuerza de Lorentz es F L = qv ×B ∼ 10−4 N mientras que la gravitatoria es FG = mpMGR2 ∼ 10−15 N. Como se
puede ver el movimiento estará gobernado por la fuerza de Lorentz.
Guía 7, ejercicio 2La consigna está mal, debería decir “ejercicio 3 de la práctica 5”. Ahora la ecuación de equilibrio hidrostático será
0 = −∇p− ρ∇φ+ 1cJ ×B.
Por Maxwell sabemos que∇×B = 4π
cJ + 1
c
∂E
∂t.
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7 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
En los casos de interés en astrofísica siempre ocurre que
∂E
∂t≈ 0→ En astro
por lo tanto lo que nos queda es0 = −∇p− ρ∇φ+ 14π (∇×B)×B.
El último término es
((∇×B)×B)i = εijk (∇×B)j Bk= εikjεj`m∂`BmBk
εijkεj`m = δk`δim − δkmδi` → = Bk∂kBi −Bk∂iBk
= (B ·∇)B −∇B2
2 = (∇×B)×B.
Volviendo a la ecuación del fluido nos queda
0 = −∇p− ρ∇φ−∇(B2
8π
)︸ ︷︷ ︸pmagnética
+ 14π (B ·∇)B︸ ︷︷ ︸Tensión magnética
donde reconocemos a la presión magnética ya que entra en la ecuación de la misma forma que la presión. En cuanto a latensión magnética, el último término, su interpretación no es tan simple.
Ahora integramos esto en el volumen de la nube y lo que habíamos encontrado en el problema 3 de la práctica 5 era
Problema 3, práctica 5→
ˆ
∇p · r d3r = 4πR3p0 − 2McV Tˆρ∇φ · r d3r = −M
2ΘGR
donde Θ = − 4πR2
M2
´m (r) ρ dr. Ahora lo que habría que calcular son los términos restantes que incluyen al campo magnético.
El primer término con campo magnético es
ˆ∇(B2
8π
)· r d3r =
ˆ ∇ · (B28π r)− B
2
8π ∇ · r︸ ︷︷ ︸=3
d3rTeorema de Gauss→ =
‹B2
8π r · ds− 3ˆB2
8π d3r.︸ ︷︷ ︸
Energía magnética
En cuanto al otro término éste es
14π
ˆ(B ·∇)B · r d3r = . . .
...
= 14π
ˆ∇ ·
BiBjrj︷ ︸︸ ︷(BB · r) d3r︸ ︷︷ ︸ −
ˆB2
4π d3r︸ ︷︷ ︸
2EB
= 14π
‹BB · r · ds− 2EB .
Juntando todos los términos obtenemos
4πR3 = 2McV T +M2ΘGR
+ EB +‹
BB − B2
24π · r · ds
y a veces se suele definir el tensor de Maxwell como
M def=BB − B
2
24π → Tensor de Maxwell
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7 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
Ahora hacemos la suposición de congelamiento magnético. Esto consiste en asumir que el plasma y las líneas de campomagnético se mueven juntos. Bajo esta hipótesis se puede mostrar que se conserva el flujo magnético
‚B · ds. No lo pude
seguir mucho pero esto implica que BR2 se conserva. Creo que integró el flujo en el borde de la nube.Acá me distraje, mala mía, y me perdí varias cosas. Lo que termina quedando es que la masa de Jeans es
MBJ = MJ(
1 + vAc2s
)3/2donde
v2A =B2
4πρ→ Velocidad de Alfvén
que es una velocidad característica de no sé qué, velocidad de Alfvén, que vamos a ver en la teórica. La conclusión es que sihay un campo magnético vamos a precisar una masa mayor para producir el colapso gravitatorio.
Guía 7, ejercicio 3Este problema es prácticamente igual a lo que hicimos hoy en la teórica. Tenemos que linealizar las ecuaciones MHD bajo
algunas hipótesis. Por un lado tenemos que es incompresible por lo tanto
ρ = ρ0 = constante. → Incompresible
Por otro lado tenemos no sé qué ideales que implica que
p
ργ= p0ργ0
.→ Algo que es ideal
Asumimos equilibrio estáticou0 = 0→ equilibrio estático
y además un campo magnético que esB = B0ẑ
con B0 constante. Las perturbaciones son
Perturbaciones→{u = u0 + u1B = B0 +B1
.
Proponemos una solución de la forma
u1,B1 ∼ exp (i [k · r − ωt]) → Proponemos
y entonces las ecuaciones son
∂tρ+ ∇ · (ρu) = 0 → Continuidad
E + 1cu×B = ηJ → Ohm
∇×B = 4πcJ +���1
c
∂E
∂t∂B
∂t= ∇× (u×B) +����η0∇2B
ρ [∂tu+�����(u ·∇)u] = −��∇p+
1cJ ×B +���ρ0E → Navier-Stokes
donde hemos cancelado la ∂E∂t pues ∣∣ ∂E∂t
∣∣|J |
∼(uc
)2� 1
y además vamos a asumir Rm � 1 que implica que
Rm =|∇× (u×B) || η0∇2B |
� 1.
Los términos que cancelamos en la ecuación de Navier-Stokes no sé por qué es. El primero (u ·∇)u me parece que es porquequeda cuadrático en las perturbaciones. El ∇p y el último ni idea.
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7 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
Haciendo no sé qué nos quedaρ∂tu =
1cJ ×B = 14π (∇×B1)×B0.
Me resulta imposible seguir las clases de esta profesora. Llega un momento que me pierdo. Anotó lo siguiente
∂tu1 = iωu1∇×B1 = ik ×B1
}⇒ −iωρu1 =
14π (k ×B1)×B0
(k ×B1)×B0 = −B0 × (k ×B1)Vaca meos caballo→ = − [k (B0 ·B1)−B1 (B0 ·B)]
Ya está, es imposible entender lo que está haciendo. Pegó volantazo y se fue al otro lado del pizarrón. Ni idea.
ρωu1 =1
4π [k (B0 ·B1)−B1 (B0 · k)]→ Ecuación (3)
Esto viene de no sé dónde→
∇×B = −4π
cJ → Ecuación (1)
∂B
∂t= ∇× (u×B) → Ecuación (2)
Ahora hacemos (2)+perturbación−iωB1 = ∇× (u1 ×B0)
= (B0 ·∇)u1 −B0 (∇ · u1)Eq. continuidad
∂ρ
∂t+ ∇ · (ρu) = 0
∂ρ
∂t+ (u ·∇) ρ︸ ︷︷ ︸
=0 por incompresibilidad
+ ρ∇ · u = 0
∇ · u = 0Me quedé sin batería /.
Guía 7, ejercicio 5Ítem a La energía magnética es
EM =ˆB2
8π dV
= 2B20
8π πR2L
= B20R
2L
4 .
Ítem b Hay que usar el modelo de Sweet-Parker de reconexión magnética que vimos en la teórica. Hay que estimar lapotencia
〈P 〉 = EMτ
.
Tenemos que estimar τ . Para ello procedemos de la forma más cabeza: geometría de dos cilindros que se superponen. Tenemosque
τ ∼ 2RUin
.
Entonces〈P 〉 ∼ B
20RLUin
8 .
Lo del número de Lundquist está relacionado con la velocidad de Alfvén
S−1/2 = Uin
vA
con vA = B0√4πρ . Finalmente nos queda
〈P 〉SP ∼B30RL
8√
4πρS1/2.
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8 GUÍA 8 - GALAXIAS
Ítem c Usando los números de la consigna se obtiene
〈P 〉SP ∼ 1027 erg s−1
mientras que la potencia observada, según consigna, es
〈P 〉observada ∼ 1028 erg s−1.
En consecuencia el modelo de Sweet-Parker no puede explicar esto. Existen modelos más complejos que dan mejor, modelostridimensionales (a diferencia del modelo de Sweet-Parker que es bidimensional).
8. Guía 8 - GalaxiasGuía 8, ejercicio 1
Esto es lo que hicimos hace un rato en la teórica. Recordemos cómo se define el LSR (local standard of rest, estándarlocal de reposo). El LSR se define según la siguiente imagen
Las velocidades en el LSR se definen de modo tal que
En el LSR→
Π = 0Z = 0Θ = Θ0
.
Vamos a asumir que el movimiento del sol alrededor del centro galáctico es circular. Consideremos además las cantidades
Esto es lo que medimos→
〈Π−Π�〉 =
1N
N∑i=1
Πi
〈Π−Π�〉 =1N
N∑i=1
Zi
donde i es una suma sobre las “estrellas cercanas” al sol. Por otro lado tenemos lo siguiente{〈Π−Π�〉 = 〈Π〉 −Π�〈Z − Z�〉 = 〈Z〉 − Z�
Vamos a asumir como hipótesis que estas cantidades dan cero cuando se hace el promedio en una cantidad representativa,por una cuestión de simetría/isotropía. Es decir
Cuando medimos muchas estrellas→{〈Π〉 = 0〈Z〉 = 0
.
Entonces el promedio de las mediciones nos termina dando Π� y Z�. Me voy a cursar E3.
Guía 8, ejercicio 2Gráficamente tenemos lo siguiente
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8 GUÍA 8 - GALAXIAS
R0 R
Theta_0
Dirección rCentrogaláctico
Theta
r
Haciendo un poco de geometría tenemos queR
sin ` =R0
sin β =R0
cosα Eq. (I)
R0 cos ` = r +R cos (π/2− α)= r +R sinα Eq. (II)
Ahora podemos proyectar la velocidad de la estrella en las componentes de la visual y su perpendicular. Es decir
vradial = Θ cosα−Θ0 cos (π/2− `)= Θ cosα−Θ0 sin `.
Ahora podemos usar la Eq. (I) podemos reemplazar cosα = R0/R sin ` por lo tanto
vradial =(
ΘR0R−Θ0
)sin `
Ω es velocidad angular→ = R0 (Ω− Ω0) sin `.
En cuanto a la velocidad tangencial tenemos
vtangencial = Θ sinα−Θ0 sin (π/2− `)= Θ sinα−Θ0 cos `
Usamos eq. (II)⇒ sinα = R0 cos `− rR
→ =(R0R
Θ−Θ0)
cos `−Θ rR
= R0 (Ω− Ω0) cos `− Ωr.
Hasta aquí no hemos hecho ninguna aproximación, esto es completamente general. Ahora vamos a asumir que estamosmirando una estrella que está cerca del sol, es decir
R0, R� r.→ Asumimos esto
Vamos ahora a aproximar la diferencia de velocidades angulares
Ω− Ω0 ≈⌈dΩdR
⌋R0
(R−R0) + . . .
Ω = ΘR→ =
(⌈1R
dΘdR
⌋R=R0
−⌈
ΘR2
⌋R=R0
)(R−R0)
=(
1R0
⌈dΘdR
⌋R0
− Θ0R20
)(R−R0)
= −(
1R
⌈dΘdR
⌋R0
− Θ0R20
)r cos `.
Reemplazando esto en la vradial obtenemos
vradial = −[⌈dΘdR
⌋R0
− Θ0R0
]r cos ` sin `︸ ︷︷ ︸
12 sin(2`)
= 12
(Ω0 −
⌈d (ΩR)dR
⌋Ω0
)︸ ︷︷ ︸
Constante A de Oort
r sin (2`) .
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8 GUÍA 8 - GALAXIAS
Listo. Para la velocidad tangencial, haciendo algo similar, obtenemos
vtangencial =12
[Ω0 −
⌈d (ΩR)dR
⌋R0
]︸ ︷︷ ︸
Constante A de Oort
r cos (2`)− 12
[Ω0 +
⌈d (ΩR)dR
⌋R0
]︸ ︷︷ ︸
Constante B de Oort
r.
¿Para qué sirve todo esto? Tenemos un sistemavradialr
= A sin (2`)vtangencial
r= A cos (2`)−B
por lo tanto midiendo las velocidades de muchas estrellas cercanas al sol podemos ajustar estas funciones para estimar A yB, y una vez que conocemos A y B las usamos para conocer la velocidad angular del sol alrededor del centro de la galaxia,Ω0, y el rate con el que cambia Ω con el radio,
⌈dΩdR
⌋R0
. Parece que recientemente se han medido estas cantidades y se obtuvo
Mediciones→{A = 14,8 km s−1 kpc−1
B = −12,4 km s−1 kpc−1.
Todo esto parece que está disponible en [Carroll and Ostlie, 2017, capítulo 12].
Guía 8, ejercicio 3Ítem a Consideramos masa unitaria (m = 1). Para un potencial central sabemos que se conserva el momento angular L.Además (o en consecuencia) el movimiento está contenido en el plano perpendicular a L. Sabiendo esto, podemos utilizarcoordenadas polares para describir el movimiento. Entonces
r = rr̂ṙ = ṙr̂ + rθ̇θ̂r̈ =
(r̈ − rθ̇2
)r̂ +
(2ṙθ̇ + rθ̈
)θ̂
.
Las ecuaciones de Newton son, entonces, r̂) r̈ − rθ̇2 = −dφ
dr= −∇φ
θ̂) 2ṙθ̇ + rθ̈ = 0.
De la segunda ecuación sacamos
d
dt
(r2θ̇)
= 0 ⇒ r2θ̇ = L.→ Se conserva!
De aquí sacamos que θ̇ = Lr2 , cantidad que podemos despejar en la ecuación para r̂. Obtenemos
d2r
dt2− rL
2
r4= −dφ
dr⇒ d
2r
dt2+ ddr
(φ+ L
2
2r2
)︸ ︷︷ ︸
φefectivo
= 0
y entoncesd2r
dt2+ dφefectivo
dr= 0.
Ítem b Ahora vamos a hacer pequeñas perturbaciones, para lo cual proponemos que
r = r0 + x (t)
con x (t)� r0, es decir que tenemos una órbita circular de radio r0 con una perturbación x (t). Lo que queremos encontrares que a primer orden vale que
d2x
dt2+ κ2x = 0.
Para ello vamos a hacer un Taylor de d2rdt2 +
dφefectivodr = 0 tal que
dφedr
=⌈dφedr
⌋r0
+⌈d2φedr2
⌋r0
(r − r0)︸ ︷︷ ︸x
+O(x2)
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8 GUÍA 8 - GALAXIAS
y usamos que⌈dφedr
⌋r0
= 0 pues se trata de un punto de equilibrio (con solución r0). Entonces tenemos que
d2x
dt2+⌈d2φedr2
⌋r0
x = 0
de donde obtenemosκ2 =
⌈d2φedr2
⌋r0
.
Para que hayan oscilaciones es necesario que κ2 > 0.
Ítem c Queremos encontrar que κ2 = 4Ω2 (r0)+r0⌈dΩ2dr
⌋r0
donde Ω es la frecuencia angular de rotación de la galaxia. Paraello simplemente reemplazamos en la expresión que encontramos antes
κ2 =⌈d2φedr2
⌋r0
← Encontramos antes
φe = φ+L2
2r2 → =⌈d2
dr2
(φ+ L
2
2r2
)⌋r0
=⌈d2φ
dr2
⌋r0
+ 3L2
r40.
Antes por otro lado habíamos encontrado que⌈dφedr
⌋r0
= 0→ Pues es un punto de equilibrio
lo cual implica que ⌈dφ
dr
⌋r0
= L2
r30= Ω
2 (r0) r40r30
= Ω2 (r0) r0.
Si ahora derivamos con respecto a r0 obtenemos⌈d2φ
dr2
⌋r0
= Ω (r0) +⌈d(Ω2)
dr
⌋r0
.
Ω2 (r0) + r0
⌈d(Ω2)
dr2
⌋r0
+ 3Ω2 (r0) →?
L2 = Ω2 (r0) r40
κ2 = Ω20 ⇒ elipse
Ítem dθ (t) = θ0 + Ω (r0) t−
2Ω (r0)r0κ
A sin (κt)
dθ
dt= Lr2
= L(r0 + x)2
≈ Lr20
(1− 2 x
r0
)θˆ
θ0
dθ′ =tˆ
0
L
r20
(1−
2x(t′)
r0
)dt′
θ − θ0 =L
r20t− 2L
r20r0κA sin (κt+ α)
Entonces tenemos que x (t) ∼ A cos (κt+ ϕ)
θ (t) ∼ −2Ω (r0)r0κ
A sin (κt+ α).
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8 GUÍA 8 - GALAXIAS
Guía 8, ejercicio 5Recordemos que la emisión de HI es la famosa línea de los veinti un centímetros. La órbita de los planetas alrededor del
sol está dada pormv2
r= GMm
r2⇒ v ∼ 1√
r
Lo anterior está asumiendo que toda la masa M está adentro de la órbita. En cambio, si pensamos que el planeta estáorbitando “adentro del sol” entonces
mv2
r= GM (r)m
r2⇒ v ∼ r
donde M (r) = 43πρr3 es la masa encerrada por la órbita. Entonces lo que esperamos es algo así:
Acá estamos"adentro del núcleo"
Acá estamos afueradel núcleo
Velo
cidad
de
rota
ción
Distancia del centro
Sin embargo se observa lo de siempre de la materia oscura
Curva de rotación teóricausando la masa visible
Curva de rotación observada
Distance from de center
De esta forma podemos estimar cuál es la distribución de materia que generaría dicha curva. Lo que se obtiene al plantearsimetría esférica es
dMrdr
= 4πr2ρ = V2
Gy se obtiene una densidad
ρ = V2
4πGr2 .
En 1996 un señor propuso queρNFW =
ρ0ra
(1 + ra
)2donde a es un parámetro de ajuste, y que es una forma funcional de densidad de materia (oscura más bariónica) que ajustamás o menos bien en todas las galaxias.
Lente gravitacional Estamos haciendo algo medio trucho, planteamos Newton para un fotón (de masa cero, ja). Pensemosen un objeto que pasa cerca de un objeto masivo de masa M a una distancia R:
ma = GMR2
m→ Newton
donde m es la masa del fotón (jaja). Cancelando tenemos que
a = GMR2
es la aceleración (perpendicular) que sufre el fotón. Entonces
∆v = a∆t
∆t = 2Rc
a = GMR2
→ = 2MGRc .Los resueltos de
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9 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Parece que si uno hace relatividad general esto es lo mismo sólo que en vez de un 2 aparece un 4:
∆v = 4MGRc2
.→ Si usáramos relatividad general
Candidatos a materia oscura
1. MOND. Se propone que la gravedad es distinta, es decir F = GMmr2 no es válida. Sin embargo tienen problemas a lahora de explicar las colisiones de galaxias (por ejemplo la bullet galaxy).
2. Los neutrinos y los neutralinos supersimétricos.
3. MACHOS.
4. WIMPs. En este link buscan WIMPs.
9. Guía 9 - CosmologíaGuía 9, ejercicio 1
Tenemos que n (r) es la densidad numérica de galaxias. φ (L) dL es la probabilidad de encontrar una galaxia con lumi-nosidad L. Entonces necesariamente
´∞0 φ (L) dL = 1.
Ítem a Podemos decir que φ (q) dq es el número de galaxias con flujo entre q y q+ dq por unidad de ángulo sólido. Entonces
φ (q) dq dΩ =
∞̂r=0
n (r)φ (L) r2 dr
dq dΩL = 4πr2q → =
ˆn (r)φ (L (q, r)) r2 dr︸ ︷︷ ︸
φ(q)
dq dΩ.
Acá hubo un leve debate de cosas mal hechas y cosas bien hechas. Ahora parece que vamos a hacer un cambio de variabler → L usando
r =
√L
4πq
por lo tanto dr = 12√L4πq
dL y entonces
φ (q) =∞̂
0
n
(√L
4πq
)φ (L) L4πq
12√L4πq
dL
= q−3/2
2 (4π)3/2
∞̂
0
n
(√L
4πq
)φ (L)L1/2 dL
Universo homogéneo⇒ n = n0 → =n0q−3/2
2 (4π)3/2
ˆ √Lφ (L) dL.
Listo, hemos demostrado que φ (q) ∝ q−3/2.
Ítem b La cuenta está hecha en el Bataner. El flujo total será
Q =∞̂
0
qφ (q) dq
φ ∼ q−3/2 → = d√qc∞0= ∞.
Guía 9, ejercicio 2Tenemos que desarrollar un modelo de cosmología newtoniano. Se basa en la ecuación de Euler para fluidos, que está
basada en las leyes de Newton. La consigna dice “obtenga la ley de Hubble”, pero entiendo que esto lo metemos de prepo enbase a las observaciones.
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9 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Ítem a El fluido debe satisfacer la ecuación de continuidad∂ρ
∂t+ ∇ · (ρv) = 0→ Continuidad
y si asumimos el principio cosmológico entonces
∇ρ = 0→ Principio cosmológico
y entonces∇ · v = −1
ρ
∂ρ
∂t.
Sabiendo que v = H (t) r entonces ∇ · v = 3H (t) por lo tanto
H (t) = − 13ρ∂ρ
∂t.
Ítem b Se define el factor de escala cosmológico R (t) según
H ≡ ṘR.
Sabiendo del ítem previo que H (t) = − 13ρ∂ρ∂t entonces vemos que
1ρ
∂ρ
∂t+ 3R
∂R
∂t= 0
de donde encontramos queρR3 = constante.
Aplicando condiciones iniciales tenemos que
ρ (R) = ρ0(R0R
)3.
Obsérvese que en ningún momento dijimos que R tenga algo que ver con el radio del universo, aunque sí se lo puede interpretarcomo tal.
Véase que
v ≈ cz= Hr
= 1R
dR
dtr
En relatividad general esto no es aproximado, es igual→ ≈ R0 −RtR
r
r = ct→ =(R0R− 1)c
y entoncesz = R0
R− 1→ Redshift
Ítem c Usamos la ecuación de Euler:∂v
∂t+ (v ·∇)v = −
���7
Universo homogéneo
∇pρ−∇φg
(Obsérvese que dijimos que ∇p = 0 porque el universo es homogéneo. En tal caso lo mismo debería ocurrir para ∇φg, sinembargo si no lo conservamos la cosmología newtoniana falla completamente. Parece que en el Battaner o en el Chodurry lodicen que esto es re trucho y que ∇φg debe conservarse “porque sí”.) y si ahora reemplazamos v = H (t) r encontramos que
rdH
dt+H2r = −∇φg.
Si ahora tomamos divergencia a esta ecuación obtenemos
∇ ·(rdH
dt+H2r
)= − ∇2φg︸ ︷︷ ︸
4πGρLos resueltos de
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9 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
y nos queda3dHdt
+ 3H2 + 4πGρ = 0.
A continuación reemplazamos H = ṘR y lo que nos queda es
3R
d2R
dR2+ 4πGρ = 0
o bienR̈+ 4π3
Gρ
R= 0.
Hace un rato vimos que ρ (R) = ρ0(R0R
)3 por lo tantoR̈ = −4π3
Gρ0R30
R2.
Ítem d Para integrar usamos el truquito de siempre:
R̈ = ddt
(dR
dt
)= d
dR
(dR
dt
)dR
dt
= ddR
(12
(dR
dt
)2).
Ahora usamos R̈ = − 4π3Gρ0R
30
R2 y entonces12 Ṙ
2 = 4πGρ0R30
3R − k′
o bienṘ2 = 8πGρ0R
30
3R − k
donde k′ y k son constantes de integración.Para entender por qué sólo nos interesa que k ∈ {−1, 0, 1} recordemos que R está definido a menos de una constante
multiplicativa a través de
H ≡ ṘR.→ Definición de R invariante ante R→ R′ = αR
Ítem e Véase que
Ṙ = ±√
8πGρ0R303R − k.
Acá no lo pude seguir... Pero hizo el típico grafiquito
k=1 (universo cerrado)
k=0 (universo plano)
k=-1 (universo abierto)
Tiempo
R(t)
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9 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Ítem f Se define el parámetro de densidad
Ω def= 8πGρ3H2 .→ Parámetro de densidad
Si usamos ρ = ρ0(R0R
)3 y H = ṘR , entoncesH2R2 = 8πGρ0R
30
3R − k
H2R2(
8πGρ3H2 − 1
)= k
H2R2 (Ω− 1) = k
y acá vemos que
Lo podemos medir→
Ω0 = 1 ⇒ k = 0Ω0 > 0 ⇒ k = 1Ω0 < 1 ⇒ k = −1
El valor de Ω0 se puede medir por lo tanto podemos saber si estamos en un universo abierto, plano o cerrado.No sé de dónde salió el ρcrítico que es
ρcrítico =3H208πG .
Ítem g Consideramos la ecuación de balance de calor y un gas monoatómico formado por hidrógeno
32ρ
mk
(∂T
∂t+ v ·∇T
)+ p∇ · v = 0.
Como el universo es homogéneo entonces∇T = 0.→ Es homogéneo
Si reemplazamos v = Hr y H = ṘR , y asumimos lo que dice la consigna llegamos a que{T ∼ R−2 if pm � prT ∼ R−1 if pr � pm
donde hay que usarpr =
a
3T4→ Presión de radiación
donde a = 4σc con σ la constante de Stephan-Boltzmann.
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1 Guía 1 - El universo1.1 Cúmulos estelares
2 Guía 2 - Fluidos clásicos3 Guía 3 - Relatividad4 Guía 4 - Atmósferas estelares5 Guía 5 - Medios interestelares5.1 Rankine-Hugoniot
6 Guía 6 - Estructura y evolución estelar6.1 Resumen
7 Guía 7 - Campos magnéticos8 Guía 8 - Galaxias9 Guía 9 - Cosmología